Matematinis modeliavimas - Pradžia · 2016. 2. 12. · Matematinis modeliavimas ... pastar¡j¡ sistem¡ galima uºra²yti vejeektorin formoje y0= f(x,y). (1.6) P a s t a b a

ALGIRDAS AMBRAZEVIIUS

Matematinis modeliavimas

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.................................

..............

.................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..

.

.

.

.

.

........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................

......................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................................................................................

.........................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Vilniaus universitetas

2006

2

TURINYS

1 SKYRIUS

PAPRASIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1 Pagrindines s¡vokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Fundamentaliu gamtos desniu taikymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3 Variacinio skai£iavimo elementai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4 Variaciniu principu taikymas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5 Keli papras£iausi netiesiniu procesu modeliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.6 Stygos svyravimu lygtis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.7 Membranos svyravimas ir pusiausvyra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.8 ilumos laidumas ir duju difuzija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.9 Ekologiniai modeliai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2 SKYRIUS

PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ES LYGTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.1 Pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys i²reik²tos i²vestines atºvilgiu . 652.2 Sprendiniu egzistavimas, vienatis, prat¦simas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.3 Lygtys su atskiriamais kintamaisiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.4 Tiesines pirmos eiles lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.5 Pirmos eiles diferencialiniu lyg£iu simetrine forma . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.6 Pirmos eiles diferencialines lygtys nei²reik²tos i²vestines atºvilgiu . . . . . . . . . 87

3 SKYRIUS

AUKTESN ES EIL ES PAPRASTOSIOS DIFERENCIALIN ES LYGTYS . . . . . . 90

3.1 Papras£iausios auk²tesnes eiles diferencialines lygtys, kuriu eil¦ galima sumaºinti 903.2 Tiesines homogenines antros eiles lygtys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 933.3 Konstantu varijavimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.4 Tiesnes antros eiles lygtys su pastoviais realiais koecientais . . . . . . . . . . . . 102

4 SKYRIUS

DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

4.1 Bendros s¡vokos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.2 Tiesines homogeniniu diferencialiniu lyg£iu sistemos . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.3 Nehomogenines tiesiniu diferencialiniu lyg£iu sistemos . . . . . . . . . . . . . . . 1174.4 Tiesiniu diferencialiniu lyg£iu sistemos su pastoviais realiais koecientais . . . . . 1194.5 Kanoniniu sistemu plok²tumoje faziniai portretai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3

5 SKYRIUS

AUTONOMIN ES SISTEMOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

5.1 Autonomines lygtys tieseje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1335.2 Autonomines sistemos plok²tumoje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1375.3 Autonominiu sistemu trajektorijos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1465.4 Autonominiu sistemu plok²tumoje pusiausvyros ta²kai . . . . . . . . . . . . . . . 149

6 SKYRIUS

DALINIU IVESTINIU LYGTYS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.1 Tiesiniu antros eiles lyg£iu su dviem nepriklausomais kintamaisiais suvedimas ikanonini pavidal¡ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

6.2 Pagrindiniai uºdaviniai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1626.3 Charakteristiku metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1646.4 Furje arba kintamuju atskyrimo metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1686.5 Integraliniu Furje transformaciju metodas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

7 SKYRIUS

SKAITINIAI DIFERENCIALINIU LYGIU SPRENDIMO METODAI . . . . . . . 181

7.1 Runge Kuto metodas pirmos eiles paprastajai diferencialinei lyg£iai . . . . . . . 1817.2 Runge Kuto metodas pirmos eiles diferencialiniu lyg£iu sistemai . . . . . . . . 1857.3 Runge Kuto metodas auk²tesnes eiles paprastajai diferencialinei lyg£iai . . . . 1877.4 Baigtiniu skirtimu metodas elipsines lygties atveju . . . . . . . . . . . . . . . . . 1897.5 Baigtiniu skirtimu metodas parabolines lygties atveju . . . . . . . . . . . . . . . 1967.6 Baigtiniu skirtimu metodas hiperbolines lygties atveju . . . . . . . . . . . . . . . 201Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

1 SKYRIUS

PAPRASIAUSI MATEMATINIAIMODELIAI

1.1 PAGRINDIN ES SVOKOS

Sprendºiant gamtos ir technikos mokslu uºdavinius naudojami iviairus mate-matiniai modeliai. Konstruojant kokio nors uºdavinio matematini modeli visupirma stebimi ji apra²antys dydºiai. Tokie dydºiai gali buti temperatura, greitis,slegis ir t.t. Po to atliekami ivairus bandymai. Remiantis atliktais bandymaisyra atmetami neesminiai faktoriai, kurie maºai itakoja nagrinejamos sistemosbusen¡. Apibendrinant esminius faktorius, veikian£ius sistem¡, formuluojamaviena arba kelios hipotezes (fundamentalus gamtos desniai). Ju pagalba paro-doma, kad apra²antys nagrinejam¡ proces¡ dydºiai turi tenkinti vien¡ ar keliaslygtis. ios lygtys daºniausiai yra diferencialines (t.y. sieja nepriklausomus kin-tamuosius, ie²kom¡j¡ funkcij¡ ir jos i²vestines.). Surad¦ ²iu lyg£iu sprendinius,i²skiriame i² ju tuos, kurie tenkina tam tikras papildomas s¡lygas. Paprastai²itos s¡lygos yra apibreºiamos srities, kurioje ie²komas sprendinys, kra²tiniuoseta²kuose. Todel jos yra vadinamos kra²tinemis s¡lygomis, o nagrinejami uº-daviniai kra²tinais uºdaviniais. Tuo atveju, kai kuris nors vienas i² kintamuju,pavyzdºiui, laikas, yra i²skiriamas i² kitu ir ²i kintam¡ji atitinkan£ios papildo-mos s¡lygos apibreºia ie²komos funkcijos bei jos i²vestiniu reik²mes pradiniulaiko momentu, ji atitinkan£ios s¡lygos yra vadinamos pradinemis arba Ko²is¡lygomis. Uºdavinys tik su pradinemis s¡lygomis yra vadinamas pradiniu arbaKo²i uºdaviniu. Jeigu uºdavinyje, be pradiniu s¡lygu, yra ir kitos kra²tiness¡lygos, tai toks uºdavinys vadinamas mi²riuoju uºdaviniu.

Jeigu diferencialineje lygtyje yra tik vienas nepriklausomas kintamasis, taitoki¡ lygti vadiname paprast¡ja diferencialine lygtimi . Prie²ingu atveju difer-encialine lygtis vadinama daliniu i²vestiniu lygtimi . Lygtis vadinama k-osioseiles lygtimi, jeigu i j¡ ieina ie²komos funkcijos k-osios eiles i²vestine ir neieinaauk²tesniu eiliu i²vestines. Pavyzdºiui lygtis

y′ = y2,

ie²komos funkcijos y = y(x), x ∈ (a, b) ⊂ R atºvilgiu, yra pirmoios eiles papras-toji diferencialine lygtis. Lygtis

y′′ + 3y′ + y = 0,

ie²komos funkcijos y = y(x), x ∈ (a, b) ⊂ R atºvilgiu, yra antrosios eiles papras-toji diferencialine lygtis, o lygtis

√xux +√yuy +

√zuz = 0,

1.1 PAGRINDIN ES SVOKOS 5

ie²komos funkcijos u = u(x, y, z), (x, y, z) ∈ G ⊂ R3 atºvilgiu, yra pirmosioseiles daliniu i²vestiniu lygtis.

Bendruoju atveju k-osios eiles paprast¡j¡ diferencialin¦ lygti galima uºra²ytitaip:

F(x, y, y′, . . . , y(k)) = 0; (1.1)

£ia F ºinoma funcija, apibreºta kokioje nors srityje D ⊂ Rk+2, y = y(x) ie²koma funkcija. Tokia lygtis dar gali priklausyti nuo papildomu kintamujuλ, µ, . . . iuo atveju sakoma, kad ie²komoji funkcija y priklauso nuo kintamujuλ, µ, . . . kaip nuo parametru. Kartais (1.1) lygti galima i²spr¦sti auk²£iausiosi²vestines atºvilgiu ir uºra²yti pavidalu

y(k) = f(x, y, y′, . . . , y(k−1)). (1.2)

Tada tokia lygtis vadinama normali¡ja lygtimi .Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G ⊂ Rk+1.A p i b r e º i m a s . Sakysime, funkcija ϕ : 〈a, b〉 → R1, apibreºta kokiame

nors intervale 〈a, b〉, yra (1.2) lygties sprendinys, jeigu:

1. ϕ yra k kartu diferencijuojama intervale 〈a, b〉.

2. Ta²kas(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(k−1)(x)

)∈ G, ∀x ∈ 〈a, b〉.

3. ϕ(k)(x) = f(x, ϕ(x), ϕ′(x), . . . , ϕ(k−1)(x)

), ∀x ∈ 〈a, b〉.

Sprendinio apibreºimas bendresnei (1.1) lyg£iai yra analogi²kas.P a s t a b a . I² funkcijos f tolydumo bei sprendinio ϕ apibreºimo i²plaukia,

kad i²vestine ϕ(k) yra tolydi intervale 〈a, b〉 funkcija. Be to, sprendinio apibre-ºimo sritis yra jungioji aibe, t.y. intervalas 〈a, b〉.

Tegu (1.1) lygtyje funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos ir visu jos i²-vestiniu atºvilgiu. Tada tokia lygtis vadinama tiesine k-osios eiles lygtimi . J¡galima uºra²yti taip:

y(k) + a1(x)y(k−1) + a2(x)y(k−2) + · · ·+ ak−1(x)y′ + ak(x)y = f(x). (1.3)

Nagrinejant tiesin¦ k-osios eiles lygti patogu lygiagre£iai nagrineti tiesin¦ ho-mogenin¦ k-osios eiles lygti

y(k) + a1(x)y(k−1) + a2(x)y(k−2) + · · ·+ ak−1(x)y′ + ak(x)y = 0. (1.4)

Kai (1.3) arba (1.4) lygtyje koecientai ai, i = 1, 2, . . . , n yra pastovus, tai tokioslygtys yra vadinamos tiesinemis k-osios eiles lygtimis su pastoviais koecientais

Tarkime, (1.1), (1.2), (1.3) ir (1.4) lygtyse k = 1. Tada pastarosios lygtysyra pirmosios eiles paprastosios diferencialines lygtys ir jas galima uºra²yti taip:

F (x, y, y′) = 0, y′ = f(x, y),

y′ + p(x)y = f(x), y′ + p(x)y = 0.

6 1. PAPRASIAUSI MATEMATINIAI MODELIAI

Paprastuju diferencialiniu lyg£iu teorijoje nagrinejama ne tik viena lygtis,bet ir lyg£iu sistemos. Pavyzdºiui, pirmosios eiles n lyg£iu sistem¡, i²reik²t¡i²vestiniu atºvilgiu, galima uºra²yti taip:

y′1 = f1(x, y1, . . . , yn),...

...y′n = fn(x, y1, . . . , yn).

(1.5)

Tokia sistema vadinama normaline. Atkreipsime demesi i tai, kad tokioje siste-moje ie²komu funkciju y1, . . . , yn skai£ius lygus lyg£iu skai£iui n. Paºymej¦

y = colon(y1, . . . , yn), f = colon(f1, . . . , fn)

pastar¡j¡ sistem¡ galima uºra²yti vektorineje formoje

y′ = f(x, y). (1.6)

P a s t a b a . Daugeliu atveju ivairias auk²tesnes eiles sistemas ir lygtis ga-lima suvesti i pirmos eiles normali¡j¡ lyg£iu sistem¡. Pavyzdºiui, antros eiles nlyg£iu sistem¡

y′′ = f(x, y, y′), y = colon(y1, . . . , yn)

keitiniu y′ = w, w = colon(w1, . . . , wn) galima suvesti i pirmos eiles normali¡j¡2n lyg£iu sistem¡

w′ = f(x, y, w),y′ = w.

Tre£ios eiles lygtiy′′′ = f(x, y, y′, y′′)

keitiniu y′ = u, u′ = v galima suvesti i pirmos eiles normali¡j¡ 3 lyg£iu sistem¡v′ = f(x, y, u, v),y′ = u,

u′ = v.

Jeigu (1.5) sistemoje funkcijos f1, . . . , fn yra tiesines kintamuju y1, . . . , yn at-ºvilgiu, tai tokia sistema vadinama pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg£iusistema. Bendruoju atveju pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg£iu sistem¡galima uºra²yti taip:

y′1 + a11(x)y1 + · · ·+ a1n(x)yn = f1(x),...y′n + an1(x)y1 + · · ·+ ann(x)yn = fn(x).

arba matriciniu pavidaluy′ +A(x)y = f(x);


£ia y = colon(y1, . . . , yn), f = colon(f1, . . . , fn) vektoriai stulpeliai, o A =aij n× n eiles matrica.

Tarkime, f yra tolydi funkcija, apibreºta kokioje nors srityje G ⊂ Rn+1.A p i b r e º i m a s . Sakysime, funkcija ϕ : 〈a, b〉 → Rn yra (1.6) sistemos

sprendinys, jeigu:

1. Ji yra diferencijuojama intervale 〈a, b〉.

2. Ta²kas (x, ϕ(x)) ∈ G, ∀x ∈ 〈a, b〉.

3. Teisinga tapatybe ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)), ∀x ∈ 〈a, b〉.

Tegu Ω ⊂ Rn apreºta sritis, u = u(x) ie²koma funkcija, apibreºta sri-tyje Ω, ux1 , . . . , uxn funkcijos u pirmos eiles dalines i²vestines, uxixj , i, j =1, 2 . . . , n funkcijos u antros eiles dalines i²vestines. Lygtis, kuri sieja neprik-lausomus kintamuosius x, ie²kom¡j¡ funkcij¡ u ir jos pirmos bei nors vien¡antros eiles dalines i²vestines vadinama antrosios eiles daliniu i²vestiniu lyg-timi. Bedruoju atveju antosios eiles daliniu i²vestiniu lygti galima uºra²yti taip:

F (x, u, ux1 , . . . , uxn, ux1x1 , . . . , uxixj

, . . . , uxnxn) = 0; (1.7)

£ia F - ºinoma savo argumentu funkcija, tenkinanti s¡lyg¡

n2∑i=1

(∂F (x, t, p, q)∂qi

)26= 0, ∀x ∈ Ω, t ∈ R, p ∈ Rn, q ∈ Rn

2\ 0

Jeigu funkcija F yra tiesine ie²komos funkcijos u ir visu jos daliniu i²vestiniuatºvilgiu, tai (1.7) lygtis vadinama tiesine lygtimi . Tiksliau, lygtis

n∑i,j=1

aij(x)uxixj+

n∑i=1

ai(x)uxi+ a(x)u = f(x), (1.8)

kurioje bent vienas i² koecientu aij 6= 0, vadinama tiesine antrosios eiles daliniui²vestiniu lygtimi. Jeigu koecientai aij , ai ir a nepriklauso nuo kintamojox, tai (1.8) lygtis vadinama tiesine antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtimi supastoviais koecientais.

Tarkime, (1.8) lygtyje funkcijos u antros eiles i²vestines yra tolydºios. Tadaj¡ galima suvesti i lygti, kurios koecientai prie antros eiles i²vestiniu tenkinas¡lyg¡

aij(x) = aji(x), ∀i, j = 1, . . . , n.

Norint tuo isitikinti, pakanka pastebeti, kad (1.8) lygtyje koecientus aij galimapakeisti koecientais

aij(x) = 12(aij(x) + aji(x)).

Todel toliau nagrinedami tiesines antros eiles lygtis, matric¡, sudaryt¡ i² koeci-entu prie antros eiles i²vestiniu, laikysime simetrine. Jeigu (1.8) lygtyje funkcijaf ≡ 0, tai tokia lygtis vadinama homogenine lygtimi.


P a s t a b a . Nagrinejant antrosios eiles daliniu i²vestiniu lygtis kartaispatogu i²skirti koki nors nepriklausom¡ kintam¡ji (pavyzdºiui, laik¡ arba tem-peratur¡). Toki kintam¡ji ºymesime raide t, o ie²komos funkcijos u = u(x, t)i²vestines kintamojo t atºvilgiu ut ir utt.

Daugelis zikos ir mechanikos uºdaviniu apra²omi daliniu i²vestiniu lygtimis.Daºnai tai tiesines antros eiles daliniu i²vestiniu lygtys. Papras£iausios i² ju yraPuasono (Laplaso)

−∆u = f(x), (∆u = 0),

²ilumos laidumout − a2∆u = f(x, t)

ir bangavimoutt − a2∆u = f(x, t)

lygtys. ia

∆u =n∑i=1

uxixi

yra n-matis Laplaso operatorius.Norint i²skirti konkretu diferencialines lygties sprendini reikalaujame, kad jis

tenkintu tam tikras papildomas s¡lygas. Pavyzdºiui, uºdavinys, kai reikia rastifunkcij¡ y, kuri tenkintu lygti

y′ + p(x)y = q(x), x ∈ (0, 1)

ir papildom¡ s¡lyg¡y|x=0 = y0

yra pradinis arba Ko²i uºdavinys. Uºdavinys, kai reikia rasti funkcij¡ y, kuritenkintu lygti

y′′ + p(x)y = q(x), x ∈ (0, 1)

ir papildomas s¡lygasy|x=0 = y0, y|x=1 = y1

yra kra²tinis uºdavinys.Keliu nepriklausomu kintamuju atveju uºdavinys, kai reikia rasti funkcij¡ u,

kuri srityje Ω ⊂ R2 tenkintu lygti

uxx + uyy = 0,

o konturo l = ∂Ω ta²kuose kra²tin¦ s¡lyg¡

u∣∣l

= ϕ(x, y),

yra kra²tinis uºdavinys. Uºdavinys, kai ie²koma fuunkcija u, kuri pusplok²-tumeje (t, x) : t > 0 tenkintu lygti

utt − a2uxx = 0, a = const


o tieseje t = 0 pradines s¡lygas

u∣∣t=0 = ϕ(x), ut

∣∣t=0 = ψ(x), x ∈ R1

yra pradinis (Ko²i) uºdavinys. Uºdavinys, kai ie²koma funkcija u, kuri juostoje(t, x) : t > 0, x ∈ (0, l) tenkintu lygti

ut − a2uxx = 0, a = const,

intervalo (0, l) kra²tiniuose ta²kuose s¡lygas

u∣∣x=0 = 0, u

∣∣x=l = 0,

o segmente x ∈ [0, l] pradin¦ s¡lyg¡

u∣∣t=0 = ϕ(x)

yra mi²rusis uºdavinys.Norint isitikinti ar sukonstruotas matematinis modelis yra geras reikia rastus

sprendinius palyginti su eksperimentu rezultatais. Jeigu skirtumas yra didelis,tai matematinis modelis yra blogas ir ji reikia arba atmesti, arba modikuoti.


1.2 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS

Vienas i² daºniausiai naudojamu matematiniu modeliu konstravimo metoduyra fundamentaliu gamtos desniu taikymas konkre£iu atveju. Pateiksime kelispavyzdºius.

1. E n e r g i j o s t v e r m e s d e s n i s . Rasime kulkos, i²²autos i² re-volverio, greiti. Tuo atveju, kai eksperimentatorius neturi ²iuolaikines labo-ratorijos, galima pasinaudoti s¡lyginai paprastu prietaisu ²vytuokle. Tegukunas, mases M, yra pakabintas ant standaus lengvo strypo, kuris gali laisvaisuktis (ºr. 1.1 pav.) ir pradiniu laiko momentu nejuda.

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..................

..............

..................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................

..............

•

Mvm

......................................

..................

..............

...............

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.........

.........

1.1 pav.

α

Kulka mases m, istrigusi kune, perduoda jam savo kinetin¦ energij¡. Pagalenergijos tvermes desni

mv2

2 = (M +m)2 V 2(α) + (M +m)gl(1− cosα);

£ia v kulkos greitis, V (α) sistemos "kunas+kulka" greitis, g laisvojo kritimopagreitis, l strypo ilgis, α strypo nuokrypio kampas. Tegu α∗ yra maksimalusstrypo nuokrypio kampas nuo pradines padeties. Tada greitis V (α∗) = 0 ir ²iuomomentu sistemos "kuno + kulkos" kinetine energija pereina i potencin¦. Taigi

mv2

2 = (M +m)gl(1− cosα∗). (1.9)

I² £ia randame kulkos greiti

v =√

2(M +m)gl(1− cosα∗)m

.

i formule yra pakankamai tiksli, jeigu energijos nuostolis del ²ilumos i²siskyrimobei energijos nuostolis del oro pasiprie²inimo yra maºas. Prie²ingu atveju (1.9)formules taikyti negalima. Energijos tvermes desnis teigia, kad nekinta pilnasistemos energija, o ne mechanine energija.

2. M a s e s t v e r m e s d e s n i s . Nagrinesime radioaktyvios medºiagosskilimo proces¡. Tarkime "maºas" radioaktyvios medºiagos (pavyzdºiui, urano)kiekis yra patalpintas "dideliame" kiekyje kitos medºiagos (pavyzdºiui, ²vino).Sakydami ºodi "maºas", turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai, ne-susidurdami su kitais atomais, laisvai palieka uºimam¡ sriti, o sakydami ºodi

1.2 FUNDAMENTALIU GAMTOS D ESNIU TAIKYMAS 11

"didelis" turime omenyje tai, kad visi skilimo produktai absorbuojasi radioak-tyvi¡ medºiag¡ supan£ioje srityje. Tegu m(t) ir M(t) yra atitinkamai radioak-tyvios, ir j¡ supan£ios medºiagos mase laiko momentu t. Tada pagal masestvermes desni

m(0) +M(0) = m(t) +M(t).

Radioaktyvios medºiagos skilimo greiti charakterizuoja suskilusiu atomu skai-£ius per laiko vienet¡. Eksperimentai rodo, kad ²is skai£ius yra tiesiog pro-porcingas bendram radioaktyvios medºiagos atomu skai£iui tuo laiko momentu.Kadangi radioaktyvios medºiagos mase yra tiesiog proporcinga jos atomu skai-£iui, tai radioaktyvios medºiagos mases kitimo greitis yra tiesiog proporcingasjos masei tuo laiko momentu, t.y.

m′(t) = −km(t), k > 0.

Proporcingumo koecientas k kiekvienai konkre£iai radioaktyviai medºiagai nu-statomas eksperimento pagalba. I² pastarosios formules matome, kad radioak-tyvios medºiagos mase tenkina pirmos eiles tiesin¦ homogenin¦ lygti. Tiesiogiaigalima patikrinti, kad funkcija

m(t) = m(0)e−kt.

yra ²ios lygties sprendinys. Be to, kai t → +∞, radioaktyvios medºiagos masenyksta eksponenti²kai ir arteja prie nulio. Kadangi bendra medºiagos masenekinta, tai

M(t) = M(0) +m(0)(1− e−kt

).

Be to, kai t → +∞, M(t) → M(0) + m(0) ir visa radioaktyvioji medºiagapereina i j¡ supan£i¡ medºiag¡.

3. I m p u l s o t v e r m e s d e s n i s . is desnis teigia, kad pilnas sis-temos impulsas nekinta, jeigu sistemos neveikia i²orines jegos. Gyvenime su²iuo principu susiduriama gana daºnai. Pavyzdºiui, jeigu stovin£ioje valtyjeºmogus ºengia ºingsni i kuri¡ nors pus¦, tai valtis pasislenka i prie²ing¡ pus¦.io principo pagrindu veikia ivairus technikos prietaisai. I²nagrinesime tiesiaei-gio raketos judejimo matematini modeli, kai jos neveikia oro pasiprie²inimo beigravitacijos jegos. Tegu u yra i²metamo sudegusio raketos kuro greitis (²iuolai-kiniam kurui ²is greitis kinta nuo 3 iki 5 km/s) raketos korpuso atºvilgiu, o v(t) raketos greitis laiko momentu t emes atºvilgiu. Laikotarpiu ∆t dalis kurosudega ir raketos mase m(t) sumaºeja dydºiu ∆m = m(t+ ∆t)−m(t). Kadangipilnas sistemos impulsas nekinta, tai

m(t)v(t) = m(t+ ∆t)v(t+ ∆t)− v1(t+ ∆t)∆m;

£ia v1(t + ∆t) degimo produktu i²metimo greitis emes atºvilgiu, o ∆m < 0.Pastar¡j¡ lygyb¦ patogu perra²yti taip:

m(t+ ∆t)v(t+ ∆t)−m(t)v(t)∆t = m(t+ ∆t)−m(t)

∆t v1(t+ ∆t).


Artindami £ia ∆t→ 0, gausime diferencialin¦ lygti(m(t)v(t)

)′ = m′(t)v1(t) ⇐⇒ m(t)v′(t) = m′(t)(v1(t)− v(t)

).

Ta£iau v1(t)−v(t) = −u, t.y. degimo produktu greitis atºvilgiu raketos korpuso.Todel pastar¡j¡ lygti galime perra²yti taip:

m(t)dv(t)dt

= −udm(t)dt

⇐⇒ dv(t)dt

= −ud lnm(t)dt

.

Integruodami abi pastarosios lygties puses randame

v(t) = v(0) + u ln(m(0)m(t)

). (1.10)

Jeigu v(0) = 0, tai maksimalus raketos greitis pasiekiamas, kai kuras pilnaisudega ir lygus

vmax = u ln( m(0)m∗ +ms

);

£ia m∗ mase objekto, kuri reikia i²kelti i orbit¡ (pavyzdºiui, palydovo mase),o ms strukturine raketos konstrukcijos mase. Imdami m∗ = 0, m(0)/ms = 10,u = 3km/s gauname, kad maksimalus raketos greitis

vmax = u ln 10 ≈ 6.9km/s < 7km/s.

I² ²ios formules matome, kad netgi idealiu atveju, kai gravitacijos jegos lygiosnuliui, nera oro pasiprie²inimo bei raketos naudinga mase (pavyzdºiui, paly-dovo) lygi nuliui, maksimalus raketos greitis yra maºesnis uº pirm¡ji kosminigreiti v ≈ 7.91km/s. Del ²ios prieºasties kosmonautikoje buvo pradetos naudotidaugiapakopes raketos.

Konkretumo delei nagrinekime raket¡ su trimis pakopomis. Jos pradine mase

m(0) := m0 = m∗ +m1 +m2 +m3;

£ia mk, k = 1, 2, 3 yra k-osios pakopos bendra mase. Be to, tegu m∗k, k = 1, 2, 3yra k-osios pakopos kuro mase ir skai£ius λ = (mk−m∗k)/mk bei i²metamo sude-gusio kuro greitis u yra vienodas visoms trims pakopoms. Tarkime, momentut1 yra sudegintas visas pirmosios pakopos kuras. Tada raketos mase lygi

m(t1) = m∗ + (m1 −m∗1) +m2 +m3.

Remiantis (1.10) formule laiko momentu t1 raketa pasiekia greiti

v1 = u ln( m0

m(t1)

).

iuo momentu strukturine pirmosios pakopos mase m1−m∗1 atmetama ir isijun-gia antroji pakopa. Raketos mase ²iuo momentu lygi m∗ +m2 +m3. Tarkime,


laiko momentu t2 yra sudeginamas visas antrosios pakopos kuras. Remiantis(1.10) formule raketos greitis momentu t2 lygus

v2 = v1 + u ln( m∗ +m2 +m3

m∗ + (m2 −m∗2) +m3

).

Analogi²kai samprotaudami gauname, kad sudegus tre£iosios pakopos kuruiraketa pasiekia greiti

v3 = v2 + u ln( m∗ +m3

m∗ + (m3 −m∗3)

).

Paºymekime

α1 = m0

m∗ +m2 +m3, α2 = m∗ +m2 +m3

m∗ +m3, α3 = m∗ +m3

m∗.

Tadav3 = u ln

( α1

1 + λ(α1 − 1)

)( α2

1 + λ(α2 − 1)

)( α3

1 + λ(α3 − 1)

).

Rei²kinys de²ineje gautos lygybes puseje yra simetrinis dydºiu α1, α2, α3 atºvil-giu. Galima irodyti, kad didºiausi¡ reik²m¦ jis igyja, kai α1 = α2 = α3 = α.iuo atveju

v3 = 3u ln( α

1 + λ(α− 1)

)⇐⇒ α = 1− λ

e−v3/3u − λ.

Be to, sandauga

α1α2α3 = m0

m∗= α3, α = 3

√m0

m∗

P a s t a b a . Pastar¡sias formules galima apibendrinti bet kokiam baig-tiniam raketos pakopu skai£iui. Tiksliau galima irodyti, kad k pakopu raketagali pasiekti greiti

vk = ku ln( α

1 + λ(α− 1)

)⇐⇒ α = 1− λ

e−vk/ku − λ,

o santykism(0)m∗

= α1α2 · · ·αk = αk.

Tegu λ = 0.1 Pareikalav¦, kad dvieju pakopu raketa pasiektu greiti v2 =10.5km/s gausime, kad m(0)/m∗ = 149. Taigi norint dvieju pakopu raketaipakelti i orbit¡ vienos tonos krovini reikia apytiksliai 149 tonu kuro1. Trijupakopu raketa pasieks greiti v3 = 10.5km/s, kai m(0)/m∗ = 77. Taigi trijupakopu raketai i²kelti i orbit¡ vien¡ ton¡ krovinio reikia beveik du kartus maºiaukuro negu dvieju pakopu raketai. Galima parodyti, kad keturiu pakopu rake-tos atveju, lyginant su triju pakopu raketos atveju, kuro sanaudos sumaºejaneºymiai.

1Laikome, kad didºi¡j¡ dali raketos mases sudaro kuro mase.


4. A r c h i m e d o d e s n i s . Tarkime, povandeninis laivas plaukia pasto-viu grei£iu v gylyje h. Laiko momentu t = 0 gautas isakymas i²kilti i pavir²iu.Reikia rasti povandeninio laivo i²kilimo i vandenino pavir²iu trajektorij¡.

Pagal Archimedo desni laivo keliamoji jega (laivo i²stumto vandens svoris)

F = ρV g;

£ia ρ vidutinis laivo tankis, V laivo turis, g laisvojo kritimo pagreitis.Tarkime, laikas, per kuri i² laivo talpu yra i²stumiamas vanduo yra maºas

lyginant su laivo i²kilimo i pavir²iu laiku. I²stumus i² laivo talpu vandeni josvoris

P0 = ρ0V g;£ia ρ0 vidutinis laivo tankis be vandens.

Iveskime ortogonali¡ koordina£iu sistem¡ Oxy taip, kaip pavaizduota 1.2paveikslelyje ir tarkime, povandeninio laivo i²kilimo i vandenyno pavir²iu tra-jektorij¡ galima apibreºti lygtimi y = y(x), x ∈ [0, l].

......................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................

.

.

.

.

................. ..........

.............................................................................................................................................................................

.

...............................................

.

.

.

.

.................

....................

..............

........... ...................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

........... ...................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

↑ F

↓ P

y

x0 l

h•

•.......

...................

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

1.2 pav.

Veikianti laiv¡ vertikali sumine jega F−P suteikia laivui pagreiti a. Pagal antr¡jiNiutono desni (nepaisome vandens pasiprie²inimo jegos)

ρ0V a = F − P ⇐⇒ ρ0Vd2y

dt2= gV (ρ− ρ0).

Be to, x a²ies kryptimi laivas plaukia pastoviu grei£iu

v = dx

dt.

Suintegrav¦ ²ias lygtis randame

y(t) = gρ− ρ0

2ρ0t2, x(t) = vt.

Eliminav¦ i² ²iu lyg£iu parametr¡ t gauname, kad laivo i vandenyno pavir²iui²kilimo trajektorija yra parabole

y = gρ− ρ0

2ρ0v2 x2.


Laikas T, per kuri laivas pasiekia vandenyno pavir²iu, randamas i² lygties

gρ− ρ0

2ρ0T 2 = h,

o atstumas, kuri jis nuplaukia x a²ies kryptimi, lygus

l = vT = v( 2ρ0h

g(ρ− ρ0)

)1/2.

A n t r a s i s N i u t o n o d e s n i s . Nagrinesime rutuliuk¡ mases m, ku-ris yra pritvirtintas prie spyruokles (ºr. 1.3 pav.).

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

....................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

...................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

...................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

x0•

1.3 pav.

I²ved¦ rutuliuk¡ i² pusiausvyros padeties, kuri yra ta²ke x = 0, suteikiame jampradini nuokrypi x0 ir pradini greiti v0. Tegu x = x(t) yra rutuliuko nuokrypisnuo pusiausvyros padeties laiko momentu t. Tada laiko momentu t = 0 yraºinomas rutuliuko pradinis nuokrypis x(0) = x0 ir pradinis greitis x′(0) = v0.Be to, tegu a = a(t) yra rutuliuko pagreitis laiko momentu t. Nagrinedami ²iproces¡ laikysime, kad tiese, kuria svyruoja rutuliukas, yra ideali (t.y. rutuliukosvyravimas vyksta be trinties), oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jegayra statmena judejimo kryp£iai. Tada vienintele jega, veikianti rutuliuk¡, yraspyruokles stangrumo jega F. Pagal antr¡ji Niutono desni

F = ma = md2x

dt2.

Ta£iau spyruokl¦ veikianti jega (Huko desnis) yra proporcinga spyruokles ilgiopoky£iui, t.y.

F = −kx.

Taigi funkcija x, apibreºianti spyruokles svyravim¡, turi tenkinti antros eilesdiferencialin¦ lygti

md2x

dt2= −kx, t > 0. (1.11)

Lengvai galima isitikinti, kad funkcija

x = c1 sinωt+ c2 cosωt, ω =√k

m

yra ²ios lygties sprendinys. Laisvas konstantas c1 ir c2 randame i² s¡lygu

x(0) = x0, x′(0) = v0.


P a s t a b a . Matematinis modelis i²vestas remiantis vienais gamtos des-niais neturi prie²tarauti kitiems gamtos desniams. Be to, vien¡ ir t¡ pati modeligalima sudaryti remiantis skirtingais gamtos desniais. Pavyzdºiui, ka tik i²vest¡rutuliuko svyravimo matematini modeli galima apibreºti naudojant ne antr¡jiNiutono desni, o energijos tvermes desni. I² tikruju, kadangi spyruokle yrapritvirtinta prie rutuliuko ir sieneles, be to rutuliuko svyravimas vyksta be trin-ties, oro pasiprie²inimo jega lygi nuliui ir sunkio jega yra statmena judejimokryp£iai, tai sistemos "spyruokle-rutuliukas" mechanine energija yra pastovi,t.y.

E = T + P = const;

£ia kinetine energija

T = mv2

2 = 12m(dxdt

)2

o potencine energija

P = −x∫

0

F ds =x∫

0

ks ds = 12kx

2.

Taigi sumine energija

E = T + P = 12m(dxdt

)2+ 1

2kx2 = const.

Jos i²vestine

d

dtE = m

dx

dt

d2x

dt2+ kx

dx

dt= dx

dt

(md2x

dt2+ kx

)= 0.

I² ²ios formules matome, kad funkcija x turi tenkinti t¡ pa£i¡ lygti

md2x

dt2+ kx = 0, t > 0.

Jeigu spyruokl¦ veikia i²orine jega F , kuri priklauso nuo laiko, rutuliuko pa-deties ir grei£io t.y. F = F (t, x, x′), tai vietoje (1.11) lygties gauname lygti

md2x

dt2= −kx+ F (t, x, x′), t > 0. (1.12)

Tuo atveju, kai jega F yra pastovi, t.y. F (t, x, x′) = F0 = const, tai padar¦keitini x = x− F0/k gausime lygti

md2x

dt2+ kx = 0, t > 0.

iuo atveju matome, kad pastovi jega rutuliuko svyravimo i² esmes nekei£ia.Tik jos koordinate pasislenka dydºiu F0/k. Sudetingesnis atvejis gaunamas, kai


spyruokl¦ veikianti jega F priklauso nuo laiko t. Pavyzdºiui, tegu F (t, x, x′) =F0 sin ωt. Tada pastarosios lygties sprendinys

x = c1 sinωt+ c2 cosωt+ F0

m(ω2 − ω2) sin ωt, kai ω 6= ω.

I² ²ios formules matome, kad sprendinyje ne tik atsiranda papildomas narys suamplitude ω, bet ir rezonansas, t.y. sprendinio svyravimo amplitude neapreºtaiauga, kai ω → ω. Dar sudetingesni modeli gausime, jeigu rutuliuk¡ veikiatrinties jega, atsirandanti del aplinkos, kurioje juda rutuliukas, pasiprie²inimo.iuo atveju jega F priklauso nuo rutuliuko judejimo grei£io. i priklausomybeapibreºiama formule F (t, x, x′) = −µx′. ia koecientas µ > 0 priklauso nuorutuliuko skerspiuvio statmeno grei£iui ploto, aplinkos tankio bei jos klampumo.Rutuliuko svyravimas tokioje aplinkoje apibreºiamas lygtimi

md2x

dt2= −kx− µdx

dt, t > 0.

Padar¦ keitinix(t) = x(t)eαt, α = −µ/2m

gausime lygti

md2x

dt2= −k1x, k1 = k − µ2

4m.

i lygtis i² esmes skiriasi nuo (1.11) lygties tuo, kad koeciento k1 prie ie²komosfunkcijos ºenklas priklauso nuo parametru k, µ ir m reik²miu. Jeigu aplinkosklampumas nera didelis, t.y. kai k1 = k − µ2/(4m) > 0, rutuliuko svyravim¡galima (ºr. 3.2 skyreli) apibreºti formule

x(t) = x(t)eαt = (c1 sinωt+ c2 cosωt)e−tµ/2m, ω =√k1

m.

iuo atveju svyravimo daºnis yra ω ir didejant laikui svyravimai g¦sta. Jeiguk1 = 0, tai rutuliuko judejim¡ galima apibreºti formule

x(t) = (c1t+ c2)e−tµ/2m.

iuo atveju del didelies trinties svyravimu nera. Tegu k1 < 0. iuo atvejutrinties jegos yra tiek dideles, kad rutuliukas tiesiog istringa ji supan£ioje aplin-koje. Galima irodyti, kad rutuliukas nepereina per ta²k¡ x = 0 ir tik arteja priejo, kai t→ +∞.


1.3 VARIACINIO SKAIIAVIMO ELEMENTAI

Vienas i² pirmuju variacinio skai£iavimo uºdaviniu yra 1696 m. J. Bernuliosuformuluotas uºdavinys apie brachistochron¦:

1 u º d a v i n y s . Vertikalioje plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, nesantysvienoje vertikalioje tieseje. Tegu x1, y1 ir x2, y2 yra ²iu ta²ku koordinates. I²ta²ko (x1, y1) i ta²k¡ (x2, y2) kreive l be trinties juda materialus ta²kas. Pradiniulaiko momentu jo greitis v lygus nuliui. Aibeje tokiu kreiviu reikia rasti t¡, kuriajudedamas materialus ta²kas pasiektu ta²k¡ (x2, y2) per trumpiausi¡ laik¡. Ie²-komoji kreive l yra vadinama brachistochrone.

Tarkime, koordina£iu a²ys x, y parinktos taip, kaip nurodyta 1.4 paveiksle-lyje,

......................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x1 x2

y1

y2

l

y

x

1.4 pav.

o kreive l apibreºta lygtimi

y = y(x), x ∈ [x1, x2]. (1.13)

Taday(x1) = y1, y(x2) = y2. (1.14)

Pagal energijos tvermes desni

mv2

2 = mg(y − y1);

£ia: m judan£io ta²ko mase, g laisvojo kritimo pagreitis. Kadangi

|v| = dl

dt=√

1 + y′2dx

dt,

tai

dt =√

1 + y′2√2g(y − y1)

dx.

Suintegrav¦ ²i¡ lygyb¦ nuo x1 iki x2, gausime

T ≡ I (y) =x2∫x1

√1 + y′2√

2g(y − y1)dx; (1.15)

£ia T laikas, kuri sugai²ta materialus ta²kas, judedamas kreive l i² ta²ko(x1, y1) i ta²k¡ (x2, y2). Taigi nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini

1.3. VARIACINIO SKAIIAVIMO ELEMENTAI 19

uºdavini. Tegu y : (a, b)→ R1 yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenk-inanti (1.14) s¡lyg¡. Aibeje tokiu funkciju reikia rasti t¡, kuriai (1.15) integralasigyja maºiausi¡ reik²m¦.

2 u º d a v i n y s . Tegu v = v(x, y, z) yra ²viesos sklidimo nehomogenine-je medºiagoje greitis. Rasti ²viesos sklidimo trajektorij¡ l, jungian£i¡ ta²kus(x1, y1, z1) ir (x2, y2, z2).

Tarkime, ²viesos sklidimo trajektorija yra apibreºiama lygtimis:

y = y(x), z = z(x), x ∈ [x1, x2]. (1.16)

Taday(x1) = y1, y(x2) = y2, z(x1) = z1, z(x2) = z2. (1.17)

Kadangi

|v| = dl

dt=√

1 + y′2 + z′2dx

dt,

tai ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko (x1, y1, z1), pasieks ta²k¡(x2, y2, z2) per laik¡

T ≡ I (y, z) =x2∫x1

√1 + y′2 + z′2

|v(x, y, z)| dx. (1.18)

Pagal Ferma desni ²viesa sklinda ta trajektorija, kuria judant laikas T yra mi-nimalus. Todel nagrinejamas uºdavinys susiveda i toki variacini uºdavini. Teguy, z : (x1, x2) → R1 yra diferencijuojamos argumento x funkcijos, tenkinan£ios(1.17) s¡lygas. Tokiu funkciju aibeje reikia rasti tas, kurioms (1.18) integralasigyja maºiausi¡ reik²m¦.

3 u º d a v i n y s . Tegu l yra uºdaras konturas erdveje R3, o S pavir²ius,uºtemptas ant konturo l. Tokiu pavir²iu aibeje reikia rasti t¡, kurio plotas yramaºiausias.

Tarkime, ortogonalioje koordina£iu sistemoje Oxyz pavir²ius S apibreºia-mas lygtimi z = u(x, y), x, y ∈ Ω, ∂Ω konturo l projekcija i plok²tum¡ Oxy(ºr. 1.5 pav.).

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................................................

.

.

.........................

.............................

..............................

∂Ω

S

l

.......................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................................................

..............

....................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................................................................................................

...................

........................................................................................

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

...................

z

x

yΩ

1.5 pav.


Tada pavir²iaus S plotas

|S| ≡ I(z) =∫Ω

√1 + u2

x + u2y dxdy. (1.19)

Jeigu ta²kas (x, y) ∈ ∂Ω, tai ta²kas (x, y, u(x, y)) ∈ l. Tai rei²kia, kad funkcijau(x, y) ta²kuose (x, y) ∈ ∂Ω igyja ºinom¡ reik²m¦. i¡ s¡lyg¡ galima uºra²ytitaip:

u∣∣∂Ω = ϕ(x, y); (1.20)

£ia ϕ ºinoma funkcija. Taigi gavome toki variacini uºdavini.Tegu z = u(x, y) yra diferencijuojama srityje Ω funkcija, tenkinanti (1.20)

s¡lyg¡. Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t¡, kuriai (1.19) integralas igyja maºi-ausi¡ reik²m¦.

4 u º d a v i n y s . Plok²tumoje Oxy yra du ta²kai, sujungti atkarpa irkreive l, kurios ilgis a. Tokiu kreiviu aibeje reikia rasti t¡, kuri kartu su atkarpaapriboja didºiausio ploto gur¡.

Tarkime, kad tie ta²kai yra x a²yje ir turi koordinates (x1, 0), (x2, 0), o kreiv¦l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x ∈ [x1, x2]. Tada

y(x1) = 0, y(x2) = 0. (1.21)

Figuros, apribotos kreive l ir atkarpa [x1, x2], plotas lygus

|S| = I(y) =x2∫x1

y dx. (1.22)

Kreives l ilgis

|l| = G(y) =x2∫x1

√1 + y′2 dx. (1.23)

Taigi gavome toki variacini uºdavini.Tegu y : (x1, x2) → R1, yra diferencijuojama argumento x funkcija, tenki-

nanti (1.21) s¡lyg¡. Tokiu funkciju aibeje reikia rasti t¡, kuriai (1.22) integralasigyja maºiausi¡ reik²m¦, o (1.23) integralas igyja reik²m¦ a.

Visuose ²iuose uºdaviniuose ie²kome funkcijos (arba keliu funkciju), kuritenkina tam tikras papildomas s¡lygas ir suteikia nagrinejamam integralui eks-tremali¡, t.y. minimali¡ arba maksimali¡, reik²m¦. Tiesa, 4 uºdavinyje ie²ko-moji funkcija kartu su (1.21) turi tenkinti dar ir (1.23) s¡lyg¡, kuri yra visaikitokio pobudºio. Apibendrindami ²iuos uºdavinius sakysime, kad pagrindinisvariacinio skai£iavimo uºdavinys yra rasti toki¡ funkcij¡, kuriai nagrinejamasfunkcionalas igyja ekstremali¡ reik²m¦. is uºdavinys yra analogi²kas elemen-tariems analizes uºdaviniams, kai yra ie²komi vienos arba keliu kintamuju funk-cijos ekstremumo ta²kai. Vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos f atveju


s¡lyga f ′(x) = 0 yra butina lokalaus ekstremumo egzistavimo s¡lyga. Na-grinejamu atveju taip pat yra i²vedama butina ekstremumo egzistavimo s¡-lyga. Daºniausiai tai yra paprastoji arba daliniu i²vestiniu lygtis. J¡ turi ten-kinti ie²komoji funkcija, jeigu tik ji egzistuoja. I²vedant butin¡ ekstremumoegzistavimo s¡lyg¡, naudojami keli teiginiai. Jie yra vadinami pagrindinemisvariacinio skai£iavimo lemomis.

1.1 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir1

b∫a

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (a, b) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ [a, b].

/ Tarkime prie²ingai, kad lemos s¡lygos yra patenkintos, ta£iau funkcijaf(x) 6≡ 0. Tada egzistuoja ta²kas x0 ∈ [a, b] : f(x0) 6= 0. Tegu f(x0) > 0.Kadangi funkcija f yra tolydi, tai egzistuoja ta²ko x0 aplinka (x0 − ε, x0 + ε)tokia, kad f(x) > 0, ∀x ∈ (x0 − ε, x0 + ε). Jeigu ta²kas x0 yra segmento[a, b] kra²tinis ta²kas, pavyzdºiui, x0 = b, tai reikia imti vienpus¦ ²io ta²koaplink¡. Aibeje C∞0 (a, b) imkime koki¡ nors funkcij¡ η, kuri yra teigiama ∀x ∈(x0 − ε, x0 + ε) ir lygi nuliui, kai x ∈ [a, b] \ [x0 − ε, x0 + ε]. Tada

0 =b∫a

f(x)η(x) dx =x+ε∫x−ε

f(x)η(x) dx > 0.

Gauta prie²tara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga. Taigi f(x) =0, ∀x ∈ [a, b]. Atvejis, kai f(x0) < 0, nagrinejamas analogi²kai. .

Toks pats teiginys yra teisingas dvilypiu, trilypiu ir apskritai n-lypiu integ-ralu atveju.

1.2 lema. Tegu Ω yra apreºta erdveje Rn sritis, f ∈ C(Ω) ir∫Ω

f(x)η(x) dx = 0, ∀η ∈ C∞0 (Ω) .

Tada f(x) ≡ 0, ∀x ∈ Ω.

P a s t a b a . ios lemos irodymas yra analogi²kas 1.1 lemos irodymui. Beto, 1.2 lema i²lieka teisinga ir tuo atveju, jeigu joje sriti Ω pakeisime glodºiun-ma£iu pavir²iumi S.

1Tolydºiu funkciju intervale (a, b) aib¦ ºymesime C(a, b). Aib¦ funkciju, kurios intervale(a, b) turi tolydºias i²vestines iki k-tos eiles imtinai, ºymesime Ck(a, b). Jeigu, be to josintervale (a, b) yra ni£ios, tai toki¡ aib¦ ºymesime Ck

0(a, b) . Kai k =∞ aibe C∞0 (a, b) yra begalo diferencijuojamu ni£iu intervale (a, b) funkciju aibe.


1.3 lema. Tegu f yra tolydi segmente [a, b] funkcija ir

b∫a

f(x)η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b), η(a) = η(b) = 0.

Tada funkcija f yra konstanta.

/ Paºymekime

1b− a

b∫a

f(x) dx = C.

Tadab∫a

(f(x)− C) dx = 0. (1.24)

Tegu

η(x) =x∫a

(f(t)− C) dt.

Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija η tenkina lemos s¡lygas, o jos i²vestineη′(x) = f(x)− C. Todel

b∫a

(f(x)− C)f(x) dx = 0. (1.25)

Padaugin¦ (1.24) lygyb¦ i² −C ir pridej¦ prie (1.25), rezultat¡ uºra²ysime taip:

b∫a

(f(x)− C)2 dx = 0.

Ta£iau ²i lygybe yra galima tik tuo atveju, kai f(x) = C, ∀x ∈ [a, b]. .

1.4 lema. Tegu f ir g yra tolydºios segmente [a, b] funkcijos ir

b∫a

(g(x)η(x) + f(x)η′(x)) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b), η(a) = η(b) = 0. (1.26)

Tada f ∈ C1(a, b) ir f ′(x) = g(x), ∀x ∈ [a, b].

/ Tegu

w(x) =x∫a

g(t) dt.


Tadab∫a

w(x)η′(x) dx = −b∫a

g(x)η(x) dx

ir (1.26) tapatyb¦ galime perra²yti taip:

b∫a

(f(x)− w(x))η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1(a, b), η(a) = η(b) = 0.

Funkcija f − w tenkina 1.3 lemos s¡lygas. Todel ji yra konstanta, t.y.

f(x) =x∫a

g(t) dt+ C.

Akivaizdu, kad taip apibreºta funkcija yra tolydi ir turi tolydºi¡ i²vestin¦ f ′ = g..

Tegu Ω ⊂ R2, F ∈ C(Ω× R); l glodi kreive, gulinti srityje Ω ir jungiantidu ta²kus. Tarkime, kreiv¦ l galima apibreºti lygtimi y = y(x), x ∈ [a, b] iry(a) = α, y(b) = β. Tada ∀x ∈ [a, b] ta²kas (x, y(x)) ∈ Ω. Aib¦ diferencijuojamufunkciju, tenkinan£iu ²ias s¡lygas, paºymekime raide M.

Apibreºkime integral¡

I(y) =b∫a

F (x, y, y′) dx, y ∈M. (1.27)

Tada pagrindinis variacinio skai£iavimo uºdavinys formuluojamas taip: rastifunkcij¡ y ∈ M toki¡, kad integralas I igytu ekstremali¡, t.y. minimali¡ arbamaksimali¡, reik²m¦. ia yra kalbama apie absoliutuji ekstremum¡, t.y. ie²komafunkcija turi buti tokia, kad

I(y) ≤ I(y), ∀y ∈M

arbaI(y) ≥ I(y), ∀y ∈M.

Norint apibreºti lokalaus ekstremumo s¡vok¡, reikia apibreºti funkcijos (kreives)aplinkos s¡vok¡.

Tegu ε > 0 yra ksuotas skai£ius ir y ∈ M. Funkcijos y nulines eiles (arbastipri¡ja) ε aplinka vadinsime aib¦

M0 = y ∈M : maxx∈[a,b]

|y(x)− y(x)| ≤ ε.

Funkcijos y pirmosios eiles (arba silpn¡ja) ε aplinka vadinsime aib¦

M1 = y ∈M : maxx∈[a,b]

|y(x)− y(x)|+ maxx∈[a,b]

|y ′(x)− y′(x)| ≤ ε.


A p i b r e º i m a s . Sakysime, funkcija y ∈ M suteikia funkcionalui Istipruji (silpn¡ji) lokalu ekstremum¡, jeigu kokioje nors stipriojoje ε aplinko-je M0 (silpnojoje ε aplinkoje M1)

I(y) ≤ I(y), ∀ y ∈M0 (∀ y ∈M1)

arbaI(y) ≥ I(y ), ∀ y ∈M0 (∀ y ∈M1).

Jeigu kokia nors funkcija y suteikia funkcionalui I absoliutuji ekstremu-m¡, tai ji suteikia ir stipruji lokalu ekstremum¡, tuo labiau ir silpn¡ji lokaluekstremum¡. Todel, jeigu kokia nors s¡lyga yra butina tam, kad funkcija ysuteiktu funkcionalui I silpn¡ji lokalu ekstremum¡, tai ²i s¡lyga yra butina irtam, kad funkcija y suteiktu funkcionalui I stipruji lokalu ekstremum¡, tuolabiau ir absoliutuji ekstremum¡. Taigi i²vedant butin¡ ekstremumo s¡lyg¡reikia i²nagrineti silpnojo lokalaus ekstremumo atveji.

Toliau vietoje naturalios tolydumo s¡lygos reikalausime, kad funkcija Fturetu tolydºias dalines i²vestines iki antrosios eiles imtinai pagal visus savo ar-gumentus. Atkreipsime demesi i tai, kad, irodant kai kuriuos teiginius, pakankareikalauti tik pirmuju i²vestiniu tolydumo.

Tarkime, funkcija y ∈ M suteikia (1.27) funkcionalui silpn¡ji lokalu ekstre-mum¡, o funkcija η ∈ C1

0(a, b) . Funkcija y + εη priklauso kokiai nors silpnaifunkcijos y aplinkai, jeigu skai£iaus ε modulis yra pakankamai maºas. Todeltokioms ε reik²mems yra teisinga viena i² nelygybiu

I(y) ≤ I(y + εη) arba I(y) ≥ I(y + εη).

Tegu Φ(ε) = I(y + εη). Pagal apibreºim¡

Φ′(0) = limε→0

I(y + εη)− I(y)ε

=b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)

]dx.

Ta²kas ε = 0 yra funkcijos Φ lokalaus ekstremumo ta²kas. Todel Φ′(0) = 0. i¡s¡lyg¡ galima perra²yti taip:

b∫a

[Fy(x, y, y′)η(x) + Fy′(x, y, y′)η′(x)

]dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) . (1.28)

Taigi funkcija y turi tenkinti (1.28) integralin¦ tapatyb¦.Atvirk²tinis teiginys yra neteisingas. Jeigu funkcija y ∈ M tenkina (1.28)

integralin¦ tapatyb¦, tai nebutinai ji suteikia integralui I silpn¡ji lokalu ekstre-mum¡. iuo atveju sakysime, kad integralas I igyja stacionari¡j¡ reik²m¦, ofunkcija y yra stacionarusis integralo I ta²kas.

Panaudoj¦ integravimo dalimis formul¦, perra²ysime (1.28) integralin¦ tapa-tyb¦ taip:

b∫a

[Fy′(x, y, y′)−

x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt]η′(x) dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) .


Pagal 1.3 lem¡ funkcija y turi tenkinti lygti

Fy′(x, y, y′)−x∫a

Fy(t, y(t), y′(t)) dt = C. (1.29)

i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta integraline forma.Irodyt¡ teigini galima suformuluoti taip: jeigu funkcija y ∈ M suteikia in-

tegralui I silpn¡ji lokalu ekstremum¡, tai egzistuoja konstanta C tokia, kadfunkcija y yra (1.29) integrodiferencialines lygties sprendinys.

P a s t a b a . I²vesdami (1.29) lygti, nesinaudojome tuo, kad funkcija F turitolydºi¡ i²vestin¦ Fx. Galima irodyti (ºr. [2]), kad funkcija y tenkina taip patintegralin¦ lygti

F (x, y, y′)− y′Fy′(x, y, y′)−x∫a

Fx(t, y(t), y′(t)) dt = C, x ∈ [a, b]. (1.30)

Griºkime dabar prie (1.28) integralines tapatybes. Pagal 1.4 lem¡ koecien-tas prie η′ turi tolydºi¡ kintamojo x atºvilgiu i²vestin¦. Todel (1.28) integralin¦tapatyb¦ galima perra²yti taip:

Fy′(x, y, y′)η∣∣∣x=b

x=a+

b∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y′)

)]η(x) dx = 0,

∀η ∈ C10(a, b) . Kadangi η(a) = η(b) = 0, taib∫a

[Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y′)

)]η(x) dx = 0, ∀η ∈ C1

0(a, b) .

ioje integralineje tapatybeje rei²kinys, esantis lauºtiniuose skliaustuose, tenk-ina 1.1 lemos s¡lygas. Todel funkcija y yra diferencialines lygties

Fy(x, y, y′)− d

dx

(Fy′(x, y, y′)

)= 0 (1.31)

sprendinys. i lygtis yra vadinama Oilerio lygtimi uºra²yta diferencialine forma.Padaugin¦ Oilerio lygti i² y′, j¡ perra²ome taip:

d

dx

(F (x, y, y′)− y′Fy′(x, y, y′)

)− Fx(x, y, y′) = 0 (1.32)

Suformuluosime irodyt¡ teigini. Jeigu funkcija y ∈ M suteikia integralui Isilpn¡ji lokalu ekstremum¡, tai ji turi tenkinti (1.31) ir (1.32) lygtis.

P a s t a b a . Jeigu (1.27) integrale skaliarin¦ funkcij¡ y pakeisime i vek-torin¦ funkcij¡ y =: (y1, y2, · · · , yn), tai vietoje vienos Oilerio lygties gausimen Oilerio lyg£iu sistem¡. Pavyzdºiui, vietoje (1.31) lygties gausime n lyg£iusistem¡

Fyi(x, y, y′)− d

dx

(Fy′

i(x, y, y′)

)= 0, i = 1, 2 . . . , n. (1.33)


1.4 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS

Kitas daºnai naudojamas matematiniu modeliu konstravimo metodas yra "va-riaciniu principu" taikymo metodas. Vieno i² tokiu principu esme yra ta, kadtam tikras dydis, apra²antis nagrinejamos sistemos perejim¡ i² vienos padetiesi kit¡, perejimo metu igyj¡ ekstremali¡ reik²m¦. Pavyzdºiui, pagal Ferma desni²viesos spindulys, paleistas i² ta²ko A i ta²k¡ B, juda ta trajektorija, kuriai²viesos sklidimo laikas yra minimalus. Remiantis ²iuo principu galima i²vestivisus pagrindinius geometrines optikos desnius. I²nagrinesime papras£iausi¡pavyzdi.

1. v i e s o s l u º i m a s . Tarkime, dvi skitingu savybiu homogeninesterpes skiria tiese. Paºymekime j¡ raide x. Tegu ²viesos spindulys, i²einantisi² ta²ko A, kerta ties¦ x kampu α ir β(α) yra kampas tarp x a²ies ir spinduliokitoje terpeje (ºr. 1.6 pav). Be to, tegu pirmoje terpeje ²viesos sklidimo greitislygus va, o antroje vb. Rasime β(α).

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.....................................................................................................................................................................................

..................................................................................................................................................................

x

A

B

α

β(α)

la

lbb

a

c

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.........

...................1.6 pav.

.

.

.

.

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

Tada ²viesos spindulys, i²einantis i² ta²ko A, pasieks ta²k¡ B per laik¡

t(α) = lava

+ lbvb

= a

va sinα + b

vb sin β(α) .

is laikas bus trumpiausias, kai t′(α) = 0, t.y. kai

− a

va

cosαsin2 α

− b

vb

cosβsin2 β(α)

· β′(α) = 0.

Kadangia

tgα + b

tg β(α) = c,

tai

− a

sin2 α− b

sin2 β(α)· β′(α) = 0.

Eliminav¦ i² pastaruju dvieju lyg£iu β′(α), gausime ºinom¡ ²viesos luºimo for-mul¦

cosαcosβ(α) = va

vb.

1.4 VARIACINIU PRINCIPU TAIKYMAS 27

Sudarant zikos ir mechanikos rei²kiniu matematinius modelius daºnai nau-duojamas Hamiltono principas. Jo esme yra tokia.

Tarkime, laiko momentu t1 nagrinejamas kunas yra I padetyje, o laiko mo-mentu t2 II padetyje. Ai²ku, kad perejimas i² I padeties i II galimas skirtingaiskeliais (ºr. 1.7 pav.).

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................................

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

...................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

....................................................

............................................................................................................................

t1

t2

I

II

1.7 pav.Paºymesime raidemis T ir P kuno kinetin¦ ir potencin¦ energijas. Tada

Hamiltono principas tvirtina, kad realiame procese, veikiant potencinems je-goms kunas juda ta trajektorija, kurioje integralas

I =t2∫t1

(T − P ) dt

igyja stacionari¡ reik²m¦. Kartais stacionari reik²me yra maºiausia integraloreik²me. Todel Hamiltono principas dar yra vadinamas maºiausio veiksmo prin-cipu. I²nagrinesime kelis pavyzdºius.

1. M a t e r i a l a u s t a ² k o t r a j e k t o r i j a . I² pradºiu i²nagrinesi-me papras£iausi¡ atveji, kai materialus ta²kas mestas vertikaliai auk²tyn judavakume veikiamas pastovios sunkio jegos. Tegul yra ºinoma ta²ko koordinateir greitis pradiniu laiko momentu. Tarkime, ta²ko trajektorij¡ galima apibreºtilygtimi y = y(t). Be to, tegu pradiniu laiko momentu t = 0 auk²tis y(0) = 0, ogreitis v = c. Ta²ko kinetine energija

T = mv2

2 = my2

2 , y = dy

dt.

Ta²ko potencine energijaP = mgy.

Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome integral¡

I(y) =t2∫t1

(my2

2 −mgy)dt.

i integral¡ atitinka Oilerio lygtis

d

dt(my) +mg = 0.

Jos sprendinys

y = −12gt

2 + C1t+ C2.


Pagal prielaid¡ y(0) = 0, y(0) = c. Todel C2 = 0, o C1 = c. Vadinasi, vertikaliaiauk²tyn mesto materialaus ta²ko judejimas yra apra²oma lygtimi

y = −12gt

2 + ct.

Tarkime dabar, kad materialus ta²kas metamas i² koordina£iu pradºios kam-pu α (ºr. 1.8 pav.) pradiniu grei£iu c. Rasime ²io ta²ko trajektorij¡.

..

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................

x

y

o

c

α

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................

1.8 pav.

Bendru atveju j¡ galima apibreºti lygtimis

y = y(t), x = x(t).

Tada ta²ko kinetine energija

T = m

2 (x2 + y2), x = dx

dt, y = dy

dt,

o potencine energijaP = mgy.


I(x, y) =t2∫t1

(m2 (x2 + y2)−mgy

)dt.

i integral¡ atitinka Oilerio lygtys:

d

dt(mx) = 0, d

dt(my) +mg = 0.

Perra²ysime jas taip:x = 0, y = −g.

iu lyg£iu sprendiniai:

x = C1t+ C2, y = −g2 t2 + C3t+ C4.

Pagal prielaid¡ x(0) = 0, y(0) = 0. Todel C2 = C4 = 0. Be to,

x(0) = c cosα, y(0) = c sinα, c = |c|.


TodelC1 = c cosα, C2 = c sinα.

Taigi nagrinejamojo ta²ko trajektorij¡ galima apra²yti parametrinemis lygtimis:

x = ct cosα, y = −g2 t2 + ct sinα,

i² kuriu gauname

y = − gx2

2c2 cos2 α+ x tanα.

3. P l a n e t u j u d e j i m o d e s n i a i . Tarkime M yra Saules mase, om planetos mase. Pagal visuotini traukos desni (ºr. 1.9 pav.)

.....................................

...........................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................

..............

..................................................................

..............

M

m

•

•

r0

rr0

1.9 pav.

abi mases veikia viena kit¡ jega

F = −γMm

r2 r0, |r0| = 1.

Veikiant ²iai jegai, potencine energija

P =∞∫r

F · dr = −γMm

∞∫r

1r2 dr = −γMm

r.

Paºymekime γM = k . Tada P = −kmr

. Tarkime planetos judejim¡ galima

apibreºti parametrinemis lygtimis 1 x = x(t), y = y(t). Tada Planetos kinetineenergija

T = m

2 v2 = m

2 (x2 + y2).

Nagrinejant ²i uºdavini, patogu ivesti polines koordinates:

x = r cosϕ, y = r sinϕ.

Polinese koordinateseT = m

2 (r2 + r2ϕ2).

1Pagal antr¡ji Niutono desni mr′′ = F . Todel r × mr′′ = r × F = 0. Pastar¡j¡ lygyb¦galima perra²yti taip (r × mr′)′ = 0. Integruodami j¡ randame r × mr′ = c, c vektorinekonstanta. Padaugin¦ skaliari²kai abi ²ios lygybes puses i² r turime c · r = 0. Tai yra vektorineplok²tumos lygtis. Todel galime tvirtinti, kad planetos skriejimo apie saul¦ trajektorija yraplok²£ia



I(r, ϕ) =t2∫t1

[m2 (r2 + r2ϕ2) + km

r

]dt.

i integral¡ atitinka Oilerio lygtys:

d

dt(mr) + km

r2 −mrϕ2 = 0, d

dt(mr2ϕ) = 0.

Antrosios Oilerio lygties sprendinys

r2ϕ = C, C = const > 0. (1.34)

Padaugin¦ pirm¡j¡ lygti i² r, o antr¡j¡ i² ϕ, perra²ysime jas taip:

rr − rrϕ2 + k

r2 r = 0.

2rrϕ2 + r2ϕϕ = 0.

Sudej¦ ²ias lygtis gausime

rr + rrϕ2 + r2ϕϕ+ k

r2 r = 0.

Pastebesime, kad kairioji pastarosios lygties puse yra pilnasis diferencialas. To-del j¡ galima perra²yti taip:

d

dt

[12(r2 + r2ϕ2)− k

r

]= 0⇐⇒ 1

2(r2 + r2ϕ2)− k

r= C1. (1.35)

Suintegrav¦ (1.34)lygti nuo t1 iki t2, gausime

12

t2∫t1

r2ϕ dt = 12

t2∫t1

r2 dϕ = 12C(t2 − t1).

Tai yra antrasis Keplerio desnis1. Jis teigia, kad planetos skrieja aplink Saul¦taip, kad planetos spindulys vektorius per vienod¡ laiko tarp¡ apibreºi¡ vienod¡plot¡.

I²rei²k¦ i² (1.34) i²vestin¦ ϕ ir istat¦ i (1.35), gausime

12

(r2 + C2

r2

)− k

r= C1 ⇐⇒ ±

dr√2C1 + 2k

r −C2

r2

= dt = r2

Cdϕ.

1iuolaikineje literaturoje Keplerio desniu numeracija skiriasi nuo originalios, suformuluo-tos Keplerio. Keplerio formuluoteje tai yra pirmasis Keplerio desnis.


Integruodami ²i¡ lygti randame

∓arccos C2 − krr√k2 + 2C1C2

= ϕ− C2

arba

r = C2

k +√k2 + 2C1C2 cos(ϕ− C2)

.

Tai yra elipses lygtis polinese koordinatese. Kai C2 = 0, gausime, kad elipsesa²is yra tieseje ϕ = 0. Paºymekime

p = C2

k, ε =

√1 + 2C1C

2

k2 .

Tada elipses lygti galima uºra²yti taip:

r = p

1 + ε cosϕ.

Tai yra pirmasis Keplerio desnis1. Jis teigia, kad planeta skrieja aplink Saul¦elipse, kurios viename i² ºidiniu yra Saule.

Elipses pusa²es

a = p

1− ε2 = − k

2C1, C1 < 0, b = √pa = C√

−2C1.

Tegu T yra laikas, per kuri planeta apskrieja aplink Saul¦. Tada elipses ribo-jamos guros plotas

πab = 12CT.

I² ²iu formuliu lengvai galima i²vesti, kad

T 2 = 4π2a3 1k.

Tai yra tre£iasis Keplerio desnis. Jis teigia, kad laiko kvadratas, per kuri planetaapskrieja aplink Saul¦, yra proporcingas didºiosios pusa²es kubui.

4. R u t u l i u k o s v y r a v i m u l y g t i s . Rutuliuko, pritvirtinto priespyruokles, svyravimu matematini modeli dviem skirtingais metodais sudareme1.2 skyrelyje. Parodysime, kad taikant Hamiltono princip¡ yra gaunama ta patirutuliuko svyravim¡ apra²anti lygtis.

Priminsime, kad mases m rutuliuko kinetine ir potencine energija lygi

T = 12mv

2 = 12m(dxdt

)2, P = 1

2kx2.

Remiantis Hamiltono principu sudarome integral¡

I(x) =t2∫t1

(T − P ) dt =t2∫t1

(12m(dxdt

)2− 1

2kx2)dt. (1.36)

1Keplerio formuluoteje tai yra antrasis Keplerio desnis


Ji atitinka Oilerio lygtis

md2x

dt2+ kx = 0.

5. L e k t u v o t r a j e k t o r i j a . Kokia uºdara plok²£ia kreive l turiskristi lektuvas, kad per laik¡ T apskrietu didºiausio ploto gur¡, jeigu lektuvogreitis, kai nera vejo, lygus v0, o vejo greitis a yra pastovus ir turi pastovi¡krypti.

Tarkime, vejo kryptis yra nukreipta x a²ies kryptimi ir lektuvo mases centropadeti laiko momentu t galima apibreºti lygtimis:

x = x(t), y = y(t).

Be to, teguα = α(t)

yra kampas tarp x a²ies ir lektuvo krypties. Lektuvo grei£io vektorius

v(t) = (x′(t), y′(t)).

Antra vertus, ²is grei£io vektorius

v(t) = (v0 cosα+ a, v0 sinα).

Sulygin¦ ²ias reik²mes gausime

x′ = v0 cosα+ a, y′ = v0 sinα. (1.37)

Plotas guros, kurios konturu skrenda lektuvas, i²rei²kiamas integralu

I(l) = 12

T∫0

(xy′ − yx′) dt.

Taigi reikia rasti kamp¡ α ir kreiv¦ l : x = x(t), y = y(t), kurie tenkintu(1.37) s¡lygas ir suteiktu funkcionalui I(l) didºiausi¡ reik²m¦. Tai yra s¡lyginioekstremumo uºdavinys. Funkciju trejetas α, x ir y yra ²io uºdavinio sprendi-nys, jeigu prie tam tikru Lagranºo daugikliu λ1 = λ1(t), λ2 = λ2(t) jos yrafunkcionalo

I∗(l) =T∫

0

[xy′ − yx′ − λ1(x′ − v0 cosα− a)− λ2(y′ − a sinα)] dt

ekstremales. i funkcional¡ atitinka trys Oilerio lygtys:

d

dt(Fx′)− Fx = 0 ⇐⇒ d

dt(−y − λ1)− y′ = 0,

d

dt(Fy′)− Fy = 0 ⇐⇒ d

dt(x− λ2) + x′ = 0,

d

dt(Fα′)− Fα = 0 ⇐⇒ −λ1 sinα+ λ2 cosα = 0.


I² pirmuju dvieju lyg£iu randame

2x+ c2 = λ2, 2y + c1 = −λ1.

Apibreºkime polines koordinates

x+ c2/2 = r cosϕ, y + c1/2 = r sinϕ.

Tada

tgϕ = 2y + c12x+ c2

= −λ1

λ2.

I² tre£iosios Oilerio lygties gauname, kad

λ1

λ2= ctgα.

Todel yra teisiga formuletgϕ = − ctgα.

I² jos randameα = ϕ+ π/2.

Kartu galime tvirtinti, kad kiekvienu laiko momentu t kampas tarp lektuvokrypties ir padeties vektoriu yra status.

Istat¦ rast¡ α reik²m¦ i (1.37) formules, gausime sistem¡

x′ = −v0 sinϕ+ a, y′ = v0 cosϕ.

Padaugin¦ pirm¡j¡ lygti i² x, antr¡j¡ i² y, ir abi gautas lygtis sudej¦, gausime

xx′ + yy′ = ax = ar cosϕ = ar sinα.

Pastar¡j¡ lygti galima perra²yti taip:

rdr

dt= ar sinα, r =

√x2 + y2.

Kadangi sinα = y′/v0, taidr

dt= a

v0

dy

dt.

Suintegrav¦ pastar¡j¡ lygti, gausime

r = a

v0y + C.

Pagal uºdavinio prasm¦ skai£ius e := a/v0 < 1. Todel pastaroji lygtis apibreºiaelips¦, kurios ekscentricitetas yra e ir vienas i² ºidiniu yra koordina£iu pradºios


ta²ke, o elipses didºioji a²is nukreipta y a²ies kryptimi.

•

ar.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.......................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

.............................

.............................

.............................

.............................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................

......................

......................

......................

......................

......................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................

......................

......................

......................

......................

......................

......................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

...........

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

.................................

.................................

.................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

.................................

.................................

.................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.10 pav.

Taigi didºiausio ploto gura, kuri¡ apibreºia skrisdamas lektuvas grei£iu dides-niu uº vejo greiti, yra elipse. ios elipses didºioji a²is yra nukreipta statmenaivejo kryp£iai. Be to, lektuvo a²ies kryptis kiekvienu laiko momentu yra ortogo-nali lektuvo masiu centro radiuso vektoriui (ºr. 1.10 pav.).

1.5 KELI PAPRASIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI 35

1.5 KELI PAPRASIAUSI NETIESINIU PROCESU MODELIAI

Tiesiniai procesai pasiºymi viena svarbia savybe. Bet kokiu juos apra²an£iusprendiniu tiesinis darinys taip pat yra sprendinys. Netiesiniai procesai ²iasavybe nepasiºymi. inant kelis netiesini proces¡ apra²an£ius sprendinius jutiesinis darinys nebutinai bus sprendinys. Be to, jeigu koki nors netiesini proces¡apra²anti parametr¡ pakeisime neºymiai, tai t¡ proces¡ apra²antys dydºiai galipasikeisti i² esmes. Daugumas netiesiniu procesu ir juos apra²an£iu matematiniumodeliu yra netiesiniai. Tiesiniai modeliai daºniausiai yra netiesiniu modeliupirmieji artiniai. Pateiksime kelis papras£iausius netiesiniu modeliu atvejus.

1. v y t u o k l e s s v y r a v i m a s . Tarkime, vienas strypo galas yrapritvirtintas prie sijos, o prie kito strypo galo pritvirtintas kunas mases m. Beto, tegu strypo mase yra pakankamai maºa lyginant su kuno mase, o strypasitvirtinimo vietoje gali laisvai, be trinties, suktis (ºr. 1.11 pav.).

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..........................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.•

..................... -------------

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

gvh

l...........

...........................

1.11 pav.

α

Nagrinesime plok²£i¡ ²vytuokles svyravim¡ ir laikysime, kad oro pasiprie²inimogalime nepaisyti. Kokiu nors budu ²vytuokl¦ i²veskime i² pusiausvyros padeties.Paºymekime raide α ²vytuokles nuokrypio kamp¡ nuo pusiausvyros padeties.Tada nagrinejamos sistemos kinetine energija

T = 12mv

2 = 12m(ldα

dt

)2,

o potencine energijaP = mgh = mg(l − l cosα);

£ia l strypo ilgis, g laisvo kritimo pagreitis, h ≥ 0 ²vytuokles nuokrypisnuo ºemiausios padeties. Remiantis Hamiltono principu sudarome integral¡

I(α) =t2∫t1

(T − P ) dt =t2∫t1

[12m(ldα

dt

)2−mg(l − l cosα)

]dt.

Tegu funkcija α = α(t) apra²o realu ²vytuokles svyravim¡. Tada ji turi tenkintiOilerio lygti

ld2α

dt2+ g sinα = 0.

Pastaroji lygtis yra netiesine antros eiles lygtis. Ta£iau jeigu svyravimai maºi,tai sinα ≈ α ²vytuokles maºu svyravimu matematinis modelis yra tiesinis

ld2α

dt2+ gα = 0.


Netiesines lygties atveju rasti sprendinio analizin¦ i²rai²k¡ daºniausiai neimano-ma. Todel tokiu lyg£iu sprendimui pasitelkiami skaitiniai metodai.

2. u o l i s s u p a r a ² i u t u . Tarkime, para²iutininkas mases m i²sklei-dºia para²iut¡ laiko momentu t = 0 ir jo greitis ²iuo momentu v(0) = v0. Tegu²is greitis nukreiptas sunkio jegos kriptymi. Tada para²iutininko trajektorijayra tiese. Rasime para²iutininko greiti bet kuriuo laiko momentu t, jeigu oropasiprie²inimo jega U yra tiesiog proporcinga grei£io kvadratui, t.y. U = bv2

(proporcingumo koecientas b priklauso nuo para²iuto). Para²iutinink¡ veikiasunkio jega P = mg ir oro pasiprie²inimo jega U nukreipta prie²inga judejimuikryptimi. Todel pagal antr¡ji Niutono desni

ma = P − U ⇐⇒ mdv(t)dt

= mg − bv2.

Taigi funkcija v turi tenkinti lygti

dv(t)dt

= −(v2 − k2) bm, k2 = mg

b.

Atskyr¦ kintamuosius ir integruodami gausime∫dv

v2 − k2 = −∫

b

mdt. (1.38)

Kadangi1

v2 − k2 = 12k

( 1v − k

− 1v + k

),

tai ∫dv

v2 − k2 = 12k

(∫ dv

v − k−∫

dv

v + k

)= 1

2k(ln |v − k| − ln |v + k|

)ir (1.38) lygyb¦ galime perra²yti taip:

ln∣∣∣v − kv + k

∣∣∣ = −2bkmt+ ln |c| ⇐⇒ v − k

v + k= ce−

2bkm t.

I²sprend¦ ²i¡ lygti v atºvilgiu, gausime

v(t) = k1 + ce−

2bkm t

1− ce− 2bkm t

. (1.39)

I² ²ios formules matome, kad para²iutininko greitis v(t) → k, kai t → +∞. I²s¡lygos v(0) = v0 randame laisv¡j¡ konstant¡

c = v0 − kv0 + k

< 1.

Istat¦ taip apibreºt¡ konstant¡ c i (1.39) formul¦, rasime para²iutininko greitilaiko momentu t.


Tegu x(t) yra atstumas, kuri nuskrieja para²iutininkas, i²²ok¦s i² lektuvo,ºemes kryptimi laiko momentu t. Tada para²iutininko greitis

v(t) = dx(t)dt

= ke

bkm t + ce−

bkm t

ebkm t − ce− bk

m t,

o atstumas ºemes kryptimi

x(t) = k

t∫0

ebkm s + ce−

bkm s

ebkm s − ce− bk

m sds = m

b

t∫0

d(e

bkm s − ce− bk

m s)

ebkm s − ce− bk

m s=

m

bln(e bk

m t − ce− bkm t

1− c

).

3. N a v i g a c i j o s u º d a v i n y s . Valtis i² vieno upes kranto plaukiai kit¡. Tarkime, upes krantai yra tiesese x = 0 ir x = l (ºr. 1.12 pav.). Be to,tegu pradiniu laiko momentu valtis yra koordina£iu pradºios ta²ke x = 0, y = 0,upes greitis v yra lygiagretus krantui ir upes grei£io modulis v = v(x), valtiesgrei£io v0 atºvilgiu vandens modulis v0 = v0(x) > 0 ir

v20(x) > v2(x), ∀x ∈ [0, l].

Reikia rasti valties trajektorij¡, kuria plaukdama ji pasieks kit¡ krant¡ pertrumpiausi¡ laik¡.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

yv

l0

v0

........................................

.

.

.

.

.

..

............

........................................

.

.

.

.

.

..

............

....................

..............

1.12 pav.

Paºymekime raide α neºinom¡ kamp¡ tarp x a²ies ir valties judejimo kryp-ties. Tada valties masiu centro absoliutaus grei£io koordinates apibreºiamasformulemis

dx

dt= v0 cosα, dy

dt= v + v0 sinα.

Eliminav¦ i² ²iu lyg£iu laik¡ t randame

dy

dx= v + v0 sinα

v0 cosα .

Pastar¡j¡ lygti perra²ykime taip:

y′ − v

v0 cosα = tgα.


Pakel¦ abi ²ios lygties puses kvadratu gausime rei²kinio 1/ cosα atºvilgiu kvadra-tin¦ lygti

(v20 − v2) 1

v20 cos2 α

+ 2vy′ 1v0 cosα − (1 + y′

2) = 0.

Jos sprendinys

1v0 cosα =

√v2

0(1 + y′2)− v2 − vy′

v20 − v2 .

Laikas, kuri sugai²ta valtis plaukdama i² vieno upes kranto i kit¡, priklauso nuovalties trajektorijos, t.y.

T (y) =l∫

0

dt

dxdx =

l∫0

dx

v0 cosα =l∫

0

√v2

0(1 + y′2)− v2 − vy′

v20 − v2 dx.

Tegu funkcija y = y(x), x ∈ [0, l], tenkinanti s¡lyg¡ y(0) = 0, apra²o re-ali¡ valties trajektorij¡. Leistin¡ valties trajektorij¡ galima apibreºti lygtimiy = y(x) + εη(x), η(0) = 0. Ta²kas, kuriame valtis pasiekia kit¡ krant¡ yraneºinomas. Todel funkcijai y = y(x) ta²ke x = l nekeliami jokie reikalavimai.Kartu ta²ke x = l nekeliami jokie reikalavimai ir funkcijai η.

Butin¡ integralo T lokalaus ekstremumo egzistavimo s¡lyg¡

δT (y, η) := limε→0

T (y + εη)− T (y)ε

= 0

perra²ykime taip:

δT (y, η) =l∫

0

1v2

0 − v2

v20y′√

v20(1 + y′2)− v2

− v

· η′(x) dx = 0. (1.40)

Imkime ²ioje integralineje tapatybeje η(l) = 0. Tada, remiantis 1.3 lema, galimetvirtinti, kad funkcija y turi tenkinti lygti

1v2

0 − v2

v20y′√

v20(1 + y′2)− v2

− v

= c, c = const. (1.41)

Griºkime prie (1.40) integralines tapatybes. Integruodami j¡ dalimis ir pasinau-doj¦ tuo, kad funkcija y turi tenkinti (1.41) lygti, gauname

1v2

0 − v2

v20y′√

v20(1 + y′2)− v2

− v

· η∣∣∣l0

= 0.

Kadangi η(0) = 0, o η(l) gali igyti bet kokias reik²mes, tai funkcija y ta²ke x = lturi tenkinti s¡lyg¡

v20y′√

v20(1 + y′2)− v2

− v = 0, ⇐⇒ y′ = v

v0(1.42)


Pastaroji s¡lyga yra vadinama naturali¡ja kra²tine s¡lyga. Taigi ie²koma funk-cija y intervale (0, l) turi tenkinti (1.41) lygti, ta²ke x = 0 kra²tin¦ s¡lyg¡y(0) = 0 ir ta²ke x = l naturali¡j¡ (1.42) kra²tin¦ s¡lyg¡. Pasinaudoj¦ (1.42)s¡lyga gauname, kad (1.41) lygtyje konstanta c = 0. Todel pastar¡j¡ lygti ga-lime perra²yti taip: y′ = v/v0. Integruodami j¡ randame, kad ie²koma valtiestrajektorija yra apibreºiama lygtimi

y(x) =x∫

0

v(s)v0(s) ds,

o laikas per kuri valtis pasiekia kit¡ krant¡

T =l∫

0

1v0(s) ds.

4. S t r y p o i ² l i n k i m o u º d a v i n y s . Tegu ilgio l strypo AB galasA yra itvirtintas. Kitas jo galas B yra laisvas ir prie jo pritvirtintas kunas masesm. Nustatyti strypo pusiausvyros form¡, nekreipiant demesio i jo paties mas¦.

Tarkime, x a²is yra horizontali tiese, einanti per ta²k¡ A. Laisvai pasiren-kame ta²k¡ S ∈ AB. Paºymekime raide s lanko AS ilgi. Tada sunkio jegupotencine energija

Psj = mgh = mg

l∫0

mg sinαds, sinαds = dy;

£ia h yra atstumas nuo ta²ko B iki x a²ies, o α kampas tarp x a²ies ir stypoliestines ta²ke S (ºr. 1.13 pav.).

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

y

A

BS

α•

••

1.13 pav.Tarkime, kampas α yra parametro s funkcija, t.y. α = α(s). Tada strypo

tamprumo jegu potencine energija [ºr. ???]

Ptj =l∫

0

Jα′2(s) ds;

£ia α′ = dα/ds strypo kreivis, J standumo modulis. Todel bendra strypopotencine energija

P =l∫

0

(Jα′

2 +mg sinα)ds


Tarkime, funkcija α = α(s), s ∈ [0, l], apra²o realu strypo i²linkim¡. Tada jituri tenkinti Oilerio lygti

2Jα′′ −mg cosα = 0.

Be to, itvirtintame strypo gale A turi buti patenkinta kra²tine s¡lyga α(0) = α0,o laisvame gale naturali¡j¡ kra²tin¦ s¡lyga α′(l) = 0 (jos i²vedimas yra toks patkaip praeitame pavyzdyje).

Tarkime, strypas yra maºai i²link¦s (t.y. artimas x a²iai) ir funkcija y =y(x), x ∈ [0, b], apra²o jo i²linkim¡. Tada

tgα = dy

dx≈ α.

Del tos pa£ios prieºasties

dα

ds≈ d2y

dx2 ,d2α

ds2 ≈d

ds

(d2y

dx2

)≈ d3y

dx3 ,

cosα ≈ 1, l =b∫

0

√1 + y′2(x) dx ≈ b.

Be to, tegu α0 = 0. Tada Oilerio lygti ir kra²tines s¡lygas galima uºra²yti taip:

2J d3y

dx3 −mg = 0, y(0) = 0, y′(0) = 0, y′′(b) = 0, l ≈ b.

ios Oilerio lygties sprendinys

y = mg

12J x3 + C1x

2 + C2x+ C3.

I² kra²tiniu s¡lygu randame

C1 = −mgl2J , C2 = C3 = 0.

Taigi maºai i²lenkto strypo pusiausvyros padeti apra²o funkcija

y = mg

12J (x3 − 6lx2).

1.6 STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS 41

1.6 STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS

Kiet¡ kun¡, kurio ilgis daug didesnis uº kitus jo matmenis, vadinsime styga.Tarkime, itempta baigtine styga yra itvirtinta galuose ir pusiausvyros buseno-je stygos ta²kai yra tieseje. Paºymesime ²it¡ ties¦ x a²imi, o ta²kus, kuriuosestyga itvirtinta ta²kais a ir b. Kokiu nors budu i²veskime styg¡ i² pusiausvyros.Nagrinesime tik tokius svyravimus, kai stygos ta²kai juda vienoje plok²tumojestatmenai x a²iai. Ta²ko x nuokrypi nuo pusiausvyros padeties paºymesimeu(x, t). Tada stygos svyravimus apra²o viena skaliarine funkcija u = u(x, t).Be to, nagrinesime tik maºus stygos svyravimus. Jegas, kurios prie²inasi stygosi²lenkimui, laikysime maºomis, lyginant su jos itempimo jegomis.

...

.......

.................................................................................................................................................................................................

.....................................

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

a bdx

dl

x

u

1.14 pav.

TeguK(x) stygos specine deformacijos energija ta²ke x, dl deformuotos sty-gos elemento ilgis (ºr. 1.14). Tada darbas, reikalingas elemento dx deformacijai,yra proporcingas stygos ilgio poky£iui

K(x)(dl − dx) = K(x)(√

1 + u2x − 1) dx.

Kai svyravimai maºi, ²aknies√

1 + u2x skleidinyje ux laipsniais galima atmesti

auk²tesniuosius laipsnius. Todel elemento dx potencine energija

K(x)(dl − dx) ≈ K(x)(1 + 12u

2x − 1) dx = 1

2K(x)u2x dx.

Visos stygos potencin¦ energij¡ galima i²reik²ti integralu

b∫a

12K(x)u2

x dx.

Jeigu styg¡ veikia i²orines jegos, kuriu linijinis tankis f(x, t), tai ²itu jegu atlieka-mas darbas i²rei²kiamas integralu

−b∫a

f(x, t)u dx.

Taigi stygos sumine potencine energija

P =b∫a

[12K(x)u2

x − f(x, t)u]dx.


Tegu ρ(x) linijinis stygos tankis ta²ke x. Tada elemento dx kinetine energija

dT = 12ρ(x)u2

t dx.

Visos stygos kinetine energija

T =b∫a

12ρ(x)u2

t dx.

Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome funkcional¡

I(u) =t2∫t1

(T − P )dt =t2∫t1

b∫a

[12ρ(x)u2

t −12K(x)u2

x + f(x, t)u]dxdt.

Tarkime, funkcija u apra²o tikr¡ji stygos svyravim¡, η bet kokia diferencijuo-jama niti sta£iakampyje Ω = (t1, t2)× (a, b) funkcija, o ε pakankamai maºasteigiamas skai£ius. Tada funkcija u+ εη apra²o leistin¡ stygos svyravim¡.

Funkcija u yra funkcionalo I stacionarioji reik²me. Todel

δI(u, η) := limε→0

I(u+ εη)− I(u)ε

=t2∫t1

b∫a

[ρ(x)utηt −K(x)uxηx + f(x, t)η] dxdt = 0.(1.43)

Pritaik¦ integravimo dalimis formul¦ ir pasinauduoj¦ tuo, kad funkcija η sta£i-akampyje Q yra niti, perra²ysime (1.43) s¡lyg¡ taip:

t2∫t1

b∫a

[−(ρ(x)ut)t + (K(x)ux)x + f(x, t)

]η dxdt = 0.

ioje integralineje tapatybeje η yra laisvai pasirinkta diferencijuojama nitifunkcija. Todel rei²kinys kvadratiniuose skliaustuose lygus nuliui, t.y. funk-cija u tenkina Oilerio lygti:

ρ(x)utt − (K(x)ux)x = f(x, t). (1.44)

I² visu (1.44) lygties sprendiniu reikia i²rinkti t¡, kuris tenkina visas nagrinejamouºdavinio s¡lygas. I²vesdami styg¡ i² pusiausvyros padeties, suteikeme jai pra-dini nuokrypi ir pradini greiti. Vadinasi, pradiniu laiko momentu (tarkime,momentu t = 0) funkcija u turi tenkinti pradines s¡lygas:

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), ∀x ∈ [a, b]. (1.45)

1.6 STYGOS SVYRAVIMU LYGTIS 43

Be to, ta²kuose a ir b styga yra itvirtinta. Todel bet kuriuo laiko momentu t ≥ 0turi buti patenkintos kra²tines s¡lygos:

u|x=a = 0, u|x=b = 0. (1.46)

Tokiu budu itvirtintos ta²kuose a ir b stygos svyravimo uºdavinys yra mi²rusis(1.44)(1.46) uºdavinys.

Jeigu styga yra homogenine ir tolygiai itempta, t.y. funkcijos ρ ir K yrapastovios, tai (1.44) lygti galima perra²yti taip:

utt − a2uxx = F (x, t); (1.47)

£ia: a2 = K/ρ, F = f/ρ. i lygtis yra vadinama vienmate bangavimo lygtimi.P a s t a b a . Esant kitokioms kra²tinems s¡lygoms, stygos svyravimas apra-

²omas ta pa£ia Oilerio lygtimi (tai i²plaukia i² jos i²vedimo). Tos pa£ios i²lieka irpradines s¡lygos. Kei£iasi tik kra²tines s¡lygos. Pavyzdºiui, jeigu ta²kas x = ajuda pagal tam tikr¡ desni arba ji veikia tam tikra jega, arba jis yra elastingaiitvirtintas, tai kra²tin¦ s¡lyg¡ ²iame ta²ke reikia pakeisti atitinkamai viena i²s¡lygu:

u|x=a = µ(t), K(x)ux|x=a = µ(t), K(x)ux + σ(x, t)u|x=a = 0.


1.7 MEMBRANOS SVYRAVIMAS IR PUSIAUSVYRA

Kiet¡ kun¡, kurio storis kur kas maºesnis uº visus kitus jo matmenis, vadinsimemembrana. Tarkime, pusiausvyros busenoje membrana uºima sriti Ω ⊂ R2,apribot¡ konturu l, ir konturo l ta²kuose yra itvirtinta. I²veskime j¡ (kokiunors budu) i² pusiausvyros padeties. Nagrinesime tik tokius svyravimus, kaikiekvienas membranos ta²kas juda tiese, statmena Ω. Paºymesime u(x, t) ta²kox = (x1, x2) ∈ Ω nuokrypi nuo pusiausvyros padeties laiko momentu t. Tadamembranos svyravim¡ galima apra²yti viena skaliarine funkcija u = u(x, t).Be to, nagrinesime tik maºus membranos svyravimus ir laikysime membranosi²lenkimo jegas maºomis, lyginant su jos itempimo jegomis.

Membranos ir stygos svyravimo lygties i²vedimas yra analogi²kas. Todel,i²vesdami membranos svyravimo lygti, praleisime kai kurias pasikartojan£iasdetales.

Potencin¦ ir kinetin¦ membranos energijas galima i²reik²ti integralais:

P =∫Ω

12K(x)(u2

x1+ u2

x2) dx−

∫Ω

f(x, t)u dx,

T =∫Ω

12ρ(x)u2

t dx;

£ia: K(x) membranos specine deformacijos energija ta²ke x, f(x, t) pavir²i-nis i²oriniu jegu tankis, ρ pavir²inis membranos tankis.

Remdamiesi Hamiltono principu, sudarome funkcional¡

I(u) =t2∫t1

∫Ω

[12ρ(x)u2

t −12K(x)(u2

x1+ u2

x2) + f(x, t)u

]dxdt.

Tegu funkcija u apra²o tikr¡ji membranos svyravim¡, η bet kokia diferencijuo-jama niti ritinyje Q = Ω× (t1, t2) funkcija, o ε pakankamai maºas teigiamasskai£ius. Tada funkcija u+ εη apra²o leistin¡ membranos svyravim¡.

Funkcija u yra funkcionalo I stacionarioji reik²me. Todel

δI(u, η) = limε→0

I(u+ εη)− I(u)ε

=t2∫t1

∫Ω

[ρ(x)utηt −K(x)(ux1ηx1 + ux2ηx2) + f(x, t)η] dxdt = 0.

I² ²ios integralines tapatybes lengvai gauname, kad funkcija u turi tenkinti Oi-lerio lygti

ρ(x)utt −2∑i=1

(K(x)uxi)xi = f(x, t). (1.48)

1.7 MEMBRANOS SVYRAVIMAS IR PUSIAUSVYRA 45

Be to, funkcija u turi tenkinti pradines

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = φ(x), x ∈ ω (1.49)

ir kra²tin¦u|l = 0, t ≥ 0 (1.50)

s¡lygas.Taigi itvirtintos konture l membranos svyravimo uºdavinys yra mi²rusis

(1.48)(1.50) uºdavinys.Tuo atveju, kai membrana yra homogenine ir jos itempimas visomis kryp-

timis yra vienodas, t.y. kai funkcijos K ir ρ yra pastovios, (1.48) lygti galimaperra²yti taip:

utt − a22∑i=1

uxixi = F (x, t); (1.51)

£ia: a2 = K/ρ, F = f/ρ. i lygtis yra vadinama dvimate bangavimo lygtimi.P a s t a b a . Jei membrana nera itvirtinta, tai Oilerio lygtis ir pradines

s¡lygos i²lieka tos pa£ios. Kei£iasi tik kra²tine s¡lyga. Pavyzdºiui, jeigu mem-branos konturas svyruoja pagal tam tikr¡ desni arba ji veikia tam tikra jega,arba jis yra elastingai itvirtintas, tai vietoje (1.50) kra²tines s¡lygos reikia imtiatitinkamai vien¡ i² s¡lygu:

u∣∣∣l= µ(x, t), K(x)∂u

∂n

∣∣∣l= µ(x, t), K(x)∂u

∂n

∣∣∣l+σ(x, t)u

∣∣∣l= 0;

£ia: µ ir σ ºinomos funkcijos, ∂u/∂n funkcijos u i²vestine normales kryptimi.Savaime ai²ku, kad galimos ir kitos kra²tines s¡lygos, taip pat ir netiesines.

Tarkime, konturo l ta²kuose nera jokiu i²ankstiniu s¡lygu. Be to, tegu mem-bran¡ veikianti jega f nepriklauso nuo laiko t. Veikiant ²iai jegai, membranai²silenks ir liks pusiausvyroje. Tegu funkcija u = u(x), x = (x1, x2) ∈ Ω apra²odeformuotos membranos pavir²iu. iuo atveju membranos potencine energija

P (u) =∫Ω

[12K(x)(u2

x1+ u2

x2)− f(x)u

]dx

igyja maºiausi¡ reik²m¦.Tegu η ∈ C1(Ω), ε pakankamai maºas moduliu skai£ius. Tada funkcija

u + εη apibreºia leistin¡ membranos deformacij¡. Pagal Hamiltono princip¡deformuotos membranos potencine energija

P (u) ≤ P (u+ εη),

jeigu tik ε modulis yra pakankamai maºas. Todel

δP (u, η) := d

dε

(I(u+ εη)

)∣∣∣ε=0

=∫Ω

[K(x)(ux1ηx1 + ux2ηx2)− f(x)η] dx = 0.


Panaudoj¦ integravimo dalimis formul¦, ²i¡ integralin¦ tapatyb¦ perra²ysimetaip: ∫

Ω

[ 2∑i=1

(K(x)uxi)xi + f(x)]η dx−

∫l

K(x)∂u∂nη dl = 0. (1.52)

Tarkime, funkcija η lygi nuliui konturo l ta²kuose. Tada∫Ω

[ 2∑i=1

(K(x)uxi)xi

+ f(x)]η dx = 0

ir funkcija u turi tenkinti Oilerio lygti

2∑i=1

(K(x)uxi)xi

+ f(x) = 0, x ∈ Ω. (1.53)

Griºkime prie (1.52) tapatybes. Tegu η yra bet kokia diferencijuojama funk-cija. Kadangi funkcija u tenkina (1.53) Oilerio lygti, tai (1.52) tapatyb¦ galimeperra²yti taip: ∫

l

K(x)∂u∂nη dl = 0.

Konturo l ta²kuose funkcija η gali igyti bet kokias reik²mes. Todel rei²kinys

K(x)∂u∂n yra lygus nuliui, t.y. funkcija u tenkina kra²tin¦ s¡lyg¡

K(x)∂u∂n = 0, x ∈ l. (1.54)

Taigi membranos pusiausvyros uºdavinys yra kra²tinis (1.53), (1.54) uºdavinys.Kai funkcija K yra pastovi, (1.53) lygtis yra Puasono lygtis

∆u = −F, F = f/K,

kuri, kai f = 0, virsta Laplaso lygtimi

∆u = 0;

£ia ∆u =2∑i=1

uxixi.

P a s t a b a . Nagrinejant membranos pusiausvyros uºdavini, galimos ir ki-tos kra²tines s¡lygos.

1.8 ILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA 47

1.8 ILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA

Tarkime: erdveje R3 kietas kunas uºima sriti Ω; ºinoma jo temperatura pra-diniu laiko momentu t = 0 ir pavir²iaus S = ∂Ω temperatura bet kuriuo laikomomentu t ≥ 0. I²tirsime temperatur¡ kuno viduje. Kuno temperatur¡ ta²kex = (x1, x2, x3) ∈ Ω laiko momentu t paºymesime u(x, t). Tegu Ω′ ⊂ Ω betkokia vidine sritis su glodºiu pavir²iumi S′. Pagal Furje desni ²ilumos kiekis,pratekantis per pavir²iu S′ laikotarpiu t2 − t1, i²rei²kiamas integralu

t2∫t1

∫S′

k(x, t, u)∂u∂ndS

′ dt;

£ia: k ²ilumos laidumo koecientas, ∂u/∂n funkcijos u i²vestine normaleskryptimi.

Kai yra ²ilumos ²altiniai su tankiu f(x, t), tai ²ilumos kiekis, patenkantis i²ju i sriti Ω′ laikotarpiu t2 − t1, lygus

t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt.

Antra vertus, tas pats ²ilumos kiekio pokytis srityje Ω′ laikotarpiu t2− t1 lygus∫Ω′

c(x)ρ(x)u(x, t2) dx−∫Ω′

c(x)ρ(x)u(x, t1) dx =t2∫t1

∫Ω′

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt;

£ia ρ(x) ir c(x) atitinkamai kuno tankis ir ²ilumos talpumas (specine ²iluma)ta²ke x. I²skirtoje srityje Ω′ sudarome ²ilumos balanso lygti:

t2∫t1

∫S′


′ dt+t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt =t2∫t1

∫Ω′

c(x)ρ(x)ut(x, t) dxdt.

Pagal GausoOstrogradskio formul¦∫S′


′ =∫Ω′

3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)dx.

Todel ²ilumos balanso lygti galima perra²yti taip:t2∫t1

∫Ω′

[ 3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)− c(x)ρ(x)ut + f(x, t)

]dxdt = 0. (1.55)

Kadangi integravimo reºiai t1, t2 ir sritis Ω′ pasirinkti laisvai, tai rei²kinyskvadratiniuose skliaustuose yra lygus nuliui, t.y. funkcija u tenkina lygti

3∑i=1

d

dxi

(k(x, t, u)uxi

)− c(x)ρ(x)ut + f(x, t) = 0, ∀x ∈ Ω, t > 0. (1.56)


I² visu ²ios lygties sprendiniu reikia i²rinkti t¡, kuris tenkintu pradines irkra²tines s¡lygas. Nagrinejamu atveju yra ºinoma kuno temperatura pradiniulaiko momentu ir kuno pavir²iaus temperatura bet kuriuo laiko momentu. Todelfunkcija u turi tenkinti pradin¦

u∣∣t=0 = ϕ(x), x ∈ Ω (1.57)

ir kra²tin¦u∣∣S

= µ1(x, t), t ≥ 0 (1.58)

s¡lygas. Taigi ²ilumos pasiskirstymo kietame kune Ω ⊂ R3 uºdavinys yra mi²ru-sis (1.56)(1.58) uºdavinys.

P a s t a b o s :

1. Pavir²iuje S galimi ir kiti ²ilumos reºimai. Pavyzdºiui, jeigu kiekvienulaiko momentu t ºinome ²ilumos kieki µ2(x, t), kuris patenka i sriti Ω perpavir²iu S, arba ºinome supan£ios sriti Ω erdves temperatur¡ µ3(x, t), taivietoje (1.58) kra²tines s¡lygos reikia imti atitinkamai vien¡ i² s¡lygu:

k(x, t, u)∂u∂n

∣∣∣S

= µ2, k(x, t, u)∂u∂n

∣∣∣S

+ σ(x, t, u)(u− µ3)∣∣∣S

= 0;

£ia σ ²ilumos mainu koecientas.

2. Jeigu Ω = Rn, tai (1.58) s¡lyga neturi prasmes ir nagrinejamas uºdavinyssusiveda i (1.56)(1.57) Ko²i uºdavini.

3. Tuo atveju, kai nagrinejamasis kunas yra homogeninis, t.y. funkcijos k, ρir c yra pastovios, (1.56) lygtis yra ²ilumos laidumo lygtis

ut − a2∆u = F (x, t); (1.59)

£ia: a2 = k

cρ, F = f

cρ,∆u =

3∑i=1

uxixi.

Jeigu procesas stacionarus, t.y. temperaturos pasiskirstymas yra nusistovej¦sir laikui begant nekinta, tai funkcijos u, f ir k nepriklauso nuo kintamojo t. Todelut = 0 ir (1.56) lygti galima perra²yti taip:

3∑i=1

d

dxi

(k(x, u)uxi

)+ f(x) = 0, x ∈ Ω.

Kai funkcija k yra pastovi, ²i lygtis yra Puasono lygtis

−∆u = F, F = f/k,

o kai ir f = 0, Laplaso lygtis∆u = 0.

1.8 ILUMOS LAIDUMAS IR DUJU DIFUZIJA 49

Ai²ku, kad nagrinejant stacionaru proces¡, pradine s¡lyga nereikalinga, o kra²-tine s¡lyga i²lieka. Praktiniuose uºdaviniuose daºniausiai naudojamos tokioskra²tines s¡lygos:

u∣∣∣S

= µ(x), ∂u∂n

∣∣∣S

= µ(x), ∂u∂n

∣∣∣S

+ σ(x)u∣∣∣S

= µ(x).

Dvima£iu ir vienma£iu atvejais gaunamos analogi²kos lygtys. Pavyzdºiui,jeigu nagrinejamasis kunas yra plona plok²tele arba plonas strypas ir atitinkamai²iluma sklinda dviem arba viena kryptimi, tai gausime dvimat¦ arba vienmat¦²ilumos laidumo lygti

ut − a2(ux1x1 + ux2x2) = F, ut − a2ux1x1 = F.

I²nagrinesime duju difuzijos uºdavini. Tarkime, dujos arba i²tirpintos tirpalemedºiagos daleles netolygiai pasiskirs£iusios kokioje nors srityje Ω. Daleliu arbaduju koncentracij¡ 1 ta²ke x ∈ Ω laiko momentu t paºymesime u(x, t).

Tegu Ω′ ⊂ Ω kokia nors vidine sritis; S′ = ∂Ω′ glodus pavir²ius. Daleliuarba duju kiekis, patenkantis per pavir²iu S′ laikotarpiu t2−t1, kai nera i²oriniu²altiniu, i²rei²kiamas integralu

t2∫t1

∫S′

D(x, u)∂u∂ndS

′ dt;

£ia D(x, u) > 0 difuzijos koecientas. Jeigu yra ²ilumos ²altiniai ir f(x, t) juintensyvumas, tai visas duju arba daleliu kiekis, patenkantis i sriti Ω′ laikotarpiut2 − t1, lygus

t2∫t1

∫S′

D(x, u)∂u∂ndS

′ dt+t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt.

Kita vertus, duju arba daleliu kiekio pokytis srityje Ω′ laikotarpiu t2− t1 i²rei²-kiamas integralu∫

Ω′

c(x)(u(x, t2 − u(x, t1)

)dx =

t2∫t1

∫Ω′

c(x)ut dxdt;

£ia c(x) medºiagos akytumo koecientas. Sulygin¦ gautas i²rai²kas, gausimelygyb¦

t2∫t1

∫S′

(x, u)∂u∂ndS

′ dt+t2∫t1

∫Ω′

f(x, t) dxdt =t2∫t1

∫Ω′

c(x)ut dxdt.

1Koncentracij¡ suprantame kaip medºiagos kieki turio vienete. Kalbedami apie maº¡skys£io arba duju turio element¡, laikome ji maºu, lyginant su visu turiu, bet pakankamaidideliu, lyginant su atstumais tarp molekuliu, t.y. manome, kad tokiame elemente yra darpakankamai daug molekuliu. Pavyzdºiui, jeigu nagrinejame kokio nors ta²ko poslinki skystyjearba dujose, tai turime omenyje ne kokios nors vienos molekules poslinki, o viso elementariojoturio, kuriame yra daug molekuliu, poslinki.


I² jos, lygiai taip pat kaip ir ²ilumos pasiskirstymo kietame kune atveju, i²-plaukia, kad funkcija u turi tenkinti lygti

cut −3∑i=1

d

dxi

(D(x, u)uxi

)= f(x, t), ∀x ∈ Ω, t > 0.

Jeigu funkcijos c ir D yra pastovios, tai ²i lygtis yra ²ilumos laidumo lygtis.Tam, kad difuzijos procesas butu vienareik²mi²kai apibreºtas, butina ºinoti

duju arba medºiagos daleliu skystyje koncentracij¡ pradiniu laiko momentut = 0, t.y. funkcija u turi tenkinti (1.57) pradin¦ s¡lyg¡. Be to, bet kokiulaiko momentu t ≥ 0 turi buti ºinomas difuzijos reºimas nagrinejamos sritiespavir²iuje S. Pavyzdºiui, jeigu yra ºinoma duju arba medºiagos daleliu skystyjekoncentracija pavir²iuje S, tai funkcija u turi tenkinti (1.58) kra²tin¦ s¡lyg¡.

1.9 EKOLOGINIAI MODELIAI 51

1.9 EKOLOGINIAI MODELIAI

K¡ tik gim¦ gyvi organizmai (gyvunai, daugial¡s£iai augalai ar mikroorganiz-mai) i² karto patenka i gana sudeting¡ s¡veika su juos supan£ia aplinka ir kituru²iu gyvais organizmais. Be to, jie patys veikia juos supan£i¡ aplink¡ bei ki-tus gyvus organizmus, keisdami ir vien¡ ir kit¡ tam tikra linkme. Ekologijanagrineja visus ²iuos veiksnius visumoje.

Visum¡ gyvu organizmu, kartu su juos supan£ia aplinka bei s¡veika tarp ju,vadinsime ekosistema, o pa£ius organizmus individais. Grup¦ vienos ru²iesindividu, uºiman£iu konkre£i¡ teritorij¡ ir dauginimosi procese perduodan£iugenetin¦ informacij¡ savo palikuonims, vadinsime populiacija. Modeliuojantkoki¡ nors ekosistem¡ individai populiacijose paprastai skirstomi i grupes pagaltam tikras savybes, apibreºian£ias ju i²likim¡, dauginim¡si ir t.t. Kiekvienojetokioje grupeje individai privalo tureti pana²ias savybes, lemian£ias ju vystym¡sipopuliacijoje ir ekosistemoje. Jeigu grupiu skai£ius yra baigtinis, tai populiacij¡(populiacijas) kiekvienu laiko momentu t galima apibreºti n-ma£iu vektoriumi

x(t) = (x1(t), . . . , xn(t));

£ia n grupiu skai£ius, o xi(t) yra i-tos grupes dydis (individu skai£ius uºimamosteritorijos vienete) laiko momentu t, arba kokia nors kita kiekybine charakteris-tika. Visos populiacijos dydis

p(t) =n∑i=1

xi(t).

Poºymiai pagal kuriuos individai populiacijose gali buti skirstomi i grupes galitureti tolydºi¡ struktur¡. Pavyzdºiui amºius, svoris ir t.t. iuo atveju popu-liacija yra apibreºiama tam tikra tankio funkcija. Tarkime, populiacijos individuamºiu a laiko momentu t apibreºia tankio funkcija ρ(a, t). Tai rei²kia, kad betkokioms parametru a1 ≤ a2 reik²mems individu amºiaus a ∈ [a1, a2] skai£iuspopuliacijoje laiko momentu t lygus

p(a1, a2, t) =a2∫a1

ρ(a, t) da.

Visu individu skai£ius populiacijoje laiko momentu t lygus

p(t) =∞∫

0

ρ(a, t) da.

Gimstamum¡ populiacijoje nusako nauju palikuoniu atsiradimas per laikovienet¡. Daºnai naudojama santykinio gimstamumo s¡voka. J¡ nusako naujaigimusiu per laiko vienet¡ ir visu populiacijos individu santykis. Mirtingum¡populiacijoje nusako ºuvusiu individu skai£ius per laiko vienet¡. Daºnai nau-dojama santykinio mirtingumo s¡voka. J¡ nusako mirusiu individu per laikovienet¡ ir visu populiacijos individu santykis.


Populiacijos individu augimo dinamikos modeliai sudaromi i² balanso lygties

p(t+ ∆t) = p(t) + g(t,∆t)− q(t,∆t) + h(t,∆t); (1.60)

£ia p(t) populiacijos individu skai£ius laiko momentu t, g(t,∆t) gimusiuindividu laiko intervale [t, t + ∆t] skai£ius, q(t,∆t) mirusiu individu laiko in-tervale [t, t + ∆t] skai£ius, h(t,∆t, ) atvykusiu ar i²vykusiu (del migracijos)individu laiko intervale [t, t + ∆t] skai£ius. Bendru atveju rei²kiniai g, q ir hpriklauso nuo sistemos resursu r, ziniu gyvenimo s¡lygu, vidiniu populiaci-jos charakteristiku (amºiaus ir genetines sudeties) ir nuo s¡veikos su kitomisieinan£iomis i ekosistem¡ populiacijomis. Atkreipsime demesi i tai, kad gyven-imo s¡lygu, resursu ir vidiniai populiacijos charakteristiku pasikeitimai veikiagimstamum¡, mirtingum¡ bei migracij¡ tik po tam tikro laiko. Todel butinaatsiºvelgti i ekosistemos prie²istorij¡.

Sudarant ekologinius modelius neimanoma i² karto atsiºvelgti i visus fakto-rius, veikian£ius populiacij¡. Todel esminiais paprastai laikomi vienas arba kelifaktoriai. Pavyzdºiui, tegu neesminiais yra laikomi vidiniai populiacijos charak-teristiku pasikeitimai bei prie²istorija. Be to, tegu individu gyvenimo s¡lygosyra stacionarios (gimimo, mirimo ir individu migracijos grei£iai nepriklauso nuolaiko t). Tada

g(t,∆t, p, r) = g(p, r) ·∆t,

q(t,∆t, p, r) = q(p, r) ·∆t,

h(t,∆t.p, r) = h(p, r) ·∆t.

iuo atveju ekosisitemos su n populiacijomis ir m resursais dinamikos lygtisgalima uºra²yti taip:

pi(t+ ∆t) = pi(t) +[gi(p, r)− qi(p, r) + hi(p, r)

]∆t,

rj(t+ ∆t) = rj(t) + dj(p, r)∆t;(1.61)

£ia pi(t) yra i-os populiacijos individu skai£ius laiko momentu t, rj(t) yra j-ojo resurso kiekis laiko momentu t, dj yra j-ojo resurso kitimo greitis, p =(p1, . . . , pn), r = (r1, . . . , rm). Jeigu populiaciju kitimas yra tolydus, tiksliaufunkcijos pi yra diferencijuojamos, tai (1.61) sistem¡ galima perra²yti taip:

pi(t) = gi(p, r)− qi(p, r) + hi(p, r),rj(t) = dj(p, r).

(1.62)

Nagrinejant (1.62) sistem¡ kartais patogu pereiti prie santykiniu koecientu:

gi → gi/pi, qi → qi/pi, hi → hi/pi.

Tada turime sistem¡pi(t) = pi

[gi(p, r)− qi(p, r) + hi(p, r)

],

rj(t) = dj(p, r).(1.63)


Jeigu ekosistemoje resursu yra neribotas skai£ius, tai (1.61) (1.63) sistemoseantr¡j¡ grup¦ lyg£iu galima atmesti. iuo atveju kiekvienai individu populia-cijai yra ivedami tam tikri parametrai, nusakantys didºiausi¡ individu skai£iuduotoje aplinkoje ir jais, pirmoje lyg£iu grupeje yra pakei£iamas vektorius r.

P a s t a b a . Sudarant ekosistemu dinamikos modelius kartais norima i²tirtine pa£iu populiaciju dinamik¡, o ju tankiu dinamik¡. iuo atveju lyg£iu i²ve-dimas yra analogi²kas. Reikia tik vietoje populiacijos balanso lygties sudarytipopuliacijos tankio balanso lygti

ρ(t+ ∆t) = ρ(t) + g(t,∆t)− q(t,∆t) + h(t,∆t); (1.64)

£ia ρ(t) populiacijos tankis laiko momentu t, g(t,∆t) gimusiu individu laikointervale [t, t+ ∆t] tankis, q(t,∆t) mirusiu individu laiko intervale [t, t+ ∆t]tankis, h(t,∆t, ) atvykusiu ar i²vykusiu (del migracijos) individu laiko intervale[t, t+ ∆t] tankis.

P a v y z d º i a i :1. Tegu p(t) yra kokios nors populiacijos dydis laiko momentu t (pvz.,

ºemes gyventoju, lydeku eºere, atomu radioaktyvioje medºiagoje ir t.t.). Tadap(t) = dp(t)/dt yra ²ios populiacijos kitimo greitis laiko momentu t, o p(t)/p(t) santykinis kitimo greitis. Pastarasis yra laiko t ir populiacijos p funkcija, t.y.

p(t)p(t) = f(t, p). (1.65)

Uºdaroje sistemojef(t, p) = g(t, p)− q(t, p);

£ia g(t, p) santykinis gimimo, o q(t, p) santykinis mirimo grei£iai. Jeigufunkcijos g ir q yra ºinomos, tai nagrinejamos populiacijos dinamik¡ apra²o(1.65) lygties sprendinys p = p(t). Tarkime, laiko momentu t = t0 populiacijayra ºinoma, t.y.

p(t0) = p0. (1.66)

Tada nagrinejamas populiacijos uºdavinys susiveda i toki Ko²i uºdavini: rastidiferencijuojam¡ intervale [t0,∞) funkcij¡ p = p(t), kuri tenkintu (1.65) lygti ir(1.66) pradin¦ s¡lyg¡.

Papras£iausiu atveju, kai populiacijos santykinis kitimo greitis yra pastovus,t.y.

f(t, p) = k = const, ∀(t, p) ∈ R2,

(1.65) lygti (Malthus modelis) galima perra²yti taip:

p(t)p(t) = k ⇐⇒ d

dtln |p(t)| = k.

Suintegrav¦ ²i¡ lygti, gausime

ln |p(t)| = kt+ ln |C| ⇐⇒ p(t) = Cekt.


Konstanta C randama i² (1.66) s¡lygos, t.y.

p(t0) = p0 = Cekt0 .

Todel nagrinejamos populiacijos evoliucija apra²oma lygtimi

p(t) = p0ek(t−t0). (1.67)

P a s t a b a . I² (1.67) formules i²vedimo i²plaukia, kad ∀p0 ∈ R Ko²i uº-davinys

p(t) = kp(t), p(t0) = p0

turi vieninteli sprendini. Be to, sprendinys p(t) → ∞ (neapreºtai auga), kait→∞, jeigu k > 0, p(t)→ 0 (nyksta), kai t→∞, jeigu k < 0 ir p(t) = p0, kaik = 0. Sprendiniu kitimas p a²yje geometri²kai pavaizduotas 1.15 paveikslelyje.

...................................................

..............

...................................................

..............

.....................................................................

..............

.....................................................................

..............

0

k < 0

0

k > 0

• •

1.15 pav.

Atvejis, kai funkcija f yra pastovi apra²o dvi skirtingas situacijas: pop-uliacija p neapreºtai dideja arba nyksta. Daºniausiai abu ²ie modeliai yranerealus. Pavyzdºiui, neapreºtai didejanti populiacija yra galima tik tokiojeaplinkoje, kurios resursai yra neapreºti. Norint sustabdyti neapreºt¡ augim¡,galima ivesti atraktoriu p∗ > 0, t.y. tarti, kad egzistuoja tokia ribine populiacijap∗, kad

f(t, p) ≤ 0, kai p ≥ p∗.

Funkciju, tenkinan£iu ²i¡ s¡lyg¡, yra be galo daug. Papras£iausia i² ju yratiesine funkcija

f(t, p) = α− kp = k(p∗ − p), p ∈ R;

£ia k teigiama konstanta, α = kp∗. Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ f i (1.65)lygti, perra²ysime j¡ taip

p

p= k(p∗ − p). (1.68)

Pastaroji lygtis yra vadinama apreºto augimo lygtimi. Atskyr¦ joje kintamuo-sius, gausime

dp

k(p∗ − p)p = dt, p 6= 0, p 6= p∗.

Rei²kinys1

(p∗ − p)p =(1p

+ 1p∗ − p

) 1p∗.

Todel

1k

∫dp

(p∗ − p)p = 1kp∗

(ln |p| − ln |p− p∗|

)= ln

∣∣∣ p

p− p∗∣∣∣1/p∗k


ir yra teisinga formule ∣∣∣ p

p− p∗∣∣∣1/p∗k = Cet. (1.69)

Kai t = t0, populiacija p(t0) = p0. Tarkime, p0 6= 0 ir p0 6= p∗. Tada∣∣∣ p0

p0 − p∗∣∣∣1/p∗k = Cet0

ir pastar¡j¡ formul¦ galima perra²yti taip∣∣∣p(t)p0

∣∣∣ =∣∣∣p(t)− p∗p0 − p∗

∣∣∣e(t−t0)kp∗ .

I² (1.69) formules i²plaukia, kad p(t) 6= 0 ir p(t) 6= p∗,∀t ≥ t0. Todel rei²kiniaip(t)/p0 ir (p(t)− p∗)/(p0 − p∗) yra teigiami ir modulio ºenklu galime nera²yti

p(t)p0

= p(t)− p∗

p0 − p∗e(t−t0)kp∗ .

I²sprend¦ ²i¡ lygti p atºvilgiu, gausime

p(t) = p∗p0

p0 + (p∗ − p0)e−kp∗(t−t0) , ∀t ∈ R. (1.70)

I² pastarosios formules matome, kad:

1. p→ p∗ didedama, jei p0 < p∗,

2. p→ p∗ maºedama, jei p0 > p∗,

3. p = p∗, jei p0 = p∗.

Taigi, jeigu p0 6= 0 ir p0 6= p∗, tai funkcija p, apibreºta (1.70) formule, yravienintelis Ko²i uºdavinio

p = kp(p∗ − p), p(t0) = p0

sprendinys. Kai p0 ∈ (0, p∗), taip apibreºta funkcija p yra didejanti, o kaip0 > p∗ maºejanti. Be to, kai t→∞, p(t)→ p∗. Funkcijos p antroji i²vestine

p(t) = d

dt

(kp(p∗ − p)

)= kp(p∗ − 2p) = k2p(p∗ − p)(p∗ − 2p).

I² £ia gauname, kad

p > 0, kai p ∈ (0, p∗/2) ∪ (p∗,+∞)

irp < 0, kai p ∈ (p∗/2, p∗).


Be to, p = p∗/2 yra trajektorijos vingio ta²kas. Apreºto augimo lygties spren-diniu kitimas kintamuju (p, t) plok²tumoje ir tieseje p pavaizduotas 1.16, 1.17paveiksleliuose.

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................................

..............

..........................................................................

..............

..........................................................................

..............

p

t 0 p∗t0

p∗

p∗/2

1.16 pav. 1.17 pav.

..............................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - -..................

• •

2. Analogi²kai nagrinejamas dvieju populiaciju s¡veikos modelis. Tegu p1(t)yra kokios nors ru²ies auku, o p2(t) grobuoniu populiacijos (pvz. ki²kiai lapes). Tada kiekviena populiacija turi tenkinti "augimo lygti," kurios de²iniojipuse turi priklausyti ir nuo kitos ru²ies populiacijos, t.y.

p1/p1 = f1(t, p1, p2), p2/p2 = f2(t, p1, p2), (1.71)

Taigi gavome dvieju susijusiu pirmosios eiles diferencialiniu lyg£iu sistem¡. Tar-kime, kad grobuonis maitinasi tik aukomis, o auku maistas yra neribotas. Toksdvieju populiaciju modelis vadinasi RäuberBeute modeliu. I²skirsime du gal-imus ²io modelio atvejus.

Tarkime, kai grobuoniu nera, auku populiacijos santykinis augimo greitispastovus, o kai grobuonys yra, ²is greitis maºeja proporcingai grobuoniu skai-£iui, t.y.

f1(t, p1, p2) = α1 − ν2p2 = ν2(p∗2 − p2), ν2, p∗2 > 0;

£ia ν2, p∗2 teigiamos konstantos, α1 = ν2p

∗2. Be to, tegu grobuoniu populiacijos

santykinis nykimo greitis kai nera auku yra pastovus, o, kai aukos yra, grobuoniupopuliacijos santykinis augimo greitis yra proporcingas auku skai£iui, t.y.

f2(t, p1, p2) = ν1p1 − α2 = ν1(p1 − p∗1);

£ia ν1, p∗1 teigiamos konstantos, α2 = ν1p

∗1. Tada (1.71) lyg£iu sistem¡ galima

perra²yti taipp1 = ν2(p∗2 − p2)p1, p2 = ν1(p1 − p∗1)p2. (1.72)

Pastaroji sistema vadinama VolteraLotka lyg£iu sistema. Ji turi du pusiaus-vyros ta²kus: (0, 0) ir (p∗1, p∗2), t.y. ta²kus kuriuose sistemos de²iniosios puseslygios nuliui. Biologin¦ prasm¦ turi tik antrasis pusiausvyros ta²kas. I²siai²kin-sime kaip elgiasi sistemos trajektorijos jo aplinkoje. Tuo tikslu padauginkimepirm¡j¡ (1.72) sistemos lygti i² ν1, o antr¡j¡ i² ν2 ir gautus rei²kinius sudekime.Tada gausime lygti

ν1p1 + ν2p2 = ν2ν1p∗2p1 − ν2ν1p

∗1p2.

Kai p1 6= 0 ir p2 6= 0 (1.72) sistemos lygtis galima perra²yti taip:

ν2p2 = ν2p∗2 −

p1

p1, ν1p1 = ν1p

∗1 + p2

p2.


Todel rei²kinys

ν1p1 + ν2p2 = ν2p∗2

(ν1p∗1 + p2

p2

)− ν1p

∗1

(ν2p∗2 −

p1

p1

).

Suprastin¦ vienodus narius, gausime lygti

ν1p1 + ν2p2 = ν1p∗1p1

p1+ ν2p

∗2p2

p2.

Jos bendr¡ji integral¡

ν1p1 + ν2p2 = ν1p∗1 ln p1 + ν2p

∗2 ln p2 − ln c

galima perra²yti taip:h1(p1) · h2(p2) = c;

£ia h1(p1) = pν1p∗1

1 e−ν1p1 , h2(p2) = pν2p∗2

2 e−ν2p2 , c laisva konstanta. Funkcijosh1, h2 yra to paties pavidalo. Intervale (0,∞) jos yra teigiamos ir turi vienintelimaksimum¡ ta²kuose p∗1, p

∗2 (ºr. 1.18 pav.).

...................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

................................................................................................

...............................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................

p1, p2

h1, h2

p∗1 p∗2...........

..

..

..

..

..

..

..

..

1.18 pav.Todel ²iu funkciju sandauga

H(p) = h1(p1) · h2(p2), p1 > 0, p2 > 0

taip pat yra teigiama ir turi vieninteli maksimum¡ ta²ke p∗ = (p∗1, p∗2). Be to,jeigu bent vienas i² kintamuju p1, p2 arteja i 0 arba i∞, tai H(p)→ 0. I² £ia i²-plaukia, kad funkcijos H lygio kreives, apibreºtos lygtimi H(p) = c, yra uºdaroskreives, supan£ios ta²k¡ p∗. Ta£iau ²ios kreives yra (1.72) sistemos trajektori-jos. Taigi ta²kas p∗ yra ²ios sistemos centro ta²kas, t.y toks ta²kas kai visospakankamai artimos jam trajektorijos yra uºdaros.

VolteraLotka lyg£iu sistemos kryp£iu laukas (ºr. 2.1 skyreli) pavaizduotas1.19, o trajektoriju elgesys pusiausvyros ta²ko p∗ aplinkoje 1.20 paveiksleliuose.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

p2

p1

p2

p1

p1<0p2<0

p1<0p2>0

p1>0p2>0

p1>0p2<0

..........................................................

..............

..................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................

..............

................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..... .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. .............. ..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

p∗1

p∗2

•

•

•

• p∗

................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................................................................

.......................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.......................

..............

1.19 pav. 1.20 pav.


I² bendros teorijos ºinoma (ºr. 4.1 skyreli), kad uºdaras trajektorijas atitinkan-£ius sprendinius galima prat¦sti i vis¡ realiu skai£iu a²i ir gauti sprendiniai yraperiodines funkcijos, t.y. egzistuoja toks teigiamas skai£ius ω, kad

p(t+ ω) = p(t), ∀t ∈ R.

Tai rei²kia, kad kiekviena i² populiaciju p1, p2 periodi²kai svyruoja. Tiksliau,jeigu ple²runu yra pakankamai maºai (p2 < p∗2), tai auku skai£ius dideja, neprik-lausomai nuo to ar ple²runu daugeja ar maºeja. Ta£iau kai ple²runu skai£iusyra pakankamai didelis (p2 > p∗2), tai auku skai£ius maºeja. Analogi²ka situacijayra ir su aukomis. Jeigu auku skai£ius yra pakankamai maºas (p1 < p∗1), taiple²runu skai£ius maºeja, nepriklausomai nuo to ar auku daugeja ar maºeja.Ta£iau kai auku skai£ius yra pakankamai didelis (p1 > p∗1), tai ple²runu skai£iusauga.

VolteraLotka sistem¡ galima modikuoti taip, kad auku populiacijos augi-mas nebutu pastovus nesant grobuonims. Pagal analogij¡ su apreºto augimolygtimi sudarome sistem¡

p1 = (α1 − ν1p2 − γ1p1)p1, p2 = (ν2p1 − α2 − γ2p2)p2; (1.73)

£ia α1, α2, ν1, ν2, γ1, γ2 teigiamos konstantos. Pastarosios sistemos pusiausvy-ros ta²kai (0, 0), (0,−α2/γ2), (α1/γ1, 0), (p∗1, p∗2) yra algebriniu lyg£iu sistemos

(α1 − ν1p2 − γ1p1)p1 = 0,(ν2p1 − α2 − γ2p2)p2 = 0

sprendiniai. Ketvirtasis ta²kas su koordinatemis

p∗1 = α1γ2 + α2ν1

γ1γ2 + ν1ν2, p∗2 = α1ν2 − α2γ1

γ1γ2 + ν1ν2

yra tiesiu

l1 : α1 − ν1p2 − γ1p1 = 0, l2 : ν2p1 − α2 − γ2p2 = 0

sankirtos ta²kas. Jis turi biologin¦ prasm¦ tik tuo atveju, kai

α1ν2 − α2γ1 ≥ 0⇐⇒ p2 ≥ 0.

Atkreipsime demesi i tai, kad tieses l1 ta²kuose p1 = 0, t.y. krypties vektoriaiyra lygiagretus p2 a²iai, o tieses l2 ta²kuose p2 = 0, t.y. krypties vektoriai yralygiagretus p1 a²iai.

Para²¦ (1.73) sistemos pirm¡ji artini ta²ko p = (p1, p2) aplinkoje (ºr. 5.2skyreli), gausime matric¡1

A(p) =(α1 − ν1p2 − 2γ1p1 −ν1p1

ν2p2 ν2p1 − α2 − 2γ2p2

).

1Dvieju autonominiu diferencialiniu lyg£iu sistemos x = f(x) pirmasis artinis pusiausvyrosta²ko x = x aplinkoje yra tiesine sistema x = A(x)(x− x), kurioje matrica

A(x) =(f1x1 (x) f1x2 (x)f2x1 (x) f2x2 (x)

).


Pakeit¦ £ia p pusiausvyros ta²kais, gausime matricas

A(0, 0) =(α1 00 −α2

), A

(0,−α2

γ2

)=

α1 + ν1α2

γ20

−ν2α2

γ2α2

,

A(α1

γ1, 0)

=

−α1 −ν1α1

γ10 ν2α1

γ1− α2

, A(p∗1, p∗2) =(−γ1p

∗1 −ν1p

∗1

ν2p∗2 −γ2p

∗2

).

Jeigu tieses l1 ir l2 pirmame ketvirtyje nesikerta, tai galima irodyti, kad pusi-ausvyros ta²ko (α1/γ1, 0) aplinkoje (1.73) sistemos trajektorijos elgiasi taip kaippavaizduota 1.21 paveikslelyje.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................

..............

.........................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................

.......................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

........................

..............

.........................

..............

..........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ......................................................................................................................................................................................................................

••p1

p2

p∗1α1/γ1

l1 l2

p1>0p2<0

p1<0p2<0

p1<0p2>0

1.21 pav.

Jeigu tieses l1, l2 kertasi pirmame ketvirtyje ir matricos A(p∗1, p∗2) tikrinesreik²mes λ1,2 yra kompleksi²kai jungtines, tai galima irodyti, kad (1.73) sistemostrajektorijos pusiausvyros ta²ko (p∗1, p∗2) aplinkoje elgiasi taip kaip pavaizduota1.22 paveikslelyje

.....................................

..............

...............................................................................................................................

..............

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................

.............................................................

.....................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................

....................................................................................

...............................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

• •

•

p1

p2l1

l2

p1>0p2<0

p1<0p2<0

p1<0p2>0

p1<0p2>0

1.22 pav.

I² atlikto tyrimo matome, kad net neºymus VolteraLotka lyg£iu sistemosmodikavimas gali i²²aukti esmini ²ios sistemos trajektoriju pokyti. I² tikruju(1.73) sistema jau neturi centro ta²ko ir jos trajektorijos nera uºdaros. Taiyra charakteringa centru savybe. Sakoma, kad centrai yra strukturi²kai nesta-bilus (ºr. [6]). Kita galimybe atsirasti uºdaroms trajektorijoms (periodiniamssvyravimams), yra "ribinis ciklas." Ribiniai ciklai yra strukturi²kai stabilus. Jieneturi tendencijos i²nykti, neºymiai deformuojant sistem¡. Pateiksime pavyzdi


sistemos kurioje, tinkamai parinkus parametru reik²mes, egzistuoja ribinis cik-las, t.y. uºdara trajektorija, kurios pakankamai maºoje aplinkoje visos kitostrajektorijos arba j¡ apsivinioja arba nuo jos nusivinioja.

3. CholingoTenerio modelis. Tarkime, kai grobuoniu nera auku santyki-nis augimo greitis p1/p1 lygus α1− γ1p1, o kai grobuonys yra, ²is greitis maºejaproporcingai ju skai£iui, t.y. dydºiu ν1p2. Bendru atveju proporcingumo ko-ecientas nera pastovus ir priklauso nuo auku skai£iaus. I² tikruju, realiamegyvenime sotus grobuonys auku neºudo. Todel kuo daugiau yra auku, tuo san-tykinai maºiau ju reikia nuºudyti vienam grobuoniui, kad pasisotintu. Taigigalime tarti, kad proporcingumo koecientas ν1 yra maºejanti kintamojo p1funkcija. Be to, pagal biologin¦ prasm¦, ji yra teigiama. Apibreºkime j¡ taip:

ν1(p1) = k

d+ p1;

£ia k ir d teigiamos konstantos.Vienam grobuoniui i²gyventi reikalingas tam tikras auku skai£ius. Tarkime,

²is skai£ius lygus a. Tada auku populiacija p1 gali i²maitinti p1/a grobuoniu.Taigi grobuoniu populiacija p2 neturi vir²yti ²io kritinio skai£iaus. Tarkimetoliau, kad grobuoniu populiacijos santykinis augimo greitis p2/p2 dideja, kaip2 < p1/a ir maºeja, kai p2 > p1/a. Tiksliau tegu ²is greitis lygus α2(1−ap2/p1),α2 teigiama konstanta. Tada populiaciju p1, p2 kitimo dinamik¡ apibreºialygtys:

p1 =(α1 − γ1p1 − ν1(p1)p2

)p1, p2 = α2

(1− ap2/p1

)p2. (1.74)

Tegul1 : α1 − γ1p1 − ν1(p1)p2 = 0, l2 : p1 − ap2 = 0.

Kreive l1 yra parabole, kurios ²akos nukreiptos ºemyn, o vir²unes koordinates

p1 = 12(α1/γ1 − d

), p2 = γ1

4k(α1/γ1 + d

)2> 0.

Ji kerta a²i p1 ta²kuose (−d, 0), (α1/γ1, 0). Kreive l2 yra tiese, einanti perkoordina£iu pradºi¡, su krypties koecientu 1/a. Pirmame ketvirtyje

p1 > 0, p2 > 0

yra vienintelis ²iu kreiviu sankirtos ta²kas (p∗1, p∗2). Jo koordinates

p∗1 = 12(α1/γ1 − d− k/aγ1

)p1 + 1

2

√(α1/γ1 − d− k/aγ1

)2 + 4dα1/γ1,

p∗2 = 12a(α1/γ1 − d− k/aγ1

)p1 + 1

2a

√(α1/γ1 − d− k/aγ1

)2 + 4dα1/γ1.

Atvejai, kai p∗1 > p1 ir p∗1 < p1 pavaizduoti 1.23 ir 1.24 paveiksleliuose.


....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................

p1

p2

−d α1/γ1

l2

•

•p1

...................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.23 pav.

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................................................

p1

p2

−d α1/γ1

l2

•

•p1

...................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

1.24 pav.

Atkreipsime demesi, kad paraboles l1 ta²kuose p1 = 0, o tieses l2 ta²kuosep2 = 0.

Vietoje kintamuju p1, p2 apibreºkime naujus kintamuosius

x1 = p1/p∗1, x2 = p2/p

∗2.

Tada (1.74) sistem¡ galima perra²yti taip:

x1 =(α1 − γ∗1x1 −

k/a

d∗ + x1x2)x1, x2 = α2(1− x2/x1)x2; (1.75)

£ia γ∗1 = γ1p∗1, d∗ = d/p∗1. Po tokios transformacijos kreives l1, l2 pereis i kreives

l∗1 : α1 − γ∗1x1 −k/a

d∗ + x1x2 = 0, l∗2 : x2 = x1.

Parabole l∗1 kerta koordina£iu a²i x1 ta²kuose (−d∗, 0) ir (α1/γ∗, 0). Jos vir²unes

koordinates

x1 = 12(α1/γ

∗1 − d∗

), x2 = aγ∗1

4k(α1/γ

∗1 + d∗

)2> 0.

Paraboles l∗1 ir tieses l∗2 sankirtos ta²kas x

∗ = (1, 1) yra vienintelis (1.75) sistemospusiausvyros ta²kas su teigiamomis koordinatemis.

Para²¦ (1.75) sistemos pirm¡ji artini ta²ko x = (x1, x2) aplinkoje, gausimematric¡

A(x) =(α1 − 2γ∗1 x1 − k/a

d∗+x1x2 + k/a

(d∗+x1)2 x1x2 − k/ad∗+x1

x1

α2x22/x

21 α2 − 2α2x2/x1

).

Pusiausvyros ta²ke x∗ matrica

A(x∗) =(−γ∗1 + k/a

(d∗+1)2 − k/ad∗+1

α2 −α2

).

ios matricos determinantas

detA(x∗) = α2

(γ∗1 −

k/a

(d∗ + 1)2 + k/a

d∗ + 1

)= α2

(γ∗1 + k/a

(d∗ + 1)2 · d∗)> 0.


Matricos A(x∗) pedsakas

SpA(x∗) = −γ∗1 + k/a

(d∗ + 1)2 − α2

gali igyti kaip teigiamas, taip ir neigiamas reik²mes. Galima parodyti (ºr.4.5skyreli), kad atitinkamai parinkus parametru reik²mes pusiausvyros ta²kas x∗

gali buti arba mazgas, arba centras, arba ºidinys. Jeigu pusiausvyros ta²kasx∗ yra ºidinys, tai yra galima tokia situacija, kai ²io ta²ko aplinkoje egzistuojaribinis ciklas. (ºr. 1.25 pav.).

.....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

..................

..............

.................................................

..........................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................

......

............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x1

x2

−d∗ α1/γ∗1

l2

•

1.25 pav.

4. Konkuruojan£ios populiacijos. Tarkime, dvieju konkuruojan£iu1 populia-ciju dinamikos lygtis galima uºra²yti taip:

pi/pi = fi(p), i = 1, 2; (1.76)

£ia pi yra i-oji populiacija, o fi = gi − mi jos santykinis augimo greitis.Konkuruojan£iu populiaciju s¡veik¡ nusako tam tikros s¡lygos, kurias turi tenk-inti funkcijos fi. iu s¡lygu pasirinkim¡ apsprendºia keliami uºdaviniai. Norintatlikti teorini tyrim¡ ir i²analizuoti visus galimus ekosistemos dinamikos vari-antus reikalaujama, kad funkcijos fi tenkintu tam tikras bendras, turin£ias bi-ologin¦ prasm¦, s¡lygas (ºr. pavyzdºiui [7]). Nagrinejant reali¡ ekosistem¡funkcijos fi yra konkretizuojamos. Tiksliau jos apibreºiamos parametriniu pavi-dalu (i jas ieinantys parametrai daºniausiai turi tam tikr¡ biologin¦ prasm¦).Yra ºinoma gana daug tokiu konkre£iu konkuruojan£iu populiaciju modeliu(ºr.[7]). Vien¡ i² tokiu modeliu i²nagrinesime £ia.

Tegu dvi pana²ios gyvunu populiacijas p1, p2 konkuruoja tarpusavyje ir uºi-ma tam tikr¡ teritorij¡, kurios resursai baigtiniai. Tada yra galimos keturiosskirtingos ju konkurencijos baigtys:

1. Pirmoji populiacija i²gyvena, o antroji i²nyksta.

2. Antroji populiacija i²gyvena, o pirmoji i²nyksta.

3. Abi populiacijos i²gyvena.

1Terminas "konkurencija" gali tureti daug skirtingu aspektu. Ju £ia nenagrinesime. Saky-dami, kad dvi populiacijos konkuruoja tarpusavyje, turesime omenyje tai, kad kurios norsvienos populiacijos kitimas i²²aukia prie²ing¡ kitos populiacijos kitim¡.


4. Abi populiacijos i²nyksta.

Kiekvien¡ toki¡ baigti atitinka pusiausvyros ta²kas. Todel populiacijas p1, p2modeliuojan£ios dinamikos lygtys turi tureti keturis izoliuotus pusiausvyros ta²-kus. Taigi jos turi buti netiesines. I²nagrinesime vien¡ i² papras£iausiu dviejukonkuruojan£iu tarpusavyje populiaciju modeli.

Tarkime, kai nera vidines bei tarpru²ines konkurencijos populiaciju p1, p2santykiniai augimo grei£iai p1/p1, p2/p2 yra pastovus, o kai konkurencija yra,²ie grei£iai maºeja proporcingai populiaciju individu skai£iui. Tada populiacijup1, p2 kitim¡ galima apra²yti netiesine sistema

p1 = (α1 − γ1p1 − ν1p2)p1, p2 = (α2 − ν2p1 − γ2p2)p2; (1.77)

£ia α1, α2, ν1, ν2, γ1, γ2 teigiami parametrai. Parametras αi apibreºia popu-liacijos pi santykini augimo greiti, kai nera konkurencijos. Parametrai γi ir νiapibreºia ²io grei£io maºejim¡, kai yra vidine bei tarpru²ine konkurencija.

Pastarosios sistemos pusiausvyros ta²kai (0, 0), (0, α2/γ2), (α1/γ1, 0), (p∗1, p∗2)yra algebginiu lyg£iu sistemos

(α1 − γ1p1 − ν1p2)p1 = 0,(α2 − ν2p1 − γ2p2)p2 = 0

sprendiniai. Ketvirtasis ta²kas su koordinatemis

p∗1 = α1γ2 − α2ν1

γ1γ2 − ν1ν2, p∗2 = α2γ1 − α1ν2

γ1γ2 − ν1ν2(1.78)

yra tiesiu

l1 : α1 − γ1p1 − ν1p2 = 0, l2 : α2 − ν2p1 − γ2p2 = 0

sankirtos ta²kas. Tarkime, kad toks ta²kas yra vienintelis. Atkreipsime demesi itai, kad tieses l1 ta²kuose p1 = 0, t.y. krypties vektoriai yra lygiagretus p2 a²iai,o tieses l2 ta²kuose p2 = 0, t.y. krypties vektoriai yra lygiagretus p1 a²iai.

Konkurentineje kovoje abi populiacijos gali i²gyventi tik tuo atveju, jeigu(1.77) sistema turi pusiausvyros ta²k¡ su abiem teigiamom koordinatem. Pir-mojo pusiausvyros ta²ko abi koordinates lygios nuliui. Antrojo ir tre£iojo pusi-ausvyros ta²ku viena koordinate lygi nuliui. Todel abi populiacijos gali i²gyventitik tuo atveju, kai ketvirtojo ta²ko koordinates yra teigiamos, t.y. kai tieses l1,l2 kertasi pirmame ketvirtyje (ºr. 1.26, 1.27 pav.).

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................................

p1

p2

α1/ν1

α2/γ2

α2/ν2 α1/γ1

•

•••

1.26 pav.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................................

p1

p2

α1/ν1

α2/γ2

α2/ν2α1/γ1

•

••

•

1.27 pav.


I² (1.78) formuliu matome, kad p∗1 > 0 ir p∗2 > 0, jeigu

α1γ2 < α2ν1, α2γ1 < α1ν2 ir γ1γ2 < ν1ν2

arbaα1γ2 > α2ν1, α2γ1 > α1ν2 ir γ1γ2 > ν1ν2.

ios s¡lygos apibreºia tiesiu l1, l2 tarpusavio padeti plok²tumoje. Todel pakankai²nagrineti atveji, kai yra patenkinta kuri nors viena i² ²iu s¡lygu. Tarkime,patenkinta pirmoji s¡lyga (ºr. 1.26 pav.). Tada galima irodyti, kad abiejupopuliaciju i²nykimas yra negalimas, nes, kai t→∞, nera nei vienos trajektori-jos, kuri ieitu i koordina£iu pradºi¡. Abieju populiaciju i²gyvenimas yra labairetas rei²kinys, nes, kai t → ∞, i pusiausvyros ta²k¡ ieina tik dvi trajektorijos(separatrises). Visos likusios trajektorijos ieina i pusiausvyros ta²k¡ (0, α2/γ2)arba i pusiausvyros ta²k¡ (α1/γ1, 0). Jeigu trajektorija ieina i pirm¡ji i² ²iuta²ku, tai i²nyksta populiacija p1, o jeigu i antr¡ji, tai populiacija p2. Todelgalima tvirtinti, kad jeigu yra patenkinta pirmoji i² minetu dvieju s¡lygu, taikonkuruojant dviem populiacijom viena i² ju daºniausiai i²nyksta. Trajektorijuelgesys pusiausvyros ta²ku aplinkoje pavaizduotas 1.28 paveikslelyje.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

...........

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................

..................

.

.

.

.

.

..............

.................................................................................................................................

............................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................

..................

..............

........................

.....................................................

................................

....................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

............................................................................................................................................

........

.........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................................................................

...

p1

p2

0

p∗•

•

•

•α1/γ1

α2/γ2

1.28 pav.

2 SKYRIUS

PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ESLYGTYS

2.1 PIRMOSIOS EIL ES PAPRASTOSIOS DIFERENCIALIN ESLYGTYS IREIKTOS IVESTIN ES ATVILGIU

Tegu G yra sritis plok²tumoje R2, f ∈ C(G) ir y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 yra pirmoseiles paprastosios diferencialines lygties

y′ = f(x, y). (2.1)

sprendinys. Jis srityje G apibreºia kreiv¦ l. Kreive l vadinama integraline kreive.Kiekvienam ta²kui (x, y) ⊂ G priskirkime atkarp¡ su krypties koecientu k =f(x, y), einan£i¡ per ²i ta²k¡. Tokiu atkarpu visuma srityje G apibreºia kryp£iulauk¡, atitinkanti (2.1) lygti (ºr. 2.1 pav.).

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y

x

...................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

•........................

•........................

•........................ •........................

•........................ •........................

G

2.1 pav.

•..........................•........................•........................•

........................

•........................

•........................

•........................

Pagal apibreºim¡ kreive l ⊂ G yra integraline tada ir tik tada, kai ji yraglodi ir jos liestines krypties koecientas kiekviename ta²ke (x, y) sutampa suf(x, y). Taigi (2.1) lygtis apibreºia s¡ry²i tarp kiekvieno integralines kreivesta²ko ir jos liestines krypties koeciento tame pa£iame ta²ke. Kartais ²is s¡ry²isleidºia gauti kokybini integraliniu kreiviu vaizd¡ tiesiogiai i² pa£ios lygties, jostiksliai nesprendºiant. Norint apytiksliai nubreºti inegralines kreives i² pradºiutikslinga rasti geometrin¦ viet¡ ta²ku, kuriuose kryp£iu laukas yra pastovus. igeometrine vieta ta²ku vadinama izokline. Izoklines yra apibreºiamos lygtimif(x, y) = k.

P a v y z d º i a i :

1. Nagrinesime lygtiy′ = y/x. (2.2)

Kiekviename ta²ke (x, y) ∈ R2, i²skyrus koordina£iu pradºios ta²k¡, ie²ko-mos integralines kreives krypties koecientas k = y/x, t.y. sutampa su

66 2. PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ES LYGTYS

tieses, einan£ios per koordina£iu pradºi¡ ir ta²k¡ (x, y), krypties koe-cientu (ºr. 2.2 pav.).

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y

x..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................

............................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

........

........

............

........

........

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................

............................

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.2 pav.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y

x..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............

..............

..............

..............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

2.3 pav.

Todel (2.2) lygties integralines kreives yra pustieses

y = kx, k ∈ R, x 6= 0.

2. Nagrinesime lygti

y′ = −x/y. (2.3)

Kiekviename ie²komos integralines kreives ta²ke, i²skyrus koordina£iu pra-dºios ta²k¡, liestines krypties koecientas k = −x/y. Kadangi −x/y·y/x =−1, tai kryp£iu laukas sukonstruotas pirmame pavyzdyje yra ortogonalus(2.3) lygties kryp£iu laukui (ºr. 2.3 pav.). Kartu galime tvirtinti, kad(2.3) lygties integralines kreives yra pusapskritimiai

x2 + y2 = a2, a ∈ R, y 6= 0

su centru koordina£iu pradºioje.


y′ = −y/x, x 6= 0. (2.4)

I² pradºiu rasime geometrin¦ viet¡ ta²ku, kuriuose kryp£iu laukas turit¡ pati krypties koecient¡ k. Priminsime, kad taip apibreºta aibe ta²kuvadinama izokline. Nagrinejamu atveju izoklines yra pustieses

−y/x = k ⇔ y = −kx, x 6= 0.

Ju ta²kuose laukas turi t¡ pa£i¡ krypti (ºr. 2.4 pav.).

2.1 DIFERENCIALIN ES LYGTYS IREIKTOS IVESTIN ES ATVILGIU 67

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................

..............

..........

.................................................................................................................................................

..................

............

.....................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

...............................

.........................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................................................................

...................................................................................................................................................................................

........................................................................................................................................................

x

y

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

.........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

k = −2, y = 2xk = −1, y = x

k = −1/2, y = x/2

k = 2, y = −2xk = 1, y = −xk = 1/2, y = −x/2

2.4 pav.

Nubreº¦ pakankam¡ skai£iu izokliniu galime speti, kad integralines kreivesyra hiperboliu ²akos. I² tikruju, atskyr¦ (2.4) lygtyje kintamuosius (ºr.2.2skyreli) ir gaut¡ lygti suintegrav¦, gausime, kad integralines kreives yrahiperboliu, apibreºtu lygtimi

y = c/x, x 6= 0, c ∈ R

²akos.

I² ²iu pavyzdºiu matome, kad diferencialine lygtis turi be galo daug spren-diniu. Bendru atveju ²iuos sprendinius galima apibreºti lygtimi

Φ(x, y, c) = 0

arba lygtimi i²reik²ta kintamojo y atºvilgiu

y = ϕ(x, c).

Norint i² ju i²skirti koki nors vien¡, reikia pareikalauti, kad sprendinys ten-kintu koki¡ nors papildom¡ s¡lyg¡. Daºniausiai tokia s¡lyga apibreºiama taip:

y(x0) = y0 (2.5)

i s¡lyga yra vadinama pradine arba Ko²i s¡lyga. Jeigu (2.1) lygti nagrinesimekartu su (2.5) s¡lyga, tai toki uºdavini vadinsime pradiniu arba Ko²i uºdaviniu.

A p i b r e º i m a s . Sakysime, tolydi funkcija ϕ, apibreºta lygtimi y =ϕ(x, c), (x, c) ∈ D ⊂ R2, yra (2.1) lygties bendrasis sprendinys srityje G0 ⊂ G,jeigu

1. ∀(x0, y0) ∈ G0 lygtisy0 = ϕ(x0, c)

turi vieniniteli sprendini c0 = c(x0, y0).

2. Ta²kas (x0, c0) ∈ D ir y = ϕ(x, c0) yra (2.1), (2.5) Ko²i uºdavinio spren-dinys.


A p i b r e º i m a s . Sprendini y = ϕ(x, c0), gaut¡ i² bendrojo sprendiniopaemus konkre£i¡ konstantos c = c0 reik²m¦, vadinsime atskiruoju (2.1) lygtiessprendiniu.

A p i b r e º i m a s . Sprendini y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 vadinsime ypatinguoju(2.1) lygties sprendiniu, jeigu per kiekvien¡ jo ta²k¡ eina dar bent viena ²ioslygties integraline kreive.

P a s t a b a . Analogi²kai apibreºiami bendrasis ir atskirasis (2.1) lygtiessprendiniai nei²reik²ti i²vestines atºvilgiu. Kartais tokie sprendiniai vadinamibendruoju ir atskiruoju ²ios lygties integralais.

Nagrinejant (2.1),(2.5) Ko²i uºdavini patogu lygiagre£iai nagrineti integrali-n¦ lygti

y(x) = y0 +x∫

x0

f(s, y(s)) ds. (2.6)

A p i b r e º i m a s . Funkcija y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 yra (2.6) integralineslygties sprendinys, jeigu

1. ϕ ∈ C〈a, b〉 .

2. (x, ϕ(x)) ∈ G, ∀x ∈ 〈a, b〉.

3. ϕ(x) = y0 +x∫x0

f(s, ϕ(s)) ds, ∀x ∈ 〈a, b〉.

Jeigu tolydi funkcija y = ϕ(x) yra (2.6) integralines lygties sprendinys,tai ji yra tolydºiai diferencijuojama, tenkina (2.1) lygti ir (2.5) pradin¦ s¡-lyg¡. Atvirk²tinis teiginis taip pat yra teisingas. Jeigu funkcija y = ϕ(x)yra (2.1),(2.5) Ko²i uºdavinio sprendinys, tai ji yra (2.6) integralines lygtiessprendinys.

2.2. SPRENDINIU EGZISTAVIMAS, VIENATIS, PRATSIMAS 69

2.2 SPRENDINIU EGZISTAVIMAS, VIENATIS, PRATSIMAS

iame skyrelyje be irodymo1 pateiksime kai kuriuos teiginius i² paprastuju di-ferencialiniu lyg£iu teorijos. Nagrinesime vienos lygties su viena neºinom¡jafunkcija atveji. Tiksliau nagrinesime pirmosios eiles paprast¡j¡ diferencialin¦lygti, i²reik²t¡ i²vestines atºvilgiu

y′ = f(x, y), (x, y) ∈ G; (2.7)

£ia G sritis plok²tumoje R2, f∈C(G) .Priminsime, kad funkcija ϕ : 〈a, b〉 → R yra (2.7) lygties sprendinys, jeigu:

1. Funkcija ϕ yra diferencijuojama intervale 〈a, b〉.

2. Ta²kas (x, ϕ(x)) ∈ G, ∀x ∈ 〈a, b〉.

3. Teisinga tapatybe ϕ′(x) = f(x, ϕ(x)), ∀x ∈ 〈a, b〉.

Be to, sprendinio apibreºimo sritis yra intervalas, t.y. jungioji aibe. Pavyzdºiui,funkcija y = (c− x)−1 apibreºta ∀x 6= c (ºr. 2.4 skyreli) nera lygties

y′ = y2 (2.8)

sprendinys plok²tumoje R2, nors visos trys apibreºimo s¡lygos yra patenkintos.Antra vertus, funkcija y = (c− x)−1, apibreºta intervale (−∞, c) arba intervale(c,∞), yra ²ios lygties sprendinys.

2.1 teorema. Tegu f yra tolydi srityje G funkcija. Tada ∀(x0, y0)∈G egzis-tuoja bent vienas (2.7) lygties sprendinys y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 toks, kad ϕ(x0) =y0.

Teoremoje tvirtinama, kad per kiekvien¡ ta²k¡ (x0, y0) ∈ G eina bent viena(2.7) lygties integraline kreive, jeigu tik funkcija f yra tolydi srityje G. Kartuyra galima ir tokia situacija, kai per vien¡ srities G ta²k¡ eina kelios (2.7) lygtiesintegralines kreives. Pavyzdºiui, lygties

y′ = 2√|y|

de²inioji puse yra tolydi funkcija visoje plok²tumoje R2. Pagal 2.1 teorem¡ perkiekvien¡ ta²k¡ (x0, y0) ∈ R2 eina bent viena ²ios lygties integraline kreive.Tiesiogiai galima isitikinti, kad funkcija ϕ(x) ≡ 0, kai x ∈ (−∞,∞), o taip patfunkcijos:

ϕ(x) =

(x− c)2, kai x ∈ (c,∞);0, kai x ∈ (−∞, c)

ir

ϕ(x) =−(x− c)2, kai x ∈ (−∞, c);0, kai x ∈ (c,+∞),

1Irodymus galima rasti [3] knygoje.


tenkina pastar¡j¡ lygti. Tarp ²iu funkciju yra be galo daug tokiu, kurios tenkinas¡lyg¡ ϕ(x0) = 0 (pakanka paimti c > x0 pirmu atveju ir c < x0 antru atveju).Todel per ta²k¡ (x0, 0) eina be galo daug nagrinejamos lygties integraliniukreiviu. Kartu funkcija ϕ(x) ≡ 0 yra ypatingasis nagrinejamos lygties sprendi-nys.

A p i b r e º i m a s . Sakysime, sritis G yra vienaties sritis (2.7) lyg£iai,jeigu bet kokie du jos sprendiniai, apibreºti intervale 〈a, b〉 ir sutampantys ta²kex0∈〈a, b〉, sutampa visame intervale 〈a, b〉.

2.2 teorema. Tarkime, funkcijos f daline i²vestine fy egzistuoja ir yra tolydisrityje G. Tada sritis G yra vienaties sritis (2.7) lyg£iai.

Jeigu funkcija f ir jos daline i²vestine fy yra tolydºios srityje G, tai pagal 2.2teorem¡ per kiekvien¡ srities G ta²k¡ eina lygiai viena (2.7) lygties integralinekreive. Ta£iau kartais ²i savybe i²lieka ir tuo atveju, kai funkcija f yra tik tolydi.Pavyzdºiui lygtis

y′ = f(x)g(y), x∈(a, b), y∈(c, d) (2.9)

kiekvienam x0∈(a, b), y0∈(c, d) turi vieninteli sprendini, tenkinanti pradin¦ s¡-lyg¡

y(x0) = y0, (2.10)

jeiguf∈C(a, b), g∈C(c, d) ir g(y) 6= 0, ∀y∈(c, d).

Tuo lengvai galime isitikinti (ºr. 2.3 skyreli), jeigu atskirsime kintamuosius irgaut¡ lygti suintegruosime. Taigi sritis

G = (x, y) : x∈(a, b), y∈(c, d)

yra vienaties sritis (2.9) lyg£iai, nors de²inioji ²ios lygties puse yra tik tolydi.I²skirsime kelis atvejus, kai galima garantuoti sprendinio egzistavim¡ ir vie-

nati visoje nagrinejamoje srityje.

2.3 teorema. Tegu funkcija f yra tolydi juostoje

G = (x, y) : a < x < b, −∞ < y <∞

ir kintamojo y atºvilgiu tenkina Lip²ico s¡lyg¡

|f(x, y)− f(x, y)| ≤ L(x)|y − y|, ∀(x, y), (x, y) ∈ G, L ∈ C(a, b) . (2.11)

Tada ∀(x0, y0) ∈ G egzistuoja vienintelis (2.7), (2.10) Ko²i uºdavinio sprendi-nys y = ϕ(x), apibreºtas visame intervale (a, b); £ia skai£iai a ir b gali igyti betkokias reik²mes, net ir simbolius ±∞.

2.4 teorema. Tegu funkcija f yra tolydi juostoje

G = (x, y) : a ≤ x ≤ b, −∞ < y <∞

2.2. SPRENDINIU EGZISTAVIMAS, VIENATIS, PRATSIMAS 71

ir kintamojo y atºvilgiu tenkina Lip²ico s¡lyg¡

|f(x, y)− f(x, y)| ≤ L|y − y|, ∀(x, y), (x, y) ∈ G, L = const. (2.12)

Tada ∀(x0, y0) ∈ G egzistuoja vienintelis apreºtas (2.7), (2.10) Ko²i uºdaviniosprendinys y = ϕ(x), apibreºtas visame segmente [a, b].

A p i b r e º i m a s . Tegu y = ϕ(x), x∈〈a, b〉 ir y = ψ(x), x∈〈α, β〉 yra (2.7)lygties sprendiniai. Be to, tegu 〈α, β〉 ⊂ 〈a, b〉 ir

ϕ(x) = ψ(x), ∀x∈〈α, β〉.

Tada sakysime, kad sprendinys y = ψ(x) yra sprendinio y = ϕ(x) siaurinys, osprendinys y = ϕ(x) yra sprendinio y = ψ(x) t¦sinys.

Kiekvien¡ (2.7) lygties sprendini, apibreºta intervale 〈a, b], galima prat¦stii de²in¦, o sprendini, apibreºt¡ intervale [a, b〉, galima prat¦sti i kair¦. Jeiguy = ϕ(x), x∈(a, b) yra (2.7) lygties sprendinys ir jo negalima prat¦sti nei i kair¦nei i de²in¦, tai toks sprendinys vadinamas neprat¦siamu, o intervalas (a, b) maksimaliu sprendinio egzistavimo intervalu.

2.5 teorema. Tarkime, funkcija f ir jos daline i²vestine fy yra tolydºios sri-tyje G ir (x0, y0) laisvai pasirinktas ta²kas srityje G. Tada egzistuoja vienintelis(2.7) lygties pilnasis sprendinys y = ϕ(x), apibreºtas maksimaliame intervale(a, b), tenkinantis (2.10) s¡lyg¡. Be to, ta²kas x0∈(a, b) ir, kai x → a + 0 arbakai x→ b− 0, ta²kas (x, ϕ(x)) arteja i srities G kontur¡ ∂G.

Toliau kalbedami apie diferencialines lygties sprendini, jeigu nenurodytaprie²ingai, visada turesime omenyje piln¡ji sprendini.

Tegu G = (x, y) : a < x < b, −∞ < y < ∞ ir f yra tiesine kintamojo yatºvilgiu funkcija, t.y.

f(x, y) = p(x)y + q(x), p, q ∈ C(a, b) .

Tada ∀(x0, y0) ∈ G tiesine lygtis

y′ = p(x)y + q(x)

turi vieninteli sprendini, apibreºt¡ visame intervale (a, b), tenkinanti (2.10) s¡-lyg¡. I² tikruju, funkcijos f daline i²vestine fy = p ∈ C(a, b) . Todel 2.3 teore-moje galime imti L = p.

Tegu G = (x, y) : a ≤ x ≤ b, −∞ < y <∞ ir yra teisinga nelygybe

|fy(x, y)| ≤ L, ∀(x, y) ∈ G, L = const.

Tada ∀(x0, y0) ∈ G egzistuoja vienintelis apreºtas (2.7), (2.10) Ko²i uºdaviniosprendinys, apibreºtas visame segmente [a, b] (ºr. 2.4 teorem¡). I² pastarosiosnelygybes i²plaukia, kad funkcija f kintamojo y atºvilgiu auga ne grei£iau uºtiesin¦ funkcij¡. Tuo atveju, kai funkcija f kintamojo y atºvilgiu auga grei£iauuº tiesin¦ funkcij¡, situacija gali i² esmes pasikeisti. Tiksliau, gali atsitikti taip,


kad sprendinio negalima prat¦sti i vis¡ intervala (a, b) arba prat¦stas i vis¡interval¡ (a, b) sprendinys nera apreºtas. Pavyzdºiui, funkcija f(x, y) = y2 yraapibreºta ir diferencijuojama visoje plok²tumoje R2. Todel per kiekvien¡ ²iosplok²tumos ta²k¡ eina lygiai viena lygties

y′ = y2

integraline kreive. I² pirmo ºvilgsnio atrodo, kad nera jokiu kliu£iu sprendi-ni neribotai prat¦sti tiek i kair¦, tiek i de²in¦. Ta£iau taip nera. iuo atvejufunkcija f kintamojo y atºvilgiu auga kaip kvadratine. Todel negalime tvir-tinti, kad egzistuoja pastarosios lygties sprendinys, apibreºtas visame intervale(−∞,∞) ir tenkinantis laisvai pasirinkt¡ pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0. I² tikruju,²i lygtis turi sprendini y(x) ≡ 0, apibreºt¡ visame intervale (−∞,∞). Likusiussprendinius (ºr. 2.3 skyreli) galima apibreºti formule

y = (c− x)−1;

£ia x > c arba x < c, c laisva konstanta. Tegu y0 6= 0. Tada i² s¡lygosy(x0) = y0 randame, kad c = x0 + y−1

0 . Vadinasi, sprendinys

y = 1x0 + y−1

0 − x

yra apibreºtas arba intervale (−∞, x0 +y−10 ), arba intervale (x0 +y−1

0 ,∞). Taigimaksimalus sprendinio egzistavimo intervalas nesutampa su visa tiese. Be to,kai x arteja i intervalo (−∞, x0 + y−1

0 ) arba intervalo (x0 + y−10 ,∞) kra²tinius

ta²kus, ta²kas (x, y(x)) arteja i begalyb¦.P a s t a b a Visi ²ie teiginiai apie sprendiniu egzistavim¡, vienati ir prat¦-

sim¡, i²lieka teisingi ir normaliajai paprastuju diferencialiniu lyg£iu sistemai.

2.3 LYGTYS SU ATSKIRIAMAIS KINTAMAISIAIS 73

2.3 LYGTYS SU ATSKIRIAMAIS KINTAMAISIAIS

Vienos i² papras£iausiu pirmos eiles diferencialiniu lyg£iu yra lygtys su atskiria-mais kintamaisiais

dy

dx= f(x)g(y) , g(y) 6= 0. (2.13)

i¡ lygti patogu perra²yti simetriniu pavidalu

g(y) dy = f(x) dx. (2.14)

Teguf ∈ C[x0 − a, x0 + a], g ∈ C[y0 − b, y0 + b] .

Suintegrav¦ (2.14) lygti panariui, gausime jos bendr¡ji integral¡∫g(y) dy =

∫f(x) dx+ c.

Norit i²skirti atskir¡ji integral¡, tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡

y(x0) = y0,

pakanka neapibreºtinius integralus pakeisti apibreºtiniais, t.y. perra²yti inte-gral¡ taip:

y∫y0

g(s) ds =x∫

x0

f(s) ds+ c1

ir pareikalauti, kad jis tenkintu pradin¦ s¡lyg¡. Tada gausime, kad konstantac1 = 0, o atskirasis integralas bus apibreºtas formule

y∫y0

g(s) ds =x∫

x0

f(s) ds.

Remiantis ²ios formules i²vedimu galime tvirtinti, kad (2.13) lygties spren-dinys, tenkinantis pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0, egzistuoja ir yra vienintelis, jeigutik g(y) 6= 0.

Kai funkcija g(y) = 1, tai lygties

dy

dx= f(x)

bendrasis sprendinys

y(x) =x∫

x0

f(s) ds+ c.

Atskir¡ sprendini tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡

y(x0) = y0,


patogu uºra²yti taip:

y(x) = y0 +x∫

x0

f(s) ds.

P a v y z d y s . Rasime lygties

x dx− y dy = 0

bendr¡ji integral¡. Nagrinejama lygtis yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais.Todel integruodami j¡ panariui gauname:∫

x dx−∫y dy = c1 arba x2

2 −y2

2 = c1.

Taigi bendr¡ji integral¡ galima uºra²yti taip:

x2 − y2 = c, c = 2c1.

P a s t a b a . Pirmosios eiles (2.14) diferencialin¦ lygti simetrineje formojegalima uºra²yti bendresniu pavidalu.

P (x)Q(y) dx+R(x)S(y) dy = 0.

ioje lygtyje kintamieji x ir y yra lygiateisiai. Be to, nagrinejant pastar¡j¡ lygtigalima atsisakyti prielaidos R(x)Q(y) 6= 0. iuo atveju reikia atskirai i²spr¦stilygti R(x)Q(y) = 0 ir patikrinti ar ²ios lygties sprendiniai tenkina diferencialin¦lygti. Kartais tokie sprendiniai yra ypatingieji sprendiniai.



y(1 + x) dx+ x(1− y) dy = 0.

Tarkime xy 6= 0. Tada pastar¡ja lygti, padalin¦ i² xy gauname lygti suatskiriamais kintamaisiais

1 + x

xdx+ 1− y

ydy = 0.

Integruodami abi ²ios lygties puses randame bendr¡ji integral¡

ln |x|+ x+ ln |y| − y = c ⇐⇒ ln |xy|+ x− y = c.

Dalindami lygti i² xy galejome prarasti kai kuriuos sprendinius. I² tikruju,funkcijos x = 0 ir y = 0 yra nagrinejamos diferencialines lygties spren-diniai. Galima parodyti, kad sprendiniai x = 0 ir y = 0 nera ypatingiejisprendiniai. Norint tuo isitikinti pakanka pastebeti, kad nagrinejamoslygties sprendini, tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0, galima uºra²ytitaip:

xy = x0y0ey−y0−(x−x0).


2. Rasime lygtiesy′ = y2

sprendini, tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0. Tegu y 6= 0. Tada atskir¦kintamuosius, gauname lygti

dy

y2 = dx.

Suintegrav¦ j¡ randame bendr¡ji sprendini

−1y

= x− c⇐⇒ y = 1c− x

.

Pareikalav¦, kad ²is sprendinys tenkintu duot¡ pradin¦ s¡lyg¡ randamec = 1/y0 + x0. Taigi atskirasis nagrinejamos lygties sprendinys

y = 1y−1

0 + x0 − x.

Dalindami lygti i² y2 praradome sprendini y = 0. Galima irodyti, kad jisnera ypatingasis sprendinys.

3. Irodykite, kad sprendinys y = 0 yra lygties

y′ = y2/3

ypatingasis sprendinys.

Kai kurias pirmosios eiles paprastasias diferencialines lygtis galima suvesti ilygtis su atskiriamais kintamaisiais. Pavyzdºiui, lygtis

y′ = f(ax+ by + l), a, b, l ∈ R

keitiniu v = ax+ by + l susiveda i lygti

dv

dx= a+ bf(v)

su atskiriamais kintamaisiais. Integruodami j¡ randame bendr¡ji integral¡∫dv

a+ bf(v) = x+ c.

Pakeit¦ £ia v i ax+ by + l gausime nagrinejamos lygties bendr¡ji integral¡Sakysime, funkcija f yra n-to laipsnio homogenine funkcija, jeigu

f(λx, λy) = λnf(x, y).

Pavyzdºiui funkcija f(x, y) = x2 − xy yra antro laipsnio homogenine funkcija,nes

f(λx, λy) = (λx)2 − (λx)(λy) = λ2(x2 − xy) = λ2f(x, y).


Funkcija f(x, y) =√x2 + y2 yra homogenine pirmo laipsnio funkcija (netgi

teigiamai homogenine). I² tikruju,

f(λx, λy) =√

(λx)2 + (λy)2 = |λ|√x2 + y2 = |λ|f(x, y).

Sakysime, pirmos eiles lygtis

y′ = f(x, y)

yra homogenine, jeigu funkcija f yra nulinio laipsnio homogenine funkcija. Par-odysime, kad homogenin¦ pirmos eiles lygti galima suvesti i lygti su atskiriamaiskintamaisiais.

Tegu f yra homogenine nulinio laipsnio funkicja. Tada pagal apibreºim¡

f(λx, λy) = λ0f(x, y) = f(x, y).

Imkime ²ioje formuleje λ = 1/x. Tada

f(x, y) = f(1, y/x) := ϕ(yx

)ir pirmos eiles homogenine lygtis susiveda i lygti

y′ = ϕ(yx

).

ioje lygtyje vitoje ie²komos funkijos y apibreºkime nauj¡ ie²kom¡ funkcij¡ u =y/x. Tada y = ux, y′ = u′x+u ir naujos ie²komos funkcijos u atºvilgiu gaunamelygti

xdu

dx= ϕ(u)− u.

i lygtis yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Rad¦ jos bendr¡ sprendini(arba bendr¡ integral¡) ir pakeit¦ jame u i y/x gausime nagrinejamos ho-mogenines lygties bendr¡ji sprendini (bendr¡ji integral¡).

P a v y z d y s . Rasime homogenines lygties

y′ = y2 − x2

2xy

bendr¡ji integral¡. Kadangi funkcija, esanti de²ineje ²ios lygties puseje, yranulinio laipsnio homogenine funkcija, tai pastar¡j¡ lygti galima perra²yti taip:

y′ = (y/x)2 − 12y/x .

Vietoje ie²komos funkcijos y apibreºkime nauj¡ ie²kom¡ funkcij¡ u = y/x. Tadafunkcijos u atºvilgiu gauname lygti su atskiriamais kintamaisiais

2u1 + u2 du = −dx

x,


kurios bendrasis integralas

ln(1 + u2) = − ln |x|+ ln |c| ⇐⇒ x(1 + u2) = c.

Pakeit¦ paskutineje lygtyje u i y/x gausime nagrinejamos homogenines lygtiesbendr¡ji integral¡

x2 + y2 = cx.

Kai kurias pirmos eiles diferencialines lygtis galima suvesti i homogenin¦lygti. Pavyzdºiui, lygtis

y′ = f( ax+ by + c

mx+ ny + d

), a, b, c,m, n, d ∈ R,

susiveda i homogenin¦ lygti

v′ = f( au+ bv

mu+ nv

), v′ = dv

du.

Reikia tik koordina£iu pradºi¡ perkelti i tiesiu

ax+ by + c = 0, mx+ ny + d = 0

susikirtimo ta²k¡ (x0, y0), t.y. atlikti keitini

u = x− x0, v = y − y0.


y′ = x+ 2y + 12x+ y − 1

bendr¡ji sprendini. Tiesiu

x+ 2y + 1 = 0, 2x+ y − 1 = 0

susikirtimo ta²kas (x0, y0) = (1,−1). Tegu u = x − 1, v = y + 1. Tada nagrine-jama lygtis susiveda i homogenin¦ lygti

v′ = u+ 2v2u+ v

, v′ = dv

du.

Jos bendrasis sprendinys(v − u)3 = c(v + u).

Griº¦ prie senu kintamuju x ir y, gausime nagrinejamos lygties bendr¡ji spren-dini

(y − x+ 2)3 = c(x+ y).


2.4 TIESIN ES PIRMOS EIL ES LYGTYS

Nagrinesime tiesin¦ pirmos eiles lygti

y′ + p(x)y = f(x). (2.15)

ios lygties bendr¡ji sprendini rasime dviem skirtingais budais. I² pradºiujo ie²kosime konstantu varijavimo metodu. Atmet¦ (2.15) lygtyje nari f(x),gausime tiesin¦ homogenin¦ lygti

y′ + p(x)y = 0. (2.16)

Tai yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Perra²ysime j¡ taip:

dy

y= −p(x) dx.

Suintegrav¦ ²i¡ lygti gausime homogenines lygties bendraji sprendini

ln |y(x)| = −x∫

x0

p(s) ds+ ln |c|,

kuri galima perra²yti taip:

y(x) = ce

−x∫

x0

p(s) ds

, c 6= 0.

Akivaizdu, kad atskirasis sprendinys y(x) = 0, kuri mes praradome dalindamii² y, ieina i gaut¡ formul¦, kai c = 0.

Homogenines lygties sprendini, tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡

y(x0) = y0,

patogu uºra²yti taip:

y(x) = y0e

−x∫

x0

p(s) ds

. (2.17)

Remiantis ²ios formules i²vedimu galime tvirtinti, kad (2.16) lygties spren-dinys yra vienintelis, jeigu tik jis egzistuoja. Norint irodyti sprendinio egzis-tavim¡ pakanka pareikalauti tokio funkcijos p glodumo, kad funkcija y, apibreºta(2.17) formule, tenkintu visas diferencialines lygties sprendinio apibreºimo s¡ly-gas. Akivaidu, kad funkcija y tenkins ²ias s¡lygas, jeigu funkcija p bus tolydi.

Tegu y1 ir y2 yra kokie nors du (2.15) lygties sprendiniai. Tada ju skirtu-mas y = y1 − y2 yra (2.16) lygties sprendinys. Todel bendrasis (2.15) lygtiessprendinys yra lygus kokio nors atskiro ²ios lygties sprendinio ir bendrojo (2.16)homogenines lygties sprendinio sumai. Rasime atskir¡ji (2.15) lygties sprendini.

2.4 TIESIN ES PIRMOS EIL ES LYGTYS 79

Konstantu varijavimo metodo esme yra ta, kad rastame tiesines homogenineslygties sprendinyje konstant¡ c pakei£iame neºinoma funkcij¡ c(x) ir atskirajinehomogenines lygties sprendini ie²kome pavidalu

y = c(x)e−

x∫x0

p(s) ds

.

Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i (2.15), gausime lygti

c′(x)e−

x∫x0

p(s) ds

+ c(x)e−

x∫x0

p(s) ds

· (−p(x))+

p(x)c(x)e−

x∫x0

p(s) ds

= f(x).Suprastin¦ ²ioje lygtyje vienodus narius matome, kad funkcijos c(x) atºvilgiutai yra paprastoji pirmos eiles diferencialine lygtis, kuri¡ galima uºra²yti taip:

c′(x) = f(x) · e

x∫x0

p(s) ds

.

ios lygties atskirasis sprendinys

c(x) =x∫

x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds.

Taigi atskirasis (2.15) lygties sprendinys

y(x) = e

−x∫

x0

p(s) ds

·x∫

x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds.

Pridej¦ prie jo (2.16) homogenines lygties bendr¡ji sprendini, gausime (2.15)nehomogenines lygties bendr¡ji sprendini

y(x) = ce

−x∫

x0

p(s) ds

+ e

−x∫

x0

p(s) ds

·x∫

x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds. (2.18)

Pareikalausime, kad taip apibreºtas sprendinys tenkinantu pradin¦ s¡lyg¡

y(x0) = y0

gausime, kad c = y0, o

y(x) = y0e

−x∫

x0

p(s) ds

+ e

−x∫

x0

p(s) ds

·x∫

x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds. (2.19)


Akivaizdu, kad ²i formule apibreºia vieninteli sprendini, jeigu tik jis egzis-tuoja. Tai tiesiogiai i²plaukia i² jos i²vedimo. Norint irodyti sprendinio egzis-tavim¡ pakanka pareikalauti tokio funkciju p ir f glodumo, kad funkcija y,apibreºta (2.19) formule, tenkintu visas diferencialines lygties sprendinio apibre-ºimo s¡lygas. ios s¡lygos bus patenkintos, jeigu pareikalausime, kad funkcijosp ir f yra tolydºios.

P a v y z d y s . Konstantu varijavimo metodu rasime tiesines nehomogeni-nes lygties

y′ + 2xy = 2x

bendr¡ji sprendini. i¡ lygti atitinkan£ios tiesines homogenines lygties

y′ + 2xy = 0⇐⇒ dy

y= −2x dx

bendrasis sprendinysy = ce−x

2.

Atskirojo nehomogenines lygties sprendinio ie²kome pavidalu

y = c(x)e−x2.

Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i nagrinejam¡ lygti, ie²komai funkcijai c gausimelygti

c′(x) = 2xex2.

Integruodami j¡ randame

c(x) =∫

2xex2dx =

∫ex

2dx2 = ex

2+ c.

Atmet¦ ²ioje formuleje konstant¡ c, gausime atskir¡ji sprendini c(x) = ex2. Tada

atskirasis nagrinejamos nehomogenines lygties sprendinys

y = ex2· e−x

2= 1,

o bendrasis sprendinysy = ce−x

2+ 1.

Dabar rasime (2.15) lygties bendr¡ji sprendini Bernulio metodu. Sprendinioie²kosime pavidalu y = uv, £ia u ir v ie²komos kintamojo x funkcijos ir viena i²ju, pavyzdºiui v, nelygi nuliui. Istat¦ taip apibreºtos funkcijos y i²rai²k¡ i (2.15)lygti, gausime

u′v + uv′ + p(x)uv = f(x).

Sugrupav¦ narius ²i¡ lygti perra²ome taip:

u′v + u(v′ + p(x)v) = f(x). (2.20)


Reikalaujame, kad rei²kinys skliaustuose butu lygus nuliui. Tada funkcijai vgauname tiesin¦ homogenin¦ pirmos eiles lygti

v′ + p(x)v = 0.

Jos bendrasis sprendinys

v = ce

−x∫

x0

p(s) ds

.

Paem¦ ²ioje formuleje c = 1, gausime atskir¡ji sprendini

v = e

−x∫

x0

p(s) ds

.

Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i (2.20) lygti, funkcijai u gausime pirmos eilesdiferencialin¦ lygti su atskiriamais kintamaisiais, kuri¡ galima uºra²yti pavidalu

u′ = f(x)e

x∫x0

p(s) ds

.

Integruodami ²i¡ lygti randame

u =x∫

x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds+ c.

Taigi bendr¡ji (2.15) lygties sprendini galima uºra²yti taip:

y = uv =( x∫x0

f(s)e

s∫x0

p(t) dt

ds+ c)e

−x∫

x0

p(s) ds

.

Akivaizdu, kad Bernulio metodu rastas sprendinys sutampa su konstantu vari-javimo metodu rastu sprendiniu (ºr. (2.18) formule).

P a v y z d y s . Bernulio metodu rasime tiesines nehomogenine lygties

y′ − y = x

bendr¡ji sprendini. Tegu y = uv. Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i lygti, gausime

u′v + uv′ − uv = x⇐⇒ u′v + u(v′ − v) = x.

Lygties v′ − v = 0 atskirasis sprendinys v = ex. Todel funkcija u turi tenkintilygti

u′ = xe−x ⇐⇒ u =∫xe−x dx


Integruodami pastar¡ji integral¡ dalimis, gauname

u = −xe−x − e−x + c.

Taigi bendrasis nagrinejamos lygties sprendinys

y = uv = (−xe−x − e−x + c)ex = cex − x− 1.

Lygtisy′(x) + p(x)y = f(x)yα, α 6= 0 ir α 6= 1 (2.21)

yra vadinama Bernulio lygtimi. Tegu z = y1−α nauja neºinoma funkcija. Tadaz′ = (1− α)y−αy′ ir Bernulio lygtis virsta tiesine lygtimi

z′

α− 1 + p(x)z(x) = f(x),

kuri¡ spr¦sti jau mokame.P a v y z d y s . I²spr¦skime Bernulio lygti

y′ + y

x= y2 ln x

x.

Akivaizdu, kad y = 0 yra ²ios lygties atskirasis sprendinys. Tegu y 6= 0.Apibreºkime nauj¡ neºinom¡ funkcij¡ z = y−1. Tada y = z−1, y′ = −z′/z2

ir gauname tiesin¦ lygti

−z′ + z

x= ln x

x.

Jos bendrasis sprendinysz = ln x+ 1 + cx.

Taigi nagrinejamos Bernulio lygties bendrasis sprendinys

y = 1ln x+ 1 + cx

.

Artindami £ia c i ∞, gausime atskir¡ji sprendini y = 0.Lygtis

y′(x) + p(x)y + q(x)y2 = f(x). (2.22)

yra vadinama Rika£io lygtimi. Bendruoju atveju ji neintegruojama kvadraturo-mis1. Ta£iau jeigu ºinome koki nors atskir¡ jos sprendini y = y1(x), tai apibreº¦nauj¡ neºinom¡ funkcij¡ z = y − y1 gausime Bernulio lygti

z′(x) + [p(x) + 2q(x)y1]z(x) + q(x)z2(x) = 0,

kuri¡ spr¦sti mokame.

1Sakysime, diferencialine lygtis yra integruojama kvadraturomis, jeigu jos sprendini gal-ima i²reik²ti (nebutinai tiesiogiai) elementariomis funkcijomis ir ju neapibreºtiniais integralaisnaudojant baigtini skai£iu algebriniu operaciju.


P a v y z d y s . I²spr¦skime Rika£io lygti

y′ − 2y sin x+ y2 = cosx− sin2 x.

Tiesiogiai galima isitikinti, kad funkcija y1(x) = sin x yra ²ios lygties sprendinys.Apibreºkime nauj¡ neºinom¡ funkcij¡ z = y − sin x. Tada y = z + sin x, y′ =z′ + cosx ir naginejama lygtis susiveda i Bernulio lygti

z′ = −z2.

i lygtis yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais ir jos bendrasis sprendinys

z = 1x+ c

.

Taigi nagrinejamos Rika£io lygties bendrasis sprendinys

y = 1x+ c

+ sin x.


2.5 PIRMOS EIL ES DIFERENCIALINIU LYGIUSIMETRIN E FORMA

Nagrinejant lygti

y′ = f(x, y); y′ = dy

dx

kartais j¡ patogu perra²yti taip:

x′ = g(x, y); x′ = dx

dy, g(x, y) = 1

f(x, y) .

Pastarasias dvi lygtis galima apjungti i vien¡, nei²skiriant nei vieno i² kinta-muju. Tiksliau pirmos eiles diferencialin¦ lygti, i²reik²t¡ i²vestines atºvilgiu,galima uºra²yti simetrineje formoje

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0; (2.23)

£ia M ir N tolydºios srityje G funkcijos.Jeigu bent vienas i² koecientu M arba N ta²ke (x0, y0) ∈ G nelygus nuliui,

tai (2.23) lygti, pakankamai maºoje ²io ta²ko aplinkoje, galima suvesti i lygtii²reik²t¡ i²vestines atºvilgiu. Jeigu kokiame nors ta²ke (x0, y0) ∈ G abu koe-cientai M ir N lygus nuliui, t.y.

M(x0, y0) = N(x0, y0) = 0,

tai sakysime, kad ta²kas (x0, y0) yra ypatingas ta²kas. Taigi nagrinejant dife-rencialines lygtis simetrineje formoje nauja yra tai, kad abu koecientai M ir Ngali buti lygus nuliui. Atkreipsime demesi i tai, kad ankstesne teorija neatsako iklausimus ar egzistuoja integraline kreive einanti per ypating¡ ta²k¡, kiek tokiuintegraliniu kreiviu yra, kaip elgiasi integralines kreives arti ypatingo ta²ko.Be to, (2.23) lygties atveju integraline kreive gali tureti liestin¦ lygiagre£i¡ betkuriai i² koordina£iu a²iu, ji ne butinai eina nuo vieno srities kra²to iki kito(pavyzdºiui ji gali buti uºdara) ir t.t..

Y p a t i n g u t a ² k u p a v y z d º i a i .

1. Lygtiesy dy + x dx = 0

integralines kreives yra apskritimu ²eima x2 +y2 = c2 su centru koordina-£iu pradºioje (ºr. 2.3 pav.).Ta²kas (0, 0) yra ²ios lygties ypatingas ta²kas.Tokio tipo ta²kas yra vadinamas centru.

2. Lygtiesy dx+ x dy = 0

bendrasis sprendinys y = c/x apibreºia hiperboliu ²eim¡ (ºr. 2.4 pav.).Tokio tipo ypatingas ta²kas vadinamas balno ta²ku.

2.5 DIFERENCIALIN ES LYGTYS SIMETRIN EJE FORMA 85

3. Lygtiesx dy − 2y dx = 0

bendrasis sprendinys y = cx2 apibreºia paraboliu ²eim¡ (ºr. 2.5 pav.).

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...........................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

y

2.5 pav.

Tokio tipo ypatingas ta²kas vadinamas mazgu.

4. Lygties(x+ y) dx− (x− y) dy = 0

integralines kreives yra logaritminiu spiraliu ²eima (ºr. 2.6 pav.)√x2 + y2 = cearctg y

x .

Polinese koordinatese ²i¡ lygti galima perra²yti taip: r = ceϕ.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

x

y

2.6 pav.

Tokio tipo ypatingas ta²kas vadinamas ºidiniu.

Tegu Σ yra aibe ypatingu ta²ku. Kadangi funkcijos M ir N yra tolydºios,tai aibe Σ yra uºdara. Kartu aibe G \ Σ yra atvira.

Kiekvienam ta²kui (x0, y0) ∈ G \Σ egzistuoja tokia jo aplinka, kurioje arbaM(x, y) 6= 0 arba N(x, y) 6= 0. ioje aplinkoje (2.23) lygtis yra ekvivalenti vienaii² lyg£iu

y′ = −M(x, y)N(x, y) , x′ = −N(x, y)

M(x, y) . (2.24)


Todel (2.23) lygties sprendini galima apibreºti kaip vienos i² (2.24) lyg£iu spren-dini.

Ko²i uºdavinys diferencialines lygties simetrineje formoje atveju formuluo-jamas taip pat kaip nesimetrines lygties atveju. Reikia rasti (2.23) lygtiessprendini, einanti per ta²k¡ (x0, y0). Jeigu (x0, y0) ∈ G \ Σ ir y = ϕ(x) (arbax = ψ(y)) yra Ko²i uºdavinio

M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0, y(x0) = y0 (arba x(y0) = x0)

sprendinys, tai jis yra vienos i² (2.24) lyg£iu sprendinys. Todel nagrinejant(2.23) lygti i²lieka teisingi visi ankstesni apibreºimai ir teiginiai, turintys lokalucharakteri.

Srityje G (2.23) lygtis apibreºia kryp£iu lauk¡. Tiksliau ²i lauk¡ apibre-ºia viena i² (2.24) lyg£iu. Todel kryp£iu laukas yra apibreºtas kiekvienameneypatingame srities G ta²ke. I ²i kryp£iu lauk¡ ieina ir kryptys lygiagre£ioskoordina£iu a²ims. Priminsime, kad integraline kreive tai sprendinio grakas.Todel kiekviena glodi kreive gulinti srityje G yra integraline kreive, jeigu joskiekviename ta²ke liestines kryptis sutampa su lauko kryptimi. Bet kurios dviintegralines kreives gulin£ios vienatinumo srityje ir turin£ios bendr¡ ta²k¡, su-tampa bendroje ju apibreºimo srityje. Be to, kiekviena glodi kreive, kurios visita²kai yra ypatingi, yra integraline kreive.

Reikalavimas, kad integraline kreive butu apibreºta lygtimi y = ϕ(x) arbalygtimi x = ψ(y) yra susij¦s tik su sprendinio apibreºimu. Bendru atveju in-tegralin¦ kreiv¦ galima apibreºti kaip bet koki¡ glodºi¡ kreiv¦, kurios liestineskryptis kiekviename ta²ke sutampa su lauko kryptimi. Kiekvieno savo ta²koaplinkoje tokia kreive yra funkcijos grakas. Ta£iau visoje srityje G j¡ ne visadagalima apibreºti kaip funkcijos grak¡. Todel visumoje integralin¦ kreiv¦ galimaapibreºti lygtimi U(x, y) = 0.

I²nagrinesime kelis pavyzdºius.

1. x dy − y dx = 0, G = (x, y) : x > 0, y > 0. ios lygties bendrasissprendinys y = Cx. I²sprend¦ pastar¡j¡ lygti C atºvilgiu, gausime bendr¡jiintegral¡ y/x = C.

2. y dy + x dx = 0, G = (x, y) : x > 0, y > 0. Suintegrav¦ ²i¡ lygti,gausime bendr¡ji integral¡ y2 + x2 = c. I²sprend¦ pastar¡j¡ lygti y atºvil-giu, gausime bendr¡ji sprendini y =

√c− x2, 0 < c < ∞. Atkreipsime

demesi i tai, kad sprendinio apibreºimo sritis priklauso nuo c. Tiksliausprendinys yra apibreºtas intervale (0,

√c).

2.6 DIFERENCIALIN ES LYGTYS NEIREIKTOS IVESTIN ES ATVILGIU 87

2.6 PIRMOS EIL ES DIFERENCIALIN ES LYGTYSNEIREIKTOS IVESTIN ES ATVILGIU

Tegu funkcija F ∈ C(D), D sritis erdveje R3. Nagrinesime pirmos eiles dife-rencialin¦ lygti

F (x, y, y′) = 0, (2.25)

nei²reik²t¡ i²vestines atºvilgiu. I²skirsime kelis papras£iausius tokiu lyg£iu inte-gravimo atvejus.

1. Tarkime, funkcija F nepriklauso nuo kintamuju x ir y. Tada (2.25) lygtigalima perra²yti taip:

F (y′) = 0. (2.26)

Tegu p∗ yra reali lygtiesF (p) = 0 (2.27)

²aknis. Tada integruodami lygti

y′ = p∗,

gausimey = p∗x+ C.

Kadangiy − Cx

= p∗

yra (2.27) lygties ²aknis, tai

F(y − C

x

)= 0

yra (2.26) lygties bendrasis integralas.

P a v y z d y s . Lygtis

y′3 + y′

2 + y′ − 3 = 0

i²vestines y′ atºvilgiu turi reali¡ ²akni y′ = 1. Integruodami randamey = x+ C. Todel nagrinejamos lygties bendrasis integralas yra(y − C

x

)3+(y − C

x

)2+ y − C

x− 3 = 0.

2. Tarkime, funkija F nepriklauso nuo kintamojo y. Tada (2.25) lygti galimaperra²yti taip:

F (x, y′) = 0. (2.28)

Jeigu ²i¡ lygti galima i²spr¦sti kintamojo y′ atºvilgiu, tai gausime lygtisu atskiriamais kintamaisiais. Prie²ingu atveju patogu ivesti parametr¡.Lygtis F (x, u) = 0 kintamuju x, u plok²tumoje apibreºia kreiv¦. Tarkime,


kad x = ϕ(p), u = ψ(p) yra ²ios kreives parametrines lygtys. Tada (2.28)lygti galima pakeisti dviem lygtimis

x = ϕ(p), y′ = ψ(p).

Kadangidy = ψ(p) dx = ψ(p)ϕ′(p) dp,

tai parametrines lygtys

x = ϕ(p), y =∫ψ(p)ϕ′(p) dp+ C

apibreºia (2.28) lygties integralines kreives. Jeigu (2.28) lygti galimai²spr¦sti kintamojo x atºvilgiu: x = ϕ(y′), tai ²i¡ lygti patogu pakeistiparametrinemis lygtimis: x = ϕ(p), y′ = p. iuo atveju parametrines lyg-tys

x = ϕ(p), y =∫pϕ′(p) dp+ C

apibreºia (2.28) lygties integralines kreives.

P a v y z d y s . Lygtisx =

(y′)3 − y′ − 1

yra i²spr¦sta x atºvilgiu. Todel j¡ patogu pakeisti dviem parametrinemislygtimis

x = p3 − p− 1, y′ = p.

Kadangidy = p dx = p(3p2 − 1) dp,

taiy =

∫p(3p2 − 1) dp = 3

4p4 − 1

2p2 + C.

Todel parametrines lygtys

x = p3 − p− 1, y = 34p

4 − 12p

2 + C

apibreºia nagrinejamos lygties integralines kreives.

3. Tegu funkcija F nepriklauso nuo kintamojo x. Tada (2.25) lygti galimaperra²yti taip:

F (y, y′) = 0. (2.29)

Jeigu ²i¡ lygti galima i²spr¦sti kintamojo y′ atºvilgiu, tai gausime lygtisu atskiriamais kintamaisiais. Prie²ingu atveju patogu ivesti parametr¡.Lygtis F (y, u) = 0 kintamuju y, u plok²tumoje apibreºia kreiv¦. Tarkime,kad y = ϕ(p), u = ψ(p) yra ²ios kreives parametrines lygtys. Tada (2.29)lygti galima pakeisti dviem lygtimis

y = ϕ(p), y′ = ψ(p).

2.6 DIFERENCIALIN ES LYGTYS NEIREIKTOS IVESTIN ES ATVILGIU 89

Kadangi

dx = 1ψ(p) dy = 1

ψ(p)ϕ′(p) dp,

tai parametrines lygtys

y = ϕ(p), x =∫ϕ′(p)ψ(p) dp+ C

apibreºia (2.29) lygties integralines kreives. Jeigu (2.29) lygti galimai²spr¦sti kintamojo y atºvilgiu: y = ϕ(y′), tai ²i¡ lygti patogu pakeistiparametrinemis lygtimis: y = ϕ(p), y′ = p. iuo atveju parametrines lyg-tys

y = ϕ(p), x =∫ϕ′(p)p

dp+ C

apibreºia (2.28) lygties integralines kreives.

P a v y z d y s . Lygtiy2/3 +

(y′)2/3 = 1

galima pakeisti dviem parametrinemis lygtimis

y = cos3 p, y′ = sin3 p.

Kadangi

dx = dy

y′= −3 cos2 p

sin3 psin p dp = −3ctg2p dp,

taix = 3p+ 3 ctg p+ C.

Todel parametrines lygtys

y = cos3 p, x = 3p+ 3 ctg p+ C

apibreºia nagrinejamos lygties integralines kreives.

3 SKYRIUS

Auk²tesnes eiles paprastosios

diferencialines lygtys

3.1 PAPRASIAUSIOS DIFERENCIALIN ES LYGTYS,KURIU EIL GALIMA SUMAINTI

Nagrinejant n tos eiles diferencialin¦ lygti

F(x, y, y′, . . . , y(n)) = 0 (3.1)

arba lygti i²reik²t¡ i²vestines atºvilgiu

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)) (3.2)

kartais pavyksta sumaºinti jos eil¦. Daºniausiai tai palengvina lygties integrav-im¡. I²skirsime kelis papras£iausius atvejus, kai lygties eil¦ galima sumaºinti.

Tarkime (3.2) lygties de²inioji puse nepriklauso nuo ie²komos funkcijos y irjos i²vestiniu, t.y.

y(n) = f(x). (3.3)

Paºymej¦ y(n−1) = v gausime pirmos eiles diferencialin¦ lygti v′ = f(x). Suin-tegrav¦ ²i¡ lygti rasime funkcij¡ v = g(x) + c. Taigi padar¦ toki keitini gavometokio pa£io pavidalo n− 1 eiles diferencialin¦ lygti

y(n−1) = g(x) + c1.

Pakartoj¦ ²iai lyg£iai tokius pa£ius samprotavimus n− 1 kart¡, rasime ie²kom¡sprendini

y = q(x) + c1xn−1

(n− 1)! + c2xn−2

(n− 2)! + · · ·+ cn.

Ta£iau praktikoje, ie²kant (3.3) lygties sprendinio elgiamasi kitaip. Tiksliau abilygties puses n kartu integruojame panariui. Pavyzdºiui tegu turime antros eileslygti

y′′ = f(x).

Suintegrav¦ abi ²ios lygties puses panariui, gausime lygti

y′ =∫f(x) dx := g(x) + c1.

Integruodami j¡ panariui rasime ie²kom¡ sprendini

y =∫

(g(x) + c1) dx := q(x) + c1x+ c2.

3.1 LYGTYS, KURIU EIL GALIMA SUMAINTI 91

Tarkime, (3.1) lygtis nepriklauso nuo ie²komos funkcijos ir visu jos i²vestiniuiki k − 1 eiles imtinai, t.y.

F(x, y(k), y(k+1), . . . , y(n)) = 0, k < n.

Padar¦ keitini y(k) = v naujos ie²komos funkcijos v atºvilgiu gausime n−k eileslygti

F(x, v, v′, . . . , v(n−k)) = 0.

P a v y z d y s . Rasti lygties

y′′ − y′/x = 0

bendr¡ji sprendini. i lygtis nepriklauso nuo ie²komos funkcijos y. Padar¦ keitiniy′ = v naujos ie²komos funkcijos v atºvilgiu gausime lygti su atskiriamais kin-tamaisiais:

v′ − v/x = 0 ⇐⇒ dv

v= dx

x.

Integruodami j¡ randame

ln |v| = ln |x|+ ln |c1| ⇐⇒ v = c1x.

Griº¦ prie seno kintamojo y, randame y′ = c1x ir bendrasis nagrinejamos lygtiessprendinys y = c1x

2 + c2.Tarkime, (3.1) lygtyje funkcija F priklauso tik nuo ie²komos funkcijos y

i²vestiniu y(n−1) ir y(n) ir ²i¡ lygti galima i²spr¦sti i²vestines y(n) atºvilgiu.Tada toki¡ lygti galima uºra²yti pavidalu

y(n) = f(y(n−1)).

Apibreº¦ nauj¡ ie²kom¡ funkcij¡ v = y(n−1), gausime pirmos eiles lygti suatskiriamais kintamaisiais

v′ = f(v) ⇐⇒ dv

f(v) = dx.

Jos bendrasis integralas ∫dv

f(v) = x+ c1, f(v) 6= 0.

Tarkime ²i s¡ry²i galima i²spr¦sti v atºvilgiu: v = ϕ(x, c1). Pakeit¦ £ia v i y(n−1)

gausime lygtiy(n−1) = ϕ(x, c1).

Integruodami j¡ n− 1 kart¡, gausime bendr¡ji sprendini

y =∫· · ·∫ϕ(x, c1) dx . . . dx+ c2

xn−2

(n− 2)! + c3xn−3

(n− 3)! + . . .+ cn−1x+ cn.

92 3. AUKTESN ES EIL ES PAPRASTOSIOS DIFERENCIALIN ES LYGTYS

Tarkime, (3.1) lygtyje funkcija F priklauso tik nuo ie²komos funkcijos yi²vestiniu y(n−2) ir y(n) ir ²i¡ lygti galima i²spr¦sti i²vestines y(n) atºvilgiu.Tada toki¡ lygti galima uºra²yti pavidalu

y(n) = f(y(n−2)).

Apibreº¦ nauj¡ ie²kom¡ funkcij¡ v = y(n−2), gausime antros eiles diferencialin¦lygti

v′′ = f(v).

Padaugin¦ ²i¡ lygti i² 2v′ perra²ykime j¡ taip:

2v′dv′ = 2v′f(v) dx ⇐⇒ d(v′)2 = 2f(v) dv.

Pastar¡j¡ lygti integruodami ir atlikdami elementarius veiksmus, randame

v′2 = 2

∫f(v) dv + c1 ⇐⇒ v′ = ±

√2∫f(v) dv + c1.

Gauta lygtis yra lygtis su atskiriamais kintamaisiais. Tarkime, jos bendr¡jiintegral¡ ∫

dv√2∫f(v) dv + c1

= ±x+ c2

galima i²spr¦sti v atºvilgiu. Tiksliau tegu v = ϕ(x, c1, c2). Pakeit¦ £ia v i y(n−2)

gausime n− 2 eiles lygtiy(n−2) = ϕ(x, c1, c2),

kurios bendr¡ji integral¡ randame n− 2 kartus integruodami ²i¡ lygti panariui.

3.2 TIESIN ES HOMOGENIN ES ANTROS EIL ES LYGTYS 93

3.2 TIESIN ES HOMOGENIN ES ANTROS EIL ES LYGTYS

Tarkime, funkcijos a1, a2 yra tolydºios intervale (a, b) ir

L(y) = y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y

Rei²kinys L(y) yra vadinamas antros eiles tiesiniu diferencialiniu rei²kiniu, ooperatorius L antros eiles tiesiniu diferencialinu operatoriumi . Jo apibreºimosritis yra funkciju erdve C2(a, b) . Kadangi funkcija y ir visos jos i²vestines ikiantros eiles imtinai ieina i operatoriu L tiesi²kai, tai

1. L(λϕ) = λL(ϕ), ∀ϕ ∈ C2(a, b), λ ∈ R.

2. L(ϕ+ ψ) = L(ϕ) + L(ψ), ∀ϕ,ψ ∈ C2(a, b) .

Nagrinesime tiesin¦ homogenin¦ antros eiles diferencialin¦ lygti

L(y) = 0. (3.4)

Tegu funkcijos ϕ1 ir ϕ2 yra (3.4) lygties sprendiniai. Tada ju tiesinis darinys

ϕ = c1ϕ1 + c2ϕ2 (3.5)

taip pat yra (3.4) lygties sprendinys. I² tikruju

L(ϕ) = L(c1ϕ1 + c2ϕ2) = L(c1ϕ1) + L(c2ϕ2) =

c1 L(ϕ1) +c2 L(ϕ2) = c1 · 0 + c2 · 0 = 0.

P a v y z d y s . Lygtisy′′ = 0

turi du atskirus sprendinius y = 1 ir y = x. Todel ju tiesinis darinys

y = c1 + xc2

taip pat yra sprendinys.Sprendinys (3.5) priklauso nuo dvieju laisvu konstantu c1 ir c2. I²siai²kinsime

ar jis yra bendrasis (3.4) lygties sprendinys.A p i b r e º i m a s . Sakysime, tolydºios funkcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai ne-

priklausomos intervale (a, b), jeigu lygybe

c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)

yra galima tik tuo atveju, kai

c1 = c2 = 0.

Prie²ingu atveju jos vadinamos tiesi²kai priklausomomis. Tiksliau, jeigu egzis-tuoja konstantos c1, c2, i² kuriu bent viena nelygi nuliui, tokios, kad

c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b),


tai sakysime, kad funkcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai priklausomos.I² ²io apibreºimo matome, kad funkcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai priklausomos,

jeigu bent viena i² ju lygi nuliui. Be to, jeigu prie tiesi²kai priklausomu funkcijuprijungsime dar kelias funkcijas, tai gauta funkciju sistema bus tiesi²kai prik-lausoma. Akivaizdu, dvi funcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai priklausomos, jei jos yraproporcingos, t.y. kai ϕ1 = λϕ2, λ = const.

Pavyzdºiui, funkcijos ϕ1 = e2x ir ϕ2 = ex yra tiesi²kai nepriklausomos betkokiame intervale (a, b) ⊂ R, nes lygybe

c1ϕ1 + c2ϕ2 = c1e2x + c2e

x = 0, ∀x ∈ (a, b)

yra galima tik tuo atveju, kai c1 = c2 = 0. Funkcijos ϕ1 = 2 sin x ir ϕ2 = sin xyra tiesi²kai priklausomos, nes jos yra proporcingos

ϕ1

ϕ2= 2 sin x

sin x = 2.

Tegu ϕ1, ϕ2 yra diferencijuojamos intervale (a, b) funkcijos. I² ²iu funkcijuir ju i²vestiniu sudarome determinant¡

W (x) =∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ′1(x) ϕ′2(x)

∣∣∣∣ .Taip apibreºtas determinantas yra vadinamas funkciju sistemos ϕ1, ϕ2 Vronskiodeterminantu.

3.1 teorema. Jeigu funkcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai priklausomos intervale (a, b),tai jas atitinkantis Vronskio determinantas ²iame intervale tapa£iai lygus nuliui.

/ Pagal apibreºim¡ funkcijos ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai priklausomos intervale (a, b),jeigu

c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x) = 0, ∀x ∈ (a, b).

ir bent vienas i² koecientu c1, c2 nelygus nuliui. Tarkime, c2 6= 0. Tada

ϕ2(x) = −c1c2ϕ1(x).

ir funkcijas ϕ1, ϕ2 atitinkantis Vronskio determinantas

W (x) =∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ′1(x) ϕ′2(x)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ ϕ1(x) − c1

c2ϕ1(x)

ϕ′1(x) − c1c2ϕ′1(x)

∣∣∣∣ = 0..

Tarkime, kad ϕ1, ϕ2 yra (3.4) lygties sprendiniai ir W (x) yra ²iuos spren-dinius atitinkantis Vronskio determinantas. Tada yra teisinga teorema.

3.2 teorema. Teiginiai1

1i ir kai kurios kitos ²io skyrelio teoremos pateiktos be irodymu. Ju irodymus galima rastibet kokiame paprastuju diferencialiniu lyg£iu vadovelyje.

3.2 TIESIN ES HOMOGENIN ES ANTROS EIL ES LYGTYS 95

1. W (x) = 0, ∀x ∈ (a, b),

2. W (x0) = 0, kokiame nors ta²ke x0 ∈ (a, b),

3. Sprendiniai ϕ1, ϕ2 tiesi²kai priklausomi

yra ekvivalentus.

I ² v a d a . Tegu funkcijos ϕ1, ϕ2 yra (3.4) lygties tiesi²kai nepriklausomisprendiniai intervale (a, b). Tada jie yra tiesi²kai nepriklausomi ir bet kokiameintervale (α, β) ⊂ (a, b).

Tegu funkcijos ϕ1, ϕ2 yra (3.4) lygties tiesi²kai nepriklausomi sprendiniaiintervale (a, b). Tada

W ′(x) =∣∣∣∣ ϕ′1(x) ϕ′2(x)ϕ′1(x) ϕ′2(x)

∣∣∣∣+∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ′′1(x) ϕ′′2(x)

∣∣∣∣ =∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ′′1(x) ϕ′′2(x)

∣∣∣∣Kadangi funkcijos ϕ1, ϕ2 yra (3.4) lygties sprendiniai, tai

ϕ′′1(x) = −a1(x)ϕ′1(x)− a2(x)ϕ1(x), ϕ′′2(x) = −a1(x)ϕ′2(x)− a2(x)ϕ2(x)

ir Vronskio determinanto i²vestine

W ′(x) =∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)−a1(x)ϕ′1(x)− a2(x)ϕ1(x) −a1(x)ϕ′2(x)− a2(x)ϕ2(x)

∣∣∣∣ =

= −a1(x)∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ′1(x) ϕ′2(x)

∣∣∣∣− a2(x)∣∣∣∣ ϕ1(x) ϕ2(x)ϕ1(x) ϕ2(x)

∣∣∣∣ = −a1(x)W (x).

Vadinasi Vronskio determinantas W yra diferencialines lygties

W ′(x) = −a1(x)W (x)

sprendinys. Tai yra pirmos eiles tiesine homogenine lygtis. Jos sprendinys

W (x) = W (x0)e−

x∫x0

a1(s) ds

.

Pastaroji formule vadinama Liuvilio Ostrogradskio formule. I² jos matome,kad Vronskio determinantas tapa£iai lygus nuliui, jeigu jis lygus nuliui bent vien-ame ta²ke. Kartu galime tvirtinti, kad sprendiniai ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai neprik-lausomi, jeigu Vronskio determinantas bent viename ta²ke nelygus nuliui.

Kiekvienas (3.4) lygties sprendinys ϕk, k = 1, 2 vienareik²mi²kai apibreºia-mas jo ir jo i²vestines reik²memis kokiame nors ksuotame ta²ke x0 ∈ (a, b).ias pradines reik²mes galima uºra²yti stulpeliu ir i² ju sudaryti matric¡

Φ(x0) =(ϕ1(x0) ϕ2(x0)ϕ′1(x0) ϕ′2(x0)

).

Pavadinkime j¡ pradine matrica. Akivaizdu, kad

W (x0) = det Φ(x0).


Taigi (3.4) lygties sprendiniai ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai nepriklausomi, jeigu juos ati-tinkanti pradine matrica yra nei²sigimusi, t.y.

det Φ(x0) 6= 0.

Kartu ji yra nei²sigimusi ir kiekviename intervalo (a, b) ta²ke.A p i b r e º i m a s . Sakysime, du (3.4) lygties sprendiniai ϕ1, ϕ2, yra ²ios

lygties sprendiniu baze, jeigu bet kuri ²ios lygties sprendini ϕ galima i²reik²tisprendiniu ϕ1, ϕ2, tiesiniu dariniu, t.y.

ϕ = c1ϕ1 + c2ϕ2, c1, c2 ∈ R.

Koecientai c1, c2 vadinami sprendinio ϕ koordinatemis duotoje bazeje.

3.3 teorema. Bet kokie (3.4) lygties sprendiniai ϕ1, ϕ2 su nei²sigimusia pra-dine matrica yra ²ios lygties sprendiniu baze.

Pagal 3.3 teorem¡ (3.4) lygties sprendiniai ϕ1, ϕ2 yra tiesi²kai nepriklausomitada ir tik tada, kai i² ju sudaryta pradine matrica Φ yra nei²sigimusi kokiamenors ta²ke x0 ∈ (a, b). Todel pastar¡j¡ teorem¡ galima performuluoti taip.

3.4 teorema. Bet kokie du tiesi²kai nepriklausomi (3.4) lygties sprendiniaiyra ²ios lygties sprendiniu baze.

Tegu ϕ1, ϕ2 yra (3.4) lygties sprendiniu baze. Funkcija

ϕ(x) = c1ϕ1(x) + c2ϕ2(x), c1, c2 ∈ R (3.6)

yra vadinama (3.4) lygties bendruoju sprendiniu.Bendrasis sprendinys pasiºymi ²iomis savybemis:

1. Kiekvienam konkre£iam parametru c1, c2 rinkiniui funkcija ϕ, apibreºta(3.6) formule, yra (3.4) lygties sprendinys.

2. Kiekvien¡ (3.4) lygties sprendini galima i²reik²ti (3.6) formule, tinkamaiparinkus parametru c1, c2 reik²mes.

Sprendiniu erdves baze, t.y. dvieju tiesi²kai nepriklausomu sprendiniu vi-suma, vadinama fundamentali¡ja sprendiniu sistema.

3.3 KONSTANTU VARIJAVIMO METODAS 97

3.3 KONSTANTU VARIJAVIMO METODAS

iame skyrelyje parodysime, kad tiesimes nehomogenines lygties atskir¡ji spren-dini galima rasti ºinant ²i¡ lygti atitinkan£ios tiesines homogenines lygties koki¡nors fundamentali¡j¡ sprendiniu sistem¡. Be to, isitikinsime, kad nehomogeni-nes lygties bendr¡ji sprendini galima i²reik²ti ²ios lygties atskirojo sprendinio irj¡ atitinkan£ios homogenines lygties bendrojo sprendinio suma.

I² pradºiu nagrinesime tiesin¦ nehomogenin¦ antros eiles lygti

L(y) := y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = q(x), x ∈ (a, b). (3.7)

Tegu y ir v yra kokie nors du ²ios lygties sprendiniai intervale (a, b), t.y.

L(y) = q(x) ir L(v) = q(x), x ∈ (a, b).

Tada ju skirtumas ϕ = y − v yra tiesines homogenines lygties

L(ϕ) := ϕ′′ + a1(x)ϕ′ + a2(x)ϕ = 0.

sprendinys. I² tikruju,

L(ϕ) = L(y − v) = L(y)−L(v) = q(x)− q(x) = 0.

Todel jeigu ºinome koki nors (3.7) lygties atskir¡ji sprendini v, tai bet kuri kit¡²ios lygties sprendini y galima apibreºti formule y = v+ϕ, kurioje ϕ yra tiesineshomogenines lygties L(ϕ) = 0 bendrasis sprendinys. Jeigu ºinome homogenineslygties koki¡ nors fundamentali¡j¡ sprendiniu sistem¡ ϕ1, ϕ2, tai jos bendrasissprendinys

ϕ = c1ϕ1 + c2ϕ2.

Ta£iau taday = v + ϕ = v + c1ϕ1 + c2ϕ2 (3.8)

yra (3.7) lygties bendrasis sprendinys. Norint tuo isitikinti pakanka pastebeti,kad bet kuri kit¡ (3.7) lygties sprendini ψ galima i²reik²ti (3.8) formule. I²tikruju, tegu ψ yra koks nors (3.7) lygties sprendinys. Sudarykime tiesin¦ dviejualgebriniu lyg£iu sistem¡

v(x0) + c1ϕ1(x0) + c2ϕ2(x0) = ψ(x0),

v′(x0) + c1ϕ′1(x0) + c2ϕ

′2(x0) = ψ′(x0)

kintamuju c1, c2 atºvilgiu. ios sistemos determinantas yra fundamentaliossprendiniu sistemos ϕ1, ϕ2 Vronskio determinantas W (x0). Kadangi jis nely-gus nuliui, tai sistema turi vieninteli sprendini c1 = c01, c2 = c02. Kartu galimetvirtinti, kad sprendiniai

y = v + c01ϕ1 + c02ϕ2 ir y = ϕ

tenkina tas pa£ias pradines s¡lygas. Remiantis vienaties teorema ²ie sprendiniaisutampa.


Taigi, jeigu ºinome homogenines lygties fundamentali¡j¡ sprendiniu siste-m¡, tai nehomogenines lygties sprendimas sisiveda i jos atskirojo sprendinioradim¡. Pasirodo, kad nehomogenines lygties atskir¡ji sprendini galima surasti,jeigu yra ºinoma kokia nors homogenines lygties fundamentalioji sprendiniu sis-tema. Atskir¡ji nehomogenines lygties sprendini ie²kosime konstantu varijav-imo metodu. io metodo esme yra tame, kad atskirasis (3.7) lygties sprendinysyra ie²komas pavidalu:

v(x) = c1(x)ϕ1(x) + c2(x)ϕ2(x); (3.9)

£ia c1, c2 ie²komos diferencijuojamos funkcijos, o ϕ1, ϕ2 fundamentaliojihomogenines lygties sprendiniu sistema. Suskai£iuosime funkcijos v i²vestines irpareikalausime, kad pabrauktas narys butu lygus nuliui.

v′(x) = c1(x)ϕ′1(x) + c2(x)ϕ′2(x) + c′1(x)ϕ1(x) + c′2(x)ϕ2(x),

v′′(x) = c1(x)ϕ′′1(x) + c2(x)ϕ′′2(x) + c′1(x)ϕ′1(x) + c′2(x)ϕ′2(x),Padaugin¦ funkcij¡ v i² a2, jos pirm¡j¡ i²vestin¦ v′ i² a1, o ant¡j¡ i²vestin¦ v′′

i² 1 ir visk¡ sudej¦, gausime

L(v) = c1 L(ϕ1) +c2 L(ϕ2) +c′1ϕ′1 + c′2ϕ′2 = c′1ϕ

′1 + c′2ϕ

′2.

Funkcija v tenkins (3.7) lygti, jeigu paskutinis rei²kinys yra lygus q(x). Taigifunkciju c′1, c

′2 atºvilgiu, gavome dvieju tiesiniu lyg£iu sistem¡

c′1(x)ϕ1(x) + c′2(x)ϕ2(x) = 0,

c′1(x)ϕ′1(x) + c′2(x)ϕ′2(x) = q(x).ios sistemos determinantas W (x) 6= 0. Todel ji turi vieninteli sprendini

c′1(x) = W1(x)W (x) , c′2(x) = W2(x)

W (x) ;

£ia W1 ir W2 yra determinantai, gaunami i² Vronskio determinanto W, pakeitusatitinkamai pirm¡ji ir antr¡ji stulpeli i stulpeli colon(0, q(x)). Taigi

ck(x) =x∫

x0

Wk(s)W (s) ds+ ck0, k = 1, 2;

£ia ck0 ksuotos konstantos. Istat¦ taip apibreºtas funkcijas ck i (3.9) formul¦,gausime atskiriji (3.7) lygties sprendini.


y′′ + y = 1cosx

bendr¡ji sprendini. i¡ lygti atitinkanti tiesine homogenine lygtis

y′′ + y = 0


turi du tiesi²kai nepriklausomus sprendinius ϕ1 = cosx ir ϕ2 = sin x. Todelϕ = c1 cosx + c2 sin x yra bendrasis homogenines lygties sprendinys. Rasimeatskir¡ji nehomogenines lygties sprendini. Remiantis (3.9) formule ²i sprendinigalima uºra²yti pavidalu

v = c1(x) cosx+ c2(x) sin x.

Neºinomu funkciju c1 ir c2 i²vestines rasime i² lyg£iu:c′1(x) cosx+ c′2(x) sin x = 0,

c′1(x)(− sin x) + c′2(x) cosx = 1cosx.

Funkciju sistemos cosx, sin x Vronskio determinantas

W (x) =∣∣∣∣ cosx sin x− sin x cosx

∣∣∣∣ = cos2 x+ sin2 x = 1.

Determinantai

W1(x) =∣∣∣∣ 0 sin x

1cos x cosx

∣∣∣∣ = − tg x, W2(x) =∣∣∣∣ cosx 0− sin x 1

cos x

∣∣∣∣ = 1.

Todel

c′1(x) = W1(x)W (x) = − tg x =⇒ c1(x) =

∫(− tg x) dx = ln | cosx|;

c′2(x) = W2(x)W (x) = 1 =⇒ c2(x) =

∫1 dx = x,

o atskirasis sprendinys v = ln | cosx|·cosx+x·sin x. Taigi bendrasis nagrinejamoslygties sprendinys

y = ln | cosx| · cosx+ x · sin x+ c1 cosx+ c2 sin x.

Irodyti teiginiai antros eiles tiesinei lyg£iai yra teisingi ir n-tos eiles tiesineilyg£iai

L(y) := y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = q(x), x ∈ (a, b). (3.10)

Tiksliau bendr¡ji ²ios lygties sprendini galima i²reik²ti pavidalu

y = v + ϕ,

kur v yra koks nors atskiras ²ios lygties sprendinys, o ϕ yra bendrasis ho-mogenines lygties

L(y) := y(n) + a1(x)y(n−1) + · · ·+ an(x)y = 0, x ∈ (a, b). (3.11)


sprendinys. Be to, jeigu ºinoma kokia nors fundamentalioji homogenines lygtiessprendiniu sistema ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn, tai bendrasis homogenines lygties sprendinys

ϕ = c1ϕ1 + c2ϕ2 + . . .+ cnϕn.

Atskir¡ji nehomogenines lygties sprendini galima ie²koti pavidalu

v = c1(x)ϕ1(x) + c2(x)ϕ2(x) + . . .+ cn(n)ϕn(x); (3.12)

£ia ie²komos funkcijos c1, c2, . . . , cn randamos i² n algebriniu lyg£iu sistemos:

c′1(x)ϕ1(x) + · · ·+ c′n(x)ϕn(x) = 0,c′1(x)ϕ′1(x) + · · ·+ c′n(x)ϕ′n(x) = 0,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·c′1(x)ϕ(n−2)

1 (x) + · · ·+ c′n(x)ϕ(n−2)n (x) = 0,

c′1(x)ϕ(n−1)1 (x) + · · ·+ c′n(x)ϕ(n−1)

n (x) = q(x).

ios sistemos Vronskio determinantas W (x) 6= 0. Todel ji turi vieninteli spren-dini

c′1(x) = W1(x)W (x) , . . . , c

′n(x) = Wn(x)

W (x) ;

£ia Wk, k = 1, . . . , n yra determinantai, gaunami i² Vronskio determinanto W,pakeitus k-¡ji stulpeli i stulpeli colon(0, . . . , 0, q(x)). Taigi

ck(x) =x∫

x0

Wk(s)W (s) ds+ ck0;

£ia ck0 ksuotos konstantos. Istat¦ taip apibreºtas funkcijas ck i (3.12) formul¦,gausime atskir¡ji (3.10) lygties sprendini.

io skyrelio pabaigoje pateiksime pavyzdi, kai ºinant vien¡ homogenineslygties sprendini jos eil¦ galima sumaºinti vienetu.

P a v y z d y s . Tarkime, yra ºinomas antros eiles lygties

y′′ + a1(x)y′ + a2(x)y = 0 (3.13)

netrivialus sprendinys y = ϕ(x). Apibreºkime nauj¡ ie²kom¡ funkcij¡ z formule

y(x) = ϕ(x)∫z(x) dx.

Tada

y′(x) = ϕ′(x)∫z(s) ds+ ϕ(x)z(x),

y′′(x) = ϕ′′(x)∫z(s) ds+ 2ϕ′(x)z(x) + ϕ(x)z′(x).


Istat¦ taip apibreºtos funkcijos y ir jos i²vestiniu y′, y′′ reik²mes i (3.13) lygti,gausime funkcijos z atºvilgiu pirmos eiles tiesin¦ homogenin¦ lygti

ϕ(x)z′(x) +(a1(x)ϕ(x) + 2ϕ′(x)

)z(x) = 0,

kurios bendrasis sprendinys

z = ce−∫ (

a1(x)+2 ϕ′(x)ϕ(x)

)dx = cϕ−2(x)e−

∫a1(x) dx.

Todely = ϕ(x) ir y = ϕ(x)

∫e−∫a1(x) dxϕ−2(x) dx

yra (3.13) lygties sprendiniai. Akivaizdu, kad jie yra tiesi²kai nepriklausomi.Todel ju tiesinis darinys yra (3.13) lygties bendrasis sprendinys.


3.4 TIESIN ES ANTROS EIL ES LYGTYS SU PASTOVIAISREALIAIS KOEFICIENTAIS

Tiesin¦ antros eiles lygti

L(y) := y′′ + 2ay′ + by = q(x) (3.14)

su pastoviais realiais koecicientais a, b atitinka homogenine lygtis

L(y) := y′′ + 2ay′ + by = 0. (3.15)

Jos sprendini ie²kosime pavidalu y = eλx, λ ∈ R. Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡i (3.15) lygti gausime

eλx(λ2 + 2aλ+ b

)= 0.

Taigi funkcija y = eλx yra (3.15) lygties sprendinys, jeigu skai£ius λ yra charak-teristines lygties

λ2 + 2aλ+ b = 0²aknis. ios lygties ²aknys

λ1 = −a−√a2 − b, λ2 = −a+

√a2 − b.

I²skirsime tokius atvejus:

1. aknys λ1, λ2 yra realios ir skirtingos, t.y.

a2 − b > 0.

2. aknys λ1, λ2 yra realios ir sutampa, t.y.

a2 − b = 0.

3. aknys λ1, λ2 yra kompleksines ir ju realioji dalis nelygi nuliui, t.y.

a2 − b < 0, a 6= 0.

4. aknys λ1, λ2 yra menamos, t.y.

a = 0, b > 0.

Kiekvien¡ i² ²iu atveju i²nagrinesime atskirai.1. Tegu λ1, λ2 yra realios charakteristines lygties ²aknys ir λ1 6= λ2. Tada

ϕ1 = eλ1x, ϕ2 = eλ2x

yra du tiesi²kai nepriklausomi (3.15) homogenines lygties sprendiniai, nes Vron-skio determinantas

W (x) =∣∣∣∣ eλ1x eλ2x

λ1eλ1x λ2e

λ2x

∣∣∣∣ = (λ2 − λ1)eλ1xeλ2x 6= 0.

3.4 TIESIN ES ANTROS EIL ES LYGTYS SU PASTOVIAIS KOEFICIENTAIS 103

Bendrasis homogenines lygties sprendinys

ϕ = c1eλ1x + c2e

λ2x.

Atskir¡ (3.14) nehomogenines lygties sprendini galima rasti konstantu varijav-imo metodu. Remiantis ²iuo metodu atskirasis sprendinys ie²komas pavidalu:

v = c1(x)eλ1x + c2(x)eλ2x,

neºinomu funkciju c1, c2 i²vestines randamos i² dvieju algebriniu lyg£iu sistemosc′1(x)eλ1x + c′2(x)eλ2x = 0,c′1(x)λ1e

λ1x + c′2(x)λ2eλ2x = q(x).

I²sprend¦ ²i¡ lyg£iu sistem¡ ir gautus sprendinius suintegrav¦, randame

c1(x) = 1λ1 − λ2

x∫x1

q(s)e−λ1s ds,

c2(x) = 1λ2 − λ1

x∫x2

q(s)e−λ2s ds.

Todel atskir¡ji nehomogenines lygties sprendini galima apibreºti taip:

v(x) = eλ1x

λ1 − λ2

x∫x1

q(s)e−λ1s ds+ eλ2x

λ2 − λ1

x∫x2

q(s)e−λ2s ds

Tarkime, funkcija q yra apreºta, t.y. max |q(x)| ≤M. Imkime x1 = x2 =∞,kai λ1 > 0, x1 = x2 = −∞, kai λ2 < 0, x1 = −∞, x2 = ∞, kai λ1 < 0, λ2 > 0.Tada

|v(x)| ≤( 1|λ1|

+ 1|λ2|

) M

|λ2 − λ1|.

Atkreipsime demesi i tai, kad ne visoms x reik²mems funkcija q gali buti api-breºta. iuo atveju j¡ reikia prat¦sti ir pasirupinti, kad integralai∫

q(s)e−λ1s ds,

∫q(s)e−λ2s ds

su atitinkamais reºiais konverguotu.2. Tegu λ1 = λ2 = −a, a2 = b ir a 6= 0. Tada ϕ1 = e−ax yra (3.15) ho-

mogenines lygties sprendinys. Kit¡ tiesi²kai nepriklausom¡ ²ios lygties sprendinigalima ie²koti pavidalu ϕ2 = c(x)e−ax, kur c neºimoma funkcija. Istat¦ taipapibreºt¡ funkcij¡ i (3.15) lygti ie²komai funkcijai c gausime lygti c′′ = 0. Suinte-grav¦ ²i¡ lygti randame jos sprendini c(x) = x. Taigi kitas tiesi²kai nepriklauso-mas (3.15) lygties sprendinys ϕ2 = xe−ax. Sprendiniu sistemos ϕ1, ϕ2 Vronskiodeterminantas

W (x) =∣∣∣∣ e−ax xe−ax

−ae−ax e−ax − axe−ax∣∣∣∣ = e−2ax 6= 0.


Todel bendrasis (3.15) homogenines lygties sprendinys

ϕ = c1e−ax + c2xe

−ax.

Atskirasis (3.14) nehomogenines lygties sprendinys

v(x) = e−axx∫

x1

(x− s)q(s)eas ds.

Ji galima rasti konstantu varijavimo metodu. Taigi bendrasis (3.14) nehomoge-nines lygties sprendinys

y = c1e−ax + c2xe

−ax + v(x).

3. Tegu λ1 = −α− iβ, λ2 = −α+ iβ, α = a, β =√b− a2. Tada

ϕ1 = e−(α+iβ)x = e−αx(cosβx− i sin βx),

ϕ2 = e−(α−iβ)x = e−αx(cosβx+ i sin βx)yra du kompleksi²kai jungtiniai (3.15) lygties sprendiniai. Kadangi pastarosioslygties koecientai yra realus, tai sprendiniu z1, z2 realioji ir menamoji dalys

ϕ1 = e−αx cosβx, ϕ2 = e−αx sin βx

yra relus (3.15) lygties sprendiniai. Funkciju sistemos ϕ1, ϕ2 Vronskio determi-nantas

W (x) =∣∣∣∣ e−αx cosβx e−αx sin βx

(e−αx cosβx)′ (e−αx sin βx)′∣∣∣∣ = βe−2αx 6= 0.

Todel (3.15) sistemos bendrasis sprendinys

ϕ = c1e−αx cosβx+ c2e

−αx sin βx.

Atskirasis (3.14) lygties sprendinys

v(x) = sin βxβ

x∫x2

q(s)eα(s−x) cosβs ds− cosβxβ

x∫x1

q(s)eα(s−x) sin βs ds.

Ji galima rasti konstantu varijavimo metodu. Paem¦ x1 = x2 perra²ysimepastar¡j¡ formul¦ taip:

v(x) = 1β

x∫x1

q(s)eα(s−x) sin(x− s)β ds.

4. Tegu a = 0, β =√b, b > 0, λ1 = −iβ, λ2 = +iβ. iuo atveju (3.14) lygti

galime perra²yti taip:y′′ + β2y = q(x). (3.16)


Homogenine lygtisy′′ + β2y = 0 (3.17)

turi du kompleksi²kai jungtinius sprendinius

e−iβx = cosβx− i sin βx, eiβx = cosβx+ i sin βx.

iu sprendiniu realioji ir menamoji dalys

ϕ1 = cosβx, ϕ2 = sin βx

yra realus tiesi²kai nepriklausomi (3.17) homogenines lygties sprendiniai. Todelbendrasis(3.17) homogenines lygties sprendinys

ϕ = c1 cosβx+ c2 sin βx.

Atskirasis (3.16) lygties sprendinys

v(x) = −cosβxβ

x∫x1

q(s) sin βs ds+ sin βxβ

x∫x2

q(s) cosβs ds.

Ji galima rasti konstantu varijavimo metodu. Bendrasis (3.16) lygties sprendinys

y = c1 cosβx+ c2 sin βx+ v(x) = c sin(βx+ τ) + v(x);

£ia c =√c21 + c22, τ = arcctg(c2/c1). Jis yra apreºtas tada ir tik tada, kai yra

apreºtas atskirasis (3.16) lygies sprendinys v.P a v y z d y s . Nagrinesime lygti

y′′ + β2y = A sinαx, A > 0.

I²skirsime du atvejus:

1. α 6= β.

2. α = β.

Pirmuoju atveju atskirasis sprendinys

v(x) = A

β2 − α2 sinαx.

Bendrasis sprendinys

y = c1 sin βx+ c2 cosβx+ A

β2 − α2 sinαx = c sin(βx+ τ) + A

β2 − α2 sinαx;

£ia c =√c21 + c22, τ = arctg(c2/c1). Taigi pirmuoju atveju visi sprendiniai yra

apreºti.


Antruoju atveju atskirasis sprendinys

v(x) = −Ax2β cosβx.


y = c sin(βx+ τ)− Ax

2β cosβx.

Taigi antruoju atveju visi sprendiniai yra neapreºti ir turime rezonans¡.Tuo atveju, kai (3.14) lygties de²inioji puse q turi specialu pavidal¡, jos

atskir¡ji sprendini galima rasti ºymiai lengviau. Tiksliau neapibreºtiniu koe-cientu metodu. Metodo esme yra ta, kad pagal lygties de²iniosios puses i²rai²k¡atskir¡ji sprendini ie²kome specialiu (priklausan£iu nuo lygties de²iniosios puses)pavidalu su neapibreºtiniais koecientais. Veliau taip apibreºt¡ sprendini istato-me i lygti ir i² gautos tapatybes randame neapibreºtinius koecientus. I²skirsimefunkcijos q kelis specialius pavidalus:

1. q(x) = eαxPn(x), Pn(x) =n∑k=0

pkxk, α, pk ∈ R,∀k = 0, 1, . . . , n.

2. q(x) = eαxPn(x) cosβx, α, β ∈ R.

3. q(x) = eαxPn(x) sin βx, α, β ∈ R.

Pirmuoju atveju (3.14) lygties atskir¡ji sprendini ie²kome pavidalu:

v(x) = xreαxQn(x), Qn(x) =n∑k=0

akxk, ak ∈ R;

£ia skai£ius r gali igyti reik²mes 0, 1 arba 2 priklausomai nuo tuo ar skai£ius αyra charakteristines lygties λ2 + 2aλ + b = 0 ²aknis ir koks jos kartotinumas.Tiksliau, jeigu skai£ius α nera charakteristines lygties λ2 + 2aλ+ b = 0 ²aknis,tai imame r = 0, jeigu α yra charakteristines lygties pirmo kartotinumo ²aknis,tai imame r = 1, o kai antro kartotinumo ²aknis, tai imame r = 2.

Antruoju ir tre£iuoju atveju (3.14) lygties atskir¡ji sprendini ie²kome pavi-dalu:

v(x) = xreαx(Qn(x) cosβx+Gn(x) sin βx);

£ia Qn ir Gn yra n-tojo laipsnio polinomai, o skai£ius r gali igyti reik²mes 0arba 1 priklausomai nuo to ar skai£ius α+ iβ yra charakteristines lygties ²aknis.

P a v y z d º i a i .

1. Rasime lygtiesy′′ − 2y′ + y = x− 4

bendr¡ji sprendini. i¡ lygti atitinka homogenine lygtis

y′′ − 2y′ + y = 0.


Charakteristine lygtisλ2 − 2λ+ 1 = 0

turi vien¡ ²akni λ = 1, kurios kartotinumas r = 2. Todel ϕ1 = ex yrahomogenines lygties sprendinys. Antras, tiesi²kai nepriklausomas, ²ioslygties sprendinys ϕ2 = xex (ºr. 100 pusl.). Taigi bendrasis homogenineslygties sprendinys ϕ = c1e

x+c2xex. Nagrinejamu atveju α = 0 6= 1. Todel

nehomogenines lygties atskirojo sprendinio ie²kome pavidalu v = ax + b;£ia a ir b neapibreºrtiniai koecientai. Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ vi nehomogenin¦ lygti gausime tapatyb¦ ax + b − 2a = x − 4. Sulygin¦koecientus prie vienodu x laipsniu randame a = 1, b − 2a = −4 ⇒b = −2. Taigi atskirasis sprendinys v = x − 2, o bendrasis sprendinysy = c1e

x + c2xex + x− 2.

2. Rasime lygtiesy′′ − 4y′ + 13y = 40 cos 3x

bendr¡ji sprendini. i¡ lygti atitinka homogenine lygtis

y′′ − 4y′ + 13y = 0.

Charakteristine lygtisλ2 − 4λ+ 13 = 0

turi dvi kopleksi²kai jungtines ²aknis λ1 = 2 + i3, λ2 = 2 − i3. Todelhomogenine lygtis turi du kompleksi²kai jungtinius sprendinius

z1 = e(2+i3)x = e2x(cos 3x+i sin 3x), z2 = e(2−i3)x = e2x(cos 3x−i sin 3x).

iu sprendiniu realioji ir menamoji dalys

ϕ1 = e2x cos 3x, ϕ2 = e2x sin 3x

yra homogenines lygties du tiesi²kai nepriklausomi sprendiniai. Todel ben-drasis homogenines lygties sprendinys

ϕ = e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x).

Rasime atskir¡ji nehomogenines lygties sprendini. Nagrinejamu atvejuq(x) = e0·x(40 cos 3x+0 sin 3x), α = 0, β = 3. Be to, 0+ i3 6= 2± i3. Todelr = 0 ir atskirojo sprendinio ie²kome pavidalu y = a cos 3x+b sin 3x. Istat¦taip apibreºt¡ funkcij¡ i nehomogenin¦ lygti gausime tapatyb¦

(4a− 12b) cos 3x = (12a+ 4b) sin 3x = 40 cos 3x.

Sulygin¦ koecientus prie tiesi²kai nepriklausomu funkciju sin 3x ir cos 3xgausime dvieju algebriniu lyg£iu sistem¡

4a− 12b = 40,12a+ 4b = 0.


I²sprend¦ ²i¡ sistem¡ randanme a = 1, b = −3. Taigi atskirasis neho-mogenines lygties sprendinys v = cos 3x− 3 sin 3x, o bendrasis sprendinys

y = e2x(c1 cos 3x+ c2 sin 3x) + cos 3x− 3 sin 3x.

P a s t a b a . Tegu y1 ir y2 yra atskirieji tiesiniu nehomogeniniu lyg£iu

L(y) = q1(x) ir L(y) = q2(x)

sprendiniai. Tada y = y1 + y2 yra atskirasis tiesines nehomogenines lygties

L(y) = q1(x) + q2(x)

sprendinys. I² tikruju,

L(y) = L(y1 + y2) = L(y1) + L(y2) = q1(x) + q2(x).

4 SKYRIUS

Diferencialiniu lyg£iu sistemos

4.1 BENDROS SVOKOS

Tegu G yra sritis erdveje Rn+1 ir f = colon(f1, . . . , fn) tolydi funkcija apibreºtasrityje G. Nagrinesime normali¡j¡ diferencialiniu lyg£iu sistem¡

y′ = f(x, y), y = colon(y1, . . . , yn), f = colon(f1, . . . , fn). (4.1)

Jeigu (4.1) sistemoje funkcija f tiesiogiai nepriklauso nuo kintamojo x, tai tokiasistema vadinama autonomine. Autonomin¦ sistem¡ vektoriniu pavidalu galimauºra²yti taip:

y′ = f(y), y ∈ Ω ⊂ Rn. (4.2)

Bendru atveju (4.1) lygties sprendinys priklauso nuo n laisvu konstantu ir jigalima uºra²yti taip:

y = ϕ(x,C), C = (c1, . . . , cn).

Norint i² ju i²skirti koki nors vien¡ reikia pareikalauti, kad sprendinys tenkintukoki¡ nors papildom¡ s¡lyg¡. Daºniausiai tokia s¡lyga apibreºiama taip:

y(x0) = y0, y0 = colon(y10, . . . , y0n). (4.3)

i s¡lyga yra vadinama pradine arba Ko²i s¡lyga. Jeigu (4.1) lygti nagrinesimekartu su (4.3) s¡lyga, tai toki uºdavini vadinsime pradiniu arba Ko²i uºdaviniu.

Tegu y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 yra (4.1) lyg£iu sistemos sprendinys. Tada funkcijaϕ srityje G ⊂ Rn+1 apibreºia kreiv¦

l = (x, y) ∈ Rn+1 : y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 ⊂ Rn+1,

kuri yra vadinama ²ios sistemos integraline kreive. Be integralines kreiveserdveje Rn+1 sprendinys ϕ apibreºia kreiv¦

y ∈ Rn : y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 ⊂ Rn.

Taip apibreºta kreive, kartu su apejimo kryptimi, vadinama fazine trajektorija,o erdve Rn fazine erdve. Taigi fazine trajektorija yra integralines kreives pro-jekcija lygiagre£iai x a²iai. Jeigu kokiame nors ta²ke kertasi dvi integralineskreives ir ²iame ta²ke ju liestiniu krypties koecientai sutampa, tai ²iame ta²kenera Ko²i uºdavinio sprendinio vienaties. Trjektorijos fazineje erdveje gali kirstisnepaºeidiant ²ios savybes. Be to, trajektorija gali sutapti su ta²ku. Tokia tra-jektorija yra vadinama pusiausvyros ta²ku (kartais ramybes ta²ku). Kadangi

110 4. DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOS

pusiausvyros ta²kas yra pastovaus sprendinio trajektorija, tai ta²kas y yra pu-siausvyros ta²kas tada ir tik tada, kai

f(x, y) = 0 ∀x ∈ 〈a, b〉.

Jeigu (4.1) sistemoje funkcijos f1, . . . , fn yra tiesines kintamuju y1, . . . , yn at-ºvilgiu, tai tokia sistema vadinama pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg£iusistema. Bendruoju atveju pirmosios eiles tiesiniu diferencialiniu lyg£iu sistem¡galima uºra²yti taip:

y′1 + a11(x)y1 + · · ·+ a1n(x)yn = q1(x),...

...y′n + an1(x)y1 + · · ·+ ann(x)yn = qn(x).

arba matriciniu pavidaluy′ +A(x)y = q(x); (4.4)

£ia A = aij ºinoma n × n eiles matrica, o q = colon(q1, . . . , qn) ºinomasvektorius stulpelis. Kai funkcija q yra lygi nuliui, tai sistema

y′ +A(x)y = 0 (4.5)

yra vadinama homogenine. Prie²ingu atveju nehomogenine.Normaliajai diferencialiniu lyg£iu sistemai i²lieka teisingi visi teiginiai apie

sprendiniu egzistavim¡, vienati ir prat¦sim¡, kurie buvo suformuluoti 2.1 skyre-lyje vienos lygties atveju. Tiksliau yra teisingi tokie teiginiai.

4.1 teorema (Egzistavimo ir vienaties). Tegu funkcija f : G → Rn, G ⊂Rn+1 yra tolydi ir kintamuju y atºvilgiu lokaliai srityje G tenkina Lip²ico s¡lyg¡.Tada

1. Bet kokiam pradiniam ta²kui (x0, y0) ∈ G egzistuoja (4.1) lygties spren-dinys y = y(x), apibreºtas pakankamai maºoje ta²ko x0 aplinkoje ir tenk-inantis pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0.

2. Sritis G yra vienaties sritis.

4.2 teorema. Tarkime, (4.4) lygtyje matricos A elementai aij ir vektoriausq elementai qj yra tolydºios intervale (a, b) funkcijos. Tada

1. Bet kokiam pradiniam ta²kui (x0, y0), x0 ∈ (a, b), y0 ∈ Rn egzistuoja(4.4) sistemos sprendinys y = y(x), apibreºtas visame intervale (a, b) irtenkinantis pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0.

2. Sritis G = (a, b)× Rn yra vienaties sritis.

Tegu y = ϕ(x), x ∈ 〈a, b〉 yra (4.1) sistemos sprendinys. Sakysime, kad jigalima prat¦sti i de²in¦, jeigu egzistuoja ²ios sisitemos sprendinys y = ψ(x)apibreºtas intervale 〈a, b1〉, b1 > b, kuris intervale 〈a, b〉 sutampa su sprendiniuy = ϕ(x). Analogi²kai apibreºiamas sprendinio prat¦simas i kair¦.

4.1 BENDROS SVOKOS 111

4.3 teorema. Tegu y = ϕ(x), x ∈ [a, b) yra (4.1) sistemos sprendinys. Jigalima prat¦sti i de²in¦ tada ir tik tada, kai egzistuoja riba

limx→b−0

ϕ(x) = y∗ ir (b, y∗) ∈ G.

A p i b r e º i m a s . Sakysime (4.1) sistemos sprendinys y = ϕ(x) apibreº-tas intervale I yra neprat¦siamas, o intervalas I maksimalus sprendinio egzis-tavimo intervalas, jeigu jo negalima prat¦sti nei i de²in¦, nei i kair¦ uº intervaloI.

4.4 teorema. Normaliosios (4.1) sistemos sprendinys y = ϕ(x), x ∈ (a, b)yra neprat¦siamas tada ir tik tada, kai arba b =∞ (a = −∞), arba bet kokiamkompaktui K ⊂ G galima nurodyti toki skai£iu δ > 0, kad ta²kas (x, ϕ(x)) ∈G/K, kai x ∈ (b− δ, b) (x ∈ (a, a+ δ)).

Jeigu yra ºinoma, kad autonominems sistemoms neprat¦siam¡ji sprendiniatitinkanti trajektorija nepalieka kokio nors kompakto, tai tokio sprendinioapibreºimo sritis yra visa realiu skai£iu tiese. Tiksliau yra teisinga teorema.

4.5 teorema. Tegu K yra kompaktas srityje Ω ⊂ Rn ir y = ϕ(x) yra(4.2) autonomines sistemos sprendinys, apibreºtas maksimaliame intervale (a, b).Tada, jeigu sprendini y = ϕ(x), x ∈ (a, b) apibreºianti trajektorija γ nepaliekakompakto K, tai (a, b) = R.

/ Tegu y = ϕ(x) yra autonomines sistemos sprendinys, apibreºtas mak-simaliame intervale (a, b) ir Q = K × (a, b) yra cilindras erdveje Rn+1. Reikiairodyti, kad (a, b) = R. Tarkime prie²ingai, (a, b) 6= R. Pagal teoremos s¡lyg¡ in-tegraline kreive (x, y) : y = ϕ(x), x ∈ (a, b) nepalieka cilindro Q per jo ²oninipavir²iu. Todel ji pasiekia cilindr¡ jo apatiniame ir vir²utiniame pagrinduose:x = a ir x = b. Tai rie²kia, kad ta²kuose x = a ir x = b funkcija ϕ yra apibreºta.Todel sprendini y = ϕ(x) galima prat¦sti i intervalo (a, b) i²or¦. Ta£iau tai prie²-tarauja tam, kad sprendinys y = ϕ(x) yra apibreºtas maksimaliame intervale(a,b). Gauta prie²tara irodo, kad padaryta prielaida yra neteisinga ir (a, b) = R..

P a s t a b a . Irodant ²i¡ teorem¡ pasinaudojome tik tuo, kad kiekvienamta²kui (x0, y0), y0 ∈ Ω, egzistuoja Ko²i uºdavinio

y′ = f(y), y(x0) = y0

sprendinys, apibreºtas kokioje nors ta²ko x0 aplinkoje |x0| < δ. Todel i² funkcijosf pakanka reikalauti, kad f ∈ C(Ω) . Jeigu (4.5) teoremos s¡lygos nera patenk-intos, ta£iau funkcija f tenkina Lip²ico s¡lyg¡ srityje Ω, tai (ºr. 2.4) teorem¡,galima irodyti, kad bet kuris autonomines sistemos sprendinys y = ϕ(x) yraapreºtas ir ji galima prat¦sti i vis¡ realiu skai£iu a²i.

I² kitu sistemu autonomine sistema i²siskiria viena svarbia savybe.

4.6 teorema. Tegu y = ϕ(x), x ∈ (a, b) yra autonomines sistemos sprendi-nys. Tada y = ψ(x) = ϕ(x + c), x ∈ (a − c, b − c), c ∈ R, taip pat yra ²iossistemos sprendinys.


/ Pagal funkcijos ψ apibreºim¡

ψ′(x) = ϕ′(x+ c) = f(ϕ(x+ c)) = f(ψ(x)).

Taigi integraline kreive, apibreºiama lygtimi y = ϕ(x), gaunama i² integralineskreives, apibreºiamos lygtimi y = ψ(x), poslinkiu teigiama x a²ies kryptimidydºiu c. .

I ² v a d o s :

1. Tarkime, Ω yra vienaties sritis ir y = y(x, x0, y0) yra autonomines sistemos

y′ = f(y)

sprendinys, tenkinantis pradin¦ s¡lyg¡ y(x0) = y0. Tada ∀x i² maksimalaussprendinio egzistavimo intervalo yra teisinga lygybe

y(x+ c, x0 + c, y0) = y(x, x0, y0). (4.6)

I² tikruju, kai x = x0, rei²kiniai kaireje ir de²ineje sutampa su y0. KadangiΩ yra vienaties sritis, tai jie sutampa ∀x i² ju apibreºimo intervalo.

2. Imkime (4.6) formuleje c = −x0. Tada autonomines sistemos sprendinigalima uºra²yti taip:

y(x, x0, y0) = y(x− x0, 0, y0) := ϕ(x− x0, y0).

I² £ia i²plaukia, kad autonomines sistemos sprendinys priklauso ne nuonepriklausomo kintamojo x, pradines reik²mes x0 ir pradinio ta²ko y0, onuo skirtumo x − x0 ir pradinio ta²ko y0. Geometri²kai ²i¡ savyb¦ gal-ima interpretuoti taip. Jeigu dvi autonomines sistemos trajektorijos turibendr¡ ta²k¡, tai jos sutampa.

4.2 TIESIN ES HOMOGENINIU DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOS 113

4.2 TIESIN ES HOMOGENINIU DIFERENCIALINIU LYGIUSISTEMOS

Nagrinesime tiesiniu homogeniniu lyg£iu sistem¡

y′ = A(x)y. (4.7)

Jos sprendiniai turi svarbiu i²skirtiniu savybiu. Tiesines homogenines lyg£iusistemos sprendiniu aibe yra tisine erdve, t.y.

1. Jeigu funkcija ϕ yra (4.7) sitemos sprendinys, tai funkcija cϕ taip pat yra²ios sistemos sprendinys, c skaliarine konstanta;

2. Jeigu funkcijos ϕ ir ψ yra (4.7) sitemos sprendiniai, tai funkcija ϕ+ψ taippat yra ²ios sistemos sprendinys.

I² tikruju, tegu ϕ ir ψ yra (4.7) sitemos sprendiniai. Tada

d

dx(cϕ) = cϕ′ = cA(x)ϕ = A(x)cϕ,

d

dx(ϕ+ ψ) = ϕ′ + ψ′ = A(x)ϕ+A(x)ψ = A(x)(ϕ+ ψ).

I ² v a d o s :

1. Jeigu ϕ1, . . . , ϕm yra (4.7) sistemos sprendiniai, tai ju tiesinis darinys

c1ϕ1 + · · ·+ cmϕm

taip pat yra (4.7) sistemos sprendinys.

2. Tegu x = ϕ + iψ yra kompleksinis (4.7) lyg£iu sistemos su realiais koe-cientais akj , k, j = 1, . . . , n sprendinys. Tada

ϕ′ + iψ′ = A(x)ϕ+ iA(x)ψ.

Sulygin¦ reali¡ ir menam¡ dalis, gausime

ϕ′ = A(x)ϕ, ψ′ = A(x)ψ.

Taigi kompleksinio sprendinio realioji ir menamoji dalys yra (4.7) lyg£iusistemos sprendiniai.

A p i b r e º i m a s . Sakysime, vektorines funkcijos ϕ1, . . . , ϕm : (a, b) →Rn yra tiesi²kai nepriklausomos, jeigu lygybe

c1ϕ1(x) + · · ·+ cmϕm(x) = 0, ∀x ∈ (a, b)

yra galima tik tuo atveju, kai c1 = · · · = cm = 0. Prie²ingu atveju sakysime,kad vektorines funkcijos ϕ1, . . . , ϕm yra tiesi²kai priklausomos.


Vektorines funkcijos ϕ1, . . . , ϕm yra tiesi²kai priklausomos, jeigu egzistuojakonstantos c1, . . . , cm, i² kuriu bent viena nelygi nuliui, tokios, kad

c1ϕ1(x) + · · ·+ cmϕm(x) = 0, ∀x ∈ (a, b).

Jeigu vektorines funkcijos ϕ1, . . . , ϕm yra tiesi²kai priklausomos, tai kiekvienameksuotame ta²ke x0 ∈ (a, b) vektoriai ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0) yra tiesi²kai priklau-somi. Atvir²tinis teiginys yra neteisingas. Ta£iau, jeigu vektoriai ϕ1, . . . , ϕmyra (4.7) sistemos sprendiniai ir jie yra tiesi²kai priklausomi kokiame nors ta²kex0 ∈ (a, b), tai jie yra tiesi²kai priklausomi visame intervale (a, b). Tiksliau yrateisinga teorema.

4.7 teorema. Tegu ϕ1, . . . , ϕm : (a, b) → Rn yra (4.7) sistemos sprendiniaiir kokiame nors ta²ke x0 ∈ (a, b) vektoriai ϕ1(x0), . . . , ϕm(x0) yra tiesi²kai prik-lausomi, t.y.

c1ϕ1(x0) + · · ·+ cmϕm(x0) = 0,n∑k=1

c2k 6= 0.

Tada

c1ϕ1(x) + · · ·+ cmϕm(x) = 0, ∀x ∈ (a, b).

/ Funkcijaϕ(x) = c1ϕ1(x) + · · ·+ cmϕm(x)

yra (4.7) sistemos sprendinys. Be to, ta²ke x0 ∈ (a, b) jis tenkina homogenin¦pradin¦ s¡lyg¡

ϕ(x0) = c1ϕ1(x0) + · · ·+ cmϕm(x0) = 0.

Funkcija ψ(x) ≡ 0 taip pat tenkina (4.7) sistem¡ ir t¡ pa£i¡ homogenin¦ prad-in¦ s¡lyg¡. Pagal sprendinio egzistavimo ir vienaties teorem¡ ²ie sprendiniaisutampa, t.y. ϕ(x) = 0,∀x ∈ (a, b). .

4.8 teorema. Bet kokie n tiesi²kai nepriklausomi (4.7) sistemos sprendiniaiyra ²ios sistemos sprendiniu erdves baze.

/ Tegu ϕ1, . . . , ϕn n tiesi²kai nepriklausomi (4.7) sistemos sprendiniai. Tadavektoriai ϕ1(x0), . . . , ϕn(x0) yra tiesi²kai nepriklausomi, ∀x0 ∈ (a, b). Todel jieyra erdves Rn baze.

Laisvai pasirenkame (4.7) sistemos sprendini ψ. Vektorius ψ(x0) ∈ Rn. I²-rei²k¦ ji per bazinius vektorius ϕ1(x0), . . . , ϕn(x0), gausime

ψ(x0) = c1ϕ1(x0) + · · ·+ cnϕn(x0).

I² ²ios lygybes matome, kad vektoriai ψ(x0), ϕ1(x0), . . . , ϕn(x0) yra tiesi²kaipriklausomi ta²ke x0. Pagal 4.7 teorem¡ jie yra tiesi²kai priklausomi visameintervale (a, b) (su tais pa£iais koecientais), t.y.

ψ(x) = c1ϕ1(x) + · · ·+ cnϕn(x)..

4.2 TIESIN ES HOMOGENINIU DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOS 115

I ² v a d a . Bet kokie (4.7) sistemos sprendiniai ϕ1, . . . , ϕn yra ²ios siste-mos sprendiniu erdves baze, jeigu kokiame nors ta²ke x0 ∈ (a, b) vektoriaiϕ1(x0), . . . , ϕn(x0) yra tiesi²kai nepriklausomi.

Atkreipsime demesi i tai, kad (4.7) sistemos sprendiniu erdves baze egzis-tuoja. Vektorius ϕ1, . . . , ϕn galima apibreºti kaip Ko²i uºdaviniu

y′ = A(x)y, y(x0) = (1, 0, . . . , 0),y′ = A(x)y, y(x0) = (0, 1, . . . , 0),...

......

...y′ = A(x)y, y(x0) = (0, . . . , 0, 1);

sprendinius.Sprendiniu erdves baze daºnai yra vadinama fundamentaliaja sprendiniu sis-

tema. Tegu ϕ1, . . . , ϕn yra (4.7) sistemos fundamentalioji sprendiniu sistema.Tada funkcija

ϕ(x) = c1ϕ1(x) + · · ·+ cnϕn(x) (4.8)

su laisvais koecientais c1, . . . , cn yra (4.7) sistemos bendrasis sprendinys. I²tikruju, funkcija ϕ, apibreºta (4.8) formule, yra (4.7) sistemos sprendinys sukiekvienu konstantu rinkiniu c1, . . . , cn. Atvirk²£iai, tegu y = ϕ(x) yra koksnors (4.7) sistemos sprendinys tenkinantis pradin¦ s¡lyg¡ ϕ(x0) = y0. Tadatiesine algebriniu lyg£iu sistema

y0 = c1ϕ1(x0) + · · ·+ cnϕn(x0)

turi vieninteli netrivialu sprendini c01, . . . , c0n. Funkcija

ϕ0(x) = c01ϕ1(x) + · · ·+ c0nϕn(x)

taip pat yra (4.7) sistemos sprendinys tenkinantis t¡ pa£i¡ pradin¦ s¡lyg¡. Pa-gal sprendinio egzistavimo ir vienaties teorem¡ ϕ0(x) = ϕ(x). Taigi funkcij¡ ϕgalima i²reik²ti (4.8) formule.

Tegu ϕ1, . . . , ϕn fundamentalioji sprendiniu sistema, Φ i² ²iu vektoriusudaryta matrica. Matrica Φ vadinama fundamentaliaja matrica. Paºymej¦C = colon(c1, . . . , cn) bendr¡ji (4.7) sistemos sprendini galime uºra²yti taip:

ϕ(x) = Φ(x)C. (4.9)

Matricos Φ determinantasW (x) = det Φ(x)

yra vadinamas funkciju sistemos ϕ1, . . . , ϕn Vronskio determinantu.

4.9 teorema. Yra ekvivalentus tokie trys teiginiai:

1. W (x) = 0, ∀x ∈ (a, b);

2. W (x0) = 0, kokiame nors ta²ke x0 ∈ (a, b);

3. Sprendiniai ϕ1, . . . , ϕn tiesi²kai priklausomi.


/ Irodysime, kad 1⇒ 2⇒ 3⇒ 1. Implikacija 1⇒ 2 yra akivaizdi. Tarkime,kad W (x0) = 0, x0 ∈ (a, b). Tada vektoriai ϕ1(x0), . . . , ϕn(x0) yra tiesi²kai prik-lausomi. Ta£iau tada pagal 4.7 teorem¡ sprendiniai ϕ1, . . . , ϕn yra tiesi²kaipriklausomi. Taigi i² 2⇒ 3. Tarkime, sprendiniai ϕ1, . . . , ϕn yra tiesi²kai prik-lausomi. Tada vektoriai ϕ1(x), . . . , ϕn(x), x ∈ (a, b) yra tiesi²kai priklausomi iri² ju sudarytas determinantas yra lygus nuliui. .

Tegu ϕ1, . . . , ϕn fundamentalioji sprendiniu sistema, W = det Φ j¡atitinkantis Vronskio determinantas, ϕk = colon(ϕk1, . . . , ϕkn), k = 1, . . . , n.Tada

W (x) =

∣∣∣∣∣∣∣ϕ11(x) · · · ϕ1k(x) . . . ϕ1n(x)

......

......

...ϕn1(x) · · · ϕnk(x) . . . ϕnn(x)

∣∣∣∣∣∣∣Jo i²vestine

W ′(x) =n∑k=1

∣∣∣∣∣∣∣ϕ11(x) · · · ϕ′1k(x) . . . ϕ1n(x)

......

......

...ϕn1(x) · · · ϕ′nk(x) . . . ϕnn(x).

∣∣∣∣∣∣∣ (4.10)

Kiekviena i² funkciju ϕk yra (4.7) sistemos sprendinys. Todel

ϕ′ik =n∑j=1

akjϕij

ir

W ′(x) =n∑k=1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

ϕ11(x) · · ·n∑j=1

akjϕ1j(x) . . . ϕ1n(x)

......

......

...

ϕn1(x) · · ·n∑j=1

akjϕnj(x) . . . ϕnn(x)

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

I²skleid¦ determinant¡ po sumos ºenklu, gausime sum¡ determinantu su koe-cientais akj , i² kuriu vienas prie koeciento akk lygus W (x), o kiti lygus nuliui.Taigi

W ′(x) =( n∑k=1

akk

)W (x).

i lygtis yra pirmos eiles tiesine homogenine diferencialine lygtis. Jos sprendinys

W (x) = W (x0) exp

x∫

x0

n∑k=1

akk(x) dx

. (4.11)

Pastaroji formule vadinama Liuvilio formule.

4.3 NEHOMOGENIN ES TIESINIU DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOS 117

4.3 NEHOMOGENIN ES TIESINIU DIFERENCIALINIU LYGIUSISTEMOS

Tegu ψ = colon(ψ1, . . . , ψn) yra koks nors tiesines nehomogenines lyg£iu siste-mos

y′ = A(x)y + q(x) (4.12)

sprendinys. Padar¦ keitini y = ϕ+ψ, gausime tiesin¦ homogenin¦ lyg£iu sistem¡

ϕ′ = A(x)ϕ. (4.13)

Tarkime ϕ1, . . . , ϕn yra ²ios sistemos fundamentalioji sprendiniu sistema.Tada jos bendrasis sprendinys

ϕ = c1ϕ1 + · · ·+ cnϕn.

Kartuy = c1ϕ1 + · · ·+ cnϕn + ψ (4.14)

yra (4.12) sistemos sprendinys. Irodysime, kad (4.14) formule apibreºia bendr¡ji(4.12) sistemos sprendini juostoje x ∈ (a, b), y ∈ (−∞,∞).

Akivaizdu, kad kiekvienam konstantu rinkiniui c1, . . . , cn (4.14) formule api-breºia (4.12) sistemos sprendini. Tegu y = y(x) yra Ko²i uºdavinio

y′ = A(x)y + q(x), y(x0) = y0

sprendinys. Tiesine algebriniu lyg£iu sistema

c1ϕ1(x0) + · · ·+ cnϕn(x0) + ψ(x0) = y0

turi vieninteli sprendini, nes jos determinantas nelygus nuliui. Paºymekime jic01, . . . , c

0n. Tada

y = y(x) ir y = c01ϕ1(x) + · · ·+ c0nϕn(x) + ψ(x)

yra to paties Ko²i uºdavinio sprendiniai. Pagal Ko²i uºdavinio sprendiniu vien-aties teorem¡ jie sutampa. Taigi kiekvien¡ Ko²i uºdavinio sprendini y = y(x)galima i²reik²ti (4.14) formule.

I ² v a d a . Bendrasis (4.12) sistemos sprendinys

y = ϕ+ ψ;

£ia ψ koks nors atskirasis (4.12) sistemos sprendinys, o ϕ bendrasis (4.13)sistemos sprendinys.

Tegu ϕ1, . . . , ϕn fundamentalioji (4.13) sistemos sprendiniu sistema, Φ i²ju sudaryta fundamentalioji matrica. Rasime atskir¡ji (4.12) sistemos sprendini.Ji ie²kosime konstantu varijavimo metodu.

Apibreºkime funkcij¡ψ(x) = Φ(x)c(x);


£ia c(x) : (a, b) → Rn neºinoma vektorine funkcija. Istat¦ taip apibreºt¡funkcij¡ i (4.12) sistem¡, gausime

Φ′(x)c(x) + Φ(x)c′(x) = A(x)Φ(x)c(x) + q(x).

Fundamentalioji matrica Φ tenkina homogenin¦ diferencialiniu lyg£iu sistem¡,t.y.

Φ′(x) = A(x)Φ(x).

Todel vektorine funkcija c turi tenkinti sistem¡

Φ(x)c′(x) = q(x).

ios sistemos Vronskio determinantas

W (x) = det Φ(x) 6= 0.

Todel j¡ galima i²spr¦sti c′ atºvilgiu, t.y.

c′(x) = Φ−1(x)q(x).

i lygtis turi sprendini

c(x) =x∫

x0

Φ−1(s)q(s) ds

Taigi atskirasis (4.12) sistemos sprendinys

ψ(x) = Φ(x)x∫

x0

Φ−1(s)q(s) ds. (4.15)

Bendrasis (4.13) sistemos sprendinys

y = Φ(x)c;

£ia c ∈ Rn pastovus vektorius. Todel (4.12) sistemos bendrasis sprendinys

y = Φ(x)c+ Φ(x)x∫

x0

Φ−1(s)q(s) ds. (4.16)

4.4 TIESINIU LYGIU SISTEMOS SU PASTOVIAIS REALIAIS KOEFICIENTAIS 119

4.4 TIESINIU DIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMOSSU PASTOVIAIS REALIAIS KOEFICIENTAIS

Nagrinesime tiesin¦ diferencialiniu lyg£iu sistem¡

y′ = Ay + q(x), (4.17)

kurioje matricos A elementai aij yra pastovus realus skai£iai. ios sistemossprendimas susiveda i homogenines sistemos

y′ = Ay (4.18)

sprendim¡. I² tikruju, jeigu ºinome koki¡ nors (4.18) sistemos fundamentali¡j¡sprendiniu sistem¡, tai konstantu varijavimo metodu galime rasti (4.17) sistemosatskir¡ji sprendini. Kartu galime rasti ir jos bendr¡ji sprendini. Todel toliaunagrinesime (4.18) sistem¡.

Atskirojo (4.18) sistemos sprendinio ie²kosime pavidalu

y = beλx, b = colon(b1, . . . , bn).

Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i (4.18) sistem¡, gausime

λbeλx = Abeλx ⇐⇒ (A− λE)beλx = 0.

Tai yra tiesine algebrine n lyg£iu sistema b1, . . . , bn atºvilgiu. Ji turi netrivialusprendini1 tada ir tik tada, kai jos determinantas

det(A− λE) = 0.

i lygtis vadinama charakteristine lygtimi (4.18) sistemai. Parametro λ atºvilgiukairioji charakteristines lygties puse yra n-ojo laipsnio polinomas. Jis vadinamascharakteristiniu polinomu. I² tiesines algebros yra ºinoma, kad n-ojo laipsniopolinomas turi lygiai n ²aknu. Tegu λ1, . . . , λn yra charakteristinio polinomo²aknys. Atskirai i²nagrinesime tris atvejus:

1. aknys λ1, . . . , λn yra skirtingos ir realios.

2. aknys λ1, . . . , λn yra skirtingos, ta£iau tarp ju yra kompleksines.

3. Kai kurios i² ²aknu λ1, . . . , λn yra kartotines.

I² pradºiu i²nagrinesime atveji, kai ²aknys λ1, . . . , λn yra skirtingos ir realios.iuo atveju vektorines funkcijos

ϕk = bkeλkx, bk = colon(bk1, . . . , bkn), k = 1, . . . , n (4.19)

yra (4.18) sistemos sprendiniai, o vektoriai bk yra algebriniu lyg£iu sistemos(A − λkE)b = 0 sprendiniai. Be to, funkcijos ϕk, k = 1, 2, . . . , n yra tiesi²kai

1Tokiu sprendiniu yra be galo daug. Tiksliau, jeigu vektorius beλx yra (4.18) sistemossprendinys, tai vektorius kbeλx, k ∈ R taip pat yra ²ios sistemos sprendinys.


nepriklausomos (patikrinkite). Todel taip apibreºtos funkcijos ϕk yra funda-mentalioji sprendiniu sistema.

I²nagrinesime antr¡ji atveji. Tarkime, ²aknys λ1, . . . , λn yra skirtingos, ta-£iau tarp ju yra kompleksines. Tegu σ = α+iβ yra viena i² kompleksiniu ²aknu.Tada σ = α− iβ taip pat yra kompleksine ²aknis, t.y. kompleksines ²aknys ieinaporomis. akni σ atitinka algebriniu lyg£iu sistema

(A− σE)b = 0.

Kadangi visos ²aknys yra skirtingos, tai ²i sitema turi vieninteli, daugiklio tik-slumu, netrivialu kompleksini sprendini b = u+ iv ir

beσx = (u+ iv)e(α+iβ)x = (u+ iv)eαx(cosβx+ i sin βx)

yra (4.18) sistemos kompleksinis sprendinys1 Atskyr¦ jame reali¡ ir menam¡dalis, gausime du realius (4.18) sistemos sprendinius

(u cosβx− v sin βx)eαx, (v cosβx+ u sin βx)eαx.

Lengvai galima isitikinti, kad kompleksi²kai jungtin¦ ²akni σ = α − iβ atitinkata pati realiu sprendiniu pora. Kartu kiekvien¡ kompleksi²kai jungtiniu ²aknupor¡ atitinka du realus sprendiniai, o skirtingas n ²aknu atitinka lygiai n realiusprendiniu. Be to, ²ie sprendiniai yra tiesi²kai nepriklausomi. Norint tuoisitikinti reikia griºti nuo trigonometriniu prie rodikliniu funkciju.

I²nagrinesime tre£i¡ji atveji. Tarkime, dalis ²aknu λ1, . . . , λn yra kartotines.Jeigu kurios nors ²aknies, pavyzdºiui λ1, kartotinumas lygus vienetui, tai neprik-lausomai nuo to kokios yra kitos ²aknys, j¡ visada atitinka sprendinys beλx,b = colon(b1, . . . , bn).

Tegu µ yra charakteristinio polinomo r kartotinumo ²aknis. Tada matema-tines indukcijos metodu galima irodyti, kad ²i¡ ²akni atitinka sprendinys

Pr−1(x)eµx, Pr−1(x) = colon(p1r−1(x), . . . , pnr−1(x));

£ia p1r−1(x), . . . , pkr−1(x) yra s ≤ r − 1 laipsnio polinomai, turintis visumojelygiai r laisvu koecientu.

Tegu µ yra charakteristinio polinomo r karotinumo kompleksine ²aknis. Ta-da jungtine ²aknis µ taip pat yra r kartotinumo ²aknis. akni µ atitinka kom-pleksinis sprendinys Pk−1(x)eµx su r kompleksiniu laisvu konstantu. Atskir¦jame reali¡ ir menam¡ dalis, gausime por¡ realiu sprendiniu. Kiekviename i² juyra r laisvu konstantu.

Taigi kiekvien¡ reali¡ charakteristinio polinomo r kartotinumo ²akni atitin-ka sprendinys su r laisvu konstantu. Kiekvien¡ kompleksiniu r kartotinumo²aknu por¡ atitinka atitinka realus sprendinys su 2r laisvu konstantu. Visum¡

1 Kompleksine funkcija x = y + iz yra (4.18) sistemos sprendinys, jeigu

y′ + iz′ = Ay + iAz.

Tuo atveju, kai matricos A koecientai yra realus, kompleksinio sprendinio realioji ir menamojidalys taip pat yra (4.18) sistemos sprendiniai.


charakteristinio polinomo ²aknu atitinka sprendinys su n laisvu konstantu. I²jo galima i²skirti lygiai n realiu, teisi²kai nepriklausomu sprendiniu, t.y. galimesukonstruoti fundamentali¡j¡ sprendiniu sistem¡. Kartu galime rasti bendr¡jihomogenines lygties sprendini.


1. Rasime sistemosy′1 = y1 − y2,

y′2 = −4y1 + y2⇐⇒ y′ =

(1 −1−4 1

)y,

y = colon(y1, y2) bendr¡ji sprendini. Charakteristines lygties∣∣∣∣ 1− λ −1−4 1− λ

∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ λ2 − 2λ− 3 = 0

²aknys λ1 = −1, λ2 = 3 yra realios ir skirtingos. Todel atskirus na-grinejamos sistemos sprendinius ie²kome pavidalu:

ϕ1 = colon(b1, b2)e−x, ϕ2 = colon(d1, d2)e3x.

Istat¦ pirm¡ji sprendini i sistem¡ gausime algebrin¦ homogenin¦ dviejulyg£iu sitem¡

−b1 = b1 − b2,−b2 = −4b1 + b2

⇐⇒

2b1 − b2 = 0,−4b1 + 2b2 = 0.

Ji turi be galo daug sprendiniu. Paem¦ b1 = 1, b2 = 2 gausime atskir¡jisprendini ϕ1 = colon(1, 2)e−x. Istat¦ i nagrinejam¡ sistem¡ sprendini ϕ2gausime sistem¡

3d1 = d1 − d2,

3d2 = −4d1 + d2⇐⇒

2d1 + d2 = 0,4d1 + 2d2 = 0.

Ji turi be galo daug sprendiniu. Paem¦ d1 = 1, d2 = −2 rasime atskir¡jisprendini ϕ2 = colon(1,−2)e3x. Taigi bendrasis nagrinejamos sistemossprendinys

y = c1ϕ1 + c2ϕ2 =(

c1e−x + c2e

3x

2c1e−x − 2c2e3x

).

2. Rasime sistemosy′1 = y1 + y2,

y′2 = −y1 + y2 − y3,

y′3 = 3y2 + y3,

⇐⇒ y′ =

1 1 0−1 1 −10 3 1

y,

y = colon(y1, y2, y3) bendr¡ji sprendini. Charakteristines lygties∣∣∣∣∣∣1− λ 1 0−1 1− λ −10 3 1− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ (1− λ)(λ2 − 2λ+ 5) = 0


²aknys λ1 = 1, λ2 = 1 + 2i, λ3 = 1 − 2i. akni λ1 atitinkanti atskir¡jisprendini galime ie²koti pavidalu ϕ1 = colon(b1, b2, b3)ex. Istat¦ taip api-breºt¡ sprendini i lygti gausime algebrin¦ homogenin¦ triju lyg£iu sistem¡

b1 = b1 + b2,

b2 = −b1 + b2 − b3b3 = +3b2 + b3

⇐⇒

b2 = 0,−b1 − b3 = 0,3b2 = 0.

Ji turi be galo daug sprendiniu. Paem¦ b1 = 1 gausime b3 = −1. Taigiatskirasis sprendinys ϕ1 = colon(1, 0,−1)ex. akni λ2 atitinka kompleksi-nis sprendinys ϕ = colon(d1, d2, d3)e(1+2i)x su kompleksinem laisvom kon-stantom d1, d2, d3. Istat¦ taip apibreºt¡ sprendini i lygti gausime algebrin¦homogenin¦ triju lyg£iu sistem¡

(1 + 2i)d1 = d1 + d2,

(1 + 2i)d2 = −d1 + d2 − d3

(1 + 2i)d3 = +3d2 + d3

⇐⇒

2id1 = d2,

2id2 = −d1 − d3,

2id3 = 3d2.

kintamuju d1, d2, d3 atºvilgiu. Ji turi be galo daug sprendiniu. Paem¦d2 = 2i randame: d1 = 1, d3 = 3. Todel kompleksinis sprendinys

ϕ = colon(1, 2i, 3)e(1+2i)x.

Atskyr¦ jame rali¡ ir menam¡ dalis gausime du realius sprendinius

ϕ1 = colon(cos 2x,−2 sin 2x, 3 cos 2x)ex,ϕ2 = colon(sin 2x, 2 cos 2x, 3 sin 2x)ex.

Kompleksin¦ ²akni λ3 atitinka ta pati realiu sprendiniu pora. Taigi ben-drasis nagrinejamos sistemos sprendinys

y = c1ϕ1 + c2ϕ2 + c3ϕ3 = ex

c1 + c2 cos 2x+ c3 sin 2x−2c2 sin 2x2x+ 2c3 cos 2x−c1 + 3c2 cos 2x+ 3c3 sin 2x

.

3. Rasime sistemosy′1 = y1 − y2 + y3,

y′2 = y1 + y2 − y3,

y′3 = −y2 + 2y3,

⇐⇒ y′ =

1 −1 11 1 −10 −1 2

y,

y = colon(y1, y2, y3) bendr¡ji sprendini. Charakteristines lygties∣∣∣∣∣∣1− λ −1 1

1 1− λ −10 −1 2− λ

∣∣∣∣∣∣ = 0 ⇐⇒ (2− λ)(λ− 1)2 = 0


²aknys λ1 = 2, λ2 = 1, λ3 = 1. akni λ1 atitinkanti atskir¡ji sprendinigalime ie²koti pavidalu ϕ1 = colon(b1, b2, b3)e2x. Istat¦ taip apibreºt¡sprendini i lygti gausime algebrin¦ homogenin¦ triju lyg£iu sistem¡

2b1 = b1 − b2 + b3,

2b2 = b1 + b2 − b32b3 = −b2 + 2b3

⇐⇒

b1 + b2 − b3 = 0,b1 − b2 − b3 = 0,b2 = 0.

Ji turi be galo daug sprendiniu. Paem¦ b1 = 1 gausime b3 = 1. Taigi atski-rasis sprendinys ϕ1 = colon(1, 0, 1)e2x. Antrosios charakteristinio poli-nomo ²aknies kartotinumas lygus dviem. Todel kitu atskiru sprendiniugalima ie²koti pavidalu

ϕ = colon(b1 + b2x, d1 + d2x, γ1 + γ2x)ex.

Istat¦ taip apibreºt¡ sprendini i lygti gausime lygybesb2 + (b1 + b2x) = (b1 + b2x)− (d1 + d2x) + (γ1 + γ2x),d2 + (d1 + d2x) = (b1 + b2x) + (d1 + d2x)− (γ1 + γ2x)γ2 + (γ1 + γ2x) = −(d1 + d2x) + 2(γ1 + γ2x).

Sutrauk¦ pana²ius narius jas perra²ysime taip:(γ2 − d2)x+ γ1 − d1 − b2 = 0,(b2 − γ2)x+ b1 − γ1 − d2 = 0,(γ2 − d2)x+ γ1 − d1 − γ2 = 0.

ios lygybes bus teisingos su visais x ∈ R tada ir tik tada, kai

γ2 − d2 = 0,b2 − γ2 = 0,γ2 − d2 = 0,γ1 − d1 − b2 = 0,b1 − γ1 − d2 = 0,γ1 − d1 − γ2 = 0.

Kadangi ²aknies kartotinumas r = 2, tai pastarosios algebrines ²e²iu lyg£iusistemos sprendiniu aibe priklauso nuo dvieju laisvu konstantu. I²sprend¦²i¡ sistem¡ atºvilgiu konstantu b2 ir γ1 randame:

γ2 = b2, d2 = b2, d1 = γ1 − b2, b1 = γ1 + b2.

Tegu b2 = 1, γ1 = 0. Tada γ2 = 1, d2 = 1, d1 = −1, b1 = 1. Kai b2 =0, γ1 = 1 turime γ2 = 0, d2 = 0, d1 = 1, b1 = 1. Taigi antr¡j¡ kartotinumor = 2 ²akni atitinka du tiesi²kai nepriklausomi sprendiniai

ϕ2 = colon(1 + x,−1 + x, x)ex, ϕ3 = colon(1, 1, 1)ex,


o bendrasis nagrinejamos sistemos sprendinys

y = c1ϕ1 + c2ϕ2 + c3ϕ3 =

c1e2x + c2(1 + x)ex + c3e

x

c2(x− 1)ex + c3ex

c1e2x + c2xe

x + c3ex

.

P a s t a b a . ia pateikta konstrukcija nesuteikia pilnos informacijos apiefundamentaliosios matricos struktur¡, kol fundamentalioji matrica nera surasta.emiau pateiksime metod¡, kurio pagalba galima sukonstruoti i² karto vis¡ fun-damentali¡j¡ matric¡, skirtingai nuo £ia pateikto metodo, kuriame fundamen-talioji matrica yra konstruojama palaipsniui.

Tegu A pastovioji n × n eiles matrica. Tiesine sistema y′ = Ay keitiniuy = Qz, detQ 6= 0, susiveda i sistem¡ z′ = Q−1AQz. Nei²sigimusi¡ matric¡ Qgalima parikti taip, kad Q−1AQ = J ; £ia J ordano matrica. Kartu tiesin¦sistem¡ su pastoviais koecientais galima suvesti i paprastesn¦ sistem¡

z′ = Jz. (4.20)

i sistema vadinama kanonine. Tegu

J = diagJs1(λ1), . . . , Jsm(λm);

£ia λk yra sk kartotinumo charakteristinio polinomo det(A− λE) = 0 ²aknis, oJsk

(λk) ordano langelis. Tada (4.20) sistem¡ galima perra²yti taip:

z′1 = λ1z1 + z2,z′2 = λ1z2 + z3,...

...z′s1

= λ1zs1 ,...

...z′n−sm+1 = λmzn−sm+1 + zn−sm+2,z′n−sm+2 = λmzn−sm+2 + zn−sm+3,

......

zn = λmzn.

Pastaroji sistema turi svarbu privalum¡ prie² bendro pavidalo sistem¡. Visupirma ji i²siskaido i m nepriklausomu sistemu. Kiekvien¡ i² ²iu sistemu gal-ima suintegruoti atskirai. Bendr¡ji sistemos sprendini lengvai galima apibreºtinuosekliai j¡ integruojant, pradedant nuo paskutines sistemos lygties.

Antra nagrinejant ivairius diferencialiniu lyg£iu teorijos klausimus, pakanka²iuos klausimus i²tirti kanoninems sistemoms. Pavyzdºiui, nagrinejant ivairiusuºdavinius susijusius su antros eiles sistema

y′ = Ay ⇐⇒

y′1 = a11y1 + a12y2,

y′2 = a21y1 + a22y2


pakanka i²nagrineti tokias tris sistemasy′1 = λ1y1,

y′2 = λ2y2,

y′1 = λ1y1,

y′2 = λ1y2,

y′1 = λ1y1 + y2,

y′2 = λ1y2.(4.21)

Kartu galime tvirtinti, kad tiesines sistemos y′ = Ay su pastoviais koecientaisfundamentalioji matrica sutampa su viena i² matricu

Q

(eλ1x 0,

0 eλ2x

), Q

(eλ1x 0,

0 eλ1x

), Q

(eλ1x xeλ1x,

0 eλ1x

).


4.5 KANONINIU SISTEMU PLOKTUMOJE FAZINIAI PORTRE-TAI

Tegu A yra antros eiles kvadratine matrica ir J yra j¡ atitinkanti ordanomatrica. Tada tiesin¦ sistem¡

y′ = Ay, y ∈ R2 (4.22)

atitinka kanonine sistema

y′ = Jy, y ∈ R2; (4.23)

I²tirsime ²ios sistemos pusiausvyros ta²ku charakteri, priklausomai nuo charak-teristinio polinomo ²aknu λ1, λ2. Charakteristin¦ lygti det(A− λE) = 0 galimauºrayti taip:

λ2 − (SpA)λ+ detA = 0;

£ia SpA =2∑i=1

aii. Jos ²aknys

λ1,2 = 12(SpA±

√D), D = (SpA)2 − 4 detA.

Pagal Vijetos teorem¡

λ1 + λ2 = SpA, λ1 · λ2 = detA.

Pana²iu matricu1 charakteristiniai polinomai sutampa. Todel

SpA = SpJ = λ1 + λ2, detA = det J = λ1 · λ2.

Tegu matricos A tikrines reik²mes λ1, λ2 yra realios, skirtingos ir nelygiosnuliui. Tada (4.23) sistem¡ (ºr. (4.21) formul¦) galima perra²yti taip:

y′1 = λ1y1, y′2 = λ2y2.


y1(x) = c1eλ1x, y2(x) = c2e

λ2x, c1, c2 ∈ R. (4.24)

Eliminav¦ i² (4.24) lyg£iu kintam¡ji x, gausime lygti

y1 = c|y2|λ1/λ2 , c = c1/|c2|λ1/λ2 . (4.25)1Kvadratines matricos A ir B yra pana²ios, jeigu egzistuoja tos pa£ios eiles kvadratine

nei²sigimusi matrica Q tokia, kad AQ = QB. Pana²iu matricu charakteristiniai polinomaisutampa. I² tikruju

|A− λE| = |QBQ−1 − λQQ−1| = |Q(B − λE)Q−1| = |B − λE|.

4.5. KANONINIU SISTEMU PLOKTUMOJE FAZINIAI PORTRETAI 127

I²skirsime tris atvejus:1. Tikrines reik²mes λ1, λ2 yra neigiamos. Tai bus tada ir tik tada, kai

detA > 0, D > 0 ir SpA < 0. Tegu λ1 < λ2 < 0. Tada |y1(x)| → 0 ir|y2(x)| → 0, kai x→∞. Taigi visos nagrinejamos sistemos trajektorijos arteja ikoordina£iu pradºi¡. I² (4.25) lyg£iu i²plaukia, kad (4.23) sistemos trajektorijosyra paraboles2. Be to, λ1/λ2 > 1. Todel visos jos lie£ia a²i y2 (ºr. 4.1 pav.)

2. Tikrines reik²mes λ1, λ2 yra prie²ingu ºenklu. Tai bus tada ir tik tada,kai detA < 0, D > 0. Tegu λ1 < λ2. Tiksliau tegu λ1 < 0 < λ2. Tada |y1(x)| →0, |y2(x)| → ∞, kai x → ∞. Kadangi λ1/λ2 < 0, tai (4.23) lyg£iu sistemostrajektorijos, apibreºiamos (4.25) lygtimi, yra hiperboles1 (ºr. 4.2 pav.).

3. Tikrines reik²mes λ1, λ2 yra teigiamos. Tai bus tada ir tik tada, kaidetA > 0, D > 0 ir SpA > 0. Tegu 0 < λ1 < λ2. Tada |y1(x)| → ∞, |y2(x)| →∞, kai x → ∞. Kadangi λ1/λ2 > 0, tai (4.23) lyg£iu sistemos trajektorijos,apibreºiamos (4.25) lygtimi, yra paraboles2. Be to, λ1/λ2 < 1. Todel jos visoslie£ia a²i y1 (ºr. 4.3 pav).

.....................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................

..............

..........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

.............

....................................................................................................................................

..................

..............

................

...........

.................................................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

..............................................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................

.................................................................................................................................................

..................

..............

............................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

....................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............................................................................................................................................................................

......

............

..............

............................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

....................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

..............................................................................................................................................................................

......

............

..............

............................................................................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y1

y2

4.1 pav. 4.2 pav. 4.3 pav.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y2

y1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

............

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

.........................

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.....

............

..............

......................................

..............

......................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

...................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................

.

.

................................

..............

.....................

..............

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

...................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................

..............

......................................

..............

y1

y2

Pusiausvyros ta²kas, pavaizduotas 4.1 ir 4.3 paveiksleliuose, vadinamas maz-go ta²ku, o pusiausvyros ta²kas, pavaizduotas 4.2 paveikslelyje balno ta²ku.

Tarkime dabar, kad tikrines reik²mes λ1, λ2 sutampa ir nelygios nuliui. Taibus tada ir tik tada, kai detA > 0 ir D = 0. Tegu λ1 = λ2 = λ 6= 0. I²skirsimedu atvejus:

1. Tarkime, matrica J yra diagonali. Tada (4.23) sistem¡ galima perra²ytitaip:

y′1 = λy1, y′2 = λy2.


y1(x) = c1eλx, y2(x) = c2e

λx.

Tegu λ > 0. Tada |y1(x)| → ∞, |y2(x)| → ∞, kai x → ∞. Jeigu λ < 0, tai|y1(x)| → 0, |y2(x)| → 0, kai x→∞. Eliminav¦ i² pastaruju lyg£iu kintam¡ji x,gausime lygti

y1 = ky2, k = c1/c2.

2I² tikruju tikrosios paraboles yra gaunamos tik tuo atveju, kai λ1/λ2 = 2.1I² tikruju tikrosios hiperboles gaunamos tik tuo atveju, kai λ1/λ2 = −1.2I² tikruju tikrosios paraboles gaunamos tik tuo atveju, kai λ1/λ2 = 1/2.


Taigi sistemos trajektorijos yra spinduliai, i²einantys i² koordina£iu pradºios,kai λ > 0, ir ieinantys i koordina£iu pradºi¡, kai λ < 0 (ºr. 4.5 ir 4.4 pav.).Pusiausvyros ta²kai, pavaizduoti 4.5 ir 4.4 paveiksleliuose, vadinami dikritiniais(ºvaigºdiniais) mazgais.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y2

y1

..........................................

..............

...............................................................................................

..........................................

..............

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................

................

...............................................................................................

..........................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................... ..............

...............................................................................................

..........................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

...............................................................................................

..........................................

..............

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

y2

y1..........................................

..............

...............................................................................................

..........................................

..............

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................... ..............

...............................................................................................

..........................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................

................

...............................................................................................

..........................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

...............................................................................................

..........................................

..............

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

4.4 pav.4.5 pav.

2. Matrica J nera diagonali. Tada turime sistem¡

y′1 = λy1 + y2, y′2 = λy2.


y1(x) = (c1 + c2x)eλx, y2(x) = c2eλx.

Jeigu λ > 0, tai |y1(x)| → ∞, |y2(x)| → ∞, kai x → ∞. Jeigu λ < 0, tai|y1(x)| → 0, |y2(x)| → 0, kai x→∞. Eliminav¦ i² pastaruju lyg£iu kintam¡ji x,gausime sitemos trajektoriju lygti

y1 = c1c2y2 + 1

λy2 ln y2

c2.

I²vestine dy1/dy2 → ∞, kai y2 → 0. Todel visos trajektorijos lie£ia a²i y1koordina£iu pradºios ta²ke. Geometrine vieta ta²ku, kuriuose trajektorijos kei£iakrypti, apibreºiama lygtimi y′1 = 0. I² pirmosios sistemos lygties gauname, kadtai yra tiese

l : λy1 + y2 = 0.

Fazinis sitemos portretas, kai λ < 0 ir λ > 0, pavaizduotas 4.6 ir 4.7 paveiksle-liuose. Abiem atvejais pusiausvyros ta²kas vadinamas i²sigimusiu mazgo ta²ku.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

..............

..........................................

..............

..........................................

..............

..........................................

..............

................................................................................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................

...........................................................

............

............

..............

.............

...............................

...............................

................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................

..............................................................................................................

......

...........

..............

......

...........

..............

................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................

..............................................................................................................

...............................

.................

..............

................................................................

................................................................................................................................

................................................................................................................

..............................................................................................................

.................

..............

.................

..............

4.6 pav. 4.7 pav.

y1

y2

l

λ < 0 λ > 0

y1

y2

l


Tarkime, tikrines reik²mes yra kompleksi²kai jungtines: λ = α + iβ, λ =α − iβ. Tai bus tada ir tik tada, kai D < 0. iuo atveju (4.23) sistem¡ galimaperra²yti taip:

y′1 = αy1 + βy2, y′2 = −βy1 + αy2.

Ived¦ polines koordinates

y1 = r cos θ, y2 = r sin θ,

gausime sistem¡r′ = αr, θ′ = −β.

Jos sprendinysr = r0e

αx, θ = θ0 − βx.Taigi

y1 = r0eαx cos(θ0 − βx), y2 = r0e

αx sin(θ0 − βx).Jeigu α < 0, tai |y1(x)| → 0, |y2(x)| → 0, kai x → ∞. Jeigu α > 0, tai

|y1(x)| → ∞, |y2(x)| → ∞, kai x → ∞. Jeigu α = 0, tai visos trajektorijos yra2π/β periodines funkcijos.

Tarkime α = 0, t.y. tikrine reik²me λ yra grynai menama (tai bus tada irtik tada, kai SpA = 0). iuo atveju trajektorijos yra koncentri²ki apskritimaisu centru koordina£iu pradºioje (ºr. 4.8 pav.). Pusiausvyros ta²kas, pavaizduo-tas 4.8 paveikslelyje, vadinamas centro ta²ku. Tegu α 6= 0. Tada trajektorijosyra spirales. Kai x → ∞ ir α < 0(⇔ SpA < 0), fazinis ta²kas juda spirale,artedamas prie koordina£iu pradºios (ºr. 4.9 pav.), o kai α > 0 (⇔ SpA > 0),fazinis ta²kas juda spirale, toldamas nuo koordina£iu pradºios i begalyb¦ (ºr.4.10 pav.). Pusiausvyros ta²kas, pavaizduotas 4.9, 4.10 paveikskeliuose, vadi-namas ºidinio ta²ku. Visais atvejais judejim¡ prie² ar pagal laikrodºio rodykl¦,nusako koeciento β ºenklas.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

........................................................................................................................................................................................

................................................................................................................

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

.....

............

..............

.....

............

..............

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................

..............

.................

..............

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

y1

y2

y1

y2

.................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

y1

y2

4.8 pav. 4.9 pav. 4.10 pav.

Tarkime det J = λ1 · λ2 = 0. Jeigu λ1 = 0, o λ2 6= 0, tai (4.23) sistem¡galima perra²yti taip:

y′1 = 0, y′2 = λ2y2.


y1(x) = C1, y2(x) = C2eλ2x.


I² £ia i²plaukia, kad bet kuris ta²kas, gulintis y1 a²yje, yra pusiausvyros ta²kas.Kai λ2 > 0 (λ2 < 0), trajektorijos yra i² y1 a²ies i²einantys (ieinantys) spin-duliai, lygiagretus y2 a²iai. Fazinis sistemos portretas, kai λ2 > 0 ir λ2 < 0,pavaizduotas 4.11 ir 4.12 paveiksleliuose.

Jeigu λ1 = λ2 = 0 ir matrica J nera nuline, tai (4.23) sistem¡ (ºr. (4.21)formul¦) galima perra²yti taip:

y′1 = y2, y′2 = 0.


y1(x) = C2x, y2(x) = C2.

I² £ia i²plaukia, kad bet kuris ta²kas, gulintis y1 a²yje, yra pusiausvyros ta²kas, otrajektorijos yra tieses, lygiagre£ios y1 a²iai. Fazinis sistemos portretas pavaiz-duotas 4.13 paveikslelyje.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• • • • ••••••••••••••

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

...........................................................................................................................................................................................................................................

......................................

..............

......................................

..............

......................................

..............

......................................

..............

......................................

..............

......................................

..............

• • • • • • • • •y1

y2

y1

y1

y1

y2

4.11 pav. 4.12 pav. 4.13 pav.

Kanonines sistemos y′ = Jy pusiausvyros ta²ko charakteris priklauso nuoordano matricos J tikriniu reik²miu. Tiksliau, nuo charakteristinio polinomokoecientu Sp J ir det J. Kadangi pana²iu matricu charakteristiniai polinomaisutampa, tai Sp J = SpA, det J = detA. Todel tiesiniu sistemu y′ = Aypusiausvyros ta²kus galima klasikuoti lygiai taip pat kaip ir jas atitinkan£iukanoniniu sistemu pusiausvyros ta²kus. Pavyzdºiui, jeigu kokios nors kanoninessistemos y′ = Jy pusiausvyros ta²kas yra ºidinys, tai visu j¡ atitinkan£iu tiesiniusistemu pusiausvyros ta²kai taip pat yra ºidiniai.


4.14 pav.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

D = 0detA

SpA

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

..............

.....................................

........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................

........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................

........................

..............

.....................................

........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

..............

.....................................

........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................

........................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................

........................

..............

.....................................

........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................

..................................................

.

..

.

.

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................

................

..............

....................................................................

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................

................

..............

....................................................................

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........... ....................................................

....

............

..............

....................................................................

.

..

.

.

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................

....

............

..............

...........................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

......................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

......................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.

...............

..............

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. ................

..............

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.......................................

..............

.......................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................

...............................

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

.

.

..............

.................

..............

.....

............

..............

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.................................

...............

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................

..............

.....................

..............

..................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

..............

........................

..............

......................

...........................................

......................................

.........................

............

................

............................................

......................

...........................................

......................................

.....................................

..............................

................

..............

..................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................

..............

...................................................

..............

......................

...........................................

......................................

.....................................

................

..............

................

..............

......................

...........................................

......................................

.....................................

................

..............

................

..............

.........................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

............

..............

....

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................

..............

................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

.............................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................................

....

............

..............

................

..............

Kiekvien¡ ksuot¡ reik²miu SpA ir detA por¡ atitinka charakteristinis poli-nomas

λ2 − (SpA)λ+ detA = 0.Kadangi

SpA = SpJ = λ1 + λ2, detA = detJ = λ1 · λ2,

tai ²is charakteristinis polinomas vienareik²mi²kai apibreºia kanonin¦ sistem¡y′ = Jy bei jos pusiausvyros ta²k¡. Kartu yra apibreºiamas ir su ²ia sistema susi-jusios tiesines sistemos y′ = Ay pusiausvyros ta²kas. Taigi kiekvien¡ reik²miuSpA, detA por¡ atitinka tam tikras tieisnes sistemos y′ = Ay pusiausvyrosta²kas. i atitinkamybe geometri²kai pavaizduota 4.14 paveikslelyje

Tegu Q yra nei²sigimusi matrica, kurios pagalba matrica A suvedama i or-dano pavidal¡ J. Tada transformacija y = Qz deformuoja kanonines sistemosz′ = Jz fazini portret¡ i tiesines sistemos y′ = Ay fazini portret¡. Kadangi tokiatransformacija yra tiesine ir tolydi, tai trajektoriju kokybinis vaizdas i²lieka tokspats. Jos gali buti tik kiek i²temptos (suspaustos) ir pasuktos apie koordina£iupradºi¡. Pavyzdºiui, sistema

y′1 = 53y1 −

43y2, y′2 = 4

3y1 −53y2

tiesines transformacijos

y1 = 2z1 + z2, y2 = z1 + 2z2

pagalba suvedama i kanonini pavidal¡

z′1 = z1, z′2 = −z2.

iuo atveju ordano matricos tikrines reik²mes λ1 = 1, λ2 = −1. Todel pusiau-svyros ta²kas yra balno ta²kas. Kanonines sistemos bendrasis sprendinys

z1 = c1ex, z2 = c2e

−x.


Eliminav¦ nepriklausom¡ kintam¡ji x gauname, kad fazines trajektorijos yrahiperboles

z1z2 = c, c = c1c2.

Fazinis sitemos portretas pavaizduotas 4.15 paveikslelyje. Griº¦ prie kintamujuy1, y2, gausime

y1 = 2c1ex + c2e−x, y2 = c1e

x + 2c2e−x.

I² ²iu lyg£iu eliminav¦ kintam¡ji x, gausime nagrinejamos sistemos trajektorijulygti

(y2 − 2y1)(y1 − 2y2) = c;

£ia c = 9c1c2. Taigi nagrinejamos sitemos trajektorijos yra hiperboles. Ju fazinisportetas pavaizduotas 4.16 paveikslelyje.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................

..............

............................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

...................................................

.............

......................

..............

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................

...........

...............

.......

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

......................................................................................

..............

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

z2

z1

4.15 pav. 4.16 pav.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

......................

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

...........................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...

.......................................................

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...................................... .

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................

........................................................................................................................................

................................................................................................................................................................................................................................

y1

y2

y2 = y1/2

y2 = 2y1

................

.

..............

.................

..............

.....

............

..............

.......

..........

..............

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.........

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

................

..............

5 SKYRIUS

Autonomines sistemos

5.1 AUTONOMIN ES LYGTYS TIES EJE

Naginejant autonomines lygtys nepriklausomas kintamasis daºniausiai yra lai-kas. Todel ²iame skyriuje nepriklausom¡ kintam¡ji ºymesime raide t, o ie²kom¡funkcija raide x. Lygtys, kuriu de²inioji puse tiesiogiai nepriklauso nuo laiko t,t.y.

x = f(x), x ∈ (a, b) ⊂ R (5.1)

vadinamos autonominemis. Ju sprendinio kitimo greitis priklauso tik nuo patiessprendinio. Kitais ºodºiais tariant, tokiu lyg£iu sprendinys pats valdo savokeitim¡si.

Priminsime, kad autonomines lygtys i²siskiria i² kitu viena svarbia savybe.Jeigu x = ϕ(t), t ∈ (a, b) yra (5.1) lygties sprendinys, tai x = ψ(t) = ϕ(t+c), t ∈(a− c, b− c), c ∈ R, taip pat yra (5.1) lygties sprendinys.

I ² v a d a . Tegu x = ϕ(t) yra (5.1) lygties sprendinys, apibreºtas ∀t ∈ R ir I ²io sprendinio reik²miu sritis. Be to, tegu per kiekvien¡ juostos Π = R×I ta²k¡eina tik viena (5.1) lygties integraline kreive. Tada bet kuri¡ kit¡ ²ios lygtiesintegralin¦ kreiv¦, esan£i¡ juostoje Π, galima apibreºti lygtimi x = ϕ(t+ c), c ∈R. Taigi integralines kreives juostoje Π gaunamos viena i² kitos poslinkiu t a²ieskryptimi.

P a v y z d y s . Lygtisx = x2

turi trivialu sprendini x(t) = 0, t ∈ R ir netrivialius sprendinius x = (c − t)−1,kai t > c bei x = (c − t)−1, kai t < c. Pastaruosius sprendinius atitinkan£iosintegralines kreives yra hiperboles (ºr. 5.1 pav.).

..........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............•t

x = (c− t)−1

x = (c− t)−1

c

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..........................................................................................

...................

.......

............................................................

.........................

..................................................................................................................................................................................................................

5.1 pav.

134 5. AUTONOMIN ES SISTEMOS

Integralines kreives dalina plok²tum¡ R2 i dvi pusplok²tumes x > 0 ir x <0. Pusplok²tumeje x > 0 bet kuri¡ integralin¦ kreiv¦ galima gauti paslinkusvir²utin¦ hiperboles x = −t−1, t < 0 ²ak¡ t a²ies kryptimi. Analogi²kai pus-plok²tumeje x < 0 bet kuri¡ integralin¦ kreiv¦ galima gauti paslinkus apatin¦hiperboles x = −t−1, t > 0 ²ak¡ t a²ies kryptimi.

Integraliniu kreiviu ²eimu, kurios gaunamos viena i² kitos poslinkiu t a²ieskryptimi, kokybini vaizd¡ nusako kiekvienas individualus sprendinys. Savoruoºtu kiekvieno tokio sprendinio kokybini vaizd¡ apibreºia funkcija f. Jeigukokiame nors ta²ke x = c funkcija f(c) = 0, tai funkcija

ϕ(t) = c, t ∈ (−∞,∞)

yra (5.1) lygties sprendinys. Toks sprendinys vadinamas stacionariuoju spren-diniu, o ta²kas c-pusiausvyros ta²ku. Jeigu f(x) 6= 0, t.y. f(x) > 0, arba f(x) <0, tai kiekvienas (5.1) lygties sprendinys yra arba didejanti, arba maºejanti funk-cija. Tokias sprendiniu savybes patogiau vaizduoti x a²yje negu (t, x) plok²tu-moje. Pavyzdºiui ta²kas x = 0 yra lygties

x = x

pusiausvyros ta²kas. Kai x > 0, visi ²ios lygties sprendiniai yra didejan£ios, okai x < 0 maºejan£ios funkcijos. Integraliniu kreiviu kokybinis vaizdas (t, x)plok²tumoje ir x a²yje pavaizduotas 5.2 paveikslelyje. Lygties

x = x2 − 1

pusiausvyros ta²kai x = ±1. Kai x > 1 arba x < −1, visi ²ios lygties sprendiniaiyra didejan£ios, o kai −1 < x < 1 maºejan£ios funkcijos. Integraliniu kreiviukokybinis vaizdas plok²tumoje (t, x) ir x a²yje pavaizduotas 5.3 paveikslelyje.

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................

..............

...................................................................................

..............

x

t

5.2 pav. 5.3 pav.

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

..........................................................................................................................................................................

•0

...................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................

..............

.................................................

..............

.................................................

..............

x

t

.......................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

.......................................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

............................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................

• •1−1

x = 1

x = −1

Geometrinis sprendiniu kokybinis vaizdas x a²yje vadinamas faziniu portretu, xa²is fazine a²imi, o jos ta²kai-faziniais ta²kais. Jeigu sprendinys x = ϕ(t) nerapusiausvyros ta²kas, tai ϕ yra arba didejanti, arba maºejanti funkcija. Todeljeigu pusiausvyros ta²ku yra baigtinis skai£ius, tai juos atitinkan£iu skirtingu

5.1. AUTONOMIN ES LYGTYS TIES EJE 135

faziniu portretu taip pat yra tik baigtinis skai£ius. ia, sakydami "skirtingi",turime omenyje, kad jie skiriasi sritimis, kuriose sprendiniai dideja arba maºeja.Pavyzdºiui lygties x = x2 fazinis portretas, pavaizduotas 5.4 paveikslelyje

...................................................

..............

...................................................

..............

0•

5.4 pav.

skiriasi nuo lygties x = x fazinio portreto pavaizduoto 5.2 paveikslelyje. Aki-vaizdu, kad vieno pusiausvyros ta²ko atveju yra galimi tik keturi skirtingi faziniaiportretai (ºr. 5.5 paveiksleli).

...................................................

..............

...................................................

..............

...................................................

..............

.....................................................................

..............

...................................................

..............

.....................................................................

..............

.....................................................................

..............

.....................................................................

..............

a b

c d

• •

• •

5.5 pav.

Pusiausvyros ta²kas a vadinamas atraktoriumi , ta²kai b ir c ²untu, o ta²kasd repeleriu.

A p i b r e º i m a s . Sakysime, skirtingos diferencialines lygtys yra kokybi²-kai ekvivalen£ios, jeigu jos turi t¡ pati fazini portret¡, t.y. turi vienod¡ skai£iuta pa£ia tvarka i²sides£iusiu pusiausvyros ta²ku.

Pavyzdºiui, lygtys:x = x, x = x3

yra kokybi²kai ekvivalen£ios. Jos turi vien¡ pusiausvyros ta²k¡ repeleri. Lyg-tys:

x = (x+ 2)(x+ 1), x = x2 − 1

taip pat yra kokybi²kai ekvivalen£ios. Jos turi po du pusiausvyros ta²kus.Vienas i² ju yra atraktorius, o kitas repeleris. Be to, atraktoriu atitinkamaºesnioji reik²me (ºr. 5.6 pav.).

...................................................

..............

..........................................................

..............

.....................................................................

..............

...................................................

..............

..........................................................

..............

.....................................................................

..............

−2 −1 −1 1• • • •

5.6 pav.

Lygtys:x = −(x+ 2)(x+ 1), x = x2 − 1

nera kokybi²kai ekvivalen£ios. Jos turi po du pusiausvyros ta²kus: atraktoriu irrepeleri. Ta£iau jie yra i²sidest¦ prie²inga tvarka (ºr. 5.7 pav.).

.....................................................................

..............

..........................................................

..............

...................................................

..............

...................................................

..............

..........................................................

..............

.....................................................................

..............

−2 −1 −1 1• • • •

5.7 pav.


Diferencialines lygtys gali tureti be galo daug pusiausvyros ta²ku (pvz. lygtisx = sin x). Todel skirtingu faziniu portretu taip pat gali buti be galo daug.Ta£iau, bet kuris fazinis portretas gali tureti ne daugiau kaip keturis skirtinguspusiausvyros ta²kus.

5.2. AUTONOMIN ES SISTEMOS PLOKTUMOJE 137

5.2 AUTONOMIN ES SISTEMOS PLOKTUMOJE

Autonomin¦ diferencialiniu lyg£iu sistem¡ plok²tumoje R2 galima uºra²yti vek-toriniu pavidalu

x = f(x); (5.2)

£ia x = (x1, x2) ∈ R2, f = (f1, f2). Tegu x = ϕ(t), ϕ = (ϕ1, ϕ2) yra ²iossistemos sprendinys. Tada fazineje plok²tumoje R2 jis apibreºia kreiv¦. Jeigu²i kreive nera ta²kas, tai jai galima priskirti apejimo krypti, kai laikas t auga.Priminsime, kad kreive, kartu su jos apejimo kryptimi, vadinama trajektorija.

Bendru atveju (5.2) sistemos sprendiniai priklauso nuo dvieju laisvu kons-tantu. Todel fazineje plok²tumoje R2 ²ie sprendiniai apibreºia dviparametrin¦kreiviu (trajektoriju) ²eim¡. Norint gauti kokybini (5.2) sistemos trajektori-ju vaizd¡, reikia ºinoti kaip kinta fazinis ta²kas x fazineje plok²tumoje R2, kailaikas t auga. Taigi (5.2) sistemos fazinis portretas yra dvimatis, o jos kokybinivaizd¡ nusako kreiviu ²eima kartu su ju apejimo kryptimi.

Kokybini (5.2) sistemos tyrim¡ plok²tumoje R2 pradesime nuo ²ios sistemospusiausvyros ta²ku. Ta²kas c = (c1, c2) ∈ R2 yra (5.2) sistemos pusiausvyrosta²kas, jeigu f(c) = 0. Pusiausvyros ta²k¡ c atitinka stacionarusis (5.2) sistemossprendinys ϕ(t) = c, t ∈ R, ϕ = (ϕ1, ϕ2).

I²siai²kinsime (5.2) sistemos trajektoriju galim¡ elgesi pusiausvyros ta²koaplinkoje. Tuo tikslu i²nagrinesime kelet¡ papras£iausiu sistemu su vienu pu-siausvyros ta²ku.

1 P a v y z d y s . Sistema

x1 = −x1, x2 = −x2 (5.3)

turi pusiausvyros ta²k¡ (0, 0) ir i²siskaido i dvi lygtis, kuriu sprendiniai

x1(t) = c1e−t, x2(t) = c2e

−t, t ∈ (−∞,∞).

I² ²iu formuliu eliminav¦ kintam¡ji t gausime, kad sprendiniai x1, x2 tenkinalygti

x1 = kx2, k = c1/c2.

Todel galime tvirtinti, kad kiekviena (5.3) sistemos trajektorija yra kokioje norstieseje, einan£ioje per koordina£iu pradºi¡. Be to, kai t→∞,

|x1(t)| → 0, |x2(t)| → 0.

Taigi kiekvienas (5.3) sistemos fazinis ta²kas arteja prie koordina£iu pradºiosta²ko tiese x1 = kx2, kai t → ∞. Fazinis (5.2) sistemos portretas pavaizduotas5.8 paveikslelyje.


....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x2

x1

...............................................

..............

..................................................................................................................

...............................................

..............

..................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................

..................................................................................................................

...............................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................... ..............

..................................................................................................................

...............................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................

..............

..................................................................................................................

...............................................

..............

..................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

5.8 pav. 5.9 pav.

..............................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x2

x1

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

...............................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

............

..............

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

..................

..............

..........................................

..............

..........................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.


x1 = −x1, x2 = −2x2 (5.4)


x1(t) = c1e−t, x2(t) = c2e

−2t, t ∈ (−∞,∞).

I² ²iu formuliu eliminav¦ kintam¡ji t, gausime, kad sprendiniai x1, x2 tenkinalygti

x2 = kx21, k = c2/c

21.

Be to, kai t→∞,|x1(t)| → 0, |x2(t)| → 0.

Taigi kiekvienas (5.4) sistemos fazinis ta²kas juda parabole x2 = kx21 ir arteja

prie koordina£iu pradºios, kai t → ∞. Fazinis (5.4) sistemos portretas pavaiz-duotas 5.9 paveikslelyje.


x1 = −x1, x2 = x2 (5.5)


x1(t) = c1e−t, x2(t) = c2e

t, t ∈ (−∞,∞).


x1x2 = k, k = c1c2.

Be to, kai t→∞,|x1(t)| → 0, |x2(t)| → ∞.

Taigi kiekvienas (5.5) sistemos fazinis ta²kas juda hiperbole x1x2 = k ir artejai begalyb¦, kai t → ∞. Fazinis (5.5) sistemos portretas pavaizduotas 5.10paveikslelyje.


....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

...............................

..............

...............................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

................

...........

....................................................................................................................................................................................

...................

..............

..................

.............

..........

..............................................................................................................................................................................

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

...............................................................................................................................................................................................................

...................

..............

.......................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

......................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

................................................................................................................................................................................................................................................

...................

..............

.......................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

......................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

................................................................................................................................................................................................................................................

...................

..............

.......................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.....

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

......

............

..............

......

............

..............

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................

..............

..................

..............

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x1 x1

x2x2

5.10 pav. 5.11 pav.


x1 = x2, x2 = −x1 (5.6)

turi pusiausvyros ta²k¡ (0, 0). Apibreºkime polines koordinates

x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ.

Naujose koordinatese gausime sistem¡

r = 0, ϕ = −1,

kurios sprendiniair = c1, ϕ = −t+ c2.

Griº¦ prie senu kintamuju x1, x2, rasime (5.6) sistemos sprendinius

x1(t) = c1 cos(−t+ c2), x2(t) = c1 sin(−t+ c2), t ∈ (−∞,∞).


x21 + x2

2 = c2, c = c1.

I² (5.6) lygties i²plaukia, kad pusplok²tumeje x2 > 0 sprendinys x1 dideja, opusplok²tumeje x2 < 0 jis maºeja. Be to, pusplok²tumeje x1 > 0 sprendinys x2maºeja, o pusplok²tumeje x1 < 0 jis dideja. Taigi (5.6) sistemos trajektorijos yrakoncentriniai apskritimai su centru pusiausvyros ta²ke (0, 0) ir apejimo kryptimipagal laikrodºio rodykl¦, kai laikas t dideja. Fazinis (5.6) sistemos portretaspavaizduotas 5.11 paveikslelyje.


x1 = x1, x2 = x1 + x2 (5.7)


turi pusiausvyros ta²k¡ (0, 0) ir sprendinius

x1(t) = c1et, x2(t) = et(c1t+ c2), t ∈ (−∞,∞).

Eliminav¦ kintam¡ji t, gausime, kad sprendiniai x1, x2 tenkina lygti

x2 = x1(ln x1/c1 + c2/c1).

Antrosios eiles i²vestine d2x2/dx21 = 1/x1. Todel visos trajektorijos yra i²kilos i

apa£i¡, kai x1 > 0 ir i²kilos i vir²u, kai x1 < 0.Tegu c1 > 0. Tada sprendinys x1 dideja nuo 0 iki ∞, kai t kinta nuo −∞ iki

+∞. Sprendinys x2 → +∞, kai t→ +∞, ir x2 → −0, kai t→ −∞. Kai c1 = 0,turime sprendini

x1(t) = 0, x2(t) = c2et, t ∈ (−∞,+∞).

Kai c1 < 0, kiekviena sistemos trajektorija yra simetrine koordina£iu pradºiosta²ko atºvilgiu vienai i² trajektoriju, atitinkan£iu atveji c1 > 0. Tuo lengvai gal-ima isitikinti ir i² pa£ios sistemos. Reikia tik pastebeti, kad ji yra invarianti²kakeitinio x1 → −x1, x2 → −x2 atºvilgiu. Be to, i² pa£ios sistemos i²plaukia, kad

x1 > 0, kai x1 > 0,x1 < 0, kai x1 < 0,x2 > 0, kai x1 + x2 > 0,x2 < 0, kai x1 + x2 < 0,x2 = 0, kai x1 + x2 = 0.

Fazinis (5.7) sistemos portretas pavaizduotas 5.12 paveikslelyje.

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

................................................................................

..............

................................................................................

..............

...........................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

..........................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

...............................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..................................................................................................................................................................................................................................

..................

..............

.....

............

..............

........................................................................................................................

..................................................................................

..................

................................

..............

............................................................................................................................................................................

................

.

.

................................ ..............

..

................................................................................................................................................................................................................................

......

............

..............

.................

..............

..........................................................................................................................................................................................................

......

............

..............

..................

..............

............................................................................................................................................................................

..................

.............. ..

................

..............

..

..

..

..

..

........................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.............

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

..

..

..

.

.

.

.

..

.

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

......

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................................................

.................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

. x1 x1

x2 x2

5.12 pav. 5.13 pav.6 P a v y z d y s . Sistema

x1 = x2, x2 = x1 (5.8)

turi pusiausvyros ta²k¡ (0, 0). Padalin¦ antr¡j¡ ²ios sistemos lygti i² pirmosios,gausime paprast¡j¡ diferencialin¦ lygti

dx2

dx1= x1

x2, x2 6= 0


kintamuju x1, x2 atºvilgiu. ios lygties sprendiniai yra hiperboles

x22 − x2

1 = c.

Ju asimptotes yra tieses x1 + x2 = 0 ir x1 − x2 = 0. Hiperboliu apejimo kryptigalima nustatyti i² (5.8) lyg£iu. Pavyzdºiui, x2 > 0, kai x1 > 0, x1 > 0, kaix2 > 0, t.y. pusplok²tumeje x1 > 0 sprendinys x2 dideja, o pusplok²tumejex2 > 0 dideja sprendinys x1. Fazinis (5.8) sistemos portretas pavaizduotas 5.13paveikslelyje.

Norint nubreºti (5.2) sistemos trajektoriju kokybini vaizd¡, nevisada bu-tina ºinoti jos sprendinius apibreºian£ias formules. Tai galima padaryti ne-sprendºiant pa£ios sistemos. iuo atveju reikia pasinaudoti izokliniu metodu.

Tarkime, funkcija f yra apibreºta srityje Ω ⊂ R2. Kiekviename ta²ke x ∈ Ωyra apibreºtas vektorius x. iu vektoriu visuma sudaro kryp£iu lauk¡. Pri-minsime, kad izokline yra geometrine vieta ta²ku, kuriuose kryp£iu laukas yrapastovus, t.y.

dx2

dx1= k = const.

Ypatingai idomus tie izokliniu ta²kai, kuriuose dx2/dx1 lygus nuliui arba be-galybei, t.y. izoklines, kuriose x2 = 0 arba x1 = 0.

7 P a v y z d y s . Sistemos

x1 = x22, x2 = x1 (5.9)

vienintelis pusiausvyros ta²kas yra koordina£iu pradºioje. Izoklines yra apibre-ºiamos lygtimi

x1

x22

= k.

Kai x2 = 0, turime k = ∞. Kai x1 = 0, turime k = 0. Kitoms k reik²memsizoklines yra paraboles x1 = kx2

2. Pavyzdºiui,

k = 1/2, paraboleje x1 = x22/2,

k = 1, paraboleje x1 = x22,

k = 2, paraboleje x1 = 2x22,

k = −1/2, paraboleje x1 = −x22/2,

k = −1, paraboleje x1 = −x22,

k = −2, paraboleje x1 = −2x22.

Trajektoriju apejimo krypti nusako sistemos lyg£iu de²iniosios puses. I² pirmo-sios lygties i²plaukia, kad x1 dideja, kai t kinta nuo −∞ iki ∞. I² antrosioslygties gauname, kad x2 dideja, kai x1 > 0 ir maºeja, kai x1 < 0.

Padalin¦ antr¡j¡ ²ios sitemos lygti i² pirmosios, gausime paprast¡j¡ diferen-cialin¦ lygti

dx2

dx1= x1

x22, x2 6= 0

kintamuju x1, x2 atºvilgiu. ios lygties sprendiniai yra apibreºiami formule

x32 − 3x2

1 = c.


Kai c = 0, gauname trajektorij¡ x32−3x2

1 = 0, einan£i¡ per koordina£iu pradºi¡.Trajektoriju fazinis portretas pavaizduotas 5.14 paveikslelyje.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

.

.

.

..

.............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............

..............

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................................................

...............................................................................................................................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......

.

.

.

..

.............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.........................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

...............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................

.........................................................................................................................................................

................................................

.............

.

.

.

.

.

..............

.......

.........................

...........................................................................................................................................................

..................

................................ ..

............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................

.

.

.

..

.

.

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........

.

.

.

..

.

.

.

..........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................

.

.

.

..

.

.

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...........

.

.

.

..

.

.

...........

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x1 x1

x2 x2

5.14 pav. 5.15 pav.


x1 = −x1x2, x2 = x21 + x2

2 (5.10)

turi vieninteli pusiausvyros ta²k¡ (0, 0). Jos izoklines apibreºiamos lygtimi

−x21 + x2

2x1x2

= k.

I² ²ios lygties i²plaukia, kad k ≥ 2 ir izoklines yra tieses

x2 = αx1;

£ia α yra randamas i² lygties

−1 + α2

α= k.

Kai α = 0, turime k = ±∞. Todel visos trajektorijos kerta statmenai x1 a²i.Kai α → ±∞, k → ∓∞. Kai x1 = 0, turime trajektorij¡, apibreºt¡ lygtimix2 = x2

2. Kitoms k reik²mems izoklines yra tieses x2 = αx1. Pavyzdºiui,

k = 5/2, tieses x2 = −2x1, x2 = −x1/2,k = 2, tiesej x2 = −x1,k = −5/2, tieses x2 = 2x1, x2 = x1/2,k = −2, tiese x2 = x1.

Trajektoriju apejimo krypti nusako lyg£iu sistemos de²iniosios puses. I² antro-sios lygties i²plaukia, kad x2 dideja, kai x kinta nuo −∞ iki ∞. I² pirmosioslygties gauname, kad x1 dideja, kai x1x2 < 0 ir maºeja, kai x1x2 > 0. Fazinis(5.10) sistemos portretas pavaizduotas 5.15 paveikslelyje


9 P a v y z d y s . Nubreºti sistemos

x1 = x21, x2 = x2(2x1 − x2) (5.11)

trajektoriju kokybini vaizd¡. Nagrinejamu atveju

f1(x) = x21, f2(x) = x2(2x1 − x2).

Todel lygtis f(x) = 0 turi tik trivialu sprendini x = (0, 0).Kartu galime tvirtinti,kad vienintelis (5.11) sistemos pusiausvyros ta²kas yra koordina£iu pradºioje.Be to, f(x) = f(−x). I² £ia i²plaukia, kad visos trjektorijos yra invariantineskeitinio x→ −x atºvilgiu. Atkreipsime demesi, kad izokline x1 = 0 sutampa sux2 a²imi. Jos ta²kuose x2 = −x2

2. Todel egzistuoja trajektorija, einanti per ²i¡a²i. Tiksliau ji ieina i koordina£iu pradºi¡, kai x2 > 0 ir i²eina i² jos, kai x2 < 0.Kai x1 6= 0, izokliniu lygti galima uºra²yti taip:

x2(2x1 − x2)x2

1= k ⇐⇒ x2

1 − (x1 − x2)2 = kx21.

I² jos randamex2

1(1− k) = (x1 − x2)2.

Taigi k ≤ 1, o izoklines yra apibreºiamos lygtimi

x2 = x1(1±√

1− k).

Kai k = 1, izokline yra tiese x2 = x1. Per ²i¡ ties¦ einan£iu trajektoriju kryptisnusako lygtys x1 = x2

1, x2 = x22. I² ²iu lyg£iu i²plaukia, kad funkcijos x1 ir

x2 dideja, kai laikas t auga. Todel per ²i¡ ties¦ einanti trajektorija ieina ikoordina£iu pradºi¡, kai x1, x2 < 0 ir i²eina i² koordina£iu pradºios, kai x1, x2 >0. Kitoms k reik²mems izokline yra pora tiesiu. Pavyzdºiui,

k = 0, tiesese x2 = 0 ir x2 = 2x1,

k = 1/2, tiesese x2 = x1(1±√

2/2),k = 3/4, tiesese x2 = x1(1± 1/2),k = −1, tiesese x2 = x1(1±

√2),

k = −2, tiesese x2 = x1(1±√

3),k = −3, tiesese x2 = 3x1irx2 = −x1.

Trajektoriju i²kilumo i apa£i¡ (i²kilumo i vir²u) ta²kai randami i² s¡lygos

d2x2

dx21> 0

(d2x2

dx21< 0).

Nagrinejamu atveju x2 = x2[(2x1 − x2)2 + (x1 − x2)2 + x21], x1 = 2x3

1. Todel

d2x2

dx21

= x2x1 − x1x2

x31

= 2x2(x1 − x2)2

x41

;


Taigi pusplok²tumeje x2 > 0 trajektorijos yra i²kilos, o pusplok²tumeje x2 < 0 igaubtos. Fazinis (5.11) sistemos trajektoriju vaizdas pavaizduotas 5.16 pa-veikslelyje.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................

..............

...............................

..............

................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.....................................

..............

.....................................

..............

............................................................................................................................................................................................

.............

.

.

.

.

.

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................

..............

.........................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.............................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

........................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............

.........................................................................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

......

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

................................................................................................................................

..................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................

..................

..............

x1 x1

x2 x2

5.16 pav. 5.17 pav.

Tarkime, funkcija f yra apibreºta ir tolydi srityje Ω ⊂ R2. Jeigu ∀x0 ⊂ Ωir ∀t0 ∈ R egzistuoja vienintelis 5.2 sistemos sprendinys x = ϕ(t) toks, kadϕ(t0) = x0, tai per kiekvien¡ srities Ω ta²k¡ eina lygiai viena (5.2) sistemostrajektorija. Jeigu vienaties nera, tai daºniausiai jos nera kokios nors kreives,esan£ios srityje Ω, ta²kuose. ios kreives ta²ku aplinkoje trajektoriju kokybinivaizd¡ ne i² karto galima nustatyti vien tik pagal sistemos de²in¦ pus¦.


x1 = 3x2/31 , x2 = 1 (5.12)

pusiausvyros ta²ku neturi. Jos sprendiniai randami i² formuliu

x1(t) = (t+ c1)3, x2(t) = t+ c2.

Be to, yra dar vienas sprendinys

x1(t) ≡ 0, x2(t) = t+ c2.

Imkime ²iose formulese c2 = 0, c1 = −c. Abiem atvejais ta²kas(x1(c), x2(c)

)= (0, c).

Vadinasi ta²kas (0, c) guli ne maºiau kaip dviejose skirtingose trajektorijose.Eliminav¦ i² ²iu formuliu kintam¡ji t, gausime, kad (5.12) sistemos trajektorijosyra apibreºiamos lygtimis:

x1 = (x2 + c)3, x1 = 0;

£ia c = c1 − c2. Taigi trajektorijos yra kubines paraboles, lie£ian£ios a²i x2. Juapejimo krypti lengvai galima nustatyti i² (5.12) sistemos de²ines puses. Fazinissistemos portretas pavaizduotas 5.17 paveikslelyje.


Toliau nagrinesime tik tokias sistemas, kurios tenkina vienaties s¡lyg¡. Pri-minsime, kad ²i s¡lyga yra patenkinta, jeigu funkcija f yra diferencijuojama.

I² pateiktu pavyzdºiu matome, kad i² trajektoriju sudarytu skirtingu geomet-riniu konguraciju gali buti be galo daug. Kartu galime tvirtinti, kad skirtingupusiausvyros ta²ku tipu taip pat gali buti be galo daug. Tiesa, £ia, kaip ir 5.1skyrelyje, reikia susitarti, k¡ rei²kia ºodis "skirtingi". Priklausomai nuo na-grinejamu sistemu bei keliamu reikalavimu galima pasirinkti ivairius kriterijus.

Pavyzdºiui, galime nekreipti demesio i trajektoriju, ieinan£iu i pusiausvyrosta²k¡, form¡. Tiksliau, tegu a yra sistemos x = f(x), o b sistemos x = g(x)pusiausvyros ta²kai. Be to, tegu sistemos x = f(x) visos trajektorijos sueinai ta²k¡ a, o sistemos x = g(x) i ta²k¡ b. Tada naturalu tokius nagrinejamusistemu ta²kus laikyti "vienodais". Pagal ²i apibreºim¡ sistemos x = −f(x)pusiausvyros takas a ir sistemos x = g(x) pusiausvyros ta²kas b yra "skirtingi",nes sistemos x = −f(x) visos trajektorijos i²eina i² ta²ko a. Be to, galime i²skirtitiesines sistemas. Kiekvien¡ toki¡ sistem¡ atitinka kvadratine matrica. i¡matric¡ galima suvesti i ºordanini pavidal¡. Pagal tai, kokie yra ²ios matricosºordano langeliai, galima klasikuoti tiesiniu sistemu pusiausvyros ta²kus.


5.3 AUTONOMINIU SISTEMU TRAJEKTORIJOS

Tarkime, funkcija f : Ω ⊂ Rn → Rn yra tolydi srityje Ω ir ²ioje srityje tenkinaLip²ico s¡lyg¡. Tada per kiekvien¡ ta²k¡ x0 ∈ Ω eina lygiai viena autonominessistemos

x = f(x) (5.13)

trajektorija. Kiekvieno jos ta²ko padeti fazineje erdveje nusako pradinis ta²kasx0 ir laiko atkarpa t − t0 (ºr. 2.2 skyreli), t.y. (5.13) sistemos sprendini x =x(t, t0, x0) galima uºra²yti tokiu pavidalu

x = x(t− t0, 0, x0) := ϕ(t− t0, x0).

Tegu t0 = 0. Ta²kas x0 ∈ Ω yra (5.13) sistemos pusiausvyros ta²kas, jeigu

ϕ(t, x0) = x0, ∀t ∈ R.

Akivaizdu, kad ta²kas x0 yra pusiausvyros ta²kas tada ir tik tada, kai f(x0) = 0.Ta²k¡ x0 ∈ Ω vadinsime (5.13) sistemos paprastuoju ta²ku, jeigu f(x0) 6= 0.Jeigu ta²kas x0 yra paprastasis (5.13) sistemos ta²kas ir funkcija f yra tolydi, taikiekvienas ta²kas i² pakankamai maºos ta²ko x0 aplinkos taip pat bus paprastasista²kas.

Tegu x = ϕ(t) yra (5.13) sistemos sprendinys, apibreºtas ∀t ∈ R. Jeigu ²issprendinys yra periodine, periodo T > 0 funkcija, tai ji atitinkanti trajektorijavadinama uºdara trajektorija arba ciklu.

Tarkime, ta²kas x0 yra paprastasis (5.13) sistemos ta²kas. Jeigu sprendiniox = ϕ(t, x0) trajektorija γ sav¦s nekerta, tai ²is sprendinys yra neperiodinis.Irodysime, kad trajektorija γ kerta save tik tuo atveju, kai ji yra uºdara, o j¡apibreºiantis sprendinys x = ϕ(t, x0) yra periodinis.

Tarkime, trajektorija γ kerta save. Tada egzistuoja tokie t1, t2 (t1 < t2), kad

ϕ(t1, x0) = ϕ(t2, x0).

Kadangi x0 nera pusiausvyros ta²kas, tai galime tarti, kad

ϕ(t, x0) 6= ϕ(t1, x0), kai t ∈ (t1, t2).

Irodysime, kad sprendinys x = ϕ(t, x0) yra periodine funkcija su periodu ω =t2 − t1. I² tikruju, funkcija ψ apibreºta formule

ψ(t) = ϕ(t+ ω, x0), t ∈ [t1 − ω, t2 − ω] = [t1 − ω, t1]

yra (5.13) sistemos sprendinys. Be to,

ϕ(t1 + ω, x0) = ϕ(t2, x0) = ϕ(t1, x0).

Remiantis vienaties teorema, sprendiniai x = ϕ(t + ω, x0) ir x = ϕ(t, x0) su-tampa, kai t ∈ [t1 − ω, t1]. Analogi²kai galima irodyti, kad sprendiniai x =ϕ(t − ω, x0) ir x = ϕ(t, x0) sutampa, kai t ∈ [t2, t2 + ω]. Taip samprotaudami

5.3. AUTONOMINIU SISTEMU TRAJEKTORIJOS 147

toliau gausime, kad sprendini x = ϕ(t, x0) galima prat¦sti i vis¡ realiu skai£iua²i R ir yra teisinga tapatybe

ϕ(t+ ω, x0) = ϕ(t, x0), ∀t ∈ R.

Taigi funkcija ϕ yra ω-periodine, o j¡ atitinkanti trajektorija yra uºdara. Kartuyra irodyta tokia teorema.

5.1 teorema. Autonomines sistemos trajektorijos gali buti tik tokiu trijuru²iu:

1. Pusiausvyros ta²kas.

2. Uºdara trajektorija. J¡ atitinka ω-periodinis sprendinys.

3. Nekertanti sav¦s trajektorija. J¡ atitinka neperiodinis sprendinys.

Nagrinejant (5.13) autonomin¦ sistem¡ svarbu ºinoti ar ji turi uºdaru tra-jektoriju. Kai n = 2 nurodysime dvi pakankamas s¡lygas garantuojan£ias, kad(5.13) sistema uºdaru trajektoriju neturi.

5.2 teorema. Tarkime, srityje Ω ⊂ R2 funkcija f tenkina kuri¡ nors vien¡i² ²iu s¡lygu:

1. Vektorinis laukas f yra potencialus srityje Ω.

2. Vektorinio lauko divergencija div f turi pastovu ºenkl¡ srityje Ω.

Tada (5.13) autonomine sistema srityje Ω neturi uºdaru trajektoriju.

/ Tarkime prie²ingai, (5.13) autonomine sistema srityje Ω turi uºdara trajek-torij¡ γ ⊂ Ω. Sriti, apribota kreive γ, paºymekime raide D. Jeigu yra patenkintapirmoji teoremos s¡lyga, tai f2x1 = f1x2 ir

0 =∫D

(f2x1(x)− f1x2(x)

)dx =

∫D

div f∗(x) dx =∫γ

(f∗(x),n(x)

)dl;

£ia n(x) yra vienetinis normales vektorius trajektorijai γ ta²ke x, i²orinis sritiesD atºvilgiu, o vektorius f∗ turi koordinates f∗1 = f2 ir f∗2 = −f1. Vektorius f∗

yra statmenas vektoriui f. Ta£iau vektorius f yra statmenas vektoriui n. Taigivektoriai f∗ ir n yra lygiagretus ir∫

γ

(f∗(x),n(x)

)dl 6= 0.

Gauta prie²tara irodo, kad (5.13) sistema negali tureti uºdaru trajektoriju srityjeΩ, jeigu yra patenkinta pirmoji teoremos s¡lyga.


Tarkime, yra patenkinta antroji teoremos s¡lyga. Tada

0 6=∫D

div f(x) dx =∫γ

(f(x),n(x)

)dl = 0,

nes vektoriai f ir n yra statmeni. Gauta prie²tara irodo, kad (5.13) sistemanegali tureti uºdaru trajektoriju srityje Ω, jeigu yra patenkinta antroji teoremoss¡lyga. .

P a v y z d y s . Tegu f(x) = Ax,A ∈ R2,2. Vektorinis laukas f(x) yra po-tencialus, jeigu matrica A yra simetrine. Vektorines funkcijos f divergencija yralygi matricos A pedsakui, t.y. div f(x) = SpA. Todel tiesine sistema

x = Ax

plok²tumoje R2 netures uºdaru trajektoriju, jeigu matrica A yra simetrine arbajos pedsakas SpA 6= 0.

5.4. AUTONOMIN ES SISTEMOS PLOKTUMOJE PUSIAUSVYROS TAKAI 149

5.4 AUTONOMINIU SISTEMU PLOKTUMOJEPUSIAUSVYROS TAKAI

Tegu Ω yra sritis plok²tumoje R2, f diferencijuojama srityje Ω vektorine funk-cija su komponentemis f1, f2. Nagrinesime autonomin¦ sistem¡

x = f(x), x ∈ Ω. (5.14)

I² teoremos apie trajektoriju i²tiesinim¡ i²plaukia, kad visos sistemos pakan-kamai maºoje paprastojo ta²ko aplinkoje yra difeomor²kai ekvivalen£ios. Tar-kime, x0 ∈ Ω yra (5.14) sistemos pusiausvyros ta²kas, t.y. f(x0) = 0. Be to, tegux0 = 0. Prie²ingu atveju koordina£iu pradºi¡ perkeliame i ta²k¡ x0. I²skleid¦funkcij¡ f Teiloro formule ta²ko x = 0 aplinkoje, (5.14) sistem¡ perra²ysimetaip:

x = Ax+ q(x), x ∈ Ω; (5.15)£ia A = fx(0) ∈ R2,2 pastovioji matrica su koecientais aij = ∂fi(0)/∂xj , q vektorine, tolydi ta²ko x = 0 aplinkoje funkcija, tenkinanti s¡lyg¡

|q(x)| → 0, kai |x| → 0. (5.16)

Atmet¦ (5.15) sistemoje nari q(x), gausime (5.15) sistemos pirm¡ji artini

x = Ax. (5.17)

Jeigu matricos A determinantas detA 6= 0 ir funkcija f tenkina auk²£iau su-formuluotas s¡lygas, tai koordina£iu pradºios ta²kas x = 0 yra izuoliotas (5.15)sistemos pusiausvyros ta²kas.

Tiesine sistema x = Ax su detA 6= 0 yra tiesi²kai ekvivalenti vienai i²de²imties kanoniniu sistemu (ºr. 4.5 skyreli). Ju faziniai portretai pavaizduoti4.14 paveikslelyje. Tiesines sistemas galima suskirstyti i keturias klases. Ipirm¡j¡ klas¦ patenka tokios sistemos, kuriu pusiausvyros ta²kas yra ºidinysarba mazgas1 ir kiekvienas trajektorijos ta²kas arteja i pusiausvyros ta²k¡, kait→ +∞. I antr¡j¡ visos sistemos, kuriu pusiausvyros ta²kas yra balno ta²kas.I tre£i¡j¡ visos sistemos, kuriu pusiausvyros ta²kas yra ºidinys, arba mazgasir kiekvienas trajektorijos ta²kas tolsta nuo pusiausvyros ta²ko, kai t → +∞.Ir i ketvirt¡j¡ visos sistemos, kuriu pusiausvyros ta²kas yra centro ta²kas.Netiesiniu sistemu pusiausvyros ta²kus taip pat patogu suskirstyti i klases pa-gal tai, kaip elgiasi sistemos trajektorijos ²io ta²ko aplinkoje.

A p i b r e º i m a s . Sakysime, pusiausvyros ta²kas x = 0 yra (5.15) siste-mos traukos ta²kas, jeigu egzistuoja toks skai£ius δ > 0, kad visi (5.15) sistemossprendiniai x = ϕ(t) yra apibreºti ∀t ≥ 0 arba ∀t ≤ 0 ir ϕ(t) → 0, kai t → ∞arba t→ −∞, jeigu tik |ϕ(0)| < δ. Traukos ta²k¡ vadinsime ºidinio ta²ku, jeiguvisos trajektorijos x = ϕ(t) 6≡ 0 yra spirales. idinio ta²k¡ vadinsime taisyk-lingu ºidinio ta²ku2, jeigu kiekvienai trajektorijai, artejan£iai prie koordina£iu

1Sakydami mazgo ta²kas £ia turime omenyje arba taisykling¡ mazg¡, arba paprast¡ mazg¡,arba i²sigimusi mazg¡.

2Tiesin¦ sistem¡

x1 = αx1 + βx2, x2 = −βx1 + αx2, α 6= 0, β 6= 0


pradºios, kai t→ +∞ (arba t→ −∞), rei²kinys t−1|x(t)| arteja prie tam tikroskonstantos c ir atvirk²£iai, bet kuriai konstantai c egzistuoja toks netiesines sis-temos sprendinys x = x(t), kad t−1|x(t)| → c, kai t → +∞ (arba t → −∞).Traukos ta²k¡ vadinsime mazgo ta²ku, jeigu visos trajektorijos x = ϕ(t) 6≡ 0turi liestin¦ ta²ke x = 0, t.y. egzistuoja riba

limt→∞

arctg ϕ2(t)ϕ1(t) = θ0; (arba t→ −∞)

£ia θ0 ∈ (−∞,∞). Mazgo ta²k¡ vadinsime taisyklingu mazgu, jeigu kiekvienamθ0( mod 2π) egzistuoja toks vienintelis sprendinys x = ϕ(t), kad

limt→∞

arctg ϕ2(t)ϕ1(t) = θ0. (arba t→ −∞)

Prie²ingu atveju mazgo ta²k¡ vadinsime netaisyklingu mazgu.A p i b r e º i m a s . Pusiausvyros ta²k¡ x = 0 vadinsime (5.15) sistemos

sukimosi ta²ku, jeigu kiekvienoje jo aplinkoje yra uºdara trajektorija, supanti ²ita²k¡. Sukimosi ta²k¡ vadinsime centro ta²ku, jeigu kiekviena tokia trajektorija,i²skyrus x = 0, yra uºdara.

Egzistuoja pusiausvyros ta²kai, kurie nera nei traukos ta²kai, nei sukimosita²kai ir traukos ta²kai, kurie nera nei ºidiniai, nei mazgai. Pavyzdºiui, balnota²kas nera nei traukos ta²kas, nei sukimosi ta²kas. Ji galima apibreºti kaippusiausvyros ta²k¡ i kuri arteja tik baigtinis skai£ius trajektoriju, kai t → ∞arba t→ −∞.

Tiesinei sistemai x = Ax, detA 6= 0, pusiausvyros ta²kas x = 0 yra traukosta²kas tada ir tik tada, kai matricos A tikriniu reik²miu realiosios dalys yra abiteigiamos arba abi neigiamos. Pusiausvyros ta²kas x = 0 yra sukimosi ta²kas(centras) tada ir tik tada, kai matricos A tikriniu reik²miu realiosios dalys lygiosnuliui. Netiesinei sistemai yra teisingas toks teiginys.

5.3 teorema. Jeigu koordina£iu pradºios ta²kas x = 0 yra (5.17) tiesinessistemos traukos ta²kas, tai jis yra (5.15) netiesines sistemos traukos ta²kas.

Pasirodo, kad analogi²kas teiginys yra teisingas ir tuo atveju, kai traukosta²kas yra ºidinys. Tiksliau yra teisinga tokia teorema.

5.4 teorema. Jeigu koordina£iu pradºios ta²kas x = 0 yra (5.17) tiesinessistemos ºidinio ta²kas, tai jis yra (5.15) netiesines sistemos ºidinio ta²kas.

/ Ta²kas x = 0 yra (5.17) tiesines sistemos ºidinio ta²kas, kai matricos Atikrines reik²mes λ1,2 = α± iβ yra kompleksines ir α 6= 0. Tarkime, matrica Aturi kanonini pavidal¡, t.y.

A =(

α β−β α

)polinese koordinatese x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ galima perra²yti taip: r = αr, ϕ = −β.I²sprend¦ j¡ gausime, r(t) = c1eαt, ϕ(t) = −βt + c2. Jeigu α < 0 ir β < 0, tai r(t) →0, ϕ(t) → +∞, kai t → +∞. Be to, β

αln r(t) + ϕ(t) = c, su tam tikra konstanta c. Ir

atvirk²£iai, bet kokiai konstantai c egzistuoja toks nagrinejamos tiesines sistemos sprendinys,kad β

αln r(t) + ϕ(t) = c.


(prie²ingu atveju, nei²sigimusios tiesines transformacijos pagalba, suvedame j¡i kanonini pavidal¡). Tada (5.15) sistem¡ galima uºra²yti taip:

x1 = αx1 + βx2 + f1(x),x2 = −βx1 + αx2 + f2(x)

(5.18)

arba polinese koordinatese x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ,r = αr + o(r),rϕ = −βr + o(r).

Jeigu α < 0, tai i² pirmosios lygties gauname, kad r → 0, t→ +∞. Todel

ϕ = −βt+ o(1),

kai t → +∞. Kartu galime tvirtinti, kad kiekviena (5.18) netiesines sistemostrajektorijai, prasidedan£iai pakankamai arti koordina£iu pradºios,

ϕ(t) = −βt+ o(t),

kai t → +∞. I² £ia i²plaukia, kad ϕ(t) → ±∞, kai t → +∞. £ia imame vien¡i² ºenklu ±, priklausomai nuo to, koks yra β ºenklas. Ta£iau tai rei²kia, kadbet kuri trajektorija, esanti pakankamai arti koordina£iu pradºios ir nesantipusiausvyros ta²ku r = 0, yra spirale. .

ioje teoremoje ºidinio ta²k¡ pakeisti i mazgo ta²k¡ negalima. Pavyzdºiui,netiesine sistema

x1 = −x1 −x2

ln |x| , x2 = −x2 + x1

ln |x|

tenkina visas skyrelio pradºioje suformuluotas s¡lygas. Polinese koordinatesex1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ j¡ galima uºra²yti taip:

r = −r, ϕ = 1/ ln r, r 6= 0.

I²sprend¦ pirm¡j¡ lygti, gausime

r(t) = c1e−t, c1 > 0.

Taigi, kai t→ +∞, r → 0 ir

ϕ = 1/(ln c1 − t).

ios lygties sprendinys

ϕ(t) = − ln(t− ln c1) + c2 → −∞,

kai t → +∞. Todel koordina£iu pradºios ta²kas r = 0 yra netiesines sistemosºidinio ta²kas. Ta£iau j¡ atitinkan£iai tiesinei sistemai

x1 = −x1, x2 = −x2,


koordina£iu pradºios ta²kas yra taisyklingas mazgo ta²kas.Tiesines sistemos ºidinio ta²kas (kartu jis yra ir taisyklingas ºidinio ta²kas)

nebutinai yra netiesines sistemos taisyklingas ºidinio ta²kas. Pavyzdºiui, netie-sine sistema

x1 = −x1 + x1

ln |x| , x2 = −x2 + x2

ln |x|tenkina skyrelio pradºioje suformuluotas s¡lygas. Polinese koordinatese x1 =r cosϕ, x2 = r sinϕ j¡ galima uºra²yti taip:

r = −r + r

ln r , ϕ = −1.

I²sprend¦ pirm¡j¡ lygti, gausime

r(t)(1− ln r(t)) = ce−t.

Kadangi r(t) → 0, kai t → +∞, tai r(t)et → 0, kai t → +∞ ir nagrinejamosnetiesines sistemos pusiausvyros ta²kas yra netaisyklingas ºidinio ta²kas.

I² pateiktu pavyzdºiu matome, kad nurodytu skyrelio pradºioje glodumos¡lygu funkcijai q nepakanka, kad tiesines sistemos taisyklingas ºidinio (maz-go) ta²kas butu j¡ atitinkan£ios netiesines sistemos taisyklingu ºidinio (mazgo)ta²ku. Tarkime, ψ yra tolydi funkcija intervale [0, a], tenkinanti s¡lygas:

|q(x)| ≤ ψ(|x|); ψ(r) = o(r), kai r → 0;a∫

0

ψ(r)r2 dr <∞. (5.19)

Tada yra teisinga tokia teorema.

5.5 teorema. Jeigu funkcija q tenkina (5.19) s¡lygas ir koordina£iu pradºiosta²kas yra (5.17) tiesines sistemos ºidinio ta²kas (taisyklingas mazgo ta²kas),tai jis yra ir netiesines sistemos taisyklingas ºidinio ta²kas (taisyklingas mazgota²kas).

P a s t a b a . Jeigu funkcija q tenkina s¡lyg¡

q(x) = O(|x|1+ε),

kai |x| → 0, tai ji tenkina ir (5.19) s¡lygas. Kartu tokiai funkcijai yra teisingapastaroji teorema.

Tarkime toliau, kad koordina£iu pradºios ta²kas yra (5.15) tiesines sistemoscentro ta²kas. I² pradºiu i²nagrinesime kelis pavyzdºius.

1. Netiesine sistema

x1 = −x2 − x1|x|, x2 = x1 − x2|x|

tenkina skyrelio pradºioje suformuluotas s¡lygas. Polinese koordinatese x1 =r cosϕ, x2 = r sinϕ j¡ galima uºra²yti taip:

r = −r2, ϕ = 1.


I²sprend¦ ²i¡ sistem¡, gausime, kad trajektorija, laiko momentu t = 0 einantiper ta²k¡ (r0, t0), r0 6= 0, apibreºiama formule

r(t) = (t+ r−10 )−1, ϕ(t) = t+ ϕ0.

Todel r(t) → 0, kai t → +∞. Taigi koordina£iu pradºios ta²kas yra netiesinessistemos ºidinio ta²kas. Ta£iau j¡ atitinkan£iai tiesinei sistemai

x1 = −x2, x2 = x1

koordina£iu pradºios ta²kas yra centro ta²kas.2. Netiesine sistema

x1 = −x2 + x1|x|2 sin(π/|x|), x2 = x1 + x2|x|2 sin(π/|x|)

tenkina skyrelio pradºioje suformuluotas s¡lygas. Be to, ²ios sistemos de²inespuses turi tolydºias dalines i²vestines. Todel tokia sistema tenkina vienatiesteoremos s¡lygas, t.y. ∀x0 ∈ R2, x0 6= 0, egzistuoja vienintelis sprendinys,tenkinantis s¡lyg¡ x(0) = x0.

Polinese koordinatese x1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ j¡ galima uºra²yti taip:

r = r3 sin(π/r), ϕ = 1.

I² pirmos lygties gauname, kad apskritimai r(t) = 1/k, k = 1, 2, . . . yra uºdaros²ios sistemos trajektorijos. Be to,

r > 0, kai r > 1, arba 12k + 1 < r <

12k ,

r < 0, kai 12k < r <

12k − 1 ,

∀k = 1, 2, . . . Taigi visos trajektorijos, i²skyrus apskritimus r(t) = 1/k, nerauºdaros ir nekerta ²iu apskritimu. Funkcijos r ir ϕ, apibreºian£ios neuºdarastrajektorijas, yra monotonines. Todel jos vyniojasi apie apskritimus r(t) = 1/k,kai t → +∞ (arba t → −∞) ir r(t) → +∞, kai t → +∞, jeigu r > 1. Todelkoordina£iu pradºios ta²kas yra sukimosi ta²kas.

Taigi, jeigu koordina£iu pradºios ta²kas tiesinei sistemai yra sukimosi (cen-tro) ta²kas, tai netiesinei sistemai jis yra ºidinys arba sukimosi ta²kas. Pasirodo,kad kitokiu atveju buti negali. Tiksliau yra teisinga tokia teorema.

5.6 teorema. Tarkime, koordina£iu pradºios ta²kas yra (5.17) tiesines siste-mos sukimosi (centro) ta²kas. Tada jis yra netiesines sistemos sukimosi ta²kasarba ºidinys.

Tarkime, koordina£iu pradºios ta²kas yra (5.17) tiesines sistemos netaisyk-lingas mazgo ta²kas. Be to, tegu ²i sistema turi kanonini pavidal¡, t.y.

A =(λ1 00 λ2

)ir λ2 < λ1 < 0. Tada yra teisinga tokia teorema.


5.7 teorema. 1. Kiekviena (5.15) netiesines sistemos trajektorija, einan-ti pakankamai arti koordina£iu pradºios, arteja prie koordina£iu pradºioskampu ϕ = 0, π/2, π, arba 3π/2. Be to, egzistuoja be galo daug trajekto-riju, artejan£iu i koordina£iu pradºi¡ kampu ϕ = 0 ir π.

2. Egzistuoja bent viena trajektorija, artejanti i koordina£iu pradºi¡ kampuϕ = π/2 ir kampu ϕ = 3π/2.

3. Jeigu dalines i²vestines q1x1 ir g2x1 egzistuoja ir yra tolydºios kokioje norskoordina£iu pradºios ta²ko aplinkoje, tai egzistuoja lygiai po vien¡ trajek-torij¡, artejan£i¡ i koordina£iu pradºi¡ kampu ϕ = π/2 ir ϕ = 3π/2.

Tarkime, koordina£iu pradºios ta²kas yra (5.17) tiesines sistemos balno ta²-kas. Be to, tegu ²i sistema turi kanonini pavidal¡, t.y. matrica

A =(λ1 00 λ2

)ir λ1 < λ2. Tada yra teisinga tokia teorema.

5.8 teorema. Egzistuoja bent po vien¡ (5.15) netiesines sistemos trajekto-rij¡, artejan£i¡ i koordina£iu pradºi¡ kampu ϕ = 0 ir kampu ϕ = π. Be to, jeigudalines i²vestines q1x2 ir q2x2 egzistuoja ir yra tolydºios kokioje nors koordina£iupradºios ta²ko aplinkoje, tai egzistuoja lygiai po vien¡ trajektorij¡, artejan£i¡i koordina£iu pradºi¡ kampu ϕ = 0 ir ϕ = π. Visos kitos pakankamai artimosjoms trajektorijos tolsta nuo ju, kai t→ +∞.

iu teoremu irodym¡ galima rasti [5] knygoje.P a s t a b a . Jeigu (5.15) sistemoje matricos A determinantas lygus nuliui,

tai irodytais teiginiais pasinaudoti negalima. Pavyzdºiui, netiesine sistema

x1 = x2, x2 = x21

turi vieninteli pusiausvyros ta²k¡ x1 = 0, x2 = 0, o jos pirmasis artinys

x1 = x2, x2 = 0

turi vis¡ ties¦ pusiausvyros ta²ku x2 = 0.A p i b r e º i m a s . Uºdar¡ trajektorij¡ γ vadinsime ribiniu ciklu, jeigu

kiek norima maºoje jos aplinkoje nera kitu uºdaru trajektoriju.Atkreipsime demesi i tai, kad ne bet kokia uºdara trajektorija yra ribinis

ciklas ir ne visi ribiniai ciklai elgiasi vienodai. I²skirsime tris skirtingas ribiniuciklu klases:

1. Ribini cikl¡ γ vadinsime stabiliu, jeigu visos pakankamai artimos jam tra-jektorijos viniojasi apie γ i² abieju pusiu.

2. Ribini cikl¡ γ vadinsime nestabiliu, jeigu visos pakankamai artimos jamtrajektorijos nusivynioja nuo γ i² abieju pusiu.


3. Ribini cikl¡ γ vadinsime pusiaustabiliu, jeigu visos pakankamai artimosjam trajektorijos i² vienos puses γ nusivynioja nuo jo, o i² kitos puses j¡apsivynioja.

P a v y z d y s . Nagrinesime netiesin¦ autonomin¦ sistem¡x1 = µx1 − x2 − x1 · |x|2,x2 = x1 + µx2 − x2 · |x|2,

µ ∈ (−∞,∞).

Polinese koordinatesex1 = r cosϕ, x2 = r sinϕ

²i¡ sistem¡ galima perra²yti taip:r = r(µ− r2),ϕ = 1.

Kiekvienai parametro µ ∈ (−∞,∞) reik²mei pastaroji sistema turi sprendini

r = 0, ϕ = t+ c.

Kai µ = 0, turime sprendini12r−2 = t+ c.

Kai µ 6= 0, ²ios sistemos sprendinys apibreºiamas formule

1µ

ln r√|r2 − µ|

= t+ c.

Be to, kai µ > 0, sistema turi dar vien¡ sprendini

r = √µ.

Bet kuriai parametro µ reik²mei koordina£iu pradºios ta²kas yra nagrineja-mos sistemos pusiausvyros ta²kas.

Tegu µ ≤ 0. Tada r < 0, kai r 6= 0 ir r = 0, kai r = 0. iuo atveju visostrajektorijos, i²skyrus koordina£iu pradºios ta²k¡, yra spirales ir kiekviena i² juvyniojasi apie koordina£iu pradºi¡, kai t→ +∞.

Tegu µ > 0. Tada r > 0, kai r ∈ (0,√µ) ir r < 0, kai r > µ. Todelkoordina£iu pradºios ta²kas yra nestabilus ºidinys bet kuriai kitai trajektorijai,esan£iai skritulyje r <

√µ. Be to, visos ²ios trajektorijos vyniojasi apie ap-

skritim¡ r = √µ, kai t → +∞. Todel ²is apskritimas yra stabilus ribinis ciklasbet kuriai trajektorijai i²skyrus pusiausvyros ta²k¡ r = 0.

Nagrinejant realius uºdavinius svarbiausios yra tos ribines aibes ta²ku, ku-rios pritraukia trajektorijas, t.y. tokios aibes, kai bet kuri trajektorija, esantitam tikroje traukos srityje, didejant t arteja prie ribines aibes. Tokios aibesvadinamos atraktoriais. Atraktoriais gali buti pusiausvyros ta²kai arba ribiniaiciklai.


P a s t a b a . Kai n ≥ 3 autonominiu sistemu ribiniu aibiu struktura ikigalo dar nera i²tirta. Netgi nera i²tirti visi galimi atraktoriai. Yra ºinoma,kad be iprastu atraktoriu, tokiu kaip pusiausvyros ta²kai, ribiniai ciklai arbak-ma£iai torai, egzistuoja dar taip vadinami keisti atraktoriai. Tai yra apreºtos,pritraukian£ios ribines aibes, sudetingos strukturos. Fazines trajektorijos £iayra begalines, niekur nesikertan£ios, trajektorijos. Be to, kai t→ +∞ ²ios tra-jektorijos nepalieka tam tikros uºdaros srities ir nearteja prie iprastu atraktoriu.Keisti atraktoriai i² esmes skiriasi nuo iprastu. Kai n ≤ 2, keisti atrakto-riai neegzistuoja. Netiesiniu svyravimu teorijoje toki iprast¡ atraktoriu kaipribini cikl¡ atitinka periodinis svyravimas, o keist¡ atraktoriu atitinka chaotiniaiauto svyravimai. Ju apra²ymui naudojami terminai "determinuotas chaosas,""stochastine dinamika" ir t.t.

6 SKYRIUS

Daliniu i²vestiniu lygtys

6.1 TIESINIU ANTROS EIL ES LYGIU SU DVIEMNEPRIKLAUSOMAIS KINTAMAISIAISSUVEDIMAS I KANONINI PAVIDAL

Tiesin¦ antros eiles lygti

a(x, y)uxy + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + . . . = 0 (6.1)

su dviem nepriklausomais kintamaisiais ta²ko (x0, y0) aplinkoje galima suvestii kanonini pavidal¡. Tarkime, funkcijos a, b ir c ir ju pirmosios eiles dalinesi²vestines yra tolydºios kurioje nors ta²ko (x0, y0) aplinkoje U .

I² koecientu prie antros eiles i²vestiniu sudarykime kvadratin¦ form¡

Λ(x, y, ξ, η) = a(x, y)ξ2 + 2b(x, y)ξη + c(x, y)η2. (6.2)

Kiekviename ksuotame aplinkos U ta²ke (x, y) ²i¡ form¡ galima suvesti i ka-nonini pavidal¡. I² tiesines algebros kurso yra ºinoma, kad (6.2) kvadratinesformos, suvestos i kvadratu sum¡, teigiamu, neigiamu ir lygiu nuliui koecientuskai£ius lygus atitinkamai teigiamu, neigiamu ir lygiu nuliui charakteristiniopolinomo ∣∣∣∣a(x, y)− λ b(x, y)

b(x, y) c(x, y)− λ

∣∣∣∣ = 0

²aknu skai£iui. Jeigu charakteristinio polinomo ²aknis paºymesime λ1(x, y) irλ2(x, y), tai ju sandauga

λ1(x, y)λ2(x, y) = a(x, y)c(x, y)− b2(x, y). (6.3)

Galimi tokie atvejai:

1. aknys λ1, λ2 yra vienodu ºenklu ir nelygios nuliui. Taip bus tada ir tiktada, kai

b2 − ac < 0. (6.4)

iuo atveju (6.1) lygtis yra vadinama elipsine lygtimi

2. aknys λ1, λ2 turi skirtingus ºenklus ir nelygios nuliui. Taip bus tada irtik tada, kai

b2 − ac > 0. (6.5)

iuo atveju (6.1) lygtis yra vadinama hiperboline lygtimi.

158 6. DALINIU IVESTINIU LYGTYS

3. Kuri nors i² ²aknu λ1, λ2 lygi nuliui. Taip bus tada ir tik tada, kai

b2 − ac = 0. (6.6)

iuo atveju (6.1) lygtis yra vadinama paraboline lygtimi.

P a s t a b a . aknys λ1, λ2 vienu metu negali buti lygios nuliui. Jeigu abi²aknys yra lygios nuliui, tai lengvai galima isitikinti, kad koecientai a, b ir ctaip pat yra lygus nuliui. O tai prie²tarauja tam, kad (6.1) lygtis yra antroseiles lygtis.

Vietoje kintamuju x, y apibre²ime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y), η = η(x, y).

Tarkime, funkcijos ξ ir η aplinkoje U yra dukart diferencijuojamos, o jakobianas∣∣∣∣ξx ξyηx ηy

∣∣∣∣ 6= 0.

Tada funkcijos u i²vestines

ux = uξξx + uηηx, uy = uξξy + uηηy,

uxx = uξξξ2x + 2uξηξxηx + uηηη

2x + uξξxx + uηηxx,

uyy = uξξξ2y + 2uξηξyηy + uηηη

2y + uξξyy + uηηyy,

uxy = uξξξxξy + uξη(ξxηy + ξyηx) + uηηηxηy + uξξxy + uηηxy.

Pasinaudoj¦ ²iomis formulemis, (6.1) lygti perra²ysime taip:

A(ξ, η)uξξ + 2B(ξ, η)uξη + C(ξ, η)uηη + . . . = 0; (6.7)

£ia koecientaiA(ξ, η) = aξ2

x + 2bξxξy + cξ2y ,

C(ξ, η) = aη2x + 2bηxηy + cη2

y,

B(ξ, η) = aξxηx + b(ξxηy + ξyηx) + cξyηy.

Tiesiogiai galima irodyti, kad

B2 −AC = (b2 − ac)∣∣∣∣ξx ξyηx ηy

∣∣∣∣2 . (6.8)

i lygybe (dvima£iu atveju) parodo, kad nei²sigimusi transformacija lygties tiponekei£ia.

Funkcijas ξ ir η parinksime taip, kad (6.7) lygtis igytu papras£iausi¡ pavidal¡.Taip bus tada ir tik tada, kai dalis (6.7) lygties koecientu prie antros eilesi²vestiniu bus lygi nuliui. Prilygin¦ nuliui koecient¡ A, gausime lygti

aξ2x + 2bξxξy + cξ2

y = 0. (6.9)

6.1 DVIEJU NEPRIKLAUSOMU KINTAMUJU ATVEJIS 159

i¡ lygti atitinka charakteristiku lygtis

ay′2 − 2by′ + c = 0. (6.10)

I²nagrinesime tris galimus atvejus:1. Tegu (6.1) lygtis yra hiperboline. Tada charakteristine lygtis turi du

skirtingus integralus

ϕ(x, y) = const, ψ(x, y) = const.

Pagal prielaid¡ funkcijos a, b ir c yra tolydºiai diferencijuojamos ta²ko (x0, y0)aplinkoje U . I² bendrosios paprastu diferencialiniu lyg£iu teorijos yra ºinoma,kad funkcijos ϕ ir ψ yra dukart diferencijuojamos aplinkoje U (aplinka U i²anksto paimta pakankamai maºa). Todel naujus nepriklausomus kintamuosiusξ ir η galima apibreºti taip:

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Atlikus toki¡ transformacij¡ (6.7) lygtyje, koecientai A ir C bus lygus nuliui.Be to, lengvai galima isitikinti, kad tokios transformacijos jakobianas yra nelygusnuliui. Remiantis (6.8) formule galima tvirtinti, kad koecientas B 6= 0. Padalij¦(6.7) lygti i² 2B, suvesime j¡ i antr¡ji kanonini pavidal¡

uξη + . . . = 0. (6.11)

Keitiniuξ = ξ + η, η = ξ − η

(6.11) lygtis susiveda i pirm¡ji kanonini pavidal¡

uξ ξ − uη η + . . . = 0. (6.12)

P a s t a b a . Lygti, kuri¡ galima suvesti i (6.11) pavidal¡, kartais pasisekasuintegruoti, t.y. rasti formul¦, apibreºian£i¡ visus lygties sprendinius.

P a v y z d y s . Rasti lygties

uxx − uyy = 0

bendr¡ji sprendini. Tai yra hiperboline lygtis. Ji yra pirmojo kanoninio pavi-dalo. Keitiniu

ξ = x+ y, η = x− y²i lygtis susiveda i lygti

uξη = 0,kuri yra antrojo kanoninio pavidalo. Tegu uξ = v. Tada

vη = 0.

ios lygties bendrasis integralas yra v = f(ξ), f bet kokia diferencijuojamafunkcija. Integruodami lygti

uξ = f(ξ),


gausime

u =∫f(ξ) dξ + ψ(η) = ϕ(ξ) + ψ(η);

£ia ϕ ir ψ bet kokios dukart diferencijuojamos funkcijos. Griº¦ prie senukintamuju x ir y, gausime nagrinejamosios lygties bendr¡ sprendini:

u(x, y) = ϕ(x+ y) + ψ(x− y).

2. Tarkime, aplinkoje U rei²kinys

b2 − ac = 0. (6.13)

iuo atveju (6.1) lygtis yra paraboline, o charakteristine lygtis turi vien¡ bendr¡integral¡

ϕ(x, y) = const.I² bendrosios diferencialiniu lyg£iu teorijos yra ºinoma, kad funkcija ϕ aplin-koje U yra dukart tolydºiai diferencijuojama. Laisvai parinkime koki¡ norsdiferencijuojam¡ aplinkoje U funkcij¡ ψ toki¡, kad jakobianas∣∣∣∣ϕx ϕy

ψx ψy

∣∣∣∣ 6= 0 (6.14)

(jeigu ϕy 6= 0, tai galima imti ψ(x, y) = x).Vietoje kintamuju x ir y apibreºkime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Kadangi funkcija ϕ tenkina (6.9) lygti, tai (6.7) lygtyje koecientas A = 0. I²(6.8) formules, (6.13) s¡lygos i²plaukia, kad koecientas B = 0. Irodysime, kadkoecientas C 6= 0. Jeigu koecientas C butu lygus nuliui, tai (6.7) lygtis butupirmosios eiles lygtis. Perej¦ joje nuo kintamuju ξ ir η prie senu kintamuju x ir y,gausime (6.1) lygti, kuri yra antros eiles lygtis. Ta£iau padarius nepriklausomukintamuju transformacij¡, lygties eile nepadideja. Gauta prie²tara rodo, kadC 6= 0. Todel, padalij¦ (6.7) lygti i² C, suvesime j¡ i kanonini pavidal¡

uηη + . . . = 0. (6.15)

P a s t a b a . Atkreipsime demesi i tai, kad pastarosios lygties nariai, pa-ºymeti daugta²kiu, turi priklausyti nuo uξ. Prie²ingu atveju i ²i¡ lygti gal-ima ºiureti kaip i paprast¡ diferencialin¦ lygti, kurios kintamasis ξ yra laisvasisparametras.

3. Tarkime, aplinkoje U rei²kinys

b2 − ac < 0. (6.16)

iuo atveju (6.1) lygtis yra elipsine, o charakteristine lygtis turi du kompleksi²kaijungtinius bendrus integralus. Tegu

p(x, y) = ϕ(x, y) + iψ(x, y);

6.1 DVIEJU NEPRIKLAUSOMU KINTAMUJU ATVEJIS 161

£ia: ϕ realioji, o ψ menamoji funkcijos p dalys. Vietoje kintamuju x ir ygalima ivesti naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = ξ(x, y) = ϕ(x, y), η = η(x, y) = ψ(x, y).

Atlikus toki¡ transformacij¡, (6.7) lygties koecientas B bus lygus nuliui, o koe-cientai A ir C sutaps. Norint tuo isitikinti, reikia atskirti reali¡j¡ ir menam¡j¡lygties

ap2x + 2bpxpy + cp2

y = 0

dalis ir pastebeti, kad

A = C = 1a

(ac− b2)(ϕ2y + ψ2

y) 6= 0.

Taigi padalij¦ (6.7) lygti i² bendros koecientu A ir C reik²mes, suvesime j¡ ikanonini pavidal¡

uξξ + uηη + . . . = 0. (6.17)


6.2 PAGRINDINIAI UDAVINIAI

Daugelis zikos ir mechanikos uºdaviniu apra²omi antros eiles lygtimis. Pa-pras£iausios i² ju yra:

1. Puasono (elipsine) lygtis∆u = −f(x)

arba, kai f = 0, Laplaso lygtis

∆u = 0;

£ia: x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, ∆u =n∑i=1

uxixi. ios lygtys apra²o ivairius

stacionariuosius procesus ir pusiausvyros uºdavinius.

2. ilumos laidumo (paraboline) lygtis

ut − a2∆u = f(x, t),

apra²anti ivairius ²iluminius procesus izotropiniame vienaly£iame kune.

3. Bangavimo (hiperboline) lygtis

utt − a2∆u = f(x, t),

apra²anti garso, elektromagnetiniu bangu, hidrodinamikos, stygos ir mem-branos svyravimu procesus.

ios lygtys yra geriausiai i²nagrinetos, ir su jomis daºniausiai tenka susidurtispendºiant praktinius uºdavinius. Suformuluosime ²ioms lygtims tris pagrin-dinius uºdaviniu tipus.

1. K o ² i u º d a v i n y s formuluojamas ²ilumos laidumo arba bangavimolygtims. ilumos laidumo lygties atveju reikia rasti funkcij¡ u, kuri ∀x ∈ Rn, t >0 tenkintu lygti

ut − a2∆u = f(x, t)

ir ∀x ∈ Rn pradin¦ s¡lyg¡u∣∣t=0 = ϕ(x).

Bangavimo lygties atveju Ko²i uºdavinys formuluojamas taip: rasti funkcij¡ u,kuri ∀x ∈ Rn, t > 0 tenkintu lygti

utt − a2∆u = f(x, t)

ir ∀x ∈ Rn pradines s¡lygas

u∣∣t=0 = ϕ(x), ut

∣∣t=0 = ψ(x).

Kra²tiniu s¡lygu ²iuose uºdaviniuose nera.

6.2. PAGRINDINIAI UDAVINIAI 163

2. K r a ² t i n i s u º d a v i n y s formuluojamas Puasono arba Laplasolygtims. Abiem atvejais reikia rasti funkcij¡ u, kuri srityje Ω ⊂ Rn tenkintuPuasono (Laplaso) lygti

∆u = −f(x) (∆u = 0),

ir pavir²iaus S = ∂Ω ta²kuose vien¡ i² kra²tiniu s¡lygu:

u∣∣S

= ϕ(x) pirmoji kra²tine s¡lyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

= ψ(x) antroji kra²tine s¡lyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

+ σu∣∣∣S

= µ(x) tre£ioji kra²tine s¡lyga;

£ia ∂u/∂n funkcijos u i²vestine i²orines normales kryptimi. Pradiniu s¡lygunera.

Jeigu Laplaso lygtis nagrinejama kartu su pirm¡ja kra²tine s¡lyga, tai toksuºdavinys vadinamas pirmuoju, arba Dirichle, uºdaviniu, jeigu su antr¡ja antruoju, arba Noimano, uºdaviniu, o jeigu su tre£i¡ja tre£iuoju kra²tiniuuºdavinu.

3. M i ² r u s i s u º d a v i n i s formuluojamas ²ilumos laidumo arba ban-gavimo lygtims. Reikia rasti funkcij¡ u, kuri cilindre QT = Ω× (0, T ), Ω ⊂ Rntenkintu ²ilumos laidumo

ut − a2∆u = f(x, t)

arba bangavimoutt − a2∆u = f(x, t)

lygti, atitinkamas pradines s¡lygas (ºr. Ko²i uºdavini) ir vien¡ i² kra²tinius¡lygu:

u∣∣S

= ϕ(x, t) pirmoji kra²tine s¡lyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

= ψ(x, t) antroji kra²tine s¡lyga,

∂u

∂n

∣∣∣S

+ σu∣∣∣S

= µ(x, t) tre£ioji kra²tine s¡lyga.


6.3 CHARAKTERISTIKU METODAS

Ie²kosime vienmates bangavimo lygties

utt − a2uxx = f(x, t), x ∈ R, t > 0, (6.18)

sprendinio, tenkinan£io pradines s¡lygas:

u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R; (6.19)

£ia f, ϕ, ψ ºinomos funkcijos.Bangavimo lygti atitinka charakteristiku lygtis x′2 − a2 = 0. Integruodami

j¡, randame dvi charakteristiku klases:

x− at = const, x+ at = const. (6.20)

Kadangi (6.18), (6.19) Ko²i uºdavinys yra tiesinis, tai ji patogu i²skaidyti i dupaprastesnius Ko²i uºdavinius:

utt − a2uxx = 0, u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x) (6.21)

irutt − a2uxx = f(x, t), u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0. (6.22)

I² pradºiu rasime (6.21) Ko²i uºdavinio sprendini. Tuo tikslu vietoje kinta-muju x ir t apibre²ime naujus nepriklausomus kintamuosius

ξ = x− at, η = x+ at.

Tada homogenine bangavimo lygtis virs lygtimi

uξη = 0.

Jos bendrasis sprendinysu = c1(ξ) + c2(η);

£ia c1 ir c2 bet kokios dukart diferencijuojamos funkcijos. Istat¦ i ²it¡ formul¦vietoje kintamuju ξ ir η ju i²rai²kas kintamaisiais x ir t, gausime homogeninesbangavimo lygties bendr¡ji sprendini

u = c1(x− at) + c2(x+ at). (6.23)

Funkcijas c1 ir c2 parinksime taip, kad funkcija u tenkintu (6.19) pradines s¡ly-gas, t.y. pareikalausime, kad funkcijos c1 ir c2 tenkintu lyg£iu sistem¡

c1(x) + c2(x) = ϕ(x),

−ac′1(x) + ac′2(x) = ψ(x).

6.3 CHARAKTERISTIKU METODAS 165

Suintegrav¦ antr¡j¡ lygti, gausime dvieju lyg£iu su dviem neºinomomis funkci-jomis sistem¡. ios sistemos sprendiniai

c1(x) = 12ϕ(x)− 1

2a

x∫0

ψ(τ) dτ − c2a,

c2(x) = 12ϕ(x) + 1

2a

x∫0

ψ(τ) dτ + c2a ;

£ia c laisvoji konstanta. Pirmoje formuleje argument¡ x pakeiskime x− at, oantroje formuleje x+ at. Istat¦ gautas funkciju c1, c2 i²rai²kas i (6.23) formul¦,gausime (6.21) Ko²i uºdavinio sprendini

u(x, t) = 12(ϕ(x− at) + ϕ(x+ at)

)+ 1

2a

x+at∫x−at

ψ(τ) dτ. (6.24)

Pastaroji formule vadinama Dalambero formule.Tarkime, funkcija ψ yra diferencijuojama, o funkcija ϕ dukart diferencijuo-

jama. Tada funkcija u, apibreºta (6.24) formule, yra dukart diferencijuojama,tenkina homogenin¦ bangavimo lygti ir (6.19) pradines s¡lygas. Be to, jeigu²itos s¡lygos yra patenkintos, tai i² (6.24) formules i²plaukia, kad (6.21) Ko²iuºdavinio sprendinys yra vienintelis.

P a s t a b a . Jeigu (6.21) Ko²i uºdavinio sprendinys nagrinejamas tik tri-kampyje, apribotame tiesemis

x− at = const, x+ at = const, t = 0,

tai (6.19) pradines s¡lygas pakanka apibreºti tik ²io trikampio pagrinde (ºr. 6.2pav.).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...............................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x− at = cx+ at = ct

x

6.2 pav.

Rasime (6.22) Ko²i uºdavinio sprendini. Tuo tikslu kiekvienam τ > 0 su-darome pagalbini uºdavini:

vtt − a2vxx = 0, x ∈ R, t > τ, (6.25)

v|t=τ = 0, vt|t=τ = f(x, τ). (6.26)


Jeigu funkcija f yra diferencijuojama, tai pagal Dalambero formul¦ (6.25), (6.26)Ko²i uºdavinio sprendinys

v(x, t, τ) = 12a

x+a(t−τ)∫x−a(t−τ)

f(y, τ) dy.

Parodysime, kad funkcija

u(x, t) =t∫

0

v(x, t, τ) dτ (6.27)

yra (6.22) Ko²i uºdavinio sprendinys. Kadangi funkcija v yra (6.25), (6.26) Ko²iuºdavinio sprendinys, tai

ut = v(x, t, t) +t∫

0

vt(x, t, τ) dτ =t∫

0

vt(x, t, τ) dτ,

utt = vt(x, t, t) +t∫

0

vtt(x, t, τ) dτ = f(x, t) +t∫

0

vtt(x, t, τ) dτ,

utt − a2uxx = f(x, t) +t∫

0

[vtt(x, t, τ)− a2vxx(x, t, τ)

]dτ = f(x, t).

Taigi funkcija u, apibreºta (6.27) formule, yra (6.22) Ko²i uºdavinio sprendinys1.1itas metodas vadinamas Diuamelio principu. Jo esme yra ta, kad tiesines nehomogeni-

nes daliniu i²vestiniu lygties Ko²i arba mi²raus uºdavinio su nulinemis pradinemis s¡lygomissprendini galima i²reik²ti atitinkamu homogenines lygties sprendiniu. Pavyzdºiui, Ko²i uº-davinio

utt + Lu = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = 0, ut|t=0 = 0

sprendini galima i²reik²ti formule

u(x, t) =

t∫0

v(x, t, τ) dτ,

kurioje v(x, t, τ) yra Ko²i uºdavinio

vtt + Lv = 0, x ∈ Rn, t > τ,

v|t=τ = 0, vt|t=τ = f(x, τ)sprendinys, o L tiesinis diferencialinis operatorius, kurio koecientai nepriklauso nuo t irkuriame kintamojo t atºvilgiu yra ne auk²tesnes kaip pirmos eiles i²vestines. Analogi²kai yrakonstruojamas ir Ko²i uºdavinio

ut +Mu = f(x, t), x ∈ Rn, t > 0,u|t=0 = 0

sprendinys. ia M tiesinis diferencialinis operatorius, kurio koecientai nepriklauso nuokintamojo t ir kuriame yra i²vestines tik pagal kintamuosius x.

6.3 CHARAKTERISTIKU METODAS 167

Akivaizdu, kad (6.21), (6.22) Ko²i uºdaviniu sprendiniu suma, t.y. funkcija

u(x, t) = 12(ϕ(x− at) + ϕ(x+ at)

)+ 1

2a

x+at∫x−at

ψ(y) dy+

+ 12a

t∫0

x+a(t−τ)∫x−a(t−τ)

f(y, τ) dydτ, (6.28)

yra (6.18), (6.19) Ko²i uºdavinio sprendinys. Funkcija u yra dukart diferen-cijuojama, jeigu funkcijos ψ ir f yra diferencijuojamos, o funkcija ϕ dukartdiferencijuojama.

P a s t a b a . Naudojant (6.23) formul¦, galima rasti ne tik Ko²i, bet irmi²raus uºdavinio sprendini. Sprendºiant mi²ruji uºdavini, reikia tureti omenyjetai, kad funkcijos c1 ir c2 apibreºtos ne visoms argumentu reik²mems. Argu-mentai x− at ir x + at gali ir nepriklausyti funkciju c1, c2 apibreºimo sritims.Taigi, sprendºiant mi²ru uºdavini, reikia tinkamai prat¦sti funkcijas c1, c2 arba(tai visi²kai ekvivalentu) ϕ ir ψ.


6.4 FURJ E ARBA KINTAMUJU ATSKYRIMO METODAS

Kintamuju atskyrimo metod¡ galima taikyti gana pla£iai tiesiniu lyg£iu klasei.Lygtis Mu + Nu = 0 priklauso ²iai klasei, jeigu diferencialiniu operatoriu Mir N koecientai yra skirtingu kintamuju funkcijos ir ie²komosios funkcijos ui²vestines ieina i rei²kinius Mu ir Nu tik pagal skirtingus kintamuosius. Tarkime,v ir w yra funkcijos, priklausan£ios nuo ²iu skirtingu kintamuju ir u = v w.Tada lygti Mv w + Nv w = 0 galima suskaidyti i dvi lygtis. iu lyg£iu atskirujusprendiniu sandauga yra atskirasis lygties Mu + Nu = 0 sprendinys. Bendr¡jisprendini gausime paem¦ tokiu sprendiniu tiesini darini.

Tegu ∆ yra vienmatis Laplaso operatorius, t.y. ∆ = uxx. Rasime vienmatesbangavimo lygties

utt − uxx = 0, x∈ (a, b), t > 0, (6.29)

sprendini, tenkinanti pradines

u∣∣t=0 = ϕ(x), ut

∣∣t=0 = ψ(x), x∈ [a, b] (6.30)

ir kra²tinesu+ αux

∣∣x=a = 0, u+ β ux

∣∣x=b = 0, t≥ 0 (6.31)

s¡lygas.Tegu u = v(x)T (t). Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i (6.29) lygti ir atskyr¦

kintamuosius, gausimeT ′′(t)T (t) = vxx(x)

v(x) .

Kaireje ²ios lygybes puseje yra kintamojo t, o de²ineje kintamojo x funkci-ja. ios funkcijos sutampa tik tuo atveju, kai jos yra konstantos. Paºymekimebendr¡j¡ ju reik²m¦ raide −λ. Tada funkcija u = v T yra (6.29) lygties spren-dinys, jeigu funkcija T yra lygties

T ′′ + λT = 0, (6.32)

o funkcija v lygties−vxx = λ v (6.33)

sprendinys. Be to, funkcija u = v T tenkins (6.31) kra²tines s¡lygas, jeigu ²iass¡lygas tenkins funkcija v. Taigi funkcijai v gavome turmoLiuvilio uºdavini:rasti tas parametro λ reik²mes, kurioms egzistuoja netrivialus (6.33) lygtiessprendinys, tenkinantis kra²tines s¡lygas

v + α vx∣∣x=a = 0, v + β vx

∣∣x=b = 0. (6.34)

Tokios parametro λ reik²mes vadinamos tikrinemis reik²memis, o jas atitinkan-tys netrivialus sprendiniai tikrinemis nkcijomis.

6.4. FURJ E ARBA KINTAMUJU ATSKYRIMO METODAS 169

Teguλk∞k=1 yra (6.33), (6.34) uºdavinio tikrines reik²mes ir

vk∞k=1

jas atitinkan£ios tikrines funkcijos, ortonormuotos erdveje L2(a, b). Kiekvienamλ = λk rasime bendr¡ji (6.32) lygties sprendini. Neigiamiems λk

Tk = C1ke−√|λk| t + C2ke

√|λk| t.

Teigiamiems λkTk = C1k cos

√λk t+ C2k sin

√λk t.

Tuo atveju, kai λk = 0,Tk = C1k + t C2k.

Kiekviena i² funkciju vkTk, k = 1, 2, . . . , tenkina (6.29) lygti ir (6.31) kra²-tines s¡lygas. Todel funkcija

u(x, t) =∞∑k=1

Tk(t)vk(x)

taip pat tenkina (6.29) lygti ir (6.31) kra²tines s¡lygas. Pareikalav¦, kad funkcijau tenkintu (6.30) pradines s¡lygas, gausime

u(x, t) =m∑k=1

(akch

√|λk| t+ bk√

|λk|sh√|λk| t

)vk(x)+

+∞∑

k=m+1

(ak cos

√λk t+ bk√

λksin√λk t

)vk(x); (6.35)

£ia: m neteigiamu tikriniu reik²miu skai£ius, ak = (ϕ, vk), bk = (ψ, vk) funkciju ϕ ir ψ Furje koecientai. Jeigu tikrine reik²me λm = 0, tai (6.35)formuleje vietoje funkciju ch

√|λm| t ir 1√

|λm|sh√|λm| t reikia imti atitinkamai

1 ir t.inant (6.33), (6.34) uºdavinio tikrines reik²mes ir tikrines funkcijas, lengvai

galima rasti ir nehomogenines lygties

utt − uxx = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (6.36)

sprendini, tenkinanti homogenines pradines

u∣∣t=0 = 0, ut

∣∣t=0 = 0, x∈ [a, b] (6.37)

ir (6.31) kra²tines s¡lygas. Jo ie²kosime tokiu pavidalu:

u(x, t) =∞∑k=1

Fk(t) vk(x).

Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ u i (6.36) lygti, gausime

∞∑k=1

(F ′′k (t) + λkFk(t)

)vk(x) = f(x, t).


Funkcijos vk yra tiesi²kai nepriklausomos (irodykite). Todel funkcija Fk, ∀k =1, 2, . . . , turi tenkinti paprast¡j¡ diferencialin¦ lygti

F ′′k (t) + λkFk(t) = fk(t); (6.38)

£ia fk = (f, vk) yra funkcijos f Furje koecientai kintamojo x atºvilgiu. Be to,i² (6.37) i²plaukia, kad funkcija Fk turi tenkinti pradines s¡lygas

Fk(0) = 0, F ′k (0) = 0. (6.39)

Nehomogenines (6.38) lygties sprendinys, tenkinantis (6.39) pradines s¡ly-gas,

Fk(t) =

1√λk

t∫0

sin√λk (t− τ) fk(τ) dτ, kai k > m,

1√|λk|

t∫0

sh√|λk| (t− τ) fk(τ) dτ, kai k≤m.

Todel formalu (6.36), (6.37), (6.31) uºdavinio sprendini galima i²reik²ti eilute

u(x, t) =m∑k=1

vk(x) 1√|λk|

t∫0

sh√|λk| (t− τ) fk(τ) dτ+

+∞∑k=1

vk(x) 1√λk

t∫0

sin√λk (t− τ) fk(τ) dτ. (6.40)

Bendru atveju nehomogenines (6.36) lygties sprendinio, tenkinan£io (6.30)pradines ir nehomogenines kra²tines s¡lygas

u+ αux∣∣x=a = ν(t), u+ β ux

∣∣x=b = µ(t), t≥ 0, (6.41)

galima ie²koti tokiu pavidalu:

u = w + ω.

iuo atveju funkcij¡ ω reikia parinkti taip, kad ji tenkintu (6.41) kra²tines s¡ly-gas. Tada funkcijai w gausime kra²tini uºdavini

wtt − wxx = f − ωtt + ωxx, x∈ (a, b), t > 0,

w∣∣t=0 = ϕ− ω

∣∣t=0, wt

∣∣t=0 = ψ − ωt

∣∣t=0, x∈ [a, b],

w + αwx∣∣x=a = 0, w + β wx

∣∣x=b = 0, t≥ 0,

su homogeninem kra²tinem s¡lygom. Savo ruoºtu ²i uºdavini galima i²skaidy-ti i du uºdavinius taip, kad vieno uºdavinio pradine ir kra²tine s¡lygos butuhomogenines, o kito lygtis ir kra²tine s¡lyga butu homogenines.

I²nagrinesime vienmates ²ilumos laidumo lygties atveji. I² pradºiu rasimelygties

ut − uxx = 0, x∈ (a, b), t > 0, (6.42)


sprendini, tenkinanti pradin¦

u∣∣t=0 = ϕ(x), x∈ [a, b], (6.43)

ir (6.31) kra²tines s¡lygas. iuo atveju vietoje (6.32) lygties gausime diferenci-alin¦ lygti

T ′ + λT = 0, (6.44)

o (6.33) lygtis ir (6.34) kra²tines s¡lygos i²liks tos pa£ios.Kai λ = λk, bendrasis (6.44) lygties sprendinys

Tk(t) = Ck e−λkt.

Todel funkcija uk = vk Tk, ∀k = 1, 2, . . . , tenkina (6.42) lygti ir (6.31) kra²tiness¡lygas. Ta£iau tada funkcija

u(x, t) =∞∑k=1

vk(x)Tk(t) =∞∑k=1

Cke−λktvk(x)

taip pat tenkins (6.42) lygti ir (6.31) kra²tines s¡lygas. Pareikalav¦, kad funkcijau tenkintu (6.43) pradin¦ s¡lyg¡, gausime formul¦

u(x, t) =∞∑k=1

ak e−λkt vk(x), (6.45)

kurioje ak = (ϕ, vk) yra funkcijos ϕ Furje koecientai.Nehomogenines lygties

ut − uxx = f(x, t), x∈ (a, b), t > 0, (6.46)

sprendini, tenkinanti pradin¦

u∣∣t=0 = 0, x∈ [a, b], (6.47)

ir (6.31) kra²tines s¡lygas, galima i²reik²ti eilute

u(x, t) =∞∑k=1

vk(x)Fk(t), (6.48)

kurioje

Fk(t) =t∫

0

e−λk(t−τ) fk(τ) dτ

yra Ko²i u²davinioF ′k + λk Fk = fk(t), Fk(0) = 0,

sprendinys. ia fk = (f, vk) yra funkcijos f Furje koecientai.


Bendruoju atveju (6.46) lygties sprendini, tenkinanti (6.43) pradin¦ ir (6.41)kra²tines s¡lygas, galima rasti lygiai taip pat kaip ir bangavimo lygties atveju.

P a s t a b a . Vietoje vienma£io Laplaso operatoriaus £ia galima imti dvi-mati, trimati ir aplamai n-mati Laplaso operatoriu. Reikia tik rasti atitinkamoturmoLiuvilio uºdavinio tikrines reik²mes ir tikrines funkcijas. Be to, vietojeLaplaso operatoriaus galima imti bet koki bendresni tiesini elipsini operatoriu,kurio koecientai nepriklauso nuo kintamojo t.


1. Kintamuju atskyrimo metodu rasime kra²tinio uºdavinioutt − uxx = 0, x ∈ (0, l), t > 0,u(x, 0) = ϕ(x), ut(x, 0) = ψ(x),u(0, t) = 0, u(l, t) = 0

(6.49)

sprendini. Atskirojo bangavimo lygties sprendinio ie²kome pavidalu u =v(x)T (t). Istat¦ taip apibreºt¡ funkcij¡ i lygti ir atskyr¦ kintamuosiusgausime lygyb¦

T ′′(t)T (t) = v′′(x)

v(x) .

Ji yra teisinga tik tuo atveju, kai abi jos puses yra pastovios. Paºymekimebendr¡ ju reik²m¦ −λ. Tada funkcijai T gausime lygti

T ′′ + λT = 0,

o funkcijai v lygti−vxx = λv.

Be to, funkcija v dar turi tenkinti kra²tines s¡lygas

v(0) = 0, v(l) = 0.

Teigiamoms λ reik²mems pastaroji lygtis turi du tiesi²kai nepriklausomussprendinius

v1 = cos√λx, v2 = sin

√λx.

Todel bendrasis jos sprendinys

v = c1 cos√λx+ c2 sin

√λx.

Pareikalav¦, kad jis tenkintu homogenines kra²tines s¡lygas gausime:

c1 = 0, c2 sin√λl = 0.

Kadangi ie²komas sprendinys turi buti netrivialus, tai konstanta c2 6= 0.Taigi λ turi tenkinti lygti

sin√λl = 0.


I²sprend¦ j¡ randame tikrines reik²mes λk =(πkl

)2, k = 1, 2, . . .Kiekvien¡

tikrin¦ reik²m¦ λk atitinka tikrine funkcija

vk = c2k sin πkxl.

Ji apibreºiama pastovaus daugiklio c2k tikslumu. Konstantas c2k paren-kame taip, kad

l∫0

v2k(x) dx = 1,∀k = 1, 2, . . .

I² ²iu s¡lygu randame

c2k =√

2l, vk(x) =

√2l

sin πkxl.

Neigiamoms λ reik²mems du tiesi²kai nepriklausomi sprendiniai

v1(x) = e√−λx, v2(x) = e−

√−λx.


v(x) = c1e√−λx + c2e

−√−λx.

Kai λ = 0,v1(x) = 1, v2(x) = x,

o bendrasis sprendinysv(x) = c1 + c2x.

Pareikalav¦, kad v tenkintu homogenines kra²tines s¡lygas v(0) = 0, v(l) =0 abiem atvejais gausime: c1 = c2 = 0. Tai rei²kia, kad neteigiamu tikriniureik²miu nera.

Imkime lygtyje T ′′+λT = 0 parametr¡ λ = λk. Tada gausime lygti, kuriosbendrasis sprendinys

Tk(t) = ak cos√λkt+ bk sin

√λkt.

Funkcijos vk it Tk yra sukonstruotos taip, kad ju sandauga Tk · vk tenkina(6.49) lygti ir homogenines kra²tines s¡lygas. Todel tokiu sandaugu suma

u(x, t) =∞∑k=1

Tk(t)vk(x)

taip pat tenkina (6.49) lygti ir homogenines kra²tines s¡lygas. Konstantasak ir bk parinksime taip, kad taip apibreºta funkcija u tenkintu pradiness¡lygas. I² pirmos pradines s¡lygos gauname lygyb¦

∞∑k=1

akvk(x) = ϕ(x).


Padaugin¦ abi ²ios lygybes puses i² vm ir rezultat¡ suintegrav¦ nuo 0 iki lrandame

am =l∫

0

ϕ(x)vm(x) dx. (6.50)

ia pasinaudojome tuo, kad tikrines funkcijosvk∞k=1 yra ortonormuotos

erdveje L2(0, l), t.y.

l∫0

vk(x)vm(x) dx = δmk =

1, kai k = m,

0, kai k 6= m.

Pareikalav¦, kad funkcija u tenkintu antr¡j¡ pradin¦ s¡lyg¡ gausime lygyb¦

∞∑k=1

bk√λkvk(x) = ψ(x).

I² jos lygiai taip pat randame

bm = 1√λm

l∫0

ψ(x)vm(x) dx. (6.51)

Taigi nagrinejamo kra²tinio uºdavinio sprendinys

u(x, t) =∞∑k=1

(ak cos

√λkt+ bk sin

√λkt)vk(x);

£ia koecientai ak ir bk yra apibreºti (6.50) ir (6.51) formulemis.

6.5 INTEGRALINIU FURJ E TRANSFORMACIJU METODAS 175

6.5 INTEGRALINIU FURJ E TRANSFORMACIJU METODAS

Nagrinesime Ko²i uºdaviniut − a2uxx = 0, x ∈ R, t > 0,u|t=o = ϕ(x), x ∈ R.

(6.52)

Irodysime, kad jo sprendini galima i²reik²ti Puasono formule:

u(x, t) = 1(4πa2t)1/2

∞∫−∞

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy. (6.53)

I²vesdami j¡ naudosime integralini Furje transformacijos metod¡. Taikydami ²imetod¡, manysime, kad visi atliekami veiksmai yra teiseti.

Priminsime, kad tiesiogine ir atvirk²tine Furje transformacijos kintamojo xatºvilgiu apibreºiamos formulemis:

u(ξ, t) = 1√2π

∞∫−∞

eixξu(x, t) dx, u(x, t) = 1√2π

∞∫−∞

e−ixξu(ξ, t) dξ, i =√−1.

Funkciju ut ir uxx Furje transformacijos:

ut (ξ, t) = 1√2π

∞∫−∞

eixξut(x, t) dx =

= ∂

∂t

( 1√2π

∞∫−∞

eixξu(x, t) dx)

= ut(ξ, t),

uxx(ξ, t) = 1√2π

∞∫−∞

eixξuxx(x, t) dx =

= 1√2π

∞∫−∞

(−iξ)eixξux(x, t) dx =

= 1√2π

∞∫−∞

(−iξ)2eixξu(x, t) dx = −ξ2u(ξ, t).

Pritaik¦ Furje transformacijos operatoriu abiems ²ilumos laidumo lygties pu-sems, gausime paprast¡j¡ diferencialin¦ kintamojo t atºvilgiu lygti

ut + a2ξ2u = 0.


I kintam¡ji ξ galima ºiureti kaip i parametr¡. i lygtis yra tiesine pirmos eileslygtis, ir jos bendrasis sprendinys

u(ξ, t) = C(ξ)e−a2ξ2t.

Kadangi

u(ξ, 0) = 1√2π

∞∫−∞

eixξu(x, 0) dx = 1√2π

∞∫−∞

eixξϕ(x) dx = ϕ(ξ),

taiϕ(ξ) = C(ξ)

iru(ξ, t) = ϕ(ξ)e−a

2ξ2t.

Pritaik¦ ²ios lygybes abiems pusems atvirk²tini Furje transformacijos opera-toriu, gausime

u(x, t) = 1√2π

∞∫−∞

e−ixξϕ(ξ)e−a2ξ2t dξ.

Vietoje funkcijos ϕ istatykime jos integralin¦ i²rai²k¡ ir sukeiskime integravimotvark¡. Tada gausime formul¦

u(x, t) = 12π

∞∫−∞

( ∞∫−∞

e−i(x−y)ξ−a2ξ2t dξ)ϕ(y) dy =

=∞∫−∞

G(x− y, t)ϕ(y) dy;

£ia

G(x− y, t) = 12π

∞∫−∞

e−i(x−y)ξ−a2ξ2t dξ.

Suskai£iuosime integral¡

G(x, t) = 12π

∞∫−∞

e−ixξ−a2ξ2t dξ.

Tuo tikslu i²skirsime piln¡ji kvadrat¡

−a2ξ2t− ixξ = −(a2ξ2t+ ixξ) = −[a2t(ξ + i

x

2a2t

)2+ x2

4a2t

]


ir integral¡ G(x, t) perra²ysime taip:

G(x, t) = 12π e− x2

4a2t

∞∫−∞

e−a2t

(ξ + i x

2a2t

)2

dξ. (6.54)

Parodysime, kad integralas

I =∞∫−∞

e−a2t(s+ iσ0)2

ds

nepriklauso nuo parametro σ0.Tegu l uºdaras konturas kompleksineje kintamojo z = s+ iσ plok²tumoje

(ºr. 6.1 pav.).

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................

..............

...........

.........

..............

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

s

σ

0−N

σ0

N

6.1 pav.

Pagal Ko²i teorem¡

0 =∫l

e−a2tz2

dz =N∫−N

e−a2t(s+ iσ0)2

ds+0∫

σ0

e−a2t(N + iσ)2

dσ+

−N∫N

e−a2ts2

ds+σ0∫0

e−a2t(−N + iσ)2

dσ. (6.55)

Kadangi

∣∣∣ σ0∫0

e−a2t(±N + iσ)2

dσ∣∣∣ ≤ e−a2tN2

σ0∫0

ea2tσ2

dσ → 0

kai N →∞, tai perej¦ (6.55) formuleje prie ribos, gausime

∞∫−∞

e−a2t(s+ iσ0)2

ds =∞∫−∞

e−a2ts2

ds.

Be to, integralas

∞∫−∞

e−a2ts2

ds = 1a√t

∞∫−∞

e−x2dx =

√π

a√t.


Todel funkcija

G(x, t) = 1(4πa2t)1/2 e

− x2

4a2t . (6.56)

Tokiu budu formaluji (6.52) Ko²i uºdavinio sprendini galima i²reik²ti (6.53)formule. Uºra²ysime j¡ tokiu pavidalu:

u(x, t) =∞∫−∞

G(x− y, t)ϕ(y) dy = 1(4πa2t)1/2

∞∫−∞

e−|x−y|24a2t ϕ(y) dy. (6.57)

Funkcija G yra vadinama ²ilumos laidumo lygties fundamentaliuoju sprendiniu(arba Gryno funkcija).

P a s t a b a . Galima irodyti, kad funkcija u, apibreºta (6.53) formule, yra(6.52) Ko²i uºdavinio sprendinys, jeigu funkcija ϕ yra tik tolydi ir apreºta.

Ko²i uºdavinio ut − a2uxx = f(x, t), x ∈ R, t > 0,u|t=o = 0, x ∈ R,

(6.58)

formaluji sprendini rasime taikydami Diuamelio princip¡. Tuo tikslu ∀τ > 0rasime formaluji Ko²i uºdavinio

vt − a2vxx = 0, x ∈ R, t > τ,

u|t=τ = f(x, τ), x ∈ R,

sprendini. Pagal (6.57) formul¦

v(x, t, τ) =∞∫−∞

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dy.

Tiesiogiai galima patikrinti, kad funkcija

u(x, t) =t∫

0

v(x, t, τ) dτ =t∫

0

∞∫−∞

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ (6.59)

yra (6.58) Ko²i uºdavinio formalusis sprendinys.Sudej¦ (6.52) ir (6.58) Ko²i uºdaviniu sprendinius, gausime funkcij¡

u(x, t) =∞∫−∞

G(x− y, t)ϕ(y) dy +t∫

0

∞∫−∞

G(x− y, t− τ)f(y, τ) dydτ, (6.60)

kuri yra formalusis Ko²i uºdaviniout − a2uxx = f(x, t), x ∈ R, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), x ∈ R,


sprendinys.Integralini Furje transformaciju metod¡ galima taikyti ne tik ivairiu Ko²i

uºdaviniu sprendimui, bet ir Kra²tiniu uºdaviniu sprendimui. Naudojant sinu-sin¦ Furje transformacij¡ rasime kra²tinio uºdavinio

utt − a2uxx = 0, x > 0, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x > 0,u|x=0 = 0, t > 0.

(6.61)

sprendini. Tegu funkcija u yra (6.61) kra²tinio uºdavinio sprendinys. Jossinusine tiesiogine ir atvirk²tine Furje transformacijos kintamojo x atºvilgiuapibreºiamos taip:

us(ξ, t) =√

2π

∞∫0

u(x, t) sin xξ dx, u(x, t) =√

2π

∞∫0

us(ξ, t) sin xξ dξ.

Pritaik¦ sinusin¦ Furje transformacij¡ funkcijai utt gausime

utt(ξ, t) =√

2π

∞∫0

utt(x, t) sin xξ dx = ∂2

∂t2us(ξ, t) := ustt(ξ, t).

Jeigu funkcija u begalybeje kartu su savo i²vestine ux lygi nuliui, tai integruo-dami dalimis gausime, kad funkcijos uxx Furje transformacija

uxx(ξ, t) =√

2π

∞∫0

uxx(x, t) sin xξ dx = −√

2π

∞∫0

ux(x, t)ξ cosxξ dx =

−ξ2√

2π

∞∫0

u(x, t) sin xξ dx = −ξ2us(ξ, t).

Taigi pritaik¦ sinusin¦ Furje transformacija abiejoms (6.61) bangavimo lygtiespusems, gausime tiesin¦ antros eiles lygti

ustt(ξ, t) + a2ξ2us(ξ, t) = 0, t > 0,

kurioje kintamasis ξ yra parametras. ios lygties bendrasis sprendinys

us(ξ, t) = c1(ξ) cos aξt+ c2(ξ) sin aξt.

Kadangi funkcija u tenkina (6.61) pradines s¡lygas, tai jos sinusine Furje trans-formacija us turi tenkinti pradines s¡lygas

us|t=0 = ϕs(ξ), ust |t=0 = ψs(ξ), ξ > 0.

Panaudoj¦ ²ias s¡lygas randame

c1(ξ) = ϕs(ξ), c2(ξ) = ψs(ξ)aξ

.


Taigi funkcijos u sinusine Furje transformacija

us(ξ, t) = ϕs(ξ) cos aξt+ ψs(ξ)aξ

sin aξt.

Pritaik¦ abiejoms ²ios lygybes pusems atvirk²tin¦ sinusin¦ Furje transformacij¡,randame ie²kom¡ funkcij¡

u(x, t) =√

2π

∞∫0

(ϕs(ξ) cos aξt+ ψs(ξ)

aξsin aξt

)sin xξ dξ. (6.62)

Integral¡ de²ineje ²ios lygybes puseje i²skaidome i du integralus. Pirmasis i² ju√2π

∞∫0

ϕs(ξ) cos aξt sin xξ dξ = 12

√2π

∞∫0

ϕs(ξ)(sin(x+ at)ξ + sin(x− at)ξ

)dξ =

12(ϕ(x+ at) + sign(x− at)ϕ(|x− at|)

).

Antrasis√2π

∞∫0

ψs(ξ)aξ

sin aξt sin xξ dξ = 12

√2π

∞∫0

ψs(ξ)aξ

(cos(x−at)ξ−cos(x+at)ξ

)dξ =

12a

√2π

∞∫0

x+at∫x−at

ψs(ξ) sin sξ dsdξ = 12a

x+at∫|x−at|

ψ(s) ds.

Istat¦ ²ias integralu i²rai²kas i (6.62) formul¦ gauname

u(x, t) = 12(ϕ(x+ at) + sign(x− at)ϕ(|x− at|)

)+ 1

2a

x+at∫|x−at|

ψ(s) ds. (6.63)

7 SKYRIUS

Skaitiniai diferencialiniu lyg£iusprendimo metodai

Netiesines paprast¡sias diferencialines lygtis bei ju sistemas retai kada pavyk-sta siuntegruoti. Dar sudetingesne yra situacija yra kai nagrinejame daliniui²vestiniu lygtis arba ju sistemas. Todel labai aktualus yra tokiu lyg£iu beisistemu ivairus skaitiniai sprendimo metodai.

iame skyriuje pateiksime du skaitinius diferencialiniu lyg£iu sprendimo me-todus. Pirmasis i² ju yra Runge Kuto metodas, antrasis baigtiniu skirtumumetodas. I² pradºiu pateiksime skaitini paprasuju diferencialiniu lyg£iu bei jusistemu sprendim¡ Runge Kuto metodu. Po to skaitini diferencialiniu lyg£iudalinemis i²vestinemis sprendim¡ baigtiniu skirtumu metodu. Pastar¡ji metod¡taikysime skaitiniam elipsiniu, paraboliniu ir hiperboliniu lyg£iu sprendimui.

7.1 RUNGE KUTO METODAS PIRMOS EIL ES PAPRASTAJAIDIFERENCIALINEI LYGIAI

Nagrinesime Ko²i uºdavini

y′ = f(x, y), y(x0) = y0 (7.1)

pirmosios eiles paprastajai diferencialinei lyg£iai. Jeigu funkcija f kokioje norssrityje turi n-tosios eiles tolydºias dalines i²vestines, tai i² paprastuju diferenci-aliniu lyg£iu teorijos yra ºinoma, kad ie²komas sprendinys turi (n + 1)-os eilestolydºias i²vestines ir pagal Teiloro formul¦

y(x) = y(x0) + (x− x0)y′(x0) + (x−x0)2

2! y′′(x0) + . . .+

+ (x−x0)n+1

(n+1)! y(n+1)(x0) + o(|x− x0|n+1)

Tegu x = x0 + h. Tada, atmet¦ paskutini nari, gausime apytiksli¡ lygyb¦

y(x0 + h)− y0 ≈ hy′(x0) + h2

2! y′′(x0) + . . .+ hn+1

(n+ 1)!y(n+1)(x0). (7.2)

I²vestiniu reik²mes ta²ke x0 galima apskai£iuoti i² (7.1) lygties:

y′(x0) = f(x0, y(x0)) := y′0,

y′′(x0) = fx(x0, y(x0)) + fy(x0, y(x0)) · y′(x0) := y′′0 ,

y′′′(x0) = fxx(x0, y(x0)) + 2fyx(x0, y(x0)) · y′(x0)+

fyy(x0, y(x0) · y′2(x0) + fy(x0, y(x0)) · y′′(x0) := y′′′0

182 7. SKAITINIAI DIFERENCIALINIU LYGIU SPRENDIMO METODAI

ir t.t. Istat¦ gautas i²vestiniu reik²mes i (7.2) formul¦ gausime apytiksli¡ spren-dinio reik²m¦. Dideliems n ²i formule tampa labai sudetinga ir praktikoje ne-naudojama.

Runge pasiule kit¡ diferencialiniu lyg£iu integravimo metod¡, kuri veliaui²vyste Kuta ir kiti mokslininkai. Metodo esme yra tame, kad funkcijos y pokytiy(x0 + h)− y(x0) ie²kome pavidalu

y(x0 + h)− y0 = (γ1k1 + · · ·+ γrkr)h; (7.3)

£iaki = f(ξi, ηi), ξi = x0 + αih, α1 = 0, i = 1, 2, . . . , r,ηi = y0 + βi1k1h+ βi2k2h+ . . .+ βii−1ki−1h.

Taigi

k1 = f(x0, y0),k2 = f(x0 + α2h, y0 + β21k1h),k3 = f(x0 + α3h, y0 + β31k1h+ β32k2h),· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·kr = f(x0 + αrh, y0 + βr1k1h+ βr2k2h+ · · ·+ βrr−1kr−1h).

Konstantas γi, αi ir βij randame sulygin¦ (7.2) ir (7.3) lygybiu de²iniu pusiukoecientus prie vienodu h laipsniu.

Atskirai i²nagrinesime kelis atvejus:1. Tegu r = 1. Tada skirtumas

y(x0 + h)− y(x0) = γ1f(x0, y0)h.

Sulygin¦ su (7.2) formule gauname γ1 = 1. Taigi yra teisinga formule

y(x0 + h)− y(x0) ≈ f(x0, y0)h,

kurios paklaida yra O(h2).2. Tegu r = 2. Tada (7.3) formul¦ galima uºra²yti taip

y(x0 + h)− y0 = (γ1k1 + γ2k2)h. (7.4)

Norint sulyginti (7.2) ir (7.4) formulese koecientus prie vienodu h laipsniu,koecient¡ k2 skleidºiame Teiloro eilute

k2 = f(x0 + α2h, y0 + β21k1h) == f(x0, y0) + α2hfx(x0, y0) + β21k1hfy(x0, y0)+

+12(α2

2h2fxx(x0, y0) + 2α2β21k1h

2fxy(x0, y0) + β21k21h

2fyy(x0, y0))

+ . . .

7.1. RUNGE KUTO METODAS 183

i¡ i²rai²k¡ istat¦ i (7.4) formul¦ ir sulygin¦ koecientus prie vienodu h laipsniurandame:

γ1 + γ2 = 1 prie hf(x0, y0),γ2α2 = 1/2 prie h2fx(x0, y0),γ2β21 = 1/2 prie h2fy(x0, y0).

Pastaroji sistema turi be galo daug sprendiniu. Imdami α2 = 1, β21 = 1 gausimeγ1 = 1/2, γ2 = 1/2. iuo atveju

y(x0 + h)− y0 = 12(k1 + k2)h;

£iak1 = f(x0, y0), k2 = f(x0 + h, y0 + k1h).

Imdami α2 = 1/2, β21 = 1/2 gausime γ2 = 1, γ1 = 0. Todel

y(x0 + h)− y0 = k2h;

£iak1 = f(x0, y0), k2 = f(x0 + h/2, y0 + k1h/2).

Abiem atvejais gautu formuliu paklaida yra O(h3).Tegu r = 3. Tada (7.3) formule uºsira²o taip

y(x0 + h)− y0 = (γ1k1 + γ2k2 + γ3k3)h; (7.5)

£iak1 = f(x0, y0), k2 = f(x0 + α2h, y0 + β21k1h),k3 = f(x0 + α3h, y0 + β31k1h+ β32k2h).

I²skleid¦ koecientus k2 ir k3 Teiloro eilute istatome ju reik²mes i (7.5) formul¦.Po to, sulyginame koecientus prie vienodu h laipsniu su ir (7.2) formule. Tadagausime sistem¡

γ1 + γ2 + γ3 = 1,γ1α2 + γ3α3 = 1/2,γ2α

22 + γ3α

23 = 1/3,

γ3β32α2 = 1/6,α2 = β21,

α3 = β31 + β32.

(7.6)

Fiksuotoms α2 ir α3 reik²mems i antr¡, tre£i¡ ir ketvirt¡ pastarosios sistemoslygtis galime ºiureti kaip i triju tiesiniu algebriniu lyg£iu sistem¡ kintamuju γ2ir γ3 atºvilgiu. Ji yra i²sprendºiama, jeigu determinantas∣∣∣∣∣∣

α2 α3 1/2α2

2 α23 1/3

0 β32α2 1/6

∣∣∣∣∣∣ = 0,

t.y. kaiα2α3(α3 − α2)− β32α

22(2− 3α2) = 0.


I² (7.6) matome, kad γ3 6= 0, β32 6= 0 ir α2 6= 0. Todel pastar¡j¡ lygyb¦ padalin¦i² α2 gauname

α3(α3 − α2)− β32α2(2− 3α2) = 0.Todel i² pradºiu galime koecientus α2, α3, β21, β31, β32 parinkti taip, kad jietenkintu sistem¡

α2 = β21,

α3 = β31 + β32,

α3(α3 − α2)− β32α2(2− 3α2) = 0,

o, po to, koecientus γ1, γ2, γ3 rasti i² sistemosγ1 + γ2 + γ3 = 1,γ2α2 + γ3α3 = 1/2,γ3β32α2 = 1/6.

Pavyzdºiui, tegu α2 = β21 = 1/2, α3 = 1. Tada β32 = 2, β31 = −1, γ3 = 1/6,γ2 = 2/3, γ1 = 1/6 ir (7.5) formul¦ galime uºra²yti taip

y(x0 + h)− y0 = 16(k1 + 4k2 + k3)h; (7.7)

£iak1 = f(x0, y0),k2 = f(x0 + h/2, y0 + k1h/2),k3 = f(x0 + h, y0 − k1h+ 2k2h).

Taigi parink¦ koki nors (7.6) sistemos sprendini gausime (7.5) formul¦ su kon-kre£iomis koecientu reik²memis, kurios paklaida yra O(h4).

P a s t a b o s :

1. Galima parodyti, (ºr., pavyzdºiui, [8]), kad, kai r = 4, yra teisinga formule

y(x0 + h)− y0 = 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h;

£iak1 = f(x0, y0), k2 = f(x0 + h/2, y0 + k1h/2),k3 = f(x0 + h/2, y0 + k2h/2),k4 = f(x0 + h, y0 + k3h),

kurios paklaida yra O(h5). Pastaroji formule yra viena i² daºniausiainaudojamu Runge Kuto formuliu.

2. Galima i²vesti Runge Kuto formules kai r ≥ 5. Ta£iau jos yra gremez-di²kos ir praktikoje retai naudojamos.

Taikant vien¡ ar kit¡ Runge Kuto formul¦ galima rasti ie²komos funkcijosreik²m¦ ta²ke x0 + h, t.y. y(x0 + h). Imdami pradini ta²k¡ x1 = x0 + h irpradin¦ reik²m¦ y1 = y(x0 + h), analogi²kai galime gauti ie²komos funkcijosreik²m¦ kitame ta²ke x1+h ir t.t. T¦sdami tokius skai£iavimus gausime ie²komosfunkcijos reik²mes ta²kuose x0 + kh, k = 1, 2, . . .


7.2 RUNGE KUTO METODAS PIRMOS EIL ESDIFERENCIALINIU LYGIU SISTEMAI

Runge Kuto metod¡ galima taikyti ir pirmos eiles diferencialiniu lyg£iu sis-temai. Konkretumo delei nagrinesime Ko²i uºdavini dvieju pirmos eiles diferen-cialiniu lyg£iu sistemaiy

′ = f(x, y, z), y(x0) = y0,

z′ = g(x, y, z), z(x0) = z0.(7.8)

Ie²komu funkciju y ir z pokyti ta²kuose x0 + h ir x0 ie²kosime pavidaluy(x0 + h)− y0 = (γ1k1 + · · ·+ γrkr)h,

z(x0 + h)− z0 = (γ∗1 l1 + · · ·+ γ∗r lr)h,(7.9)

£iaki = f(ξi, ηi, ζi), li = g(ξ∗i , η∗i , ζ∗i ),ξi = x0 + αih, α1 = 0, ξ∗i = x0 + α∗i h, α

∗1 = 0,

ηi = y0 + βi1k1h+ βi2k2h+ . . .+ βii−1ki−1h,

η∗i = y0 + β∗i1k1h+ β∗i2k2h+ . . .+ β∗ii−1ki−1h,

ζi = y0 + δi1l1h+ δi2l2h+ . . .+ δii−1li−1h,

ζ∗i = y0 + δ∗i1l1h+ δ∗i2l2h+ . . .+ δ∗ii−1li−1h,

i = 1, 2, . . . , r. Pagal Teiloro formul¦

y(x)− y(x0) ≈ hy′(x0) + h2

2! y′′(x0) + . . .+ hn+1

(n+1)!y(n+1)(x0),

z(x)− z(x0) ≈ hz′(x0) + h2

2! z′′(x0) + . . .+ hn+1

(n+1)!z(n+1)(x0).

(7.10)

Funkciju y ir z i²vestines ta²ke x0 randame i² (7.8) sistemos

y′(x0) = f(x0, y0, z0), z′(x0) = g(x0, y0, z0),y′′(x0) = fx(x0, y0, z0) + fy(x0, y0, z0)y′(x0) + fz(x0, y0, z0)z′(x0),z′′(x0) = gx(x0, y0, z0) + gy(x0, y0, z0)y′(x0) + gz(x0, y0, z0)z′(x0)

ir t.t. ias i²vestiniu reik²mes istatome i (7.10) formul¦. Gautoje ir (7.9)formulese sulyginame koecientus prie vienodu h laipsniu iki nario h4. Tadakoecientu αi, α∗i , βij , β

∗ij , δij , δ

∗ij ir γi, γ∗i atºvilgiu gausime algebriniu lyg£iu

sistem¡ (ºr., pavyzdºiui, [9]). Pastaroji sistema yra simetrine koecientu αi, α∗i ,βij , β

∗ij , δij , δ

∗ij ir γi, γ

∗i atºvilgiu. Todel galime imti

αi = α∗i , βij = β∗ij , δij = δ∗ij , γi = γ∗i .


ir, kai r = 4, Runge Kuto formules apibreºti taip:

y(x0 + h)− y0 = 16(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h,

z(x0 + h)− z0 = 16(l1 + 2l2 + 2l3 + l4)h;

(7.11)

£ia

k1 = f(x0, y0, z)), l1 = g(x0, y0, z)),k2 = f(x0 + h/2, y0 + k1h/2, z0 + l1h/2),l2 = g(x0 + h/2, y0 + k1h/2, z0 + l1h/2),k3 = f(x0 + h/2, y0 + k2h/2, z0 + l2h/2),l3 = g(x0 + h/2, y0 + k2h/2, z0 + l2h/2),k4 = f(x0 + h, y0 + k3h, z0 + l3h), l4 = g(x0 + h, y0 + k3h, z0 + l3h).

iu formuliu paklaida yra O(h5).P a s t a b a . Analogi²kos Ringe Kuto formules yra teisingos ir tuo atveju,

kai lyg£iu skai£ius yra didesnis uº du.


7.3 RUNGE KUTO METODAS AUKTESN ES EIL ESPAPRASTAJAI DIFERENCIALINEI LYGIAI

Kiekviena normalioji n-tos eile paprastoji diferencialine lygtis

y(n) = f(x, y, y′, . . . , y(n−1)), y(x0) = y0 (7.12)

susiveda i n pirmos eiles paprastuju diferencialiniu lyg£iu sistem¡w′ = f(x, y, u, . . . , v, w),v′ = w,

· · · · · ·y′ = u.

(7.13)

Todel apytiksli n-tos eiles lygties sprendini taip pat galima ie²koti Runge Kutometodu. Be to, (7.13) sistemos de²iniosios puses turi labai paprast¡ pavidal¡.Todel galima gauti paprastesnes Runge Kuto formules.

Paprastumo delei nagrinesime Ko²i uºdavini antrosios eiles paprastajai dife-rencialinei lyg£iai

y′′ = f(x, y, y′), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0.

Standartiniu budu ji suvedame i Ko²i uºdavini dvieju pirmos eiles paprastujudiferencialiniu lyg£iu sistemaiz

′ = f(x, y, z), z(x0) = z0 := y′0,

y′ = z, y(x0) = y0.(7.14)

Sprendiniu y ir z poky£ius ie²kome pavidalu

y(x0 + h)− y(x0) = (γ1k1 + γ2k2 + γ3k3)h,z(x0 + h)− z(x0) = (γ∗1 l1 + γ∗2 l2 + γ∗3 l3)h;

(7.15)

£iaki = f(ξi, ηi, ζi), li = g(ξ∗i , η∗i , ζ∗i ),ξi = x0 + αih, α1 = 0, ξ∗i = x0 + α∗i h, α

∗1 = 0,

ηi = y0 + βi1k1h+ βi2k2h+ . . .+ βii−1ki−1h,

η∗i = y0 + β∗i1k1h+ β∗i2k2h+ . . .+ β∗ii−1ki−1h,

ζi = y0 + δi1l1h+ δi2l2h+ . . .+ δii−1li−1h,

ζ∗i = y0 + δ∗i1l1h+ δ∗i2l2h+ . . .+ δ∗ii−1li−1h,

i = 1, 2, 3. Sulygin¦ koecientus prie vienodu h laipsniu (7.15) ir (7.10) formulese


gausime sistem¡

α2 = β21 = δ21, α∗2 = β∗21 = δ∗21,

α3 = β31 + β32 = δ31 + δ32, α∗3 = β∗31 + β∗32 = δ∗31 + δ∗32,

γ1 + γ2 + γ3 = 1, γ∗1 + γ∗2 + γ∗3 = 1,γ2α2 + γ3α3 = 1/2, γ∗2α

∗2 + γ∗3α

∗3 = 1/2,

γ2α22 + γ3α

23 = 1/3, γ∗2α

∗2

2 + γ∗3α∗3

2 = 1/3,γ3β32α2 = 1/6, γ∗3δ

∗32α∗2 = 1/6,

α∗2α

= β32

δ∗32= β∗32δ∗32

.

Koecientai ki ir li (7.14) sistemai gaunami tokie:

k1 = z0, l1 = f(x0, y0, z0),k2 = z0 + δ21hl1, l2 = f(x0 + α∗2h, y0 + β∗21hz0, z0 + δ∗21hl1)k3 = z0 + δ31hl1 + δ32hf(x0 + α∗2h, y0 + β∗21hz0, z0 + δ∗21hl1),l3 = f(x0 + α∗3h, y0 + α∗3hz0 + β∗32δ21h

2l1, z0 + δ∗31hl1

+δ∗32hf(x0 + α∗2h, y0 + β21hz0, z0 + δ∗21hl1)),

o ie²komu funkciju poky£iai

y(x0 + h)− y(x0) = (γ1k1 + γ2k2 + γ3k3)h = hz0 + h2(γ2δ21 + γ3δ31)l1+γ3δ32f(x0 + α∗2h, y0 + β∗21hz0, z0 + γ∗21)hl1

z(x0 + h)− z(x0) = (γ∗1 l1 + γ∗2 l2 + γ∗3 l3)h.

Imdami £iaα2 = α∗2 = β21 = β∗21 = δ21 = δ∗21 = 1/3,α3 = α∗3 = β32 = β∗32 = δ32 = δ∗32 = 2/3,β31 = β∗31 = δ31 = δ∗31 = 0,γ3 = γ∗3 = 3/4, γ2 = γ∗2 = 0, γ1 = γ∗1 = 1/4

gausime

y(x0 + h)− y(x0) = hz0 + 12h

2f(x0 + h/3, y0 + hz0/3, z0 + hl1/3)z(x0 + h)− z(x0) = hl1/4 + 3

4hf(x0 + 2h/3, y0 + 2hz0/3 + 29h

2l1,

z0 + 23hf(x0 + h/3, y0 + hz0/3, z0 + hl1/3)).

Pastaruju formuliu tikslumas yra eiles h4.Analogi²kas Runge Kuto formules galima gauti parinkus kitokias koeci-

entu reik²mes. Be to, (7.14) sistemai spr¦sti galima nauduoti formules gautasnagrinejant bendro pavidalo pirmos eiles paprastuju diferencialiniu lyg£iu sis-tem¡ (ºr., pavyzdiui, (7.11) formul¦).

7.4. BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS ELIPSINI ES LYGTIES ATVEJU 189

7.4 BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS ELIPSINI ES LYGTIESATVEJU

Baigtiniu skirtumu metodo esme yra tokia. Sritis, kurioje sprendºiama diferen-cialine lygtis, yra padengiama tinklu ir tinklo liniju susikirtimo ta²kuose difer-encialine lygtis kei£iama skirtumine. Tinklo liniju susikirtimo su srities konturu(pavir²iumi) ta²kuose kra²tines s¡lygas kei£iame i skirtumines s¡lygas. Rezul-tate gauname skirtuminiu lyg£iu sistem¡. Sprendºiant ²i¡ sisitem¡ reikia i²si-ai²kinti ar ji turi sprendini ir ar rastas sprendinys yra vienintelis. Be to, reikiadar pasirinkti sistemos sprendimo metod¡ ir i²siai²kinti ar rastas sprendinys yraartimas tikrajam diferencialines lygties sprendiniui.

Apreºtoje srityje Ω ⊂ R2 su konturu Γ nagrinesime elipsin¦ lygti

L(u) := auxx + buyy + pux + quy + du = f(x, y); (7.16)

£ia koecientai a, b, p, q, d ir f yra ºinomos tolydºios srityje Ω funkcijos. Be to,koecientai a ir b yra teigiami (elipsi²kumo s¡lyga).

Tarkime tinkl¡ sudaro dvi tiesiu ²eimos

x = x0 + ih, i = 0,±1,±2, . . . ,y = y0 + jl, j = 0,±1,±2, . . . ,

Ta²k¡ (x0+ih, y0+jl) ºymesime (xi, yj) arba tiesiog (i, j), o funkcijos u reik²mes²iame ta²ke uij , t.y.

uij = u(xi, yj).

Ta²kai (i ± 1, j), (i, j ± 1) yra vadinami ta²ko (i, j) gretimais ta²kais (ºr. 7.1pav.).

..................................................................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

•

•

• •(i, j)

(i+ 1, j)(i− 1, j)

(i, j − 1)

(i, j + 1)

7.1 pav.

Visum¡ tinklo ta²ku, kurie priklauso aibei Ω⋃

Γ ºymesime raide Ω. Tinklota²kus, kuriu visi gretimi ta²kai priklauso Ω, vadinsime vidiniais ir ºymesime˙Ω. Tinklo ta²k¡, kurio bent vienas gretimas ta²kas nepriklauso Ω vadinsimekonturiniu tinklo ta²ku. Visum¡ konturiniu tinklo ta²ku ºymesime Γ (ºr. 7.2


pav.).

....................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.................................

..............

.................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..............................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.......................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.............................................................................................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

x

y

∗∗∗ ∗

∗

∗

∗

∗

∗

∗∗∗

••••••

• vidinis tinklo taškas∗ konturinis tinklo taškas

h

l

7.2 pav.

Kiekviename vidiniame tinklo Ω ta²ke (i, j) ie²komos funkcijos i²vestines ux,uy, uxx ir uyy pakeiskime, atitinkamai, skirtumais

ui+1j − ui−1j

2h ,uij+1 − uij−1

2l ,ui+1j − 2uij + ui−1j

h2 ,uij+1 − 2uij + uij−1

l2.

Istat¦ ²ias i²vestiniu reik²mes i (7.16) lygti ta²ke (i, j) gausime skirtumin¦ lygti

L(uij) := aijui+1j − 2uij + ui−1j

h2 + bijuij+1 − 2uij + uij−1

l2+

pijui+1j − ui−1j

2h + qijuij+1 − uij−1

2l + dijuij = fij .(7.17)

Galima parodyti (ºr., pavyzdºiui, [9]), kad tokios aproksimacijos paklaida yradidis eiles O(h2), jeigu h/l = const.

Sudarant skirtumin¦ lygti kiekvien¡ ie²komos funkcijos i²vestin¦ pakeitemeatitinkamu skirtumu. Ta£iau yra galimas ir kitas skirtumines lygties sudarymobudas. Jo esme yra tame, kad vis¡ diferencialin¦ i²rai²k¡ kei£iame skirtumin¦i²rai²k¡ su neapibreºtais koecientais.

Imkime n tinklo ta²ku, supan£iu ta²k¡ (i, j). Ta²k¡ (i, j) paºymekime 0, oji supan£ius tinklo ta²kus 1, 2, . . . , n. Pavyzdºiui, kai n = 4, ta²k¡ 0 supan£iusta²kus 1, 2, 3, 4 galima imti taip kaip pavaizduota 7.3 paveikslelyje.

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

•••

•

3

20

1

4

7.3 pav.


Funkcijos u reik²m¦ ta²ke j paºymekime uj . Sudarykime tiesini darini

n∑j=0

cjuj .

I²skleiskime uj Teiloro formules pagalba ta²ko 0 aplinkoje ir gautas uj reik²mesistatykime i ²i darini. Tada surink¦ koecientus prie vienodu funkcijos u i²ves-tiniu, gausime

n∑j=0

cjuj =∑i+k≤n

γik

( ∂i+ku∂xi∂yk

)0

+R; (7.18)

£ia R liekamasis narys. Jeigu funkcijos u i²vestines iki n + 1 eiles imtinai yraapreºtos, tai R = O(hn+1), h maºiausias atstumas tarp ta²ku 0 ir 1, 2, . . . , n.Atkreipsime demesi i tai, kad koecientai γik tiesi²kai i²sirei²kia per cj . Neapi-breºtinius koecientus cj parenkame taip, kad (7.18) formules de²ine puse kuolabiau sutaptu su diferencialinio rei²kinio Lu reik²me ta²ke 0. Sulygin¦ koe-cientus prie ie²komos funkcijos ir jos pirmos bei antros eiles i²vestiniu, gausime

γ00 = d0, γ10 = p0, γ01 = q0, γ20 = 10, γ02 = b0, γ11 = 0.

Kadangi nagrinejama lygtis yra antros eiles lygtis, tai koecientai γik = 0, kaii + k > 2. Jeigu koecientus cj parinkti taip galima, tai i² (7.18) formulesgauname, kad

n∑j=0

cjuj =(Lu)

0 +R

ir diferencialin¦ lygti ta²ke 0 galima pakeisti skirtumine lygtimi

n∑j=0

cjuj = f0.

Vienas i² ²io metodo privalumu yra tas, kad vietoje sta£iakampio tinklo gal-ima imti ir kitoki tinkl¡ (pavyzdºiui, taisiklingu trikampiu arba taisiklingu²e²ekampiu).

I²nagrinesime ²i metod¡ Puasono lygties

∆u := uxx + uyy = f(x, y) (7.19)

atveju. Tarkime, tinklas yra kvadratinis ir imame keturis ta²k¡ 0 supan£iusta²kus 1, 2, 3, 4 (ºr. 7.3 pav.). Sukeit¦ Laplaso operatoriuje kintamuosius x ir ygausime Laplaso operatoriu. Be to, tinklo ta²kai 1, 2, 3, 4 yra i²sidest¦ simetri²kaita²ko 0 atºvilgiu. Todel tiesiniame darinyje

∆u :=n∑j=0

cjuj


galime imti c1 = c2 = c3 = c4 := c. I²skleid¦ uj Teiloro formule ta²ko 0 aplinkoje,gausime

u1:= u(x0 + h, y0 + h)= u0 +(hD+u+ h2

2! D2+u+ h3

3! D3+u+ h4

4! D4+u+ . . .

)0

u2:= u(x0 + h, y0 − h)= u0 +(hD−u+ h2

2! D2−u+ h3

3! D3−u+ h4

4! D4−u+ . . .

)0

u3:= u(x0 − h, y0 − h)= u0 −(hD+u−

h2

2! D2+u+ h3

3! D3+u−

h4

4! D4+u+ . . .

)0

u4:= u(x0 − h, y0 − h)= u0 −(hD−u−

h2

2! D2−u+ h3

3! D3−u−

h4

4! D4−u+ . . .

)0

ia operatoriai

D+ = ∂

∂x+ ∂

∂y, D− = ∂

∂x− ∂

∂y.

Istat¦ ²ias reik²mes i tiesini darini randame

∆u := c0u0 + 4cu0 +(

2ch2

2! (D2+ +D2

−)u+ 2ch4

4! (D4+ +D4

−)u+ . . .)

0

Konstantas c0 ir c parenkame taip, kad ²is rei²kinys aproksimuotu Laplasooperatoriu, t.y. reikalaujame, kad

c0 + 4c = 0, 2ch2 = 1, =⇒ c = 12h2 , c0 = − 2

h2 .

Tada (∆u)

0≈ 1

2h2 (u1 + u2 + u3 + u4 − 4u0)

ir Puasono lygti galima pakeisti skirtumine lygtimi

u1 + u2 + u3 + u4 − 4u0 = 2h2f0.

Tokios aproksimacijos paklaida yra O(h2).Tegu n = 8, tinklas yra kvadratinis ir ta²ku i²sidestimas yra pavaizduotas

7.4 paveikslelyje.

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

•

••• ••

••

•

3 05

87

2

4

61

7.4 pav.

Tada Puasono lygties skirtumin¦ aproksimacij¡ galima ie²koti pavidalu

L0 :=8∑j=0

cjuj = c0u0 + c1(u1 + u2 + u3 + u4) + c2(u5 + u6 + u7 + u8).


I²skleid¦ uj Teiloro foormule ta²ko 0 aplinkoje, gausime

L0 = (c0 + 4c1 + 4c2)u0 + h2(c1 + 2c2)(uxx + uyy)0+h4

12(c1 + 2c2)(ux4 + uy4)0 + c2h4(ux2y2)0+

2h6

6! (ux6 + uy6)0 + h6

12 c2(ux4y2 + ux2y4)0 + . . .

(7.20)

Tam, kad rei²kinys L0 aproksimuotu Laplaso operatoriu reikia koecientus c0, c1ir c2 apibr¦ºti taip, kad

c0 + 4c1 + 4c2 = 0, h2(c1 + 2c2) = 1.

Akivaizdu, kad tokiu aproksimaciju yra be galo daug. Todel i² visu tokiuaproksimaciju reikia pasirinkti toki¡, kuri kuo tiksliau aproksimuotu Laplasooperatoriu. Jeigu Laplaso operatoriu du kartus diferencijuosime pagal kintam¡jix, po to du kartus pagal kintam¡ji y ir gautus rei²kinius sudesime, tai gausimerei²kini

∆2u = (ux4 + uy4) + 2ux2y2 .

Gautame rei²kinyje koecientas prie mi²rios i²vestines yra du kartus didesnisuº koecient¡ prie vienodu i²vestiniu sumos. Pareikalav¦, kad ²i s¡lyga butupatenkinta (7.20) formuleje, gausime

c2 = 16h2 , c1 = 2

3h2 , c0 = − 103h2 .

Kadangi(∆u)0 = (uxx + uyy)0 = f0,

tai

L0 = f0 + h2

12(∆f)0 + 2h4

6! (fx4 + 4fx2y2 + fy4)0 + . . .

ir Puasono lygti galima pakeisti tokia skirtumine lygtimi

4(u1 + u2 + u3 + u4) + (u5 + u6 + u7 + u8)− 20u0

6h2 =

f0 + h2

12(∆f)0 + 2h4

6! (fx4 + 4fx2y2 + fy4)0

(7.21)

ios aproksimacijos paklaida yra O(h6). Ta£iau pastar¡j¡ formul¦ galima taikytitik tada, kai funkcija f yra pakankamai paprasta. Prie²ingu atveju (7.21) for-mules de²ineje lygybes puseje nari prie h4 atmetame, o nari (∆f)0 pakei£iameskirtumine i²rai²ka

1h2 (f1 + f2 + f3 + f4 − 4f0).

Rezultate gauname Puasono lygties skirtumin¦ lygti

4(u1 + u2 + u3 + u4) + (u5 + u6 + u7 + u8)− 20u0

6h2 =112(f1 + f2 + f3 + f4 + 8f0),

(7.22)


kurios aproksimacijos tikslumas yra eiles O(h4).Tarkime dabar, ta²kas 0 yra konturinis tinklo ta²kas. Kra²tines s¡lygos

aproksimavimas konturiniame tinklo ta²ke priklauso nuo kra²tines s¡lygos tipo.I² pradºiu nagrinekime Dirichle uºdavini, t.y. (7.16) lygti kartu su pirm¡jakra²tine s¡lyga

u∣∣Γ = ϕ(x, y). (7.23)

Kadangi 0 yra konturinis tinklo ta²kas, tai egzistuoja du gretutiniai ta²kai 1 ir2, esantis vienoje tinklo tieseje tokie, kad ta²kas 1 yra srityje Ω, o ta²kas 2 tiesesir konturo Γ sankirtoje (ºr. 7.5 pav.).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

............................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• •• 012

7.5 pav.

Tegu δ yra atstumas tarp ta²ku 0 ir 2, o h atstumas tarp ta²ku 0 ir 1. Interpoli-uodami funkcijos u reik²mes ta²kuose 1 ir 2 randame funkcijos u reik²m¦ ta²ke0, t.y.

u0 = δ

δ + hu1 + h

δ + hu2.

Tokios aproksimacijos paklaida yra eiles O(h2).Pabaigoje pateiksime vien¡ bud¡, kaip pakeisti Noimano kra²tin¦ s¡lyg¡

∂u

∂n

∣∣∣Γ

= ϕ(x, y)

skirtumine. Tegu 0 yra konturinis tinklo ta²kas. Konture Γ randame ta²k¡ 0∗toki, kad i² jo i²einanti normale eitu per ta²k¡ 0. Pasirenkame kokius nors duvidinius ar konturinius tinklo ta²kus 1 ir 2 tokius, kad tieses l1, l2 einan£ios perta²kus 0, 1 ir 0, 2 yra statmenos (ºr. 7.6 pav.).

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..........................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.....................................................................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• ••

•

0 10∗

2

l1

l2 n7.6 pav.

Tada∂u

∂n = ∂u

∂l1cosϕ0 + ∂u

∂l2sinϕ0 ≈

u1 − u0

h1cosϕ0 + u2 − u0

h2sinϕ0;


£ia kampas tarp normales n ir tieses l2, h1 ir h2 atstumai tarp ta²ku 0, 1 ir 0, 2.Todel Noimano kra²in¦ s¡lyg¡ konturiniame ta²ke 0 galima pakeisti skirtuminelygtimi

u1 − u0

h1cosϕ0 + u2 − u0

h2sinϕ0 = ϕ0.

P a s t a b a . Analogi²k¡ skirtumin¦ lygti galima para²yti ir tre£ios kra²tiness¡lygos atveju.

Para²¦ skirtumines lygtis kiekviename vidiniame tinklo ta²ke ir prie ju pri-jung¦ skirtumines lygtis konturiniuose tinklo ta²kuose, gausime tiesiniu algeb-riniu lyg£iu sistem¡, kurioje lyg£iu skai£ius sutampa su neºinomuju skai£iumi(t.y. su vidiniu ir konturiniu ta²ku skai£iumi). Dirichle uºdavinio atveju galimaparodyti, kad visos gautos skirtuminiu lyg£iu sistemos turi vieninteli sprendini,jei tik nagrinejamas tinklas yra pakankamai smulkus. Noimano uºdavinio atvejusprendinio egzistavimas ir vienatis priklauso nuo papildomu s¡lygu.


7.5 BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS PARABOLIN ES LYGTIESATVEJU

Nagrinesime parabolin¦ lygti

L(u) := ut − a2uxx + bux + cu = f(x, t), (7.24)

kurioje koecientai a, b, c ir f yra ºinomos tolydºios kintamuju x ir t funkcijos,a 6= 0. Ko²i uºdavinys ²iai lyg£iai formuluojamas taip. Pusplok²tumeje

R2+ = (x, t) : x ∈ R, t > 0

reikia rasti (7.24) lygties sprendini, tenkinanti pradin¦ s¡lyg¡

u∣∣0 = ϕ(x), x ∈ R,

ϕ ºinoma funkcija.Imkime sta£iakampi tinkl¡, kurio vir²unes (i, j) yra tiesiu

x = ih, i = 0,±1,±2, . . . ,t = jl, j = 0,±1,±2, . . . ,

sankirtos ta²kai. Kiekviename ta²ke (i, j), j ≥ 1 i²vestines ux ir uxx galimepakeisti skirtumais

ui+1j − ui−1j

2h , ir ui+1j − 2uij + ui−1j

h2 .

I²vestin¦ ut ta²ke (i, j) galima pakeisti vienu i² skirtumu

uij+1 − uijl

,uij − uij−1

l,uij+1 − uij−1

2l .

Taigi (7.24) diferencialin¦ lygti ta²ke (i, j) galima pakeisti viena i² skirtuminiulyg£iu

L1(uij) := uij+1 − uijl

− aijui+1j − 2uij + ui−1j

h2 +

bijui+1j − ui−1j

2h + cijuij = fij ,

L2(uij) := uij − uij−1

l− aij

ui+1j − 2uij + ui−1j

h2 +


2h + cijuij = fij ,

L3(uij) := uij+1 − uij−1

2l − aijui+1j − 2uij + ui−1j

h2 +


2h + cijuij = fij .

(7.25)

Pirmoji skirtumine lygtis aproksimuoja diferencialin¦ lygti tikslumuO(l+h2)ir joje yra ie²komos funkcijos u reik²mes keturiose tinklo ta²kuose (ºr. 7.7 pav.).

7.5. BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS PARABOLIN ES LYGTIES ATVEJU 197

Antroji skirtumine lygtis taip pat aproksimuoja diferencialin¦ lygti tikslumuO(l+ h2) ir ²ioje lygtyje ie²komos funkcijos u reik²mes yra apibreºtos keturiosetinklo ta²kuose (ºr. 7.8 pav.). Tre£ioji skirtumine lygtis aproksimuoja diferen-cialin¦ lygti tikslumu O(l2 +h2) ir ie²komos funkcijos u reik²mes yra apibreºtospenkiose tinklo ta²kuose (ºr. 7.9 pav.).

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

• • ••

••• •

••

•• •

i i i

j j j

7.7 pav. 7.8 pav. 7.9 pav.

Tinklo ta²kuose (i, 0) ie²komos funkcijos u reik²mes

ui0 = ϕ(ih) := ϕi, i = 0,±1,±2, . . .

Pirmoji ir tre£ioji skirtumines schemos vadinamos i²reik²tinemis, o antroji nei²reik²tine.

ilumos laidumo lygtiesut − uxx = 0

atveju gautas skirtumines lygtis galima perra²yti taip:

uij+1 = (1− 2α)uij + α(ui+1j + ui−1j),(1 + 2α)uij − α(ui+1j + ui−1j) = uij−1,

uij+1 = 2α(ui+1j − 2uij + ui−1j) + uij−1;(7.26)

£ia α = l/h2. Koecient¡ α geriausiai parinkti taip, kad gautos skirtumineslygtys butu kuo paprastesnes. Nagrinejamu atveju geriausiai imti α = 1/2.Tada gausime tokias tris skirtumines lygtis

uij+1 = 12(ui+1j + ui−1j),

4uij − (ui+1j + ui−1j) = 2uij−1,

uij+1 = ui+1j − 2uij + ui−1j + uij−1.

(7.27)

Praktiniams skai£iavimams geriausiai tinka pirmoji shema. I² pradºiu, nau-dojant pradines s¡lygas, randame funkcijos u reik²mes ta²kuose i, 1, po to nau-dojant ²ias reik²mes randamos funkcijos u reik²mes ta²kuose i, 2 ir t.t. Naudo-jant antr¡j¡ schem¡ reikia spr¦sti lyg£iu sistem¡. Naudojant tre£i¡j¡ schem¡ i²pradºiu, kokiu nors budu reikia rasti funkcijos u reik²mes ta²kuose (i, 1) Kituoseta²kuose funkcijos u reik²mes jau randamos lengvai. Ta£iau pastaruoju atvejupaklaida, atsiradusi kokiame nors ºingsnyje pereinant nuo vieno sluoksnio priekito, kaupiasi, dideja ir po keliu ºingsniu visi²kai i²kreipia sprendini. Todel prak-tikoje ji nenaudojama, nors pastaroji schema diferencialin¦ lygti aproksimuojatiksliau uº kitas dvi. Taigi skai£iuojant vienoms skirtuminems schemoms pak-laidos gali kauptis ir dideti, o kitoms ne.


Skirtumine schema vadinama stabilia, jeigu skai£iavimo paklaida, pereinantnuo vieno sluoksnio prie kito nedideja. Prie²ingu atveju skirtumine schema vad-inama nestabilia. Galima parodyti, kad ilumos laidumo lygties atveju pirmojii² (7.27) skirtuminiu schemu yra stabili, o tre£ioji ne.

Mi²rusis kra²tinis uºdavinys (7.24) lyg£iai formuluojamas taip. Rasti funk-cij¡ u, kuri cilindre

QT = (x, t) : x ∈ (a, b), t ∈ (0, T )

tenkintu (7.24) lygti, ta²ke t = 0 pradin¦ s¡lyg¡

u∣∣t=0 = ϕ(x), x ∈ [a, b],

o intervalo (a, b) kra²tiniose ta²kuose vien¡ i² kra²tiniu s¡lygu1

u∣∣x=a = µ(t), u

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ],

ux∣∣x=a = µ(t), ux

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ],

(ux + αu)∣∣x=a = µ(t), (ux + βu)

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ].

(7.28)

Kadangi lygtis yra sprendºiama sta£iakampyje QT , tai patogu imti sta£iakampitinkl¡, kurio vir²unes yra tiesiu

x = a+ ih, i = 0, 1, 2, . . . , N, N = (b− a)/h,t = jl, j = 0, 1, 2, . . . ,M, M = T/l

sankirtos ta²kai. Ta²kus, kurie yra tiesese x = a, x = b ir t = 0 vadinsimekonturiniais, o likusius cilindro QT ta²kus vidiniais. Jeigu ta²kas (i, j) yravidinis cilindro QT ta²kas, tai (7.24) lygti ²iame ta²ke galima pakeisti viena i²(7.25) skirtuminiu lyg£iu. Jeigu ta²kas (i, j) yra tieseje t = 0, tai funkcijos ureik²mes ta²ke (i, 0) apibreºiamos taip:

ui0 = ϕi, i = 0, 1, 2 . . . , N.

Kra²tiniuose ta²kuose x = a ir x = b i²vestin¦ ux kei£iame, atitinkamai, skirtu-mais

u1j − u0j

hir uNj − uNj−1

h.

Taigi galima sudaryti tris skirtingas nagrinejamo uºdavinio sprendimo schemas:

Lkuij = fij , i = 1, 2, . . . , N − 1, j = 0, 1, . . . ,M − 1,ui0 = ϕi, i = 1, 2, . . . , N,lau0j = µj , lbuNj = νj , j = 0, 1, . . . ,M,

k = 1, 2, 3;

(7.29)1Skiringose intervalo (a, b) kra²tiniose ta²kuose galima imti skirtingas kra²tines s¡lygas.

7.5. BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS PARABOLIN ES LYGTIES ATVEJU 199

£ia la ir lb yra operatoriai, aproksimuojantis kra²tines s¡lygas ta²kuose a ir b.Pavyzdºiui, tre£ios kra²tines s¡lygos atveju

lau0j = u1j − u0j

h+ αu0j , lbuNj = uNj − uN−1j

h+ βuNj .

Homogenines ²ilumos laidumo lygties atveju gautas tris skirtumines schemasgalima perra²yti taip:uij+1 = (1− 2α)uij + α(ui+1j + ui−1j), i = 1, . . . , N−1, j = 0, . . . ,M−1,

ui0 = ϕi, i = 1, 2, . . . , N,

lau0j = µj , lbuNj = νj , j = 0, 1, . . . ,M,(1 + 2α)uij − α(ui+1j + ui−1j) = uij−1, i = 1, . . . , N−1, j = 0, . . . ,M−1,

ui0 = ϕi, i = 1, 2, . . . , N,

lau0j = µj , lbuNj = νj , j = 0, 1, . . . ,M,uij+1 = 2α(ui+1j − 2uij + ui−1j) + uij−1, i = 1, .., N−1, j = 0, ..,M−1,

ui0 = ϕi, i = 1, 2, . . . , N,

lau0j = µj , lbuNj = νj , j = 0, 1, . . . ,M ;

£ia α = l/h2.P a s t a b a . Visose trijose schemose kra²tiniu s¡lygu aproksimacijos pak-

laida yra O(h). Norint padidinti kra²tiniu s¡lygu aproksimacijos tikslum¡ galimaprie tinklo prijungti dar dvi tieses x = a − h ir x = a + (N + 1)h. Tada prietinklo ta²ku prisides ta²kai (−1, j), (N + 1, j) ir i²vestin¦ ux ta²kuose (0, j),(N, j) galima aproksimuoti taip:

u1j − u−1j

2h ,uN+1j − uN−1j

2h .

Tokios aproksimacijos paklaida yra O(h2). Ta£iau padidejus tinklo vir²uniuskai£iui padideja neºinomuju ir lyg£iu skai£ius. Trukstamas lygtis gausimepara²¦ para²¦ diferencialines lygties skirtumin¦ lygti ta²kuose (0, j) ir (N, j).

Pasiekti kra²tiniu s¡lygu aproksimavimo tikslum¡ O(h2) galima ir kitaip.Sudarant skirtumini tinkl¡ vietoj tiesiu x = a + ih galima imti tieses x =a+ih−h/2, i = 0, 1, . . . , N+1. Tada tieses x = a ir x = b jau nebus tinklo tiesesir funkcijos u reik²mes kra²tiniuose ta²kuose x = a, x = b galima aproksimuoti,atitinkamai, taip:

u1j + u0j

2 ,uN+1j + uNj

2 ,

o i²vestines ux reik²mes taip:

u1j − u0j

h,

uN+1j − uNjh

.


Sakysime, skirtumine schema yra i²reik²tine, jeigu sudarant skirtumin¦ lygtiimami tinklo ta²kai yra i²sidest¦ taip, kad vir²utineje eiluteje yra tik vienasta²kas. Kitaip tariant i²reik²tineje schemoje neºinom¡ji su didºiausiu j indeksugalima i²reik²ti neºinomaisiais su indeksais j − 1, j − 2 ir t.t. Prie²ingu atveju,kai vir²utineje eiluteje yra daugiau nei vienas ta²kas, skirtumine schema vad-inama nei²reik²tine. Taigi pirmoji ir tre£ioji i² (7.29) schemu yra i²reik²tine,o antroji nei²reik²tine. Ai²ku, kad sistemas, sudarytas naudojant i²reik²tin¦schem¡, spr¦sti yra ºymiai papras£iau. Ta£iau £ia, kaip ir Ko²i uºdavinio atveju,pasirenkant sprendimo schem¡ i² pradºiu reikia i²siai²kinti ar ji yra stabili arne.

7.6. BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS HIPERBOLIN ES LYGTIES ATVEJU 201

7.6 BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS HIPERBOLIN ES LYGTIESATVEJU

Nagrinesime hiperbolin¦ lygti

L(u) := utt − auxx + bux + cut + qu = f(x, t), (7.30)

kurioje koecientai a, b, c, q ir f yra ºinomos tolydºios kintamuju x ir t funkcijos,a 6= 0 (hiperboli²kumo s¡lyga). Ko²i uºdavinys ²iai lyg£iai formuluojamas taip.Pusplok²tumeje

R2+ = (x, t) : x ∈ R, t > 0

reikia rasti (7.30) lygties sprendini, tenkinanti pradines s¡lygas

u∣∣0 = ϕ(x), , ut

∣∣0 = ψ(x), x ∈ R, (7.31)

ϕ ir ψ ºinomos funkcijos.ia, kaip ir parabolines lygties atveju, pusplok²tum¦ R2

+ padengiame sta£ia-kampiu tinklu, kurio vir²unes (i, j) yra tiesiu

x = ih, i = 0,±1,±2, . . . ,t = jl, j = 0,±1,±2, . . . ,

sankirtos ta²kai. Kiekviename ta²ke (i, j), j ≥ 1 i²vestines ut, ux, utt ir uxxgalime pakeisti, atitinkamai, skirtumais

uij+1 − uij1

2l ,ui+1j − ui−1j

2h ,uij+1 − 2uij + uij−1

l2,ui+1j − 2uij + ui−1j

h2 .

Taigi (7.30) diferencialin¦ lygti ta²ke (i, j) galima pakeisti skirtumine lygtimi

L(uij) := uij+1 − 2uij + uij−1

l2− aij

ui+1j − 2uij + ui−1j

h2 +


2h + cijuij+1 − uij−1

2l + qijuij = fij ,(7.32)

Pastaroji skirtumine lygtis aproksimuoja diferencialin¦ lygti tikslumu O(l2 +h2)ir joje yra ie²komos funkcijos u reik²mes penkiose tinklo ta²kuose (ºr. 7.10 pav.).

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

...................................................................................................................................

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

••

•• •

i

j

7.10 pav.

Tieseje t = 0, t.y. tinklo ta²kuose (i, 0) pirm¡j¡ pradin¦ salyg¡ kei£iametokia

ui0 = ϕ(ih) := ϕi, i = 0,±1,±2, . . .


Antr¡ pradin¦ s¡lyg¡ galima pakeisti skirtumu

ui1 − ui0l

= ψ(ih) := ψi, i = 0,±1,±2, . . .

Tokios aproksimacijos paklaida yra O(l). Norint padidinti aproksimavimo tik-slum¡ galima antr¡ pradin¦ s¡lyg¡ pakeisti skirtumu

ui1 − ui−1

2l = ψ(ih) := ψi, i = 0,±1,±2, . . .

Tokios aproksimacijos paklaida yra O(l2). Ta£iau ²iuo atveju reikia dar papil-domai para²yti (7.30) diferncialines lygties skirtumines lygtis tinklo ta²kuose(i, 0).

Mi²rusis kra²tinis uºdavinys (7.30) lyg£iai formuluojamas taip. Rasti funk-cij¡ u, kuri cilindre

QT = (x, t) : x ∈ (a, b), t ∈ (0, T )

tenkintu (7.30) lygti, ta²ke t = 0 pradines s¡lygas

u∣∣t=0 = ϕ(x), ut

∣∣t=0 = ψ(x), x ∈ [a, b], (7.33)

o intervalo (a, b) kra²tiniose ta²kuose vien¡ i² kra²tiniu s¡lygu1

u∣∣x=a = µ(t), u

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ],

ux∣∣x=a = µ(t), ux

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ],

(ux + αu)∣∣x=a = µ(t), (ux + βu)

∣∣x=b = ν(t), t ∈ [0, T ].

(7.34)

Kadangi lygtis yra sprendºiama sta£iakampyje QT , tai patogu imti sta£iakampitinkl¡, kurio vir²unes yra tiesiu

x = a+ ih, i = 0, 1, 2, . . . , N, N = (b− a)/h,t = jl, j = 0, 1, 2, . . . ,M, M = T/l

sankirtos ta²kai. Ta²kus, kurie yra tiesese x = a, x = b ir t = 0 vadinsimekonturiniais, o likusius cilindro QT ta²kus vidiniais. Jeigu ta²kas (i, j) yravidinis cilindro QT ta²kas, tai (7.30) lygti ²iame ta²ke kei£iame (7.32) skirtuminelygtimi. Jeigu ta²kas (i, j) yra tieseje t = 0, tai funkcijos u reik²mes ta²ke (i, 0)apibreºiamos taip:

ui0 = ϕi, i = 0, 1, 2 . . . , N.

Kra²tiniuose ta²kuose x = a ir x = b i²vestin¦ ux kei£iame, atitinkamai, skirtu-mais

u1j − u0j

hir uNj − uNj−1

h.

Tokiu aproksimaciju paklaida yra O(h). Padidinti i²vestines ux aproksimacijostikslum¡ galima lygiai taip pat kaip ir parabolines lygties atveju.

1Skiringose intervalo (a, b) kra²tiniose ta²kuose galima imti skirtingas kra²tines s¡lygas.

7.6. BAIGTINIU SKIRTUMU METODAS HIPERBOLIN ES LYGTIES ATVEJU 203

Taigi gavome toki¡ nagrinejamo kra²tinio uºdavinio sprendimo schem¡:Luij = fij , i = 1, 2, . . . , N − 1, j = 0, 1, . . . ,M − 1,ui0 = ϕi, i = 1, 2, . . . , N,lau0j = µj , lbuNj = νj , j = 0, 1, . . . ,M,

(7.35)

£ia la ir lb yra operatoriai, aproksimuojantis kra²tines s¡lygas ta²kuose a ir b(ºr. 7.5 skyreli).

Norint, kad skirtuminiu lyg£iu sistemos sprendinys butu artimas nagrineja-mo uºdavinio sprendiniui, £ia, kaip ir parabolines lygties atveju, tinklo ºingsniuh ir l pasirinkti visi²kai laisvai nagalima. Tuo lengvai galima isitikinti nagrineantKo²i uºdavini

utt − uxx = 0, x ∈ R, t > 0,u|t=0 = ϕ(x), ut|t=0 = ψ(x), x ∈ R.

iuo atveju bangavimo lygti kei£iame skirtumine lygtimi

uij+1 = 2uij − u1j−1 + αu2(ui+1j − 2uij + ui−1j), α = l/h.

Funkcijos u reik²mes ta²kuose (i, j), j = 0, 1 randame i² pradiniu s¡lygu. Po to,i² skirtumines lygties, randamos funkcijos u reik²mes ta²kuose (i, j), j = 2, 3, . . .I² ta²ko P = (i, j) breºiame du spindulius einan£ius per ta²kus (i− 1, j − 1) ir(i+ 1, j − 1) iki susikirtimi su x a²imi ta²kuose A ir B. (ºr. 7.11 pav.).

......................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................

..............

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

....................................................................................................................................................................................................................................................

....................................................................................................................................................................................................................................................

x

t •• • •• • • • •• • • • • • •• • • • • • • • •

P

A B DC

7.11 pav.

Sprendinio reik²m¦ uij nusako tinklo ta²kai esntis atkarpoje [A,B]. Bangav-imo lygties charakteristikos yra tieses x ± t = const. Jos, eidamos per ta²k¡ Pi²kerta x a²yje atkarp¡ [C,D] I² daliniu i²vestiniu lyg£iu teorijos yra ºinoma,kad bangavimo lygties sprendini u ta²ke (i, j) apibreºia pradines s¡lygos duo-tos atkaroje [C,D]. Jeigu α > 1, tai atkarpa [A,B] yra atkarpos [C,D] viduje.Jeigu pradines s¡lygas keisime tik atkarpose [C,A] ir [B,D], tai keisime ban-gavimo lygties sprendinio reik²m¦ ta²ke P, ta£iau neikeisime skirumines lygtiesreik²mes ²iame ta²ke. Vadinasi, kai α > 1, t.y. l > h skirtuminiu lyg£iu sistemossprendinys gali ir neareti i diferencialines lygties sprendini. Todel s¡lyga α ≤ 1yra butina, kad skirtumines lygties sprendinys artetu i diferencialines lygtiessprendini.

P a s t a b a . Kitokias hiperboliniu lyg£iu (taip kaip ir elipsiniu lyg£iu) skir-tumines schemas galima gauti neapibreºtu koecientu metodu.

204

LITERATURA

[1] Ambrazevi£ius A. Matematines zikos lygtys. D. 1. Vilnius: "Aldorija",1996. 380 p.

[2] Axiezeris N. I. Variacinio skai£iavimo paskaitos. Maskva: 1954. 248 p.rus.

[3] Bibikovas J. N Bendras paprastuju diferencialiniu lyg£iu kursas. Lenin-gradas: LGU, 1981, 232 p. rus.

[4] Golokvos£ius P. Diferencialines lygtys. Vilnius: TEV, 2000, 512 p.

[5] Kodingtonas A., Levinsonas N. Paprastuju diferencialiniu lyg£iu teorija.- M.: I*L 1958. - 476p. rus.

[6] Arnoldas V. Matematiniai klasikines mechanikos metodai. M.: Nauka,1979 ???p.

[7] Poluektovas R. A., Pichas J. A., vitovas I. A. Dinaminiai ekologiniusistemu modeliai. - L.: Gidrometeoizdat, 1980, 288 p. rus.

[8] Kvedaras B., Sapagovas M. Skai£iavimo metodai. Vilnius: "Mintis", 1974,516 p.

[9] Berezinas I.S., idkovas N.P. Skai£iavimo metodai. D. 2. Maskva: "Fiz-Mat", 1959. 620 p.

[10] Samarskis A.A., Michailovas A.P. Matematinis modeliavimas (idejos,metodai, pavyzdºiai). Maskva, "FizMatLit" 1997. ??? p.

Documents

Matematinis modeliavimas - Pradžia · 2016. 2. 12. · Matematinis modeliavimas ... pastar¡j¡ sistem¡ galima uºra²yti vejeektorin formoje y0= f(x,y). (1.6) P a s t a b a