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REFLEXIONES SOBRE LA INTEGRACIÓN DE UNA SITUACIÓN DIDÁCTICA (TSD) A PARTIR DE LA
MATEMATIZACIÓN DE LA PINTURA RUPESTRE “LA CUEVA PINTADA” PARA LA ENSEÑANZA DEL PENSAMIENTO
MATEMÁTICO CON EDUCADORAS EN FORMACIÓN
Mtro. Adrián Cuevas González
Introducción
La propuesta de intervención para el aprendizaje del pensamiento matemático infantil con educadoras en
formación en el laboratorio PensMat-ENEG implica su relación con la matemática cultural, por ello las
manifestaciones locales, regionales o nacionales como las pinturas rupestres de los californios son referentes
matematizables para la enseñanza desde el enfoque de la matemática realista y de la teoría de situaciones
didácticas.
Ubicar la realidad a matematizar
Para iniciar se ubican las pinturas como un conjunto con más de 300 sitios que se han conservado
desde de la prehistoria en recovecos formados en las montañas de las Sierras de San Francisco y la Giganta en
la parte central de la península de Baja California.
Como antecedente a su interpretación matematizada, Mendoza Straffon (2004) menciona que en el
siglo XVIII el misionero José Mariano Rothea relata:
–Pasé después a registrar varias cuevas pintadas; pero sólo hablaré de una, por ser la más especial.
Ésta tendría de largo como diez o doce varas, y de hondo unas seis varas: abierta de suerte que toda
era puerta por un lado. Su altura (según me acuerdo), pasaba de seis varas. Su figura como de medio
cañón de bóveda, que estriba sobre el mismo pavimento. De arriba hasta abajo toda estaba pintada
con varias figuras de hombres, mujeres y animales–. (2004, p.19)
En su narración estima las dimensiones recurriendo a la vara castellana (unidad española antigua para
medir longitud) que equivale a 0.8359 m, y la forma como analogía a las bóvedas tipo medio cañón
Otra aportación a la matematización de las pinturas es la siguiente:
El primer reporte formal que tenemos sobre los Grandes Murales específicamente fue publicado en
1895 por León Diguet, ingeniero químico y naturalista francés que residió en Santa Rosalía, empleado
por la compañía minera El Boleo. Estas pictografías “poseen a veces una talla superior a los dos
metros” y están situadas en los techos y paredes de cuevas y abrigos “a alturas que sobrepasan a
veces los 10 metros” (p.21)
En el siglo XX reconoce la siguiente aportación:
En 1981 el prehistoriador y especialista en arte rupestre Ramón Viñas, entonces de la Universidad de
Barcelona y su equipo de colaboradores reconocieron cuatro grupos de motivos; figuras humanas,
figuras de animales, instrumentos y, figuras esquemático-abstractas. (p.48)
Las experiencias citadas otorgan un punto de partida apropiado para significar el arte prehistórico de los
antiguos californios desde la óptica del pensamiento matemático con fines didácticos.
Descubrir lo matemático
Matematizar las pinturas rupestres, implica descubrir los patrones geométricos, en específico los
relacionados con las proyecciones geométricas presentes en las imágenes plasmadas en cuevas o laderas
montañosas. A partir de reconocer a las pinturas como un arte visual caracterizado por la presencia de signos
que son al mismo tiempo materiales y espaciales. “La primacía de lo formal sobre el contenido se refleja en
que la identidad de los objetos representados no es tan importante como la manera en que éstos son usados
por los artistas para manejar el espacio” (Hanson 1983 en González C. 2005 p. 57).
La matematización se inicia por reconocer las características, los principios o los componentes fundamentales
presentes que permiten conceptualizar estas manifestaciones artísticas de la prehistoria como objetos
matematizables, en específico al gran mural “La pintada”:
Las formas de los objetos que integran la pintura, ya sean antropomorfos, zoomorfos, fitomorfos o
astromorfos
La composición, la manera en que los objetos se distribuyen en el espacio (sobrepuestos, aislados,
en distintos planos)
Las relaciones de magnitud entre los objetos, su tamaño, sus proporciones
Las proyecciones geométricas, simetrías, homotecias
Su reconocimiento conlleva descubrir los patrones presentes en la composición y los objetos que la integran,
lo que implica procesos de pensamiento geométrico y métrico que permiten develar las manifestaciones
culturales paleolíticas desde una visión matemática.
La forma de los objetos. Es característico en las pinturas rupestres de Baja California Sur el predominio de
figuras humanas y mamíferos terrestres (principalmente ciervos); En menor cantidad se observan aves y
especies marinas; se distingue también un pequeño sol y una pequeña red cuadriculada con puntos.
Fuente: http://cuevaspintadas.blogspot.mx/2008/11/
La composición. Predomina la superposición de formas. La mayoría de las figuras humanas se observan en
grupos, el más numeroso en la parte central inferior del panel, otros en la parte superior al centro y un tercero
en la sección oriental del mural. La excepción es una figura aislada que se encuentra en la parte occidental.
Las relaciones de magnitud entre los objetos, su tamaño, sus proporciones. Se observa proporcionalidad entre
las figuras antropomorfas con variaciones de magnitud principalmente en el grupo de la sección oriental. De
forma individual se caracterizan por la ausencia de cuello y una caja toráxica amplia que altera la proporción
de la figura con relación a las magnitudes de brazos, piernas y cabeza.
Los mamíferos terrestres y las aves en el mural son proporcionales y presentan magnitudes congruentes entre
sí.
Las proyecciones geométricas, simetrías, homotecias. El panel es un cúmulo de formas superpuestas en las
que no se observan proyecciones geométricas. De forma individual por su representación frontal se observa
simetría axial en las figuras humanas, las aves y la ballena, a diferencia de los mamíferos terrestres que se
representan de perfil.
De la matematización al conocimiento matemático
Al matematizar la pintura rupestre se descubre la presencia de proyecciones geométrica como la simetría y
la homotecia. Antes de abordar el tratamiento didáctico, es necesario reconocer el significado de los
conceptos para determinar la factibilidad de introducirlos como preconceptos en Educación Preescolar
(Infantil).
De acuerdo con Juan Godino (2002), una simetría de una figura plana es cualquier movimiento rígido del plano
que hace coincidir todos los puntos de la figura con otros puntos de la misma figura. Esto es, todos los puntos
P de la figura son transformados por el movimiento en otros puntos P' que son también puntos de la figura.
existen cuatro movimientos rígidos básicos del plano (traslaciones, giros, simetrías y simetrías con
deslizamiento). Por tanto, toda simetría de una figura es uno de estos cuatro movimientos básicos, y las
propiedades de simetría de una figura se pueden describir completamente listando las simetrías de cada tipo.
Una traslación es el movimiento rígido en el que todos los puntos del plano se mueven en la misma dirección
y la misma distancia. En la figura 1 el triángulo ABC se transforma en el A’B’C’ como consecuencia de la
traslación definida por el vector de origen el punto A y extremo A’.
El giro o rotación consiste en girar todos los puntos del plano alrededor de un punto fijo (centro del giro) un
cierto ángulo que será el ángulo de giro. Se dice que una figura tiene simetría rotacional si la figura coincide
consigo misma cuando se gira un cierto ángulo entre 0º y 360º alrededor de un cierto punto.
La simetría axial es el movimiento rígido del plano que se produce fijando una recta r del plano y hallando
para cada punto P otro punto P’ de tal manera que la recta r es mediatriz del segmento PP’. Esto quiere decir
que r es perpendicular a PP’ y que pasa por el punto medio del segmento PP’.
Se llama simetría con deslizamiento a la composición de una simetría y una traslación, donde los ejes e1, e2
y e3 no son paralelos ni concurrentes.
La noción de congruencia de figuras suele describirse de manera informal como “figuras que tienen el mismo
tamaño y la misma forma”. La noción informal de figuras semejantes como las que tienen “la misma forma”,
para precisarlas se utilizan transformaciones del plano que se conocen como homotecias y semejanzas.
Una homotecia de centro O y factor de escala k es la transformación geométrica que transforma cada punto
P del plano, distinto de O en el punto P' situado en la semirrecta OP de tal manera que OP' = k.OP, y deja
invariante el punto O.
Cuando el factor de escala es mayor que 1, la imagen de una figura por la transformación será de mayor
tamaño que el original, y se dirá que la transformación es una expansión. Si k < 1 la transformación de tamaño
es una contracción. Si k = 1, todos los puntos permanecen en su misma posición, o sea, P = P' para todos los
puntos, y la transformación de tamaño es la identidad.
Una transformación es de semejanza si y sólo si es una secuencia de homotecias (transformaciones de
tamaño) y movimientos rígidos A ∽A
Del conocimiento matemático a las estrategias para el aprendizaje
Pasar del conocimiento matemático a la propuesta didáctica requiere seleccionar estrategias que favorezcan
el aprendizaje con niños en educación preescolar, tomando en cuenta que deben aplicarse al reconocimiento
en el contexto desde sus conocimientos informales (situaciones de acción), a la experimentación o
construcción de productos que impliquen la interacción entre los niños (situaciones de formulación y
validación), a la producción de conocimiento (situaciones de institucionalización).
Con la intención de que el niño recurra a sus conocimientos previos para construir una composición plástica
con objetos iguales (congruentes), pequeños y grandes (semejantes), la estrategia para interactuar con los
materiales es el juego de elección aplicado a la composición plástica con distribución libre de objetos.
Por ser el mural de la cueva pintada una manifestación cultural de los antiguos californios que habitaron la
parte media de la península de Baja California una estrategia para construir la formulación puede ser la
comunicación de relatos sobre el vuelo del buitre de Turquía en la sierra de san francisco.
Como estrategia para la interacción en situaciones de validación, la opción es la resolución de problemas
utilizando como recurso la ingeniería de papel aplicando el origami y el kirigami (doblado, recortado,
ensamblado); el arte geométrico con técnicas de construcción (composiciones bunraku).
Para las situaciones de institucionalización la resolución de problemas con técnicas de pintura dactilar.
De las estrategias a los materiales
El proceso didáctico implica interacciones, mediaciones entre los alumnos, alumno-docente y
principalmente alumno-material. Su elección, diseño y elaboración son un requisito fundamental
para el aprendizaje en el aula, para esta situación en específico:
SITUACIÓN MATERIALES USO CALIDAD FUNCIÓN
De acción -Colecciones de personas y animales de madera por forma y tamaño
Colectivo Construidos con materiales duraderos
Neutros o multifuncionales, para ser utilizados en más de una ocasión por ciclo escolar durante varios ciclos escolares
De formulación -Teatro de mesa –Plantillas para aves de origami simple
Grupal Construidos con materiales duraderos y consumibles o reutilizables
Unifuncionales, para ser utilizados en más de un ciclo escolar
De validación -Animales kirigami -Papel batería o primavera
Colectivo Construidos con materiales consumibles o reutilizables
Unifuncionales, para ser utilizados por una sola ocasión
De institucionalización
-Imagen proyectada en pantalla -Flores, hojas, semillas para moler y pintar -Papel Kraft
Colectivo Consumibles Unifuncionales, para ser utilizados por una sola ocasión
De las estrategias y materiales para la interacción a la situación didáctica
La matematización descubre oportunidades para integrar una situación didáctica para
educación preescolar focalizada en el concepto de simetría y semejanza. Lo siguiente es
integrar una familia de situaciones a-didácticas con la intención de construir el significado
para simetría y semejanza, situado en el contexto y transversal a otros campos de formación
y áreas de desarrollo personal.
Los californios es una situación a-didáctica de acción, se dispondrá un contenedor con
figuras planas traslúcidas de diferentes tamaños que representan a la fauna y antiguos
californios de la región media de la península de Baja California.
1.Se les indicará a los alumnos que jueguen a crear composiciones con las figuras y les
tomen fotografías con su dispositivo móvil.
2.Después, que observen lo matemático que hay en sus fotografías y discutan sobre los
procesos matemáticos más recurrentes.
3. Que hagan una nueva composición en la que se resalten utilizando aros o popotes la
presencia del contenido matemático y tomen una fotografía.
4. Proyecten la fotografía al grupo explicando las matemáticas presentes en su composición.
5.Discutan en grupo acerca de las coincidencias o discrepancias en lo que encontró cada
equipo
6.Compartan las fotografías para que sirvan de evidencia al redactar su reflexión acerca de
¿Cómo integrar situaciones a-didácticas de acción?
Volar en el desierto es una situación a-didáctica de formulación, se dispondrá un escenario
de mesa, aves de papel, bastidores (aros), hilaza, clips
1.Se iniciará con la narración de un relato sobre una pareja de buitres de Turquía que
volaban planeando en giros sobre el chamán californio que pintaba sobre las rocas en el
hueco de la ladera de un cerro. Para contarlo se utilizará la técnica de teatro de mesa en
fusión con storygami para que los alumnos observen cómo doblar el buitre de Turquía. Al
hacerlo, se hará énfasis en el doblado simétrico y el vuelo simétrico.
2.Cada alumno construirá dos buitres de Turquía en origami simple, siguiendo los procesos
que realizó el profesor al construirlo en la narración del relato.
3.Atendiendo a las indicaciones del docente construirán un móvil en el que se observe el
giro simétrico de las aves.
4.Demostrarán lo que es la simetría de giro y la simetría axial
5.Crearán un relato en el que se intencione la simetría de giro
6.Redactarán su reflexión acerca de ¿Cómo integrar situaciones a-didácticas de
formulación?
Fiesta en la sierra es una situación de validación, se dispondrá material para la construcción
de escenarios bunraku.
1.Se iniciará mostrando a los alumnos una composición gráfica con motivos y procesos de
las situaciones a-didácticas anteriores. Se solicitará que respondan preguntas relacionadas
con simetría, semejanza y tipos de simetría.
2.Se explicarán las características de un paisaje bunraku.
3.Se dispondrán fondos de escenario, árboles de ensamble y plantillas de animales en
kirigami para que elijan las que requieran para integrar su paisaje bunraku.
4.Construirán su composición bunraku de forma que se observe: semejanza, traslación,
simetría axial, simetría de giro, simetría con deslizamiento.
5.-Tomar una fotografía a la composición para proyectarla y explicar la presencia de la
semejanza y los tipos de simetría.
6.Redactarán su reflexión acerca de ¿Cómo integrar situaciones a-didácticas de validación?
Nuestro mural es una situación de institucionalización, se dispondrá papel kraft, Flores,
hierbas, semillas, carbón y morteros para pintar con colores
1.Se iniciará mostrando a los alumnos el gran mural de la cueva pintada, acompañada de la
narración de relatos acerca de su creación y de los materiales usados para realizarlos y la
presencia de simetrías y semejanzas en la composición.
2.Después se solicitará que utilicen los morteros para moler hojas, flores, semillas o carbón
mezclados con un poco de agua para hacer las pinturas.
3.Indicar que al igual que en los proto-yumas al pintar los murales de la sierra de San
Francisco, todos pintarán en el mismo mural.
4.A cada uno le corresponde manifestar en el mural la semejanza o algún tipo de simetría.
5.Al concluir el mural deben hacer un reporte sobre las formas, si están dispuestas de frente
o de perfil, las que son semejantes, las que son simétricas, las que en conjunto presentan
un tipo de simetría.
6.Redactarán su reflexión acerca de ¿Cómo integrar situaciones a-didácticas de
institucionalización?
De la vivencia al diseño de situaciones didácticas
Para concluir, el ejercicio de transitar de la matematización al diseño de una situación
didáctica con docentes en formación, se debe atender a la situación fundamental, que
consiste en institucionalizarlo, en transladarlo a la educación preescolar. Para ello se
plantea en el laboratorio PENSMAT-ENEG que las alumnas lo hagan a partir de la siguiente
guía:
GUÍA 12
LA GEOMETRÍA COMO OBJETO DE ENSEÑANZA EN EL NIVEL PREESCOLAR
CONTEXTUALIZACIÓN
1.Ubica a las pintoras en su contexto
2.Matematiza las pinturas seleccionadas por autora que se incluyen en esta guía
4.Elige a partir del resultado de la matematización la mejor opción para implementar una
situación didáctica para aplicarse en educación preescolar
CONCEPTUALIZACIÓN
1.Conceptualiza los conocimientos matemáticos por los que optaste
2.Desde la teoría de situaciones didácticas de Brousseau conceptualiza lo siguiente:
-Situaciones de acción
-Situaciones de formulación
-Situaciones de validación
-Situaciones de institucionalización
EXPERIMENTACIÓN
1.Diseña una situación didáctica para su aplicación en educación preescolar utilizando el
siguiente formato:
APROPIACIÓN
Argumenta por escrito ¿Por qué en los aprendizajes clave para la educación básica se
dispone que el enfoque didáctico para pensamiento matemático en preescolar es la teoría
de situaciones didácticas de Brousseau?
Mi compromiso en el laboratorio PENSMAT-ENEG es que las propuestas para el aprendizaje
ayuden a formar personas convocadas a ser cada vez más y mejores educadoras. Las
evidencias de aprendizaje con relación al diseño de situaciones didácticas se pueden
observar en las narraciones de experiencias exitosas que continúan publicándose en la
revista ENEG-PENSMAT y pueden consultarse en http://www.pensmat-
eneg.com/revistas.htm
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study the theory of didactic situations: Didactico/Didactic to Algebra Study (Vol. 7). Libros
del Zorzal.
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