Matematika s statistikoMatematika s statistikoštudijsko gradivo

Fakulteta za farmacijo

VSŠ Laboratorijska biomedicinaVSŠ Laboratorijska biomedicina

verzija: junij 2006

Topnost kisika v vodi pri pritisku 760 mmHgTečaji valut

Sestavljanje funkcij

Grafična predstavitev/podajanje

Podajanje s formulo

Graf

Graf funkcije dveh spremenljivk

PVT-diagram idealnega plina

Enačba idealnega plina:

PVT-diagram realne snovi

Odsekoma

definirana

funkcija

Definicijsko območje

&

Zaloga vrednosti

Naraščanje in padanje funkcije

naraščajoča

padajoča

Pri stalni temperaturi je pritisk padajoča funkcija prostornine (tj. večja prostornina manjši pritisk)

Lokalno naraščanje in padanje funkcijskih vrednosti

pri b je funkcija naraščajoča

pri a je funkcija padajoča

Globalni ekstremi

(globalni) minimum

(globalni) maksimum

Lokalni ekstremi

lokalni minimum

lokalni maksimum

ravnovesne lege so primeri lokalnih ekstremov

Konveksnost & konkavnostFunkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.

konveksna

konkavna

PrevojiPrevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.

konveksna konkavna

prevoji

Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

Trend funkcije na robu - asimptote

Logistična krivulja

(vodoravna asimptota)

Dušeno nihanje

Poševna asimptota

Periodičnost in simetrija

Soda in liha funkcijaPeriodične funkcije

Graf funkcije

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti

2. Naraščanje in padanje, ekstremi

3. Ukrivljenost

4. Trend na robu definicijskega območja

5. Periodičnost in simetrije

Elementarne funkcije

Kotne funkcije

Polinomi

Racionalne funkcije

Algebrajske funkcije

Eksponentne in logaritmske funkcije

Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih

funkcij.

Osnovne funkcije:

Osnovne značilnosti:

• Definicijsko območje, zaloga vrednosti

• Naraščanje in padanje, ekstremi

• Ukrivljenost

• Trend na robu definicijskega območja

• Periodičnost in simetrije

Polinomi povsod definirani

polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov

trend je določen z najvišjo potenco

vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija

Racionalne funkcije definirane povsod, razen v ničlah imenovalca

ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli

če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

Algebrajske funkcije koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente

koren je bližje številu 1 kot njegov argument

asimptote dobimo z limitami...

Eksponentna funkcija f(x)=ex

povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel)

za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča

Logaritemska funkcija f(x)=ln x definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1

pol pri x=0, zelo počasi narašča

Kotne funkcije sin(x), cos(x) povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1]

periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija

sin(x) ima ničle pri x=kcos(x) ima ničle pri x=/2+k cos(x)=sin(/2-x), sin2x+cos2x=1

sin(kx+a) k: frekvenca, a: fazni zamik

Funkcija tangens tg(x) definirana povsod, razen za x=/2+k, zaloga vrednosti so vsa realna števila

periodična, liha

ničle pri x=kpoli pri x=/2+k tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc sin(x) ‘arkus

sinus’ inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)

definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-/2,/2 ]

Inverzne kotne funkcije (ciklometrične funkcije) f(x)= arc tg(x) ‘arkus

tangens’ inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x)

definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-/2,/2)

asimptoti y=-/2, y=/2

LIMITE

y=f(x)

l

)(lim xflx

l je limita funkcije f, ko x narašča čez vse

meje

a

l

d

y=f(x)

)(lim xfdax

d je limita funkcije f, ko x pada proti a

)(lim xflax

l je limita funkcije f, ko x narašča proti a

Funkcija f je zvezna v točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.

)()(lim)(lim afxf xfax ax

a

y=f(x)

Računanje limit

če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti

za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a

z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)

11

0

x

ex

xlim

)(lim xfax

10

x

xx

)sin(lim

(eksponentne in logaritemske) (kotne in ciklometrične)

)(

)(lim

1

221

xx

xx))((

))((lim

11

2121

xxx

xxx)(

)(lim

1

233

2

1

x

xxx 3

1

xxxxxx )())(( 111

xxx

1limxx

xxx

1

1)(lim

xxx

1

1lim 0

Primeri

x y ln

11 xx

x

lnlim

10

yy e

ylim 1

xy 3

xx

x

30

tglim x

xxx 3

310 cos

sinlim y

yyy cos

sinlim

30

3

?lim

3 1

11

1

1

xx

e

3 1

1

1

1

xe

xf

)(x 0.5 0.9 0.99 0.999

f(x) 0.2209874833 0.1039175446 0.0095502780 0.0000453978

x 1.5 1.1 1.01 1.001

f(x) 0.7790125166 0.8960824553 0.9904497219 0.9999546021

0

1

1

3 1

11

xx

e

lim 1

1

1

3 1

11

xx

e

lim

1

1y=f(x)

Asimptote

Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x), če je 0

)()(lim lkxxfx

kxxfl xxf

k xx

)(lim)(

lim

Primer 554 2 xxxf )(

255

4554554

22

22

xxx

xxx

xxk

xxxlimlimlim

4

5

255

4

55

2554

55

2554

45542554

2

2

2

222

xx

x

xxx

x

xxx

xxxxxxl

xx

xx

limlim

)(limlim

asimptota je: 4

52 xy

554 2 xxy

4

52 xy

ZVEZNE FUNKCIJE

Funkcija f je zvezna, če je za vsak a, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a.

Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.

Grafi zveznih funkcij

Grafa nezveznih funkcij

Lastnosti zveznih funkcij

1) Vse elementarne funkcije so zvezne.

Osnovne funkcije

xxxxe

xxxfkonstxfx

n

arctg,arcsin,sin,ln,

,,)(.,)(

so zvezne.

Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija.

Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.

2) Zvezna funkcija na intervalu [a,b] zavzame vse vmesne vrednosti med f(a) in f(b).

a b

f(a)

f(b) Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike.

Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine.

Če je bila jutranja temperatura 6oC, opoldanska pa 15oC, potem je tisto jutro bilo tudi 10oC.

Če je etanol pri 40oC tekoč, pri 80oC pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre.

3 6

Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij

55 23 xxxf )(

4.5

5.25

4.85

4.67

4.76

4.80

Ničla je ≈ 4.78

Palico oblike primemo za en konec in vržemo proti steni.

Kdaj bo zadela steno?

Primer

Fizikalno ozadje: težišče telesa se giblje enakomerno in premočrtno, palica pa se enakomerno vrti okoli težišča.

V trenutku t je težišče v točki vt, kot vrtenja pa je enak kt. En konec palice je od štarta oddaljen za vt+l sin kt, drugi pa za vt-l sin

kt.

l sin

- l sin

l

t

s

s=vt+l sin kt

s=vt- l sin kt

d

Poiskati moramo manjšo izmed rešitev enačb vt+l sin kt=d in vt- l sin kt=d.

d je razdalja do stene

Rešimo nalogo pri pogojih: v=1 m/s k=1 obrat/s

l=0.2 m d=5 m

t+0.2 sin t=5 f(t)=t+0.2 sin t-5

začetni interval: f(5)=-0.1918, f(5.5)=0.3588 ⇒ rešitev je med 5 in 5.5

f(5.25)= 0.0782 ⇒ rešitev je med 5 in 5.25 f(5.12)=-0.0636 ⇒ rešitev je med 5.12 in 5.25 f(5.18)= 0.0014 ⇒ rešitev je med 5.12 in 5.18 f(5.15)=-0.0311 ⇒ rešitev je med 5.15 in 5.18 f(5.17)=-0.0094 ⇒ rešitev je med 5.17 in 5.18

račun:

5 5.5

Podobno se lotimo druge enačbe t - 0.2 sin t=5 in dobimo za rešitev t=4.80.

Palica zadane steno s spodnjim koncem po 4.80 sekundah.

3) Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum in maksimum.

a

R),(: af

a b

R],[: baf

max

min

Odvod

Primer

Alternativni zapis:

Fizikalni pomen odvoda

Geometrični pomen odvoda

padajočaDf negativen

naraščajočaDf pozitiven

x)x(

xxhx

xhxh

xhx

h

xhxxfxxf

h

hh

2

1

2

1

)(

1lim

)(limlim)()(

0

00

Računanje odvodov

I. korak: funkcija odvod

odvod funkcije f

Primeri

Predpis x ↦ Df(x) določa funkcijo f ' : A → ℝ .

h

xfhxfxf

h

)()(lim)(

0

)(x h

xhxxf xf(x)

h11

0

)(lim)(

000

)(c h

ccxf cf(x)

hlim)(

)()()()(

)()()(lim)(

)()(lim

)()()()()()()()(lim

)()()()(lim))()((

xgxfxgxf h

xghxgxfhxg

hxfhxf

hxgxfhxgxfhxgxfhxghxf

hxgxfhxghxf

xgxf

hh

h

h

00

0

0

II. korak: računske operacije in sestavljanje

seštevanje(in odštevanje)

)()(

)()(lim

)()(lim

))()(())()((lim

))()(())()((lim))()((

xgxfh

xghxgh

xfhxf

hxghxgxfhxf

hxgxfhxghxf

xgxf

hh

h

h

00

0

0

gfgf )(

množenje:

gfgfgf )(

deljenje:

2g

gfgfgf

sestavljanje:)())(())(( xgxgfxgf

Primeri

10133 )'()'()( xx

5150555 xxxx )'()()'(

gfgf )(

gfgfgf )(

fcfc )(

xxxxxxxx 2112 )'()()'(

2g

gfgfgf

222 1

2

1

1111

1

1111

1

1

)()(

)()(

)(

)()()()(

xx

xx

x

xxxxxx

)())(())(( xgxgfxgf

)()()()()())((

25102525225 2

xxxxxgxgf

III. korak: osnovne funkcije

xx ee )(

1 rr rxx )(

xx

1)(ln

xx cos)(sin

xx sin)(cos

xx

2

1

cos)(tg

21

1

xx

)(arcsin

21

1

xx

)(arctg

xh

x

h

xhx

h

x eh

ee

hee

e

100

limlim)(

11 rxrxrr rxx

reex lnln )()(

xxxee ex xxx lnln)( lnlnln 1

xh

h x

hh

x

hxhxh x

hxhx

x

h

hh

cossin

cos)(cos

sinlim

sinsincoscossinlim

sin)sin(lim)(sin

10

00

011

110

2

00

)(cossinsin

lim)(cos

coslim

coslim

h h

hh

- h hh

hh

hhh

xx x x sin)(cossin)(cos

122

xx

xx

x

xxxxxx

x22

22

2

1

coscos

sincos

cos

)sin(sincoscoscossin

)(tg

)(arcsin)(arcsin)cos(arcsin))n(sin(arcsi)sin(arcsin x xxxx xx 211

)(arctg()(arctg)(arctgcos

))(tg(arctg)tg(arctg x )xxx

x xx 22

11

1

Primeri

xxxx

2

1

2

12

1

2

1

)()(

xxx xeexe )(

xxxx 6323 223 )'(

22

22

1

2

1

112

1 )()(

)(

x

x

x

xxxxx

xx

x 2)1(cos

1))1(tg(

222

)sin(

)cos(2)cos(

)sin(2

1)sin(

2

22

2

2

x

xxxx

xx

)()(

)()())((

1226

222232222

2232

xxx

xxxxx

Višji odvodi

ff

ff

)(

)(

0

6

6

23

42

4

2

3

)(

)(

)(

)(

)(

)( xf

xf

xxf

xxf

xxxfPrimeri

Vrednosti višjih odvodov v neki točki

f(x0), f '(x0), f ''(x0), f '''(x0), ...

določajo celotno funkcijo

xxx

xxxxxf

xxx

xxxxxf

xxxxf

xxxf

cossin3

cossinsin2)(

sincos2

sincoscos)(

cossin)(

sin)(

Parcialni odvodi

V

nRTP

i -ti parcialni odvod

2)(

V

nRTVP

:TP odvod po spremenljivki TV

nRTP )(

:VP odvod po spremenljivki V

),,,( 21 nxxxff funkcija n spremenljivk

h

xxxfxhxxfxxxf nini

hnxi

),,,,(),,,,(lim),,,( 11

021

Primer

z

yxzyxf sin),,(

z

yzyxf x sin),,(

z

y

z

x

zz

yxzyxf y cos

1cos),,(

z

y

z

xy

z

y

z

yxzyxf z coscos),,(

22

Lokalni ekstremiČe je f(x0) ≥ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0 lokalni maksimum.Če pa je f(x0) ≤ f(x) za vse x na nekem intervalu okoli x0 pravimo, da ima f v x0 lokalni minimum.

Odvedljiva funkcija ima pri lokalnem ekstremu vodoravno tangento.

V lokalnem ekstremu velja:

f '(x0)=0 (stacionarna točka)

Lokalni ekstrem NI nujno tudi globalni ekstrem.

Stacionarne točke so lahko lokalni ekstremi ali pa prevoji.

lok. minimum

lok. maksimum

prevoj

Vsi lokalni ekstremi so v stacionarnih točkah.

globalni minimum(globalnega maksimuma ni)

ab

y=f(x)

Globalni ekstremiGlobalni ekstrem funkcije je bodisi pri

lokalnemu ekstremu, bodisi na robu definicijskega območja.

kandidati za ekstreme funkcije

f(x) na intervalu [a,b]:

globalni minimum

globalni maksimum

Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x) na intervalu [a,b]:

1. Izračunamo odvod f '(x);

2. Določimo ničle odvoda, npr. x1,x2,...;

3. Izmed vrednosti f (a), f (b), f (x1), f (x2),... določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.

Primer

Določi globalne ekstreme funkcije f(x)=x3-4x2+6 na intervalu [-1,4]. xxxf 831 2 )(.

3

800832 21

2 xx xx ,.

48327

94

3

86064113 .)(,)(,)(,)(. f f f f

Globalni maksimum je f(0)=f(4)=6, globalni minimum je f(8/3) ≈ -3.48

Optimizacijske naloge

1. Za katero pozitivno število je vsota števila in njegove recipročne vrednosti najmanjša?

?)(min,1

)( xfx

xxf

101

1,1

1)(22

xxx

xf

Najmanjšo vsoto dobimo pri x=1.

2. Kateri izmed pravokotnikov z obsegom 5m ima največjo ploščino?

baP

baO

m522

2

25)(

aaaP

4

5,

4

50

2

45,

2

45)1(

2

25)(

ba

aaa

aaP

Največjo ploščino ima kvadrat s stranico 1,25m.

3. Kakšne dimenzije mora imeti valjasta pločevinka s prostornino V, da bo za njeno izdelavo potrebno najmanj pločevine?

r

h

2

2

22 rhrP

hrV

222

22

22)( rr

Vr

r

VrrP

333

22

22,

2,

2

042

,42

)(

Vh

Vr

Vr

rr

Vr

r

VrP

Optimalna pločevinka ima višino enako premeru.

Lokalni ekstremi funkcij več spremenljivk

f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)

f ima lokalni maksimum pri (x1,...,xn)

za vsako spremenljivko posebej

vsi parcialni odvodi so enaki 0

kandidati za lokalne ekstreme so rešitve sistema enačb

00021

nxxx fff ,,,

sedlolokalni maksimum

Stacionarne točke funkcije več spremenljivk

Primeri

22 yxyxf ),(

yyxf

xyxf

y

x

2

2

),(

),(0

02

02

yx

y

x

Edina stacionarna točka je (0,0).

23 22 yxyxyxf ),(

yxyxf

yxyxf

y

x

42

23 2

),(

),(

042

023 2

yx

yx

),(6

1

3

1Stacionarni točki sta (0,0) in .

3

10

3

22

x x

xx

yx

ali

Globalni ekstremi funkcij več spremenljivkf(x,y) je definirana na delu ravnine.

Če je odvedljiva, zavzame ekstrem bodisi v stacionarni točki v notranjosti območja, ali pa na robu.

Postopek za določanje globalnih ekstremov odvedljive funkcije f(x,y) na območju D ⊆ ℝ :

1. Izračunamo parcialna odvoda f x'(x,y) in f

y'(x,y);

2. Določimo stacionarne točke kot rešitve enačb f x'(x,y) =0 in f y'(x,y)=0;

3. Točke na robu območja D obravnavamo kot funkcijo ene spremenljivke in poiščemo pripadajoče stacionarne točke.

4. Izmed vrednosti funkcije f v vseh stacionarnih točkah določimo največjo in najmanjšo - to sta globalni maksimum in globalni minimum.

Primer

Poišči minimum in maksimum funkcije

na trikotniku z oglišči A(0,0), B(3,0) in C(0,3).

yyxyxyxf 422 22 ),(

A B

C442

22

yxyxf

yxyxf

y

x

),(

),(

10220442

022

y x ,x yx

yx

yx,

notranjost trikotnika:

111 ),(f

-1daljica AB: xxfxxfy 20 2 )()(

stacionarna točka (0,0) ni v notranjosti daljice

daljica AC: 24220 2 yyfyyyfx )()(

2

1

2

10 ),(f

2

1

daljica BC:

41615

81610

121653232323 222

.,.)(

)()()()(

yxxxf

xxxxxxxxfxy

5

44161 ).,.(f

5

4

1230903000 ),(:),(:),(: fC fB fAoglišča:

0 9

12

minimum je f (1,1)= -1, maksimum je f (0,3)=12

Izravnavanje numeričnih podatkov

Naloga: iz tabele numeričnih podatkov (xi,yi) določi funkcijsko zvezo y=f(x), ki se s temi podatki najbolje ujema.

Primer:

v tabeli so podane vrednosti količine y v odvisnosti od x. Določi ustrezno funkcijsko zvezo y=f(x).

Oceni vrednost y pri x =1.5 (interpolacija) in pri x=2 (ekstrapolacija).

x y1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90

Podatke predstavimo v koordinatnem sistemu:

Zveza med x in y je približno linearna. Kako bi dobili enačbo premice, ki se tem podatkom najbolje prilega?

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80

y

Enačba premice y=A+Bx je odvisna od parametrov A in B. Ustreznost parametrov preskusimo na množici podatkov (xi,yi), i=1,2,...,n, s pomočjo testne funkcije

n

iii

nn

yBxA

yBxAyBxAyBxABAF

1

2

2222

211

)(

)(...)()(),(

Če ležijo vsi podatki na premici y=A+Bx je F(A,B)=0, kar je najboljši možni rezultat. V splošnem primeru iščemo vrednosti A in B, pri katerih testna funkcija zavzame minimum.

Testna funkcija po kriteriju najmanjših kvadratov

Sistem dveh linearnih enačb in dveh neznank: ima natanko eno rešitev, ki ustreza globalnemu minimumu testne funkcije.

n

iii yBxABAF

1

2)(),(

n

iiiA yBxABAF

1

2 )(),(

i

n

iiiB xyBxABAF

1

2 )(),(

02

02

1

1

i

n

iii

n

iii

xyBxA

yBxA

)(

)(

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxBxAx

yBxAn

11

2

1

11

x y

1,07 3,351,11 3,501,23 3,691,24 3,701,24 3,771,26 3,801,30 3,981,35 4,011,41 4,121,42 4,121,44 4,201,48 4,281,57 4,411,57 4,441,61 4,601,63 4,581,69 4,701,75 4,781,75 4,831,79 4,90

3,00

3,50

4,00

4,50

5,00

1,00 1,10 1,20 1,30 1,40 1,50 1,60 1,70 1,80

interpolirana vrednost: f(1.5)=4.303

ekstrapolirana vrednost: f(2)=5.354

Obe enačbi delimo z n in vpeljemo oznake:

V praksi sistem rešujemo takole:

n

iii

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

yxBxAx

yBxAn

11

2

1

11

n

iix

nx

1

1 povprečje argumentov

n

iiy

ny

1

1 povprečje funkcijskih vrednosti

n

iix

nx

1

22 1 povprečje kvadratov argumentov

n

iiiyx

nxy

1

1 povprečje produktov

xyBxAx

yBxA

2

xByA

xxx

yxxyB

2

Nelinearne zvezet(s) c (mol/l) t(s) c (mol/l)100 2,19 1600 0,85200 2,05 1700 0,80300 1,92 1800 0,75400 1,81 1900 0,70500 1,70 2000 0,66600 1,59 2100 0,62700 1,50 2200 0,58800 1,41 2300 0,54900 1,33 2400 0,511000 1,25 2500 0,481100 1,17 2600 0,461200 1,10 2700 0,431300 1,03 2800 0,411400 0,97 2900 0,391500 0,91 3000 0,37

V tabeli je predstavljena kinetika razpada N2O5 v raztopini CCl4. c je koncentracija N2O5 po preteku t sekund.

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

(zveza med logaritmom koncentracije in časom je linearna)

Dobimo:

0,00

0,50

1,00

1,50

2,00

2,50

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Funkcijska zveza ni linearna, temveč eksponentna: BtAec

Računanje s testno funkcijo

je zamudno, zato raje lineariziramo.

n

ii

Bt yAeBAF i

1

2),(

BtAc lnln

Vpeljemo novo količino in uporabimo prejšnje formule.cc ln

tec 000603152 ..

tc 0006094751 ..

Računanje limit

Velja:

L’Hospitalovo pravilo

axavxv

axauxu

avxvauxu

xvxu

)()(

)()(

)()()()(

)()(

Računamo pri pogoju )()(

limxvxu

ax0 )()( avau

(Nedoločena oblika )

0

0

)()(

lim)()(

limxvxu

xvxu

axax

Primeri:

L’Hospitalovo pravilo uporabimo tudi za

2

1

22

10020

xxx

x

xxxx

coslim

sinlim

coslim

01

2

1

22

x

x

x

xx

coslim

sinlim

in ko je )()(

limxvxu

x ,

)()(

limxvxu

ax

)(lim)(lim xuxu

axax

12

2

111

1

12

2 2

2

2

2

x

x

x

x

x

x

x

xxx

xxxxxlimlimlim

)arctg(lim)arctg(lim

01

1

1 02

000

)(limlim

lnlimlnlim x

x

x

x

xxx

xxxx

Risanje grafov

1. Definicijsko območje: določimo na podlagi lastnosti osnovnih funkcij.

2. Rob definicijskega območja: obnašanje funkcije (pole, asimptote) izrazimo s pomočjo limit; pri računanju si pomagamo z L’Hospitalovim pravilom.

(Območje definicije, obnašanje na robu, ničle, območja naraščanja in padanja, stacionarne točke, ukrivljenost, prevoji, simetrije.)

3. Ničle: določimo s pomočjo raznih, tudi približnih, metod za reševanje enačb.

Če vrednosti odvoda pri prehodu čez ničlo spremenijo predznak, je v stacionarni točki lokalni ekstrem. Če se predznak ne

spremeni, je v stacionarni točki prevoj.

funkcija

odvod

4. Naraščanje in padanje, ekstremi: funkcijo odvajamo; kjer je odvod pozitiven, funkcijske vrednosti naraščajo, kjer je negativen padajo. V ničlah odvoda so lokalni ekstremi ali prevoji.

5. Ukrivljenost: kjer je drugi odvod pozitiven, je graf konveksen, kjer je negativen, je graf konkaven. Prevoji so točke, kjer graf spremeni ukrivljenost, torej ničle drugega odvoda, pri katerih drugi odvod spremeni predznak.

6. Periodičnost in simetrije: odvod periodične funkcije je periodičen; odvod sode funkcije je lih, odvod lihe pa sod.

funkcija

odvod2. odvod

prevoj

Primeri

Natančno nariši graf funkcije 12

x

xxf )(

Definicijsko območje: imenovalec je pozitiven, funkcija je definirana povsod.

Obnašanje na robu:

011 22

x

x

x

xxx

limlim

f(x) ima vodoravno asimptoto y=0

Ničle: edina ničla števca je x=0.

Simetrije: funkcija je liha.

Naraščanje, padanje, ekstremi:

22

2

22

2

1

1

1

211

)()(

)()(

x

x

x

xxxxf

Ničli odvoda sta -1 in +1; odvod je negativen za x<-1 in x>1 in pozitiven za -1<x<1.

f narašča za -1<x<1 in pada sicer; v -1 ima lokalni minimum, v 1 pa lokalni maksimum.

Ukrivljenost:

32

2

42

2222

1

32

1

212112

)(

)(

)(

)()()()(

x

xx

x

xxxxxxf

f ima prevoje za

konveksna je za

konkavna je za

330 ,,x

in 303 xx

in 303 xx

asimptota y=0

ničla x=0

minimum x=-1, y=-0.5, maksimum x=1, y=0.5

prevoji x=0,-1.73,1.73

Definicijsko območje:

Nariši graf

Ničle funkcije, 1. in 2. odvoda:

f

g

Funkcija f je podana z grafom. Nariši graf njenega odvoda g.

Asimptota g je ‘odvod’ asimptote f.

Definicijsko območje g so točke, kjer je graf f gladek in tangenta ni navpična.

Ničle g so tam, kjer ima f stacionarno točko. g je pozitivna tam, kjer f narašča in negativna tam, kjer f pada.

g narašča kjer je f konveksna, pada pa kjer je f konkavna. g ima lokalni ekstrem v točkah, kjer ima f prevoj.

IntegrIntegralalrešujemo nalogo:

Dana je funkcija f. Najdimo funkcijo F, katere odvod je enak f.

Primeri:

Če je F’ (x)=f(x) pravimo, da je F(x) primitivna funkcija za funkcijo f(x).

xxf cos)( xxF sin)( xxf sin)( xxF cos)(

xexf )( xexF )(

3)(xf xxF 3)(

2xxf )(3

3xxF )(

primitivni funkciji za cos x sta tako sin x, kot sin x +3.

Za dano funkcijo obstaja več primitivnih funkcij:

xx cossin

xxxx coscossinsin 033

Če poznamo eno primitivno funkcijo za f, dobimo vse druge tako, da tej prištejmo vse možne konstante.

Množico vseh primitivnih funkcij za f(x) označimo z F(x)+c, kjer je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), c pa je poljubno realno število.

Postopek določanja primitivne funkcije imenujemo integriranje. Pišemo:

dxxfxF )()(pove po kateri spremenljivki integriramo in nastopa pri formulah za računanje integralov

integral

integrand

Pri računanju integralov uporabljamo pravila za integriranje in integrale osnovnih funkcij.

Integrali osnovnih Integrali osnovnih funkcijfunkcij

)11

1

rrx

dxxr

r (

xdxx

ln 1

xx edxe

xdxx cossin

xdxx sincos

xdxx

tgcos

2

1

xdxx

arcsin

21

1

xdxx

arctg

21

1

Pravila integriranjaPravila integriranja

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfkdxxfk )()(

vsota

produkt s konstanto

Primeri

34

3423 xx

dxxx

32

3

2

1

3

2

2

3x

xdxxdxx

tt

tdt

ttdt

tt

12

3

12

1 3

22

2

)()( xFdxxf Če je , je

))(()())(( xgFdxxgxgf uvedba nove spremenljivke

pravilo: funkcija u(x)

dxxuxdu )()(

Novo spremenljivko u vpeljemo tako, da povsod, kjer v integralu nastopa spremenljivka x, jo zamenjamo z ustreznim izrazom v spremenljivki u.Primer:

dxx 412 )(12 xu

dxdu 2

dudx2

1

10

12

52

1

2

1 554 )(

xu

duu

)cos(cossin)sin( 344

1

4

1

4

134 xuduudxx

dxduxu 434

22

2

1

2

1

2

1 xuux eeduedxxe dxxduxu 22

)ln(coslncossin

tg xuduu

dxxx

dxx 1

dxxduxu sincos

dxxvxuxvxudxxvxu )()()()()(')( integracija ‘po delih’

( Za integriranje produktov določene oblike.)

duvvudvu krajše:

Primeri: xxxxx exedxexedxxe

xx evdxedv

dxduxu

xxxdxx

xxxdxx lnlnln 1

xvdxdv

dxx

duxu

1

ln

Uporaba integralaUporaba integrala

Ploščine likov

Dolžine krivulj

Povprečja

Diferencialne enačbe

Hitrost ohlajanja nekega telesa je sorazmerna razliki med temperaturo telesa in temperaturo okolice:

T’=k(T-T0)

Kako hitro se bo vrela juha v prostoru, kjer je 20oC ohladila do užitnih 50oC?

Verjetnost

Kolikšna je verjetnost, da bo žlica, ki pade na tla obležala na eni sami ploščici?

Integracijske Integracijske tehniketehnike

)11

1

rrx

dxxr

r (

xdxx

ln 1

xx edxe

xdxx cossin

xdxx sincos

xdxx

tgcos

2

1

xdxx

arcsin

21

1

xdxx

arctg

21

1

dxxgdxxfdxxgxf )()()()(

dxxfkdxxfk )()(

duvvudvu

)(

)()())((

xgu

duufdxxgxgf

Racionalne funkcije )ln( bax

adx

bax

11

osnovna formula:

Primer:

?

dxx

xx

1

132

3

1.korak: če je stopnja števca večja od stopnje imenovalca, zdelimo

)(,)(:)( 12113 23 xxxxx ost.

1111

12

xB

xA

xxx

))((

2.korak: preostali ulomek razcepimo na delne ulomke

))(( 11

12

1

132

3

xxx

xx

xx

)()()()( BAxBAxBxAx 1112

2

3

2

1

1

2

BA

BA

BA,

1

1

2

3

1

1

2

1

1

132

3

xxx

x

xx

3.korak: sumande v razcepu integriramo po formuli

)ln()ln( 12

31

2

1

21

1

2

3

1

1

2

1

1

13 2

2

3

xxx

dxxx

xdxx

xx

Če ima imenovalec dvojno ničlo vpeljemo novo spremenljivko:

?)(

dxx

x

212

1

dxduxu 212 ,

48

312

4

1

4

3

4

1

4

3

2

12

1

12

1222

xx

uudu

u

udu

u

u

dxx

x)ln(ln

)(

?

dxx

x

22

13 Če imenovalec nima realnih ničel, prevedemo na logaritem in arkus tangens:

dxx

dxx

xdx

x

x222 2

1

2

3

2

13

dxxduxu

xuduu

dxx

x

22

22

3

2

3

2

31

2

3

2

22

,

)ln(ln

dudxxuxu

xudu

udx

xdx

x

222

22

2

2

2

1

1

2

2

21

1

2

1

2

1

22

222

,,

arctgarctg

Kotne funkcije

dxxduxu

xuduudxxx

sin,cos

coscossin

55

5544

4

2

22

212 xxdx

xdxx

sincossin

formule za kvadrate: xx

xx

xx

x21

21

2

21

2

21 222

coscos

tg,cos

cos,cos

sin

Računanje ploščin

Želimo določiti ploščino pod grafom funkcije y=f(x)

P(x) je ploščina pod grafom na intervalu od a do x.

a x x+h

P(x)

)(max)()()(min],[],[

xfhxPhxPxfhhxxxhxxx

)(max)()(

)(min],[],[

xfh

xPhxPxf

hxxxhxxx

min f(x)

max f(x)

)()()(

lim xfh

xPhxPh

0

P(x) je primitivna funkcija za f(x) !

Če je F(x) neka primitivna funkcija za f(x), potem je F(x)-P(x)=c.

Vstavimo x=a: F(a)-P(a)=c ⇒ c=F(a) ⇒ P(x)=F(x)-F(a).

Kako bi izračunali c?

a b

Če je F(x) poljubna primitivna funkcija za f(x), je ploščina pod grafom y=f(x) na intervalu [a,b]

enaka P=F(b)-F(a).

P=F(b)-F(a)

Ker je

običajno meje intervala vključimo v oznake in pišemo:

dxxfxF )()(

)()()()( aFbFxFdxxfP ba

b

a

določeni integral funkcije f(x) na intervalu [a,b].

Primer

Določi ploščino lika, ki ga omejujeta abscisa in parabola y=1-x2.

-1 1

3

4

3

11

3

11

31

1

1

1

1

32

)()()(

x

xdxxP

Primer

Določi ploščino lika med x=y2 in y=x.

xy

xy

6

1

23

21

0

1

0

2

x

xxdxxxP )(

Dolžine krivulj

Želimo določiti dolžino krivulje, podane z y=f(x).

l(x) je dolžina grafa na intervalu od a do x.

a x x+h

2

22 1

h

xfhxfhxfhxfxhxxlhxl

)()())()(()()()(

2

01 ))((

)()(lim xf

hxlhxl

h

l(x) je primitivna funkcija za

21 ))(( xf

y=f(x)

Dolžina krivulje, podane z y=f(x) na intervalu [a,b] je

dxxflb

a 21 ))((

PrimerIzračunaj dolžino loka parabole y=1-x2 na intervalu [-1,1].

-1 1

95225

25

4

12

4124

141

2

1

41

1

1

22

1

1

2

.ln

)ln(

xxxx

dxxl

xxf 2 )(

Vrtenine

Vrtenina je telo, ki ga dobimo, ko dani lik zavrtimo okoli osi.

Izračunati želimo prostornino vrtenine.

y=f(x)Zavrtimo lik pod grafom krivulje y=f(x):

V(x) je prostornina na intervalu od a do x.

2

0)(

)()(lim xf

hxVhxV

h

hxfxVhxV 2)()()(

a x x+h

V(x) je primitivna funkcija za 2)(xf

Primer Prostornina krogle: kroglo dobimo,

če zavrtimo krožnico okoli abscisne osi.

Prostornina vrtenine pod y=f(x) na

intervalu [a,b]:

b

a

dxxfV 2)(

33

33

3

3222

22

3

4

33

3

rr

rr

r

xxrdxxr

dxxrV

r

r

r

r

r

r

2

)

(r-r

22 xry

Integrand f(x) nadomestimo s približkom g(x), ki ga znamo dovolj preprosto integrirati.

Približek izračunamo iz vrednosti integranda v izbranih delilnih točkah (včasih tudi iz vrednosti odvodov).

napaka, odvisna od metode in od števila delilnih točk

približna vrednost integrala

Približni izračun integrala

računamo numerično, če je določanje primitivne funkcije prezahtevno ali če je integrand znan le v posameznih

točkah.

b

a

dxxf )(

b

a

b

a

Rdxxgdxxf )()(

integrand nadomestimo z odsekoma linearno funkcijo.

[a,b] razdelimo na n enakih delov:

g je odsekoma linearna funkcija, določena s točkami (xk,yk), k=0,1,...,n

trapezna formula

napaka trapezne metode

Metoda trapezov

)( kk

k

xfyn

abkax

21

1

kkx

x

yyn

abdxxg

k

k

)(

nn

b

a

yyyyyynab

dxxg

121102...)(

nnn

b

a

Ryyyyynab

dxxf

1210 2222

...)(

)(max)(

],[xf

n

abR

baxn

2

3

12

Primer

Izračunaj z napako < 0.01

1

01

1dx

x

693102121

1

1

11

1

0

.lnlnln,))(ln(

dxxx

x

50106

1

6

1

1

2

12

1

1

1

12

01

2

23102102

3

nn

nxnxn xx

.

)(maxmax

)(],[],[

69560500005555026250027143028333020000110

1

1

11

0

....... dx

x

dejanska napaka 0.0025

Primer

Oceni ploščino kosa pločevine:

2cm 482512502552512628

100P

Diferencialne enačbe

Diferencialna enačba je funkcijska enačba, v kateri nastopa odvod neznane funkcije.

Primerixyy

012 yy

21 yyx

yxyy 2

yxeyyx y 2

xzz yxx

diferencialna enačba za y kot funkcijo x

diferencialna enačba 2. reda (Red diferencialne enačbe je red najvišjega odvoda, ki v njej nastopa.)

diferencialna enačba 3. reda

parcialna diferencialna enačba (2. reda)

Diferencialne enačbe za funkcije ene spremenljivke imenujemo navadne, kadar nastopajo parcialni odvodi na več spremenljivk pa parcialne diferencialne enačbe.

Rešitev diferencialne enačbe je funkcija y=y(x), pri kateri je F( x , y(x) , y’(x) )=0 za vse x.

Primeri y=e2x je rešitev diferencialne enačbe y’=2y, saj je

splošna diferencialna enačba 1.

reda

0),,( yyxF

xx ee 22 2)(y’ 2y

y=x2 ni rešitev diferencialne enačbe y’=2y, čeprav je 2x2=2x2 za nekatere vrednosti x. Leva in desna stran morata biti enaki za vse vrednosti argumenta x.

(kadar se to izide pravimo, da gre za enačbo z ločljivimi spremenljivkami)

xydxdy

Najpreprostejši tip diferencialne enačbe:

)(xfy

Rešitev je: dxxfxy )()(

Tudi druge diferencialne enačbe skušamo prevesti na računanje integralov.

Primer xyy 1. korak: pišemo

dxdy

y

2. korak: enačbo preoblikujemo tako, da so vsi y na eni in vsi x na drugi strani enačbe

dxxydy

3. korak: integriramo obe strani enačbe dxxydy

cx

y 2

2

ln )( cx

eCeCy 2

2

Preskus:

)()( 2

2

2

2

2

2

2

2 xxx

eCxx

eCeC

Modeliranje z diferencialnimi enačbamiV fizikalnih in kemijskih zakonih praviloma nastopajo količine, ki so

odvodi (hitrost gibanja, pospešek, toplotni tok, električni tok, hitrost reakcije, ...), zato študij fizikalnih in kemijskih procesov sloni na reševanju diferencialnih enačb.

Audi TT pospeši do hitrosti 100 km/h v 6.4 sekundah. Koliko metrov pri tem prevozi?

Predpostavimo, da je pospešek konstanten:

t ..... čas

y(t) ..... prevožena pothitrost je v=y’(t)pospešek je a= v’(t)= y’’(t)

22 m/s m/s

m/s km/h

344467727

7727100

.

.

./.a

ctdtvdtdvv 344344344344 ....

Ker je na začetku v(0)=0, je c=0.

ct

dttydttdyty2

3443443443442

....

Ker je na začetku y(0)=0, je c=0.

Hitrost 100 km/h doseže po y(6.4)≈89m.

Diferencialna enačba skupaj z začetnim stanjem v celoti določa evolucijo sistema.

y(0)=C, torej je C začetna količina opazovane snovi

Za 14C:

Hitrost razpadanja pogosto podamo z razpolovno dobo T: zveza s k je kT=ln

2

Hitrost razpadanja radioaktivne snovi je sorazmerna s količino snovi (reakcija 1. reda). Če imamo na začetku neko količino snovi (npr. 5g izotopa 14C), kaj lahko povemo o količini snovi čez nekaj časa (npr. čez koliko časa bo ostalo le 3g 14C)? y=y(t) količina snovi v trenutku t

y’=-k y k je sorazmernostni faktor med količino snovi in hitrostjo razpadanja (npr. za 14C je k =3.83 10-12 s-1)

ktCeycktydtkydy

dtkydy

kydtdy ln

let s 423014133368146210833

5108053

1253

.

.ln

kte kt

Razpolovna doba 14C je (0.6931/3.83) 1012 s ≈ 5730 let.

Radioaktivni razcep

Ogljikov izotop 14C nastaja v višjih plasteh atmosfere, ko pod vplivom kozmičnih žar- kov dva neutrona nadomestita dva protona v 14N. Nastali 14C se veže s kisikom v 14CO2.

Razmerje med 14CO2 in 12CO2

v atmosferi je dokaj stabilno.

kozmični žarki

Rastline absorbirajo CO2 v biosfero. Razmerje med 12C in

14C v živih bitjih je enako, kot v atmosferi.

Ko ostanki živih bitij niso več v stiku z atmosfero se razmerje med 12C in

14C zaradi radioaktivnega razpada poveča v prid prvega. Starost ostankov ocenimo na podlagi primerjave stopenj radioaktivnosti.

stopnja radioaktivnosti

0 let 5730 let 11460 let 17190 let starost

Datiranje s 14C

Mešanje tekočinV 50-litrsko posodo z 1% -raztopino soli začne s hitrostjo 2 l/min pritekati 3%-raztopina, obenem pa dobro premešana mešanica odteka z isto hitrostjo. Čez koliko časa bo v posodi 2%-raztopina?

3%

y=y(t) količina soli v sodu v trenutku t

dtydtdy 50

22030.

priteka 3% od 2l na enoto časa

odteka 2/50 od trenutne količine na enoto časa

sprememba količine soli v posodi

).(.

)..ln(..

. tCeyctydty

dy 04006025040

1040060

040060

-

tetyCy 04051040500 ..)(..)( l

s 20 min 17min 3317502550151 040040 ..ln.. .. tee tt

Metabolizem tripsina

Tripsin je encim trebušne slinavke, ki nastane iz tripsinogena. V reakciji nastopa tripsin kot katalizator, zato je hitrost nastajanja tripsina sorazmerna z njegovo koncentracijo.

y0 ........... začetna koncentracija tripsina

y(t) ........... koncentracija tripsina v času t

y ’=ky ........... hitrost nastajanja je sorazmerna koncentraciji

Model napoveduje eksponentno in neomejeno naraščanje količine tripsina. To se v resnici ne more zgoditi, zato sklenemo, da model ni ustrezen in ga skušamo popraviti.

To je ista diferencialna enačba, kot pri radioaktivnem razcepu. Rešitev je y=y0ekt.

Med reakcijo se tripsinogen porablja: iz vsake molekule tripsinogena nastane ena molekula tripsina. Zato privzamemo, da je hitrost reakcije sorazmerna tako koncentraciji tripsina, kot koncentraciji tripsinogena. Če je skupna koncentracija tripsina in tripsinogena C, začetna koncentracija tripsina pa y0 dobimo diferencialno enačbo:

y’=ky(C-y)y(0) =y0

Dobljeni graf se imenuje logistična krivulja: popravljeni model napoveduje, da bo koncentracija tripsina zrasla do prvotne koncentracije tripsinogena, potem pa se bo ustalila.

CktyC

y

y

t

e

Ctykt

yy

yCyC

C

dtkyCy

dydtk

yCydy

)()(

)()(

ln

)()(

11

1

0

0

0

0

0

Teorija verjetnosti obravnava situacije, pravimo jim poskusi, pri katerih je izid odvisen od naključja.

Možni izidi nekega poskusa tvorijo prostor izidov.Primeri

Med vožnjo na faks pelje študent mimo treh semaforjev. Pri vsakem se bodisi ustavi (R) ali pa pelje brez ustavljanja (Z). Prostor izidov lahko predstavimo z

{ ZZZ , ZZR , ZRZ , RZZ , ZRR , RZR , RRZ ,RRR }

Letna količina padavin v nekem kraju je zelo odvisna od naključja. Če jo gledamo kot izid poskusa je prostor izidov množica vseh pozitivnih realnih števil

{t | t 0}

Uvrstitev tekmovalca na kolesarski dirki ‘Franja’ lahko gledamo kot na dogodek v poskusu - tekmi - in za prostor izidov vzamemo množico {1,2,...,N}, kjer je N število udeležencev. Ker se število udeležencev iz leta v leto spreminja, je še bolj smiselno vzeti za prostor izidov množico vseh naravnih števil {1,2,3,...}.

Osnove Osnove verjetnostiverjetnosti

Podmnožicam prostora izidov pravimo dogodki.Dogodek, da se študent ustavi pri drugem semaforju je {ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}.

Dogodek,da se kolesar uvrsti med prvih deset je {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.

• dogodka A in B sta nezdružljiva, če je njun presek nemogoč dogodek, AB=N.

•gotov dogodek G tvorijo vsi možni izidi poskusa, nemogoč dogodek N pa je dogodek, ki ne vsebuje nobenega izida.

• presek dogodkov A in B je dogodek AB, da se zgodi tako A kot B.

Dogodek, da se študent ustavi na prvem in na drugem semaforju je AB={RRZ,RRR}.

• unija dogodkov A in B je dogodek A+B, da se zgodi vsaj eden izmed A in B.

A je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, B pa, da se ustavi na drugem semaforju. A+B je dogodek, da se študent ustavi na prvem semaforju, ali na drugem semaforju ali pa na obeh.

A={RZZ,RZR,RRZ,RRR}, B={ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}, A+B={RZZ,RZR, ZRZ,ZRR,RRZ,RRR}

Z dogodki računamo enako kot z množicami:

•nasprotni dogodek za A je dogodek A, ki ga tvorijo vsi izidi, ki niso v A.

Dogodek, da se študent ne ustavi na prvem semaforju je A={ZRZ,ZZR,ZZZ,ZRR}.

G

Verjetnostna mera je funkcija, ki vsakemu dogodku A priredi število P(A)[0,1]

in za katero velja:

• P(G)=1

• AB=N P(A+B)=P(A)+P(B)

B

A

P(B)=P(A+(B-A))=

P(A)+P(B-A) ≥ P(A)

A BAB

BABA AB

• P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

Sledi:

• P( A )=1-P(A)

P(A)+P(A )=P(G)=1

• P(N)=0

• A B P(A) P(B)

A A

Klasična definicija verjetnosti: če ima poskus končno število enako verjetnih izidov, potem je število izidov v dogodku A

P(A)=________________________________________

število vseh izidov

Statistična definicija verjetnosti: frekvenca dogodka A pri n ponovitvah poskusa je

število poskusov z izidom A ___________________________________________

n

P(A) je limita frekvenc dogodka A pri velikem številu ponovitev poskusa.

Primer Naj bo pri metu kocke A dogodek, da pade sodo število pik.

Klasična definicija: P(A)=½, ker je A={2,4,6} v množici izidov {1,2,3,4,5,6}, za katere privzamemo, da so enako verjetni.

Statistična definicija: P(A) dobimo kot frekvenco sodega števila pik pri velikem številu metov kocke.

Po 1000 metih kovanca dobimo 700 grbov

pri 1001. metu sta oba izida enako verjetna

pri 1001. metu je bolj verjetno, da pade grb

klasično

statistično

Geometrična definicija verjetnosti: če množico izidov lahko predstavimo geometrično, potem je P(A) razmerje med velikostjo (dolžino, ploščino, prostornino...) množice A in velikostjo množice vseh izidov.

Primer Kovanec s premerom 2 cm vržemo na tla pokrita s ploščicami s stranico 10 cm. Kolikšna je verjetnost dogodka A, da kovanec pokrije stik dveh ploščic?

P(A)=82/102=0.64

Za uporabo je odločilna verjetnost, ‘izmerjena’ po statistični

definiciji. Klasična in geometrična definicija sta običajno

dobra približka.

Pogojna verjetnost

Primer Izvleček rastline digitalis je strupen, vendar lahko pomaga srčnim bolnikom. Ugotavljanje zastrupitve je zelo zahtevno. V neki raziskavi so primerjali koncentracijo digitalisa v krvi s prisotnostjo znakov zastrupitve.

K+/K-: visoka/nizka koncentracija digitalisa v krvi Z+/Z-: prisotnost/odsotnost znakov zastrupitve

relativne frekvence Verjetnost zastrupitve

P(Z+)=0.318

Verjetnost zastrupitve ob visoki koncentraciji digitalisa

P(Z+|K+)=0.185/0.289=0.640

Verjetnost nezastrupitve P(Z-)=0.682

Verjetnost nezastrupitve ob nizki koncentraciji digitalisa

P(Z-|K-)=0.578/0.711=0.848

A,B dogodka ( P(B)≠0 )

Pogojna verjetnost dogodka A pri pogoju B je

P(AB)

P(A|B)= ___________

P(B)

Pogojna verjetnost P(A|B) je delež dogodka A med poskusi, pri katerih se zgodi dogodek B.

Primer

Predpostavimo, da je verjetnost dežja (A) v oblačnem vremenu (B) enaka 0.4 in da je verjetnost oblačnega vremena 0.6. Tedaj je verjetnost, da bo deževalo P(A)=P(AB) = P(A|B).P(B)=0.4

. 0.6=0.24

PrimerIz škatle s petimi rdečimi in tremi modrimi kroglicami izvlečemo dve kroglici. Kolikšna je verjetnost, da sta iste barve?

? ?

M: prva kroglica je modra

R: prva kroglica je rdeča

A: druga kroglica je iste barve kot prva

baza

P(M)=3/8

P(R)=5/8

P(A|M)=2/7 P(A|R)=4/7

P(A)=6/56+20/56=13/28

formula o popolni verjetnosti

H1

H3

H2

H4

A

S pomočjo pogojne verjetnosti lahko izračunamo verjetnost dogodka, ki je rezultat dvostopenjskega poskusa:Izide na prvi stopnji razdelimo na nezdružljive dogodke H1,H2,...,Hn. Poznati moramo verjetnosti P(Hi) in pogojne verjetnosti P(A|Hi ). Tedaj je

)|()(...)|()()(...)(

)...())...(()(

nnn

nn

HAPHPHAPHPAHPAHP

AHAHPHHAPAP

111

11

)|()(...)|()()|()()( nn HAPHPHAPHPHAPHPAP 2211

H1,H2,...,Hn baza dogodkov

P(Hi|A)=P(AHi)/P(A)= P(A|Hi).P(Hi)/P(A)

Bayesova formula

Primer

Raziskave zanesljivosti poligrafov (detektorjev laži) kažejo, da naprava zazna lažen odgovor v 88% primerov in da zazna resničen odgovor v 86% primerov.

Ob testiranju večjega števila ljudi (npr. kandidatov za zaposlitev), na vprašanje, pri katerem velika večina (npr. 99%) nima razlogov lagati, poligraf pri enem od vprašanih zazna simptome lažnega odgovora. Kolikšna je verjetnost, da je vprašani govoril resnico?

L: vprašani laže

R: vprašani govori resnico

P: poligraf zazna laž

N: poligraf zazna resnico

P(L)=0.01

P(R)=0.99

P(P|L) =0.88 P(N|L) =0.12

P(N|R)=0.86 P(P|R)=0.14

P(R|P)=?

P(P|R).P(R) 0.14 . 0.99

P(R|P)= _________________________= _____________________________ = 0.94 P(P|R).P(R)+ P(P|L).P(L) 0.14 . 0.99 + 0.88 . 0.01

Verjetnost, da je vprašani govoril resnico, čeprav je poligraf zaznal laž, je 94%!

)()()|(

)|(AP

HPHAPAHP ii

i

A je neodvisen od B, če je P(A|B)=P(A).

A in B sta neodvisna ⇔ P(AB)=P(A).P(B)

P(A|B)=P(A) ⇔ P(AB)=P(A)P(B)

Primer Iz škatle, v kateri imamo 7 polnih in 3 prazne baterije naključno

vzamemo dve. Naj bo A dogodek, da je prva baterija polna, B pa dogodek, da je druga baterija polna. Ali sta dogodka A in B neodvisna?

P(B|A) )AP()A P(B|P(A)P(B|A)P(B)

)A P(B|) P(B|AP(A)

10

7

10

3

9

7

10

7

9

6

9

7

9

6

10

7

Dogodka A in B sta odvisna.

Primer• V sobi je n oseb. Kolikšna je verjetnost, da imata dve rojstni dan na isti dan?

Dogodek A: dve osebi imata rojstni dan na isti dan.

Nasprotni dogodek: vsi rojstni dnevi so različni.

Ai dogodek, da ima (i+1)-vi različen rojstni dan od prvih i;

Ai so medsebojno neodvisni ⇒

365

365 i)P(Ai

365

1365

365

363

365

364121121

)-n(APAPAPAAAP nn

)()...()()...(

365

1365

365

363

365

3641

)-n(-P(A)

23 oseb ⇒ P(A)>50%

32 oseb ⇒ P(A)>75%

47 oseb ⇒ P(A)>95%

Če vržemo dve kocki, dobimo za vsoto pik število med 2 in 12, vendar te vsote ne moremo vnaprej napovedati, saj je odvisna od slučaja. Podobno velja za število šestic v dveh metih.

Primeri količin odvisnih od slučaja:

• število potnikov mestnega avtobusa, ki izstopijo na postaji

• število metov potrebnih, da igralec z določene razdalje zadane koš

• število bonbonov v vrečki

• življenjska doba žarnice

• teža hlebca kruha

......Slučajna spremenljivka je funkcija, katere vrednosti so odvisne od slučaja.

Določa jo njena: zaloga vrednosti = nabor vrednosti, ki jih lahko zavzame, in porazdelitev = verjetnost, da zavzame eno ali več vrednosti iz zaloge

Slučajne spremenljivke

Primer

Pri metu dveh kock je možnih 36 različnih in enako verjetnih izidov. Če z V označimo vsoto pik, je pripadajoča porazdelitev verjetnosti:

36

67

36

586

36

495

36

3104

36

2113

36

1122

)P(V

)P(V)P(V

)P(V)P(V

)P(V)P(V

)P(V)P(V

)P(V)P(V

Vsi ostali izidi imajo verjetnost 0.

Funkcija pV(n) = P(V=n) je verjetnostna gostota slučajne spremenljivke V.

Slučajna spremenljivka X je diskretna, če zavzame končno ali največ števno mnogo vrednosti x1, x2, x3,...

Njena porazdelitev je povsem določena z gostoto pX(x)=P(X=x).

Običajno naštejemo le neničelne vrednosti: p(x1),p(x2),p(x3),...

Primeri diskretnih porazdelitev enakomerna porazdelitevenakomerna porazdelitev

• X zavzame vrednosti x1, x2,... xn

• pX (x)=1/n, če je x∈{x1, x2,... xn}

pX (x)=0, sicer

Število pik pri metu kocke je enakomerno porazdeljeno:

zaloga vrednosti je {1,2,3,4,5,6}, vse vrednosti imajo verjetnost 1/6.

110 i

ii xpxp )()( Velja:

binomska porazdelitevbinomska porazdelitev

Poskus ponovimo n-krat: naj bo vsakič verjetnost uspeha enaka p (in verjetnost neuspeha 1-p).

(npr. žogo vržemo 10-krat na koš; zadanemo z verjetnostjo 70%)

Slučajna spremenljivka B naj bo število uspešnih poskusov. Kako je porazdeljena?

(tj. kakšna je verjetnost, da bomo imeli k zadetkov?)

• Zaloga vrednosti spremenljivke B je {0,1,2,...,n} • Privzamemo, da so izidi poskusov medsebojno neodvisni.

Obstaja različnih zaporedij k uspešnih in (n-k) neuspešnih poskusov;

verjetnost vsakega zaporedja je pk(1-p)n-k .

k

n

n-kkB p)( p

k

nk) P(B(k) p

1

%.. . p 20200030706

106 46

)(npr. verjetnost, da koš zadanemo natanko 6-krat je

Porazdelitev spremenljivke B za n=10 in p=0.7:

binomska porazdelitev b(n,p)

b(20,0.4)

b(100,0.65)

Lastnosti binomske porazdelitve b(n,p):

značilna zvonasta oblika grafa

maksimum pri n.p (približno)

za velike n so vse verjetnosti zelo majhne ali celo zanemarljive

• tedaj je bolj smiselno verjetnosti opazovati

kumulativno: P(B ≤ k)

ali

intervalsko: P(j ≤ B ≤ k)

Primer

Žogo vržemo na koš 100-krat (verjetnost zadetka je 70%). Kolikšna je verjetnost, da bomo zadeli več kot 65-krat?

83703070100

10065100

66

100 .. . k

) B P(k

kk

računanje je zelo zamudno in numerično zahtevno

83.7%

Kaj je bolj verjetno: da bomo v 10 metih zadeli 10-krat ali v 100 metih več kot 80-krat?

geometrična porazdelitevgeometrična porazdelitev

Ponavljamo poskus z verjetnostjo uspeha p. Slučajna spremenljivka G je število poskusov, potrebnih za prvi uspeh. Kako je porazdeljena?

• Zaloga vrednosti spremenljivke G je {1,2,3,... }

• P(G=k)=p.(1-p)k-1

p=0.2

Poissonova porazdelitevPoissonova porazdelitev

Poissonova porazdelitev p(a)

• zaloga: {0,1,2,3,... }

• porazdelitev:

-ak

ek!a

kp )(

Če je a=n.p majhen, je Poissonova porazdelitev zelo dober približek za binomsko porazdelitev.

Uporaba:

modeliranje emisije -delcev v danem časovnem intervalu modeliranje časovnih vrst (vrste pred bančnimi okenci, gostota prometa, obremenitve telefonskega omrežja) modeliranje redkih nesreč v zavarovalništvu (npr. čebelji piki, padci pod tušem)

.......

Zvezne slučajne spremenljivke

Kadar je zaloga slučajne spremenljivke X neštevna (npr. življenjska doba žarnice), potem ne moremo našteti verjetnosti posameznih izidov in jim povrhu običajno sploh ne moremo pripisati pozitivne verjetnosti.

dx(x)pbXaPb

aX )(

V tem primeru opišemo porazdelitev s pomočjo funkcije pX(x), ki jo imenujemo gostota slučajne spremenljivke X.

Z njo računamo podobno, kot z diskretno gostoto, le da vsote nadomestimo z integrali:

P(a≤X ≤ b) = verjetnost, da X zavzame vrednost med a in b

(npr. da je življenjska doba žarnice med

a in b ur)

Za funkcijo pX(x) velja:

110

)()( iX xpxp in

Primeri zveznih porazdelitev

enakomerna porazdelitevenakomerna porazdelitev

sicer0

101 xp(x)

na [0,1], gostota:

sicer0

1bxa

abp(x)

na [a,b], gostota:

0 1

1

a b

ab1

eksponentnaeksponentna porazdelitev porazdelitev

xea

xp(x) -ax 0

00

Podobna Poissonovi; uporaba pri modeliranju življenjske dobe, modeliranju vpliva mamil na živčne receptorje, napovedovanju potresov...

a

Normalna porazdelitev Normalna porazdelitev N(a,N(a,))

2

2

1

2

1

σx-a

-e

πσp(x)podana z gostoto:

Primeri

zvonasta oblika

maksimum pri a

simetrična glede na a

gostota N(0,) za različne :

N(0,1) je standardizirana normalna porazdelitev;

njena gostota je 2

2

2

1 x

-e

π(x)

)σ

x-a(

σ(x)pN(a,σ

1) poljubno normalno porazdelitev

lahko izrazimo s pomočjo standardizirane

Pri kumulativni verjetnosti je težava, da integral gostote ni elementarna funkcija. Pomagamo si s tabelo za funkcijo

dteπ

Φ(x)x t

-

0

2

2

2

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0.0 0.0000 0.0039 0.0079 0.0119 0.0159 0.0199 0.0239 0.0279 0.0318 0.03580.1 0.0398 0.0437 0.0477 0.0517 0.0556 0.0596 0.0635 0.0674 0.0714 0.07530.2 0.0792 0.0831 0.0870 0.0909 0.0948 0.0987 0.1025 0.1064 0.1102 0.11400.3 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1330 0.1368 0.1405 0.1443 0.1480 0.15170.4 0.1554 0.1590 0.1627 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1843 0.1879

0.5 0.1914 0.1949 0.1984 0.2019 0.2054 0.2088 0.2122 0.2156 0.2190 0.22240.6 0.2257 0.2290 0.2323 0.2356 0.2389 0.2421 0.2453 0.2485 0.2517 0.25490.7 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2733 0.2763 0.2793 0.2823 0.28520.8 0.2881 0.2910 0.2938 0.2967 0.2995 0.3023 0.3051 0.3078 0.3105 0.31320.9 0.3159 0.3185 0.3212 0.3238 0.3263 0.3289 0.3314 0.3339 0.3364 0.3389

1.0 0.3413 0.3437 0.3461 0.3484 0.3508 0.3531 0.3554 0.3576 0.3599 0.36211.1 0.3643 0.3665 0.3686 0.3707 0.3728 0.3749 0.3769 0.3789 0.3809 0.38291.2 0.3849 0.3868 0.3887 0.3906 0.3925 0.3943 0.3961 0.3979 0.3997 0.40141.3 0.4031 0.4049 0.4065 0.4082 0.4098 0.4114 0.4130 0.4146 0.4162 0.41771.4 0.4192 0.4207 0.4221 0.4236 0.4250 0.4264 0.4278 0.4292 0.4305 0.4318

1.5 0.4331 0.4344 0.4357 0.4369 0.4382 0.4394 0.4406 0.4417 0.4429 0.44401.6 0.4452 0.4463 0.4473 0.4484 0.4494 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.45441.7 0.4554 0.4563 0.4572 0.4581 0.4590 0.4599 0.4607 0.4616 0.4624 0.46321.8 0.4640 0.4648 0.4656 0.4663 0.4671 0.4678 0.4685 0.4692 0.4699 0.47061.9 0.4712 0.4719 0.4725 0.4731 0.4738 0.4744 0.4750 0.4755 0.4761 0.4767

2.0 0.4772 0.4777 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4807 0.4812 0.48162.1 0.4821 0.4825 0.4829 0.4834 0.4838 0.4842 0.4846 0.4849 0.4853 0.48572.2 0.4860 0.4864 0.4867 0.4871 0.4874 0.4877 0.4880 0.4883 0.4886 0.48892.3 0.4892 0.4895 0.4898 0.4900 0.4903 0.4906 0.4908 0.4911 0.4913 0.49152.4 0.4918 0.4920 0.4922 0.4924 0.4926 0.4928 0.4930 0.4932 0.4934 0.4936

2.5 0.4937 0.4939 0.4941 0.4942 0.4944 0.4946 0.4947 0.4949 0.4950 0.49522.6 0.4953 0.4954 0.4956 0.4957 0.4958 0.4959 0.4960 0.4962 0.4963 0.49642.7 0.4965 0.4966 0.4967 0.4968 0.4969 0.4970 0.4971 0.4971 0.4972 0.49732.8 0.4974 0.4975 0.4975 0.4976 0.4977 0.4978 0.4978 0.4979 0.4980 0.49802.9 0.4981 0.4981 0.4982 0.4983 0.4983 0.4984 0.4984 0.4985 0.4985 0.4986

3.0 0.4986 0.4986 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989

Ker je funkcija xliha, so tabelirane le njene vrednosti za pozitivne x.

(1.02)=0.3461

(-0.89)=-(0.89)=-0.3132

Primer Slučajna spremenljivka X je porazdeljena po zakonu N(1.5,0.2). Kolikšna je verjetnost, da X zavzame vrednost med 1 in 1.5?

493705252051120

511

20

5151 .).().)-() ()).X P(..-

..-. ((

Če je X standardizirano normalna N(0,1), je

)()()( 1221 xxxXxP

Če pa je X normalna N(a,), je

)()()(

axax

xXxP 1221

(dobimo z uvedbo nove spremenljivke v integral)

X porazdeljena po N(a,):

682601211 .)()-)- )σ

a-σ-σ)-

σσ-aa

)σaX P(a-σ

((((

954402222 .)()σaXσ P(a-

997203233 .)( )σaXσ P(a-

- 2-2 3-3

68%

95%

99.5%

Primerjava binomske, Poissonove in normalne porazdelitve

b(100,0.02)

P(2)

N(2,1.4)

b(50,0.4)

P(20)

N(20,1.4)

Normalna porazdelitev je običajno boljši približek za binomsko kot Poissonova.

Ko je produkt n.p majhen (in n dovolj velik) pa je Poissonov približek boljši.

Povprečna vrednost

X diskretna, vrednosti xk, gostota p(xk) X zvezna, gostota p(x)

k

kk xpxE(X) )( povprečna vrednost

spremenljivke X

x p(x) dxE(X)

PrimerRuleta ima številke od 1 do 36 ter še 0 in 00. Če vložiš 1 Euro na sode, dobiš ali zgubiš 1 Euro glede na to ali kroglica pade na sodo oziroma liho številko.

Dobiček X je +1 z verjetnostjo 18/38 in -1 z verjetnostjo 20/38.

Povprečni dobiček je

19

1

38

201

38

181 )(E(X)

Če vložiš 1 Euro na izbrano številko (npr. 25) dobiš 36 Eurov če kroglica pade na 25, v nasprotnem pa zgubiš 1 Euro.

Povprečni dobiček je

38

1

38

371

38

136 )(E(X)

xe

xp(x) x- 0010

00010..

PrimerŽivljenjska doba žarnice je porazdeljena eksponentno. Kolikšna je, v povprečju, njena življenjska doba?

ur 100010

1

010

1

010

1

010

1010

010

0

010

0

010

0

010

0

010

..

...

.

.

..

.

e-

dx e

x e-

dxx eE(X)

x-

x-x-

x-

V vodiču smo prebrali, da je junija povprečna maksimalna dnevna temperatura v Rimu 77oF. Kolikšno je povprečje v Co?

)(TT oo FC 329

5

Povprečna temeperatura je 25oC.

Lastnosti povprečne vrednosti

bE(Y)aE(X)bY)E(aX

2532779

532

9

532

9

5

)()T(E)(TETE ooo FFC )()(

Za povprečno vrednost velja:

Poznamo , zanima nas :

)( oFTE )( oCTE

Razpršenost

Mera za odstop od povprečne vrednosti:

k

kk )p(xm)(xD(X) 2

p(x) dx(x-m)D(X) 2

m=E(X)

22222222 222 mm)E(XmmE(X))E(X)mmXE(X)m)E((XD(X)

računska formula:

2))(( XEXED(X) razpršenost (varianca, disperzija)

22 )()( XEXED(X)

D(X)σ(X) standardni odklon slučajne spremenljivke X

σ(X)ab)σ(aX

D(X)ab)D(aX

2

536

21

6

16

6

15

6

14

6

13

6

12

6

11 .)( XE

6

91

6

136

6

125

6

116

6

19

6

14

6

112 )(XE

92212

35

6

21

6

912

.)(

XD

Primer Kako je razpršeno število pik pri metu kocke?

Primer Standardni odklon pri metu kocke je 711922 ..

Lastnosti razpršenosti in standardnega odklona

enakomerna

n,...,,21

]),[()( baxxpab

1

21n

1212 n

1212 n

binomska b(n,p) n,...,,, 210 knk ppk

nkp

)()( 1 np )( pnp 1 )( pnp 1

geometrijska ,...,, 321 11 kppkp )()( p1

2

1

pp

pp1

Poissonova P(a) ,...,, 210a

ka ekp

k !

)( a a a

enakomerna

],[ ba 2ba

12

2)( ab32

)( ab

eksponentna ),[ 0 axaexp )(

nkp 1)(

a1

a1

2

1a

normalna N(a,) ),( 2

21

21

ax

exp )( a 2

porazdelitev zaloga gostota E(X) D(X) (X)

Povprečna vrednost in razpršenost nekaterih porazdelitev

dis

kretn

ezv

ezn

e

Zakon velikih števil

Pri večjem številu poskusov je odklon od povprečja manj verjeten.

Primer

Igralec zadane v povprečju 70% metov na koš. Kaj je bolj verjetno:

da bo v 10 metih zadel 10-krat ali v 100 metih več kot 80-krat?

P(10 zadetkov iz 10 poskusov)=0.710=0.028

008803070100100

81

100 .. . kk

kk

P(več kot 80 zadetkov iz 100 poskusov)=

Prva možnost je trikrat (!) bolj verjetna. Zakaj je tako?

Statistika

Formulacija problema: opazujemo neko množico (končno ali neskončno), ki ji pravimo populacija;

(npr. prebivalci Slovenije, izdelki neke tovarne, bolniki z neko boleznijo, delnice na borzi) vsak element populacije ima neko merljivo lastnost X;

(npr. starost, kakovost izdelka, učinek zdravila, cena delnice)

vrednost X je zaradi nekega razloga (velikost populacije, način ugotavljanja,...)

znana le na delu populacije, ki mu pravimo vzorec;

Osnovni problem statistike:

Kaj lahko povemo o lastnosti X na podlagi njenih vrednosti na danem vzorcu?

V nekaterih primerih skušamo reprezentativnost doseči z dirigiranim vzorčenjem (npr. onesnaženje običajno merijo na stalnih lokacijah). Obstaja nevarnost, da je takšno vzorčenje pristransko.

Če je vzorec naključno izbran, so vrednosti X na vzorcu slučajna spremenljivka. Enako velja za vse količine (povprečja, standardni odkloni...), ki jih lahko izračunamo iz teh vrednosti.

Idealni vzorec je reprezentativen, tj. značilnosti X na vzorcu se ujemajo z značilnostmi na celotni populaciji. Pri naključnem vzorcu lahko določimo verjetnost, da je reprezentativen.

Omejili se bomo na primere, ko je izbira vzorca povsem naključna. To pomeni, da vzorec izbiramo zaporedoma in pri tem ima vsak element populacije enako verjetnost, da se znajde v vzorcu.

Vzorčenje

Populacijski parametri:

velikost populacije: N

vrednosti X na populaciji:

x1,x2,...,xN

N

kkx

Nm

1

1

populacijsko povprečje:

mxN

σN

kk

1

22 1

populacijska razpršenost:

Vzorčni parametri:

velikost vzorca: n

vrednosti X na vzorcu:

X1,X2,...,Xn

vzorčno povprečje:

n

kkX

nX

1

1

vzorčna razpršenost:

XXn-

sn

kk

1

22

1

1

Opisovanje podatkov in računanje parametrov

rezultati kolokvija

40196848592831302525363941886660573794449098592992556443545287343674618054

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1-10 11-20 21-30 31-40 41-50 51-60 61-70 71-80 81-90 91-100

0

1

2

3

4

5

6

1-5 6-10 11-15 16-20 21-25 26-30 31-35 36-40 41-45 46-50 51-55 56-60 61-65 66-70 71-75 76-80 81-85 86-90 91-95

0

1

2

3

1 11 21 31 41 51 61 71 81 91

1622

9753

.

.

s

X

9521

8352

.

.

s

X

9321

1753

.

.

s

Xintervali dolžine 5

intervali dolžine 10

Običajno tvorimo 10-20 kategorij. Zaželjeno je, da je v večini kategoriji vsaj 5 enot. Pri računanju povprečja in razpršenosti upoštevamo sredine intervalov.

Intervalsko ocenjevanjeVzorčno povprečje in razpršenost sta približka za populacijsko povprečje in

razpršenost. Primer

simulirali smo 10 zaporedij po 100 metov kocke in dobili naslednjo tabelo:1.simulacija

5 5 6 3 2 6 4 6 4 3 5 4 5 4 2 6 6 1 4 2 6 6 5 2 5 4 3 5 1 5 6 6 3 2 2 6 6 6 1 3 3 6 4 1 4 1 3 6 4 1 6 2 1 2 1 4 6 5 3 1 1 4 6 1 4 5 4 6 4 2 3 6 3 3 4 2 6 3 2 6 4 5 3 1 1 4 1 6 1 6 3 5 1 1 1 3 2 2 2 2

2.simulacija 1 4 6 4 5 4 6 2 6 1 4 4 2 4 6 2 1 2 3 6 2 1 3 1 5 2 6 5 1 3 2 1 1 1 5 3 5 3 1 6 5 2 4 5 2 6 1 3 5 4 5 4 1 6 1 6 4 1 2 2 4 4 6 2 5 3 2 3 6 5 2 5 4 5 3 3 1 2 4 2 3 1 2 6 4 4 6 5 4 4 3 4 5 2 3 3 2 6 6 4

3.simulacija 4 5 5 4 6 6 3 5 6 2 2 5 5 4 6 1 6 4 5 5 4 1 5 2 6 3 3 5 5 4 4 2 4 5 4 4 2 6 6 5 2 6 4 4 5 5 6 1 2 5 2 5 6 6 6 3 6 4 4 2 5 1 6 3 4 1 3 5 2 1 3 1 3 5 2 2 2 5 5 4 6 6 4 6 5 3 1 3 6 1 4 5 4 4 5 5 3 2 4 1

4.simulacija 6 1 5 6 4 2 6 5 3 3 4 1 2 3 5 4 2 2 3 6 6 5 2 6 1 1 1 6 2 1 5 1 5 3 4 1 6 2 6 3 2 6 2 6 1 6 6 1 1 2 3 3 5 6 5 2 5 1 1 3 1 6 5 2 1 1 6 1 6 2 6 6 2 5 2 2 5 4 3 6 5 6 4 5 2 6 1 6 4 4 1 1 3 1 3 1 1 5 5 1

5.simulacija 2 3 3 5 5 1 4 4 4 1 6 6 6 4 3 5 6 3 3 5 5 2 3 5 3 3 6 2 5 4 2 4 2 4 2 5 4 5 1 1 2 3 5 4 4 1 4 5 4 4 2 5 2 5 4 5 4 1 3 5 6 4 5 1 1 2 3 4 6 2 5 6 5 1 6 6 5 5 1 4 5 4 6 4 2 5 2 2 5 2 1 2 5 2 4 5 4 2 6 3

6.simulacija 1 4 1 2 3 1 6 1 3 6 6 5 6 1 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 6 3 5 5 4 1 2 6 3 2 3 4 1 6 1 5 1 1 4 5 1 1 2 4 1 2 4 1 5 5 4 6 6 5 5 5 1 1 3 2 6 4 1 5 4 1 1 2 5 6 4 6 5 6 4 2 3 4 4 1 3 6 4 5 1 4 1 6 1 3 1 3 3 5 5

7.simulacija 4 2 4 4 2 5 5 2 3 1 1 6 4 3 1 6 6 6 4 1 6 2 4 5 4 5 4 1 5 6 3 2 3 6 4 2 3 4 6 5 1 5 4 4 5 5 2 4 5 1 5 2 2 1 1 3 3 4 2 5 5 2 4 3 3 5 5 3 3 5 2 5 1 1 4 3 5 4 2 2 6 1 4 6 3 5 2 2 2 2 3 6 6 4 6 2 4 3 4 1

8.simulacija 2 6 2 2 5 4 4 1 3 4 5 2 1 6 6 1 5 4 1 1 4 1 6 3 6 5 5 6 5 3 5 1 6 3 1 4 2 1 6 4 3 5 3 4 6 5 2 3 4 3 1 2 3 2 4 1 4 5 1 4 2 6 2 4 2 4 3 6 2 4 3 1 5 5 6 5 1 2 5 2 5 1 1 2 6 3 1 3 6 2 3 5 3 3 6 3 4 1 4 4

9.simulacija 2 5 5 3 2 3 2 1 3 5 3 5 6 6 3 3 2 5 2 3 6 2 2 6 5 4 6 6 3 2 4 2 1 6 5 2 3 2 2 1 1 6 3 1 1 4 1 2 4 2 5 2 5 2 6 4 6 1 3 5 1 5 1 4 4 2 3 5 6 2 2 3 2 4 5 6 3 5 6 4 3 3 2 5 6 3 2 3 3 4 6 1 1 4 2 2 5 1 6 4

10.simulacija 5 5 3 2 6 4 2 4 5 4 1 3 3 4 1 3 4 1 6 4 1 1 4 6 3 5 1 2 5 6 4 3 6 3 1 1 6 5 1 1 5 5 3 3 1 2 3 6 4 5 2 6 1 5 2 5 5 2 6 4 4 3 4 1 3 5 6 1 3 3 2 6 4 5 4 5 2 2 1 2 4 3 6 4 2 5 4 3 2 2 5 3 6 2 4 3 4 4 3 5

3.59 1.800

3.47 1.687

3.94 1.605

3.44 1.930

3.68 1.567

3.28 1.789

3.53 1.602

3.43 1.692

3.42 1.668

3.50 1.609

X s

Kolikšna sta povprečna vrednost in standardni odklon pri metu kocke?

...lahko pa določimo interval, za katerega je zelo

verjetno, da vsebuje iskani populacijski parameter.

Osnovno vprašanje:

kako na podlagi vzorčnih parametrov oceniti dejanske populacijske parametre?

(pri metu kocke je teoretično povprečje 3.5, standardni odklon pa 1.707)

Pri numeričnih metodah določimo približek in oceno za napako približka. Dejanska vrednost je nekje na intervalu okoli približka.

Na podlagi vzorca ni mogoče sklepati o parametrih populacije

s 100% zanesljivostjo...,

Velja: je normalno porazdeljena;

je porazdeljena po N(0,1).

X .n

σ)Xa, σ)XE( (

nσ-aX

95440222 .)Φ(nσ-aX

P

%.

n

σXa

n

σXP 4495

22

Z več kot 95% verjetnostjo lahko zagotovimo, da

je populacijsko povprečje na intervalu .

n

σX,

n

σX

22

XNa vzorcu velikosti n dobimo vrednosti X1,X2,...,Xn in izračunamo njihovo povprečje

Naj bo količina X normalno porazdeljena na celotni populaciji.

Privzamimo, da je standardni odklon znan, povprečje a pa ne.

997203233

.)Φ(n

σXa

n

σXP

Podobno dobimo:

Z več kot 99.7% verjetnostjo je populacijsko

povprečje vsebovano v intervalu .

n

σX,

n

σX

33

Verjetnost, s katero se iskani parameter nahaja na nekem intervalu je stopnja zaupanja.

Pripadajoči interval je interval zaupanja.

Večja stopnja zaupanja ali večja razpršenost ⇒ širši interval zaupanja.

Večji vzorec ⇒ ožji interval zaupanja.

Splošni postopek za določanje intervalazaupanja za populacijski parameter u:

1) določimo vzorčni parameter ū, ki je primerni približek za u

(npr. za povprečje ali s 2 za razpršenost)

2) določimo porazdelitveni zakon vzorčnega parametra ū

(npr. normalni, binomski,...; to je najzahtevnejši korak - praviloma se omejimo na standardne primere)

3) izberemo stopnjo zaupanja

(običajno =95% ali =99%)

4) na podlagi porazdelitve in vrednosti vzorčnega parametra ū na danem vzorcu določimo interval zaupanja [U1,U2] za u, ki pripada izbrani stopnji zaupanja

( tako, da velja P(U1 ≤ u ≤ U2) = ).

X

Primer

Na podlagi simulacij določimo intervale zaupanja s 95% stopnjo zaupanja za povprečno število točk pri metu kocke.

1) populacijski parameter je povprečje , približek pa vzorčno povprečje

2) vzorec je sorazmerno velik (n=100), zato smemo privzeti, da je porazdeljen normalno po N(,0.8)

3) pri stopnji zaupanja =95% je rešitev enačbe

P(|Z| ≤ z)=0.95 (oziroma (z)=0.4750)

z0.95=1.96 (preberemo iz tablic)

4) Iz sledi , torej je

interval zaupanja

X

X

(standardizirano povprečje pa je porazdeljeno po N(0,1))10080.-μX

Z

961100 .s-μX

100

961100

961s

.Xμs

.-X

100

961100

961s

.X,s

.-X

Podobno dobimo z0.99=2.58 in interval

zaupanja na stopnji zaupanja 99% je

100

582100

582s

.X,s

.-X

X s

3.59 1.800 [3.237,3.942] [3.125,4.054]

3.47 1.687 [3.139,3.800] [3.034,3.905]

3.94 1.605 [3.625,4.254] [3.495,4.354]

3.44 1.930 [3.061,3.818] [2.941,3.938]

3.68 1.567 [3.372,3.987] [3.275,4.084]

3.28 1.789 [2.929,3.630] [2.818,3.741]

3.53 1.602 [3.215,3.844] [3.116,3.943]

3.43 1.692 [3.098,3.761] [2.993,3.866]

3.42 1.668 [3.092,3.747] [2.989,3.850]

3.50 1.609 [3.184,3.815] [3.084,3.915]

interval zaupanja

95% 99%

100100

szX,

s-zX

Pri manjših vzorcih in neznanem standardnem odklonu privzetek o normalni porazdeljenosti ni več upravičen. Običajno dobimo za približek porazdelitev, ki je odvisna od velikosti vzorca.

Primer

Količina X je porazdeljena normalno po N(a,), pri čemer sta oba parametra neznana.

Dobiti želimo interval zaupanja za populacijsko povprečje a.

Dan je vzorec velikosti n: parameter a ocenimo z , parameter 2 pa z s2 in tvorimo

novo spremenljivko

Velja: T je porazdeljena po t.im. Studentovem zakonu S(n-1)

Nadaljevanje je kot prej: za izbrano stopnjo zaupanja iz tabel določimo t,, da velja

P(|T| ≤ t)=

Interval zaupanja za a na stopnji zaupanja je

X

ns-aX

T

n

stX,

n

s- tX αα

Studentova porazdelitev S(n-1) ima gostoto22

11

n-

n n-x

kp(x)

...... .

)x(

): p(x)S(

)x(

): p(x)S(

)x(π): p(x)S(

2

52

2

32

2

3

363

2

12

1

11

S(1) S(2) S(3) S(4) ... N(0,1)

Tabela majhnih vrednosti porazdelitve S(n)

parameter n(‘stopnje prostosti’)

mejna vrednost na stopnji zaupanja 1- ( P(|T| ≤ t)=1- )

95% 99%

Intervalska ocena za standardni odklon pri normalni porazdelitvi

Populacijsko razpršenost 2 primerjamo z vzorčno s2:

Velja: 2 je porazdeljena po

zakonu ‘hi-kvadrat’ 2(n-1)

Porazdelitvena gostota ni simetrična,zato za izbrano stopnjo zaupanja poiščemo 2

a in 2b , da velja

P( 2 ≤ 2

a )=P( 2 ≥ 2

b )=1-/2

⇒ P(2a ≤ 2

≤ 2b )=

Interval zaupanja za 2 na stopnji zaupanja je

2

22 1

σs

)(nχ

2a 2

b

2

2

2

2 11

ab χsn

,χ

sn

Hi-kvadrat porazdelitev 2(n) ima gostoto (x > 0)

.....

ex): p(x)(χ

exπ

): p(x)(χ

e): p(x)(χ

x

e

π): p(x)(χ

x-

x-

x-

x-

22

22

22

22

4

14

2

13

2

12

2

11

21

2

x-

n

n exk p(x)

Za velike n (n > 30) je ), N( n- -χ 10122 2

Tabela majhnih vrednosti porazdelitve 2(n)

parameter n(‘stopnje prostosti’)

mejna vrednost 2

( P( 2 ≥ 2

)= )

Preskušanje statističnih domnev

Statistična domneva je trditev o porazdelitvenem zakonu slučajne spremeljivke, ki jo želimo potrditi ali ovreči na podlagi vrednosti, ki jih zavzame na nekem vzorcu.

parametrične domneve

(trditve o parametrih znanega porazdelitvenega zakona, npr. Poissonovo porazdeljena spremenljivka ima povrečje a)

neparametrične domneve

(trditve o naravi porazdelitvenega zakona, npr. spremenljivka je normalno porazdeljena)

Domneva je enostavna, če v celoti določa porazdelitev (tip in parametre), sicer pravimo, da je sestavljena.

(npr. če H0 trdi, da je porazdelitev Poissonova z neznanim parametrom - H1 pa, da ni Poissonova, sta obe sestavljeni)

Omejili se bomo na nekaj značilnih primerov preskušanja parametričnih domnev, ko je vsaj ničelna domneva enostavna.

primerjamo dve domnevi:

H0: ničelna domneva in H1: alternativna domneva

(npr. H0 trdi, da porazdelitev ustreza zakonu P(2), H1 pa, da ustreza zakonu P(3.5))

Primer

Leta 2003 je bilo v Sloveniji 17321 živorojenih otrok, od tega 8930 dečkov in 8391 deklic. Zanima nas, ali so te številke v nasprotju s privzetkom, da je rojstvo dečka enako verjetno kot rojstvo deklice.

Za slučajno spremenljivko X vzamemo število rojstev dečkov. Privzeti smemo, da je X porazdeljena po binomskem zakonu b(n,p).

Za H0 vzamemo enostavno domnevo, da je pri tem p=0.5, za alternativo H1 pa sestavljeno domnevo, da je p > 0.5.

Izberemo majhno število (npr. 0.05 ali 0.01) in poiščemo kritično vrednost c,da je pri pogoju p=0.5 verjetnost

P(X > c)=.

Če je število dečkov večje od c, bomo H0 zavrnili, v nasprotnem primeru pa ne.

je značilnost preskusa

. c ..

.c .

..c

Φ

..

.cΦ)cP(X)cP(X

...

...

587686518065

58660450

8065

58660

0508065

58660

2

111

050050050

050050050

Binomsko porazdelitev b(17321,0.5) aproksimiramo z N(a,), kjer je a=17321.0.5=8660.5, 2=17321.0.5.(1-0.5)=4330.25 in =65.80. Za značilnost preskusa vzamemo =0.05.

Ker je dejanska vrednost (8930) večja od c0.05, ničelno domnevo zavrnemo.

Pri 1% značilnosti preskusa bi dobili c0.01=8813.5, torej bi domnevo zavrnili tudi pritem ostrejšem preskusu.

Enostavna parametrična domneva u=u0 ima tri alternativne parametrične domneve:

u > u0

u < u0

u ≠ u0

Za prvo in drugo alternativo pravimo, da sta enostranski, za tretjo pa, da je dvostranska.

u0 c

sprejmemo zavrnemo

c u0

zavrnemo sprejmemo

c1 u0 c2

zavrnemo sprejmemo zavrnemo

Primer Pri preskušanju trdnosti nekega materiala je smiselna enostranska alternativa, saj nas ne moti, če je le-ta trdnejši kot pričakujemo. Pri preskušanju odstopov velikosti vijaka glede na matico pa raje oblikujemo dvostransko alternativo.

Z porazdeljena po N(0,1) - kako določimo c?

dvostranski preskus:

enostranski preskus:

2

1211

αc Φ cΦ )cZP()cZP(α αααα

-αc Φ cΦ )cP(Z)cP(Zα αααα 2

1

2

111

2

1

2

1 αc Φ cΦ)cP(Zα ααα

Podobno ravnamo pri drugih preskusih. Pri t-testu tvorimo

in upoštevamo, da je T porazdeljen po zakonu S(n-1).

Kritične vrednosti za dvostranski poskus pri značilnosti so v (n-1)-vi

vrstici in stolpcu, ki ustreza .

Kritične vrednosti za enostranski poskusa pa so v stolpcu, ki ustreza .

ns-aX

T

2

α

Primer

Povprečje 10 meritev gostote neke snovi nam je dalo 1.35 g/cm3, čeprav bi teoretično pričakovali gostoto 1.2 g/cm3. Na podlagi izkušenj vemo, da je pri tovrstnem merjenju standardna napaka =0.25. Ali na podlagi tega lahko zavrnemo H0(=1.2 g/cm3)? Značilnost preskusa naj bo 5%.

1.) H1(≠1.2) (dvostranski preskus)

89110250

21351.

...

nσ-ρX

Z

. c .cΦ .. 9614750 050050 Ničelne domneve ne zavrnemo.(testna vrednost je manjša od kritične)

2.) H1( > 1.2) (enostranski preskus)

. c .cΦ .. 651450 050050 Ničelno domnevo zavrnemo.(testna vrednost je večja od kritične)

Pri sestavljeni alternativi lahko manj verjetni del alternative zmanjša možnost za izključitev ničelne domneve.

Odvisna vzorca Bolnik Število dodatnih ur spanja

X (zdravilo A) Y (zdravilo B) 1 1.9 0.7 2 0.8 -1.6 3 1.1 -0.2 4 0.1 -1.2 5 -0.1 -0.1 6 4.4 3.4 7 5.5 3.7 8 1.6 0.8 9 4.6 0.0 10 3.4 2.0

PrimerNa bolnikih so preskušali vpliv dveh zdravil (A in B) proti nespečnosti. Ali lahko na podlagi podatka o dodatnem številu ur spanja sklepamo o tem, da je eno zdravilo bolj učinkovito od drugega?

Privzemimo, da imamo rezultate vpliva obeh zdravil na istih bolnikih.

(parni t-test)

Tvorimo razliko Z=X-Y, za katero lahko privzamemo, da je porazdeljena normalno, po zakonu N(a,).

Primerjamo H0(a=0) proti H1(a≠0).

Z Z2

1.2 1.44 2.4 5.76 1.3 1.69 1.3 1.69 0.0 0.00 1.0 1.00 1.8 3.24 0.8 0.64 4.6 21.16 1.4 1.96 15.8 38.58

231511

5812 .,

.

s.s

Z

06410231

0581.

..

t

0642620250 ... t

Pri 95% stopnji zaupanja domnevo, da sta zdravili enakovredni zavrnemo.