Math 1 Serbian Version1

5/16/2018 Math 1 Serbian Version1 - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/math-1-serbian-version1 1/262

Udţbe nik za kurs:

Elementarna algebra, kalkulus i finansijskamatematika i statistika

Knjiga 1: Elementarna algebraTreće izdanje

Prof. dr Dietrich Ohse

ProCredit Academy GmbHHammelbacher Strasse 2

64658 Fürth-WeschnitzPhone +49 6253 20080

© 2010 ProCredit Academy GmbH





P r e d g o v o r S t r a n a | III

Predgovor

Matematika ima ključnu ulogu u bankama iz razloga što sve bankarskeoperacije zavise od tačnih proračuna i precizno definisanih metoda. Iz pomenutog razloga svakako nije dovoljno osloniti se na svoj digitron,računar ili server na našoj mreţ i. Neophodno je da razumemo operacije i procese koji čine oslovu svih oblasti poslovanja naše banke. U tom cilju,odlučili smo da uvedemo Program obuke iz matematike u svim bankama i akademijama pod rukovodstvom ProCredit Holdinga. Ovaj

udţ benik je osnova za sve te kurseve. Nastavni materijal za kurs je podeljen u tri knjige:

Knjiga 1 obuhvata fundamentalne osnove algebre. Primena ovih principasa apsolutnom sigurnošću je od suštinske vaţ nosti. Brojevi, promenljive, računice, iskazi, jednačine i jednostavne funkcijesu osnovne komponente matematike i njene primene. Nijedna banka ne moţ e sebi da dozvoli da pokaţ e ni najmanji znakslabosti u bilo kojoj od ovih oblasti. Sadrţ aj ove knjige obuhvata

teme testova u Matematici 1 i biće na raspolaganju zaposlenimaod januara 2010. godine.

Knjiga 2 obuhvata nešto naprednije primene matematike, a posebno primene karakteristične za bankarsko poslovanje. Pre svega,ovom knjigom su pokrivene funkcije koje se upotrebljavaju ufinansijskom sektoru, kao i glavne teme finansijske matematike.Poseban akcenat je na različitim tipovima kamate, kao i svimosnovnim obračunima vazanim za novčane tokove. Sadrţ aj ove

knjige odgovara testovima u Matematici 2.

Knjiga 3 je udţ benik za kurs ProCredit Akademije u Firtu. Njegova svrha je da ponudi kratak uvod u kalkulus pre svega radi razumevanjanjegove primene u vezi sa marginalnom analizom. Drugi deosadrţ i odabrane teme u okviru opisne statistike jednodimenzionalnih i dvodimenzionalnih distribucija.



IV | S t r a n a P r e d g o v o r

U skladu sa ovom podelom u tri knjige, nastavni materijal je takoĎe predstavljen u tri udţ benika, koji se mogu koristiti samostalno.Zasigurno, poznavanje osnova algebre je od takvog značaja da jerazumevanje korišćenja jednačina i funkcija neizostavan preduslov zarazumevanje tema Matematike 2 i kursa u Firtu.

Svrha udţ benika je definisanje predmeta obuke. On stoga predstavljazajedničku platformu, kako za predavače tako i za polaznike kursa. Što setiče same obuke, od predavača se očekuje da pripremi pregled poglavlja istrana koji će se obraĎivati na svakom času. Pregled, koji bi trebalo podeliti polaznicima, mogao bi ovako da izgleda:

Blok # Struktura i teme Strane

1 Uvod i ciljevi obuke 1 – 10

2 Osnove algebre

Brojevi i operacije

Razlomci i decimale

11 - 41

3 itd.

Predavaču je prepušten odabir poglavlja koja će biti pokrivenanastavom, u zavisnosti od predznanja polaznika i vremena koje im je potrebno da savladaju gradivo. Iz tog razloga je nezahvalno dati nekuuniverzalnu preporuku. Dosadašnje iskustvo je pokazalo da je boljesporije, i samim tim temeljnije, proći kroz suštinu nego nastojati da se po

svaku cenu preĎešto više nastavnih jedinica u toku jednog kursa.Kroz napomene koje ukazuju na odreĎene strane u udţ beniku polaznicima je omogućeno da koriste udţ benik za samostalno uĉenje. Nastavni materijal je sveobuhvatan i pripremljen je paţ ljivo kako bi semogao pratiti bez pomoći predavača. U svakom odeljku se nalaze brojni primeri radi ilustracije prethodno opisanih koraka. Svi primeri suoznačeni duplim linijama sa obe strane u tekstu.



P r e d g o v o r S t r a n a | V

Na kraju svakog poglavlja nalaze se brojne veţbe. Ove veţ be suneizostavan deo bilo kog kursa matematike. Zapravo, veţ banje je jedininačin učenja matematike. Polaznici će uvek moći da prate predavača kojiume da ih motiviše i pruţ i im objašnjenje. Ipak, to svakako ne znači daće oni automatski biti u mogućnosti da samostalno primene ono što suusvojili. Naprotiv. Takva veština je isključivo rezultat samostalnogveţ banja.

U knjizi, veţ be su praćene rešenjima za relevantno poglavlje, čime jeomogućena samostalna provera rada. Svaki odeljak sadrţ i samokonačna rešenja, bez detaljnog objašnjenja postupka kojim se dolazi dorezultata.

Svesno smo izostavili preporučen metod rada iz razloga što smo ţ eleli davas ohrabrimo da razmotrite alternativne metode ukoliko je vaše rešenjenetačno.

Svako poglavlje se završava testovima napretka kako bi polaznici samimogu da isprate svoj napredak. Polaznici kursa treba da uporede svojarešenja sa rešenjima u ključu svakog poglavlja odmah po završetkuodgovarajućeg poglavlja. Udţ benik ne sadrţ i detaljna objašnjenja rešenja

testova napretka. Čitanje je vid učenja. Dakle, mi predlaţ emo da ponovo preĎete poglavlje kako biste samostalno pronašli ispravno rešenje.

Sva tri udţ benika su predmet čestih diskusija i revizija u ciljuunapreĎenja zahvaljujući mojim kolegama Alois Knobloch i Mario

Kluge, koji iznosili predloge za mnoge izmene i dopune. Pored toga,veliki broj onih koji su pohaĎali kurs prema ovoj knjizi dali su svojdoprinos ukazavši na greške u tekstu i veţ banjima. Ţeleli bismo svima dazahvalimo i da vas ohrabrimo da podelite sa nama svoje iskustvo tako što

ćete nam slati komentare na sledeću adresu:[email protected] .

Nadamo se da ćete biti zadovoljni i uspešni sopstvenim radom pomoćuovog udţ benika.

mailto:[email protected]





VI | S t r a n a P r e d g o v o r



S a d r ţ a j S t r a n a | VII

Sadrţaj

1. Uvod ................................................................... 1

1.1 2

1.2 Jezik matematike ......................................................... 2

1.3 Kako primeniti matematiku ......................................... 4

1.4 Ciljevi učenja ............................................................... 7

2. Osnove algebre ................................................ 11

2.1 Brojevi ....................................................................... 13

2.1.1 Brojevi i operacije ......................................................... 14

Važba 2.1.1: Brojevi i operacije ......................................... 21 Rešenja 2.1.1: Brojevi i operacije ...................................... 23

2.1.2 Razlomci i decimale ...................................................... 24

Vežba 2.1.2: Razlomci i decimale ....................................... 36

Rešenja 2.1.2: Razlomci i decimale .................................... 39

2.1.3 Procenti .......................................................................... 41

Vežba 2.1.3: Procenti ......................................................... 50 Rešenja 2.1.3: Procenti ...................................................... 52

2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve” ........................................... 54

2.2 Eksponenti ................................................................. 57

2.2.1 Celobrojni eksponenti .................................................... 60

Vežba 2.2.1: Celobrojni eksponenti .................................... 67

Rešenja 2.2.1: Celobrojni eksponenti ................................. 69 2.2.2 Razlomački eksponenti .................................................. 70



VIII | S t r a n a S a d r ţ a j

Vežba 2.2.2: Razlomački eksponenti .................................. 77

Rešenja 2.2.2: Razlomački eksponenti .............................. 79

2.2.3 Radikali .......................................................................... 80Vežba 2.2.3: Radikali ......................................................... 86

Rešenja 2.2.3: Radikali ...................................................... 89

2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente” ..................................... 91

2.3 Iskazi .......................................................................... 93

2.3.1 Integralni iskazi ............................................................. 95

Vežba 2.3.1: Integralni iskazi ........................................... 103

Rešenja 2.3.1: Integralni iskazi ........................................ 105

2.3.2 Razlomački iskazi ........................................................ 106

Vežba 2.3.2: Razlomački izrazi ........................................ 111

Rešenja 2.3.2: Razlomački iskazi ..................................... 113

2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze” ............................................ 114

2.4 Rešenja za testove napretka .................................... 116

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve” ......................... 116

2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente” ................... 117

2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze” ........................... 118

3. Jednaĉine ....................................................... 119

3.1 Upotreba jednačina ................................................. 121

3.1.1 Modelovanje pomoću jednačina .................................. 124

3.1.2 Rešenje ........................................................................ 128

Vežba 3.1: Upotreba jednačina ........................................ 138

Rešenja 3.1: Upotreba jednačina ..................................... 140

3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednačina” ....................... 141

3.2 Linearne jednačine .................................................. 143



S a d r ţ a j S t r a n a | IX

3.2.1 Normalan oblik linearne jednačine .............................. 144

3.2.2 Rešenje ........................................................................ 145

Vežba 3.2: Linearne jednačine ......................................... 149 Rešenja 3.2: Linearne jednačine ...................................... 151

3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednačine” ........................ 152

3.3 Kvadratne jednačine ............................................... 154

3.3.1 Oblici kvadratnih jednačina ......................................... 155

3.3.2 Rešenje ........................................................................ 156

Vežbe 3.3: Kvadratne jednačine ....................................... 163

Rešenja 3.3: Kvadratne jednačine .................................... 165

3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednačine” ..................... 167

3.4 Rešenja za testove napretka .................................... 169

3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednačina” ........... 169

3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednačine” ....... 1703.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednačine” .... 171

4. Osnovne funkcije .......................................... 173

4.1 Svojstva funkcija ...................................................... 180

4.1.1 Karakteristike grafika .................................................. 181

4.1.2 Inverzna funkcija ......................................................... 185

Vežba 4.1: Svojstva funkcija ............................................. 191

Rešenja 4.1: Svojstva funkcija .......................................... 193

4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija” .......................... 197

4.2 Linearne funkcije ..................................................... 199

4.2.1 Grafik linearne funkcije ............................................... 2014.2.2 Svojstva linearnih funkcija .......................................... 204



X | S t r a n a S a d r ţ a j

Vežba 4.2: Linearne funkcije ............................................ 207

Rešenja 4.2: Linearne funkcije ......................................... 208

4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije" .......................... 210

4.3 Kvadratne funkcije .................................................. 212

4.3.1 Completion of the Square ............................................ 214

4.3.2 Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216

4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije ........................................ 223

Vežba 4.3: Kvadratne funkcije ......................................... 227

Rešenja 4.3: Kvadratne funkcije ....................................... 228

4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije"........................ 231

4.4 Rešenja testova napretka ......................................... 233

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva" ......................... 233

4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije" ............ 236

4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije" ....... 240

Indeks pojmova ...................................................... 243



S a d r ţ a j S t r a n a | XI

Slike

Slika 1-1: Matematičko modelovanje ............................................... 5

Slika 1-2: Upotreba matematičkih modela ...................................... 5

Figure 2-1: Linija realnih brojeva .................................................... 15

Slika 4-1: Grafik funkcije ............................................................. 178

Slika 4-2: Preseci funkcije ........................................................... 181

Slika 4-3: y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na- jedan 187

Slika 4-4: Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45° ................ 188

Slika 4-5: Grafik linija ................................................................. 201

Slika 4-6: Svojstva linearnih funkcija .......................................... 202

Slika 4-7: Crtanje linije sa oblikom preseka ................................ 204

Slika 4-8: Grafik kvadratne funkcije ............................................ 216 Slika 4-9: Normalna parabola ..................................................... 217

Slika 4-10: Negativna normalna parabola .................................... 217

Slika 4-11: Parabola sa transformisanim temenom ....................... 218

Slika 4-12: Otvaranje parabole ..................................................... 219

Slika 4-13: Grafik tri parabole ...................................................... 224

Slika 4-14: Grafik koji ilustruje navedeno ..................................... 226



XII | S t r a n a S a d r ţ a j

Tabele

Tabela 2.1: Korišćenje zagrada u iskazima ...................................... 19

Tabela 2.2: Procenti ......................................................................... 43

Tabela 2.3: Računanje iskaza ........................................................... 62

Tabela 2.4: Uklanjanje zagrada ....................................................... 63

Tabela 4.1: Tabela vrednosti funkcije ............................................ 176

Tabela 4.2: Tabela vrednosti parabole ........................................... 215



S a d r ţ a j S t r a n a | XIII

Reĉnik termina





1 . 1 J e z i k m a t e m a t i k e S t r a n a | 1

1. Uvod

Ovo je veoma kratko uvodno poglavlje koje sadrţ i neka krajnje opštazapaţ anja o matematici i njenoj primeni. Očigledno je da ne ţ elimo da predajemo matematiku radi same matematike. Ţelimo da naučimo da primenjujemo matematiku na realne probleme, naročito probleme sakojima se susrećemo u svakodnevnom radu u našim bankama.

Da bismo koristili matematiku kao alatku potrebno je da matematičarima predstavimo svoje svakodnevne probleme na ,,razumljiv” način. To značida moramo da naučimo njihov jezik kako bismo im saopštili svoje probleme. Moţ da zvuči neobično nazvati matematiku ,,jezikom”, ali čimuvidimo da matematika ima svoj rečnik i gramatiku, i razmotrimo praktično iskustvo učenja i upotrebe matematike, sličnosti postaju sasvimočigledne.

U drugom kratkom poglavlju ţ elimo da demonstriramo primenumatematike. Tumačenje i upotreba adekvatnih alatki iz našeg kofera samatematičkim alatkama u mnogome zavisi od iskustva. Jedini način danapredujemo je da što češće veţ bamo ove korake.

1. Introduction

1.1 The LanguageMathematics

1.2 How to

ApplyMathematics

1.3 LearningTargets



2 | S t r a n a 1 . U v o d

Naposletku, ţ eleli bismo da istaknemo ciljeve obuke putem ovogudţ benika i kurseva elementarne algebre i funkcija. Uvereni smo dasvaka osoba koja radi u banci ili, u širem kontekstu, u finansijskomsektoru mora dobro da poznaje neke fundamentalne matematičke oblasti.U ovom udţ beniku ove oblasti i odgovarajući ciljevi učenja grupisani suu pet poglavlja: osnove algebre, jednačine, funkcije, vremenska vrednostnovca i statistika.

1.1 1.2 Jezik matematike

Ko god je učio neki strani jezik zna da je to proces koji karakterišurazličite faze i poteškoće. Na samom početku moramo da usvojimoodreĎeni vokabular, odnosno rečnik, što znači da moramo da naučimoreči i njihovo značenje. Kada naučimo dovoljan broj reči, učimo da ih povezujemo kako bismo formirali rečenice, što znači da moramo da

naučimo i primenjujemo odreĎena pravila. Ova pravila su se vremenomrazvijala na osnovu opšteprihvaćenih struktura. Njihov normativankarakter omogućava da rečenične konstrukcije = rečenice svako moţ e darazume. Ova pravila stoga svako treba da prihvati. Naposletku, moramoda naučimo kako da aktivno koristimo jezik. Svako ko je učio jezik kao,,teorijski” predmet u školi, gde su vokabular i gramatika raščlanjeni donajsitnijih detalja, zna iz iskustva da to nije dovoljno za adekvatnosaopštavanje sopstvenih misli. Pored toga je neophodno da naučimo kakoda aktivno upotrebljavamo jezik.

Izrazi koji se u lingvistici koriste za opis ove tri faze su:

Semantika = izučavanje značenja reči Semantika kao poddisciplinalingvistike (lingvistička semantika) istraţ uje značenje lingvističkihznakova.

Gramatika = izučavanje načina na koji se reči povezuju radi formiranjarečenica U uţ em smislu, gramatika – ili morfosintaksa – je izučavanjestrukture reči (morfologija) i rečenica (sintaksa).

Pragmatika = izučavanje načina razumevanja jezika U lingvistici jeovo studija upotrebe jezika u različitim situacijama.



1 . 1 J e z i k m a t e m a t i k e S t r a n a | 3

Isto tako, matematika je jezik , i zaista u modernom društvu to je jezikkoji sve više dobija na značaju. Moţ da se ne moţ e koristiti za pisanje poezije ili proze, ili drţ anje govora ili komentarisanja sportskih dogaĎaja,ali se moţ e koristiti za opis odreĎenih odnosa i struktura ili kreiranjemodela realnih fenomena. Ako je upotreba matematike moguća ili čakneophodna, onda sledi da je matematika ne samo meĎunarodni jezik koji je razumljiv u svim zemljama sveta, već takoĎe izuzetno moćaninstrument koji nam omogućava da opišemo najkompleksnije odnose.

Zapravo, matematika je organizovana na isti način kao i govorni jezik.Sastoji se od:

Brojeva, simbola, i operatora Ovi znaci čine vokabular matematike. Neophodno je da znate njihovo značenje kako biste razumelisuštinu koju vam oni saopštavaju.

Iskazi, operacije, pravila, i algoritmi Formiraju se kombinovanjemosnovnih elemenata, i to su rečenice u matematici. Gramatika jenormativni niz pravila zahvaljujući kome svako ,,matematiku” razume naisti način.

Primene u oblikuraĉunica

,

grafika ,

modela ,

teoremaOvi oblici se

koriste radi saopštavanja i primene matematike. Pomoću ovih primenameri se korisnost jezika koji se naziva matematika.

Kada učimo jezik mi obično imamo cilj koji ţ elimo da ostvarimo. Na primer, učimo engleski jezik da bismo komunicirali sa što više ljudiširom sveta, ili iz razloga što je to zvanični jezik kompanije u kojojradimo, ili iz razloga što bismo ţ eleli da čitamo literaturu na izvornomengleskom jeziku. Ali šta bi bila svrha učenja jezika matematike? Zašto je matematika verovatno jedini predmet koji se uči u školskom sistemusvake zemlje sveta? Koje su prednosti matematike kao jezika u odnosuna, recimo, latinski ili neki moderan ţ iv jezik?

Hajde da pokušamo da odgovorimo na to pitanje.



4 | S t r a n a 1 . U v o d

1.3 Kako primeniti matematiku

,,Primena matematike” obično podrazumeva: korišćenje instrumenatakoje nam matematika pruţ a da bismo opisali, objasnili i rešili stvarne probleme.

Pre nego što opišemo osnovnu proceduru za primenu matematike, hajdeda razmotrimo dva jednostavna problema.

Problem 1: Boca zajedno sa poklopcem teţ i 204g. Boca teţ i tačno200g više od poklopca.

Kolika je teţ ina boce?

Problem 2: Ana će sledeće godine imati tri puta više godina od godinakoje je imala Lusi pre dve godine, a Lusi će imati dva putamanje godina od Aninih godina pre tri godine.

Koliko Ana i Lusi danas imaju godina?

Prvo pokušajte da odgovorite na ova dva pitanja. Moţ da ćete spontanodoći do odgovora; moţ da ćete pokušati da pronaĎete rešenje kroz više pokušaja i grešaka.

Dok ćete verovatno relativno brzo doći do rešenja na prvo pitanje jednostavnim razmišljanjem o pitanju ili sistematičnim isprobavanjemviše rešenja, drugi problem je već toliko sloţ en da ga je gotovonemoguće rešiti kroz pokušaje i greške.

Upravo ovde nam pomaţ e matematika. Da bismo je koristili kao metodza rešavanje problema, meĎutim, nije dovoljno znati metode računanja,operacije, algoritme i teoreme – ili dokaze. Umesto toga, prvo moramo

da budemo sposobni da opišemo ekonomsku, fizičku, sociološku ili političku situaciju na način koji bi u matematici bio instrument za analizuili metod za rešavanje problema. Iz tog razloga, od ključnog značaja je daizgradimo sposobnost prevoĎenja verbalno opisanog problema umatematički jezik, sposobnost konverzije u formu koja nam omogućava primenu matematičke analize. Rezultat ove transformacije mogao bi seopisati kao model stvarnog stanja stvari. Ukoliko koristimo nizmatematičkih instrumenata koji su nam na raspolaganju na taj načindolazimo do ,,matematičkog modela” realnog problema.



1 . 2 K a k o p r i m e n i t i m a t e m a t i k u S t r a n a | 5

Real-world

Problem Modelling

Mathematical Model e.g.:

( ) y f x2 2 4 0 x x1

0

1

1

nn j

j

qq

q

Slika 1-1: Matematičko modelovanje

U matematičkom modelu odnosi koji postoje u realnom problemu opisani

su pomoću funkcija, jednačina i formula. Stvarni problem se prevodi u jezik matematike kako bi bilo moguće koristiti matematičke metodeanalize i rešavanja problema.

Ako matematički model ispravno opisuje suštinske karakteristikestvarnog problema, rešenje matematičkog problema treba da ponudiopciju za rešavanje stvarnog problema. Ukoliko ovo nije slučaj onda suodreĎene karakteristike matematičkog modela pogrešne i/ili je potrebnorevidirati model.

Real-world

Problem Modelling

Mathematical Model e.g.:

( ) y f x2 2 4 0 x x1

0

1

1

nn j

j

qq

q

Solution of

theMathematical

Model

Is the solution ofthe Mathematical

Model a solution ofthe Real-world

Problem?

yes no Solve the

Mathematical

Problem

Slika 1-2: Upotreba matematičkih modela



6 | S t r a n a 1 . U v o d

Na osnovu dva problema opisana na početku ovog odeljka sada ćemo pokazati zbog čega je matematičko modelovanje ubedljiv pristup zarešavanje problema.

Problem 1: Teţ ine koje problem zahteva od nas da pronaĎemo – obično u formi pitanja koje vodi do zaključka – sada sudefinisane kao nepoznate (= promenljive). Na primer,recimo da

b = teţ ina boce

c = teţ ina poklopca

Koristeći ove promenljive sada moţ emo da prevedemotekst problema u matematičke jednačine:

Boca + poklopac zajedno teţ e 204g: b + c = 204

Boca teţ i 200g više od poklopca: b = c + 200

Dakle, matematički model koji u potpunosti opisuječinjenice na način na koji su one opisane u problemusastoji se od dve jednačine sa dve nepoznate.

Nakon kratke računice, dolazimo do rešenja: b = 202 i c =2

Ovo rešenje na ispravan način zadovoljava dva postavljena uslova.

Da li ste i vi dobili ovo rešenje? Večina ljudi inicijalno da pogrešan odgovor kada kraće vreme razmišlja o problemui tek nakon nešto duţ eg razmišljanja doĎe do ispravnogrešenja.

Dok se ovo prvo pitanje moţ e rešiti relativno lako sa malo razmišljanja,ovaj pristup se ne moţ e primeniti i na drugi problem.



1 . 2 K a k o p r i m e n i t i m a t e m a t i k u S t r a n a | 7

Problem 2: Šta se u problemu traţ i? Šta mi traţ imo?

Od nas se traţ i da ustanovimo Anine i Lusine godine.

Odlučili smo da jea = Anine godine

l = Lusine godine

Hajde da sada prevedemo problem:

Ana će sledeće godine imati tri puta više godina u odnosuna Lusi pre dve godine:

( 1) 3 ( 2)a l x x

Kroz četiri godine, Lusi će imati duplo manje godina odAne pre tri godine:

12

( 4) ( 3)l a x x

Prema tome, i ovde imamo matematički model koji sesastoji od sistema jednačina sa dve jednačine i dve

nepoznate.Rešenje je: 18l i 47a

Ukoliko proverimo ovo rešenje, vidimo da su oba uslovazadovoljena.

Primer drugog problema je poseban pokazatelj efikasnosti matematičkogmodelovanja. Jednom kada formulišemo model koji opisuje situacijumoţ emo da primenimo kvantitativne metode za analizu, i onda je obično

lako pronaći rešenje na postavljeno pitanje. Mora se, meĎutim, priznatida je formulisanje modela koji tačno opisuje pravo stanje stvari običnoteţ i deo veţ be.

1.4 Ciljevi učenja

ProCredit je banka. Mi nastojimo da savetujemo naše klijente, i iznadsvega ţ elimo da im damo ispravan i transparentan savet. Da bismo touradili nuţ no je da imamo osnovno poznavanje algebre i nekih funkcija.



8 | S t r a n a 1 . U v o d

Mnogi od vas će reći: ,,Ali mi imamo računare i digitrone.”

To je validno stanovište, u smislu da program moţ e da izračuna tačan

iznos do poslednje pare. Postoje, meĎutim, različiti izvori grešaka. Na primer, moţ ete da unesete pogrešan broj. U tom slučaju bi trebalo da budete sposobni da procenite da li je rezultat realan ili ne.

Moţ ete se naći u situaciji gde treba da date savet nekome, a nematedigitron ili računar. Šta biste, na primer, rekli prijatelju da vas zaustavi naulici i pita koliko bi koštao kredit, ili kolika bi bila efektivna kamatnastopa na štedni deposit?

U našem svakodnevnom radu, bez obzira da li radimo sa klijentima,drugim članovima kolektiva: suština bankarskog poslovanja se bazira narešavanju kvantitativnih promenljivih, brojeva ili operacija. Iz tograzloga je ključno znati

osnove algebre,

neke od funkcija koje su vaţ ne za bankarstvo, i njihova svojstva,

odreĎene aspekte statistike, i

pozadinu uzimanja depozita i kredita.To je razlog što ćemo na ovom kursu početi sa učenjem odreĎenekoličine vokabulara. Upoznaćemo se sa apsolutno fundamentalnim pojmovima iz algebre, kao što su brojevi i operatori, a posebno razlomci ieksponenti ili indeksi, kao i načinom njihovog kombinovanja radiformiranja algebarskih izraza.

U našem svakodnevnom ţ ivotu i radu, količine se veoma čestomeĎusobno porede i mere. U matematici, ovo uopšteno govoreći dovodido jednačina koje ţ elimo da rešimo.

Najvaţ niji oblik jednačine u matematici je funkcija, pomoću koje seuzročni odnosi u stvarnom svetu mogu opisati kroz matematički model.U ovom prvom udţ beniku započinjemo diskusiju o vaţ nosti funkcija,njihovim svojstvima i nekim osnovnim funkcijama. U udţ beniku 2, kojiobraĎuje nešto naprednije teme, uvodimo eksponencijalne i logaritamskefunkcije. Ove funkcije su poznatije kao ,,transcendentalne” funkcije, štomoţ da zvuči prilično teoretski. One su, meĎutim, verovatno najznačajnijefuncije u ekonomiji i – još značajnije za bankarstvo.



1 . 3 L e a r n i n g T a r g e t s P a g e | 9

U banci, kamatne stope imaju ulogu od sveopšteg značaja: izračunavanje prihoda od kapitala zahteva da usmerimo posebnu paţ nju na eksponentekada radimo sa algebarskim izrazima. Proces rasta koji je rezultatkonformne kamate opisan je pomoću takozvanih eksponencijalnihfunkcija, koje imaju vaţ nu ulogu u opisu problema u oblasti finansijskematematike.

Zbog prihoda od kapitala, vrednost kapitala zavisi od vremena, i zbogtoga, finansijsko-matematičke primene se često nazivaju ,,vremenskomvrednošću novca”. U nastavnim jedinicima ovog kursa, koje su direktno povezane sa primenama u banci, biće opisani nezamenljivi fundamentalni principi kamate, depozita i kredita.

Konačno, udţ benik 3, koji se takoĎe moţ e okarakterisati kao,,matematičke primene u bankarstvu i finansijama”, posvećen jekalkulusu i osnovama opisne statistike. To je krajnje elementaran uvod ustatističke metode opisivanja, prezentovanja, i procene velike količine podataka. S obzirom da banke uvek rade sa velikom količinom podatakakoji se odnose na klijente, račune i portfolije, očigledno je da nam je potrebno osnovno razumevanje relevantnih pojmova.

Grafik na sledećoj strani pokazuje teme obraĎene u ovom udţ beniku uodreĎenom kontekstu. Osmišljeno je da se one uče na dva kursa. Na prvom kursu se postavljaju temelji algebre i funkcija. U drugomudţ beniku, ovi instrumenti se zapravo primenjuju na specifičnefinansijske probleme u bankarstvu.

Svako poglavlje sadrţ i brojne veţ be. Da biste mogli da proverite svojrezultat, ispravna rešenja su data na kraju svakog poglavlja. U većinislučajeva, prikazano je samo konačno rešenje, ali ne i detaljan metod

računanja. Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučen metod izrazloga što smo ţ eleli da vas ohrabrimo da razmotrite alternativnemetode ako dobijete pogrešno rešenje.



10 | S t r a n a 1 . U v o d

Elementary Algebra,

Financial Mathematics, Calculus and Statistics

2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

V

o l . 1 :

E l e m e n -

t a

r y A g e b r a

V o l .

3 :

C a

l c u l u s

a n d

S t a t i s t i c s

4. Two dimensionalDistributions

1. Introduction

3. Equations

2. Calculus

3. Basics of Statistics

2. SpecialFunctions

V o

l . 2 :

F i n a n c i a

l

M a

t h e m a

t i c s1. Introduction

3. Time Value of Money

U dodatku ćete, meĎutim, takoĎe pronaći kompletna rešenja. Koristiteovu informaciju sa rezervom zbog toga što je jedini način da se savlada jezik po imenu ,,Matematika” njena primena i iskustvo kroz samostalno pravljenje modela i rešavanje problema.



2 . O s n o v e a l g e b r e S t r a n a | 11

2. Osnove algebre

Elementary Algebra,


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

V o l . 1 : E l e m

e n -

t a r y A g e b r a

3. Equations

Preduslovi: Ne traţ i se nikakvo specijalno znanje iz matematike,već samo volja za otkrivanjem matematičkih osnovau bankarstvu.

U principu, verovatno ćete se podsetiti matematikekoju ste učili u školi. Ipak, očekuje se da aktivnoučestvujete u obuci. Ovaj udţ benik je struktuiran natakav način da se predmet moţ e individualnorazumeti putem veţ bi i samotestiranja. Postoje

rešenja sa detaljnim objašnjenjima na krajuudţ benika kako biste mogli da proverite sopstveninapredak.

Ciljevi uĉenja: Da biste mogli da primenite matematiku potrebno jeda probleme prevedete na jezik matematike tako dase oni mogu rešavati matematički.

S tim u vezi, od vas se očekuje da izgradite iunapredite svoje samopouzdanje u računanju ili radusa brojevima i simbolima bez pomoći računara idigitrona. Isto tako, veoma je vaţ no da budeterelativno sigurni da li je dobijeni rezultat rešenje



12 | S t r a n a 2 . O s n o v e a l g e b r e

problema. Stoga, treba da budete sposobni danapravite razliku izmeĎu razumnog i nerazumnogrešenja.

Algebra se često naziva ,,generalizovanom aritmetikom”. To je oblastmatematike koja se u najširem smislu bavi aritmetičkim operacijama kaošto su sabiranje, oduzimanje, mnoţ enje i deljenje odreĎenih brojeva. Naziv ,,algebra” potiče od latiniziranog imena persijskog matematičara Al Horezmi koji je ţ iveo oko 800. godine pre nove ere i koji je opisaomnoge osnovne principe.

Dok se ,,aritmetika” koristi brojeve (2, 4, 6, itd.), algebra se širi na

simbole koji sluţ e kao promenljive i parametri. Postoje neke manjerazlike izmeĎu rada sa brojevima i rada sa simbolima, ali uvek nasiznenaĎuje činjenica da mnogi polaznici kursa bez problema izračunajusledeći izraz:

14

2 42 (4 2) 4 1

2 4 2 4 4 1

ali se ,,zaglave” kada broj 4 zamenimo simbolom x:

122 ( 2) 1

2 2 1

x x x x

x x x

Simbol x u drugom izrazu je zamena za neki nepoznat broj. S obziromda on moţ e da varira, simbol se takoĎenaziva i promenljiva. Mada susve operacije i pravila isti, bez obzira da li se računa pomoću brojeva ilisimbola, korišćenje simbola se često smatra teškim iz razloga što susimboli apstraktniji.

Sa druge strane, treba imati na umu da je jedna od suštinskihkarakteristika matematike apstrakcija od specifičnog do opšteg ili ododreĎenog do uobičajenog. Dakle, cilj učenja u ovom poglavlju jenavikavanje na korišćenje simbola u matematičkim iskazima, i njihovaupotreba zarad pronalaţ enja rešenja za realne probleme. Pregledaćemoneke od vaţ nih osnovnih algebarskih operacija koje se često uče u školi. Nastavni materijal se moţ e sistematično učiti pre nego što nastavimodalje sa temama u okviru ovog udţ benika, ili se po potrebi moţ e

ponavljati.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 13

2.1 Brojevi

Preduslovi: Ne postoje nikakvi posebni preduslovi.

Ciljevi uĉenja: Jezik matematike sluţ i se brojevima i simbolima.Vavilonci su razvili i koristili brojeve.

Brojevi su meĎusobno povezani operacijama. Todovodi do pojave iskaza, koji zbog algebarskih

pravila mogu biti proizvoljno kompleksni. Jasan preduslov za primenu matematike je učenje iispravna primena ovih osnovnih pravila.

Pojam aritmetičkih i algebarskih pravila ćemo postepeno redom širiti uvoĎenjem simbola, promenljivih i parametara. Posmatrano u celini,matematička pravila su osnova matematičkegramatike. Ako se pravilno primenjuje, bilo kojiiskaz se moţ e razumeti u svim delovima sveta –

2. Basic Algebra

2.1 Numbers

Numbers &Operations

Fractions &Decimals

Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents

FractionalExponents

Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions

FractionalExpressions




Kini, Rusiji, Gruziji ili Tajlandu, iako ove zemljekoriste različite alfabetske karaktere.

2.1.1 Brojevi i operacije

Reč niz se u matematici koristi na isti način kao i u govornom jeziku. To je skup predmeta ili elemenata sa istim zajedničkim svojstvima.

Upotreba simbola je u ovom kontekstu poprilično uobičajena za različitenizove brojeva:

N niz prirodnih brojeva; brojevi pomoću kojih brojimo: 1, 2, 3, …

Z niz celih brojeva; prirodni brojevi, negativni brojevi i nula: …,-2, -1, 0, 1, 2 …

Q niz racionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti kao ab

, gde je a

ceo broj, a 0b . Još jedna karakteristika celih brojeva je to da senjihovo decimalno predstavljanje periodično ponavlja ili ima

završetak: 79 ; 0.25; 0.236236

I niz iracionalnih brojeva, koji se mogu predstaviti samodecimalama koje se ne ponavljaju i nemaju završetak:

2; 3.14159265359...; 2.71828182846...e

R niz realnih brojeva, koji čine i racionalne i iracionalne brojevezajedno.

Odnos izmeĎu različitih nizova brojeva moţ e se predstaviti na sledećinačin:

Natural N.

+ zero

+Negative N.

Integer N.

+

Fractionals

== Rational N.

+

Irrational N.

= Real Numbers

Ukoliko povučemo direktnu liniju u obliku strele, shvatamo da svakirealan broj odgovara tačno jednoj tački na toj liniji, i obrnuto. Ova linijase naziva linija realnih brojeva, a nula se obično uzima kao početak.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 15

0 1 2-1-9/4

-2 3Real

Numbers

Figure 2-1: Linija realnih brojeva

Sada ćemo pogledati neka od osnovnih svojstava sistema realnih brojevakoja nam omogućavaju da prevedemo algebarske iskaze iz oblika kojismo videli na početku ovog poglavlja u ekvivalentne iskaze. Ovaosnovna svojstva nazivaju se aksiomi i moraju se uvek uzeti u obzir prilikom transformacije algebarskih iskaza.

OSNOVNA SVOJSTVA REALNIH BROJEVA

Neka x, y, z budu proizvoljni realni brojevi. Pišemo: x, y, z

Čitamo x, y, z ,,su elementi niza realnih brojeva”.

SVOJSTVA SABIRANJA Zatvorenost : y je jedinstveni element u .

Asocijativnost : ( ) ( ) x y z x y z

Komutativnost : y y x

Identitet : 0 je adicioni identitet: 0 0 x x x

Inverzija: Za svaki x , − x je njegova jedinstvena suprotnost,

tako da ( ) ( ) 0 x x x




SVOJSTVA MNOŢENJA

Zatvorenost : y su jedinstveni elementi u

Asocijativnost : ( ) ( ) x y z x y z

Komutativnost : y y x

Identitet : 1 je multiplikativni identitet: 1 1 x x x

Inverzija: Za svako gde je 0 , 1 x

je njegova jedinstvena

suprotnost, tako da 1 1( ) ( ) 1 x x

x

K OMBINOVANA SVOJSTVA

Distributivnost : ( ) x y z x z y z i ( ) y z x y x z

Zaključci gore navedenih aksioma su:

Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi.

( ) x x

( ) ( ) ( ) y x y x y

( ) ( ) x y x y

x x x

y y y za 0

x x

y y za 0



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 17

OBRATITE PAŢNJU:

Neka x i y budu proizvoljni realni brojevi:

0 0 0 x x

00

y za 0

0 y ukazuje da je ili 0 ili 0 ili 0 y

Deljenje sa 0 nikada nije dozvoljeno.

OPERACIJE SA BROJEVIMA

Ako su operacije u algebarskim izrazima izmešane ponekad nije lako pratiti redosled operacija. Kada radimo sa sloţ enijim iskazima koji sesastoje od više različitih operacija, ponekad je teško odlučiti kojuoperaciju prvu treba izvesti. Drugim rečima, redosled ili prioritetoperacija mora biti jasan i nedvosmislen.

Pravila računanja moraju da budu nedvosmislena; ne treba da postoji ninajmanja sumnja u vezi toga kako se iskaz tumači. Drugim rečima, polaznici kursa matematike u Gani i polaznici u Mozambiku moraju naisti način da izvedu računicu i dobiju identičan rezultat.

Da bismo sastavili algebarski izraz neophodno je da koristimo zagrade.Bilo koji par zagrada sadrţ i iskaz koji se mora tretirati kao celina. Toznači da par zagrada oko bilo kog iskaza saţ ima sadrţ aj na vrstu simbola

koji je uporediv sa brojem ili promenljivom. Svaka operacija koja se primenjuje na zagrade mora se tumačiti kao operacija koja se odnosi nacelokupan sadrţ aj zagrada.

PRIMERI

1. 2 4 3 2 12 14 ali: (2 4) 3 6 3 18

2. 2 3 3 4 5 6 12 5 1 ali: 2 3 3 (4 5) 3 9 27




Oba iskaza u pomenuta dva primera se nedvosmisleno mogu izračunati, ada pri tome dobijemo dva potpuno različita rezultata.

Dakle, izuzetno je vaţ no sačiniti iskaze tako da procedura računanja vodi ţ eljenom rezultatu, i

ne postoji mogućnost dvosmislenog tumačenja.

Ukoliko u jednom iskazu postoji veliki broj delova koje potrebnorazdvojiti zagradama, koriste se različite vrste zagrada kako bi bilo jasnoi nedvosmisleno koja zatvorena zagrada pripada odreĎenoj otvorenojzagradi.

Okrugle zagrade: ( )

Četvrtaste zagrade: [ ]

Vitičaste zagrade: { }

Prilikom korišćenja zagrada potrebno je postarati se da se sve zagrade javljaju samo u paru. Na taj način ćemo biti sigurni da je vrednost svakogiskaza unutar zagrada nedvosmislena.

Pored toga, postoje jasna pravila o tome kako se računaju iskazi kojisadrţ e zagrade:

R AĈUNANJE ISKAZA

Ako ţ elite da izračunate algebarski iskaz sa više različitih operacijamorati voditi računa da operacije vršite pravilnim redosledom. Postojedva osnovna pravila:

1. Iskazi koji sadrţ e zagrade (parenteze) moraju se računati iznutraka spolja. To znači da se sve operacije unutar zagrada morajuizračunati pre nego što nastavimo sa operacijama izvan zagrada.

2. Multiplikativne operacije (mnoţ enje i deljenje) imaju prednost uodnosu na adicione operacije (sabiranje i oduzimanje). To značida se na istom nivou operacija proizvodi i količnici računaju presuma.

Uvek se preporučuje korišćenje što većeg broja zagrada. Bolje je koristitiih isuviše često nego previše retko. Ako ispustite jednu zagradu, to



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 19

obično stvara drugačiji iskaz, i samim tim drugačiji rezultat, što je uvećini slučajeva greška!

Razlomačka crta ili kosa crta zamenjuje zagradu u iskazima.Sledeći iskazi su primer kako kombinacija više algebarskih operacija u jednom iskazu moţ e ponekad da bude zbunjujuća:

2 3 4 2 ( 1 3) 5 4 4 2

5 4 3

Tabela dole pokazuje redosled koraka u računanju i objašnjenje u vezi sanavedenim pravilima:

Koraci 2 3 4

5

2 ( 1 3)

4

5 4 4 2

3

Komentari

1 –1 – 3 = –4 Prvo očistite zagrade.

2 3 4 12 2 ( 4) 8 5 4 20

4 2 8

Operacije mnoţ enja ideljenja pre operacijasabiranja ioduzimanja

3 –2+12=10 20–8=12 Sume u brojiocima

4 102

5

82

4

124

3

Razlomačka crta seračuna kao zagrada izbog toga se prvoračunaju razlomci.

5 2 ( 2) 4 4 Ovo je rezultat.

Tabela 2.1: Korišćenje zagrada u iskazima




PAŢNJA – TIPIĈNE GREŠKE

Izostavljanje zagrada

3 (4 2) 3 4 2

6 (2 4) 6 2 6 4

Nepravilan redosled multiplikativnih i adicionih operacija

3 4 5 3 9



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 21

VAŢBA 2.1.1: BROJEVI I OPERACIJE

Rešenja za ove veţ be moţ ete pronaći na stranama koje neposredno sledenakon ovih problema. Sastoje se od konačnog rešenja, što omogućava dauporedite svoj rezultat sa našim.

Svesno smo odlučili da ne prikaţ emo preporučeni metod rada iz razlogašto ţ elimo vas da podstaknemo da razmislite o alternativnim metodamaukoliko dobijete pogrešno rešenje.

1. Dovršiti sledeće jednačine u skladu sa datim pravilom:

a) Komutativnost: y

b) Asocijativnost: ( ) x y z

c) Distributivnost: y z y

d) Asocijativnost: ( ) y z

e) Komutativnost: y

f) Komutativnost: y

2. Koji su inverzni elementi u odnosu na naznačeno svojstvo:

a) Sabiranje: {1, 2, 4, 8, 16}?

b) Mnoţ enje: {−1, 1, 2 3}?

3. Izračunati:

a) ( 3) b) 13

c) 2 ( 4)

d) 4 ( 2) ( 3) e)2

5 f)

9

3




4. Izračunati:

a) 0 ( 3) b)0

4 c)3

0

d)0

0e) 0 (0)

5. Izračunati:

a) 2 (3 4) 6 (2 4)4 6 4

3

b) {[(2 3) 5 4] 2 3} 4 108

7

c) 5 3 2 ( 4) 16 ( 3) ( 2) 3

d)

(7 3) 2 2 85 7 2

3

6



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 23

R EŠENJA 2.1.1: BROJEVI I OPERACIJE

1.

Pravila operacijaa) Komutativnost: x

b) Asocijativnost: ( ) y z

c) Distributivnost: ( ) x z

d) Asocijativnost: ( ) x z

e) Komutativnost: x

f) Komutativnost: y x

2. a) 1, 2, 4, 8, 16 b)1 1

1,1, ,2 3

3. a) 3 b)1

3

c) 8

d) 4 e)2

5f) 3

4. a) 0 b) 0 c)

d) neodreĎeno e) 0

5. a) 0 b) 10 c) 66

d) 3




2.1.2 Razlomci i decimale

Već smo definisali racionalan broj kao razlomak dva cela broja. Isto takosmo koristili razlomke u primeru i veţ bama u prethodnom odeljku. Uovom odeljku ćemo naučiti kako da računamo pomoću razlomaka.

RAZLOMCI

Postoje neka osnovna pravila koja se moraju primenjivati kad god postojinajmanje jedan razlomak u iskazu.

R AZLOMAK

Razlomak je količnika

bgde su a i b celi brojevi, a 0b .

a se naziva brojilac, a b se naziva imenilac.

Razlomci su većini nas dobro poznati; ipak, neophodno je posvetitiduţ nu paţ nju nekim pravilima za raĉunice sa razlomcima kako bismoizbegli greške.

Da bismo dostigli odreĎen neophodan nivo samopouzdanja i izvanrednog poznavanja upotrebe razlomaka, primena ovih pravila se mora veţ bati.

Nadamo se da se nikada nećete pregovarati poput ovog momka kome ješef ponudio povećanje plate od ,,jedne petine”. Njegov odgovor je bio:,,Izvinite, ali to zaista nije dovoljno. Trebalo bi da povišica budenajmanje ,,jedna šestina”.

Prvo ćemo ukratko predstaviti pravila, zatim dati kratak komentar, ikonačno dati puno primera da bismo vam pokazali kako ova pravila treba primenjivati.

PRAVILA ZA RAĈUNICE SA RAZLOMCIMA

Neka a, b, c, d, i f budu realni brojevi; ukoliko su oni imenioci ne smejuda budu 0.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 25

MNOŢENJE NEKIM BROJEM

a f a

b bR azlomak ćemo pomnožiti tako što ćemo mnoţ iti

brojilac brojem f .

PRIMERI

1. Ako podelite kolač na četiri dela imaćete četiri četvrtine, tj. četiri14

kolača. Ako imate dve četvrtine, imate dva puta jedna

četvrtina, tj.1 2 1 1

2 4 4 2 kolača.

2. 3 62

7 7

3. 2 6 6( 3)

11 11 11

4. 1 00 0

11 11

DELJENJE BROJEM KOJI NIJE NULA

a a f

b b f R azlomak ćemo podeliti tako što ćemo mnoţ iti

imenilac sa 0 .

Mnoţ enje i deljenje su inverzne operacije koje isključuju jedna drugu uslučaju kada se obe primenjuju.

PRIMERI

1. Ako podelite jednu polovinu kolača dobićete dva dela od kojih je

svaki jedna četvrtina kolača, tj.1 1 1

22 2 2 4 .




2. 3 3 32

7 7 2 14

3. 2 2 2 2( 3)11 11 ( 3) 33 33

4. 7 7 72

13 13 2 26

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA

a cb d

Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako, a = c i b =

d .

PRIMERI

1. 33 and 4

4

x x y

y

2. 2 82 8 4; 3 51 17

3 51

aa a b b

b

3. 4 24 2 : 2; 3 15: 5

3 15

y y y x x

x

SKRAĆIVANJE

f a a

f b bU razlomku na levoj strani zajednički faktor f se

skraćuje deljenjem brojioca i imenioca istim faktorom f .

PRIMERI

1. 12 2 6 6

14 2 7 7



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 27

2. 24 2 2 2 3 2 2 4

42 2 3 7 7 7

3. 45 ( 1) 3 3 5 572 ( 1) 3 3 2 2 2 8

PROŠIRIVANJE

a f a

b f bR azlomak na levoj strani moţ e se proširiti faktorom f

mnoţ enjem brojioca i imenioca istim faktorom f .

PRIMERI

1. 4 11 4 44

7 11 7 77

2. 0.5 2 (0.5) 1

1.5 2 (1.5) 3

3. 1.7 10 (1.7) 17

2.3 10 (2.3) 23

Poslednja dva primera pokazuju zašto je proširivanje korisno. Ukolikoţ elite da uklonite decimale u brojiocu i imeniocu – imajte u vidu da brojeve nismo ograničili na cele brojeve! – moţ ete ih proširiti

odgovarajućim faktorom kako bi bili celi brojevi.

Poput mnoţ enja i deljenja, skraćivanje i proširivanje su inverzneoperacije koje se meĎusobno potiru ukoliko ih obe primenimo.

MNOŢENJE DVA RAZLOMKA

a c a c

b d b d

Dva razlomka množimo tako što mnoţ imo brojioce i

imenioce.




PRIMERI

1. 1 7 1 7 7

3 11 3 11 33

2. 3 4 ( 3) 4 3 4 12

5 7 5 7 ( 5) 7 35

3. 1 3 5 1 3 5 15

2 4 7 2 4 7 56

DELJENJE DVA RAZLOMKA

aa c a d b

cb d b c

d

dva razlomka se dele mnoţ enjem inverznih

razlomaka.

PRIMERI

1. 2 5 2 7 2 7 14

3 7 3 5 3 5 15

2. 3459

3 9 27

4 5 20

3. 4 6 4 14 4 14 4 2 7 47 14 7 6 7 6 7 2 3 3

Poslednje dve operacije su opet meĎusobno inverzne.

Mada su ,,sabiranje” i ,,oduzimanje” najosnovnije algebarske operacije,mnoge greške se javljaju kada je potrebno sabrati ili oduzeti razlomke.Molimo vas da obratite paţ nju na poseban odeljak: ,,Paţ nja – tipične

greške”.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 29

DODAVANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA ISTIM IMENIOCEM

a c a c

b b bDva razlomka sa istim imeniocima sabiraju se

(oduzimaju) sabiranjem (oduzimanjem) brojioca.

PRIMERI

1. Polovina kolača i jedna četvrtina kolača zajedno čine tri četvrtine,

tj. 1 1 2 1 32 4 4 4 4 .

2. 3 8 11

5 5 5

3. 7 3 2 7 3 2 6

11 11 11 11 11

4. 2 8 2 ( 8) 2 8 10

25 5 5 5 5

Da bismo sabirali i oduzimali razlomke sa različitim imeniocima prvo je potrebno da ih proširimo tako da imaju isti imenilac, koji se zovezajedniĉki imenilac.

ZAJEDNIĈKI IMENILAC

Zajednički imenilac dva razlomkaa

bi

c

d je proizvod dva imenioca:

b d

Proširivanjem dva razlomka sa d i b, pomenutim redosledom, dobijamodva razlomka sa istim imeniocem:

a d

b d ic b

d b




Do zajedničkog imenioca se najlakše dolazi mnoţ enjem dva (ili više)razlomka i proširivanjem razlomka svim faktorima koji nisu deozajedničkog imenioca.

PRIMERI

Pronaći zajednički imenilac (common denominator – CD) za sledećerazlomke i proširiti ih shodno tome:

1. 2 5 2 7 5 3 14 15; 3 7 ; ;

3 7 3 7 7 3 21 21CD

2. 1 3 1 7 3 6 7 18; 6 7 ; ;

6 7 6 7 7 6 42 42CD

3. 2 3 1 2 3 7 3 3 5 1 5 7; ; 3 5 7 ; ;

5 7 3 3 5 7 3 5 7 3 5 7CD

42 45 35; ;

105 105 105

Pronalaţ enje zajedničkog imenioca i proširivanje razlomaka u skladu satim preduslov je za sabiranje i oduzimanje razlomaka sa različitimimeniocima.

SABIRANJE (ODUZIMANJE) RAZLOMAKA SA RAZLIĈITIM IMENIOCIMA

a c a d c b

b d b d

Dva razlomka sa različitim imeniocima mogu se

sabrati (oduzeti) nakon što ih proširimo tako daimaju isti imenilac.

PRIMERI

1. 2 5 2 7 5 3 14 15 29

3 7 3 7 3 7 21 21 21

2. 2 1 2 7 1 3 14 3 11

3 7 3 7 3 7 21 21 21



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 31

3. 2 1 3 2 4 7 1 3 4 3 3 7 56 12 63 107

3 7 4 3 4 7 3 4 7 3 4 7 84 84 84 84

Razlomci se često javljaju u jednačinama u obliku: 347 5 x y

U ovakvom slučaju često je poţ eljno izbegavati razlomke, tj. ukloniti ih.Zapravo, moţ emo pomnoţ iti celu jednačinu odreĎenim faktorom sobzirom da moţ emo da primenimo skoro svaku operaciju (osimmnoţ enja ili deljenja nulom) na obe strane jednačine bez promene.Dakle, mnoţ enjem jednačine zajedničkim faktorom oba razlomkadobijamo:

347 5

7 5 7 5 x y

Nakon skraćivanja zajedničkih faktora u brojiocima i imeniocimadobijamo:

4 5 3 7 x y

Ovu operaciju često nazivamo ,,unakrsnim množenjem”, što nam ostajenakon proširivanja i skraćivanja.

EKVIVALENTNOST RAZLOMAKA UKAZUJE NA UNAKRSNO MNOŢENJE

a c

b d Dva razlomka su ekvivalentna ako, i samo ako,

a d c b . Ova operacija se često naziva ,,unakrsnim

množenjem imeniocima”.

PRIMERI

1. 2 12 4 1 7 8 7

7 4

x y x y x y

2. 3 45 3 4 5 3 4

5 5

x x y x y

y




3. 3 43 ( 5) 4 8 15 32

8 5 z y z y

y z

Još uvek nismo ograničili brojeve u brojiocu ili imeniocu u smislunjihove veličine. Svi sledeći izrazi su stoga u skladu sa definicijomrazlomka:

1 5 1.2 11 3.5 7 1.8 2; ; ; ; ; ; ;

4 8 3.7 3 2.8 10 3 0.7

Ustvari, razlike meĎu gore navedenim razlomcima su veoma male. Izrazi

1 5 7; ;

4 8 10

precizno odgovaraju definiciji.

Izrazi

1.2 1.8;

3.7 3

mogu se proširi sa 10 i postati:12 18 3

;37 30 5

Kod sledeća tri izraza brojioci su veći od imenioca:

11 3.5 2; ;

3 2.8 0.7

Nakon proširivanja poslednja dva sa 10 izrazi postaju:11 35 5 20 20

; ;3 28 4 7 7

U poreĎenju sa prethodnim razlomcima, ovde je brojilac veći odimenioca. Takvi razlomci se zovu mešoviti razlomci.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 33

PRAVI I MEŠOVITI RAZLOMCI

Razlomak se naziva pravim razlomkom ako je brojilac manji od

imenioca. To u formalnom izrazu znači:a

bje pravi razlomak ako je a < b

Ako je a b razlomak se naziva mešovitim.

Ponekad je neophodno ili poţ eljno razdvojiti ceo broj i ostatak, što jeonda pravi razlomak.

R AZDVAJANJE MEŠOVITOG RAZLOMKA

Mešoviti razlomak se uvek moţ e podeliti na ceo broj i pravi razlomakdeljenjem:

a ci

b b gde je a > b i c < b

Mešoviti razlomci se generalno pišu bez +-znaka izmeĎu: 2 27 7

3 3

PRIMERI

Nakon deljenja brojioca imeniocem dobijamo:

1. 23

11 23 3

3 3

2. 14

5 11 1

4 4

3. 67

20 62 2

7 7




DECIMALE

Naš brojevni sistem je zasnovan na takozvanom decimalnom sistemu, tj. broju deset kao svojom bazom. Ovo je verovatno iz razloga što su naši preci koristili svojih 10 prstiju kao pomoć pri brojanju, i na taj način počeli da računaju na osnovu jednostavnih mnoţ ioca od 10 i njihovih potencijala:

247 2 100 4 10 7 1

Poslednja pozicija u broju je uvek mnoţ ilac od 01 10 , sledeći je

mnoţ ilac od 110 10 , zatim 2100 10 , itd. Potencijal broja 10 i njegovihmnoţ ioca uvećava se prelaskom sa jedne pozicije na sledeću za 1.

Ako krenemo drugim smerom od 01 10 , smanjujemo potencijal za

jedan, što rezultuje mnoţ iocima od 110 , zatim 210 , i tako dalje.Mnoţ ioci faktora od 10 sa negativnim izloţ iocima odvojeni su odnenegativnih decimalnim zarezima:

2 4 7 200 40 7 2470.247

10 100 1000 1000 1000 1000 1000

Ovi brojevi se nazivaju decimalama. Prema anglosaksonskom načinuobeleţ avanja pišu se decimalnom tačkom, dok se u Nemačkoj koristizarez.

Decimalno obeleţ avanje je ponekad značajno iz razloga što se razlomcimogu izbeći. Formalno, svaki razlomak se moţ e preslikati u decimalni broj tako što ćemo brojilac podeliti imeniocem primenom praviladeljenja:

10.25

4ili

10.125

8

U oba gore pomenuta slučaja deljenje je bez ostatka. Redosled decimalanakon decimalnog zareza je stoga konačan.

Iz iskustva znamo da ovo nije uvek slučaj. Na primer, deljenjem sledećihrazlomaka dobijamo:

1 0.3333

ili 4 0.36363611

ili 53 2.038461538461526



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 35

U prva dva primera nakon nekoliko koraka shvatamo da se niz decimala ponavlja. Često se koristi crta iznad decimala koje se ponavljaju i takvedecimale se nazivaju periodiĉnim decimalnim brojevima. Treći broj,meĎutim, pokazuje da periodi ne moraju uvek da počnu odmah nakondecimalnog zareza, i da mogu biti relativno dugi, ponekad čak i mnogoduţ i nego u gore pomenutim primerima.

Brojevi u kojima se decimale ili završavaju ili proširuju periodičnim ponavljanjima nazivaju se racionalnim brojevima. Oni se uvek mogu predstaviti pravim razlomkom.

Postoje takoĎe, meĎutim, decimale sa beskonačnim neperiodičnim nizom

brojeva. Nazivaju se iracionalnim brojevima (pogledati odeljak 2.1.1;strana 14), od kojih je najpoznatija prirodna konstanta :

3.141592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884197169 399...

Drugi nama dobro poznati takvi brojevi su:

2 1.41421356237...

2.718 281828 459 045 235 360 287 471352 662 497 757 247 093...e

Ovi brojevi se ne mogu predstaviti niti razlomkom niti periodičnomdecimalom.


Sabiranje i oduzimanje razlomaka

1 1 2

2 3 5 i

4 1 3

5 3 2

1 4

32 2

i 4 4 4

2 1 2 1

Mnoţ enje i deljenje razlomaka

1 5

53 15

i 6 3

24 2

1 2 3

3 7 10




VEŢBA 2.1.2: R AZLOMCI I DECIMALE



1. Proširiti razlomke datim faktorima:

a) 23

sa 4 b) 57

sa –3 c) 29

sa –4

d) 146

sa 0.5

2. Proširiti razlomke tako da brojilac ili imenilac, pomenutimredosledom, bude jednak prikazanoj vrednosti:

a)1

4 imenilac 16 b)

2

7 imenilac 21

c) 27

brojilac 12 d) 23

imenilac 27

e) 78

brojilac 56

3. Skratiti razlomke koliko god je to moguće:

a)35

55 b)8

28 c)18

30 d)15

77

e)12

72f)

36

48g)

64

16h)

88

16

i)42

14j)

105

231



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 37

4. Zameniti upitnik tačnim brojem:

a)3 ?

4 16 b)2 ?

7 56 c)5 105

7 ?

d)3 21

7 ?e)

21 105

2 ?f)

4 ?

7 77

5. Izračunati:

a)1 2

3 7

b)1 7

2 4

c)2 6

3 5

d)3 1

8 2

e)3 2

4 9f)

1 42

2 5 g)

1 11 2

3 2h)

35

4

i)5 7

27 5

j)3 7 5

5 6 9

6. Podeliti:

a)2 4

3 7b)

1 1

2 3c)

3 6

8 5d)

1 61

3 5

e)4

27

f)2

35

g)21 7

15 5

h)3 1

2 17 7

i)1 2 4

7 7 3 j)

5 2 7

2 7 5

7. Pronaći najmanji zajednički imenilac za sledeće razlomke:

a) 210

i 315

b) 214

i 421

c) 512

i 227

d) 316

i 520

e) 38

i 4 f) 13

2 i 14

1

g)7

151 i12

25 h)32

3 4, i1

5 i)31

3 4, i1

6 j) 7 1

6 3,3 i 7

30




8. Sabrati, odnosno oduzeti:

a)1 1

+2 3

b)2 5

+3 6

c)2 1

7 14

d)3 2

5 35e)

1 14 1

5 45f)

8 3

11 7

g)2 1 1

3 4 6 h)

7 3 4

2 7 5i)

7 12

3 7

j)4 5 3

15 21 14

9. Promeniti razlomke u decimalne zapise (koristiti digitron po potrebi):

a) 4

7b)

6

11c)

16

6d)

43

16

e)87

29

f)37

9

g)23.7

6.3

h)121

11



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 39

R EŠENJA 2.1.2: R AZLOMCI I DECIMALE

1. a) 812 b) 15

21 c) 836 d) 7

3

2. a)4

16b)

6

21c)

12

42d)

18

27e)

56

64

3. a)7

11b)

2

7c)

3

5d)

15

77e)

1

6

f)3

4g) 4 h)

11

2i) 3 j)

5

11

4. a) 12

16b) 16

56c) 105

147d) 21

49

e)105

10f)

44

77

5. a)2

21b)

7

8c)

4

5d)

3

16e)

1

6

f) 2 g)10

3h)

15

4i)

17

7j)

7

18

6. a)7

6b)

3

2c)

5

16d)

10

9e)

2

7

f)15

2

g) 1 h)17

8

i)3

8

j)25

4




7. a) 30 b) 42 c) 108 d) 80 e) 8

f) 12 g) 75 h) 60 i) 12 j) 30

8. a)5

6b)

11

2c)

3

14d)

19

35 e) 8

453

f)23

77g)

3

4h) 19

702 i)

10

21j)

17

70

9. a) 0,5714 b) -0,5455 c) 2,6667 d) 2,6875

e) 3 f) 4,1111 g) -3,7619 h) 11



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 41

2.1.3 Procenti

Davno pre nego što su razlomci počeli da se šire koriste, trgovci sumorali da poznaju delove novčanih jedinica zbog toga što su ţ eleli daznaju koliki iznos će im ostati u dţ epu. Deo koji su računali kao svojumarţ u zvali su ,,per centum” (latinski: po stotini). Mi danas koristimoizraz ,,procenat”, u značenju ,,posto”. Procenat je stopa po stotini ili udeou sto delova. To je deo u smislu svog kvantitativnog odnosa prema celini.To u bukvalnom prevodu znači ,,podeljeno sa 100”, i procenti imaju poseban znak ,,%”.

Mi, bankari, takoĎe puno radimo sa procentima. Kamatne stope, stoperasta ili stope prihoda navode se u procentima. Procente koristimo za poreĎenje različitih količina.

Da bismo izračunali procenat, uvek se prema njemu odnosimo kao premacelini, tj. prema 100%. Ukoliko ţ elimo da znamo procenat ţ ena imuškaraca u našoj grupi navodimo ukupan broj polaznika u grupi kao100%. Broj ţ ena u odnosu na celinu daje nam procenat ţ ena koje su polaznice. Da bismo napravili ovaj odnos jednostavno podelimo brojţ ena ukupnim brojem i ponovo pomnoţ imo rezultat sa 100 da bismodobili procenat.

PRIMER

Ukupan broj zaposlenih u ekspozituri ProCredit banke je 20. Imamo12 ţ ena i 8 muškaraca. Ukupan broj 20 izraţ en je kao 100%. Da bismo izračunali udeo ţ ena delimo broj 12 sa 20 i dobijamo 0,6. Ovoznači da je broj ţ ena u odnosu na ukupan broj zaposlenih 0,6 prema 1.S obzirom da je procenat udeo izraţ en u delovima od sto mnoţimo 0,6sa 100 i dobijamo 60%.

Broj Odnos Procenat

Ukupno 20 celina 100%

Ţene 12 0,6 : 1 1220

100% 0.6 100% 60%

Muškarci 8 0,4 : 1 820

100% 0.4 100% 40%




PROCENAT OD OSNOVE

Procenat je udeo u delovima od jedne stotine u smislu svog

kvantitativnog odnosa prema osnovi. Da bismo izračunali procenat p odkoličine x prema osnovi b, delimo x sa osnovom b i rezultat mnoţimo sa100:

% 100% x

b

Ako nam je već poznat procenat p od osnove b i ţ elimo da izračunamoodgovarajuću količinu x, delimo p sa 100 i mnoţ imo osnovom b:

100

pb

Kada stavljamo u odnos dve vrednosti moţ emo da se izrazimo na višerazličitih načina. Kaţ emo, na primer, ,,skoro polovina”, ,,skoro duplo”,,,samo 10%”, ,,tačno jedna trećina”, ,,110% od planiranog rezultata” ili,,oko 25%”. Procente naročito koristimo kada ţ elimo da izrazimo udeo ili

kada vršimo procenu. Ali šta zapravo 25%, 50%, 66% ili 150% znači?Hajde da pogledamo sledeću tabelu.

Odnos Procenat Primer

ukupno, celina 100% 60

Manje od celine

jedna polovina 50% 30 jedna trećina 33,3% 20

jedna četvrtina 25% 15

dve trećine 66,6% 40

tri četvrtine 75% 45

jedna petina 20% 12



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 43

Odnos Procenat Primer

deseti deo 10% 6

dvadeseti deo 5% 3stoti deo 1% 0,6

hiljaditi deo 0,1% 0,06

Više od celine

duplo 200% 120

trostruko 300% 180

četvorostruko 400% 240desetostruko 1000% 600

jedan i po put 150% 90

dva i po puta 250% 150

Tabela 2.2: Procenti

PRIMERI 1. Udeo zaposlenih: Koliko je 50% od 660?

50 660660 330

100 2

Rizični portfolio:

2. Koliko je 745,867 USD izraţ eno kao procenat od 24,563,654

USD?$ 745867

100% 3.04%$ 24563654

3. Koliko je 1,7% od 124,543,324 €?

1.7124,543,324 € 2,117,236.51 €

100




Stope rasta:

4. Imate 1456 kredita u otplati i ţ elite porast od 4% u toku sledećeg

meseca. Koliko kredita očekujete na kraju meseca?104

1456 1.04 1456 1514100

5. Kolika je bila vaša stopa rasta prošle godine ukoliko ste počeli sa2,4 miliona USD i završili sa 3,1 milion USD?

PAŢNJA:

Iz razloga što smo počeli sa 2,4 miliona USD i zatim dostigli 3,1milion USD, osnova ili ekvivalent za 100% u ovom slučaju je 2,4miliona USD, a ne 3,1 milion USD.

(3.1 2.4) 0.7100% 100% 29%

2.4 2.4

6. Postizanje cilja: Sa koliko procenata ste dostigli svoj cilj od 543kredita ako ste isplatili 601 kredit?

PAŢNJA:

Ovde je celina ili 100% cilj od 543 kredita.

601100% 110.7%

543 Postigli ste cilj sa 110,7%, odnosno premašili ste svoj cilj za10,7%.

Procenti takoĎe imaju ulogu u prodajnim popustima, rabatima, iodbicima. U tim slučajevima bruto cena se umanjuje za odreĎeni procenat.

U drugim slučajevima, cena se takoĎemoţ e povećati, na primer u slučaju povećanja kamatne stope za kredit, cena se moţ e povećati usled povećanja troškova (npr. cene benzina) ili povećanja poreza (npr. PDV).

S obzirom da procenat uvek znači ,,deo neke celine”, moramo da budemoobazrivi kada definišemo celinu (= sto posto = 100%). Mi ćemo je zvati

baza. Baza u gore datoj tabeli je u svakom slučaju iznosila 60.



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 45

Svakako, prvo moţ emo izračunati udeo p% kao procenat od baze b idodati (ili oduzeti) rezultat r na bazu (od baze):

%b p r b r Ipak, takoĎe moţ emo obe radnje obaviti u okviru jedne:

100% (1 %) (1 )

pb b p b p b

odnosno pomnoţ iti bazu sa rastućim (opadajućim) faktorom:

1001 % 1

p p

POVEĆANJE (SMANJENJE) BAZE

Po pravilu, povećanje (smanjenje) baze b za procenat100

%p znači:

% (1 %)b b p b p b f gde je 1 % p rastući (opadajući)faktor.

Ovu računicu zovemo ,,procenat baze”, što zatim ili saberemo sa bazomili oduzmemo od baze.

PRIMERI

1. Bazna cena jedinice pre oporezivanja iznosi 50 EUR, i na nju semora dodati PDV od 19%. Kolika će biti stvarna prodajna cena?

50 (1 0.19) 50 1.19 59.50 EUR

2. Stanje depozita na računu iznosi 127 EUR. Na taj iznos treba dadodate kamatu od 5%. Koliko će biti stanje na računu nakonkapitalizacije kamate?

127 (1 5%) 127 (1 0.05) 127 1.05 133.35 EUR




3. Ukoliko platite u gotovini za odreĎenu jedinicu dobijate popust od7%, čime se cena smanjuje na 247 EUR. Koliki iznos treba da

platite?

247 (1 7 %) 247 (1 0.07) 247 0.93 229.71 EUR

Postoji veoma suptilna, ali vaţ na razlika izmeĎu procenta baze b i procenta u bazi.

U primerima koje smo imali do sada, baza je bila data i računali smouvećan (umanjen) konačni rezultat. Koristili smo procenat baze daizračunamo proširenu (odbijenu) vrednost.

Kada govorimo o procentu u bazi, vršimo inverziju ovog proračuna: počinjemo od konačnog rezultata (uz već uključen procenat) i pokušavamo da odredimo koliko je iznosila baza. Proračuni ovog tipamoraju redovno da se vrše u poslovanju kada je neophodno prikazati nesamo konačnu cenu već i neto cenu (ne uključujući porez) ili – što jezapravo ista stvar – porez je potrebno prikazati zasebno na fakturi.

Pretpostavimo da kupujete laptop za svoju kompaniju čija je cena 900

EUR (uključujući porez). Imate pravo na odbitak PDV-a; iz tog razloga porez mora da bude prikazan na fakturi. Koliko iznosi porez (PDV =19%) i kolika je neto cena?

U ovom slučaju, bruto cena je data i mi ţ elimo da ustanovimo kolika je baza:

900 (1 %) (1 0.19)b p b b f

→

900 900756.30 EUR

1.19b

f

Porez (tax = t) 900 756.30 143.70t , što se moţ e izračunati i na ovajnačin:

756.30 0.19 143.70b f EUR

PROCENAT U BAZI



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 47

Da bismo izračunali bazu b od konačnog rezultata r (procentni udeo p jeuključen) potrebno je podeliti rezultat rastućim faktorom:

(1 %)r r b p f

Računica je potpuno ista ako znate konačnu cenu (umanjenu za p%) jedinice i interesuje vas prethodna cena bez smanjenja.

PRIMERI

1. Pretpostavimo da je smanjenje iznosilo 15%, čime je cenasmanjena na 32,98 EUR. Kolika je bila prvobitna cena o ?

32.9838.80

1 % 0.85o

r r

p f EUR

2. Kupujete auto za 3000 EUR. Koliki iznos PDV-a (19%) jeuključen?

30002521.001.19b

Ovo je, meĎutim, bazna cena pre oporezivanja. Iznos PDV-a jerazlika:

3000 2521 479 2521 0.19b t EUR

Sada razumemo vaţ nost baze. To je još uočljivije kada pogledamo

sledeća dva primera.

PRIMERI

1. PDV je pre dve godine u Nemačkoj povećan sa 16% na 19%.Cena friţ idera je bila 500 EUR pre porasta prodajne cene. Kolika je bila cena nakon povećanja?

Pretpostavka je da je cena povećana za 3%, tako da bi nova cena

bila:

500 500 3% 515 EUR




Ovo, meĎutim, nije tačno, zato što smo nenamerno izmenili bazu.

Hajde da napravimo računicu iz dva koraka.

Korak 1: Neto cena (bez PDV-a) bi bila:

500431.03

1.16n EUR

Korak 2: PDV od 19% uvećava bruto cenu na:

431.03 (1 0.19) 512.93 EUR

Obratite paţ nju da je cena znatno manja od iznosa koji smo isprva

dobili.2. Par cipela čija originalna cena iznosi 100 EUR u ponudi je uz

smanjenje od 20%. Kao deo ove specijalne ponude, dobijatedodatni popust od 5%. Koliko treba da platite?

Prva reakcija bi mogla da nas navede da saberemo 20% i 5%, tj.dobijemo 25% popusta i platimo 75 EUR.

Mi smo, meĎutim, ponovo promenili bazu i na taj način došli do

netačne cene.Korak 1: Smanjenje cene:

100 100 20% 100 (1 0.2) 100 0.8 80 EUR

Korak 2: Specijalna ponuda:

80 (1 0.05) 80 0.95 76 EUR

Dakle, u ovom slučaju tačna cena je nešto viša od ishitrene

pretpostavke.

VIŠESTRUKI PROCENTI

Ukoliko uzastopno računate sloţ ene procente treba da množite rastuće(opadajuće) faktore. Ukoliko je prvo došlo do promene (1 %) p i zatimdo promene (1 %)q onda ukupna promena glasi:

(1 %) (1 %) p q



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 49

,,Promena” označava povećanje ili smanjenje, u zavisnosti od znaka.,,Mnoţ enje” se mora zameniti ,,deljenjem”, u zavisnosti od baze.

PRIMERI

U prethodnim primerima ukupne promene su sledeće:

1. Ukupan faktor promene je bio:

1 19% 1.191.0259

1 16% 1.16t

Nova cena je stoga stara cena puta ukupan rastući faktor:

500 500 1.0259 512.93 EUR t

2. Ukupno smanjenje je:

(1 0.2) (1 0.05) 0.8 0.95 0.76r

Konačna cena je dakle:

100 0.76 76 s EUR


Imajte na umu da se udeo izraţ en u procentima mnoţ i sa 100:

10 od 100 nije 0,1%

25 od 50 nije 0,5%

Budite oprezni prilikom odreĎivanjadecimalnih mesta

10 od 100 nije 1%

25 od 50 nije 5%

10 od 1000 nije 10%

2 od 20 nije 1%




VEŢBA 2.1.3: PROCENTI



1. Izračunati udeo u procentima i dati primer realne situacije u kojojse ovaj odnos moţ e posmatrati:

a) 15 od 200

b) 30 od 50

c) 17 od 800

d) 120,304 od 4,587,346

e) 1,345 od 1,230

f) 17 od 35

g) 2,017 od 2,100

2. Izračunati iznos koji odgovara datim procentima:

a) 22% od 1,800

b) 2,7% od 3,056,974 USD

c) 75% od 700

d) 0,5% od 999

e) 1,7% od 23 miliona USD

f) 30% od 135 miliona EUR

g) 107% od 10,800

3. Izračunati nove cene ako su stare cene promenjene sledećim procentima:

a) 34 EUR je povećano za 7%



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 51

b) 34 EUR je smanjeno za 5%

c) 97 EUR je povećano za 8% i zatim za 2%

d) 1,42 EUR je povećano za 5% i zatim smanjeno za 7%

4. Nakon povećanja (smanjenja) cene, cena odreĎene robe je povećana (smanjena) na date iznose. Izračunati procente povećanja (smanjenja):

a) 46 EUR 42,40 EUR

b) 1,42 EUR 1,47 EUR c) 12,98 EUR 12.36 EUR

d) 144,20 EUR 142,80 EUR

5. Koliko iznosi ukupno procentno povećanje (smanjenje) kada jedata cena od …

a)

57 EUR sniţ ena za 7% i zatim povećana za 2%? b) 65 EUR povećana za 7% i zatim povećana za 5%?

c) 37,50 EUR tri puta povećana za 3%?

d) 22,10 EUR sniţ ena za 4%, zatim povećana za 8%, zatimsniţ ena za 4%?

6. U svakom od sledećih slučajeva, cena je promenjena nekoliko puta do konačne cene. Kolika je bila prvobitna cena?

a) Cena je povećana za 6% i sniţ ena za 3%, što je dovelo docene od 44,30 EUR.

b) Sniţ ena je dva puta za 4% i zatim povećana za 6% , što jedovelo do cene od 23,56 EUR.

c) Cena jedne litre benzina je promenjena tokom prošle nedeljena sledeći način: + 3%, +5%, +6%, zatim -4%. Sada košta:

1,47 EUR. Kolika je bila cena pre nedelju dana?




R EŠENJA 2.1.3: PROCENTI

1.

a) 7,5% Primer: broj banaka u zemlji koje nude mikrokredite.

b) 60% Primer: broj učesnica u radionici.

c) 2,13% Primer : broj duţ nika u ekspozituri koji su u kašnjenju

sa otplatom.

d) 2,62% Primer: broj ljudi starijih od 80 godina u odnosu na

ukupnu populaciju jedne manje zemlje.d) 109,35% Primer: broj studenata koji su upisali fakultet

nakon proširenja univerzitetske infrastrukture u

odnosu na nivo upisa pre proširenja.

f) 48,57% Primer: procenat aerodroma u zemlji kojima se

sluţ e meĎunarodne avio kompanije.

g) 96,05% Primer: prosečan mesečni broj prenoćišta u jednomhotelu.

2. a) 396 b) 82,538.23 USD c) 525

d) 4.995 e) 391,000 USD

f) 40,5 miliona EUR g) 11,556

3. a) 36,38 EUR b) 32,30 EUR

c) 106,86 EUR d) 1,39 EUR

4. a) 7,83% b) 3,52% c) 4,78%

d) 0,971%



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 53

4. a) 5,14% sniţ enje b) 12,35% povećanje

c) 9,27% povećanje d) 0,47% sniţ enje

5. a) 43,09 EUR b) 24,12 EUR

c) 1,34 EUR




2.1.4 Test napretka za ,,Brojeve”

Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradiliovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovajudţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnuinformaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili.

Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedenona konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela iligrafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete danastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vašerešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite naodgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladalitematiku poglavlja.

1. Dati primere za:

a) Cele brojeve:

b) Racionalne brojeve:

c)

Iracionalne brojeve:d) Realne brojeve:

2. Očistiti zagrade i izračunati:

a) 2 2 6 7 3 8 ( 3) 2 2 4 5 3

b) (4 7) 3 4 5 3 4 3 2 4

3. Izračunati sledeće iskaze i rezultat predstaviti kao razlomak idecimalu:

a) 3 5 5 14 3 12 6

b)62 2

7 5 56 27 7

4 3

22

c)

2 1 4

3 2 33 32 4

4

4 2



2 . 1 B r o j e v i S t r a n a | 55

4. Skratiti razlomke:

a) 2 5 3 3 7 11

5 7 3 11

b) 32200

26600

5. Pronaći najmanji zajednički imenilac:

a) 23

i 38

i 47

i 516

i 114

:

b) 13

2 3 7 11 i

16

3 21 7 5:

6. Odlučiti da li su iskazi pozitivni ili negativni:

a) 1 2 1 112 3 2 3

3 34 17 5 8 5

2 3 5

1

b) 7 20

23 63

7. Cena benzina se brzo menja. Prošlog meseca smo zabeleţ ili pet promena:

i. Povećanje od 6%,

ii. Povećanje od 4%,

iii. Smanjenje od 6%,

iv. Povećanje od 8%,

v. Smanjenje od 5%.

Kolika je bila cena pre mesec dana ako cena danas iznosi 1,23EUR za jedan litar?




8. 1. januara 2007. godine nominalna kamatna stopa u ProCredit banci bila je 14% na godišnjem nivou. Vaše stanje na računu je uto vreme bilo 357,43 EUR. Četiri meseca kasnije kamatna stopa je povećana na 18%. Još tri meseca kasnije smanjena je za 10%.

Kamata je jednostavna kamata, tj. sva kamata se dodaje na računna kraju godine.

a) Koliko je bilo stanje na računu 1. januara 2008. god.?

b) Kolika je bila kamatna stopa na ovom računu 2008. god.?

Napomena: Pre računanja uzmite u obzir razliku izmeĎu ,,…na

18%” i ,,…za 10%”



2 . 2 E k s p o n e n t i S t r a n a | 57

2.2 Eksponenti

Preduslovi: Potrebno je da poznajete brojeve i operacijeobraĎene u nastavnoj jedinici 2.1.

Ciljevi uĉenja: Eksponenti se uvek javljaju kod brojeva i promenljivih u slučaju kada broj mnoţ imo istim brojem. Prvo se uvodi (kratak) oblik obeleţ avanja,što se pokazalo korisnim. Dakle, potreba za

proširenjem koncepta eksponenata na racionalne brojeve se gotovo prirodno javlja. To se moţ e protumačiti kao suprotnost eksponentima celih brojeva, što je razlog zbog čega su takozvani koreniuvedeni u matematiku kao ekvivalentan pojam.

2. Basic Algebra

2.1 Numbers

Numbers &Operations

Fractions &Decimals

Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents

FractionalExponents

Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions





S obzirom da je ova operacija osnovni korak prilikom računanja kapitalne dobiti od kamata,računanje pomoću eksponenata smatra se osnovomfinansijske matematike.

U školi u ranom uzrastu učimo da koristimo naš brojevni sistem.Intuitivno počinjemo decimalnim sistemom, o kome smo govorili u prethodnom odeljku. Naziva se decimalnim sistemom zbog toga što jezasnovan na potencijalu broja 10. Broj 10 je verovatno izabran kao bazazbog toga što imamo 10 prstiju koje su ljudi gotovo sigurno koristili kao

prvi instrument za brojanje i računanje. Naše šake su, takoreći, prvaračunaljka ili moţ da čak prvi digitron.

Pogledajmo još jednom naš brojevni sistem. Gotovo bez razmišljanjamoţ emo videti broj 2860 kao:

2 1000 8 100 6 10 0 1 2 10 10 10 8 10 10 6 10 0 1

Drugim rečima, iz razloga što svaki broj pišemo na odreĎenom mestu da bismo označili sadrţ atelj od 10, bazu našeg numeričkog sistema, i iznad

svega, zato što su se svi sloţ ili da to bude naša praksa, moţ emo da seoslobodimo detaljnog i komplikovanog gore navedenog niza i skratimoga na 2860. Preduslov za ovo je da postoji dovoljan broj simbola kako bise premostio jaz izmeĎu bilo koja dva sadrţ atelja baze. Decimalni sistemiziskuje tačno deset simbola za ovu svrhu, tj. deset brojeva koje poznajemo:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Svaki drugi broj bi se onda mogao predstaviti pomoću sadrţ atelja baze.

Danas moţ emo da diskutujemo o tome da li bismo razvili drugačiji brojevni sistem da ljudi nemaju 10 već samo 8, ili čak 16 prstiju.

U sistemu zapisa brojeva sa bazom 8 ili oktalnom brojevnom sistemu potrebno je samo 8 simbola, tj. moţ emo da se snaĎemo sa samo sledećim brojevima:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

U sistemu zapisa brojeva sa bazom 16, koja je takoĎe poznata podimenom heksadecimalni brojevni sistem, proizlazi da nam je potrebno 16simbola. Kako se ovaj sistem zapravo koristi u odreĎenim IT oblastima,




dogovoreno je da se koriste brojevi od 0 do 9, plus prvih šest velikihštampanih slova engleske abecede:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, FDrugim rečima, u heksadecimalnom sistemu imamo slovo:

A = 10, B = 11, C = 12, itd.

Paţ nju smo u velikoj meri počeli da usmeravamo na različite brojevnesisteme pre svega zbog toga što su izumitelji računara shvatili da bi seračunski mehanizam u računaru mogao bazirati na samo dva stanja:,,tekuće” ili ,,nije tekuće”, ,magnetizovano” ili “nije magnetizovano”.

Celokupna logika računanja bi se stoga mogla izgraditi oko sistemazapisa brojeva sa bazom 2 ili binarnog brojevnog sistema, koji iziskujesamo dva simbola.

U binarnom sistemu, brojevi su sledeći:

0 i 1

Kako onda broj 2860 izgleda u različitim brojnim sistemima?

Decimala 2860 5 512 4 64 5 8 4 1 → 5454 oktalni

Decimala 2860 11 256 2 16 12 1 → B2C heksadecimalni

Decimala 2860 1 2048 1 512 1 256 1 32 1 8 1 4

→ 101100101100 binarni

Upravo kao u decimalnom sistemu koji nam je poznat, sadrţ atelji baznih brojeva se mnoţ e odgovarajućim faktorima i potom zajedno sabiraju.RasporeĎivanjem faktora tako da tačno odgovaraju sadrţ ateljima, brojeve je moguće napisati u dosta kraćem obliku nego da pišemo celu sumu.

Osnovna ideja je stoga da se predstavi sistematski odnos izmeĎusadrţ atelja i baze u odgovarajućem obliku. U tom cilju, francuskimatematičar i filozof Rene Dekart (1595. – 1650.; u čast Dekarta pravougaoni koordinatni sistem se takoĎe naziva ,,Dekartov koordinatnisistem”) uveo je vrstu kraćeg načina izraţ avanja gde se sadrţ atelj baze piše kao superindeks i naziva ,,eksponentom” (ili ponekad takoĎe,,indeksom”).

Odgovarajuće obeleţ je se takoĎe naziva eksponencijalnim obeleţ jem. Njegovim uvoĎenjem naš zadatak je da prebacimo poznata pravilaalgebarskog računanja tako da ne prouzrokujemo kontradikcija. Zbog




toga ćemo se u nastavku baviti pravilima računanja koja se primenjujukada formule ili iskazi sadrţ e indekse.

2.2.1 Celobrojni eksponenti

Ako nekoliko puta pomnoţ ite jedan broj tim istim brojem moţ ete danapišete:

54 4 4 4 4 4 ili ... x x (n puta) n x

Identičan faktor koji se ponavlja (4 ili x, kao što je gore navedeno) nazivase baza ili osnova, a broj ponavljanja (5 ili n) naziva se eksponent ili izloţilac. Čita se ,,4 na 5." ili ,, x na n". Baza moţ e biti bilo koji realan broj, a eksponent je u ovom poglavlju ograničen na cele brojeve.

DEFINICIJA CELOBROJNIH EKSPONENATA

Za realni broj x i ceo broj n kaţ emo:...n x x x (n puta faktor x)

Broj x se zove baza; broj ponavljanja se zove eksponent . Sama operacijase takoĎezove ,, x na n”.

Kada je n = 0 i 0vaţi:

0 1

( 00 nije definisano; zove se neodreĎen iskaz.)

PRIMERI

1. 52 2 2 2 2 2 32

2. 03 1

3. 2

(1.5) 1.5 1.5 2.25 4. 0( 4) 1




Ovo znači da se broj stalno mnoţ i bazom. Operacija koja je suprotnamnoţ enju je deljenje. To znači da ako broj potencijala podelimo jednom,smanjujemo (oduzimamo) eksponent za 1. Dakle, deljenje koje se ponavlja moţ emo predstaviti negativnim eksponentima.

DEFINICIJA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA

Ako je eksponent negativan, broj 1 se stalno deli bazom; dobijamo:

1n

n

x

0 n nije definisano.

PRIMERI

1. 3

3

1 12 0.125

82

2. 3

3

1 1 1 1( 3)

( 3) ( 3) ( 3) 27 27( 3)

3. 22

1 1 1( 1.5)

( 1.5) ( 1.5) 2.25( 1.5)

UPOTREBA ZAGRADA

Da bismo proširili efekat eksponenta potrebno je koristiti zagrade:

( )n n na b a b




PRIMERI

1. 22 3 2 9 18

2. 2 2(2 3) 6 36

3. 22 3 4 3 12

R AĈUNANJE ISKAZA SA EKSPONENTIMA

Ako zagrade sadrţ e mešovite algebarske izraze sa mnoţ enjem(deljenjem) i sabiranjem (oduzimanjem) redosled računanja je:

1. Izračunati zagrade od iznutra ka spolja

2. Izračunati eksponente

3. Izračunati mnoţ enja (deljenja)

4. Izračunati sabiranja (oduzimanja)

PRIMER 2 3 2

(3 4 7) 4 2 3 4

Koraci 2(3 4 7) 34 2 23 4 Komentari

1 (3 4 7) 5 Očistiti zagrade

2 25 25 32 8 24 16 Eksponenti

3 4 8 32

3 16 48 Mnoţ enje

4 25 32 48 9 Ovo je rezultat.

Tabela 2.3: Računanje iskaza




Ovo je primer sa tri eksponenta:

32

3

2 ( 1) 1 4 100

Ne zaboravite da očistite zagrade od iznutra ka spolja!

Koraci3

232 ( 1) 1 4 100 Komentari

1 3( 1) 1 Unutrašnje zagrade

2 2 ( 1) 1 3 Mnoţ enje i oduzimanje

3 2[ 3] 9 Druga zagrada

4 {9 4} 5 Treća zagrada

5 35 125 Exponent

6 125 100 25 Rezultat nakon oduzimanja

Tabela 2.4: Uklanjanje zagrada

Pored gore pomenutih pravila koja se manje ili više odnose na osnovnialgebarski redosled računanja, postoje odreĎena svojstva celobrojniheksponenata koja je veoma korisno zapamtiti.




SVOJSTVA CELOBROJNIH EKSPONENATA

Neka x, y budu realni brojevi, a n, m budu celi brojevi.

m n m n x x

mm n

n

x x

x

nm m n x

( )m m m x y x y

m m

m

x x

y yza 0

PRIMERI

1. 3 4 3 4 7

2 2 2 2 2. 5 4 5 4 13 3 3 3 3

3. 3 3 3 3 04 4 4 4 1

Iz poslednjeg primera lako moţ emo zaključiti da pošto 3 34 4 1

3

3

14

4

izraz 34 mora biti inverzan element 34 i obrnuto.

4. 44 3

3

33 3

x x x

x

5. 5 25 2 3 4

3

2 1 1

2 24

x x x x

x

6. 3

2 2 3 6

3 3 3

7. 3 3m

m x




8. 2 3 2 33 3m

m m ma b a b

9. 5

5 ( 3) 5 3 23 2

1 x x x x x x

10. 1 1(2 )

2 x

x u poreĎenju sa 1 2

2 x x

!

SVOJSTVA NEGATIVNIH CELOBROJNIH EKSPONENATA

Neka x i y budu realni brojevi, a n i m budu celi brojevi.

1 1m m

m m x

x x za 0

1m m

m

x y

y x x

y

za , 0 y

1

1

m nm

n m

n

x y x

y x

y

za , 0 y

PRIMERI

1. 2

3 6 10

5 10 6

7 7 8

8 8 7

2. 43 2 2 2 6 4

6

4(2 ) 2

y x y x y

x

3. 3

2 6 6 6 6

2 3 6

( )

8 82 2

a a a b a b

b b

4. 8

8 ( 5) 35 37 7 7 7

4 44 4 x x x x x




5. 3 3 34 3 4 3 3

2 6

2 5 2 5 3

a a a aa a

a a a a

Sve formule imaju jednak efekat ako sume ili drugi iskazi čine bazu.

6. 33 2

2

( )( )

( )

a ba b a b

a b

7. 2 4 4 3

3 3 3 2

( 2) ( 1) ( 1) 1

3( 2)3( 2) ( 1) 3( 2)

x x x x

x x x x

8. 32 2 3

3

1 ( 1)

2 ( 2)

x x

x x


Svojstva celobrojnih eksponenata

2 2 2(3 2) 3 2 3 4 122 2 2

3 32 2

4 42 3 6

34 4 4 4

3 2 52 5 10

332 (2 ) 85 5 5

Negativni eksponenti

3 32 ( 2)

Negativna baza

2( 2) 4 3( 2) 8




VEŢBA 2.2.1: CELOBROJNI EKSPONENTI



1. Primeniti princip eksponenata na sledeće izraze:

a) 2 2 2 3 3 b) 3 3 34 4 4

c)(2 ) (2 ) (2 )

(2 )(3 ) (3 )

a a aa

b b

d) x y z x y

x y z e) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) (2 ) x x x x

f)1 1 2 1

2 (2)

2 2 1 2

g)2

2

17 17

17

2. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje negativnieksponenti:

a) 2 43 3 b) 3 32 3 c)5

3

4

4

d)2

( 4) e)5 5

a a f)2 2 3

(3 ) (3 )a a a

g) 2(2 ) x y h)

12 3

4 2

a b

a b i)

4

3

2

x

j)3

2 22 x y k)

32 3

3 2

a b

c d l)

16 8 14

12 4 3

2 2 2

2 2 2




m)4 3 6

3 3 2

3 2

(2 ) (3 )

x x

x x

n) 2 5

1

a b

o)

53 2

5 3

2

a b

a b

p)

34

2

x

xq)

2 3 2

4 3

( )

( )

a b

a b r) 0(4 ) x

s)

23

2

3

x

y t)

3

2

27

(3 )

x

x u)

4

2

8 10

2 10

v)0,0004

0,0000002w)

1

100x) 1.000.000

3. Pojednostaviti sledeće iskaze tako da ne postoje razlomci (primer:2

2 33

x x y

y):

a)2 3

5

(2 )

4

c

cb)

2 3

3 2

10

5

x y

x y c)

1

2

x

y

d)

23 2

4 2

a b

b a e)

23 2

1

2

2

x y

x y f)

2 3 2

2 3

( )

( )

x y

y x

g)

12

2

2 3a b

a bh)

22 1 3 2 2

2 2 2 3 236 (2 )

(3 ) 2 x y x y

x y x y




R EŠENJA 2.2.1: CELOBROJNI EKSPONENTI

1. a) 3 22 3 b)3

34

c)

2

22

3

a

b

d) y e) 3( 2 ) (2 ) x x f) 3 312

( ) (2) g) 517

2. a) 63 b) 36 c) 24

d)2

14

e) 1 f) 3 73 a

g)2

1

(2 ) x yh)

6

1

a b i)

43

2

x

j)

32

22

y

x k)

33

2

( )

( )

c b

a d l)

1

2

m)1

3 xn) 2 5a b o)

58

52

a

b

p) 6 q) 8 3a b r) 1

s)

6

32 y x

t) 53 xu) 64 10

v) 32 10 w) 210 x) 610

3. a) 2c b) 12 x y c) 1 2 y

d) 2 4a b e) 8 6 y f) 2 3 y

g) 2 10a b h) 5 22 x




2.2.2 Razlomaĉki eksponenti

U poslednjem odeljku smo naučili da radimo sa eksponentima kao celim brojevima. Pitanje sada glasi: ,,Postoji li smisao necelobrojniheksponenata, na primer racionalnih eksponenata?“

Koristili smo formulu:

( )m p m p x x

Ona nam daje rezultat kada se eksponencijalni iskaz m uzima kao potencijal p: Jednostavno mnoţ imo eksponent sa p.

Pod pretpostavkom da je eksponent racionalan, dobijamo:

1mn n

m

x

Ukoliko zamenimo n=m formula će postati:

1mm m

m

x x

Ako je m = 2 rezultat će biti:

12

2

x

K VADRATNI KOREN

Drugim rečima:12 je broj koji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo

ovim svojstvom je generalno poznat kao kvadratni koren x.

Ovaj rezultat bi nas mogao iznenaditi zbog toga što nam je obično poznatije drugačije predstavljanje kvadratnog korena. Naziva seradikalni oblik i poznat je kao:

12 x x




Oba oblika, radikalni oblik na levoj strani i eksponencijalni oblik, potpuno su ekvivalentna. Prvo ćemo govoriti o racionalnimeksponentima u okviru pojma eksponenta uopšteno, a zatim i oekvivalentnim radikalnim oblicima. Ograničićemo našu diskusiju nakoren realnih brojeva.

DEFINICIJA OSNOVNOG N-TOG KORENA

Za realne brojeve x, y i prirodan broj n neka:

n x

1n x naziva se osnovni n-ti koren x.

Zašto se ovaj rezultat naziva osnovni koren? Odgovor moţ emo dobitiako potraţ imo odgovor na jedno drugo pitanje: ,,Koliko postojikvadratnih korena od 4?“ To znači da traţ imo brojeve čiji kvadrat iznosi

4. Postoje zasigurno dva takva broja: 2 i −2.Postoje dva rešenja jednačine:

2 4 1/2 2

MeĎutim, ne postoji takvo (sa realnim brojevima) rešenje jednačine:

2 4

Postoji samo jedno rešenje za:

3 27 3

I takoĎe samo jedno rešenje za:

3 27 3

Četiri gore data primera mogu se generalizovati na sledeći način.




BROJ KORENA

Ako je n paran broj (tj. 2, 4, 6, …) postojaće dva n-ta korena pozitivnogrealnog broja x:

1n x

Ako je n paran broj, a x je negativan realan broj, realan koren ne postoji.

Ako je n neparan broj (tj. 3, 5, 7, …) postojaće jedan n-ti koren pozitivnog realnog broja x:

1

n x Ako je n neparan broj postojaće jedan n-ti koren negativnog realnog broja x:

1n x

PRIMERI

1. 21/216 4 x

2. 41/216 2 x

3. 3 125 5 x

4. 3 64 4 x

5. 3 64 4 x

6. 2

25 Ne postoji nijedno realno rešenje!7. 4 16 Ne postoji nijedno realno rešenje!

8. 5 32 2 x

Iritantno je što postoji nekada jedno, a nekada postoje dva rešenja tako

jednostavne jednačine kao što je n a . Dakle, matematičari sudefinisali neku vrstu glavnog rezultata. Zovu ga osnovni koren gore pomenute jednačine.







OSNOVNI KORENI

Definisanje

1n

osnovni n-ti koren znači da moţ e da postoji samo jedankoji je:

pozitivan koren kada je n paran broj, a x realan pozitivan broj

pozitivan koren kada je n neparan broj, a x realan pozitivan broj

negativan koren kada je n neparan broj, a x realan negativan broj

nula, kada je x = 0

PRIMERI

1. 122 16 16 4

2. 144 16 16 2

3. 133 125 125 5

4. 133 64 64 4

5. 133 64 64 4

6. 122 25 ( 25) does not exist!

7. 144 16 ( 16) does not exist!

8. 155 32 ( 32) 2

Kako se moţ e definisati simbol poput235 ? Ukoliko svojstva eksponenata

treba smatrati racionalnim eksponentima onda2 13 3

2

5 5 ; odnosno,235

mora predstavljati kvadrat trećeg korena od 5. Generalizacijom ovogsvog opaţ anja dolazimo do definicije opštih razlomačkih eksponenata.




PRAVILA RAĈUNANJA POMOĆU RAZLOMAĈKIH EKSPONENATA

Kada su m i n prirodni brojevi, a x realan broj (koji ne treba da bude

negativan čak ni za n):11mnn n

mm x x i

1

1

1 1 1 nmn

mn n

m

m x x x

PRIMERI

Pojednostaviti i dati rešenja koristeći samo pozitivne eksponente. Svaslova predstavljaju pozitivne realne brojeve.

1. 2 13 3

228 8 2 4 or

12 133 328 8 64 4

2. 5 13 3

55( 8) ( 8) ( 2) 32

3. 2 3 51 1 113 3 2 6 623 2 6 6 6 x x x x x

4. 13

1 1 1 3 2 11 12 3 3 62 2 6

4 4 4 4 4 x

x x x x x x





Svojstva racionalnih eksponenata

2 2 23

3

4 44

3 4

1416 4

13

3

1

x

1

3 38 8

1224 4 x x

Negativni racionalni eksponenti

1 13 34 ( 4)

13

3

14

4




VEŢBA 2.2.2: R AZLOMAĈKI EKSPONENTI



1. Izračunati, ako je moguće:

a)138 b)

13( 8) c)

138

d)16( 64) e)

1 12 264 36 f)

12

12

64

16

g)1 15 52 16 h)

523 68 64

2. Pojednostaviti iskaze pomoću eksponencijalnih svojstava:

a)124 b) 7 5(3 ) (2 )a a c) 5 5 x

d)1532 e)

7 23 51 2( )a b a b

f)3

5( 32) g)4 1

3 3 x x h)

45

15

x x

i)142 4( )a b j)

23

5

a

bk)

122 4

2 2

a b

a b

l) 2( )a b m)1

16

4

16 n)196(125 )




o)12 8

6 5

10 10

10 10p)

4 15 5

2 15 5

x x

x x

3. Promeniti redosled iskaza tako da se samo pozitivni eksponenti javljaju:

a)2 13 2a b b)

13

2

x c)

142

3

x

y

d)163 3(8 ) x y e)

122

4

4a

b f)

1 13 3

2

x y

g)

142

3

x

yh)

16

56

3 38 x y

x




R EŠENJA 2.2.2: R AZLOMAĈKI EKSPONENTI

1.

a)2

b)2

c)2

d)

1664 Nema rešenja e) 48 f) 2

g) 2 h) 72

2. a) 2 b) 26a c) 1 d) 2

e)8 63 5a b f) 1

8g) 1 h)

i)12a b j)

25

3

b

ak)

2

3

a

bl)

2

1

( )a b

m) 2 n) 25 o) 310 p)45

3. a)

23

12

a

bb)

23 c)

14

2 3

1

x y

d)

163

3

8 x

y e)

22

a

bf)

23 y

g)

143

2

y

xh)

16

136 3

8

x y




2.2.3 Radikali

Radikalne eksponente smo uveli pomoću sledeće definicije:1

2 je brojkoji, ako se kvadrira, postaje x. Broj sa upravo ovim svojstvom generalno je poznat kao kvadratni koren x. Obično nam je poznatiji termin

,,kvadratni koren” pomoću znaka (=operator) ili da budemo

precizniji: 2

Primer: 2 29 9 9 3 x

Oba načina pisanja kvadratnog korena – eksponencijalni oblik1

2 iradikalni oblik x – u potpunosti su ekvivalentni. Postoje situacije kada je zgodnije raditi sa radikalima nego eksponentima, ili obrnuto. U ovomodeljku ćemo videti kako su dva oblika meĎusobno povezana iistraţ ićemo neke osnovne operacije sa radikalima.

Diskusiju započinjemo definisanjem n-tog korena radikala.

DEFINICIJA N-TOG KORENA RADIKALA

Kada je n prirodan broj veći od 1, a x realan broj, za n x kaţ emo da jeosnovni n-ti koren od x ; odnosno:

1nn x x

U slučaju da je n = 2, 2. koren ili kvadratni koren obično se piše kao x

.

Simbol se naziva radikal, n se naziva indeks, a x se nazivaradikand ili potkorenik.

Imajte na umu da je kvadratni koren bez znaka uvek osnovni kvadratnikoren.




PRIMERI

1.

4 2 a ne 4 2 ! Nasuprot tome: Jednačina 2 4 ima dva rešenja 1/2 4 2

2. 133 8 8 2

3. 133 8 8 2

4. 9 ne postoji realno rešenje

5. 5

0 0 6. 3 125 5

7. 2 16 16 4

8. 4 416 16 2

9. 3 3125 125 5

10. 3 364 64 4

11. 3 364 64 4

12. 2 25 25 does not exist!

13. 4 416 16 does not exist!

14. 5 532 32 2

Kao što je rečeno, često je prednost kada moţ emo da se pomeramo nazadi napred izmeĎu racionalnih esponencijalnih oblika i radikalnih oblika.

Sledeći odnosi su veoma korisni u tom smislu.




R ACIONALNI EKSPONENT/RADIKALNE KONVERZIJE

Kada su m i n pozitivni celi brojevi (n > 1), a x realan broj – koji nijenegativan kada je n paran broj –

1mnn nm m x x

1mn n

m mn x x

1

1 1 1mn

mn n

n mm x x x

1

1 1 1mn

mn

n

m mn x x x

PRIMERI

1. 2 13 3

2 23 2 3 x x x

2. 23 3 2 38 8 64 4 isto tako:

2 13 3

2 2 238 8 8 2 4

3. 25

2

5

5 2

1 1a

aa

4. 14

14

4

1 1 116

21616

5. 23

2133

2 2 23

1 1 1 1 127

9327 2727

6. 230 0




Iako nije eksplicitno navedeno, koristili smo samo racionalne eksponente

manje od 1. To znači da su eksponenti bili takozvani pravi razlomci mn

gde je imenilac n veći od brojioca m. MeĎutim, u slučaju da je m > n uvek moţ emo razdvojiti racionalni eksponent na ceo broj i njegovrazlomački deo, tako da:

pmn q

r i

gde je i ceo broj i p<q

PRIMERI

1. 9 14 4

2r

2. 7 1 16 6 6

(1 ) 1r

3. 33 6 29 9 3

3 3r

Na osnovu ovog razdvajanja moţ emo da zaključimo:

R AZLOMAĈKI EKSPONENTI VEĆI OD 1

Kada su x, r realni brojevi i i, m, n, p, q prirodni brojevi gde je m>n i

p<q moţ emo da razdvojimo pmn q

r i i dobijemo:

p pmq qn

i qr i i p

x x x x x x ( )

( )

1 1 1 pmqn

p pq q

iir q qi p pi i

x x x

x x x x x x

PRIMERI

1. 7 1 1

3 3 3

22 2 3a a a a a a




2. 17 2 25 5 5

25

3 3

553 23

1 1 12 2 2 2

8 42 22 2

3. 12 4 1 19 3 3 31 1 33 3 3 3 3 3 3

SVOJSTVA RADIKALA

Kada je n prirodan broj veći od 1, a x, y realni pozitivni brojevi, vaţ esledeći identiteti:

1n

nn n x x x

To znači da su n-ti koren i potencijal n suprotne operacije.1 1 1

( )n n n nn n x y x y x y x y

11

1

nn

n

n x xn y y n

x x

y y

for 0

PRIMERI

Promeniti oblik racionalnog eksponenta u radikalni oblik:

1. 1

3 3

x 2. 1

7 7 7 72 5 2 5 2 572 2 2a b a b a b

3. 35

3 33 7 3 7 ( 3) 3 7 3 9 215 55 y x y x y x y

4. 2 12 313 43 4 4

3( 3) ( 3) 42 2 3u v u v u v u v




Promeniti radikalni oblik u oblik racionalnog eksponenta:

5. 1

333

3 32 2 2 2

3 x y x y x y x y

6. 277 277 77

7. 16 4 64 4 2 8

8. 1 8 6 34 4 4 28 6 8 6 24 x y x y x y x y

9. 2

3

3

32

3 2

125 125 5

x x x

10. 4 4 2

9 39

x x x

11. 5 4 2 5 4 23 3 316 4 16 4 x y x y x y x y

1 5 73 3 33 5 74 4 x y x y


Svojstva radikala

33 8 8

4 2 5 10 2




VEŢBA 2.2.3: R ADIKALI



1. Izračunati, ako je moguće:

a) 3 8 b) 3 8 c) 5 32

d) 5 32 e) 16 f) 64 36

g)64

16h) 5 52 16

2. Pojednostaviti radikalne oblike:

a) 2 4a x b)3 327 x c) 1253

8

d)5 23

1 53

27 x y

x ye)

4 42 28 2a a f)2

3

1

8

3.

Promeniti radikalne oblike bez pojednostavljivanja.

a) 23m b)

253(2 ) xy c) d)

4. Promeniti oblik racionalnog eksponenta bez pojednostavljivanja.

a) b) c)

d) e) f)

g)

13( ) x y

1 13 3 y

3 x3 53 x

3 53m n

6 3 7

5a b

2 2

x y3

x y

32 32a b c




5. Napisati u pojednostavljenom obliku pomoću radikalnog oblikaili oblika racionalnog eksponenta.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i) j) k)

l)

6. Izmeniti izraz tako da postoje samo pozitivni eksponenti.

a) b) c)

d) e) f)

7. Izračunati pomoću digitrona.

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

i)

5 53 217 17 2 43 ( ) x y

2

3 6 x

x

x218

8

x y

x

225

5

a

a

424 a a b 2 8 x x y

7 45 (2 ) (2 )m n3 3a b

23

4

a

b

a b

a b

2 13 3a b

13

2

x

142

3

x

y

122

2

4a

b

163 3(8 ) x y

12

13

2

2

a x

b y

3 63

424 4.6

4107

10

0.2516 13 2.001

382 3.2(2.6)

29(0.0000000024)




j) k) l)

m) n) o)

0.00017584 7 612198138460000000

535357 33 2

1 1

5 43 10 8




R EŠENJA 2.2.3: R ADIKALI

1.

a)2

b)2

c)2

d) 2 e) Nema rešenja f) 48

g) 2 h) 2

2. a) b) 3 x c)

d) e) 2a f)

3. a) b) c)

d) 3 3 x y

4. a)13 b) c)

d) e) f)

g)

5. a) 17 b) c) 6

d)14 e) f)

g) h) i)

j) k) l)

2a x 5

2

23 x

y 14

3 2m 2

35 2 x y3 x y

533 x

533m n

163 75a b

122 2 y

13 y

131

2 3 22a b c

138 4( ) x y

123

2x y

125a

12 ( )a a b

124 x y

1511 7 4(2 )m n

1 1

3 2a b

132

4

a

b

12a b




6. a) b)

2

3 c)

d) e) f)

7. a) 1.8171 b) 1.6818 c) 1.4645

d) 0.8670 e) 2 f) 1.0548

g) 0.771 h)1

21.2772i) 82.3206

j) 0.013260 k) 9.323 l) 45.642 10

m) 35.7895 10 n) 2.064 o) 1.2965

132a

b

14

2 3

1

x y

2

a b

163

3

8 x

y

13

12

2 2 x b y

a




2.2.4 Test napretka za ,,Eksponente”



1. a) 32 b) 3( 2) c) d) 3( 2)

2. a) b) c)

d)

3. a) b) c) d)

4. a) b) c)

32

3 2 5 x x

3 3

2 3 x y x y

2 5

2 28 24 16

3 2

5 3

x x x

y y

1481

13( 125)

1229 x

126.25

34

32

x x

5132

651.5

2 4

8 16

3 2323 2

2 3

3 3 3 6

6 3




5. a) b)

c)

6. a)

2

73 b)1

34 c)4

5 x d)

3

422 y

7. a) b) c)

d)

8. a) b) c)

d)

4 15 3

12

2.5

1.5 3.5

x x

x

x

x x

7 8 23 9 32 1.5

y y y y

1223.5 7

3

52 3

8

2 2

23

34

4

3

x

x

13

1 13 3

3 2

5

4 8

16 2

2

3

32.5 1.5

1

z z

z

3 12512

364 5 2 32 256 4

5 1024



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 93

2.3 Iskazi

Preduslovi: Poznavanje sastava brojevnih sistema sa celim

brojevima i fundamentalnih operacija sa brojevima.Od posebnog značaja je konstituisanje i računanjesloţ enih iskaza, uključujući pravilnu upotrebuzagrada.

Ciljevi uĉenja: UvoĎenje deljenja kao operativnog računanja dovodido pojave razlomaka. Rad sa razlomcima često jeizvor brojnih grešaka. Cilj ove nastavne jedinice je

unapreĎenje rada sa razlomcima.S obzirom da je deljenje glavna računska operacija umatematici i praktično u svim njenim primenama,

2. Basic Algebra

2.1 Numbers

Numbers &Operations

Fractions &Decimals

Percentages

2.2 Exponents

Integer Exponents

FractionalExponents

Radicals

2.3 Expressions

Integer Expressions





konstantno se javlja u razlomcima sa brojevima i ualgebarskim iskazima sa promenljivama ifunkcijama. Da biste tačno i samouvereno rešavalimatematičke probleme, ispravna upotreba razlomakai odgovarajućih iskaza zauzima centralno mesto.

Bilo da se promenljiva u problemu kombinuje sa drugom promenljivom,ostalim parametrima ili konstantama, različiti iskazi se javljaju u skladusa primenjenom operacijom. U ovom slučaju ćemo posmatrati jednu promenljivu; nekoliko promenljivih se slično upotrebljava zbog čegaiskaz izgleda nešto komplikovaniji.

Ako se promenljiva sjedinjuje isključivo putem sabiranja, oduzimanja,mnoţ enja i deljenja, to dovodi do čitavih racionalnih iskaza. Kada su svekonstante u iskazu celi brojevi, a promenljive takoĎeceli brojevi, ondačitav iskaz ima vrednost celog broja. Time je objašnjen pridev ,,ceoracionalan”.

Ukoliko je dozvoljeno deljenje promenljivih, onda dobijamo razlomačkeiskaze. U ovom slučaju promenljiva se javlja u najmanje jednom izrazu

kao imenilac.Jedan algebarski iskaz takoĎepostoji tamo gde se javljaju korenovi, štoznači da se promenljiva javlja pod znakom korena, ili radikalom.

Ponovo je potrebno naglasiti da je u gore datoj klasifikaciji odgovarajućeoperacije (sabiranje, oduzimanje, deljenje, mnoţ enje i radikali) potrebnorazumeti u smislu načina na koji se primenjuju. Operacije koje

kombinuju konstante i/ili parametre ne menjaju karakter iskaza.U ovoj nastavnoj jedinici prvo ćemo se posvetiti racionalnim iskazima,uključujući polinome. Kasnije ćemo posvetiti paţ nju razlomačkim

AdditionInteger

Subtraction FractionalExpression Algebraic

Multiplication ExpressionExpression

Division

Radicals



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 95

iskazima. Ipak, nećemo se isuviše detaljno baviti algebarskim iskazimazbog toga što su oni u svojoj praktičnoj primeni ograničeni našimciljevima.

2.3.1 Integralni iskazi

Ako dodate, oduzmete i pomnoţ ite promenljivu x dobijamo iskaz koji senaziva polinom. Ime nam ukazuje na to iskaz sadrţ i nekoliko izraza usvom opštem obliku (poli (grčki) = više). U svom najširem obliku on

izgleda ovako.

POLINOM U X (SA REALNIM KOEFICIJENTIMA)

Integralni iskaz sa promenljivom x oblika

gde su koeficijenti realni brojevi, a n je nenegativni ceo broj, naziva se polinom stepena n.

Koeficijenti mogu biti bilo koji realni brojevi. Najviši

eksponent koji se javlja naziva se stepen. Svaki pojedinačni sumandčesto se naziva izraz.

Kako se sa polinominalnim oblicima često susrećemo u matematici,korisno je klasifikovati ih prema njihovom stepenu. Ako izraz u polinomu ima samo jednu promenljivu kao faktor, onda je stepen togizraza potencijal promenljive. Ako su dve ili više promenljive prisutne uizrazu kao faktori, onda je stepen izraza suma potencijala promenljivih.Stepen polinoma je stepen nenultog izraza sa najvećim stepenom u polinomu. Bilo koja nenulta konstanta definiše se kao polinom stepena 0.Broj 0 je takoĎe polinom, ali mu se ne dodeljuje stepen. Dva izraza senazivaju istovetnim izrazom ako imaju potpuno iste promenljive faktore

na isti potencijal.

11 1 0...n n

n na x a x a x a

1 1 0, ,..., ,n na a a a

1 1 0, ,..., ,n na a a a




Naravno, moţ emo uzeti u obzir i polinome sa više od jedne promenljive.Polinom sa dve promenljive x i y je iskaz koji se formira dodavanjem

izraza oblika , gde je realan broj, a m, n su nenegativni celi brojevi. Izraz ima zajednički stepen . Izraz najvišeg stepenadefiniše stepen polinoma. Na primer:

je polinom stepena 5 sa dve promenljive x i y.

BINOMI

Veoma popularni i u čestoj upotrebi su takozvani binomi stepena n. Nazivaju se binomima iz razloga što se sastoje od tačno dve {bi (grčki) =dva} promenljive:

binom 2. stepena

binom 3. stepena

binom 4. stepena

PRIMERI

1. 22 4 10 x x je polinom 2. stepena.

2. 2( 2) x je polinom 2. stepena.

3. nije polinom.

4.

je polinom 3. stepena sa dve promenljive x i y.

5. nije polinom.

6. je polinom 4. stepena u dve promenljive x i y.

7. 2 13 2 1 2 221 y x y nije polinom zbog toga što ima razlomačke

i negativne eksponente.

m na x y a

m n

3 2 2 23 2 5 7 x y x y x y x x y

2 2 2( ) 2 x y x x y y

3 3 2 2 3( ) 3 3 x y x x y x y y

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4 x y x x y x y x y y

2 1 x x

2 24 1

23 2

x

x y x y x

1

x

4( ) x y



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 97

U odeljku 2.1 smo naučili kako da računamo pomoću brojeva i promenljivih. Sada se okrećemo sabiranju i oduzimanju polinoma idrugih izraza. Sva slova u diskusiji i primerima koji slede predstavljajurealne brojeve; otud, vaţ e sva svojstva realnih brojeva o kojima smodiskutovali.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA

Hajde da počnemo primerom sabiranja i oduzimanja dva polinoma:

i

Prvo – i najvaţ nije: Koristite zagrade što češće kad god radite saiskazima. Dakle, sabiranje (oduzimanje) gore datih zagrada bi izgledalo:

Sabiranje:

Oduzimanje:

Stavljanjem broja 1 isped zagrada moţ emo da upotrebimo distributivnosvojstvo da bismo ,,očistili" zagrade. Ovo se čini manje ili višetrivijalnim kada sabiramo polinome:

Sabiranje:

To je, meĎutim, izvor brojnih grešaka kada ih oduzimamo, zbog toga štose mnoţ enjem iskaza sa (−1) menjaju znaci svih izraza u zagradama:

Oduzimanje:

Sada rasporeĎujemo izraze tako da svi izrazi istog stepena budu,,zajedno":

Sabiranje:

22 4 5 x x

23 2 17 x x

2 2(2 4 5) (3 2 17) x x x x

2 2(2 4 5) (3 2 17) x x x x

2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17 x x x x x x x x

2 2 2 21 (2 4 5) 1 (3 2 17) 2 4 5 3 2 17 x x x x x x x x

2 2 2 2

2 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17 x x x x x x x x




Oduzimanje:

sada primenjujemo komutativna i asocijativna svojstva u oba slučaja(pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15).

Sabiranje:

Oduzimanje:

Rezultati su:

Sabiranje:

Oduzimanje:

Pojedinačne korake moţ emo da sumiramo na sledeći način.

SABIRANJE I ODUZIMANJE POLINOMA

Polinomi se sabiraju kombinovanjem izraza istog stepena i primenomkomutativnih, asocijativnih i distributivnih svojstava. Rezultat je polinomstepena koji je manji ili jednak većem stepenu sumarnih polinoma.

2 2 2 22 4 5 3 2 17 2 3 4 2 5 17 x x x x x x x x

2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17) x x x x x x

2 2 22 3 4 2 5 17 (2 3) (4 2) ( 5 17) x x x x x x

2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 5 2 12 x x x x

2 2 2(2 3) (4 2) ( 5 17) 1 6 22 6 22 x x x x x x



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 99

PRIMERI

1.

2.

3.

MNOŢENJE POLINOMA

Moţ enje algebarskih iskaza uključuje široku upotrebu distributivnihsvojstava realnih brojeva, kao i druga svojstva realnih brojeva.(pogledati: Osnovna svojstva realnih brojeva; strana 15).

Hajde da ponovo počnemo primerom mnoţ enja dva polinoma.

Pomnoţ iti: 4 2 x i

Kao i ranije, veoma je vaţ no koristiti zagrade kada vršimo operacijumnoţ enja:

2(4 2) (2 4 5) x x x

Primenom distributivnog svojstva:

ili, koristeći vertikalan raspored:

2 3 2 3 2(2 4 6) ( 6 ) (2 1) ( 4 6) 6 x x x x x x x x

3 2 2 6 x x x

2 2(2 4 6) (2 8 4) x x x x

2(2 2) [ 4 ( 8)] [6 ( 4)] 4 10 x x x

3 2 3 2(3 4) ( 3) ( 2 4 ) x x x x x x

3 2

( 3 1) (1 2) ( 1 4) [ ( 4) 3] x x x3 24 5 7 x x x

22 4 5 x x

2 2 2(4 2) (2 4 5) 4 (2 4 5) 2 (2 4 5) x x x x x x x x

3 2 28 16 20 4 8 10 x x x x x

3 24 12 28 10 x x x




4 x 2

4 x 5

20 x 8 x 10

28 x 10

MNOŢENJE POLINOMA

Da bismo pomnožili dva polinoma stepena m i stepena n, mnoţ imo svaki

izraz jednog svakim izrazom drugog, i kombinujemo istovetne izraze.

Rezultat je ponovo polinom sa stepenom m+n, tj. sumom stepena svakog pojedinačnog faktora polinoma.

PRIMERI

1. Prvi polinom ima stepen m = 1; drugi ima stepen

n = 2: Rezultujući polinom ima stepen: m + n = 3

2.

Stepen rezultujućeg polinoma je 2 + 1 + 2 = 5.

Veoma je korisno sluţ iti se takozvanim binomnim formulama.

22 x

38 x 216 x24 x

38 x 2

12 x

2 3 2 3 2(2 4) ( 2) 2 4 4 8 2 4 4 8 x x x x x x x x

2 2 3 2 2 2( 2 ) ( 1) ( 2) ( 2 2 ) ( 2) x x x x x x x x x

3 2 2 5 4 3 3 2( 3 2 ) ( 2) ( 3 2 2 6 4 ) x x x x x x x x x x

5 4 23 6 4 x x x x



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 101

BINOMNE FORMULE

Dok sabiranje i mnoţ enje ne dovode do većih problema, mnoge greške se javljaju kada iskaz sadrţ i nekoliko operacija u mešovitom obliku. Mnogegreške se javljaju zbog nepreglednosti, posebno zbog redosleda vršenja

operacija.Pogledajte na primer sledeći iskaz:

PAŢNJA – ,,GLUPE GREŠKE“

Dve greške izazivaju greške u većini slučajeva. Obično se kaţ e da su to

,,glupe greške":Veoma često se koristi premali broj zagrada.

Ne posvećuje se dovoljno paţ nje znakovima, posebno treba obratiti paţ nju na znak minus.

Izvori obe greške mogu se lako izbeći ako se zagrade dosledno koriste.

Da biste zadrţ ali preglednost koristite različite tipove zagrada, na primer:(…) za prvi nivo

[ ] za drugi

{…} za treći

i zatim ponovo (…) itd.

Bolje je upotrebiti zagradu više nego zagradu manje.

2 2 2( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x x y y

2 2 2( ) ( ) ( ) 2 x y x y x y x x y y

2 2( ) ( ) x y x y x y

2{[(2 ) (3 4)] ( 2) ( 1)} x x x x x x




ZAPAMTITE

Počnite da rešavate zagrade od iznutra ka spolja.

Budite paţ ljivi sa znakom minus.

Zapamtite pravila operacija: deljenje i mnoţ enje pre sabiranja ioduzimanja

PRIMERI

1.

2.

3.

{[(2 3) 4] 2} 7 12 x x x x x

5 4 3 22 3 4 2 7 12 x x x x x

2[( 1) ( 1) 1].[ 1] 1 ( ) x x x x

2 2[( 1) 1] [ 2 1] 1 ( ) x x x x

4 3 2 5 4 32 1 ( ) 2 x x x x x x x x

2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( ) x x x x x

2 3[ 4 4 2 2 1] [ 3 2 ] ( ) x x x x x x

3 2 4 3 23 4 4 1 ( ) 3 4 4 x x x x x x x x



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 103

VEŢBA 2.3.1: INTEGRALNI ISKAZI



1. Odrediti (tačno/netačno) da li su sledeći izrazi polinomi:

a) b)

c) d) 20 12 x

e) ( 1) ( 2) x x f)

g) h)

i)

2. Izvršiti sledeće operacije:

a) plus

b) minus

c) plus minus

d) minus

26 12 x x y z 13

2

2 55

x

12 112 x x

2 x x

2 313

7 25 x y x y2 32 5 x z

12 112 x x

32 3 4 x x 23 2 7 x x

4 23 5 3 x x 32 7 x x

22 4 x x 24 3 12 x x 2 4 6 x x

2 3 2 22 y y y x x y2 2 23 x y x y x y




3. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne izraze:

a) ( 1) ( 1) 3 x x x

b) 2 2 3(2 ) ( 5 ) x x x x x

c) 2(3 5 3) ( ) y y x y

d) ( ) ( 1) (2 3) (2 3) x y x x x

e) 22 2 y



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 105

R EŠENJA 2.3.1: INTEGRALNI ISKAZI

1. a) → Tačno, polinom 2. stepena b) → Tačno, polinom 2. stepena

c) → Netačno, postoji razlomački inegativni eksponent

d) 20 12 x → Tačno, polinom 1. stepena, koji setakoĎenaziva linijski

e) → Tačno, polinom 2. stepena

f) → Netačno, postoji razlomački

eksponent

g) → Netačno, postoji negativni

eksponent

h) 2 32 5 x z → Tačno, polinom 3. stepena

2. a) b)

c) d)

3. a)

b)

c)

d)

e)

2

6 12 x x y z 13

2

2 55

x

12 112 x x

1 2 x

122 x x x x

2 317 25

3 x y x y

3 22 3 3 x x x

4 3 23 2 5 10 x x x x

27 2 x 2 3 2 2 2 22 2 3 x y y y x x y x x y

22 4 x x

3 4 5 27 9 2 x x x x

2 3 23 5 3 3 5 3 x y x y x y y y

4 3 3 2 24 4 4 4 9 9 9 9 x x x y x y x x y x y

4 2 2 42 x y y




2.3.2 Razlomaĉki iskazi

Iskaz sa promenljivom u imeniocu naziva se razlomački iskaz. Moguizgledati poprilično različito, meĎutim, barem jedan od izraza mora dasarţ i operaciju ,,deljenje promenljivom”:

ili ili ili ili

OdreĎivanjem zajedničkog imenioca i primenom zajedničkih pravila zarazlomke, različiti izrazi mogu se sumirati u obliku razlomka dva polinoma.

Prva dva primera gore su već razlomci.

3. Primer:

4. Primer:

5. Primer:

STANDARDNI OBLIK RAZLOMAĈKOG ISKAZA

Svaki razlomački iskaz moţ e se napisati kao razlomak dva polinoma:

Polinom u brojiocu ima stepen n, polinom u imeniocu ima stepen m.

Za nas nije neophodno da detaljno govorimo o ovoj vrsti iskaza. Mimoramo jednostavno dosledno da primenjujemo pravila za razlomke

(pogledati: odeljak 2.1.2; strana 25 ff). Sabiranje, mnoţ enje, proširivanjei skraćivanje su potpuno isti. MeĎutim, za sve operacije gde je promenljiva x uključena, budite paţ ljivi da ne mnoţ ite i ne delite nulom.

1

x2

2 1

1

x

x2

12

1 x

x x

1 22 10 x x2

1 2 3 1

3

x x

x x

2 3 2

2 2 2

1 2 ( 1) 1 2 2 2 12

1 1 1

x x x x x x x

x x x x x x

1 2 212 10 (2 10) x x x x

x

2 3 21 (2 10) 1 2 10 x x x x x x

x x

2 3

2 2 2

1 2 3 1 3 2 3(3 1) 2 12 3

3 3 3

x x x x x x x x

x x x x

11 0

11 0

...

...

n nn n

m mm m

a x a x a

b x b x b



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 107

Ipak, treba da budemo svesni nekoliko vaţ nih razlika integralnih iskaza u poslednjem poglavlju.

PAŢNJA

Zapamtite da razlomačke crte imaju ista svojstva kao zagrade. Stoga,ophodite se prema crtama kao prema zagradama.

Kad god radite sa razlomačkim iskazima koristite zagrade da privremenoobustavite rešavanje razlomka korišćenjem brojioca i imenioca kaozasebnih iskaza.

SABIRANJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA

Razlomački iskazi mogu se sabirati (oduzimati) nakon proširivanja svihiskaza tako da imaju isti imenilac.

Izrazi sa istim imeniocem mogu se sabrati (oduzeti) dodavanjem(oduzimanjem) brojioca.

PRIMERI

1. 2 2 23 1 4 2 3 1 4 2 4 1

1 1 1 1

x x x x x x x x

x x x x

2. 2 2 21 3 2 1 3 2 3 4

3 3 3 3

x x x x x x x x

x x x x

3. 2 2

2 2

2 1 2( 1) ( 1) 2 2 2

1 ( 1)

x x x x x x x x x

x x x x x x x x

Kada sabiramo dva razlomačka iskaza, metod unakrsnog mnoţ enja(pogledati: odeljak 2.1.2; strana 31) moţ e se primeniti na veoma koristannačin. Na primer:

2 1 2 ( 2) ( 1) ( 1)1 2 ( 1) ( 2) x x x x x x

x x x x




Zajednički imenilac je proizvod dva imenioca. To znači da ćemo levi brojilac mnoţ iti desnim imeniocem, a desni brojilac mnoţ iti levimimeniocem.

MNOŢENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA

Dva razlomačka iskaza se množe mnoţ enjem brojioca i imenioca.

PRIMERI

1.

2.

3. 2

2 1 2( 1) 2 2.

1 ( 1)

x x x

x x x x x x

Inverzija broja a znači . Ista operacija mora da se primenjuje kada se

vrši inverzija razlomačkog iskaza.

2 2

23 1 4 2 (3 1) (4 2 )

1 1 ( 1)

x x x x x x

x x x

3 2 2 3 2

2 2

12 6 4 2 12 2 2

( 1) ( 1)

x x x x x x x

x x

2 2 3 2

2

1 3 2 ( 1) (3 2 ) 2 5 3.

3 3 ( 3) ( 3) 9

x x x x x x x x x

x x x x x

1a



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 109

INVERZIJA RAZLOMAKA

Kao kod brojeva, inverzija razlomačkog iskaza se dobija ako zamenimo brojilac i imenilac:

PRIMERI

1.

2.

3.

Deljenje dva razlomačka iskaza vrši se na isti način kao i deljenje dvarazlomačka broja, naime, pomoću mnoţ enja invertnih iskaza.

DELJENJE RAZLOMAĈKIH ISKAZA Dva razlomačka iskaza delimo mnoţ enjem iskaza u brojiocu inverzijomiskaza u imeniocu:

11a x b c x d

a x bc x d a x b

c x d

12

22

4 2 1 1

1 4 24 2

1

x x x

x x x x x

x

11 3 2 3

3 2 3 3 2

3

x x

x x x

x

122 1 ( 1).

1 2( 1) 2 2

x x x x x

x x x x

1a x b

a x b a x b t y uc x d r y s r y sc x d c x d r y s

t y u t y u




PRIMERI

1.

2.

3.

2

22

3 1

3 1 4 2 3 1 11 .1 1 1 4 24 2

1

x

x x x x x x x x x x x x x

x

2

3 2

3 2 1

4 6 2

x x

x x x

2

2 3 2

2

1

3 1 3 2 4 33 2 3 3 2 2 6 9

3

x x

x x x x x x x x x x x x

x

22 1 2 22

1 1 1

1

x x x x x

x x x

x



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 111

VEŢBA 2.3.2: R AZLOMAĈKI IZRAZI



1. Proširiti sledeće iskaze sledećim faktorima, za koje se

pretpostavlja da nisu jednaki nuli:

a) 1

1

x

x sa 2 x b)

2 2

2

x x

x sa 2

c)u

vsa

u v

u v

2. Skratiti zajedničke faktore u brojiocu i imeniocu:

a) b)

c)

3. Pomnoţ iti iskaze i skratiti zajedničke faktore:

a) b)

c)2 29 3 2

3 2 3

a a a

a a

2

2

4

x

x

2

2

( 5)

2 10

x x

x x

2 4

6

2

6

x y

x y

2 2

2

4

2 2

a a

a a a

2 2

3

3 ( 5)

5 6

x x

x x




4. Podeliti i skratiti zajedničke faktore:

a) b)

c)

5. Sabrati ili oduzeti, i pojednostaviti:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

2 2

2 2

x y

x y y x h)

3 2

( ) ( ) x x y y x y

i)2 1

34 3

x

x x

2

2

36

( 6)6

a

aa a

2 2

2

3

36 9

x x

x x x

2 2

2 2

9 3

39 6

a b a b

a ba a b b

2 2

2 2

3 6 2 2

4 4

x x

x x

2 2

2 2

x

x x

2

2 2

1

( 1) ( 1)

a

a a

2 1 2 1a b

a b

2 2

1 2

u u

u u2

10 3

525 z z



2 . 3 I s k a z i S t r a n a | 113

R EŠENJA 2.3.2: R AZLOMAĈKI ISKAZI

1. a) b) c)

2. a) b) c)

3. a) a b)5

2

x

xc) (3 )a a

4. a) b)3

3 xc) 1

5. a) 1 b)2 2

2

x

xc)

d)b a

a be)

2( 2)

1 2

u u

u u f)

g) h)

i)

2

22 22 2 x x x x

3 2

24 4

4 x x x

x

3 2

2 3u u vu v v

1

2 x 2

x23

x

y

6

(6 )

a

a a

1

1

a

a

2

3 5

25

z

z

2 24

2 2

y x

x y y x

2 2

3 2( ) ( )

x y y x x x y y x y

213 10 3

(4 3)

x x

x x




2.3.3 Test napretka za ,,Iskaze”



1. Da li su sledeći iskazi polinomi? Ako je vaš odgovor ,,da”,ukaţ ite na stepen; ako je odgovor ,,ne”, objasnite razlog:

a) b) c) d)

2.

Dovršiti formule bez konsultovanja udţ benika:a)

b) c)

132 3 3 y x y

3 2 42 112 x y x y

35 5 2 37

112 3.14 237 x y x y x

3222 5 3 x y x y

2( 2 ) x y

2512 3

( )a b

10 5 2 13 4 3 4

( ) ( ) x x



2 . 3 . 3 T e s t n a p r e t k a S t r a n a | 115

3. Sabrati ili oduzeti polinome i skratiti rezultat koliko je moguće:

a) b) c)

4. Pomnoţ iti i kombinovati istovetne iskaze:

a) 2 2 2( 1) 2 (2 ) x x x y x

b) 2 5 3 7 2 15 x x x x x

c) 22 41 1 1

2 2 43 2 4 x x x x

5. Izvršiti operacije i skratiti rezultat koliko je moguće:a)

b) c)

2 3 2(2 4 6) (2 8 4 ) x x x x x

3 2 3 27 22 3

(3 4) ( 3) ( 4 ) x x x x x x

2 2 22 3 4 (3 5) ( 4) (3 ) 11 x x x x x

2 2 4( 2) 3 ( 2) 3 9 x x x

2[(2 1) ( 2 2) 1] [3 2] ( ) ( ) (4 1) x x x x x x x

2 31 1 12 5 4 2 y x x




2.4 Rešenja za testove napretka

2.4.1 Rešenja za test napretka za ,,Brojeve”

Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavitei započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajućideo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1.

a) Celi brojevi: 2, 4, 1,356 b) Racionalni brojevi:

c) Iracionalni brojevi: ;

d) Realni brojevi:

2. a) 158 b) -222

3. a) 1.833 b) 12

c) 196

4. a) 6 b) 2319

5. a) 336 b) 2310

6. a) > 0 b) < 0

7. 1,16 EUR

8. a) 413,32 EUR b) 15,9%

1723 23

; ; 0.25; 3.16363

2; 5; e

13

4; ; 7; 0.66



2 . 4 R e š e n j a z a t e s t o v e n a p r e t k a S t r a n a | 117

2.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Eksponente”


1. a) 8 b) –8 c) d)

2. a) b) c) 8 d)

3. a) 3 b) 5 c) 3 x d) 2.5

4. a) b) c)

5. a) b) c)

6. a) b) c)

d)

7. a) b) c) d)

8. a) –5 b) 2 c) d) 4

18 18

6 x

5

6 x y

2

8 x y

334

118

15

1

2

316

4

3

3

2

5315

1

x

3718

32

2

7

2

7 23 3 14 5 4 x

324 2 y

85

1

2

112

31152

1

3 z

16

52




2.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Iskaze”


1. a) Nema polinoma b) Nema polinoma

c) Polinom 5. stepena d) Polinom 6. stepena

2. a) b)

c) 220 59 16

x

3. a) 3 22 10 6 x x b) 3 2512 3

5 7 x x x

c) 22 4 5 x x

4. a)

b) 5 4 3 22 5 3 7 2 15 x x x x x

c) 5. a) b)

c) 2 2 23 1 1 18 4 4 6 x y y x x

2 24 4 x y y 2 25 2514 3 9

a a b b

2 2 3 24 4 4 4 x y x y y x y

24 4 x

3 28 24 32 16 x x x 4 33 4 x x



3 . J e d n a č i n e S t r a n a | 119

3. Jednaĉine

Preduslovi: Da biste uspešno savladali ovo poglavlje uzminimalne poteškoće, od vas se zahteva da

posedujete osnovno poznavanje računskih operacijau cilju rešavanja i pojednostavljivanja iskaza.

Ciljevi uĉenja: Kada poredimo iskaze, oblik koji najčešće srećemosu jednačine. One ne samo da grade osnovu zavećinu najvaţ nijih iskaza u matematici, funkcije −što je tema sledećeg poglavlja – već su često i deo

širih računica.U većini slučajeva cilj je rešiti jednu jednačinu ilisistem jednačina. Rešiti jednačinu znači odreditivrednosti promenljivih, koje su deo jednačine, takoda jednačina bude istinita. Govorićemo o različitimoblicima jednačina.

Jednačina je matematička rečenica u simbolima koja pokazuje da su dvestvari u potpunosti iste (ili ekvivalentne). Da bi ova ekvivalentnostvaţ ila, jednačine se pišu znakom jednakosti (=), kao u:

Elementary Algebra,


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

V o l . 1 : E l e m

e n -

t a r y A g e b r a

3. Equations



120 | S t r a n a 3 . J e d n a č i n e

5 – 3 +7 = 9

Gore data jednačina je primer jednakosti, stanja u kome su obe strane

jednačine jednake. Sve dok jednačina sadrţ i samo brojeve, jednakost semoţ e odrediti sa lakoćom. MeĎutim, u slučaju kada jednačina sadrţ inajmanje jedan nepoznat broj ili promenljivu nepoznate vrednosti, jednačina se ne moţ e odrediti bez prethodnog odreĎenja vrednostinepoznate. Znak jednakosti olakšava odreĎivanjejedne ili više vrednostinepoznate s obzirom da u nekim slučejavima samo specifične vrednostizadovoljavaju zahtev jednakosti.

Za jednačinu

2( 2) 5

13

x

x postoje dve vrednosti x koje ispunjavaju

zahtev jednakosti; dok za jednačinu2 7

53

xpostoji samo jedna

vrednost x koja ispunjava zahtev jednakosti.

Iskazi poput onih koji su dati gore koji sadrţ e znak jednakosti zaekvivalentnost nazivaju se jednaĉine. Obično su predstavljene kaoalgebarski iskazi sa promenljivom x.



3 . 1 U p o t r e b a j e d n a č i n a S t r a n a | 121

3.1 Upotreba jednačina

Preduslovi: Pretpostavka je da razumete i umete da primeniteosnovna pravila algebre za upotrebu iskaza.

Ciljevi uĉenja: Jednačine su vaţ an deo većine matematičkihmodela. Javljaju se u brojnim slučajevima ili u

obliku definicija realnih ţ ivotnih situacija ili kaorezultat balansiranja procedura.

Matematički izazov koji se krije u jednačinama prvose odnosi na njihovo definisanje, zatim primenu, i,kao treće, rešavanje.

U ovom poglavlju ćemo ilustrovati procesmodelovanja, i razgovarati o linearnim i kvadratnim

jednačinama kao najvaţ nijim jednačinama zaekonomsku primenu.

3. Equations

3.1 Use of Equations

Modelling

Solution

3.2 Linear Equations

NormalForm

Solution

3.3 QuadraticEquations

Forms

Solution




Najosnovnije su polinomne jednaĉine, u kojima je iskaz na desnoj strani jednačine polinom:

gde su koeficijenti realni brojevi, a n ceo broj koji nije

negativan.

Najjednostavnija polinomna jednačina je jednačina 1. stepena koja senaziva linearnom jednačinom:

U ovom odeljku ćemo se detaljno baviti linearnim i kvadratnim jednačinama, njihovim svojstvima, analizirati ih i procenjivati njihov potencijal za upotrebu. Ustanovićemo koliko je korisno opisati neke prirodne fizičke i ekonomske probleme kroz linearne ili kvadratne oblike.

U takvim jednačinama sa promenljivama (= nepoznatima), pitanje običnone glasi da li je tačno ili netačno, već za koje vrednosti nepoznate postoji jednakost. Ove vrednosti se nazivaju rešenjima jednačina.

Postoje različite vrste jednačina u zavisnosti od vrste njihovih rešenja.

USLOVNE JEDNAĈINE

Jednačine koje su tačne za samo neke vrednosti upotrebljenih promenljivih (nepoznatih) nazivaju se uslovnim jednačinama.

Uslovne jednačine su ,,normalna” vrsta algebarskih jednačina kojeupotrebljavamo. Matematički problem obično treba rešiti, tj. pronaći svarešenja.

PRIMERI

1. 2 9 17 x vaţ i ako i samo ako 4 , za 2 4 9 17 . To znači,4 je rešenje jednačine.

2. 3 2 2 8 2 x x x , zato što 6 2 4 8 .

11 1 0... 0n nn na x a x a x a

0,...,na a

1 0 0a x a




3. Ako pitanje glasi: Za koju vrednost x će polinom iznositi0?

Odgovor je:

Kad god transformišete jednačinu vršeći odreĎene operacije, kreirateidentitet, iz razloga što morate biti sigurni da ćete izbeći gubitak ilidobitak bilo kog rešenja jednačine.

IDENTITET

Jednačina koja je tačna za sve dozvoljene vrednosti nepoznatih koje suupotrebljene naziva se identitet . Dozvoljene vrednosti u ovom slučajuoznačavaju vrednost za koju su članovi definisani.

PRIMERI 1. →

8 4 2 6 8 4 8 x x x vaţ i za sve realne brojeve x.

2. vaţ i za sve realne brojeve x.

Jednačine bez rešenja nazivaju se nekonzistentne ili kontradiktorne.Kontradiktornost je ponekad jednostavno rezultat greške prilikomtransformacije jednačine, ili moţ ete naići na kontradiktornost prilikom pravljenja dokaza.

NEKONZISTENTNOST

Za jednačinu za koju ne postoji rešenje ili ne vaţ i nijedna vrednostnepoznate kaţ e se da je nekonzistentna (konfliktna ili kontradiktorna).Vrednosti nepoznate ne pruţ aju dokaz o ekvivalentnosti jednačine.

2 4 x

21 24 0 0 and 4 x x x

68

4(2 1) 2 8( ) x x

2 2( 2) 4 4 x x x




PRIMER

2 ( 2) 7 2 3 x x

Ne postoji nijedno x koje zadovoljava ovaj ,,niz”, zbog toga što:

2 ( 2) 7 2 4 7 2 3 2 3 x x x x

3.1.1 Modelovanje pomoću jednaĉina

Pre nego što transformišete ili rešite jednačinu, potrebno je da jeformulišete. Obično jednačina ili sistem jednačina – ukratko ,,model" – nije dat (što je bio slučaj i u ovom udţ beniku do sada). Često je potrebno pronaći adekvatnu matematičku reprezentaciju praktičnog problema koji bi mogao da ima ekonomski, fizički, socijalni ili drugi uticaj. Rešavanje problema pomoću matematike znači da je prvo potrebno prevesti problem u matematiče izraze kako bi se zatim primenile matematičkemetode i procedure. Ovaj transformacioni proces je u većini slučajevateţ i od rešavanja samog matematičkog problema.

Navešćemo i diskutovati o nekim sasvim osnovnim koracima koji bi nammogli biti od pomoći da uspešno prevedemo i rešimo praktične probleme.Pojedinačne korake ćemo prikazati pomoću sledećih problema:

Problem 1: Kada je rezervoar pun?

Rezervoar za vodu moţ e se napuniti pomoću dva ulivnagrla. Koristeći samo grlo A, rezervoar će se napuniti za 8sati. Kada koristimo i grlo A i grlo B zajedno rezervoar će biti pun nakon 2 sata.

Koliko je vremena potrebno da se napuni rezervoar koristećisamo grlo B?

Problem 2: Koliko godina imaju Dţek i Dţil?

Sledeće godine Dţ ek će imati tri puna više godina od Dţ il pre dve godine, dok će kroz četiri godine Dţ il biti duplo

mlaĎaod Dţ eka pre tri godine.

Koliko godina imaju Dţ ek i Dţ il?




Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra preko Atlantskog

okeana? Na vreme leta od Frankfurta do Njujorka (oko 4,000 milja)utiče stalan zapadni vetar, što produţ ava vreme leta 20% u proseku u odnosu na suprotan pravac.

Kolika je prosečna brzina vetra na 36,000 fita nadmorskevisine nad severnim Atlantskim okeanom ako je brzina nazemlji bez vetra 890 km/h?

K ORAK 1: ANALIZA PROBLEMA

Paţ ljivo pročitajte tekst, dva ili tri puta ako je potrebno. Obeleţ iteznačajne informacije i identifikujte polaznu tačku u pitanju.

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskimokeanom?

Relevantni podaci su:

Vreme leta nad zemljom bez vetra je 890 km/h.Brzina vetra se mora dodati ako avion ima vetar uleĎa; u slučaju čeonog vetra mora se oduzeti.

Polazna tačka u pitanju je brzina vetra.

Udaljenost nije relevantna, zato što će ona implicitno bitiuzeta u obzir.

K ORAK 2: IDENTIFIKOVANJE I DEFINISANJE PROMENLJIVE(PROMENLJIVIH)

Izaberite kao promenljive one polazne tačke koje su eksplicitno date kao,,nepoznate". Obično je to cilj koji se formuliše u pitanju problema.





Nije nam poznata starost ni Dţ eka ni Dţ il. Kako se pitamo

za starost i jednog i drugog, biramo njihove godine kao promenljive.

Neka x budu Dţ ekove godine, a y Dţ iline godine.

K ORAK 3: PREVOĐENJE U MATEMATIĈKI MODEL

Prevedite opisane odnose u matematički model, tj. na jezik kojim sematematika sluţ i.

Ovo je centralni korak zato što moramo da navedemo praktičnu pozadinuu matematičkom obliku. Najčešće moramo da navedemo ekonomska,fizička ili socijalna ograničenja u jednačinama.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun?

Neka a, i b budu vreme koje je neophodno kada koristimoodgovarajuće grlo, a neka c bude vreme punjenja kadakoristimo oba grla zajedno.

Neka T bude sadrţ aj rezervoara.

Količina vode koja će proteći kroz bilo koje grlo po satu

iznosi ili , pomenutim redosledom.

Upotreba oba grla znači:

Dolazimo do zaključka da moţ emo da izostavimo T , tj.sadrţ aj je suvišna informacija implicitno sadrţ ana uvremenu punjenja. Dobijamo:

K ORAK 4: R EŠENJE ZA MATEMATIĈKI PROBLEM

, or , or T T T

a b c

T T T

c a b

1 1 1 1 a b

c a b c a b




Konačan korak je uvek povezan sa matematičkim problemom koji je potrebno rešiti u skladu sa formulisanim modelom.

Veoma često matematički model se sastoji od jednačine ili sistema jednačina koje se moraju rešiti.

Problem 1: Kada će rezervoar biti pun?

Izveli smo sledeću jednačinu koja opisuje povezanost višerazličitih vremena punjenja:

Traţ imo b, vreme punjenja kada se koristi samo grlo B, pod pretpostavkom da su c i a dati. Stoga, rešavamo gornju jednačinu za b:

( )a b c a b c a c b a b c b c a

( ) c aa c b c a ba c

Zamenjujemo simbole datim vrednostima:

2 8 16 82.66 hours 2 hours 40 minutes

8 2 6 3

c ab

a c


Neka x budu Dţ ekove godine, a

y Dţ iline godine.

Ove dve izjave se mogu direktno prevesti u jednačine.

Sledeće godine Dţ ek će imati tri puta više godina od Dţ il pre dve godine:

1 3( 2) y (1)

Kroz četiri godine Dţ il biti duplo mlaĎa od Dţ eka pre trigodine:

1 1 1 1 a b

c a c c a b




(2)

Zamenjujemo 3 ( 2) 1 3 7 y y u jednačini (2):

Dţ iline godine

3 7 54 7 47 y Dţ ekove godine

Problem 3: Kolika je brzina zapadnog vetra nad Atlantskimokeanom?

Relevantni podaci su vreme leta nad zemljom bez vetra:

g =890 km/h

Promenljiva u pitanju je brzina vetra w.

Brzina vetra w se mora dodati ako avion ima vetar u leĎa; uslučaju čeonog vetra mora se oduzeti:

1.2( ) 1.2 1.2w g w g w g w

0.2 0.22.2 0.2 890

2.2 2.2w g w g km/h

Zapadni vetar ima prosečnu brzinu od 80,9 km/h.

3.1.2 RešenjeIzračunati rešenja jednačine znači transformisati jednačinu i pojednostaviti je tako da konačno izolujete nepoznatu promenljivu i pronaĎete sve moguće vrednosti. ,Rešavanje jednačina” upravo to znači.Proces transformisanja ne bi trebalo da predstavlja nikakav problem svedok imate sledeća pravila na umu:

DOZVOLJENE OPERACIJE

12

4 ( 3) x

312 2

4 (3 7 3) 5 y y

12

9 18 y y




Koja god operacija da se vrši na jednoj strani jednačine mora da sevrši na drugoj strani takoĎe.

Postarajte se da ne dobijete niti izgubite bilo koje rešenje. Nikada nemojte da mnoţ ite ili delite sa 0. Ako mnoţ ite ili delite

izrazom koji sadrţ i promenljivu, isključite vrednost 0 za taj izraz.

Ova pravila se na sreću automatski javljaju u većini osnovnih operacijakojima se bavimo tokom ovog kursa. Interesantno je, meĎutim, videtikako moţ emo da dobijemo ili izgubimo rešenja, mada se u većini

slučajeva ovo dešava pre slučajno nego namerno. Evo nekoliko primera.

PRIMERI

1. 2 3 7 x i 2 4 x su ekvivalentne jednačine, zato što obeimaju isto rešenje x = 2. Oduzimanjem broja 3 sa obe strane od

prvog rešenja, identitet je očigledan.

2.

i 2 0 nisu ekvivalentne jednačine, mada jerešenje obe x = 2. Prva jednačina ima dodatno rešenje x = 0, kojezasigurno nije rešenje druge jednačine. Izgubili smo ovo mogućerešenje kada smo podelili prvu jednačinu sa x.

3. Ţelimo da rešimo jednačinu 2( 2) 4 x . Stavljanjem kvadratnog

korena sa obe strane – jednačina podleţ e pravilu: ,,ono što primenite na jednu stranu morate da primenite i na drugu” – moţ emo da dobijemo 2 2 4 x . Ustvari, ovo rešenje je

rešenje prve jednačine; meĎutim, to nije jedino rešenje, x = 0takoĎe rešava prvu jednačinu. To znači da smo primenom

kvadratnog korena izgubili rešenje 2( 2) 4 x i 2 2nisuekvivalentne.

4. Ţelimo da rešimo jednačinu 3 7 2 3 x x . Rešenje je očigledno10. Prema pravilu koje kaţ e da moţ emo da pomnoţ imo obe

strane faktorom x, dobijamo:

2 2 23 7 2 3 10 ( 10) 0 x x x x x x x x

2

2 0 x




Proizvod je jednak 0, ako i samo ako je najmanje jedan od faktora jednak 0. Dakle, x = 0 ili x = 10.

Otud sada imamo dva rešenja, od kojih je samo poslednje rešenjeoriginalne jednačine, dok rešenje x = 0 očigledno nije rešenje3 7 2 3 x x .

Dobili smo rešenje mnoţe njem. Dakle, rezultat nakon mnoţ enja ioriginalna jednačina nisu ekvivalentni.

Pitanje sada glasi: ,,Koje operacije su dozvoljene u cilju kreiranjaidentičnih jednačina?“ U delu koji sledi diskutovaćemo samo ofundamentalnim operacijama koje su neophodne za dalju diskusiju:

DOZVOLJENE OPERACIJE ZA JEDNAĈINE

Dozvoljene operacije transformacija su one koje ostavljaju niz rešenjanepromenjenim ili netaknutim.

Sledeće operacije su dozvoljene.

SABIRANJE ILI ODUZIMANJE

Sabiranjem ili oduzimanjem istog izraza na obe strane jednačine nemenja se niz rešenja. Rezultat je identična jednačina.

To znači da dodavanje iste vrednosti na obe strane jednačine ne utiče narešenje jednačine. Vrednost koju je potrebno sabrati ili oduzeti, meĎutim,mora da bude validna za obe strane jednačine.

PRIMERI

1. 2 3 10 x x

Ako oduzmete 10 od obe strane, jednačina postaje:

2 3 10 10 10 x x x Dodavanjem x na obe strane promenićemo jednačinu, ali nećemouticati na niz rešenja:




2 3 10 2 7 0 x x x x x

Rezultat je ekvivalentna jednačina:

3 7 0 x

2. Zasigurno moţ emo da radimo sa više od jednog izrazaistovremeno; na primer, oduzimamo kompletnu desnu stranu da

bismo na toj strani dobili 0:

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo:

Iz dva gore data primera trebalo bi da bude jasno da sabiranje ilioduzimanje izraza na obe strane nije ograničeno nikakvim specifičnimoblikom jednačine. Ono vaţ i za sve tipove.

U prvom primeru smo oduzeli 10 da bismo ,,izbrisali" konstantu na

desnoj strani. Rezultat je da se 10 više ne pojavljuje na desnoj strani ioduzima se od leve strane. Drugim rečima, ako ,,pomerite" adicioni izrazsa jedne strane na drugu, njegov znak se menja. Ovo ne samo da vaţ i zakonstantne faktore, već za sve izraze. Primeri dati gore onda postaju:

PRIMERI

1. 2 3 10 x x

Promena strane za izraz ( 10) x znači da moramo da gaoduzmemo od leve strane:

2 3 ( 10) 0 x x → 2 3 10 0 x x

Rezultat je ekvivalentna jednačina:

3 7 0 x

2. Ponovo, da bismo dobili 0 pomeramo kompletan izraz sa desne nalevu stranu menjanjem znaka:

22 12 4 4 x x

22 12 (4 4) 4 4 (4 4) 0 x x x x

22 4 16 0 x x

22 12 4 4 x x




Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao gore:

Čim savladate upotrebu jednačina kako biste mogli da ih rešite ili pojednostavite gotovo automatski ćete primenjivati obrazloţ enje datogore.

MNOŢENJE ILI DELJENJE Množenje ili deljenje istim izrazom koji nije jednak nuli na obe strane jednačine ne menja niz rešenja. Rezultat će stoga biti identična jednačina.

Najznačajniji deo pravila gore je ,,izraz nije jednak nuli". Mnoţ enjenulom je strogo zabranjeno iz razloga što bi rezultat bio trivijalanidentitet:

0 = 0

TakoĎe je strogo zabranjeno deljenje nulom, jer je rezultujući izrazneodreĎen.

Moţ ete tvrditi da ste naučili ova pravila u trećem ili četvrtom razredu. Ko bi ikada mnoţ io ili delio sa nula? Zašto bi to iko radio?

Problem se pak ne odnosi samo na mnoţ enje ili deljenje samim brojem 0,već izraze čija je vrednost 0, čega vi niste svesni. Hajde da ovoobjasnimo kroz primer. Pretpostavka je da ţ elimo da pronaĎemovrednosti kojima se rešava jednačina:

Izvlačenjem zajedničkog faktora 2 x ispred zagrade dobijamo:

2 ( 2) 0 x x

Deljenje obe strane izrazom 2 x očigledno znatno pojednostavljuje

jednačinu:2 0

22 12 (4 4) 0 x x

22 4 16 0 x x

22 4 0 x x




Sada je lako pronaći rešenje: 2 Ovo, meĎutim, nije jedino rešenje,zato što je 0 takoĎerešenje gornje jednačine. Dakle, deljenje izrazom2 x menja identitet jednačine i gubimo rešenje.

Uzevši u obzir da bi izraz 2 x takoĎe mogao biti nula, morali bismo datvrdimo da proizvod 2 ( 2) x x moţ e biti nula ako je jedan od faktoranula. Tako bismo izbegli deljenje nulom i dobili dva ispravna rezultata:

0 i 2

Mnoţ enje i deljenje jednačina brojevima ili izrazima moţ e se priličnoredovno primenjivati na algebarsko pojednostavljivanje.

PRIMERI

1. 2 3 10 x x

Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x:

2 10 3 3 7 x x x

Deljenjem obe strane sa 3 dobijamo rešenje:

2. 22 12 4 4 x x

Ponovo, da bismo tamo dobili 0, prebacujemo kompletan izraz sadesne na levu stranu promenom znaka:

Kombinovanjem istovetnih izraza dobijamo isti rezultat kao i

gore: 22 4 16 0 x x

Da bismo dobili nešto lakši oblik moţ emo obe strane da podelimosa 2:

2 2 8 0 x

U daljem tekstu ćemo taj oblik zvati ,,normalan oblik kvadratne jednačine".

73

22 12 (4 4) 0 x x




Sledeća jednačina sadrţ i razlomački iskaz:

4 8 13

2 3

x x

x x

Da bismo rešili takvu jednačinu, očigledno je da su oba imenioca problematična. Stoga, prirodno je ukloniti ih mnoţ enjem cele jednačine prvo izrazom 2 , a zatim izrazom 3 x (ili obrnuto):

(4 8) ( 2) 3 ( 1) ( 2) 33( 2) 3

( 2) 3

x x x x x x x x

x x

Skraćivanjem identičnih izraza u razlomačkim izrazima dobijamo:(4 8) 3 ( 1)( 2) 3 ( 2) 3 x x x x x x

Potrebno je da sa obe strane mnoţ imo polinome. Nakon preraspodele jednačine tako da se kombinuju izrazi istog stepena, dobijamo:

U odeljku 3.3 ćemo naučiti kako da rešavamo gore pomenutu (kvadratnu) jednačinu. Za sada je dovoljno da znamo da jednačina ima dva rešenja

2 i 14

, što se lako moţ e dokazati jednostavnom zamenom

promenljive odgovarajućom vrednošću i testiranjem konzistentnosti.

Dakle, dva su rešenja 2 i jednačine:

Oba rešenja, meĎutim, ne rešavaju originalnu jednačinu:

4 8 13

2 3

x x

x x

Pod pretpostavkom da smo na ispravan način transformisali jednačinu usvim koracima, moţ emo se zapitati: ,,Šta nije u redu?”.

Odgovor moţ emo pronaći na samom početku. U originalnoj jednačinimoramo da isključimo vrednosti 2 i 0 zato što bi ove vrednostiodnosnih imenioca bile nula, a što je strogo zabranjeno.

Nakon toga, mnoţ enjem imenioca ,,ispravili" smo to isključivanje, štovodi rešenju 2 i drugačijoj (neidentičnoj) jednačini.

2 2 212 24 2 2 9 18 x x x x x x x 24 7 2 0 x x

14

24 7 2 0 x x




PRIMERI

1. 1, 1

Da bismo rešili jednačinu izolovaćemo promenljivu x:

3 3 2 2 5 x x x

2.

1

Skraćivanjem odgovarajućih faktora:

Nakon izolovanja x, dobijamo:, tj. dva rešenja i , od kojih su oba takoĎe

rešenja originalne jednačine iz razloga što nismo morali da ihisključimo.

Poslednji od dva problema je dobar primer znatnog pojednostavljenjaoperacije ,,mnoţ enja ili deljenja", iz razloga što u mnogim situacijama

nije neophodno prvo mnoţ iti zajedničkim imeniocem i nakon togaukloniti zajedničke faktore. Oba koraka moţ emo obaviti odjednomtakozvanim ,,unakrsnim mnoţ enjem".

Pogledajmo ponovo primer 2:

for 1

Unakrsno mnoţ enje znači da mnoţ imo levu stranu imeniocem desne

strane i obrnuto. Rezultat će biti:2 5 2( 1) ( 1) x x

3 2

1 1 x x

3( 1) ( 1) 2( 1) ( 1)3( 1) 2( 1)

1 1

x x x x x x

x x

5 1

2( 1) 2

x

x

1 ( 1)5 1 5

2( 1) 2 2( 1) 2( 1)

x x x

x x x

25 ( 1) ( 1) 1 x x x

26 1 6 2 6

5 1

2( 1) 2

x

x




To znači da dobijamo isti rezultat kao i ranije.

Unakrsno mnoţ enje moţ emo primeniti uvek kada su obe strane jednačine

pravi ili mešoviti razlomci. Pravilo glasi:

UNAKRSNO MNOŢENJE

Pomnoţ iti svaki brojilac imeniocem druge strane i prebaciti ga tamo. Toznači da je prvo potrebno napraviti pravi razlomak u slučaju sume izraza.

PRIMERI

1. Unakrsno mnoţ enje ima za rezultat:

4( 3) 5(2 1) 4 12 10 5 x x x x

2. 1; 1

Pre unakrsnog mnoţ enja pretvorite desnu stranu u mešovitrazlomak:

Unakrsno pomnoţ ite:

PrerasporeĎivanjem izraza dobijamo:

Ovo je ponovo kvadratna jednačina o čijem rešenju ćemodiskutovati u odeljku 3.3.

Da bismo rešili jednačine, ili drugim rečima izolovali promenljive na jednu stranu, naizmenično korišćenje operacija moţ e biti neophodno.Ipak, uvek je preporučljivo izolovati promenljive prvo koristeći sabiranjeili oduzimanje da bismo slične izraze stavili zajedno na jednu stranu.

4 5

2 1 3 x x

1, 3

2

176

6 17 x x

3 2 21 1 x x

3 2 2 2( 1) 2 2 2 22

1 1 1 1 1

x x x

x x x x x

2 2

3 ( 1) 2 ( 1) 2 2 3 3 2 2 x x x x x x x x

22 3 0 x x




Zatim se koristi mnoţ enje ili deljenje radi eliminacije koeficijenta iostavljanja samo promenljive na jednoj strani.




VEŢBA 3.1: UPOTREBA JEDNAĈINA



1. Dati primer za svaku od navedenih jednačina:

a) Linearna jednačina

b) Uslovna jednačina

c) Jednačina identiteta

d) Nekonzistentna jednačina

e) Ekvivalentna jednačina za deo (b)

2. Rešiti sledeće jednačine kroz prikaz svih koraka i ukazivanjemoperacije na desnoj strani:

a) 3( 1) 7 x b) 2

43

xc) 4( 1) 2 4 x x

d) 3 4 11 z e) 7 (3 1) 5 ( 1) x x

f) 1 1 423 3 9

x x g)

3. Rešiti sledeće probleme:

a) Cena računara nakon popusta od 22% iznosi 1,871.50 EUR.Kolika je bila cena pre popusta?

b) Zbir tri uzastopna neparna broja je 117. Koji su to brojevi?

c) Hans je 7 godina stariji od Sabine. Koliko oni imaju godinaako je zbir njihovih udvostručenih godina 66?

1 1( 3) (2 1)2 5

x x




d) Jedna strana pravougaonika je 20 cm kraća od druge. Koliko je dugačka kraća strana ako je površina pravougaonika tačno0,8 m2?

e) Dva automobila koja su udaljena 500 km jedan od drugog iduu susret jedan drugome stalnom brzinom sa razlikom od 10km/h. Kolika je njihova brzina ako će se sresti nakon 2 sata i15 minuta?

f) Biciklista vozi svoj bicikl uzbrdo brzinom od 20 km/h inizbrdo brzinom od 60 km/h. Koja je njegova prosečna brzina za ceo put (odnosno uzbrdo i nizbrdo)?

g) Razlika koja dva broja iznosi 12, dok je proizvod ta ista dva broja 493?

h) Dve porodice ţ ive na udaljenosti od 550 km jedna od druge.Ţele da se sretnu i zajednu krenu autom u 9 sati ujutro. Auto jedne porodice se kreće konstantnom brzinom od 90 km/h,drugi auto se kreće konstantnom brzinom od 110 km/h. Ukoje vreme će se sresti?




R EŠENJA 3.1: UPOTREBA JEDNAĈINA

1. a) 4 1 19 x linearna jednačina sa jednom promenljivom

b) 5 8 tačno samo za 3

c)

d) 2 3 1 3(2 4) x x

e) 2 10 16 x

2. a) b) x = 6 c) x = 0 d) z = −2

e) x = −1 f) g) x = 17

3. a) 2399,36 EUR

b) Brojevi su 37, 39, i 41.

c)

Sabina ima 13 godina, a Hans ima 13+7=20 godina.d) Kraća strana ima 80 cm, a duţ a 100 cm.

e) Brţ i auto se kreće brzinom od 116,11 km/h, dok se sporiji kreće106,11 km/h.

f) Prosečna brzina iznosi 30 km/h.

g) Dva broja su 17 i 29, ili −17 i −29.

h) Porodice će se sresti u 11:45h.

2 2 y x y x y

133

13




3.1.3 Test napretka za ,,Upotrebu jednaĉina”



1. Zbir tri uzastopna neparna broja je 279. Koji su to brojevi?

2. Kroz 5 godina Ana će biti duplo mlaĎa od svoje majke. Pre trigodine Ana je imala tri puta manje godina u odnosu na godine

koje će njena majka imati za 11 godina. Koliko godina imajudanas Ana i njena majka?

3. Kompanija proizvodi stolice i stolove na jednoj mašini. Da bi proizvela jednu stolicu, potrebna je 1 jedinica sirovog materijala i2 sata rada na mašini. Proizvodnja jednog stola zahteva 2 jedinicesirovog materijala i 3 sata na mašini. Imate 19 jedinica sirovogmaterijala u zalihama. Mašinu je moguće koristiti 34 sata. Koliko

stolica i stolova moţ ete da proizvedete?

4. Ana je kupila 2 vekne hleba i 6 kifli u pekari. Na kasi je platila4,80 EUR. Kada se vratila kući majka ju je upitala za cenu jednekifle. Ona, meĎutim, nije zapamtila cenu.

Tri dana kasnije otišla je u pekaru ponovo i kupila 3 vekne hleba i15 kifli. Račun je bio 9 EUR. Kada ju je majka ponovo upitala za

cenu kifle, priznala je da je zaboravila da pita.




Ipak, rekla je majci da je u školi naučila kako da izračuna jediničnu cenu pomoću broja jedinica i ukupne cene. Kako jeizračunala cene hleba i kifli?

5. Razlika kojih brojeva iznosi 12, a proizvod istih brojeva 493?

6. Soba je 6,6 m dugačka i 4,8 m široka. Obe strane ćemo jednakouvećati. Za koliko je potrebno uvećati obe strane tako da se površina sobe poveća za 5 m

2?

7. Kompanija proizvodi košulje. Fiksni troškovi na nedeljnom nivouiznose 17,970 EUR, dok varijabilni troškovi iznose 4.95 EUR pokošulji. Koliko košulji je potrebno prodati na nedeljnom nivou poceni od 14,95 EUR po košulji da bi se ostvario profit od 8000EUR?

8. Jedna strana pravougaonika je 20 cm duţ a od druge. Koliko jedugačka kraća strana, ako je površina 0,8 m

2?



3 . 2 L i n e a r n e j e d n a č i n e S t r a n a | 143

3.2 Linearne jednačine

Preduslovi: Da biste savladali ovo poglavlje uz što manje poteškoća, potrebno je da posedujete osnovno znanjeračunskih operacija u cilju rešavanja i

pojednostavljivanja izraza.

Ciljevi uĉenja: Cilj ovog poglavlja nije samo da naučite kako darešavate linearne jednačine, već i da proučitesvojstva takvih odnosa. Linearne jednačine ćemorešavati različitim metodama i diskutovaćemo o

postojanju i jasnoći rešenja.

Formulisanje i rešavanje jednačina su meĎunajvaţ nijim aktivnostima u primeni matematike.Linearne jednačine, jedan od najjednostavnijih

odnosa, veoma su primenjive u praksi, posebnoekonomiji. Formulisanje jednačina i sistema

3. Equations


Modelling

Solution

3.2 LinearEquations

NormalForm

Solution


Forms

Solution




jednačina je oblast od suštinskog značaja za primenulinerane algebre.

3.2.1

Normalan oblik linearne jednaĉine Najjednostavnija polinomna jednačina je ona 1. stepena, tj. promenljiva x

se javlja samo sa eksponentom 1. Ova jednačina se naziva linearna jednačina i ima najopštiji oblik:

NORMALAN OBLIK LINEARNE JEDNAĈINE

Linearna jednačina najčešće ima oblik :

0a x b

gde su 0a i b realni brojevi.

Sledeći primeri se mogu iskazati u gore prikazanom standardnom oblikulinearne jednačine.

PRIMERI

1. 2 12 2 12 0 x x

2. 5 1.3 22 1.3 ( 5 22) 0 y y

3. 6261 261 6 0 x

x

4. 4 84 (2.5 6 ) 172 62 07

y y y

Linearne jednačine u gore datom obliku zgodne su zbog toga što imajutačno jedno rešenje. Primenom operacija o kojima smo diskutovali u poslednjem odeljku, dobijamo:

0b

a x b a x b xa




Poslednji korak se uvek moţ e obaviti nakon kombinovanja (linearnih)izraza sa promenljivom x na levoj strani i apsolutnim izrazima (bez promenljive) na desnoj strani.

PRIMERI

1. 2 3 5 9 2 5 9 3 3 12 x x x x x

123

4 x

2. a x b c x d

( ) ( )a x c x b d a c x b d

withb d

x a ca c

3. 2 14( 2)

3

x x

Da bismo obavili gore pomenute operacije prvo je potrebno da

jednačinu transformišemo u normalan oblik. U tom cilju primenjujemo pravilo razlomaka i zagrada:

2 1 12( 2) 12 24 10 25 2.5 x x x x x

3.2.2 Rešenje

Da bismo rešili linearnu jednačinu potrebno je da obavimo sledećekorake:

Korak 1: Ukloniti sve zagrade ili razlomke na obe strane.

Korak 2: Zdruţ iti istovetne izraze.

Korak 3:Sabrati ili oduzeti tako da sve promenljive budu na jednoj

strani, a apsolutne vrednosti na drugoj.Korak 4: Pomnoţ iti ili podeliti da biste izolovali nepoznatu

promenljivu.




Korak 5: U slučaju da je rezultat 0 = 0, onda je jednačina zapravo jednačina identiteta i rešenje vaţ i za sve realne brojeve x

Korak 6: U slučaju da leva strana nije ista kao desna strana ili obrnuto,onda je prethodna jednačina nekonzistentna i bez rešenja.

Korak 7: Konačno, uvek se preporučuje provera validnosti rešenjastavljanjem rešenja u početnu jednačinu. Ako je rešenje

pravo, jednačina sa zamenjenim promenljivim je identitet.

PRIMERI 1. 3 2 1

3( 4) 3 2 12( 4) 14 4

x x x x

3 2 12 48 1 3 12 47 2 x x x x

499

9 49 x x

Proveriti:

499 49 55 55

9 12 12

2

3( 4) 14

2. 2 2( 6) 3 3 5( 1) x x x x

2 2 12 3 3 5 5 4 2 8 12 x x x x x x

106 20

3 x x

Proveriti:

3. 1 1 1 12 3 4 6 x x

Ukoliko su neki od koeficijenata u jednačini razlomci, preporučuje se njihova transformacija zajedničkim imeniocem;zajednički imenilac u ovom slučaju je 12:

6 34 212 12 12 12

multiplying by 12: 6 4 3 2 x x x x

3 6 2 x x

Proveriti: 1 1 1 1 4 42 3 4 6 6 6

2 2

20 10 30 10 4 43 3 3 3 3 3

2( 6) 3 5( 1)




Linearne jednačine takoĎemogu da budu rezultat konverzije racionalnihrazlomaka ili razlomačkih algebarskih iskaza. Kada se, meĎutim, promenljiva pojavi u imeniocu uvek moramo da proverimo kojevrednosti su isključene iz razloga što imenioci nikada ne mogu biti nula.

Za standardni oblik linearnog polinoma: ax b nijedna vrednost se nemora isključiti. Iskaz vaţ i za bilo koji realni broj x.

Uporedite gornji iskaz sa:

2 3

1

x

x

Zaključujemo da za 1 iskaz nije definisan iz razloga što imenilac postaje nula. Stoga, moramo da isključimo 1 . To izraţ avamo tako što pišemo:

2 3

1

x

x za 1

Jednačina:

2 3

51

x

x gde je 1

moţ e se pomnoţ iti ( 1) x kako bi postala sledeća linearna jednačina:

2 3 5( 1) x x

Rešenje originalne jednačine glasi:

zato što ova vrednost nije isključena.

PRIMERI

1. Vrednost 1

33 1 0 x x mora se isključiti.

2 3 2(3 1) 2 3 6 2 4 5 x x x x x

23

3 2 x x

2 32

3 1

x

x




5 14 3

x

Dakle rešava gornji iskaz.

2. Vrednost mora da se isključi.

Izračunatu vrednost je potrebno isključiti. Dakle, gornja jednačina

nema rešenje.

3. Sada se obe vrednosti 1 0 1 x i 2 0 2 x moraju isključiti.

3( 2) 2( 1) 3 6 2 2 8 x x x x x

Izračunata vrednost nije jednaka isključenim vrednostima; dakle8 rešava originalnu jednačinu.

54

6 32

2 1

x

x

12

2 1 0 x x

12

6 3 2(2 1) 6 3 4 2 2 1 x x x x x x

3 2

1 2 x x




VEŢBA 3.2: LINEARNE JEDNAĈINE



1. Rešiti sledeće jednačine prikazom svih koraka, ali bez ukazivanja

na operacije:

a)5 5 1

4 2 4

x xb) 3( 1) 7 y y

c) 6 1 2 3( 1) x x d) 5 ( 3) 1 0 z z

e) 4 (3 2) 2( 3) 2 4( 9) x x x

f) 1 1 1 1

2 3 6 12( 1) x x x g)

h)

2. Dati rešenje za sledeće jednačine kada je to moguće:

a) b)

c) d)

e)

3 1 2 22

10 5

x x

2 1 3 2 7

6 3 3

x x

2 36

1

x

x

2 3 5 31

9 6 2

x x x

5 252

5 5

x

x x

1 2 2

3 2 4 3 6

x x

x x

3 6

2 1 2 1

x

x x




3. Izračunati pomoću digitrona sledeće do 3 decimalna mesta:

a)

b)

c)3 0.004 12.14

2.86 (1.98 2.54)7 0.072

x x x

2.473( 1.69) 2.12 1.77516.41212.04 4.211

x x

3.12 23.45

2.4 1.33 13.2 8.54 x x




R EŠENJA 3.2: LINEARNE JEDNAĈINE

1.

a)

16

3 b) 5 c) 2 d) 1

2 z e) 14 f) 1

4

g) 25 h) 118

2. a) 94

b) 6610

6.6 c) Nema rešenja

d) 2 e) Nema rešenja

3. a) 23.2438 b) 0.8727 c) 47.23




3.2.3 Test napretka za ,,Linearne jednaĉine”

Ovo je samotestiranje za ,,Linearne jednaĉine”.


Rešenja problema se nalaze na kraju poglavlja. Svako rešenje je svedenona konačan odgovor; to moţ e biti samo jedan broj, simbol, tabela iligrafik. Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da

nastavite i započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vašerešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite naodgovarajući deo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladalitematiku poglavlja.

1. Rešiti jednačinu i eksplicitno obeleţ iti operacije koje je potrebno primeniti:

a) 3( 1) 7 x b) 4( 1) 2 4 x x c) 2 43 x

d) 3 4 11 z e) 7 (3 1) 5 ( 1) x x

2. Rešiti jednačine bez ukazivanja na pojedinačne operacije:

a) b) 3( 1) 7 y y

c)

3. Koje vrednosti morate da isključite kao potencijalno rešenje?Postoje li druga rešenja?

a) b)

c)

5 5 1

4 2 4

x x

3 1 2 22

10 5

x x

3 2; 1;2

1 2 x

x x12

6 32;

2 1

x x

x

13

2 32;

3 1

x x

x




4. Rešiti jednačine, ukoliko je to moguće:

a) b)

c)

5. Dik je 7 godina stariji od Ane. Koliko oni imaju godina, ako zbir njihovih godina čini polovinu godina njihove bake koja ima 66godina?

6. Dva ugla trougla su jednaka, a treći ugao je tri puta zbir drugadva. Koliki su uglovi? (Zbir tri ugla u trouglu je uvek 180°.)

2 36; 1

1

x x

x

5 252 ; 5

5 5

x x

x x

12

3 64 ;

2 1 2 1

x x

x x




3.3 Kvadratne jednačine

Preduslovi: Jednačine kojima ćemo se baviti u ovom poglavljunešto su sloţ enije. Imajući to u vidu, rešavanjekvadratnih jednačina zahteva iskustvo u radu saeksponentima i kvadratnim korenima.

Ciljevi uĉenja: Kvadratne jednačine često se javljaju kao

nusproizvodi prilikom rešavanja matematičkih problema. Od suštinske vaţ nosti je stoga da umeteda ih rešite. Ako ne uspete da pronaĎete rešenja zanjih (kvadratne jednačine), ne moţ e se očekivati daćete moći da rešite originalan problem.

3. Equations


Modelling

Solution

3.2 Linear Equations

NormalForm

Solution


Forms

Solution



3 . 3 K v a d r a t n e j e d n a č i n e S t r a n a | 155

3.3.1 Oblici kvadratnih jednaĉina

Sledeća jednačina je polinom 2. stepena.

STANDARDNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE

Kvadratna jednačina je polinom 2. stepena oblika:

gde su realni brojevi a,b,c i 0a

S obzirom da se javljaju gotovo isto tako često kao linearne jednačine,ţ eleli bismo da ukratko prodiskutujemo o ovoj vrsti jednačina. Naša primarna briga odnosi se na njihovo rešavanje.

Da bismo započeli proces rešavanja nastavićemo kao kod linearnih jednačina i u osnovi svih jednačina koje ţ elimo da rešimo: transformacijau standardni oblik. To znači, primenjujemo algebarske iskaze i

rasporeĎujemo istovetne izraze dok ne doĎemo do oblika datog gore.Potrebne operacije su iste kao u našoj diskusiji na početku ovog poglavlja.

PRIMERI

1.

Standardni oblik: a = 4; b = −2; c = −7

2. Kao što je detaljno diskutovano: 3

22 3 0 x x

24 1 1 4 1 (2 3) ( 1) 2 32 3 x x x x x x x x

2 0a x b x c

22 3( 2) 4 (1 2 ) ( 1) 4 x x x x

2 22 3 6 4 1 2 2 4 x x x x x

24 2 7 0 x x

4 11

2 3

x x

x




Standardni oblik: a = 2; b = −5; c = −4

3.3.2 Rešenje

Na sreću, znamo unapred da kvadratne jednačine mogu da imaju dva, jedno ili nijedno rešenje. To je zbog fundamentalnog svojstva polinomakoje dozvoljava najviše onoliko realnih rešenja koliko navodi njihov

stepen.Hajde sada da vidimo kako ćemo da rešimo kvadratnu jednačinu. Čimnapravimo standardni oblik, postoji nekoliko načina da konačnoodredimo rešenja, u zavisnosti od vrednosti parametara a, b, i c.

Sluĉaj: b = 0

Standardni oblik se skraćuje na:

Izolovanjem promenljive x na levoj strani dobijamo:

Znamo da 0a ; meĎutim, rešenje suštinski zavisi od znaka desne strane:

Za dobijamo dva rešenja računanjem kvadratnog korena:

Za c = 0, imamo samo jedno rešenje, naime: x = 0

Za nemamo realno rešenje.

2 24 1 2 3 2 5 4 0 x x x x x

2 0a x c

2 c

a

0c

a

1/2c

a

0c

a




PRIMERI

Rešiti sledeće kvadratne jednačine.

1. 2.

3.

4. por

Sluĉaj: c = 0Standardni oblik se skraćuje na:

U ovom slučaju, moţ emo da izvučemo faktor x izvan zagrade:

( ) 0a x b

Proizvod moţ e biti nula ako i samo ako je jedan od faktora na levoj straninula. Dakle, ili 0 ili 0a x b .

Ova dva uslova proizvode dva rešenja:

i

2 2 41/22

2 4 0 2 2 x x x

2 2 254

5 2 4 25 5 2 22

x x x x x x

2 554 2

x

2 2( 2) 3 6 ( 2) 9 ( 2) 9 x x x

1 22 3 1; 2 3 52 3 x x x

221 2 ( 3) ( 1) 2 3

3

x x x x x x x

x3

21/23 0 3 x

2 0a x b x

1 0 2ba




PRIMERI


1. 2.

3. za

Sluĉaj: a, b, i c ≠ 0U ovom slučaju imamo standardni oblik bez specijalnog uslova. Sadamoţ emo da diskutujemo o dva pod-slučaja, koji se uče širom sveta.

PAŢNJA

Uvek je dobro drţ ati se metoda ili formule koje ste naučili u školi.

Moţ da preferirate takozvani a,b,c oblik ili ste moţ da naučili takozvani p,q oblik . Rezultati su isti; razlika je samo u prvom koraku.

21 22 4 0 2 ( 2) 0 0; 2 x x x x x x

2 24 25 2 5

2 4 5 2 4 4 x x x x x x

2 825 5

2 0 0 x x x x x

81 2 5

0; x

22 3 1 2 3 ( 3) ( 1) 4 33

x x x x x x x x

3

21 26 0 ( 6) 0 0; 6 x x x x x




A,B,C-OBLIK

Rešenja kvadratne jednačine u standardnom obliku

su:

Radikand korena se naziva diskriminanta:

Njen znak odreĎuje broj rešenja.

Ako je imamo dva rešenja:

Ako je imamo jedno (dvostruko) rešenje:

Ako je nemamo realno rešenje.

PRIMERI


1. 21/2

2 4 4 2 ( 4) 2 362 2 4 0

2 2 4 x x x

1/2 1 22 6 1; 24

x x

2. 2 25 2 25 5 2 252 2

x x x x x x

3 92 42 3

1/22

4 ( 5) 255 25 0

2 ( 5) x x x

3 92 4

1/2 1 2

5002.09; 2.39

10 x x

2 0a x b x c

2

1/2

4

2

b b a c

a

2 4 D b a c

0 D

2

1/2

4

2

b b a c

a

0 D 1 22

b

a

0 D




3. 21/2

6 36 4 2 152 6 15 0

2 2 x x x

S obzirom da je diskriminanta 36 90 54 0 D , ne postojirealno rešenje ove jednačine.

4. 22 71 2 7 ( 3) ( 1) 2 3; 3

3

x x x x x x x x

x

21 2

( 4) 16 4 1 44 4 0 2

2 1 x x

S obzirom da je diskriminanta 16 16 0 D , postoji samo jedno(dvostruko) rešenje ove jednačine.

P,q-oblik se neznatno razlikuje od prethodnog oblika. Razlika se javljazbog varijacije kvadratne jednačine. Ako podelite standardni oblik

2 0a x b x c koeficijentom a kvadratnog izraza, gde se pretpostavlja da je 0a ; dobijamo:

2 20 0b c

x x p x qa a

Rezultat ove transformacije se često naziva normalnim oblikom.

NORMALNI OBLIK KVADRATNE JEDNAĈINE

Normalni oblik kvadratne jednačine je:

Obratite paţ nju da je koeficijent ispred kvadratnog izraza +1. Ne postojedodatna ograničenja u vezi druga dva koeficijenta p i q.

2 0 p x q




Koristeći ovaj normalan oblik moţ emo da primenimo takozvanu p,q-formulu:

P,Q-FORMULA

Rešenja kvadratne jednačine u normalnom obliku su:

Diskriminanta sada postaje:

2

4

p

D q

Njen znak odreĎuje broj rešenja:

Ako je 0 D imamo dva rešenja:2

1/2 2 2

p pq

Ako je 0 D imamo jedno dvostruko rešenje: 1 2 2

p

Ako je 0 D nemamo realno rešenje.

PRIMERI

Rešite sledeće kvadratne jednačine, koje su sasvim iste jednačine kao onekoje su rešavane u prethodnim primerima. Ipak, pre nego što primenimo

p,q – formulu jednačinu moramo da transformišemo u normalan oblik:

1. 2 22 2 4 0 2 0 x x x x (normalan oblik)

2 91 1 11 21/2 2 2 2 4

( ) ( 2) 1; 2 x x

2. 2 25 2 25 5 2 252 2

x x x x x x

2 23 32 105 25 0 5 0 x x x x

3 91/2 20 400

5 x 1 22.09; 2.39 x x

2 0 p x q

2

1/2 2 2

p pq




3. S obzirom da je diskriminanta , ne postojirealno rešenje ove jednačine.

4. 22 71 2 7 ( 3) ( 1) 2 3

3

x x x x x x x

x

za 3

S obzirom da je diskriminanta 4 4 0 D , postoji samo jedno(dvostruko) rešenje ove jednačine.

2 2 3 91/2 2 4

2 6 15 0 3 5 0 5 x x x x x

9114 45 0 D

21 24 4 0 2 4 4 2 x x




VEŢBE 3.3: K VADRATNE JEDNAĈINE



1. Transformisati sledeće u standardni oblik kvadratne jednačine:

a) b) 3 ( 2) 6( 7) x x x

c) d)

2. Rešiti sledeće jednačine izvlačenjem korena:

a)2

4 49 x b)

c) d) ( 8) 4(2 9) x x

e) 27 4 4 x

3. Rešiti sledeće jednačine koristeći a,b,c- formulu:

a) 23 4 2 3 x x b)

c) 22 6 1 0 x x d) 24 20 4 0 x x

e) 2 3 4 0 x f)

4. Rešiti jednačine date u problemu 3 primenom p,q-formule.

22 (2 1) ( 12) 0 x x x x

2 2(2 ) 4 ( 1) x x x2 2( 1) ( 2) 10 x x

2

25 2 4 25 x

x x

2(3 2) 16 x

2( 2) 6 0 x x

2 2( 1) ( 3) 3 x x




5. Transformisati sledeće jednačine u cele racionalne iskaze. Premakojoj vrednosti x je jednačina definisana?

a) b)

c) d)

6. Rešiti sledeće jednačine; obratiti paţ nju na validnost rešenja:

a) b)

c) d)

e) f)

g)

1 2 1

1 3 6 x x

14 12

x

3 20

1

x

x x

2 9

1 1

x

x x

2 21

2 2 x x

2 40

2 2

x

x x

3 40

1

x

x x

2 1 10

2 1 5 x x x

2

6 2 2( 1)0

1 1 1

x x

x x x

1 1 1

1 2 6 x x

2 1

2 2 x x




R EŠENJA 3.3: K VADRATNE JEDNAĈINE

1. a) b)c) d)

2. a) b)

c) d)

e) 24 20 4 0 x x

3. a)

b)

c)

d)

e) Nema realnog rešenja

f)

4. a)

b)

c)

d)

e) Nema realnog rešenja

f)

5. a) Definisano za 1, 3 x

b) Definisano za 0

c) Definisano za 0 1 x

2

4 2 12 0 x x2

3 42 0 x

22 6 5 0 x x 22 6 5 0 x x

71/2 2 1/2 20

2 43 3 1/2 6

1 2.12; 2 0.7863

1 9.5826; 2 0.4174

1 0.1771; 2 2.8229

1 0.1926; 2 5.1926

1 1.229; 2 2.7071

1 2.12; 2 0.7863

1 9.5826; 2 0.4174

1 0.1771; 2 2.8229

1 0.1926; 2 5.1926

1 1.229; 2 2.7071

2 10 3 0 x x

2 16 1 0 x x

2 3 0 x




d) Definisano za 1

6. a) 1 24.8284; 0.8284 x

b) 2

c) 1 21; 3 x

d) 1 24.2446; 0.6731 x

e) 6

f) 1 24; 1 x

g) 1

2 9 0 x




3.3.3 Test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine”



1. Transformisati u standardni oblik:

a) b) c)

2. Rešiti jednačine pronalaţ enjem korena:

a) b)

c) ( 8) 4(2 9) x x

3. Transformisati u normalni oblik:

a) b)

c)

22 3( 2) 4 (1 2 ) 1 x x x x

3

2

4 1

1;2 3

x

x x x

2 2(2 ) 4 ( 1) x x x

24 49 x 2(3 2) 16 x

23 4 2 3 x x

2( 2) 6 0 x x

220 4 4 x x




4. Rešiti pomoću a,b,c-formule:

a)

b)

c)

5. Rešiti pomoću p,q-formule:

a) b)

c)

6. Odrediti broj rešenja izračunavanjem diskriminante:

a) b)c)

2

2 6 1 0 x x23 5 7 0 x x

2 22( 1) (2 1) 25 x x

22 4 16 x x

2 32

1 0 x

23 2( 1) 7 0 x x

24 11 4 0 x x

2

3 2 5 0 x x2 52

5 80 x x



3 . 5 A n s w e r s t o P r o g r e s s T e s t s P a

3.4 Rešenja za testove napretka

3.4.1 Rešenja za test napretka ,,Upotreba jednaĉina”


1. Brojevi su 31, 33, i 35.

2. Ana ima 25 godina, a njena majka 55 godina.

3. 11 stolica i 4 stola

4. Jedna kifla košta 30 centi, dok hleb košta 1,50 EUR.

5. 17 i 29

6. Pribliţ no 0,423 m

7. 2597 košulja

8. Kraća strana je duga 80 cm, a duţ a strana 100 cm.




3.4.2 Rešenja za test napretka za ,,Linearne jednaĉine”


1. a) 103

b) 0 c) 6 d) 94

e) 1

2. a) 163

b) 5 c) 25

3. a) 8 b) Nema drugog rešenja

c) Jednačina je nekonzistentna

4. a) b) Nema rešenja c) Nema rešenja

5. Dik ima 20 godina, Ana ima 13 godina.

6. Dva manja ugla imaju po 22,5°, dok veći ima 135°.

94




3.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne jednaĉine”


1. a) b)

c)

2. a) b)

c) 3

3. a) b)

c)

4. a) b)

c) Nema rešenja sa realnim brojem

5. a) b)

c)

6. a) D > 0 Dva rešenja

b) D < 0 Nema rešenja sa realnim brojem

c) D = 0 Jedno dvostruko rešenje

24 4 3 0 x x 22 5 4 0 x x

22 6 5 0 x x

72

2 4

3

2 543 3

0 x2 10 4 0 x

2 5 1 0 x

1 20.177; 2.823 x 1 20.907; 2.573 x

1 24; 2 x 11 2 2

2; x

1 22.097; 1.43 x






4 . 1 S v o j s t v a f u n k c i j a S t r a n a | 173

4. Osnovne funkcije

Preduslovi: Diskusija o funkcijama zauzima vaţ no mesto umatematici. U prethodnim poglavljima smo naučili,,vokabular” i ,,gramatiku” matematičkog jezika, asada ćemo, na tim temeljima, primeniti ovaj jezik.Za to nam je potrebno razumevanje osnovnogkoncepta jednačina i pravila kojima se rukovode.Isto tako vaţ no će biti postavljanje i rešavanje

jednačina.

Elementary Algebra,


2. Basic Algebra

4. Basic Functions

1. Introduction

V o l . 1 : E l e m e n -

t a r y A g e b r a

3. Equations



174 | S t r a n a 4 . O s n o v n e f u n k c i j e

Ciljevi uĉenja: U svetlu značaja koje imaju u matematici, u ovomodeljku se daje opšti uvod u funkcije i njihovu

primenu. Zatim će se govoriti o linearnim ikvadratnim jednačinama. Iako su sa matematičkogstanovišta ovo najjednostavnije funkcije, one suveoma vaţ ne u praksi za ekonomiju i poslovanje.

U svakodnevnom ţ ivotu često se susrećemo sa glagolom ,, funkcionisati”.Kada okrenemo ključ i na taj način pokrenemo motor svog automobila,moţ emo reći da motor pokretač dobro funkcioniše. Kada upalimo svetlo i

na taj način osvetlimo sobu zaključujemo da prekidač funkcioniše. Sličnotome, mogli bismo reći da jedna organizacija funkcioniše ako sve ide po planu. U svakom gore navedenom slučaju kaţ emo ,,funkcioniše” kadaakcija vodi očekivanoj i ţ eljenoj reakciji.

Ukoliko ţ elimo matematički da opišemo akcije i reakcije, paljenjeautomobila ili svetla nisu posebno interesantni primeri s obzirom da suzasebni dogaĎaji. Uzmimo, meĎutim, kao primer račun za komunalneusluge gde konačan iznos direktno zavisi od upotrebe. U ovom slučaju

akcija je upotreba, a reakcija iznos prikazan na fakturi; stoga, postojigotovo beskonačan broj mogućih odnosa:

Akcija Reakcija

Obe strane ovog odnosa mogu se opisati upotrebom brojeva. Iz toga sledida matematika moţ e efikasno da posluţ i kao jezik kojim se opisujuzavisnosti izmeĎu upotrebe i računa.

Ovo je zapravo jedan od glavnih koncepata u matematici: opisati odnose

izmeĎu faktora koji vrše uticaj jedan na drugog, i pravila koja odreĎujukako se taj uticaj vrši, pomoću jednačina. Jednačinom se navodi relacijaizmeĎu različitih promenljivih. Ukoliko ţ elimo da opišemo reakcijufaktora (datog promenljivom, recimo y) na akciju nekog drugog faktora(izraţ enog drugom promenljivom, recimo x), mogli bismo da napišemo:

Vrednosti akcije se biraju iz niza realnih brojeva, nazvanog domen

relacije. Pravilo proizvodi drugi niz brojeva – obično takoĎe realni brojevi – koji se naziva podruĉje.

Action x Rule or Relation

Reaction y




U matematici se relacija izmeĎu različitih promenljivih naziva,,funkcija”. Funkcije čine ključni ,,vokabular” u jeziku ,,matematika”,zato što se praktično sve zavisnosti od realnih problema moraju opisati usmislu funkcija kako bi se primenila matematika na njihovo rešavanje.Odnosno, model se u suštini sastoji od niza funkcija. Ako ţ elimo dakoristimo modele moramo da znamo šta da radimo sa njima.

Gotovo sve u matematici je vezano za koncept funkcija. Ipak, to ne značida moramo da naučimo sve o njima. Na sreću, lako se moţ emo ograničitina

najosnovnije funkcije,

njihovo predstavljanje,

njihova svojstva, i

njihovu upotrebu.

Sledeći metodološki pristup prva dva poglavlja, počećemo od opštihsvojstava funkcija pre nego što produţ imo da istraţ imo linearnefunkcije i kvadratne funkcije, koje su veoma korisne za opisivanjeekonomskih odnosa.

Ipak, pre nego što počnemo da govorimo o specijalnim funkcijama, hajdeda prodiskutujemo o tome kako moţ emo da predstavimo sadašnjefunkcije. Na raspolaganju su nam tri opcije:

Tabela vrednosti

Grafik

Algebarska jednačina

Koje su prednosti i nedostaci različitih koncepata reprezentacije? Hajdeda kratko prodiskutujemo o njima kroz primer računa za struju:

Pretpostavka je da postoji fiksni mesečni trošak od 15 EUR zanabavku instalacija i strujomera.

Pored toga, za svaki kWh (kilovat-sat, jedinica kojom se meriupotreba električne energije) potrebno je da platimo 0,11 EUR =11 centi.




TABELA VREDNOSTI

Da bismo predstavili zavisnosti izmeĎu upotrebe i troškova, moţ emo da

napravimo tabelu kojom je predstavljen celokupan raspon upotreba. Radi jednostavnosti, hajde da počnemo sa 200 kWh, povećavajući ovuvrednost za po 10 kWh do konačnih 310 kWh. Za svaku vrednostupotrebe računamo trošak i predstavljamo rezultat na listi sa parovima brojeva:

Upotreba [kWh] Trošak [EUR]

200 37.00210 38.10

220 39.20

230 40.30

240 41.40

250 42.50

260 43.60

270 44.70

280 45.80

290 46.90

300 48.00

310 49.10

Tabela 4.1: Tabela vrednosti funkcije

Leva kolona sadrţ i niz promenljivih (akcija) vrednosti koje će bitimodifikovane u odreĎenom domenu – obično sa fiknim veličinama.Veličina (skala) se mora odrediti tako da odgovara svrsi u koju će setabela koristiti. Desna kolona sadrţ i zavisne (reakcija) vrednosti. Ovajniz se naziva podruĉje tabele vrednosti.

Liste sa parovima vrednosti poput ove široko se upotrebljavaju u mnogim

situacijama u realnom ţ ivotu. Cenovnici, liste stanja na računu, ceneakcija, kursne liste, temperaturne liste, itd. su sve tabele vrednosti ovevrste. One su zasigurno najrasprostranjeniji vid predstavljanja funkcija, i




zaista ne postoji bolji način da se predstavi jedna empirijska funkcija.Program za tabelarna izračunavanja, kao što je Excel, posebno je razvijenza rad sa funkcijama u formi tabela. Njihovo postojanje i rasponimplementiranih operacija jasan je dokaz praktičnog značaja tabelarnereprezentacije funkcija.

GRAFIK FUNKCIJA

Moţ emo da izaberemo apscisu Kartezijanskog koordinatnog sistema da bismo obeleţ ili jednu promenljivu vrednost – obično vrednost koja ćenezavisno varirati, tj. promenljivu akcije (u ovom slučaju upotreba).MeĎutim, pre nego što obeleţ imo tačke moramo da odredimo domen funkcije. Drugim rečima, moramo da izaberemo najniţ e i najvišenezavisne vrednosti za koje ţ elimo da predstavimo funkciju.

Zavisna vrednost (u ovom slučaju trošak prikazan na računu) moţ e sezatim obeleţ iti na drugoj koordinati (koja se naziva ordinata). Ponovo, prvo moramo da odredimo podruĉje reprezentacije, tj. raspon vrednostifunkcije koje je potrebno predstaviti. Generalno, najniţ e i najvišemoguće vrednosti odreĎuju područje funkcije.

Svaki par vrednosti predstavlja taĉku u koordinatnom sistemu (pogledatiSliku 4-1). Ako poveţ emo tačke, dobijamo krivu – u slučaju naših računaza struju, prava linija – koja se naziva grafik funkcije. Povezivanjetačaka znači popunjavanje informacija za 11 različitih tačakainterpolacijom. Sada moţ emo da pročitamo račun za struju za svakuvrednost upotrebe izmeĎu 200 i 310 kWh.

Grafička reprezentacija je ograničena na funkcije sa samo jednom

nezavisnom promenljivom na apscisi. Ordinata je rezervisana za zavisneinformacije. Shodno tome, krive se mogu predstaviti samo u ravni, tj.samo za funkcije sa jednom promenljivom. MeĎutim, poprilično jeočigledno da funkcije u realnom ţ ivotu obično zavise od više od jednogfaktora.




Slika 4-1: Grafik funkcije

Sa druge strane, grafik funkcije je daleko najlakša reprezentacija zarazumevanje zato što posmatrač takvog grafika odmah vidi sveinformacije koje su relevantne za meĎusobni odnos. Odmah uočavamoda li se funkcija povećava ili smanjuje. Maksimalne ili minimalnevrednosti je lako identifikovati, a mnoga druga svojstva kao što su nultetačke, simetrija ili kontinuitet postaju očigledni. Grafici funkcija se stogačesto koriste na predavanjima.

ALGEBARSKA JEDNAĈINA GRAFIKA

Najapstraktniji oblik reprezentacije funkcije je algebarska jednačina. Akose vrednost nezavisne akcije opiše (nepoznatom) promenljivom x, areakcija takoĎe promenljivom y, onda se ,,funkcionisanje” izmeĎu dve(ili više) promenljivih u najopštijem obliku moţ e napisati kao:

Promenljiva x se definiše u nizu vrednosti koji se zove domen funkcije f ( x).

200

37

c [€]

u [kWh]210 220 230 240 250 260 270 280 290 300 310

39

41

43

45

47

49

51

Usage of electricity

E l e c t r i c i t y b i l l

35

( ) f x




Promenljiva y na levoj strani opisuje reakciju, tj. meru za koju smozainteresovani. Naziva se zavisna promenljiva, iz razloga što menjasvoju vrednost modifikacijom akcije promenljive. Obično se smatra dazavisnu promenljivu treba izolovati na levoj strani jednačine. Ipak, ovo jestvar meĎunarodne strandardizacije.

Niz vrednosti zavisne promenljive y naziva se podruĉje funkcije f ( x).

Desna strana je obično algebarski iskaz koji koristi nezavisnu promenljivu x ili – ako vrednost y zavisi od više od jedne varijable – nekoliko promenljivih .

Jednačina se, meĎutim, moţ e samo napisati ovim izrazima ako jemeĎusoban odnos izmeĎu promenljive x i njenog uticaja na promenljivu y poznat i moţ e se opisati algebarskim iskazima. U našem primeru iznosračuna za struju čine fiksni troškovi, 15 EUR, a varijabilni troškovi 0,11EUR po jedinici, što znači da će za x jedinice promenljivog dela troškovaiznositi . Dva dela zajedno čine ukupni trošak, tj. jednaki su y,funkciji koja opisuje odnos izmeĎu upotrebe i mesečnog računa.

Oblik jednačine je ta matematička reprezentacija. Ako ţ elimo da primenimo matematiku da bismo analizirali problem prvo moramo da poznajemo matematičku reprezentaciju funkcije. Koristili smo izraz,,modelovanje” da opišemo prevoĎenje realnog problema na jezik kojinam omogućava da primenimo matematiku. Ovaj proces prevoĎenja jeključ za praktično svaku matematičku primenu. Mnoge bankarskeaplikacije direktno se oslanjaju na funkcije. Na primer, vremenskavrednost novca moţ e se savršeno predstaviti eksponencijalnim

funkcijama.Realni problemi u ţ ivotu se, meĎutim, ne mogu uvek precizno opisati usmislu algebarske jednačine. Ponekad je moguće raditi sa dobrommatematičkom aproksimacijom – kao što je to slučaj u statistici, na primer. U drugim slučajevima, moţ da moramo da ograničimo svojematematičko modelovanje na odreĎene pretpostavke. Ove pretpostavkezatim postaju vaţ an deo modela.

1 2, ,... x

0.11 x

( ) 0.11 15 f x x




4.1 Svojstva funkcija

Preduslovi: Pored osnova algebre, ne traţ e se nikakve posebneveštine. Ipak, od pomoći je opšte razumevanje ulogekoordinatnog sistema, koji će se koristiti za grafičko

prdstavljanje funkcija.

Ciljevi uĉenja: U ovom odeljku bi trebalo da steknemo opšterazumevanje – to znači bez razmišljanja ospecijalnim funkcijama – svojstava funkcija.

4. Basic Functions

4.1 Properties of

Functions

4.2 Linear Functions

Graph

Properties

4.3 QuadraticFunctions

Graph

Properties




4.1.1 Karakteristike grafika

Da bismo bili u poziciji da bolje razumemo funkcije i umemo da ih primenjujemo, sasvim je logično da moramo da naučimo više o njihovimsvojstvima. O njima će se govoriti u narednim odeljcima.

X-PRESECI I Y-PRESEK FUNKCIJE

Da bismo analizirali funkciju bez predstavljanja same funkcije nagrafiku, vaţ no je identifikovati najvaţ nije tačke i protumačiti ih. Tačkegde grafik seče x-osu nazivaju se nulte taĉke, ili jednostavno nule,

funkcije. Tačka preseka na y-osi naziva se y-presek .Funkcija seče x-osu kada je y = 0.

Funkcija seče y-osu kada je x = 0.

Da bismo pronašli tačke preseka na osama potrebno je da zamenimo nulu promenljivima y i x, tim redosledom, u funkciji. Supstitucija uvodi dve jednačine – takozvane uslovne jednaĉine. Njihovo rešenje (rešenja) surelevantne tačke.

Slika 4-2: Preseci funkcije

( ) y f x

0 y

ba c




Y-PRESEK

Obično je relativno lako pronaći y-presek. Pre svega, moţ ete da primetiteda postoji samo jedan y-presek. U suprotnom bi odnos izmeĎu akcije promenljive i reakcije promenljive bio dvosmislen i ne bi mogao da budematematička funkcija.

Postavljanjem x = 0 u funkciji dolazimo do uslovne jednačine:

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom y. Njeno rešenje je presek koji traţ imo (pogledati: Slika 4-2).

Postavljanjem x = 0 u funkciji, u mnogim slučajevima – na primer u svim polinomnim funkcijama – y-presek je jednostavno konstantan izraz.

PRIMERI

Pronaći y presek sledećih funkcija:

1.

Funkcija seče y osu u tački y = 3.

2.

Funkcija seče y osu u tački

.

3.

Koren negativnog broja je imaginaran broj. To znači da funkcija

nema y presek.

(0) f

0

22 10 3 x x

(0) 3 f

22 3( ) 8 x y y x

2(0) 2(0) 3( 0 ) 8 y y

83 8

3 y y

8

3

22 8 x

(0) 8




4. , Dobijamo dva rešenja

i . Dakle, relacija nije funkcija u

matematičkom smislu.

X-PRESECI (NULTE TAĈKE)

Preseci funkcije na x-osi se nazivaju nulte taĉke ili nule (ponekad takoĎekoreni; pa ipak, da bismo izbegli konfuziju zbog ,,korena broja”(pogledajte: odeljak 2.2.3; strana 80) ovaj termin nećemo koristiti uovom udţ beniku.

Postavljanjem y = 0 u funkciji dobijamo uslovnu jednačinu:

Ovo je jednačina sa samo jednom promenljivom x. Njena rešenja su preseci koje traţ imo (pogledati: Slika. 4-2).

Moţ ete da primetite da broj nula moţ e biti nijedna, jedna, više od jedne,ili zaista beskonačno. Prava linija koja nije paralelna x-osi ima jednunulu. Parabola moţ e da nema nijednu nulu ili ima jednu ili dve nule. Sin-funkcija ima beskonačno nula. Na Slici 4-2 funkcija ima tri nule u tački x = a, b, i c, pomenutim redosledom.

PRIMERI

Pronaći nulte tačke sledećih funkcija:

1.

Ova funkcija seče osu u tački .

2.

Funkcija ima nulte tačke u .

2 24 0 4 x y (0) 4

1 4 2 2 4 2

0 ( ) f x

( ) 2 7 f x x

72

( ) 0 : 2 7 0 x x x

72

2( ) 2 4 4 g x x x

2 2( ) 0 : 2 4 4 2 2 0 x x x x x

1/2 1 1 2 1 3 x

1/2 1 3




3.

Ova funkcija nema nijednu realnu nulu; stoga funkcija ne sečeosu.

GRADIJENT FUNKCIJE

Za razliku od pravih linija koje imaju konstantan gradijent (nagib),

gradijent nelinearne funkcije u principu nije konstantan. Menja se sa pozicijom na funkciji, odnosno zavisi od x.

Gradijent krive u odreĎenoj tački se matematički definiše kao nagibtangentne linije za tu tačku. Da bismo ovo detaljnije analizirali potrebannam je kalkulus, što nije tema ovog udţ benika. MeĎutim, koncept rastućeili opadajuće funkcije moţ e se razumeti ako posmatramo stepen do kogase vrednost funkcije menja kada promenljiva x varira.

DEFINICIJA RASTUĆE (OPADAJUĆE) FUNKCIJE

Data je funkcija i interval izmeĎu i .

Funkcija se naziva rastućom u Intervalu , ako

za

Funkcija se naziva opadajućom u Intervalu I , ako

za

PRIMER

Data je funkcija :

Za ; iz čega sledi da je funkcijarastuća za .

2( ) 4h x x

2 2( ) 0 : 4 4h x x x

( ) f x 1 2 x

1 2 1 2( ) ( ) x f x f x

1 2 1 2( ) ( ) x f x f x

2( ) f x x

2 2

1 2 1 20 and x x x x0




Za ; iz čega sledi da je funkcija

opadajuća za .

4.1.2 Inverzna funkcija

Na početku ovog odeljka govorili smo o funkciji računa za struju(pogledati: ovaj odeljak; strana 179). Za x [kWh] upotrebe električneenergije moramo da platimo

U ovom slučaju je upotreba električne energije x [kWh] bila nezavisna promenljiva. Ţeleli smo da saznamo kako iznos na računu zavisi odupotrebe električne energije. Zbog toga smo odabrali ukupan trošak kaozavisnu promenljivu. Kod ove vrste funkcije je moguće izračunatiukupan trošak bilo koje date upotrebe električne energije. Bilo kojakompanija koja obezbeĎuje električnu energiju velikom broju klijenata bičesto koristila ovu funkciju.

Uzmimo kao primer sada da ste dobili račun od 55,26 EUR. S obziromda ste bili na odmoru, račun se čini prevelik. Iz tog razloga ste pročitalisvoj strujomer i uvideli da ste iskoristili samo 122 kWh od kada ste platili prethodni račun.

Kao stručnjak za matematiku, računate koliko kilovat časova vam jekompanija naplatila:

[kWh]

Kompanija vam je očigledno naplatila mnogo više kilovat časova negošto ste zaista potrošili.

Ovaj slučaj je primer kako se saobraznost odreĎena funkcijom moţ e preokrenuti. Sa tačke gledišta te kompanije upotreba x je nezavisna promenljiva, a račun y je zavisna vrednost (promenljiva):

Zamenom uloga dve promenljive dobijamo:

2 21 2 1 20 and x x x x0

( ) 0.11 15 f x x

55.38 55.26 0.11 15 0.11 40.26 x x

40.26366

0.11 x

( ) 0.11 15 f x x




Ova jednačina je, meĎutim, još uvek ista funkcija; algebarske operacijeizvršene u cilju izolovanja x nisu promenile funkciju. Ako sada takoĎe promenimo ulogu dve promenljive tako što ćemo ih zameniti:

dobijamo zapravo novu funkciju:

To je funkcija koja odraţ ava tačku gledišta kupca koji ţ eli da zna kolikomu kompanija naplaćuje uslugu (pod pretpostavkom da to na računu nijeeksplicitno navedeno!). Kao što je primerom ilustrovano, obrnut odnosizmeĎu dve promenljive proizvodi novu funkciju koja se nazivainverznom funkcijom (često se piše ) u odnosu na originalnu

funkciju .

Inverzija ima značajnu ulogu u matematici. Već tokom naših prvih

načinjenih koraka u matematici naučili smo da u slučaju mnogihoperatora postoji drugi operator koji menja efekat prvog. Operacijesabiranja (+) i oduzimanja (−) su meĎusobno inverzne. Ako prvo dodamo broj na x, a zatim oduzmemo isti broj od x rezultat je x:

Mnoţ enje (·) i deljenje (÷) su drugi par inverznih operatora:

Diferencijacija i integracija se takoĎe meĎusobno potiru zbog čega suinverzne operacije.

Slično tome, inverzne funkcije su funkcije koje će, kada se uzastopno primenjuju, potirati meĎusobni efekat na nezavisnu promenljivu; iz čega proizlazi,

U daljem tekstu udţ benika ćemo videti da se mnoge vaţ ne funkcije (na primer, logaritamske funkcije) zapravo definišu kao inverzije drugihfunkcija (na primer, eksponencijalnih funkcija). U ovom odeljku ćemo

15( )

0.11

y g y

y

115( ) ( )

0.11

x g x f x

1( ) x

( ) x

2 2 x

( ) x a a x

1 1( ) ( ) f x f f x x




ukratko razviti tehnike koje će nam pomoći da ustanovimo da li inverznafunkcija postoji, da odredimo neka opšta svojstva inverznih funkcija, imetode pronalaţ enja inverzne funkcije.

JEDAN-NA-JEDAN FUNKCIJE

Funkcija je jedan-na-jedan ako svaki element u području funkcijeodgovara tačno jednom elementu u domenu.

Funkcija je jedan-na-jedan ako i samo ako svaka horizontalna linija sečegrafik funkcije u najviše jednoj taĉki. Dakle, funkcija na Slici 4-3 (a)nije jedan-na-jedan, jer horizontalna linija seče grafik u dve tačke, dok jefunkcija na Slici 4-3 (b) jeste jedan-na-jedan.

Konstantno rastuće (opadajuće) funkcije su jedan-na-jedan.

Slika 4-3: y = f(x) nije jedan-na-jedan, y = g(x) jeste jedan-na-jedan

Inverzna funkcija jedan-na-jedan funkcije f , označena 1 , je funkcija

formirana zamenom svih ureĎenih parova , ( ) y f x pr omenljivih i

odgovarajućih vrednosti funkcije. Stoga, ako zamenimo x i y ufunkcionalnoj jednačini i izolujemo y u rezultujućoj jednačini, dobijenafunkcija će biti inverzna funkcija.

x1

Two intercepts with a horizontal line

x2

x

y

(a)

y = f ( x)

x3 x

y

(b)

y = g ( x)

One intercept with a horizontal line




Zamena uloge promenljivih x i y znači da preslikavamo ose koordinatnogsistema kao odraz u ogledalu na liniji pod 45° u prvom kvadrantu.TakoĎe, zamenom imena promenljivih znači da imena osa ostaju.Rezultat ove procedure za dve funkcije na Slici 4-3 su grafici na Slici 4-4.

Slika 4-4: Preslikavanje dve funkcije na liniji pod 45°

Ako sada pogledamo dve preslikane funkcije (boldovane krive)zaključujemo da preslikavanje funkcije 1( ) f x na Slici 4-4(a)

matematički više nije funkcija iz razloga što je procesom preslikavanja postala dvosmislena s obzirom da vertikalna linija ima dve sečice kodfunkcije.

Funkcija na Slici 4-4(b) je drugačija. Kada je preslikamo ona ostaje jedan-na-jedan i rezultujuća relacija je stoga funkcija. Boldovana krivana Slici 4-4(b) je inverzna funkcija 1( ) g x funkcije ( ) g x .

Mirror of a function with two

intercepts with a horizontal line

x

y

(a)

x3 x

y

(b)

Mirror of a function which intercepts

every horizontal line just once

( ) y f x

1( ) y f x

( ) y g x

1( ) y g x




SVOJSTVA INVERZNIH FUNKCIJA

Originalna funkcija ( ) f x mora da bude jedan-na-jedan; u

suprotnom inverzna funkcija ne postoji.

Rezultat zamene y je inverzna funkcija: ( ) f y

Da bismo napravili poznat oblik izolovaćemo zavisnu

promenljivu što daje: 1( ) f x

Domen 1 jednak je području f.

Područje 1 jednako je domenu f.

Grafici f i 1 su simetrični u pogledu linije y = x (linija pod

45°).




PRIMERI

1. 2( ) f x x Inverzna 1( ) f x ne postoji zato što f

nije jedan-na-jedan.

2. 2( ) for 0 f x x x je jedan-na-jedan.

2( ) f y y 1( ) for 0 f x x x

Grafici obe funkcije su:

1 2( ) y f x x

2( ) y f x x

0-0.5-1 0.5 1 1.5 2 2.5

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-0.5

-1

y

x




VEŢBA 4.1: SVOJSTVA FUNKCIJA



1. Odrediti nule sledećih funkcija:

a) b)

c) d)

e)

f) g)

2. U kojoj tački sledeće funkcije seku y-osu?

a) b)

c) d)

3. Ustanoviti nule sledećih funkcija, nacrtati grafike, i odrediti pribliţ nu najveću ili najmanju tačku grafika.

a) b)

c)

d)

2 4 x 2 3 6 y x

12

x

2 2 0 x x

( 1) ( 1) ( 2) x x x

2

23

x 2

2

3

x

x

2 3 4 y x2 3 0 x

( 2) ( 8) x x 4 x

2( ) 2 4 8 f x x x 2( ) 2 1 g x x x

212

( ) 3h x x x

2( ) 4 4 8k x x x




4. Koje funkcije su jedan-na-jedan?

a) b)

c) d)

e) f)

5. Dokazati da je g inverzna u odnosu na jedan-na-jedan funkciju f . Nacrtati grafike f, g, i liniju pod 45° stepeni u istom

koordinatnom sistemu.a)

b)

c)

d)

6. Sledeće funkcije ( ) x su jedan-na-jedan. Pronaći inverznu

funkciju 1( ) x .

a) b)

c) d)

e)

12

( ) 2 x x 13

( ) 1 x x

2( ) 4h x x 2( ) 2k x x

( ) 9m x x 2( ) 4n x x

13

( ) 3 6; ( ) 2 x x g x x

12

( ) 2; ( ) 2 4 x x g x x

2( ) 4 , 0; ( ) 4 x x x g x x

2( ) 2; ( ) 2, 0 x x g x x x

( ) 4 1 x x ( )2

x x

x

3( ) 1 x x12

( ) 16 x x

( ) 3 2 x x




R EŠENJA 4.1: SVOJSTVA FUNKCIJA

1. a) b) c)

d) e)

f) g) x = 2

2. a) b) y = 3 c) y = –16

d) y = 2

3. a) → Funkcija nema nule.

2 21

2

1 22; 0 x 1 2 31; 1; 2 x x

23

2

2( ) 2 4 8 f x x x

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18




b) nula:

c) nule:

d) nule:

2( ) 2 1 g x x x 1

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

16

18

212

( ) 3h x x x 1 23.6458; 1.6458 x

y

x

0-2-4-6-8-10-12 2 4 6 8 10

2

4

6

8

10

12

14

-2

-4

2( ) 4 4 8k x x x 1 21; 2 x

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6




4. a) jedan-na-jedan b) jedan-na-jedan c) nije jedan-na-jedan

d) nije jedan-na-jedan e) jedan-na-jedan f) nije jedan-na-jedan

5. a)

→

b)

13

( ) 3 6; ( ) 2 x x g x x

1 13

( ) ( ) 2 g x f x x

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

12

( ) 2; ( ) 2 4 x x g x x

1( ) ( ) 2 4 g x f x x

y

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8 1 2 3 4 5 6 7

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6




c)

d)

6. a) b)

c) d)

e)

2( ) 4 , 0; ( ) 4 x x x g x x

1

( ) ( ) 4 g x f x xy

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

2( ) 2; ( ) 2, 0 x x g x x x

1 2( ) ( ) 2 g x f x x

y

x

0-1-2-3-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

-4

-5

-6

1 1 1( )

4 4 x x 1 2

( )1

x x

x

1 3( ) 1 x x 1 2( ) 16 4 x x

21( ) 3 2 x x




4.1.3 Test napretka za ,,Svojstva funkcija”



1. Odrediti vrednosti funkcije za date tačke:

a) za

b) za

c) for

2. Napraviti tabelu vrednosti za funkciju u koracima od

po 1 za domen [-3; 6].

3. Odrediti nulu(nule) funkcije:

a) b)

c)

2( ) 1 x x 2;1.7; 2.3

2 1

( ) 1

x

x x1; 0; 2

1 for 0( )

1 for 0

x x x

x x2; 0; 3

2 1

2

x

x

2 4 x 2 3 5 y x

2 2 0 x x




4. Odrediti y- presek funkcije:

a)

b)c)

5. Proveriti koja od dve relacije ili je

istinita za sledeće funkcije za date tačke:

a) for

b) for

c) for

6. Odrediti nulu (nule) i y-presek, i nacrtati grafik:

a)

b) c)

7. Da li su sledeće funkcije jedan-na-jedan?

a) b)

c)

8. Odrediti inverznu funkciju za

a) b) for x > 1

2 3 4 y x

2

3 0 x( 2) ( 8) x x

1 2( ) ( ) x f x 1 2( ) ( ) x f x

4 3( ) 2 x x x 311 22 4

; x

2 4( )

1

x g x

x

1 11 22 4

; x

2( ) 6 2h x x 311 22 2

; x

2

( ) 3 x x

2

( ) 4 4 x x x2( ) 2 4 8h x x x

( ) 2 4 x x2( ) 2 4 x x x

3

( ) 5h x x

13

( ) 1 x x2( ) 1 x x



4 . 2 L i n e a r n e f u n k c i j e S t r a n a | 199

4.2 Linearne funkcije

Preduslovi: Ova nastavna jedinica se moţ e savladati bez gotovoikakvog posebnog predznanja. Ipak, od vas seočekuje da znate pravila koja se primenjuju u

algebri, npr. za rešavanje jednačina.

Ciljevi uĉenja: Linearne jednačine kao najjednostavnije funkcije umatematici logična su polazna tačka. U isto vreme,uprkos njihovoj jednostavnosti, one igraju ključnuulogu u ekonomiji iz razloga što su mnogiekonomski odnosi linearni.

4. Basic Functions

4.1 Properties of Functions

4.2 LinearFunctions

Graph

Properties


Graph

Properties




U iskazu na desnoj strani funkcionalne jednačine je polinom 1. stepena,tj. linearni polinom, i takvu funkciju nazivamo linearnom.

LINEARNA FUNKCIJA

Funkcija y je linearna funkcija ako

( ) f x a x b kada 0a

gde su a i b realni brojevi.

Domen linearne funkcije je niz svih realnih brojeva x. S obzirom davrednosti y mogu takoĎeda postanu svi realni brojevi podruĉje linearnefunkcije je takoĎeniz svih realnih brojeva.

PRIMERI

Sledeći polinomi su linearne funkcije:

1. 2. 3. 4.

Što se tiče njihove strukture linearne funkcije su definitivno najlakše. U praksi se javljaju veoma često iz razloga što su brojne primene uekonomiji i poslovanju takoĎe linearne u svojoj strukturi. Kad god seodreĎena količina roba ili usluga kombinuje sa cenama rezultat će bitineka linearna zavisnost. Iz tog razloga je zaista neophodno detaljnije proučiti linearne funkcije.

2 8 x

2 5 x

2 4 x

23

x




4.2.1 Grafik linearne funkcije

Grafik linearne funkcije je prava linija. Da bismo povukli liniju dovoljno je da znamo dve tačke na njoj. Jednu je uvek lako pronaći: samo postavimo x = 0, zatim y = b.

Tačka (0; b) se naziva y-presek zato što je tačka preseka linije sa y-osom.

Sledeća jednako interesantna tačka je tačka preseka sa x-osom. Ova tačkase naziva nulta taĉka linije, jer je vrednost funkcije ovde nula:

0 ba

x

Slika 4-5: Grafik linija

Treća korisna (i obično značajna) informacija o liniji je njen nagib (iligradijent). Nagib linije je konstanta. To je povećanje (ili smanjenje)vrednosti funkcije kada nezavisna promenljiva poveća svoju vrednost za,,1". Takva zamena x sa x + 1 menja vrednost funkcije

sa ( ) x a x b

na ( 1) ( 1) x a x b a x a b a x b a

Promena vrednosti funkcije je dakle konstantno a. Po definiciji, ovo jenajistaknutije svojstvo linerane funkcije.

2

2

1

1-2 -1

y

x

b

}a > 0

}

1

ba

x

}

}a < 0

1




.

Za pozitivan nagib a > 0 vrednost funkcije raste kada se povećava

promenljiva x. U ovom slučaju funkciju zovemo rastućom (puna linijana Slici 4-5). Ako je, sa druge strane, nagib funkcije a < 0 negativan,vrednost funkcije se smanjuje sa rastućom promenljivom vrednosti, ifunkcija se zbog toga naziva opadajuća (isprekidana linija na Slici 4-5).

Linija koja se niti povećava niti smanjuje paralelna je x-osi. S obzirom nanagib a = 0 jednačine takva linija je jednostavno:

b gde je b konstanta

Takva linija se naziva konstantna funkcija.Ukoliko nagib linije postane beskonačan, tj. , grafik postajevertikalna linija (paralelna y-osi). Funkcija je, meĎutim, sadadvosmislena, odnosno za jednu x-vrednost postoji više od jedne vrednostifunkcije (da budemo precizniji: postoji beskonačno mnogo vrednostifunkcije). Da se izrazimo matematički, ova linija više nije ,,funkcija”.

Slika 4-6: Svojstva linearnih funkcija

Dve linije sa istim nagibom, ali različitim y- presecima nazivaju separalelne linije.

a

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

b =

a = -0.75

y = b (constant)

parallel lines line through

the origin




Ako je konstanta u linearnoj funkciji jednaka nuli (b = 0), jednačina seskraćuje na:

a x Odgovarajuća linija seče obe ose u tački preseka dve ose (koja se naziva početak koordinatnog sistema).

Obratite paţ nju da se nagib vrednosti a odnosi samo na normalni obliklinearne funkcije. Funkcija

3 4 8 0 x y

je zasigurno takoĎelinearna funkcija, jer se obe promenljive u jednačini

javljaju samo u 1. stepenu. MeĎutim, to nije normalan oblik. Da bismo je predstavili u normalnom obliku, moramo da je izolujemo na levu stranu:

34

4 3 8 2 y x y x

Tek sada moţ emo odmah da identifikujemo nagib 35

a i y-presek

125

b . Koristeći ova dva svojstva moţ emo da nacrtamo liniju:

Ako ţ elimo da znamo nagib i y-presek, potrebno je da transformišemo jednačinu u normalan oblik. MeĎutim, ako ţ elimo da nacrtamo liniju,efikasnije je da koristimo takozvani ,,oblik preseka”. Ovo se odnosi natačke preseka dve ose, odnosno y-presek i nultu tačku.

Ako je jednačina linearne funkcije data u najopštijem obliku:

0a x b y c

dobićemo y-sečicu postavljanjem x = 0: c

b

dobićemo x –sečicu postavljanjem y = 0: ca

Sa dve tačke preseka na osama moţ emo da nacrtamo liniju.




Slika 4-7: Crtanje linije sa oblikom preseka

4.2.2 Svojstva linearnih funkcija

Funkcija a x b ima sledeća svojstva:

Grafik je linija sa nagibom a i y-presekom b.

Nagib raste za pozitivno a (a > 0); smanjuje se za negativno a (a <0).

Ako je a = 0 linija je paralelna x-osi.

Nulta tačka je

b

a gde je 0a .Ako je b = 0 linija seče početak kooridantnog sistema.

Dve funkcije sa istim nagibom, a različitim y-presecima su paralelnelinije.

Ne bi trebalo da bude isuviše teško nacrtati grafik linearne funkcije akose setimo da su dve tačke uvek dovoljne da precizno odredimoodgovarajuću liniju.

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

-c/b = 2

-c/a =2.66




PRIMERI

1. Odrediti nagib (a), y-presek (b), i nulu ( 0 ) sledećih linearnih

funkcija i nacrtati linije:

a) 2 3 x

2a ; 3b ; postavljanjem y = 0 rezultat je nula: 30 2

Grafik je puna linija (1) na sledećoj Slici 1.

b) 2 x – 3 y = 7

723 3 x : 2

3 ;a 73 ;b 70 2

Grafik je tačkasta linija (2) na Slici 1.

c) 3 4 45 5 5

2 x y

65

3 3 345 5 4 2 y x y x 3

4;a 3

2;b 0 2

Grafik je isprekidana linija (3) na Slici 1.

Slika 1

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3

4

-2

(Line 1)

(Line 2)

(Line 3)




2. Koji su gradijenti i y-preseci sledećih funkcija? Nacrtati grafike.

a) :

Nagib: ; y- presek: 5 → Slika 2: linea a)

b) :

Nagib: ; y- presek: 1 → Slika 2: linea b)

c) :

Nagib: 2; y- presek: 0 → Slika 2: linea c)

Slika 2

3. Napraviti jednačinu uz dat gradijent i y- presek:

a) Nagib: ; y-presek: 1 →

b) Nagib: ; y- presek: 2 →

c) Nagib: ; y- presek: →

3 5 x

3

23

1 x

23

2 x

2

2

1

1-2 -1 3

y

x

3

4

(Linea a)

(Line c)

(Line b)

5

4

23

23

1 x

2 2 2 x

1

4

1

2

1 1

4 2

x




VEŢBA 4.2: LINEARNE FUNKCIJE



1. Odrediti nagib, y-presek i nulte tačke sledećih funkcija:

a) b) c)

d) e) f) y = x

2. Nacrtati grafike sledećih funkcija:

a) b) c)

d) e)

3 2 x4

x2 2 6 x y

2 4 y 4 8 x

1

2

( ) 2 x x ( ) 3 1b x x ( )

2

x x

( ) 12

xh x ( ) 1a x




R EŠENJA 4.2: LINEARNE FUNKCIJE

1. a) je y presek, je nulta tačka

b) je y presek, je nulta tačka

c) je y presek, je nulta tačka

d) Ovo je horizontalna linija koja prolazi kroz

e) je y presek, je nulta tačka

f) Ovo je linija pod 45° koja prolazi kroz početak

2. a)

b)

22

3

0 0

3 3

2

8 2

x

12

( ) 2 x x

y

x

0-1-2-3 1 2 3 4

1

2

3

-1

-2

( ) 3 1b x x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1




c)

d)

e)

( )2

x x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1

( ) 12

xh x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

-0.5

-1

-1.5

( ) 1a x

y

x

0-0.5-1-1.5-2 0.5 1 1.5

0.5

1

1.5

2

-0.5

-1




4.2.3 Test napretka za ,,Linearne funkcije"Potrebno je da izvojite odreĎeno vreme da biste koncentrisano uradiliovaj test. Pokušajte da rešite što više problema. Nemojte da koristite ovajudţ benik da biste pronašli rešenje. Cilj ovog testa je da dobijete povratnuinformaciju o tome koliko znate ili koliko ste do sada naučili.


1. Koje funkcije su linearne?

a) b)

c) d)

e)

2. Transformisati u normalan oblik:

a) b)

c)

3. Odrediti y-presek i nulu:

a) b)

c)

2 3 x 2 3 24 y x

2 1 x 2 12 x

73

2 3 12 11 0 x x

2 3( 2) 2 x y3 2 4 7

4 3

y x x y

3 425

x y y

2 3 x 3 4 12 y x

4 2 3

3 4

x y x y




4. Odrediti y-presek, nulu, i nagib linije:

a) b)

c)

5. Nacrtati liniju nakon odreĎenja y-preseka, nule, i nagiba:

a) b)

c)

6. Odrediti funkcije nacrtanih linija:

a) b)

c)

7. Nacrtati:a) Konstantnu liniju:

b) Dve paralelne linije: i

c) Liniju nakon odreĎenja nule i y-preseka.

1

23 x 2 3 5 3 x y

3 27 3

( 1) y y

323 4 x 3 5 7 x y

31

2 4( 3) ( 1) x y

1 25 5 x 2 2

3 3 x

12

x

( ) 3 f x

12

( ) 1 f x x 12

1 x

2 3 4 x y




4.3 Kvadratne funkcije

Preduslovi: Jednačine kojima ćemo se baviti u ovoj nastavnoj jedinici će biti nešto komplikovanije. Rešavanjekvadratnih jednačina zahteva poznavanjeeksponenata i kvadratnih korena.

Ciljevi uĉenja: Kvadratne jednačine često se javljaju kaonusproizvodi kada se rešavaju matematički

problemi. Zbog toga je od suštinske vaţ nosti daumemo da ih rešimo. Ako ne umemo da rešimo

kvadratne jednačine, ne treba da očekujemo da ćemomoći da rešimo originalni problem.

4. Basic Functions

4.1 Properties of Functions

4.2 Linear Functions

Graph

Properties


Graph

Properties



4 . 3 K v a d r a t n e f u n k c i j e S t r a n a | 213

Ako je iskaz na desnoj strani funkcionalne jednačine polinom 2. stepena,tj. kvadratni polinom, funkciju nazivamo kvadratnom.

K VADRATNA FUNKCIJA

Funkcija y je kvadratna funkcija ako :

kada

gde su a, b, i c realni brojevi.

S obzirom da iskaz na desnoj strani predstavlja realan broj za sve zamenerealnog broja promenljive x, domen kvadratne jednačine je niz realnih brojeva.

Područje kvadratne funkcije je komplikovanije identifikovati. Toočigledno nije ukupan niz realnih brojeva: ako su na primer a i c

pozitivni realni brojevi, a b = 0, vrednost funkcije y će uvek biti pozitivna, a područje ne moţ e biti niz svih realnih brojeva. Pronaći ćemo

način da identifikujemo područje funkcije kasnije.

PRIMERI

Sledeći polinomi su kvadratne funkcije:

1. 2. 3. 4. 5.

U smislu njihove strukture, kvadratne funkcije pripadaju tipu funkcije

koja nam je generalno dobro poznat. Često su deo procesa rešavanjanekih drugih matematičkih problema. Dakle, vaţ no je proučiti ih iupoznati se sa njihovim glavnim svojstvima.

2( ) f x a x b x c 0a

2( ) 2 4 8 f x x x

2( ) 2 5 f x x

2( ) 3 4 10 f x x x

223

( ) f x x

2( ) 2( 2) 3 f x x




4.3.1 Completion of the SquareČak i pre nego što počnemo da proučavamo grafik funkcije, potrebno jeda se fokusiramo na koncept koji je od suštinskog značaja za kvadratnufunkciju. To je odgovor na pitanje: ,,Kako moţ emo da transformišemoopšti oblik

gde je ( ovo ćemo nazvati ,,opštioblik ")

u oblik

gde je ( u daljem tekstu ćemo ga zvatioblik temena)?

Pre nego što objasnimo proces transformisanja potrebno je da razumemozašto nam oblik temena govori mnogo više o funkciji od opšteg oblika.

Pretpostavimo za trenutak da je a > 0. S obzirom da je kvadratni izrazuvek nenegativan i rastući kada se x povećava, minimalna

vrednost funkcije će se dobiti za x = h. Zbog kvadrata u izrazukoji sadrţ i promenljivu x dobićemo istu vrednost za funkciju sve dok sudve x –vrednosti podjednako udaljene od tačke x = h. To znači da jegrafik simetričan vertikalnoj liniji koja prolazi kroz x = h. Tačka nafunkciji zove se teme funkcije.

Razmotrite datu funkciju

Da bismo konstruisali oblik temena faktorišemo konstantu 2 ispred izizraza koji sadrţ e promenljivu x:

Sada ćemo upotpuniti prva dva izraza u zagradi da bismo dobili binomni

izraz:

2( ) f x a x b x c 0a

2( )a x h k 0a

2( ) 0 x h

k

( , )h k

22 8 4 x x

2 x

2 22 8 4 2( 4 ) 4 x x x x

2 22 4 4 2 4 4 x x x x z z




Vrednost z je za sada nepoznata. MeĎutim, ţ elimo da napravimo binomoblika:

Dakle, moramo da upotpunimo izraz korenom polovine koeficijentalinearnog izraza:

Ako, meĎutim, dodamo neku vrednost moramo da ispravimo jednačinuoduzimanjem te iste vrednosti. Pošto smo dodali z = 4 moramo da

oduzmemo 4, i na taj način dobijamo:

U zagradi sada imamo binom što upotpunjavatransformaciju:

Dobijamo sledeću tabelu vrednosti za ovu funkciju:

Tabela 4.2: Tabela vrednosti parabole

Prikazivanjem na grafiku tačaka tabele vrednosti i povezivanjem tihtačaka sa krivom, dobijamo grafik prikazan na Slici 4-8. To se zove

parabola.

2 2 22 ( )h x h x h

24

24

2 2 22 4 4 2 4 4 4 4 2 4 4 8 4 x x x x x x

2 2( 4 4) ( 2) x x x

2 22 8 4 2( 2) 4 x x x

22( 2) 4 y x x

0

1

2

3

4

4

4

-4

-2

-2

Correspondingfunction

values y are

equal.

Paired values

of x

equidistant

from x = 2




Slika 4-8: Grafik kvadratne funkcije

4.3.2 Grafik kvadratne funkcije

U principu se moţ e prikazati da je grafik kvadratne funkcije uvekparabola. Svojstva parabole su već prikazana na Slici 4-5. Imasimetričnu osu koja je vertikalna linija (paralelna y-osi) koja prolazi krozteme. Ova linija se naziva osa parabole. Teme je ili najniţ a tačka (kao na

Slici 4-5) ili najviša tačka.Koeficijenti a, b i kvadratne funkcije odreĎuju da li je otvaranje parabole široko ili usko, da li teme formira maksimum ili minimum i dali se kriva otvara naniţ e ili naviše.

Kvadratna funkcija naziva se normalna parabola(pogledati: Slika 4-9). Njena kriva ima minimum sa temenom u početku iotvorena je naviše.

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x-3

-4

-2

3

4

5

54

c

2( ) f x x




Slika 4-9: Normalna parabola

Jednostavnom promenom znaka faktora u dobijamonegativnu normalnu parabolu. Njena kriva ima maksimum sa temenom u početku i otvorena je naniţ e (pogledati: Slika 4-10).

Slika 4-10: Negativna normalna parabola

Ako se teme normalne parabole prevede duţ obe ose, onda dobijamooblik temena kvadratne jednačine date:

2( ) f x x

2( ) ( ) f x x h k




sa tačkama temena . U ovom obliku konstante i predstavljaju

pomeranje normalne parabole duţ y-ose za k i duţ x-ose

za h (pogledati: Slika 4-11).

Slika 4-11: Parabola sa transformisanim temenom

Konačno, ako pomnoţ imo kvadratni izraz faktorom a > 1, otvaranje parabole će postati uţ e iz razloga što y-vrednosti postaju veće. Ako pomnoţ imo faktorom 0 < a < 1, parabola se šire otvara, zato što y-

vrednosti postaju manje. Ako pomnoţ imo faktorom a < 0, onda će secela parabola okrenuti 180° oko temena kao tačke obtanja.

( , )h k h k 2( ) f x x

2

2

1

1-2 -1

-1

y

x-3

-2

3

4

5

54

k

h




Slika 4-12: Otvaranje parabole

Moţ ete primetiti da kvadratna funkcija o kojoj smo govorili na početkuovog odeljka

ima dva x -preseka, tj. dva preseka x-ose. Ove tačke se uopšteno zovunulte taĉke funkcije, ili jednostavno nule, zato što je vrednost funkcijeovde nula. Da bismo izračunali nulte tačke, moramo da postavimo y = 0 unašu funkciju (pogledati: odeljak 3.1; strana 183). Rezultujuća uslovna jednačina

moţ e se transformisati u normalan oblik i rešiti pomoću p,q-formule(pogledati: odeljak 3.3; strana 161):

2( ) 2 8 4 f x x x

20 2 8 4 x x 2 4 2 0 x

1/2 2 4 2 2 2




Stoga, parabola ima dve nulte tačke:

iIste nule će se računati ako ţ elimo da primenimo a,b,c-formulu(pogledati: odeljak 3.3; strana 158):

Moţ ete da primetite da kvadratna funkcija moţ e takoĎe da ima jednunultu tačku ako kriva samo dodiruje x-osu, ili čak nultu tačku ako je krivaili potpuno iznad ili potpuno ispod x-ose. Koji će se od sledeća tri slučaja javiti zavisi od diskriminante (pogledati: odeljak 3.3; strana 158).

NULTE TAĈKE KVADRATNE JEDNAĈINE

Kvadratna funkcija oblika

gde je

ima nulte tačke za:

.

Za postoje dva različita rešenja sa realnim brojem,

postoji jedno rešenje sa realnim brojem,

ne postoji nijedno rešenje sa realnim brojem.

1 2 2 2 2 2

2

1/24 8 64 32

2 22 4

b b a c

a

2( ) f x a x b x c 0a

2

1/24

2

b b a c

a

2 4 0 D b a c

2 4 0 D b a c

2 4 0 D b a c




PRIMERI

Koje su nule funkcije:

1.

2. S obzirom da diskriminanta rezultuje kvadratnim korenomnegativnog broja, ova funkcija nema realne nulte tačke.

3.

Funkcija ima samo jednu nulu.

Obratite paţ nju na vaţ ne rezultate koje smo dobili transformacijom opštekvadratne funkcije:

gde je

upotpunjavanjem kvadrata u obliku temena:

gde je

Ako počnemo sa opštom kvadratnom funkcijom iupotpunimo kvadrat, dobijamo:

Primenjujemo znanje kvadriranjem izraza unutar zagrade da bismodobili:

2( ) 2 6 4 x x x

2 22 6 4 0 3 2 0 x x x x

1/2 1 2

3 9 82; 1

2 x x

21/2

2 4 16( ) 2 4

2 x x x x

2 2( ) 3 6 3 3 6 3 0 x x x x x

1/2

6 36 361

6 x

2( ) x ax bx c 0a

2( ) ( ) x x h k 0a

2( ) x a x b x c

2( ) b ca a

x a x x

2 2

2 24 42( ) b ba ab ca a x a x x




Kada napravimo prva tri izraza kao savršen kvadrat i dodamo treći ičetvrti izraz dobijamo:

Zatim se zagrade otvaraju:

PoreĎenjem ove poslednje jednačine sa oblikom temena kvadratne

funkcije imamo :

što su tačke temena parabole.

Iz ovog oblika moţ emo da zaključimo koje su glavne karakteristikekvadratne funkcije.

2

2

2 42 4

( ) b b a ca a

x x a

224

2 4( ) b b a c

a a x x a

2

( ) ( ) x x h k 2 4

( , ) ,2 4

b b a ch k

a a




4.3.3 Svojstva kvadratne funkcije

Kvadratna funkcijagde je

ima sledeća svojstva.

Osa (simetrije):

Teme:

Maksimum / Minimum:

Grafik:

Kriva:

Domen: Svi realni brojevi

Područje: Ili iz {minimum, ∞} ili iz {−∞, maksimum}

PRIMERI

Odrediti oblik temena sledećih kvadratnih funkcija i nacrtati njihovegrafike:

1. Transformisati funkciju u oblik temena kompletiranjem kvadrata

2( ) x a x b x c 0a

2

b

a

2 4( , ) ,

2 4

b b ach k

a a

2

Minimum if 0( )

Maximum if 0ba

a

a

opens upwards for 0

opens downwards for 0

a

a

gets narrower if 1

is a normal parabola if 1

gets wider if 1

a

a

a

2( ) 2 5 2 f x x x

2 25 5 25 254 2 16 16

2( 2 ) 2 2 2 x x x x

2 25 25 5 94 16 4 8

2 ( 2) ( ) 2 2 x x




Kriva je otvorena naniţ e sa dve nule.

2.

Kriva dodiruje x-osu; ima samo jednu nultu tačku.

Kriva nema nule.

Grafici tri funkcije su dati na sledećoj Slici 4-13.

Slika 4-13: Grafik tri parabole

212

( ) 2 2 g x x x

2 21 12 2

( ) ( 4 4) ( 2) g x x x x

234

( ) 2h x x x

2 23 34 2 4 44 3 4 3 9 9

( ) 2 2 2h x x x x x

23 524 3 3( )h x x




DETALJNA DISKUSIJA O KVADRATNOJ FUNKCIJI

U ovom odeljku govorimo o kvadratnoj funkciji:

Bez računanja moţ emo da kaţ emo da je parabola otvorena navišezato što a = 2 > 0. Ima minimalnu tačku temena.

Nulte tačke funkcije su:

Funkcija ima dve nule u: i

Oblik temena funkcije je:

Funkcija ima minimum u .

Njen domen je: svi realni brojevi Njeno područje je (uključujući levu tačku).

Grafik funkcije dat je na Slici 4-14.

2( ) 2 6 2 f x x x

2 20 2 6 2 0 3 1 0 x x x x

3 91/2 2 4

1

531 2 2

531 2 2

2 2 3 9 92 4 4

2 3 2 2 2 2 x x x x

2

3 52 2( ) 2 f x x

3 52 2

;

52

[ , )




Slika 4-14: Grafik koji ilustruje navedeno




VEŢBA 4.3: K VADRATNE FUNKCIJE



1. Odrediti nule sledećih funkcija:

a) b)

c) d)

e) f)

2. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećih

funkcija i ustanovite da li imaju maksimum ili minimum.

a) b)

c) d)

e)

3. Prodiskutovati o karakteristikama sledećih funkcija sa fokusomna nule funkcije i tačku obrta. Nacrtati grafik.

a) b)

c) d)

2( ) 3 2 1 x x x 2( ) 6 2 x x x

2( ) 6 5 x x x 2( ) 5 15 10 x x x

2( ) 2 4 x x x 2( ) 6 12 6 x x x

2( ) 6 10 x x x 252

( ) 2 1 x x x

2( ) 2 2 x x 2( ) 3 4 1 x x x

21 12 2

( ) x x x

2( ) 2( 3) 6 x x 212

( ) 2 4 x x x

2 94

( ) 3 x x x2( ) 3 2 x x x




R EŠENJA 4.3: K VADRATNE FUNKCIJE

1.

a) Ova funkcija nema nulte tačke. b)c) d)

e) f)

2. a) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u (3; –1)

b) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u

c) Parabola se otvara naviše; minimum u

d) Parabola se otvara naviše; minimum u

e) Parabola se otvara naniţ e; maksimum u

3.

a) tačka temena: (h, k ) = (3, -6);nulte tačke: ; otvara se naviše

1

1 23 ; 0 x

1 25; 1 x 1 22; 1 x

1 21.236; 3.236 x 1 1

725 5

;

0; 2

723 3

;

1;1

2

( ) 2( 3) 6 f x x1/2 3 3

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8




b) tačka temena: (h,k ) = (2; 2);

nenma realnih nultih tački; otvara se naviše

c) tačka temena: ; jedna

nula: : otvara se naviše

212

( ) 2 4 g x x x

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-

2 94

( ) 3 f x x x 32

( ; ) ; 0h k

31 2

y

x

0-2-4-6-8-10 2 4 6 8 10

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

-1

-2

-3

-4

-5




d) tačka temena: ; nulte

tačke: ; otvara se naniţ e

2( ) 3 2 f x x x 3 12 4

( ; ) ;h k

1 22; 1 xy

x

0-1-2-3-4-5-6-7-8-9 1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

-9

-10

-11




4.3.4 Test napretka za ,,Kvadratne funkcije"



1. Nacrtati:

a) (normalna parabola)

b) ( y-pomerena negativna normalna parabola)

c) ( x-pomerena normalna parabola)

d) ( x- i y-pomerena negativna normalna parabola)

2. Odrediti y-presek i nule:

a) b) c)

2 x

2 2 x

2( 1) x

2( 1) 2 x

2( ) 2 4 6 f x x x

24 (3 2) x

23 4 6 9 0 y x x




3. Odrediti koordinate temena kompletiranjem kvadrata sledećihfunkcija i ustanoviti da li imaju maksimum ili minimum.

a) b) c)

4. Odrediti osu simetrije i teme:

a) b)

5. Odrediti minimum ili maksimum, datim redosledom, za:

a) b)

6. Odrediti broj nula kvadratnih funkcija pomoću diskriminante:

a) b) c)

2( ) 4 2 f x x x

23 72 2

( ) 2 g x x x

2( ) 2 5h x x x

22 4 8 x x

22 13 2

( ) 2 x

22 4 2 x x

2 522 3 0 x x

2 5 32 2

3 x x

25 10 5 x x

22 2 4 x x




4.4 Rešenja testova napretka

4.4.1 Rešenja testa napretka za ,,Svojstva"Potrebno je da proverite svoja rešenja. Ako su tačna, moţ ete da nastavitei započnete sledeće poglavlje. U bilo kom drugom slučaju (vaše rešenje je pogrešno ili nemate rešenje) potrebno je da se vratite na odgovarajućideo u udţ beniku koji treba da ponovite kako biste savladali tematiku poglavlja.

1. a)

b) Nedefinisana;

c) funkcija nije definisana u ovoj tački;

2. x -3 -2 -1 0 1 2

y=f(x) -1,6 -0,75 0 0,5 0 nedefinisano

x 3 4 5 6

y=f(x) 8 7,5 8 8,75

3. a) x = 2 b) c) x = 0.2

4. a) y = 2 b) y = 3 c) y = -16

5. a) b) c)

(2) 1.732; (1.7) 1.375; ( 2.3) 2.071 f f

( 1) (0) 1; 2 0.4142 f

( 2) 3; (0) f

(3) 4

53

1 2( ) ( ) x f x 1 2( ) ( ) x g x 1 2( ) ( )h x h x




6. a) nule: ; y-presek: y = 3

b) nule: y-presek: y =0

c) Nema nula; y-presek: y = 8

1/2 1.732

2( ) 3 f x x

1 20; 1; x

2( ) 4 4 g x x x




7. Da li je sledeća funkcija jedan-na-jedan?

a) → Tačno, ovo je linearna funkcija sa y- presekom u i x-presekom u .

b) → Netačno, ova funkcija seče x-osu dva puta u i .

c) → Tačno, ova funkcija seče x-osu jednom u

8. Odrediti inverznu funkciju za

a) b)

za x ( x element niza realnih brojeva)

2( ) 2 4 8h x x x

( ) 2 4 x x

4 2

2( ) 2 4 x x x

1 1.86 2 1.69

3( ) 5h x x

1.71

113

( ) 1 ( ) 3 3 x x f x x

2( ) 1 for 1 x x x

1 2( ) 1 g x x




4.4.2 Rešenja testa napretka za ,,Linearne funkcije"


1. a) Linearna

b) Linearna

c) Nelinearna

d) Linearna

e) Linearna

2. a) b) c)

3. a) y-presek ; nula x

b) y-presek nula

c) y-presek nula

4. a) y-presek ; nula x ; nagib

b) y-presek ; nula x ; nagib

c) y-presek ; nula x ; nagib

2 3 x

2 3 24 y x

2 1 x

2 12 x

73

2 3 12 11 0 x x

823 3 x 17 28

19 19 x 3 4

11 11 x

332

4; 3

6;625

3 612

4 623

2

36

2123




5. a) -presek ; nula ; nagib

b) y-presek ; nula ; nagib

c) y-presek ; nula ; nagib

34

98

23

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

323 4

y x

75

73

35

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

3 5 7 x y

392

23

4

4

2

2-4 -2

-2

6

y

x

312 4

( 3) ( 1) x y




6. Odrediti funkcije nacrtanih linija:

a)

b)

c)

1 25 5 x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 23 3 x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

1

2 x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x




7. a)

b) i

c)

( ) 3 f x

4

2

2

1-2 -1

-2

3

y

x

( ) 3 y f x3

12

( ) 1 f x x 12

1 x

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

12

( ) 1 y f x x

12

1 y x

2 3 4 x y

2

2

1

1-2 -1

-1

3

y

x

2 3 4 x y




4.4.3 Rešenja za test napretka za ,,Kvadratne funkcije"


1. a) (normalna parabola)

b) ( y- pomerena negativna normalna parabola)

2 x

2 2 x




c) ( x- pomerena normalna parabola)

d) ( x- i y- pomerena negativna normalna parabola)

2. a) y presek nule

b) y presek nule

c) y presek nema nula

2( 1) x

2( 1) 2 x

6; 3, 1

0;43

0,

3;




3. a) Minimum; (h,k ) = (–2, –6)

b) Minimum;

c) Maksimum;

4. a) Osa simetrije teme

b) Osa simetrije teme

5. a) Minimum u

b) Maksimum u

6. a) D < 0: Nema nula

b) D = 0: Jedna nula

c) D > 0: Dve nule

2323 3

( , ) ,h k

5 254 8

( , ) ( , )h k

1; ( , ) ( 1, 5)h k

12

; 12

( , ) ( , 2)h k

1 (1) 0 y

3 3 114 4 8

( ) y



I n d e k s p o j m o v a S t r a n a | 243

Indeks pojmova

A

action..................................................... 175

algebra ..................................................... 12

algebraic equation

functions ........................................... 176

allowance ................................................ 44

B

base ................................................... 42, 60

binomial ................................................... 96

binomial formulas .................................. 100

brackets ................................................... 18

C

common denominator ............................. 30

contradiction ......................................... 125

cross-multiplication ............................... 138

D

decimal .................................................... 34

decimal system ........................................ 34

deduction ................................................ 44

degree ..................................................... 95

denominator ............................................ 24

common .............................................. 29

discount ................................................... 44

discriminant ...........................................221

domain................................... 178, 179, 190

E

equation ................................................ 121

linear ................................................. 145

polynomial ........................................ 124

quadratic ........................................... 156

exponent .................................................. 60

fractional ............................................. 71

integer ................................................. 63

negative .............................................. 61

expression

algebraic ........................................ 18, 94fractional ........................................... 106

F

fraction

division ................................................ 28

expanded ............................................ 27

mixed .................................................. 32

multiplication ...................................... 27proper ................................................. 33

reduced ............................................... 26

fractions ................................................... 24

function

algebraic equation ............................ 176

constant ............................................203

domain .............................................. 179

gradient .............................................185

graph ................................................. 176

increasing ..........................................185

inverse .......................................186, 188

linear .................................................201

mirrored ............................................189

one-to-one ........................................188

quadratic ...........................................214

range ................................................. 180

slope ..................................................185

value-table ........................................ 176

G

gradient ..................................................185

graph



244 | S t r a n a I n d e k s p o j m o v a

functions ........................................... 176

I

identity .................................................. 125

inconsistency ......................................... 125

inconsistent ........................................... 125

integer numbers ...................................... 14

inverse function .............................186, 188

irrational .................................................. 35

irrational numbers ................................... 14

L

linear equation ...................................... 145

normal form ...................................... 145

solution ............................................. 146

linear equations

solution ............................................. 145

linear function .......................................201

lines

parallel ..............................................203

M

modelling ............................................... 126

N

natural numbers ...................................... 14

normal form .......................................... 162normal parabola ....................................218

numbers .................................................. 14

numerator ............................................... 25

O

one-to-one function ..............................188

opening

parabola ............................................219

operations

allowed ............................................. 130

P

parabola .................................................216

normal ...............................................217 opening .............................................219

parentheses ....................................... 19, 61

percentage ............................................... 41

base..................................................... 42

in the base ........................................... 46

of the base .......................................... 46

proportion........................................... 42

percentages

multiple ............................................... 48

periodic .................................................... 35

polynomial ............................... 95, 124, 214

power ....................................................... 60

principal root ........................................... 72

problem analysis .................................... 126

properties

functions ...........................................181

integer exponents ...............................63

inverse functions ...............................188

linear functions .........................204, 205

negative exponents .............................65

parabolas ..........................................217 polynomials .........................................98

quadratic functions ...........................222

radicals ................................................84

rational exponents ..............................74

real numbers .......................................15

Q

quadratic completion .............................216

quadratic equation ................................ 156

a,b,c-form .......................................... 160

normal form ...................................... 161

standard form ................................... 156

quadratic function .................................214

general form .....................................215

properties..........................................222

vertex ................................................215

zero points ........................................221

R

radical ...................................................... 80



I n d e k s p o j m o v a S t r a n a | 245

radicand ................................................... 80

range.............................................. 180, 190

rational .................................................... 35

rational numbers ..................................... 14

reaction ................................................. 175

real numbers ........................................... 14

rebate ...................................................... 44

remainder

mixed fraction ..................................... 33

root

principle .............................................. 72

S

slope of a line ........................................202

slope of tangent line ..............................185

solution .................................................. 124

equations .......................................... 130

square root .............................................. 71

V

value tablefunctions ........................................... 176

variables ................................................. 126

dependent ......................................... 180

VAT ........................................................... 44

X

x -intercept

function .............................................184

parabola ............................................220

Y

y -intercept ..................................... 183, 202

y -intersept

line ....................................................204

Z

zero points .....................................184, 202

quadratic function .............................221

zeros....................................................... 184



246 | S t r a n a N a p o m e n e



N a p o m e n e S t r a n a | 247



248 | S t r a n a N a p o m e n e

Documents

Math 1 Serbian Version1