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7/18/2019 Materia

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CHIMBORAZOFACULTAD DE CIENCIAS POLÍTICAS Y ADMINISTRATIVAS

CARRERA DE CONTABILIDAD Y AUDITORÍA

MATERIA DE INVESTIGACIÓN OPERATIVA II

MÉTODO DE LA ESQUINA DEL NOROESTE

EJEMPLO Nº.- 1

La panadería Grani’s con sus 3 sucursales en la dolorosa, la circunvalación, y

plaza de toros, oferta 30, 40 y 10 unidades de pan que serán distribuidos en lacondamine, el TÍA, el AKÍ y el SUPERMAXI cuya demanda son de 20, 10, 30 y

20 unidades de pan respectivamente, los precios se reflejan en la siguiente tabla:

ORIGENDESTINOS

OFERTACONDAMINE TÍA AKÍ SUPERMAXI

DOLOROSA 20 10 30

CIRCUN. 30 10 40

PLAZA DE T. 10 10

DEMANDA 20 10 30 20 80

Z= 240+ 80+ 270+ 120+ 100Z= 810

EJEMPLO Nº.- 2

ORIGEN

DESTINOSOFERTAA B C D E

1 100 100 200

2 100 100 200

3 100 100

4 100 100 100 300

DEMANDA 100 200 300 100 100 800

84812

5 7 9 12

10 2 7 10

2

3

5

9

6

1

4

5

2

3

6

4

12

2

8

3

5

10

5

2

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Z= 200+ 600+ 100+ 300+ 600+ 400+ 300+ 200

Z= 2700

MÉTODO DE APROXIMACIÓN DE VOGEL

Da una solución factible y para eso se debe aplicar el algoritmo.

ALGORITMO DE RESOLUCIÓN

1. Determinar para cada fila y columna una medida de penalización restandolos dos costos menores en filas y columnas.

2. Seleccione la fila o la columna con la mayor penalización. 3. De la fila o columna de mayor penalización escoja la celda con el menor

costo y asigne la cantidad posible de unidades. 4. Si queda sin factorar una fila o columna deténgase. 5. Si queda sin factorar una fila o columna con oferta o demanda positiva

aplique el método de costo mínimo y termine. 6. Si todas las filas y columnas que no se tacharon tienen oferta o demanda

0, determine las variables básicas cero utilizando el método de costomínimo y termine.

7. Si no se presenta ninguno de los dos casos anteriores vuelva al paso 1hasta que las ofertas o demandas se hayan agotado.

EJEMPLO Nº.- 1

ORIGENDESTINOS

OFERTAP.SUCRE P.MALDONADO P.INFANTIL P.BELLAVISTA

ÁNGEL 300

MATEO 100

CARLOS 200

DEMANDA 50 100 300 150 600

ORIGENDESTINOS


ÁNGEL 300 300

MATEO 100 100

CARLOS 50 150 200

DEMANDA 50 100 300 150 600

5413

12

6 5 10 11

10 9 11 4

513

6 5 10 11

10 9 11 4

12 4

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Z= 1200+ 500+ 500+ 600 M+ n- 1 Z= 2800 3+ 4- 1< 6

6<6

EJEMPLO Nº.- 2

ORIGENDESTINOS


SOFÍA 360

JÉSSICA 480

ANITA 520

DEMANDA 170 320 410 460 1360

ORIGENDESTINOS


SOFÍA 170 190 360

JÉSSICA 320 160 480

ANITA 250 270 520

DEMANDA 170 320 410 460 1360

Z= 1360+ 1140+ 3840+ 2720+ 3250+ 1890

Z= 14200

613

12 17 8

19 16 13 7

8

18

15

613

12 17 8

19 16 13 7

8

18

15

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EJEMPLO Nº.- 3

ORIGENDESTINOS

OFERTA

AHORRO CORRIENTE ESPECIAL

CONDAMINE 10 10

CACHA 5 15 20

LA LIBERTAD 15 15

FICTISIA 20 20

DEMANDA 15 30 20 65

Z= 20+ 15+ 75+ 60

Z= 170

ORIGENDESTINOS

OFERTAAHORRO CORRIENTE ESPECIAL

CONDAMINE 10 10

CACHA 20 20

LA LIBERTAD 15 15

FICTISIA 20 20

DEMANDA 15 30 20 65

Z= 30+ 100+ 15

Z= 145

2

3

1

0

3

5

4

1

2

1

0 0

2

3

1

0

3

5

1

2

1

0 0

4

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MÉTODO DE ASIGNACIÓN

EJEMPLO Nº.- 1

ORIGENDESTINOS

GUANO PENIPE COLTA PALLATAN.

SAN

ALFONSO

DOLOROSA

BELLAVISTA

LA MERCED

REDUCCIÓN DEFILAS

0 2 3 1

6 1 0 6

6 2 0 8

5 4 0 8

0 6 8 0

1 0 0 0

1 1 0 2

5 3 0 2

Z= 4+ 3+ 1+ 9

Z= 17

REDUCCIÓN DECOLUMNAS

0 1 3 0

6 0 0 5

6 1 0 7

5 3 0 7

3

8

7

9

5

3

3

8

6

2

1

4

4

8

9

2

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EJEMPLO Nº.- 2

GUANO PENIPE COLTA PALLATANGA

SANALFONSO

8 12 13 9

DOLOROSA 5 3 14 7

BELLAVISTA 6 4 11 8

LA MERCED 10 15 9 5

REDUCCIÓN DEFILAS

0 4 5 1

2 0 11 4

2 0 7 4

5 10 4 0

0 6 1 1

0 0 5 2

0 0 1 2

5 12 0 0

Z= 9+ 3+ 6+ 9

Z= 27

EJEMPLO Nº.- 3

A B C D

1 15 9 15 14

2 12 14 17 9

3 13 16 15 10

4 14 11 9 7


0 4 1 1

2 0 7 4

2 0 3 4

5 10 0 0

0 6 0 0

0 0 4 1

0 0 0 1

6 13 0 0

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3 8 4 3

5 3 0 8

4 1 2 7

3 6 8 10

REDUCCIÓN DE

FILAS

0 6 2 1

5 3 0 8

3 0 1 6

0 3 5 7

EJEMPLO Nº.- 4

A B C D

1 9 6 7 12

2 10 9 18 8

3 12 12 13 6

4 17 16 11 15

9 12 11 6

8 9 0 10

6 6 5 12

1 2 7 3

REDUCCIÓN DE

COLUMNAS

0 6 2 0

5 3 0 7

3 0 1 5

0 3 5 6

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REDUCCIÓN DE

FILAS

3 6 5 0

8 9 0 10

1 1 0 7

0 1 6 2

Z= 12+ 18+ 12+ 17

Z= 59

MÉTODO DE PASOS SECUENCIALES

Este método comienza en una solución inicial factible (como el que produce elMEN, MAV, MCM) en cada paso se intenta enviar artículos por una ruta que nose haya usado en la solución factible actual, en tanto se elimina una ruta que nose haya usado actualmente. En cada cambio de ruta se debe cumplir que:

1. La solución siga siendo factible2. Que mejore el valor de la función objetivo

El procedimiento termina cuando no hay cambio de rutas que mejoren el valorde la función.

Problema degenerado.- Cuando una solución factible usa menos de m+n-1rutas.

Callejón sin salida.- No se encuentran trayectorias apropiadas.

ALGORITMOS:

1. Usar la solución actual (MEN, MAV o MCM), para crear una trayectoriaúnica del paso secuencial, usar estas trayectorias para calcular el costomarginal de introducir a la solución cada ruta no usada.

2. Si todos los costos marginales no son iguales o mayores a cero, terminar,se tendrá la solución óptima. Sino elegir la celda que tenga el costomarginal más negativo (empates, se resuelve arbitrariamente).

3. Usando la trayectoria del paso secuencial determine el número máximode artículos que se pueden asignar a la ruta elegida en el punto 2 y ajustala selección adecuadamente.

4. Regrese al paso 1.


3 5 5 0

8 8 0 10

1 0 0 7

0 0 6 2

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EJEMPLO Nº.- 1

A B C D OFERTA

1 400

2 600

3 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

A B C D OFERTA

1 300 100 400

2 600 600

3 100 200 400 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 3600+ 1300+ 2400+ 900+ 2400+ 1600

Z= 12200 MEN

A B C D OFERTA

1 200 200 400

2 600 600

3 100 200 400 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

6

12 49

4

13

10

6

12 4

10 11

6

129

4

13

10

6

12 4

10 11

6

12 49

4

13

10

6

12 4

10 11

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Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600

Z= 10.000 MCM

A B C D OFERTA

1 200200

400

2 600 600

3 300 200 200 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 800+ 1200+ 2400+ 3000+ 1800+ 800

Z= 10.000 MAV

PASOS SECUENCIALES

A B C D OFERTA

1 300 100 400

2 600 600

3 100 200 400 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

A B C D OFERTA

1 200 0 200 400

2 600 600

3 100 200 400 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

6

12 49

4

13

10

6

12 4

10 11

6

129

4

13

10

6

12 4

10 11

6

12 49

4

13

10

6

12 4

10 11

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Z= 2400+ 800+ 2400+ 1000+ 1800+ 1600

Z= 10.000

EJEMPLO Nº.-2

A B C D OFERTA

1300

400

2 300 400 100 600

3 600 100 700

DEMANDA 300 800 200 400 1700

Z= 2100+ 2700+ 4400+ 6000+ 4200

Z= 14.000 PS

MÉTODO DE DISTRIBUCIÓN MODIFICADA

El método MODI ofrece la oportunidad de calcular costos marginales basadosen valores de las variables de decisión del modelo, pero añadido a esto tambiénnos indica la celda no básica en la cual se deben realizar los ajustes para obteneruna mejor solución.

EJEMPLO Nº.-1

A B C OFERTA

1 250 150 400

2 200 100 300

3 700 700

DEMANDA 250 350 800 1400

7

9 518

11

15

7

9

12 14

6 13

11

7

9

14

6

918

1512

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A B C OFERTA

1 100 20 400

2 130 170 300

3 130 700

DEMANDA 250 350 800 1400

Z= 4720

A B C OFERTA

1 120 400

2 100 30 170 300

3 130 700

DEMANDA 250 350 800 1400

Z= 4220

EJEMPLO Nº.-2

1 2 3 4 OFERTA

A 400 100 500

B 700 700

C 100 200 500 800

DEMANDA 400 900 200 500 1700

Z= 14.200 MEN

11

7

9

14

6

918

1512

11

7

9

14

6

918

1512

6

12 49

4

13

10

6

12 4

10 11

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A B C D OFERTA

1 300 200 500

2 700 700

3 100 200 500 800

DEMANDA 400 900 200 500 1700

COSTOS MARGINALES

+ = + =

+ =

+ =

+ =

+ =

= 0 = 1 2 = −9 = 1 3

= −4 = 16

= 8

CM= Cij- (Ui+ Vj)

= 4 − U 1+V 3 = 4 − 0 + 1 6

= −12

= 6 − U 1+V 4

= 6 − 0 + 8

= −2

= 6 − U 2+V 1

= 6 − − 9 + 1 2

= 3

7

9 518

11

15

9

12 14

6 13

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= 1 0 − U 2+V 3

= 1 0 − −9+16

= 3

= 1 1 − U 2+V 4

= 1 1 − − 9 + 8

=12

= 1 0 − U 3+V 1

= 1 0 − −4+12

= 2

COSTOS MARGINALES

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

+ =

= 0 = 1 2 = 3 = 1

= 8 = 4 = −4

CM= Cij- (Ui+ Vj)

= 1 3 − U 1+V 2 = 1 3 − 0 + 1

= 12

= 6 − U 1+V 4

= 6 − 0+ −4

= 10

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= 6 − U 2+V 1

= 6 − 3 + 1 2

= −9

= 1 0 − U 2+V 3

= 1 0 − 3 + 4

= 3

= 1 1 − U 2+V 4

= 1 1 − 3 − 4

=12

= 1 0 − U 3+V 1

= 1 0 − 8 + 1 2

= −10

COSTOS MARGINALES

+ =

+ = + = −

+ =

+ =

+ =

= 0 = 1 2

= −7

= 1 1

= −2 = 4 = 6

CM= Cij- (Ui+ Vj)

= 1 3 − U 1+V 2 = 1 3 − 0 + 1 1

= 2

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= 6 − U 2+V 1

= 6 − 0 + 6

= 1

= 1 0 − U 2+V 3

= 1 0 − − 7 + 4

= 13

= 1 1 − U 2+V 4

= 1 1 − − 7 + 6

=12

= 1 2 − U 3+V 3

= 1 0 − − 2 + 4

= 10

Z= 12.000

MÉTODO DEL CRUCE DEL ARROYO

El método del cruce del arroyo también llamado algoritmo de Stepping Stone o

método del paso a paso es un método que nos ayuda a calcular cuál será la

variación del costo mínimo, además a buscar la solución óptima de un problema

de transporte solucionado por algunos de los métodos (VOGEL, COSTO

MÍNIMO, ESQUINA DEL NOROESTE, entre otros).

Este método parte de una solución inicial y mediante interacciones (procesos

aritméticos) busca mejorarla hasta llegar a la solución óptima. Si la solución de

partida es la más desfavorable en términos económicos, el procedimiento se

hará más dispendioso pues implica más interacciones hasta aproximarse a la

solución óptima. Por tal motivo entre más acertada sea la solución de la que

partiremos, resultará más confiable la solución óptima que resultará de nuestros

procedimientos.

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EJEMPLO Nº.-1

A B C D OFERTA

1 15

2 25

3 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

A B C D OFERTA

1 5 10 15

2 5 15 5 25

3 5 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 410

A B C D OFERTA

1 0 15 15

2 0 15 10 25

3 5 0 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 335

11

16 1814

7

0

0

12

10 20

9 0

11

16 1814

7

0

0

12

10 20

9 0

11

16 1814

7

0

0

12

10 20

9 0

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A B C D OFERTA

1 510

15

2 10 15 0 25

3 5 0 5

DEMANDA 5 15 15 10 45

Z= 315

PROGRAMACIÓN LINEAL

a) x b) x c) x − d) −

Circunferencia con coeficientes

− ℎ + − =

EJEMPLO Nº.-1

X + 7 X + y + 9 − 3 = 0

(X + 7 X + 494 ) + ( y − 9 y + 814 ) = 3 + 494 + 814

(X + 72) + ( y − 9

2) = 712

(− 72 + 9

2)

2 + 3 y = 5 2 + 3 y − 5 = 0

11

16 1814

7

0

0

12

10 20

9 0

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d = |a x + b y + c√ a + b |

d = 2−3 + 34 − 5

√ 4 + 9

d = 1√ 13

Distancia entre dos puntos:

d = 1 − 2 + 1 − 2

d = − 3 − 5 + 4 − 7

d = √ 6 4 + 9

d = 8 . 5

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Distancia de un punto a la recta

PENDIENTE

y 1−y 2 1 − 2

m = 7 − 45 + 3

m = 38

PUNTO

y − y 1 = mx − x 1

y − 4 = 38 x + 3

8 y − 3 2 = 3 x + 9

8 y − 3 2 = 3 x + 9

3x−8y+41=0 ECUACIÓN

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA

La programación cuadrática es el nombre que recibe un procedimiento queminimiza una función cuadrática de n variables lineales de igualdad o dedesigualdad.

EJEMPLO Nº.-1

MINIMIZAR:Z= x 1 − 2 + x 2 + 2

S.a. X 1 + 2 X 2 ≤ 3 8X 1 + 5 X 2 ≥ 1 0

≥ 0

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X 1 + 2 X 2 = 3 2 X 2 = − X 1 + 3

X2 = −X1−132

X 2 = − 1

2 + 3

2

PENDIENTE

m = − 12

y = m x + b

m1.m2=−1 − 12 . m 2 = − 1

m 2 = 2

y − y 1 = mx − x 1 X 2 − 2 = 2x − 2 X 2 − 2 = 2 X − 4

2X−X2=2

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2 1 − 2 = 2

X 1 + 2 X 2 = 3

4 X 1 − 2 X 2 = 4

X 1 + 2 X 2 = 3

5X1 =7

=

X 1 + 2 X 2 = 3 75 + 2 X 2 = 3

2 X 2 = 3 − 75

X2 = 3 − 752

X2 = 45

X1;X2 P1,4;0,8

= X 1 − 2 + X 2 − 2

= (75 − 2) + (4

5 − 2)

= 95

= 1 , 8

EJEMPLO Nº.-2

MINIMIZAR: La función: Z= −6X1−13X2− X1X2 −4X1 −4X2

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S.a. X 3 = 0 X 4 = 0 X 2 = 2 0

X 1 + X 2 = 2 3X 1 + 2 0 = 2 3 1 = 23 − 20

1 = 3

Z= −6X1−13X2− X1X2 −4X1 −4X2

Z= −63−1320− 3.20 −43 −420

Z= −18−260−60−36−1600

Z= −1974

ALGORITMO DE RAMIFICACIÓN

El método de Bronch and Bound o de ramificación o acotamiento es un algoritmo

diseñado para la resolución de modelos de programación entera sin embargo es

muy frecuente que la naturaleza del problema nos indique que ver éste como si

fuese un modelo de programación lineal luego generar cotas en caso que al

menos una variable de decisión adopte un valor fraccionario.

El algoritmo genera en forma recursiva cotas (o restricciones adicionales) que

favorecen la obtención de variables enteros para las variables de decisión. En

este contexto resolver el modelo lineal asociado o un modelo de programación

entera se conoce frecuentemente como resolver la relajación continua del

modelo entero.

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MODELOS DE REDES

EJEMPLO Nº.-1

Almacenes Buen Hogar distribuye sus artículos en 5 ciudades por lo regulardisponen de 10 artículos INSITU, estos artículos deben ser enviados a dos

locales de construcción designados con el número 3 y 4. En el local 3 se necesita

3 artículos y 7 en el otro local. Elabore:

1. Diagrama de red

2. Diagrama de capacidades y costos agregados

3. La formulación del PL de este problema

4. La matriz de incidencia (NODO- ARCO)

5. Elabore la tabla de transporte

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MIN:Z= C12.X12+ C23X23+ C24X24+ C25X25+ C34X34+ C43X43+ C53X53+ C54X54S.a.+X12 =10-X12 +X23 +X24 +X25 =0

-X23 +X34 -X43 -X53 =-3-X24 -X34 +X43 -X54 =-7

-X25 +X53 +X54 =00<=Xij<=Uij

ARCOVALOR

1,2 2,3 2,4 2,5 3,4 4,3 5,3 5,4

1 1 0 0 0 0 0 0 0 10

2 -1 1 1 1 0 0 0 0 0

3 0 -1 0 0 1 -1 -1 0 -3

4 0 0 -1 0 1 1 0 -1 -7

5 0 0 0 -1 0 0 1 1 0

DESITNO

ORIGEN 3 4 OFERTA

1 10

DEMANDA 3 7 10

PROBLEMA DE LA RUTA MÁS CORTA

Se refiere a una red en la que cada arco (i, j) tome asociado un número C y que

se interpreta como la distancia que hay entre los NODOS. El objetivo consiste

en encontrar las rutas más cortas entre un NODO específico y todos los demás

NODOS de la red.

P13 P14

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PROBLEMA DEL ÁRBOL EXPANDIDO MÍNIMO

La tarea consiste en construir un árbol que conecte todos los NODOS de la redcon un costo mínimo, esto se conoce como árbol expandido mínimo, como

sabemos in árbol es el conjunto de (n- 1) arcos- pasos, en una red con n nodosque conecta todo par de nodos.

ALGORITMO GLOTÓN

Este algoritmo resuelve el problema en un extremo simple existen dos formasque son:

Método Gráfico

1. Comience en cualquier NODO, escoja el arco más barato que parta de

ese NODO, este es su primer enlace y se conoce como segmento deconexión entre dos NODOS, los NODOS restantes se llaman NODOSdesconectados.

2. Considere todos los arcos que parten del segmento de conexión a losNODOS desconectados, seleccione el más económico como siguienteenlace, rompa arbitrariamente los empates, esto agrega un nuevo NODOal segmento de conexión repita entre paso hasta que todos los NODOSestén conectados, es decir, requiere de (n- 1) pasos.

Método Tabular

1. Empiece arbitrariamente con cualquier NODO, se designa este NODOcomo conectado y coloque un visto a lado de la fila correspondiente a esteNODO, tache el índice de la columna que corresponde a él.

2. Considere todas las cifras que tengan el visto busque el valor mínimo enlas columnas cuyo índice no han sido tachados y encierre ese valor en uncírculo, si existen empates rompa arbitrariamente la columna que tengaese elemento encerrado en un círculo designe al nuevo NODO conectado,se tacha el índice de la columna y coloque una marca correspondiente aeste NODO, repita este paso hasta cuando todos los NODOS esténconectados.

3. Una vez que todos los NODOS hayan sido conectados identifique el árbolde expansión mínima mediante los elementos que están encerrados en elcírculo.

Se llama algoritmo glotón debido a que en cada paso se hace la mejor selecciónposible este es uno de los pocos problemas de a Ciencia Administrativa dondese garantiza que el algoritmo glotón nos dará la solución óptima.

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EJEMPLO Nº.-1

MÉTODO GRÁFICO

MÉTODO TABULAR

HACIADE 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 4 1

2 4 6 3

3 6 6 7

4 6 1

5 1 4 9

63 4 5 7

7 7 5 2 2

8 1 2 2

9 9 5

10 7 5 3

11 2 3 1

12 2 1

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

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El NODO 1 Se conecta 5 con 1

2 3 6

5 6 4

6 2 3

6 7 5

7 8 2

7 11 2

8 4 1

10 9 5

11 10 3

11 12 1

ESQUEMA FINAL

FLUJO MÁXIMO.- Aquí encontramos un solo NODO FUENTE y un solo NODOdestino. El objetivo consiste en encontrar la máxima cantidad del flujo total quepuede circular a través de la red en una unidad de tiempo, la cantidad de flujopor unidad de tiempo en cada arco está limitada por las restricciones decapacidad.

FLUJO FACTIBLE

1. No se excede la capacidad de ningún arco del camino.2. El flujo en cada NODO debe satisfacer la condición de conservación.3. La cantidad máxima se puede fluir de la fuente al destino a lo largo de un

camino, es igual o menor de las capacidades de los arcos de dichocamino.

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

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EJEMPLO Nº.- 1

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EJEMPLO Nº.-2

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