Makro-ekonometrinis modeliavimas (Mikro …klevas.mif.vu.lt/.../dest/Mikro/Rasimavicius_konspektas.pdfPaskaitų konspektas Jonas Rasimavičius Vilnius 2008 1. Naudingumo maksimizavimo

KURKIME ATEITĮ DRAUGE!

Makro-ekonometrinis modeliavimas (Mikro ekonominiai pagrindai)

Paskaitų konspektas

Jonas Rasimavičius

Vilnius 2008

1. Naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimas Lagrange’o daugiklių metodu 1

1. Vartotojo pasirinkimo problemoje galima išskirti keturis svarbius aspektus. 1.1. Visi fiziškai įmanomi rinkiniai sudaro vartojimo aibę nX += , kitaip tariant, bet kurį

vartojimai aibei priklausantį rinkinį sudaro prekių kiekiai ir jie yra neneigiami. n1.2. Visi ekonomiškai įmanomi (įperkami) rinkiniai sudaro įmanomą aibę

, čia { }mpxXxxB ≤∈= ,| ≡ip atitinkamos prekės kaina, vartotojo (pastovios)

piniginės pajamos, . Pradinio išteklių rinkinio (endowment) modelyje

vartotojas gali parduoti savo turimą pradinį išteklių rinkinį

≡m

∑=

=n

iii xppx

1

x ir gauti pinigines pajamas xpm = . Šiuo atveju { }xppxXxxB ≤∈= ,| .

1.3. Pirmenybės santykis leidžia palyginti (išrikiuoti) prekių rinkinius. Racionalaus vartotojo pomėgiai (pirmenybės) arba pirmenybės santykis tenkina šias tris aksiomas

1.3.1. Pirmenybės santykis visiškas: x y arba x y arba abu, tai yra x ~ y , . yx,∀1.3.2. Refleksyvus: galioja x∀ x x . 1.3.3. Tranzityvus: , jei zyx ,,∀ x y ir y tai z x . z1.3.4. Jei pirmenybės santykis visiškas, refleksyvus, tranzityvus, o taip pat dar ir tolydus bei

monotoninis, tai egzistuoja tolydi naudingumo funkcija tokia, kad )(xu )~()ˆ( xuxu > tada ir tik tada kai x̂ f x~ , bei )~()ˆ( xuxu = , tada ir tik tada kai ~x̂ x~ . (Jei pirmenybės santykis tolydus, tai abejingumo kreivės yra tolydžios ir, jei monotoninis, tai abejingumo kreivės yra “siauros” ir neigiamo nuolydžio.)

1.4. Elgsenos prielaida: vartotojas renkasi geriausią įperkamą rinkinį. Išspręsti vartotojo pasirinkimo problemą reiškia rasti tokį, kad Bx ∈* *x xf , x∀ . Jei vartotojo pomėgius (pirmenybės santykį) galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį.

)(xu

2. Vartotojai renkasi prekių rinkinius. Apskritai tam tikrą rinkinį galima pažymėti vektoriumi

, čia atitinkamos prekės kiekis rinkinyje ),...,,( 21 nxxxx = ≡ix x , o prekių skaičius. (Paprastai simboliu

≡nx žymėsiu vektorių, nebent iš konteksto būtų aiškiai matyti kitaip.) Apskritai

yra prasminga manyti, kad individai iš visų įmanomų galimybių renkasi geriausią (geriausias), taigi ir vartotojai iš visų įperkamų rinkinių renkasi patį geriausią. Jei vartotojo pomėgius galima išreikšti tam tikra naudingumo funkcija , tai jo pasirinkimo problemą galima užrašyti kaip matematinį optimizavimo uždavinį , kai

)(xu)(max xu

xmpx = . Šio uždavinio sprendinys yra prekių

paklausų vektorius . )),(),...,,((),...,( 1**

1* mpxmpxxxx nn ==

3. Kai vartotojas renkasi tik dvi prekes ir jam optimaliai renkantis galioja lietimosi sąlyga, tai iš žemesnės pakopos mikroekonomikos studijų žinote, kad optimalų rinkinį galima surasti

sprendžiant dviejų lygčių sistemą ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+

2

1

2

1

2211

pp

uu

mxpxp. (Čia ir toliau

ii x

xxuu∂

∂=

),( 21 , o tai yra

naudingumo funkcijos dalinė išvestinė – atitinkamos prekės ribinis naudingumas). Antrąją

lygtį (lietimosi sąlygą) galima perrašyti 2

2

1

1

pu

pu

= . Atitinkamus ribinių naudingumų ir kainų

santykius galima prilyginti kol kas nežinomam dydžiui λ ir tokiu būdu gauti išraišką

λ==2

2

1

1

pu

pu

. Pastarąją galima išskaidyti į dvi lygtis λ=1

1

pu

ir λ=2

2

pu

, kurias toliau galima

pertvarkyti į 011 =− pu λ ir 022 =− pu λ . Galiausiai galima užrašyti naują lygčių sistemą


⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−=−

=+

00

22

11

2211

pupu

mxpxp

λλ . Nors pastarosios pavidalas skiriasi nuo pradinės lygčių sistemos

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+

2

1

2

1

2211

pp

uu

mxpxp, tačiau iš pirmosios galima lengvai sugrįžti į pastarąją. Taigi nors naujos lygčių

sistemos sprendinys yra tam tikras kintamųjų derinys ( , , ), o pradinės lygčių sistemos – prekių kiekių derinys ( , ), tačiau atitinkamų prekių kiekiai abejuose sprendiniuose sutampa, nes iš naujos lygčių sistemos galime gauti pradinę.

*1x

*2x

*λ*1x

*2x

4. Nesunku įsitikinti, kad trijų lygčių sistemą galima gauti ieškant tam tikros funkcijos maksimumo.

Tokia funkcija vadinama Lagrange’o funkcija (Lagrangean function, ar tiesiog Lagrangean), ji sudaroma tam tikru būdu į tikslo funkciją įtraukiant ir apribojimą (apribojamus). Jei pradinė naudingumo maksimizavimo problema buvo , kai , tai dabar ji

bus

),(max 21, 21xxu

xxmxpxp =+ 2211

)(),(),,(max 22112121,, 21xpxpmxxuxxL

xx−−+= λλ

λ, čia naujai sudaryta funkcija

)(),(),,( 22112121 xpxpmxxuxxL −−+= λλ ir yra Lagrange’o funkcija, o ≡λ Lagrange’o daugiklis. Toks optimizavimo uždavinio sprendimo būdas vadinamas Lagrange’o daugiklių metodu.

5. Norint rasti pasirinkimo kintamųjų reikšmes kurios suteiktų maksimalią reikšmę Lagrange’o funkcijai reikia rasti jos atitinkamas dalines išvestines ir prilyginti jas nuliui. Tokiu būdu gauname sistemą, kuri yra sudaryta iš lygčių dar vadinamų sprendinio radimo būtinosiomis arba pirmos eilės sąlygomis (necessary, first-order conditions). Šiuo konkrečiu atveju jos yra

0111

=−=∂∂ puxL λ ,

0222

=−=∂∂ puxL λ ,

02211 =−−=∂∂ xpxpmLλ

.

6. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad kartais Lagrange’o funkcija sudaroma ir šiek tiek kitaip, tai yra )(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −+−= λλ . Įsitikinkite, kad maksimizuodami tokią funkciją

gausite tas pačias būtinąsias sąlygas kaip ir anksčiau. Kita vertus, jei būtinosios sąlygos yra tokios pačios, tai ir uždavinio sprendinys bus tas pats.

7. Dabar pažiūrėkime kas atsitiktų jei Lagrange’o funkciją sudarytume dar kitaip, )(),(),,( 22112121 mxpxpxxuxxL −++= λλ . Iš būtinų sąlygų gautume tokią sistemą

. Tačiau ir iš pastarosios galima gauti ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=+=+

mxpxppupu

2211

22

11

00

λλ

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=+

2

1

2

1

2211

pp

uu

mxpxp, taigi abi sistemas

tenkins tie patys prekių kiekiai. Galima daryti išvadą, kad rasite tą patį optimalų prekių rinkinį nesvarbu kuriuo iš nurodytų būdų sudarytumėte Lagrange’o funkciją. Tačiau taikydami pirmuosius du būdus gautumėte teigiamo ženklo , o taikydami trečiąjį – neigiamo. *λ

8. Dabar apie Lagrange’o daugiklių metodo taikymo ribas. Jei vartotojo pirmenybės yra tokios, kad vartotojui optimaliai renkantis galioja biudžetinės tiesės ir abejingumo kreivės lietimosi sąlyga


( jijiij ppuuMRS ==|| , ) , tai vartotojo problemą visada galima spręsti Lagrange’o daugiklių metodu. Kai vartotojas renkasi n prekių kiekius, jo uždavinys yra

ji,∀

)()(),(max,

pxmxuxLx

−+= λλλ

, primenu, kad čia ),...,,( 21 nxxxx = . Jei renkantis optimaliai

galioja lietimosi sąlyga, tai vartotojas renkasi vidinį optimumą – rinkinį kuris nėra biudžetinės tiesės ir kurios nors iš ašių susikirtimo taške (tai jau būtų kraštinis optimumas). Lagrange’o daugiklių metodas gerai tinka vidinių optimumų radimui. Tačiau ypatingais atvejais vartotojas gali rinktis ir kraštinius optimumus (pvz. jei prekės visiškai pakeičia viena kita). Tokiu atveju Lagrange’o daugiklių metodą reiktų papildyti Kuhno-Tuckerio sąlygomis arba bandyti uždavinį išspręsti ne Lagrange’o daugiklių metodu, o kaip nors kitaip surandant kurį kraštutinumą pasirinks vartotojas. Dar vienas ypatingas atvejis gali pasitaikyti kai vartotojas renkasi rinkinį susidedantį iš tobulų papildinių. Nors pasirinktas rinkinys nebus “kraštinis”, tačiau lietimosi sąlyga negalios – per abejingumo kreivės “alkūnę” galima nubrėžti be galo daug tiesių ir nei viena iš jų netenkins liestinės apibrėžimo. Kita vertus, tokį uždavinį visai lengva spręsti netaikant diferencialinio skaičiavimo metodų.

9. Toliau laikysime, kad vartotojas renkasi prekių kiekius, o naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys yra vidinis optimumas. Suradę atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines

n

išvestines ir jas prilyginę nuliui gauname sprendinio radimo būtinąsias sąlygas (pirmos eilės sąlygas)

0111

=−=∂∂ puxL λ ,

0222

=−=∂∂ puxL λ ,

………………….. ,

0=−=∂∂

nnn

puxL λ ,

0...2211 =−−−−=∂∂

nn xpxpxpmLλ

.

Jei rūpi tik naudingumą maksimizuojantys prekių kiekiai, tai iš lygčių sistemos, kuriose yra Lagrange’o daugiklis

nλ , galima gauti 1−n lygčių sistemą be minėto daugiklio, šią sistemą

sudarytų ribinių pakeitimo normų ir kainų santykių lygybės. Sprendžiant šių lygčių ir biudžetinės tiesės lygties sistemą galima apskaičiuoti optimalius prekių kiekius arba prekių paklausas. Kitose paskaitose įsitikinsime, kad Lagrange’o daugiklis λ vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinyje turi įdomią ekonominę prasmę – tai ribinis pajamų naudingumas. Kitaip tariant, Lagrange’o daugiklio reikšmė parodo, kiek pasikeistų vartotojo naudingumas (jam renkantis optimaliai) jei jo pajamas pakeistume ribiniu dydžiu. Kita vertus, nors šis kintamasis ir turi ekonominę prasmę, tačiau dažniausiai nelabai rūpi uždavinių sprendime, juk ribiniai naudingumai nėra stebimi dydžiai.

10. Įsitikinkime kaip Lagrange’o daugiklių metodas veikia konkrečiu atveju. Laikykime, kad vartotojas gauna pajamas , renkasi dviejų prekių kiekius, prekės atitinkamai kainuoja ir , o jo pomėgius (pirmenybes) išreiškia Cobbo-Douglaso naudingumo funkcija . Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo uždavinį

m 1p 2pba xxxxu 2121 ),( =


)(max 221121,, 21xpxpmxx ba

xx−−+ λ

λ. Šio uždavinio būtinosios sąlygos , o

sprendinys (patikrinkite)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+=−

=−−

−

mxpxppxbx

pxaxba

a

2211

21

21

121

1

0

0

λ

λ

( ) ( ) ( )( )11**2*1 2121 ,,),,( −+−−++ += babpbapabapmbabpmbaa mbaxx λ .

11. Dabar tarkime, kad vartotojas renkasi trijų prekių kiekius, o jo naudingumo funkcija yra . Toks vartotojas rinksis lyg spręstų naudingumo maksimizavimo

uždavinį . Tačiau naudingumo funkciją galima

teigiamai monotoniškai transformuoti jei mus domina tik tai kokius prekių kiekius renkasi vartotojas (tikrovėje stebima elgsena). Naudingumo funkciją patogu logaritmuoti ir gauti

. Tada vartotojo uždavinys

cba xxxxxxv 321321 ),,( =)(max 332211321,,, 321

xpxpxpmxxx cbaxxx

−−−+ λλ

321321 lnlnln),,( xcxbxaxxxu ++=)(lnlnlnmax 332211321,,, 321

xpxpxpmxcxbxaxxx

−−−+++ λλ

, o jo būtinosios sąlygos

. Jei ir toliau liekame nuoseklūs ir laikome, kad mus domina tik

tikrovėje stebimi dydžiai, tai galime pertvarkyti lygčių sistemą ir atsikratyti Lagrange’o daugiklio

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

=++=−

=−

=−

−

−

−

mxpxpxppcx

pbxpax

332211

31

3

21

2

11

1

0

00

λ

λ

λ

λ . Nors dėl to ir prarasime galimybę sužinoti jo reikšmę, tačiau šiuo atveju ji mums ir nerūpi. Po tam tikrų pertvarkymų gauname tiesinių lygčių sistemą (iš pirmosios lygties dalijant likusiais)

. Ją galima užrašyti matricomis (žr. 2 priedą)

. Apskaičiuojame koeficientų matricos determinantą (patogu

skleisti stulpeliu ar eilute kur bent vienas elementas yra 0, pvz. antruoju stulpeliu):

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=++=+−=+−

mxpxpxpxapxcpxapxbp

332211

3311

2211

00

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−

mxxx

pppapcp

apbp00

00

3

2

1

321

31

21

0)()()(|| 32131231312 ≠++=−−−−−= pppcbaaapbpppappcpapA , nes , taigi šią lygčių sistemą galima spręsti Cramerio būdu (žr. 2 priedą).

0,,, >ipcba

( )1

3221

321

32

3

2*1 )(00

00

||1

pm

cbaappmapppcbaa

ppmap

ap

Ax

++=++== − ,

( )2

311

321

31

31

1*2 ))(()(0

00

||1

pm

cbabapbpmpppcbaa

pmpapcp

bp

Ax

++=−−++=−

−= − ,

( )3

211

321

21

1

21*3 )(00

0

||1

pm

cbacpmacppppcbaa

mppcp

apbp

Ax

++=++=−

−= − .

2. Lyginamosios statikos analizė. Neišreikštinės funkcijos teorema 1

1. Jeigu vartotojo pomėgius galima išreikšti naudingumo funkcija kurios konkreti išraiška

yra žinoma, pvz. n prekių Cobbo-Douglaso funkcija , čia

)(xu

∏==n

i inixxxxu

121),...,,( β

≡iβ naudingumo funkcijos parametras ( ni ,...,1= ), tai visą ekonomiškai reikšmingą informaciją apie tokio vartotojo elgseną galima sužinoti išsprendus naudingumo maksimizavimo uždavinį. Būtų galima tiksliai pasakyti kiek vartotojas pageidaus įsigyti tam tikros prekės, nes tai parodytų atitinkama paklausos funkcija

j

n

iijjj p

mmpxx ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛== ∑

=1

* ),( ββ . Atitinkami paklausos elastingumai (savos kainos, pajamų,

kryžminiai) apibūdintų kiek vartotojas yra jautrus modelio ekonominių parametrų pokyčiams. Taigi, visą reikšmingą vartotojo elgseną apibūdintume kiekybiškai.

),( mp

2. Jeigu manome ar žinome tik tiek, kad vartotojo pomėgius apskritai galima išreikšti kažkokia naudingumo funkcija , tačiau konkrečios jos išraiškos nežinome, vis tiek galime formuluoti iš principo empiriškai tikrinamus (verifikuojamus arba falsifikuojamus pagal Karlą Raimundą Popperį) teiginius. Tai daryti yra prasminga nes galima pritaikyti lyginamosios statikos – kokybinio pobūdžio analizės – metodą. (Mikroekonomika remiasi neoklasikine metodologija, o pastaroji mokslinėmis išvadomis laiko tik tokias teorines išvadas, kurias iš principo galima tikrinti empiriškai. Teorijos verifikavimas reiškia, kad remiantis šiuo metu žinomais tikrovės faktais tam tikros teorijos dar nepavyko paneigti, o falsifikavimas reiškia, kad pavyko rasti tikrovės faktų prieštaraujančių tam tikroms teorinėms išvadoms.)

)(xu

3. Jei konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tegalime užrašyti lygčių sistemą, kurią reiktų išspręsti jei naudingumo funkciją žinotume.

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−−−−=∂∂=−=∂∂

=−=∂∂=−=∂∂

0...0),...,,(

.....................................................0),...,,(

0),...,,(

2211

21

22122

12111

nn

nnnn

n

n

xpxpxpmLpxxxuxL

pxxxuxLpxxxuxL

λλ

λλ

.

4. Nors ir negalime iš šių lygčių sistemos rasti konkretaus sprendinio , tačiau tarkime, kad apskritai jis egzistuoja – jeigu žinotume konkrečią naudingumo funkcijos išrašką, jį tikrai surastume. Taigi, nors konkrečios naudingumo funkcijos išraiškos nežinome, tačiau bandykime atsakyti į klausimą ar galima ką nors pasakyti apie egzogeninių modelio parametrų, tai yra prekių kainų ir vartotojo gaunamų pajamų ( ) poveikį endogeniniams kintamiesiems ( ). Atsakyti padėtų dalinių išvestinių

),,...,,( ***2*1 λnxxx

mppp n ,,...,, 21**

2*1 ,...,, nxxx ij px ∂∂ ir

mx j ∂∂ ženklai. Teigiamas išvestinės ženklas rodytų teigiamą poveikį (pvz. 0jx m∂ ∂ > leistų daryti išvadą, kad padidėjus pajamoms padidės ir pareikalautas prekės kiekis), o neigiamas – neigiamą (pvz. 0j jx p∂ ∂ < leistų daryti išvadą, kad padidėjus savai kainai sumažėtų pareikalautas prekės kiekis). Nors ir nežinotume kiek ribinis parametro pokytis paveiktų tam tikrą endogeninį kintamąjį, tačiau žinotume poveikio kryptį.

5. Kad būtų paprasčiau toliau nagrinėkime tik dviejų prekių ( 2=n ) atvejį. Tada turėsime lygčių

sistemą ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=∂∂=−=∂∂=−=∂∂

00),(

0),(

2211

22122

12111

xpxpmLpxxuxLpxxuxL

λλλ

, ir jei apskritai egzistuoja jos sprendinys

susidedantis iš , ir , tai jis tenkina ),,( 211*1 mppxx = ),,( 212

*2 mppxx = ),,( 21

* mppλλ =


minėtą lygčių sistemą. Todėl iš tiesų turime lygčių sistemą

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=−−=−=−

0)),,(),,(0),,()),,(),,,((0),,()),,(),,,((

21222111

2212122112

1212122111

mppxpmppxpmpmppmppxmppxupmppmppxmppxu

λλ

6. Tarkime, kad mus domina kuria kryptimi pasikeistų vartotojo pasirinkimas jei padidėtų jo pajamos . Taikant lyginamosios statikos metodą visų pirma reikia diferencijuotim 1 būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas dominančio parametro atžvilgiu. Laikykime, kad naudingumo funkcija yra bent du kartus diferencijuojama (galima rasti ir antros eilės išvestines), todėl gauname tris

lygtis

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=∂∂

−∂∂

−

=∂∂

−∂∂

+∂∂

=∂∂

−∂∂

+∂∂

01

0),(),(

0),(),(

22

11

22

21221

2121

12

21121

2111

mxp

mxp

mp

mx

xxumx

xxu

mp

mx

xxumx

xxu

λ

λ

. Funkcijos išvestinė taip pat yra

funkcija, ji priklauso nuo tų pačių kintamųjų kaip ir pirmykštė funkcija. Pavyzdžiui jei naudingumo funkcija yra , tai jos atitinkamos eilės dalinės išvestinės taip pat yra

funkcijos:

),( 21 xxu

1 21 1 2

1

( , )( , ) u x xu x xx

∂=

∂ ir 2

1

212

1

2112111

),(),(),(x

xxux

xxuxxu∂

∂=

∂∂

= . Dalinė išvestinė

taip pat yra ir sudėtinė funkcija ),( 21 xxui )),,(),,,((),( 11221121 mppxmppxuxxu ii = . 7. Gautos lygtys yra tiesinės ieškomų išvestinių mx ∂∂ 1 , mx ∂∂ 2 ir m∂∂λ atžvilgiu. Jas

galima perrašyti matricų pavidalu ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

100

02

1

21

22221

11211

mmxmx

pppuupuu

λ. Nesunku matyti,

Cramerio taisyklę bus prasminga taikyti tik tada, kai lygčių sistemos koeficientų matricos determinantas nebus lygus nuliui. Šiuo atveju koeficientų matrica yra vadinama įrėmintu Hessianu (žr. priedą).

8. Tačiau šios mums itin svarbios matricos determinantas yra reikšmingas ir naudingumo maksimizavimo su apribojimu uždavinio sprendinio egzistavimui. Savo ruožtu, sprendinio egzistavimas siejasi su naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumo pobūdžiu (žr. priedą). Biudžetinė aibė yra iškila kai atkarpa jungianti bet kuriuos du aibės taškus taip pat priklauso aibei. Biudžetinė aibė visada bus iškila, jei biudžetinis apribojimas tiesinis (pvz. vartotojas, pirkdamas didesnius prekių kiekius, negauna kainų nuolaidų). Naudingumo funkcija yra kvaziįgaubta, jei neblogesnių rinkinių aibės (weakly preferred sets) yra iškilosios. Pavyzdžiui, neblogesnių rinkinių aibės nebus iškilosios, jei viena iš prekių yra blogybė. Tobulųjų pakaitalų ar tobulųjų papildinių atveju pirmenybės yra silpnai iškilosios (du abejingumo kreivės taškus jungianti atkarpa gali būti abejingumo kreivės dalimi), tačiau Cobbo-Douglaso pomėgių atveju turėsime griežtą iškilumą. Pasirodo, kad naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo ir tiesinio biudžetinio apribojimo pakanka tam, kad egzistuotų naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys.

9. Taigi galime būti tikri, kad visada egzistuos vartotojo, kuris mėgsta vartoti daugiau (pirmenybės yra monotoninės) ir mėgsta įvairovę (neblogesnių rinkinių aibė yra iškiloji), naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendinys. Tačiau jei laikome, kad galioja pakankamoji apriboto maksimumo radimo sąlyga (žr. priedą), tai mums rūpimas determinantas yra ne tik, kad nenulinis, tačiau ir teigiamas. Taigi, lyginamosios statikos metodą galima taikyti daugumai vartotojo pasirinkimo atvejų.

1 Diferencijuoti reiškia rasti funkcijos ( )f x išvestinę ( )df x dx .


10. Jeigu jau žinome, kad dėl padarytų prielaidų apie naudingumo funkcijos ir biudžetinės aibės kreivumą galioja 02 >= HA , tai toliau belieka rasti kitus determinantus, kurių prireiks ieškant mus dominančių išvestinių ir taikant Cramerio taisyklę. Randame

,))(1()1(01

00

12221212221213

2

222

112

1 pupupupup

pupu

A −=+−−−=−−

−−

= +

,))(1()1(01

00

21111211221123

1

212

111

2 pupupupup

pupu

A −=+−−−=−−

−−

= + ir

( ) )(1 122212211 pupuHAAmx −==∂∂ 0, nes 0 ir 122212 pupu −( ) )(1 211112222 pupuHAAmx −==∂∂ 0, nes 0. 211112 pupu −

11. Matome, kad apie naudingumo funkcijos pobūdį žinodami tik tiek, kad galioja jos kvaziįgaubtumo pakankamoji sąlyga, mažai ką galime pasakyti apie pajamų padidėjimo poveikį vartotojo elgsenai. Prekių paklausos gali ir padidėti ir sumažėti – tai priklauso ar prekė yra normali ar blogesnės kokybės.

12. Nors paprastai mus domina tik dydžiai stebimi tikrovėje (empiriškai tikrinami teiginiai), tačiau galime pasidomėti kaip pajamų padidėjimas paveiktų pajamų ribinį naudingumą λ . Deja, ir vėl poveikio vienareikšmiškai nustatyti negalima, nes

2211212

2122211

33

21

2221

1211

2

))(1()1(1

00

1 uuuuuupp

uuuu

HAAm −=−−−=

−−−==∂∂ +λλ 0.

13. Panagrinėkime padidėjimo poveikį. Pilnai diferencijuodami būtinąsias uždavinio sprendimo sąlygas šio parametro atžvilgiu gauname

1p

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−∂∂

−∂∂

−

=∂∂

−∂∂

+∂∂

=−∂∂

−∂∂

+∂∂

0

0),(),(

0),(),(

11

22

1

11

12

1

22122

1

12121

11

1

22112

1

12111

xpx

ppx

p

pp

pxxxu

pxxxu

pp

pxxxu

pxxxu

λ

λλ

. Toliau perrašome matricų pavidalu

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

∂∂∂∂∂∂

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

11

12

11

21

22221

11211

00 xp

pxpx

pppuupuu λ

λ ir taikome Cramerio taisyklę. Kadangi

121212222

21

222

112

1 )(0

0 xpupuppx

pupu

A −+−=−

−−

= λλ

,

111221121

11

212

111

2 )(0

0 xpupuppxp

pupu

A −+=−

−−

= λλ

, tai

AApx 111 =∂∂ , AApx 212 =∂∂ ir AAp 31 =∂∂λ . 14. Ieškodami pirmos prekės kainos ribinio pokyčio poveikio tos pačios prekės paklausai

gauname


( ) ))((1 121212222211 xpupupHpx −+−=∂∂ λ ( ) ( ) 12121222222 )(1 xpupuHHp −+−= λ . Tačiau ieškodami pajamų pokyčio poveikio sužinojome, kad

( ) )(1 12221221 pupuHmx −=∂∂ . Todėl ( ) 1122211 )( xmxHppx ∂∂−−=∂∂ λ 0. Dabar galime matyti, kad gavome Slutsky’o lygtį – pilnąjį kainos poveikį išskaidėme į pakeitimo ir pajamų efektus. Pakeitimo efektas (pirmasis narys) neabejotinai neigiamas, tačiau antrasis narys (pajamų efektas) gali būti teigiamas ( normalioji prekė 1x 01 >∂∂⇔ mx ) arba neigiamas ( blogesnės kokybės prekė 1x 01


6. Teoremos ir taisyklės veikimą galima paaiškinti labai paprastu pavyzdžiu. Turime lygtį , ją perrašę 424 21 =+ xx 0),( 21 =xxF pavidalu gauname lygtį

0424),( 2121 =−+= xxxxF , kuri apibrėžia neišreikštinę funkciją . Randame tolydžias išvestines ir

)( 12 xx41 =F 22 =F , taigi pirmoji teoremos sąlyga galioja. Be to galioja ir

antroji sąlyga , taigi neišreikštinė funkcija egzistuoja. Tuo lengva įsitikinti – tereikia išreikšti kito kintamojo atžvilgiu. Gauname

022 ≠=F )( 12 xx

2x 12 22 xx −= . Nors galime lengvai rasti išreikštos funkcijos išvestinę 2)22( 12 −=′−=′ xx , tačiau pritaikykime neišreikštinės funkcijos taisyklę. Gauname 2242112 −=−=−= FFdxdx .

7. Kai vartotojas renkasi prekių kiekius randame atitinkamas Lagrange’o funkcijos dalines išvestines, kiekvieną jų prilyginam nuliui ir gauname lygčių sistemą

Sistemos sprendinys – neišreikštinės (jų

išraiškos nežinomos) funkcijos ir – egzistuoja, jei galioja toliau išvardintos sąlygos

n1+n

.0...

,,...,1 ,0),...,,(

2211

21

⎩⎨⎧

=−−−−===−=

nn

inii

xpxpxpmLnipxxxuL

λ

λ

),(* mpxx ii = ),(* mpλλ =

8.1. Egzistuoja funkcijų ir tolydžios dalinės išvestinės visų argumentų atžvilgiu – ir endogeninių kintamųjų

iL λL),,...,,( 21 λnxxx ir egzogeninių parametrų .

Kitaip tariant, galima surasti Lagrange’o funkcijos antrąsias dalines išvestines prekių kiekių, Lagrange’o daugiklio, prekių kainų ir pajamų atžvilgiu.

),,...,,( 21 mppp n

8.2. Matricos, kurią sudaro ir , tai yra funkcijų ir dalinės išvestinės endogeninių kintamųjų

ijL jLλ iL λL),,...,,( 21 λnxxx atžvilgiu, įvertintos tam tikrame taške

tenkinančiame būtinąsias sąlygas, determinantas nelygus nuliui. Atkreipdami dėmesį į tai, kad

),,...,,,,,...,,( 21**

3*2

*1 mpppxxx nλ

ijij uL = , ii pL −=λ ir , galime

užrašyti

0=λλL

0

02121

222221

111211

21

21

222221

111211

≠

−−−−

−−

=

n

nnnnn

n

n

n

nnnnn

n

n

ppppuuu

puuupuuu

LLLLLLLL

LLLLLLLL

L

L

MMOMM

L

L

L

L

MMOMM

L

L

λλλλλ

λ

λ

λ

. Taigi mus

dominančią matricą sudaro antrosios naudingumo funkcijos išvestinės įrėmintos stulpeliu ir eilute susidedančia iš kainų vektoriaus ir nulio. Tokia matrica vadinama įrėmintu Hessianu (bordered Hessian matrix). Ji paprastai žymima nH , nors jos dimensijos yra

)1()1( +×+ nn . Šios matricos determinanto || nH ženklą lemia naudingumo funkcijos ir biudžetinio apribojimo įgaubtumo (iškilumo) pobūdis. Kaip matysime toliau, šios sąlygos bus tenkinamos jei galios pakankama naudingumo funkcija kvaziįgaubtumo sąlyga, o biudžetinis apribojimas bus tiesinis.

9. Funkcijos įgaubtumas ar iškilumas yra svarbus jos kreivumo pobūdžio apibūdinimas. Galima išskirti įvairius atvejus – kvazi, griežtą, negriežtą įgaubtumą ar iškilumą (pvz. griežtas kvaziįgaubtumas). Nuo funkcijos kreivumo pobūdžio priklauso tai ar galima surasti maksimumo ar minimumo tašką.

10. Jei norime rasti kažkokios vieno kintamojo diferencijuojamos funkcijos maksimumą nesant jokių apribojimų

)(xux reikšmėms (įsivaizduokite, kad vartotojas nėra saistomas jokio

biudžetinio apribojimo), tai visų pirma reikia rasti )(xu′ , po to sudaryti lygtį 0)( =′ xu ir ją išspręsti. Nors ši sąlyga yra būtina, kad galiotų , tačiau jos nepakanka, nes galėjome rasti ne maksimumą, o minimumą, tai yra . Jei funkcija didėtų

xxuxu ∀> ),()( *

xxuxu ∀< ),()( *


( ) iki taško , už taško mažėtų (0)( >′ xu *x *x 0)(


gautume įrėmintą matricą 44× 3H ir taip toliau. Jei šių matricų determinantams galioja

02 >H , 03 H , …, 0)1( >− nn H , tai to pakanka, kad, iš būtinųjų sąlygų būtų

galima rasti maksimumą (Chiang, psl. 384-385, Silberberg, psl. 173-180). Determinantų ženklų sąlyga yra pakankamoji arba antros eilės sąlyga, pastarasis pavadinimas kilęs iš to, kad šiai sąlygai suformuluoti prireikia antrųjų išvestinių. Kaip jau buvo minėta, pakankamoji maksimumo radimo sąlyga glaudžiai siejasi su naudingumo funkcijos kreivumo pobūdžiu. Jei biudžetinis apribojimas yra tiesinis, tai pakankamos maksimumo radimo sąlygos galiojimas reikš ir naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo pakankamosios sąlygos galiojimą (Chiang, psl. 394-397). Taigi, norint taikyti lyginamosios statikos metodą pakanka padaryti prielaidą, kad vartotojo pomėgius galima išreikšti bent du kartus diferencijuojama kvaziįgaubta naudingumo funkcija.

16. Jei vartotojas renkasi dviejų prekių kiekius ( 2=n atvejis), tai tereikia sudaryti matricą

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=021

22221

11211

2

pppuupuu

H ir apskaičiuoti jos determinantą (tik vieną)

=+−−−+−−−= ++ )()1()()1( 12121123

212221213

12 pupuppupupH2 2 2 2

12 1 2 22 1 11 2 21 1 2 12 1 2 22 1 11 22u p p u p u p u p p u p p u p u p= − − + = − − . Jei galioja 02 >H , tai to pakanka, kad galėtume rasti maksimizavimo uždavinio sprendinį, kita vertus tai taip yra ir pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga.

3. Gerovės pokyčių matavimas. Dualumo metodų taikymas. Gaubtinės (envelope) teorema 1

1. Praeitoje paskaitoje matėte kaip mikroekonominė vartojimo sprendimų analizė leidžia numatyti vartotojų prisitaikymą prie tam tikrų ekonominės aplinkos (egzogeninių parametrų) pokyčių. Dažnai mums gali rūpėti kaip dėl tokių pokyčių pasikeičia vartotojų gerovė. Tai ypač svarbu vertinant ekonominės politikos pokyčius – pageidautina išmatuoti teikiamą naudą ar nuostolį.

2. Ekonominės aplinkos pasikeitimo nulemtą vartotojo gerovės pokytį paprasčiausia apskaičiuoti kaip vartotojo perviršio pokytį. Ta pati paklausos kreivė atitinka tiek tiesioginę paklausos funkciją (rodančią kiek vartotojas norėtų ir galėtų pirkti prekės esant tam tikrai jos vieneto kainai) tiek ir atvirkštinę paklausos funkciją (rodančią kiek vartotojas norėtų ir galėtų mokėti už prekės vienetą pirkdamas tam tikrą jos kiekį). Pastaroji paklausos kreivės interpretacija leidžia manyti, kad paklausos kreivės aukščio (kainos kurią vartotojas norėtų ir galėtų mokėti) ir sumokamos kainos skirtumas yra vartotojui tenkantis naudos perviršis. Toks kainų skirtumas parodo tam tikro prekės vieneto teikiamą perviršį, o perviršį už visą įsigytą prekės kiekį parodo plotas

kairiau paklausos kreivės . Kita vertus, jei žinome tiesioginę

paklausos funkciją , tai pasikeitus tam tikros prekės kainai , galime

apskaičiuoti kito aprėžtojo integralo reikšmę , ji parodys vartotojo

perviršio pokytį. Verta atkreipti dėmesį į tai, kad taip apibrėžto

*ix

∫ −=*

0

**)()(ix

iiiiii xxpdxxpCS

),( mpxi01iii ppp −=Δ

CSdpmpxii

p

p iiΔ=∫

0

1),(

CSΔ ženklas yra priešingas ipΔ ženklui.

3. Nors šis vartotojo gerovės pokyčių matavimo būdas yra plačiai taikomas ir laikomas klasikiniu (pirmą sistemingą analizę galima aptikti įžymaus ekonomisto Alfredo Marshallo knygoje Principles of Economics), tačiau jis nėra visada pakankamai tikslus ir tinkamas.

4. Prisiminkime vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinį. Kai jį išsprendžiame, galime paklausas ir Lagrange’o daugiklį įrašyti į Lagrange’o funkciją. Uždavinio sprendinys privalo tenkinti biudžetinį apribojimą, todėl gauname išraišką

. Tai optimalaus vartojimo prekių rinkinio teikiamas maksimalus naudingumas, kitaip tariant didžiausias naudingumas, kurį galima gauti, esant ekonominės aplinkos parametrams . Prekių kainų ir gaunamų piniginių pajamų nulemtą maksimalų naudingumą galima vadinti netiesiogine naudingumo funkcija (indirect utility function) ir žymėti

),(* mpxx ii = ),(* mpλλ =

( ) )),((0),()),((),(),()),((* mpxumpmpxumppxmmpmpxuL =⋅+=−+= λλ

),( mp

)),((),( mpxumpv = . 5. Netiesioginės naudingumo funkcijos argumentai (nepriklausomi kintamieji) yra prekių kainos ir

vartotojo pajamos, nes šią funkciją gavome į naudingumo funkciją įrašydami prekių paklausas, kurios pačios priklauso nuo prekių kainų ir vartotojo pajamų. Jeigu informacija apie prekių paklausas slypi netiesioginėje naudingumo funkcijoje, tai gal yra įmanoma jas atskleisti jei žinai konkrečią netiesioginės naudingumo funkcijos išraišką? Taip, tik reikia pritaikyti gaubtinės (envelope) teoremą.

6. Gaubtinės teorema teigia, kad ieškant optimizuotos funkcijos išvestinės tam tikro parametro atžvilgiu yra svarbus tik tiesioginis jo poveikis. Štai teoremos taikymo pavyzdys. Tarkime, kad siekiame rasti funkcijos ekstremumą, čia ),,( 21 axxf ≡a tam tikras parametras. Randame pirmos eilės sąlygas, 0),,( 211 =axxf ir 0),,( 212 =axxf . Jei galioja neišreikštinės funkcijos teoremos sąlygos, tai egzistuoja šios lygčių sistemos sprendinys – funkcijos ir . Sprendinį įrašę į pradinę funkciją, gauname optimizuotą arba optimalios reikšmės funkciją

)(1 ax )(2 ax

)()),(),(( 21 aaaxaxf φ= , pastaroji priklauso tik nuo parametro . Jei mus domina kaip šią funkciją paveiktų ribinis pokytis, reikia rasti

aa daad )(φ . Taigi,

afdadxf

dadxfaaxaxf

dad

daad

++== 221

121 )),(),(()(φ , čia pirmasis narys yra netiesioginis

parametro poveikis (funkcijos )(aφ reikšmę veikia paveikdamas ), antrasis – taip pat netiesioginis parametro poveikis (per ), o trečiasis – tiesioginis parametro poveikis. Tačiau

1x

2x


021 == ff , nes šios dalinės išvestinės yra įvertintos uždavinio sprendinio taške. Todėl

afdaad

=)(φ , o tai reiškia, kad diferencijuojant optimizuotą funkciją tam tikro parametro atžvilgiu

svarbus yra tik tiesioginis jo poveikis. 7. Taikydami gaubtinės teoremą gauname, kad netiesioginės naudingumo funkcijos, o tuo pačiu ir

optimizuotos Lagrange’o funkcijos (prisiminkite, kad ) dalinė

išvestinė pajamų atžvilgiu yra

),()),(),,((* mpvmpmpxLL == λ* ( ( , ), ( , )) ( , )L L x p m p m p m

m mλ λ∂ ∂=

∂ ∂=

)

, juk pajamos tiesiogiai

Lagrange’o funkciją veikia taip kaip parodytas rodykle pateiktoje išraiškoje,

. Taigi Lagrange’o daugiklio ekonominė prasmė –

ribinis pajamų naudingumas. Kita vertus, taikydami gaubtinės teoremą gauname labai svarbų

rezultatą vadinamą Roy’aus tapatybe:

(* ( ( , )) ( , ) ( , )L u x p m p m m px p mλ ↑= + −

mmpvpmpv

mpx ii ∂∂∂∂

−=),(),(

),( . Ji atskleidžia prekių

paklausas slypinčias netiesioginėje naudingumo funkcijoje. Tapatybės išvedimas: taikome gaubtinės teoremą ir randame ipv ∂∂ ir mv ∂∂ . Diferencijuodami optimizuotą Lagrange’o funkciją atitinkamų parametrų atžvilgiu gauname =∂∂ ipv

* ( , ) ( , )i iL p p m x p mλ∂ ∂ = − ir =∂∂ mv * ( , )L m p mλ∂ ∂ = . Šių išvestinių santykis su neigiamu ženklu yra atitinkamos prekės

paklausa, ( , )i ix x p mλ

λ−

− = .

8. Taikydami Roy tapatybę galima nesunkiai įsitikinti, kad paskaitos pradžioje pateikto pavyzdžio paklausas galima gauti iš tam tikros netiesioginės naudingumo funkcijos, jos pavidalas yra

. Tada esant pradinėms kainoms vartotojas gavo naudingumą , o esant galutinėms kainoms – . Gavome , taigi vartotojo gerovė sumažėjo.

)(2)(2),( 32312123

22

21321 ppppppppppppmmpv ++−+++−−−=

75.0),( 0 −= mmpv15.1),( 1 −= mmpv ),(),( 01 mpvmpv <

9. Iki šiol vartotojo problemą formulavome kaip naudingumo maksimizavimą su apribojimu – biudžetinėje aibėje ieškodavome optimalaus prekių rinkinio. Tačiau vartotojo problema yra dvilypė ir jau minėtą formuluotę atitinka duali vartotojo problemos formuluotė. Galime įsivaizduoti, kad vartotojas stengiasi kuo mažesnėmis išlaidomis pasiekti tam tikrą naudingumą. Tai reikštų, kad vartotojas , kai px

xmin uxu =)( arba taikant Lagrange’o daugiklių metodą

))((),(min,

xuupxxLx

−+= λλλ

. Taigi vartotojas perka rinkinį x , patiria išlaidas px ir privalo

gauti naudingumą . uxu ≥)(10. Pastarasis uždavinys vadinamas išlaidų minimizavimo problema (expenditure minimization

problem). Jį spręsdami Lagrange’o daugiklių metodu gauname būtinąsias (pirmos eilės) sąlygas

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=−=∂∂=−=∂∂

=−=∂∂=−=∂∂

0),...,,(0),...,,(

.....................................................0),...,,(

0),...,,(

21

21

21222

21111

n

nnnn

n

n

xxxuuLxxxupxL

xxxupxLxxxupxL

λλλ

λλ

.

11. Šio uždavinio sprendimo būdas beveik nesiskiria nuo naudingumo maksimizavimo uždavinio sprendimo. Iš pirmųjų lygčių galima gauti n 1−n lygtį be Lagrange’o daugiklio λ . Šios lygtys

turės pavidalą j

i

j

i

uu

pp

= , tai abejingumo kreivės ir išlaidų tiesės lietimosi sąlyga. Jei galioja

pakankama naudingumo funkcijos kvaziįgaubtumo sąlyga (pakankama sprendinio egzistavimo


sąlyga) ir yra žinoma konkreti naudingumo funkcijos išraiška, tai spręsdami lietimosi sąlygų ir naudingumo apribojimo sąlygos sistemą (viso lygčių) rasime sąlygines prekių paklausas (conditional demands). Sąlyginės prekių paklausos paprastai žymimos funkcijomis , siekiant jų nepainioti su iš vartotojo maksimizavimo uždavinio gautomis prekių paklausomis. Ir įprastinės prekių paklausos ir sąlyginės priklauso nuo prekių kainų, tačiau jos skiriasi ne tik tuo, kad įprastinės paklausos priklauso nuo pajamų, o sąlyginės – nuo naudingumo, bet ir tuo, kad įprastines prekių paklausas galima stebėti tikrovėje, o sąlyginės paklausos tėra teoriniai dariniai kurių tiesiogiai stebėti neįmanoma. Įprastinės prekių paklausos dar vadinamos Marshallo paklausomis (Marshallian demands), o sąlyginės – Hickso paklausomis (Hicksian demands). (Pavadintos įžymių ekonomistų Alfredo Marshallo ir Johno R. Hickso garbei.)

1−nn

),( uphi

12. Surastą išlaidų minimizavimo uždavinio sprendinį galime įrašyti į tikslo funkciją ir gauti taip

vadinamą išlaidų funkciją . Išlaidų funkcija rodo kiek reikia

mažiausiai išleisti pinigų norint gauti naudingumo esant

∑=

==n

iii uphpupphupe

1),(),(),(

u ),...,,( 21 npppp = prekių kainoms. Išlaidų funkcija jau yra optimizuota (optimalios reikšmės), todėl sumanę rasti jos išvestinę parametro atžvilgiu galime taikyti gaubtinės teoremą: jp

* ( , ) ( , )j jL p e p u p h p u∂ ∂ = ∂ ∂ = j . Šis rezultatas žinomas kaip Shephardo lema. (Lema paprastai vadinamas pagalbinis teiginys, kuriuo grindžiamas kokios nors teoremos įrodymas)

13. Kadangi išlaidų minimizavimo uždavinys yra dualus vartotojo naudingumo maksimizavimo uždavinio atitikmuo, todėl jie turėtų būti tam tikru būdu susiję. Minėtų uždavinių sąsajas parodo šios tapatybės (jas galima įrodyti, tačiau tai jau yra už dėstomo dalyko ribų).

13.1. , naudingumui gauti yra būtinos minimalios išlaidos . mmpvpe ≡)),(,( ),( mpv m13.2. , su pajamomis galima gauti maksimalų naudingumą u . uupepv ≡)),(,( ),( upe13.3. ),()),(,( mpxmpvph ii ≡ , ni ,...,1= , jei vartotojas gauna pajamas , tai jo įprastinė

paklausa yra lygi sąlyginei paklausai priklausančiai nuo naudingumo . m

),( mpv13.4. , , sąlyginė paklausa priklausanti nuo naudingumo u yra

lygi įprastinei paklausai jei vartotojas gauna pajamas . (Ši tapatybė stebimą įprastinę paklausą susieja su sąlygine paklausa, kurios tiesiogiai stebėti neįmanoma.)

),()),(,( uphupepx ii ≡ ni ,...,1=),( upe

14. Pasinaudodami paskutiniąja tapatybe ir Shephardo lema galime išvesti Slutsky’o lygtį ir kitu būdu, kuris skiriasi nuo praeitos paskaitos lyginamosios statikos metodo. Diferencijuojame abi

tapatybės puses kainos atžvilgiu, gauname ipi

i

i

i

i

i

ph

pupe

mx

px

∂∂

=∂

∂∂∂

+∂∂ ),(** . Ši lygtis parodo, kad

tam tikros kainos pilnas poveikis sąlyginei paklausai ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

i

i

ph

susideda iš dviejų poveikių

(prisiminkime, kad kiti tokios paklausos argumentai lieka pastovūs, taigi ir naudingumas išlaikomas pastovus). Pirma, kaina veikia tikrovėje stebimą paklausą (čia piniginės pajamos išlieka

nepakitę), tai parodo i

i

px∂∂ *

. Antra, stebimą paklausą veikia (įsivaizduojamai) besikeičiančios

piniginės pajamos ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

mxi

*

, jos keičiasi tiek, kad naudingumas išliktų pastovus ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂

ipupe ),( .

Pritaikę Shephardo lemą gaunam i

ii

i

i

i

ph

hmx

px

∂∂

=∂∂

+∂∂ **

. Tačiau , todėl ),()),(,( uphupepx ii ≡

i

ii

i

i

i

ph

xmx

px

∂∂

=∂∂

+∂∂ *

**

. Pertvarkę šią lygtį gauname ***

ii

i

i

i

i xmx

ph

px

∂∂

−∂∂

=∂∂

, kitaip tariant, tam tikros

kainos poveikis stebimai paklausos funkcijai susideda iš pakeitimo ir pajamų efektų.


15. Tačiau tęskime gerovės pokyčio matavimo problemos nagrinėjimą. Pradinėje padėtyje vartotojas moka kainas ir gauna pajamas, galutinėje padėtyje moka kainas ir gauna pajamas. (Čia kaip ir anksčiau ir yra vektoriai, ir .) Jei vartotojo pomėgiai išreiškiami tolydžia, didėjančia ir kvaziįgaubta naudingumo funkcija , tai juos išreikš ir netiesioginė naudingumo funkcija , pastaroji parodo maksimalų vartotojo naudingumą tam tikroje ekonominėje aplinkoje. Taigi, galima tvirtinti, kad padėčiai keičiantis iš pradinės į galutinę, vartotojo gerovė pasikeis . Pokyčio ženklas parodytų kuria linkme kinta vartotojo gerovė, tačiau laikantis ordinaliosios naudingumo sampratos, netiesioginės naudingumo funkcijos pokyčio modulis

0p 0m 1p 1m0p 1p ),...,,( 002

01

0npppp = ),...,,(

112

11

1npppp =

)(xu),( mpv

),(),( 0011 mpvmpvv −=Δ

vΔ nesuteikia jokios prasmingos informacijos. Funkcija matuojama tais pačiais matavimo vienetais kaip ir funkcija , o kas gali pasakyti kokiais vienetais matuojama pastaroji? Svarbus yra tik pokyčio ženklas – jei

, tai vartotojui geriau, o jei

),( mpv )(xu

0>Δv 0 0>CV10ii pp < 0


turėti pajamų. Iš ir gauname , tai pajamų pokytis savo poveikiu naudingumui prilygstantis kainų

pokyčiui, todėl jis vadinamas ekvivalentine pajamų variacija arba tiesiog ekvivalentine variacija (equivalent variation). Šios pajamų variacijos ženklas parodo ar vartotojas pinigus turėtų gauti ( ) ar atiduoti ( ). Kita vertus, ženklas parodo ir vartotojo gerovės pokytį dėl kainų pokyčio kai joks lygiavertis (teigiamas ar neigiamas) pajamų pokytis nėra įvykdomas.

EVmupe +=),( 10 mupe =),( 11 EVmupe +=),( 10

),(),( 1110 upeupeEV −=

0>EV 0 0>EV

10ii pp < 0EVCSCV


21. Ypatingu atveju bet kuris aptartas gerovės matas yra vienodai tikslus. Jei naudingumo funkcija yra kvazitiesinė, tai bet kuriai prekei, išskyrus sudėtinę (pastaroji matuojama išlaidomis visoms kitoms prekėms) galioja 0* =∂∂ mxi , o tai reiškia, kad pajamų efektas yra lygus nuliui. Todėl iš Slutsky’o lygties matyti, kad iiii phpx ∂∂=∂∂

* . Įprastinės paklausos kreivė sutampa su sąlyginės paklausos kreive, todėl sutampa ir atitinkami plotai kairiau kreivių, o tai reiškia, kad

. EVCSCV =Δ=

4. Pasirinkimas esant ateities neapibrėžtumui 1

1. Tikrovės įvykių labai dažnai neįmanoma numatyti tiksliai arba visiškai apibrėžtai. Jei ateitis tėra apibrėžta tiek, kad galime išvardinti visus įmanomus įvykius ir jų tikimybes, tai susiduriame su ateities neapibrėžtumu (angliškai tai apibūdinama vienu žodžiu uncertainty). Tokį ateities neapibrėžtumą reiktų skirti nuo padėties, kai iš principo neįmanoma žinoti kas gali įvykti – tai kartais vadinama radikaliu ateities neapibrėžtumu (radical ucertainty). Tačiau pastarąją neapibrėžtumo atmainą labiau prasminga apmąstyti filosofijos požiūriu negu analizuoti mikroekonomikos metodais.

2. Apibrėžkime kaip visų įmanomų įvykių aibę, kaip jos poaibį, o įmanomo įvykio tikimybę pažymėkime . Kokia prasmė bebūtų priskiriama tikimybės sąvokai (įvykio santykinis dažnis, subjektyvaus įsitikinimo matas ar dar kas nors), matematiškai ji yra funkcija priskirianti realius skaičius tam tikriems įvykiams (W poaibiams) ir tenkinanti toliau išvardintas sąlygas.

W iw iw)( ii wpp =

2.1. Bet kuriam įvykiui galioja . iw 0)( ≥iwp2.2. Visų įmanomų įvykių aibei galioja 1)( =Wp . 2.3. Bet kuriai baigtinei ar begalinei nesutaikomų įvykių sekai , galioja ,...,, 321 www

...)()()(...)( 321321 +++= wpwpwpwwwp UUU . 3. Modeliuose dažnai nagrinėsime pačią paprasčiausią ateities neapibrėžtumo situaciją, joje bus

tik du nesutaikomi įvykiai – baigmė ir baigmė , jų atitinkamos tikimybės 1w 2w 10 1


laukiamą turtą esant pilnam apibrėžtumui. Vartotojas norėtų sumokėti, kad galėtų sumažinti riziką.

Ew

6.3. Jei 1 2 1 2( ) ( ) (1 ) ( ) ( (1 ) ) ( )Eu w pu w p u w u pw p w u Ew= + − > + − = , tai vartotojas yra linkęs rizikuoti (risk loving). Loterija teikia daugiau naudingumo negu galimybė gauti laukiamą turtą esant pilnam apibrėžtumui. Ew

7. Nenoro rizikuoti sąlyga bus visada tenkinama, jei bus griežtai įgaubta (tuo galima įsitikinti nubrėžus tinkamą brėžinį). Todėl

( )u w( ) 0u w′′ < yra pakankama sąlyga, kad individas

būtų nelinkęs rizikuoti. Žinant konkrečią naudingumo funkcijos išraišką, nenorą rizikuoti galima matuoti kiekybiškai. Paprastai yra taikomi du matavimo būdai, Arrow-Pratto absoliutaus nenoro rizikuoti matas (Arrow-Pratt measure of absolute risk aversion)

)()()(

wuwuwr

′′′

−= , ir Arrow-Pratto santykinio nenoro rizikuoti matas (Arrow-Pratt measure

of relative risk aversion) ( )( ) ( )( )

u w wwu w

ρ r w w′′

= − =′

(daugiau apie tai paskaitos priede). Kai

, tai didesnė reikšmė parodo, kad individas yra labiau nelinkęs rizikuoti (sutiktų sumokėti daugiau, kad išvengtų rizikos).

0)( >wr )(wr

8. Taikydami laukiamojo naudingumo modelį galime nagrinėti tiek linkusio rizikuoti tiek ir nelinkusio rizikuoti vartotojo elgseną. Nelinkęs rizikuoti individas atsisakytų dalyvauti taip vadinamose “sąžiningose” (nulinio laukiamojo laimėjimo) loterijose, pavyzdžiui loterijoje

, čia 0.5 ( ) 0.5 ( )w x w x− ⊕ +o o w ≡ pradinis turtas, x ≡ laimėjimas arba pralaimėjimas. Tačiau toks individas sutiktų dalyvauti jam palankiose loterijose, jei laukiamas laimėjimas būtų pakankamai didelis. Pavyzdžiui vienodų tikimybių atveju gali pavykti parinkti tokį didelį laimėjimą ( 2x ) ir tokį mažą pralaimėjimą ( 1x ), kad laukiamas loterijos naudingumas viršytų pradinio turto naudingumą,

. Tuo galima įsitikinti nubrėžus tinkamą brėžinį. Todėl verta atkreipti dėmesį į ypatingą apibūdinimo nelinkęs rizikuoti prasmę – nelinkęs rizikuoti individas privalo atsisakyti dalyvauti tik nepakankamai palankiose loterijose (įskaitant sąžiningas).

1 2 1 2[0.5 ( ) 0.5 ( )] 0.5 ( ) 0.5 ( ) ( )u w x w x u w x u w x u− ⊕ + = − + + >o o w

9. Vienas iš geriausiai išnagrinėtų laukiamojo naudingumo modelio taikymo pavyzdžių yra draudimo sutarties modelis. Vartotojo turto vertė yra , tačiau yra tikimybė w p , kad gali atsitikti stichinė nelaimė (pvz. potvynis, žemės drebėjimas ar panašiai) dėl kurios turto vertė sumažėtų ir vartotojas patirtų žalą . Atkreipkite dėmesį į tai, kad čia L p nepriklauso nuo individo elgsenos. Vartotojas nėra linkęs rizikuoti, jo naudingumo funkcija yra griežtai įgaubta. Draudimo kompanijos siūlo apdrausti turtą – draudikas įsipareigoja išmokėti

)(wuK litų

draudimo sumą (draudimo išmoką) po stichinės nelaimės jei turto savininkas sudarydamas sutartį sumokėtų Kγ litų. Sudarydamas sutartį, draudimo sumos dydį K vartotojas gali pasirinkti laisvai, todėl rinkdamasis labiausiai pageidaujamą turto draudimo sutartį jis stengiasi maksimizuoti laukiamąjį naudingumą, tai yra sprendžia uždavinį max ( ) (1 ) ( )

KEu pu w L K K p u w Kγ γ= − + − + − − . Randame tikslo funkcijos išvestinę ir

prilyginame nuliui, 0))(()1()1))(1(( ** =−−′−+−−+−′= γγγγ KwupKLwupdKdEu . Šią

sąlygą galime pertvarkyti į )1(

)1()(

))1((*

*

γγ

γγ

−−

=−′

−+−′p

pKwu

KLwu . Jei draudimo paslaugų rinkoje

būtų grynoji konkurencija, draudimo kompanijos negautų ekonominio pelno. Taigi, jei vartotojas rinktųsi draudimo sumą *K , draudimo kompanijos pajamos turi būti lygios laukiamoms išlaidoms . Kai 0** =−= pKKγπ p=γ , draudikas siūlo statistiškai “sąžiningas” draudimo sutarties sąlygas, todėl


**

*

( (1 )) 1 ( (1 )) (( )

u w L K u w L K u w Ku w K

γ γγ

′ − + − ′ ′= ⇒ − + − = −′ −

*)γ

*

. Kadangi yra lygios

funkcijos reikšmės, tai privalo būti lygios ir funkcijos argumento reikšmės, *(1 )w L K w Kγ γ− + − = − , galiausiai gauname *K L=

10. Gavome rezultatą, kad vartotojas galėdamas sudaryti statistiškai “sąžiningą” draudimo sutartį apsidraus pilnai žalos sumai ir visiškai nepatirs rizikos. Jei nelaimė įvyktų, tai jo turtas bus

LwLLLw γγ −=+−− , o jei neįvyktų – taip pat Lw γ− . Taigi kas benutiktų, vartotojo turtas bus toks pat. Tačiau jei dėl kokių nors priežasčių p>γ , tai

1)1(

)1()(

))1((*

*

>−

−=

−′−+−′

γγ

γγ

pp

KwuKLwu , nes 1>

pγ ir 1

)1()1(>

−−γp . Tada

** *

*

( (1 )) 1 ( (1 )) (( )

u w L K u w L K u w Ku w K

γ γ γγ

′ − + − ′ ′> ⇒ − + − > −′ −

) .

11. Darėme prielaidą, kad ( ) 0u w′′ < , nes individas nelinkęs rizikuoti. Todėl mažesnis ( )u w′ funkcijos argumentas atitinka didesnę funkcijos reikšmę ir * *(1 )w L K w Kγ γ− + − < − . Pertvarkę ir supaprastinę gauname LK . Galiausiai turime potencialaus vagies elgsenos modelį, max ( ) ( )

xB x Fxp e− , atkreipkite dėmesį, kad čia darome prielaidą, jog potencialus

vagis yra neutralus rizikai. Būtinoji sprendinio radimo sąlyga yra , todėl ( ) ( ) 0B x Fp e′ − =* ( ( ))x x Fp e= . Apskritai tokiame modelyje optimalaus nusikalstamumo lygį *x nulemia

bausmės dydžio ir bausmės įgyvendinimo tikimybės F ( )p e derinys. 15. Štai pavyzdys, tarkime kad ( ) lnB x x= . Tada uždavinio sprendinio radimo būtinoji sąlyga

, o optimalus nusikalstamumo lygis 1 ( ) 0x Fp e− − = * 1( )

xFp e

= . Šiuo atveju kai * 0x →


( )Fp e →∞ , todėl tinkamai parenkant ir F ( )p e galima tik sumažinti nusikalstamumą iki pageidaujamo lygio, tačiau visiškai išgyvendinti nepavyksta. Kita vertus, nusikalstamumą mažinti galima griežtinant bausmes ir (ar) skiriant daugiau lėšų teisėsaugai ir taip padidinant bausmės įgyvendinimo tikimybę. Verta atkreipti dėmesį, kad siekiant atgrasinti nuo nepageidaujamos elgsenos, visiškai nebūtina parinkti bausmės dydį taip, kad jis atitiktų padarytos žalos dydį (pvz., pavogtų daiktų vertę), ypač kai prireikia itin daug lėšų didinant bausmės įgyvendinimo tikimybę

F

( )p e ir atsimenant, kad jos didinimo galimybės yra ribotos, . ( ) 1p e ≤

16. Nors laukiamojo naudingumo modelis ir yra plačiai taikomas, tačiau galima pagrįstai manyti, kad tikrovėje stebima žmonių elgsena reikšmingai pažeidžia kai kurias aksiomas. Allais paradoksas yra vienas iš geriausiai žinomų tokios elgsenos pavyzdžių. Įsivaizduokite, kad jums pasiūlė pasirinkti vieną iš dviejų loterijų. Loterijoje A =w 1 mln. išlošis su 1=p . Loterijoje B mln. išlošis su 51 =w 1.01 =p , 12 =w mln. išlošis su ir 89.02 =p 03 =w išlošis su . Nuspręskite kurią iš loterijų pasirinktumėte. (Loterijoje A 01.03 =p 1=Ew mln., o loterijoje B 39.189.05.0189.051.0 =+=⋅+⋅=Ew mln.) Toliau nagrinėkime kitas loterijas C ir D. Loterijoje C 11 =w mln. išlošis su 11.01 =p ir išlošis su

. Loterijoje D 02 =w

89.02 =p 51 =w mln. išlošis su 1.01 =p ir 02 =w išlošis su 9.02 =p . Nuspręskite kurią iš loterijų pasirinktumėte. (Loterijoje C mln., o loterijoje D

11.0111.0 =⋅=Ew5.051.0 =⋅=Ew mln.)

17. Žymiai daliai žmonių BA f ir , tačiau tai nesuderinama su laukiamojo naudingumo maksimizavimu (būtent tokio kuris išreiškiamas von Neumanno ir Morgensterno pasiūlytu būdu). Jei

CD f

BA f , tai . Pertvarkę gauname . Pridėdami prie kiekvienos pusės po ir tuo

nepažeisdami pradinės nelygybės gauname

(1) 0.1 (5) 0.89 (1) 0.01 (0)u u u u> + +0.11 (1) 0.1 (5) 0.01 (0)u u u> + )0(89.0 u

)0(9.0)5(1.0)0(89.0)1(11.0 uuuu +>+ , tačiau tai reikštų, kad . Laukiamą naudingumą maksimizuojantis vartotojas turėtų rinktis loteriją C bet ne D, jei anksčiau rinkosi A o ne B.

DC f

Paskaitos priedas 18. Kai kurios laukiamojo naudingumo modelio aksiomos. 18.1. Nepriklausomybės nuo būsenos aksioma. Tai reiškia, kad pirmenybės priklauso nuo

tikimybių bet ne nuo tikrovės būsenų, 21 )1( wpwp oo −⊕ ~ 12)1( wpwp oo ⊕− . Kitaip tariant, pirmojoje tikrovės būsenoje gauti tikimybiškai ir antrojoje būsenoje gauti tikimybiškai yra tiek pat gerai kaip pirmoje būsenoje gauti tikimybiškai ir antrojoje . Tai taip pat reiškia, kad vartotojui yra nesvarbu loterijos įvykių išvardinimo tvarka.

1w

2w 2w

1w

18.2. Sudėtinių loterijų supaprastinimas. Loterijos suvokimas priklauso tik nuo galutinių tikimybių, 21221 )1(~)1())1(( wqpwqpwqwpwpq oooooo −⊕−⊕−⊕ .

18.3. Tolydumas. Jei , tai galima taip parinkti tikimybę 321 www ff p , kad

231 ~)1( wwpwp oo −⊕ . (Galima ginčyti, kad daugeliui individų ši aksioma negaliotų jei būtų 3 litai, būtų vienas litas, o mirtis. Kita vertus, žmonės dažnai rizikuoja gyvybe dėl keleto minučių, kai eina per gatvę degant raudonam šviesoforo signalui.)

1w 2w 3w

18.4. Nepriklausomybė nuo nesvarbių alternatyvų. Jei , tai galioja 21 ww f 3w∀

3231 )1()1( wpwpwpwp oofoo −⊕−⊕ . (Kadangi , ir yra nesutaikomi įvykiai, tai jie niekad negali įvykti vienalaikiškai, todėl juos “vartojantis” individas neturėtų patirti įvykių pakeičiamumo ar papildomumo sąsajų.)

1w 2w 3w

19. Laukiamojo naudingumo funkcijos transformacijos. Esant pilnai apibrėžtai ateičiai vartotojo elgsenai analizuoti visiškai pakako ordinalios naudingumo sampratos. Bet kokia funkcija tiek pat gerai išreiškė vartotojo pomėgius jei galiojo kai )(xu )()( yuxu > yx f ir


)()( yuxu = kai yx ~ . Kitaip tariant, kažkokia funkcija išreikšdavo tuos pačius pomėgius kaip ir jei

))(( xuF)(xu 0)( >′ uF . Laukiamojo naudingumo funkciją taip pat galima

transformuoti, tačiau tik tiesiškai. Kitaip tariant, )(xbEuaV += išreikš tuos pačius pomėgius kaip ir funkcija , jei . )(xEu 0>b

20. Nenoro rizikuoti matavimas. Jei esant pilnai apibrėžtai ateičiai vartotojo pirmenybės būdavo iškilosios (neblogesnių rinkinių aibė būdavo iškiloji), tai reikšdavo, kad vartotojui geriau vartoti rinkinį kuriame būtų kažkiek visų prekių, o ne išimtinai vieną iš prekių. Galime bandyti nubrėžti abejingumo kreivę kai individas patiria ateities neapibrėžtumą ir tenka rinktis loterijas. Tarkime, kad šiuo metu individas turi pradinį turtą , tačiau patiria ateities neapibrėžtumą, nes vienoje tikrovės būsenoje turėtų

w1w w x1= + su tikimybe 1p , o kitoje

su tikimybe 2w w x= + 2 2p . Tada laukiamas loterijos naudingumas yra . Sutikimo aibe (acceptance set) pavadinkime visų loterijų aibę,

kuriose vartotojas sutiktų dalyvauti turėdamas pradinį turtą , ši aibė yra panašus darinys į neblogesnių rinkinių aibę visiško apibrėžtumo sąlygomis. Sutikimo aibei priklausančiose loterijose atitinkamos tikimybės išlieka tos pačios, o loterijų laukiamas naudingumas negali būti mažesnis už pradinio turto naudingumą. Šios aibės krašte esantys taškai privalo tenkinti

1 1 2 2( ) ( )Eu p u w p u w= +w

1 1 2 2( ) ( ) ( )p u w x p u w x u w+ + + = , kita vertus, galima sakyti, kad jie sudaro abejingumo kreivę, kurią atitinka neišreikštinė funkcija 2 1( )x x . Pastaroji privalo tenkinti tapatybę

1 1 2 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x u w+ + + ≡ . Abejingumo kreivės taškai bus tam tikri turto pokyčių deriniai 1 2( , )x x x= , tokiu būdu pakeistas turtas teiks tą patį laukiamo naudingumo lygį.

x1

x2

x2(x1)

21. Verta pasidomėti koks yra abejingumo kreivės (sutikimo aibės krašto) nuolydis pradinio turto taške . Randame abiejų tapatybės pusių išvestines pagal 1 2(x x= = 0) 1x , gauname

. Toliau gautą lygtį įvertiname kai 1 1 2 2 1 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x x x′ ′ ′+ + + = 0 1 2 0x x= = ,

gauname 1 2 2( ) ( ) (0) 0p u w p u w x′ ′ ′+ = , galiausiai išreiškiame 122

(0)1

p pxp p

′ = − = −−

, kai

1p p= ir 2 1p p= − . Vadinasi, sutikimo aibės krašto nuolydis (MRS) yra lygus tikrovės būsenų galimybių (tikimybių) santykiui (odds ratio).

22. Tą patį rezultatą buvo galima gauti ir kiek kitaip. Pilnai diferencijuokime 1 1 2 2( ) ( ) ( )p u w x p u w x u w+ + + = , gauname 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( )p u w x dx p u w x dx du w′ ′+ + + = .

Tačiau išilgai abejingumo kreivės ( ) 0du w = , nes naudingumas lieka pastovus, todėl galima

išreikšti 2 11 2

(( )

dx p u w xdx p u w x

′ += −

′ +1

2

) . Jei surastą išvestinę įvertiname taške , gauname 1 2 0x x= =

12

2

( )(0)( ) 1

p u w pxp u w p

′′ = − = −

′ −.

23. Išvestinės ženklas parodo, kad pradinio turto taško aplinkoje sutikimo aibės krašto nuolydis yra neigiamas – už galimybę laimėti vienoje būsenoje ( ) individas sutiktų pralaimėti kitoje būsenoje ( ). Už ribinį laimėjimo padidinimą pirmojoje būsenoje ( ),

0ix >0jx < 1 0dx >


individas sutiktų su tokiu pralaimėjimo padidinimu (laimėjimo sumažinimu) kitoje būsenoje ( ), kad 2 0dx < 2 1 (1 )dx dx p p= − − .

24. Jei sutikimo aibės kraštas sutaptų su (1 )p p− − nuolydžio tiese nubrėžta per tašką , tai abejingumo kreivės lygtis būtų 1 2 0x x= = 2 (1 ) 1x p p x= − − . Tačiau tada visiems

sutikimo aibės krašto taškams galioja 1 2(1 ) 0px p x+ − = , o tai reiškia, kad šios sutikimo aibės krašto taškai yra loterijos kurių laukiamas laimėjimas yra nulinis. Kitaip tariant, visos nulinio laukiamojo laimėjimo loterijos individui yra tiek pat geros kaip ir jo pradinis turtas. Kadangi tai reiškia, kad ( ) (u Ew Eu w)= , tai toks individas būtų neutralus rizikai.

25. Jei tokių pačių tikimybių loterija būtų siūloma kitam individui ir jo sutikimo aibė priklausytų neutralaus rizikai individo sutikimo aibei, tačiau su ja nesutaptų, tai antrasis individas jau būtų nelinkęs rizikuoti, nes nesutiktų bent su kai kuriomis loterijomis su kuriomis būtų sutikęs individas neutralus rizikai. Toliau apsiribosime lokalaus pobūdžio analize pradinio turto aplinkoje, kitaip tariant nagrinėsime individų požiūrį į mažas loterijas.

26. Pažvelgus į pateiktą brėžinį matyti, kad individas nesutiks dalyvauti tuo daugiau mažų loterijų, kuo iškilesnė1 jo sutikimo aibė pradinio turto aplinkoje. Norint nustatyti sutikimo aibės krašto kreivumą pradinio turto taške, reikia rasti antrąją išvestinę . Todėl toliau diferencijuojame

2 (0)x′′

1 1 2 2 1 2 1( ) ( ( )) ( )p u w x p u w x x x x′ ′ ′ 0+ + + = pagal 1x , gauname . Vėl įvertiname taške

, gauname

21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ) 0p u w x p u w x x x x p u w x x x x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + + + + =

1 2 0x x= =2

1 2 2 2 2( ) ( )( (0)) ( ) (0) 0p u w p u w x p u w x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + = . Tačiau

2 (0) (1 )x p p′ = − − , todėl 2 1

1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) (0) 0p u w p p u w p u w x−′′ ′′ ′ ′′+ + = . Prisimindami kad

1p p= ir 2 1p p= − , gautą lygtį pertvarkome į 1

2(1 ) ( ) (1 ) ( ) (0) 0p p u w p u w x− ′′ ′ ′′− + − = ir

išreiškiame 2 2( )(0)

(1 ) ( )p u wxp u w

′′′′ = −

′−.

27. Rasta išvestinė parodo kaip keičiasi sutikimo aibės krašto (abejingumo kreivės) nuolydis pradinio turto aplinkoje. Jei taške galioja w 0)( ( )r w

28. Toliau panagrinėkime galimybę išmatuoti santykinį nenorą rizikuoti. Tarkime, kad individui siūloma loterija, kurioje galima gauti 1x procentų dabartinio turto (pajamų) su tikimybe

wp arba 2x procentų dabartinio turto (pajamų) su tikimybe , kitaip tariant

loterija p−1

1 (1 ) 2p x w p x w⊕ −o o

2

=

. Tokios loterijos laukiamas naudingumas . Pakartojant ankstesnę analizę gauname

, todėl sutikimo 1( ) ( ) (1 ) ( )Eu w pu x w p u x w= + −

1 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1( ) ( ( )) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) 0p u wx w p u wx x wx x p u wx p u wx x x′ ′ ′ ′ ′ ′+ = ⇔ +

1 Iškilumas: convexity. 2 Įgaubtumas: concavity


aibės krašto nuolydis pradinio turto taške ( 1 2 1x x= = ) yra 2 (1) (1 )x p p′ = − − . Ieškodami antrosios išvestinės 2 (1)x′′ , gauname

, vėl įvertiname pradinio turto taške ir gauname

21 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1( ) ( ( ))( ( )) ( ( )) ( ) 0p u wx w p u wx x x x w p u wx x x x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + =

21 2 2 2 2( ) ( ))( (1)) ( ) (1) 0p u w w p u w x w p u w x′′ ′′ ′ ′ ′′+ + = . Toliau

pertvarkome į 1 2(1 ) ( ) (1 ) ( ) (1) 0p p u w w p u w x− ′′ ′ ′′− + − = ir išreiškiame

2 2

( )(1)(1 ) ( )

p u w wxp u w

′′′′ = −

′−.

29. Šiuo atveju sutikimo aibės krašto kreivumas yra proporcingas atitinkamų naudingumo funkcijų išvestinių santykiui padaugintam iš pradinio turto. Todėl nagrinėjant tokio pobūdžio loterijas (kai individo turtas gali padidėti ar sumažėti kiek tai kartų ar procentų) labiau tinka

Arrow-Pratto santykinio nenoro rizikuoti matas ( )( ) ( )( )

u w ww ru w

ρ w w′′

= − =′

.

5. Technologijos apibūdinimas. Pagrindinės charakteristikos 1

1. Gamintojo sprendimus visų pirma lemia technologinis apribojimas, nes turimi išteklių kiekiai ir techninės žinios lemia kiek įmanoma pagaminti tam tikros gėrybės. Techninė gamybos proceso pusė ekonomistą (skirtingai negu inžinierių) domina tik tiek, kiek ji riboja gamintojo ekonominę elgseną (ekonominių sprendimų galimybes). Bendriausiu būdu technologinį apribojimą galima apibūdinti gamybos galimybių aibe Y , ją sudaro visi įmanomi gamybos vektoriai arba gamybos planai ),...,,( 21 nyyyy = , čia ≡n gėrybių skaičius. Jei , tai laikoma, kad tam tikra gėrybė nagrinėjamame gamybos procese yra pagaminama, o jei , tai sunaudojama. Jei kokios nors gėrybės kiekis yra

0>iy0 ⇒ ˆ( ) ( )f x f x> , o griežtą monotoniškumą x̂ x≥ ⇒ )()ˆ( xfxf > . Kitaip tariant, padidinus gamybos veiksnių kiekius neatsiranda grūsties (no congestion) ir todėl nėra pagaminama mažiau negu iki tol.

6.4. Yra kvaziįgaubta (gamybos veiksnių poreikio aibė yra iškila) arba įgaubta (tai reiškia, kad , kai

( )V y)()1()())1(( 1010 xftxtfxttxf −+≥−+ 10 ˆ x̂x elementą. Žymėjimas reiškia, kad kiekvienas vektoriaus elementas yra ne mažesnis už atitinkamą kito vektoriaus

xx ≥ˆ x̂x elementą ir bent vienas vektoriaus elementas yra griežtai didesnis už atitinkamą vektoriaus x̂ x elementą.


7.1. Ribinis veiksnio produktas )()( xfxxfMP iii =∂∂= . Parodo kiek gautume daugiau gaminio jei ribinio kiekiu naudotume daugiau tam tikro veiksnio visų kitų veiksnių kiekius išlaikydami pastovius.

7.2. Vidutinis veiksnio produktas ii xxfAP )(= . Parodo kiek gaminio tenka vienam tam tikro veiksnio vienetui.

7.3. Techninė pakeitimo norma jiijji ffdxdxTRS −== . Parodo kaip reiktų pakeisti j veiksnio kiekį jei norėtume ribiniu dydžiu padidinti i veiksnio kiekį, kad gamintume

tiek pat gaminio kaip ir anksčiau. Geometrine prasme techninė pakeitimo norma yra izokvantos nuolydžio reikšmė tam tikrame taške, taigi ji yra ir izokvantos kreivumo matas. Šią išraišką galima išvesti tokiu būdu. Randame pilnąjį gamybos funkcijos diferencialą ir prilyginame jį nuliui: 0.........11 + + + + ++ = =dydxfdxfdxfdxf nnjjii . Šio matematinio veiksmo ekonominė prasmė yra ta, kad pakeistume visų veiksnių kiekius išlaikydami tą pačią gamybos apimtį. Tačiau mus domina tik kažkurių dviejų veiksnių pokyčiai, taigi visi , jei 0=kdx ik ≠ ar jk ≠ . Tada , pertvarkę gauname

0=+ jjii dxfdxf

jiij ffdxdx −= . 8. Lygiagrečiai vertikaliu pjūviu koordinačių ašiai gauname tam tikrą kreivę, ji parodo kaip

kinta gamybos apimtis kintant tik vienam gamybos veiksniui ix

ix . Kreivės pobūdį galima apibūdinti ribiniu veiksnio produktu ir vidutiniu veiksnio produktu . Nors šios charakteristikos priklauso nuo tų pačių matavimo vienetų, tačiau jų santykis nebe. Šį santykį

galima vadinti gamybos elastingumu

iMP iAP

)()(

)()(

)(xf

xxxf

xxfxxf

APMP

x iii

i

i

ii ∂

∂=

∂∂==μ , jis parodo

kiek procentų pasikeis gamybos apimtis, veiksnio kiekį padidinus vienu procentu. 9. Įstrižai vertikaliu pjūviu proporcingai didiname visų gamybos veiksnų kiekius, kitaip tariant

keičiame tuo pačiu mastu. Tokio veiksmo poveikį gamybos apimčiai apibūdina masto grąža. 9.1. Masto grąža didėja jei > , )(txf )(xtf 1>∀t . 9.2. Masto grąža mažėja jei < , )(txf )(xtf 1>∀t . 9.3. Masto grąža pastovi jei )()( xtftxf = , 0>∀t . 9.4. Masto grąžą apibrėžtume globaliai jei kuri nors nurodyta sąlyga galiotų proporcingai

padidinus bet kurį gamybos veiksnių vektorių ),...,,( 21 nxxxx = . Tačiau jei kuri nors nurodyta sąlyga galiotų tik proporcingai padidinus tam tikrą gamybos veiksnių vektorių, o proporcingai didinant kitą gamybos vektorių jau galiotų kita sąlyga, masto grąžą apibrėžtume tik lokaliai (tik tam tikro taško aplinkoje). Kai gamybos funkcija yra diferencijuojama, galima apibrėžti masto grąžos elastingumą (taip pat lokalųjį matą)

111 )()()()(

ln)(ln)(

===

===ttt txf

tdttxdf

tdttxftxdf

tdtxfdxμ . (Vertikalus brūkšnys su

užrašu apačioje reiškia tai, kad surastą išraišką reikia galiausiai įvertinti kai 1=t 1=t .) Masto grąža yra lokaliai pastovi, didėjanti ar mažėjanti jei atitinkamai 1)( =xμ , 1)( >xμ ar 1)( t( )xμ

reikšmę sužinome kiek procentų pasikeistų gamybos apimtis kai vienu procentu padidintume visų veiksnių kiekius tam tikrame taške išilgai spindulio prasidedančio koordinačių ašių pradžioje. Galima įsitikinti, kad masto grąžos elastingumas ir gamybos elastingumas

yra susiję, ∑=

=n

i∑=

= in

i i

i xAPMP

x11

)()( μμ . Šios formulės išvedimą galite rasti paskaitos


priede. Taikant būtent šią formulę dažnai yra lengviausia nustatyti masto elastingumą, nes rasti ribinius ir vidutinius produktus paprastai nėra sunku.

10. Horizontaliu pjūviu tam tikrame aukštyje galime nagrinėti gamybos veiksnių pakeičiamumą. Jau apibrėžtos techninės pakeitimo normos pagrindinis trūkumas yra tas, kad jos didumas priklauso nuo matavimo vienetų kuriais matuojami gamybos veiksnių kiekiai. Galima apibrėžti veiksnių pakeitimo elastingumą

( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

ln lnln | | ln

j i j i j i j i j i i j

ij j ii j i j i j i j

d x x d x x d x x x x d x x f fd TRS x xd f f d f f f f d f f

σ = = = = , ši charakteristika

nuo matavimo vienetų nepriklauso. Pakeitimo elastingumas parodo kiek procentų pasikeistų gamybos veiksnių santykis, jei ribinę pakeitimo normą pakeistume vienu procentu. Geometrinė šios charakteristikos prasmė tampa aiškesnė prisiminus, kad gamybos veiksnių santykis yra per koordinačių pradžią ir tam tikrą gamybos veiksnių derinį nubrėžtos tiesės nuolydis, o ribinės pakeitimo normos didumas yra tam tikram izokvantos taškui nubrėžtos liestinės nuolydis.

11. Galime apskaičiuoti pakeitimo elastingumą Cobbo-Douglaso gamybos funkcijos atveju

. Tada , , ba xAxxfy 21)( ==1

11−= ayxf 122

−= byxf1

2

2

1

bxax

ffTRS == ir

1

2

1

2

1

2 lnlnlnlnlnxx

dxx

bad

bxax

dTRSd =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+== . Įrašę į pakeitimo elastingumo išraišką

gauname ( )( )

( )( ) 1ln

lnlnln

12

12

21

12 ===xxdxxd

ffdxxd

σ . Taigi bet kokios Cobbo-Douglaso gamybos

funkcijos veiksnių pakeitimo elastingumas yra pastovus ir lygus vienetui. 12. Iki šiol gamybos procesu domėjomės nekreipdami dėmesio į ekonominę gamintojo aplinką –

gamybos veiksnių ir gaminių paklausos pobūdį bei konkurentų elgseną. Nedarėme ir jokios prielaidos apie gamintojo elgsenos tikslą – pelno maksimizavimą, kaštų minimizavimą ar dar ką nors. Tačiau jau dabar galima bandyti atsakyti klausimą kiek gerai yra panaudojami ištekliai (gamybos veiksniai).

12.1. Jei gamyboje naudojamas tik vienas veiksnys ir gaminamas tik vienas gaminys tai produktyvumą galima apibrėžti kaip gaminio kiekio ir veiksnio kiekio santykį, tai tiesiog vidutinis veiksnio produktas, xyAP = . Apskritai produktyvumą galima apibrėžti kaip gaminių ir veiksnių santykį (produktyvumas = gaminiai/veiksniai), tačiau tokiu atveju tenka gaminius ir veiksnius atitinkami agreguoti sudarant tam tikrus jų indeksus. Verta atkreipti dėmesį, kad jei naudojame daug veiksnių, tai vidutinis tam tikro veiksnio produktas ii xyAP = yra tik dalinis produktyvumo matas, tokios sąvokos kaip darbo našumas, žemės derlingumas ir panašiai yra būtent dalinio produktyvumo matai. Apskritai būtų galima manyti, kad produktyvumo didinimas yra siektinas tikslas – juk tada nepadidinus gamybos veiksnių kiekių galima pagaminti daugiau gėrybės arba tiek pat gėrybės galima pagaminti su mažesniais gamybos veiksnių kiekiais.

12.2. Produktyvumas skiriasi nuo efektyvumo nors dažnai šios sąvokos sutapatinamos. Gamybos funkcijos kreivė parodo maksimalų gaminio kiekį kurį galima pagaminti su tam tikrais gamybos veiksnių kiekiais ir techninėmis žiniomis, taigi ji yra efektyvumo riba. Techniškai neefektyvūs gamintojai gamina žemiau gamybos funkcijos kreivės (galėtų pagaminti daugiau su turimais veiksnių kiekiais), taigi tokie gamintojai švaisto išteklius. Kita vertus, galima būti techniškai neefektyviu ir gaminant gamybos funkcijoje kreivėje – jei tą patį kiekį būtų įmanoma pagaminti sunaudojant mažiau gamybos veiksnių (taip gali atsitikti jei gamybos funkcija turi horizontalių dalių). Apskritai techninį neefektyvumą parodo atstumas iki gamybos funkcijos kreivės, tačiau atstumą galima matuoti ir horizontaliai ir vertikaliai. Horizontalus matavimas parodytų techninį neefektyvumą veiksnių


atžvilgiu (input-oriented), o vertikalus – techninį neefektyvumą gaminio atžvilgiu (output-oriented).

12.3. Toliau galima pasidomėti kaip kinta gamintojo produktyvumas techniškai efektyviuose taškuose. Ir taškas A ir taškas B yra techniškai efektyvūs. Produktyvumą (vidutinį veiksnio produktą) taške A galima apskaičiuoti rasdami santykio AD/OD reikšmę, o produktyvumą taške B rasdami santykio CB/OC reikšmę. Kita vertus, šie santykiai yra atitinkamų trikampių įžambinių OA ir OB nuolydžiai. Iš brėžinio matyti, kad nagrinėjamu atveju produktyvumas A taške yra ne tik didesnis už produktyvumą B taške, bet yra apskritai didžiausias įmanomas produktyvumas. Todėl galima teigti, kad taške A pasiekiamas didžiausias gamybos masto efektyvumas, čia gamybos mastas apibūdinamas gamybos veiksnio kiekiu.

y A )(xfy = B 0 C D x 12.4. Gamybos efektyvumą galima tirti duomenų apgaubimo analizės (DEA – data

envelopment analysis) metodu. Įsivaizduokite, kad stebėjote pakankamai daug tokia pačia veikla užsiimančių gamintojų, juos pavadinkime sprendimus priimančiais vienetais (DMU – decision making units). Stebėjimas i parodo kiekvieno DMU pasirinktą gamybos planą ( ). Visi šie planai buvo įgyvendinti, taigi jie yra įmanomos gamybos galimybės priklausančios tam tikrai gamybos aibei. Šiuos taškus galime atidėti koordinačių sistemoje ir apgaubti efektyvios gamybos riba (efficient frontier) taip, kad gamybos aibė būtų iškila. Tada galėsime nustatyti atskiro DMU padėtį jos atžvilgiu.ir taip įvertinti jo techninį efektyvumą.

ii yy 21 ,

12.5. Stebėjimų duomenys pateikti lentelėje. Prieš apgaubiant efektyvia riba, tenka padaryti prielaidą apie gamybos masto grąžą. Jei laikysime, kad gamybos mąsto grąža yra pastovi, tai efektyvi riba bus tiesė nubrėžta per koordinačių pradžią ir trečiojo DMU gamybos planą (labiausiai nutolusio kairėn). Jei laikysime, kad gamybos masto grąža yra kintanti, tai efektyvi riba atkarpomis jungs taškus (2,0), (2,1), (3,3), (6,5), o likusi jos dalis bus x ašiai lygiagretus spindulys prasidedantis taške (6,5).

DMU 1 2 3 4 5

yy =2 1 2 3 4 5 xy =− 1 2 4 3 5 6

12.6. DMU efektyvumą galima nustatyti dvejopai. Galima pasidomėti kiek atitinkamas DMU

turėtų sumažinti veiksnio naudojimą, kad pasiektų efektyvios gamybos ribą (pasislinktų horizontaliai) arba kiek atitinkamas DMU turėtų padidinti gamybos apimtį, kad pasiektų efektyvios gamybos ribą (pasislinktų vertikaliai). Tarkime, kad mus domina pirmasis klausimas, o techninį neefektyvumą apibrėžiame kaip santykinį horizontalų nukrypimą nuo efektyvios ribos. Tada techninio efektyvumo matą (TE) gauname iš vieneto atėmę techninį neefektyvumą. Atkreipkite dėmesį, kad jei masto grąža yra kintanti, tai prasminga domėtis ar DMU renkasi efektyvų mastą – tokį veiklos mastą kai produktyvumas yra maksimalus. Atsižvelgdami į padarytą prielaidą apie mąsto grąžą apskaičiuojame efektyvumo matus. Turint daugiau stebėjimų duomenų paprastai prireikia suformuluoti tiesinio programavimo uždavinį ir jį išspręsti taikant tinkamą kompiuterinę programą


DMU TEC

(esant pastoviai masto grąžai)

TEV (esant kintamai masto grąžai)

Masto efektyvumas, SE=TEC/TEV

Masto grąža

1 1:2=0.5 2:2=1 0.5 Didėjanti 2 2:4=0.5 2.5:4=0.625 0.8 Didėjanti 3 3:3=1 3:3=1 1 4 4:5=0.8 4.5:5=0.9 0.889 Mažėjanti 5 5:6=0.833 6:6=1 0.833 Mažėjanti

Paskaitos priedas

1. Masto elastingumo ir gamybos elastingumų ryšys. Masto grąžos elastingumo apibrėžime

reikia rasti gamybos funkcijos išvestinę dttxdf )( taikant sudėtinės funkcijos taisyklę ir

atsimenant, kad gamybos funkcija priklauso nuo keleto kintamųjų. Gauname

∑∑∑

∑

====

===

=∂∂

=∂∂

=

∂∂

==

n

i i

in

i

i

it

n

i

i

i

t

n

i

i

it

n

APMP

xfx

xxf

txftx

txtxf

txft

dttxd

txtxf

txft

dttxtxtxdf

x

1111

111

21

)()(

)()()(

)()(

)()(

)(),...,,(

)(μ

.

2. Galima šiek tiek išsamiau aptarti kai kurias gamybos aibės ypatybes, jos atkreipia dėmesį į svarbius gamybos proceso aspektus. Apskritai gamybos aibę (prisiminkite, kad ją sudaro visi įmanomi gamybos planai arba vektoriai) galima pavaizduoti kaip visus taškus esančius tam tikroje kreivėje ir žemiau jos. Kreivę galima nubrėžti per koordinačių pradžią panašiai kaip pateiktame brėžinyje.

2y 1y

Ši kreivė vadinama transformacijos kreive, ji nubrėžta tik per tuos du koordinačių ketvirčius kur vienas iš kintamųjų yra neigiamas, o kitas teigiamas. Jei yra tik du gamybos vektoriaus elementai, tai toks brėžinys reikštų, kad gamybos procesui būdingas grįžtamumas (pavyzdžiui iš vandens galima gauti ledą ir atvirkščiai). Jei tam tikras gamybos vektoriaus elementas visada yra tik gamybos veiksnys (pvz. ), o kitas tik gaminys (pvz. ), tai brėžinį reiktų pakeisti.

1y 2y

2y 1y

Atkreipkite dėmesį į tai, kad dabar iš negalime gauti , tačiau abejais atvejais vektorius priklauso gamybos aibei, o tai reiškia, kad neveikti (ne tik nieko nepagaminti bet ir

neturėti jokių gamybos veiksnių) taip pat yra įmanoma. Tačiau kartais prieš pradedant gaminti

2y 1y)0,0(


tenka padaryti neatšaukiamus (negrįžtamus) įsipareigojimus, pavyzdžiui nupirkti tam tikrą kiekį gamybos veiksnio ( 1y ), kurio vėliau neįmanoma atsikratyti. Po neatšaukiamo įsipareigojimo turėtume apribotą gamybos aibę, kurioje neveikti neįmanoma (nes jau neįmanoma turėti 11 yy < ). Tačiau ir dabar galima nieko nepagaminti – taškas )0,( 1y priklauso gamybos aibei.

2y 1y 1y

Panašią gamybos aibę gali lemti ir tai, kad gamybai gali prireikti tam tikro pasiruošimo (set-up), tokiu atveju nors tam tikras veiksnio kiekis yra sunaudojamas, tačiau gaminys dar nepagaminamas. Pasiruošimas gali būti susijęs su neatšaukiamais įsipareigojimais arba ne. Jei susijęs, tai gamybos aibė gali atrodyti taip, čia 1y veiksnio kiekis sunaudojamas pasiruošimui.

2y 1y 1y

Jei pasiruošimas gamybai nesusijęs su neatšaukiamais įsipareigojimais ir gamybos veiksnių galima atsikratyti, tai pasiruošimas gamybai gali atrodyti šiek tiek kitaip (pastaruoju atveju neveikimas yra įmanomas, taškas priklauso gamybos aibei). Panašiai gamybos aibė atrodytų ir kai norint pradėti gaminti reiktų turėti minimalų tam tikro gamybos veiksnio kiekį. Pastarasis atvejis įsimintinas tuo, kad gamybos aibė nėra iškila.

)0,0(

2y 1y 1y 3. Jei paskutiniuose dviejuose atvejuose žymėtume yy =2 ir xy =− 1 , tai gamybos procesą

galėtume vaizduoti vien teigiamame ketvirtyje, jame esančią transformacijos kreivės dalį interpretuoti kaip gamybos funkciją. Atkreipkite dėmesį į tai, kad abejais atvejais gamybos funkcijos kreivės nuolydis išlieka pastovus kai ir nors vidutinis produktas didėja naudojant daugiau veiksnio, tačiau visada lieka mažesnis už ribinį produktą. Todėl

0y >

1>=APMPμ , o tai reiškia, kad masto grąža didėja.

6. Kaštų minimizavimas. Sąlyginės veiksnių paklausos ir kaštų funkcija. Lyginamoji statika

1

1. Rinkos ekonomikoje gamintojas paprastai siekia pelno. Pradžioje laikysime, kad gamintojas

negali paveikti gamybos veiksnių kainų ),...,( 1 nwww = , kitaip tariant jis neturi pirkėjo galios. Taip pat manysime, kad gamintojas negali reikšmingai paveikti visos pasiūlos gaminio rinkoje (jei jis kartais pagamintų mažiau, tai pirkėjai to net nepajaustų nes šio gamintojo sumažėjusią pasiūlą galėtų pilnai pakeisti kitų gamintojų pasiūla). Tokiu atveju, gamintojas negali reikšmingai paveikti ir gaminio kainos, kitaip tariant jis neturi rinkos galios.

2. Gamintojo pelno maksimizavimo uždavinį galime užrašyti wxxpfx

−= )(maxπ . Verta

atkreipti dėmesį, kad technologinis apribojimas )(xfy = šioje problemoje jau yra įrašytas į tikslo funkciją. Jei gamintojas galėtų paveikti visos rinkos pasiūlą (turėtų rinkos galios), tai jo uždavinį tektų rašyti wxxfxfp

x−= )())((maxπ , o jei dar galėtų paveikti ir perkamų

veiksnių kainas (turėtų pirkėjo galios), tai xxwxfxfpx

)()())((max −=π .

3. Tačiau net ir rinkos ekonomikoje kai kurie gamintojai gali maksimizuoti ne pelną, o siekti kitų tikslų, pavyzdžiui vykdyti įpareigojimą gaminti tam tikrą kiekį gėrybės minimaliais kaštais. Kita vertus, net ir pelną maksimizuojančio gamintojo uždavinį galima išskaidyti į dvi dalis. Pirmoje dalyje jis minimizuotų kaštus – stengtųsi pagaminti tam tikrą gėrybės kiekį y minimaliais kaštais, pasirinkdamas gamybos veiksnių derinį , o antroje dalyje maksimizuotų pelną – pasirinktų gaminti pelningiausią gėrybės kiekį , sugebėdamas minimaliais kaštais pagaminti bet kokį gėrybės kiekį. Verta atkreipti dėmesį, kad pelną maksimizuojantis gamintojas privalo minimizuoti kaštus, tačiau ne visi minimizuojantys kaštus gamintojai būtinai maksimizuoja pelną. Taigi kaštų minimizavimo uždavinys taikytinas didesniam skaičiui

Documents

Makro-ekonometrinis modeliavimas (Mikro …klevas.mif.vu.lt/.../dest/Mikro/Rasimavicius_konspektas.pdfPaskaitų konspektas Jonas Rasimavičius Vilnius 2008 1. Naudingumo maksimizavimo