Matemáticas Enseñanzas aplicadas ESO

El libro Matemáticas orientadas a las enseñanzas aplicadas para 3. er curso de ESO es una obra colectiva concebida, diseñada y creada en el departamento de Ediciones Educativas de Santillana Educación, S. L., dirigido por Teresa Grence Ruiz.

En su elaboración ha participado el siguiente equipo:César de la Prida AlmansaAna María Gaztelu VilloriaAugusto González GarcíaCarlos Pérez SaavedraDomingo Sánchez Figueroa

EDICIÓNCésar de la Prida AlmansaVirgilio Nieto Barrera

EDITOR EJECUTIVOCarlos Pérez Saavedra

DIRECCIÓN DEL PROYECTODomingo Sánchez Figueroa

Las actividades de este libro no deben ser realizadas en ningún caso en el propio libro. Las tablas, esquemas y otros recursos que se incluyen son modelos para que el alumno los traslade a su cuaderno.

SERIE SOLUCIONA

Matemáticas Enseñanzas aplicadas E

SO

UNIDAD

1 Números enteros y fracciones

7

1. Números enteros 8

2. Suma y resta de números enteros 9

3. Multiplicación y división de números enteros 10

4. Operaciones combinadas con números enteros 11

5. Definición de fracción 12

6. Significado de una fracción 13

7. Simplificar fracciones 14

8. Reducción a común denominador 15

9. Comparación de fracciones 16

10. Suma y resta de fracciones 17

11. Multiplicación y división de fracciones 18

12. Operaciones combinadas con fracciones y números enteros 19

Actividades 20

SABER HACER. Interpretar la ficha técnica de un vehículo 24

2 Números decimales. Notación científica

25

1. Estructura de los números decimales 26

2. Suma y resta de números decimales 27

3. Multiplicación de decimales 28

4. División de decimales 29

5. Redondeo y truncamiento 30

6. Error absoluto y relativo 31

7. Expresión decimal de una fracción 32

8. Expresión de un decimal como fracción 33

9. Potencias 34

10. Potencias de base 10 35

11. Notación científica 36

12. Sumas y restas con números expresados en notación científica 37

Actividades 38

SABER HACER. Elaborar un presupuesto 42

3 Polinomios. Sucesiones numéricas

43

1. Lenguaje algebraico 44 2. Igualdad, identidad y ecuación 45 3. Monomios. Operaciones 46 4. Polinomios 47 5. Operaciones con polinomios 48 6. Igualdades notables 49 7. Sucesiones 50 8. Sucesiones recurrentes 51 9. Progresiones aritméticas 5210. Progresiones geométricas 53Actividades 54

SABER HACER. Interpretar una factura de teléfono 58

4 Ecuaciones y sistemas

59

1. Ecuaciones de primer grado 60

2. Ecuaciones equivalentes 61

3. Método general de resolución de ecuaciones de primer grado 62

4. Resolución de problemas con ecuaciones de primer grado 63

5. Ecuaciones de segundo grado 64

6. Resolución de ecuaciones de segundo grado incompletas 65

7. Resolución de ecuaciones de segundo grado completas 66

8. Resolver problemas mediante ecuaciones de segundo grado 67

9. Sistemas de ecuaciones 68

10. Resolución de un sistema de ecuaciones 69

11. Métodos para resolver sistemas de ecuaciones 70

12. Resolución de problemas con sistemas 71

Actividades 72

SABER HACER. Entender una nómina 76

Índice

2

UNIDAD

5 Polígonos. Perímetro y área

77

1. Rectas, semirrectas y segmentos 78 2. Posiciones relativas de dos rectas 79 3. Ángulos. Clasificación de ángulos 80 4. Posiciones relativas de ángulos 81 5. Polígonos. Tipos de polígonos 82 6. Clasificación de polígonos según sus lados y ángulos 83 7. La circunferencia y el círculo 84 8. Perímetro de un polígono. Longitud de una circunferencia 85 9. Perímetros de figuras compuestas 8610. Área de un polígono 87 11. Área de figuras planas 88 12. Áreas de figuras compuestas 89Actividades 90

SABER HACER. Calcular costes de fabricación 94

6 Movimientos. Semejanza

95

1. Definición de movimiento. Traslación 96 2. Giro y simetría respecto de un punto 97 3. Simetría. Figuras simétricas 98 4. Frisos y mosaicos 99 5. Teorema de Tales 100 6. Aplicaciones del teorema de Tales 101 7. Triángulos semejantes 102 8. Aplicaciones de la semejanza de triángulos 103 9. Polígonos semejantes 10410. Planos y escalas 105Actividades 106

SABER HACER. Distribuir espacios sobre un plano 110

7 Cuerpos geométricos

111

1. Poliedros. Poliedros regulares 112 2. Prismas y pirámides 113 3. Cilindros, conos y esferas 114 4. Áreas de prismas y pirámides 115 5. Áreas de cilindros y conos 116 6. Áreas de cuerpos compuestos 117 7. Volumen de prismas y pirámides 118 8. Volumen de cilindros, conos y esferas 119 9. La esfera terrestre 120 10. Coordenadas geográficas 121Actividades 122

SABER HACER. Elaborar facturas 126

8 Funciones y gráficas

127

1. Localizar y representar puntos 128 2. Expresión algebraica 129 3. Tablas y gráficas 130 4. Concepto de función 131 5. Representación de una función 132 6. Características de las funciones 133 7. Funciones lineales 134 8. Gráfica de una función lineal 135 9. Ecuación de la recta que pasa por dos puntos 13610. Ecuaciones de la recta 13711. Funciones cuadráticas 13812. Gráfica de una función cuadrática 139Actividades 140

SABER HACER. Crear una empresa 144

9 Estadística

145

1. Población y muestra. Variable estadística 146 2. Tipos de variables estadísticas 147 3. Recuento de datos 148 4. Tablas de frecuencias 149 5. Gráficos de barras y de sectores 150 6. Histogramas 151 7. Medidas de centralización 152 8. Medidas de posición 153 9. Diagramas de caja y bigotes 15410. Medidas de dispersión 155Actividades 156

SABER HACER. Elaborar un informe 160

3

Introducción a la unidad: un texto que motiva el estudio de los contenidos.

Esquema de la unidad

Páginas de contenidos

En la primera página aparece, asociado

a contextos reales y motivadores, una actividad

o problema inicial.

Al intentar resolverlo, recordarás los contenidos

de la unidad que ya conoces, sirviendo también

para detectar tus carencias, si existen,

en algunos aspectos.

Junto a los textos explicativos encontrarás

informaciones complementarias.

Las actividades de cada página te ayudarán

a afianzar los contenidos expuestos.

La página comienza

con una exposición

de contenidos, en

lenguaje sencillo y claro.

En los Ejemplos verás

la aplicación real

de los contenidos

y el desarrollo

de sus procedimientos.

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas.

A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en los que se trabajan de manera particular las competencias básicas.

Competencia matemática, científica y tecnológica

Comunicación lingüística

Competencia social y cívica

Competencia digital

Conciencia y expresión artística

Aprender a aprender

Iniciativa y emprendimiento

4

Páginas de actividades finales.

SABER HACER

El enunciado de cada actividad

va precedido por una marca

que indica su grado de dificultad.

Las actividades finales terminan con una gran

cantidad de Problemas que te permitirán adaptar

tus conocimientos a contextos reales.

Las actividades que

tendrás que resolver

te ayudarán a poner

en práctica los contenidos

que has estudiado

en la unidad.

Nuestras Actividades finales están secuenciadas

para que aproveches de la mejor forma posible

la aplicación de los contenidos estudiados.

En esta página trabajarás

la competencia matemática.

Te proponemos

una situación real, relativa

al ámbito personal o

profesional, encaminada

a la adquisición

de una destreza habitual

en la vida cotidiana.

5

Números enteros y fracciones 1

7

En el mundo occidental, el nacimiento de Jesucristo marca el punto de partida de la medición del tiempo en años. Sin embargo, para otras culturas, el inicio de sus calendarios se estableció según otros acontecimientos históricos.

Como puedes ver, en la tabla se refleja el inicio de los calendarios para las culturas china, hebrea y árabe, si bien en la actualidad la mayoría de las civilizaciones han adoptado la fórmula occidental.

¿Cuántos años transcurrieron entre el comienzo del calendario hebreo y el chino? ¿En qué año estamos según el calendario árabe?

PUNTO DE PARTIDA

Hebreo 3671 a.C.

Chino 2967 a.C.

Occidental 0

Árabe 622 d.C.

EJEMPLOS

1. Cuando Daniel se subió al avión en Vigo, el termómetro marcaba +7 °C. Al llegar a Berna, la temperatura era de -1 °C, y cuando aterrizó en Copenhague había -7 °C. Ordena las temperaturas de menor a mayor y halla sus valores absolutos.

• Losnúmerosnegativossonsiempremenoresquelospositivos.

• Elnúmero0esmayorquecualquiernúmeronegativoymenorque cualquierapositivo.

• Alcomparardosnúmerospositivos,esmayoreldemayorvalorabsoluto.

• Sicomparamosdosnúmerosnegativos,esmayoreldemenorvalorabsoluto.

Losvaloresabsolutosdelastrestemperaturasson:

;+7;=7 ;-1;=1 ;-7;=7

Lamayordelastreseslatemperaturapositiva,+7°C.

Entrelosvaloresnegativos-1y-7,esmayor-1,yaquesuvalorabsolutoesmenor.Portanto,elordendemenoramayorserá:

-7<-1< +7.

Losenteros-7y+7sonnúmerosopuestos,yaquetienenelmismovalorabsolutoperodistintosigno.

2. Representa las temperaturas de las ciudades del ejemplo anterior en una recta.

Losnúmerosenterosserepresentanenunarecta.Alaizquierdadel0serepresentanlosnúmerosenterosnegativos,yasuderecha,los númerospositivos.

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8

1 Ordena de menor a mayor los siguientes números enteros.

a) -8,3,10 c) 0,14,-4

b) -15,-2,-6 d) 1,-5,-11

2 Representa los números anteriores en diferentes rectas numéricas.

3 Escribe un número negativo que tenga un valor absoluto menor que 4.

4 Escribe un número entero que tenga un opuesto mayor que -5.

5 ¿Cuáles de los números enteros coinciden con su opuesto?

ACTIVIDADES

Los números enteros expresan cantidades positivas y negativas. Para ello, escribimos los números naturales con un signo + o -.

Si quitamos el signo de un número entero a, obtenemos el valor absoluto de este número, que se representa ;a;.

1Números enteros

-7 °C-1 °C+7 °C

Si cambiamos el signo de un número entero

obtenemos su opuesto.

+2 -2

+5 -5

opuesto

opuestoopuesto

8

EJEMPLOS

3. Carla ha recibido un extracto del banco donde pone que tenía +250 € hace 10 días. Después, ha pagado un recibo y ha cobrado su sueldo, movimientos reflejados en el extracto como -485 € y +900 €.

a) ¿Cuál es su saldo ahora?

Sumamos las cantidades con su signo, a partir de los 250 € iniciales.

(+250) + (-485) = -235 (-235) + (+900) = +665

485 - 250 = 235 900 - 235 = 665

El saldo actual es de +665 €.

b) Si quiere sacar 800 €, ¿tendrá dinero suficiente?

(+665) - (+800) = (+665) + (-800) = -135

+800 opuesto" -800

Si sacase 800 € debería al banco 135 €, luego no tendrá dinero suficiente.

4. Calcula el resultado de las siguientes operaciones.

a) (+12) - (-7) - (+10)

Para realizar sumas y restas combinadas usamos la regla de los signos.

(+12) - (-7) - (+10) = +12 + 7 - 10 = 9

b) (+10) + (-2) - (+3) - (+5) = +10 - 2 - 3 - 5 = 0

6 Efectúa las siguientes sumas y restas.

a) (-10) + (-7) c) (-2) - (+5)

b) (+14) - (-6) d) (+8) + (-8)

7 Realiza estas operaciones.

a) (-15) + (+7) - (-4) + (+2)

b) (+9) - (+5) + (-4) - (-10) - (+6)

8 Al número de golpes asignados a un hoyo en golf se le llama «par». La tabla muestra los golpes por encima o por debajo del par que ha hecho un jugador. ¿Cuál es su puntuación final?

Hoyo 1 2 3 4 5 6

Golpes -3 +4 +5 -2 -1 0

ACTIVIDADES

Para sumar números enteros:

• Si los números tienen el mismo signo, se suman sus valores absolutos y se pone el mismo signo.

• Si tienen distinto signo, se restan sus valores absolutos y se pone el signo del que tenga mayor valor absoluto.

Para restar números enteros se suma al primero el opuesto del segundo.

2Suma y resta de números enteros

- ? - = + - ? + = -

BANCO ANTIMONIO

Fecha

Cuenta corriente N.o 00330122161235

euros

20-05 Saldo +250 20-05 Recibos varios -485

25-05 Abono nómina +900

30-05 Saldo ?

Regla de los signos

+ ? + = +

- ? - = +

+ ? - = -

- ? + = -

9


EJEMPLOS

5. Realiza las siguientes operaciones con números enteros.

8 ? 5 = 40

3 ? 2 = 6

a) (-8) ? (+5) = -40 c) (-3) ? (-2) = +6

Signo distinto Mismo signo

15 : 3 = 5

12 : 4 = 3

b) (+15) : (-3) = -5 d) (+12) : (+4) = +3

Signo distinto Mismo signo

6. Resuelve estas operaciones con números enteros.

a) (+3) ? (-2) ? (-4)

Al multiplicar o dividir varios números enteros el signo del resultado es:

• + si tiene un número par de factores negativos o no tiene ninguno.

• - si tiene un número impar de factores negativos.

3 ? 2 ? 4 = 24

(+3) ? (-2) ? (-4) = +24

2 factores negativos

3 ? 2 ? 4 = 24 18 : 3 : 2 = 6 : 2 = 6

b) (-3) ? (-2) ? (-4) = -24 d) (-18) : (+3) : (+2) = -3

3 factores negativos 1 factor negativo

3 ? 2 ? 4 = 24 18 : 3 : 2 = 6 : 2 = 6

c) (+3) ? (+2) ? (+4) = +24 e) (+18) : (+3) : (+2) = +3 No hay factores negativos No hay factores negativos

9 Resuelve estos productos y cocientes.

a) (+3) ? (-5) ? (+2) d) (+21) : (-3) : (-7)

b) (+4) ? (-1) ? (-7) e) (-8) : (+2) : (+2)

c) (-2) ? (-7) ? (-3) f ) (-24) : (-6) : (-2)

10 Calcula estos productos y cocientes.

a) (+4) ? (+7) ? (+5) d) (+20) ? (+5) ? (+4)

b) (+4) ? (+7) ? (-1) e) (+25) ? (+5) ? (+1)

c) (+4) ? 0 ? (+5) f ) (+36) ? (+6) ? (-1)

ACTIVIDADES

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos y al resultado se le pone el signo + si los factores tienen el mismo signo, o signo - si los factores son de distinto signo.

Para dividir dos números enteros se dividen sus valores absolutos, y se aplica el mismo criterio en los signos que al multiplicar.

3 Multiplicación y división de números enteros

10

EJEMPLO

7. Resuelve estas operaciones.

a) (-3) ? [(-4) + (+6)] - (-6) : (-2) + (+5) =

Primero, resolvemos las operaciones que hay entre corchetes.

= (-3) ? (+2) - (-6) : (-2) + (+5) =

= (-6) - (-6) : (-2) + (+5) =

= (-6) - (+3) + (+5) =

Y, por último, las sumas y las restas.

= (-9) +(+5) = +4

b) [(-7) + (+3)] ? (-2) - (-5) + (-6) ? (-2) : (+4) - (+6) =

= (-4) ? (-2) - (-5) + (-6) ? (-2) : (+4) - (+6) =

= (+8) - (-5) + (-6) ? (-2) : (+4) - (+6) =

= (+8) - (-5) + (+12) : (+4) - (+6) =

= (+8) - (-5) + (+3) - (+6) =

= (+13) + (+3) - (+6) =

= (+16) - (+6) = +10

Después, las multiplicaciones y las divisiones de izquierda a derecha

11 Resuelve estas operaciones combinadas.

a) (-3) ? [(+2) - (+3)] - [(-5) + (-2)]

b) (+4) - (-12) : [(-5) - (-2)] + (-1)

c) [(+7) + (-9)] - [(-8) + (-2)] : (+5)

12 Resuelve estas operaciones.

a) (-28) + (-7) ? (+2) ? [(+5) - (+3)]

b) [(-2) ? (+6)] : [(+5) - (+3)] - (-8)

c) (-3) ? (-4) ? (+5) : (-5) - (+8)

ACTIVIDADES

Las operaciones combinadas hay que realizarlas en el siguiente orden:

1. Se resuelven las operaciones que hay entre corchetes y paréntesis.

2. Se realizan las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.

3. Y por último, se calculan las sumas y las restas también de izquierda a derecha.

4 Operaciones combinadas con números enteros

11


EJEMPLO

8. En la final de la copa regional de fútbol, el equipo A ha metido 6 goles, de los cuales 2 han sido de Mariano. ¿Qué parte de los goles ha metido Mariano?

Mariano ha metido 2 goles de los 6 que ha metido en total el equipo A. Por tanto, la fracción que representa los goles que ha metido Mariano con respecto al total de goles del equipo A es:

Goles de Mariano "

Total de goles " 62

Si dividimos el numerador y el denominador entre un mismo número, obtenemos una fracción que representa la misma cantidad, lo que se llama una fracción equivalente.

::

6 22 2

31

=

Así, diremos que Mariano ha metido la tercera parte de los goles que ha marcado su equipo.

Dos fracciones son equivalentes si al multiplicar el numerador de cada fracción por el denominador de la otra, el resultado es el mismo.

? ?62

31

2 3 6 1 6 6= = =" "

Como el resultado es el mismo, las fracciones 62

31

y son equivalentes.

Una fracción es un número de la forma ba

, siendo a y b números enteros y b distinto de 0.

El número a de la fracción se llama numerador, y el número b, denominador.

Una fracción sirve para expresar el número de partes que cogemos de una totalidad.

5Definición de fracción

13 Expresa en forma de fracción.

a) De 10 manzanas cogemos 7.

b) En una clase con 30 alumnos, 15 tienen el pelo castaño.

c) En un cine hay 60 personas; de ellas, 20 son mujeres.

14 Escribe fracciones equivalentes a las siguientes.

a) 25

125 b)

10040

c) 217

d) 1535

15 Expresa en forma de fracción y halla una fracción equivalente cuando sea posible.

a) En un cuaderno de 120 hojas hemos escrito en 64.

b) De un refresco que tiene 33 centilitros hemos bebido 11.

c) De 60 chicles, 30 son de fresa.

d) En un taller mecánico se han arreglado 5 de los 20 coches que tienen en total.

e) De un álbum de 80 fotos, 16 son de paisajes.

ACTIVIDADES

= 26

= 13

12

EJEMPLOS

9. Una máquina que fabrica 2 000 tornillos al minuto, produce fallos en 37. ¿Qué fracción de tornillos es defectuosa?

Son 37 partes de un total formado por los 2 000 tornillos fabricados.

Partes"

Total " 2 00037

10. ¿Cuánto mide el segmento a tomando el segmento b como unidad?

El segmento a mide 5 veces la mitad del b.

a = 25

b

11. Marina se ha gastado 32

de su paga en ir al cine. Si recibe 6 €

semanalmente, ¿cuánto le ha costado la entrada?

Para calcularlo utilizamos la fracción como operador, multiplicando el número por el numerador y dividiendo el resultado entre el denominador.

??

32

632

63

2 63

412

de = = = =

La entrada del cine le ha costado 4 €.

b

a

Una fracción se puede interpretar de varias formas.

• Como partes de una unidad.

• Como resultado de una medida.

• Como operador que actúa sobre un número.

6Significado de una fracción

16 Utilizando como medida el segmento a, halla las medidas de b, c y d.

17 Un jugador de fútbol ha fallado 1 de cada 4 penaltis lanzados la pasada temporada. Si en total ha lanzado 12 veces, ¿cuántos goles ha marcado?

18 La edad de Beatriz es 41

de la de su madre

y la de esta es 43

de la de su abuela,

que tiene 64 años. ¿Cuántos años

tienen Beatriz y su madre?

ACTIVIDADES

a

b

c

d

13


EJEMPLO

12. En un partido de fútbol, el comentarista ha dicho que ha estado lloviendo durante 60 minutos de juego. ¿Qué parte del partido ha estado lloviendo?

Un partido de fútbol dura 90 minutos. Ha estado lloviendo durante 60 minutos de los 90 que dura en total, por tanto:

9060

es la fracción del partido que ha estado lloviendo.

Simplificamos esta fracción dividiendo el numerador y el denominador entre el mismo número.

::

90 1060 10

96

= es una fracción que representa la misma cantidad que 9060

Podemos seguir simplificando la fracción, es decir, dividiendo el numerador y el denominador entre un mismo número.

::

96

33

32

= es otra fracción que representa la misma cantidad que 9060

En la fracción 32

no podemos seguir dividiendo el numerador

y el denominador entre un mismo número. Decimos que 32

es

la fracción irreducible de 9060

.

Por tanto, podemos decir que ha estado lloviendo las dos terceras partes del partido.

Simplificar una fracción consiste en obtener una fracción equivalente dividiendo el numerador y el denominador entre el mismo número.

Decimos que una fracción es irreducible cuando no se puede simplificar.

7Simplificar fracciones

19 De una tableta de chocolate con leche que tenía 12 onzas nos hemos comido 4 onzas. ¿Qué fracción de la tableta nos hemos comido?

20 Tenemos que ir en coche desde Villadentro hasta Villamar. La distancia que separa estos pueblos es de 640 km, de los cuales ya hemos recorrido 320 km. ¿Qué parte del viaje hemos realizado?

21 Simplifica todo lo que puedas estas fracciones.

a) 364

b) 3612

c) 7242

d) 750450

¿Cómo se llaman las fracciones que has obtenido?

22 Halla la fracción irreducible de estas fracciones.

a) 2432

b) 4836

c) 7535

d) 2668

ACTIVIDADES

= 6090

= 69

= 23

14

EJEMPLOS

13. Reduce a común denominador las fracciones 43

y 38

.

Tenemos que encontrar dos fracciones equivalentes a las dadas, con el mismo denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra.

?

?

4 33 3

129

= ?

?

123 48 4 32

=

Así obtenemos dos fracciones que tienen el mismo denominador.

Ahora vamos a comprobar que son equivalentes a las de partida.

?

?43

129 3 12 36

9 4 36=

=

=" (

?

?1212 6

38 32 8 9

3 32 96=

=

=" (

14. Reduce a común denominador las fracciones 21

, 52

y 34

.

En este caso, tenemos que encontrar tres fracciones equivalentes a las del enunciado con el mismo denominador. Para ello multiplicamos el numerador y el denominador de cada fracción por los denominadores de las otras dos fracciones.

? ?

? ?

2 5 31 5 3

3015

= ? ?

? ?

33

301

5 22 2 2

= ? ?

? ?

303 2 54 2 5 40

=

Reducir dos o más fracciones a común denominador es encontrar fracciones equivalentes a ellas, de tal forma que los denominadores de todas sean iguales.

8Reducción a común denominador

23 Reduce las siguientes fracciones a común denominador.

a) 54

y 27

c) 81

y 35

b) 4

13 y

73

d) 116

y 49

24 Reduce a común denominador las siguientes fracciones y después comprueba que las fracciones que obtienes son equivalentes a las dadas.

a) 54

y 98

c) 79

y 79

b) 81

y 73

d) 5

13 y

215

25 Marcos y Diana trabajan pintando vallas. Cuando han terminado 2 de las 8 partes de una valla, ella dice que llevan pintados

los 123

, y él, que llevan 41

.

¿Quién tiene razón?

ACTIVIDADES

15


EJEMPLOS

15. Para cenar, Dani y Julia se han preparado una pizza que han dividido en 8 trozos. Dani se ha comido 3 trozos y Julia 5 trozos. ¿Quién ha comido más pizza?

Dani se ha comido 3 de los 8 trozos en que se ha dividido la pizza.

83

es la fracción de pizza que ha comido Dani.

Julia se ha comido 5 trozos de los 8 en que se ha dividido la pizza.

85

es la fracción de pizza que ha comido Julia.

Julia ha comido más pizza porque las dos fracciones tienen el mismo denominador y es mayor el numerador de la fracción que representa la parte de pizza que se ha comido Julia. Esto se escribe así:

85

> 83

16. En los dos últimos partidos del Vector Club de Baloncesto

se han ocupado todas las localidades. En el primero, los 35

de los

espectadores fueron mujeres, y en el segundo, las espectadoras

fueron los 74

del total. ¿En qué partido hubo menos mujeres?

Reducimos las fracciones a común denominador.

1.er partido " ?

?

53

5 73 7

3215

= = 2.º partido " ?

?

374

7 54 5

520

= =

Hubo menos espectadoras en el segundo partido porque el numerador es menor.

Para comparar fracciones:

• Si tienen el mismo denominador, es mayor la que tiene mayor numerador.

• Si tienen distinto denominador, las reducimos primero a denominador común y entonces será mayor la que tenga mayor numerador.

9Comparación de fracciones

26 Carlos ha pintado 3 m de una valla que mide 8 m. De otra valla de 14 m, César ha pintado 5 m. ¿Quién ha pintado mayor parte de su valla?

27 Ordena de menor a mayor estas fracciones.

52 ,

38 ,

107

y 94

28 Un abuelo deja su herencia a tres de sus nietos.

A Guille le deja los 52

de la herencia; a Marta,

los 207

, y a Sebas, 41

. ¿Cuál de los tres

ha recibido la mayor parte de la herencia? ¿Y cuál la menor?

ACTIVIDADES

16

EJEMPLOS

17. Suma las fracciones 37

y 3

14.

Como las dos fracciones ya tienen el mismo denominador, sumamos los numeradores y mantenemos el mismo denominador:

37

37

314

37 14 21

= = =++

18. Resta las fracciones 59

y 34

.

En este caso, los denominadores de las fracciones no son iguales, por lo que antes de hacer las restas, tenemos que reducirlas a común denominador.

?

?

?

?

59

5 39 3

1527

34

3 54 5

1520= = = =

Después, restamos los numeradores, manteniendo el denominador común.

59

34

1527

1520

1527 20

157

- = - =-

=

Para sumar o restar fracciones deben tener el mismo denominador. Si los denominadores no son iguales, primero tenemos que reducirlos a común denominador.

Cuando los denominadores son iguales, se suman o restan los numeradores y se deja el mismo denominador.

10Suma y resta de fracciones

29 Realiza estas operaciones con fracciones.

a) 58

53

- c) 8

32

3 312

- +

b) 7

1074

+ d) 61

65

64

+ -

30 Calcula.

a) 85

32

+ c) 53

41+

b) 34

21

- d) 59

32

-

31 Calcula estas operaciones con fracciones.

a) 32

31

21

+ - b) 43

71

42

- -

32 Alberto hace fotocopias en una oficina. Hoy tiene que realizar 800 fotocopias. Antes del desayuno hizo

las 52

partes,

y 41

hasta la hora

de comer. ¿Cuántas fotocopias le faltan por hacer?

ACTIVIDADES

125

123

12 123

125 3

1285

+ =+

=

17


EJEMPLOS

19. Multiplica 35

por 78

.

Para multiplicar fracciones solo tenemos que multiplicar los numeradores y los denominadores.

??

?

3 75 8

35

78

2140

= =

20. Divide 59

entre 43

.

Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por la inversa de la segunda.

: ??

?334 36

59

4 59

34

59

15 512

= = = =

Inversa ( : 3)

Como verás, al dar el resultado de una operación con fracciones, siempre tratamos de simplificar al máximo la fracción que obtenemos como resultado.

Para multiplicar fracciones multiplicamos los numeradores y los denominadores.

??

?

ba

dc

b da c

=

La división de fracciones es igual al producto de la primera por la inversa de la segunda.

:ba

dc=

?

?

ba

cd

La fracción inversa de dc

es cd

.

11Multiplicación y división de fracciones

33 Realiza estas operaciones:

a) ?45

98

c) :?41

310

25

d n

b) :73

85

d) : ?18 7

34d n

34 Eva y sus amigas juegan un partido de baloncesto. En la mitad del segundo cuarto, Eva se ha hecho daño en la rodilla y ha tenido que dejar de jugar. Si el partido ha durado 40 minutos, ¿durante cuánto tiempo ha jugado?

ACTIVIDADES

La inversa de una fracción se obtiene dándole la vuelta.

ab

ba

inversa

18

Las operaciones combinadas con fracciones se realizan de forma similar a las de los números enteros: primero se resuelven los paréntesis, luego las multiplicaciones y divisiones, y por último, las sumas y restas. Y todo se resuelve de izquierda a derecha.

Para operar números enteros con fracciones transformamos los enteros en fracciones cuyo numerador es el número y el denominador es 1.

12 Operaciones combinadas con fracciones y números enteros

35 Efectúa las operaciones indicadas.

a) 53

41

32

61

+ - - c) :?29

45

37

58

41

- +d n

b) 73

85

183

+ - + d) : ?5

2 185 1

32

56

+ + -d n

36 Andrea trabaja en una panadería. De los 15 kg

de harina que usa al día, 31

lo dedica a elaborar

pan, 52

de lo que queda lo usa para pasteles,

y el resto, para hacer rosquillas. ¿De qué cantidad dispone para rosquillas?

ACTIVIDADES

EJEMPLO

21. Calcula el valor de : :?425

43

21

21

43

- +d n

Primero, resolvemos los paréntesis.

: : : :

: :

? ?

?

425

43

21

21

43

14

820

86

21

21

43

14

814

21

21

43

- + = - + =

= +

d dn n

Común denominador

Después, las multiplicaciones y las divisiones, de izquierda a derecha.

: :??

?: :

14

814

21

21

43

1 84 14

21

21

43

- = + =

: : :?8

5621

21

43

856

12

21

43

= + = + =

: ?8

11221

43

8112

21

34

8112

64

= + = + = +

Y por último, las sumas y las restas reduciendo a común denominador.

?

?

?

?

8112

64

8 6112 6

6 84 8

48672

4832

48704

688

344

+ = + = + = = =

( : 2)( : 8)Simplificando

19


ACTIVIDADES

Números enteros

37 Clasifica los siguientes números en positivos o negativos.

a) -37 c) +45 e) +65

b) -68 d) -81 f ) -38

38 Di si estos números son positivos o negativos.

a) -273 c) -96 e) +132

b) +180 d) +140 f ) -111

39 Escribe el opuesto de cada uno de estos números enteros.

a) +15 c) -7 e) -22

b) +47 d) -30 f ) +115

40 Calcula el valor absoluto de los números que aparecen a continuación.

a) ;+18; c) ;-300; e) ;-43;

b) ;+63; d) ;-18; f ) ;+23;

41 ¿Qué número entero representa cada letra en esta recta real?

0

42 Coloca los siguientes números enteros en la recta real.

-8 +6 +3 -4 -3


a) (+13) + (+14)

b) (-20) + (+35)

c) (+19) + (-11)

d) (-14) + (-27)

44 Calcula estas operaciones.

a) (+53) - (+36)

b) (-18) - (+60)

c) (+12) - (-39)

d) (-25) - (-33)


a) (+20) + (+42) + (-13) + (+5)

b) (+67) - (+15) - (-8) - (+23)

c) (-15) - (-4) + (+22) - (+10)

d) (+36) + (+101) - (-40) - (+23)

46 Realiza estas multiplicaciones.

a) (+8) ? (+12) d) (+10) ? (-7)

b) (-15) ? (+3) e) (-9) ? (-8)

c) (-3) ? (-2) f ) (+4) ? (+11)

47 Calcula estas divisiones.

a) (+45) : (+9) d) (-100) : (+5)

b) (+234) : (-9) e) (-216) : (-12)

c) (-33) : (-3) f ) (+51) : (-3)

48 Calcula.

a) (+15) ? (-3) : (+5) ? (-6)

b) (-110) : (-11) ? (+4) ? (-7) : (+14)

c) (-13) ? (+4) ? (-3) : (-6) : (+2)

d) (+864) : (+36) ? (+3) : (-9)

49 Realiza estas operaciones combinadas con números enteros.

a) [(-11) + (-24)] : (+7) + (+12) ? (-4)

b) (+264) : [(-35) + (+11)] + (-25) ? (-4)

c) [(-10) - (+25)] ? [(+37) + (-30)] : (-35)

d) (-24) ? [(+7) - (-5)] : [(-50) + (+41)]

50 Calcula la suma de los números negativos de este conjunto de números enteros.

+18 -32 -19 +194 -83 +27

+53 +12 -9 -55 +46 -11

51 Ordena los siguientes números enteros.

+15 -23 -7 +11 +20 -4

52 Escribe un número entero cuyo valor absoluto sea menor que 6.

53 ¿Qué números negativos tienen como valor absoluto el resultado de las siguientes operaciones?

a) (-3) ? (-4)

b) (+12) : (-3)

c) (-21) + (+7)

d) (+11) - (-3)

54 Utiliza los símbolos <, = o > para ordenar estos valores absolutos.

;-8; ;+15; ;-12; ;+4;


a) ;(-3) + (+8); c) ;(+15) - (-10);

b) ;(-3) ? (+11); d) ;(-56) : (-7);

56 Halla el valor desconocido en estas operaciones.

a) (-30) + d = -55

b) (+13) ? d = -39

c) d - (-9) = 29

d) d : (-15) = -1

A B C D E

20

Fracciones y operaciones

57 ¿Cuáles de estos números no son una fracción?

53

35

-7 180

+23 77

58 De las siguientes fracciones, agrupa las que tengan el mismo numerador.

21

83

27

93

61

2

25

273

177

625

100

1

1917

193

100

2

52

59 Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones.

a) De una clase de 32 alumnos, 18 son chicas.

b) Un equipo de fútbol tiene 25 jugadores en plantilla pero solo juegan 11 al mismo tiempo.

c) En un equipo titular de baloncesto, 2 de sus jugadores miden más de 2 m.

d) En una empresa de 482 empleados, 306 tienen más de 55 años.

e) Juan tiene en su casa 237 libros, de los que 185 son novelas de aventuras.

60 Escribe una fracción equivalente a cada una de las dadas.

a) 1812

d) 1 000

10

b) 2317

e) 43

c) 12575

f ) 94

61 Determina si los siguientes pares de fracciones son equivalentes.

a) 87

54

y c) 92 12

54y

b) 46 9

6y d)

815

75

y

62 Dibuja la unidad completa, teniendo en cuenta la parte representada por cada fracción.

12

21

21

13

14

a)

b)

c)

d)

e)

63 Calcula.

a) 21

de 180 c) 65

de 420

b) 94

de 540 d) 85

de 320

64 Simplifica las siguientes fracciones.

a) 1 00

105

c) 2418

e) 7535

b) 5427

d) 3678

f ) 0041

1006

65 Encuentra la fracción irreducible de cada una de las fracciones de la actividad anterior.

66 Reduce a común denominador cada una de estas parejas de fracciones.

a) 32

53

y d) 4

178

11

y

b) 2517

43

y e) 6

18114

y

c) 73

420

y f ) 116

611

y

67 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

a) , , , , ,6 6 6 6 6 63 6 2 1 5 8

b) , , , , ,6

66

26

76

46

116

3

c) , , , , ,3 6 2 1 5 84 5 9 4 7 12

68 Calcula las siguientes sumas de fracciones.

a) 78

713

+ c) 39

521

+

b) 18 125 25

7+ d)

127

414

+


21

ACTIVIDADES

69 Realiza estas restas.

a) 9

1698

- c) 3075

610

-

b) 2575

2539

- d) 12108

826

-

70 Efectúa estas operaciones.

a) ?52

75

d) ?114

912

b) ?2516

42

e) ?53

127

c) :5

561

13

f ) :279

62

71 Encuentra el término desconocido para que estas fracciones sean equivalentes.

a) 54

= d8 c)

d15

= 69

b) 9d

= 64 d)

1442

= d9

72 Calcula.

a) 5

23

16 83

+ - d) 21

32

43

54

- + -

b) 5

65

3 45

- + e) 157

32

61

--

c) 2

3132

4 54

+ - + f ) 1 24

281

26

65

+ + +

73 Realiza estas operaciones.

a) 203

158

67

+- d n d) ?52

43

145

-

b) :52

103

187

- e) :?34

21

56

57

+

c) :58

53

3011

+ f ) :1 62 5 5

734

+-

Operaciones combinadas con números enteros y fracciones

74 Calcula estas expresiones.

a) 1754

+ d) : 95

12

b) 2338

- e) :?3

52 9

12

c) ? 974

f ) : ?1674

63

d n


a) 23

2012

2+ - d) 145

32

- -d n

b) 478 12

10- - e)

621

375

81

- + -d dn n

c) 3 579

52

+ +- f ) 554

1210

613

72

- + +-d dn n

76 Calcula.

a) ?354

32

+d n d) :?38

31512

54

6- +d n

b) :52

317

126

-d n e) : ?6 5

11879

411

2- +d dn n

c) :110

921

35

-d n f ) :45

29

1281

+ -d n

77 Resuelve.

a) + -

53

32

65

21

6-

b) ?2

52

34

1- +

6

d dn n

Problemas con números enteros y fracciones

78 Un barco llevaba 502 pasajeros y ha hecho paradas en tres puertos. En el primero bajan 256 pasajeros, en el segundo suben 162 nuevos pasajeros y en el tercero bajan 84 pasajeros.

Expresa esta situación utilizando números enteros y calcula cuántos pasajeros quedan a bordo tras las tres paradas.

79 Pilar ingresa mensualmente en una cuenta 125 €. En esa cuenta también tiene domiciliados dos recibos mensuales de 60 y 32 € cada uno, uno trimestral de 50 € y además el pago del IBI, impuesto de bienes inmuebles del ayuntamiento, que cuesta 232 € al año.

Si abrió la cuenta con 20 €, ¿cuánto dinero tiene al finalizar un año?

22

80 Sabemos que una caja vacía pesa 2 kg y que esa misma caja llena pesa 7 kg. ¿Cuánto pesará el contenido de 26 cajas?

81 En un hipermercado se venden botes de tomate frito, que cuestan 3 € cada uno, en oferta tres por dos.

a) ¿Por cuánto nos saldría cada bote si tomamos la oferta?

b) ¿Por qué fracción hay que multiplicar el precio con oferta para obtener el precio sin oferta?

82 A Pedro le corresponde la mitad de un pastel y a María la tercera parte.

a) ¿En cuántas partes conviene dividir el pastel para que el reparto se haga fácilmente?

b) ¿Qué parte del pastel sobrará?

83 Hemos hecho ya tres cuartas partes de nuestro viaje y aún nos quedan 120 km para llegar a nuestro destino. ¿Cuántos kilómetros recorreremos durante el viaje?

84 En una bodega se abre un tonel el lunes y se saca la sexta parte de su capacidad, el martes se extrae la cuarta parte de lo que queda y el miércoles quedan 75 ℓ. ¿Cuál es la capacidad del tonel?

85 El agua al congelarse aumenta su volumen

en 1

10 del mismo. ¿Qué volumen ocuparán 200 ℓ

de agua después de helarse?

86 Un almacén de pintura tiene un bidón con 700 ℓ de pintura de color oro.

a) ¿Cuántos botes de 31

ℓ pueden llenarse con esta pintura?

b) ¿Cuántos botes de 51

ℓ?

c) ¿Y de 43

ℓ?

87 Lucía se ha gastado en un libro dos tercios del dinero que tenía, después la quinta parte de lo que le quedaba en una revista y aún le quedan 4 €.

a) ¿Cuánto dinero tenía al principio?

b) ¿Cuánto ha costado el libro?

c) ¿Y la revista?

88 Una piscina está llena hasta los 97

de su capacidad.

Aún se necesitan 880 ℓ de agua para que esté completamente llena. Teniendo en cuenta estos datos, ¿qué capacidad tiene la piscina?

89 En 3.º de ESO, tres quintas partes de los alumnos han aprobado Matemáticas y 10 alumnos han suspendido. ¿Cuántos alumnos son en total en clase?

90 En una mesa hay 5 comensales, cada uno de los cuales

consume 41

ℓ de vino.

a) ¿Cuánto consumen en total?

b) ¿Cuántas botellas han abierto si cada una tiene 43

ℓ de vino?

91 Unos amigos organizan una marcha por el campo de tres días. El primer día recorren la cuarta parte del total, el segundo día la tercera parte, y el resto, que son 25 km, el tercer día.

a) ¿Qué fracción representa los kilómetros recorridos el tercer día?

b) ¿Cuánto han recorrido en total?

92 Pablo, Estrella y Olga se reparten 90 € de la siguiente manera: Pablo se queda con la quinta parte, Estrella con la tercera parte de lo que recibe Pablo y Olga con la mitad de la cantidad que recibe Estrella.

a) ¿Qué fracción se lleva cada uno?

b) ¿Cuánto se lleva cada uno?

c) ¿Cuánto dinero dejan de bote?

93 Tenemos un rollo de alambre de 90 m. Vendemos dos terceras partes a 3 € el metro, un sexto del resto a 4 € el metro y los metros que quedan, a 2 € cada metro. ¿Cuánto ganamos si habíamos comprado cada metro a 2 €?

94 En una reunión hay 200 mujeres, 32

de los hombres

presentes están casados con 53

de las mujeres.

a) ¿Cuántas personas están casadas y cuántas están solteras?

b) ¿Cuántos son hombres y cuántas mujeres?


23

Interpretar la ficha técnica de un vehículo

Sergio ha empezado a trabajar en una frutería. Su jefe le ha encargado que prepare los pedidos de varios clientes y para ello le ha dado la siguiente tabla.

Julián• Tres cuartos de naranjas. • Kilo y medio de manzanas. • Medio kilo de limones.

Esther

• Mitad de cuarto de cerezas. • Cuarto y mitad de albaricoques. • Kilo y medio de peras. • Tres cuartos de plátanos.

María• Medio kilo de mandarinas. • Dos kilos y medio de melocotones. • Cuarto de fresas.

a) Expresa la cantidad de fruta que necesita en cada pedido en forma de fracción.

b) Obtén también el peso total en kilogramos de cada pedido.

Además de preparar los pedidos, Sergio debe llevarlos al domicilio de los clientes. Para hacer el reparto dispone de un ciclomotor.

Sergio pesa 81 kg y según las características del ciclomotor la tercera parte de este peso recae sobre el eje delantero, y el resto, sobre el trasero.

SABER HACER

c) Atendiendo a la ficha técnica de la moto, ¿puede llevar los tres pedidos en un solo viaje?

d) ¿Y si además lleva 12 botellas de 2 ℓ de agua?

e) ¿Cómo debe repartir los pedidos entre la cesta del manillar y la caja que tiene detrás para poder llevar todo en un solo viaje?

7719165

126

7719165

126

24

Documents

Matemáticas Enseñanzas aplicadas ESO