MATEMÁTICAS III UNIDAD 2 SISTEMAS DE COORDENADAS Y …...Matemáticas III Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos. 63 ESTUDIO ANALÍTICO DE UN PUNTO EN EL PLANO SISTEMA

Matemáticas III Unidad 2. Sistemas de Coordenadas y Lugares Geométricos.

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MATEMÁTICAS III

UNIDAD 2

SISTEMAS DE

COORDENADAS

Y

LUGARES GEOMÉTRICOS

Para facilitar la ubicación de un lugar en un mapa, se elige una recta horizontal y una

recta vertical, se dividen en partes iguales y se numeran, considerando determinada

unidad.

Al espacio determinado por dos rectas numéricas, que se cortan perpendicularmente en

un punto, se le llama Plano Cartesiano.

A la recta numérica vertical se la llama eje de las "Y" o de las ordenadas.

A la recta numérica horizontal se la llama eje de las "X" o de las abscisas.


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UNIDAD 2.

SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS 2.1 Propósitos de la Unidad. 60

2.2 Aprendizajes significativos y temática. 60

2.3 Diagrama Estructural. 62

2.4 Bosquejo histórico. 63

2.5 Conceptos y fórmulas. 65

2.5.1 Estudio analítico de un punto en el plano. 65

2.5.2 Representación geométrica de un punto en coordenadas rectangulares. 68

2.5.3 Representación de un punto en coordenadas polares. 69

2.5.4 Relación entre coordenadas rectangulares y coordenadas polares. 70

2.5.5 Para pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares. 71

2.5.6 Para pasar de coordenadas polares a coordenadas rectangulares. 73

2.5.7 Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el pleno cartesiano. 75

2.6 Distancia entre dos puntos. 76

2.7 División de un segmento. 80

2.8 Pendiente de una recta. 82

2.9 Los dos problemas fundamentales de la Geometría Analítica son. 84

2.10 Ejercicios propuestos. 87

2.11 Respuestas a los ejercicios propuestos. 89

Propuesta de Evaluación. 91

Bibliografía. 92


61

UNIDAD 2.

SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES

GEOMÉTRICOS. 2.1 PROPÓSITOS: Proporcionar una visión global del método de la geometría Analítica como el medio para resolver problemas de corte euclidiano reduciéndolos a problemas algebraicos, así como proporcionar los elementos que servirán en unidades posteriores para emplear el método en situaciones más complejas. 2.2 APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS Y TEMÁTICA

APRENDIZAJES

Al finalizar la unidad, el alumno: • Identificará que el punto clave para el propósito de estudio de la

Geometría Analítica, estriba en definir en un plano un sistema de referencia.

• Encontrará las coordenadas de un punto en el plano utilizando los sistemas de referencia polar y cartesiano.

• Localizará puntos en el plano cuando se proporcionen sus coordenadas polares o rectangulares.

• Representará un punto cualquiera del plano o un conjunto de puntos. • Aprenderá que para representar un segmento rectilíneo en el plano

cartesiano, basta con determinar las coordenadas de sus puntos extremos, o bien, las coordenadas de uno de ellos junto con su longitud y su ángulo de inclinación.

• Comprenderá la deducción de la formula de distancia entre dos puntos en el plano cartesiano.

• Calculará la longitud de un segmento dadas las coordenadas de sus puntos extremos de un segmento, calculará su ángulo de inclinación a través de su pendiente.

• Será capaz de realizar actividades inversas a las dos anteriores.


62

• Resolverá analíticamente problemas que impliquen determinar un segmento a partir de algunas de las propiedades que lo definen.

• Comprenderá el concepto de razón en que un punto divide a un segmento rectilíneo.

• Dadas las coordenadas de los extremos de un segmento y las de un punto interior a él, calculara la razón en que este último divide al segmento.

• Encontrará las coordenadas del punto que divide a un segmento en una razón dada. En particular, las coordenadas del punto medio.

• Realizará actividades inversas al aprendizaje anterior. • Concebirá a una ecuación con dos variables, como la expresión general

que satisfacen las coordenadas de los puntos de una curva en el plano. • Resolverá problemas geométricos de intersección entre curvas y entre

éstas y los ejes coordenados. • Reforzará la estrategia de resolver un problema, reduciéndolo a otros

mas sencillos que ya sabe resolver. • Incrementará su capacidad de generalizar, al obtener fórmulas

generales a partir de analizar casos concretos, y al interpretar un concepto en dos representaciones distintas.

• Identificará los procesos inversos presentes en esta unidad, lo que reforzará su capacidad de inversión de pensamiento.

TEMÁTICA • Estudio Analítico de un punto en el plano.

a) Representación numérica de un punto en el plano: - En el Sistema de coordenadas polares. - En el Sistema de coordenadas rectangulares.

• Estudio analítico de un segmento rectilíneo en el Plano cartesiano. a) Localización de un segmento rectilíneo en el plano. Condiciones necesarias

y suficientes. b) Longitud del segmento. Distancia entre dos puntos. c) Ángulo de inclinación del segmento. Concepto de pendiente. d) Razón en que un segmento es dividido por uno de sus puntos. e) Coordenadas del punto que divide al segmento en una razón dada.

• Estudio analítico de algunos lugares Geométricos en el Plano Cartesiano. a) Lugares geométricos sencillos que dan lugar a rectas y circunferencias.

-Su representación algebraica. -Intersecciones entre ellas o con los ejes cartesianos.

2.3 DIAGRAMA ESTRUCTURAL


63

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN PUNTO EN EL PLANO

SISTEMA DE COORDENADAS

RECTANGULARES

SISTEMA DE COORDENADAS

POLARES

ÁLGEBRA DE LOS REALES

GEOMETRÍA PLANA O EUCLIDIANA

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN SEGMENTO

RECTILÍNEO

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN ÁNGULO

ESTUDIO ANALÍTICO DE UN TRIÁNGULO


64

2.4 BOSQUEJO HISTÓRICO

Nacido el 31 de marzo de 1596 en La Haye , hoy Descartes (Indre-et-Loire), era

hijo de un miembro de la baja nobleza y pertenecía a una familia que había dado

algunos hombres doctos. Cuando tenía ocho años de edad fue enviado al colegio

jesuítico de La Flèche (en Anjou), donde permaneció 10 años. Junto a las

disciplinas clásicas tradicionales, también aprendió matemáticas y las principales

doctrinas del escolasticismo, tendentes a orientar la razón humana hacia la

comprensión de la doctrina cristiana. El catolicismo ejerció una gran influencia en

Descartes a lo largo de toda su vida. Tras concluir su periodo de formación

primaria en dicho centro, cursó estudios de Derecho en la Universidad de Poitiers,

donde se licenció en 1616. Sin embargo, nunca llegó a ejercer como jurista. En

1618 entró al servicio del príncipe Mauricio I de Nassau-Orange, con la intención

de seguir la carrera militar; posteriormente sirvió en otros ejércitos. Pero su interés

se centró siempre en los problemas de las matemáticas y la filosofía, a los que

dedicó el resto de su vida. Tras realizar numerosos viajes residió en París desde

René Descartes (1596-1650), filósofo, científico y matemático francés, considerado el fundador de la filosofía moderna. Considerado el primer filósofo moderno, René Descartes utilizó la ciencia y las matemáticas para explicar y pronosticar acontecimientos en el mundo físico. Su famosa frase "Cogito, ergo sum" ("Pienso, luego existo") fue el punto de partida que le llevó a investigar las bases del conocimiento. Descartes desarrolló el sistema de coordenadas cartesianas para ecuaciones gráficas y figuras geométricas. Los mapas modernos utilizan todavía un sistema de cuadrícula que puede ser trazado volviendo a las técnicas gráficas cartesianas.


65

1625 a 1628. Durante este periodo se dedicó al estudio de la filosofía y también

realizó experimentos de óptica. En 1628, después de vender las propiedades que

poseía en Francia, se trasladó a las Provincias Unidas y vivió en diferentes

ciudades (Amsterdam, Deventer, Utrecht y Leiden).

Fue quizá durante los primeros años que pasó en Holanda cuando escribió su

primera obra importante, Ensayos filosóficos, publicada en 1637 y que estaba

integrada por tres ensayos (Dióptrica, Geometría y Meteoros), a los que servía de

prefacio el que luego sería su escrito más famoso, Discurso del método, en el que

exponía sus especulaciones filosóficas. Ésta fue seguida de otras obras, entre

ellas Meditaciones metafísicas (1641) y Los principios de la filosofía (1644). Sus

últimos escritos estuvieron dedicados a Isabel Estuardo, reina de Bohemia que

vivía en las Provincias Unidas y con quien Descartes había entablado una

profunda amistad. En 1649 fue invitado a acudir a Estocolmo para impartir clases

de filosofía a la reina Cristina de Suecia. Los rigores del invierno le provocaron una

neumonía, a consecuencia de la cual falleció, en la capital sueca, el 11 de febrero

de 1650.

Es opinión generalizada entre los matemáticos que la Geometría Analítica nació

completamente adulta, de la mente de René Descartes. No obstante, existen

Pierre de Fermat (1601 -1665), matemático francés, nacido en Beaumont-de-Lomagne, que anticipó el cálculo diferencial con su método de búsqueda de los máximos y mínimos de las líneas curvas. En su juventud, con su amigo el científico y filósofo Blaise Pascal, realizó una serie de investigaciones sobre las propiedades de los números. De estos estudios, Fermat dedujo un importante método de cálculo de probabilidades. También se interesó por la teoría de números y realizó varios descubrimientos en este campo. Por estas aportaciones hubo quien le consideró el padre de la teoría moderna. Véase Último teorema de Fermat.


66

serias discrepancias entre los expertos historiadores de las matemáticas y se

atribuye a Descartes más de lo que pudiera pretender. Al afirmar que Descartes es

el creador de la aplicación del Álgebra a la Geometría, se deja de lado los

derechos de sus antecesores: F. Viete (1540-1603) o de sus contemporáneos

como Pierre de Fermat (1601-1665), En cuyas obras hay aplicaciones del Álgebra

a la Geometría.

Si se considera el uso de coordenadas para localizar un punto los inicios de la

Geometría Analítica se remonta a Arquímedes (287-212 A. C.) Siglo II A. C.). Y

posteriormente J. Kepler (1571-1630). Puesto que las curvas cónicas que ellos

estudiaban, requerían esencialmente, de las coordenadas (cartesianas),

refiriéndose, a ejes intrínsecamente relacionados con las curvas estudiadas.

2.5 CONCEPTOS Y FÓRMULAS

2.5.1 ESTUDIO ANALÍTICO DE UN PUNTO EN EL PLANO

En la cotidianidad nos hemos encontrado con problemas de ubicación, por

ejemplo al tratar de localizar un domicilio en un cierto barrio que no conocemos.

Para hacerlo, nos presentan un plano de la zona en el que tratamos de buscar la

calle en cuestión. Entonces nuestro problema se transforma en entender el plano.

Primeramente tratamos de definir en donde estamos situados con respecto al

plano. Posteriormente localizamos el lugar al que queremos trasladarnos y ubicar

el mejor camino para llegar a él. Los planos de las ciudades normalmente están

representados por medio de un sistema de coordenadas.

Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto

de puntos marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas

y se puede considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto. El

sistema de latitud y longitud es un ejemplo de sistema de coordenadas que utiliza

éstas para especificar la posición de un punto en la superficie de la Tierra.


67

EL GLOBO TERRAQUEO ES EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA Y ESTA

REPRESENTADO EN COORDENADAS POLARES. Si escogemos un par de rectas numéricas que se corten, podemos asociar a cada

punto del plano un par ordenado de números reales que nos permiten localizar tal

punto.

Las coordenadas cartesianas o rectangulares son las coordenadas más usadas.

En dos dimensiones, están formadas por un par de rectas en una superficie plana,

o plano, que se cortan en ángulo recto. Cada una de las rectas se denomina eje y

el punto de intersección de los ejes se llama origen. Los ejes se dibujan

habitualmente como la horizontal y la vertical, y normalmente se les denomina X e

Y respectivamente. En coordenadas cartesianas, un punto del plano cuyas

coordenadas son (2,5) está situado dos unidades hacia la derecha del eje Y, y

cinco unidades por encima del eje X. En coordenadas cartesianas de tres

dimensiones, se añade el eje z de manera que tenemos tres ejes todos ellos

perpendiculares entre sí.

En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas

(r,θ) con respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto

de dicha línea llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r

es la distancia del punto al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a


68

las agujas del reloj) entre el eje polar y la línea que une el polo y el punto. Las

coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas son dos extensiones distintas

de las coordenadas polares en tres dimensiones.


69

2.5.2 REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE UN PUNTO EN COORDENADAS RECTANGULARES .

A(-2, 5). Este punto debe situarse dos unidades a la izquierda del eje Y y cinco

unidades arriba del eje X como se muestra a continuación:

A(4, -3). Este punto debe estar situado cuatro unidades a la derecha del eje Y

y tres unidades abajo del eje X


70

Observa la siguiente grafica en ella hay un punto el cual esta cinco unidades a la

derecha del eje Y y seis arriba del eje X.

Por lo que las coordenadas de ese punto son: (5,6)

2.5.3 REPRESENTACIÓN DE UN PUNTO EN COORDENADAS POL ARES. Representemos el siguiente punto (3,60 )P °

Este punto esta situado a tres unidades del polo y forma un ángulo 60 grados con

el eje X


71

Representemos el punto (5,135 )P °

Este punto debe estar situado a cinco unidades del polo y forma un ángulo de 135

grados con el eje X , lo cual quiere decir que esta en el segundo cuadrante como

se observa en la siguiente figura:

2.5.4 RELACIÓN ENTRE COORDENADAS RECTANGULARES Y

COORDENADAS POLARES.

Normalmente las coordenadas de un punto o conjunto de puntos en un sistema de

coordenadas pueden ser transformadas a otro sistema de coordenadas. Por

ejemplo, si el eje polar y el polo de las coordenadas polares se corresponden con

el eje x y el origen de las coordenadas cartesianas respectivamente, entonces el

punto con coordenadas polares 1,2

π

está situado una unidad por encima del

origen, por lo que sus coordenadas cartesianas son (0,1). De la misma manera, el

punto de coordenadas polares (1,135 )° o lo que es lo mismo 3

(1, )4

π es el

punto cartesiano (-1,1).


72

2.5.5 PARA PASAR DE COORDENADAS RECTANGULARES A

COORDENADAS POLARES.

P ( ),x y → P ( , )r θ

Del triangulo rectángulo que se forma en la figura anterior podemos escribir el

Teorema de Pitágoras y calcular el valor de r

2 2 2r x y= + → 2 2r x y= +

Posteriormente usamos la función trigonométrica tangente

. .tan

. .

c o y

c a xθ = =

Y con esta expresión calculamos el ángulo de la siguiente forma:

1tany

xθ −=

Ejemplo:

Expresar el siguiente punto (5,6)p a su forma polar ( , )p r θ

Datos:

2 2

5

6

x

y

r x y

==

= +


73

2 25 6r = + ; 25 36 61 7.8r = + = =

7.8r =

Calculemos ahora el ángulo con:

1tany

xθ − =

1 16tan ( ) tan (1.2) 50.1

5θ − −= = = °

50.1θ = °

Por lo tanto el punto que en coordenadas rectangulares es ( )5,6 en

coordenadas polares se escribe

(7.8,50.1 )°

Actividad .- Traza dicho punto en el plano que corresponda:

Plano Polar


74

Plano Rectangular 2.5.6 PARA PASAR DE COORDENADAS POLARES A COORDENAD AS RECTANGULARES

P ( ),r θ → P ( , )x y

De la figura anterior podemos escribir las siguientes relaciones:

cos

sin

x r

y r

θθ

==

Las cuales nos servirán para encontrar las coordenadas de un punto en forma

rectangular.


75

Ejemplo:

Expresar el siguiente punto (10,35 )° en forma rectangular ( , )x y

Datos:

10

35

r

θ== °

Sustituyendo en:

cos

sin

x r

y r

θθ

==

Obtenemos

10cos35 8.19

10sin 35 5.73

x

y

= ° == ° =

Por lo tanto el punto que en forma polar es (10,35 )° ; en forma rectangular es

(8.19,5.73)

Actividad: Trazar este punto en el plano correspondiente

Plano Polar


76

Plano Rectangular

2.5.7 ESTUDIO ANALÍTICO DE UN SEGMENTO RECTILÍNEO E N EL PLANO CARTESIANO.

Segmento Rectilíneo Dirigido

La geometría elemental enseña que la porción de una recta limitada por dos de

sus puntos se llama segmento de recta, segmento rectilíneo o, simplemente,


77

segmento. Y como consecuencia de su definición, un segmento tiene dos puntos

extremos, como se muestra en la siguiente figura:

LA B

Se observa que AB es un segmento cuyos puntos extremos son A y B y que su

longitud se indica como AB .

Un eje numérico es una línea recta, donde a cada punto le corresponde uno y sólo

un número y a cada número le corresponde uno y sólo un punto.

Si queremos saber la distancia que hay entre los números 2 al 6, la respuesta es 4

porque distancia = 6-2=4.

En general, la distancia de los puntos x1 y x2 es 2 1d x x= − donde las barras

indican valor absoluto.

2.6 DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS.

Consideremos a los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en el plano cartesiano.


78

La distancia más corta de un punto a otro punto, es el segmento de recta que los

une.

Definimos: medida 1 2( )PP = d(P1,P2)

Aplicamos el Teorema de Pitágoras d2= a2+ b2

a = 2 1x x−

b = 2 1y y−

2 21 2 2 1 2 1( , ) ( ) ( )d P P x x y y= − + −

Esta fórmula es muy importante y se conoce como,

La fórmula de distancia entre dos puntos.

Ejemplo. Hallar la distancia entre los puntos A(1,3) B(4,7)

Solución: Si A(1,3)=(x1,y1) x1=1, y1=3

B(4,7)=(x2,y2) x2=4, y2=7

2 2

2 2

(4 1) (7 3)

3 4

9 16

25

5

d

d

d

d

d

= − + −

= +

= +

==

Ejemplo. Mostrar que los puntos A(-9,-3), B(-3,1) y C(6,7) son colineales.

Solución:

“Decimos que los puntos son colineales si pertenecen a la misma línea recta”.

Primero calcularemos la distancia de A a B, luego de B a C y por último de A a C.

A(-9,-3)=(x1,y1) x1=-9 y1=-3

B(-3,1)=(x2,y2) x2=-3 y2=1


79

2 2

2 2

2 2

( 3 ( 9)) (1 ( 3))

( 3 9) (1 3)

6 4

36 16

52 (4)(13) 4 13 2 13

AB

AB

AB

AB

AB

d

d

d

d

d

= − − − + − −

= − + + +

= +

= +

= = = =

La distancia de B a C

B(-3,1)=(x1,y1) x1=-3 y1=1

C(6,7)=(x2,y2) x2=6 y2=7

2 2

2 2 2 2

(6 ( 3)) (7 1)

(6 3) 6 9 6

81 36

117 (9)(13) 9 13 3 13

BC

BC

BC

BC

d

d

d

d

= − − + −

= + + = +

= +

= = = =

La distancia de A a C

A(-9,-3)=(x1,y1) x1=-9 y1=-3

C(6,7)=(x2,y2) x2=6 y2=7

2 2

2 2

(6 ( 9)) (7 ( 3))

(6 9) (7 3)

225 100

325 (25)(13) 25 13 5 13

AC

AC

AC

AC

d

d

d

d

= − − + − −

= + + +

= +

= = = =

Sabemos que “el todo es mayor que cualquiera de sus partes”

5 13 2 13 3 13 5 13 5 13AC AB BCd d d= + ⇒ = + ⇒ = ⇒

Luego los puntos A, B y C son colineales.


80

Ejemplo. Mostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo

equilátero A(0,-4), B( 12,2) y C(- 12 ,2).

Solución : de la misma manera que el ejemplo anterior calcularemos la distancia

de A a B, luego de B a C y por último de A a C.

2 2

2 2 2 2 2

2 2

( 12 0) (2 ( 4)) 12 36 48

( 12 ( 12)) (2 2) ( 12 12) 0 (2 12) (4)(12) 48

( 12) (4 2) 12 36 48

AB

BC

AC

d

d

d

= − + − − = + =

= − − + − = + + = = =

= + + = + =

AB BC ACd d d= = por lo que ABC∆ es un triángulo equilátero.

Ejemplo. Mostrar que los siguientes puntos son los vértices de un triángulo

rectángulo A(7,5), B(2,3) y C(6,-7)

Solución : se calculan la distancia de A a B, luego de B a C y por último de A a C.

2 2

2 2

2 2

(2 7) (3 5) 29 cateto

(6 2) ( 7 3) 116 cateto

(6 7) ( 7 5) 145 hipotenusa

AB

BC

AC

d

d

d

= − + − =

= − + − − =

= − + − − =

Usando el Teorema de Pitágoras 2 2 2AB BC ACd d d+ = luego ABC∆ es un

triángulo rectángulo.

Ejemplo. Determina el perímetro del triángulo formado por los vértices A(-4, 3);

B(0, 6); C(6, -2)


81

Solución

525916)36()40( 22 ==+=−++=ABd

10100)6436)62()06( 22 ==+=−−+−=BCd

18.1112525100)23()64( 22 ==+=++−−=CAd

Por lo tanto, el perímetro del triángulo es:s

Perímetro= dAB + dBC + dCA = 26.18

Ejemplo. Calcule el área del triángulo cuyos vértices son: A(-4, 3); B(0, 6); C(6, -

2), empleando la fórmula de Herón.

Solución

Dado que la Fórmula de Herón es: Área ))()(( csbsassABC −−−=∆ donde s es el

semiperímetro, es decir )(2

1cbas ++= . Como el perímetro fue calculado en el

ejemplo anterior, así como la medida de cada uno de sus lados, ya que se trata

del mismo triángulo, tenemos que:

)18.1109.13)(1009.13)(509.13(09.13))()(( −−−=−−−=∆ csbsassABCArea

)91.1)(09.3)(09.8(09.13=

25

..99.24

...999.624

≈==

El área del triángulo resultó ser, aproximadamente, 25 unidades cuadradas.

2.7 DIVISIÓN DE UN SEGMENTO.

Dados los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el plano cartesiano, el punto medio es el

punto determinado por los promedios de las respectivas coordenadas abscisas y

ordenadas. Es decir

1 2 1 212

,2 2

x x y yP

+ + =

Fórmula del Punto Medio de un segmento.


82

En general se demuestra que las coordenadas del punto intermedio tP en la

dirección AB con 0 1t≤ ≤ están dadas por:

1 2 1 2((1 ) , (1 ) )tP t x tx t y ty= − + − + .

Fórmula del Punto Intermedio de un segmento.

Note que en particular si 1

2t = , la fórmula del punto intermedio se reduce a la

fórmula del punto medio, así el punto medio es un caso particular del punto

intermedio.

Ejemplo . Dados los puntos A(2,4) y B( 12, 24). Determinar las coordenadas de

los siguientes puntos intermedios: , 1

3

P 1

2

P

Solución. A(2,4)=(x1,y1) x1=2 y1=4

B(12,24)=(x2,y2) x2=12 y2=24

Para el punto 1

3

P hacemos 1

3t = , luego aplicamos la fórmula del punto intermedio

y se obtiene:

( )1

3

(1 (1/ 3))(2) (1/ 3)(12), (1 (1/3))(4) (1/3)(24)P = − + − +

( )1

3

5.33,10.66P =

Para el punto 1

2

P podríamos hacer 1

2t = y aplicar la fórmula del punto intermedio,

pero conviene por ser menos cálculos usar la fórmula del punto medio y se

obtiene:

1

2

2 12 4 24,

2 2P

+ + =

⇒ ( )1

2

7,14P =


83

2.8 PENDIENTE DE UNA RECTA.

Sean los puntos P1(x1,y1) y P2(x2,y2) en el plano cartesiano.

Si se hace un análisis del triángulo rectángulo que se forma:

2 1y y−

2 1x x−

De la secundaria se sabe que:

2 1

2 1

Opuestotan

Cateto Adyacente

y yCatetom

x xθ −= = =

− = Pendiente de la Recta

Al cociente de diferencias que lo denotamos con la letra m , se le conoce como la

pendiente de la recta. Conociendo la pendiente se puede conocer el ángulo de

inclinación de la recta con la ecuación:

θ


84

1tan mθ −=

Entre las observaciones importantes se tiene que si:

0m ≻ La recta se inclina a la derecha y su ángulo de inclinación es positivo.

0m≺ La recta se inclina a la izquierda y su ángulo de inclinación es negativo.

0m = La recta es horizontal y su ángulo de inclinación es cero.

Si la recta es vertical su pendiente es infinita.

Ejemplo. Dados los puntos A(3,7) y B(5, 11), trazar la recta que los une, calcular

su pendiente y su ángulo de inclinación.

Solución:

A(3,7)=(x1,y1) x1=3 y1=7

B(5,11)=(x2,y2) x2=5 y2=11

Aplicando la fórmula de pendiente se tiene el siguiente cociente de diferencias:

11 72

5 3m

−= =−

Luego el ángulo esta dado por 1tan (2) 63.43ºθ −= =

La gráfica es:


85

2.9 LOS DOS PROBLEMAS FUNDAMENTALES DE LA

GEOMETRÍA ANALÍTICA

1. Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico que representa.

2. Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar la

ecuación que le corresponde.

Para poder representar gráficamente el lugar geométrico que corresponde a

una ecuación dada, es conveniente conocer algunas propiedades del lugar

en cuestión, como son: intersecciones con los ejes, simetrías, campo de

variación de las variables, etc.

Las intersecciones de los ejes son las distancias negativas ó positivas

desde el origen hasta los puntos en los que la curva del lugar geométrico

corta a los ejes coordenados.

Decimos dos puntos son simétricos con respecto a una recta, si ésta es la

mediatriz del segmento que los une. Como consecuencia:

a) Si una ecuación no se altera al sustituir “x” por “-x”, su gráfica es

simétrica con respecto al eje Y.

b)Si una ecuación no se altera al sustituir “y” por “-y”, su gráfica es simétrica

con respecto al eje X.

c) Si una ecuación no varia al sustituir “x” por “-x” e “y” por “-y”, su

representación gráfica o lugar geométrico, es simétrica con respecto al

origen.

También es necesario determinar los campos de variación de las variables,

para analizar cuando la ecuación esta definida y tiene sentido.

A continuación se tienen los siguientes ejemplos:

1. Hallar la ecuación de la recta que se sitúa a 5 unidades arriba del eje

X, que es paralela a este.

Como la recta es paralela al eje X y se encuentra arriba, entonces cruza el

lado positivo del eje de las ordenadas.


86

Asignándole valores a la variable independiente “x” obtenemos una

tabulación y la gráfica correspondiente.

x y -5 5 -4 5 -3 5 -2 5 -1 5 0 5 1 5 2 5 3 5 4 5 5 5

2. Representar el lugar geométrico de y/x= 5.

Se procede a despejar la variable dependiente “y”, obteniéndose y=5x. Se

hace una tabulación:

x y -5 -25 -4 -20 -3 -15 -2 -10 -1 -5 0 0 1 5 2 10 3 15 4 20 5 25


87

Y se obtiene la siguiente gráfica:

3. Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto (1,2), cuya

pendiente sea m=5.

Como tenemos un punto y la pendiente, podemos utilizar la fórmula:

y = mx + b;

Sustituyendo los datos:

2 = 5 (1) + b;

b = 2 – 5 = -3;

Por lo tanto la ecuación buscada es:

y= 5 x – 3

Se hace una tabulación:

x y

-5 -28 -4 -23 -3 -18 -2 -13 -1 -8 0 -3 1 2 2 7 3 12 4 17 5 22


88

Se obtiene la siguiente gráfica:

2.10 EJERCICIOS PROPUESTOS CON SOLUCIÓN 1. Graficar los siguientes puntos en coordenadas rectangulares

A(-2,3), B(2,-3) , C(-2,0), D(0,2)

2. Graficar los siguientes puntos en coordenadas polares

A(4,30º), B(2,120º) , C(6,210º ), D(3,300º)

3. Transformar a coordenadas polares los siguientes puntos dados en

coordenadas rectangulares: A(3,4), B(-6,8)

4. Transformar a coordenadas rectangulares los siguientes puntos dados en

coordenadas polares: A(5,60º), B(10,135º)

5. Hallar la distancia entre los puntos A(-2,3) y B(5,1)

6. Demostrar que los tres puntos siguientes son colineales:

A(-3, -2), B(5,2) y C(9,4).

7. Determinar un punto que equidista de los puntos A(1,7), B(8,6)


89

8. Hallar las coordenadas de un punto P(x, y) que divida al segmento

determinado por A(1,7) y B(6, -3) con una relación r = 2/3

9. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro C(-4,1) es

P(2,6). Hallar las coordenadas Q(x, y) del otro extremo.

10. Hallar dos puntos P(x, y) y Q(x, y) que dividan al segmento AB en tres

partes iguales si A(3, -1) y B(9, -7).

11. Hallar la pendiente de la recta determinada por los puntos:

P(-8, -4) y Q(5,9).

12. Hallar el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos

A(10, -3) y B(14, -7).

13. Hallar un punto que diste 10 unidades del punto P(-3,6)

14. El segmento que une A(-2, -1) con B(3,3) se prolonga hasta C. Sabiendo

que se cumple la relación BC = 3( AB), hallar las coordenadas del punto C.

15. Obtener el perímetro del triángulo con vértices:

A=(0,0) B=(2,8) C=(9,3)

16. Escribe una pareja de puntos P=(?,?) Q=(?,?) de tal manera que su

pendiente sea la indicada:

m=1.5

17. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que disten 3

unidades del origen de las coordenadas.

18. Hallar la ecuación de la recta que es paralela al eje Y que corta al eje

X cinco unidades a la izquierda del origen.


90

19. Determinar el lugar geométrico de la ecuación x2+y2= 81

20. Hallar la ecuación de la circunferencia con centro C(2,3) que pasa por el punto

P(4,3)

2.11 RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS PROPUESTOS.

1. Puntos en coordenadas rectangulares.

2. Puntos en coordenadas polares.


91

3. A(5, 53.13º) B(10, 126.86º)

4. A(2.5, 4.33) B(-7.07, 7.07)

5. 53

6. Como d(A,B) = 4 5 ; d(B,C) = 2 5 y d(A,C) = 6 5 ;

Entonces: d(A,B) + d(B,C) = d(A,C), luego A, B y C son colineales.

7. P (4.5, 6.5)

8. P(3,3)

9. Q(-10, -4)

10. P (5, -4) y Q (7,13/3)

11. m =1

12. θ=135º

13. Q(7,6)

14. C(18,15)

15. Perímetro = 68 90 74+ +

16. P(3,4) y Q(5,7)

17. x2+y2=9

18. 5x = −

19. Circunferencia con centro en el origen y radio 9.

20. 2 2( 2) ( 3) 4x y− + − =


92

PROPUESTA DE EVALUACIÓN.

EXAMEN DE LA UNIDAD 2 SISTEMAS DE COORDENADAS Y LUGARES GEOMÉTRICOS

1. Transformar los puntos P(-5, 7) y Q (5,150º) a sus equivalentes coordenadas

polares y rectangulares respectivamente, graficar en sus correspondientes planos.

2. Hallar el perímetro del triángulo, cuyos vértices son:

A ( 3,2), B (2, 1) y C ( 4, -7).

3. Demostrar que los siguientes puntos son colineales

A (0, 4); B (3, -2) y C (4, -4).

4. El extremo de un diámetro de una circunferencia de centro C(2,1) es

P(6,10). Hallar las coordenadas Q(x, y) del otro extremo.

5. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los

puntos: A (7, -3) y B (5, 3), graficar.

6. Hallar la ecuación del lugar geométrico de los puntos que distan 5

unidades del origen.

7. Calcular la velocidad promedio de un móvil que pasa por los puntos P=(20, 35)

Q=(27,40), la coordenada “x” representa el tiempo en minutos, y la coordenada “y”

representa la distancia en ese instante.( recuerde d

vt

= )

8. Dado el segmento AB, determinar las coordenadas del punto intermedio

indicado, en la dirección AB si A=(1,2) B=(6,14):

a) P1/3 AB b) P2/3 AB

9. Escribe una pareja de puntos P=(?,?) Q=(?,?) de tal manera que su

pendiente sea la indicada: m = 2.5

10. Dibuja la gráfica de una recta cualquiera que tenga pendiente:

a) positiva. c) negativa. d) cero. e) infinita.


93

BIBLIOGRAFÍA

1. Oteyza, Lam. Geometría Analítica y Trigonometría. Ed. Pearson Educación.

México, 2001.

2. Ruiz Basto. Geometría Analítica. Publicaciones Cultural. México, 2002.

3. Fuenlabrada, Samuel. Geometría Analítica Ed. Mc. Graw Hill. México, 2000.

4. Torres, Carlos. Geometría Analítica. Ed. Santillana. México, 1999.

5. Filloy-Hitt. Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamérica. México, 1997.

6. Cuevas,Mejia .Geometría Analítica Dinámica Ed. Oxford. México 2005.

7. Hernández, Landa,et.al. Lecciones de Matemáticas 3, CCH-NAUCALPAN,

2004.

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