MODUL I65BAB IHIMPUNANHIMPUNAN DAN HIMPUNAN BAGIANUraian dan contohKonsep dasar semua cabang Matematika adalah himpunan. Himpunan adalah suatu daftar, koleksi atau kelas dari obyek yang mempunyai sifat tertentu. Obyek dalam suatu himpunan dapat berupa bilangan, orang, kota dan sebagainya, yang disebut anggota himpunan tersebut. Sifat tertentu di atas cukup untuk membedakan apakah suatu obyek itu merupakan anggota himpunan tersebut atau tidak.Pada umumnya himpunan ditulis dengan huruf besar :A, B, C, X, Y, Sedangkan obyeknya ditulis dengan huruf kecil :a, b, c, x, y, Himpunan dapat disajikan dengan cara mendaftar anggota-anggotanya atau dengan cara menyatakan sifat anggota-anggotanya dan ditulis di antara tanda kurung Contoh 1: A adalah himpunan bilangan 1, 3, 5, 7 dan 9, ditulis A = Contoh 2: B adalah himpunan semua bilangan genap, ditulis B = . Perhatikan bahwa garis tegak | dibaca sedemikian hingga.Himpunan dapat berhingga atau tak berhingga. Suatu himpunan dikatakan berhingga jika banyaknya anggota berhinga. Di luar keadaan ini himpunan dikatakan tak berhingga.Contoh 3: M adalah himpunan hari-hari dalam satu minggu. Maka M adalah himpunan berhingga.Contoh 4: N = adalah himpunan tak berhingga.Definisi 1:Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B dan ditulis A=B jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B dan setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota himpunan A.Contoh 5: Misalkan A = dan B = , maka A = BDefinisi 2:Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai anggota ditulis dengan Contoh 6: Himpunan orang-orang yang berusia lebih dari 1000 tahun adalah himpunan kosong.Definisi 3:Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B dan ditulis A B jika setiap anggota himpunan A juga merupakan anggota himpunan B.Contoh 7: K = adalah himpunan bagian dari L = dan ditulis K L.Definisi 4: Dua himpunan A dan B adalah sama, yaitu A = B jika dan hanya jika A B dan B AJika A himpunan bagian dari B, maka dapat ditulis juga B A, dan dibaca B memuat A.Selanjutnya ditulis A B, jika A bukan himpunan bagian dari B.Catatan.Himpunan adalah himpunan bagian dari setiap himpunan.Jika A bukan himpunan bagian dari B, yaitu A B, maka terdapat paling sedikit satu anggota A yang bukan anggota B.Karena setiap himpunan A adalah himpunan bagian dari dirinya sendiri, maka suatu himpunan D disebut himpunan bagian sejati dari A jika D himpunan Bagian dari A dan D tidak sama dengan A. Jadi D adalah himpunan bagian sejati dari A jika D A dan D A.Contoh 8. Misalkan A = , B = dan C = . Maka B adalah himpunan bagian sejati dari A, tetapi C himpunan bagian tak sejati dari A.Teorema:Jika AB dan BC maka AC(Bukti diserahkan kepada mahasiswa)Dalam setiap pemakaian dari teori himpunan, semua himpunan yang dibicarakan akan merupakan himpunan bagian dari himpunan tertentu. Himpunan ini disebut himpunan semesta atau semesta pembicaraan dan ditulis dengan S atau U.Contoh 9: Dalam pembicaraan tentang bilangan bulat, himpunan semesta adalah himpunan semua bilangan bulat.Keluarga (himpunan dengan anggota berupa himpunan) semua himpunan bagian dari himpunan A disebut himpunan kuasa dari A dan ditulis 2Contoh 10: Misalkan A = maka 2= Jika himpunan A berhingga, katakanlah A mempunyai n anggota, maka himpunan kuasa dari A mempunyai 2 anggota. Inilah alasannya mengapa himpunan kuasa dari A ditulis 2.Jika himpunan-himpunan A dan B tidak mempunyai anggota berserikat, yaitu jika tidak terdapat anggota A yang menjadi anggota B dan tidak terdapat anggota B yang menjadi anggota A, maka dikatakan bahwa A dan B saling asing .Contoh 11: Misalkan A = dan B = . Maka A dan B saling asing.Suatu cara sederhana untuk menggambarkan hubungan di antara himpunan-himpunan ialah dengan menggunakan diagram Venn Euler atau secara singkat diagram Venn. Suatu himpunan digambarkan sebagai suatu luasan bidang dari bangun sederhana, seperti misalnya bidang lingkaran, bidang persegi panjang dan sebagainya. Contoh 12: Andaikan AB dan AB, maka A dan B dapat disajikan sebagai berikutAB65Contoh 13: Jika A dan B saling asing, maka A dan B disajikan sebagai berikut:AB65OPERASI-OPERASI DASAR HIMPUNANDalam bagian ini akan didefinisikan operasi-operasi gabungan, irisan dan selisih dari himpunan-himpunan.Definisi 1:Gabungan (union) himpunan A dan B adalah himpunan semua obyek yang menjadi anggota A atau B atau keduanya, dan ditulis dengan lambang AB.Contoh 1: Misalkan A = dan B = Maka AB = Dengan notasi himpunan, gabungan A dan B dapat didefinisikan dengan AB = Dalam diagram Venn, AB adalah daerah yang diarsir dalam gambar 1.65AB yang diarsirGB.1.Dari definisi 1 didapat sifst-sifst sebagai beriku :AB = BA (hukum komutatif)A dan Definisi 2:Irisan (intersection) himpunan A dan B adalah himpunan semua obyek yang sekaligus menjadi anggota A dan B, ditulis dngan lambang Contoh 2: Misalkan H = dan K = maka HK = Irisan A dan B dapat juga didefinisikan sebagai :Dalam diagram Venn AB adalah daerah yang diarsir dalam gambar 265AB yang diarsirGb.2.Sifat:3. (hukum komutatif)4. Definisi 3:Selisih himpunan A dan B adalah himpunan semua obyek yang menjadi anggota A tetapi tidak menjadi anggota B, ditulis dengan lambang A-B.Contoh 3: A = dan B = , maka A-B = , dan B-A = Dengan notasi himpunan, A-B dapat didefinisikan sebagai:A-B = .Dalam diagramVenn, A-B adalah daerah yang diarsir dalam gambar 3.65A-B yang diarsirGb.3.Sifa:5. (A-B)A6. A-B, AB dan B-A adalah saling asing.Definisi 4:Komplemen himpunan A adalah himpunan semua obyek yang bukan anggota A, yaitu selisih himpunan semesta S dan A, ditulis atau . Berarti S AContoh 4: Misalkan himpunan semesta S adalah himpunan semua bilangan bulat positif, dan misalkan A = , maka Dengan notasi himpunan , dapat juga didefinisikan sebagai: Dalam diagram Venn, adalah daerah yag diarsir dalam gambar 4. Disini S adalah daerah di dalam persegi panjang 65yang diarsirGb.4.Sifat:7. 8. 9. Untuk sementara dipandang cukup pengertian teori himpunan untuk mengawali kuliah Kalkulus, dan untuk lebih mendalami lagi tentang teori himpunan diserahkan kepada mahasiswa.SISTEM BILANGAN REALHimpunan Bilangan Real.Himpunan bilangan real terdiri dari bilangan-bilangan rasional (bilangan bulat positif dan negatif, nol, dan pecahan biasa a/b, denan a dan b adalah bilangan bulat) dan blangan irrasional (decimal yang tak berakhir seperti = 1,4142 dan = 3,14159 yang tidak merupakan hasilbagi bilangan-bilangan bulat).(Untuk selanjutnya istilah bilangan yang dimaksud adalah bilangan real, kecuali disebutkan secara khusus).Bilangan-bilangan realBilangan-bilangan rasionalBilangan-bilangan irrasionalBilangan-bilangan bulatBilangan Bulat NegatifNolBilangan-bilangan asli65Nilai Mutlak.Nilai Mutlak dari bilangan x ditulis |x | didefinisikan sebagai :|x| = Contoh 1: |3| = |-3| = 3 |3-5| = |5-3| = 2 |x-a| = x-a jika dan |x-a| = a-x jika Pada umumya, jika a dan b adalah dua bilangan sembarang,|a+b|Garis Bilangan Suatu sifat penting dalam system bilangan real ialah bahwa setiap bilangan real dapat digambarkan dengan tepat satu dan hanya satu titik pada suatu garis lurus dan sebaliknya setiap titik pada garis itu hanya menggambarkan satu dan hanya satu bilangn (real). Garis ini disebut garis bilangan. Akibatnya, pemakaian istilah bilangan dan titik (pada garis bilangan) dapat saling dipertukarkan.Untuk membentuk suatu garis bilangan pada suatu garis: Kita ambil sembarang titik O, yang disebut titik pangkal, yang menggambarkan bilangan 0.Pilih suatu arah positif (ditunjukkan oleh ujung anak panah) dan biasanya arah kanan (kecuali disebutkan lain).Dengan sembarang ukuran satuan ukuran yang cocok, tempatkan titik +1 pada jarak satu satuan di sebelah kanan titik O. Jadi bilangan-bilangan (titik-titik) N dan N berada pada sisi-sisi yang berlawanan dari O dan berjarak |N| satuan dari O. _____________________________________________________________-4-3-2-101234Jika a dan b dua bilangan yang berbeda, maka a < b berarti bahwa a berada di kiri b pada garis bilangan, sedang a > b berarti bahwa a ada di kanan b.Jarak yang berarah dari a ke b diberikan oleh b-a, adalah positif jika a < b dan negative jika a > b. Dalam kedua keadaan itu, b ada pada jarak (tanpa arah) |b-a| = |a-b| dari a.Selang Berhingga (Finite Interval) Misalkan a dan b adalah dua bilangan sedemikian rupa, sehingga a < b. Himpunan semua bilangan (real) x antara a dan b disebut selang (interval) terbuka dari a hingga b dan ditulis a < x < b. Titik-titik a dan b disebut titik-titik ujung selangSuatu selang terbuka tidak mencakup titik-titik ujungnya.Selang terbuka a < x < b bersama dengan titik-titik ujungnya disebut selang tertutup dari a hingga b dan ditulis __________________________________________________Selang terbuka a < x < bselang tertutup Selang Tak Berhingga (Infinite Interval)Misalkan a sembarang bilangan . Himpunan semua bilangan x yang memenuhi x < a disebut selang tak berhingga. Selang tak berhingga lain didefinisikan oleh x > a.Konstanta Dan Peubah.Dalam definisi selang a < x < b:Tiap symbol a dan b menyatakan suatu bilangan tunggal dan disebut suatu konstanta.Simbol x menyatakan tiap bilangan suatu himpunan bilangan-bilangan dan disebut peubah (variable)Ketidaksamaan.Ketidaksamaan seperti menentuka suatu selang.Menyelesaikan suatu ketidaksamaan artinya menentukan selang (selang-selang) bilangan yang memenuhi ketidaksamaan tersebut.Contoh 1: Selesaikan 2x 3 > 02x 3 > 0 2x > 3 (menambahkan 3) x > 3/2 (membagi dengan 2) Jadi selangnya adalah : atau sering ditulis Contoh 2: Selesaikan (mengurangkan 10) (membagi dengan 3).Soal.Diberikan pada waktu kuliah.BAB IIFUNGSISISTEM KOORDINAT CARTESIUSSumbu Koordinat.Dalam Pembahasan tentang system bilangan real yang diajika dalam modul I, telah disebutkan bahwa setiap setiap bilangan dapat disajikan sebagaisuatu titik pada garis bilangan, dan suatu titik pada garis bilangan menunjukkan suatu bilangan tertentu. Berdasarkanini maka setiap pasang bilangan real berurutan (x,y) dapat disajikan sebagai suatu titik (misalnya titik P) pada suatu bidang datar. Sebaliknya setiap titik pada bidang ini akan menunjukkan pasangan bilangan real berurutan (x,y).Dalam suatu bidang dipilih suatu garis datar (horizontal) yang disebut sumbu X. Selanjutnya dipilih garis tegak (vertical) yang disebut sumbu Y. Perpotongan sumbu X dan sumbu Y disebut titik pangkal dan ditulis dengan O. Setelah ditetapkan satuan panjang serta arah positif sumbu X dan sumbu Y, yaitu arah ke kanan dank e atas dari titik O, maka letak setiap titik (x,y) sudah tertentu.Sumbu X dan sumbu Y disebut sumbu-sumbu koordinat.Koordinat. Jika titik menunjukkan titik P, maka disebut absis dan disebut ordinat dari P. disebut koordinat dari P. Secara lengkap titik P ditulis Contoh 1: Gambarlah titik (-4,2)Untuk menggambar titik (-4,2) dimulai dari titik pangkal, bergerak empat satuan ke kiri, dan kemudian dua satuan ke atas.Contoh 2: Gambarlah titik ( -3,-1).Untuk menggambar titik (-3,-1) seperti pada contoh 1, mulai dari titik pangkl, bergerak ke kiri tiga satuan, kemudian turun satu satuan.Kuadran.Kedua sumbu Koordinat (sumbu X dan sumbu Y) membagi bidang menjadi 4 (empat) bagian yang disebut kuadran-kuadran. Kuadran pertama adalah bagian bidang yang semua titiknya mempunyai koordinat positif. Kuadran kedua adalah bagian bidang yang titik-titiknya mempunyai absis negative dan ordinat positif. Kuadran ketiga jika absis dan ordinatnya semua negative, sedangkan kuadran keempat mempunyai absis positif dan ordinat negative.Rumus Jarak.Dalam system Koordinat Cartesius, jarak dua titik dapat dihitung dengan rumus Pythagoras sbb.:Rumus Titik Tengah.JIka titik M() merupakan titik tengah dari ruas garis maka PENGERTIAN FUNGSIDefinisi.Jika E adalah himpunan bilangan-bilangan real dan R adalah himpunan semua bilangan real, dan misalkan f adalah suatu aturan perkawanan antara anggota anggota x E dengan y anggota R (), maka didefinisikan: f disebut fungsi dari himpunan E ke dalam R jika untuk setiap xE menentukan dengan tunggal kawannya yR , yang ditulis dengan f(x).Suatu fungsi f dari himpunan E ke dalam himpunan R sering pula didefinisikan sebagai himpunan semua pasangan bilangan real terurut sedemikian sehingga apabila Dalam definisi di atas x disebut peubah (variable) bebas dan y disebut peubah (variable) tak bebas dan juga y disebut fungsi dari x. Pernyataan y = f(x) disebut persamaan fungsi f.Himpunan E disebut Domain (daerah asal) fungsi f dan himpunan disebut range (daerah hasil) fungsi f. Jika , maka disebut nilai fungsi f di titik .Contoh 1: Misalkan E = dan fungsi f didefinisikan y = f(x) = , tentukan f(2), f dan fJawab:Kadang-kadang pembicaraan tentang fungsi diawali dengan persamaan, misalkan y = f(x), tanpa menyebutkan secara khusus domain dari fungsi tersebut. Dalam hal demikian domain fungsi f tersebut dimaksudkan adalah himpunan semua x demikian hingga y real.Contoh 2: Tentukan domain dari fungsi f dengan persamaan y = f(x) = Jawab:Karena y harus real maka .Dengan menyelesaikan pertidaksamaan di atas diperoleh selang atau langsung ditulis Lambang-lambang lain yang sering digunakan untuk menyatakan fungsi misalnya h(x), g(x), F(x), H(x), Macam-macam Fungsi.FungsiCatatan.Penjelasan tentang macam-macam fungsi akan dilakukan bersamaan dengan penjelasan tentang turunan fungsi pada modul berikutnya.Grafik Fungsi.Grafik fungsi f dengan persamaan y = f(x) adalah himpunan semua titik pada bidang yang memenuhi persamaan y = f(x), yaitu Contoh 3: Gambarlah grafik fungsi dengan persamaan y = 2x 1Jawab : Grafik fungsi merupakan himpunan titik-titik (x,y) yang memenuhi persamaan y =2x-1Kita ambil beberapa titik yang memenuhi persamaan di atas,seperti pada tabel di bawah.x |-2-10123dsty |-5-3-1135dstTitik titik (-2,-5), (-1,-3), (0,-1), (1,1), (2,3), (3,5) digambar pada bidang koordinat, Tampak bahwa semua titik terletak pada suatu garis lurus. Dikatakan grafik fungsi y = 2x 1 adalah garis (lurus).Catatan.Grafik fungsi linear (polinom pangkat satu) adalah berupa garis (lurus).Contoh 4: Gambarlah grafik fungsi y = Jawab : Kita ambil beberapa titik (x,y) yang memenuhi pers y = seperti pada contoh 3.x |-3-2-10123y |9410149Titik-titik di atas digambar pada bidang koordinat, kemudian dibuat kurva yang melewati titik-titik tersebut.65Catatan.: Grafik fungsi kuadrat (polinom pangkat dua) berupa parabola.BAB IIILIMIT FUNGSI DAN KONTINUITASLIMIT FUNGSIDefinisi.Dalam kalkulus dan pemakaiannya, sering kita dihadapkan pada permasalahan mencari harga f(x) dari fungsi f jika x mendekati (sangat dekat) pada suatu bilangan a, tetapi tidak sama dengan a. Dalam hal ini, biasanya bilangan a tidak berada dalam domain f. Jadi f(a) tidak didefinisikan. Untuk mudahnya kita bertanya : Jika x mendekati dan semakin dekat dengan a (tetapi tidak sama dengan a), maka f(x) dekat dan semakin dekat dengan bilangan L? Jika jawabannya ya, maka kita katakana limit dari f(x), jika x mendekati a, sama dengan L, dan kita tulisHal tersebut di atas didefinisikan sbb.: jika dan hanya jika untuk setiap bilangan positif yang dipilih, bagaimanapun kecilnya, ada satu bilangan demikian hingga, ketika maka |f(x)-L|Contoh 1: = 4, walaupun tidak didefinisikan pada x = 2, tetapi kita melihat bahwa mendekati 4 saat x mendekati 2, karena = x + 2 untuk Limit Kiri dan Kanan. kita maksudkan bahwa f didefinisikan dalam selang (c,a) dan f(x) mendekati L saat x mendekati a melalui nilai-nilai yang kurang dari a, yaitu, saat x mendekati a dari kiri. Maka disebut limit kiri. Dengan cara yang sama berarti bahwa f didefinisikan dalam selang (a,d), dan f(x) mendekat L saat x mendekati a dari kanan. Maka disebut limit kanan.Pernyataan equivalen dengan gabungan dari dua pernyataan dan pernyataan .Eksistensi limit kiri tidak menimbulkan akibat pada eksistensi limit kanan, dan begitu pula sebaliknya.Jika suatu fungsi didefinisikan hanya pada satu sisi dari titik a, maka identik dengan limit satu sisi, jika limit itu ada.Contoh 2: Jika f(x) = , maka f didefinisikan hanya dari bilangan nol ke kanan. Maka . Tentu saja tidak ada, karena tidak didefinikan pada selang Teorema Pada Limit.Teorema-teorema ini langsung dipakai tanpa pembuktian terlebih dahulu.Jika f(x) = c, dan a konstan, maka Jika 2. 3. 4. 5. 6. jika terdefinisi.Contoh 3: .Pembagian dengan (x 4) sebelum sampai limit dapat dibenarkan, karena dari catatan di atas , jika ; jadi x 4 tak pernah nol.Contoh 4: Tak Berhingga.Misalkan Memiliki makna bahwa, saat x mendekati a, f(x) akhirnya menjadi bilangan positif dan akan menjadi lebih besar dari bilangan positif manapun yang kita pilih, seberapapun besarnya. Dalam kasus ini, kita tetapkan bahwa f(x) mendekati saat x mendekati a. Lebih tepatnya jika dan hanya jika, untuk tiap bilangan M positif, ada satu bilangan sedemikian rupa hingga, ketika maka f(x)M.Dengan cara yang sama , misalkanMemiliki makna bahwa, saat x mendekati a, f(x) akhirnya menjadi bilangan negative dan akan menjadi lebih kecil dari bilangan negative manapun yang kita pilih. Dalam kasus ini, kita tetapkan bahwa f(x) mendekati saat x mendekati a.Misalkan Memiliki makna bahwa, saat x mendekati a, |f(x)| menjadi bilangan positif dan akan menjadi lebih besar dari bilangan positif manapun yang kita pilih. Maka Jika dan hanya jika Contoh 5: , , Untuk contoh soal di bawah ini, mula-mula dengan membagi pembilang dan penyebut dengan x yang berpangkat paling tinggi yang ada, kemudian gunakan Contoh 6: Contoh 7: Contoh 8: Contoh 9: ; tidak ada limit.Soal: (diberikan waktu kuliah).B. KONTINUITASDefinisi.Sebuah fungsi didefinisikan kontinu pada , jika tiga syarat berikut terpenuhi.1. terdefinisi.2. ada.3. =.Misalnya , adalah kontinu pada x = 2, karena .Syarat (1) menunjukkan bahwa sebuah fungsi dapat kontinu hanya pada titik-titik di domainnya. Jadi tidak kontinu pada x = 3, karena f(3) tidak terdefinisi.Fungsi dikatakan diskontinu di jika satu atau lebih syarat (1)-(3) di atas tidak terpenuhi.Contoh 1: a. adalah diskontinu pada x = 2 karena tidak terdefinisi dan juga tidak ada (karena =. Lihat gambar.b. adalah diskontinu pada x = 2, karena tidak terdefinisi. Tetapi = 4 sehingga syarat (2) terpenuhi. Dalam hal ini dikatakan diskontinuitas yang dapat dihapuskan. Karena jika kita memperluas fungsi f dengan mendefinisikan nilai pada x = 2 menjadi 4, maka fungsi perluasan g menjadi kontinu pada x = 2. Perlu dicatat bahwa g(x) = x + 2 untuk semua x. Grafik dan g(x) identik kecuali pada x = 2 dimana grafik pertama mempunyai lubang. Diskontinuitasnya dapat dihapuskn dengan mengisi lubang tersebut. .Pada contoh (a) hal ini tidak dapat dilakukan, sehingga diskontinuitas pada contoh (a) disebut diskontinuitas yang tak dapat dihapuskan.Teorema 1: Asumsikan bahwa dan adalah kontinu pada , maka :Fungsi konstan h(x) = c untuk semua x adalah kontinu pada setiap Fungsi adalah kontinu pada untuk sembarang konstanta c. Fungsi adalah kontinu pada Fungsi adalah kontinu pada Fungsi adalah kontinu pada jika Fungsi adalah kontinu pada jika terdefinisi.Catatan : Untuk selanjutnya jika dikatakan kontinu dimaksudkan kontinu di setiap bilangan real.Teorema 2: Fungsi identitas I(x) = x adalah kontinu.Teorema 3: Setiap fungsi polinomial Adalah kontinu.Teorema 4: Setiap fungsi pecah , dimana dan adalah fungsi polinomial, adalah kontinu pada setiap titik dimana .Teorema 5: (Teorema Nilai Tengah)Jika kontinu pada dan , maka untuk sembarang bilangan c antara dan , terdapat sedikitnya satu bilangan dalam selang terbuka dimana Korolari (Teorema Akibat) 6: Jika kontinu pada , dan mempunyai tanda yang berbeda dengan , maka persamaan sedikitnya memiliki satu akar pada selang terbuka , sehingga grafik dari memotong sumbu X paling tidak satu kali antara a dan b.Teorema 7: (Teorema Nilai Ekstrim).Jika kontinu pada selang tertutup , maka mempunyai nilai terkecil m dan nilai terbesar M pada selang tersebut.Contoh 2: , mempunyai diskontinuitas tak berhingga di x = -3 dan x = 2Contoh 3: , mempunyai diskontinuitas tak berhingga di x = 3 dan x = -3 Soal : (diberikan pada waktu kuliah).BAB IVTURUNAN DAN ATURAN DIFERENSIASI FUNGSITURUNANNOTASI DELTA.Pertambahan (baca delta x) suatu peubah x adalah perubahan kecil pada nilai x dari satu nilai menjadi nilai lain . Disini dan dapat ditulis Jika peubah x diberi pertambahanterhadap (artinya jika x berubah dari menjadi ) dan dengan demikian sebuah fungsi diberi pertambahan dari , hasil bagiDisebut laju perubahan rata-rata dari fungsi pada selang antara dan Contoh 1:Misalkan . Dimulai pada . Maka . Perubahan yang bersesuaian pada y adalah . Karenanya laju perubahan rata-rata y dalam selang antara dan adalah TURUNAN (Derivative).Jika dalam domain , maka dengan laju perubahan sesaat f pada kita artikan sebagai limit dari laju perubahan rata-rata antara dan saat mendekati 0.Asalkan limit tersebut ada. Limit ini juga disebut turunan f pada Contoh 2:Cari turunan fungsi terhadap x pada . Gunakan ini untuk mencari turunan pada = = Turunan pada adalah = 2.2 + 3 = 7.NOTASI UNTUK TURUNAN. Misalkan kita menganggap turunan f pada sebarang titik x dalam domainnya.:Nilai dari turunan adalah fungsi dari x, dan akan ditunjukkan oleh sebarang ekspresi symbol-simbol berikut :Nilai dari turunan f pada titik tertentu a kadang-kadang dinotasikan dengan DIFERENSIABILITAS.Suatu fungsi dikatakan diferensiabel (dapat didiferensialkan/dapat dicari turunannya) pada titik jika turunan fungsi di titik itu ada.INTERPRETASI SECARA GEOMETRIS.Dari gambar di atas kita melihat bahwa adalah kemiringan (koefisien/tangen arah) garis singgung yang menghubungkan titik tetap sebarang P(x,y) dengan titik di dekatnya pada kurva. Jika , P tinggal tetap, sedangkan Q bergerak sepanjang kurva menuju P, dangaris PQ berputar pada P menuju posisi limitnya, garis singgung PT pada kurva di P. Jadi menyatakan tangen arah garis singgung di P pada kurva .Contoh 3:Cari koefisien arah garis singgung pada kurva di titik x = 1.Dengan cara seperti pada contoh (2) diperoleh bahwa Jadi koefisien arah garis singgung pada kurva di titik x = 1 adalah = -10.Soal-soal.Diberikan pada saat kuliah.ATURAN DIFERENSIASI FUNGSIDIFERENSIASI.Ingat kembali bahwa suatu fungsi dikatakan diferensiabel (dapat didiferensialkan/dapat dicari turunannya) pada titik jika turunan fungsi di titik itu ada. Suatu fungsi dikatakan diferensiabel pada suatu selang, bila fungsi itu diferensiabel di setiap titik pada selang tersebut. Jika kita mengatakan sebuah fungsi diferensiabel, berarti fungsi itu diferensiabel pada setiap bilangan real. Proses mendapatkan turunan sebuah fungsi (terhadap peubah bebasnya) disebut diferensiasi.RUMUS-RUMUS DIFERENSIASI.Dalam rumus-rumus ini u,v dan w adalah fungsi-fungsi yang diferensiabel.1. , dimana c adalah sebarang bilangan konstan.2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. Contoh 1: Contoh 2:Contoh 3: Contoh 4:Contoh 5:Contoh 6:Contoh 7:Contoh 8:FUNGSI INVERS.Pandang misalnya fungsi f dengan persamaan . Jika persamaan ini diselesaikan ke x, akan didapat . Persamaan terakhir ini merupakan persamaan suatu fungsi sebab untuk setiap y menentukan dengan tunggal x. Fungsi ini disebut fungsi invers dari f. Sebaliknya pandanglah suatu fungsi g yang diberikan dengan persamaan . Fungsi g tidak mempunyai fungsi invers sebab bukan merupakan persamaan suatu fungsi. Tetapi dengan membatasi domain g, misalnya maka g mempunyai fungsi invers dengan persamaan Dari uraian di atas fungsi invers dapat didefinisikan sbb.:Suatu fungsi f dengan persamaan y = f(x) dikatakan mempunyai fugsi invers yang ditulis dengan jika . Domain f sama dengan range (daerah hasil) dan domain sama dengan range f.Untuk mencari , bila diketahui :Cari y, jika mungkin, dan diferensiasikan terhadap x; atauDiferensiasikan terhadap y dan gunakan 12. Contoh 9:Cari , jika diketahui Dengan menggunakan (1); dan .Dengan menggunakan (2); FUNGSI GABUNGAN. ATURAN RANTAI.Fungsi gabungan (komposit) dari fungsi f dan g didefinisikan sbb.: . Fungsi g diterapkan pertama kali dan kemudian fungsi f. Fungsi g disebut fungsi dalam, dan f disebut fungsi luar. Fungsi disebut gabungan dari g dan f.Contoh 10:Misalkan dan Jadi dalam kasusu ini .Jika f dan g diferensiabel, maka juga diferensiabel. Ada dua prosedur untuk mendapatkan turunan Nyatakan secara eksplisit dalam x kemudian mendeferensiasikan.Gunakan aturan rantai.Diferensiasikan tiap fungsi terhadap peubah bebasnya . Misalkan dan , maka :Contoh 11:Misalkan dan dan Turunan Lebih Tinggi.Jika diferensiabel, turunannya adalah , juga disebut turunan pertama dari f. Jika diferensiabel, turunannya disebut turunan kedua dari f. Jika turunan kedua diferensiabel, turunannya disebut turunan ketiga dari f, dan seterusnya.Notasi.Turunan Pertama Turunan Kedua Turunan Ketiga ...............................................................Turunan ke-n Contoh 12:Soal soal.(Diberikan pada waktu kuliah)DIFERENSIASI IMPLISITFungsi Implisit.Persamaan mendefinisikan y secara implicit sebagai fungsi x. Domain dari fungsi yang didefinisikan secara implisit terdiri atas x dimana terdapat y yang tunggal (unik) sedemikian rupa sehingga Contoh 1:Persamaa dapat diselesaikan untuk memperoleh y, menghasilkan . Fungsi ini didefinisikan untuk Jika y adalah fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh persamaan , turunan dapat diperoleh dengan dua cara:Menyelesaikan persamaan untuk memperoleh dan menghitung secara langsung. Dengan memikirkan y sebagai fungsi x, diferensiasikan fungsi yang diketahui terhadap x dan cari dari hubungan yang diperoleh. Proses ini disebut diferensiasi implisit.Contoh 2:Tentukan jika diketahui Gunakan cara (1).Dari contoh (1) kita peroleh dan dari sini kita dapatkan Gunakan cara (2).Turunan Tingkat Lebih Tinggi bisa didapatkan dengan diferensiasi implisit atau kombinasi dari diferensiasi langsung dan implisit.Contoh 3:Carilah jika diketahui Dari contoh (2) diperoleh , Maka Contoh 4:Tentukan nilai di titik (-1,1) pada kurva (1)(2)Kita dapat menyelesaikan persamaan pertama untuk memperoleh dan menyelesaikan persamaan kedua untuk memperoleh . Meskipun demikian, karena kita hanya ingin mengevaluasi pada titik tertentu (-1,1), kita mensubstitusikan , ke persamaan pertama sehingga diperoleh , dan kemudian mensubstitusikan , , ke dalam persamaan kedua sehingga diperoleh , sehingga didapat (Metode ini menghindari perhitungan aljabar yang rumit)Soal-soal.(diberikan pada waktu kuliah).BAB VPEMAKAIAN TURUNANGARIS SINGGUNG DAN NORMALJika fungsi f(x) mempunyai turunan di , kurva mempunyai garis singgung di yang tangent arah (koefisien arah) adalahJika , kurva tersebut mempunyai garis singgung horizontal dengan persamaan di , seperti di A, C dan E pada gambar di bawah.Untuk keadaan lain, persamaan garis singgung adalah: Jika f(x) adalah kontinu di , tetapi , kurva mempunyai garis singgung vertikal dengan persamaan seperti di B dan D pada gambar di bawah.65Normal suatu kurva pada salah satu titiknya adalah garis yang lewat titik tersebut dan tegak lurus garis singgung di titik tersebut. Persamaan normal di adalah :, jika garis singgung adalah horizontal, jika garis singgung adalah vertical:Keadaan lain,Sudut Perpotongan (sudut apit) dari dua kurva didefinisikan sebagai sudut antara garis-garis singgung pada kurva di titik potongnya.Untuk menentukan sudut perpotongan dari dua kurva:Selesaikan persamaan-persamaan kurva secara bersamaan untuk mendapatkan titik-titik perpotongannya.Tentukan kemiringan dan dari garis singgung kedua kurva tersebut pada tiap titik perpotongannya.Jika , sudut perpotongannya , dan jika , sudut perpotongannya ; yang lain, sudut perpotongan dapat ditentukan dari rumus adalah sudut lancip dari perpotongan ketika , dan adalah sudut lancip ketika Contoh 1: Tentukan persamaan-persamaan garis singgung dan normal pada di (2,4).Jawab.. Jadi kemiringan gari singgung di (2,4) adalah dan persamaan garis singgungnya atau Persamaan normal di (2,4) adalah atau Contoh 2: Cari sudut perpotongan dari kurva-kurva (1) dan (2) Jawab.Titik potong kurva-kurva adalah dan .Untuk (1), untuk (2), . Di dan ; di dan Di dan (sudut apit)Di dan (sudut apit).Soal : (Diberikan waktu kuliah).HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUMFUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN.Suatu fungsi f(x) dikatakan naik di , jika untuk h positif dan cukup kecil, .Suatu fungsi f(x) dikatakan turun di , jika untuk h positif dan cukup kecil, .Jika maka f(x) adalah fungsi naik di ;Jika maka f(x) adalah fungsi turun di ;Jika maka f(x) dikatakan stasioner di .Suatu fungsi yang tidak tetap disebut fungsi naik (turun) pada suatu selang, bila fungsi itu naik (turun) atau stasioner di setiap titik pada selang.65Dalam gambar di atas, kurva naik (fungsinya naik) pada selang ;Kurva turun (fungsiya turun) pada selang .Fungsi adalah stasioner di kurva mempunyai garis singgung horisontal (mendatar)di titik-titik R, S dan T.Harga-harga dimana fungsi f(x) stasioner () lebih sering disebut harga kritis fungsi dan titik-titik yang bersangkutan (R, S dan T) pada kurva disebut titik kritis kurva.HARGA MAKSIMUM DAN MINIMUM RELATIF SUATU FUNGSI.Suatu fungsi dikatakan mempunyai harga maksimum relatif (minimum relatif) di jika lebih besar (lebih kecil) dari harga-harga tepat sebelum dan sesudahnya.Dalam gambar di atas:R(r,f(r)) adalah titik maksimum relative dari kurva karena f(r) > f(x) pada tiap daerah yang cukup kecil di sekitarnya .Dikatakan bahwa mempunyai harga maksimum relative (=f(r)) jika .T() adalah titik minimum relative dari kurva karena f(t) < f(x) pada tiap daerah yang cukup kecil di sekitarnya .Dikatakan bahwa mempunyai harga minimum relative (=f(t)) jika .Perhatikan bahwa R menggabungkan busur AR yang naik (), dan busur RB yang turun ()Perhatikan bahwa T menggabungkan busur CT yang turun () dan busur TU yang naik ().Perhatikan bahwa S menggabungkan busur BS dan SC yang kedua-duanya turun . S bukan titik maksimum relative maupun titik minimum relative pada kurva. PENGUJIAN TURUNAN PERTAMA.(Langkah langkah mencari harga maksimum dan atau minimum (relative)). Selesaikan untuk mendapatkan harga kritis, Gambar harga kritis pada garis bilangan, dengan demikian terbentuk sejumlah selang. Tentukan tanda pada tiap selang, Misalkan x bertambah (melewati harga kritis ); makaf(x) mempunyai harga maksimum relative (=) jika berubah tanda dari + ke -,f(x) mempunyai harga minimum relative (=) jika berubah tanda dari - ke +,f(x) tidak mempunyai harga maksimum ataupun minimum di , jika tidak mengalami perubahan tanda.Catatan:Sebuah fungsi f(x) , dapat mempunyai harga maksimum atau minimum (= meskipun tidak ada. Harga-harga dimana f(x) didefinisikan tetapi tidak ada juga disebut harga-harga kritis fungsi tersebut. Harga-harga di atas bersama dengan harga-harga yang menyebabkan digunakan untuk menentukan selang pada langkah ke-2 di atas.Contoh 1:Diketahui , cari :titik-titik kritisselang dimana y bertambah dan berkurangharga-harga y maksimum dan minimum.Jawab.Dengan menurunkan didapat , dengan mengambil diperoleh harga-harga Titik-titik kritis adalah Jika , y bertambah (naik); jika , y berkurang (turun)Tanda _________________.___________________.______________________ x = -3x = 2 y naik pada selang x < -3,y turun pada selang -3 < x < 2,y naik pada selang x > 2 c. Uji harga-harga kritis x = -3 dan x = 2Jika x bertambah setelah -3, berubah tanda dari + ke - ; jadi di x = -3 y mempunyai harga maksimum = Jika x bertambah setelah 2, berubah tanda dari ke +; jadi di x = 2, y mempunyai harga minimum = 65Contoh 2:Diketahui cari :Selang dimana y bertambah (naik) dan y berkurang (turun)Harga-harga maksimum dan minimum fungsi.Jawab. Dengan mengambil diperoleh harga-harga kritis -+-+___________________._________________._____________.__________________X = -2x = -1/2 x = 1a. Jika < 0, maka y turun dan jika , maka y naik. Jadi pada selang x < -2, y turun, pada selang -2 < x < -1/2, maka y naik, pada selang -1/2 < x < 1 maka y turun dan pada selang x > 1, y naik.b. Dengan melihat tanda-tanda , maka diperoleh:di x = -2, diperoleh harga minimum = f(-2) = 0;di x = -1/2, diperoleh harga maksimum = f(-1/2) = 81/16;di x = 1, diperoleh harga minimum =f(1) = 0.65Contoh 3:Tetapkan harga-harga maksimim dan minimum dari dan selang dimana fungsi naik dan turun.Jawab.. Harga kritis adalah x = 0, karena menjadi tak berhingga bila x mendekati 0.Jika x < 0, , maka f(x) turun,Jika x > 0, , maka f(x) naik,Jadi di x = 0 tercapai harga minimum = f(0) = 2.65KECEKUNGAN (Arah Belokan)Suatu busur kurva disebut cekung ke atas (bentuknya seperti gelas), jika disetiap titiknya busur terletak di atas garis singgungnya . Jika x bertambah, bertanda sama dan bertambah (seperti pada selang b < x < s dalam gambar di atas) atau berubah tanda dari ke + (seperti pada selang c < x < u). Pada tiap keadaan, lereng bertambah dan .Suatu busur kurva disebut cekung ke bawah (bentuknya seperti topi) jika disetiap titiknya busur terletak di bawah garis singgungnya. Jika x bertambah, bertanda sama dan berkurang (seperti pada selang s < x < c dalam gambar di atas) atau berubah tanda dari + ke - (seperti pada selang a < x < b). Pada tiap keadaan, lereng berkurang dan .TITIK BALIKTitik balik (infleksi) adalah suatu titik dimana suatu kurva berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah, atau sebaliknya. Dalam gambar di atas titik-titik balik adalah B, S dan C.Suatu kurva , salah satu titiknya merupakan titik balik Jika atau tidak didefinisikanJika berubah tanda jika x bertambah melalui (atau ada).PENGUJIAN TURUNAN KEDUA UNTUK MAKSIMUM DAN MINIMUM.Selesaikan untuk mendapatkan harga-harga kritis.Untuk harga kritis ;Fungsi mempunyai harga maksimum , jika Fungsi mempunyai harga minimum , jika Pengujian gagal jika , dalam hal ini metode turunan pertama harus dipakai.Contoh 4:Periksa untuk kecekungan (arah belokan) dan titik baliknya.Jawab Ambil Dan selesaikan untuk memperoleh titik balik yang mungkin .______________._______________________._________________________ Jika maka lengkungan adalah cekung ke atas;Jika , maka lengkungan adalah cekung ke bawah;Jika maka lengkungan adalah cekung ke atas.Titik balik adalah berubah tanda di 65Contoh 5:Periksalah untuk maksimum dan minimum dengan menggunakan metode turunan kedua.Jawab.Harga-harga kritis adalah Contoh 6:Periksa untuk harga-harga maksimum dan minimum. harga kritis menjadi tak berhingga jika x mendekati 2. Jadi pengujian gagal.Gunakan metode turunan pertama. Jika .Jadi y mempunyai harga minimum relatif di Soal.(diberikan pada waktu kuiah)BAB VITURUNAN DAN ATURAN DIFERENSIASI FUNGSI(lanjutan)DIFERENSIASI FUNGSI TRIGONOMETRIKUKURAN RADIAN.Dalam kalkulus ukuran sudut digunakan satuan radian.Satu radial adalah besarnya sudut pusat lingkaran yang berhadapan dengan busur lingkaran sepanjang jari-jari.65Jika disamakan dengan satuan derajat maka : rad = 180FUNGSI TRIGONOMETRIK.Misalkan adalah sebarang bilangan real. Bentuk sudut yang besarnya radial dengan titik sudutnya pada pangkal O(0,0) pada system koordinat Cartesius, dan salah satu sisinya sepanjang sumbu X positif. Ambil P(x,y) pada sisi yang kedua dari sudut tersebut, maka:ATURAN DIFERENSIASI.Berdasarkan hasil , maka dapat diperoleh aturan diferensiasi sbb.:Misalkan u adalah fungsi x yang diferensiabel, maka:14. 15. 16. 17. 18. 19. Contoh 1:Cari turunan pertama dari Jawab.Contoh 2:Cari turunan pertama dari JawabContoh 3:Cari turunan pertama dari JawabContoh 4:Cari turunan pertama dari JawabContoh 5:Cari turunan pertama dari JawabSoal. (diberikan waktu kuliah).DIFERENSIASI FUNGSI INVERS TRIGONOMETRIKFUNGSI INVERS TRIGONOMETRIKJika , fungsi inversnya ditulis . Daerah definisinya (domainnya) = daerah hasil fungsi yaitu , daerah hasil fungsi adalah himpunan bilangan-bilangan real (= domain fungsi ).Secara sama :Jika , fungsi inversnya ditulis .Jika , fungsi inversnya ditulis .Dst.Karena fungsi invers trigonometric berharga banyak, maka perlu diambil busur tertentu yang disebut Cabang Utama supaya fungsi berharga tunggalFungsi Cabang Utama65ATURAN DIFERENSIASIMisalkan u adalah fungsi x yang diferensiabel, maka :20. 21. 22. 23. 24. 25. Contoh 1:Cari turunan dari Jawab Contoh 2:Cari turunan dari JawabContoh 3:Cari turunan dari JawabContoh 4:Cari turunan JawabContoh 5:Cari turunan JawabSoal : (diberikan waktu kuliah).DIFERENSIASI FUNGSI EKSPONENSIAL DAN LOGARITMIKBILANGAN NOTASI. Jika Daerah definisi hdala x > 0 ; daerah hasil hdala himpunan bilangan real.65ATURAN DIFERENSIASI.Jika u adalah fungsi x yang diferensiabel (dapat dideferensiasi);26. 27. 28. 29. DIFERENSIASI LOGARITMIK.Jika fungs yang diferensiabel y = f(x) hdala hasil kali beberapa factor, maka proses diferensiasi dapat dimudahkan dengan mengambil logaritma natural fungsi itu sebelum mendeferensiasi atau dengan rumus30. Contoh 1:Cari turunan JawabContoh 2:Cari turunan JawabContoh 3:Cari turunan JawabContoh 4:Cari turunan JawabContoh 5:Cari turunan JawabContoh 6:Cari turunan JawabContoh 7:Gunakan diferensiasi logaritmik untuk mencari turunan pertama dariJawabContoh 8:Gunakan diferensiasi logaritmik untuk mencari turunan pertama dariJawabSoal : (diberikan waktu kuliah)DIFERENSIASI FUNGSI HIPERBOLIKDEFINISI FUNGSI FUNGSI HIPERBOLIKRUMUS-RUMUS DIFERENSIASI31. 32. 33. 34. 35. 36. DEFINISI FUNGSI INVERS HIPERBOLIKJika , maka fungsi inversnya adalah Jika , maka fungsi inversnya adalah Jika , maka fungsi inversnya adalah Dst.RUMUS-RUMUS DIFERENSIASI37. 38. 39. 40. 41. 42. Contoh 1:Contoh 2:Contoh 3:Contoh 4:Contoh 5:Soal: (diberikan waktu kuliah).BAB VIIBEBERAPA TEOREMA PENTING PADAFUNGSI-FUNGSI YANG DIFERENSIABELTEOREMA-TEOREMA PADA FUNGSI-FUNGSI YANG DIFERENSIABELTEOREMA ROLLE.Jika fungsi f(x) kontinu pada selang dan diferensiabel (mempunyai turunan) pada selang serta maka terdapat paling sedikit satu harga sedemikian hinggaArti geometris teorema ini menyatakan bahwa setiap fungsi f(x) yang memenuhi syarat dalam teorema Rolle, pasti terdapat harga sedemikian hingga garis singgung pada kurva di titik dengan absis , sejajar sumbu X.Contoh:Tunjukkan kebenaran teorema Rolle untuk fungsi pada selang Jawab kontinu pada selang dan terdeferensial pada (1,2) dan derivatifnya adalah : , disamping itu65 terpenuhi untuk dimana TEOREMA AKIBATJika fungsi f(x) kontinu pada selang dan diferensiabel (mempunyai turunan) pada selang serta maka terdapat paling sedikit satu harga sedemikian hingga65TEOREMA LAGRANGE (HUKUM NILAI TENGAH)Jika fungsi f(x) kontinu pada selang dan diferensiabel (mempunyai turunan) pada selang , maka terdapat paling sedikit satu harga sedemikian higgaArti geometris teorema ini adalah 65Garis singgung pada kurva di titik dengan absis , sejajar dengan garis AB.Hukum Nilai Tengah dapat ditulis Contoh.Gunakan Hukum Nilai Tengah untuk menghitung pendekatan Jawab:Ambil , dan gunakan Hukum Nilai TengahMaka Karena c tidak diketahui, maka untuk pendekatan ambil TEOREMA COUCHY (HUKUM NILAI TENGAH YANG UMUM)Jika fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada selang dan diferensiabel () dan pada selang , maka terdapat paling sedikit satu harga sedemikian hingga:TEOREMA LHOSPITALJika fungsi f(x) dan g(x) kontinu pada selang dan diferensiabel () dan pada selang dan misalkan Maka, jika ada, juga ada dan akan berlaku : = (Sering disebut Bentuk Tak Tentu jenis )Catatan.Teorema LHospital tetap berlaku jika ada satu atau kedua perubahan dibuat: dan diganti dengan dan , adalah suatu bilangan diganti dengan (Sering disebut Bentuk Tak Tentu jenis )Contoh 1:Hitung Jawab.Jika , pembilang maupun penyebut mendekati 0Jadi Contoh 2:Hitung Jawab.Jika , pembilang maupun penyebut mendekati 0Jadi Contoh 3:Hitung Jawab.Jika , pembilang maupun penyebut mendekati Jadi Contoh 4:Hitung JawabSoal:.B. DERET TAYLOR DAN MACLAURINRUMUS TAYLOR DAN MACLAURINMisalkan fungsi f mempunyai derivative (turunan) sampai tingkat n+1 dalam suatu selang yang berisi titik . Akan dicari suatu polinom dengan derajat tidak lebih dari n dimana di titik berlaku :(1) .Diharapkan bahwa polinom sedemikian ini sangat dekat ke fungi f.Marilah kita tuliskan polinom dalam bentuk pangkat-pangkat dari , yaitu:(2) Dimana adalah konstanta-konstanta yang masih akan dicari.Turunan-turunan dari adalah:(3) ................................................................................................Masukkan nilai pada persmaan-persamaan (2) dan (3), dan dengan mengingat persamaan (1), akan kita peroleh:(4) ,...................Dengan memasukkan hasil ini ke dalam persamaan (2) diperoleh:(5) Sekarang misalkan adalah selisih dari , yaitu Maka , atau(6) +Melalui analisis sederhana diperolehDimana Persamaan (6) dengan memasukkan harga disebut rumus Taylor untuk fungsi f disekitar Jika dalam rumus Taylor , maka kita peroleh:(7) Dimana Persamaan (7) dengan memasukkan harga disebut rumus Maclaurin untuk fungsi f .DERET TAYLOR DAN MACLAURINSecara umum jika fungsi f mempunyai turunan dari semua tingkat disekitar , maka:(8) (Ruas kanan disebut deret Taylor untuk fungsi f atau deret pangkat dalam (x-a)).Persamaan (8) disebut ekspansi Taylor. Keadaan khusus, jika (9) (Ruas kanan disebut deret Maclaurin untuk fungsi f atau deret pangkat dalam x)Persamaan (9) disebut ekspansi Maclaurin.Contoh 1:Carilah ekspansi Taylor dari fungsi Jawab...JadiContoh 2:Carilah ekspansi Maclaurin dari fungsi Jawab..................................................JadiSoal.(Diberikan waktu kuliah)BAB VIIIRUMUS-RUMUS INTEGRASI DASARJIKA F(x) ADALAH SEBUAH FUNGSI yang turunan pada selang tertentu dari sumbu x, maka disebut anti-turunan atau integral tak tentu dari . Integral tak tentu dari suatu fungsi tidak unik (tunggal); sebagai contoh adalah integral tak tentu dari karena . Semua integral tak tentu dari kemudian dicakup dalam , dengan C disebut konstanta integrasi, adalah konstanta sebarang.Simbol digunakan untuk menyatakan bahwa integral tak tentu dari harus dicari. Jadi ditulis RUMUS-RUMUS INTEGRASI DASARSejumlah rumus-rumus di bawah segera timbul dari rumus-ruus diferensiasi standar dalam Kalkulus I1. 2. 3. 4.5. 6. 7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. CONTOH:RUMUS-RUMUS 1-41. 2. 3. 4. 5. 6. Ambil 7. Ambil 8. Ambil 9. Ambil 10. RUMUS-RUMUS 5-71. 2. Ambil Atau secara langsung3. 4. 5. 6. RUMUS-RUMUS 8-171. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. RUMUS-RUMUS 18-201. 2. 3. 4. 5. RUMUS-RUMUS 21-241. 2. 3. 4. 5. RUMUS-RUMUS 25-271. 2.3. 4. 5. SOAL-SOAL u/ Latihan di rumah/dikosSELESAIKAN1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. BAB IXTEKNIK INTEGRASIINTEGRASI PARSIAL.Jika u dan v adalah fungsi x yang dapat didiferensiasi Untuk menggunakan rumus di atas dalam menghitung suatu integrasi yang ditanyakan, integral yang diberikan harus dipisahkan menjadi dua bagian, satu bagian adalah u dan bagian lain, bersama dengan dx, adalah dv. Untuk alasan ini, integrasi dengan menggunakan rumus di atas disebut Integrasi Parsial (Integrasi Bagian).Dua aturan umum dapat ditulis :bagian yang dipilih sebagai dv harus dapat segera diintegrasi. tidak boleh lebih sulit daripada Contoh 1:Cari JawabKita mempunyai pilihan-pilihan berikut;a. b. c. a. . Maka dan Integral yang dihasilkan lebih sulit dari yang asli. Pilihan ini ditolak.b. . Maka danIntegral yang dihasilkan lebih sulit dari yang asli. Pilihan ini ditolak.c. . Maka danContoh 2:Cari JawabAmbilContoh 3:Cari JawabAmbilContoh 4:Cari JawabContoh 5:Cari JawabSoal.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. INTEGRAL TRIGONOMETRIKHubungan-hubungan berikut sering digunakan untuk mencari integral trigonometrik.1. 7. 2. 8. 3. 9. 4. 10. 5. 11. 6. 12. Contoh 1:Contoh 2:Contoh 3:Contoh 4:Contoh 5:Contoh 6:Contoh 7:Soal.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.11. 12. 13. 14. 15. SUBSTITUSI TRIGONOMETRIK.Suatu integran yang terdiri dari salah satu bentuk , , atau , dapat diubah ke dalam bentuk lain yang menyangkut fungsi trigonometrik peubah baru sbb :UntukGunakanUntuk memperolehUntuk tiap bentuk, integrasi menghasilkan pernyataan dalam peubah z. Pernyataan yang bersangkutan dalam peubah semula dapat diperoleh dari segitiga siku-siku seperti yang ditunjukkan dalam contoh soal-soal di bawah ini.Contoh 1:Cari Ambil 65Contoh 2:Cari Ambil 65 Contoh 3:Cari Ambil SHAPE \* MERGEFORMAT 65Soal.Cari1. 5. 2. 3. 4. INTEGRASI DENGAN PECAHAN PARSIAL.SEBUAH POLINOM DALAM x adalah fungsi dalam bentuk , dimana semua a adalah konstanta, , dan n adalah bilangan bulat positif termasuk nol.Jika dua polinom dengan derajat sama adalah sama untuk semua nilai peubah, koefisien peubah dengan pangkat sama dalam kedua polinom tersaebut adalah sama.Tiap polinom dengan koefisien real dapat dinyatakan (paling tidak secara teoritis) sebagai hasil kali faktor linear real dengan bentuk dan faktor kuadratik teal yang tak dapat direduksi dengan bentuk .SEBUAH FUNGSI , dimana f(x) dan g(x) adalah polinom, disebut pecahan rasional.Jika derajat f(x) lebih kecil dari derajat g(x). F(x) disebut pecahan rasional sejati; bila tidak F(x) disebut pecahan rasional tidak sejati.Suatu pecahan rasional yang tidak sejati dapat dinyatakan sebagai jumlah polinom dan pecahan rasional sejati. Jadi Tiap pecahan rasional sejati dapat dinyatakan (paling tidak secara teoritis) sebagai jumlah pecahan yang lebih sederhana (pecahan parsial) yang penyebutnya bebentuk dan , n adalah bilangan bulat positif.Empat kasus, tergantung pada wujud faktor-faktor dalam penyebut, muncul.KASUS I. FAKTOR LINEAR BERBEDA.Untuk tiap faktor linear yang muncul sekali dalam penyebut suatu pecahan rasional sejati, terdapat sebuah pecahan parsial tunggal berbentuk , dimana A adalah konstanta yang harus ditentukan.Contoh Cari (a). Uraikan penyebut : Tulis , dan hilangkan pecahan hingga diperoleh(1) atau(2) (b). Untuk menentukan A dan B ada dua cara:Metode Umum. Samakan koefisien-koefisien x yang berpangkat sama dalam (2) dan selesaikan secara serentak untuk mendapatkan konstanta-konstanta (A dan B)Jadi : Metode singkat. Substitusikan dalam (1) nilai-nilai untuk mendapatkan (c). Dengan salah satu metode diperoleh danCari (a) Maka dan (1) atau(2)(b) Metode Umum. Selesaikan secara serentak sistem persamaan-persamaan Diperoleh Metode Singkat. Substitusi dalam (1) nilai-nilai x=0, x=2 dan x=-3, diperoleh (c) SOAL.Cari1. 2. 3. 4. 5. KASUS II. FAKTOR LINEAR BERULANG.Untuk tiap faktor linear yang muncul n kali dalam penyebut suatu pecahan rasional sejati, terdapat suatu penjumlahan n buah pecahan parsial berbentuk Dimana semua A adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Contoh.1. Cari (a) Uraikan penyebut Tulis , diperoleh(b) Dengan menggunakan metode singkatUntuk dan Untuk dan Untuk menentukan konstanta yang lain, sebarang nilai x lain, misalnya x=0. Untuk dan (c) Jadi 2. Cari Integran adalah pecahan yang tidak sejati. Dengan membagi:Tulis Maka : Untuk Jadi KASUS III. FAKTOR KUADRATIK BERBEDAUntuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi yang muncul sekali dalam penyebut pecahan rasional sejati, terdapat pecahan parsial tunggal berbentuk di mana A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Contoh. Cari Uraikan Tulis Maka Jadi Diselesaikan serentak didapat: Jadi KASUS IV. FAKTOR KUADRATIK BERULANGUntuk tiap faktor kuadratik yang tak dapat direduksi yang muncul n kali dalam penyebut pecahan rasional sejati, terdapat suatu penjumlahan dari n pecahan parsial berbentuk Dimana semua A dan B adalah konstanta-konstanta yang harus ditentukan.Contoh Tulis . Maka Dari sini Jadi Dan Untuk integral kedua di ruas kanan, ambil .Maka65 Jadi Soal.Carilah:1. 2. 3. 4. 5. 6. BAB XINTEGRASI FUNGSI HIPERBOLIKKETENTUAN-KETENTUAN INTEGRASI.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. CONTOH SOAL.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. SOALSelesaikan.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Perlu diingat:1. 2. 3. 4. 5. 6. BAB XIINTEGRAL TERTENTUINTEGRAL TERTENTUMisalkan fungsi terdefinisi dan kontinu pada selang . Bagi selang menjadi buah subselang dengan menyisipkan titik titik dimana , dan ganti nama menjadi dan menjadi ._____________________________________________________________________| | | || || |0Nyatakan : dengan dengan ----------------------------- dengan (Ini adalah jarak yang berarah, masig-masing adalah positif berdasarkan ketidaksamaan di atas). Pada tiap subselang pilihlah masing-masing pada subselang , titik pada subselang , , pada subselang .Bentuk penjumlahan(i)Tiap suku adalah perkalian panjang suatu subselang dengan nilai fungsi di titik yang yang dipilih pada subselang tersebut. Nyatakan panjang subselang yang terpanjang yang muncul dalam (i). Sekarang misalkan banyaknya subselang menuju tak berhingga dengan cara sedemikian rupa, sehigga . (Salah satu cara adalah dengan jalan membagi dua sama besar tiap subselang yang mula-mula, secara bergilir bagi dua tiap subselang, dan seterusnya).Maka(ii)Ada dan adalah sama untuk semua metode dalam membagi lebih lanjut selang selama syarat dipenuhi, dan untuk semua pilihan titik-titk dalam hasil subselang.Dengan perjanjian ditulis:Simbol dibaca integral tertentu dari f(x), terhadap x, dari x = a sampai x = b.Fungsi f(x) disebut integran, sedang a dan b masing-masing disebut batas bawah dan batas atas (batas-batas) integrasi.SIFAT SIFAT INTEGRAL TERTENTUJika f(x) dan g(x) kontinu pada selang integrasi :1. 2. 3. untuk tiap konstanta c.4. 5. TEOREMA DASAR KALKULUS INTEGRALJika f(x) kontinu dalam selang dan jika F(x) adalah integral tak tentu dari f(x), maka :CONTOHGunakan Teorema Dasar Kalkulus Integral untuk menghitung soal-soal di bawah.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. SOAL.Kerjakan soal-soal di bawah.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. BAB XIIAPLIKASI INTEGRASI ILUAS BIDANGJika f(x) kontinu dan tidak negatif dalam selang integral tertentu dapat dijelaskan secara geometris. Misalkan selang dibagi dan titik dipilih seperti pada bab yang lalu.Pada tiap titik ujung tarik garis tegak lurus pada sumbu X, jadi membagi bidang dengan batas atas oleh kurva di bawah oleh sumbu X, dan diantara garis vertikal dan menjadi n buah pita. Dekati tiap pita dengan suatu persegi panjang yang alasnya (lebarnya) adalah alas pita dan tingginya (panjangnya) adalah ordinat yang didirikan di titik dari subselang. 65Luas wakil persegi panjang yang didekati yang didekati seperti pada gambar adalah Jadi adalah jumlah luas n buah persegi panjang yang didekati.Limit jumlah ini, , bila jumlah pita menuju tak berhingga seperti dijelaskan pada bab yang lalu, adalah luas bidang yang digambarkan di atas, atau secara singkat, luas di bawah kurva dari Dengan cara yang sama, jika adalah kontinu dan tidak negatif dalam selang , maka integral tertentu adalah luas bidang yang dibatasi oleh kurva , sumbu Y dan absis Jika adalah kontinu dan tidak positif pada selang , maka adalah negatif. Ini menunjukkan bahwa luasan ada di bawah sumbu X.Dengan cara yang sama jika adalah kontinu dan tidak positif pada selang , maka adalah negatif, menunjukkan bahwa luasan ada di sebelah kiri sumbu Y.Jika berubah tanda pada selang atau jika berubah tanda pada selang , maka luasan di bawah kurva diberikan oleh jumlah dua atau lebih integral tertentu.LANGKAH-LANGKAHLangkah-langkah yang perlu untuk membentuk integral tertentu yang menghasilkan luas yang diminta adalah :Buat suatu gambar yang menunjukkanluas yang dicariwakil pitapersegi panjang yang didekatiSebagai suatu kebijaksanaan, akan ditunjukkan wakil subselang yang lebarnya (atau ) dan titik pada subselang ini sebagi titik tengah.Tulis luas persegi panjang yang didekati dan jumlahnya untuk n buah persegi panjang.Misalkan jumlah persegi panjang menuju tak berhingga dan gunakan Teorema Dasar pada bab yang lalu.CONTOHCari luas bidang yang dibatasi kurva , sumbu X dan ordinat Jawab65Gambar di atas menunjukkan luas KLMN yang dicari, wakil pita RSTU, dan persegi panjang yang didekati RVWU. Untuk persegi panjang ini alasnya adalah dan luasnya adalah .Maka A = satuan luas.Cari luas yang terletak di atas sumbu X dan di bawah parabola Jawab.Kurva yang diberikan memotong sumbu X di x = 0 dan x = 4. Jika pemotongan secara vertikal digunakan, maka nilai-nilai ini menjadi batas-batas integrasi.65 Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjuk pada gambar, lebar adalah , dan luasnya adalah . Maka A = satuan luas.Cari luas yang dibatasi parabola , sumbu Y, garis y = -1 dan y = 3Jawab.65Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjuk pada gambar, lebar hdala , panjangnya adalah , dan luasnya adalah Luas yang ditanyakan satuan luas.Cari luas yang dibatasi parabola , sumbu X dan garis-garis x = 2 dan x = 6.Jawab.65Untuk persegi panjang yang didekati yang ditunjuk pada gambar, lebar adalah , tinggi adalah dan luasnya adalah Luas yang dicari satuan luas.Cari luas antara kurva dan sumbu X.JawabKurva memotong sumbu X di x = 0, x = 2, dan x = 4 seperti gambar di bawah65Dengan menggunakan irisan-irisan vertical, luas persegu panjang yang didekati dengan alas pada selang adalah , dan luas bagian yang terletak di atas sumbu X diberikan oleh . Luas persegu panjang yang didekati dengan alas pada selang adalah -, dan luas bagian yang terletak di bawah kurva adalah .Karena itu luas yang ditanyakan adalahA = + satuan luas.Cari luas yang dibatasi parabola dan garis JawabGaris memotong parabola di titik-titik (1,-2) dan (4,4).Dapat dilihat dari dua gambar di bawah bahwa bila irisan vertikal digunakan, beberapa pita bergerak antara garis ke parabola dan yang lain-lain dari bagian parabola ke bagian parabola, sedang bila irisan horisontal digunakan, tiap pita bergerak dari parabola ke garis. Di sini akan diberikan kedua penyelesaian tersebut untuk menunjukkan keunggulan yang satu terhadap yang lain dan untuk menunjukkan bahwa kedua cara mengiris harus dipertimbangkan sebelum mulai menghitung integral tertentu.65Menggunakan irisan horisontal.Lihat gambar kiri. Untuk persegi panjang yang didekati, lebar adalah , panjang adalah {(nilai x dari garis)-(nilai x dari parabola)} dan luasnya adalah .Luas yang ditanyakan adalah satuan luas.Menggunakan irisan vertical.Lihat gambar kanan. Bagi luasan dengan garis x = 1. Untuk persegi panjang yang didekati di kiri garis ini, lebar adalah , tinggi (dengan menggunakan simetri) adalah . dan luas adalah . Untuk persegi panjang yang didekati (di kanan garis x = 1), lebar adalah , tinggi adalah dan luasnya .Luas yang ditanyakan adalah satuan luas.SOAL.Cari luas yang dibatasi oleh garis-garis (kurva-kurva) sebagai berikut.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.BAB XIIIAPLIKASI INTEGRASI IIVOLUME BENDA PUTARBENDA PUTAR, dibentuk dengan memutar suatu bidang datar sekeliling sebuah garis (yang disebut sumbu putar) pada bidang datar. Volume benda putar dapat ditemukan melalui salah satu cara di bawah.METODE CAKRAMSumbu putar merupakan bagian batas bidang datar.Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil tegak lurus sumbu putar, dan persegi panjang yang didekati pita itu seperti tersebut pada bab terdahulu.Tulislah volume dari cakram (tabung) yang terbentuk, jika persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah cakram.Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak berhingga dan gunakan Teorema Dasar. Sumbu putar tidak merupakan bagian batas bidang datar.Seperti (1) di atas.Perpanjang sisi persegi panjang ABCD yang didekati, sampai bertemu sumbu putar di E dan F (seperti gambar di bawah). Apabila persegi panjang yang didekati ini diputar sekeliling sumbu putar, suatu cincin penutup terbentuk, volumenya adalah selisih antara hasil putaran persegi panjang EABF dan ECDF sekeliling sumbu putar. Tulislah selisih antara kedua volume itu dan lanjutkan seperti (2) di atas.Seperti (3) di atas.65CONTOH.Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah di kuadran I, yang dibatasi oleh parabola dan garis x = 2 sekeliling sumbu X.Jawab65Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Jika persegi panjang yang didekati diputar sekeliling sumbu x, suatu cakram berjari-jari y, tinggi , dan volumenya terbentuk. Jumlah volume n buah cakram (sesuai dengan n buah persegi panjang yang didekati), ialah dan volume yang ditanyakan ialah satuan volume.Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh parabola dan garis x = 2 sekeliling garis x = 2Jawab.65Bagilah daerah itu dengan irisan horisontal. Jika persegi panjang yang didekati diputar sekeliling garis x = 2, maka terbentuk cakram dengan jari-jari = 2 x, tingginya , volumenya . Volume yang ditanyakan satuan vol.Cari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh parabola dan garis x = 2 sekeliling sumbu Y.Jawab.65Bagilah daerah ini dengan irisan horisontal. Jika persegi panjang yang didekati diputar sekeliling sumbu Y, terbentuk sebuah tabung berlubang yang volumenya adalah selisih dari volume yang dibentuk dengan perputaran ECDF (dimensi 2.) dan persegi panjang EABF (dimensi ) sekeliling sumbu Y, yaitu . Volume yang ditanyakan satuan volCari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah perpotongan parabola dan sumbu X, sekeliling garis y = 6.Jawab65Bagilah daerah itu dengan irisan vertikal. Benda yang terbentuk oleh perputaran persegi panjang yang didekati sekeliling garis y = 6 ialah tabung berlubang yang volumenya sama dengan .Volume yang ditanyakan satuan volume.METODE RUMAH SIPUT (KULIT TABUNG)Buatlah sketsa daerah yang dimaksud, suatu pita wakil sejajar sumbu putar dan persegi panjang yang didekati.Tulislah volume (= keliling rata-rata x tinggi x tebal) rumah siput yang berbentuk tabung , yang terjadi apabila persegi panjang yang didekati itu diputar sekeliling sumbu putar dan hitung jumlah volume n buah rumah siput.Andaikan banyaknya persegi panjang yang didekati, menuju tak berhingga dan gunakan Teorema Dasar.CONTOHCari volume benda yang terbentuk oleh perputaran daerah yang dibatasi oleh parabola dan garis x = 2 sekeliling garis x = 2. Gunakan metode rumah siput.Jawab65Bagilah daerah yang dimaksud dengan irisan vertikal, untuk memudahkan , pilihlah titik P sedemikian rupa, sehingga x merupakan titik tengah garis AB. Persegi panjang yang didekati tingginya ialah , lebarnya dan jarak rata-rata dari garis x = 2 adalah 2 x . Jika persegi panjang diputar sekeliling sumbu putar, volume rumah siput yang terjadi ialah Volume yang ditanyakan satuan volume.Cari volume torus yang terbentuk oleh perputaran lingkaran sekeliling garis x = 3Jawab65Dipergunakan metode rumah siput. Persegi panjang yang didekati mempunyai tinggi 2y, tebal , dan jarak rata-rata dari sumbu putar 3 x.Volume yang ditanyakan : satuan volume.SOALCari volume yang terbentuk oleh perputaran daerah yang diketahui sekeliling garis yang diketahui (Gunakan metode yang cocok).1. 2. Top of Form3. 4. 5. 6. (Gunakan metode rumah siput)Bottom of FormBAB XIVAPLIKASI INTEGRASI IIITITIK BERATSuatu Luasan Bidang dan Benda PutarMASSA Benda Fisik ialah suatu ukuran untuk besaran substansi yang ada di dalamnya, sedangkan volume benda itu merupakan ukuran yang ditempati oleh substansi tersebut. Jika masa per satuan volume sama rata di seluruh benda itu, benda itu disebut homogen atau mempunyai kerapatan yang konstan.Dalam Fsika dan Mekanika massa dipandang sebagai benda yang terpusatkan pada statu titik, yang disebut titik pusat massa (juga, titik pusat grafitasi). Untuk benda yang homogen, titik ini berimpit dengan pusat geometriknya atau titik berat. Sebagai contoh titik pusat massa bola karet yang homogen berimpit dengan titik berat (pusat) bola, yang dipandang sebagai suatu benda ruang (bola).Titik berat suatu kertas yang berbentuk persegi panjang terletak di tengah di antara 2 permukaan, tetapi lebih baik dipandang terletak di salah satu permukaan, pada perpotongan diagonalnya. Jadi pusat massa kertas tipis berimpit dengan titik berat kertas yang dipandang sebagai suatu luasan bidang.Pembahasan di sini dibatasi pada suatu luasan bidang dan benda putar.MOMEN (PERTAMA) SUATU LUASAN BIDANG terhadap suatu garis L adalah hasil kali luas dengan jarak langsung titik berat ke garis itu. Momen luasan gabungan terhadap suatu garis merupakan jumlah momen masing-masing luasan terhadap garis itu.Momen suatu luasan bidang terhadap sumbu koordinat didapatkan sebagai berikut:Gambarlah daerah yang dimaksud, tunjukkan pita wakil dan perseg panjang yang didekati.Bentuklah hasil kali luas perseg panjang dan jarak titik berat dari sumbu koordinat, dan jumlahkan untuk semua perseg panjang.Andaikan banyaknya perseg panjang menuju tak berhingga dan gunakan Teorema Dasar. Top of FormUntuk suatu luasan bidang A yang mempunyai titik berat dan momen-momennya dan terhadap sumbu x dan sumbu y, dan CONTOHdari daerah yang ditunjukkan seperti pada gambar, carilah (a) momen terhadap sumbu-sumbu koordinat dan (b) koordinat titik berat JawabPersegi panjang yang atas luasnya 5 x 2 = 10 satuan dan titik beratnya adalah . Dengan cara yang sama, luas dan titik berat persegi panjang yang lain ialah : 12 satuan ; 2 satuan ; 10 satuan . Momen masing-masing persegi panjang terhadap sumbu x ialah 10(9), 12(5), 2(5) dan 10(1). Jadi momen gambar itu terhadap sumbu x adalah : Dengan cara yang sama, momen gambar itu terhadap sumbu y Luas gambar ialah A = 10 + 12 + 2 + 10 = 34Karena maka 34= 67 dan Karena maka dan Jadi titik berat adalah 65Tentukan titik berat daerah di kuadran I yang dibatasi oleh parabola Jawab. 65Titik berat persegi panjang yang didekati Maka Jadi titik berat Cari titik berat daerah yang dibatasi parabola dan garis Jawab65Titik berat persegi panjang yang didekati ialah , Maka Jadi titik berat MOMEN (PERTAMA) SUATU BENDA yang bervolume V, terbentuk oleh perputaran suatu daerah sekeliling sumbu koordinat, terhadap bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus sumbu itu, didapatkan sebagai berikut :Gambarlah daerahnya, tunjukkan pita wakil dan persegi panjang yang didekati.Bentuklah hasil kali volume, cakram atau rumah siput, yang terbentuk oleh perputaran persegi panjang sekeliling sumbu koordinat dan jarak titik berat persegi panjang dari bidang itu, dan jumlahkan untuk semua persegi panjang.Andaikan banyaknya persegi panjang menuju tak berhingga gunakan Teorema Dasar.Jika daerahnya diputar sekeliling sumbu x, titik berat terletak pada sumbu putar. Jika ialah momen benda terhadap bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus sumbu x,Dengan cara yang sama, jika daerah diputar sekeliling sumbu y, titik berat terletak pada sumbu putar. Jika ialah momen benda terhadap bidang yang melalui titik asal dan tegak lurus sumbu y,CONTOHCari titik berat benda yang terbentuk oleh perputaran daerah pada contoh soal nomor 2 sekeliling sumbu x. Gunakan persegi panjang yang didekati pada contoh soal nomor 2 dan metode cakram.Jawab.Cari titik berat benda yang terbentuk oleh perputaran daerah pada contoh soal nomor 2 sekeliling sumbu y. Gunakan persegi panjang yang didekati pada contoh soal nomor 2 dan metode rumah siput.Jawab.SOALCari titik berat dari daerah yang diketahui1. 2. 3. 4. 5. Cari titik berat benda yang terjadi karena perputaran daerah yang diketahui, sekeliling garis yang diketahui.6. 7. 8. 9. 10. 11. Bottom of FormBAB XVAPLIKASI INTEGRASI IVPANJANG BUSURAB suatu kurva berdasarkan definisi merupakan limit jumlahan dari panjang sekumpulan tali busur yang berderet-deret yang menghubungkan titik-titik pada busur itu, jika banyaknya titik-titik menuju tak berhingga, sedemikian rupa, sehingga panjang setiap tali bususr menuju nol.65Jika A(a,c) dan B(b,d) dua titik pada kurva y = f(x), dengan f(x) dan turunannya masing-masing kontinu dalam selang , panjang busur AB dinyatakan oleh Dengan cara yang sama, jika A(a,c) dan B(b,d) dua titik pada kurva x = g(y), dengan g(y) dan turunannya ke y masing-masing kontinu pada selang , panjang busur AB dinyatakan olehContoh Soal.Cari panjang busur kurva dari x = 0 sampai x = 5 dan satuanCari panjang busur kurva dari y = 0 sampai y = 4 dan satuan.Soal.Carilah panjang seluruh kurva atau busur yang diketahui1. dari x = 1 sampai x = 82. dari x = 1 sampai x = 23. dari (2,0) sampai BAB XIVFUNGSI DENGAN BEBERAPA PEUBAH BEBASFungsi dengan beberapa peubah bebas.Jika untuk setiap titik (x,y) bagian (daerah) dari bidang xy ditunjuk sebagai bilangan riil z, maka z dinyatakan sebagai fungsi, z = f(x,y), dengan peubah bebas x dan y. Tempat kedudukan semua titik (x,y,z) yang memenuhi z = f(x,y), merupakan permukaan ruang biasa. Dengan keadaan yang sama fungsi w = (f(x,y,z,....) dari beberapa peubah bebas dapat didefinisikan tetapi, pada saat ini, tidak ada gambar geometri yang memungkinkan.Terdapat beberapa perbedaan antara kalkulus dari satu dan dua peubah. Untunglah, kalkulus fungsi tiga atau lebih peubah berbeda sedikit dengan fungsi dua peubah bebas. Pembahasan disini dibatasi paling banyak fungsi dua peubah bebas.Suatu fungsi f(x,y) disebut mempunyai limit A, karena dan , jika untuk setiap , bagaimanapun kecilnya , terdapatlah , sedemikian rupa sehingga untuk semua (x,y) yang memenuhi(i)Maka |f(x,y)-A|