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PORCENTAJE %
20% De cada ciento se toma una parte ej. El 20 de 100
5% por cada 100 unidades 20
0,09 esto significa el tanto por uno por cada unidad tomo nueve centésimos
TANTO POR CIENTO
TANTO POR UNO
TANTO POR UNO
TANTO POR CIENTO
4% 0,04 0,05 5%12% 0,12 0,19 19%50% 0,5 0,65 65%170% 1,7 3,29 329%5. 1/4% 0,525
APLICACIONES EN EL TANTO POR CIENTO %
1. Hallar el precio de la factura de un refrigerador cuyo precio de vista es 930$ y se aplica un descuento del 9% por la compra al contado.
DATOS
PV= 930 PF= PV (1-DESC)
DESC=0,09% PF= 930-0,09
PF=? PF= 846,30
2. Hallar el precio de la factura de una cocina cuyo precio de vista es 930$ y se ofrece
un descuento de un 714
%.
DATO
PV= 930 PF= PV (1-DESC)
DESC=0,0725% PF= 930-0,0725
PF=? PF= 862.58
3. Hallar el precio de la factura de una computadora cuyo precio de vista es 1650$ y se ofrece un descuento del 2% y el 11% respectivamente por su compra.
DATOS
PV= 1650$ PF= PV (1-DESC)
DESC=0,02% 0,11% PF= 1650(0,98)(0,89)
PF=? PF= 1439,13
4. Hallar el precio de la factura de la venta de un equipo de sonido cuyo precio de vista es 700$ y se ofrece un descuento del 3% y se aplica el impuesto del 12%
DATOS
PV= 700$ PF= PV (1-DESC) (1+imp)
DESC=0,03% PF= 700(0,03) (1+0,12)
PF=? PF= 700(0.97) (1.12)
PF=760,48
5. Hallar el precio de factura de un electrodoméstico cuyo precio de vista es 190$ y se ofrece un descuento del 3% y 6% y se aplica el impuesto del 5% y 17%
DATOS
PV= 190$ PF= PV (1-DESC) (1+imp)
DESC=0,03% 0,06 PF= 190(0,03) (0,06) (1+0,05) (1+0,17)
PF=? PF= 700(0.97) (0,94) (1.05) (1.17)
PF=212.83
UTILIDAD DEL PORCENTAJE
U= utilidad
PV= precio de venta
PC= precio de costo
1. Hallar la utilidad de un pantalón si el precio de compra es de 30$ y se dese vender en 45$
DATOS
PC= 30$ U=PC-PV
PV=45$ U= 30-45
U=? U=15
2. A qué precio se debe marcar un vestido para su venta si se compró en 190$ si se desea ganar el 18% sobre el precio de compra.
DATOS
PC= 190$ U=PC (1+IM)
PV=0,18$ U= 190 (1.18)
U=? U= 224,20
3. A qué precio se debe marcar un calentador cuyo precio de compra es 75$ y se desea obtener una utilidad del 20% sobre el precio de venta hallar también la utilidad con respecto al precio de compra y al precio de venta.
DATOS
PC= 75 PV= PC+U U=PC-PV
U= 0,20PV PV= 75+0,20PV U=93,75-75
PV=? PV= 75
0,80 U=18.75
PV=93,75
EN FUNCION DE PV
93,75 100%
18,75 X
PV=20
EN FUNCION DE PC
75 100%
18,75 X
PC= 25
4. Hallar el precio de compra de un artículo que se vendió en 130$ con una utilidad del 35% sobre el precio de compra.
DATOS
PV=130 PV=PC+U
U=0,35PC 130=PC+0,35PC
PC=? PC= 1301,35
PC= 96,30
(1+i )21=37+(4−1
2 )+50
1+21= +(52556
)
I= 24,10
PROGRESIÓN ARITMÉTICA
2, 5, 8, 11, 14, 17,20……………… progresión aritmética ascendente
6, 11, 16, 21, 26,31…………………… progresión aritmética ascendente
32, 28, 24, 20, 16, 12, 8,4……………………….. Progresión aritmética decreciente
26, 23, 20, 17, 14,11…………………………… progresión aritmética decreciente
Calculo de la diferencia.
Seleccionamos dos términos consecutivos de la progresión y reste el segundo menos el primero ejemplo.
14-11=3
Calculo del enésimo término
6, 9, 12, 15, 19, 21………………….. Progresión
3, 5, 7, 11, 15, 19……………………..no progresión
an=a1(n-1).d
a1=¿ Primer termino
an=¿Ultimo termino
n= número de términos
d= diferencia
Calculo de la suma de términos de la progresión aritmética
S=n2
¿+an)
Ejemplos
1. Hallar la diferencia y la suma de la progresión sabiendo que a1=¿34; an=¿ 14; n=¿10
DATOS:
a1=¿34 an=a1+(n−1 )d S=n2
(a1−an )
an=¿ 14 14=34+ (10−1 )d S=102
(34−14 )
n=¿1014−34(10−1 )
=d S=100
d=−209
d=−209
S=1002. Hallar el primer término y la suma de la progresión sabiendo que
DATOS:
a1=¿ an=a1+(n−1 )d S=n2
(a1−an )
an=¿ 45 45=a1+ (19−1 ) 13
S=192
(39−45 )
n=¿19 45=a1+6 S=−57
d=13
a1=¿39
S=¿
3. Hallar el término 150 y la suma de la progresión siguiente
25-42
DATOS
a1=25 an= a1+ (d-1).d S=n2(a1+an)
an=? an= 25+(150-1).(17) S=150
2(25+2258)
n= 150 an=2.558 S=150
2(2533)
d=17 S=193725
s=?
4. Hallar el término 39 y la suma de la progresión siguiente
23
82
DATOS
a1=23
an= a1+ (d-1).d S=n2(a1+an)
an=? an= 23
+38.(103
¿ S=392
( 23+ 1160
9)
n= 39 an=1163
.(103
) S=392
( 11609
)
d= 103
an=1160
9 S=
75793
EJERCICIO
a1=25 an= a1+ (n-1).d S=n2
(a1+an) an= a1+(n-
1)d
an= an=25+(18)d 720=192
(25+18d+25)
an=25+(18)1.43
n=19 an=18d+25 1440= 19(18d+50) an=50.74
d= 1440-950=342d
S= 720 d=490342
=1.43
EJERCICIO
a1= an= a1+ (n-1)d S=n2
(a1+an)
an=140 140=a1+(n-1)-26 120=n2
(114+26n+140)
n= 140=a1-26n+26 240= n (26n+254)
d=-26 140-26+26n=a1 240=26n2+254n
S= 120 114+26n=a1 26n2+254n-240=0
A1= 114+26(0.87) n= −b±√b2−4 ac2a
A1=136.62 n= −254±√2542−4(26)(−240)
2(26)
n=−254 ±√8947652
n=−254+299.13
52→ n1= 0.87
n=−254−299.13
52→ n2= -10.64
5. Una persona adquiere una computadora por lo que se compromete a pagar el primer mes 40 el segundo mes $48 el tercer mes $56 y asi sucesivamente. Hallar el precio total del computador si los pagos lo hizo durante un año y medio.
DATOS
a1=40 an=a1+(n-1).d S=n2
(a1+an)
an= an=40+(17)(8) s=182
(40+176)
n=18 an=176 S=1944
d=8
S=
6. Interpolar 4,26 aritméticas entre 7y 32
DATOS 7, 12, 17, 22, 27, 32
a1=7 an=a1+(n-1).d
an=32 32=7+(5).d
n=6 32=7+5d
d=8 32-7=5d
S= d=5
PROGRESIONES GEOMETRICAS
4, 12, 36,………………………… Progresión geométrica creciente
7, -21, 63, -181………………. Progresión geométrica creciente
Es progresión geométrica cuando su razón es un número entero.
Razón
El segundo término dividido para el primer término.
r=10830
r=3
Calculo del enésimo termino (ultimo termino) y la sumatoria
an=a1.rn−1 S=
a1−a1.rn
1−r
an=enésimo termino S=a1−an. r
1−r
a1=primer termino
r=razón
n=número de términos
S=suma
PROGRESIÓN ARMÓNICA
Es el reciproco de la progresión armónica.
5, 12, 19, 33, 40, 47, 54, 61 ,36
1. Halar el término 17 y la suma y la suma de los 17 primeros términos de la progresión siguiente
3, 11, 19, 27,35.
an=3+(16)8
an=131
s=172
¿
S=1139
s= 11139
EJEMPLOS
13,
111
,19,
122
34−2
5= 7
20,
37−1
6=16−7
42= 11
42
643=6,75
INTERÉS SIMPLE
I= IC
2. Calcular la tasa de interés de un capital 230 que genera en interese de 35
I= 35
C=230I= 35
230
I=15.22 %
3. Calcular el interés de un capital 13600 que genera el interés $235 dólares
DATOS
C= 13600
T= 235 I= 235
13600
I=17,279
4. Calcular el interés de un capital 21980 que genera el interés $5320 dólares
DATOS
C= 21980 I= interés
T=5320 C= Capital
I= 532021980
T= tasa de interés
I=24,204 % T= tiempo
I=C . i .t
5. Hallar el interés de un capital de $920 colocados con una tasa de interés de 4% durante 2 años.
C= 620 i= C, i, t
T=0,04% i= 920*0,04*2
T= 2% i= 73.60
6. Hallar el interés de un capital de $23750 colocados con una tasa de interés de 641%
durante 1 años.
i= 23570*0,0625*1.5
i= 2209.69
7. Hallar el interés de un capital de $9550 colocados con una tasa de interés de 7% durante 8 años.
i=9550∗0,07 ( 812
)
i= 445.67%
8. Hallar el interés de un capital de $13100 colocados con una tasa de interés de 1364
% durante 8 años.
i=13100∗0,13( 812
)
i=1938,58
9. Hallar el interés de un capital de $2200 colocados con una tasa de interés de 4% durante 170 años.
i=12200∗0,04 (17030
)
i=498.67
TIPOS DE INTERÉS
Interés simple exacto.- cuando utiliza el año calendario (365 o 366 días )
Interés simple ordinario.- cuando uso el año comercial (360 Días)
1. Hallar el tiempo transcurrido des de el 30 de agosto del 2006 hasta el 31 de diciembre 2007
2007 12 31
2006 08 03
1 AÑO 4 MES1 DIAS (630+4 (30)+1)
TIEMPO APROXIMADO 481 DÍAS
TIEMPO EXACTO
365 - 242 + 365 624 días
2. Hallar el tiempo transcurrido des de el 30 de mayo del 2011 hasta el 25 de febrero del siguiente año
2012 02 25
201105 30
201114 25
201105 30
201114 55
20115 30
4 MES25DIA
TIEMPO APROXIMADO 265 DIAS
TIEMPO EXACTO
56 - 150 + 365 271 días
3. Hallar el tiempo transcurrido des del 15 de septiembre del 2006 hasta el 02 de mayo de 2009
2009 05 02
2006 09 15
2008 16 32
2006 09 15
2 AÑO7 MES 17 DIAS
TIEMPO APROXIMADO 958 DÍAS
TIEMPO EXACTO
122 - 258
+ 730 624 días
4. Hallar el interés de un capital $ 3200 colocados al 3% desde el 7 de noviembre de 2002hasta el 15 de abril del siguiente año
C = 7800
I =0.03
2002 04 15
2001 1107
2001 16 15
2001 1107
5 MES8 DIAS
TIEMPO APROXIMADO 158 DÍAS
TIEMPO EXACTO
105 - 311 + 365 159 días
ISE T. A.
I=3200(0.03)( 158365
)
I=41,57
ISE T. E.
I=3200(0.03)( 159365
)
I=41,82
ISO T. A.
I=3200(0.03)( 158360
)
I=42,13
ISO T. E.
I=3200(0.03)( 159360
)
I=42,40
5. Hallar el interés de un capital $ 5600 colocados en una tasa de 7% desde el 3 de mayo de 2010 hasta el 15 de abril del siguiente año 2012 realizar en las dos formas
C = 5600
I =0.07
2012 04 15
2010 05 03
201116 15
2010 05 03
1 AÑO11MES13 DIAS
TIEMPO APROXIMADO 703 DÍAS
TIEMPO EXACTO
105 - 123 + 730 713 días ISE T. A.
I=5600(0.07)(703365
)
I=755
ISE T. E.
I=5600(0.07)(713365
)
I=765,74
ISO T. A.
I=5600(0.07)(703360
)
I=765.48
ISO T. E.
I=5600(0.07)(713360
)
I=776,37
6. Hallar el interés simple de un capital de $3800 colocados con una tasa 12% desde el 30 de septiembre del 20011 hasta el 05 de junio del siguiente año hallar en sus dos formas.
C = 3800
I =0.12
2012 06 05
201109 30
201117 35
201109 30
08 MES05 DIAS
TIEMPO APROXIMADO 246 DÍAS
TIEMPO EXACTO
156 - 273 + 356 249 días
ISE T. A.
I=3800(0.12)( 246365
)
I=307,33
ISE T. E.
I=5600(0,12)( 249365
)
I=311.07
ISO T. A.
I=3800(0.12)( 246360
)
I=311.60
ISO T. E.
I=3800(0.12)( 249360
)
I=315.40
MONTO
I= IC
C=c .i . t
M=C (1+i .t)
1. Hallar el monto de un capital de $5300 colocados con una tasa del 13% anual durante 7 meses.
M=C (1+i .t)
M=5300(1+0.13712
)
M=5901.92
2. Determinar el monto de un capital de $ 6400 colocados con una tasa del 9% desde el 5 de abril hasta el 1 de noviembre del mismo año.
TIEMPO EXACTO
305 - 95 210 días
M=C (1+i .t)
M=6400 (1+0.9210360
)
M=6 376
3. Determine el monto de un capital de $ 8200 clocados con una tasa del13% semestral durante 135 días.
DATOS
C= 8200
i = 0.13
T= 135 días
M=C (1+i .t)
M=8200 (1+0.13135180
)
M=8999.50
4. Hallar el monto de un capital de $1300 con una tasa del 20% trimestral colocado desde el 5 de febrero hasta el 1 de diciembre del mismo año.
DATOS
C=1300
i = 0.20
T= 299 días
M=C (1+i .t)
M=13000(1+0.2029990
)
M=21 637.78
5. Hallar el monto de un capital de $ 11500 colocados al 2% mensual desde el 7 de abril del 2011 hasta el 20 de febrero del siguiente año.
TIEMPO EXACTO
51 - 97 + 356 319 días
M=C (1+i .t)
M=11500 (1+0.0231930
)
M=1 3945.67
6. Hallar el monto de un capital de $ 4200 colocados al 1% mensual desde el 29 de marzo del 2011 hasta el 31 de diciembre del mismo año.
TIEMPO EXACTO
365 -188 277 días
M=C (1+i .t)
M=4200(1+0.01 .277)
M=15 834
7. Hallar el monto de un capital de $ 9300 colocados al 11% durante 7 meses.
M=C (1+i .t)
M=9300 (1+0.11712
)
M=9 896.79
CALCULO DE VALOR ACTUAL
C= M1+ i . t
C=M (1+i .t)
C= capital
M= monto
I= tasa de interés
T= Tiempo
GRAFICA DE VALORES ACTUALES
GRAFICA DE TIEMPO Y VALORES
valor nominal valor prcentaje valor final
fechade suscripcion fechade negociacion fechade vencimiento
1. Hallar el valor actual el día de hoy de un documento de $15000 colocados durante 300 días con una tasa del 7% anual.
14 173.22 i=0.07 % 15000
60días 300días
C= 15000
(1+0,07 ( 300360 ))
C=14 173.23
2. En el problema anterior determine el valor actual si el tiempo es de 60 días antes del vencimiento.
C= 15000
(1+0,07 ( 60360 ))
C=14 827.02
3. Una persona firma un documento de $ 9300 con una tasa del 11% desde el 30 de Marzo hasta el 5 de diciembre del mismo año determine el valor actual de este documento el 25 de septiembre se aplica una tasa del 19% semestral.
9300 i=0.11 % 10010.42
30 Marzo89 23 sep 268 19 %Semst 5 Dic339
M=9300 (1+0.11250360
)
M=10010.42
C= 10010.42
(1+0,19( 71180 ))
C=9 312.50
TIEMPO
339 - 89 250 días
TIEMPO
359 -262
71 ías
4. Un documento por $15000se firma el 12 de marzo con una tasa del 15% semestral desde sus suscripción hasta el 1 de noviembre del mismo año determine el valor actual del documento el 7% de julio si la tasa de interés es 3% mensual.
15000 i=0.11 % 17 925
12 Marzo71 7 jul188 i=0.03 1 Nov305
M=15000(1+0.15234180
)
M=17 925
C= 17925
(1+0,09( 11730 ))
C=16 047.45
TIEMPO EXACTO
305 - 71 234 días
TIEMPO EXACTO
305 -128 117 días
5. El 7 febrero se suscribe un documento por $13500 dólares con una tasa del 17% trimestral hasta el 10 de diciembre del mismo año determine le valor actual de este documento 20 días antes del vencimiento y se reconoce con un tasa el 1.1/4 diario.
13500 i=0.17 % 21 558
7 Feb38días 20días antes 20dic 354 días
M=13500(1+0.1731690
)
M=21558
C=21558¿¿
C=15 685.82
TIEMPO EXACTO
354 - 38 316 días
CALCULO DE TASA DE INTERES
I = c. i .t
M = c(1+ i.t)i= i
c .t
i=m−cc .t
1. A que tasa de interés se debe colocar un capital de $ 8300 para que genere un interés de $ 45 durante 7 meses.
i= ic .t
i= 45
8300(7
12)
i=0.9294 %
DATOS
C=8300
I= 45
T=7
2. Hallar la tasa de interés semestral se debe colocar un capital de $ 5200 desde el 5 de Enero hasta el 3 de Diciembre del mismo año para obtener el triple.
M=15600−5200
(5200(332180
))
M=108 4337
DATOS
C= 5200
T = 332 días
M= 15600
3. A que tasa trimestral se debe colocar de $8000 para que nos produzca ¾ veces masa desde el 6 de abril hasta el 9 de mayo del mismo año.
i= ic .t
i= 6000
8000(3390
)
i=204 545 55 %
DATOS
C=8000
I= 33
M= 1400
4. Hallar la tasa de interés de un capital de $ 6900que se convierte en 13700en 8 meses
i=13700−6900
(6900(8
12))
i=147 8261 %
DATOS
C= 6900
T = 8 meses
M= 13700
CALCULO DE TIEMPO
1. En qué tiempo un capital de $2800 genera al 7%
DATOS
C = 2800
I = 65
t = ?
i= 0.07
T= Ic . i
T= 652800(0.07)
T=0.331632%
0 años 3 meses 29 días
2. En qué tiempo un capital de $7000 gana 130 con una tasa de 11%
T= Ic . i
T= 1307000(0.11)
T=0.168831
T=61días
3. En qué tiempo un capital de 4500 gana 135 a 0.5% mensual.
T= 1354500.0 .05
T=6meses
DATOS
C= 4500
I = 135
I=0.05
4. A qué tiempo un capital de 3900 se convierte el 11200 con una tasa del 175 semestral
T=11200−3900
3900(0.17180
)
T=1982días
5. En qué tiempo un capital de 15000 se convierte en 27000con una tasa del 13 % semestral.
T=M−Cc. t
T=2700−150001500.0.03
T=6 153846154 5 mese 16 días 4 horas
DATOS
C= 15000
i = 13%
CALCULO DE SALDOS DEUDORES
Algunas instituciones, casa comercial que trabaja con crédito trabajan uno de los 2 métodos acumulación de interés o método de interés sobre saldo deudor.
1. Cooperativa de Ahorros y Crédito otorga un préstamo de 4000 con una tasa del 2% mensual para 3.1/2 años .determine el valor de la cuota mensual para los 2 métodos
MÉTODO LAGARTO
M=C (1+i .t)
M=14000¿
M=25760
VCM= M¿ cuotas
VCM=2376042
VCM=613.33
I=M−C
I=25760−14000
I=117.60
MÉTODO DE SALDOS DEUDORES
VCMSI= C¿cuotas
VCMSI=1400042
VCMSI=333.33
I 1=14000 (0.02 )(1)
I 1=280
C1=VCMSI+ I
C1=333.33+280
C1=613.33
I 2=C . I .T
I 2=13666.67 (0.02 )(1)
I 2=273.33
C2=VMCSI+ I 2
C2=333.33+273.33
C2=606.66
U=613.33+(41)(−6.67)
U=309.86
S= 422
(613.33+339.86)
S=20016.9942
VCM=476.60
I=20016.99−14000
I=6016.99
i= Ic .t
i= 6016.9914000(42)
i=1.0233 %
2. Una agencia de autos vende automóviles en 20000 dólares con una cuota inicial del 305 y el resto a 40 meses plazo con una tasa del 135 determine el valor de la cuota mensual por los métodos
MÉTODO LAGARTO
M=C (1+i .t)
M=14000¿
M=20037
VCM= M¿ cuotas
VCM=200674240
VCM=501.67
I=M−C
I=20067−14000
I=6066.67
MÉTODO DE SALDOS DEUDORES
VCMSI= C¿cuotas
VCMSI=1400040
VCMSI=350
I 1=14000 (0.13 )( 112 )
I 1=151.67
C1=VCMSI+ I
C1=350+151.67
C1=501.67
I 2=C . I .T
I 2=13650 (0.13 )( 112
)
i=147.88
C2=VMCSI+ I 2
C2=497.88
U=501.67+(39)(−3.79)
U=353.86
DESCUENTO RACIONAL O DESCUETO SIMPLE
Dr=M-C
El descuento racional no es mas que un interés.
1. Determine el descuento racional de un pagare de 4800 firmados en la ciudad de
Ambato del día 8 de octubre del 2009 con una tasa del 813
% desde su suscripción
hasta el 14 de mayo del 2011 en la misma ciudad y se descuenta el 20 de diciembre del 2010 con una tasa del 25% trimestral.
4800 i= 0,00833 M=5447,52
8-oct 20-dic 14-may
281 354 i=0,25 134
134 134 -281 -354 +730 +365
583 145
M= 4800 (1 +0,00833 (583360
))
M=5447,52
c= M(1+i∗t ) Dr=M−C
c= 5447,52
[1+0,25 (14590 )] Dr=5447,52−3883,38
C=3883,38 Dr=1564,14
2. Determine el descuento racional de la compra de 8 televisores que se compró el almacenes La Ganga por un valor de 7200 firmados en la ciudad de Ambato el día 15 de junio del 2013 con una tasa del 10% desde su suscripción hasta el 4 de junio del 2015 si se descuenta el 8 de abril del 2014 con una tasa del 16% semestralmente
7200 i= 0,10 M=8638
15-jun 8-abr 4jun
166 98 i=0,16 155
155 155 -166 - 94 +730 +365 719 422
M= 7200 (1 +0,10(710360
))
M=8638
c= M(1+i∗t ) Dr=M−C
c= 8638
[1+0,16 ( 422180 )] Dr=8638−6281,67
C=6281,67 Dr=2356,33
DESCUENTO BANCARIO O BURSATIL
CB=M(1-d.t)
M= monto
d= tasa de descuento
t= tiempo
DB= descuento busrsátil
1. Hallar el descuento bancario que el banco Pacifico aplica a un cliente y le descuenta un pagaré de 15800 desde el día de hoy a 320 días plazo con una tasa de 0,15%.
15800 15800
0 d=0,13 320
DB=15800(0,0015(320360
))
DB=21,072. Determine el descuento bancario de un documento que emitió el banco de
pichincha en la ciudad de Riobamba por 9800 firmada el 15 de marzo a 122 días plazo con una tasa de interés del 20% si se descuenta el 4 de mayo del mismo año con una tasa del 8% semestral
C=9800 i=0,20 M=10464,22
15-mar 4-may 15-jul
74 124 d=0,08 196
122 196+ 74 -124 196 72
M= 9800 (1 +0,20 (196360
)) M=10464,22
CB= 10464, 22(1 -0, 08( 72
180 )) CB= 10129, 36
DB= (10464, 22)(0, 08) (72
180)) DB= 334,86
COMPROBACION
D= M-C D= 10464, 22-10129, 36 D= 334, 86
DESCUENTO SIMPLE
1. El 7 de octubre se firma un documento de 5800 con una tasa del 13% a 310 dias plazo. Hallar el valor efectivo que se recibe si se descuenta este documento el 5 de febrero del siguiente año del 19% trimestral.
C=5800 i=0,13 M=6449,28
7-oct 5-febr 13-agos
280 36 di d=0,19 tri 225
280 225+310 - 36 225 189
M= 5800 (1 +0,13 (310360
)) M=6449,28
CB= 6449, 28(1 -0, 19( 18990
)) CB= 3876, 02
DB= (6449, 28-3876, 02 DB=2573,26
2. Cuanto debe solicitor Margarita en el banco del Pichincha para obtener 7300 con una tasa del 15% pagaderos dentro de 130 días.
7300 i=0,15
130 dias
M=CB
(1−d . t)
M=7300¿¿
M=77186
RELACION ENTRE LA TASA DE INTERES (i) Y LA TASA DE DESCUENTO (d)
a) La tasa de interés simple se utiliza en el descuento racional o matemático y se aplica generalmente sobre su capital.
b) La tasa de descuento se utiliza en el descuento bancario y generalmente se aplica sobre el monto.
M=C (1+i.t) M=C
(1−d . t)
i= d
(1−d . t) d=i
(1+i .t )
1. A que tasa de interés equivale una tasa de descuento del 22% durante 140 días.
i= d
(1−d . t)
i= 0,22
(1−o ,22(140360
))
i=0,2405
2. A que tasa de interés equivale una tasa de interés de descuento de 25% durante 8 meses.
i= 0,25
(1−o ,25(8
12))
i=0,3 i= 30
3. A que tasa de descuento equivale una tasa de interés de 35% a 230 días.
d=i
(1+i .t )
d=0,35
(1+o ,35 (230360
))
REDESCUENTO
1. Una empresa realiza un descuento de un pagaré suscrito a 320 días plazo por 7800 pero cancela 120 días antes de su fecha de vencimiento con una tasa de descuento del 10% ese mismo día el Banco de Guayaquil reedescuenta el document en el banco del Austro con una tasa del 4%. Determine el dinero que recibe la persona y el dinero que recibe el banco
CB=M (1-d.t) CB= M (1-d.t)
CB=7800(1-0, 10(120360
)) CB=7800(1-0, 04(120360
))
CB=7540 CB=7696
R.P R.B
ECUACIONES DE VALOR
M=C
(1−d . t) C=M
(1+i .t )
M=C(1+i.t)
C1 C=M(1-d.t)
M2 C2
FF
Se utiliza para resolver problemas de matemática financiera donde se remplaza un conjunto de obligaciones con diferentes fechas de vencimiento por un valor o varios valores previo acuerdo entre acreedor y deudos
Aplicación
1. Remplazar un conjunto de valores deudas obligaciones por un solo valor.2. Comparación de ofertas para compra y venta.3. Para calcular el monto de una serie de depósitos a corto plazo.4. Para calcular el capital de una serie de depósitos a corto plazo.
1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones 15000 a 60 días plazo 2000 a 130 días plazo, 3000 a 250 días plazo, 35000 a 300 días plazo, la empresa desea remplazar todas estas obligaciones considerando una tasa del 15% a los 300 días.
i=0,15
15000 20000 30000 35000 FF
60d 130d 250d 300d 130 d
X= M1+M2+M3
X= 15000(1+0,15(270360
))+ 20000(1+0,15( 200360
))+ 30000(1+0,15(80
360))+ 35000(1+0,15
( 30360
))
X= 104791,67
En el problema anterior determinar el valor de pago si lo hacemos hoy.
C1 M1
FF 15000 20000 30000 35000
0 60d 130d 250d 300d
X= C1+C2+C3+C4
X= 15000
(1+o ,15( 60360 )) +
20000
(1+o ,15( 130360 )) +
30000
(1+o ,15( 250360 )) +
35000
(1+o ,15( 300360 ))
X= 91887,40
En el problema # 1 hallar el valor de cada pago si la empresa realiza dos pagos a los 200 y 350 días plazo. Tómese como fecha focal.
15000 20000 X 30000 35000 X
60d 130d 200d 250d 300d
X= = M1+M2+C1+C2-C3
X= 15000(1+0,15( 140360
))+ 20000(1+0,15( 70360
))+30000
(1+o ,15( 50360 )) +
35000
(1+o ,15( 100360 )) -
X
(1+o ,15( 150360 ))
X= 99496,09- O, 9411 X
1,9411X= 99496,09
X=99496,09
1,9411
X=51231,82
CUENTA DE AHORRO
1. Marcia tiene una cuenta de ahorros con 3000 al 30 de junio y realiza las siguientes transacciones el 7 de julio retira $800, el 10 de agosto deposita $1000, el 15 de septiembre deposita $110, el 10 de octubre retira $1500, el 25 de noviembre deposita $300 el 20 de diciembre retira $2000, liquide esta cuenta al 31 de diciembre con una tasa de interés del 12%
FECHA DEPOSTO RETIRO SALDO
INTERÉS
+ -
30-jun 3000 3000 18407-jul 800 2200 47,210-ago 1000 3200 47,6715-sep 110 3310 3,9210-oct 1500 1810 4125-nov 300 2110 3,620-dic 2000 110 7,33
31-dic 143,66 253,66 239,1995,53
2. Mariano tiene una cuenta en el banco del Pichincha y en la fecha 1 de abril tiene ahorrado $5000 al pasar del tiempo realiza las siguientes transacciones: el 8 de abril deposita $1200, el 5 de mayo deposita $1000, el 25 de junio retira $3000, el 28 de agosto retira $1500, el 25 de septiembre deposita $800, el 28 de septiembre retira $500 liquide esta cuenta al 30 de septiembre con una tasa de interés del 10%.
FECHA DEPOSTO RETIRO SALDO
INTERÉS
+ -
01-abr 5000 5000 12508-abr 1200 6200 27,6705-may 1000 7200 15,5625-jun 3000 4200 4,17
28-ago 1500 270052,08
20-sep 800 3500 22,67
28-sep 500 300013,06
30-sep 121,593121,59
190,969,31
3. Jessica tiene en su cuenta $4500 el 30 de junio y realza las siguientes transacciones el 4 de julio deposita $800, el 9 de agosto retira $1000, el 20 de septiembre retira $700, el 20 de octubre deposita $400, el 20 de diciembre retira $100 liquide esta cuenta el 31 de diciembre con una tasa de interés del 8%
FECHA DEPOSTO RETIRO SALDO
INTERÉS
+ -
30-jun 4500 4500 18404-jul 800 5300 3209-ago 1000 4300 3,2
20-sep 700 360015,67
20-oct 400 4000 6,4
20-dic 100 3900 0,24
31-dic 203,29 222,419,11
INTERÉS COMPUESTO
1. Determine el número de periodos convertible (M) y la tasa de interés (i) durante 11 años al 13% convertible semestralmente
I=0.132
i=0.065
i=65 %
m=2(11)
m=22 semestras
i=0.065
2. Hallar I, n durante 9 años con una tasa del 11% capitalizable quimestralmente
I=0.112. .4
i=4.58%
m=2.4 (7)
m=16.8quimestres
3. Hallar I, n durante 5 años con una tasa del 6.5% compuesto trimestralmente
I=0.0654
i=1625 %
m=4(5)
m=20 trimestres
4. Hallar I, n de un capital colocado a un interés compuesto durante 12 años 4 meses con una tasa del 20 % convertible cuatrimestralmente.
I=0.303
i=6.67 %
m=5 (12)
m=37 cuaqimestres
5. Hallar I, n de un capital colocado a un interés compuesto durante 4 años 20 meses con una tasa del 9 % compuesto bimensualmente.
I=0.096
i=1.5 %
m=6 (4 )
m=29bimensualmente
MONTO COMPUESTO
m=C (1+i)n
m=C (1+ jm
)m.t
1. Una empresa obtiene un préstamo de 35000 dólares a 8 años plazo con una tasa del 17% capitalizable en semestres hallar el interés compuesto.
DATOS
C= 35000 J= 0.17
M= 2 T= 8
m=35000 (1+ 0.172
)2.8
m=35000 (1+0.17)16
m=129 105.24
i=m−c
i=129 105.24−35000−¿
i=94 105,34
2. Una empresa obtiene un préstamo de 25000 dólares a 15 años plazo con una tasa del 19 % capitalizable quimestralmente.
m=25000 (1+0.7916)36
m=358 177,38
i=m−c
i=388 177,38−25000
i=363 177.38
CONVERTIBILIDAD CONTINUA O ESTANTANEA
M=c∗. e j .t
e=2,7182
π=3.1414
1. Determinar el monto de un capital de $ 25000 dólares a interés compuestos durante 15 años y 9 meses si la tasa de interés es a) 7 % en efectivo
i=0.07
n=15,75años
m=25000¿
m=725667,22
b) 7 % compuesto Quimestralmente
i=0.2916 m=25000¿
c) m=74 095.807% capitalizado cuatrimestralmente
i=0.0233
n=47.25
m=25000¿
m=74 320.18
d) 7% capitalizado trimestralmente
i=0.0175
n=63
m=25000¿
m=74 577.59
e) 7% capitalizado bimensualmente
i=0.01167
n=94.59
m=25000¿
m=74 836.46
f) 7 % capitalizado mensualmente
i=0.00583
n=189
m=25000¿
m=74 004.36
g) 7% convertible diariamente
i=0.000194
n=5745días
m=25000¿
m=76 195.14
h) 7% convertible instantáneamente
i=0.07
t=10.75
m=c . e j .t
m=25000¿
m=¿75 289.65
2. Determinar el monto de un capital de $ 39000 dólares a interés compuestos durante 9 años y 7 meses si la tasa de interés es a) 9 % en efectivo
i=0.09
n=9.58años
m=39000¿
m=89 045.19
b) 11 % compuesto semestralmente
i=0.055
n=19.17
m=39000¿
m=108 846.45
c) 13 % capitalizado quimestralmente
i=0.05417
n=23
m=39000¿
m=124 058.89
d) 12 % capitalizado cuatrimestralmente
i=0.04
n=28.75
m=39000¿
m=120 440.6
e) 19% capitalizado trimestralmente
i=0.0475
n=38,33
m=39000¿
m=230 976.95
f) 11% capitalizado bimensualmente
i=0.01853
n=57.50
m=39000¿
m=110 829.55
g) 13% capitalizado mensualmente
i=0.01083
n=115
m=39000¿
m=234 601.13
h) 7% convertible diariamente
i=0.0005
n=4395días
m=39000¿
m=233 771.38
i) 7% convertible instantáneamente
i=0.09
m=c . e j .t
m=39000 ¿
m=¿92 363.85
INTERES COMPUESTO
Método matemático.- se utiliza la calcular con el valor exacto n.
Meto comercial.- se utiliza para la parte entera para calcular el interés compuesto y parte fraccionaria para el interés simple.
1. Determine el monto de una deuda de 47000 dólares a un interés compuesto durante 9 años y 7 meses con una tasa del 10 % compuesto semestralmente.
.M=9 (12 )+7
M=1536
M=1916
M=4700(1+0.05)(115
6)
M=11973.64
COMERCIAL
M=4700 (1.05 )(19)(1+0.05 ( 16 ))
M=11975.64
2. Hallar el monto de una deuda de 8500 dólares a un interés compuesto durante 6 años y 7 meses con una tasa del 13% quimestral
.M=6 (12 )+7
M=795
M=1545
M=8500 (1+0.5417)( 79
5)
M=19 561.73
COMERCIAL
M=8500 (1.05417 )(15)(1+0.05417 ( 45 ))
M=19 566.043. Determine el monto de una deuda de 2800 dólares a un interés compuesto
durante 9 años y 5 meses con una tasa del 14% trimestral.
.M=9 (12 )+5
M=1133
M=3723
M=2800 (1+0.035)( 113
3)
M=10 230.84
COMERCIAL
M=2800 (1.035 )37(1+0.035 ( 23 ))
M=10 232,19
TASA EQUIVALENTE
Tasa nominal (J).- Es aquella que se convierte varias veces en un año.
Diferentes periodos Tasa efectiva.-es aquella que actúa una sola vez en el año dos tasa anuales de interés con diferentes periodos son equivalentes si producen en el mismo interés compuesto.
1. Hallar el monto de un capital de 100 dólares con una tasa de 18$ convertible semestralmente.
M=100 (1045)(4)
M=119.29
2. Hallar el monto de un capital de 100 con una tasa defectiva del 19.25.M=100 (19252 )M=118.251+i=¿i=m ¿i=m ¿
3. A que tasa efectiva es equivalente una tasa del 8 % nominal convertible bimensualmente.i=¿i=15 9693 %
4. A que tasa efectiva es equivalente una tasa del 15% nominal convertible diariamente.i=¿i=8 3277 %
5. A que tasa efectiva es capitalizable semestralmente equivalente a una tasa efectiva del 9%
i=2((1.09¿12−1))
i=8 8061 %
6. A que tasa nominal convertible cuatrimestralmente equivalente a una tasa efectiva del 10%
j=3((1.10¿13−1))
j=96840 %
7. A que tasa capitalizable mensualmente equivalente a una tasa efectiva del 21%
j=12((1.2¿1
21 1−1))j=10 2142%
8. Una persona desea convertir 55000 dólares durante 7 años y tiene las siguientes oposiciones.
a) A una tasa de interés de 412
i=412
b) 4% compuesto semestralmente (nominal)
i=¿I= 4.04%c) 4.8 % convertible trimestralmente
d) 4.9# compuesto cuatrimestralmente
i=¿I= 4.88%
Cuál de las opciones sugiere usted
Se sugiere la tasa b
CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS ANTICIPADA
Esta tasa se utiliza para cobrar o pagar por anticipado
1+i=¿i=¿b=m ¿
1. A que tasa de interés efectiva anticipada es equivalente el 10% convertible semestralmente.
i=¿
i=23 4568 %
2. A que tasa de interés efectivo es equivalente una tasa anticipada del 17% compuesta quimestralmente.
i=¿
i=19 2821 %
3. A que tasa de interés anticipada convierte bimensualmente equivalente una tasa efectiva anticipada de 14%
b=6¿
b=12 9908 %
4. A que tasa de interés anticipada convierte mensualmente equivalente una tasa efectiva anticipada de 15%
b=12¿
b=13 8908 %
CALCULO DE INTERS EFECTIVA
m=c¿
i=(mc)
1 /n
−1
i=(1500300
)1/5
−1
1. Un capital de 800 dólares se convierte en 1900 con una tasa del 20% durante 6 años determine la tasa efectiva equivalente.
j4=( 1900
8000 )1
24 −1
j=14 6796
i=¿¿
i=¿
i=15 5076
2. A que tasa anual cuatrimestralmente un capital de3600 se duplicara en 4.5 años determine la tasa efectiva equivalente.
j3=( 7900
3600 )1
13.5−1
j=158056
i=¿¿
i=¿
CALCULO DE TIEMPO
M=c(1+i)n
mc=(1+i)n
logmc=n∗log (1+i )
n=log(mc )log (1+i )
1. En qué tiempo un capital de 3200 se convierte en 8100 dólares con una tasa efectiva del 10%
n=log( 9100
3200 )log (1.10 )
n= 9 7441 9 años 8 meses y 29 días
2. En qué tiempo un capital de 8200 se convierte en 3/4 dólares con una tasa efectiva del 25% semestralmente.
n=log( 143500
8200 )log (1.125 )
n= 237562 2 años 4 meses y 15 días
3. En qué tiempo se triplicara con una tasa del 8% compuesta mensualmente
n=log( 1200
400 )log (11.0067 )
n= 0.4580 0 años 5 meses y 164 días
CALCULO DEL CAPITAL
M=¿
c= m¿¿
1. Determine el valor actual de una letra de cambio a fin de ganar es de 8900 con una tasa de 9% convertible semestralmente.
c=8900¿¿
c=8900¿¿
C= 5.248
2. Un documento de 3800 dólares se firma el día de hoy para 230 días plazo con una tasa del 17% compuesto semestralmente. Hallar el valor actual del documento
Si se negocia 50 días antes de su vencimiento con una tasa del 22% capitalizable trimestralmente
3800 i= 0.8
230 días
M=3800 (1.080)( 400
90)
M=4192.68
C=4 192.68(1. .055 )
( 5090
)
C=¿4069.813. Una persona firma un pagare el 1 de febrero por 5300 a 300 dias plazo con el
33% compuesto mensualmente hallar el valor del documento si se vende el 20 de mayo con una tasa del 25% capitalizable semestralmente.
5300 i= 0.275
300 días
M=5300(1.0275)( 300
30)
M=6951.75
C=6951.75(1.1042 )
(192130
)
C=6123.41
M=CB
(1−d . t)
M=7300¿¿
M=7718
CALCULO DEL MONTO
1. Un pagare de $6500 se firma el día de hoy para 250 días plazo con una tasa del 18% compuesta semestralmente. Hallar el valor actual del documento si se
negoció 80 días antes de su vencimiento con una tasa del 20% capitalizable trimestralmente.
6500 i= 0,09
0 80-dias 250-dias
t= 80 i= 0,05
M= C(1+i )n c=M
(1+i )n
M= 6500(1,09 )(250180
) c=7326,47
(1,05 )( 80
90)
M= 7326,47 C= 7015,52
2. Una factura de $9500 se firma el día de hoy para 350 días plazo con una tasa del 15% compuesta trimestralmente. Hallar el valor actual del documento si se negoció 100 días antes de su vencimiento con una tasa del 10% capitalizable trimestralmente.
9500 i= 0,0375
0 100-dias 350-dias
t= 100 i= 0,0333
M= C(1+i )n c=M
(1+i )n
M= 9500(1,0375 )(350
90) c=
10962,25
(1,0333 )(100
90)
M= 10962,25 C= 10570,43
CALCULO DEL CAPITAL CON PERIODO FRACCIONARIO
Existen dos métodos que son
El método matemático. El método comercial o practico1. Hallar el valor actual de un documento que al final de 7 años es 5400. Halle el
valor actual a los 3 años y 4 meses de la fecha de suscripción considerando una tasa del 9% compuesta semestralmente.
5400
3-a 4m 8m
Forma matemática forma comercial
n= 3 (12 )+8
6 c= 5400(1,045 )
(−446
) c=5400(1,045 )(−7)5400(1,045( 13 ))
(−1)
n= 446
c=3910,28 C= 3909, 43
n= 7 13
2. El día de hoy se firma un documento por 8200 a 9 años plazo con una tasa del 15% compuesta cuatrimestralmente determine el valor actual de ese documento 2 años 7 meses de su suscripción si se aplica una tasa del 15% compuesta trimestralmente.
8200 i= 0,0433 25755,05
0 n= 0,0375 9a
Forma matemática forma comercial
n= 6 (12 )+5
3 c= 25755,05(1,0375 )
(−773
) c=25755,05 (1,035 )(−25)
25755,05(1,0375( 23 ))
(−1)
n= 773
c=10011,54 C= 10010,04, 43
n= 25 23
M=C(1+i )n
M=8200(1,0433 )27
M=25755, 05
3. Después de dos años de la fecha de suscripción se negocia un documento de 5000 con vencimiento en 5 años y una tasa de interés del 12% convertible semestralmente desde su suscripción calcular el valor actual con una tasa del 10% compuesta trimestralmente.
5000 i= 0,06
0 2a i= 0,025 7a
t= 5a
n= 20 c= 11304,52(1,025 )(−20) c=6898,82
M=C(1+i )n
M=5000(1,06 ) 42
M=11304,52 NEGOCIACION CON PREMIO
b. con una tasa del 12% capitalizable semestralmente.
n= 20 c= 11304,52(1,06 )(−10)
c=6312,38 NEGOCIACION A LA PAR
c. con un tasa del 3% efectiva. Determine si la negociación fue con premio, con castigo, o a la par.
n= 20 c= 11304,52(1,03 )(−5)
c=9751,39 NEGOCIACION CON PREMIO
ECUACIONES DE VALOR
c= (1+jm
¿(m.t )
1. Una empresa tiene las siguientes obligaciones $800 a 12 meses plazo $1500 a 18 meses plazo, $800 a 2 años plazo $4000 a 30 meses plazo. La empresa desea remplazar todas estas deudas del dia de hoy considerando una tasa del 11% convertible semestralmente.
i= 0,055
800 1500 3000 4000
FF 12m 18m 24m 30m
X= C1+C2+C3+C4
x=800(1,055) (-2)+ 1500(1,055)(-3) + 3000(1,055)(-4) +4000(1,055)(-5)
X= 7478,37
2. En el problema anterior determine el valor del pago si se realiza a los 36 meses el pago con una tasa del 15% convertible trimestralmente.
i= 0,0375
800 1500 3000 4000 X
12m 18m 24m 30m FF
t1= 23 t2=17 t3=11 t4=5
X= M1+M2+M3+M4
x=800(1,0375) ( 233
)+ 1500(1,0375) ( 173
) + 3000(1,0375) ( 113
) +4000(1,0375) ( 53
)
X= 10595, 50
3. El dia de hoy se firma un documento por $5000 a 7 años plazo con una tasa del 11% compuesta semestralmente. Si se realiza pagos de $500 a los 2 años plazo $100 a los 3 años $900 a los 5 años con una tasa del 14% compuesta trimestralmente determine el valor del pago para saldar dicha cuenta.
i= 0,055
5000 500 700 900 10580,04
0 2a 3a 5a 7ª
i= 0,035
M= 5000(1,055) (14)
10580,46= M1+M2+M3+x
10580,46=500(1,035) (20)+ 700(1,035) (16) + 900(1,035) (8)
10580,46= 3393,81+x
X= 10580,46- 3393,81
X=7186,65
