36
1 REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ T I - czas zdwojenia (całkowania) T D - czas wyprzedzenia (różniczkowania) K p – współczynnik wzmocnienia Regulator PID idealny = 1+ 1 + = + + Regulator PID rzeczywisty = 1+ 1 + α +1 = + + α +1 G o (s) Y o (s) U(s) Y(s) E(s) Z(s) 1/T I s 1 T D s K p N(s ) B(s ) -

Materiały do wykładu #8

  • Upload
    duongtu

  • View
    222

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Materiały do wykładu #8

1

REGULATORY W UKŁADACH REGULACJI AUTOMATYCZNEJ

TI - czas zdwojenia (całkowania)

TD - czas wyprzedzenia (różniczkowania)

Kp – współczynnik wzmocnienia

Regulator PID idealny

����� = �� �1 +1��� + ���� = �� +

�� + ��

Regulator PID rzeczywisty

����� = �� 1 +1��� + �����

α� + 1

� = �� +�� +

����α� + 1

Go(s)

Yo(s)

U(s)Y(s)E(s)

Z(s)

1/TIs

1

TDs

Kp

N(s)

B(s)-

Page 2: Materiały do wykładu #8

2

REGULATOR PI

-90

����� [dB]

-0

20 log��

1

��

1

��

���� [°]

log�

log�

-45

����� =�(�)

�(�)= �� �1 +

1

�� = �� � − ���

gdzie:

�� = −1

� − jest zerem

�� = �� − wskaźnikiem wzmocnienia regulatora

��� = ��� �1 +��

Odpowiedź skokowa

��

�� ∙ �

��

�� ∙ � 2�� ∙ �

��

Page 3: Materiały do wykładu #8

3

REGULATOR PD

90

����� [dB]

0

20 log��

1

��

��(� + 1)

��� [°]

log�

log�

20 log��

��

����� = �� �1 +�����

α� + 1

� = �� � − �� − ��

gdzie: � = −α�1 + α��� − jest zerem,

�� = −��� − jest biegunem,

�� = ���1 + α� – jest wskaźnikiem wzmocnienia

regulatora rzeczywistego PD.

����

�� ∙

��

��(1 + �)

���� = �� �1 + �����

���

Odpowiedź skokowa

��

����

���� = �� � �� + � − ������

���

Odpowiedź prędkościowa

���

���� �1 − �����

��� ����

Page 4: Materiały do wykładu #8

4

REGULATOR PID

����� = �� �1 +1��� +

�����α� + 1

� = �� +�� +

����α� + 1

����� = � �� − ���� − ����� − ���

� = −

1���� , � = −

1���� , �� = − �� , � = ���� ,

�� =2�� − � , �� =

2�� + � gdzie � = ���� − 4� przy czym � = �� ��⁄ ≥ 4 ;

����

���

��

���(1 + �)

���� = ��� �1 +��� + ���

���

Odpowiedź skokowa

Page 5: Materiały do wykładu #8

5

Zasady budowy regulatorów

����� =

�(�)

�(�)=

��1 + ���(�)

�� ≫ 1 → ���(�) ≫ 1

����� =

�(�)

�(�)=

1

�(�)

���� =1

� 1 +1����

=��

1 + ��

� =���

, � = ��

ue

)(sT

wk

Regulator PI

przy czym

���� =1

���� =1

��1 + ����

=�

1 + ��

� =1

, � = ��

Regulator P

W celu budowy regulatora typu P (propor-

cjonalnego) należy w pętli sprzężenia zwrot-

nego użyć element o transmitancji

Regulator PD

przy czym

Page 6: Materiały do wykładu #8

6

Inne struktury regulatora PID

������ = �� �1 +1

���� , ������ = ���1 + ����

Połączenie równoległe PI +PD

ue

)(sGPD

)(sGPI

Połączenie szeregowe PI i PD

)(sGPI

)(sGPD

ue

����� = �� �1 +1

���� + ���1 + ����

= � �1 +1

��� + ����

� = �� + �� , �� =�

�� �� , �� =���

��

����� = �� �1 +1

�������1 + ����

= � �1 +1

��� + ����

� = ���� �1 +����� ,�� = ���� ,�� =

����� +� ��

Page 7: Materiały do wykładu #8

7

����� =���

1 + ��� , ����� =��

1 + ���

���� = ���������� =�����

�1 + �����1 + ����

����� =�������� =

1

���� =�1 + �����1 + ����

�����= � 1 +

1

��� + ����

� =�� + ������ , �� = �� + �� , �� =

������ + ��

ue

wk

)(1sG )(

2sG

przy czym

����� =�

1 + ��� , ����� =�

1 + ���

���� = ����� − ����� = � 1

1 + ��� −1

1 + ����

����� =1

�(�)=

�1 + �����1 + �������� − ����

= � 1 +1

��� + ����

� =�� + ������ , �� = �� + �� , �� =

������ + ��

ue

wk

)(2sG

)(1sG

przy czym

Page 8: Materiały do wykładu #8

8

Ogólne zasady doboru typu regulatora

Przewidywane działanie układu ze względu na typ regulatora:

1. Zmiana uchybu statycznego (przy wymuszeniu skokowym), zmiana przeregulowania i

czasu regulacji - zalecany regulator typu P

2. Skrócenie czasu regulacji, zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania - zalecany

regulator typu PD

3. Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania, wydłużenie czasu

regulacji - zalecany regulator typu PI

4. Likwidacja lub zmiana uchybu statycznego, zmiana przeregulowania, zmiana lub skróce-

nie czasu regulacji - zalecany regulator typu PID.

Go(s)

Yo(s)

U(s)Y(s)E(s)

Z(s)

1/TIs

1

TDs

Kp

N(s)

B(s)-

Page 9: Materiały do wykładu #8

9

Dobór nastaw regulatorów PID

W celu uzyskania jak najlepszej jakości pracy układu regulacji z regulatorem o trzech nasta-

wach (Kp , TI , TD) , udział poszczególnych członów regulatora (PID) winien być odpowiednio

dobrze dobrany. Jeżeli znany jest dokładny model obiektu , wówczas dobór odpowiednich na-

staw może być dokonany droga symulacji cyfrowych lub metodami analitycznymi. Modele

obiektów przemysłowych są zwykle nieznane, a zwłaszcza zmieniają się ich parametry tech-

niczne. Wówczas regulatory muszą być strojone metodami empirycznymi. W przemyśle sze-

roko są stosowane metody eksperymentalnego strojenia regulatorów oparte na identyfikacji

parametrów odpowiedzi układu (Ziegler i Nichols, 1942r.)

1. Identyfikacja parametrów odpowiedzi na granicy stabilności układu regulacji

2. Identyfikacja parametrów charakterystyki sko-

kowej układu otwartego

Celem obu metod jest uzyskanie odpowiedzi układu

z tłumieniem oscylacji (dwóch kolejnych przeregu-

lowań) w stosunku m3/m1=

1/4 .

���� =����

�� + 1 , ���� =

����

��� + 1��

����

��

��

t

��

��

Page 10: Materiały do wykładu #8

10

Granica stabilności

Metoda oparta jest o eksperymentalne wyznaczenie parametrów granicy stabilności, czyli pul-

sacji przecięcia fazy (okresu drgań nie gasnących Tg oraz zapasu wzmocnienia (wzmocnienia

krytycznego) Kg

1. Przestawiając regulator na strojenie ręczne ustawiamy układ w jego normalnym punkcie

pracy.

2. Ustawiamy regulator na działanie proporcjo-

nalne (t.j. TI=maximum, TD= 0).

3. Nastawiamy niewielką wartość wzmocnienia

Kp członu proporcjonalnego.

4. Ustawiamy regulator na działanie automa-

tyczne i rejestrujemy odpowiedź skokową

układu.

5. Zwiększamy wzmocnienie Kp aż do uzyskania

wartości Kg , t.j., tej, przy której układ uzysku-

je drgania niegasnące – granica stabilności

6. Określamy okres tych drgań granicznych Tg.

7. Wartości tak wyznaczonych parametrów do wstawiamy do tablicy nastaw Ziegler-Nicholsa.

�� yo

e ��(�) u y

�(�)

��

Page 11: Materiały do wykładu #8

11

Zalecane nastawy regulatora zgodnie wg. Zieglera-Nicholsa

Metoda w oparciu o parametry granicy stabilności

����� = �� �� = 0,5��

����� = �� �1 +1

���� �� = 0,45�� �� = 0,85��

����� = �� �1 +1

��� + ���� �� = 0,6�� �� = 0,5�� �� = 0,125��

Metoda w oparciu o parametry odpowiedzi skokowej układu otwartego

����� = �� �� =

1

����� = �� �1 +1

���� �� =0,9

∙ �� = 3,3

����� = �� �1 +1

��� + ���� �� =1,2

∙ �� = 2 �� = 0,5

Page 12: Materiały do wykładu #8

12

Metoda w oparciu o parametry odpowiedzi skokowej układu otwartego

Metoda zakłada model dynamiki obiektu jako inercyjny z dominującą stałą czasową T oraz

opóźnieniem transportowym �

���� =����

�� + 1

1. Przestawiając regulator na strojenie ręczne

ustawiamy układ w jego normalnym punkcie

pracy (układ otwarty)

2. Podaj niewielkie wymuszenie skokowe na

wejście układu (obiektu).

3. Znajdź odcinek na krzywej odpowiedzi o mak-

symalnym nachyleniu R (punkt przegięcia)

i wykreśl styczną w tym punkcie.

4. Określ opóźnienie � = �

5. Znając tak wyznaczone parametry R i L korzy-

stamy z odpowiedniej tabeli nastaw regulato-

ra (poprzednia strona)

� =ℎ(∞)

ℎ(∞)

P

�� ��(�) �

ℎ�

�(�)

ℎ(�)

ℎ� ��

��

ℎ(�)

Page 13: Materiały do wykładu #8

13

����� = �� �1 +1

��� + ����

����� = � �� − ���

� =0,6

� wskaźniki wzmocnienia regulatora � = 0,075����

�,� = −1

� zera regulatora �,� = −4

��

�� =2

|| , �� =1

2||

����� =1,2

�� �1 +1

2�� + 0,5��

����� =0,6

��� +

1���

Próba skoku

����� = 0,6�� �1 +1

0,5��� + 0,125����

����� = 0,075������ +

4����

Granica stabilności

Page 14: Materiały do wykładu #8

14

Wybrane metody analityczne

1) Metoda Zieglera-Nicholsa, służąca do syntezy regulatora liniowego suboptymalnego,

w sensie tej metody, oparta na zapasie stabilności układu regulacji.

2) Metoda kompensacji (skreślania) dominujących biegunów układu otwartego za pomocą

odpowiednio dobranych zer regulatora liniowego wraz z metodą linii pierwiastkowych.

Zakłada się tu, że kompensacji podlegają bieguny stabilne układu otwartego oraz, że ich

lokalizacja podlega niewielkim wahaniom, zależnie od warunków pracy układu.

Page 15: Materiały do wykładu #8

15

Procedura wyznaczania parametrów regulatora PID metodą Zeiglera - Nicholsa

Stosując metodę regulator ����� połączony kaskadowo z obiektem ����� ustawia się na dzia-

łanie P przy �� = 1. Korzystając z twierdzenia Nyquista o stabilności układu zamkniętego

można obliczyć wartość graniczną wzmocnienia regulatora �� = ��, przy której układ znajdzie

się na granicy stabilności oraz wartość okresu drgań granicznych �� = 2� �� . Procedura ta

sprowadza się zatem do wyznaczenia wartości pulsacji �� z równania

Im��(��)� = 0

i następnie podstawienia jej do wzoru

�� =1

��(���) .

Mając wartości ��i �� należy wyznaczyć nastawy regulatorów zgodnie z tabelą na str. 12.

Page 16: Materiały do wykładu #8

16

Przykład 1.

Dany jest URA złożony z obiektu regulacji opisanego transmitancją operatorową

����� =1

��� + 2� + 1��4� + 1�

i szeregowego regulatora idealnego o transmitancji operatorowej

����� = �� �1 +1

��� + ����

Należy wyznaczyć nastawy regulatora stosując metodę Zieglera-Nicholsa.

Rozwiązanie

Podstawiając � = uzyskuje się postać transmitancji widmowej układu otwartego

��� =��

���� + 2 + 1��4 + 1� = ��

1 − 9� + 2�2� − 3��� + 2� + 1��16� + 1� = �� + ���

przy czym

�� = ��

1 − 9�

�� + 2� + 1��16� + 1� , ��� = ��

2�2� − 3��� + 2� + 1��16� + 1�

Page 17: Materiały do wykładu #8

17

Rozwiązując równanie ���� = 0 ⇒ 2�� − 3 = 0 otrzymujemy wartość pulsacji drgań nie-

gasnących – granicznych.

�� = �3

2= 1,225

Zapas wzmocnienia układu wynosi

�� =1����� = �� ��

� + 2��� + 1�16��

� + 11 − 9��

��� = 12,5 .

Otrzymaliśmy: �� = 12,5 , �� = 2� ��� = 5,13 s .

Nastawy regulatora wynoszą:

�� = 0,6�� = 7,5 , �� = 0,5�� = 2,6, �� = 0,125�� = 0,64

a jego transmitancja będzie miała postać

����� = �� �1 +1��� + ���� = 7,5 �1 +

1

2,6� + 0,64�� .

Odpowiedzi skokowe jednostkowe układu regulacji przed korekcją

Page 18: Materiały do wykładu #8

18

�(�) = ℒ�� � �����1 + ����� ∙

1

s�

i po korekcji z zastosowaniem regulatora

�(�) = ℒ�� � ����������1 + ���������� ∙

1

s�

pokazane są na rysunku obok.

Zastosowany tutaj regulator z wpro-

wadził astatyzm do układu i przez to

likwidację uchybu położeniowego

Odbyło to się kosztem znacznego

wzrostu przeregulowania i zwiększe-

nia czasu regulacji. Na ten wzrost

wartości owych wskaźników miała

wpływ zastosowana tutaj metoda do-

boru nastaw regulatora.

0 5 10 15 20

0.5

1

1.5

����

t

Rys. Porównanie odpowiedzi skokowych

jednostkowych układu bez regulatora

i z regulatorem PID.

Page 19: Materiały do wykładu #8

19

Przykład 2.

Dany jest układ regulacji automatycznej z obiektem opisanym transmitancją

����� =1

��� + 1��5� + 1�

i regulatorem PID o transmitancji wskazanej w przykładzie 1. Wyznaczyć nastawy regulatora

metodą Zieglera-Nicholsa.

Rozwiązanie

Transmitancja układu zamkniętego z regulatorem o działaniu proporcjonalnym ����� = ��

ma postać

����� =�������

1 + �������=

��

5�� + 6�� + � + ��

Stosując kryterium Hurwitza do równania charakterystycznego

5�� + 6�� + � + �� = 0

otrzymujemy obszar stabilności układu

0 < �� < 1,2.

Page 20: Materiały do wykładu #8

20

Wartość graniczną wzmocnienia, wynoszącą �� = 1,2 , wstawiamy do równania charaktery-

stycznego układu zamkniętego i po podstawieniu � = �� otrzymujemy

5����� + 6������ + ���� + �� = −6�� + 1,2 + ���1 − 5��� = 0.

Przyrównując część rzeczywistą lub urojoną do zera znajdujemy wartość pulsacji granicznej

�� =1

√5= 0,447

rad

s

i stąd okres drgań niegasnących wynosi

�� =2��

=2 ∙ 3,14

0,447≅ 14 s .

Optymalne w sensie metody Zieglera-Nicholsa nastawy regulatora wynoszą:

�� = 0,6�� = 0,72 , �� = 0,5�� = 7 s , �� = 0,125�� = 1,75 s ,

a jego transmitancja będzie miała postać

���� = �� �1 +1

��� + ���� = 0,72 �1 +1

7� + 1,75�� .

Page 21: Materiały do wykładu #8

21

Jak widać, zastosowana tutaj meto-

da doboru nastaw regulatora pozwoli-

ła znacznie skrócić czas regulacji,

zwiększyła się tłumienność odpowie-

dzi przy mniejszej pulsacji drgań.

Niewiele natomiast zmniejszyła się

wartość przeregulowania, pozostając

na dość wysokim poziomie 62%.

Chwila wystąpienia przeregulowania

i czas narastania pozostały w zasadzie

takie same, jak w układzie bez regula-

tora.

����

� 0 10 20 30 40 50 60 70 80

0.5

1

1.5

2

� = 62%

���% = 39,8

Rys. Porównanie odpowiedzi skokowych jednostkowych układu

bez regulatora i z regulatorem PID.

Page 22: Materiały do wykładu #8

22

Metoda Evansa – linii pierwiastkowych

Linie pierwiastkowe jest to miejsce geometryczne położeń

pierwiastków (m.g.p.) równania charakterystycznego (a) na

płaszczyźnie zmiennej zespolonej układu zamkniętego,

otrzymane przy uzmiennianiu współczynnika wzmocnienia

układu otwartego. Dla schematu blokowego układu regulacji

przedstawianego na rysunku obok równanie charakterystycz-

ne układu zamkniętego jest równoważne równaniu

1 + ������ = ���� + ����� = 0 czyli ����

����= ����� = −

1

� (a)

Na tej podstawie możliwe położenie pierwiastków układu zamkniętego jest określone przez

warunek argumentu

arg����� = � , gdzie � nieparzyste dla � > 0 (b)

oraz warunek modułu

|�����| =1

|�| (c)

��(�)

Rys. Schemat blokowy układu re-

gulacji stosowany przy korzystaniu

z metody linii pierwiastkowych

��

Page 23: Materiały do wykładu #8

23

W przypadku analizy układu regulacji dla określenia kształtu linii pierwiastkowej korzysta się

warunku argumentu (b), z warunku modułu (c), korzysta się zaś dla określenia położenia

pierwiastków na linii pierwiastkowej przy konkretnych wartościach wzmocnienia K.

W przypadku natomiast syntezy (projektowania) układu regulacji, mając z góry narzucone,

oczekiwane położenia pierwiastków układu, wyznacza się niezbędną wartość wzmocnienia K

w układzie otwartym, tak aby była spełniona tożsamość (a).

Mając na uwadze łatwy dostęp do komputerów oraz szerokiej gamy procedur matematycz-

nych w tym pakietów dedykowanych dla celów automatyki, linie pierwiastkowe można okre-

ślić bezpośrednio z definicji (a).

W prostym przypadku układu otwartego o zerach i biegunach rzeczywistych transmitancja

układu dana jest zwykle jako ułamek w postaci

���� = ������ = �∏ ���� + 1�

�=0

�� ∏ ���� + 1���=0

, < � + � = (d)

stosowanej przy analizie i syntezie układów metodami częstotliwościowymi. Otóż w zastoso-

waniach metody linii pierwiastkowych dogodnie jest stosować nieco odmienną postać trans-

mitancji, a mianowicie

���� = �∏ �� − ��

��=0

�� ∏ �� − �����=0

, (e)

w której k jest wskaźnikiem wzmocnienia dany wzorem

Page 24: Materiały do wykładu #8

24

� = �∏ ��

��=0

∏ ����=0

,

�� = −1

��, �� = −

1

�� są zerami i biegunami transmitancji układu otwartego,

1) punkty przecięcia linii pierwiastkowych z osią liczb urojonych odpowiadają wartościom gra-

nicznym wzmocnienia � = ��, które mogą być także wyznaczone przy użyciu kryterium sta-

bilności Hurwitza lub Nyquista

2) wartość bezwzględna K dla dowolnego punktu �� należącego do linii pierwiastkowej wynika

z warunku modułu (c), czyli

|�| =1

|����|=

∏ ����=0

∏ �����=0

|��� ∏ �� + ���

��=0 |

�∏ �� + �����=0 �

, (g)

Miejsca geometryczne położeń pierwiastków – bieguny układu regulacji - mają ścisły zwią-

zek z własnościami dynamicznymi zamkniętego układu regulacji.

Im bliżej osi liczb urojonych przebiegają linie pierwiastkowe, tym mniejsze jest tłumienie

układu. Stan przejściowy, nieustalony, trwa dłużej.

Z położenia biegunów układu zamkniętego można określić takie wielkości charakteryzujące

zachowanie się układu, jak: � - względny współczynnik tłumienia, � - częstotliwość drgań

Page 25: Materiały do wykładu #8

25

własnych, ��- częstotliwość drgań nietłumionych, �� – graniczną wartość współczynnika

wzmocnienia.

Należy zwrócić uwagę, że wykres linii pierwiastkowej uzupełnia kryterium Nyquista.

Sposób określenia tych wielkości ilustruje rysunek na następnej stronie.

Page 26: Materiały do wykładu #8

26

Re{s}

Im{s}

�� = ���� + ����

� = cos� =����

�� ���

���

��

��

��

�� �

Rys. Sposób wyznaczania parametrów charaktery-

zujących dynamikę układu zamkniętego, takich jak:

względny współczynnik tłumienia �, pulsację drgań

nietłumionych �� i własnych �� na wykresie

miejsc geometrycznych pierwiastków.

Page 27: Materiały do wykładu #8

27

Przykład 3.

Dla układu z przykładu 2 należy dokonać takiej korekcji nastaw regulatora, aby uzyskać

znaczne skrócenie czasu regulacji.

Linie pierwiastkowe układu automatycznej

regulacji z przykładu 2 bez regulatora (linie

czarne) i z regulatorem PID idealnym (linie nie-

bieskie) pokazane są na rysunku obok.

W celu skrócenia czasu regulacji należy zmie-

nić położenie pary zer regulatora przesuwając je

bliżej początku układu współrzędnych.

Aktualna wartość zer wynosi

��,� = −4

��

= −4

14= −0,284

Niech położenie pary zer regulatora zostanie

skorygowane o połowę, czyli o połowę zmniejszy

się dystans do początku układu współrzędnych

���,� =��,�

2= −0,142

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

�� = 1,2

�� = 1,2

Re���

Im���

Page 28: Materiały do wykładu #8

28

Stałe czasowe regulatora po korekcji położeń

jego zer przyjmą wartości

��� =2

|���| = 14,05 , ��� =1

2|���| = 3,5

������ = �� 1 +1

���� + ����

= 0,72 1 +1

14,05� + 3,5�

lub

���(s) = 2,53 (s + 0,142)�

s

Na rysunku obok kolor zielony reprezentuje li-

nie pierwiastkowe układu regulacji po korekcji

położeń zer regulatora (układu).

Zera układu są bliżej biegunów położonych

w początku układu współrzędnych.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Re���

Im���

Page 29: Materiały do wykładu #8

29

20 40 60

0

0.2 0.4 0.6 0.8

1

1.2 1.4 1.6

�(�)

Odpowiedzi skokowe układu regulacji

przed korekcją położeń zer regulatora

(kolor niebieski) i po korekcji (kolor

zielony).

Page 30: Materiały do wykładu #8

30

Procedura wyznaczania parametrów regulatora PID metodą kompensacji (skreślania)

biegunów dominujących poprzez odpowiedni dobór zer ��, ��regulatora

����� = �� �1 +1

��� + ��� =��

�� ������ + ��s + 1

� = ��� − ����� − ���

gdzie: �� = −1

���� i �� = −1

���� − są zerami regulatora ,

� = ���� − wskaźnik wzmocnienia regulatora

przy czym wartości współczynników pomocniczych �� i �� dla zadanego stosunku

� = �� ��⁄ ≥ 4 wyznacza się z zależności

�� =2�

� − � , �� =2�

� + � i gdzie � = ���� − 4� ;

1. Niech jedno z zer regulatora, np. �� przyjmie wartość jednego z biegunów dominujących

obiektu.

2. Biorąc pod uwagę, że �� = −�

���� przyjąć wartość � ≥ 4 i obliczyć wartość czasu wyprze-

dzenia � =�

��|��| , przy czym �� =

��

� �, i gdzie � = ���� − 4�

3. Sprawdzić czy drugie zero regulatora �� = −�

���� (przy czym �� =

��

��� ) uzyskało wartość

bliską wartości drugiego bieguna dominującego obiektu.

Page 31: Materiały do wykładu #8

31

4. Jeżeli nie, należy przyjąć inną wartość � i powtórzyć obliczenia jak w pkt. 2 i 3. Jeżeli war-

tość zera �� będzie bardzo bliska lub równa wartości bieguna obiektu obliczyć wartość

czasu zdwojenia �� = ��� regulatora.

5. Na podstawie dopuszczalnej wartości przeregulowania w odpowiedzi skokowej układu

regulacji należy określić dopuszczalną wartość wzmocnienia �� regulatora.

Page 32: Materiały do wykładu #8

32

Przykład 4.

Dany jest układ regulacji z kaskadowo połączonymi obiektem opisanym transmitancją opera-

torową

����� =�

�� − ����� − ����� − ��� ,

gdzie wskaźnik wzmocnienia oraz bieguny wynoszą

� = 2 , �� = −0,25 1

s , �� = −1

1

s , �� = −4

1

s .

i regulatorem

����� = ����� = �� �1 +1

�� + �� = ���� − ����� − ���

� .

gdzie: �� = −1

��� i �� = −1

��� − są zerami ,

�� = ��� − jest wskaźnikiem wzmocnienia regulatora idealnego PID,

przy czym wartości współczynników pomocniczych �� i ��, dla zadanej wartości współczyn-

nika proporcjonalności = � �⁄ ≥ 4 są wyznaczane ze wzorów

�� =2

− � , �� =2

+ � i gdzie � = � � − 4� .

Page 33: Materiały do wykładu #8

33

Stosując metodę kompensacji dominujących biegunów układu otwartego oraz metodę linii

pierwiastkowych dobrać nastawy regulatora przyjmując stopień oscylacyjności � = 1.

Rozwiązanie

Dominujący biegun obiektu �� = −0,25 skompensujemy dominującym zerem regulatora �� , czyli

�� = �� = −0,25

W układzie wystąpi pełna kompensacja- skreślenie - bieguna ��. W efekcie tego zabiegu pozo-

stanie w układzie kolejny biegun dominujący �� = −1. Ten zaś może być skompensowany po-

zostałym zerem �� regulatora

�� ≈ �� = −1

Aby osiągnąć wartość zera �� jak najbliższą wartości bieguna ��, przyjmujemy współczynnik

proporcjonalności � = �� ��⁄ = 6,2 .

Wtedy wyróżnik ma wartość

� = ��� − 4 = �6,2 ∙ 2,2 = 3,69.

a wartości współczynników pomocniczych wynoszą

�� =2�

� − �=

2 ∙ 6,2

6,2 − 3.69= 4,94 , �� =

2�� + �

= 2 ∙ 6,2

6,2 + 3.69= 1,25 .

Page 34: Materiały do wykładu #8

34

Mając wartości tych współczynników, na podstawie zależności

�� = −1

����= −0.25,

wyznaczamy nastawy czasów wyprzedzenia �� i zdwojenia �� regulatora

�� =1

��0,25= 0,81 , �� = ��� = 6,2 ∙ 0,81 = 5,02

Dokładna wartość drugiego zera regulatora wyniesie

�� = −1

����=

1

1,25 ∙ 0,81= −0,988

Jest ona bardzo bliska wartości bieguna �� obiektu. Wobec tego transmitancję układu otwar-

tego po korekcji całkowo-różniczkowej możemy zapisać w postaci

��� = �������� =��� − ��

�� − ���� − ��≅

��� + 4 ,

gdzie wskaźnik wzmocnienia układu określony jest związkiem

= � = ��� = 0,81 ∙ � ∙ 2 = 1,62�.

Wartość nastawy � członu proporcjonalnego regulatora określimy na podstawie przebiegu

linii pierwiastkowych przedstawionych na rysunku pokazanym na następnej stronie.

Page 35: Materiały do wykładu #8

35

Łatwo tu spostrzec, że wobec wymagania � = 1

współrzędne biegunów dominujących układu za-

mkniętego wyniosą

���,� = −2,0 ± �2,0

Poszukiwaną wartość współczynnika wzmocnie-

nia �� członu proporcjonalnego regulatora wyzna-

czamy z warunku modułu

�� = � 1

|��|������

= �|� + 4|1,62

������

=2√2 ∙ ��−2 + 4� + 2�

1,62= 4,94

-5 -4 -3 -2 -1

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4 Im���

Re���

� = 0,707

���

���

�� �� �� ��

�� ��

� = 8

= 4,94

� = 8

a) b)

Page 36: Materiały do wykładu #8

36

Transmitancja układu otwartego po korekcji proporcjonalno-całkowo-różniczkowej ma po-

stać

���� = ���������� =

8

��� + 4�=

2

��0,25� + 1�

Rys. Odpowiedzi skokowe jednostkowe układu au-

tomatycznej regulacji: a)bez regulatora, b) z regu-

latorem PID idealnym 0 2 4 6 8

0.2

0.4

0.6

0.8

1

����

t

� = 4.3%

���% = 1 s

a)

b)

2)