CASOS DE FUNCIONES 1

Colegio Particular “Leibnitz”

Tema: Funciones - Investigación

Nombre: Christian Moscoso

Licenciada: Ing. Karina Santamaría

Fecha de Envío: 14 – 10 – 2015

Fecha de Entrega: 18 – 10 – 2015

2015 – 2016

Christian Moscoso 3° B.G.U

CASOS DE FUNCIONES 2

Índice

Christian Moscoso 3° B.G.U

CASOS DE FUNCIONES 3

Introducción

Una función es un objeto matemático que se utiliza para expresar la dependencia entre dos

magnitudes, y puede presentarse a través de varios aspectos complementarios. Un ejemplo habitual

de función numérica es la relación entre la posición y el tiempo en el movimiento de un cuerpo.

1. Función Lineal:

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función poli nómica de primer

grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. Esta

función se puede escribir como:

Gráfico I:

f(x) = mx + b

Donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la

recta, y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Si se modifica m entonces se modifica la

inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b = 0 de la forma:

Gráfico II:

f(x) = mx

Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:

Gráfico III:

f(x) = mx + b

cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b = 0) es un ejemplo también de transformación

lineal, en el contexto de álgebra lineal.

Christian Moscoso 3° B.G.U

CASOS DE FUNCIONES 4

1.1. Ejercicios:

1.1.1. f(x)= 8x+7

Tabla I: Gráfico IV:

Observación: La recta cruza por el eje de las y, ya que posee la incógnita que se está

multiplicando por 8 y se le suma 7 de no hacerlo cruzaría por 0. Este es uno de los casos que

veremos más adelante.

1.1.2. f(x)=7x

Tabla II: Gráfico V:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

Ejercicio N° 1f(x)=8x+7

X Y-5 -33-4 -25-3 -17-2 -9-1 -10 71 152 233 314 395 47

f(x)=7x  

X Y-5 -35-4 -28-3 -21-2 -14-1 -70 01 72 143 214 285 35

CASOS DE FUNCIONES 5

1.1.3. f(x)=5x+4x-2

Tabla III: Gráfico: VI

Primero

Simplificamos

Observación: Al momento que tenemos dos incógnitas pero son del mismo número x se realiza la operación dada ya sea esta suma o resta y el producto se lo utilizará como lo indica el ejercicio.

1.1.4. f(x)= 3x+7-4

Tabla IV Gráfico VII:

Christian Moscoso 3° B.G.U

Observación: A diferencia de la gráfica anterior esta función no pasa por el eje de las Y ya que no se suma nada el valor será 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-60

-40

-20

0

20

40

60

Ejercicio N° 3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Ejercicio N° 2

f(x)=4X+5X-2f(x)=9x-2

X Y-5 -47-4 -38-3 -29-2 -20-1 -110 -21 72 163 254 345 43

f(x)=3x+7-4f(x)=3x+3

X Y-5 -11-4 -8 -3 -5-2 -2-1 10 41 72 103 134 165 19

CASOS DE FUNCIONES 6

Primero

Simplificamos

Observación: A diferencia de arriba en este ejercicio tenemos dos número enteros y se resuelve como números normales y se obtiene el resultado de esta operación ya sea suma o resta.

1.1.5. f(x)= 4x+9

Tabla V: Gráfico VIII:

1.1.6. f(x)= 2x

Tabla VI: Gráfico IX:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

Ejercicio N° 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Ejercicio N° 5f(x)=4x+9

X Y-5 -11-4 -7-3 -3-2 1-1 50 91 132 173 214 255 29

CASOS DE FUNCIONES 7

1.1.7. f(x)= x+4x+1

Tabla VII: Gráfico X:

Primero

Simplificamos

1.1.8. f(x)= 2x+8-7

Tabla VIII: Gráfico XI:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-30

-20

-10

0

10

20

30

Ejercicio N° 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-15

-10

-5

0

5

10

15

Ejercicio N° 6

f(x)=2x

X Y

-5 -10

-4 -8

-3 -6

-2 -4

-1 -2

0 0

1 2

2 4

3 6

4 8

5 10

f(x)=x+4x+1

f(x)=5x+1X Y-5 -24-4 -19-3 -14-2 -9-1 -40 11 62 113 164 215 26

CASOS DE FUNCIONES 8

Primero

Simplificamos

1.1.9. f(x)= 7x-6

Tabla IX: Gráfico XII:

1.1.10. f(x)= x

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-10

-5

0

5

10

15

Ejercicio N° 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Ejercicio N° 9

f(x)=2x+8-7

f(x)=2x+1X Y-5 -9-4 -7-3 -5-2 -3-1 -10 11 32 53 74 95 11

f(x)=7x-6

X Y

-5 -41

-4 -34

-3 -27

-2 -20

-1 -13

0 -6

1 1

2 8

3 15

4 22

5 29

CASOS DE FUNCIONES 9

Tabla X: Gráfico XIV:

2. Funciones Cuadráticas:

En matemáticas, una función cuadrática o función de segundo grado es una función poli

nómica definida por:

Gráficos XV y XVI

Con

.

También se da el caso que se le llame Trinomio cuadrático

Las gráficas de estas funciones corresponden a parábolas verticales (eje de simetría paralelo al

eje de las ordenadas), con la particularidad de que cuando a>0, el vértice de la parábola se

encuentra en la parte inferior de la misma, siendo un mínimo (es decir, la parábola se abre

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-6

-4

-2

0

2

4

6

Ejercicio N° 10f(x)=x

X Y-5 -5-4 -4-3 -3-2 -2-1 -10 01 12 23 34 45 5

CASOS DE FUNCIONES 10

"hacia arriba"), y cuando a<0 el vértice se encuentra en la parte superior, siendo un máximo

(es decir, la parábola se abre "hacia abajo").

El estudio de las funciones cuadráticas tiene numerosas aplicaciones en campos muy diversos,

como por ejemplo la caída o el tiro parabólico.

La función derivada de una función cuadrática es una función lineal y su integral indefinida es

una familia de funciones cúbicas.

Gráfico XVII:

2.1. Ejercicios:

2.1.1. f(x)= x^2+4

Tabla XI: Gráfico XVIII:

Christian Moscoso 3° B.G.U

f(x)=x^2+4

X Y-5 29-4 20-3 13-2 8-1 50 41 52 83 134 205 29

CASOS DE FUNCIONES 11

Observaciones: Todo número elevado al cuadrado es positivo ya sea que en su base sea negativo

2.1.2. f(x)=-x^2+7

Tabla XII: Gráfica XIX:

Observaciones: Al momento de tener un signo negativo antes de nuestra ecuación el resulta de la operación será multiplicada por el signo contrario y nos dará una parábola al lado contrario

2.1.3. 2x^2+3

Tabla XIII: Gráfico XX:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-35

-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

Ejercicio N° 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

30

35

Ejercicio N° 1

f(x)=-x^2+7

X Y-5 -32-4 -23-3 -16-2 -11-1 -80 -71 -82 -113 -164 -235 -32

CASOS DE FUNCIONES 12

2.1.4. f(x)= x^2+1

Tabla XIV: Gráfico XXI:

2.1.5. –x^2 +5

Tabla XV: Gráfico XXII:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

30

Ejercicio N° 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

10

20

30

40

50

60

Ejercicio N° 3f(x)= 2x^2+3

X Y-5 53-4 35-3 21-2 11-1 50 31 52 113 214 355 53

f(x)= x^2+1

X Y-5 26-4 17-3 10-2 5-1 20 11 22 53 104 175 26

CASOS DE FUNCIONES 13

2.1.6. x^2

Tabla XVI: Gráfico XXIII:

2.1.7. f(x)= x^2 + 8

Tabla XVII: Gráfico XXIV:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

30

Ejercicio N° 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Ejercicio N° 5f(x)= -x^2+5

X Y

-5 -20

-4 -11

-3 -4

-2 1

-1 4

0 5

1 4

2 1

3 -4

4 -11

5 -20

f(x)= x^2

X Y-5 25-4 16-3 9-2 4-1 10 01 12 43 94 165 25

CASOS DE FUNCIONES 14

2.1.8. –x^2

Tabla XVIII: Gráfica XXV:

2.1.9. f(x)= x^2-3

Tabla XIX: Gráfico XXVI:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-180

-160

-140

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

Ejercicio N° 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

30

35

Ejercicio N° 7f(x)= x^2+8

X Y

-5 33

-4 24

-3 17

-2 12

-1 9

0 8

1 9

2 12

3 17

4 24

5 33

f(x)= -6x^2+10

X Y-5 -160-4 -106-3 -64-2 -34-1 -160 -101 -162 -343 -644 -1065 -160

CASOS DE FUNCIONES 15

2.1.10. f(x)= x^2-12

Tabla XX: Gráfico XVII:

3. Funciones Poli nómicas

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-15

-10

-5

0

5

10

15

Ejercicio N° 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-5

0

5

10

15

20

25

Ejercicio N° 9f(x)= x^2-3

X Y-5 22-4 13-3 6-2 1-1 -20 -31 -22 13 64 135 22

f(x)= x^2-12

X Y

-5 13

-4 4

-3 -3

-2 -8

-1 -11

0 -12

1 -11

2 -8

3 -3

4 4

5 13

CASOS DE FUNCIONES 16

En matemáticas, una función poli nómica es una función asociada a

un polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo (a menudo un cuerpo).

Formalmente, es una función:

Donde   es un polinomio definido para todo número

real  ; es decir, una suma finita de potencias de   multiplicados por coeficientes reales, de la

forma:1

3.1. Ejercicios:

3.1.1. x^3

Tabla XXI: Gráfico XXVIII

Observación: A diferencia de las funciones lineales o cuadráticas está gráfica ya no denota una parábola sino más bien una “S” por el valor de sus datos

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-150

-100

-50

0

50

100

150

Ejercicio N° 1f(x)=x^3

X Y-5 -125-4 -64-3 -27-2 -8-1 -10 01 12 83 274 645 125

CASOS DE FUNCIONES 17

3.1.2. f(x)= x^4

Tabla XXII: Gráfico XXIX:

3.1.3. f(x)= x^5

Tabla XXIII: Gráfico XXX:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Ejercicio N°3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

100

200

300

400

500

600

700

Ejercicio N° 2f(x)=x^4

X Y

-5 625

-4 256

-3 81

-2 16

-1 1

0 0

1 1

2 16

3 81

4 256

5 625

f(x)=x^5

X Y

-5 -3125

-4 -1024

-3 -243

-2 -32

-1 -1

0 0

1 1

2 32

3 243

4 1024

5 3125

CASOS DE FUNCIONES 18

3.1.4. f(x)= 2x^3

Tabla XXIV Gráfico XXXI:

3.1.5. f(x)= 4x^4

Tabla XXV: Gráfico XXXIII

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-300

-200

-100

0

100

200

300

Ejercicio N° 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

500

1000

1500

2000

2500

3000

Ejercicio N° 5

f(x)=2x^3

X Y-5 -250-4 -128-3 -54-2 -16-1 -20 01 22 163 544 1285 250

f(x)= 4x^4

X Y

-5 2500

-4 1024

-3 324

-2 64

-1 4

0 0

1 4

2 64

3 324

4 1024

5 2500

CASOS DE FUNCIONES 19

3.1.6. f(x)= 2x^5+3

Tabla XXVI: Gráfico XXXII:

3.1.7. f(x)= -x^3-4

Tabla XXVII: Gráfico XXXIV:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-150

-100

-50

0

50

100

150

Ejercicio N° 7

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

Ejercicio N° 6f(x)=2x^5+3

X Y-5 -6247-4 -2045-3 -483-2 -61-1 10 31 52 673 4894 20515 6253

f(x)=-x^3-4

X Y

-5 121

-4 60

-3 23

-2 4

-1 -3

0 -4

1 -5

2 -12

3 -31

4 -68

5 -129

CASOS DE FUNCIONES 20

3.1.8. f(x)= x^4+32

Tabla XXVIII: Gráfico XXXV:

3.1.9. f(x)= -x^5-25

Tabla XXIX: Gráfico XXXVI:

Observación: Al estar superpuesto un menos en nuestra ecuación el sentido de la gráfica cambiará

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-4000

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

4000

Ejercicio N° 9

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

100

200

300

400

500

600

700

Ejercicio N° 8f(x)=x^4+32

X Y-5 657-4 288-3 113-2 48-1 330 321 332 483 1134 2885 657

f(x)=-x^5-25

X Y

-5 3100

-4 999

-3 218

-2 7

-1 -24

0 -25

1 -26

2 -57

3 -268

4 -1049

5 -3150

CASOS DE FUNCIONES 21

3.1.10. f(x)= x^3-25

Tabla XXX: Gráfico XXXVII:

Observación: Como en ejemplos anteriores (por falta de espacio no está esta observación) se denota como al tener un valor después de nuestra incógnita (en este caso -25) nuestra gráfica será distante del punto 0 y atravesará el eje de las Y.

4. Funciones con Radical:

Las funciones radicales son aquellas en las que la variable se encuentra bajo el signo radical. En

esta práctica estudiaremos las funciones del tipo y también las que tienen como

expresión general . La gráfica de estas funciones es muy diferente a las de las anteriormente estudiadas.En primer lugar, son funciones positivas, pues en la definición de la función se considera únicamente la raíz positiva del radicando.

(Si la expresión algebraica de la función fuera  entonces serían funciones que sólo tomarían valores negativos) En segundo lugar, si observas las gráficas representadas podrás ver que, en muchas ocasiones, sólo están definidas en un tramo de la recta real; en estos casos su dominio de definición no son todos los números reales ya que la raíz cuadrada sólo está definida para valores positivos del radicando. Por último, su comportamiento respecto a la monotonía (crecimiento y decrecimiento) es bastante sencillo. En esta práctica vamos a estudiar las propiedades fundamentales de los dos tipos de funciones

radicales:   y  

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

Ejercicio N° 10f(x)=x^3-25

X Y-5 -150-4 -89-3 -52-2 -33-1 -260 -251 -242 -173 24 395 100

CASOS DE FUNCIONES 22

4.1. Ejercicios:

4.1.1. f(x)= ((x^2)-5x+6)^1/2

Tabla XXXI: Gráfico XXXVIII:

 

Observación: Al poseer en este caso una raíz en nuestra fórmula se realiza el siguiente paso:

“El número de la raíz ya sea 2, 3, 4, etc… pasará al otro lado como fracción y como denominador del numero al cual esta elevado toda la ecuación interna de la raíz”

En este caso: f(x)= √ ((x^2)-5x+6)

Como la raíz es cuadrada y el número que está elevando a nuestra ecuación es 1, entonces nuestra ecuación (aplicando el paso anterior) quedará de la siguiente manera:

f(x)= ((x^2)-5x+6) ^1/2

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

5

10

15

20

25

30

Ejercicio N° 1f(x)= ((x^2)-5x+6)^1/2

X Y

-5 28

-4 21

-3 15

-2 10

-1 6

0 3

1 1

2 0

3 0

4 1

5 3

CASOS DE FUNCIONES 23

4.1.2. f(x)= √ (x+1)

Tabla XXXII: Gráfico XXXIX:

Observación: Al tener solamente una raíz normal nuestra gráfica solo tiene una parábola normal a su lado derecho

4.1.3. f(x)= √x

Tabla XXXIII: Gráfico XL:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejercicio N° 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Ejercicio N° 3

f(x)= √ (x+1)

X Y

1 1

2 1,414213562

3 1,732050808

4 2

5 2,236067977

6 2,449489743

7 2,645751311

8 2,828427125

9 3

10 3,16227766

11 3,31662479

f(x)= √x

 X Y1 12 1,414213563 1,732050814 25 2,236067986 2,449489747 2,645751318 2,828427129 3

10 3,1622776611 3,31662479

CASOS DE FUNCIONES 24

4.1.4. f(x)= (x^2)^1/3

Tabla XXXIV: Gráfico XLI

4.1.5. Sdf

Tabla XXXV: Gráfico XLII:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

5

10

15

20

25

30

35

Ejercicio N° 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

10000000000000

20000000000000

30000000000000

40000000000000

50000000000000

60000000000000

Ejercicio N° 5

f(x)= (x^2)^1/3

X Y

1 0,33333333

2 1,33333333

3 3

4 5,33333333

5 8,33333333

6 12

7 16,3333333

8 21,3333333

9 27

10 33,3333333

f(x)= (2x^3)^4

X Y1 162 655363 85030564 2684354565 39062500006 3,4829E+107 2,2146E+118 1,0995E+129 4,5189E+12

10 1,6E+1311 5,0215E+13

CASOS DE FUNCIONES 25

4.1.6. f(x)= √(x+3)

Tabla XXXVI: Gráfico XLIII:

4.1.7. f(x)= (3x+1)^2/3

Tabla XXXVII: Gráfico XLIV:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

7

Ejercicio N° 6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

50

100

150

200

250

300

350

400

450

Ejercicio N° 7

f(x)= √(x+3)

X Y1 42 4,414213563 4,732050814 55 5,236067986 5,449489747 5,645751318 5,828427129 6

10 6,1622776611 6,31662479

f(x)= (3x+1)^2/3

X Y

1 5,33333333

2 16,3333333

3 33,3333333

4 56,3333333

5 85,3333333

6 120,333333

7 161,333333

8 208,333333

9 261,333333

10 320,333333

11 385,333333

CASOS DE FUNCIONES 26

4.1.8. f(x)= √3x

Tabla XXXVIII: Gráfico XLV:

4.1.9. f(x)= (2x+4)^1/5

Tabla XXXIV: Gráfico: XLVI:

Christian Moscoso 3° B.G.U

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

2

4

6

8

10

12

Ejercicio N° 8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 110

1

2

3

4

5

6

Ejercicio N° 9

f(x)= √3x

X Y

1 3

2 4,24264069

3 5,19615242

4 6

5 6,70820393

6 7,34846923

7 7,93725393

8 8,48528137

9 9

10 9,48683298

11 9,94987437

12 10,3923048

f(x)= (2x+4)^1/5

X Y

1 1,2

2 1,6

3 2

4 2,4

5 2,8

6 3,2

7 3,6

8 4

9 4,4

10 4,8

11 5,2