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2017
Material elaborado
recopilado y organizado por
M C Rita Ochoa Cruz
Escuela de Bachilleres de la
Universidad Autoacutenoma de
Quereacutetaro
rdquo
Matemaacuteticas V Caacutelculo Diferencial e Integral
CUADERNO
DE
EJERCICIOS
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
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Contenido
Unidad I iquestDe queacute trata el caacutelculo diferencial e integral 3 Unidad II Funciones 4
Funciones y relaciones 4 Evaluacioacuten de funciones 6
Dominio y contradominio algebraico 11 Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase) 14 Graacutefica de una funcioacuten 15 Modelo de funciones 17 Operaciones con funciones 21
Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones 25 Funciones logariacutetmicas y exponenciales 26
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales 31
Arqueologiacutea 31 Matemaacutetica financiera 32 Estadiacutestica 32
Quiacutemica 33 Fiacutesica 33
Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales 35
Unidad III Liacutemites y continuidad 36 Liacutemites geomeacutetricos 36
Liacutemites numeacutericos 39 Liacutemites algebraicos 42 Limites en los que interviene el infinito 46
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites 48
Continuidad 49 Unidad IV La derivada y sus aplicaciones 53
Definicioacuten de la derivada 53
Derivadas por formulas 56 Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas 62
Regla de la cadena 63 Derivadas de orden superior 68 Aplicaciones 69
Rectas normales y tangentes 69 Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 73
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada 77 Problemas de optimizacioacuten 85
Integrales 91 Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva 96
Caacutelculo de aacutereas 97 Bibliografiacutea 98
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PROPOacuteSITO GENERAL DEL CURSO
Al finalizar el curso el alumno debe ser capaz de conceptualizar los teacuterminos de integral derivada continuidad
liacutemite y funcioacuten asiacute como aplicar el Caacutelculo Diferencial e Integral a la resolucioacuten de problemas praacutecticos de la vida
real determinar maacuteximos miacutenimos puntos de inflexioacuten concavidad bosquejo de curvas aacuterea entre dos curvas para
esto debe aplicar los conocimientos adquiridos en los cursos de Aacutelgebra Geometriacutea Euclidiana Trigonometriacutea y
Geometriacutea Analiacutetica
Unidad I iquestDe queacute trata el caacutelculo diferencial e integral
En esta unidad el profesor debe mostrar al estudiante ejemplos para introducir la problemaacutetica del Caacutelculo
Diferencial e Integral Caacutelculo de velocidades y razoacuten de cambio tangentes a una curva de maacuteximos y
miacutenimos de aacutereas y voluacutemenes etc enfatizando las situaciones y problemas que permitan
El planteo y estudio del comportamiento de funciones
El conocimiento de problemas diversos algebraicos y geomeacutetricos utilizando ideas anteriores a las del
caacutelculo permitiraacute al alumno introducirse en la problemaacutetica de esta materia y darse cuenta del apoyo
que brinda a diversas disciplinas
Al mismo tiempo es conveniente hablar de aspectos histoacutericos del caacutelculo
I- Conteste las siguientes preguntas
1-Mencione el significado de la palabra caacutelculo
2- iquestQue bases dieron origen al caacutelculo diferencial
3-Nombre de los fundadores del caacutelculo diferencial
4- Describa la aportacioacuten de GOTTFRIED LEIBNIZ al caacutelculo diferencial
5-Escriba los conceptos que establecioacute NICOLAS ORESME en el estudio de los maacuteximos y miacutenimos
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Unidad II Funciones PROPOacuteSITO
Al teacutermino de la unidad el alumno debe reconocer el concepto de funcioacuten identificar la estructura algebraica de las diferentes funciones y su forma geomeacutetrica y realizar operaciones con funciones
Se recordaraacuten los conceptos baacutesicos de funciones como regla de correspondencia entre dos conjuntos dominio y contradominio Se
estudia la diferencia entre relacioacuten y funcioacuten Se habla de funciones reales de variable real del dominio natural de una regla de
correspondencia para ver la funcioacuten como modelacioacuten matemaacutetica a traveacutes de ejemplos Se calculan dominios de funciones
algebraicas Se veraacuten clasificaciones de algunas funciones reales de variable real en algebraicas trigonomeacutetricas trascendentes y
funciones seccionadas Se debe revisar las distintas maneras de representacioacuten de una funcioacuten y sus conversiones entre ellas (forma
verbal forma geomeacutetrica forma tabular y forma algebraica) asiacute como la interpretacioacuten de graacuteficos Se incluye en este estudio las
propiedades de los logaritmos y las exponenciales Finalmente se realizaraacuten operaciones con funciones (suma resta producto
cociente y composicioacuten) En cuanto a las praacutecticas de laboratorio para esta unidad se maneja el programa de Graphmatica por su
facilidad de manejo y su gran aporte didaacutectico para visualizar los temas descritos las primeras cinco praacutecticas del Manual de Praacutecticas
de Laboratorio para Caacutelculo Diferencial e integral corresponden a los temas vistos en esta unidad el docente deberaacute calendarizar cada
una de ellas de tal forma que los temas vistos en clase correspondan a lo que se haga en el laboratorio
EVIDENCIAS
De Producto Tareas que contienen ejercicios de praacutectica problema(s) resuelto(s) esquema(s) auxiliares
conclusiones De Desempentildeo Verificaciones parciales por medio de trabajo en clase individual y en equipo en su lugar o en
exposicioacuten ademaacutes de la parte procedimental de prueba escrita
De Actitud Cumplimiento en la entrega en tiempo y forma de evidencias orden y limpieza puntualidad y
asistencia al curso De Conocimiento Verificacioacuten por medio de la parte objetiva de la prueba escrita
Funciones y relaciones
Escriba y defina los elementos que participan en el concepto de funcioacuten
Escriba la definicioacuten de funcioacuten
Escriba la diferencia entre funcioacuten y relacioacuten
Escriba las cuatro formas de representar una funcioacuten
Determina si los siguientes diagramas representan una funcioacuten o una relacioacuten Justifica tu respuesta
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Diga un ejemplo de funcioacuten
Ejercicio Determina si cada uno de los conjuntos de pares ordenados definen una funcioacuten 1) A = (14)(23)(32)(24)(15) 2) B= (14)(23)(32)(43)(54)
Sergio Manuel
Cecilia
Berta
Pablo
Muacutesica
Teatro
Danza
Pintura
Nombre Clases que toma
2100
440
3000
Coacutencavo
1000 Convexo
Medida del
aacutengulo Tipo de aacutengulo
3 5
7
9 11
No
iquestes nuacutem primo Nuacutemero
Siacute
13
13
013
ndash 13 Natural
Entero
Racional
Irracional
Nuacutemero Tipo de num
Brasil
Italia Alemania
Argentina
Uruguay
Francia
Inglaterra
Espantildea
4
3
2
1
5
Campeonato
s de futbol Paiacutes
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Contenido
Unidad I iquestDe queacute trata el caacutelculo diferencial e integral 3 Unidad II Funciones 4
Funciones y relaciones 4 Evaluacioacuten de funciones 6
Dominio y contradominio algebraico 11 Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase) 14 Graacutefica de una funcioacuten 15 Modelo de funciones 17 Operaciones con funciones 21
Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones 25 Funciones logariacutetmicas y exponenciales 26
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales 31
Arqueologiacutea 31 Matemaacutetica financiera 32 Estadiacutestica 32
Quiacutemica 33 Fiacutesica 33
Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales 35
Unidad III Liacutemites y continuidad 36 Liacutemites geomeacutetricos 36
Liacutemites numeacutericos 39 Liacutemites algebraicos 42 Limites en los que interviene el infinito 46
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites 48
Continuidad 49 Unidad IV La derivada y sus aplicaciones 53
Definicioacuten de la derivada 53
Derivadas por formulas 56 Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas 62
Regla de la cadena 63 Derivadas de orden superior 68 Aplicaciones 69
Rectas normales y tangentes 69 Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 73
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada 77 Problemas de optimizacioacuten 85
Integrales 91 Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva 96
Caacutelculo de aacutereas 97 Bibliografiacutea 98
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PROPOacuteSITO GENERAL DEL CURSO
Al finalizar el curso el alumno debe ser capaz de conceptualizar los teacuterminos de integral derivada continuidad
liacutemite y funcioacuten asiacute como aplicar el Caacutelculo Diferencial e Integral a la resolucioacuten de problemas praacutecticos de la vida
real determinar maacuteximos miacutenimos puntos de inflexioacuten concavidad bosquejo de curvas aacuterea entre dos curvas para
esto debe aplicar los conocimientos adquiridos en los cursos de Aacutelgebra Geometriacutea Euclidiana Trigonometriacutea y
Geometriacutea Analiacutetica
Unidad I iquestDe queacute trata el caacutelculo diferencial e integral
En esta unidad el profesor debe mostrar al estudiante ejemplos para introducir la problemaacutetica del Caacutelculo
Diferencial e Integral Caacutelculo de velocidades y razoacuten de cambio tangentes a una curva de maacuteximos y
miacutenimos de aacutereas y voluacutemenes etc enfatizando las situaciones y problemas que permitan
El planteo y estudio del comportamiento de funciones
El conocimiento de problemas diversos algebraicos y geomeacutetricos utilizando ideas anteriores a las del
caacutelculo permitiraacute al alumno introducirse en la problemaacutetica de esta materia y darse cuenta del apoyo
que brinda a diversas disciplinas
Al mismo tiempo es conveniente hablar de aspectos histoacutericos del caacutelculo
I- Conteste las siguientes preguntas
1-Mencione el significado de la palabra caacutelculo
2- iquestQue bases dieron origen al caacutelculo diferencial
3-Nombre de los fundadores del caacutelculo diferencial
4- Describa la aportacioacuten de GOTTFRIED LEIBNIZ al caacutelculo diferencial
5-Escriba los conceptos que establecioacute NICOLAS ORESME en el estudio de los maacuteximos y miacutenimos
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Unidad II Funciones PROPOacuteSITO
Al teacutermino de la unidad el alumno debe reconocer el concepto de funcioacuten identificar la estructura algebraica de las diferentes funciones y su forma geomeacutetrica y realizar operaciones con funciones
Se recordaraacuten los conceptos baacutesicos de funciones como regla de correspondencia entre dos conjuntos dominio y contradominio Se
estudia la diferencia entre relacioacuten y funcioacuten Se habla de funciones reales de variable real del dominio natural de una regla de
correspondencia para ver la funcioacuten como modelacioacuten matemaacutetica a traveacutes de ejemplos Se calculan dominios de funciones
algebraicas Se veraacuten clasificaciones de algunas funciones reales de variable real en algebraicas trigonomeacutetricas trascendentes y
funciones seccionadas Se debe revisar las distintas maneras de representacioacuten de una funcioacuten y sus conversiones entre ellas (forma
verbal forma geomeacutetrica forma tabular y forma algebraica) asiacute como la interpretacioacuten de graacuteficos Se incluye en este estudio las
propiedades de los logaritmos y las exponenciales Finalmente se realizaraacuten operaciones con funciones (suma resta producto
cociente y composicioacuten) En cuanto a las praacutecticas de laboratorio para esta unidad se maneja el programa de Graphmatica por su
facilidad de manejo y su gran aporte didaacutectico para visualizar los temas descritos las primeras cinco praacutecticas del Manual de Praacutecticas
de Laboratorio para Caacutelculo Diferencial e integral corresponden a los temas vistos en esta unidad el docente deberaacute calendarizar cada
una de ellas de tal forma que los temas vistos en clase correspondan a lo que se haga en el laboratorio
EVIDENCIAS
De Producto Tareas que contienen ejercicios de praacutectica problema(s) resuelto(s) esquema(s) auxiliares
conclusiones De Desempentildeo Verificaciones parciales por medio de trabajo en clase individual y en equipo en su lugar o en
exposicioacuten ademaacutes de la parte procedimental de prueba escrita
De Actitud Cumplimiento en la entrega en tiempo y forma de evidencias orden y limpieza puntualidad y
asistencia al curso De Conocimiento Verificacioacuten por medio de la parte objetiva de la prueba escrita
Funciones y relaciones
Escriba y defina los elementos que participan en el concepto de funcioacuten
Escriba la definicioacuten de funcioacuten
Escriba la diferencia entre funcioacuten y relacioacuten
Escriba las cuatro formas de representar una funcioacuten
Determina si los siguientes diagramas representan una funcioacuten o una relacioacuten Justifica tu respuesta
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Diga un ejemplo de funcioacuten
Ejercicio Determina si cada uno de los conjuntos de pares ordenados definen una funcioacuten 1) A = (14)(23)(32)(24)(15) 2) B= (14)(23)(32)(43)(54)
Sergio Manuel
Cecilia
Berta
Pablo
Muacutesica
Teatro
Danza
Pintura
Nombre Clases que toma
2100
440
3000
Coacutencavo
1000 Convexo
Medida del
aacutengulo Tipo de aacutengulo
3 5
7
9 11
No
iquestes nuacutem primo Nuacutemero
Siacute
13
13
013
ndash 13 Natural
Entero
Racional
Irracional
Nuacutemero Tipo de num
Brasil
Italia Alemania
Argentina
Uruguay
Francia
Inglaterra
Espantildea
4
3
2
1
5
Campeonato
s de futbol Paiacutes
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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PROPOacuteSITO GENERAL DEL CURSO
Al finalizar el curso el alumno debe ser capaz de conceptualizar los teacuterminos de integral derivada continuidad
liacutemite y funcioacuten asiacute como aplicar el Caacutelculo Diferencial e Integral a la resolucioacuten de problemas praacutecticos de la vida
real determinar maacuteximos miacutenimos puntos de inflexioacuten concavidad bosquejo de curvas aacuterea entre dos curvas para
esto debe aplicar los conocimientos adquiridos en los cursos de Aacutelgebra Geometriacutea Euclidiana Trigonometriacutea y
Geometriacutea Analiacutetica
Unidad I iquestDe queacute trata el caacutelculo diferencial e integral
En esta unidad el profesor debe mostrar al estudiante ejemplos para introducir la problemaacutetica del Caacutelculo
Diferencial e Integral Caacutelculo de velocidades y razoacuten de cambio tangentes a una curva de maacuteximos y
miacutenimos de aacutereas y voluacutemenes etc enfatizando las situaciones y problemas que permitan
El planteo y estudio del comportamiento de funciones
El conocimiento de problemas diversos algebraicos y geomeacutetricos utilizando ideas anteriores a las del
caacutelculo permitiraacute al alumno introducirse en la problemaacutetica de esta materia y darse cuenta del apoyo
que brinda a diversas disciplinas
Al mismo tiempo es conveniente hablar de aspectos histoacutericos del caacutelculo
I- Conteste las siguientes preguntas
1-Mencione el significado de la palabra caacutelculo
2- iquestQue bases dieron origen al caacutelculo diferencial
3-Nombre de los fundadores del caacutelculo diferencial
4- Describa la aportacioacuten de GOTTFRIED LEIBNIZ al caacutelculo diferencial
5-Escriba los conceptos que establecioacute NICOLAS ORESME en el estudio de los maacuteximos y miacutenimos
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Unidad II Funciones PROPOacuteSITO
Al teacutermino de la unidad el alumno debe reconocer el concepto de funcioacuten identificar la estructura algebraica de las diferentes funciones y su forma geomeacutetrica y realizar operaciones con funciones
Se recordaraacuten los conceptos baacutesicos de funciones como regla de correspondencia entre dos conjuntos dominio y contradominio Se
estudia la diferencia entre relacioacuten y funcioacuten Se habla de funciones reales de variable real del dominio natural de una regla de
correspondencia para ver la funcioacuten como modelacioacuten matemaacutetica a traveacutes de ejemplos Se calculan dominios de funciones
algebraicas Se veraacuten clasificaciones de algunas funciones reales de variable real en algebraicas trigonomeacutetricas trascendentes y
funciones seccionadas Se debe revisar las distintas maneras de representacioacuten de una funcioacuten y sus conversiones entre ellas (forma
verbal forma geomeacutetrica forma tabular y forma algebraica) asiacute como la interpretacioacuten de graacuteficos Se incluye en este estudio las
propiedades de los logaritmos y las exponenciales Finalmente se realizaraacuten operaciones con funciones (suma resta producto
cociente y composicioacuten) En cuanto a las praacutecticas de laboratorio para esta unidad se maneja el programa de Graphmatica por su
facilidad de manejo y su gran aporte didaacutectico para visualizar los temas descritos las primeras cinco praacutecticas del Manual de Praacutecticas
de Laboratorio para Caacutelculo Diferencial e integral corresponden a los temas vistos en esta unidad el docente deberaacute calendarizar cada
una de ellas de tal forma que los temas vistos en clase correspondan a lo que se haga en el laboratorio
EVIDENCIAS
De Producto Tareas que contienen ejercicios de praacutectica problema(s) resuelto(s) esquema(s) auxiliares
conclusiones De Desempentildeo Verificaciones parciales por medio de trabajo en clase individual y en equipo en su lugar o en
exposicioacuten ademaacutes de la parte procedimental de prueba escrita
De Actitud Cumplimiento en la entrega en tiempo y forma de evidencias orden y limpieza puntualidad y
asistencia al curso De Conocimiento Verificacioacuten por medio de la parte objetiva de la prueba escrita
Funciones y relaciones
Escriba y defina los elementos que participan en el concepto de funcioacuten
Escriba la definicioacuten de funcioacuten
Escriba la diferencia entre funcioacuten y relacioacuten
Escriba las cuatro formas de representar una funcioacuten
Determina si los siguientes diagramas representan una funcioacuten o una relacioacuten Justifica tu respuesta
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Diga un ejemplo de funcioacuten
Ejercicio Determina si cada uno de los conjuntos de pares ordenados definen una funcioacuten 1) A = (14)(23)(32)(24)(15) 2) B= (14)(23)(32)(43)(54)
Sergio Manuel
Cecilia
Berta
Pablo
Muacutesica
Teatro
Danza
Pintura
Nombre Clases que toma
2100
440
3000
Coacutencavo
1000 Convexo
Medida del
aacutengulo Tipo de aacutengulo
3 5
7
9 11
No
iquestes nuacutem primo Nuacutemero
Siacute
13
13
013
ndash 13 Natural
Entero
Racional
Irracional
Nuacutemero Tipo de num
Brasil
Italia Alemania
Argentina
Uruguay
Francia
Inglaterra
Espantildea
4
3
2
1
5
Campeonato
s de futbol Paiacutes
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Unidad II Funciones PROPOacuteSITO
Al teacutermino de la unidad el alumno debe reconocer el concepto de funcioacuten identificar la estructura algebraica de las diferentes funciones y su forma geomeacutetrica y realizar operaciones con funciones
Se recordaraacuten los conceptos baacutesicos de funciones como regla de correspondencia entre dos conjuntos dominio y contradominio Se
estudia la diferencia entre relacioacuten y funcioacuten Se habla de funciones reales de variable real del dominio natural de una regla de
correspondencia para ver la funcioacuten como modelacioacuten matemaacutetica a traveacutes de ejemplos Se calculan dominios de funciones
algebraicas Se veraacuten clasificaciones de algunas funciones reales de variable real en algebraicas trigonomeacutetricas trascendentes y
funciones seccionadas Se debe revisar las distintas maneras de representacioacuten de una funcioacuten y sus conversiones entre ellas (forma
verbal forma geomeacutetrica forma tabular y forma algebraica) asiacute como la interpretacioacuten de graacuteficos Se incluye en este estudio las
propiedades de los logaritmos y las exponenciales Finalmente se realizaraacuten operaciones con funciones (suma resta producto
cociente y composicioacuten) En cuanto a las praacutecticas de laboratorio para esta unidad se maneja el programa de Graphmatica por su
facilidad de manejo y su gran aporte didaacutectico para visualizar los temas descritos las primeras cinco praacutecticas del Manual de Praacutecticas
de Laboratorio para Caacutelculo Diferencial e integral corresponden a los temas vistos en esta unidad el docente deberaacute calendarizar cada
una de ellas de tal forma que los temas vistos en clase correspondan a lo que se haga en el laboratorio
EVIDENCIAS
De Producto Tareas que contienen ejercicios de praacutectica problema(s) resuelto(s) esquema(s) auxiliares
conclusiones De Desempentildeo Verificaciones parciales por medio de trabajo en clase individual y en equipo en su lugar o en
exposicioacuten ademaacutes de la parte procedimental de prueba escrita
De Actitud Cumplimiento en la entrega en tiempo y forma de evidencias orden y limpieza puntualidad y
asistencia al curso De Conocimiento Verificacioacuten por medio de la parte objetiva de la prueba escrita
Funciones y relaciones
Escriba y defina los elementos que participan en el concepto de funcioacuten
Escriba la definicioacuten de funcioacuten
Escriba la diferencia entre funcioacuten y relacioacuten
Escriba las cuatro formas de representar una funcioacuten
Determina si los siguientes diagramas representan una funcioacuten o una relacioacuten Justifica tu respuesta
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Diga un ejemplo de funcioacuten
Ejercicio Determina si cada uno de los conjuntos de pares ordenados definen una funcioacuten 1) A = (14)(23)(32)(24)(15) 2) B= (14)(23)(32)(43)(54)
Sergio Manuel
Cecilia
Berta
Pablo
Muacutesica
Teatro
Danza
Pintura
Nombre Clases que toma
2100
440
3000
Coacutencavo
1000 Convexo
Medida del
aacutengulo Tipo de aacutengulo
3 5
7
9 11
No
iquestes nuacutem primo Nuacutemero
Siacute
13
13
013
ndash 13 Natural
Entero
Racional
Irracional
Nuacutemero Tipo de num
Brasil
Italia Alemania
Argentina
Uruguay
Francia
Inglaterra
Espantildea
4
3
2
1
5
Campeonato
s de futbol Paiacutes
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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NOMBRE DEL ALUMNO
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Diga un ejemplo de funcioacuten
Ejercicio Determina si cada uno de los conjuntos de pares ordenados definen una funcioacuten 1) A = (14)(23)(32)(24)(15) 2) B= (14)(23)(32)(43)(54)
Sergio Manuel
Cecilia
Berta
Pablo
Muacutesica
Teatro
Danza
Pintura
Nombre Clases que toma
2100
440
3000
Coacutencavo
1000 Convexo
Medida del
aacutengulo Tipo de aacutengulo
3 5
7
9 11
No
iquestes nuacutem primo Nuacutemero
Siacute
13
13
013
ndash 13 Natural
Entero
Racional
Irracional
Nuacutemero Tipo de num
Brasil
Italia Alemania
Argentina
Uruguay
Francia
Inglaterra
Espantildea
4
3
2
1
5
Campeonato
s de futbol Paiacutes
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 47
4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Diga si son funciones o relaciones las siguientes graacuteficas justifique En caso de tener funciones encuentre su
dominio y su contradominio geomeacutetricamente
a) y
x hellip
b) y
x hellip
euroacc
t
10 11 12 13 14 15 16
y
2 4 6 8 10 12 x
a) y
x hellip
Evaluacioacuten de funciones
iquestQueacute es evaluar una funcioacuten
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Lea de la graacutefica el valor de la evaluacioacuten de las siguientes funciones a) y
x hellip
1 f(-4)=
2 f(0)=
3 f(1)=
4 f(-3) =
5 f(-7)=
6 f(-5)=
7 f(2) =
8 f(4)
a) y
x hellip
1 f(-5)
2 f(-3)
3 f(-1)
4 f(0)
5 f(1)
6 f(3)
7 f(1)
8 f(-2)
9 f(4)
10 f(-7)
Sea f(x) = 3x + 5 halla
f(2)
f(x + h)
f (-1)
Si 22 3 4f x x x encuentra
0f
2f 2f
f x
1f x 2 f x
1 2f 2f x
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Si
2 4
3 1
xf x
x x encuentra
0f
2 |f 2f
5f
3f 2 1f
Encuentra f x h y f x h f x
h
donde 0h
2f x x x 1
xf x
x
Si 1
1
f x
x encuentra y simplifica
0f 2f f
5f
3f 2 1f
Si a y h son nuacutemeros reales positivos y
1
1f x
x
encuentra y simplifica
f a
f a
f a
f a f h
f a h
f a h f a
h
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Si
2 si x 2
f(x) x si -2 x 1
-x si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
0 f
5 f 1 f
2 f
5 f 10 f
Si 2
-5 si x 2
f(x) 3x+2 si -2 x 1
-x +3 si 1 x
encuentra y simplifica el valor buscado
4 f
2 f 21 f
19f
1 f
Evaluar 1 f(0) =
2 f(2) =
3 f(7) =
4 f(-3) =
5 f(-2) =
6 f(-10) =
7 f(10) =
8 f(4) =
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Nombre ____________________________________________________________________ Grupo _______________________________ Evaluacioacuten raacutepida en 10 minutos debe contestar las preguntas siguientes al finalizar arranque la paacutegina y entregue al profesor Determina cuaacuteles graacuteficas representan funciones en ese caso parea su dominio y recorrido
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Funcioacuten o relacioacuten
Dominio
Contradominio
Considera la funcioacuten g a continuacioacuten y halla
g(-5) = ____________________
g(-3) = ____________________
g(-1) = ____________________
g(1) = ____________________
g(3) = ____________________
dominio de g ________________
recorrido de g _______________
Evaluacutea la funcioacuten definida por partes con los valores que se indican a continuacioacuten
1 f(-4) = ____________
2 f(-3) = ____________
3 f(0) = _____________
4 f(35) = ____________
5 f(1) = ____________
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 39
Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 43
9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 64
11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 67
5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Dominio y contradominio algebraico
De una diagrama de la clasificacioacuten de la funciones Halla el dominio y el recorrido en caso de ser funcioacuten 1) (-3 1) (4 2) (3 6) (5 6) 2)
x y
-5 1
-1 1
1 1
5 1
3) (-3 1) (4 3) (4 6) (5 1) 3)
X y
-5 3
-1 2
-1 0
5 1
Clasifique la funcioacuten y calcule el dominio de las funciones
1 23xf(x)
2 5xxi(x) 2
3 62x5xj(x) 24
4 4x
3-xg(x)
5 2x x
g( x )x 1
6 2x-2
3h(x)
7
6
3x1f(x)
8
5)3)(xx(x
3f(x)
9 3
f ( x )10 x 3xsup2 3
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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10 3x 5f ( x )
2x xsup2 - 3
11 23x 5
f ( x )2x xsup2
12 x 5f ( x )
xsup2 - 3
13 14 15
16 12xg(x)
17
3 2xi(x) 18
3xi(x) 2
19 20 21
22 23 24
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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25 26 27
28 29 30
31 2x 7
f(x)(x 3) x 3
32 x
xy
1 b)
33 9
1 a)
2
xy
34 2 b) xy 35
2
2 a)
x
xy
36 13 b) xy
37 23
1 a)
xxy
38 1 b) 2 xy 39 21g x x
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Evaluacioacuten raacutepida de dominio algebraico (se hace en clase)
El conjunto de valores que toma la variable x en una funcioacuten se le denomina A) valores de x B) Dominio C) Codominio D) Rango
Es el conjunto de valores que toma la variable y en una funcioacuten A) Funcioacuten B) valores de y C) Dominio D) Rango
La siguiente expresioacuten f(x) = -3x+5 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) exponencial C) cuadraacutetica D) logariacutetmica
La siguiente expresioacuten f(x) = sen (x) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) lineal B) trigonomeacutetrica C) exponencial D) cuadraacutetica
La siguiente expresioacuten f(x) = log x2 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) logariacutetmica D) trigonomeacutetrica
La siguiente expresioacuten f(x) = -(x-2)2+4 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) cuacutebica B) trigonomeacutetrica C) cuadraacutetica D) lineal
La siguiente expresioacuten f(x) = x(x+5) iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) irracional B) racional C) lineal D) No es funcioacuten
La siguiente expresioacuten f(x) = (2x-3)12 iquestQueacute tipo de funcioacuten es A) exponencial B) cuadraacutetica C) irracional D) racional
Es el dominio de una funcioacuten lineal A) Reales B) [-infinito a infinito] C) Enteros positivos D) Enteros negativos
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = log3 (x-4) A) (-infinito4) B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-1)(x2+3x+2) A) [12] B) No se puede saber C) Reales - -2-1 D) [-2-1]
iquestCuaacutel es el dominio de la funcioacuten f(x) = (x-4)12 A) (-infinito4] B) Los nuacutemeros positivos C) Reales - 4 D) [4infinito)
Ejercicio Determina el dominio de las siguientes funciones (10 minutos)
1 21
2)( xxf
2 ( ) 2f x x 3 2
( ) 2f x x
4 31
2)( xxf
5 1
2( ) 2f x x
6 12)(
xxf
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Graacutefica de una funcioacuten Asocia a cada graacutefica su ecuacioacuten
1 53 a) xy 2 22 b) xy 3
xy3
5 c)
424 d) xy
5 4
3a)
2xy
6 4
3 b)
xy
7 22c) 2 xy 8 22d) xy
I II III IV
V VI VII VIII Halla la expresioacuten analiacutetica de las siguientes graacuteficas y encuentra su dominio y su contradominio
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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3210-1
15
1
05
0
-0 5
x
y
x
y
b) y
x hellip
b) y
x hellip
Use papel cuadriculado y representa las funciones definidas a trozos y encuentra su dominio y contradominio
1 0 0
1 0
si tH t
si t
2
0
1 0
x si xf x
x si x
3
1si2
1si122 xx
xxy
4
5
6
7
1si21
1si2
xx
xxy
8
2si3
2si12
x
xxy
9
x1 si x-
1x2- si x
2x si 2
f(x)
10
x0 si 3
0x3- si 1x-
3x si 1x
f(x)
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 43
9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 44
1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 46
22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 47
4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Modelo de funciones
1 Un granjero desea cercar un terreno rectangular y dispone de 480m de alambrado Determina el aacuterea A del terreno en
funcioacuten del ancho x Diga el dominio de esta funcioacuten 1 El periacutemetro de un rectaacutengulo es de 30 cm Obteacuten la funcioacuten que nos deacute el aacuterea del rectaacutengulo en funcioacuten de la
longitud de la base Encuentre su dominio 2 El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefoacutenica es de 012 euros Si hablamos durante 5 minutos
la llamada nos cuesta 087 euros en total Halla la funcioacuten que nos da el precio total de la llamada seguacuten los minutos que estemos hablando
3 Un rectaacutengulo tiene un periacutemetro de 20 m Exprese el aacuterea del rectaacutengulo como funcioacuten de la longitud de uno de
sus lados
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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4 Una caja rectangular abierta con volumen de 32 m tiene una base cuadrada Exprese el aacuterea superficial de la caja
como funcioacuten de la longitud de uno de los lados de la base
5 Una ventana normada tiene la forma de un rectaacutengulo coronado por un semiciacuterculo Si el periacutemetro de la ventana es
de 30 pies Exprese el aacuterea A de ella como funcioacuten de ancho 2x x r de la misma
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 46
22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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6 Debe construirse una caja con su parte superior abierta a partir de un trozo rectangular de cartoacuten que tiene las
dimensiones de 12 pulg por 20 pulg recortando cuadrados iguales de lado x en cada una de las esquinas y a
continuacioacuten doblando Exprese el volumen V de la caja como funcioacuten de x
7 Un fabricante de cajas de cartoacuten desea hacer cajas abiertas de piezas de cartoacuten de 12 pulgadas por 12 pulgadas cortando cuadrados iguales en las cuatro esquinas y doblando los lados Encontrar la longitud del lado del cuadrado que se debe cortar para obtener una caja cuyo volumen sea el mayor posible
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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10 Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 200 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Grafique y encuentre su dominio y contradominio 11- El duentildeo de un supermercado solicita a una empresa de telefoniacutea celular cotizaciones sobre sus planes La empresa enviacutea la
siguiente informacioacuten
El duentildeo al leer inicialmente la cotizacioacuten no pudo establecer cual plan le ofrece las mejores posibilidades Analice los planes
modelaacutendolos cada uno como funcioacuten lineal y luego establezca un criterio de decisioacuten
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Operaciones con funciones Encuentre el resultado de efectuar la operacioacuten indicada
1 Si f(x) = 7x ndash 4 y g(x) = x + 9 encontrar
(a) (f+g)(x) (b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
2 Si f(x) = 5
2
x
x y g(x) = x2 + 4 encontrar
(a) (f ndash g)(x) (b) (g f)(x)
(c) g2(x) (d) (f g)(x)
3 Si g(x) = 4 y h(x) = x-8 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
4 Si v(x) = 2x2 ndash 3x +2 y w(x) = 5x +1 encontrar
(a) (v+w) (x) (b) (vw) (x) (c) (vw) (x) (d) (v w) (x)
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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5 Si f(x) = 4
10x y g(x) = 4x ndash 5 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(x) (c) (fg)(x) (d) (f g)(x)
6 Si f(x) = 23 y g(x) = x-9 encontrar
(a) (f+g)(x)
(b) (fg)(9) (c) (fg)(9) (d) (f g)(-6)
7 Si h(x) = 6x y g(x) = 7x ndash 2 encontrar
(a) (h ndash g)(x) (b) (g h)(x) (c) (h h) (x) (d) (h g)(x)
8 Dadas las funciones Calcular
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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9 Dadas las funciones calcular
10 Escriba la funcioacuten v(x) = 4x como la composicioacuten de dos funciones
11 Escriba la funcioacuten w(x) = x2 + 4x + 4 como la composicioacuten de dos funciones
12 Escriba la funcioacuten 5
9F x x como la composicioacuten de dos funciones
13 Escriba la funcioacuten 4 3p x x como la composicioacuten de dos funciones
14 Escriba la funcioacuten 6
6
xy
x
como la composicioacuten de dos funciones
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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15 Escriba la funcioacuten h(x) 5 x 5 como la composicioacuten de dos funciones
16-
17-
18-
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Evaluacioacuten raacutepida de operaciones con funciones
y
iquestQueacute es
A)
B)
C)
D)
Encontrar
A) B)
C) D)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula f(x)g(x)
A) (x-5)
B) No se puede
C) 1(x+2)
D) 1(x-5)
Si f(x) = x+2 g(x) = x2-3x-10 Calcula g(f(x))
A) x2-x+12
B) x2-x-12
C) x2+x+12
D) x2+x-12
Sea f(x) =5x2 + 6 y g(x) =2x-5 determina la composicioacuten (gf)(x)
A) 10x2 +7
B) 20x2-100x-31
C) 10x2-7
D) 20x2-100x+31
E) 20x2+100x+31
Una piscina es llenada por una manguera en forma constante de modo que la altura alcanzada por el agua
aumenta 20 cm por cada hora que transcurre Si inicialmente el agua que habiacutea en la piscina llegaba a una altura
de 12 m iquestcuaacutel es la ecuacioacuten de la funcioacuten que determina la altura (h) del agua despueacutes de t horas Realice la
graacutefica de la funcioacuten iquestCuaacutento tiempo tardaraacute en llenarse la piscina a una altura de 5 metros
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 64
11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Funciones logariacutetmicas y exponenciales Escriba la definicioacuten de la funcioacuten exponencial El
dominio y su contradominio
Escriba la definicioacuten de la funcioacuten logaritmo El
dominio y su contradominio
Escribe las propiedades de los logaritmos y de la exponencial
iquestQueacute relacioacuten existe entre la funcioacuten exponencial y la funcioacuten logariacutetmica
Calcula el valor de x aplicando la definicioacuten de logaritmo y las propiedades del mismo
1 ) log 2 8 2 ) log 3 9 3 ) log 4 2
4 ) log 27 3 5 ) log 5 02 6 ) log 2 025
7 ) log 05 16 = 8 ) log 01 100 9 ) log 3 27 + log 3 81
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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10 ) log 5 25 log 5 5 11 ) log 4 64 + log 8 64 12 ) log 01 log 001
13 ) log 5 + log 20 14 ) log 2 log 02 15 ) log 32 log 2
16 ) log 3 log 81 = 17 ) log 2 3 log 3 4 18 ) log 9 25 log 3 5
Determinar el valor de x
log 4 64 = ( 2 x 1 ) 3
log 2 16 = x 3 2
log 2 x = 3 log 7 x = 3
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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19 20
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23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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log 6 [ 4 ( x 1 ) ] = 2 log 8 [ 2 ( x 3 + 5 ) ] = 2
log x 125 = 3 log x 25 = 2
log 2 x + 3 81 = 2 log 4x = 3log 2 + 4log 3
log (2x-4) = 2 4log (3 - 2x) = -1
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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NOMBRE DEL ALUMNO
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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log (x + 1) + log x = log (x + 9) ) log (x + 3) = log 2 - log (x + 2)
og (x2 + 15) = log (x + 3) + log x 2log (x + 5) = log (x + 7)
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
322 x
81
13
x 164
x
2
12
x 432
x 3437 x
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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12
2
14
x
x
412
2512
5
xx
1831
3 xx
Diga si es Verdadero o falso Justifique
log 2 + log 3 = log 5
log 2 + log 3 =log 6 log 15 ndash log 5 = log 10
log 15 ndash log 5 = log 3
log 23 = (log 2)3 log 23 = 3 log 2
Calcule el dominio de
F(x) = log (2x-4)
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 43
9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 64
11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 67
5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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log (3 - 2x)
2log)(
xxg
4log)( xxh
xxp log)(
12log x
1
1log)(
xxt
Aplicaciones de logaritmos y exponenciales
Resolver la tercera parte de los siguientes ejercicios de al menos dos asignaturas diferentes
Obligatorio Sin usar calculadora cientiacutefica y si logpA = 317 y logpB2 = 286 encuentre
(a) logpB
(b)
A
Bp
3
log
Arqueologiacutea La variacioacuten de la masa de cierta cantidad de carbono ndash 14 a traveacutes del tiempo puede calcularse
aproximadamente aplicando la siguiente funcioacuten M(t) =0 0886tM donde Mo ( en gramos) es la masa
inicial t ( en miles de antildeos) es el tiempo transcurrido y M ( en gramos) es la masa de carbono 14 que
queda como consecuencia de la desintegracioacuten radiactiva
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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1 Se encontroacute un foacutesil con 100 g de carbono ndash 14 y se sabe que cuando estaba vivo conteniacutea 200 g de
carbono ndash 14 iquestCuaacutentos antildeos de antiguumledad tiene (57 antildeos)
Matemaacutetica financiera
En un problema de matemaacutetica financiera ( intereacutes compuesto) se utiliza la foacutermula
M = Monto o capital final
C = capital inicial
i = tasa de intereacutes (1 )nM C i
n = tiempo o plazo
2 Una persona deposita en un banco $ 2000000 al 12 anual de intereacutes iquestEn queacute tiempo su capital
seraacute $ 2500000 (2 antildeos)
3 Depositamos en una cuenta durante tres antildeos una suma de $ 8000 al finalizar los 3 antildeos la suma de
dinero se ha convertido en $ 9261 halle la tasa de intereacutes anual si el problema es de intereacutes
compuesto
Estadiacutestica
4 La poblacioacuten de un paiacutes dentro de t antildeos estaacute dada por la relacioacuten 3
2
32)(
t
tP millones de habitantes
iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que la poblacioacuten del paiacutes sea 162 millones de habitantes
5 Un grupo de 10 leopardos fueron introducidos en una reserva Despueacutes de t antildeos el nuacutemero de
leopardos N estaacute modelado por N = 10e 04t
(a) iquestCuaacutentos leopardos hay despueacutes de dos antildeos
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de leopardos sea de 100
6 Una poblacioacuten de mariposas crece a razoacuten de 7 por mes Inicialmente hay 500 mariposas Su
crecimiento estaacute modelado por M(t) = Ke at
(a) encuentre el tamantildeo de la poblacioacuten despueacutes de 3 meses
(b) iquestCuaacutento tiempo tomaraacute para que el nuacutemero de mariposas sea de 1000
7 Una poblacioacuten de conejos aumenta anualmente en un 50 Si en el momento inicial hay 100 conejos Su
crecimiento estaacute modelado por C(t) = Ke at a) iquestCuaacutentos habraacute dentro de 8 antildeos
b) iquestCuaacutento tiempo debe transcurrir para que su nuacutemero sea de 30000 [sol] a) 2562 b) 1407 antildeos
8 Una poblacioacuten de bacterias crece de tal modo que en el tiempo n su tamantildeo viene dado por P(n) =
2500An Se sabe que P(12) = 7500
(a) Halle el tamantildeo de la poblacioacuten inicial P(0)
(b) Halle A aproximando con tres decimales
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Quiacutemica
La relacioacuten que permite calcular el pH de una concentracioacuten acuosa es pH = -log[H ]
Utilizando esta foacutermula calcular
9) Determinar el pH aproximado de la sangre si tiene 810983 H
10) Si el huevo tiene un pH = 779 determinar H
11) La lluvia maacutes aacutecida que se ha medido ocurrioacute en escocia en 1974 su pH era 24 determina la
concentracioacuten de iones de hidroacutegeno
Fiacutesica
La siguiente foacutermula calcula la intensidad del sonido en decibeles dbID 1210log10 donde
D decibeles I intensidad del sonido
Utilizando esta foacutermula resolver
12) El traacutefico de una calle concurrida de la capital provoca una intensidad de sonido de 510 wattsm2 calcular
la cantidad de decibeles que ocasiona este ruido
13) Calcular los decibeles que produce un televisor que tiene una intensidad de 1053 25 mw
14) calcular la intensidad de un sonido que tiene un nivel de 72 decibeles
15) La siguiente foacutermula calcula la cantidad de energiacutea liberada por un sismo en la escala de Richter
81151log RE donde
E energiacutea liberada medida en ergios R magnitud del sismo en grados de la escala de Richter
Utilizando esta foacutermula calcular
16) El terremoto ocurrido el 27 de Abril de 2007 en el fiordo de Ayseacuten fue de 63 grados Richter iquestCuaacutenta
energiacutea se liberoacute por este sismo
17) Determinar la energiacutea liberada por un sismo de 43 grados en la escala de Richter
18) Calcular la intensidad en la escala de Richter del terremoto de Chillaacuten ocurrido en 1939 sabiendo que
liberoacute una energiacutea de 16100797
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
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23 24
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 42
Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 43
9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 44
1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 46
22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 70
1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Evaluacioacuten de logaritmos y exponenciales
x
Consideren la funcioacuten 2
1log 2
2y x
Tiene
como dominio al intervalo
4
1)
0)
4
1)
)
IV
III
II
I
f(x) = x3
La solucioacuten de la ecuacioacuten 12 8x es
1)
2)
1)
2)
xIV
xIII
xII
xI
Al simplificar 3 3log 40 log 25 se obtiene
A) 1log
B) 10log
C) 100log D) 0001log
Si 38log n y 1log 5 k entonces nk es
A) 004
B) 002
C) 04
D) 25
E) 52
F) 00010log
Siacute 2 2log (7 1) log (3 5) 1x x iquestcuaacutento vale
x
A) 057
B) 47
C) 111
D) 11
E) Otro valor
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Unidad III Liacutemites y continuidad
PROPOacuteSITO Al finalizar la unidad el alumno debe conocer el concepto baacutesico de liacutemite identificar los diferentes tipos de liacutemite y a determinar el liacutemite de una funcioacuten y su continuidad
Este tema inicia con el concepto intuitivo de continuidad como una funcioacuten cuya graacutefica ldquono se romperdquo Se considera que el
concepto de liacutemite es auacuten muy abstracto para el bachiller por lo que se abordaraacute problematizando a traveacutes de los casos de
discontinuidad en una funcioacuten a saber discontinuidad evitable discontinuidad de salto y discontinuidad al infinito
La discontinuidad evitable se sugiere analizarla tanto graacutefica como analiacuteticamente aquiacute se calculan los liacutemites donde la funcioacuten no
estaacute definida a traveacutes de la factorizacioacuten o la racionalizacioacuten
La discontinuidad de salto puede problematizarse con problemas como el costo de un estacionamiento la funcioacuten Heaviside etc
Especiacuteficamente calcular los liacutemites por aproximacioacuten introduciendo el concepto de liacutemites laterales
La discontinuidad al infinito se analizaraacute baacutesicamente de forma graacutefica relacionando la existencia de asiacutentotas verticales y
horizontales
xflimax
oacute axflimx
El uso del laboratorio permitiraacute en este tema proporcionar al alumno una visioacuten maacutes general sobre le lectura de graacuteficas
y la interpretacioacuten del concepto de liacutemites el hecho de que los estudiantes sean capaces de interpretar las graacuteficas es
una de las competencias que se buscan dentro de este curso se recomienda el uso del programa Graphmatica para
llevar a buen teacutermino estos temas
Liacutemites geomeacutetricos
Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para x tendiendo a 2
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten (intuitivamente) clasifiacutequela
a)
b)
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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c)
d)
Dada la funcioacuten f R R f(x) grafique determine el dominio el contradominio y las discontinuidades
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Para cada una de las siguientes graacuteficas de funciones determine si existe o no el liacutemite para los valores ldquorarosrdquo
Justifique la respuesta En caso de existir halle el valor Calcule el dominio el contradominio y la continuidad
de la funcioacuten clasifiacutequela
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Liacutemites numeacutericos Estimar el liacutemite en forma numeacuterica utilice los liacutemites unilaterales
501
121
x
xliacutemx
2
2
0
39
t
tliacutemt
Calcule los liacutemites unilaterales utilizando tablas
1
1
1x
liacutemx
3 1x
xliacutem
x
2 2x
xliacutem
x
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Ejercicios geomeacutetrico de liacutemites
_______ 1 1 A Continuidad
_______ 2 2 B Discontinuidad de salto infinito
_______ 3 menos infinito C Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
_______ 4 No existe D No es nada
_______ 5 No tiene E Dominio
_______ 6 R--20 F Discontinuidad evitable
_______ 7 R--2 G Liacutemite cuando x tiende a 0
_______ 8 R-0 H Discontinuidad de salto finito
_______ 9 x=-2 I Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
_______ 10 x=0 J Liacutemite cuando x tiende a cero por la izquierda
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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__ 1 -4 A La funcioacuten presenta una discontinuidad de
__ 2 2 B Liacutemite cuando x tiende a maacutes infinito
__ 3 Falso C Dominio y Continuidad son iguales
__ 4 maacutes infinito D Discontinuidad de salto infinito
__ 5 No existe E No es nada
__ 6 No tiene F Liacutemite cuando x tiende a menos infinito
__ 7 R-03 G Discontinuidad evitable
__ 8 Verdadero H Discontinuidad de salto finito
__ 9 x=0 I Liacutemite cuando x tiende a tres por la derecha
__ 10 x=3 J Liacutemite cuando x tiende a 0
__ 1 (-40) A Liacutemite cuando x tiende a menos 1 por la derecha
__ 2 0 B Dominio y Continuidad no son iguales
__ 3 1 C Liacutemite cuando x tiende a -4
__ 4 2 D Discontinuidad de salto finito
__ 5 Falso E Discontinuidad evitable
__ 6 No existe F Liacutemite cuando x tiende a -2
__ 7 No tiene G Punto de corte con el eje y
__ 8 Verdadero H La funcioacuten presenta dos discontinuidades evitables
__ 9 x=-4 I Liacutemite cuando x tiende a 3
__ 10 x=3 J Punto de corte con el eje x
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 62
Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Liacutemites algebraicos Calcule el valor de los siguientes liacutemites
1 23
x 4
x 5x 1lim
x 3
2
3
4
x 2
x 2lim
x 3x
3
2
2
x 1
x 3x 1lim
x 2
5
2
23
2lim
1x
x x
x
6
2 24
1 1lim
2 3x
x x
x x
7 2
3
9lim
3x
x
x
8 9 2
21
1 2lim
3 2x
x x
x x
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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9a 3 2-
2
x 0
x xlim
5x 3x 9 b
2
2
x 2
x 3x 10lim
2x 2x 4
9c
2
2
x 3
x 3xlim
x 6 x 9
9 d)
15 16 17
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1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 44
1 2 3
4 5 6
7 1
5634
23
1
xxx
xxxlimx
8 9157
93523
23
3
xxx
xxxlimx
9 2114
2223
34
2
xxx
xxxlimx
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 45
10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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10 234
234
2 44
4454
xxx
xxxxlimx
11
122
38634
24
1
xxx
xxxlimx
12 4
3
3 3
1
x
xlimx
13 25
5lim
25x
x
x
14 lim
x
xx
3
6 3
3 15
210
1 7lim
8 20x
x x
x x
16
1
2
1
1 lim
21 xxx
17
18 cos lim2x
19 limx 5 5
x - 5
x 2 20
23
2
5 5
54lim
xx
xx
x
21
8
16lim
3
4
0
x
x
x
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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22 4
2lim
22
x
x
x 23
2
4lim
2
2
x
x
x 24 lim
xx
1
1
1
x
25 1
x 1lim
1 2x x
26 lim
x
xx
2
2 2
2 27 lim
x
xx
4
5 1
4
Limites en los que interviene el infinito
1 2
n 2
2n 3n 5liacutem
3n 5n 6
2
3
n 3 2
5n 7n 12liacutem
8n 6n 3n 2
3 3 2
n 3
4n 5n 2n 3liacutem
7n 3n 8
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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4 2
n 3 2
6n 7n 10liacutem
5n 2n 4n 5
5
4 2
n 4 3
3n 5n 4n 2liacutem
7n 6n 2n 4
6 3 2
n 2 3
2n 6n 5n 4liacutem
1 2n 3n 5n
7
2
n
n 3liacutem
n 1 n 2
8 2
nliacutem n 4 n
9 2
nliacutem n 9 n
La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la funcioacuten 2
2
12t 3t 1f x
t 9t 10
donde t
expresa los antildeos transcurridos desde su plantacioacuten
a) iquestQueacute altura media tienen los pinos al cabo de 5 antildeos
b) iquestA cuaacutento tiende la altura media de estos aacuterboles con el paso del tiempo
Encuentra la graacutefica de las siguientes funciones use asiacutentotas horizontales y verticales
a) b)
1
3
xf x
x
c)
d) e) 21
xf x
x
f)
103
8232
2
xx
xxxf
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
Evaluacioacuten raacutepida de liacutemites Considera la graacutefica de la funcioacuten f(x) a continuacioacuten y determina los liacutemites indicados
1 64
64
8x
xlim
x
2 2
23
9
5 6t
tlim
t t
3 2
2
5 3 1
2 4 5x
x xlim
x x
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Continuidad
1) Observe la siguiente graacutefica responda y analice su continuidad
a) f(- 4)
c) e) f(2)
g)
b)
d)
f)
h)
Conclusioacuten 2) Estudie la continuidad de la funcioacuten Si presenta discontinuidades indique de queacute tipo y en queacute puntos
3) a) Halle el valor de k de modo que la funcioacuten f(t) = resulte continua
b) Halle el valor de a de modo que la funcioacuten f(x) = resulte continua
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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4) Dada la funcioacuten f (x)= grafiacutequela y analice su continuidad PROBLEMAS DE APLICACIOacuteN (Opcionales) 1) Una faacutebrica es capaz de producir 1500 unidades en cada turno de ocho horas Por cada turno trabajado hay un costo fijo de $ 2000 (luz calefaccioacuten impuestos etc) El costo variable por unidad es de $ 2 a) Escriba la ley que determina el costo de fabricar x unidades en cada turno b) Analice su continuidad 2) El costo de transportar una casa moacutevil depende de la distancia x en kiloacutemetros que se transporta la casa Sea c(x) el costo de mover una casa x kiloacutemetros Una empresa cobra
Costo por km (en $) Distancia (en km)
2 si 0 lt x lt=150
150 si 150 lt x lt= 400
125 si x gt 400
a) Escriba analiacuteticamente la funcioacuten costo b) Grafique c) Calcule c(130) y c(400) e interprete los resultados d) iquestPara queacute valores de x es discontinua
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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3) La poblacioacuten (en miles) de una colonia de bacterias t minutos despueacutes de introducir una toxina estaacute dada por f (t) =
a) iquestCuaacutel es la poblacioacuten a los tres minutos de ser introducida la toxina b) iquestY a los ocho minutos c) iquestEn queacute momento moriraacute la colonia d) Grafique e) Estudie la continuidad 4) Para niveles de produccioacuten menores o iguales a 1000 unidades la funcioacuten costo de una compantildeiacutea es c(x) = 5000 + 8x donde x es el nivel de produccioacuten Para niveles mayores a 1000 unidades se debe abrir una nueva liacutenea de montaje y la funcioacuten costo es c(x) = 9000 + 6x a) Escriba la ley que define a la funcioacuten b) Halle el costo de fabricar 800 unidades y 1500 unidades c) Analice su continuidad
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Ejercicios extras Un punto en el examen parcial
1) Analice la continuidad de las siguientes funciones Si resultan discontinuas establezca el tipo de
discontinuidad y si es posible redefiacutenalas para que resulten continuas
a) b) c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
3) Analice la continuidad de las siguientes funciones trazando sus graacuteficas
a) b) c) d)
4) Halle el valor de k para que resulten continuas las siguientes funciones
a) b)
c) d)
5) Determine el valor de las constantes a y b para que las siguientes funciones resulten continuas
a) b) c)
6) Analice la continuidad de las siguientes funciones dadas sus graacuteficas En caso de que existan puntos de discontinuidad indiacutequelos
a)
b)
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Unidad IV La derivada y sus aplicaciones
PROPOacuteSITO Usar la derivada para resolver problemas de graacuteficas de funciones problemas de maacuteximos y miacutenimos familias de curvas y problemas de optimizacioacuten en varios contextos
Para la presentacioacuten del concepto de derivada se sugiere ligar el problema fiacutesico de la velocidad y el problema
geomeacutetrico de la recta tangente a la graacutefica de una funcioacuten en un punto con el liacutemite que define a la derivada y
con la nocioacuten de razoacuten instantaacutenea de cambio de una funcioacuten exhibiendo su aplicabilidad en la fiacutesica la
economiacutea la biologiacutea y otras disciplinas
Se busca que el estudiante encuentre las primeras reglas de derivacioacuten que conozca la regla de la cadena
derivadas sucesivas asiacute como obtenga la derivada de relaciones y funciones algebraicas Se sugiere la
investigacioacuten de las caracteriacutesticas de una funcioacuten con respecto a su caraacutecter creciente decreciente
concavidades extremos y puntos de inflexioacuten empleando las herramientas que proporcionan las derivadas tales
como el criterio de la primera y de la segunda derivadaSe recomienda que los estudiantes apliquen los
conocimientos anteriores en la optimizacioacuten de procesos a fin de determinar el maacuteximo beneficio el miacutenimo
costo la mayor cantidad de producto etc en problemas aplicados a sus aacutereas de intereacutes
En esta unidad se debe aprovechar al maacuteximo las virtudes que los programas computacionales nos brindan
Gracias a estos paquetes podemos mostrar al alumno la parte geomeacutetrica y simplificar las operaciones
algebraicas teniendo cuidado de no abusar del laboratorio de matemaacuteticas las praacutecticas a realizar son de la 7 a
la 11 y esto serviraacute para dejar bases estructuradas para el estudio de estos objetos matemaacuteticos en sus cursos
posteriores
Definicioacuten de la derivada Escribe la definicioacuten de derivada
Escriba la interpretacioacuten geomeacutetrica de la primer derivada Mencione la interpretacioacuten fiacutesica
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Calcula mediante la definicioacuten de derivada la derivada de las funciones en los puntos que se indican
f(x) = 3x2 en x = 2
f(x) = x2 + 4x minus 5 en x = 1
en x = -5
en x = 2
en x = 3 en x = 2
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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En cada graacutefica determinar los puntos donde la funcioacuten no es derivable Explicar por queacute Interpretar su
dominio y su contradominio
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Derivadas por formulas Enuncie la regla de derivacioacuten para constantes y la regla de la potencia Enuncie las leyes de los exponentes
pueden ser uacutetiles en este apartado
Deriva las siguientes funciones
1 2
3 4
5 6 7
8
9 10 11
12
13 14 15 16
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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17 18 19 20
21
22 23
24 25 26
27 28 29
30
323 33
23)( xxxxxf
31 3
24 632
2
3
4)(
xx
xxxf
32 3 22
31)(
xxxxxxxf
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Enuncie la derivada del producto de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 f x a x a x 6 2 5 2 1f x x x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia
1 punto extra en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de 1f x x x
a) 2 1x b) 3x c) 2 1x d) 1x
2 Encuentra la derivada de 2 3f x x x
a) 24 6x b) 22 6x c) 4 6x d) 4 3x
3 Encuentra la derivada de 4 3f x x x
a) 2 1x b) 2 1x c) 2 1x d) 2 1x
4 Encuentra la derivada de 3 1 2 4f x x x
a) 6 4x b) 6 12x c) 12 12x d) 12 18x
5 Encuentra la derivada de 5 2 3 7g x x x
a) 30 5x b) 30 5x c) 30 5x d) 30 5x
6 Encuentra la derivada de 2 2 4 6 1f x x x
a) 48 52x b) 48 44x c) 48 52x d) 48 44x
7 Encuentra la derivada de 3 3 1 2 2h x x x
a) 30 12x b) 30 12x c) 36 12x d) 36 12x
8 Encuentra la derivada de 2 3 5g x x x x
a) 26 20 31x x b) 26 15 30x x c) 23 20 31x x d) 23 15 30x x
9 Encuentra la derivada de 3 2 5f x x x x
a) 23 20 31x x b) 23 20 31x x c) 23 20 31x x d) 23 20 31x x
10 Encuentra la derivada de 12 2 1g x x x
a) 1 12 23 1
2 22x x
b)
11
2 23 12
22
x x
c)
1
2
2x d)
1
2
2x
11 Encuentra la derivada de 2 1h x x x
a) 2x b) 23 2x x c) 22 2x x d) 23 2x
12 Encuentra la derivada de 22 1h x x x
a) 23 2 2x x b) 2 2 2x x c) 22 2x x d) 23 2 2x x
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Enuncie la derivada del cociente de dos funciones y luego apliacutequela para calcular las siguientes derivadas
1 2
3 4
5 4
2
xg x
x
6
2
1
xh x
x
7 2 3
1 3
xh x
x
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Ejercicios extras para fuera del aula Selecciona la respuesta correcta Elija el meacutetodo de su preferencia 1 punto extra
en el examen correspondiente a derivadas
1 Encuentra la derivada de g(x)= 1x
a) 1
x b)
1
x c)
2
1
x
d) 2
1
x
2 Encuentra la derivada de h(x)= 5 x
a) 3
5
x
b) 32
5
x
c) 3
5
x
d) 5
x
3 Encuentra la derivada de 2( )
1
xg x
x
a) 2
1
x
x b)
2
21x
c) 2
1
x
x
d)
2
21x
4 Encuentra la derivada de 5( )
1f x
x
a) 5
1 x b)
5
21x
c) 5
1 x
d)
5
21x
5 Encuentra la derivada de ( )2 1
xh x
x
a)
1
22 1x
b) 22 1
x
x c)
4
22 1
x
x d)
4
22 1
x
x
7 Encuentra la derivada de 2
( )3 2
xh x
x
a)
29 4
23 2
x x
x
b)
23 4
23 2
x x
x
c)
23 4
23 2
x
x
d)
29 4
23 2
x
x
8 Encuentra la derivada de 2
2 3( )
1x
xg x
a)
22 6 2
22 1
x x
x
b)
22 6 2
22 1
x x
x
c)
22 6 2
22 1
x x
x
d)
22 6 2
22 1
x x
x
9 Encuentra la derivada de 2
( )a b
g xx b
a y b son constantes
a) 2
2( )
a x
x b
b)
2
2( )
a b
x b
c)
2
2( )
a x
x b d)
2
2( )
a b
x b
10 Encuentra la derivada de 2
1
( )
x
axg x
b
a y b son constantes
a) 2 4
3a
b x
b)
4
3a
b x
c)
2 4
3a
b x d)
4
3a
bx
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 62
Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 64
11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 65
19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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NOMBRE DEL ALUMNO
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 67
5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 70
1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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NOMBRE DEL ALUMNO
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 78
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Derivadas de las funciones trigonomeacutetricas Enuncie la derivada de las funciones trigonomeacutetricas Apliacutequelas para calcular las siguientes derivadas
1 3sinf x x x 2 sinf x x x
3 sin cosy x x 4 cos 2 tany x x
5 4sec tang t t t 6 3 cosg t t t
7 tan x
yx
8 sin
1 cos
xy
x
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
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17 18
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19
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24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Regla de la cadena Escriba la regla de la cadena en palabras coloquiales
1 173 264 xxy 2 2 3
( ) ( 4 5)f x x x
3 4
5 3 1f x x 6 2
2 3y x
7 3
2 3 8f x x x 8 5
3 28 2 7g w w w w
9 2
5 34 3 2s t t t t
10
23 26 7 8 9N x x x
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 67
5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 70
1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 71
4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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11 6
2
2
1g z z
z
12
64 23 2G s s s
13
14
15
16
17 18
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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19
20
21
22
23
24
25 y = ln (3x)
26 y = ln (5x3 + 3x2 - 4)
27 f(x) = ln (x2 + 6)
28 f(x) = ln (2x2 + 4)
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 87
6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 89
10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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29 30 y = e 2x - 1
31 y = x3ex
32
Miscelaacutenea 15 punto extra en el examen correspondiente a derivadas Encuentra la derivada de
1 525163)( 34 xxxxf
2 52 8516)( xxxf
3 2
4 153)(
x
xxf
4 x
xxxf
15)(
23
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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5 )83()( 2 xsenxf
6 xxxf cos)( 2
7 xey
8 5231ln xy
9 x
senxxxf
tan)(
3
10 ))1(tan()( 2 xsenxf
11 )cos(1)53()( 2xxxxf
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Derivadas de orden superior 1 Halle todas las derivadas de orden superior para
223 234 xxxy (hasta que la derivada sea
cero)
2 Halle la tercera derivada de x
y1
4 Halle la tercera derivada de )( 2xseny
3 La segunda derivada de 525163)( 34 xxxxf
5 La segunda derivada de 2( ) cos(3 8)f x x
La tercera derivada de 2
4 153)(
x
xxf
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Aplicaciones
Rectas normales y tangentes
Describa los paso para obtener la recta tangente de una curva
1-
2 -
3-
iquestQueacute diferencia geomeacutetrica hay en una recta tangente y una recta normal iquestCuaacutel es la diferencia analiacutetica
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 75
6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 76
Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 77
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 78
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 79
Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 81
c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 87
6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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1 Encuentra la ecuacioacuten de la recta que es tangente a la curva xxxy 565 23 en x = 0
2 Si xxxf 53)( 2 encuentra la ecuacioacuten de la recta tangente a la funcioacuten en x = 2
3 2 en 63 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Halla 02 xxxy
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4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 71
4 el con corte de punto el en
1
2 curva la a tangente recta la de ecuacioacuten la Obteacuten
x
xy
eje de abscisas
5 Halla los puntos de tangente horizontal de xxxxf 156 23 6 Escribe la ecuacioacuten de la recta tangente a la curva y = x3 -2x en el punto de abscisa x = 2
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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7 Encuentra las ecuaciones de la recta normal para cada una de las siguientes funciones y en los puntos que se indican
a) f (x) = xsup2 ndash 4 en x = 0 b) f (x) = xsup2 ndash x ndash 20 en x = ndash3
c) f (x) = ndash2x3 + 2xsup2 + 3 en x = 1
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
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11 12
13 14
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Velocidad instantaacutenea y aceleracioacuten 1 Una partiacutecula se mueve en liacutenea recta y su posicioacuten estaacute dada por la funcioacuten s = f (t) = t3 ndash 6t2 + 9t donde tgt0 se
mide en segundos y s en metros
A) Calcular la velocidad de la partiacutecula en cualquier instante t y en t = 2 s
iquestCuaacutendo la partiacutecula estaacute en reposo
iquestCuaacutendo la partiacutecula se mueve hacia la derecha Calcular la distancia total recorrida durante los primeros 5s
Calcular la aceleracioacuten en cualquier instante t y despueacutes de 3 s
iquestCuaacutendo la aceleracioacuten de la partiacutecula es nula
2 Se lanza verticalmente un objeto hacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 320 piess entonces su distancia h arriba del suelo estaacute dada por h(t) = - 16t2 + 320t Encuentre la velocidad instantaacutenea y la aceleracioacuten despueacutes de tres segundos
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 87
6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 90
12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
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5 6
7
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15 16
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21 22
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 95
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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3 En un movimiento rectiliacuteneo la posicioacuten de una partiacutecula a los t segundos es 7
s f t 50tt 1
Km Encontrar
la velocidad instantaacutenea a las 2 horas
4 Un caracol baja por una pared Su posicioacuten a las t horas estaacute dada por s f t 1 02 t metros Calcular su
velocidad instantaacutenea para t = 4 h
5 Un helicoacuteptero se estaacute elevando verticalmente desde el suelo La distancia del helicoacuteptero al suelo t segundos
despueacutes del despegue es 2s f t t t metros a iquestEn queacute instante se encuentra el helicoacuteptero a 20 m
Determinar la velocidad instantaacutenea del helicoacuteptero cuando eacuteste se encuentra a 20 m
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 75
6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 76
Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 77
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 78
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 79
Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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6 El desplazamiento de un objeto a los t segundos de iniciado su movimiento estaacute dado por la ecuacioacuten
tttts 23)( 23 0t donde s se mide en metros Halla la velocidad instantaacutenea del desplazamiento durante
a) los primeros 4 segundos
b) el intervalo desde 1t
Un recordatorio para encontrar puntos criacuteticos
)x(f 0 gt0 Miacutenimo
)x(f 0 lt0 Maacuteximo
)x(f 0 =0 No se sabe
f (x0) 0 Punto de inflexioacuten
f (x0)= 0 No se sabe
La condicioacuten necesaria para que haya un punto de inflexioacuten
es que la derivada segunda sea 0
)x(f 0 gt0 estrictamente creciente
)x(f 0 lt0 estrictamente decreciente
)x(f 0 =0 No se sabe
)x(f 0 gt0 Coacutencava
)x(f 0 lt0 Convexa
)x(f 0 =0 No se sabe
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Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 90
12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
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4
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5 6
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13 14
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 93
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19 20
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 94
21 22
23 24
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 95
25 26
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 96
Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 97
Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 76
Examen raacutepido Distancia y Velocidad
Se lanza una bola directamente hacia arriba desde el borde de una roca y viaja de tal manera que despueacutes de t segundos su altura (en pies) sobre la tierra desde la base de la roca estaacute dada por la ecuacioacuten s(t) = -16t2 + 40t + 24
1 Halla la ecuacioacuten que representa la velocidad instantaacutenea v(t) de la bola en t tiempo
2 iquestCuaacutendo la bola tiene velocidad cero
3 iquestCuaacutel es la altura maacutexima que alcanza la bola
4 iquestCuaacutendo la bola toca la superficie de la tierra
5 Construye la graacutefica de s(t)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 77
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 78
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 79
Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 81
c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 84
Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 85
Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 86
4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 87
6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 88
8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 89
10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 90
12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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NOMBRE DEL ALUMNO
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15 16
17 18
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 77
Puntos criacuteticos maacuteximos y miacutenimos puntos de inflexioacuten Criterios de la primera y la segunda derivada
Investigue el criterio de la primera y la segunda derivada Enuncie como se obtiene los puntos criacuteticos de una
funcioacuten
Estudia doacutende crece y doacutende decrece la funcioacuten Encuentra sus puntos criacuteticos y clasifiacutecalos Grafica la funcioacuten
23123 xxxf
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Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 92
5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 93
15 16
17 18
19 20
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 94
21 22
23 24
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 95
25 26
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 96
Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 97
Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 78
Estudia el crecimiento y el decrecimiento de la siguiente funcioacuten 123 2 xxxf Considera la funcioacuten f (x) = 2x3 + 9x2 + 12x + 1 a) Estudia su crecimiento y halla sus maacuteximos y miacutenimos b) Estudia su curvatura y obteacuten sus puntos de inflexioacuten Encuentra la graacutefica de la ecuacioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 79
Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
xxx
xf
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 81
c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 84
Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 85
Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 86
4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 87
6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 88
8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 89
10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 90
12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 91
Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
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7
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11 12
13 14
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 93
15 16
17 18
19 20
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21 22
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 97
Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Halla los maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten de la funcioacuten f (x) = (x -2)2 (x + 1) Di doacutende es creciente decreciente coacutencava y convexa
Estudia el crecimiento y la curvatura de la siguiente funcioacuten Halla sus maacuteximos miacutenimos y puntos de inflexioacuten
1912
234
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xf
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
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235 34
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 92
5 6
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 93
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 94
21 22
23 24
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 95
25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 97
Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 80
Para cada una de las siguientes funciones encuentra utilizando los criterios de la primera y de la segunda derivada Los intervalos en donde la funcioacuten es creciente Los intervalos en donde la funcioacuten es decreciente Los puntos extremos (maacuteximos yo miacutenimos) Los puntos de inflexioacuten Los intervalos en donde la funcioacuten es coacutencava Los intervalos en donde la funcioacuten es convexa Haz una graacutefica aproximada de cada una de las siguientes funciones sin tabular
a ) f (x) = x3 + 3xsup2 ndash 4x
b ) f (x) = ndash2 x3 + 2xsup2 + 3x
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 86
4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 92
5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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15 16
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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c) f (x) = (x + 3) (x ndash 2)
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Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
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235 34
3
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
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Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
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httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 82
Estudia y representa la funcioacuten y = x3-3x2-9x+1
1 Relacione la graacutefica de cada funcioacuten dada en las figuras a)-d) con las graacuteficas de sus derivadas I-IV
Explique las razones de su eleccioacuten
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 83
Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 85
Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 86
4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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NOMBRE DEL ALUMNO
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 89
10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 91
Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 92
5 6
7
8
9 10
11 12
13 14
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 93
15 16
17 18
19 20
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21 22
23 24
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Trabajo extra Estudia las funciones polinoacutemicas y racionales que aparecen a continuacioacuten Calcula en cada una de ellas Dominio Asiacutentotas Puntos de cortes con los ejes Crecimiento y decrecimiento Maacuteximos y miacutenimos y Puntos de inflexioacuten Todo que sea de forma graacutefica Un punto extra en el examen correspondiente
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
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7
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11 12
13 14
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19 20
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21 22
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Examen raacutepido de Maacuteximos y miacutenimos
1 Halla los extremos relativos de la funcioacuten f(x) = 2x3 ndash 3x2 ndash 12x + 15 con el criterio
de la primera derivada Clasifiacutecalos Halla el punto de inflexioacuten y dibuja la graacutefica
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
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235 34
3
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5 6
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9 10
11 12
13 14
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15 16
17 18
19 20
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21 22
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25 26
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Problemas de optimizacioacuten
1) Encuentra dos nuacutemeros positivos cuya suma sea 100 y su producto sea maacuteximo 2) Encuentra dos nuacutemeros cuya suma sea 50 y tales que la suma de sus cuadrados sea miacutenima 3) Encuentra dos nuacutemeros reales positivos cuya suma sea 40 y su producto sea maacuteximo
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4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 86
4) Encuentra dos nuacutemeros cuyo producto sea 16 y cuya suma sea miacutenima 5) En una faacutebrica de conservas necesitan botes ciliacutendricos con una capacidad de un litro Calcula las dimensiones de dicho bote (radio y altura) de manera que en su construccioacuten entre la menor cantidad de material posible
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
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1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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6) Se requiere construir un rectaacutengulo con un trozo de alambre que tiene una longitud de 1 metro de manera que se forme un rectaacutengulo e la mayor aacuterea posible iquestCuaacuteles deben ser las dimensiones de los lados 7) Se quiere construir una caja cerrada que tenga una base cuadrada y una capacidad de 5000 cm3 si el costo de la base y de la tapa es de $ 600 por cada cmsup2 y el costo de los lados es de $ 200 por cada cmsup2 Determina las dimensiones que debe tener la caja para que sea construida con un costo miacutenimo
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 88
8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 89
10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 90
12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
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3
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11 12
13 14
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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NOMBRE DEL ALUMNO
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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8)
9) Un alambre de 60 cm De largo se parte en dos pedazos Con una de las partes formaraacute un ciacuterculo y con la otra se formaraacute un triangulo equilaacutetero iquestCuaacutel debe ser la longitud de cada uno de estos pedazos para que la suma de las aacutereas de las dos figuras sea maacutexima iquesty para que sea miacutenima
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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10) De una pieza cuadrada de cartoacuten se va a formar una caja abierta en su parte superior y para ello se recorta un pequentildeo cuadrado en cada una de las esquinas y posteriormente se doblan sus bordes El cartoacuten mide 40 cm Por cada lado Encuentra las dimensiones de la caja de modo que se obtenga el volumen maacuteximo 11) Un depoacutesito abierto de latoacuten con base cuadrada y capacidad para 4 000 litros iquestqueacute dimensiones debe tener para que su fabricacioacuten sea lo maacutes econoacutemica posible
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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12 Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en euro vienen dados por la funcioacuten
xxI 3600028 2 mientras que sus gastos(tambieacuten en euro) vienen dados por la funcioacuten
7000001200044)( 2 xxxG donde x representa la cantidad de unidades vendidas Determina
a) la funcioacuten que define el beneficio anual en euro
b) la cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea maacuteximo
c) el beneficio maacuteximo
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
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NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 95
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Integrales Se pretende en este tema hacer un acercamiento al Caacutelculo Integral que no se reduzca a la solucioacuten de integrales
sino que muestre al alumno que mientras el Caacutelculo Diferencial tiene por intereacutes el cambio instantaacuteneo de una
magnitud el Caacutelculo Integral se ocupa de la determinacioacuten de resultados totales de los procesos de cambio Para
ejemplificar esto es conveniente relacionar la antiderivada con el problema de determinacioacuten de una funcioacuten a
partir de su razoacuten de cambio Se daraacute la definicioacuten de la antiderivada para que con base en dicha definicioacuten se
llegue a los teoremas maacutes comunes de antiderivacioacuten
Se introduce la definicioacuten de integral definida poniendo eacutenfasis en el aspecto geomeacutetrico de las aproximaciones
al aacuterea bajo una curva Se expondraacute el Teorema Fundamental del Caacutelculo como herramienta para calcular
integrales definidas apoyaacutendose en las teacutecnicas de antiderivacioacuten
El uso del laboratorio es de gran ayuda para que los joacutevenes maduren los conceptos vistos en clase Las uacuteltimas
dos praacutecticas del manual van orientadas a esta unidad principalmente en problemas de aplicacioacuten e
interpretacioacuten del teorema fundamental del caacutelculo
Las integrales que proponemos en esta paacutegina son inmediatas o por descomposicioacuten se convierten en
inmediatas
1 2
dxx
xxxx
4
235 34
3
4
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
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d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
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Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
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a)
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a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
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httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
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1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
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3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
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En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
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Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
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Caacutelculo de aacutereas
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a)
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a)
b)
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a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
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1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
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3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
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a)
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a)
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a)
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b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
NOMBRE DEL ALUMNO
Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Integrales definidas y Aacuterea bajo la curva
Enuncie el Teorema Fundamental del Caacutelculo y luego haga uso del mismo para obtener el resultado de las siguientes integrales
Calcule las siguientes integrales definidas
a)
b)
c)
d)
e)
f)
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
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httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
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1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Caacutelculo de aacutereas
Escriba sin calcular una integral definida que indique el aacuterea de la regioacuten sombreada
a)
b)
c)
d)
En los siguientes graacuteficos determine el valor del aacuterea sombreada
a)
b)
c)
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Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
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httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 98
Grafique la regioacuten limitada por las curvas y calcule el aacuterea determinada por ambas
a) y x2 con la recta y 2x + 3
b) el eje de abscisas la recta y x + 1 y la recta x 4
c) el eje de abscisas la curva y x2 1 y la recta x 2
d) y x2 + 2x 1 con la recta y x 1
e) y2 4x con la recta y 2x 4
f) y lnx el eje de abscisas y las rectas x 2 x 10
g) y x2 con la recta y 3 2x
Bibliografiacutea
Material consultado del 15 de abril al 27 de junio del antildeo en curso
httpwwwfcaunleduarapoyohtm
httpwwwinetorcomindefinidasejercicios_integraleshtml
httpthalescicaesrdRecursosrd97Problemas54-1-p-Integralhtml
1 PURCEL Y VARBERG 1992 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Ed Prentice Hall Meacutexico
2 STEWART 1997 Caacutelculo Meacutexico Thompson Editores
3 BOSCH Carlos et al 1985 Caacutelculo Diferencial e Integral Meacutexico Publicaciones Cultural SA
4 SMITH Robert MINTON Roland 2003 Caacutelculo Vol 2 Espantildea Ed McGraw Hill Interamericana
CAacuteLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2017 ESCUELA DE BACHILLERES ndash UAQ
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Material elaborado recopilado y organizado por M en C Rita Ochoa Cruz 99
Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
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Me Encanta Dios (Jaime Sabines) Me encanta Dios es un viejo magniacutefico que no se toma en serio A eacutel le gusta jugar y juega y a veces se le pasa la mano y nos rompe una pierna o nos aplasta definitivamente Pero esto sucede porque es un poco cegatoacuten y bastante torpe con las manos Nos ha enviado a algunos tipos excepcionales como Buda o Cristo o Mahoma o mi tiacutea Chofi para que nos digan que nos portemos bien Pero esto a eacutel no le preocupa mucho nos conoce Sabe que el pez grande se traga al chico que la lagartija grande se traga a la pequentildea que el hombre de traga al hombre Y por eso inventoacute la muerte para que la vida - no tuacute ni yo ndash la vida sea para siempre Ahora los cientiacuteficos salen con su teoriacutea del Big Bang Pero iquestqueacute importa si el universo se expande interminablemente o se contrae Esto es asunto soacutelo para agencias de viajes A miacute me encanta Dios Ha puesto orden en las galaxias y distribuye bien el traacutensito en el camino de las hormigas Y es tan juguetoacuten y travieso que el otro diacutea descubriacute que ha hecho -frente al ataque de los antibioacuteticos- iexclbacterias mutantes Viejo sabio o nintildeo explorador cuando deja de jugar con sus soldaditos de plomo de carne y hueso hace campos de flores o pinta el cielo de manera increiacuteble Mueve una mano y hace el mar y mueve la otra y hace el bosque Y cuando pasa por encima de nosotros quedan las nubes pedazos de su aliento Dicen que a veces se enfurece y hace terremotos y manda tormentas caudales de fuego vientos desatados aguas alevosas castigos y desastres Pero esto es mentira Es la tierra que cambia- y se agita y crece- cuando Dios se aleja Dios siempre estaacute de buen humor Por eso es el preferido de mis padres el escogido de mis hijos el maacutes cercano de mis hermanos la mujer maacutes amada el perrito y la pulga la piedra maacutes antigua el peacutetalo maacutes tierno el aroma maacutes dulce la noche insondable el borboteo de luz el manantial que soy
A miacute me gusta a miacute me encanta Dios Que Dios bendiga a Dioshellip
