MATEMATIKAI PARADOXONOK

KPSZTI2011. NOV. 11.

A PARADOXON ÉRTELMEZÉSE

• Önellentmondás:– hétköznapi: „Most hazudok.” (még jobb: „Most őszinte

voltál?” – bár ez nem ellentmondás, csak eldönthetetlen)– halmazelméleti: katona borbély– Mérő László: „Eben a mondatban harom hiba van.”

• Meghökkentő eredmény– Logikai: Minden krétai hazudik – mondja egy krétai.– Infinitezimális: nyílvessző és a céltábla– Statisztikai/valószínűségi: ezekről lesz szó

10 paradoxon1. Születésnap2. Simpson3. Szerencsejátékok4. Monty Hall5. Választási6. Jákob és Lábán7. Bertrand8. Titkárnő-házasodási9. Kockázási

9 paradoxon – 9 matekóra

• Egyszerűek: alap matek• Meglepőek• Célközönség: mérnökpalánták

TITKÁRNŐ-PARADOXON

(1966)

A feladat

titkárnői álláshirdetésre sok a jelentkező nincs idő mindegyiket meghallgatni

Hány jelöltet elég behívni interjúra, hogy a lehető legjobbat vegye föl a cég?

Konkrét feladat

10 jelentkező5 jelöltet már elutasítottunkmegállapodás: a következőt felvesszük, aki jobb minden korábbinál

Mekkora a valószínűsége, hogy lesz ilyen?

DOLLY

Ő a legjobbBaj lehet: korán döntünk (ál Dolly)

pl. a 7. jobb, mint az első 5, de Dolly – aki még jobb – csak a 8. lesz

A korai döntést ki kell zárni

Hányadik Dolly?

Dollyt ál kizárni kezdjük itt 101

657 )(p

101

758 )(p

101

859 )(p

101

9510 )(p

1016 )(p

összesen

37% annak a valószínűsége, hogy a felét elutasítva és a következő legjobbat választva az összes közül a legjobbra találunk.

373091

81

71

61

51

105

109876

,)(

)()()()()(

pppppp

A feladat módosítása és általánosítása

Ha az első 2 titkárnő elutasítása után döntünk:

%,)()( 63691

81

71

61

51

41

31

21

1022 p

Ha n jelölt közül az első k elutasítása után döntünk:

)......(),(1

12

11

11

nnkkn

knkp

Hány jelöltet utasítsunk el?

n k p10 1 28,3 %10 2 36,6 %10 3 39,9 %10 4 39,8 %10 5 37,3 %10 7 26,5 %10 9 10 %

A p(k,10) grafikon

Van-e maximuma a p(k,n) függvénynek?

Van (emelt szintű matek):

371 %e

p

esetén.

371éspedig

%en

k

A megoldás

100 jelentkező közül az első 37-et kell elutasítani, majd ezt követően az első olyat felvenni, aki jobb az első 37-nél

VAGY ha nincs ilyen, akkor

a 100.-at

Gyakorlati alkalmazhatóság

• Nyilván nem így választunk titkárnőt (nem hívunk be mindenkit, nem mondunk rögtön nemet, önéletrajz stb.)

• Matterhorn esete

Házasodási probléma (1984)

A feladat átfogalmazása:az első valahány kérő után igent mondunk

(magyar szakirodalom: Szindbád-probléma)

Baj: nem tudjuk előre a kérők számát

Udvarló-idő függvény

Feltételezett görbe esetén:görbe alatti terület 37 % - ánál kell most is dönteni

SIMPSON-PARADOXON

(1951)

1. Diszkriminációs probléma

Egy nagyvállalatot diszkriminációvalvádolnak feminista szervezetek, miszerintkisebb százalékban vettek fel nőt, mint férfit.

Védekezésképpen a cég nyilvánosságrahozza két áruházuk kimutatását, melyben azáll, hogy több nőt vettek fel, mint férfit.

Győr-soproni nők és férfiak

férfiak nők

jelentkezők felvettek % jelentkezők felvettek %

Győr 500 200 40% 100 50 50%

Sopron 120 10 8% 100 10 10%

Összes 620 210 34% 200 60 30%

Mitől paradoxon?Külön-külön: nők > férfiak („elnőiesedik a szakma”)Együtt: férfiak > nők (feminista érv)

Mikor léphet föl?Ha egy csoportot kétféleképpen is felbontunk (Győr-Sopron, ill. férfiak-nők) két vagy akár több részre

Leírás: Simpson (1951)Valóság: Berkeley-egyetem (70-es évek)

női egyenjogúsági kérdés

Mi az oka?Most: egyenetlen volt a jelentkezés

Győr:250 hely, 600 jelentkező2,4-szeres túljelentkezésA jelentkezők 17%-a nő

Sopron:20 hely, 220 jelentkező11-szeres túljelentkezésA jelentkezők 45%-a nő: „bátrabbak” voltak asoproni nők

2. H1N1-probléma

Nem oltatta be magát Beoltatta magát

összesen nem fertőződött % összesen nem fertőződött %

férfiak 500 200 40% 100 50 50%

nők 120 10 8% 100 10 10%

Összes 620 210 34% 200 60 30%

Mitől paradoxon?

Nyilván nem reprezentatív a minta:férfi (500) > nő (120), aki nem oltatta be magátbeoltott (620) > nem beoltott (200)

Férfinak és nőnek egyaránt megéri, de„embernek” nem! (Orosz Gyula)

Példagyár

A nem A

összes rész % összes rész %

X n 200 * 100 50 50%

Y 120 10 8% 100 10 10%

Összes n+120 210 * * 200 60 30%

Mekkora lehet n?

n

n

12021030

50200

,

,

Ahonnan 400 < n < 580 adódik.

Koordináta-rendszer

Meredekség: felvételi arány

SZÜLETÉSNAP-PARADOXON

Alapfeladat:

Hány fős társaság esetén lesz valószínűbb az, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja?

Tippelj!

1. segédfeladat:

Hány fő esetén lesz biztos, hogy lesz két olyan ember, akinek egy napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

Skatulyaelv alapján nyilván: 366 fő esetén

2. segédfeladat:

Egyszerűsítsük le a feladatot egy hétre:Hány fő esetén lesz biztos, hogy a hét ugyanazon napjára (hétfő, kedd stb.) esik két ember születésnapja?

Hasonlóan, nyilván: 8 fő esetén

3. segédfeladat

Mi a valószínűsége annak, hogy 6 fő közül 2-nek ugyanarra a napra (a hét ugyanazon napjára) esik a születésnapja?

Értelmezés: legalább 2-nek

77777777

Megoldás

kedvező eset: összes – rossz születhet) nap bármelyik (bárki 7 :összes 6

születik) napon más (mindenki 1234567 :rossz

%)( 96117649

50401176497

123456776 6

6

p

Táblázat a p(n) függvényhez

n

8 17 0,996 0,965 0,854 0,653 0,392 0,14

nnnp

77

7

1 )!(!

)(

A p(n) grafikon

4. segédfeladat

Vissza az eredeti éves feladathoz:Hány fős társaság esetén lesz 96% a valószínűsége annak, hogy a társaságból két embernek ugyanazon a napon van a születésnapja? (Számoljunk 365 nappal!)

Összes – rossz

születik) napon más (mindenki 1365364365 :rossz )(... n

%)!(!

)(...

)(...

96365

365365

1365

13653643651

3651365364365365

nn

n

n

nn

np

születhet) nap bármelyik (bárki 365 :eset összes n

Ábrázolás helyett táblázat

bonyolult 365

365365

1 nnnp )!(!

)(

Próbálgatás

n

100 0,999999765 0,99857 0,9948 0,9640 0,8937 0,8525 0,5723 0,51

nnp

365365

365

1 )!(!

Megoldás

éves feladat:48 fő esetén lesz 96 % a valószínűsége annak, hogy ketten ugyanazon a napon születtek

hetes feladat:6 fő esetén lesz 96 % ez a valószínűség

A p(n) grafikon

Mitől paradoxon?

Nagy n-re: p(n) közelítőleg konstans• p = 100%: n = 366 esetén• p = 99%: n = 57 esetén (84%-kal kisebb!)

Kis n-re: p(n) függvény nagyon meredek• Az eredeti feladat (p > 50%) megoldása is

meglepő: 23 fő (ellenőrizhető egy osztályban vagy egy konferencián)

VÁLASZTÁSI PARADOXONOK

1. Családi kirándulás

Az apának van kedve kirándulni, de ideje nincs, a gyereknek fordítva, az anyának kedve és ideje is van.

Hogyan döntsenek „demokratikusan”?

Kiértékeléskedv idő kirándulás

anya igen igen igen

apa igen nem nem

gyerek nem igen nem

együtt igen igenigen vagy nem?

Bíró-paradoxon

• kollektív döntések meghozatala esetén

• probléma: mi szerint összegezzünk?– premisszák (kedv, idő)– konklúziók (voks)

2. Elnökválasztás

3 jelölt (A, B, C) közül választunk7 szavazó4 ABC, 3 BCA szavazatKérdés: lehetséges-e, hogy bizonyos pontozásnál• A nyer,• B nyer,• C nyer,• A és B holtversenyben nyer?

Megoldás

1. hely 2. hely 3. hely A B C

A nyer 10 pont 3 pont 2 pont 46 42 17

B nyer 10 pont 5 pont 2 pont 46 50 23

C nyer nem lehetséges

A és B 10 pont 4 pont 2 pont 46 46 20

Mitől paradoxon?

• majdnem tetszőleges sorrend előállítható• utólag befolyásolhatjuk a választás

eredményét, ha nem tisztázzuk előre a pontozást

• megnyugtató: C nem nyerhet

3. Osztálytitkár

3 jelölt (A, B, C) közül választanak30 szavazó10 ABC, 10 BCA, 10 CAB szavazatKérdés: hogyan összegezzünk?

Többségi szavazás

A > B B > C C > A

10 ABC igen igen nem

10 BCA nem igen igen

10 CAB igen nem igen

Többségi szavazat igen igen igen

Condorcet-paradoxon

• Körbeverési jelenség: kő-papír-olló• Nem tranzitív: A > B, B > C, de C > A!• Pontrendszer: mindenkinek ugyanannyi

pontja lenne

MONTY HALL-PARADOXON

(1975)

Mit rejt a három ajtó?

A tévés játék megfogalmazása

1. Van három ajtó, kettő mögött kecske van, egy mögött a főnyeremény: egy autó

2. A játékos választ egyet a három ajtó közül3. A műsorvezető még mielőtt azt kinyitná, kinyit

egy másik ajtót, amely mögött kecske van4. Megkérdezi a játékost: akar-e változtatni első

választásán, és egy másik ajtót választani?

Kérdés

Érdemes-e változtatni az eredeti választáson?

Paradoxonnak tűnik:1. Nem befolyásolhatja az eredményt, ha

változtatok (előtte is, utána is 1/3 a valószínűség)

2. Most 1/2, előtte 1/3 volt a valószínűség

Az 1. ajtót választjuk

1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó váltunk nem váltunk

K K A nyerünk vesztünk

K A K nyerünk vesztünk

A K Kvesztünk nyerünk

A K K

nyerési valószínűség 2/3 1/3

Megoldás

• Érdemes tehát változtatni:– 2/3 valószínűséggel nyerünk

• Egyszerűbben: Hogyan nyerhetünk?– Ha nem váltunk: el kell találni az autót (1/3)– Ha váltunk: valamelyik kecskét kell eltalálni (2/3)

A feladat módosítása

…100 ajtó van, Monty kinyit 98-at

Nyilván most is érdemes váltani (99/100)

2 játékos, 3 ajtó

• Mindkettő választ egy-egy (különböző) ajtót (mondjuk egymás után)

• Az, amelyik kecskét választott, kiesik (ha mindkettő kecskét választott, a játékvezető tetszőlegesen dönt, ki esik ki)

• A kecskés ajtót Monty kinyitja• Érdemes-e váltania a bennmaradt

játékosnak?

Az első 2 ajtóra tippelünk

A B Ha a bennmaradó

1. ajtó 2. ajtó 3. ajtó vált nem vált

K K Anyer veszít

K K A

K A K veszít nyer

A K K veszít nyer

nyerési valószínűség 1/3 2/3

Megoldás

• Nem érdemes váltani– Így nyerünk 2/3 valószínűséggel

• Egyszerűbben:1. Most mindkét játékosnak kecskére kell

tippelnie, hogy a váltás megérje: 1/32. A vegyes tipp esélye 2/3

Forrás• Drösser, Christoph: Csábító számok (Athenaeum, 2009)

• Ferguson, Thomas S.: Who Solved the Secretary Problem? (Statistical Science, 1989. Vol. 4. No. 3.)

• Orosz Gyula: Valószínűség-számítási érdekességek (Fazekas Mihály Gimnázium honlapja, Matematika portál)

• Székely J. Gábor: Paradoxonok a véletlen matematikájában (Typotex, 2004)

• Wikipedia-szócikkek (Monty Hall, Simpson)

Dolgozat és prezentáció

www.phbences.hu oktatás oldal, matematika

Használják egészséggel, közkincs!

További jó konferenciát és

szép napot!