Embed Size (px)
Citation preview
1
Układ regulacji automatycznej (URA) – kryteria stabilności
−
u y)(sGo)(sGc
yo e
z1z2
)(sH
Transmitancja układu otwartego regulacji: - �(�) = ��(�)��(�)�(�) (2)
Transformaty podstawowych sygnałów wyjściowych układu zamkniętego - układu regulacji
automatycznej, t.j.:
(�) = ��(�)��(�)1 + �(�) �(�) + ��(�)1 + �(�) �(�) + 11 + �(�) �(�) (3) �(�) = 11 + �(�) �(�) − ��(�)�(�)1 + �(�) �(�) − �(�)1 + �(�) �(�) (4)
Stosownie do tych zależności, idealne sterowanie z pełnym sprzężeniem zwrotnym, czyli spełniającym
następujące zależności: �(�) = 1, (�) = �(�) , �(�) = 0 , ( przy czym �(�) jest w tym przypadku
uchybem regulacji) można osiągnąć, jeżeli układ pozostaje stabilny, gdy wzmocnienie układu otwartego
będzie nieskończenie wielkie |�(�)| = � → ∞
a co za tym idzie . gdy wzmocnienie urządzenia korekcyjnego (regulatora) będzie nieskończenie wielkie |��(�)| = �� → ∞ (5)
�(�) = �(�) − (�)�(�) (1) Jakość pracy dowolnego układu regulacji jest
określana charakterem zmian sygnału
korygującego
oraz jego wartością w stanie ustalonym.
2
Równanie charakterystyczne układu zamkniętego
1 + �(�) = 0 (6) odgrywa istotną rolę przy analizie i syntezie (projektowaniu) układów ze sprzężeniem zwrotnym.
Rozważmy układ liniowy o parametrach skupionych, opisany za pomocą transmitancji układu otwartego
w postaci ogólnej (�(�) = 1 – jednostkowe sprzężenie zwrotne)
�(�) = ��(�)��(�) = � ��(�)��(�)��(�)��(�) = � �(�)�(�) = � �� + �!���!� + ⋯ + �� + #�$ + %$!��$!� + ⋯ + %�� + %# = � �� + ∑ '�'�!�'�$ + ∑ %(�($!�( przy czym k jest wskaźnikiem wzmocnienia układu i ) ≤ + .
Zapisując wielomiany w postaci czynnikowej, otrzymuje się drugą postać kanoniczną
�(�) = � ∏ -� − .'/�'0�∏ (� − 1()$(0� Ponieważ wszystkie współczynniki wielomianów są rzeczywiste, bieguny i zera, które nie są rzeczywiste,
a więc są zespolone, muszą pojawiać się jako pary zespolone sprzężone
12 = −32 ± 562 , .8 = −38 ± 568 stąd
�(�) = � ∏ -� − .'/ ∏ 9(� + 38)2 + 682:;8=1<'=1∏ (� − 1()=(=1
∏ 9(� + 32)2 + 622:>2=1
, ) = ℎ + 2@ , + = A + 2B
3
Przy założeniu �(�) = 1, biegunami układu zamkniętego są pierwiastki równania (6), czyli
1 + �(�) = 1 + � �(�)�(�) = �(�) + ��(�)�(�) = 0 Równanie charakterystyczne układu zamkniętego przybiera postać
�C(�) = �(�) + ��(�) = D$�$ + D$!��$!� + ⋯ + D�� + D# = E D(�($(0�
�C(�) = E D(�($(0� = F(� − 1()$
(0� + � F-� − .'/�(0� = F(� − G()$
(0� = 0 Transmitancje układu zamkniętego (na podstawie (3) i (4)) definiuje się następująco:
transmitancja relacji wielkość regulowana – sygnał zadany odniesienia (wyjście – wejście)
(�)�(�) = �H(�) = �(�)1 + �(�) = ��(�)�C(�) = � ∏ -� − .'/�'0�∏ (� − 1()$(0� + � ∏ -� − .'/�(0� = � ∏ -� − .'/�'0�∏ (� − G()$(0� transmitancja relacji uchyb regulacji – sygnał zadany odniesienia (uchyb – wejście) �(�)�(�) = �I(�) = 11 + �(�) = �(�)�C(�) = ∏ (� − 1()$(0�∏ (� − 1()$(0� + � ∏ -� − .'/�(0� = ∏ (� − 1()$(0�∏ (� − G()$(0�
4
Stabilność układu regulacji
Zachowanie uchybu regulacji w dziedzinie czasu opisuje równanie
różniczkowe
D$J(K)($) + D$!�J(K)($!�) + ⋯ + D�J(K)(�) + D#J(K) == %$L�(K)($) + %$!�L�(K)($!�) + ⋯ + %�L�(K)(�) + %#L�(K)
Liniowy układ regulacji automatycznej nazywać będziemy stabilnym, jeżeli składowa przejściowa uchybu
regulacji w układzie tym maleje do zera dla t dążącego do nieskończoności.
Składowa przejściowa wynika z rozwiązania równania jednorodnego D$J(K)($) + D$!�J(K)($!�) + ⋯ + D�J(K)(�) + D#J(K) = 0 W przypadku istnienia � pierwiastków λN (O = 1, 2, … , �) (biegunów transmitancji układu regulacji) o
krotnościach Q�, Q�, … , Q2 , rozwiązanie to będzie miało postać
JR(K) = E E S(,'K8T!'J!UTV8'0�
2(0�
−
yyo e)(sG
5
Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilności liniowego układu regulacji automatycznej jest, aby
pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λi �C(�) = E D(�($
(0� = F(� − 1()$(0� + � F-� − .'/�
(0� = F(� − G()$(0� = 0
leżały w lewej półpłaszczyźnie płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Jeżeli wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego -bieguny układu zamkniętego λi, mają części rzeczywiste ujemne
XJYG(Z < 0 K\ QO)V→] JR(K) = 0 Jeżeli natomiast dowolny z pierwiastków (biegunów) ma część rzeczywistą dodatnią XJYG(Z > 0 K\ QO)V→] JR(K) = ∞
Przykład: Zbadajmy zachowanie się układu opisanego poniższą transmitancją
�(�) = ∏ -� − .'/�'0�∏ (� − G()=(0� ∏ 9(� + 32)� + 62�:<20� Rozkład transformaty odpowiedzi skokowej
(�) = S� + E S(� − G(=
(0� + E _>2(� + 32) − _(262(� + 32)� + 62� <
20� gdzie S( jest residuum bieguna rzeczywistego � = G( i _2 jest residuum pary biegunów �2 = −32 ± 562.
6
Oryginał odpowiedzi skokowej jednostkowej dla K > 0
L(K) = S + E S(JUTV=(0� + E J!`aV(_>2 S\� 62K + _(2 �O+ 62K)<
20� Jeżeli wszystkie bieguny leżą w lewej półpłaszczyźnie, wówczas składnik wykładniczy jest tłumiony i dąży
do zera z upływem czasu (wzrostem jego wartości). Odpowiedź w stanie ustalonym osiąga wartość L(K) = S Układ jest stabilny, jeżeli pod wpływem wymuszeń L�(K) lub .(K) o skończonej wartości osiąga ponownie
stan równowagi trwałej po ustaniu tych wymuszeń, co można zapisać w postaci
L(K) = Lb , cQ% K → ∞
przy czym Lb jest punktem równowagi statycznej.
Właściwość ta nazywa się stabilnością asymptotyczną.
Układ charakteryzujący się zaś stabilnością, ale nieasymptotyczną, jest układem, którego nowy stan
równowagi trwałej po ustaniu wymuszeń jest różny od poprzedniego.
Układy, które nie mają stanów trwałej równowagi nazywa się układami niestabilnymi.
Analiza układu mającym jeden biegun rzeczywisty i parę biegunów zespolonych sprzężonych
L(K) = S + S�JUdV + J!`V(_> S\� 6K + _( �O+ 6K)
7
Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: ef ≤ −g. i i λ�,j = −0.25 ± 51
Bode
6
Położenia biegunów
ImY�Z
Nyquist
m(6)
n(6)
Odpowiedź skokowa
K
L(K)
10 -
2 10 0 10 2
-270
-180
-90
0
-100
-50
0
o)( 6)
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 -2
-1
0
1
2
-2 -1 0 1 2 -2
-1
0
1
2
0 5 10 15 20 25 0
0.5
1
1.5
2
ReY�Z
r (6)
8
Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: ef = −g. gi i λ�,j = −0.25 ± 51
BodePołożenia biegunów
Odpowiedź skokowa
10 -2 10 0 10 2-270
-180
-90
0
-100
-50
0
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 -1
-0.5
0
0.5
1
-5 0 5 10 15 20 -10
-5
0
5
10
0 2 4 6 8 1000
5
10
15
20
o)( 6)
r (6)
m(6)
n(6)
ImY�Z
K
L(K)
Nyquist
6 ReY�Z
9
Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: ef = −g. gi , g i λ�,j = −0.25 ± 51
Bode
Nyquist Odpowiedź skokowa
10 -2 10 0 10 2-270
-180
-90
0
-100
-50
0
50
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1
-1
-0.5
0
0.5
1
-5 0 5 10 15 20 -10
-5
0
5
1
0
0 20 40 60 80 100 0
20
40
60
80
100
6 ReY�Z
ImY�Z
L(K)
o)( 6)
r (6)
m(6)
n(6)
Położenia biegunów
K
10
Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: ef = −g. gi , g, g. gi i λ�,j = −0.25 ± 51
Bode Położenia biegunów
Nyquist Odpowiedź skokowa
10 -2 10 0 10 2 -270
-180
-90
0
-100
-50
0
50
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 -1
-0.5
0
0.5
1
-20 -10 0 10 20 -10
-5
0
5
10
0 10 20 30 40 50 0
50
100
150
200
6 ReY�Z
ImY�Z
L(K)
o)( 6)
r (6)
m(6)
n(6)
K
11
Odpowiedzi układu dla następujących wartości biegunów: λ� = −3 i es,t = u ± vf u = −s, −f, −g. i , g , g. i
Położenia biegunów
Odpowiedź skokowa
-3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2
-1
0
1
2
0 5 10 15 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
ReY�Z
ImY�Z
K
L(K)
12
KRYTERIA STABILNOŚCI
Fakt położenia pierwiastków wielomianu charakterystycznego (biegunów) układu zamkniętego w lewej
półpłaszczyźnie może być także stwierdzony na podstawie niżej wymienionych metod:
1. metoda analityczna jaką jest kryterium stabilności Hurwitza;
2. metoda graficzno-analityczna, której podstawą jest kryterium Nyquista;
3. metoda graficzna reprezentowana przez metodę Evansa – metoda linii pierwiastkowych
13
1. Kryterium stabilności Hurwitza
Kryterium to pozwala stwierdzić stabilność układu na podstawie postaci wielomianowej równania
charakterystycznego
�C(�) = E %(�($(0# = %$�$ + %$!��$!� + ⋯ + %�� + 1 = 0
a ściślej, na podstawie zależności jakie powinny istnieć między jego współczynnikami.
Układ ma bieguny w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej � wtedy, gdy:
1. wszystkie współczynniki wx wielomianu charakterystycznego są większe od zera, 2. wyznacznik główny yz i wszystkie jego podwyznaczniki - minory główne wyznacznika
Hurwitza (8) do stopnia z – f mają wartości większe od zera
Z postaci wyznacznika Hurwitza wynika, że {$ = %#{$!� i jest on dodatni , gdy spełniony jest pierwszy
warunek kryterium Hurwitza, tj. %# > 0 i {$!� > 0. Podobnie, wyznacznik {� = %$!� jest większy od zera,
gdy spełniony jest pierwszy warunek kryterium Hurwitza, tj. %$!� > 0.
{$ = ||%$!� %$ 0 ⋯ 0 0%$!j %$!� %$!� ⋯ 0 0⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯0 0 0 ⋯ %� %�0 0 0 ⋯ 0 %#
|| .
{$!� {� {�
14
Przykłady
Zadanie 1.1
Dany jest układ opisany transmitancją operatorową
�(�) = �� + 2� + 104�~ + 8�� + 10�j + 15�� + 3� + 1 a)
Zbadaj stabilność układu, stosując kryterium Hurwitza.
Rozwiązanie
Współczynniki równania charakterystycznego
%~�~ + %��� + %j�j + %��� + %�� + %# = 0 b)
mają wartości: %# = 1, %� = 3, %� = 15, %j = 10, %� = 8, %~ = 4, a więc dodatnie.
Pierwszy warunek kryterium Hurwitza jest spełniony.
Wyznacznik główny ma postać
{~ = ||%� %~ 0 0 0%� %j %� %~ 0%# %� %� %j %�0 0 %# %� %�0 0 0 0 %#
|| = %#{� c)
Badamy drugi warunek kryterium, tzn. czy wszystkie podwyznaczniki {�, {j i {� są większe od zera? Przy
wyznaczaniu wyznaczników stopnia wyższego niż 2 warto posłużyć się tzw. rozwinięciem Laplace’a, które
15
to twierdzenie mówi, że dla dowolnej macierzy kwadratowej M stopnia n oraz dla dowolnego całkowitego
dodatniego i mniejszego lub równego n zachodzi:
|�| = E(−1)(�')(,'��(,'�$'0�
gdzie: )(,' element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie wyznacznika macierzy �, �(,'- jest macierzą stopnia + − 1 powstałą z macierzy � przez skreślenie i tego wiersza i j-tej kolumny.
{� = �%� %~%� %j� = � 8 415 10� = 80 − 60 = 20 > 0 {j = �%� %~ 0%� %j %�%# %� %�� = (−1)j�j%�{� + (−1)��j%� �%� %~%# %��
= 300 − 160 = 140 > 0 , {� = |%� %~ 0 0%� %j %� %~%# %� %� %j0 0 %# %�
| = (−1)���%�{j + (−1)��j%# �%� %~ 0%� %j %�%# %� %�� = %�{j − %# �%j{� + (−1)��j%~ �%� %~%# %��� = 420 − 200 + 80 = 300 > 0
16
Zadanie 1.2
Zbadać stabilność układu zamkniętego regulacji, jeżeli transmitancja układu otwartego ma postać
�(�) = 1�(0,1� + 1)(0,2� + 1) Rozwiązanie
Wyznaczymy równanie charakterystyczne układu zamkniętego, który jest opisany poniższą transmitancją
�C(�) = �(�)1 + �(�) = 1�(0,1� + 1)(0,2� + 1) + 1 Równanie charakterystyczne
�(0,1� + 1)(0,2� + 1) + 1 = 0,02�j + 0,3�� + � + 1 = 0 ma współczynniki: %# = 1, %� = 1, %� = 0,3, %j = 0,02.
Są one dodatnie. Pierwsze kryterium jest spełnione.
Wyznacznik główny
{j = �%� %j 0%# %� %�0 0 %#� = %#{� będzie dodatni, gdy podwyznacznik o stopień niższy {$!� = {� będzie większy od zera.
Czyli
{� = �%� %j%# %�� = �0,3 0,021 1 � = 0,3 − 0,02 = 0,28 > 0
17
Zadanie 1.3
Dany jest układ regulacji jak na rys. 1, który składa się z połączenia kaskadowego obiektu opisanego
transmitancją ��(�) = �(�) z zadania 1.2 oraz korektora proporcjonalnego �2(�) = �.
Wyznaczyć dopuszczalne wartości wzmocnienia K zapewniającego stabilność asymptotyczną układu
regulacji.
Rozwiązanie
Transmitancja układu otwartego ma postać
�(�) = �2(�)��(�) = ��(0,1� + 1)(0,2� + 1) Układ zamknięty opisuje transmitancja
�C(�) = �(�)1 + �(�) = ��(0,1� + 1)(0,2� + 1) + � Równanie charakterystyczne
�(0,1� + 1)(0,2� + 1) + 1 = 0,02�j + 0,3�� + � + � = 0 ma współczynniki %# = �, %� = 1, %� = 0,3, %j = 0,02
Aby pierwszy warunek Hurwitza był spełniony, musi być � > 0. Podobnie jak w zadaniu 1.2 wystarczy
zbadać podwyznacznik {�
18
{� = �%� %j%# %�� = �0,3 0,02� 1 � = 0,3 − 0,02� Aby układ był asymptotycznie stabilny, musi być {� > 0.
Stąd wartość wzmocnienia musi być � < 15
Zatem warunek asymptotycznej stabilności układu zamkniętego będzie zapewniony dla wzmocnienia
zmieniającego się w granicach 0 < � < 15
19
2. Kryterium stabilności Nyquista
Kryterium to dotyczy badania charakterystyki amplitudowo-fazowej otwartego układu automatyki, która
pozwala sądzić o stabilności układu zamkniętego.
Tutaj zajmiemy się najważniejszym, z praktycznego punktu widzenia, przypadkiem analizy stabilności
układu zamkniętego, obejmującego układy otwarte, które nie posiadają biegunów o dodatnich częściach
rzeczywistych – żaden z biegunów transmitancji �(�) (1) nie leży w prawej półpłaszczyźnie zmiennej
zespolonej s.
Kryterium to można wówczas sformułować w
następujący sposób:
układ zamknięty jest stabilny, jeżeli
charakterystyka amplitudowo-fazowa – wykres
Nyquista – układu otwartego �(v�) nie obejmuje
punktu (−f, vg) (rys.2.).
Kryterium Nyquista można również stosować do
badania stabilności układów zawierających
opóźnienia transportowe.
0 1
m(6)
1 2 3
n(6)
1
Rys. 2. Ilustracja kryterium stabilności Nyquista.
Charakterystyki amplitudowo-fazowe układu
otwartego, który po zamknięciu będzie:
1. stabilny;
2. na granicy stabilności ;
3. niestabilny
20
Przykłady
Zadanie 2.1
Zbadać, czy układ zamknięty jest stabilny, jeśli układ otwarty opisany jest transmitancją o postaci
�(�) = 1(�� + 2� + 1)(4� + 1)
Rozwiązanie
Podstawiając � = 56 uzyskuje się postać transmitancji widmowej układu otwartego
�(56) = 19(56)� + 256 + 1:(456 + 1) = 1 − 96� + 256(26� − 3)96� + 26� + 1:(166� + 1)
Z powyższego zapisu można wydzielić części: rzeczywistą i urojoną charakterystyki częstotliwościowej
(wykresu Nyquista) układu
m(6) = XJY�(56)Z = 1 − 96�96� + 26� + 1:(166� + 1)
n(6) = �)Y�(56)Z = 26(26� − 3)96� + 26� + 1:(166� + 1)
21
Wartości tych współrzędnych dla wybranych, nieujemnych wartości pulsacji (6 ≥ 0) przedstawiamy w
tablicy, pokazanej niżej, na podstawie której sporządzamy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej
(rys. 5).
69rad/s: 0 0,33 1,23 → ∞
m(6) 1 0 -0,079 → 0
n(6) 0 -0,54 0 → 0
-1 -0.5 0 0.5
-1
Rys. 5 Charakterystyka amplitudowo-fazowa do zadania 2.1
6 = 0
6 = 0,33
6 = 0,123 6 = ∞
n(6)
m(6) (−1 , 0)
22
Zadanie 2.2
Określić wartość graniczną współczynnika wzmocnienia K, przy
której układ zamknięty, przedstawiony na rysunku 6, znajdzie się
na granicy stabilności, jeśli obiekt regulacji opisany jest
transmitancją o postaci
��(�) = 1�(��� + 1)(��� + 1) (a)
Rozwiązanie
Transmitancja widmowa układu otwartego ma postać
�(56) = ����(�)|b0'� = �56(��56 + 1)(��56 + 1) (b)
Części: rzeczywista i urojona, określające charakterystykę amplitudowo-fazową układu otwartego, opisują
wyrażenia (c) i (d)
m(6) = XJY�(56)Z = − �(�� + ��)-���6� + 1/-���6� + 1/ (c)
n(6) = �)Y�(56)Z = �(����6� − 1)6-���6� + 1/-���6� + 1/ (d)
�
��(�) −
L
Rys. 6 Schemat blokowy układu regulacji
L#
23
Aby układ ten po zamknięciu znalazł się na granicy utraty stabilności, charakterystyka amplitudowo-
fazowa układu otwartego winna przeciąć punktu (−1, 0). To oznacza, że opóźnienie fazowe oraz
wzmocnienie wnoszone przez układ otwarty mają następujące wartości graniczne r-6;/ = −180° i
��-56;/� = �m-6;/� = 1 (e)
Zatem, przyrównując równanie (d) do zera, mamy ����6� − 1 = 0 skąd możemy wyznaczyć pulsację graniczną 6; = 6� = 6�
6;� = 1���� (f)
Następnie wstawiając (f) do równania (e) otrzymujemy równanie
�m-6;/� = � ������ + �� = 1 , (g)
z którego wynika zależność
� = �; = �� + ������ , (h)
określająca dopuszczalne wzmocnienia graniczne w otwartym układzie regulacji utrzymujące układ
zamknięty na granicy stabilności.
24
Odpowiedzi układu z zadania 1.3 dla: � = 1, 15, 25 .
10-1
100
101
102
-270
-180
-90
-100
-50
0
50
-15 -10 -5 0
-5
0
5
-3 -2 -1 0-3
-2
-1
0
1
0 1 2 3 4 50
0.5
1
1.5
2
L(K)
K m(6)
n(6) Odpowiedź skokowa Nyquist
Bode Położenia biegunów o)( 6)
r (6)
6
ImY�Z
ReY�Z
25
Zadanie 2.3
Dla układu z zadania 2.2, wyznaczyć graniczną wartość wzmocnienia �; oraz taką wartość wzmocnienia �, która zapewni zapas modułu {o = 6 dB, przy czym wartości stałych czasowych obiektu wynoszą: �� = 1 s , �� = 2 s . Rozwiązanie
Na podstawie zależności (h) w zadaniu 2.2 wyznaczamy wartość wzmocnienia granicznego
�; = �� + ������ = 32 = 15 (a)
Zmiana wzmocnienia w układzie otwartym nie zmienia charakterystyki fazowej tego układu. To oznacza, że
wartość pulsacji przecięcia fazy, wynosząca w tym przypadku
6� = 1����� = 1√2 = 0,707 , jest stała bez względu na wymagany zapas wzmocnienia.
Zapasowi modułu {o = 6 dB odpowiada zapas wzmocnienia {� = 2. Zatem dopuszczalna wartość
wzmocnienia K, przy danym zapasie wzmocnienia {� w układzie, może być określona na podstawie
równości (por. zadanie 2.2 (g))
�m-6�/� = � ������ + �� = 1{� , (b)
26
Wartość tego wzmocnienia wyniesie
� = �� + ������1{� = 32 ∙ 12 = 0,75 .
Łatwo spostrzec, że dopuszczalna wartość wzmocnienia �, przy wymaganym zapasie wzmocnienia {�
układu regulacji, może być wyznaczona na podstawie znajomości wartości wzmocnienia granicznego �; , bowiem
� = �;{� = 32 ∙ 12 = 0,75 . (d)
27
3. Metoda Evansa – linii pierwiastkowych
Linie pierwiastkowe jest to miejsce geometryczne położeń
pierwiastków (m.g.p.) równania charakterystycznego (a) na
płaszczyźnie zmiennej zespolonej układu zamkniętego, otrzymane
przy uzmiennianiu współczynnika wzmocnienia układu otwartego.
Dla schematu blokowego układu regulacji przedstawianego na
rysunku obok równanie charakterystyczne układu zamkniętego jest
równoważne równaniu
1 + ���(�) = �(�) + ��(�) = 0 czyli �(�)�(�) = ��(�) = − 1� (a)
Na tej podstawie możliwe położenie pierwiastków układu zamkniętego jest określone przez warunek
argumentu
arg ��(�) = +¡ , gdzie + nieparzyste dla � > 0 (b)
oraz warunek modułu
|��(�)| = 1|�| (c)
W przypadku analizy układu regulacji dla określenia kształtu linii pierwiastkowej korzysta się warunku
argumentu (b), z warunku modułu (c), korzysta się zaś dla określenia położenia pierwiastków na linii
pierwiastkowej przy konkretnych wartościach wzmocnienia K.
�
��(�) −
L
Rys. Schemat blokowy układu
regulacji stosowany przy
korzystaniu z metody linii
pierwiastkowych
L#
28
W przypadku natomiast syntezy (projektowania) układu regulacji, mając z góry narzucone, oczekiwane
położenia pierwiastków układu, wyznacza się niezbędną wartość wzmocnienia K w układzie otwartym,
tak aby była spełniona tożsamość (a).
Mając na uwadze łatwy dostęp do komputerów oraz szerokiej gamy procedur matematycznych w tym
pakietów dedykowanych dla celów automatyki, linie pierwiastkowe można określić bezpośrednio z
definicji (a).
W prostym przypadku układu otwartego o zerach i biegunach rzeczywistych transmitancja układu dana
jest zwykle jako ułamek w postaci
�(�) = ���(�) = � ∏ -�'s + 1/�'0#�= ∏ (�(s + 1)¥(0# , ) < A + ¦ = + (d)
stosowanej przy analizie i syntezie układów metodami częstotliwościowymi. Otóż w zastosowaniach
metody linii pierwiastkowych dogodnie jest stosować nieco odmienną postać transmitancji, a mianowicie
�(�) = � ∏ -s − .'/�'0#�= ∏ (� − 1()¥(0# , (e)
w której k jest wskaźnikiem wzmocnienia dany wzorem
� = � ∏ �'�'0#∏ �(¥(0# , .' = − 1�' , 1( = − 1�( są zerami i biegunami transmitancji układu otwartego,
29
1) punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom granicznym
wzmocnienia � = �; , które mogą być wyznaczone przy użyciu kryterium stabilności Hurwitza lub
Nyquista
2) wartość bezwzględna K dla dowolnego punktu �¯ należącego do linii pierwiastkowej wynika z warunku
modułu (c), czyli
|�| = 1|��(�¯)| = ∏ �(¥(0#∏ �''�'0# |�¯= ∏ (�¯ + 1()¥(0# |�∏ -�¯ + .'/�'0# � , (g)
Miejsca geometryczne położeń pierwiastków – bieguny układu regulacji - mają ścisły związek
z własnościami dynamicznymi zamkniętego układu regulacji.
Im bliżej osi liczb urojonych przebiegają linie pierwiastkowe, tym mniejsze jest tłumienie układu. Stan
przejściowy, nieustalony, trwa dłużej.
Z położenia biegunów układu zamkniętego można określić takie wielkości charakteryzujące zachowanie
się układu, jak: ° - względny współczynnik tłumienia, 6± - częstotliwość drgań własnych, 6$-
częstotliwość drgań nietłumionych, �; – graniczną wartość współczynnika wzmocnienia.
Należy zwrócić uwagę, że wykres linii pierwiastkowej uzupełnia kryterium Nyquista.
Sposób określenia tych wielkości ilustruje poniższy rysunek .
30
Re{s}
Im{s}
6$ = �3¯� + 6±¯�
° = cos ² = 36̄$
6$ 6±¯
56;
�;
�¯
3¯
3> ²
Rys. Sposób wyznaczania parametrów
charakteryzujących dynamikę układu zamkniętego,
takich jak: względny współczynnik tłumienia °,
pulsację drgań nietłumionych 6$ i własnych 6± na
wykresie miejsc geometrycznych pierwiastków.
31
Przykłady
Zadanie 3.1
Wyznaczyć wartości wzmocnień graniczną �; i zapas wzmocnienia w punkcie rozgałęzienia linii
pierwiastkowej �> układu regulacji jeśli transmitancja układu otwartego ma postać
�(�) = � ���(��� + 1)(��� + 1) , gdzie: �� = 1 2´ � , �� = 1 7´ �, �� = 3
�> = 1|�(G>)| = 16,94 = 0,144 ,
�; = 1��-G;/� = 96 = 3 . {� = �;�> = 30,144 = 20,83 .
Z wykresu linii pierwiastkowych odczytujemy wartości
biegunów w punkcie rozwidlenia G> = −0,92 gdzie
wzmocnienie wynosi
oraz w punkcie przecięcia linii z osią urojoną G; = 53,74,
gdzie wzmocnienie graniczne wynosi
Zatem zapas wzmocnienia układu ma wartość
-8 -7 -6 -5 -4 -2 -1 0
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8ImY�Z
ReY�Z 60
� = 3
� = 3 � = 0,144
-3
32
Zadanie 3.2
�(�) = ���(�) = � (��� + 1)�(��� + 1)(�j� + 1)
Dana jest transmitancja układu otwartego:
gdzie: �� = 1 s , �� = 1 2´ s , �j = 1 5´ s .
Dla jakich wartości K :
a) układ będzie stabilny?
b) układ zamknięty będzie posiadał współczynnik tłumienia ° = 0,5 ?
Ad. a) Z przebiegu zmian położeń biegunów wynika, że układ
zamknięty jest stabilny dla dowolnej wartości wzmocnienia K.
Linie pierwiastkowe bowiem nie przecinają osi urojonej
płaszczyzny zmiennej zespolonej s.
Ad. b) Wartość wzmocnienia dla współczynnika tłumienia °
wynika ze współrzędnych miejsca geometrycznego, w którym
prosta, wychodząca z początku układu współrzędnych pod
kątem ² = arc cos °, przecina linię pierwiastkową.
Dla wartości ° = 0,5, kąt nachylenia prostej wynosi ² = 60°
Punkty przecięcia mają współrzędne odpowiadające parze
biegunów zespolonych sprzężonych ��,� = −1,65 ± 52,9.
-6 -5 -4 -3 -2 -1
0
-4
-2
2
4
° = 0,5 ImY�Z
ReY�Z
� = 6
� = 6
²
2,9
-1,65
Rys. Wykres linii pierwiastkowych
z zadania 3.2.
� = 1|�(��)| = 10,166 = 6
Współczynnik wzmocnienia w tych
punktach linii pierwiastkowej wynika
z (b) i wynosi
