Matemática Aplicada

Na evolução Humana, as Linguagens/Idiomas surgiram para possibilitar a comunicação de modo a representar foneticamente (fala-audição) as idéias, analogamente os NÚMEROS foram concebidos como a forma específica para expressar QUANTIDADE e/ou VALORES, em que neste desenvolvimento as comunidades socialmente organizadas que originaram os povos das mais variadas regiões adotavam artifícios para exprimirem este conceito, em que devido principalmente aos deslocamentos migratórios e ao comércio, se difundissem entre eles.

Neste contesto histórico da humanidade, o primeiro método a que se atribui para contagem foi uma FORMA ASSOCIATIVA entre elementos.

Cada seixo do saquitel associado a cada ovelha do rebanho.

Subsequentemente surgiram os primitivos SISTEMAS DE NUMERAÇÃO, dentre os quais como os mais difundidos destacaram-se:

O sistema egípcio, o sistema babilônico, o sistema romano e o sistema indo-arábico.No decurso desta evolução humana, estabeleceram-se os diversos sistemas de numeração, de

modo a atender as necessidades científico-tecnológicas, sendo eles:N, Z, Q, II, R e C.

Contudo o nosso contesto tem por objetivo, apenas uma recapitulação dos tópicos mais necessários, específicos ao bom desempenho da atividade que designa.

NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS – Apresentação e Operações fundamentais.

É a representação de valores numéricos denotados por números negativos, nulo e positivo estabelecidas em uma escala graduada pelo posicionamento organizado desses valores da seguinte forma.

_________________________________

-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5

Os números inteiros são representados com seu respectivo sinal entre parênteses e para que as operações de Adição e/ou Subtração sejam efetuadas e necessário que estes parênteses com os respectivos sinais sejam eliminados de acordo com o seguinte critério:

-Sempre que o parênteses for precedido do sinal POSITIVO elimina-se o parênteses MANTENDO-SE o sinal original do número:

+ (+5) = +5 + (-18) = -18

+ (-7) = -7 + (+39) = +39

-Sempre que o parênteses for precedido do sinal NEGATIVO, elimina-se o parênteses Invertendo-se o sinal original do número:

- (+5) = -5 - (-18) = +18

- (-7) = +7 - (+39) = -39

1

ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

As operações sucessivas de adição e/ou subtração entre números inteiros são efetuadas após a eliminação dos parênteses, de acordo com a regra vista anteriormente, SOMANDO-SE todos os valores POSITIVOS e separadamente SOMANDO-SE todos os valores NEGATIVOS e por fim SUBTRAI-SE do MAIOR valor o MENOR, e dá-se ao resultado o sinal daquele maior.

Ex: - (+2) – (-3) + (-5) – (+1) + (-4) + 3= -2 + 3 – 5 – 1 – 4 + 3= +3 + 3 – 2 – 5 – 1 -4= + 6 – 12= -6

Ex: (-5) + (-2) – (+7) – (-1) + (+2) + (-4) – 1 + 3= - 5 – 2 – 7 + 1 + 2 – 4 – 1 + 3= + 1 + 2 + 3 – 5 – 2 – 7 – 4 – 1= + 6 – 19= - 13

Resolva:a) (-5) + (-3) – (+7) + (+2) – (-4) – (+1) – 6 R: -16

b) – (-11) + (+2) + (-5) – (+7) – (-3) + (-2) – (-8) – 4 R: +6

c) (-5) + (-8) + (+4) + (-9) – (-1) + (+7) – (-2) + (+3) + (-6) + 1 R: -24

d) (+11) – (+7) + (-13) – (-6) + (+4) – (-3) + (-2) – (+8) – 1 + 4 R: -3

e) 5 + (-3) + (-11) – (-4) + (+17) – (-23) + (-15) – 8 + (-13) R: -1

f) – 2 + 4 – (-8) + (-3) – 7 – (-5) – (-3) – (2) + (-1) – (-13) R: +18

2

MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

Estas operações são efetuadas MULTIPLICANDO – SE ou ADIVINHANDO-SE os fatores na ordem em que se apresentam e dando – se ao resultado o sinal;

POSITIVO: Se a quantidade de fatores NEGATIVOS for nula (todos os fatores POSITIVOS) ou par.

Ex: (+3) . (+5) . (+1) = + (3.5.1) = +15

Ex: (-2) . (+3) . (+5) . (-1) = (2.3.5.1) = +30

Ex: (-8) : (+2) : (+1) . (-3) = + (8:2:1.3) = +12

NEGATIVO: Se a quantidade de fatores NEGATIVOS for ÍMPAR

Ex: (-3) . (-2) . (-1) = - (3.2.1) = -6

(-7) . (+2) . (+1) = - (7.2.1) = -14

(+3) . (-1) . (-2) . (+5) : (+5) = - (3.1.2..5:15) = -2

Resolva:a) (-5) . (+2) . (-8) : (-4) = R: -20

b) (-7) . (-4) : (+2) . (-3) : (-6) = R: +7

c) (+4) . (-5) . (-3) . (+2) : (-8) = R: -15

d) (+3) . (-3) . (1) . (-4) : (-2) = R: -18

e) (-27) : (-3) . (-2) . (-14) : (-3) = R: -6

3

POTENCIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

É efetuada multiplicando o número por si mesmo tantas vezes quando for o expoente

b = b x b x ...x b

e vezes

e dando –se ao resultado o sinal:

POSITIVO (+) : Sempre que o expoente for PAR independente do sinal original do número.

Ex: (+2)³ = + (2.2.2) = +8 (+3)² = + (3.3) = +9

(+1) = +(1.1.1.1.1.1) = +1 (-1) = + (1.1.1.1.1.1.1) = +1

(+3) = + (3.3) = +9 (-3) = = (3.3) = +9

NEGATIVO (-): Se o expoente for ÍMPAR, especificamente quando o sinal original do número for negativo.

Ex: (-3) = - (3.3.3) = (-1) = - (1.1.1.1.1) = -1

Resolva:

a) (-2)

b) (+2)

c) (-1)

d) (+1)

e) (-3)

f) (-3)

4

RADICIAÇÃO DE NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

A radiciação e a operação inversa a potenciação e consequentemente a obtenção da raiz de um número pode ser obtida pela decomposição em fatores primos do radicando com sua posterior representação em potenciação e daí possibilitando a resolução mediante a sua simplificação.

Ex:→ = 2 = 4

64 232 216 2 64=28 24 22 11

→ = 3

81 327 39 33 31

Obs: Acrescido a estas regras básicas devemos ter em consideração as regras que dizem respeito do sinal dos números.

1º)Só existe Raiz de índice par de números positivos.

Ex: = +5

= = 2 = +4

= +1 = +4

Contra exemplo: (não existe raiz)

= R

= R

= R

5

2º)As raízes de índice ímpar têm o sinal do resultado igual ao do radicando.

Ex: = = -2 8 2

4 2 8=2= = -3 2 2

1 = = +2

= -1

= +1

Números Racionais Relativos – Representações e Operações

São valores numéricos intermediários aos números inteiros pela fragmentação da unidade a eles acrescido, podendo ser expresso na forma de FRAÇÃO (que consiste numa operação de divisão inexata propriamente dito), e na forma de números decimais(resultante do acréscimo da fragmentação da unidade ao numero inteiro:

-2 -1 0 1 2

Números Fracionários

São representações de valores numéricos expressos sob a forma onde “q = 0” a qual corresponde a divisão entre esses dois valores, sendo o valor sobre o traço chamado NUMERADOR e correspondendo ao DIVIDENDO e o valor sob o traço chamado DENOMINADOR e correspondo ao divisor.

Ex. 5 = 5 2 Ex. 11 = 11 3 2 10 2,5 3 20 3,66... 0 20 20

6

p q

Operações entre frações

As frações como qualquer outra representação numérica tem seus critérios operatórios específicas.

Adição e Subtração de Frações

Frações de mesmo denominadorEfetuam-se as adições e/ou subtrações sucessivas entre os numeradores das frações,

mantendo-se o mesmo denominador para toda a sentença.

Ex. 3 + 2 - 1 + 8 - 4 5 5 5 5 5

= 3 + 2 – 1 + 8 - 45

= 3 + 2 + 8 – 1 - 4

5

= 13 – 5 5

= 8 5

Obs: Sempre que o numerador e o denominador forem múltiplos eles devem ser simplificados entre si.

Ex: 5 - 7 + 4 + 11 - 6 = 5 - 7 + 4 + 11 - 6

3 3 3 3 3 3

= 5 + 4 + 11 - 7 - 6

3 = 20 - 13

3

= 7

3

7

Resolva:

a) + - - +

b) + - + -

c) - - + - + +

Frações de denominadores distintos.

Inicialmente reduz-se o denominador ao mesmo ( denominador comum), através da decomposição em fatores primos entre eles, MMC, o qual posteriormente se tornará o denominador comum, e este ,mesmo MMC será dividido por cada um daqueles denominadores primitivos, e o resultado obtido multiplicado pelo numerador da respectiva fração.

Ex: + - = mmc (6,4,2) = 12

3 2 6 6,4,2 23,2,1 23,1,1 3x1,1,1 12

= =

8

Ex: - + - = mmc (2,4,6,12) = 12

6 3 2 1 2,4,6,12 21,2,3,6 21,1,3,3 3x1,1,1,1 12

=

=

=

=

Efetue:

a) - + +

b) - + - - -

c) - + - + -

3

2 +

Multiplicação de frações

9

É efetuada multiplicando – se todos os NUMERADORES um pelo outro , entre si, e separadamente multiplicando – se todos os DENOMINADORES um pelo outro, entre si.

Ex: . = Ex: . . =

= =

Obs: Sempre que houver números no numerador múltiplos de números do denominador, deve-se simplifica-los sem necessidade de efetuá-los de modo a facilitar a resolução.

Resolva:

a) x

b) x x

c) x x x

d) x x x x

10

Divisão de Frações

É efetuada INVERTENDO-SE a operação para MULTIPLICAÇÃO e também a SEGUNDA FRAÇÃO e procedendo-se de acordo com nova operação.

Ex: : = x = x =

Resolva:

a) :

b) : :

c) : :

Potenciação de Frações

É efetuada elevando-se separadamente numerador e denominador ao mesmo expoente.

11

Ex: = =

Ex: = =

Resolva:

a)

b)

c)

Radiciação de Frações

É efetuada extraindo-se separadamente a raiz do numerador e do denominador.

12

Ex: = = = Ex: = = =

Resolva:

a)

b)

c)

Números Decimais

13

São representações numéricas expressas por uma PARTE INTEIRA posicionando anteriormente (à esquerda) de uma vírgula, que a separa da PARTE DECIMAL expressa após (a direita) desta virgula.

A enunciação de um número misto é feita a partir da descrição de todos os algarismos, devendo aqueles referentes as casas das DEZENAS e das UNIDADES (exceto quando o anterior for igual a 1), ter sua especificação precedida do conectivo “e”, e após a leitura da parte inteira ser seguida da palavra INTEIROS e após a leitura da parte decimal ser seguida da especificação referente a posição do último algarismo.

e e e e ,

M M M E E N E E I M M M I I I N Z I C N L I I L L L T E D I T E L L

H H H E N A M E S E E A A A N A D O S I S S R R R A E S I M I I

M O M M O S O O S S S

Ex 1 : 54,3287 : cinqüenta “e” quatro INTEIROS, três mil duzentos “e” oitenta “e” sete DÉCIMOS DE MILÉSIMOS.

Ex 2: 634.221,078 : seiscentos “e” trinta “e” quatro mil, duzentos “e” vinte “e” um INTEIROS “e” setenta “e” oito milésimos.

E 1: Represente os números por extenso:

a)0,8 f)2,63b)0,27 g)10,245c)0,003 h)5,0016d)1,71 i)731,258e)12,025 j)1541,116

E 2: Represente os números

a)cinco inteiros e seis centésimosb)vinte e oito inteiros e um décimoc)vinte e um milésimosd)seiscentos e cinco milésimose)quarenta e três inteiros e quarenta e três décimos de milésimosf)dezoito décimos de milésimosg)vinte inteiros e dois centésimosh)um inteiro e um décimoi)vinte e três mil,quinhentos e treze inteiros,duzentos e cinqüenta milésimosj)duzentos e cinqüenta e seis inteiros e vinte e cinco milésimos

Operações entre Números Decimais

- Adições e subtrações de frações

14

Estas operações são efetuadas a partir do posicionamento coincidentes das respectivas casas decimais de ambos os valores envolvidos, estabelecidas a partir da vírgula, tanto na parte inteira quanto na parte decimal.

Ex:32,073+21,4919

Ex:32,073-21,4919

Efetue as operações indicadas:a)321,073+40,2002b)1731,0026+814,1074c)103,9403-17,0697d)723,21-85,371e)25,043-73,132

Multiplicação de Números Decimais

Esta operação é efetuada multiplicando-se cada algarismo do MULTIPLICADOR por todos os algarismos do MULTIPLICANDO, em que a vírgula será posicionada no resultado dado pela soma das parcelas originadas da multiplicação a frente da casa correspondente a soma das casas decimais daqueles dois fatores.

Ex:3,25 x 4,3=13,975

Resolva:a)23,51x 6,4

b)57,243x3,24

c)16,35x0,21

Divisão de Números Decimais

Esta operação é efetuada igualando-se a quantidade de casas decimais com tantos zeros quanto for necessário no DIVIDENDO ou no DIVISOR e em seguida eliminando-se as vírgulas em ambos e efetuando-se a operação considerando-se os números como sendo naturais.

Ex.10,24:3,2=3,2 10,24 3,20960 3,2640640

15

0

Ex. 21,87:2,7 21,87 2,70 21,60 8,1 270 270 0

Resolva:a)

b)

c)

Unidade de Medida de Comprimento

É o método de representação estabelecido em uma escala graduada de grandezas padronizadas para mensurar por meio de comparação.

As unidades medidas mais comumente usadas são o METRO e seus MULTIPLOS(km,cm,mm etc) e POLEGADA e seus MULTIPLOS( PÉ, JARDA, MILHA etc. )

16

Medidas Múltiplas do Metro

São unidades de medida decimal em que seus múltiplos e sua nomenclatura variam a cada 10 unidades.

Km Hm Dam M dm cm mm

1000m 100m 10m 1 m m

100m 10dam10hm

A especificação da unidade de medida esta relacionada à 1ª casa inteira anterior a vírgula (casa da unidade) e sua transformação em outra unidade de medida qualquer é feita movendo-se a vírgula para a direita ou para esquerda tantas casas quanto o necessário para o estabelecido.

Ex: 0,35m para mm: 350mm

0 , 3 5 0 , m dm cm mm

Ex: 12cm para dam: 0,012 dam

0 , 0 1 2 , Dam m dm cm

Ex: 21,3 dam para cm: 21300cm

2 1 , 3 0 0 ,dam m dm cm

Converta as medidas

a)0,17m para dm

b)0,0073 dam para mm

c)32,01 mm para m

d)8,106 m para mm

17

e)0,542 hec para dam

Conversão da Medida em Milímetro para Polegada

Esta conversão é feita dividindo-se a medida expressa em milímetros por “25,4”, originando daí o valor representado em polegada decimal o que não é usual nesta unidade de medida, que originalmente é feita na forma fracionária múltipla de “2”.Para tal, desmembra-se o resultado (quociente) tomando-se a PARTE INTEIRA e separadamente multiplica-se a PARTE DECIMAL por “128” e desse valor obtido tomando-se a PARTE INTEIRA ARRENDONDADA representada sobre o DENOMINADOR 128, e se possível simplificado.

Ex:82,15 mm 82,15 25,4

3,234

x 128 29,952

30

Ex:233,56mm 233,56 25,4

9,195

x 128 24,96

25a)72,48mm

b)73,7mm

c)84,137mm

d)87mm

e)121,8mm

f)135mm

g)171,2mm

h)213,25mm

i)270mm

j)418mm Medidas Múltiplas da Polegada

É uma unidade de medida inglesa também conhecida como “INCH” e referenciada por “pol”,

“in” ou “,,” , sendo fracionada em múltiplos de “dois (2)” mais comumente em unidades, e

sendo esta unidade correspondente a “25,4mm”.

18

Conversão de Medida em Polegada para Milímetro

Para se transformar valores expressos em POLEGADAS para MILIMETROS devesse a princípio converter o NÚMERO MISTO representativo da medida em polegada para fração e posteriormente multiplica-la por “25,4” obtendo-se daí um valor em milímetros:

Ex: + pol x 25,4 = 82,15 mm

Ex: + “ x 25,4 = 233,56 mm

Exemplos

Converta para milímetros

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e)

f)

Pressão

É a tensão exercida sobre toda a superfície de um corpo.

As unidades de medida de pressão usadas são:

N NewtonKgf Kilograma forçalb LibraMPa Mega PascalPsi Pound Square Inch

19

O quadro de correspondência entre as unidades de medida de pressão para conversão e dado pela tabela:

1 N = 0,102 kgf1 kgf = 0,454 Ib = 9,807 N1 MPa = 1 N/mm = 0,102 kgf/mm1 kgf/ mm = 1422,27 psi = 9,807 MPa = 9,807 N/ mm

Ex: Converta 20 N para:

a)MPa 20 MPa

b)em kgf 20x0,102= 2,04 20: 9,807=

c)em Psi 2,04 x 1422,27 2901,43

Determine a quanto corresponde 25 libras em:

Em N Em Psi Em kgf

Determine a quanto corresponde 237,4 MPa

Em Psi Em kgf Em lb

Equações

São relações de igualdade estabelecida pelo símbolo de IGUAL associando os componentes da sentença, em que a solução é estabelecida pela obtenção do valor da variável que constitui a sentença.

As equações são constituídas de membros, os quais são formados por termos separados pelos sinais de “+” ou de “-”

Ex: 2x + 5 = 13 3x + 2 = 12 - 2x Termo Termo Termo Termo Termo Termo Termo

20

Alg Indep. Indep Alg Indep Indep Alg

A resolução de uma equação é estabelecida transferindo-se todos os termos algébricos (constituídos por variáveis) para o 1º membro e, simultaneamente transferindo-se todos os termos independentes para o 2º membro, tendo-se o cuidado de se inverter o sinal operatório.

2x = 13 – 5 3x + 2x = 12 - 2

2x = 8 5x = 10

x = x =

x = 4 x = 2

S = S =

Resolva as equações:

a)7x – 1 = 13

b)6x = 2x + 28

c)5x – 2 = 18 + 3x

d)5x + 21 = 2x – 6

e)3(2x – 1) = 2(x + 1) + 3

Obs.: Sempre que uma equação depois de reduzidos seus Termos, apresentar o coeficiente negativo deve-se multiplicar a equação por (-1).

Ex: 4x – 11 = 7x + 7 4x – 7x = + 7 + 11 - 3 x = - 18

x =

x = - 6Resolva as equações

a)7x + 11 = 11x – 5

b)3 (2-x) = 2 (x-1)

c)2 (x-1) – 5 (x+3) = - 20

d) =

e)1 - = x -

21

Problema do 1º grau com uma incógnita

É a maneira de exprimir através de uma expressão matemática, um contexto que envolve informações a ser manipuladas de modo a se obter um dado genérico daquele enunciado.

Ex.1: O dobro de um número somado com 3 é igual a 17. Qual é esse número?

2x + 3 = 172x = 17 – 32x = 14

x =

x = 7

Ex.2: Um número somado com seu triplo é igual a 60. Qual é esse número?

x + 3x = 604x = 60

x =

x = 15

E.1- O dobro de um número somado com 5 é igual a 91. Qual é esse número?

E.2- Qual o número que adicionado a 28 é o mesmo que três vezes esse número?

Ex.3: Um número tem 6 unidades a mais que outro, sendo a soma deles igual a 150. Quais são esses números?

x + (x+6) = 150x + x + 6 = 1502x = 150 – 62x = 144

x =

x = 72

22

E.3- Um número tem 8 unidades a mais que outro, sendo a soma deles igual a 54. Quais são esses números?

E.4- Quando Pedro nasceu, Guilherme tinha 3 anos. Atualmente a soma das idades é 23 anos. Qual a idade de Guilherme?

Ex.4: A soma de dois números consecutivos é 31. Quais são esses números?

x + (x+1) = 31x + x + 1 = 312x = 31 – 12x = 30

x =

x = 15 Os números são x = 15 e x+1 = 16

E.5- A soma de três números consecutivos é 48. Quais são esses números?

E.6- A soma de dois números ímpares consecutivos é 344. Quais são esses números?

23

E.7- A soma de três números pares consecutivos é 318. Quais são esses números?

Ex.5: Um número somado com sua metade é igual a 45. Qual é esse número?

+ =

2x + x = 903x = 90

x =

x = 30 Os números são 30 e sua metade 15.

E.8- A soma de um número com seu dobro e com a sua terça parte é 30. Qual é esse número?

E.9- O dobro de um número menos 10, é igual a sua metade mais 35. Qual é esse número?

Ex.6: A soma de dois números é 58 e sua diferença é 12. Quais são esses números?

x + (x-12) = 58x + x – 12 = 58

2x = 58 + 12 x : 35 – 12 = 232x = 70

x =

x = 35

24

E.10- A soma de dois números é 145 e a diferença é 15. Quais são esses números?

E.11- A diferença entre dois números é 2. O menor é a metade do maior mais 3. Quais são esses números?

Sistemas de Equações do 1º grau com duas incógnitas

São grupamentos de duas equações com duas variáveis cada, representadas após uma chave, em que a solução corresponde a determinação do valor dessas variáveis de modo a que as duas equações simultaneamente satisfaça o sistema, sendo representados na forma de par ordenado “(x,y)”.

Método de adição para resolução de sistemas.

É o método utilizado quando uma das variáveis apresenta coeficientes simétricos nas distintas equações, ao que sendo adicionadas anulam, restando apenas à outra variável para a obtenção do seu valor, valor este que será substituído em qualquer das duas equações para a obtenção daquela primeira variável, anteriormente eliminada.

Ex.1: 6y = 12

y =

y = 2

2x + 5y = 4 -2x + y = 82x + 5(2) = 4 -2x + (2) = 82x + 10 = 4 2x = 8-2

2x = 4 – 10 x =

X = x = -3

X = -3

Resolva os sistemas:

25

a)

b)

c)

Obs: Em um sistema de equações mesmo que os coeficientes de ambas as variáveis não sejam simétricas, pode-se multiplicar as equações pelo coeficiente referentes a uma mesma variável de modo a torna-los simétricos.

Ex: Em um sistema de equações mesmo que os coeficientes de ambas as variáveis não sejam simétricos, pode-se multiplicar as equações pelo coeficiente referentes a uma mesma variável de modo a torna-los simétricos.

Ex.:

9x + 15y = 21 3x + 5y = 710x – 15y = 55 3(4) + 5y = 7

5y = 7 - 12

19x = 76 y =

= y = -1

X = 4

Resolva os sistemas

a)

b)

c)

26

Método de substituição

Este método consiste em achar o valor de uma das incógnitas em uma das equações e substituí-lo na outra.

Exemplo 1:

Resolver o sistema no universo Q x Q

Solução: 1ª equação: 2ª equação:

2x + y = 5 Substituir y por (5-2x) x + 2y = 4 y = 5 – 2x x + 2 (5- 2x) = 4

x + 10 – 4x = 4 x – 4x = 4 – 10

-3x = - 63x = 6

x =

y = 5 – 2 . 2 Substituir x por 2 x = 2y = 5 – 4y = 1

Resposta: S = {(2,1)}

Exercícios de fixação:

1- Resolva os sistemas pelo método da substituição, sendo U = Q x Q:

a) c)

b) d)

Resolução de problemas com sistema

Para resolver um problema com duas incógnitas, procede-se do mesmo modo que nos problemas com uma incógnita.

27

Exemplo 1:

A soma de dois números é 35 e a diferença é 5. Quais são esses números?

Solução: Número maior: x x+y=35 Número menor: y x-y=5

Resolvendo o sistema: x+y =35 x-y = 5

2x =40 x = x = 20

Substituindo x por 20 na primeira equação: 20+y=35 y = 35 – 20

Resposta: Os números são 20 e 15. y = 15

Exemplo 2:

Em um sítio, temos galinhas e coelhos. São 80 animais e 260 pés. Quantas são as galinhas e quantos os coelhos?

Solução:

Números de galinhas: x Números de coelhos: y Números de pés das galinhas: 2x x+y=80 Número de pés dos coelhos: 4y 2x+4y=260

Resolvendo o sistema:

x + y = 80 x = 80 – y 2x + 4y = 2602 (80 – y)+ 4y = 260160 – 2y + 4y = 2602y = 100y = 50

Substituindo y por 50 na equação x + y = 80, termos:x + 50 = 80x = 80 – 50x = 30

Resposta: No sítio há 30 galinhas e 50 coelhos.

Exercícios:

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1) A soma de dois números é 14 e a diferança é 2. Quais são esses números?

2)Num estacionamento há bicicletas e carros num total de 20 veículos e 56 rodas. Determine o número de bicicletas e de carros.

3)Numa prova de 20 questões, um aluno fez 16 pontos. Sabe-se que ele ganhava 5 pontos para cada resposta certa e perdia 2 pontos para cada resposta errada. Quantas respostas ele acertou?

4)Juntando 29 pacotes de açúcar, uns com 5 quilos, outros com 1 quilo, podemos obter um total de 73 quilos. Quantos pacotes de cada tipo foram usados?

5) O cartaz de uma lanchonete anuncia:

a) Qual o preço de 1 sanduíche?b) Qual o preço de 1 suco?c)

Noção de razão

Razão entre dois números é quociente do primeiro pelosegundo, com o segundo número diferente de zero.

Exemplos:

OFERTA 1 sanduíche + 2 sucos = R$ 5,00 2 sanduíches + 1 suco = R$ 7,00

29

(A) razão de 3 para 5 é .

(B) A razão de para é , que é igual a

Termos de uma razão

Os termos de uma razão recebem nomes especiais:

o número 4 é chamado antecedente

Na razão:

o número 7 é chamado conseqüente

Lemos: 4 está para 7.

Razão de duas grandezas da mesma espécie

Considere a seguinte situação:A altura de Ari é 1, 60m e a altura de Jair é 180cm. Qual a razão entre as alturas de Ari e Jair?

Temos:

Altura de Ari = =

Altura de Jair

Sendo 1,60m = 1,60cm, a razão entre as duas alturas é .

Razão entre duas grandezas de mesma espécie é o quociente dosnúmeros que medem essas grandezas numa mesma unidade.

Escala

Veja o desenho de uma quadra:

30

No caso a escala é 1: 200 (um para duzentos). Isso significa que cada 1 cm do desenho corresponde a 200cm reais.

Então:

Comprimento da quadra: 10cm corresponde a 2 000cm ou 20m 10x200 Largura da quadra: 6cm corresponde a 1 200cm ou 12m

6x200

As dimensões do quadrado são 20m por 12m.

Escala é a razão entre a medida utilizada e a medida real, ambas na mesma unidade.

Assim:

Exemplo:

Uma sala tem 12 cm de comprimento. Esse comprimento é representado num desenho por 30 cm. Qual é a escala do desenho?

Solução: Medida do comprimento no desenho = 30 cm Medida do comprimento real = 12m = 1 200cm

Logo: Escala = =

Resposta: A escala é de 1: 40.

medida do comprimento no desenhoEscala = medida do comprimento real

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6cmEscala: 1: 200

10cm

Exercícios de fixação:

1-Escreva na forma de razão:

a) 5 dias para 3 semanas. c) 1 ano pra 4 meses.

b) 3 semanas pra 5 dias. d) 4 meses pra 1 ano.

2- Observe a figura e determine:

6cm

9cm

a) A razão entre a base e a altura do retângulo.b) A razão entre a altura e o perímetro do retângulo.

3- A planta foi feita na escala 1: 50

a) Quais as dimensões reais da sala?b) Quais as dimensões reais do banheiro?c) Quais as dimensões reais do dormitório?

Proporção

A razão entre a largura e altura de uma foto é .

A razão entre a largura e a altura de uma gravura é .

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DormitórioSala

banheiro

Cozinha

Então: =

As razões e são iguais. Dizemos que temos uma proporção.

Assim:

Proporção é uma igualdade de duas razões.

Termos de uma proporção

Representamos a proporção por:

= ou a: b = c: d

Lemos: a está para b assim como c está para d. Os termos a e d são chamados extremos da proporção. Os termos b e c são chamados meios da proporção.

1º termo 2º termo 3ºtermo 4ºtermo

a : b = c : d

Meios Extremos

Resolução de uma proporção

Podemos descobrir o valor de um termo desconhecido numa proporção, aplicando a propriedade fundamental.

Exemplos:

(A) Calcular o valor de x na proporção =

Solução: Produto dos extremos = Produtos dos meios

Multiplicando “em cruz”Os termos da proporção.

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21 . x = 7 . 9 21x = 63

x =

x = 3

(B) Calcular o valor x na proporção =

Solução: Produto dos extremos = Produto dos meios

Multiplicando “em cruz”Os termos da proporção.

20 . (x-2) = 12 . x 20x – 40 = 12x20x – 12x = 40 8x = 40

x =

x = 5 Propriedades fundamentais das proporções

Sejam as proporções: 5 x 6 = 30 produtos dos meios

(A)

3 x 10 = 30 produtos dos extremos

3 x 6 = 12 produtos dos meios

(B)

2 x 6 = 12 produtos dos extremos

Isso nos permite concluir que:

Numa proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios.

Observe os exemplos:

(A) e formam uma proporção, pois 2 x 10 = 5 x 4

20 = 20

(B) e não formão uma proporção, pois 4 x 7 ≠5 x 2

28 ≠ 10

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