Mathematical Analysis

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微分中值定理及其应用第六章

3

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析

§1 拉格朗日定理和函数的单调性§2 柯西中值定理及不定式极限§3 泰勒公式§4 函数的极值与最值§5 函数的凹凸性与拐点§6 函数图象的讨论


第一讲§1 拉格朗日定理和函数的单调性


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问题背景0

5-8

Background

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析回忆：导数的意义函数在一点处的变化率；函数在一点处的局部变化性态。辩证地看问题局部与整体是一个事物的两个方面，二者关系密不可分；理论研究和实际应用中，都常常需要通过局部把握整体。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析如何实现？中值定理正是对这一问题的理论诠释。中值定理要揭示函数自身在某区间上的整体性质与该区间内部某一点的导数之间的关系。中值定理既是利用微分学知识解决应用问题的数学模型，又是解决微分学自身发展的一种理论性数学模型。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析粗略地说：微分中值定理断言：函数在指定区间内的平均变化率可以通过区间内某一点的变化率来反映，因此函数在指定区间内某一点的导数可以确定其在该区间上的整体变化量。其核心是拉格朗日 (Lagrange) 中值定理，罗尔(Rolle) 定理是它的特例，柯西 (Cauchy) 定理是它的推广。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析本讲内容罗尔 (Rolle) 中值定理拉格朗日 (Lagrange) 中值定理应用举例单调函数的刻画


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罗尔中值定理1

Rolle’s Mean Value Theorem

15-23


若函数 f 满足如下条件 :

则在 (a, b) 内至少存在一点 , 使得( ) 0.f

(i) f 在闭区间 [a, b] 上连续 ;

(ii) f 在开区间 (a, b) 内可导 ;

(iii) f (a) f (b).

定理 6.1( 罗尔中值定理 ) (Michel Rolle 1652 - 1719)


(a, b), 使得 ( ) 0.f

(i) f 在 [a, b] 上连续 ;

(ii) f 在 (a, b) 内可导 ;

(iii) f (a) f (b).

几何意义：条件

结论： a b1 2 x

y

o

)(xfy C

.f 在点的切线是水平的

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析物理意义：变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明思路分析 : (a, b), 使得 ( ) 0.f

这是一个存在性问题！存在性问题有两种通用的证明方法：反证法构造法（构造、验证）

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析从几何意义看出 :

a b1 2 x

y

o

)(xfy C

所找的点应该是函数取到最大值或最小值的点！

问题：这样的点是否一定在 (a,b) 内存在？如果存在，这样的点具有什么特征？

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析分析 :

闭区间上连续的函数一定存在最大值 M

和最小值 m ！端点处函数值相同，不可能同为最大值 M

和最小值 m ，除非常值函数。最大值或最小值必定在 (a,b) 内某点达到。


这样的点一定在 (a,b) 内存在！ (a,b) 内的最大值或最小值点一定是极值点。极值点的特性可以由费马定理刻画费马定理（定理 5.3 ）可导函数在极值点处的导数为0 。这样的点处导数为 0 ！

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明（ 1 ）如果 f 是常值函数，则 f (x) 0.

(2) 一般情况，由于函数 f 在闭区间 [a,b] 上连续，因此一定在 [a,b] 取到最大值 M 和最小值 m M 。由于 f (a) = f (b) ，该值不可能同为最大值 M 和最小值 m 。因此最大值或最小值必定在 (a,b) 内某点达到，该点一定是极值点。由于 f 在（ a,b ）可导，由费马定理， f () = 0 。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析注：罗尔定理中的三个条件缺少任何一个 , 结论将不一定成立。

0 11. ( )

0 1x x

f xx

例

x

y

0 1

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析232. ( ) , 8 8f x x x 例

x

y

08 8

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析3. ( ) ,0 1f x x x 例

x

y

0 1

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析罗尔 (Rolle,Michel, 1652-1719) ，法国数学家，自学成材。主要成就：代数方面，专长于丢番图方程的研究。反对微积分。认为：“微积分是巧妙的谬论的汇集”，直到 1706 年秋，才认识到微积分的价值。建立 Rolle 定理。 1691 年出版论著《方程的解法》，证明了：在多项式方程两个相邻的实根之间，至少有该多项式导数的一个实根（当时没有导数概念）。这个定理本来和微分学没有关系，但在 1846 年 Giusto

Bellavitis 将这一定理推广到可微函数，并把此定理命名为 Rolle 定理，一直沿用至今。 18


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拉格朗日中值定理2

17-40

Lagrange’s Mean Value Theorem


若函数 f 满足如下条件 :

则在 (a, b) 内至少存在一点 , 使得

(i) f 在闭区间 [a, b] 上连续 ;

(ii) f 在开区间 (a, b) 内可导 .

定理 6.1( 拉格朗日 (Lagrange) 中值定理 )

( ) ( )( ) .f b f afb a

拉格朗拉格朗日公式日公式

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析问题解读一点的导数代表一点处的变化率，而上式右端

代表的是函数在整个区间上的平均变化率 , 它应该介于最大变化率 ( 最大导数 ) 和最小变化率( 最小导数 ) 之间 , 根据导函数的介值定理 , 它一定等于某一点的导数

( ) ( )f b f ab a

( ).f

其存在性尚不能保证 !

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明思想分析与罗尔定理相比，这里仅缺少条件 f (a) = f

(b) ，而定理的结论相当于

( ) ( )( ) .f b f afb a

( ) ( )( ) = 0.f b f afb a

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析这意味着：要构造一个函数 F 满足且满足罗尔定理的三个条件

( ) ( )(*) F'( ) ( ) .f b f ax f xb a

(i) F 在闭区间 [a, b] 上连续 ;

(ii) F 在开区间 (a, b) 内可导 ;

(iii) F (a) F (b) 。从而对函数 F 应用罗尔定理即可。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析事实上定义

( ) ( )F( ) ( ) f b f ax f x xb a

则显然 F 满足条件 (*) 及罗尔定理条件

(i)(ii) ，并且( ) ( )F( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f b f ab F a f b f a b a

b a

故 F 满足罗尔定理条件 (i) - (iii) 。


(a, b), 使得

(i) f 在 [a, b] 上连续 ;

(ii) f 在 (a, b) 内可导。

几何意义：条件

结论：.f 在点的切线与曲线两端点的连线是平行的( ) ( )( ) .f b f af

b a

a b1 2 xo

y)(xfy

A

BC

DN

M


( ) ( ) ( )( ), ;f b f a f b a a b

注 : 拉格朗日公式无论对于 a b, 还是 a b 都成立 , 而则是介于 a与 b 之间的某一定数 .

( ) ( ) ( ( ))( ), 0 1;f b f a f a b a b a

( ) ( ) ( ) , 0 1.f a h f a f a h h


在数学、力学和天文学三个学科领域有历史性贡献，数学成就最突出。使数学分析与几何和力学脱离开来。 18岁写出第一篇论文，奠基变分法。变分法、微分方程、数论、函数和无穷级数等 1791 年，被选为英国皇家学会会员。 1813年 4月 3 日，拿破仑授予他帝国大十字勋章， 4月 11 日，拉格朗日逝世。

拉格朗日（ Joseph-Louis Lagrange 1735~1813）法国数学家、物理学家。

28


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应用举例3

18-58

Application Examples


例例 11 证明方程 ex+ax2+bx+c=0 至多有三个实根。


例例 22 证明对一切 h 1, h 0 成立不等式ln(1 ) .

1h h h

h


推论推论 11若函数 f 在区间 I 上可导 , 且 f '(x) 0, xI,

则 f 为 I 上的一个常量函数 .

推论推论 22若函数 f 和 g 均在区间 I 上可导 , 且 f '(x) g'(x),

xI, 则在区间 I 上 f (x)与 g(x) 只相差一个常数 ,

即 ( ) ( ) f x g x c (c 为某一常数 ).


推论推论 33 ( 导数极限定理 ) 设函数 f 在点 x0 的某邻域U(x0) 内连续 , 在 U (x0) 内可导 , 且导函数f ' 在点 x0 极限存在 , 则 f 在点 x0 可导 , 且

00( ) lim ( ).

x xf x f x


例例 33 求分段函数2sin , 0,

( )ln(1 ), 0x x x

f xx x

的导数 .


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单调函数的刻画4

Characterization of Monotone Function

20-78

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.3 设 f (x) 在区间 I 上可导 , 则 f (x) 在区

间 I 上

( ) 0, .f x x I

单调递增的充要条件是单调递减的充要条件是( ) 0, .f x x I

( ) ( )lim '( )x a

f x f a f ax a

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析用导数研究可导函数单调区间的步骤：（ 1 ）求函数的导函数；（ 2 ）求导函数的零点；（ 3 ）用导函数的零点把函数的定义区间划分为若干个小区间（可列表）；（ 4 ）判断导函数在各个小区间上的符号，由此判断函数在相应区间上的单调情况。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例例 44 设 3( ) .f x x x

试讨论函数 f 的单调区间 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理6.4

若函数 f 在 (a, b) 内可导 , 则 f 在(a, b)

( ) 0f x

内严格单调递增 (减 ) 的充要条件是 :

( 0);

(i) 对一切 x (a, b), 有( )f x 0.(ii) 在 (a, b) 内的任何子区间上

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析推论推论设函数 f 在区间 I 上可微 , 若 ( ) 0( 0),f x

则 f 在 I 上严格递增 ( 严格递减 ).注注若 f 在 (a, b)上 ( 严格 ) 递增 (减 ), 且在点 a右连续 ,

则 f 在 [a, b) 上亦为 ( 严格 ) 递增(减 ).

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例例 55 证明不等式

e 1 , 0.x x x


本节课我们利用上一章学习的费马定理证明了罗尔中值定理，在此基础上，通过构造辅助函数证明了更一般的拉格朗日中值定理，给出了相应的几何解释并应用它们研究了函数的一些性质。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析除了讲授中介绍的具体知识点之外，同学们应当重点体会以下三点：（ 1 ）体会局部与整体的辩证关系。（ 2 ）体会从特殊到一般的数学思维方法，体会如何把一般问题转化为特殊问题去处理。（ 3 ）注意数形结合的思想，体会几何直观对于解释数学理论以及寻找证明方法的意义。（ 4 ）注意存在性问题的一般证明方法。


P124-125,

习题 2， 4， 5，6（ 1,2） ,7（ 2,3） ,12,15,

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第二讲§2 柯西中值定理及不定式极限


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柯西中值定理1

Cauchy’s Mean Value Theorem

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.5( 柯西 (Cauchy) 中值定理 )若函数 f 和 g 满足

则存在 (a, b), 使得 ( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )

f f b f ag g b g a

(i) 在闭区间 [a, b] 上都连续 ;

(ii) 在开区间 (a, b) 内都可导 ;

(iii) f '(x)和 g'(x) 不同时为零 ;

(iv) g(a) g(b).

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明思想分析要证明

相当于证明( ) ( ) ( ) .( ) ( ) ( )

f f b f ag g b g a

( ) ( )( ) ( ) 0.( ) ( )

f b f af gg b g a

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析这意味着：要构造一个函数 F 满足且满足罗尔定理的三个条件

( ) ( )(*) F'( ) ( ) '( ).( ) ( )

f b f ax f x g xg b g a

(i) F 在闭区间 [a, b] 上连续 ;

(ii) F 在开区间 (a, b) 内可导 ;

(iii) F (a) F (b) 。从而对函数 F 应用罗尔定理即可。

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析事实上定义( ) ( )F( ) ( ) ( )( ) ( )

f b f ax f x g xg b g a

则显然 F 满足条件 (*) 及罗尔定理条件 (i)(ii) ，并且

( ) ( )F( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) 0( ) ( )

f b f ab F a f b f a g b g ag b g a

故 F 满足罗尔定理条件 (i) - (iii) 。


在以参量方程柯西中值定理几何意义 :

表示的曲线上存在一点(g(), f ()), 该点处的切线平行于连接曲线端点的直线 AB.

( ),

( ),u g x

a x bv f x

1( )g 2( )g uo

v ( )( )

u g xv f x

( )g a

A

( )g b

BC

D

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析设函数 f 在 [a, b](a0) 上连续 , 在 (a, b) 内可导 ,

例 1则存在 (a, b), 使得

( ) ( ) ( ) ln .bf b f a fa


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不定式极限2

Limits of Indefinite form


两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限00

洛必达洛必达 (L’Hospital, 1661-1704, 法国 ) 法则法则

不定式极限不定式极限

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析极限的计算方法 :1. 定义 ;

2. 运算法则 ;3. 两个重要极限 ;4. 极限的存在定理 ;

5. 连续函数的性质 ;

6. 无穷小量代换 ;

7. 利用导数的定义 ;

8. 洛必达法则 .


定理 6.6

则

若函数 f 和 g 满足(i)

(ii) 在点 x0 的某空心邻域 U (x0) 内两者都可导 ,

(iii)

1.0/0 型不定式极限0 0

lim ( ) lim ( ) 0;x x x x

f x g x

且 g'(x) 0;

0

( )lim( )x x

f x Ag x

(A 可为实数 , 也可为或）

0 0

( ) ( )lim lim .( ) ( )x x x x

f x f x Ag x g x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 2 求 2

1 coslim .tanx

xx

例 3 求 12

20

e (1 2 )lim .ln(1 )

x

x

xx

例 4 求0

lim .1 e xx

x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析注, , , .x a x a x 1. 当时及时该法则仍然成立

2. 用罗必塔法则一定要验证条件，特别是条件 (1) 。3. 若用一次法则后仍是未定式，可继续使用，一旦不是未定式立刻停止使用。

2

0 0 0

2 2lim lim limsin cos sinx x x

x xx x x

例.


2 2

30

2 2lim( 1)

x x x x

xx

xe xe e ee

例. 求

解：原式 30

22limx

exxeexx

x

x

20 3

21limx

eexe xxx

x

61

6lim

0

xeexe xxx

x

4. 在利用 L’Hospital 法则计算极限的时候 , 要想到使用等价无穷小替换 , 并且把那些确定的非零极限因式及早地分离出来 , 这样做能够减少麻烦 , 提高效率。


2

0

1sin coslim

ln(1 )x

x xx

x

例. 求

5. 若导数之商极限不存在，不能断言原函数之商极限不存在，只说明问题不适宜使用该法则。

例 .)sin11(

sinlimsin

sin11lim 3030 xxxxx

xxx

xx

6. 用洛必达法则过程中要及时化简 , 并灵活结合其他求极限方法 .

.121

2sinlim 30

x

xxx


定理 6.7

则

若函数 f 和 g 满足(i)

(ii) 在点 x0 的某右空心邻域 U (x0) 内两者都可导 ,

(iii)

2./ 型不定式极限0 0

lim ( ) lim ( ) ;x x x x

f x g x

且 g'(x) 0;

0

( )lim( )x x

f x Ag x

(A 可为实数 , 也可为或）

0 0

( ) ( )lim lim .( ) ( )x x x x

f x f x Ag x g x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明思想A 为有限数时，条件（ 3 ）指出 , ε > 0, 存在 x1, 使得当x 满足 x0 < x <x1 时有，'( )

'( ) 2f x Ag x

从而当 x 满足 x0 < x <x1 时有，1

1

( ) ( ) '( )( ) ( ) '( ) 2

f x f x fA Ag x g x g

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析由此结合条件（ 1） , 当 x 充分靠近 x0 时有，

( )( )

f x Ag x

从而当 x 充分靠近 x0 时有

1

1 1

11 1

( ) 1( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 21

( )

g xf x f x f x f xf x g x

f xg x g x g x g x g xf x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析A=+ 时，条件（ 3 ）指出 , M> 0, 存在 x1, 使得当x 满足 x0 < x <x1 时有，

'( ) 2'( )

f x Mg x

从而当 x 满足 x0 < x <x1 时有，1

1

( ) ( ) '( ) 2( ) ( ) '( )

f x f x f Mg x g x g

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析由此结合条件（ 1） , 当 x 充分靠近 x0 时有，

( )( )

f x Mg x

从而当 x 充分靠近 x0 时有

1

1

11

( ) 1( ) ( )( ) 1( )/ ( )( ) ( ) ( ) 21

( )

g xf x f xf x g x

f xg x g x g xf x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析lnlim .

x

xx

3

elim .x

x x

例 5 求例 6 求


0 , 1 , 00 , 0 , ,

3. 其它类型不定式极限

均可转化为 0/0 型。


0lim ln .x

x x

21

0lim(cos ) .xx

x

1 ln

0lim (sin )

kx

xx

(k 为常数 ).

例 7 求例 8 求例 9 求


1ln2lim 1 .x

xx x

( ) , 0,( )

0, 0,

g x xf x x

x

且已知 (0) (0) 0, (0) 3,g g g 试求 (0).f

例10

求例 11 设


本节课我们学习了 Cauchy 微分中值定理以及不定式极限的洛必达法则。同学们要理解 Cauchy 微分中值定理及其与其它中值定理的关系 ,会用它解决一些存在性问题 ; 要理解洛必达法则原理 ,会灵活使用，注意 6 个注意事项。


P132-133,

习题 1， 2， 3， 4，5（ 2,4， 6， 8， 10） ,7（ 2,3） ,10

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第三讲§3 泰勒公式


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带有佩亚诺型余项的泰勒公式1

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析20 0

0 0 0( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )1! 2!n

f x f xT x f x x x x x

定义定义设函数 f (x) 在点 x0 存在直到 n阶导数 , 则称

为函数 f (x) 在点 x0 处的 TaylorTaylor 多项式多项式 , Tn(x) 的各项系数 ( )

0( ) ( 1, 2, , )!

kf x k nk

( )0

0( ) ( ) , (2)!

nnf x x x

n＋＋

称为 TaylorTaylor 系系数数 .


( ) ( ) ( )n nR x f x T x (4) 式称为函数 f 在点 x0 处的泰勒公泰勒公式式 ,

称为泰勒公式的余项泰勒公式的余项 , 形如 o((x x0)n) 的余项称为佩亚诺佩亚诺 (Peano)(Peano) 型余项型余项 . 所以 (4) 式称为带有佩亚带有佩亚诺诺型余项的泰勒公式型余项的泰勒公式 .

定理定理6.86.8

若函数 f 在点 x0 存在直到 n阶导数 , 则有 ),)(()()( 0n

n xxoxTxf

即 200 0 0 0

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2!f x

f x f x f x x x x x

( )0

0 0( ) ( ) (( ) ). (4)!

nn nf x x x o x x

n


0( ) ( ) , (5)nnf x p x o x x

注注 11 若 f (x) 在点 x0附近满足

其中 pn(x)为 (1) 式所示的 n阶多项式 , 这时并不意味着 pn(x) 必定就是 f 的泰勒多项式Tn(x).注注 22 满足 (5) 式要求 ( 即带有佩亚诺型误差 )的 n次多项式 pn(x) 是唯一的 .若函数 f 满足定理 6.8 的条件时 , 满足 (5) 式要求的逼近多项式 pn(x) 只可能是 f 的泰勒多项式 Tn(x).


( )2(0) (0)( ) (0) (0) .(6)

2! !

nn nf ff x f f x x x o x

n

称为 (带有佩亚诺余项的带有佩亚诺余项的 ) 麦克劳林麦克劳林 (Maclaurin) 公公式式 .例 1 验证下列函数的麦克劳林公式

2

(1) e 1 ;2! !

nx nx xx o x

n

3 5 2 1

1 2(2) sin ( 1) ;3! 5! (2 1)!

mm mx x xx x o x

m


2 4 22 1(3) cos 1 ( 1) ;

2! 4! (2 )!

mm mx x xx o x

m

2 3

1(4) ln(1 ) ( 1) ;2 3

nn nx x xx x o x

n

2( 1) ( 1) ( 1)(5) (1 ) 12! !

;

n

n

nx x x xn

o x

21(6) 1 .1

n nx x x o xx

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 2 写出的麦克劳林公式 , 并求2

2( ) ex

f x f (98)(0)与 f (99)(0).

2 2 4 2

222e 1 ( 1) .

2 2 2! 2 !

x nn n

n

x x x o xn

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 3 求 lnx在 x2 处的泰勒公式 .

22

1

1 1ln ln 2 ( 2) ( 2)2 2 2

1 ( 1) ( 2) 2 .2

nn nn

x x x

x o xn

2ln ln 2 ( 2) ln 2 ln 1 ,2

xx x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 4 求极限

2 4

52cos e .12

x xx o x

2 4

5cos 1 ,2 24x xx o x

2

2

40

cos elim .

x

x

xx

2

4 52

4 40 0

1cos e 112lim lim .

12

x

x x

x o xxx x


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带有拉格朗日型余项的泰勒公式2

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.9( 泰勒定理 )

若函数 f 在 [a, b] 上存在直至 n阶的连续导函数 , 在 (a, b) 内存在 n1阶导函数 , 则对任意给定的 x, x0[a, b], 至少存在一点 (a, b), 使得

200 0 0 0

( ) ( 1)10

0 0

( )( ) ( ) ( )( ) ( )

2!( ) ( ) ( ) ( ) .(7)! ( 1)!

n nn n

f xf x f x f x x x x x

f x fx x x xn n


( 1)1

0( )( ) ( ) ,

( 1)!

nn

nfR x x x

n

200 0 0 0

( ) ( 1)10

0 0

( )( ) ( ) ( )( ) ( )2!

( ) ( ) ( ) ( ) .(7)! ( 1)!

n nn n

f xf x f x f x x x x x

f x fx x x xn n

(7) 式同样称为泰勒公式泰勒公式 , 它的余项为

称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项 , (7) 式又称为带有拉格朗日型带有拉格朗日型余项的泰勒公式余项的泰勒公式 .

0 0( ) (0 1),x x x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析( )

2

( 1)1

(0) (0)( ) (0) (0)2! !

( ) (0 1). (8)( 1)!

nn

nn

f ff x f f x x xn

f x xn

(8) 式称为 (带有拉格朗日余项的带有拉格朗日余项的 )麦克劳林公式麦克劳林公式 .


21e(1) e 1 ,

2! ! ( 1)!

n xx nx xx x

n n

3 5 2 11 2 1cos(2) sin ( 1) ( 1) ,

3! 5! (2 1)! (2 1)!

mm m mx x x xx x x

m m

例例 55 把例 1 中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式 .

0 1, ( , ).x

0 1, ( , ).x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析2 4 2

1 2 2cos(3) cos 1 ( 1) ( 1) ,2! 4! (2 )! (2 2)!

mm m mx x x xx x

m m

2 31

1

1

(4) ln(1 ) ( 1)2 3

( 1) ,( 1)(1 )

nn

nn

n

x x xx xn

xn x

0 1, ( , ).x

0 1, 1.x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析2

1 1

( 1) ( 1) ( 1)(5) (1 ) 12! !

( 1) ( ) (1 ) ,( 1)!

n

n n

nx x x xn

n x xn

12

2

1(6) 1 ,1 (1 )

nn

n

xx x xx x

0 1, 1.x

0 1, 1.x


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在近似计算上的应用3

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例例 66 (1) 计算 e 的值 , 使其误差不超过106;

(2) 证明数 e 为无理数 .

例例 77 用泰勒多项式逼近正弦函数 sinx, 要求误差不超过 103. 试以 m1和 m2 两种情形分别讨论 x 的取值范围 .


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Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析除了讲授中介绍的具体知识点之外，同学们应当重点体会：


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第四讲§4 函数的极值与最大 ( 小 ) 值


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极值判别1

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 5.3( 费马 (Fermat) 定理 ) 设函数 f 在点 x0 的某邻域内有定义 , 且在 x0 可导 . 若点 x0 为 f 的极值点 ,.0)( 0 xf则必有

该定理给出了可导函数取得极值的必要条件 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.10( 极值的第一充分条件 )设 f 在点 x0 连续 , 在某邻域内可导 .0( ; )U x

(i) 若当 x(x0, x0) 时 f '(x)0, 若当 x(x0, x0)时f '(x)0, 则 f 在点 x0 取得极小值 .

(ii) 若当 x(x0, x0) 时 f '(x) 0, 若当 x(x0, x0)时f '(x) 0, 则 f 在点 x0 取得极大值 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.11 ( 极值的第二充分条件 )

(i) 若 f ''( x0) 0, 则 f 在 x0 取得极大值 .

处二阶可导 , 且 f '(x0) 0, f ''(x0) 0.

例 1

例 2

设 f 在点 x0 的某邻域内一阶可导 , 在 x x0

0( ; )U x

(ii) 若 f ''( x0) 0, 则 f 在 x0 取得极小值 .求的极值点与极值 .3 2)52()( xxxf

求 2 432( )f x xx

的极值点与极值 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.12( 极值的第三充分条件 )

例 3 求函数 x4(x1)3 的极值 .

设 f 在点 x0 的某邻域内存在直到 n1阶导数 , 在 x0 处n阶可导 , 且 f (k)(x0)0 (k1, 2, , n1), f (n)(x0) 0. 则

(i) 当 n 为偶数时 , f 在 x0 取得极值 , 且当 f (n)(x0) 0 时取极大值 , 当 f (n)(x0) 0 时取极小值 .

(ii) 当 n 为奇数时 , f 在点 x0 处不取极值 .


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最大值与最小值2

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析若 f 在闭区间 [a, b] 上连续 , 在 f 在 [a, b] 上一定有比较 f 在所有稳定点、不可导点和区间端点上的函最大、最小值 .

数值 , 就能从中找到 f 在 [a, b] 上的最大值与最小值 .例 4 求函数 f (x) |2x39x212x| 在闭区间

1 5, 4 2

上的最大值与最小值 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 5 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立

31 96y kxx

方成正比 . 已知当速度为 10(km/h)时 , 燃料费为每小时 6元 , 而其他与速度无关的费用为每小时 96元 . 问轮船的速度为多少时 , 每航行1km所消耗的费用最小 ?

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析例 6 如图所示 , 剪去正方形四角同样大小的正方形

2( ) 2 , 0, 2aV x x a x x

后制成一个无盖盒子 , 问剪去小正方形的边长为何值时 , 可使盒子的容积最大 ?


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第五讲§5 函数的凸性和拐点


1 2 1 21 1 , (1)f x x f x f x

定义 1 设 f 为定义在区间 I 上的函数 , 若对 I 上的任意两点 x1, x2 和任意实数 (0, 1)总有则称 f 为 I 上的凸函数凸函数 . 反之 , 如果总有

如果 (1), (2) 中的不等式改为严格不等式 , 则相应的函数称为严格凸函数严格凸函数与严格凹函数严格凹函数 .

1 2 1 21 1 , (2)f x x f x f x

则称 f 为 I 上的凹函凹函数数 .

注若 f 为 I 上的凸函数 , 则 f 为 I 上的凹 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析引理 f 为 I 上凸函数的充要条件是 : 对于 I 上的任意三点 x1 x2 x3, 总有 2 1 3 2

2 1 3 2

. (3)f x f x f x f x

x x x x

同理可证 , f 为 I 上凸函数的充要条件是 : 对于 I 上的任意三点 x1 x2 x3, 总有

2 1 3 1 3 2

2 1 3 1 3 2

. (4)f x f x f x f x f x f x

x x x x x x

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.13

1°f 为 I 上的凸函数 ;

2°f ‘为 I 上的增函数 ;

3°对 I 上的任意两点 x1, x2 有 2 1 1 2 1 . (4)f x f x f x x x

设 f 为 I 上的可导函数 , 则下述论断等价 :

可导凸函数的几何特征 :曲线 y f (x)总在它任一切线的上方 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定理 6.14

( ) 0 ( ( ) 0), .f x f x x I

设 f 为区间 I 上的二阶可导函数 , 则在I 上

f 为凸 (凹 ) 函数的充要条件是

例 1

例 2

讨论函数 f (x) arctan x 的凸 (凹 ) 性区间 .

若函数 f 为定义在开区间 (a, b) 内的可导的凸(凹 ) 函数 , 则 x0(a, b) 为 f 的极小 (大 ) 值点的

充要条件是 x0 为 f 的稳定点 , 即 f '(x0) 0.


任意 xi[a, b], i0 (i1, 2, , n),1

1,n

ii

例 3(Jensen 不等式 ) 若 f 为 [a, b] 上的凸函数 , 则对

1 1

. (6)n n

i i i ii i

f x f x

有

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析证明不等式 3( ) ,

a b ca b cabc a b c

例 4 其中 a, b, c 均为正数 .

例 5 设 f 为开区间 I 内的凸 (凹 ) 函数 , 证明 f 在 I 内任一 x0 都存在左、右导数 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析对任何正数 1 2, , , ,nx x x例证明不等式

1 21 2

1 2 1 2

1 1 1 nnn n

n n

x x xx x xx x x n x x x

并指出等号成立的条件 .

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析定义 2 设曲线 y f (x) 在点 (x0, f (x0)) 处有穿过曲线的切线 , 且在切点近旁 , 曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的 , 这时称点 (x0, f (x0)) 为曲线 y f (x) 的拐点 .


定理 6.16

定理 6.15 若 f 在 x0 二阶可导 , 则 (x0, f (x0)) 为曲线 y f (x) 的拐点的必要条件是 f ''(x0) 0.

设 f 在 x0 可导 , 在某邻域内二阶可导0( )U x

若在和上 f ‘’(x) 的符号相反，0( )U x

0( )U x

则 (x0, f (x0)) 为曲线 y f (x) 的拐点 .


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第六讲§6 函数图像的讨论

Mathematical Analysis 数学分析 Mathematical Analysis 数学分析1. 求函数的定义域 ;

2. 考察函数的奇偶性、周期性 ;

3. 求函数的某些特殊点 ;

4. 确定函数的单调区间 , 极值点 , 凸性区间以及拐点 ;5. 考察渐进线 ;

6. 综合以上讨论结果画出函数图像 .

例讨论函数的性态 , 并作其图像 .3 23 1)( xxxxf

作函数图象的一般程序作函数图象的一般程序是是 ::


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