1

Control I Conceptos básicos ¿Qué es el control (o control automático/sistemas de control/ingeniería de control/automática)? Es la disciplina de la ingeniería que se concentra en la comprensión de sistemas de diversa naturaleza a través del modelado y análisis de su comportamiento dinámico para hacer que se comporten de cierta manera. ¿Qué NO es el control? - Programar micros, PICs, PLCs o cualquier otro sistema digital. Sistema de control: Interconexión de componentes que forman una configuración en la que la respuesta se comporta de cierta manera y cuyo propósito es precisamente alterar el comportamiento de dicha respuesta. 3 elementos básicos:

Sistema de lazo abierto: Aquel que utiliza un actuador para controlar directamente el proceso sin utilizar ninguna retroalimentación.

Sistema de lazo cerrado: Aquel que utiliza una medición de la salida y la retroalimenta para compararla con la entrada o comando.

Sistema multi-variable: Dependiendo de complejidad de los sistemas y de la exactitud que se busque, puede ser necesario controlar múltiples variables del sistema al mismo tiempo.

2 tipos de señales: (a) continuas y (b) discretas

(a) (b)

Material de clase: http://www.robotica-up.org/ Education → Control Engineering I

Biblio: Nise (Norman), Control Systems Engineering, Wiley Dorf (Richard), Modern Control Systems, Prentice Hall

2

3

Block Diagrams Signals System

Summing junction Pickoff point

Cascaded subsystems Parallel subsystems

Feedback systems

Moving blocks forward & backwards

Moving pickoff points forward & backwards

4

Modeling dynamic systems

I. Electric systems Component Voltage-current Current-voltage Voltage-charge Impedance Z(s) Admittance Y(s)

Operational amplifiers (Opams) Inverting Opam Non-inverting Opam

)()(

)()(

1

2

sZsZ

sVsV

i

o −= )(

)()()()(

1

21

sZsZsZ

sVsV

i

o +=

Summing inverting Opam Potentiometer

∑=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

N

ii

i

ff V

ZZ

V1

max21

22

1

2

)()(

θθ

=+

==RR

RRR

sVsV

5

Ideal transformer

)()(

)()(

1

2

2

1

2

1

sisi

NN

sVsV

==

II. Translational mechanical systems

Levers

)()(

)()(

1

2

2

1

2

1

sFsF

dd

sXsX

−==−

6

III. Rotacional mechanical systems (a) (b) (c) (d)

(a): Solid cylinder around axis: 2

21 mrJ =

(b): Solid sphere: 2

52 mrJ =

(c):Rod about center: 2

121 mLJ =

(d):Rod about end: 2

31 mLJ =

Gear system Rack and pinion (Radial to linear motion)

2

1

2

1

1

2

TT

NN

==θθ θrx =

rFT =

Moment of inertia: Defined as the product of the mass k-times the square of perpendicular distance to the rotation axis: J = kmr2

L

7

Transistores BJT (Bipolar Junction Transistors)

‐ Aplicaciones: switch electrónico, amplificador ‐ Dos tipos: NPN, PNP

‐ Funcionamiento del transistor NPN

‐ Configuraciones NPN y PNP para operación como switch

Switch abierto: Con Vin=0, el transistor esta en corte, no hay corriente en la base ni en el colector. La carga NO recibe voltaje. Vout=Vcc

Switch cerrado: Con Vin=5 V, el transistor esta en saturación, hay corriente en la base y en el colector. (RB se escoge pequeña para llevar al transistor a saturación). La carga recibe voltaje. Vout=0

Switch abierto: Con Vin=Vcc, el transistor esta en corte, no hay corriente en la base ni en carga. Vout=0 Switch cerrado: Con Vin=0, el transistor esta en saturación, hay corriente en la base y en la carga (RB se escoge pequeña para llevar al transistor a saturación). Vout=Vcc

En saturación

En corte

Zona activa

Más populares:

NPN: 2N2222 PNP: 2N2907

8

Derivation of a Schematic for a DC Motor

Current-carrying wire in a magnetic field

a. Current-carrying wire on a rotor; b. current-carrying wire on a rotor with commutation

and coils added to the permanent magnets to increase magnetic field strength

9

DC motor (no-load)

Electrical L

ViLR

LU

dtdi b−−=

Mechanical dt

dJ

DJ

Tdt

d mmmm θθ−=2

2

Electromechanical coupling dt

dkV mbb

θ=

aTm ikT =

kb: emf constant kT: motor torque constant

Solenoids

Electrical iLR

LU

dtdi

−=

Mechanical x

mk

dtdx

mb

mf

dtxd

−−=2

2

Electromechanical coupling

ikf b=

10

State Space Representation

So, we have seen that dynamic systems are represented by a set of n differential equations:

mmnn

mmnn

ububxaxaxaxububxaxaxax

212122221212

111112121111

......'......'

++++++=++++++=

.

.

. mnmnnnnnnn ububxaxaxax ++++++= ......' 112211

It is common (and more compact) to represent them in a matrix form:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

mnmn

m

nnmnn

n

n

n

u

u

bb

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

x

xx

............

......

............

'...

''

1

1

1112

1

21

22221

11211

2

1

x’ = A x + B u

BuAxx +=' is called space state equation. Vector x is called the state vector and contains the variables of interest of the system. Similarly, the output in state space form can be represented by: DuCxy += (Note: It is common to find systems with D=0, so Cxy = ) Graphically:

11

Time response First order systems

Time constant: The time that it takes for a step response to rise to 63% of its final value. Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response.

aTr

2.2=

Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.

aTs

4=

Second order systems: Introduction

12

Performance of Second-Order Systems Fig.1. Transient response due to damping ξ

Natural frequency ωn: Frequency of oscillation of the system without damping. Damping ζ: is any effect, either deliberately engendered or inherent to a system, that tends to reduce the amplitude of oscillations of an oscillatory system. ζ=Exponential decay frequency/

Natural frequency

Fig.2. Step response of a control system

Rise time: The time it takes to rise from 10% to 90% of the magnitude of the step response

nrT

ωξ 6.016.2 +

=

Peak response: Magnitude of the overshoot

21/max 1 ξξπ −−+= eC

Peak time: Time required to reach the maximum overshoot

21 ξωπ−

=n

pT

Settling time: The time required to settle or to reach steady-state.

nsT

ξωτ 44 ==

13

Fig.3. Step responses of second-order systems as poles moves

14

Práctica 1- Introducción a Matlab

Temario:

- Introducción a Matlab (Editor Matlab, Simulink y Command Window) - Transformada de Laplace - Transformada Inversa de Laplace - Derivar con Matlab - Integrar con Matlab - Vectores y Matrices - Operaciones con matrices: suma, multiplicación, producto punto, inversa,

transpuesta, determinante,… - Polinomios - Operaciones con polinomios: suma, convolución, deconvolución, raíces,

reconstrucción de polinomio a partir de raíces, evaluación polinomial, … - Señal continua - Señal discreta - Opciones de graficación: plot, subplot, colores, linewidth, strings,… - Respuesta a un escalón e impulso - Simulink: construcción de diagramas de bloques

************************************************************ Matlab: 1- Encuentre la transformada de Laplace de las siguientes expresiones: a) tt etety 22 25.15.325.1)( −− ++−= b) )º604(5)º453cos(5)( 22 +++= − tsentettty t 2- Grafique la evolución temporal y(t) de las siguientes expresiones:

a) )23(

444)( 22

2

++++

=ssssssY

b) )75)(38)(8(

564)( 22

23

++++++++

=sssss

ssssY

3.- Resuelva las siguientes ecuaciones: a) )72)(26)(15)(2( 23 ++++= xxxxxy

b) 6.20

7.31148.4036.1306.192

234

−−−++

=x

xxxxy

c) ¿Cuáles son las raíces de b ? Num/Den

15

d) 3388

1)7756)(657681(

)536249)(14(56)1( 2223

23

+++

+++++++++

=−=xxxxxxx

xxxxxY

c) Considere: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

012891321

A y ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

567101654

B

c.1) 2A+B c.2) A*B c.3) AT-B c.4) det(A)/det(B) 4.- Para cada una de las funciones de transferencia siguientes obtener la respuesta a un escalón unitario:

(a) 72

1)( 2 ++=

sssH (b)

)8)(7(10)(

++=

sssG (c)

15982

23 ++++

ssss

5.- Considere los siguientes sistemas:

15.01)( 21 ++

=ss

sH 45.0

1)( 22 ++=

sssH

Compare (eso quiere decir las 2 graficas en una misma figura) la respuesta a un escalón del sistema en lazo abierto y lazo cerrado. (Lazo cerrado: Hacerlo automático con feedback) ************************************************************ Simulink: 6.- Considere el diagrama de bloques de la siguiente figura. (1) Obtenga en Simulink la respuesta de C(s) cuando R(s) es un escalón unitario (2) Reduzca la función a un solo bloque y compruebe su resultado con el obtenido en (1)

16

Práctica 2 – Sistemas Eléctricos con SimPowerSystems

1.- Compare el diagrama eléctrico de un divisor de voltaje con su función de transferencia. 2.- Considere un circuito RC serie con R=10Ω y C=50µF. Si U=5V: a) Verifique que el Vc (voltaje en el capacitor) es el de la fig. 2a b) Verifique que la corriente del circuito es la de la fig. 2b c) Compare el esquemático de a) con su función de transferencia d) Compare el esquemático de b) con su función de transferencia

Fig. 2a

Fig. 2b

3.- Considere el circuito de la fig. 3a. Demuestre que Vo tiene el comportamiento 3b.

Fig. 3a

Fig. 3b

4.-Transformadores ideales

12

12

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.020

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

Vol

ts

Tiempo0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 0.014 0.016 0.018 0.02

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0.45

0.5

Tiempo

Am

pere

s

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tiempo

Vol

ts

17

5.- Considere el sig. circuito. Demuestre que Vo tiene el comportamiento de la fig. 5.

R1=R2=R5= 1Ω R3= 100 Ω R4= 1K Ω C1=C2=100 µF N1=120 N2=10

Fig. 5. V0=0.1V @60Hz 6.- Considere el siguiente circuito divisor de voltaje con diodo.

a) Determine el voltaje en R2 b) Determine el voltaje en R2 con el diodo invertido.

Aplicaciones en AC

7.- Rectificador de media onda 8.- Puente universal (Rectificador onda completa)

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045 0.05-0.1

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

volts

Tiempo

18

9.- Usando el archivo opam.mdl, verifique el funcionamiento de un opam en configuración inversor y no inversor. 10.- Para los siguientes circuitos, demuestre que su comportamiento es el mismo que el de las funciones de transferencia indicadas.

1.23245.95 22.5

Use una senoidal de 0.1 V@1 Hz como señal de entrada

3.53.18 11.68

7 10

Use una senoidal de 2 V@1 Hz como señal de entrada

11.- Verifique el funcionamiento de los transistores NPN y PNP en configuración switch electrónico.

19

Práctica 3 – Modelado de Sistemas

1.- Considere un circuito RCL en serie con R=L=C=1. a) Simule este sistema en Simulink y obtenga el comportamiento de la corriente y el voltaje en el capacitor para un voltaje de alimentación de 1V. b) ¿Cuál es el efecto de variar (i.e aumentar/disminuir) R en el voltaje y la corriente? (Intente R=3Ω y R=0.5Ω) c) ¿Y de variar C? (Intente C=0.5, C=0.25, C=1.25, C=1.5) d) Con los valores iniciales de R=L=C=1, ¿Cuál es la frecuencia de carga del capacitor? 2.- Modele un sistema masa-resorte-amortiguador con M=2 kg, fv=0.7, k=1. Explique las respuestas de aceleración, velocidad y posición. 3.- Modele el siguiente sistema en Simulink y compare las velocidades y posiciones de ambos vehículos con: M1=1kg, fv= 0.0196, k=1, M2=0.5 kg.

4.- Considere el sistema mecánico de traslación de la sig. figura. Simule este sistema en Simulink y obtenga la evolución temporal de la posición y la velocidad para las tres masas: x1(t), x2(t), x3(t) y v1(t), v2(t), v3(t).

5.- Modele el comportamiento de un motor de DC sin carga con L=1, R=4, k=0.031, Jm=0.2, D=0.001. 6.- Compare el comportamiento de las 3 posiciones angulares del sig. sistema:

20

Práctica 4 – Modelado de un sistema motor-eje-engranes

1.- Considere el siguiente sistema electromecánico:

Modele este sistema en Simulink utilizando los siguientes parámetros:

Parte Eléctrica Motor Parte Mecánica R1=20 KΩ R=4Ω J1=18 kg-m2 R2=10KΩ L=1H Je=1 kg-m2 R3=1KΩ k=3.1e-2 D=0.001 N-m-s/rad R4=500Ω Jm=2 kg-m2 N1=1 U1=5V Dm=0.0001 N-m-s/rad N2=2 U2=1V Jd=1 kg-m2

k=10000 N-m/rad J2=2000 r=0.1m Help: J=mr2 m=0.4 kg

a) Demuestre que el motor se alimenta con 8V. b) Demuestre que el comportamiento de los desplazamientos angulares θ es el

mostrado en la fig. b.1 y el de las velocidades angulares θ’ el mostrado en la fig. b.2.

Fig. b.1 Fig. b.2

21

Práctica 5 – Tiempo de respuesta

1. Encuentre H(s) a partir de la gráfica y compruebe sus resultados en Matlab/Simulink.

(a) (b)

(c) (d)

Sol: a) 3

18+s

, b) 40

80+s

, c) 92

92 ++ ss

, d) 92

32 ++ ss

2.- Use Matlab para construir el diagrama de polos y ceros de: 2746

22)( 234

2

++++++

=ssss

sssH

3.- Encuentre el voltaje en el capacitor si el switch se cierra en t=0. Asuma condiciones iniciales iguales a cero. De su gráfica en Matlab encuentre: a) la constante de tiempo, b) el tiempo de levantamiento, c) el tiempo de asentamiento y d) el voltaje final del capacitor. Sol: a) 2 , b) 1.1s , c) 2s , d) 5V

4.- Determine la validez de una aproximación a 2º grado para:

a) )20)(10)(5.6(

)7(71.185)(+++

+=

sssssH

b) )20)(10)(9.6(

)7(14.197)(+++

+=

sssssH

Sol: (a) No es valido, e>5% , (b) Es valido, e=1.5%

22

5.- Implemente en Matlab el código que permita resolver:

[ ])()()(

)()0()()( 1

sDUsCXsYsBUXASIsX

+=+−= −

6.- Obtenga entonces la expresión Y(s), y(t), los valores propios (eigenvalues) y grafique la evolución temporal de y(t) para:

a) texx −

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

100

92624100010

*

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

201

)0(x [ ]xy 011=

b) )(11

1102*

tuxx ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

−= ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

01

)0(x [ ]xy 10=

c) )(110

500160013

*tuxx

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

000

)0(x [ ]xy 110=

Respuestas:

a) 24 + s 26 + s 9 + s

5 + s 11 + s)( 23

2

=sY , ttt eeety 234 5.6195.11)( −−− −+−= , -2, -3, -4

b) 2)1)(ss(s

1)(++

=sY , tt eety 25.05.0)( −− +−= , -1, -2

c) )5s(s

2)(+

=sY , tety 54.04.0)( −−= , -3, -5, -6

23

Trabajos de Implementación Amplificadores operacionales (Opams) y switch electrónico Fecha de entrega: La siguiente clase al 2° examen parcial Equipo: 2 personas Valor: 2 puntos sobre calificación parcial 1. Diseñe en Simulink e implemente en circuito: a) Un derivador b) Un integrador c) Un circuito que haga la función: 2 0.5 donde u1, u2 y u3 son señales independientes de entrada.

2. Diseñe en Simulink e implemente en circuito un switch electrónico usando un transistor NPN o PNP. La señal de control del transistor viene de la computadora (realizar una interfaz de usuario elemental) y cualquier elemento puede ser usado como carga (motor DC, foco, LED, etc.)