Material Didactico Ejemplo

Taller: Aprendizaje de las matematicasmediante materiales digitales y didacticos

Problemario del curso de capacitacion

CORPORATIVOARSA

Mexico 2012.

Indice general

1. Introduccion 4

2. Justificacion 5

3. Objetivo General 7

4. Indicaciones generales 8

5. Sistema numerico en cubos 95.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95.2. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

5.3.1. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115.3.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

6. Angulos y areas 136.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136.2. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14


7. Caja Pitagorica 187.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187.2. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19


8. Probabilidad y fracciones 228.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

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8.2. Material . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

8.3.1. Ejemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238.3.2. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248.3.3. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

9. Materiales 279.1. Geoformas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.2. Torres de Hanoi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279.3. Plano cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.4. Bloques logicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.5. Cuerpos geometricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289.6. Abacos verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.7. Triangulo de Sierpinski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299.8. Politriangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.9. Tangram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.10. Romboide magico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309.11. Comesolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

10.Recomendaciones para el profesor 32

11.Evaluacion 33

Capıtulo 1

Introduccion

El uso de recursos didacticos manipulativos en la ensenanza representa una opcion para elproceso de aprendizaje ya que a partir de ellos se disenan actividades ludicas que planteanretos cognitivos a los estudiantes. Ası se estimula el desarrollo del conocimiento desde otraperspectiva innovadora e interactiva, la cual involucra el trabajo colaborativo que coadyuvaa la adquisicion de competencias para la vida, en particular aquellas dirigidas a aprender aaprender.

El curso esta dirigido a profesores de educacion basica que deseen implementar metodologıasde ensenanza para el aprendizaje y evaluacion de las matematicas, mostrando la importanciaque tienen los materiales manipulativos concretos en el manejo de contenidos del campo dePensamiento matematico propuesto en los Planes y Programas de Estudio de Educacion Basica.

Durante el curso se promueve el uso de recursos didacticos para la ensenanza de las matematicas,con la finalidad de que los profesores incorporen en su practica los materiales manipulativosconcretos, de forma paralela a un trabajo en ambientes virtuales con Tecnologıas de la In-formacion y Comunicacion (TIC). Dichas herramientas se encuentran vinculadas al currıculoescolar bajo la perspectiva de que hoy en dıa es necesaria su incorporacion al modelo educativonacional.

Las sesiones del curso se llevaran a cabo de manera presencial, con instructores capacitados enel uso y manejo de los materiales, ası como en cada uno de los temas propuestos, presentandolos contenidos mediante diversas tecnicas instruccionales.

Las actividades del curso estan centradas en la resolucion de problemas matematicos y retos,cuyo procedimiento y solucion son demostrados con el uso de los materiales manipulativos enconjunto con el software interactivo correspondiente.

Este curso de capacitacion fomenta la participacion y colaboracion entre los profesores; de igualmanera se trabajan problematicas que exigen el trabajo autonomo de los participantes. Altermino del curso los participantes seran capaces de utilizar y crear metodologıas y estrategiaspertinentes para la ensenanza de las matematicas mediante la manipulacion de estos materiales,adecuandolos al contexto que se les presente en el aula.

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Capıtulo 2

Justificacion

El modelo de educacion nacional esta orientado a elevar la calidad educativa a fin de que losindividuos puedan alcanzar los estandares mas altos de aprendizaje, desarrollarse de maneraintegral utilizando todas sus capacidades y potencial como personas y ciudadanos productivos,responsables, solidarios para que contribuyan al desarrollo de la sociedad.

Partiendo de este hecho, mejorar la calidad en la ensenanza depende en gran parte de todoaquello que implique el quehacer profesional docente, ası como los cambios y reflexiones quela comunidad educativa haga del proceso de ensenanza, replanteando las formas de trabajo ymodificando ciertas concepciones en torno a la importancia de integrar en las aulas materialesmanipulativos concretos y ambientes virtuales de aprendizaje para el manejo de contenidos.

Considerando la manera en que el ser humano percibe e interpreta la realidad para despuesprocesar la informacion de acuerdo a su propio estilo de aprendizaje, el cual varıa no solo enfuncion de la informacion recibida sino tambien del contexto, los estilos de aprendizaje son unconjunto de rasgos estables intelectuales, afectivos y emocionales mediante los que una personainteractua en un ambiente de aprendizaje, y se encuentran integrados por habilidades cognitivasy metacognitivas. Sin embargo, tambien hay estilos de ensenar, o metodos de ensenanza quepueden ser ajustados de acuerdo a los estilos que presenta cada estudiante y las necesidadesque demanda el contexto de aprendizaje.

Los resultados del aprendizaje no dependen exclusivamente de los procesos que realiza cada es-tudiante para procesar, interiorizar y almacenar la informacion, sino tambien de la metodologıade ensenanza. Una metodologıa que propicia la autonomıa del estudiante para realizar activi-dades de manera independiente, permitiendole explorar el entorno de acuerdo a sus propiasinquietudes e intereses, permite integrar al estudiante en actividades colectivas donde se creanvınculos interpersonales afectivos y se promueven ambientes de aprendizaje que potencian eldesarrollo de competencias para los aprendizajes permanentes, el manejo de informacion, elmanejo de situaciones, para la convivencia y para la vida en sociedad que se mencionan en laReforma Integral de Educacion Basica.

Es importante dilucidar que una metodologıa supone una manera concreta de ensenar, mientrasque un metodo supone un camino o herramienta concreta que se utiliza para transmitir loscontenidos, procedimientos y principios al estudiante. Se debe considerar que las estrategias

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de aprendizaje que los estudiantes llevan a cabo engloban aquellos recursos cognitivos queutilizan cuando se enfrentan a este, y dependen en gran medida de factores actitudinales ydisposicionales, ası como de actividades de planificacion, direccion y control que pongan enmarcha en este proceso. Todos estos elementos garantizan aprendizajes significativos.

En este sentido, en la practica existe la oportunidad de trabajar con estudiantes que presen-tan diferentes estilos de aprendizaje y que utilizan diferentes estrategias para alcanzar este fin.Por ello, el desarrollo de competencias en los estudiantes requiere de una solida disposicion delos profesores para que, mediante la sensibilizacion, el perfeccionamiento y la mejora constante,logren crear una cultura en las escuelas que permita ver a los estudiantes que experimentan difi-cultades para aprender no como un problema, sino como un medio que coadyuve a perfeccionarsu practica adecuando los metodos de ensenanza, tomando en cuenta las habilidades y capaci-dades individuales de los estudiantes, y las estrategias que utilizan para aprender, ası como losbeneficios que representa utilizar recursos didacticos en el aula para potenciar el aprendizajeefectivo. Para que un material didactico sea eficiente debe despertar la curiosidad del estu-diante, estimulando el desarrollo de habilidades mediante la actividad ludica, favoreciendo eldesarrollo de actividades pedagogicas y alcanzando los objetivos de ensenanza, en este caso losaprendizajes esperados en el Plan General de Educacion Basica.

Con base en lo anterior, en el curso se promueven estrategias creativas e innovadoras para laplaneacion, desarrollo y ejecucion en los procesos de ensenanza, aprendizaje y evaluacion de lasmatematicas a traves del uso y aplicacion de software y materiales didacticos manipulativos.Esperamos que este sea de su agrado y utilidad para los profesores de Educacion Basica enMexico y pueda contribuir a desarrollar el gusto por las matematicas en dichos procesos durantesus cursos.

Capıtulo 3

Objetivo General

Promover estrategias creativas e innovadoras para la planeacion, desarrollo y ejecucion en losprocesos de ensenanza, aprendizaje y evaluacion de las matematicas a traves del uso y aplicacionde software y materiales didacticos manipulativos concretos.

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Capıtulo 4

Indicaciones generales

Durante el taller se solicitara:

a) Resolver los ejercicios propuestos auxiliandose con el material didactico sugerido.

b) Identificar los conceptos y procedimientos matematicos utilizados en la solucion.

c) Identificar diferencias o semejanzas entre los distintos ejercicios.

d) Para cada ejercicio obtener versiones, cambiando condiciones de la tarea, de maneraque uno sea mas facil de resolver y el otro mas difıcil.

e) Mencionar si los enunciados pueden ser claros para los estudiantes, en caso de que no,sugerir modificaciones.

f) Comparar los ejercicios con los existentes en los libros de texto de primaria que abordanlos mismos contenidos y mecionar similitudes o diferencias con los desarrollados en eltaller.

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Capıtulo 5

Sistema numerico en cubos

5.1. Introduccion

Este material didactico permite al estudiante desarrollar sus habilidades operacionales, la es-timulacion del razonamiento deductivo, analisis y estrategias para la resolucion de diversosproblemas aplicables a los sistemas de numeracion en distintas bases.

Ademas, permite abordar temas relacionados con medida de longitud, area, volumen y capaci-dad, ademas de realizar construcciones utilizando cubos, con lo cual se estimula la creatividade ingenio. Adicionalmente se pueden abordar algunos temas algebraicos.

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5.2. Material

Material necesario por equipo:

2 30 cubos de tamano 1× 1× 1



2 1 cubo de tamano 10× 10× 10

2 1 cubo de tamano 10.5× 10.5× 10.5

2 5 regletas de tamano 2× 1× 1



2 5 cuadretas de tamano 5× 5× 1

2 10 cuadretas de tamano 10× 10× 1

Material adicional:

2 Hojas blancas, lapices

5.3. Actividades

5.3.1. Ejemplos

El kit Sistema numerico en cubos como recurso didactico en la representacion yresolucion de problemas.

Ejemplo 5.1. ¿Cuantos centımetros cubicos tiene un decımetro cubico?

Ejemplo 5.2. ¿Cual es la diferencia entre capacidad y volumen?

Ejemplo 5.3. Los companeros de grupo de Luisa y Juan se forman en una fila. Luisa tiene16 companeros detras de ella (incluyendo a Juan), mientras que Juan tiene 14 companerosdelante de el (incluyendo a Luisa). Si entre Juan y Luisa hay 7 companeros ¿cuantos son enel grupo?

5.3.2. Ejercicios

Uso del kit Sistema numerico en cubos en la solucion de problemas que implicancomparar fracciones.

Ejercicio 5.1. Elija al menos dos de los elementos de su material pero que sean de distintotamano, y realice comparaciones entre estos, obteniendo el numero de veces que cabe la piezamas pequena en la mas grande.

Ejercicio 5.2. Un auto se ha averiado en el kilometro 914

de la longitud de una carretera.Para su reparacion se tienen dos talleres: el primero se encuentra en el kilometro 5 y el segundoen el kilometro 133

4¿Cual de los dos talleres esta mas cerca del auto averiado? Exprese como

numero fraccionario mixto la distancia a la que se encuentra el auto de cada uno de los talleres.

Ejercicio 5.3. Conduciendo un automovil se han recorrido dos terceras partes del caminototal. El tanque de gasolina estaba lleno al salir y ahora queda solo un cuarto de su capacidad.¿El conductor llegara a su destino con la gasolina que le queda?

Ejercicio 5.4. El propietario de un terreno decidio venderlo en parcelas y la venta se ha real-izado en dos partes: primero se vendieron 3

7del total y despues 1

3de lo que quedaba. Concluidas

las ventas se sabe que la superficie restante es de 288 m2.

a) ¿Cual era la superficie total del terreno antes de las ventas?

b) ¿Cual es la expresion en fracciones con el mismo denominador de las dos partes delterreno que se vendieron?

c) ¿Cuales son las superficies de las dos partes del terreno que se han vendido?

Ejercicio 5.5. Para la elaboracion de un concentrado se tiene medio litro de cierto lıquido.Despues de hervir se observa que se tienen 4

5de la cantidad original. ¿Que cantidad del lıquido

en litros se ha perdido en el proceso?

5.3.3. Problemas

Problema 5.1. Para la elaboracion de una costura, Marıa tiene 34

de metro de hilo. Sumama se dio cuenta de que con 2

3del hilo que tiene Marıa es suficiente. ¿Que cantidad de hilo

usara Marıa en la costura?

Problema 5.2. Hace unos anos, Pedro tenıa 18 anos, que representan 35

partes de su edadactual. ¿Que edad tiene ahora Pedro?

Problema 5.3. Identifique el menor de los siguientes numeros.

a) .017 b) 50100

c) .003 d) 910

Problema 5.4. Flor compro 14

de kilogramo de queso, Carmen 58

de kilogramo y Sofıa masque Flor pero menos que Carmen. ¿Que cantidad de queso en kilogramos compro Sofıa?

a) 34

b) 18

c) 78

d) 12

Problema 5.5. Observa el siguiente segmento de recta que elaboro Juanito.

¿Que fraccion ubico mal Juanito?

a) 13

b) 58

c) 35

d) 56

Problema 5.6. Localizar el cero en una recta numerica a partir de la indicacion de lasfracciones 1

5y 1

4.

Problema 5.7. Un campesino ha decidido vender su parcela. Divide el terreno en partes detres tamanos distintos: Tamano a o pequeno, tamano b o mediano y tamano c o grande.

¿Cual es el area de la parcela que quiere vender el campesino?

Un cliente solo quiere comprar las porciones de tamano c ¿Cual es el area de esta partede la parcela?

Otro cliente desea comprar las porciones de tamanos a y b ¿Cual es el area de estaparte de la parcela?

Si cada 100m2 cuestan $10, 000.00 ¿cuanto cuesta la porcion de la parcela integrada porlas regiones b?

Capıtulo 6

Angulos y areas

6.1. Introduccion

La Geometria es un contenido que los estudiantes de nivel basico deben de abordar, esto implicala necesidad de interactuar con conceptos como: lado, vertice, arista, angulo, longitud, polıgono,cırculo, area, superfice, volumen, etcetera.

Debido a sus caracterısticas y aditamentos este material didactico resulta funcional para abordartemas relacionados con la Geometrıa mediante actividades ludicas.

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6.2. Material


2 Plano cartesiano (Tablero perforado)

2 1 lamina de carton impresa con una ilustracion de pista para carreras

2 24 Postes (banderas)

2 3 tangram

2 1 Tablero de juego

2 Geoespacio (Bastidor de sombras)

2 6 triangulos rectangulos

2 Regla de angulos

Material adicional:

2 Ligas

2 Bandas elasticas

6.3. Actividades

6.3.1. Ejemplos

El kit de Angulos y areas como recurso didactico en la representacion y resolucionde problemas.

Ejemplo 6.1. El colegio de matematicas de la ciudad cumplira este ano su vigesimo aniver-sario, para celebrarlo han decidido remodelar el patio interior del colegio. Para llevar a cabodicho proyecto los directivos han enviado una convocatoria para elegir el diseno que mas con-venga para que el interior sea agradable. La primera propuesta muestra el patio dividido en tressecciones, cada una tendra areas verdes, zona de juegos y un espacio para descanso, esto semuestra en la siguiente figura.

Utilizando los tres tangram formen con cada una de las tres secciones del diseno correspondienteal primer equipo participante.

Deben de agrupar las figuras en cuadrilateros y triangulos. Ubicar las caracterısticas mencionan-do cuantos lados, esquinas (vertices) tiene cada figura. Considerando que cada seccion tendra unarea verde, una de juegos y una de descanso, mencionar cuantos triangulos y cuadrilaterosse forman en cada seccion. Tomando como unidad de medida uno de los lados menores deltriangulo pequeno del trangram, identifiquen en que lados del rectangulo y del triangulo cabeexactamente.

6.3.2. Ejercicios

El kit de Angulos y areas como recurso didactico en la resolucion de problemas.

Ejercicio 6.1. El segundo equipo presento su propuesta la cual consiste en colocar en el centrodel patio una fuente en forma cuadrada; en cada vertice de la fuente, se colocan cuatro jardinesen forma de cuadrilatero, los cuales estan delimitados por una cerca de madera. Ademas en laesquina de cada uno de los jardines y la fuente se colocan focos para el alumbrado nocturno.Esto se muestra en la siguiente figura.

Para ubicar cada vertice utiliar las coordenadas que se muestran en la tabla siguiente, considerarque el punto de partida (ORIGEN) es la perforacion que se ubica en el vertice inferior izquierdodel tablero.

¿Que tipo de cuadrilateros forman cada uno de los jardines del patio? ¿Que angulos hay encada cuadrilatero? Considere que la distancia entre dos perforaciones consecutivas es un metro,calculen la longitud de cada lado del cuadrilatero sin utilizar instrumentos de medicion. ¿Cual esel perımetro aproximado en metros de cada jardın? ¿Cuantos metros de madera se necesitaranaproximadamente para fabricar la cerca de todos los jardines? ¿Cual es el area aproximada enmetros cuadrados de cada jardın?

Ejercicio 6.2. La propuesta del tercer equipo consiste en colocar al centro del patio un obeliscoen forma de prisma cuadrangular para develar la placa conmemorativa del evento y alrededor deeste cuatro jardines en forma rectangular que representan los cuatro puntos cardinales, ademascada uno de los jardines comparte uno de sus lados con el obelisco. Antes de concluir el equipoindica que la escala de su plano es 1 : 50. Esto se muestra en la figura siguiente.

¿Cual es la altura del obelisco en centımetros? ¿Y su altura en metros? ¿Cual es el area de subase en cm2? ¿Y en m2? ¿Cual es la superficie en cm2 de cada jardın? ¿Y en m2? ¿Cual es lasuperficie total del obelisco en m2? ¿Cual es su volumen en m3?

6.3.3. Problemas

Problema 6.1. En la clase de dibujo la maestra de Sofıa les indico que reprodujeran en unahoja cuadriculada la imagen de una mariposa con las medidas indicadas en la siguiente figura.

¿Que figuras conforman a la mariposa? ¿Que figuras tienen tres lados? ¿Que figuras tienencuatro lados? ¿Que hay mas: cuadrados, rectangulos o triangulos?

Problema 6.2. Un arquitecto diseno uno de los edificios mas modernos del paıs, este tieneseis lados y en el centro tiene un patio de igual numero de lados solo que en menor dimensioncomo se muestra en la figura.

Pero cuando se presento el plano del edificio le falto indicar las dimensiones de la construccion,solo especificaron la escala a utilizar 1 : 500.¿Cual es el area del terreno en metros cuadrados sobre el cual se realizo la construccion? ¿Cuales el area de la base aproximada en metros cuadrados del edificio? Y el area en metros cuadradosdel patio?¿Cual es el area del terreno en metros cuadrados sobre el cual se realizo la construccion? ¿Cuales el area de la base aproximada en metros cuadrados del edificio? Y el area en metros cuadradosdel patio?

Capıtulo 7

Caja Pitagorica

7.1. Introduccion

La ensenanza de las matematicas tiene como proposito que el estudiante refuerce las nociones yconceptos utiles para comprender y describir su entorno lo cual le permita resolver problemas dela vida real. Ademas, los conocimientos, las habilidades y el razonamiento son necesarios paraahondar en el estudio de matematicas mas complejas, ası como para acceder al conocimientode otras disciplinas como, por ejemplo, la fısica, la biologıa, la economıa, etcetera.

La Caja Pitagorica es un material didactico de apoyo en el proceso de ensenanza-aprendizajede conceptos matematicos. Las actividades desarrolladas a partir de este material propician lainterrelacion del estudiante con el profesor, sus companeros y el medio.

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7.2. Material


2 Los cuadrilateros irregulares de todos los tamanos

2 Tangram chico y tangram grande

2 Los tableros cuadrados de plastico

2 Las fichas de plastico de distintos colores

2 122 fichas blancas de plastico serigrafiadas

7.3. Actividades

7.3.1. Ejemplos

El kit de la Caja Pitagorica como recurso didactico en la representacion y resolucionde problemas.

Ejemplo 7.1. Empleando tres cuadrilateros identicos (o triangulos rectangulos) construyaun triangulo equilatero.

Ejemplo 7.2. Utilizando seis triangulos rectangulos cuyos angulos agudos miden 30◦ y 60◦

grados. Arma un triangulo equilatero. Despues arma un hexagono regular. ¿Cuantas construccio-nes distintas de hexagonos se pueden armar? ¿Que relacion de area existe entre el trianguloequilatero y uno de los hexagonos construido?

Ejemplo 7.3. Con seis cuadrilateros iguales arma un hexagono. Con cuatro triangulosrectangulos y cuatro cuadrilateros medianos arma un paralelogramo y un romboide.

7.3.2. Ejercicios

Ejercicio 7.1. Han llegado a la oficina muestras a escala de losetas que incluyen cuadrilaterosy triangulos. Se solicita que combinando estas piezas se formen cuadrilateros, como los que semuestran en las siguientes imagenes.

Ejercicio 7.2. Tome ocho piezas de cada cuadrilatero: chico, mediano y grande, muestreque los cuadrilateros son semejantes. Despues, construya con cuatro cuadrilateros identicos uncuadrado con hueco y otro sin hueco, obteniendo seis cuadrados en total.

Empleando los dos cuadrados sin hueco mas pequenos, construya un cuadrado y compare suarea con el area del cuadrado sin hueco de mayor tamano. ¿Como son las areas?

Ejercicio 7.3. ¿Los cuadrilateros siguientes son semejantes? Justifique su respuesta.

Ejercicio 7.4. Utilizando 9 fichas verdes y 16 fichas amarillas construye en cada caso uncuadrado de lado 3 unidades y 4 unidades respectivamente. ¿A partir de estos dos cuadrados esposible construir otro cuadrado? En caso de ser posible la construccion del cuadrado ¿cual esla medida del lado del mismo?

Ejercicio 7.5. Se desea colocar sobre un tablero cuadriculado 9 piezas de forma que si colo-camos el tablero sobre una base cilındrica el tablero quede equilibrada sobre la base. Las piezasestan enumeradas de forma tal que el numero de la pieza se relaciona con el peso de la misma,es decir, la primera pesa 1 kg, la segunda pesa 2 kg, la tercera pesa 3 kg, y ası sucesivamentehasta la novena que pesa 9 kg. Resulta que al analizar se llega a la conclusion que la sumade las piezas ubicadas en los renglones, en las columnas y en las diagonales deben de pesar 15kilogramos. Hallar la solucion de la distribucin de las pesas sobre el tablero.

7.3.3. Problemas

Problema 7.1. Obtener las medidas de los lados de los cuadrilateros a partir de las medidasde los lados del triangulo rectangulo considerando que las medida del lado menor es a, la dellado mediano b y la hipotenusa c. ¿Que relacion de medida existe entre el lado a y c?

Problema 7.2. Se requiere de una pieza que tenga un angulo recto, pero desafortunadamenteno se cuentan con una escuadra o una regla L que permite trazar tal angulo, pero tiene unacuerda de aproximadamente 2 metros de largo, a alguien se le ocurre una forma ingeniosa deconstruir un angulo recto. ¿Como le harıas tu para poder construir un angulo recto con unacuerda?

Problema 7.3. Proporcione un numero multiplo de tres (o divisible entre tres) mayor que12 y menor o igual a 39. Obtenga el resultado de dividir al mismo entre 3 para obtener n.Dado el numero n, extraiga del grupo de las fichas del 0 al 17 los cuatros numeros consecutivosanteriores a el (el antecesor de este, el antecesor del antecesor de este, y ası sucesivamente)y los cuatro siguientes consecutivos a el (el sucesor de este, el sucesor del sucesor de este,y ası sucesivamente). Separen los numeros en bloques de tres, de tal forma que la suma decada uno de ellos de como resultado el valor previamente hallado. Obtenga el cuadrado magicocorrespondiente.

Ejemplo: Para n = 21, obtenemos el valor de 7. Luego las fichas requeridas son:

Problema 7.4. Rebeca quiere alcanzar los dulces que estan en la parte alta de un mueble,y a su alrededor no habıa ningun objeto en el cual ella pudiera trepar y alcanzarlos, a puntode darse por vencida vio varias cajas del mismo tamano, y que una a la vez podıa subir sindificultad, pero si colocaba una sobre otra y trataba de subir le resultaba muy difıcil, ası que sele ocurre una idea, la cual le permite llegar a los dulces. ¿Que se te ocurre a ti?

Problema 7.5. Construye un arreglo cuadrangular de fichas de colores, considerando lasreglas del sudoku.

Capıtulo 8

Probabilidad y fracciones

8.1. Introduccion

El tema de fracciones resulta de gran importancia y generalmente no es facil de abordar, yaque el manejo del mismo se realiza de forma abstracta. Este material contiene plantillas defracciones con diferentes formas geometricas con la finalidad de familiarizarse mas con lasfracciones, ademas de observar la utilidad de las fracciones en nuestras actividades cotidianas.

La probabilidad es un tema importante debido a sus multiples aplicaciones. En el presente ma-nual se abordan sus diferentes contenidos mediante dinamicas de juego tal y como si jugaramosen una feria, lo cual resulta atractivo y fomenta la comunicacion entre los estudiantes.

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8.2. Material


2 1 tablero de plastico de dos vistas

2 25 canicas de colores

2 15 canicas blancas para probabilidad

2 15 canicas negras para probabilidad

2 6 dados

2 1 tombola

2 Fracciones rectangulares

2 Fracciones circulares

2 Fracciones triangulares

Material adicional:

2 Dos juegos de etiquetas numeradas del 1 al 6 de colores negro, azul marino, anaranjado,verde, azul cielo y rojo para cada numero en el orden establecido.

2 6 etiquetas numeradas del 7 al 12.

8.3. Actividades

8.3.1. Ejemplo

El kit de Probabilidad y fracciones como recurso didactico en la representacion yresolucion de problemas.

Ejemplo 8.1. Ruben esta en la feria de su pueblo y quiere participar en un juego donde seamas probable ganar un premio. Los juegos son los siguientes:

a) El juego del dado de la suerte donde ganas si al lanzarlo cae el 4.

b) La ruleta de la fortuna donde ganas si la ruleta se detiene en la zona verde queequivale a 2

6.

c) La tombola dorada donde hay 40 canicas y ganas si sale una de las 10 premiadas.

¿En cual de los juegos le conviene jugar a Ruben?

8.3.2. Ejercicios

Ejercicio 8.1. Uno de los juegos de mayor atraccion en la feria es el de la cadena ganado-ra, que consiste en una serie de juegos los cuales van eliminando participantes para llegar alpremio mayor,que es una bicicleta de montana.

Para poder participar en la cadena ganadora todos los participantes deben pasar la primeraprueba jugando a los volados. Lanzan dos monedas marcadas con cara-cruz al aire y eligen lacombinacion de la suerte que creen caera, ya sean fichas iguales o fichas diferentes. Si aciertanpueden participar en la cadena ganadora.

a) ¿Se pueden conocer todos los posibles resultados del experimento anterior?

b) ¿Que es necesario especificar para obtener los resultados del experimento lanzar dosmonedas al aire simultaneamente?

c) ¿Que tecnicas conocen para definir un espacio muestral?

Obtenga el espacio muestral con todos los posibles resultados del experimento lanzar dos mo-nedas al aire simultaneamente utilizando la tecnica del diagrama de arbol.

i) ¿Cuantos posibles resultados pueden ocurrir?

ii) ¿Que es mas probable que se obtenga en los lanzamientos, pares de fichas iguales opares de fichas diferentes?

iii) Si observan el espacio muestral, ¿podran definir que lanzamientos son equiprobables?

iv) ¿Que probabilidad existe de que al realizarse el experimento se obtenga cara, cara, cara?

Ejercicio 8.2. Despues de haber pasado la prueba, Ruben, Angel y Armando entraron aljuego la cadena ganadora e iniciaron de la siguiente manera:

a) La primera prueba consiste en que los participantes eligen un numero del 1 al 12,lanzandos dados al aire y suman los numeros observados en la parte superior.

Al escuchar la instruccin Ruben rapidamente recordo que su papa le senalo en algunaocasion que el 7 es el de la suerte cuando hablaban del resultado de la suma del lanzamientode dos dados. ¿Porque el 7 es el de la suerte? ¿Existira alguna relacion con el espaciomuestral? ¿Que tan probable es que gane algun participante que eligio el numero 1?

Pasan a la siguiente parte de la cadena ganadora los jugadores que hayan obtenidocomo suma los numeros 6, 7 u 8.

Si Ruben eligio el numero 7, Angel el 2 y Armando el numero 4, ¿quien de los tres esmas probable que pase a la siguiente etapa de la cadena ganadora? ¿Por que? ¿PasarıaAngel a la siguiente prueba de la cadena ganadora?

b) En la primera parte del juego la cadena ganadora participan Ruben y Armando,pues en la primera etapa Angel fue eliminado.

Para la segunda etapa de la cadena ganadora el siguiente juego se llama atınale,queconsiste en que cada uno de los integrantes de los equipos elija una canica de diferentecolor, haciendo la siguiente correspondencia: el color de la canica que eligieron se asociaa la palabra par o impar; por ejemplo,si se opto por una canica negra, la correspondenciaquedarıa como canica negra par o canica negra impar. El participante elige la corres-pondencia que desee. En el tablero se colocan tarjetas del uno al ocho. Si al lanzarse lascanicas sobre el tablero estas caen en su correspondiente par o impar (segun el numero dela tarjeta), seran las elegidas para pasar a la siguiente etapa.

Pasan a la siguiente etapa del juego los que hayan acertado a su eleccion de par o impar.¿Que es mas probable en el juego atınale,que ganen los que eligen numero par o impar?¿Las casillas con los numeros {1, 3, 5, 7} son todas las posibles casillas donde pueden caerlas canicas que tienen la referencia de impares?. Si se elige un numero par, ¿la canicapuede caer en {1, 3, 5, 7}?Si se lanzan las canicas sobre el tablero de probabilidad 100 veces, se registran los resul-tados y se hace un conteo de ellos, ¿es probable que todos los participantes pasen a lasiguiente etapa? Las preguntas anteriores son aplicables a los programas de 4, 5 y 6 gradode primaria?

c) ¡Para ganar el fabuloso premio de la feria, la ultima parte de la cadena hay que com-pletar! se llama la suerte dorada con un dado de la suerte y con la tombola dorada.Eljuego consiste en lo siguiente.

Cada participante finalista conserva el color de la canica que eligio, tomara un dadode la suerte y lo lanzara al aire,y segun el numero que haya caıdo en la cara superiorcolocara en la tombola dorada el numero de canicas correspondientes.

¿Que resultados se obtendran al lanzar el dado? ¿quien tiene mayor probabilidad de obten-er el numero mayor para colocar mas canicas de su color en la tombola dorada?

8.3.3. Problemas

Problema 8.1. En la feria del pueblo venden yoyos de colores morado, anaranjado, amarilloy verde, y para hacer mas emocionante la venta, estos estan en una bolsa oscura Si Elena pagauno y lo extrae de la bolsa sin ver, ¿de que color es ms probable que sea el yoyo de Elena?

Problema 8.2. Josue fue a la feria, donde hay diferentes juegos de azar. ¿En cual de elloses mas probable que Josue pueda ganar?

a) En el juego de las monedas, la probabilidad de ganar se representa por la fraccioncircular.

b) En el juego de la ruleta, la probabilidad de perder se representa por la fraccion trian-gular.

c) En el juego de tiro al blanco, la probabilidad de ganar se representa por la fraccionrectangular.

Problema 8.3. En la tombola de la feria del pueblo hay canicas que representan variospremios: 1 balon (canica verde), 9 yoyos (canica negra) y 2 cuerdas (canica roja). Si ademasen la tombola pusieron 15 canicas blancas, ¿que posibilidades hay de ganar un yoyo?

Capıtulo 9

Materiales

9.1. Geoformas

El hombre ha tenido una fascinacion por los cuerpos tridimensionales regulares, de este tipo soloson posible construir 5, los llamados Solidos Platonicos: el tetraedro, cubo, octaedro, dodecaedroy el icosaedro.

Segun Platon, la Tierra se asocia al cubo estable; la cualidad penetrante del fuego con elpuntiagudo y relativamente simple tetraedro; el aire con la apariencia movil del octaedro, elagua con el icosaedro de multiples caras, el dodecaedro al universo en su totalidad.

El diseno de las piezas permite construir diversos solidos, las piezas interactuan unas con otrasy el lımite para construir es la imaginacion.

9.2. Torres de Hanoi

Hallar solucion a este juego matematico es un desafıo.

El problema consiste en enviar los discos de un poste a otro en el mismo orden, con la restriccionde que solo se puede mover un disco a la vez y nunca un disco de mayor tamano se coloquesobre uno menor, pero ademas debe utilizarse el menor numero de movimientos posibles.Este juego tiene como objetivo estimular el razonamiento, la deduccion a fin de hallar la solucionoptima al problema, esto favorece los procesos mentales.

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9.3. Plano cartesiano

A lo largo de la educacion basica se presentan contenidos y situaciones que favorecen la ubicaciondel estudiante con relacion a su entorno.

Las actividades que se proponen con este material permite al estudiante la manipulacion, ob-servacion, construccion y analisis de formas diversas tanto en el plano como en el espacio.

9.4. Bloques logicos

Al manipular las piezas se puede clasificar considerando: color, forma, tamano y espesor. Losbloques poseen mas de una caracterıstica en comun, la comparacion induce una clasificacion deellos.

Comparar, clasificar, relacionar, diferenciar son parte del abanico de posibilidades que ofreceeste material didactico.

9.5. Cuerpos geometricos

En el estudio de cuerpos geometricos es usual utilizar figuras planas a fin de representarlos ocuerpos cuyas caracterısticas dificultan su manipulacion.

El diseno de las piezas permiten una manipulacion menos restrictiva, se identifican caracterısti-cas y diferencias entre ellos, facilita comprobar relaciones entre cuerpos. Permite la construccionde formas geometricas tridimensionales.

9.6. Abacos verticales

El contar es basico, el abaco es un material didactico que permite iniciar tal conocimiento deforma que lo abstracto del procedimiento de enumerar se concretiza al manipular las piezasque lo constituyen. El diseno de este material facilita la compresion del concepto de unidades,decenas, centenas, unidades de millar, decenas de millar y ası sucesivamente.

Facilita la introduccion a las operaciones basicas de la suma, resta y multiplicacion al interactuarlas diferentes presentaciones del abaco.

9.7. Triangulo de Sierpinski

El Triangulo de Sierpinski es una figura geometrica plana obtenida a traves de un procesorecursivo. El matematico polaco Waclav Sierpinski (1882 − 1969), construyo este triangulo en1919. Cada paso en el triangulo de Sierpinski esta formado por tres copias auto-semejantes delpaso anterior.

Un objeto de estas caracterısticas auto-semejante en distintas escalas se llama fractal, ası pues,el triangulo de Sierpinski es un ejemplo de un fractal. El uso de este material didactico tienecomo objetivo hallar el proceso iterativo que lo genera, las relaciones entre las figuras auto-semejantes, estimulando el razonamiento y la deduccion.

9.8. Politriangulo

Su diseno permite realizar movimientos perpendiculares entre sı. La naturaleza de la piezagarantiza la dependencia entre todas las formas construibles, permite incluir el desafıo de trans-forma una forma en otra en el menor numero de movimientos posibles (optimizacion) lo cualestimula los procesos mentales.

9.9. Tangram

Este material didactico estimula y desarrolla importantes funciones mentales tales como: laobservacion, concentracion, analisis, comparacion de distintas figuras geometricas, retencion,imaginacion, etcetera, simultaneamente permite trabajar disitintos contenidos matematicos.

9.10. Romboide magico

Un reto para la imaginacion, creatividad y capacidad constructiva de objetos tridimensionalescon mas de una solucion. La versatilidad y el facil manejo de la pieza enriquecen la destreza

y habilidad manual, lo que permite construir diversas esculturas abstractas y objetos que seencuentran en el entorno.

9.11. Comesolo

Este juego matematico permite trabajar el reto 4 y 5, aunque su apariencia y reglas del juegoson muy simples y su solucion resulta un excelente reto. Permite visualizar la sucesion numericatriangular, simetrıas, ademas de concluir la imposibilidad del Comesolo para los casos 2 y 3.Este juego estimula el razonamiento y la deduccion.

Capıtulo 10

Recomendaciones para el profesor

El papel del profesor debera ser de mediador entre el contenido y la estructura cognitiva delestudiante, fungiendo como facilitador, orientador y motivador del proceso de aprendizaje,proporcionando una seleccion de contenidos culturales significativos, materiales didacticos ade-cuados y una serie de estrategias que permitan la construccion eficaz de nuevas estructurascognitivas.Para el logro de lo anterior, se recomienda al profesor tener las siguientes consideraciones en eluso del material:

Establecer reglas claras para el uso del material y confirmar que se cuente con el materialcompleto antes de iniciar las actividades.

Organizar al grupo de manera que se fomente el trabajo en equipo, creando un ambienteludico que propicie la construccion de aprendizajes.

Permitir y facilitar que cada estudiante manipule el material didactico como una manerade involucrarlo en el proceso de aprendizaje, despertar su interes y estimular su creativi-dad.

Invitar a los estudiantes a que manipulen el material durante toda la actividad de ma-nera adecuada y ordenada, observando que se sigan correctamente las instrucciones de laactividad.

Orientar a los estudiantes, haciendolos reflexionar sobre sus hipotesis y argumentar susrespuestas. Evitar dar a los estudiantes las respuestas; es mejor permitir que ellos realicenel trabajo cognitivo y de descubrimiento.

Proporcionar a los estudiantes retos cognitivos cada vez mas complejos que ellos descubrana traves de la manipulacion de los materiales.

Verificar al termino de la actividad que el numero de piezas del kit esten completas.Limpiar y guardar el material didactico al concluir la actividad y establecer acuerdos detrabajo con los estudiantes para sacar y guardar el material.

Supervisar el uso del material por parte de los estudiantes en todo momento.

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Capıtulo 11

Evaluacion

La educacion actual en Mexico exige a los profesores de todos los niveles educativos emplearformas de evaluacion congruentes con el currıculo, para lo cual es necesario romper paradigmastradicionales, como el de evaluar solo conocimientos.

Los cambios de la Reforma Integral de la Educacion Basica (RIEB) han impactado el paradigmade la evaluacion, transformandolo en uno orientado hacia nuevas formas que le permitan alprofesor ejecutar practicas de evaluacion del aprendizaje y para el aprendizaje mediante criteriosconstruidos en colectivo, con instrumentos y tecnicas acordes al enfoque por competencias.

La evaluacion debe convertirse en un proceso de valoracion cuantitativa y cualitativa de losavances y logros de los estudiantes, tanto en el desarrollo de las actividades, como en la cali-dad y pertinencia de los productos obtenidos; todo esto tomando como base el desarrollo decompetencias para la vida y el perfil de egreso.

Con base en lo anterior, se entiende por evaluacion al conjunto de acciones dirigidas a obtenerinformacion sobre el grado de apropiacion de conocimientos, habilidades, valores y actitudesque los estudiantes aprenden en funcion de las experiencias provistas en clase; acciones que asu vez aportan elementos para la retroalimentacion del trabajo del profesor.

Cuando se evalua por competencias se involucra la comprension de conceptos, la adquisicion dehabilidades y las actitudes requeridas para realizar una tarea, es decir, el desempeno logradoen el uso del conocimiento para la resolucion de problemas, ya sea en situaciones de la vida realo en su aplicacion en contextos especıficos.

La evaluacion tiene un caracter formativo, ya que permite detectar las dificultades de los estu-diantes durante sus aprendizajes, obtener informacion sobre el tipo de ayuda que se les debebrindar, conocer el grado de apropiacion de los conocimientos y habilidades y tener indicadoresde sus logros y debilidades.

La evaluacion en el aula es un proceso continuo, ya que esta presente desde el inicio de laactividad para determinar con que conocimientos previos cuenta el estudiante, en el desarrollode la misma para evaluar sus aspectos conceptuales, actitudinales y de proceso, y al final, para

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conocer si se llego a la meta de los aprendizajes esperados. Asimismo, se aplica para valorar lasfortalezas y deficiencias en el aprendizaje y tomar acciones que ayuden a mejorar dicho proceso.

La evaluacion es una parte del proceso de la ensenanza y del aprendizaje que no solo abarcala parte final o aquella que dictamina una calificacion aprobatoria o reprobatoria, sino quedetermina el grado en que se han logrado los propositos y ayuda a ajustar las estrategias queimpulsan el proceso de aprendizaje de los estudiantes.

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Material Didactico Ejemplo