I

Matemática 1.-Teorema de Pitágoras ..................................................................................................... 3

1.1.- Ejercicios del Teorema de Pitágoras ......................................................................... 3

2.-Trigonometría ................................................................................................................ 4

2.1.- Funciones trigonométricas ...................................................................................... 5

2.1.1.-Ejercicio de funciones trigonométricas ................................................................ 5

........................................................................................................................................ 5

2.1.2 Funciones trigonométricas de ángulos notables. ................................................ 5

........................................................................................................................................ 6

2.2 Problemas con funciones Trigonométricas ................................................................... 6

4.3 Intervalos ................................................................................................................. 16

4.4 Ejercicios de gráficas de la Función Lineal ................................................................... 18

5. Pendiente de una Recta .................................................................................................. 21

5.1 Rectas Paralelas Y Perpendiculares............................................................................. 23

5.1.1 Paralelas ............................................................................................................ 23

5.1.2 Perpendiculares.................................................................................................. 23

5.2 Ecuación de la recta Punto – Pendiente ...................................................................... 24

5.3 Ecuación de la recta Punto – Punto ............................................................................ 25

5.4 Ecuación Simétrica de la Recta ................................................................................... 26

6. Función Creciente .......................................................................................................... 28

7. Distancia entre dos puntos ............................................................................................. 29

8. Punto medio de un segmento ......................................................................................... 31

9. Ecuaciones lineales ........................................................................................................ 32

10. Inecuaciones ................................................................................................................ 33

11. Propiedades ................................................................................................................. 33

12. Inecuaciones lineales.................................................................................................... 36

13. Ecuaciones cuadráticas................................................................................................. 39

13.1 Método de Factorización ......................................................................................... 40

13.2 Método de completación del Cuadrado .................................................................... 41

14. Función cuadrática........................................................................................................ 43

15. Vértice de la parábola ................................................................................................... 45

16. Eje de simetría .............................................................................................................. 46

17. Raíces de una función cuadrática ................................................................................... 47

18. Punto máximo y mínimo ............................................................................................... 47

19. Dominio y recorrido de la función cuadrática ................................................................. 48

II

20. inecuaciones cuadráticas............................................................................................... 55

21. Valor absoluto .............................................................................................................. 63

3

MATEMÁTICA

1.-Teorema de Pitágoras

1.1.- Ejercicios del Teorema de Pitágoras

Encontrar el valor de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos

catetos miden

c2 = a2 + b2

𝐻𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐= (𝑎 2+𝑏 2 )

𝐶𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑎= (𝑐 −𝑏 2 )

𝑏= (𝑐 −𝑎 2 )

CATETO

CATETO HIPOTENUSA

b =

c = ?

a=

c= ( (

c=

c=

c= 2

4

b =?

a=

b= ( −(

c= −

c=

c=

b= 2

?

37º

B C

−

Encontrar el valor del cateto a y el ángulo A de un triángulo rectángulo,

sabiendo que B mide 37º, su hipotenusa mide 3 y su cateto mide

2.-Trigonometría

c =

A

CATETO OPUESTO

CATETO ADYACENTE

HIPOTENUSA

5

b =

a=

c=

c=

c=

B C

2.1.- Funciones trigonométricas

2.1.1.-Ejercicio de funciones trigonométricas

NOMBRE

•1º seno •2º coseno •3º tangente •4º cotangente •5º secante •6º cosecante

ABREVIATURA

•sen •cos •tg / tan •cot / ctg •sec •csc

DEFINICIÓN

•senb =(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑒𝑠𝑡𝑜 /ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎= 𝑏/𝑎

•cosb =(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 /ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎= 𝑐/𝑎

•tanb =(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑜𝑒𝑠𝑡𝑜)/(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)= 𝑏/𝑐

•cotb =(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)/(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜)= 𝑐/𝑏

•secb =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎/(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒)= 𝑎/𝑐

•cscb =ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎/(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜)= 𝑎/𝑏

c =

A

sen B = cos B =

tan B = cot B =

sec B = csc B =

sen A = cos A =

tan A = cot A =

sec A = csc A =

6

b =

a=

a= −

a=

a=

B C

A

2.1.2 Funciones trigonométricas de ángulos notables.

FUNCIONES 45 30 60

sen

cos

tan

cot

sec

csc

Hallar Las funciones del ángulo B, sabiendo que b = 5 y c = 13.

c =

sen B =

cos B =

tan B =

cot B =

sec B =

csc B =

7

2.2 Problemas con funciones Trigonométricas La longitud del hilo que sostiene una cometa es de 250m y el ángulo de elevación es de 40°grados. Hallar su altura, suponiendo que el hilo se mantiene recto.

250m Sen40°=

h (250m)(sen40°) = h 160, 69 = h Un árbol ha sido roto por el viento del modo que sus 2 ramas forman un triangulo rectángulo. La parte superior forma un ángulo de 35° con el piso y la distancia sobre el piso desde el tronco hasta la cúspide es de 5m. Hallar la altura que tenía el árbol

d2 Tan35°=

d2= ( (

d1 (5m)Tang35=d1 d2=

3,5=d1 5m d2= 6,1m Árbol= d1+d2 Árbol=3,5m + 6,1m=9,6m Desde un punto situado a 200m, seguido por una horizontal del pie de una torre, se observa que el ángulo de elevación de la cúspide es de 60°. Calcular la altura de la torre.

Tan60°=

h =(200m) tan 60 h

h=346,41m 200m 60

8

El palo central de una tienda de campaña tiene una elevación de 6m y su parte superior está sostenida por cuerdas de 12m de largo amarrados a estacas clavadas en la tierra ¿A qué distancia están las estacas del pie del mástil? ¿Cuál es la inclinación de los cables?

X= − Sen

12m 12m X= Sen

X=10,39m Sen = oc

2=30 x Los ángulos iguales de un triangulo isósceles son de 35° y la base de 313,18cm. Hallar sus otros elementos. A

c b Cos35°=

b(cos35°)=196,59

b=

B C b=240cm 313,18cm c=240cm A=110° Un poste de 10m de longitud proyecta una sombra de 8,34m. Hallar el ángulo de elevación del sol.

Tan

Tan =0,0208m 10m 8,391m

6m

9

Con el fin de hallar el ancho de un rio se ha medido una base (AC) de 350m a lo largo de una de sus orillas. Sobre la orilla opuesta se toma un punto B tal que (CB) sea perpendicular a (AC).También se ha medido el ángulo CAB y resulta ser de 52°,12. Hallar el ancho del rio 350m

A B Tan52°12=

CB=(350m) Tan 52°12 C CB=451,217m La longitud de un octágono regular es de 12cm. Hallar los radios de los círculos inscritos y circunscritos

12cm Sen22,5°=6cm R

Rsen22,5°=6cm

R R R=

R=15,68cm

12cm

Tan22, 5°=

R Tan 22,5°=6cm

R=

R=14,49cm Desde la parte superior de una torre de 120m de altura se observa que el ángulo de depresión de un objeto que esta a nivel de la de la torre es de 27°,43 ¿Cuáles son las distancias del objeto a la punta y a la base?

d2 Tan 27° =

d1 Tan 27° =120m

d1=

d1 d1=228,4m

d2= ( - d2=258m

52°12

6cm

120m

10

3. Relaciones y Funciones

3.1 Par ordenado

Ejemplo:

( ( (

: 1º componente

: 2º componente

( (

3.2 Plano cartesiano

Diagrama sagital

A B

2 7 7

3 5 5

2 3

( ( ( (

Sean

Hallar

Diagrama sagital

A B

a 1

b 3

5

( ( ( ( ( (

11

3.3 Relaciones binarias

Dados los conjuntos A y B, decidimos que R es una relación de A en B si es subconjunto del producto cartesiano.

A B

1 4

2 5

3

( ( ( ( ( (

( (

( ( (

Diagrama sagital

A B

1 4

2 5

3 conjunto de llegada

Conjunto de partida

3.3.1 Dominio

Es el conjunto formado por las primeras componentes de los pares ordenados de una relación

3.3.2 Rango

Es el conjunto formado por las segundas componentes de los pares ordenados de una relación

Ejemplo:

( /

( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( (

12

( ( (

A B

1 5

2 6

3 7

4

3.4 Relación inversa

( ( (

( ( (

3.5Propiedades de las relaciones definidas en un conjunto

( /

( ( ( (

A

5

6

7

3.5.1 Propiedad Reflexiva

Se dice que una relación en un conjunto es reflexiva cuando cada elemento del conjunto dado está relacionado consigo mismo

13

( ( (

A

1

2

3

Ejemplo:

( /

( ( ( ( (

A

4

7

9

3.5.2 Propiedad Simétrica

Una relación es simétrica cuando cada vez que entonces está relacionado con

A

a ( (

b

c

Ejemplo:

Dado el conjunto

( /

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

14

A

6

13 es simétrica y reflexiva

17

25

3.5.3 Propiedad Transitiva

Una relación es transitiva si cada vez que está relacionada con la y la esta relacionada con la , entonces está relacionada con

A

6 Simétrica, reflexiva y transitiva

13 17

25

( ( ( ( ( ( ( ( ( (

Conclusión: si una relación cumple con las tres propiedades es decir que esa relación es de equivalencia.

4. Funciones

Una función es una relación especial que se denota si solo si cada elemento de le corresponde un único elemento

Ejemplo:

Dado el conjunto

y

/ −

( ( ( (

Función

15

A B

2 3

3 8

4 15

5 24

26

Conclusiones:

1. Conjunto de partida dominio de la relación 2. No deben existir dos pares con la primera componente igual

4.1 Funciones de variable real

Variable independiente

Variable dependiente

Grafico de una función lineal

(

(

(

(

− (−

(

16

4.2 Gráfico de una Función Lineal

( −

( −

4.3 Intervalos ⁻∞ ⁺∞

3 7

Abiertos (

Ejemplo: (

⁻∞ ⁺∞

3 7

Cerrado

Ejemplo: −

⁻∞ ⁺∞

-4 2

(

(

(

− − (− −

17

−

Semi abiertos

Ejemplo ( −

⁻∞ ⁺∞

-7 8

−

Intervalo con extremo infinito

Infinito Positivo

⁺∞

3

⁺∞

7

Infinito Negativo

( −

⁻∞

4

18

− −

⁻∞

-3

4.4 Ejercicios de gráficas de la Función Lineal

Graficar las siguientes funciones lineales:

1.- g=

2.-

−

19

Deber

1.-

2.-f(x)= x+2; x ϵ < -1; 3]

3.- f(x) = x-3; ϵ < -2; 4]

20

4.- f (x) = 2x - 2; x ϵ [-2; 3]

5.- f (x) = 3x - 1; x ϵ [-1; 3]

6.- f(x) = 4x; x ϵ [-1; 2]

21

7.- f(x) = 2x; x ϵ [-2; 4]

5. Pendiente de una Recta

y = 2x-1

Pendientes es igual al ángulo de inclinación:

22

Determinar la pendiente y el ángulo de inclinación de las rectas que pasan por los puntos:

1.- P = ( ; 1) Q = (0.5; 3)

2.- P = (-1/2; ) Q = (3; -4)

3.- (

23

Observación: Si la pendiente (m) es positiva la recta estará hacia la derecha y si la pendiente es negativa la recta estará inclinada hacia la izquierda

5.1 Rectas Paralelas Y Perpendiculares 5.1.1 Paralelas Dos rectas son paralelas si solo sí son pendientes iguales: m1=m2.

5.1.2 Perpendiculares Dos rectas son perpendiculares entre sí y solo sí el producto de sus pendientes es igual a -1: m1*m2 = -1.

Determinar si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares:

−

−

24

(

No son ni paralelas ni perpendiculares porque y − .

5.2 Ecuación de la recta Punto – Pendiente

Ejemplo:

Determinar la ecuacion de una recta que pasa por el punto (-2;5) y de pendiente -3

P (-2;5) m = -3

y-y1 = m (x-x1)

25

y-5 = -3 (x+2)

y-5 = 3x-6

y = -3x-1 Forma y = mx+b

3x+y+1 = 0 Forma general

Determine la ecuación de una recta que pasa por el punto (2/7;1/2) y tiene de pendiente -1/3

−

−

−

−

−

5.3 Ecuación de la recta Punto – Punto

y-y1 = m (x-x1)

m = y2-y1

x2-x1

y-y1 = (y2-y1) (x-x1)

x2-x1

Encontrar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (3;4) (5;3)

y = -4 (-3-4 )

(x-3)

5-3

y -4 = (-7/2) (x-3)

y-4 = -7/2x+21/2

y = -7/2x+29/2

26

7x+2y-29 = 0

1) P ( 0;3)

m = -1/3 y = -1/3x+3

x+3y-9 = 0

2) P1 (2;-5) P2 (-3;7)

y+5 = 7+5

(x-2)

-3-2

y+5 = 12/6 (x-2)

y+5 = -2x+4

y = -2x-1

2x+y+1 = 0

3) m = -1/2 P (2/3;-4)

y+4 = -1/2 (x-2/3)

y+4 = -1/2x-11/3

3x+6y+22 = 0

5.4 Ecuación Simétrica de la Recta P1 = (a;0) y-y1 = m(x-x1) ay = -b(x-a)

ay = -bx+ab

x/a+y/b= 1

P2 = (0;b) y-0 = b/a (x-a) bx+ay = ab

bx ay ab

ab ab ab

m = b-a o+a

27

a = Abscisa al origen

b = Ordenada al origen

Determinar la ecuación de la recta en su forma simétrica sabiendo que su ecuación general es 3x+2y-6 = 0

3x+2y = 6

2 = a a = 2 (2;0)

3x+2y = 1

3 = b b = 3 (0;3) 6

1/2x+y/3 = 1

5x-3y+15 = 0 Determina 1 triángulo con los ejes. Calcular el área del triángulo. 5x-3y = -15

= -1/3+1/5 = 1

(-3;0) (0;5)

El área de un triángulo es 10u 2 y el segmento que determina sobre el eje "x" mide 4u hacia la derecha del origen, calcular el valor de la ordenada al origen y escribir la ecuación simétrica.

10(2) = h y = 5/4 (x-4)

-5x+4y+20 = 0 4

7 = 5/5x-5

5x+4y = 1 5 = h

20

5x+4y = 20

5x+4y-20 = 0

28

6. Función Creciente Una función f es creciente si para todo x1 y x2 ϵ D se cumple que: x1<x2 f(x1) < f(x2)

Ejemplo:

3x+2y-5 = (-1;6]

P(x1) = 3/2 (2)-5

P(x2) = 3x-5

f(x1) = -9-5

f(x2)= -18-5

2

2

2

-2y = -3x+5

= 6-5

2

= 3(4)5

f(x1) = -14

f(x2)= -23

y= 3/2x-5/2

2

2

5

= 1/2

x y (x;y)

= 7/2

f(x1)= -7

f(x2)= 11.5

-1 -4 (-1;-4)

2y = -3x+5

6 13/2 (6;13/2)

y = 3/2x-5/2

D = -1< x ≤ 6

x1 = 3

x1 = 2

x2 = 6 x2 = 4

Deber

Determinar si las siguientes rectas son crecientes o decrecientes.

1) f(x) = 3/2x+1 x1= 2

x2= 4

f(x)= 6+1 f(x)= 12+1

R. Creciente

2

2

f(x)= 7/2 < f(x)= 13/2

2) 2y+x = 5; x ϵ (3;7]

D= -3 < x ≤ 7

R. Creciente

29

y = -3+5

y= -6+5 2

2

f(x)= 1 < f(x)= -1/2

7. Distancia entre dos puntos P1(x1;y1)

P2(x2;y2)

dP1-P2 = √(x2-x1) 2 + (y2-y1) 2

1.- Calcular la distancia entre los puntos A.(-3;5) y B.(4;-2)

dAB = √(4+3) 2+(-2-5) 2

dAB=√49+49 dAB = √98 dAB = 7√2

3.- La ordenada del punto A. es 8 y su distancia al punto B. (5;-2) es 2√41. Hallar la abcisa de A.

P1: (0;8) dAB = √(-x-5) 2+(8+2) 2

(x-13)(x+3)=0

P2: (5;-2)

x-13 = 0

x+3 = 0

dAB= √(x 2-10x+25+100)

x = 13

x = -3

(2√41) 2 = (√x 2-10x+25+100) 2

164 = x 2-10x+125

0 = x 2-10x+125-164

0 = x 2-10x-39

x 2-10x-39 = 0

x 2-(10x-39)

30

Refuerzo mis conocimientos: 1) Hallar la distancia entre los puntos A.(-2;-1) B.(2;2)

dAB = √(2+1) 2+(2+2) 2

dAB = √6+16

dAB =5

2) La distancia entre P(-1/2;√3) y Q(1/2;2√3)

P1: -1/2;√3

dPQ = √(1/2+1/2) 2+(2√3-√3) 2

P2: 1/2;2√3

dPQ = √1+(√3) 2

dPQ = √4

dPQ = 2

3) Hallar el perímetro del triángulo cuyos vértices son: A(1;5) y B(7;-3),C(-4;-3)

P1: (1;5) dAB = √(-3;-5) 2+(7-1) 2

P = 30.47m

P2: (7;-3) dAB = √64+36

dAB = 10cm

B: (7;-3) dBC = √(-3+3) 2+(-4-7) 2

C: (-4;-3) dBC = √1+121

dBC = 11.04

A: (1;5)

dAC = √(-4-1) 2+(-3-5) 2

C: (-4;-3) dAC = √25+64

dAC = 9.43

31

8. Punto medio de un segmento AB = CD

BC = DE

xm-xy = x2-xm

ym-y1 = y2-ym

xm+xm = x2+x1

ym+ym = y2+y1

2xm = x2+x1

2ym = y2+y1

xm = x2+x1

Fórmula

ym = y2+y1

Fórmula

2

2

Ejercicios: 1.- Hallar las coordenadas del punto medio del segmento AB siendo A(7;-5) y B(5;3)

A(7;-5)

xm = 5+7 ym = 3-5

2 2 B(5;3)

Pm(6;-1)

xm = 6

ym = -1

2.- Si el punto medio del segmento AB es (3;2) y sabiendo que su punto A(4;5). Hallar las coordenadas del punto B.

xm = x2+x1

ym = y2+y1

2 3 = x+4

2

2 = y+5

B(2;-1)

2

6 = x+4

4 = y+5

2 = x

2

-1 = y

32

9. Ecuaciones lineales Suma de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales es el conjunto de 2 ecuaciones con 2 variables. Ejemplo:

{ x+3y = 8

2x-y = 9

Resolver un sistema de ecuaciones lineales consiste en encontrar valores para "x" y para "y" que permitan mantener la igualdad en las 2 ecuaciones. Entre los métodos de resolución de un sistema de ecuación tenemos los siguientes: 1.- método gráfico

2.- método de sustitución 3.- método de adición 4.- método de igualación

Método Gráfico El método gráfico consiste en dibujar las dos rectas en un mismo plano cartesiano.

Posibilidad de soluciones:

1.- solución única: el sistema tiene solución única cuando las dos rectas intersecan en el mismo punto.

2.- infinitas soluciones: un sistema tiene infinitas soluciones cuando la primera recta coincide con la segunda recta. 3.- No tiene solución: un sistema no tiene solución cuando sus rectas son paralelas.

Deber

{ 2x+y = 4

1.- 2x+y =4

x y (x;y)

2 0 (2;0)

x+y = 3

3 -2 (3;-2)

2.- x+y = 3

x y (x;y)

1 2 (1;2)

4 -1

(4;-1)

33

{ 2x+3y = 0

1.- 2x+3y = 0 x y (x;y)

3 -2

(3;-2)

4x+3y = 6

-3 2 (-

3;2)

2.- 4x+3y = 6 x y (x;y)

-3 -2

(-3;-2)

0 2 (0;2)

10. Inecuaciones

−

−

11. Propiedades Adición y sustitución

Las propiedades relacionadas con la adición y sustitución:

Para tres números reales: ; si entonces − − si entonces − −

Multiplicación y División

Las propiedades relativas a la multiplicación y División

Para tres números reales: ;

Inecuación

34

Tricotomía

La propiedad de tricotomía dicta que:

Para dos números reales cualquiera solo se cumplirán una de las siguientes: Si entonces Si entonces

Transitiva

Para tres números reales Si y entonces Si y entonces Si y entonces

Resolver:

1.

−

2. ( − ( −

− −

Resolver las siguientes inecuaciones:

1. − − − −

35

Grafico

⁻∞ ⁺∞

-2

Intervalo − −

2.

− −

Grafico

⁻∞ ⁺∞

−

Deber

1. ( − − ( − − − Grafico

⁻∞ ⁺∞

36

−

2. −

−

− − Grafico

⁻∞ ⁺∞

12. Inecuaciones lineales Una inecuación lineal con 2 variables se puede expresar de las siguientes formas

1. − 2. − 3. − 4. − −

La solución de una inecuación lineal con 2 variables corresponde al conjunto de pares ordenados que permiten que se cumpla la desigualdad.

Por lo tanto la solución se observara en el grafico como una región que se encuentra sombreada bajo o sobre una recta.

Ejemplo:

Determinar el conjunto solución de la siguiente inecuación lineal

−

1. Paso : cambiar el signo desigualdad por un igual −

2. Paso : despejar la y −

37

3. Paso : Tabla de valores

4. Paso : graficar

−

5. Paso : determinar la zona de solución

Sobre la recta Bajo la recta − (− ( − (− − −

Si la inecuación tiene símbolos de , la línea recta que se dibuja para su solución va en forma punteada.

Esto quiere decir que los puntos que pertenecen a la recta no son parte de la solución.

Si la inecuación tiene símbolos , la línea recta va en forma continua, esto quiere decir que los puntos pertenecen a la recta son parte del conjunto solución.

(

(

− ( −

− (−

38

Determinar la solución de las siguientes ecuaciones lineales

1.

−

Sobre la recta ( ( (

−

2. − −

Bajo la recta ( ( −( −

(

(

− (−

(

− (−

− (−

39

−

13. Ecuaciones cuadráticas Una ecuación de 2º grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se que se puede expresar como:

, donde son números reales y

Ejemplo:

−

−

− −

− −

Factor común Diferencia de cuadrados Trinomios

Cuadrados perfectos Forma Forma

40

Ejemplo:

− ( ( −

(

( (

( (

Deber

Factor Común

1. ( 2. (

Diferencia de Cuadrados

1. − ( ( − 2. − ( ( −

Cuadrado Perfecto

1. ( 2. (

Forma

1. − ( − ( − 2. ( (

Forma

1. ( ( 2. ( (

13.1 Método de Factorización Uno de los métodos para determinar las raíces de una ecuación cuadrática y por factorización consiste en descomponer en factores a la expresión y luego aplicar el tema de factor o que indica que entonces hay que igualar cada factor para obtener las posibles raíces

Ejemplo:

Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas

41

a) − −

1. Paso : Factorizar ( − (

2. Paso : igualar a cero ( − (

3. Paso : resolver −

4. Paso : comprobación − − ( − ( −

b) − ( − − − ( −

13.2 Método de completación del Cuadrado Una ecuación cuadrática se puede resolver utilizando el método de completación del cuadrado que consiste en transformar dicha ecuación en un trinomio cuadrado perfecto. Para ello se debe

sumar y restar la expresión ( , con el coeficiente de igual a

Ejemplo:

−

1. Paso : dividir la ecuación para el coeficiente de

−

−

2. Paso : Calcular el termino (

42

3. Paso : pasar el termino independiente a la derecha

4. Paso : sumar la expresión (en ambos lados)

5. Paso : Factorizar

6. Paso : separar la raíces

−

−

( (

−

( − ( − ( − ( ( − − − − − − − − − (

43

−

14. Función cuadrática

Una función cuadrática es de la forma ( o en donde a, b y c son números reales ya demás a tiene que ser diferente de 0. Lo grafico de una función cuadrática es una parábola que puede tener su abertura hacia arriba y hacia abajo. Si el coeficiente a de la función cuadrática es positivo (a>0) la parábola se abre hacia arriba. a>0 ( Si el coeficiente de la función cuadrática es negativo (a<0) la gráfica de la parábola se abrirá hacia abajo. a<0 ( −

44

El coeficiente c en la función cuadrática determina el punto de corte con respecto al eje de las “y”. Ejemplos: En las siguientes funciones cuadráticas determinar hacia donde se abre la parábola y cuál es su punto de corte ene l eje de las “Y”.

1. ( − − a= -3 a<0 la parábola se abre hacia abajo. c= -7 la parábola corta por -7 en el eje de las “Y” C = -7

2. ( a= 2 c= 3 3

45

15. Vértice de la parábola El punto más bajo en una parábola que se abre hacia arriba y el punto más alto en una parábola que se abre hacia abajo se llama vértice.

−

Vértice Vértice

Graficar la siguiente función cuadrática.

( − − Pasos

1. Cambiar f(X) a y − −

2. Calcular el vértice. Remplazamos

− ( −

− − (

−

46

3. Encontramos puntos para x.

x y (x; y)

0 -3 (0; -3)

-1 0 (-1; 0)

2 -3 (2; -3)

-2 5 (-2; 5)

3 0 (3; 0)

-3 12 (-3; 12)

4 5 (4; 5)

16. Eje de simetría El eje de simetría es una línea imaginaria que pasa por el vértice y divide en dos partes a la parábola. Eje de simetría

−

Calcular el vértice y graficar una línea vertical.

47

17. Raíces de una función cuadrática Las raíces de una función cuadrática son las intersecciones con eje de las “X” y se las obtiene remplazando el f(X) por la y a 0. Resolviendo la función cuadrática por cualquier método. (Factorización, completación, formula).

Cuando la parábola no interseca con el eje de las “X” los números son irreales. Cuando la parábola interseca con un solo punto en el eje de las “X” es cuando hay una sola

solución (Un trinomio cuadrado perfecto).

18. Punto máximo y mínimo

Punto máximo._ en una parábola que se abre hacia abajo al punto más alto (vértice) se lo llama también punto máximo. Vértice (Punto máximo)

( −

−

−

( − ( −

( (

48

Punto mínimo._ es una parábola que se abre hacia arriba, al punto más bajo (vértice) se lo llama también punto mínimo.

Vértice (Punto mínimo)

19. Dominio y recorrido de la función cuadrática Dominio._ el dominio son todos los valores que puede tomar “X” en la función cuadrática para encontrar un respectivo y. en el caso de a función cuadrática el dominio serán todos los números reales. Recorrido._ rango o imagen, el recorrido son toso los valores que pueda tomar “Y” en a función de x. en una función cuadrática que se abre hacia arriba el recorrido será el intervalo desde el punto mínimo hasta el infinito positivo, si la parábola se abre hacia abajo el recorrido será desde el punto máximo hasta el infinito negativo.

( (

x._ dominio

y._ recorrido

49

Ejercicios: Dadas las siguientes funciones cuadráticas. Determinar:

a) Hacia donde se abre la parábola b) Punto de corte en el eje “Y” c) Vértice d) Eje de simetría e) Intervención en el eje “X” f) Si tiene punto máximo o mínimo g) Grafica h) Dominio y recorrido i) Signos de f(X)

(

a) a= 1 a>0 la parábola se abre hacia arriba. b) c= 2 la parábola corta en 2 del eje de las “y”

c)

Eje de simetría

−

(−

−

−

d) − −

Vértice

e)

( ( − −

f) Tiene punto mínimo porque la parábola se abre hacia arriba.

g) Dominio y recorrido D= R R= −

)

h) Signos de f(x)

- -2 -3 + + - +

50

Deber

Fecha: 2013/05/14 Dadas las siguientes funciones. Determinar

( −

a= 2 a>0 la parábola se abre hacia arriba. c=5 la parábola corta en 5 del eje de las “y”

Eje de simetría

−

−

−

Vértice

( (

Dominio y recorrido

D= R R=

)

Signos de f(x)

- + +

x y (x; y)

-1 10 (-1; 10)

2 7 (2; 7)

3 14 (3; 14)

-2 19 (-2; 19)

51

a) Hacia donde se abre la parábola b) Punto de corte

Deber Fecha: 2013/05/14 Dadas las siguientes funciones. Determinar

a) Hacia donde se abre la parábola b) Punto de corte c) Eje de simetría

a= 2 a>0 la parábola se abre hacia arriba.

x y (x; y)

2 8 (2; 8)

1 2 (1; 2)

-1 2 (-1; 2)

-2 8 (-2; 8)

−

a= -2 a<0 la parábola se abre hacia abajo.

x y (x;y)

2 -8 (2; -8)

1 -2 (1; -2)

-1 -2 (-1; -2)

-2 -8 (-2; -8)

52

x y (x; y)

1 3 (1; 3)

2 8 (2; 8)

-2 0 (-2; 0)

a= 1 b= 2 la parábola se abre hacia arriba.

− − (− − Vértice

53

−

a= 1 a>0 la parábola se abre hacia arriba.

(

− ( − Vértice

x y (x; y)

1 -3 (1; -3)

2 -4 (2; -4)

-2 12 (-2; 12)

-1 5 (-1; 5)

3 -3 (3; -3)

-3 15 (-3; 15)

54

−

a= -2 a<0 la parábola se abre hacia abajo.

Eje de simetría

−

−

Vértice

x y (x; y)

1 4 (1; 4)

2 4 (2; 4)

-1 -8 (-1; -8)

55

20. inecuaciones cuadráticas Una inecuación cuadrática debe ser de la forma Ejemplo:

1. ( (

( ( ( ( − − − −

-3 -1 -3 -1 Sol1: (-3; -1) ST: (-3; -1) Sol2: Ǿ COMPROBACION: -2 (− (− − −

Resolver una inecuación cuadrática consiste en determinar todos los valores que puede tomar “X”

+ - - +

+ - ( (

- + ( (

− −

56

2.

( (

( ( ( ( − − − −

-6 -2 -6 -2 Sol1: (-2; +∞) ST: (-∞; -6) U (-2; +∞) Sol2: (-∞; -6)

3. ( ( − ( − (

( − ( ( − ( − −

-2 1 -2 1 Sol1: Ǿ ST: [-2; 1] Sol2: [-2; 1]

+ + - -

+ + ( ^ (

- - ( (

+ - - +

+ - ( − (

- + ( − (

− −

− −

57

4. ( ( − − ( ( −

( ( − ( ( − − −

-6 4 -6 4 Sol1: [-6; 4] ST: [-6; 4] Sol2: Ǿ COMPROBACION: − 3 ( ( − − − − COMPROBADO

+ - - +

+ - ( ( −

- + ( ( −

− −

58

DEBER FECHA: 2013/05/30

1. − −

( ( −

( ( − ( ( − − − −

-4 10 -4 10 Sol1: (-4; 10) ST: (-4; 10) Sol2: Ǿ

2. − ( − ( −

( − ( − ( − ( −

1 9 1 9 Sol1: (1; 9) ST: (1; 9) Sol2: Ǿ

+ - - +

+ - ( ( −

- + ( ( −

− −

+ - - +

+ - ( − ( −

- + ( − ( −

− −

59

3. − ( − (

( − ( ( − ( − −

-5 1 -5 1 Sol1: Ǿ ST: [-5; 1] Sol2: [-5; 1]

4. − ( ( −

( ( − ( ( − − −

-21 1 -21 1

+ - - +

+ - ( − (

- + ( − (

− −

+ + - -

+ + ( ^( −

- - ( ( −

− −

60

Sol1: (1; +∞) ST: (-∞; -21) U (1; +∞) Sol2: (-∞; -21)

5. − ( ( −

( ( − ( ( − − −

-4 1 -4 1 Sol1: [-4; 1] ST: [-4; 1] Sol2: Ǿ

6. − − ( ( −

( ( − ( ( − − −

-4 5 -4 5 Sol1: (-4; 5) ST: (-4; 5) Sol2: Ǿ

+ - - +

+ - ( ( −

- + ( ( −

− −

+ - - +

+ - ( ( −

- + ( ( −

− −

61

7. −

( ( −

( ( ( ( − − − −

-6 -2 -6 -2 Sol1: (-2; +∞) ST: (-∞; -6) U (-2; +∞) Sol2: (-∞; -6)

8.

( (

( ( ( ( − − − −

-6 -2 -6 -2 Sol1: (-2; +∞) ST: (-∞; -6) U (-2; +∞) Sol2: (-∞; -6)

+ + - -

+ + > ( −

- - ( −

− −

+ + - -

+ + ( ^ (

- - ( (

− −

62

9. −

( ( −

( ( − ( ( − − −

-6 -2 -6 -2 Sol1: (-2; +∞) ST: (-∞; -6) U (-2; +∞) Sol2: (-∞; -6)

10.

( (

( ( ( ( − − − −

-4 -4 Sol1: (-4; +∞) ST: (-∞; -4) U (-4; +∞) Sol2: (-∞; -4)

11. −

No tiene solución

− −

+ + - -

+ + ( + 4 > 0 ^ ( + 4 > 0

- - ( (

+ + - -

+ + ( + 7 0 ^ ( − 1 0

- - ( ( −

− −

63

21. Valor absoluto DEFINICION:

( −

|3|=3

|-2|= (-2)

=2

PROPIEDADES:

1.

2.

3.

4.

9

5. |a|=|-a| Ej: −

6. =|a|

=3 3=3