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29/3/2017 ¿Pero qué son las ondículas y por qué han ganado el «nobel» de matemáticas?
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¿Pero qué son las ondículas y por qué han ganado el«nobel» de matemáticas?
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Los estudios del último Premio Abel tienen importantes aplicaciones en la vida cotidiana, como la prevención deterremotos o tumores
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El matemático Yves Meyer, ganador del Premio Abel
ALFONSO JESÚS POBLACIÓN SÁEZ /27/03/2017 09:54h Actualizado: 28/03/2017 12:27h.
Guardado en: Ciencia
Hace unos días, los medios de comunicación se hicieron eco de laconcesión del Premio Abel de las matemáticas a Yves Meyer por su papelen el desarrollo de la teoría de las ondículas. Tratemos de describir en quéconsiste esta teoría.
El premio Abel se considera uno de los mayoresgalardones en matemáticas. La Academia Noruegade Ciencias y Letras lo creó en 2002, bicentenariodel nacimiento del matemático noruego NielsHenrik Abel, tratando de rellenar el vacío dejadohacia esta disciplina por los premios Nobel. Aunquela idea ya se planteó en 1897, no cristalizó hasta2002. Desde entonces se concede anualmente enmarzo, tras una selección entre cinco candidatos,siendo la entrega oficial en el mes de mayo.Evidentemente la elección del nombre no es casual:Abel era noruego, padeció una existencia bastanteaciaga (murió de tuberculosis, en la pobreza, consólo 27 años), y lo fundamental, realizódescubrimientos matemáticos trascendentes enálgebra y teoría de funciones. Seguramente
recordemos el adjetivo abeliano para designar aquellas estructuras que
Alfonso J. Población Sáez es profesor de laUniversidad de Valladolid y miembro de laComisión de divulgación de la RSME
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cumplen la propiedad conmutativa, utilizado en su memoria.
Ondículas, wavelets, ondelettes
Son las denominaciones en español, inglés y francés, respectivamente, delmismo concepto. Conviene aclararlo porque el término castellano aún noresulta tan familiar como el anglosajón, y muchos lo manejan con estaexpresión. Los pioneros en el trabajo de este concepto fueron los francesesJean Morlet, Alex Grossmann y la belga Ingrid Daubechies, quienes lasbautizaron como ondelettes.
Para tratar de comprender con pocas palabras la noción, necesitamos partirde un marco general. La evolución de cualquier fenómeno de la Naturalezao del comportamiento humano, cualquier proceso, puede ser descritomatemáticamente mediante funciones. Las funciones son esas gráficas queen el instituto nos enseñaron representadas en unos ejes de coordenadas, xe y. Hay funciones muy sencillas (las funciones elementales, como lasrectas, parábolas, las trigonométricas, exponenciales, logarítmicas, etc., quetodos recordaremos), que describen situaciones también sencillas (comotirar al aire una piedra: el efecto de la gravedad en ausencia de otrasfuerzas, hace que describa una parábola).
Pero la realidad, en general, es más complicada. En particular, hayfenómenos descritos por ondas, algunos tan complejos que a día de hoy nose conoce exactamente cómo evolucionan (los fluidos, por ejemplo;dedicaremos pronto un artículo en esta sección a las ecuaciones deNavierStokes, uno de los problemas del milenio). En el siglo XIX, JosephFourier demostró que muchas funciones complicadas pueden describirsesuperponiendo únicamente funciones seno y coseno, funcionestrigonométricas. Lo logra mediante una serie convergente (una suma deinfinitos sumandos cuya suma es precisamente la función de partida). Apartir de ahí se desarrollan herramientas matemáticas que profundizan en elcomportamiento de estas series (las transformadas de Fourier, latransformada discreta del coseno, etc., cada una adecuada a un tipo deestudio concreto).
Las wavelets siguen esa idea de descomponer datos o funciones endiferentes componentes, pero a diferencia de las descritas por Fourier,prestan su atención en zonas de las funciones con comportamientos más“anómalos”, como discontinuidades o zonas de variación acusada (si lafunción describe un movimiento sísmico, por ejemplo, o un comportamientoanómalo de una célula en una determinada zona, ese análisis podríadetectar, y por tanto prevenir, un terremoto en ciernes o un tumor,respectivamente), o para funciones no periódicas.
Por eso en las ondículas es muy importante la escala y la resolución. Siobservamos el ejemplo de arriba, vemos la wavelet en color rojo, al lado deuna función de escala, la de color azul. Por usar una analogía, es como verel bosque desde una carretera, o acercarnos a examinar un árbol, o losdetalles de las ramas de uno de ellos. Las ondículas nos “acercan” a lafunción global donde deseemos y a la escala que necesitemos. Y como enel caso de Fourier, se han desarrollado herramientas propias, como laTransformada Ondícula Continua (TOC; útil en el análisis de señales, ypor tanto para aplicaciones de la Física) y la Transformada OndículaDiscreta (TOD; para la codificación de señales, y más utilizada enIngeniería e Informática).
Aplicaciones
Aunque ya se han mencionado algunas, el campo de aplicación es muyamplio: desde dinámica molecular, astrofísica, la geofísica de losmovimientos sísmicos, la óptica, el estudio de las turbulencias y la mecánicacuántica, al procesamiento digital de imágenes (el estándar JPEG2000, por
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ejemplo, con más compresión de las imágenes y ahorro por tanto dememoria), los análisis de sangre, el análisis de electrocardiogramas, elestudio del ADN, el análisis de proteínas, la meteorología, el reconocimientode voz, la biometría o el procesamiento de las señales de onda gravitatoriaa partir de las colisiones de los agujeros negros.
El ABCDARIO DE LAS MATEMÁTICAS es una sección que surge de lacolaboración con la Comisión de Divulgación de la Real SociedadMatemática Española (RSME)
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