Upload
others
View
13
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Materi 3
Start
Outline
▫
▫
▫
▫
▫
▫
▫
3.1. Ukuran Pemusatan
•
•
x
•
•
= x
N x =
x n
, untuk populasi; , untuk sampel
Ukuran Pemusatan (tendency central) suatu himpunan data titik tempat dimana
nilai-nilai suatu gugus data cenderung mengelompok, menunjukkan titik tengah suatu histogram atau kurva distribusi frekuensi
•
States Populasi (ribuan)
Washington 5,136
Oregon 2,977
Alaska 587
Hawai 1,160
California 30,867 Pencilan
Mean = 5136 + 2977 + 587 + 1160 + 30867
5 = 8145.4 ribu
Mean = 5136 + 2977 + 587 + 1160
4 = 2465 ribu
•
Dimana m = midpoint (titik tengah), dan f = frekuensi untuk tiap kelas
Waktu Yg Diperlukan (menit)
Jumlah
Pekerja
0 – 10 4
10 – 20 9
20 – 30 6
30 – 40 4
40 – 50 2
• Contoh:
Tabel berikut menunjukkan distribusi frekuensi waktu (dalam menit) yang diperlukan untuk berangkat dari rumah ke tempat kerja untuk seluruh perkerja suatu pabrik yang berjumlah 25 orang.
• Pertanyaan:
Hitunglah rata-rata waktu yang diperlukan?
• Jawab:
– Tentukan ‘titik tengah’ (m) masing- masing kelas
– Hitung perkalian m dengan f (frekuensi masing-masing kelas)
= mf
N x =
mf n
, untuk rata-rata populasi , untuk rata-rata sampel
Waktu (menit) f m m.f
0 – 10 4 5 20
10 – 20 9 15 135
20 – 30 6 25 150
30 – 40 4 35 140
40 – 50 2 45 90
N=25 mf=535
– Hitung :
Jadi pekerja pabrik tersebut rata-rata berangkat dari rumah ke pabrik selama 21.40 menit
= mf
N
535
25 = = 21.40 menit
• Median adalah nilai yang terletak pada tengah suatu data dimana data tersebut telah diurutkan (di-ranking).
• Himpunan data yang telah diurutkan menurut besarnya ini dinamakan array.
Penghitungan median, terdiri 2 tahap :
– Urutkan data terlebih dulu dari terendah hingga tertinggi
– Tentukan posisi median
Dimana n adalah jumlah sampel data, dan jika data menunjukkan suatu populasi, ganti n dengan N
Jika n atau N = genap median = rata-rata dari 2 data tengah
• Jika jumlah data n = 7, maka posisi median =(7+1)/2 = 4 atau data yang ke-4
Posisi Median = n + 1
2 , untuk n ganjil
7
•
• Mode adalah nilai yang memiliki frekuensi tertinggi dalam suatu gugus data.
• Data hanya memiliki 1 modus disebut unimodal; 2 modus dengan frekuensi sama disebut bimodal; dan lebih dari 2 disebut multimodal
Median = Bm + i [ ] n/2 - fkm
fm
Dimana:
• Bm = tepi bawah kelas median
• i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)
• n = ukuran sampel data
• fkm = frekuensi kumulatif sebelum median
• fm = frekuensi pada kelas median
Penghasilan Mingguan (dolar)
Jumlah
Pekerja (f)
301 – 400 9
401 – 500 16
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 - 900 8
• Contoh:
Dari data tabel disamping, maka:
• Bm = (500+501)/2 = 500.5
• i = 100
• n = 100
• fkm = 9+16= 25
• fm = 33
Median = 500.5 + 100 [ ]
= 575.81 dolar
50 - 25
33
8
•
Mode = Bm + i [ ] d1
d1 + d2
Dimana:
• Bm = tepi bawah kelas mode
• i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)
• d1 = (frekuensi kelas mode – frekuensi
sebelum kelas mode)
• d2 = (frekuensi kelas mode – frekuensi
sesudah kelas mode)
Penghasilan Mingguan (dolar)
Jumlah
Pekerja (f)
301 – 400 9
401 – 500 16
501 – 600 33
601 – 700 20
701 – 800 14
801 - 900 6
• Contoh:
Dari data tabel disamping, maka:
• Bm = (500+501)/2 = 500.5
• i = 100
• d1 = 33 - 16 = 17
• d2 = 33 – 20 = 13
Mode = 500.5 + 100 [ ]
= 556.72 dolar
17
17 + 13
9
b. Untuk suatu histogram yang miring ke kanan, nilai mean terbesar; mode terkecil; median antara mean dan modus. Nilai mean di sini sensitif terhadap pencilan di ekor kanan (pengaruh nilai ekstrim besar : pencilan mayor)
c. Untuk suatu histogram yang miring ke kiri, nilai mean terkecil, mode terbesar;
median antara mean dan modus. Dalam hal ini pencilan disebelah kiri menarik nilai mean ke kiri (pengaruh nilai ekstrim kecil : pencilan minor)
(a) (c) (b)
10
• Rata-rata dimana tiap nilai data diberikan nilai bobot (pembobotan) yang menunjukkan bobot relatif masing-masing nilai data yang diratakan.
• Misalnya pada kasus perhitungan Indeks Prestasi, Nilai Penjualan Barang, dll
x
B x
BB
i ii
n
ii
n
1
1
Di mana
xB : rata-rata tertimbang Bi : bobot ke-i xi : data ke-i n : banyak data
Mata Kuliah Nilai Mutu
Angka Mutu (Xi)
SKS (Bi)
(Xi.Bi)
Pancasila B 3 2 6
Teori Ekonomi A 4 4 16
Bahasa Inggris C 2 3 6
Manajemen A 4 3 12
13 12 40
Indeks Prestasi = 1240
= 3.33
11
a. Rata-rata geometrik (ukur) digunakan untuk menghitung rata-rata laju pertumbuhan (growth rate), misalnya : pertumbuhan penduduk, penjualan, tingkat bunga, dll
atau G x x x xnn 1 2 3
loglog log
G = x log x x log x1 2 3 n
n
Dimana:
G : rata-rata geometrik xi : data ke-i n : banyak data
b. Contoh: Data pertumbuhan suku bunga dalam 5 hari kerja :
1.5 2.3 3.4 1.2 2.5 %
G x x x xnn 1 2 3
loglog log log
G = x log x x x log x1 2 3 4 5
5
=
15464
5
. ...
= 0.30928....
Maka,
12
log log log 1.5 log 2.3 3.4 1.2 log 2.5
5
0.176... 0.361... 0531 0 079 0 397
5
. ... . ... . ...
=
15464
5
. ...
= 0.30928....
log G =
log G =
15464
5
. ...= = 0.30928
G = antilog 0.30928
G = 2.03837
13
3.2. Ukuran Penyebaran / KERAGAMAN
•
•
•
• Simpangan baku, paling sering digunakan untuk mengukur penyebaran. Nilai simpangan baku menunjukkan seberapa dekat nilai-nilai suatu data dengan nilai rata-rata.
• Nilai simpangan baku yang kecil data menyebar dalam range lebih kecil mendekati nilai rata-rata mean, dan begitu sebaliknya.
• Nilai simpangan baku diperoleh dari akar kuadrat nilai ragam (varians)
Range = Nilai terbesar – Nilai terkecil
14
•
• •
• Contoh:
Anggap tersedia data seperti pada tabel berikut dari suatu variabel x. Tentukan ragam dan simpangan baku untuk data tersebut!
Tabel Data
Jawab :
15
•
Dimana:
m = titik tengah, f = frekuensi untuk tiap kelas
2 = ragam populasi; s2 = ragam sampel
Simpangan baku populasi: = 2
Simpangan baku sampel: s = s2
• Nilai ukuran seperti mean, median, mode, range, ragam, atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data populasi disebut parameter populasi
• Jika ukuran mean. median, mode, range, ragam, atau simpangan baku yang diturunkan dari suatu data sampel, maka disebut sebagai statistik sampel
• Sehingga:
– , dan 2 adalah parameter populasi
– x, s dan s2 adalah statistik sampel
Σm2f -
n - 1 s2 =
( Σmf )2
n Σm2f -
N σ2 =
( Σmf )2
N Σf (m – x )2
n - 1 =
16
•
•
•
s
x = w σ
= w
Dimana:
dan s = simpangan baku populasi dan sampel
dan x = rata-rata populasi dan sampel
w = koefesien varians
• Merupakan ukuran penyimpangan data dari rata-rata populasi .
• Nilai z dapat bernilai nol (0), positif (+) atau negatif (-)
z nol data bernilai sama dengan rata-rata populasi
z positif data bernilai di atas rata-rata populasi
z negatif data bernilai di bawah rata-rata populasi
zx
= simpangan baku populasi
x = nilai data
= rata-rata populasi
17
3.3. Ukuran Lokasi
•
• Untuk data yang telah dikelompokkan, maka:
Q1 = n/4 ; Q2 = n/2 = median ; Q3 = 3n/4
Q1 = Bq + i [ ] n/4 - fkq
fq
Q3 = Bq + i [ ] 3n/4 - fkq
fq
Dimana:
Bm = tepi bawah kelas kuartil
i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)
n = ukuran sampel
fq = frekuensi pada kelas kuartil
fkq = frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
• Jarak antar kuartil (Inter Quartil Range/IQR)= Q3 – Q1
18
•
Nilai < Median Nilai > Median
Q1 = 68 + 73
2 Q2 =
76 + 79
2 Q3 =
85 + 88
2
= 70.5 = 77.5 = 86.5
• Q1 = 70.5, bahwa ± 25% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 70.5
• Q2 = 77.5, bahwa ± 50% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 77.5
• Q3 = 86.5, bahwa ± 75% mahasiswa pd sampel mendapat nilai < 86.5
Dgn melihat letak nilai 88, bahwa nilai 88 termasuk dalam 25% nilai terbaik
19
•
•
•
Hitunglah nilai D7! 1.6 2.6 3.1 3.2 3.4 3.7 3.9 4.3
1.9 2.9 3.1 3.3 3.4 3.7 3.9 4.4
2.2 3.0 3.1 3.3 3.5 3.7 4.1 4.5
2.5 3.0 3.2 3.3 3.5 3.8 4.1 4.7
2.6 3.1 3.2 3.4 3.6 3.8 4.2 4.7
Jawab:
Data dibawah D7 = 7/10 x 40 = 28
D7 = (3.7+3.8)/2
= 3.75 tahun
Artinya bahwa 70% dari sampel aki mobil yang ada, memiliki umur di bawah 3.75 thn
*) Nilai D7 diperkirakan jatuh pada nilai rata-rata data ke-28 & 29 (karena D7 harus mencakup 70% data)
20
•
Dk = Bd + i [ ] nk/10 - fkd
fd
Dimana:
Bd = tepi bawah kelas desil
i = interval kelas (tepi atas - tepi bawah)
n = ukuran sampel
k = 1,2,…., 9
fd = frekuensi pada kelas desil
fkd = frekuensi kumulatif sebelum kelas desil
• Presentil yaitu nilai-nilai yg membagi sederetan data menjadi 100 bagian yg sama.
• Nilai-nilai tersebut dilambangkan dengan P1, P2, ….., P99, mempunyai sifat bahwa 1% data jatuh di bawah P1, 2% di bawah P2, ….., dan 99% jatuh di bawah P99
Pk = Nilai data ke-[kn/100] suatu data yang telah diurutkan
n = jumlah data sampel
21
•
Pk = Bp + i [ ] nk/100 - fkp
fp
Dimana:
Bp = tepi bawah kelas presentil
i = interval kelas (tepi atas – tepi bawah)
n = ukuran sampel
k = 1,2,…., 99
fp = frekuensi pada kelas presentil
fkp = frekuensi kumulatif sebelum kelas presentil
• Contoh:
Tabel
Kelas f
21– 30 7
31– 40 8
41– 50 10
51– 60 15
61– 70 25
71- 80 10
81 -90 5
f=80
Tentukan presentil ke-67 !
Jawab:
P67 = 60.5 + 10 [ ] 80.67/100 - 40
25
= 65.94
22
• Yaitu
•
•
• Contoh: Buatlah sebuah box dan whisker plot untuk data berikut yang menunjukkan
income (dalam ribuan dolar) untuk sebuah sampel yang terdiri dari 12 keluarga.
23 17 32 60 22 52 29 38 42 92 27 46
Solusi: a. Data diurutkan lebih dulu, dan hitung Q1, Q2, Q3 dan IQR
17 22 23 27 29 32 38 42 46 52 60 92
Q1= (23+27)/2 = 25 ; Q2 = (32+38)/2 = 35 ; Q3 = (46+52)/2 = 49
IQR = Q3 - Q1 = 24
1. Pencilan Biasa x > (Q3+1.5 IQR) atau x < (Q1+1.5 IQR) dan bukan Ekstrim
2. Pencilan Ekstrim x > (Q3+3 IQR) atau x < (Q1+3 IQR) dan bukan Biasa
23
b. Tentukan 2 titik masing2 berjarak (1.5 x IQR) dibawah Q1 dan diatas Q3
1.5 x IQR = 1.5 x 24 = 36
- Lower Inner Fence = Q1 – 36 = 25 – 36 = -11
- Upper Inner Fence = Q3 + 36 = 49 + 36 = 85
Tentukan pula batas Outer Fence, yaitu 3 IQR diatas Q3, dan dibawah Q1
3 x IQR = 3 x 24 = 72
- Lower Outer Fence = Q1 – 72 = 25 – 72 = -47
- Upper Outer Fence = Q3 + 72 = 49 + 72 = 121
c. Tentukan nilai min dan max dalam data yang terletak antara 2 inner fence.
- Nilai Minimum = 17
- Nilai Maksimum = 60
d. Buat diagram box dan whisker
Q1 Q2 Q3
25 35 49 -11 85 17 60 92 -47 121
Inner Fence Inner Fence Outer Fence Outer Fence
Pencilan Biasa
1.5 IQR
3 IQR
1.5 IQR
3 IQR
24
1. Hitunglah range, mean, ragam, simpangan baku, dan koefesien variasi untuk data sampel berikut:
a. 0 2 4 6 8 10
b. 0 4 5 5 6 10
c. 4 4 4 4 4 4
Σ (xi – x )2
n - 1 = s2 s
x = w
Latihan
2. Hitunglah range, mean, ragam, simpangan baku, dan koefesien variasi untuk data sampel berikut:
a. 7 3 4 1 5 6
b. 3 4 5 2 6 10
c. 1 2 3 4 5 6
Σx2 -
n - 1 = s2
(Σx)2
n
Gunakan rumus ragam dan koefisien variasi sbb:
s
x = w
Gunakan rumus ragam dan koefisien variasi sbb:
3. Diketahui suatu data sampel sebagai berikut:
50 38 56 57 48 74 41 51 52 46
51 50 60 46 41 53 65 59 42 37
50 45 52 42 47 47 63 58 49 55
a. Tentukan nilai Q1, Q2, Q3, dan IQR
b. Buatlah sebuah Box and Whisker Plot untuk data tersebut di atas, apakah
terdapat pencilan?
0856-8742185