Side 1 af 17

Matematik C-B Projekt 2 Februar 2012

Af: Fie Nielsen, Ida Schleicher, Maria Del, Stine Claesson & Claus Heldal

[VÆKSTFORMER]

Side 2 af 17

Indhold

Forside…………………………………………………………………………………………………………………………s. 1

Indhold:……………………………………………………………………………………………………………………….s. 2

1. Indledning………………………………………………………………………………………………………………..s. 2

2. Lineære funktioner…………………………………………………………………………………………………..s. 3

3. Eksponentielle funktioner………………………………………………………………………………………..s. 6

4. Potens funktioner……………………………………………………………………………………………………..s.9

5. Eksempler lineær vækst…………………………………………………………………………………………….s.13

6. Eksempler eksponentiel vækst………………………………………………………………………………….s.14

1.Indledning

Vækst er en del af vores alles hverdag – det er dog ikke alle der lægger mærke til det. Men når vi fx har

bestilt biografbilletter og skal regne prisen ud, bruger vi ubevidst formlen for lineær vækst: y=ax+b (hvor a

tilsvarende prisen på billetter; x tilsvarende antal billetter; b tilsvarende bestillingsgebyr og y viser den

samlede pris), eller når vi skal regne vores rentegevinst ud på vores opsparingskonto i banken. Forskellige

vækstformer kan også bruges til at beskrive befolkningsudviklinger, m.m..

Der er forskellige modeller man kan bruge til at beskrive en vækst. I denne rapport vil vi beskæftige os med

3 af dem: lineær, eksponentiel og potensiel vækst.

Side 3 af 17

2. LINEÆRE FUNKTIONER

En lineær funktion har forskriften

f(x) = ax + b,

hvor variablen y (som er det samme som f(x).) afhænger af variablen x, og hvor a og b er konstanter.

Hvis man på en graf tegner y=ax+b, fås en ret linje i et normalt koordinatsystem – linjen kan være i alle 4

kvadranter - med hældningskoefficienten a. Så hvis x øges med 1, så ændres y med størrelsen a. Dermed

kan vi finde a ved at gå 1 ud af x-aksen og se på den størrelse vi skal gå op, for at ramme vores linje – denne

afstand er a. Linjen skærer y-aksen i værdien b, som også kaldes begyndelsesværdien.

Gældende for hældningskoefficienten a er, når:

a > 0 er grafen voksende

a < 0 er grafen aftagende

a = 0 er grafen vandret/konstant

Vi kan dog også – mere præcist – finde a ved hjælp af en formel, hvis vi kender 2 punkter på vores graf.

Hældningen a er bestemt ved formlen:

Side 4 af 17

b er som sagt det sted som linjen skærer y-aksen. Ligesom ved a, kan vi regne os frem til b, hvis vi kender 2

punkter på vores graf.

Ligningen for b er: b=y-ax

Bevis for a:

Vi ser på vores to punkter på grafen som er (x1, y1) og (x2, y2) og da vi kender forskriften for den lineære

funktion kan vi skrive forskriften for de to punkter,

y1 = ax1 + b og y2 = ax2 + b

vi trækker den ene ligning fra den anden og får

y2 – y1 = ax2 + b – (ax1 + b)

b går ud mod hinanden og vi får

y2 – y1 = ax2 – ax1

hvilket er det samme som:

y2 – y1 = a (x2 – x1)

vi isolerer a og får tilbage at

Hermed er formlen for a bevist!

Bevis for b:

Vi går ud fra grundformen, som vi ved er korrekt. Og så isolerer vi b:

y = ax + b

vi trækker ax fra på begge sider

y – ax = ax + b – ax

ax går så ud mod hinanden og tilbage har vi at

b=y-ax

y – ax = b

Hermed er formlen for b bevist!

Side 5 af 17

EKSPONENTIELLE FUNKTIONER

En eksponentiel udvikling er en vækst med en konstant procentdel over en periode, som kan enten stige

eller falde. Eksponentielle funktioner kan anvendes på mange måder i den virkelige verden. Man kan

opstille en eksponentiel funktion som en prognose for fremtiden. Det kunne for eksempel være landets

BNP, byens befolkningstal, bilens afskrivning, kontoens renteindtægt, mm.

En eksponentiel udvikling giver en ret linje i et enkeltlogaritmisk koordinatsystem og kan være i kvadrant 1

og 2.

Betydning af parametrene a og b

En eksponentiel funktion er en funktion med forskriften

hvor b er begyndelsesværdien, a er fremskrivnings-faktoren og x er eksponenten, der angiver hvor mange

gange den relative tilvækst forekommer. a kan også beskrives som (1+r), hvor r er den relative tilvækst,

som skrives som decimaltal. Konstanten b er således både begyndelsesværdien og skæringen på y-aksen. b

skal altid være større end 0.

Eksempel:

b vil i dette tilfælde være lig med 20 og skæringen på y-aksen

Side 6 af 17

Konstanten a viser om grafen er voksende eller aftagende.

Hvis a > 1 så er grafen voksende

Hvis a < 1 så er grafen aftagende

a ≠ 1 fordi der ikke er en relativ tilvækst, hvilket betyder at det ikke er en eksponentiel funktion.

a skal altid være større end 0

Eksempel:

a>1

a<1

Bestemmelse af parametrene a og b

Hvis man ud fra to vilkårlige punkter skal bestemme en forskrift for den eksponentielle funktion kan man

således sætte punkterne op som: 2211 ,, yxogyx

Derefter kan man bestemme a ved følgende formel:

12

1

2xx

y

ya

Herefter kan man udregne b ved følgende formel:

1

1

xayb

Side 7 af 17

Bevis for a

Forskriften for en eksponentiel udvikling:

xabxf )(

Vi har to punkter, vi ved, ligger på vores graf:

2211 ,, yxyx

Dermed ved vi også:

21

21

xxabyogaby

Vi dividerer det ene punkt med det andet:

1

2

1

2

x

x

ab

ab

y

y

Dermed går b ud med sig selv, og vi har:

1

2

1

2

x

x

a

a

y

y

Så vil vi bruge potensregnereglen:

mn

m

n

aa

a

Og det giver os:

12

1

2 xxay

y

Så tager vi den (x2-x1)´te rod på begge sider

ay

yxx 12

1

2

Som jo var vores udgangspunkt – hermed har vi bevist formlen for a.

Side 8 af 17

Fordoblingskonstanten

Fordoblingskonstant som også kaldes for fordoblingstiden betyder hvor lang tid det tager for konstanten

b(begyndelsesværdi) at blive fordoblet. Man kan kun regne fordoblingskonstanten:

Hvis a > 1

)log(

)2log(2

aT

Eksempel:

8,3)20,1log(

)2log(

20,15)(

2

T

xf x

Ovenfor ses grafen med funktionen f(x) = 5 * 1,20x

På grafen kan man tydeligt se at hver gang begyndelsesværdien fordobles, skal der gå 3,8 terminer, som

også er udregnet med formlen ovenfor grafen

3,8

Side 9 af 17

POTENSIELLE FUNKTIONER

Regneforskrift:

Beskrives ved at være en procent, procent-procent eller gange, gange vækst. Det vil sige at både x-aksen

og y-aksen vokser/aftager med en fast procent.

Er en ret linje i dobbeltlogaritmisk koordinatsystem og kan kun befinde sig i 1.kvadrant.

Hvis a > 0 : er funktionen voksende

Hvis a<0<1: er funktionen voksende

Hvis a=1: er funktionen proportional

Hvis a= -1: er funktionen omvendt proportional

Hvis a < 0 : er funktionen er aftagende

Hvis a = 0 : er funktionen

konstant

X = positiv

Y = positiv

b = begyndelsesværdien ved x = 1

Forskift for x :

a=0

Side 10 af 17

Sammenhængen mellem procenterne ved brug af fremskrivningsfaktoren:

To punkts-formlerne:

Bevis for to punkts-formlerne: først beviset for formlen for a og derefter for formlen for b

Givet:

To punkter:

Vi kan derfor sige at:

Og

Det kan vi sætte op sammen:

b og b går ud med hinanden, og vi bruger potensregnereglen

Side 11 af 17

Dette giver os:

Vi tager logaritmen på begge sider:

Så bruger vi vores logaritme-regneregel:

Det giver os:

Nu kan vi isolere a. Det gør vi ved at dividere med

på begge sider, hvilket giver os:

Nu bruger vi endnu en logaritmeregneregel og får:

Hermed har vi bevist at formlen for a er sand

Side 12 af 17

Bevis for b:

Vi ved at:

Vi vil isolere b, så vi dividerer med

på begge sider. Dette giver os:

Derfor er formlen for b sand.

Side 13 af 17

EKSEMPEL LINEÆR VÆKST

Vi ved at noget udvikles lineært, hvis det vokser med én fast størrelse hele tiden.

Fx har Kokken & Jomfruen lige nu følgende tilbud:

Det fremgår yderligere af deres hjemmeside, at det koster 249 kr i transport, hvis de skal levere maden.

Altså har vi en fast pris som afhænger af antal portioner, samt et fast transport-tillæg.

Dette kan beskrives ved y=ax+b, her: y=99,50x + 249, hvor y=samlet pris og x=antal kuverter.

Andre eksempler på lineær vækst, kan være prisen ved brug af mønttelefoner, som har en fast mindstepris

at bruge, og herefter koster a kroner pr sekund.

Det kunne ligeledes være bestilling af biografbilletter (hvor bestillingsgebyret er tilsvarende b, pris pr. billet

= a, x=antal billetter og y=samlet pris),

eller veksling af valuta, eller parkeringsafgift.

Side 14 af 17

EKSEMPEL EKSPONENTIEL VÆKST

Når vi har at gøre med noget der hver gang vokser med én fast procentdel, har vi at gøre med eksponentiel

vækst. Dette hører vi ofte om, når vi har at gøre med befolknings-tilvækst, men også i andre forbindelser, fx

i forhold til hvor meget vand stiger i forbindelse med blæst.

Ifølge www.udviklingstal.dk har verdens befolkning udviklet sig som nedenfor:

Årstal 1950 1960 1970 1980 1990

Befolkning (mia.) 2,5 3,0 3,7 4,5 5,3

Da befolkningstal ofte tilnærmelsesvist vokser eksponentielt, prøver vi at finde en model for udviklingen

vha. eksponentiel regression. Vi sætter 1950 som 0. Det giver os dette resultat:

Som vi kan se ligger alle punkter tæt op af den bedste rette linie, og at R2=0,9985, altså meget tæt på den

perfekte linje 1, indikerer også at det er en god model.

y=2,5026

1,0191x

For at idiot-tjekke kan vi prøve at lave lineær regression på vores data. Det giver dette resultat:

y = 2,5026e0,0191x R² = 0,9985

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50

Serie1

Ekspon. (Serie1)

Side 15 af 17

Som vi kan se, er der en systematisk afvigelse fra linjen, idet første og sidste punkt ligger lige over linjen,

mens de midterste punkter ligger under – her kan vi se at det ligner en eksponentiel linje ville passe bedre.

Vi kan ligeledes tjekke efter ved at se om den eksponentielle model giver en ret linje i et enkeltlogaritmisk

koordinatsystem:

Den passer udmærket.

y = 0,071x + 2,38 R² = 0,9923

0

1

2

3

4

5

6

0 10 20 30 40 50

Serie1

Lineær (Serie1)

y = 2,5026e0,0191x R² = 0,9985 1

10

0 10 20 30 40 50

Serie1

Ekspon. (Serie1)

Side 16 af 17

En anden måde vi kunne have fundet frem til en model for sammenhængen, var ved udregning ud fra 2

kendte punkter.

Fx (10,3) og (30, 4,5)

For eksponentiel sammenhænge, kan vi finde a ved hjælp af formlen:

a=1,02048

Vi kan ligeledes finde b:

b=2,4495

Dermed får vi modellen:

- som jo relativt meget ligner den model vi fandt frem til vha. regression.

12

1

2xx

y

ya

1

1

xayb

Side 17 af 17

Ifølge leksikon.org, var befolkningstallet i Panama 2,9 mio. i år 2000. Herefter er befolkningstallet

gennemsnitligt steget med 1,6 % om året.

Disse informationer er også nok til at opstille en model, om end de andre metoder er mere nøjagtige.

Da vi ved at b er det samme som begyndelsesværdien, må b i dette tilfælde være 2,9.

Vi ved ligeledes at a=1+r, i dette tilfælde 1+0,016=1,016.

Dermed kan vi opstille en model:

hvor y=befolkningstal og x=antal år efter 2000.