MATEMATİKSEL PROBLEMLERİN

ÖĞRENİM VE ÖĞRETİMİ

Problem çözme konusunun matematik ders programları içerisinde özel bir yeri vardır. Bir çok insan için ‘matematik’ ve ‘problem çözme’ kavramları aynı manayı ifade etmektedir. matematik eğitiminin en genel amacı karşılaştıkları problematik durumları etraflıca anlayıp çözüm için planlar geliştirebilen, geliştirdikleri planları uygulayarak sonuca ulaşılabilen, eleştirel ve yaratıcı düşünebilme yeteneği gelişmiş, araştırmacı bir ruha sahip özgür bireyler yetiştirmektir.bu zihinsel yeteneklere sahip bireylerin yetiştirilmesi noktasında problem çözme konusunun çok büyük işlevleri vardır. Öğretmenlerimiz ve akademisyenlerle bilgi paylaşımını amaçlayan bu kitap bölümünde ilköğretim matematik ders programlarının içeriği esas alınarak problem çözme konusunun öğrenim ve öğretim incelemektedir. Matematiksel problem türleri ve bunların temel karakterleri, problem çözümlerinde takip edilen aşamalar, kullanılan strateji ve modeller örnek sorular üzerinden açıklamaktadır. bunlara ilave olarak problem çözme konusunun öğretiminde uygulana bilecek yapılandırmacı öğretim yaklaşımlarının temel bileşenleri hakkında bilgi sunulmakta ve bu bağlamda öğrencilerdeki üst bilişsel düşüncenin gelişimine katkı amacıyla nelerin yapıla bileceğine ilişkin öneriler getirilmektedir.

Literatüre baktığımızda problemin farklı tanımlanmış olduğunu görmekteyiz. Schoenfeld (1992)problem’i şaşırtıcı ,zor ve yaratıcı düşünmeyi gerektiren sorular olarak tanımlamaktadır. O’Daffer’e (1988) göre problem bireyin rutin işlemlerle çözemediği sorulardır.Krulil ve Rudnick (1989)problemi görünürde bilinen bir çözüm yolu olmayan nicel veya nitel yapıdaki sorunsallar olarak tanımlamaktadır. Orton ve Waine (1994) göre problem öğrencinin ilgisini çeken ,zihinlerini zorlayan ve çözümünü elde etmek için öğrencilerin araştırma yapma ihtiyacı hissettikleri durumlardır. Genel olarak, problem matematiksel düşüncelerin uygulamalarını içeren etkinlikler olarak tanımlanabilir. (Baki,2006). Bu bağlamda, basit toplama ve çıkarma işleminin kullanımını gerektiren sorular, kümeler konusunda yapılan kesişim-birleşim işlemleri ,ikinci dereceden denklem ve eşitsizlik soruları, düzlem ve uzay geometri ile ilgili alıştırmalar gibi bir çok konu öğrencilerde araştırma yapma ihtiyacı uyandırdığı ve onları bilişsel olarak zorladığı sürece problem olarak kabul edilebilir. Karşılaşılan bir durumla bireyin sahip olduğu bilgi ve düşünce sisteminin örtüşmemesi ve bireydeki bilişsel dengenin bozulması halinde bir problemin varlığından söz edilebilir.(Baki,2006).

Problem ve problem çözme nedir?

kısacası bir problemin varlığından söz edebilmek için şu üç halin oluşmuş olması gerekir:

Sorunla karşılaşan bireyin çözüme ilişkin belli bir amacının olması gerekir,

Sorunun çözümü için başlangıçta birey tarafından bilinen bir yolun olmaması gerekir, ve

Bireyin çözüme giden yoldaki engelleri kaldırmak ve çözüme ulaşmak için düşünsel çaba ve gayret sarf etmesi gerekir.

problem statik bir durum iken problem çözme bir statiği ifade eder. Bu sürecin başlangıç noktasında karşılaşılan problematik durum,bitiş noktasında elde edilecek olan cevap vardır . Mayer ( 1985) problem çözmeyi eldeki problemin çözümüne ulaşmak için yürütülen zihinsel aktiviteler serisi olarak tanımlamaktadır. Problem çözme sürecinde, bireyler problemi anlamdır ırlar metot ve stratejiler geliştirip uygularlar,farklı çözüm yollarını denerler,aritmatiksel ve cebirsel işlemler yürütürler ve kısaca matematiksel bilgilerini uygulamaya koyarlar. Problem çözerken öğrenciler problemi formüller ve modeller yardımıyla matematiksel ifadeler şeklinde yeniden yazarlar ,mevcut bilgileri arasında ilişkiler kurarlar,matematiksel kavramları gerçek durumlarla ilişkilendirirler ve bunların neticesi olarakta etkin bir matematikselleştirme süreci yaşarlar(polya,1973)

yukarda belirtildiği gibi matematiksel bilgilerin uygulamasını gerektiren, karşılaştıklarında bireylerin bilişsel dengesini bozup çözüm yolları aramaya sevk eden bütün matematiksel durumlar problem olarak kabul edilebilir, dolayısıyla problem çözme konusu ana okuldan üniversiteye kadar matematik ders programlarını ayrılmaz bir parçasıdır. Bu denli geniş bir konunun bir yazıda ele alınması mümkün olmadığı için bu kitap bölümünde ilk öğretim matematik müfredatının içeriği esas alınarak sözel problemler ve bunların çözümleri üzerinde sürülecektir.

Problem türleri Matematiksel problemleri rütin ve rütin olmayan problemler diye iki ana kategoride değerlendirmek mümkündür.(mahlios,1988;arslan ve alton,2007). Rutin problemler matematik ders kitaplarında çokça yer almaktadır. Bu problemlerin en temel özelliği toplama ,çıkarma,çarpma,bölme gibi aritmetiksel işlemlerin uygulanmasıyla çözüleb,lir olmasıdır. Dolayısıyla,rutin problemler genellikle aritmetik işlemlerin öğretiminden sonra verilir.bununla öğrencilerin ,öğrendikleri konuyu pekiştirmeleri, aritmetik işlemler arasında anlamsal ilişkiler kurmaları (örneğin,çarpmanın aslında ardışık toplama olduğu düşüncesi) ve kavramsal bilgi geliştirmeleri amaçlanmaktadır. Rutin problemleri çözerken öğrenciler problem hikayesinde verilen bilgileri anlama , analiz etme (verilen ve istenilenleri tespit etme,vb) , problemin hikayesini matematiksel olarak yeniden yazabilme ,çözüm için basit modeller geliştirip kullanabilme,hangi işlem veya işlemleri kullacağına karar verme gibi problem çözmenin gerektirdiği temel becerileri edinirler. Rutin problemler matematiğin güncel hayatta uygulamasının en temel araçlarıdır, dolayısıyla öğrencilerin gerçek hayata ihtiyaç duyacakları bilgi ve becerileri geliştirmeleri noktasında büyük işlemleri vardır.

Rutin problemleri zorluk derecesini belirleyen en temel faktör problemin içerdiği işlemsel basamak sayısı ,çözüm için gerekli matematiksel bilginin düzeyi ve kullanılması gereken nicel değerlerdir (ondalıklı kesir,rasyonel kesir,doğal sayı , vb) ( mahlios,1988). Aşağıda iki tane rutin problem gereği örneği verilmiştir

1. Tanesi beş liradan on tane kalem aldınız. Toplam kaç tane ödemeniz gerekir?

Tek adımda sadece çarpma işlemi uygulanarak çözülebilir. Rutin olmayan problemler aritmetiksel/cebirsel işlemlerin,

kuralların ve formüllerin direkt olarak uygulanmasıyla çözülemeyen sorulardır. Bu problemlerin en temel özelliği çözüm için farklı yaklaşım ve metotların uygulanmasını, birden farklı stratejinin kullanımını ve yaratıcı düşüncenin işe koşulmasını gerektirmesidir.

Bir diğer yol olarak da tahmin kontrol stratejisi de kullanılabilir. Bu süreçte sistematik liste yapma tekniğinin kullanımı problem çözme sürecinde sergilenen düşünceleri kontrollü bir şekilde uygulamaya yardımcı olur.

N kenarlı bir çokgenin n tane köşesi vardır. Bir köşeden, örneğin B köşesinden, kendisine ve komşularına, C ve A köşelerine köşegen çizilemez. Dolayısıyla her köşeden (n-3) tane köşegen çizilebilir; n tane köşe olduğu için çizilebilecek toplam köşegen sayısı ise n(n-3) tir.Ancak bu durumda komşu olmayan köşeler arasında karşılıklı olarak ikişer tane köşegen çizilmiş olmaktadır.

Yukarıdaki çözüm geometri bilgisi yeterli olmayan ve kombinasyon düşüncesini bilmeyen öğrenciler için güzel bir yaklaşım olabilir.

Problem çözme sürecinde takip edilen aşamalarHangi öğretim yaklaşımı kullanılırsa kullanılsın, rutin veya

rutin olmayan farklı tür ve zorluk derecesindeki problemlerin çözümünde takip edilecek dört temel aşama vardır. Matematik eğitimcileri tarafından genel kabul görmüş olan bu aşamalar ilk kez George Polya tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Bu aşamalar sırası ile: Problemin anlaşılması, çözüm için plan geliştirilmesi, geliştirilen planın uygulanması ve son olarak da elde edilen yanıtın doğru olup olmadığının kontrol edilmesini içerir.

Problemin anlaşılması, problem çözme sürecinin ilk ve en önemli aşamasıdır. Bu aşamada problem de verilenlerin, istenilenlerin ve bunlar arasındaki ilişkilerin öğrenciler tarafından anlaşılması en öncelikli iştir. Özellikle ilköğretim düzeyindeki öğrencilerin problem çözme konusunda karşılaştıkları zorlukların temelinde problemin sözel ifadesini anlayamamaları yatmaktadır.

Plan yapma problemin anlaşılması ile yakından alakalıdır.

Bu aşamada problemin çözümü için strateji seçimleri yapılır ve ne tür matematiksel modellerin kullanılabileceği kararlaştırılır.

İzlenilecek işlem basamakları belirlenir ve gerekli hallerde şekil, şeme, tablo gibi görsel yapılar oluşturulur.

Üçüncü aşamada yapılan plan uygulamaya konulur. Seçilen stratejiler, oluşturulan modeller, cebirsel veya aritmetiksel yapılar kullanılarak işlemler yürütülür. Bu aşamada sadece plan çerçevesinde yürütülen aritmetiksel işlemlere odaklanılmalıdır, bundan daha çok plana manasını veren yaklaşım ve düşünceler dikkatli bir şekilde yürütülmelidir. Eldeki plan bazen problemin çözümünde yetersiz kalabilir veya çalışmayabilir. Bu tür durumlarda dolaylı sorular yönelterek öğrencilerin doğru planı geliştirmelerine yardımcı olunmalı ama kesinlikle öğrencilere hazır plan verilmemelidir.

Problem çözme stratejileri Problem çözme, karşılaşılan bir sorunsalın üstesinden

gelmek için geçmiş bilgi ve becerilerin koordine edilerek uygulamaya konulduğu karmaşık bir süreçtir.

Yerli ve yabancı kaynaklarda birçok problem çözme stratejisinde bahsedilmektedir. Bu stratejiler genel stratejiler ve yardımcı stratejiler olmak üzere iki ana grupta ele alınabilir. Genel stratejiler arasında ilköğretim düzeyinde en sık kullanılanlara ‘tahmin-kontrol’, ‘geriye doğru çalışma’, ve ‘tümevarımcı düşünme’ dir. Yardımcı stratejiler arasında ise ‘matematiksel cümleler yazma’, sistematik liste oluşturma, tablo yapma ve şekil, şema ve grafik çizme en sık kullanılanlardır.

TAHMİN KONTROL STRATEJİSİ

Tahmin kontrol stratejisi bazı problem türlerinin çözümünde sıkça kullanılan ve direkt olarak uygulanabilen bir yöntemdir. Problemin cevabına ilişkin bir tahmin yürütülür ve yapılan tahmin cevap olup olmadığına bakılır. Tahmin – kontrol stratejisi öğrencilerin mantıklı öngörülerde bulunabilme ve bir grup veri arasındaki ilişkileri ve gelişimi tümevarımcı bir yaklaşımla anlayabilme zihinsel beceriler geliştirmelerine yardımcı olur.

GERİYE DOĞRU ÇALIŞMA STRATEJİSİ

Geriye doğru çalışma stratejisi ilköğretim ve daha ileri düzey matematik programları kapsamında problem çözme ve matematiksel ispat konularının öğrenim ve öğretiminde sıkça kullanılmaktadır. Bu strateji başlangıç bilgileri bilinmeyen ama sonuç bilgileri bilinen problemlerin çözümünde kullanılır. Problemde verilen işlemsel zincir sondan başa doğru çözümlenerek cevap bulunmaya çalışılır.

TÜMEVARIMCI DÜŞÜNME STRATEJİSİ

Matematiksel problemlerin çözümünde kullanılan bir diğer strateji ise tümevarımcı düşünme stratejisidir. Bu stratejinin en temel özelliği problemde verilen nicel veya nitel çokluklardan oluşan dizinin terimleri arasındaki ilişkinin fark edilmesini ve buradan hareketle yapılacak genellemelerle daha evrensel sonuçlara ulaşılmasını içerir.

PROBLEM ÇÖZME KONUSUNUNÖĞRETİMİ NASIL YAPILMALIDIR?

Problem çözme konusunun öğrenimine ilişkin yerli ve yabancı araştırmacılar tarafından birçok çalışma yapılmış bulunulmaktadır. Bu çalışmalar öğrencilerin problem çözme sürecinin oluşturan üç temel alanda ciddi sorunlar yaşadıklarını göstermektedir. Bunlar :

Problemin anlaşılması Plan ve stratejinin seçilmesi, çözüm için

uygun maddelerin oluşturulması

Problemin cevabının ve problem çözme sürecinde uygulanan düşünceleri mantık kontrolüne tabi tutulması

Öğretmenden öğrenciye tek yönlü bilgi akışının ön gören davranışçı öğretim metotlarının öğrencilerdeki problem çözme yeteneğinin gelişimine yapacak katkı oldukça azdır.Dolayısıyla problem çözme konusu öğretilirken öğrencilerdeki düşünce gelişimini hedefleyen bir öğretim yaklaşımı kullanılması gerekir.

ÜST BİLİŞSEL YETENEK VE PROBLEM ÇÖZÜMÜ

Üst biliş en genel manası ile bireyin herhangi

bir konuda sahip olduğu bilgi ve düşüncelerin farkında olması demektir. Üst bilişsel yeteneği gelişmiş olan öğrenciler problem çözme sürecinde sergiledikleri düşüncelerin aktif olarak takip ve kontrol edebilir ve gerekli hallerde düzenlemeler yapabilirler.

SONUÇ VE ÖNERİLER Problem çözmede doğru yanıtı elde etmiş

olmak bir başarı göstergesi olarak algılanmamalıdır. Problem çözme, problemin anlaşılmasında elde edilen sonucun doğrulunun kontrol edilmesine kadar bütün bir süreci kapsar.

Öğretmenlerimiz bir problemi farklı yollardan çözmeleri için öğrencilerini cesaretlendirmelidir. Neden, niçin ve nasıl sorularını sorarak öğrencilerin çözüm sürecinde sergilemiş oldukları kendi düşüncelerini

takip ve revize etmelerine olanak vermelidirler. Görsel öğeler ve matematiksel modeller kullanarak öğrencilerin problemde verilen bilgiler arasında ilişkiler kurmalarını ve düşüncelerini sistemli bir şekilde uygulamalarını yardımcı olmalıdırlar.

BİZİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜR EDERİZ

HAZIRLAYANLAR: MAHMUT KARABOĞAZ

FERİT EREN

NİZAMETTİN GÖÇÜK

AHMET FAZIL KÖSE