1

Matemática

Regra de Cramer e Escalonamento

Resumo

Regra de Cramer

Consideramos o sistema: ax by e

cx dy f

+ =

+ =

Suponhamos que a ≠ 0. Observamos que esse sistema pode ser escrito pela forma matricial:

a b x e

c d y f

=

Esse sistema é possível determinado quando o determinante a b

Dc d

= for diferente de zero.

As soluções desse sistema através da Regra de Cramer são dadas por:

xDx

D=

yDy

D=

Onde,

x

e bD

f d= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “x” pela coluna de resultados.

y

a eD

c f= , em que trocamos a coluna referente aos coeficientes de “y” pela coluna de resultados.

Exemplo: Resolva o sistema:

1 2 2

1 1 1 8

2 1 3

D

− −

= − = −

2

Matemática

1 2 2

2 1 1 8

1 1 3

xD

− − −

= − − = −

1 1 2

1 2 1 16

2 1 3

yD

− −

= − = −

1 2 1

1 1 2 8

2 1 1

zD

− −

= − − =

81

8

162

8

81

8

x

y

z

−= =

−

−= =

−

= = −−

Escalonamento

Escalonamento é um método de classificar, resolver e discutir sistemas lineares. Seja S um sistema

genérico, ele é dito escalonado, se o número de coeficientes nulos, antes do primeiro coeficiente não-nulo

aumenta de equação para equação.

Exemplo:

3x y z 2

2y - 3z -1

z 5

− + =

= = −

Relembrando, esse sistema pode ser escrito como:

3 1 1 x 2

0 2 3 y 1

0 0 1 z 5

−

− = − −

A matriz 3x3 é chamada matriz dos coeficientes. E a matriz coluna após o sinal de matriz dos termos

independentes.

3

Matemática

A matriz aumentada do sistema é formada pelos coeficientes e termos independentes:

3 1 1 2

0 2 3 1

0 0 1 5

−

− − −

Note que cada uma das 3 primeiras colunas representa uma das incógnitas e a ultima representa os termos

independentes (T.I.)

yx z T.I.

3 1 1 2

0 2 3 1

0 0 1 5

−

− − −

Sistema equivalente:

Se dois sistemas são ditos equivalentes, então admitem a mesma solução:

Seja 1

x y 5S

x y 1

+ ==

− =e 2

2x 2y 10S

2x 2y 2

+ ==

− =. Eles são equivalentes, pois admitem o mesmo conjunto

solução (2,3). Notação 1 2S ~ S

Resolução de escalonamento por eliminação de Gauss-Jordan:

O método de eliminação de Gauss-Jordan é um dos métodos mais eficazes para escalonar. Para entende-lo

melhor, é necessário saber as operações elementares:

Operações elementares: são operações que podem ser realizadas e sistemas lineares a fim de transformá-

lo em um sistema mais simples. As três operações são: trocar a posição de duas linhas do sistema,

multiplicar uma linha por um escalar (número) e somar duas linhas.

Obs: Combinando a 2ª operação elementar com a 3ª implica em multiplicar uma linha por um escalar e

somar com outra

Roteiro para eliminação de Gauss-Jordan

1° Tome a matriz ampliada do sistema

2° Aplique alguma transformação elementar e torne o primeiro elemento da primeira linha igual a 1

3° Aplique transformações lineares para anular os termos abaixo dele

4° Continue o processo no segundo elemento da segunda linha

Observação: O objetivo de escalonar é obter uma matriz com a diagonal formada por 1 e os outros

elementos igual a 0

4

Matemática

Exemplo:

1 0 0 5

0 1 0 1

0 0 1 1

−

Como cada uma das 3 primeiras colunas representam uma incógnita e a ultima os termos independentes

concluímos que

X=5

Y=1

Z=-1

Exemplo

2x 2y z 1

x y z 3

3x z 4

− + =

+ + = + =

Note que o sistema não está escalonado.

Representaremos L1 como a linha 1, L2 como a linha 2 e L3 como a linha 3

Tomando a matriz aumentada:

2 2 1 1

1 1 1 3

3 0 1 4

−

L1 L2

A primeira operação será trocar a segunda linha com a primeira (as operações podem ser feita em outras

ordens)

2 2 1 1

1 1 1 3

3 0 1 4

−

~

1 1 1 3

2 2 1 1

3 0 1 4

−

L2 L2 2L1

L3 L3 3L1

= −

= −

Agora vamos anular os elementos abaixo do 1° elemento da matriz (lembrando as operações elementares

são aplicadas em todos os elementos da linha).

1 1 1 3

2 2 1 1

3 0 1 4

−

~

1 1 1 3

0 4 1 5

0 3 2 5

− − − − − −

1L2 L2

4= −

5

Matemática

Nessa operação tornaremos o -4 em 1 e repetiremos o processo

1 1 1 3

0 4 1 5

0 3 2 5

− − − − − −

~

1 1 1 3

1 50 1

4 4

0 3 2 5

− − −

L1 L1 L2

L3 L3 3L2

= −

= +

1 1 1 3

1 50 1

4 4

0 3 2 5

− − −

~

3 71 0

4 4

1 50 1

4 4

5 50 0

4 4

− −

4L3 L3

5= −

3 71 0

4 4

1 50 1

4 4

5 50 0

4 4

− −

~

3 71 0

4 4

1 50 1

4 4

0 0 1 1

~...~

1 0 0 1

0 1 0 1

0 0 1 1

. Logo:

x 1

y 1

z 1

=

=

=

O escalonamento poderia ter sido feito aplicando as operações elementares no sistema sem necessitar da

matriz aumentada.

6

Matemática

Exercícios

1. Pedro e André possuem, juntos, 20 cartões colecionáveis. Em uma disputa entre ambos, em que fizeram

apostas com seus cartões, Pedro quadriplicou seu número de cartões, enquanto André ficou com

apenas`2

3 do número de cartões que possuía inicialmente. Dessa forma, o número de cartões que

Pedro ganhou na disputa foi

a) 6.

b) 10.

c) 12.

d) 14.

2. Utilizando a Regra de Cramer, determine o valor da incógnita y no seguinte sistema de equações

lineares:

2 3 3 18

3 2 5 23

5 4 2 27

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

a) 1.

b) 2.

c) 3.

d) 4.

e) 5.

3. Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma

velha balança com defeito, que só indicava corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se

pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;

• Carlos e Andreia pesam 123 kg;

• Andreia e Bidu pesam 66 kg.

O peso de cada uma deles é:

a) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

b) Andreia pesa 50 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

c) Andreia pesa 51 kg, Bidu 12 kg e Carlos 72 kg.

d) Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 70 kg.

7

Matemática

4. Para que o sistema linear 2 5

2

x y

ax y b

+ =

+ = seja possível e indeterminado, o valor de a + b é:

a) -1

b) 4

c) 9

d) 14

e) 19

5. Sabemos que os sistemas possuem uma representação matricial formada pelos coeficientes

numéricos de cada incógnita. Por exemplo, o sistema de equações

possui a seguinte representação matricial:

O sistema também pode ser representado pela matriz incompleta formada somente pelos coeficientes

numéricos das incógnitas.

Essa representação de sistemas na forma de matrizes permite a utilização da Regra de Cramer no

cálculo das incógnitas do sistema.

Com base nas informações, calcule os valores de x, y e z do sistema de equações

utilizando a Regra de Cramer.

a) (1, 2, -1)

b) (1, 2, 1)

c) (1, -2, 1)

d) (-1, 2, 1)

e) (-1, 2, -1)

8

Matemática

6. Escalonando o sistema abaixo, o conjunto solução obtido é:

x 2y z 9

2x y z 3

3x y 2z 4

+ + =

+ − = − − = −

a) (1,2,3) b) (1,3,2) c) (2,3,1) d) (2,1,3)

7. Qual a soma dos elementos do conjunto solução?

x y 3

x z 4

y z 3

+ =

+ = + = −

a)3 b)2 c)-8 d)6

8. Qual o valor de x no sistema abaixo?

x y z t 6

y z t 1

3z 2t 2

9t 36

+ + + =

− − =

+ = =

a) 1 b) -1 c) 3 d) -2

9. Se a solução do sistema:

x y z 2w 1

x y 2z w 4

x 2y z w 2

2x y z w 3

+ + + =

+ + + =

+ + + = + + + =

é (x,y,z,w) então o valor de y wx z+ é:

a) -2

b) 2

3

c) 1

2

d) 2

e) 3

2

9

Matemática

10. Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, z e w:

x y 1,

y z 2,

w z 3.

− =

+ = − =

Logo, a soma x + y + z + w é igual a

a) 2.−

b) 0.

c) 6.

d) 8.

10

Matemática

Gabarito

1. A

Equacionando e resolvendo o sistema:

20

24 20

3

p a

p a

+ =

+ =

Por Cramer:

1 12 2 12 10

423 3 3 34

3

D = = − = − = −

20 140 40 60 20

2023 3 3 320

3

2

p

p

D

D

D

= = − = − = −

=

Se Pedro possuía 2 cartões inicialmente e após a disputa quadriplicou seu número de cartões, então este

ficou com 8 cartões ao final (4.2 = 8). Ou seja, Pedro ganhou 6 cartões na disputa.

2. B

No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

y = Dy / D

y = 62/31

y = 2

O valor da incógnita y no sistema de equações é 2.

11

Matemática

3. A

Seja Andreia = A, Bidu = B e Carlos = C. Temos:

87

123

66

b c

a c

a b

+ =

+ = + =

`

Por Cramer, temos:

b = Db / D

b = 30 / 2

b = 15

b + c = 87

15 + c = 87

c = 87 – 15

c = 72

a + b = 66

a = 66 – 15

a = 51

Andreia pesa 51 kg, Bidu 15 kg e Carlos 72 kg.

4. D

Devemos ter Dx = Dy = D = 0

2 14 0 4

2

5 110 0 10

2

14

a aa

b bb

a b

= − = =

= − = =

+ =

12

Matemática

5. A

No cálculo do determinante das matrizes indicadas utilizaremos o método de Sarrus.

x = Dx / D

x = –8/–8

x = 1

y = Dy/D

y = –16/–8

y = 2

z = Dz/D

z = 8/–8 = –1

Conjunto solução: x = 1, y = 2 e z = –1.

13

Matemática

6. B

A matriz aumentada do sistema é:

1 2 1 9

2 1 1 3

3 1 2 4

− − − −

.Efetuando as operações elementares, chega-se em

1 0 0 1

0 1 0 3

0 0 1 2

. Logo x=1, y=3 e z=2.

7. B

A matriz aumentada do sistema é:

1 1 0 3

1 0 1 4

0 1 1 3

−

.Efetuando as operações elementares, chega-se em

1 0 0 5

0 1 0 2

0 0 1 1

− −

. Logo x=5, y=-2 e z=-1.

8. A

A matriz aumentada do sistema é:

1 1 1 1 6

0 1 1 1 1

0 0 3 2 2

0 0 0 9 36

− −

.Efetuando as operações elementares, chega-se

em

1 0 0 0 1

0 1 0 0 3

0 0 1 0 2

0 0 0 1 4

−

. Logo x=1.

9. E

A matriz aumentada do sistema é:

1 1 1 2 1

1 1 2 1 4

1 2 1 1 2

2 1 1 1 3

.Efetuando as operações elementares, chega-se em

1 0 0 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 2

0 0 0 1 1

−

. Portanto, x=1, y=0, z=2 e w=-1 Assimy wx z+ =

0 1 1 31 2 1

2 2

−+ = + =

14

Matemática

10. D

Somando todas as equações do sistema, vem x+w=6. Logo, somando essa equação à segunda, obtemos x

+ y + z + w = 6 + 2 = 8.