SZKOŁA PO

DSTAW

OW

A • Matem

atyka 8 • POD

RĘCZNIK

8R E F O R M A 2 0 1 7

P O D R Ę C Z N I K D L A S Z K O ŁY P O D S TA W O W E J

Matematyka

Podręcznik inspirowany postaciąPitagorasatwórcy podstaw matematyki

3Spis treści

SPIS TREŚCI

1. Liczby i wyrażenia algebraiczne1. Liczby dodatnie i ujemne 62. Potęgi i pierwiastki 93. Działania na liczbach 124. Obliczenia procentowe 155. Diagramy procentowe 196. Wyrażenia algebraiczne 267. Równania 29

2. Twierdzenie Pitagorasa i jego zastosowanie1. Trójkąty 382. Twierdzenie Pitagorasa 403. Zastosowanie twierdzenia Pitagorasa 444. Przekątna kwadratu. Wysokość trójkąta równobocznego 465. Prostokątny układ współrzędnych 506. Zaznaczanie punktów, których współrzędne spełniają podane warunki 537. Odcinek w układzie współrzędnych 568. Figury w układzie współrzędnych 599. Zadania dotyczące pól trójkątów 61

3. Wielokąty i okręgi 1. Długość okręgu 662. Pole koła 69

3. Zadania praktyczne na zastosowanie długości okręgu i pola koła 724. Czworokąty i ich własności 755. Wielokąty foremne 786. Zadania na pola wielokątów i kół 80

4. Geometria przestrzenna1. Przykłady graniastosłupów 852. Siatki graniastosłupów 883. Pole powierzchni prostopadłościanu i sześcianu 934. Pola powierzchni graniastosłupów 955. Jednostki objętości 996. Objętość sześcianu i prostopadłościanu 1017. Objętość graniastosłupa 1038. Przykłady ostrosłupów 1059. Siatki ostrosłupów 11010. Pola powierzchni ostrosłupów 11111. Objętość ostrosłupa 114

4 Spis treści

5. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

1. Przykłady doświadczeń losowych 121

2. Obliczanie prawdopodobieństw doświadczeń losowych 125

6. Symetrie1. Symetria względem prostej 1312. Oś symetrii figury 1353. Symetria względem punktu 1384. Środek symetrii figury 141

7. Symetralna odcinka i dwusieczna kąta1. Symetralna odcinka 1472. Dwusieczna kąta 1503. Zastosowanie w zadaniach 153

8. Zaawansowane metody zliczania i rachunek prawdopodobieństwa1. Reguła mnożenia i dodawania. Liczba zdarzeń elementarnych 1562. Prawdopodobieństwo zdarzeń w doświadczeniach losowych 159

Odpowiedzi do zadań 166

WPROWADZENIE DO KOMBINATORYKI I RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym i stanowi jeden z działów matematyki dyskretnej, a swój rozwój zawdzięcza rachunkowi prawdopodobieństwa. Pomaga odpowiedzieć na pytania typu: „Ile jest możliwych wyników w rzucie sześcienną kostką do gry?”, „Na ile sposobów możemy wybrać delegację dwuosobową z klasy 25-osobowej?” itp. Elementarną metodą kombinatoryki, często stosowaną intuicyjnie, jest tzw. reguła mnożenia i dodawania.

1. PRZYKŁADY DOŚWIADCZEŃ LOSOWYCH

Doświadczeniem losowym (eksperymentem, zjawiskiem losowym) nazywamy takie do-świadczenie, które można powtarzać wiele razy w takich samych warunkach, ale jego kolej-nych wyników nie potrafimy przewidzieć. Doświadczeniami losowymi są na przykład: rzut monetą, rzut kostką do gry czy wyciąganie karty z talii.

Ćwiczenie 1.Rzucając 25 razy sześcienną kostką do gry uzyskano następujące wyniki:2, 4, 4, 1, 6, 3, 6, 5, 5, 5, 6, 2, 3, 6, 5, 2, 5, 1, 1, 3, 1, 1, 5, 5, 3. Przedstaw te dane w postaci:a) tabeli liczebności,b) diagramu słupkowego,c) diagramu procentowego kołowego.Rozwiązanie:a) tabela liczebności

Liczba oczek 1 2 3 4 5 6Liczebność 5 3 4 2 7 4

b) diagram słupkowy

6

1 2 3 4 65

2

4

5

liczbaoczek

7liczebność

1

3

5

1211. Przykłady doświadczeń losowych

c) diagram procentowyObliczamy częstość występowania poszczególnych wyników:

Liczba oczek Częstość występowania

1 525

20= %

2 325

12= %

3 425

16= %

4 225

8= %

5 725

28= %

6 425

16= %

W doświadczeniu losowym nie możemy przewidzieć konkretnego wyniku, ale możemy określić zbiór wszystkich możliwych wyników, na przykład przy rzucie monetą może wypaść orzeł lub reszka.

Ćwiczenie 2.Wypisz wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego polegającego na dwukrotnym rzucie monetą.Rozwiązanie:Oznaczamy wyrzucenie orła przez O i wyrzucenie reszki przez R. Przebieg tego doświadcze-nia losowego można przedstawić:a) w tabelce

I rzut II rzutO OO RR OR R

b) w postaci drzewka

możliwe wyniki pierwszego rzutu

możliwe wyniki drugiego rzutu

Odpowiedź: Wszystkie możliwe wyniki przy dwukrotnym rzucie monetą, to: (O, O), (O, R), (R, O), (R, R).

2

1

4

5

3

28%

20%

8%16%

16%

6

12%

O R

O RO R

122 5. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

Losując 1 kartę z talii 52 kart, możemy wyciągnąć na przykład:

asa kier

dziewiątkę karo

króla pik

dwójkę trefl

Każdy możliwy wynik takiego doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniem elemen-tarnym, a każdy zbiór zdarzeń elementarnych – zdarzeniem losowym.

W przypadku losowania 1 karty z talii mamy 52 różne zdarzenia elementarne.

Ćwiczenie 3.Rzucamy sześcienną kostką do gry.a) Ile jest możliwych wyników rzutu?b) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu – otrzymano co najmniej trzy oczka.c) Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu – wypadła liczba oczek podzielna przez 8.Rozwiązanie:a) Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki rzutu sześcienną kostką do gry: 1, 2, 3, 4, 5, 6Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych skład się z 6 elementów.b) Możliwe zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu „otrzymano co najmniej 3 oczka” to: 3, 4, 5 oraz 6c) Zdarzeniu „wypadła liczba oczek podzielna przez 8” nie sprzyja żadne zdarzenie elemen-tarne. Takie zdarzenie jest niemożliwe.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Rzuć 50 razy monetą i zanotuj otrzymane kolejno wyniki. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci:a) tabeli liczebności, b) diagramu słupkowego.

2. Rzuć 40 razy sześcienną kostką do gry i zanotuj otrzymane kolejno wyniki. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci:a) tabeli liczebności, b) diagramu procentowego kołowego.

3. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie monetą. Wypisz w zeszycie wszyst-kie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu: wypadła co najmniej 1 reszka.

4. Rzucamy monetą i sześcienną kostką do gry. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświad-czenia losowego.

1231. Przykłady doświadczeń losowych

5. Wypisz w tabelce wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego polegającego na trzykrotnym rzucie monetą. Z ilu elementów składa się ten zbiór?

6. Doświadczenie losowe polega na rzucie kostką sześcienną, której 2 ściany są czerwone, 2 żółte i 2 pomarańczowe. Wypisz w zeszycie wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia.

7. W pudełku znajdują się koraliki: fioletowy, zielony i czarny. Losu-jemy je kolejno bez zwracania. Na ile sposobów możemy je wy-losować?

8. Rzucamy 2 razy kostką do gry. Wypisz w zeszycie wszystkie zdarzenia elementarne sprzy-jające zdarzeniu: a) w obydwu rzutach otrzymano tę samą liczbę oczek,b) w pierwszym rzucie otrzymano parzystą, a w drugim – nieparzystą liczbę oczek,c) w drugim rzucie otrzymano o 1 oczko więcej niż w pierwszym rzucie,d) w pierwszym i drugim rzucie otrzymano co najmniej 5 oczek.

9. Spośród liczb od 1 do 25 losujemy 1 liczbę. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu:a) wylosowana liczba jest liczbą pierwszą,b) wylosowana liczba jest podzielna przez 4,c) wylosowana liczba jest podzielna przez 5 i przez 3,d) wylosowana liczba jest dwukrotnością liczby 13.

10. W pudełku są 3 klocki żółte i cztery niebieskie. Losujemy bez zwracania 3 klocki i buduje-my z nich wieżę. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświadczenia losowego.

Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu:a) wybudowana wieża będzie jednokolorowa, b) wybudowana wieża będzie różnokolorowa, c) w wieży będzie więcej klocków niebieskich niż żółtych.

11. Z cyfr: 4, 5, 6 Maciek tworzy trzycyfrowe kody, które będą otwierać bramy wjazdowe, przy czym cyfry w kodzie nie mogą się powtarzać. Ile kodów będących liczbami parzystymi może utworzyć?

12. Z talii zawierającej 52 karty losujemy 1 kartę. Wypisz w zeszycie wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu „wylo-sowano figurę, która nie jest trefem ani pikiem”.

13. Z pojemnika, w którym są 2 losy wygrywające i 5 losów pustych, losujemy 3 razy po jed-nym losie bez zwracania. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki tego doświadczenia loso-wego.

124 5. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

14. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie sześcienną kostką do gry. Przedstaw te dane w zeszycie w postaci tabeli. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniom:a) iloczyn wyrzuconych oczek jest nie większy niż 10,b) suma wyrzuconych oczek jest co najmniej równa 10.

ZADANIA SPRAWDZAJĄCE

1. W szufladzie znajdują się 4 chusteczki białe i 5 czerwonych. Wybieramy losowo trzy chus-teczki. Narysuj w zeszycie drzewo dla tego doświadczenia losowego.

2. W pudełku znajdują się jeden los wygrywający i piętnaście przegrywających. Losujemy dwa razy bez zwracania po jednym losie. a) Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki tego doświadczenia losowego. b) Ile jest wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: wylosowano jeden los wygrywający?

3. Dziecko spośród klocków z literami K, O, A, T wybiera trzy klocki i ustawia je w różnej kolej-ności. Ile w ten sposób wyrazów (z sensem lub bez) może ułożyć dziecko?Wypisz w zeszycie co najmniej pięć tak ułożonych wyrazów, które mają sens.

4. Z talii zawierającej 52 karty losujemy dwie. Ile jest zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu: wylosowano damę i króla? Wypisz je do zeszytu.

5. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą i sześcienną kostką do gry. Przedstaw wyniki w tabeli. Wypisz w zeszycie wszystkie wyniki sprzyjające zdarzeniu:a) wypadła reszka i nieparzysta liczba oczek,b) wypadły 2 oczka lub 5 oczek,c) wypadł orzeł i mniej niż 4 oczka.

2. OBLICZANIE PRAWDOPODOBIEŃSTW DOŚWIADCZEŃ LOSO-WYCH

Po przeprowadzeniu doświadczenia losowego możemy obliczyć częstość występowa-nia poszczególnych wyników – jako iloraz liczby otrzymanych interesujących nas wyników przez liczbę wszystkich wykonanych doświadczeń.

W podobny sposób obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia losowego. Stosuje-

my wzór: p nN

= , gdzie n – liczba zdarzeń sprzyjających danemu zdarzeniu i N – liczba wszyst-

kich zdarzeń elementarnych.

Ćwiczenie 1.Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek większą od 2, a jakie, że wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7?Rozwiązanie:Wypisujemy wszystkie możliwe wyniki rzutu sześcienną kostką do gry: 1, 2, 3, 4, 5, 6Określamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: N = 6

1252. Obliczanie prawdopodobieństw doświadczeń losowych

Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu „wyrzucimy liczbę oczek większą od 2”: 3, 4, 5 oraz 6Określamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu: n = 4

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia: p= =46

23

Wypisujemy wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu „wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7”: 1, 2, 3, 4, 5 oraz 6Określamy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających temu zdarzeniu: n = 6

Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia: p= =66

1

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek większą od 2 wynosi 23

, a prawdopodobieństwo tego, że wyrzucona liczba oczek będzie mniejsza od 7, wynosi 1.

Zdarzenie, dla którego prawdopodobieństwo zajścia jest równe 1, nazywamy zdarzeniem pewnym, a takie, dla którego prawdopodobieństwo zajścia wynosi 0, nazywamy niemoż-liwym. Na przykład zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie dokładnie 7 oczek w rzucie sześcienną kostką do gry.

Ćwiczenie 2.W urnie jest 20 kul białych i 30 kul czarnych. Losujemy z urny 1 kulę. Oblicz prawdopodobień-stwo zdarzenia, że wylosowana kula jest biała oraz prawdopodobieństwo tego, że wyloso-wana kula jest czarna. Które zdarzenie jest bardziej prawdopodobne?Rozwiązanie:Określamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych – jest to liczba wszystkich kul w urnie: N = 50Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu, że wylosowana kula jest biała – jest to liczba kul białych w tej urnie: n = 20Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej: p= =

2050

25

Określamy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu, że wylosowana kula jest czarna – jest to liczba kul czarnych w tej urnie: n = 30Obliczamy prawdopodobieństwo wylosowania kuli czarnej: p= =

3050

35

Porównujemy prawdopodobieństwa: 25

35

<

Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej wynosi 25

, a czarnej – 35

. Bardziej

prawdopodobne jest zdarzenia polegające na wylosowaniu kuli czarnej.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Rzucamy raz symetryczną sześcienną kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wyrzucimy liczbę oczek:a) podzielną przez 3, b) większą od 1, ale mniejszą od 5?

2. W urnie jest 20 kul, w tym 11 kul czarnych. Losujemy z urny jedną kulę. Jakie jest prawdo-podobieństwo tego, że wylosowana kula nie jest czarna?

3. W urnie jest 10 kul białych i 6 czarnych. Losujemy z urny 2 razy po jednej kuli bez zwraca-nia. Za pierwszym razem wylosowano kulę białą. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że druga wylosowana kula jest czarna?

4. W każdej z 2 urn znajdują się kule czerwone i niebieskie. W pierwszej urnie są 4 kule czerwo-ne i 2 niebieskie, a w drugiej są 4 kule czerwone i 4 niebieskie. Losujemy z urny 1 kulę. Którą z urn należy wybrać, aby szansa na wylosowanie kuli czerwonej była największa?

126 5. Wprowadzenie do kombinatoryki i rachunku prawdopodobieństwa

6 SYMETRIE

Symetria to nie tylko piękno od święta, obcujemy z nią na co dzień. Słynną budowlę, w której widzimy symetrię, jest Tadż Mahal – indyjskie mauzoleum wzniesione przez szacha Szahdżahana z dynastii Wielkich Mogołów na pamiątkę przedwcześnie zmarłej żony. Ten wyjątkowy obiekt jest nazywany świątynią miłości. Ogłoszono go również jednym z siedmiu cudów świata.

1. SYMETRIA WZGLĘDEM PROSTEJ

Na kartce papieru zaznacz dowolny punkt B i narysuj prostą niezawierającą tego punktu. Zegnij kartkę wzdłuż prostej. Przebij kartkę szpilką w punkcie B. Następnie roz-łóż kartkę i powstały punkt oznacz B’. Otrzymane punkty są symetryczne względem prostej.

Punkty A i D są symetryczne względem prostej k, po-nieważ leżą na prostej prostopadłej do prostej k, po prze-ciwnych stronach prostej k i w równych odległościach od prostej k. Punkty B i E nie leżą w równych odległościach od prostej k, punkty C i F nie leżą na prostej prostopadłej do prostej k.

A

B

C

F

E

kD

1311. Symetria względem prostej

Dwa punkty są symetryczne względem prostej, jeżeli leżą:– po przeciwnych stronach prostej,– w równych odległościach od prostej,– na prostej prostopadłej do tej prostej.

Ćwiczenie 1.Wskaż punkty symetryczne względem prostej l.

Rozwiązanie:Punkty symetryczne to punkty H i G oraz A i B.

Ćwiczenie 2.Znajdź punkt A’ symetryczny do punku A względem prostej l:a) za pomocą ekierki

l

12345678

A A’

b) za pomocą cyrklaOpis:1. Z punktu A kreślimy okrąg (łuk) o promieniu r, aby przeciął prostą l w dwóch punktach.

A

l

A

B

CF

G

H

l

E

D

132 6. Symetrie

2. Z obu otrzymanych punktów kreślimy okręgi (łuki) o promieniu r.

A

l

A’

3. Punkt A´ będący punktem przecięcia tych okręgów (łuków), leżący po drugiej stronie pro-stej l niż punkt A, jest punktem symetrycznym do punktu A względem prostej l.

A

l

A’

Ćwiczenie 3.Narysuj figurę symetryczną:a) do odcinka AB względem prostej lRozwiązanie:Znajdujemy punkty symetryczne do punktów A i B względem prostej l.Odcinek A’B’ jest symetryczny do odcinka AB wzglę-dem prostej l.

A A’

B B’

l

1331. Symetria względem prostej

b) do czworokąta CDEF względem prostej k.Znajdujemy punkty symetryczne do punktów C, D, E, F względem prostej k.Czworokąt C’D’E’F’ jest symetryczny do czworokąta CDEF względem prostej k.

Aby narysować figurę symetryczną do danej względem prostej, wystarczy znaleźć punkty symetryczne do punktów charakterystycznych figury względem prostej.

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Na którym zdjęciu przedstawiono lustrzane odbicia krajobrazów?

2. Odczytaj napis, posługując się lusterkiem.Matematyka królową nauk3. Narysuj figury symetryczne do liter B, C, D, K, R względem dowolnej prostej. Sprawdź w lu-

sterku efekty swojej pracy.4. Na którym rysunku punkty A i B są symetryczne względem prostej k?

a) b) c)

A

k k k

BA B A B

5. Które dwie figury nie są położone symetryczne względem prostej k?a) b) c)

k k k

FE

F’E’

C’C

D D’

k

134 6. Symetrie

6. Narysuj w zeszycie kwadrat. Zaznacz punkty symetryczne do punktu przecięcia się prze-kątnych tego kwadratu względem prostych zawierających jego boki. Jaka figura powsta-ła?

7. Podzielcie się na grupy. Zadaniem każdej jest narysowanie trapezu równoramiennego i fi-gury symetrycznej do niego względem prostej:grupa I – leżącej poza trapezem,grupa II – zawierającej jedno z ramion trapezu,grupa III – zawierającej jeden z wierzchołków trapezu,grupa IV – przecinającej podstawy trapezu.

8. Narysuj w zeszycie:a) trójkąt równoboczny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej za-wierającej jeden z jego boków;b) trójkąt prostokątny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej zawie-rającej jego przeciwprostokątną;c) trójkąt różnoboczny, a następnie trójkąt do niego symetryczny względem prostej zawie-rającej jego najdłuższy bok.Jakie figury utworzyły pary trójkątów symetrycznych względem prostej?

ZADANIA SPRAWDZAJĄCE

1. Zaznacz 5 różnych punktów oraz prostą przechodzącą przez 2 z nich. Wyznacz punkty sy-metryczne do zaznaczonych punktów względem narysowanej prostej.

2. Przerysuj rysunki do zeszytu i dorysuj figurę symetryczną do każdej z figur.

k

A

B

C

kA

B

C

D k

A

B

C

3. Narysuj w zeszycie okrąg i figurę do niego symetryczną względem prostej:a) leżącej poza okręgiem,b) mającej z okręgiem 2 punkty wspólne.

2. OŚ SYMETRII FIGURY

Narysuj w zeszycie dowolny prostokąt, a następnie prostą dzielącą prostokąt na takie dwie części, aby po złożeniu wzdłuż prostej obie części prostokąta nałożyły się na siebie. Jak myślisz, ile takich prostych można wykreślić?Rozwiązanie:

Są dwie proste dzielące prostokąt, wzdłuż których można złożyć obie części prostokąta tak, by nałożyły się na siebie.

Mówimy wtedy, że prostokąt jest sam do siebie sy-metryczny względem tych prostych.

1352. Oś symetrii figury

Prostą, względem której figura jest sama do siebie symetryczna, nazywamy osią symetrii tej figury. Figurę, która ma oś symetrii, nazywamy figurą osiowosymetryczną.

Ćwiczenie 1.Narysuj kwadrat i zaznacz wszystkie jego osie symetrii. Ile osi symetrii ma kwadrat?Rozwiązanie:

Odpowiedź: Kwadrat ma 4 osie symetrii.

Ćwiczenie 2.Ile osi symetrii mają narysowane figury?

Rozwiązanie:

figura ma 1 oś symetrii figura ma … figura ma …

136 6. Symetrie

Ćwiczenie 3.Uzupełnij rysunek tak, aby prosta AB była osią symetrii otrzymanego wielokąta.

A

B

Rozwiązanie:

A

B

ZADANIA DO ROZWIĄZANIA

1. Podaj, ile osi symetrii mają figury przedstawione na ilustracjach.a) b) c)

2. Które spośród liter mają osie symetrii? Które z nich mają dwie osie symetrii? Czy potrafisz

wskazać inne wielkie litery alfabetu mające osie symetrii? Jeśli tak, to je wypisz.

M O L A Z3. Ile osi symetrii ma:

a) odcinek, b) półprosta, c) prostokąt,d) romb, który nie jest kwadratem, e) sześciokąt foremny, f) okrąg.

4. Ile osi symetrii może mieć: a) trójkąt, b) trapez równoramienny?Rozważ różne przypadki.

5. Narysuj w zeszycie figury, które:a) mają dokładnie jedną oś symetrii,b) mają dokładnie dwie osie symetrii,c) mają nieskończenie wiele osi symetrii,d) nie mają osi symetrii.

1372. Oś symetrii figury

6. Które z poniższych zdań są prawdziwe?a) Prosta ma nieskończenie wiele osi symetrii.b) Każdy trójkąt prostokątny ma jedną oś symetrii.c) Jeżeli trójkąt ma trzy osie symetrii, to jest równoboczny.d) Istnieje trójkąt, który nie ma osi symetrii.e) Przekątna rombu zawiera się w jego osi symetrii.f) Równoległobok, który nie jest rombem ma dwie osie symetrii.g) Istnieje czworokąt, który ma cztery osie symetrii.

7. Narysuj w zeszycie po dwa przykłady figur, które:a) mają dokładnie jedną oś symetrii, b) mają nieskończenie wiele osi symetrii.

8. Przerysuj rysunki do zeszytu i uzupełnij tak, aby prosta AB była osią symetrii otrzymane-go wielokąta.a) b)

A

B

A

B

ZADANIA SPRAWDZAJĄCE

1. Które cyfry mają osie symetrii? Wskaż te osie. Podaj przykład liczby trzycyfrowej, która ma co najmniej jedną oś symetrii oraz przykład liczby czterocyfrowej, która ma dokładnie dwie osie symetrii. Czy potrafisz wskazać wszystkie takie liczby?

2. Przepisz wyrazy do zeszytu i zaznacz ich osie symetrii. Ułóż inne wyrazy, które mają osie symetrii.

BOK MIM KOK MAM

3. Narysuj w zeszycie po dwa przykłady figur, które:a) mają dokładnie dwie osie symetrii, b) nie mają osi symetrii.

3. SYMETRIA WZGLĘDEM PUNKTU

Na rysunku figury F1 i F2 są przystające. Aby to sprawdzić, należałoby je wyciąć, a następ-nie nałożyć na siebie.

F1 F2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

138 6. Symetrie