2

Περιεχόμενα

Εισαγωγή

1 Ομάδα σύμμορφων μετασχηματισμών

1.1 Σύμμορφοι μετασχηματισμοί

1.2 Γεννήτορες της ομάδας και η άλγεβρά τους

Παράρτημα Α

2 Χώρος Anti de Sitter

2.1 Φυσική περιγραφή του χώρου AdS

2.2 Γεωμετρική περιγραφή του χώρου AdS

2.3 Ισομετρίες του χώρου

2.4 Σύνορο του χώρου και σύμμορφη αναλλοιώτητα

3 Σύμμορφη αναλλοιώτητα και κβαντική μηχανική

3.1 Σύμμορφη αναλλοιώτητα σε 1-D

3.2 Διατηρούμενες ποσότητες και αναπαραστάσεις γεννητόρων

3.3 Ισομορφισμός σύμμορφης ομάδας σε 1-D και SO(2,1) και

τελεστής Casimir

3.4 Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του προβλήματος

3.5 Αναπαράσταση στις ενέργειες και ιδιοκαταστάσεις της

Hamiltonian

3.6 Σύμμορφη κβαντική μηχανική και βαθμωτή θεωρία πεδίου

κοντά στον ορίζοντα μαύρης τρύπας

3

Παράρτημα Β

Αντί Επιλόγου

Βιβλιογραφία

4

Εισαγωγή

Στην παρούσα εργασία θα ασχοληθούμε με τον ισομορφισμό μεταξύ της

ομάδας των ισομετριών ενός (n+1)-διάστατου χώρου Anti de Sitter (AdS) και της

ομάδας των σύμμορφων μετασχηματισμών σε μια n-διάστατη Minkowski

πολλαπλότητα, καθώς και με τις συνέπειες και την αξία αυτής της μαθηματικής

ισοδυναμίας στην κβαντομηχανική. Στόχος της εργασίας αυτής είναι η περιγραφή

των δύο ομάδων συμμετρίας, η κατανόηση της ομαδοθεωρητικής σχέσης των δύο

χώρων και η ανάδειξη της χρησιμότητας τέτοιων ισοδυναμιών στην επίλυση

δύσκολων ή παθολογικών προβλημάτων.

Πέρα από το εγγενές ενδιαφέρον του επιδιωκόμενου εγχειρήματος, που

βρίσκεται τόσο στο μαθηματικό του περιεχόμενο όσο και στις φυσικές του

συνέπειες, το αντικείμενο της εργασίας αυτής γίνεται ακόμη πιο ελκυστικό εξαιτίας

του ολοένα και εντεινόμενου ενδιαφέροντος της παγκόσμιας κοινότητας

θεωρητικής φυσικής για τη λεγόμενη ισοδυναμία AdS/CFT. Η ισοδυναμία αυτή, που

υποτέθηκε από τον J. M. Maldacena το 1998, επιδιώκει μια σύνδεση μεταξύ μιας

θεωρίας χορδών σε έναν χώρο και μιας Σύμμορφης Θεωρίας Πεδίου (CFT)

στο n-διάστατο σύνορο του προαναφερθέντος χώρου. Παρά το γεγονός ότι αυτή η

ισοδυναμία δεν αποτελεί το θέμα της συγκεκριμένης εργασίας, η κατανόηση της

μαθηματικής ισοδυναμίας που θα αναλύσουμε μπορεί να αποτελέσει μια καλή

αφετηρία για κάποιον που ενδιαφέρεται να προχωρήσει στη μελέτη της

ισοδυναμίας AdS/CFT.

Η εργασία αυτή διαρθρώνεται σε 3 κεφάλαια, τα οποία σταδιακά

οικοδομούν το αντικείμενο μελέτης μας. Στο Κεφάλαιο 1 επιδιώκεται μια αναλυτική

παρουσίαση της ομάδας των σύμμορφων μετασχηματισμών σε έναν n-διάστατο

χώρο Minkowski: περιγράφονται οι μετασχηματισμοί, αποδεικνύονται οι

σημαντικές ιδιότητές τους, κατασκευάζεται μια εύχρηστη αναπαράσταση των

γεννητόρων και εξάγεται η άλγεβρα τους. Στο Κεφάλαιο 2 γίνεται η παρουσίαση του

χώρου Anti de Sitter από 2 διαφορετικές σκοπιές: τη φυσική και τη γεωμετρική. Η

πρώτη περιγράφει τον χώρο ως έναν (n+1)-διάστατο χώρο Einstein με αρνητική

κοσμολογική σταθερά και η μελέτη του γίνεται μέσω της δράσης Einstein-Hilbert. Η

δεύτερη τον περιγράφει ως έναν (n+1)-διάστατο χώρο εμβαπτισμένο σε έναν (n+2)-

διάστατο χώρο Minkowski με υπογραφή (+,+,-,-,…,-) (δύο διαστάσεις χρόνου). Στη

συνέχεια, εξάγεται η ομάδα των ισομετριών του χώρου και αποδεικνύεται ότι ο

χώρος είναι maximally symmetric. Στο τέλος του Κεφαλαίου μελετάται το σύνορο

του χώρου και αποδεικνύεται ότι η ομάδα ισομετρίας του δρα ως η σύμμορφη

ομάδα στα συνοριακά σημεία. Στο Κεφάλαιο 3 γίνεται η παρουσίαση ενός

5

προβλήματος κβαντομηχανικής με σύμμορφη αναλλοιώτητα και γίνεται διεξοδική

ανάλυση των σύμμορφων μετασχηματισμών και των ομαδοθεωρητικών τους

χαρακτηριστικών σε 1 διάσταση. Στη συνέχεια, δείχνεται ο ισομορφισμός SO(2,1)-

σύμμορφης ομάδας για την περίπτωση αυτή και εξηγείται η αναγκαιότητα χρήσης

του για την συνεπή επίλυση του προβλήματος. Με χρήση της ισοδυναμίας γίνεται ο

προσδιορισμός των ιδιοτιμών και των ιδιοκαταστάσεων ενός συμπαγούς τελεστή

(γεννήτορας της στροφής της ομάδας SO(2,1)) για το πρόβλημα (μιας και όπως θα

εξηγηθεί αυτός είναι που καθορίζει τις «φυσικές καταστάσεις» του δεδομένου

συστήματος) και συνδέονται οι ιδιοκαταστάσεις αυτές με τις ιδιοκαταστάσεις

ενέργειας. Τέλος, παρουσιάζεται συνοπτικά ένα ενδιαφέρον φυσικό σύστημα στο

οποίο το προηγούμενο πρόβλημα κβαντομηχανικής με σύμμορφη αναλλοιώτητα

κάνει την εμφάνισή του.

Στις τελευταίες σελίδες της εργασίας παρατίθεται εκτενής βιβλιογραφία για

όποιον ενδιαφέρεται να διεισδύσει περεταίρω στα θεωρητικά ή διαδικαστικά

σημεία που παρουσιάζονται.

6

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1

Ομάδα σύμμορφων μετασχηματισμών

Στο κεφάλαιο αυτό επιχειρείται μια αναλυτική παρουσίαση της ομάδας των

σύμμορφων μετασχηματισμών σε έναν n-διάστατο χώρο Minkowski. Μετά τον

ορισμό και την παρουσίασή τους αποδεικνύεται η σημαντική ιδιότητα της

διατήρησης της γωνίας μεταξύ δύο τυχαίων ανυσμάτων. Ορίζονται οι γεννήτορες

της ομάδας, κατασκευάζεται η αναπαράστασή τους στον χώρο των πραγματικών

συναρτήσεων και αποδεικνύεται η άλγεβρά τους.

1.1 Σύμμορφοι μετασχηματισμοί

Ορισμός των μετασχηματισμών

Σύμμορφη ομάδα μετασχηματισμών σε έναν n-διάστατο Minkowski χώρο

ορίζεται να είναι το σύνολο των μετασχηματισμών εκείνων που όταν εφαρμόζονται

στα ανύσματα του χώρου διατηρούν τις γωνίες ανάμεσά τους, ή πιο αυστηρά

αφήνουν αναλλοίωτη την ποσότητα:

|| || || ||

όπου ως συμβολίζεται το εσωτερικό γινόμενο του χώρου.

7

Ο ορισμός αυτός, ο οποίος επιλέγει από το σύνολο των δυνατών

μετασχηματισμών το υποσύνολο εκείνο που θα καλούνται σύμμορφοι, αποδίδει

αυτόματα στο σύνολο αυτό τις ιδιότητες της ομάδας, δηλαδή:

(i) την ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου (ο ταυτοτικός μετασχηματισμός

διατηρεί τις γωνίες),

(ii) την ύπαρξη αντιστρόφου (αν ανήκει στο σύνολο των σύμμορφων

μετασχηματισμών, τότε τα τυχαία ανύσματα και έχουν

το ίδιο με τα . Όμως επειδή και ο είναι σύμμορφος και

και ο διατηρεί τις γωνίες και συνεπώς είναι

σύμμορφος) και

(iii) την κλειστότητα του συνόλου (αν είναι σύμμορφοι τότε και ο θα

διατηρεί τις γωνίες και συνεπώς θα ανήκει στο σύνολο).

Οι σύμμορφοι μετασχηματισμοί αποδεικνύεται ότι είναι η ομάδα που περιέχει:

τις μεταθέσεις, τους μετασχηματισμούς Lorentz (προωθήσεις και στροφές), τους

μετασχηματισμούς dilatation και τους ειδικούς σύμμορφους μετασχηματισμούς. Η

δράση των μετασχηματισμών αυτών στα ανύσματα ενός Minkowski χώρου

περιγράφεται παρακάτω:

(i) Μεταθέσεις: , όπου

(ii) Μετασχηματισμοί Lorentz: , όπου

οι ομογενείς

γραμμικοί μετασχηματισμοί με την ιδιότητα:

και

(iii) Dilatations: , όπου

(iv) Ειδικοί σύμμορφοι:

, όπου

Ιδιότητες σύμμορφων μετασχηματισμών

Εξ’ ορισμού των σύμμορφων μετασχηματισμών, όταν ένα στοιχείο της ομάδας

δρα πάνω στα διανύσματα του χώρου, τότε οι γωνίες μεταξύ τους διατηρούνται. Με

αυτόν τον τρόπο επιλέχθηκαν και οι παραπάνω 4 κατηγορίες μετασχηματισμών.

Ωστόσο, μιας και δεν έγινε αναλυτική εξαγωγή της μορφής των μετασχηματισμών

αυτών, είναι χρήσιμο να επιβεβαιώσουμε ότι, πράγματι, έχουν αυτή την ιδιότητα.

8

-Μετασχηματισμοί Poincare:

Οι μετασχηματισμοί Poincare, δηλαδή η υποομάδα των σύμμορφων

μετασχηματισμών που περιέχει τις μεταθέσεις και τους μετασχηματισμούς Lorentz

(στροφές και προωθήσεις), διατηρεί, προφανώς, τις γωνίες μεταξύ των ανυσμάτων,

εξ’ ορισμού, μιας και αποτελούν ισομετρίες του χώρου Minkowski. Επομένως, αφού

διατηρούν αναλλοίωτη τη μετρική, διατηρούν και τα εσωτερικά γινόμενα και

συνεπώς τις γωνίες.

-Dilatations:

Οι μετασχηματισμοί dilatation αποδεικνύεται πολύ εύκολα ότι επίσης

διατηρούν τις γωνίες, ως εξής:

Έστω , ανύσματα του χώρου. Τότε:

|| || || ||

Επομένως:

|| ||||

||

|| || || ||

-Ειδικοί σύμμορφοι μετασχηματισμοί:

Τα μόνα στοιχεία της ομάδας που δεν είναι τετριμμένο το γεγονός ότι

διατηρούν τις γωνίες των ανυσμάτων του χώρου είναι οι ειδικοί σύμμορφοι

μετασχηματισμοί. Παρακάτω παρατίθεται η σχετική απόδειξη:

⇒

Έστω 2 ανύσματα του χώρου, με κοινή κορυφή το σημείο . Τότε:

9

⇒ (

)(

)

(

)(

)

⇒

(

)(

)

(

)

(

)( ) (

)( )

⇒

Συνεπώς, προκύπτει ότι:

|| ||||

||

|| || || ||

1.2 Γεννήτορες της ομάδας και η άλγεβρά τους

Γεννήτορες της ομάδας

Οι γεννήτορες μιας συνεχούς ομάδας ορίζονται μαθηματικά ως τα στοιχεία

της βάσης του εφαπτόμενου στη μονάδα διανυσματικού χώρου της πολλαπλότητας

των στοιχείων της ομάδας. Από μια πιο φυσική/γεωμετρική οπτική, οι γεννήτορες

της ομάδας είναι τα αντικείμενα (G) εκείνα τα οποία έχουν την ιδιότητα να

παράγουν τα στοιχεία της ομάδας ως εξής:

(

)

δηλαδή ποιοτικά περιγράφουν την απόκλιση από τη μονάδα των στοιχείων της

ομάδας που αποτελούν απειροστά μικρούς μετασχηματισμούς.

Σκοπός της ενότητας αυτής είναι η εξαγωγή της αναπαράστασης των

γεννητόρων της σύμμορφης ομάδας στο χώρο των πραγματικών συναρτήσεων

. Για να το επιτύχουμε αυτό, θα μετασχηματίσουμε απειροστά τα

ανύσματα του χώρου και θα βρούμε τον αντίστοιχο μετασχηματισμό της τυχαίας

πραγματικής συνάρτησης με χρήση του αναπτύγματος Taylor.

10

-Μεταθέσεις:

Επομένως, η αναπαράσταση του γεννήτορα των μεταθέσεων είναι:

-Dilatations:

Επομένως, η αναπαράσταση του γεννήτορα των μεταθέσεων είναι:

-Lorentz:

όπου: , με τον τανυστή να είναι αντισυμμετρικός.

[

]

Επομένως, η αναπαράσταση του γεννήτορα των μετασχηματισμών Lorentz

θα είναι:

( )

-Ειδικοί σύμμορφοι μετασχηματισμοί:

( )

11

Συνεπώς, η αναπαράσταση του γεννήτορα των ειδικών σύμμορφων

μετασχηματισμών είναι:

( )

Συνοψίζοντας, λοιπόν, οι γεννήτορες των στοιχείων της σύμμορφης ομάδας

στον χώρο την πραγματικών συναρτήσεων είναι:

( )

( )

Άλγεβρα των γεννητόρων

Η σύμμορφη ομάδα αποτελεί μια συνεχή ομάδα Lie, δηλαδή τα στοιχεία της

ομάδας σχηματίζουν μια διαφορίσιμη πολλαπλότητα ή πιο ποιοτικά, υπάρχουν

στοιχεία της ομάδας που προσεγγίζουν οσοδήποτε το μοναδιαίο στοιχείο. Σύμφωνα

με γενικό θεώρημα των ομάδων Lie, το σύνολο των γεννητόρων μιας ομάδας Lie,

μαζί με το Lie bracket [ ] (το οποίο είναι διγραμμικό και ικανοποιεί την ταυτότητα

Jacobi και έχει την ιδιότητα [ ] [ ]) κλείνουν άλγεβρα. Αυτό σημαίνει ότι

το Lie bracket 2 τυχαίων γεννητόρων της ομάδας, ανήκει επίσης στον εφαπτόμενο

χώρο του μοναδιαίου στοιχείου, συνεπώς είναι γραμμικός συνδυασμός των

γεννητόρων. Η Lie άλγεβρα της ομάδας καθορίζεται πλήρως από τα Lie brackets και

είναι ανεξάρτητη της χρησιμοποιούμενης αναπαράστασης. Αξιοποιώντας τα

προαναφερθέντα, εμείς, θα χρησιμοποιήσουμε την αναπαράσταση των γεννητόρων

που προσδιορίσαμε προηγουμένως για να εξάγουμε την άλγεβρα των γεννητόρων.

Στην αναπαράστασή μας το Lie bracket αναπαριστάται με τον γνωστό μεταθέτη.

Είναι τετριμμένο να δειχθεί ότι όντως ο μεταθέτης έχει τις επιθυμητές ιδιότητες του

Lie bracket.

Η αναλυτική εξαγωγή των μεταθετών παρατίθεται στο Παράρτημα Α στο

τέλος του παρόντος Κεφαλαίου. Παρακάτω συνοψίζουμε τις σχέσεις μετάθεσης που

καθορίζουν πλήρως τη Lie άλγεβρα της σύμμορφης ομάδας.

12

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] ( )

[ ] ( )

[ ] ( )

Όλοι οι άλλοι μεταθέτες είναι ταυτοτικά μηδέν.

Παράρτημα Α

Σχέσεις μετάθεσης γεννητόρων:

[ ]

[ ] (

) ( )

[ ] ( ) (

)

( ) (

)

( )

[ ] ( ) ( )

( ) ( )

13

[ ] ( )( )

( )(

)

[ ] ( ) ( )

14

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

Χώρος Anti de Sitter

Σκοπός του παρόντος Κεφαλαίου είναι να εισάγει τον αναγνώστη στη

μαθηματική περιγραφή του χώρου Anti de Sitter και να παρουσιάσει τις ιδιότητές

που αυτός έχει ως γεωμετρικός αλλά και ως φυσικός χώρος. Για το λόγο αυτό, ο

χώρος αυτός μελετάται τόσο από τη φυσική του σκοπιά, ως ένας χώρος με μετρική

που δίνεται από τη στασιμοποίηση της δράσης Einstein-Hilbert, όσο και από τη

γεωμετρική, ως ένας χώρος εμβαπτισμένος σε έναν μεγαλύτερης διάστασης χώρο

Minkowski με 2 χρονικές διαστάσεις. Επίσης, εξάγονται οι ισομετρίες του χώρου

AdS από τις γεωμετρικές του ιδιότητες και συγκρίνονται με τις αντίστοιχες

ισομετρίες του ομοδιάστατου χώρου Minkowski. Τέλος, γίνεται συζήτηση για την

έννοια του συνόρου του χώρου αυτού και αποδεικνύεται ότι η ομάδα ισομετρίας

του χώρου AdS δρα ως η σύμμορφη ομάδα στα σημεία του συνόρου.

2.1 Φυσική περιγραφή του χώρου AdS

Χωρόχρονος στη ΓΘΣ και δράση Einstein-Hilbert

Ένας φυσικός χώρος, υπό την οπτική της γενικής θεωρίας της σχετικότητας,

αποτελεί μια pseudo-Riemannian διαφορίσιμη πολλαπλότητα με καμπυλότητα που

καθορίζεται από την κατανομή της ύλης σε αυτόν. Ο φυσικός χώρος είναι, συνεπώς,

ένας μετρικός χώρος με μετρικό τανυστή , εφοδιασμένος και με εσωτερικό

15

γινόμενο, υπό την έννοια ότι σε κάθε σημείο της πολλαπλότητας ορίζεται γραμμική

απεικόνιση ( ) που αντιστοιχεί κάθε 2 ανύσματα του

εφαπτόμενου, στο δεδομένο σημείο, χώρου της πολλαπλότητας σε έναν

πραγματικό αριθμό. Γνώση του μετρικού τανυστή (σε κάποιο σύστημα

συντεταγμένων) μας παρέχει τη δυνατότητα να προσδιορίσουμε φυσικές,

μετρήσιμες ποσότητες, όπως για παράδειγμα τροχιές σωματιδίων.

Ο μαθηματικός φορμαλισμός της γενικής σχετικότητας, τον οποίο δεν είναι

σκοπός μας να τον αναλύσουμε περεταίρω, μας έχει εφοδιάσει με τα εργαλεία

προσδιορισμού της μετρικής του χώρου, μέσω μιας αρχής στάσιμης δράσης. Η

δράση αυτή περιλαμβάνει τη δράση Einstein-Hilbert, που αποτελεί τη δράση

αποκλειστικά του βαρυτικού πεδίου, τη δράση της ύλης, που σχετίζεται με την

ποσότητα και τον τρόπο κατανομής της ύλης και της ενέργειας, και έναν όρο που

περιγράφει τη συνεισφορά της κοσμολογικής σταθεράς (Λ). Η γενική μορφή της

δράσης έχει τη μορφή:

∫ √| | ∫

Ο χώρος Anti de Sitter, τον οποίο μελετάμε εμείς, συνεπώς, ως φυσικός

χώρος της γενικής σχετικότητας, θα πρέπει να προκύπτει με κάποιο τρόπο ως λύση

των διαφορικών εξισώσεων που στασιμοποιούν τη δράση αυτή, των γνωστών ως

εξισώσεων Einstein. Πράγματι, ο χώρος AdS ορίζεται φυσικά ως η λύση των

εξισώσεων Einstein στο κενό, για αρνητική τιμή της κοσμολογικής σταθεράς και που

διαθέτει maximal symmetry, δηλαδή η ομάδα ισομετρίας του χώρου είναι ίδιας

διάστασης με την ομάδα ισομετρίας του ομοδιάστατου χώρου Minkowski (έχουν

τον ίδιο αριθμό γεννητόρων).

Η έννοια της κοσμολογικής σταθεράς

Η κοσμολογική σταθερά περιγράφει την εγγενή καμπυλότητα του χώρου,

απουσία οιασδήποτε μορφής ενέργειας σε αυτόν. Επομένως, μη μηδενική

κοσμολογική σταθερά καθιστά τον χώρο εν γένει καμπυλωμένο με μια καμπύλωση

που δεν σχετίζεται με τα περιεχόμενά του. Η φυσική προέλευση αυτής της εγγενούς

καμπυλότητας του χώρου μπορεί να συσχετιστεί με μια θεμελιωδώς μη μηδενική

ενέργεια του κενού. Δηλαδή, η δυνατότητα του κενού να έχει πεπερασμένη τιμή

ενέργειας ακόμη και απουσία ύλης, προσδίδει στο χώρο την καμπυλότητά του και

συνεπώς κοσμολογική σταθερά διάφορη του μηδενός.

Σύμφωνα με τον ορισμό του, ο AdS χώρος διαθέτει αρνητική κοσμολογική

σταθερά και επομένως, όπως θα δείξουμε στην επόμενη σελίδα, ως γεωμετρικός

χώρος διαθέτει εγγενώς αρνητική καμπυλότητα, είναι δηλαδή υπερβολικός χώρος

16

(όπως πχ μια δισδιάστατη επιφάνεια σε σχήμα σαμαριού εμβαπτισμένη στις 3

διαστάσεις που αντιλαμβανόμαστε) και το κενό του διαθέτει αρνητική ενέργεια που

αναγκάζει τον χωρόχρονο να καταρρέει, υπό την επίδραση του ίδιου του κενού

χώρου, με ολοένα και μεγαλύτερο ρυθμό.

Ιδιότητες του χώρου AdS

Έχοντας ορίσει, πλέον, τον χώρο Anti de Sitter και έχοντας αποσαφηνίσει τις

σημαντικές έννοιες που σχετίζονται με αυτόν, μπορούμε, με χρήση της μεθόδου

μεταβολών, να εξάγουμε από τη δράση (2.1) μερικές ιδιότητες του. Οι εξισώσεις

Einstein που προκύπτουν για τον κενό χώρο με κοσμολογική σταθερά, οι οποίες δεν

είναι τίποτε άλλο από τις εξισώσεις Euler-Lagrange για την παραπάνω δράση, είναι:

Συνεπώς, με συστολή του τανυστή στο αριστερό μέλος της εξίσωσης,

προκύπτει:

⇒

όπου D η διάσταση του χώρου.

Άρα, όπως εύκολα δείχνει η εξίσωση 2.3 ο χώρος AdS, για διαστάσεις

μεγαλύτερες του 2 και για , εμφανίζει αρνητική τιμή του Ricci scalar, δηλαδή

αρνητική καμπυλότητα.

Με απευθείας χρήση, τώρα, των σχέσεων (2.2) και (2.3), εξάγεται η σχέση:

πράγμα που αποδεικνύει ότι ο AdS είναι χώρος Einstein. Επίσης, από την, εξ’

ορισμού, απαίτηση ο χώρος να έχει maximal symmetry, ισχύει και η σχέση:

( )

την οποία όμως δεν θα αποδείξουμε εδώ μιας και βρίσκεται σε όλα τα εισαγωγικά

συγγράμματα γενικής θεωρίας της σχετικότητας.

17

2.2 Γεωμετρική περιγραφή του χώρου AdS

Πέρα από τον ορισμό που δώσαμε για τον χώρο AdS στην προηγούμενη

ενότητα, όπου η περιγραφή έγινε με χρήση των φυσικών του ιδιοτήτων, ο χώρος

Anti de Sitter, όντας γεωμετρικός χώρος, επιδέχεται αυστηρότερου ορισμού,

πράγμα που θα επιχειρηθεί στην παρούσα ενότητα.

Για να οριστεί ο χώρος αυστηρά χρειάζεται η έννοια της εμβάπτισης. Γενικά,

κάθε χώρος ν-διαστάσεων μπορεί να θεωρηθεί ότι βρίσκεται εντός ενός

κατάλληλου χώρου (ν+1)-διαστάσεων. Δηλαδή, ένας, κατά τα άλλα αυθύπαρκτος,

χώρος μπορεί να εμβαπτιστεί σε έναν χώρο με κατά μία περισσότερες διαστάσεις

και να γίνει κατανοητός ως μια «υπερεπιφάνεια» ν-διαστάσεων μέσα στον

μεγαλύτερο (ν+1)-διάστατο χώρο. Με χρήση αυτής της εικόνας, μπορεί κανείς, στη

συνέχεια, με χρήση στοιχειωδών γνώσεων διαφορικής γεωμετρίας, να προσδιορίσει

όλες τις εγγενείς ιδιότητες του χώρου αυτού (μετρική, καμπυλότητα, κλπ)

Ένας χώρος AdS n+1 διαστάσεων, μπορεί εύκολα να περιγραφεί αν

εμβαπτιστεί σε έναν Minkowski χώρο n+2 διαστάσεων, με 2 διαστάσεις χρόνου,

δηλαδή σε έναν επίπεδο χώρο με μετρική

Σε αυτόν το χώρο, αν είναι ένα διάνυσμα του εφαπτόμενου χώρου, τότε το

μέτρο του, προφανώς, θα δίνεται από τη σχέση:

|| || ∑( )

και οι ισομετρίες της μετρικής, οι μετασχηματισμοί, δηλαδή, που αφήνουν

αναλλοίωτα τα εσωτερικά γινόμενα, θα είναι τα στοιχεία της ομάδας .

Ο χώρος AdS, σε αυτή την εικόνα, ορίζεται ως η (n+1)-διάστατη

υπερεπιφάνεια, για τα σημεία της οποίας ισχύει:

|| ||

Δηλαδή, στον χώρο αυτό, ο AdS είναι το σύνολο των σημείων που απέχουν σταθερή

απόσταση από ένα σημείο (που εδώ έχει ληφθεί ως αρχή των αξόνων), φυσικά με

την έννοια της απόστασης του (n+2)-διάστατου Minkowski χώρου με 2 χρονικές

διαστάσεις που έχουμε θεωρήσει. Παρατηρούμε, λοιπόν, μια έντονη αναλογία

μεταξύ του χώρου και μιας σφαίρας εμβαπτισμένης σε έναν

ευκλείδειο (n+2)-διάστατο χώρο, πράγμα που μπορεί να βοηθήσει στη δημιουργία

18

μιας γεωμετρικής εικόνας για τη σχέση του χώρου AdS με τον περιβάλλοντα του

χώρο.

Παραμετροποιώντας, την επιφάνεια αυτή που ορίσαμε ως AdS χώρο,

μπορούμε να υπολογίσουμε τη εγγενή μετρική του. Έστω πχ ένας

εμβαπτισμένος σε έναν τετραδιάστατο χώρο. Οι παραμετροποιήσεις που μπορούν

να γίνουν είναι πολλές, μια όμως που είναι σχεδόν προφανής για την ορθότητά της

(μιας και είναι αντίστοιχη της ανάπτυξης σε σφαιρικές συντεταγμένες στον

ευκλείδειο χώρο) είναι η ακόλουθη:

όπου οι συντεταγμένες του χώρου εμβάπτισης και οι εσωτερικές

συντεταγμένες του χώρου AdS.

Τότε, η μετρική του χώρου βρίσκεται από τη σχέση:

και υπολογίζεται ότι είναι:

(

)

2.3 Ισομετρίες του χώρου

Οι ισομετρίες του χώρου AdS μπορούν να προσδιοριστούν με χρήση και των

δύο περιγραφών που παρουσιάσαμε στις προηγούμενες δύο ενότητες.

Αντιμετωπίζοντας τον χώρο ως αυθύπαρκτο φυσικό χώρο-λύση των εξισώσεων

Einstein, αρκεί κανείς να προσδιορίσει πρώτα τη μετρική του από τη σχέση (2.5) και,

στη συνέχεια, τα διανύσματα Killing λύνοντας τη γνωστή διαφορική εξίσωση:

19

ώστε να προσδιορίσει τους μετασχηματισμούς που αφήνουν αναλλοίωτη τη

μετρική. Χρησιμοποιώντας την άλλη οπτική, ωστόσο, του χώρου, ως εμβαπτισμένου

στον -διάστατο επίπεδο χώρο με 2 χρονικές διαστάσεις, η διαδικασία

εύρεσης της ομάδας ισομετρίας απλοποιείται σημαντικά.

Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα, η ομάδα ισομετρίας του χώρου

εμβάπτισης είναι η . Είναι εύκολο να δείξει κανείς, χρησιμοποιώντας τη

σχέση ορισμού του AdS ( ), ότι ο AdS κληρονομεί τις συμμετρίες

του χώρου εμβάπτισης. Έστω για παράδειγμα και ένα τυχαίο σημείο

του AdS (όπου είναι οι συντεταγμένες του ως προς τον χώρο εμβάπτισης).

Τότε:

(i) Τα σημεία ανήκουν επίσης στον υπόχωρο AdS, αφού

(ii) Αν θεωρήσουμε τα γειτονικά στο σημεία:

, τα

οποία ανήκουν επίσης στον υπόχωρο AdS, τότε, δεδομένου ότι

και

είναι ανύσματα του χώρου εμβάπτισης, η δράση του στοιχείου της

θα αφήσει αναλλοίωτο το εσωτερικό τους γινόμενο. Αυτό,

όμως, συνεπάγεται ότι και η επαγόμενη μετρική στον υπόχωρο AdS θα

είναι ίδια πριν και μετά το μετασχηματισμό, διότι τα

και

ανήκουν και στον εφαπτόμενο χώρο του AdS υπόχωρου. Επομένως, η

μετρική του AdS έχει ως ομάδα ισομετρίας την

.

Στον παρακάτω πίνακα παραθέτουμε τις ισομετρίες και τον αριθμό των

αντίστοιχων γεννητόρων για την περίπτωση του και του ομοδιάστατου

επίπεδου χώρου Minkowski.

Poincare group: n+1 μεταθέσεις

(n+1)(n+2)/2 n(n+1)/2 Lorentz

SO(n+2): (n+1)(n+2)/2

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι ο αριθμός των ισομετριών του χώρου anti de

Sitter είναι ίσος με τον αριθμό των ισομετριών ενός επίπεδου χώρου Minkowski

ίδιας διάστασης, κάτι που, όπως θυμόμαστε, στην φυσική περιγραφή του χώρου

χρειάστηκε να το υποθέσουμε εξ’ αρχής, ενώ ο γεωμετρικός ορισμός του χώρου

περιέχει εγγενώς αυτή την ιδιότητα.

20

2.4 Σύνορο του χώρου και σύμμορφη αναλλοιώτητα

Το σύνορο του

Από τον γεωμετρικό ορισμό του χώρου έχουμε:

|| ||

Για διευκόλυνσή μας στην υπόλοιπη ανάλυση της παρούσας ενότητας θα

υιοθετήσουμε ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων για τον χώρο εμβάπτισης,

όπου:

Τότε:

|| ||

όπου: ∑ , δηλαδή το μπορεί να θεωρηθεί ότι ανήκει

σε έναν n-διάστατο χώρο Minkowski.

Ο χώρος anti de Sitter δεν διαθέτει σύνορο με την οικεία έννοια του όρου

αλλά μπορεί κανείς να ορίσει ένα σύνορο, χρησιμοποιώντας την εξής ιδέα:

Έστω τα σημεία του χώρου εμβάπτισης που ανήκουν στον AdS και για τα οποία:

στο όριο όπου .

Τότε, αυτά θα ικανοποιούν τη σχέση:

και μπορούμε να κάνουμε την, αρκετά λογική, θεώρηση ότι αυτά τα σημεία με

κάποιο τρόπο θα αποτελέσουν το σύνορο που θέλουμε. Η εξίσωση αυτή καθορίζει

μια επιφάνεια n+1 διαστάσεων μέσα στον (n+2)-διάστατο χώρο εμβάπτισης, ίδιας

διάστασης δηλαδή με τον AdS χώρο του οποίου αναζητάμε το σύνορο. Επομένως,

ακόμη δεν έχουμε τελειώσει μιας και χρειάζεται άλλη μια συνθήκη στα σημεία του

συνόρου έτσι ώστε να τα περιορίσει σε μια n-διάστατη επιφάνεια η οποία θα

21

αποτελέσει το σύνορο. Η δεύτερη αυτή συνθήκη σχετίζεται άμεσα με τη θεώρηση

των σημείων του συνόρου που ήδη κάναμε: τα σημεία και

πρέπει να είναι ισοδύναμα με βάση τον ορισμό μας αφού και για τα 2, τα

αντίστοιχα τείνουν στο άπειρο. Άρα πρέπει να εισάγουμε τη σχέση

ισοδυναμίας:

Το ότι η σχέση (2.14) είναι πράγματι σχέση ισοδυναμίας, είναι πολύ εύκολο

να αποδειχθεί, αφού:

(i) αφού

(ii) Αν (οπότε ), τότε: (αφού

)

(iii) Αν (οπότε ) και (οπότε ), τότε (αφού

Με την εισαγωγή αυτής της σχέσης ισοδυναμίας, το σύνολο των σημείων

που υπακούν τη σχέση 2.13 χωρίζονται σε κλάσεις ισοδυναμίας και είναι αυτές οι

κλάσεις (ή καλύτερα ένα σημείο αντιπρόσωπος από κάθε κλάση) που αποτελούν τα

σημεία του συνόρου του χώρου AdS. Συνεπώς, επιλέγοντας αυθαίρετα μια τιμή για

το t, επιλέγουμε έναν αντιπρόσωπο από κάθε κλάση ισοδυναμίας και βρίσκουμε τα

σημεία του συνόρου. Μια τέτοια επιλογή θα μπορούσε, παραδείγματος χάρη, να

είναι η ή εκπεφρασμένο διαφορετικά: . Τότε τα σημεία του συνόρου

θα ήταν τα:

Δράση της στα σημεία του συνόρου

Ας δούμε τώρα πως δρα ένα απειροστό στοιχείο της ομάδας ισομετρίας του

AdS χώρου πάνω στα σημεία του συνόρου του. Για να το κάνουμε αυτό θα βρούμε

τη μορφή του απειροστού στοιχείου της SO(2,n) στις συντεταγμένες που έχουμε

επιλέξει, θα δράσουμε πάνω σε ένα άνυσμα του χώρου εμβάπτισης και μετά θα

απαιτήσουμε τις συνθήκες (2.15) και (2.16), ώστε να δούμε πως μετασχηματίζεται

ένα τυχαίο σημείο του συνόρου.

Ο γεννήτορας της SO(2,n) ορίζεται, όπως περιγράψαμε και πριν, από τη

συνθήκη:

22

όπου η μετρική του χώρου εμβάπτισης. Η σχέση αυτή για απειροστό

μετασχηματισμό (

) γίνεται:

⇒

⇒

Από την (2.17) μπορούμε εύκολα να συμπεράνουμε ότι ο γεννήτορας του

γενικού μετασχηματισμού της SO(2,n) θα είναι ένας (n+2)x(n+2) αντισυμμετρικός

πίνακας, σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων, αφού για την παραπάνω

απόδειξη δεν χρησιμοποιήσαμε τίποτε περισσότερο από τον ορισμό της ομάδας και

τις στοιχειώδεις ταυτότητες της μετρικής. Αυτός ο πίνακας μπορεί να παρασταθεί

συμβολικά ως:

(

)

όπου : ένας πραγματικός αντισυμμετρικός πίνακας , και .

Πολλαπλασιάζοντας τον γεννήτορα με την μετρική σε αυτές τις

συντεταγμένες βρίσκουμε:

(

)

όπου τώρα (

) (

), με και ο

αντισυμμετρικός πίνακας, οπότε ο είναι ο γνωστός μας

γεννήτορας του μετασχηματισμού Lorentz ( ) σε n χωροχρονικές διαστάσεις.

Επίσης, τα και είναι ίσα με (

) φορές τα αντίστοιχα και .

Η δράση, επομένως, του απειροστού στοιχείου της SO(2,n) σε ένα άνυσμα

του χώρου εμβάπτισης θα είναι:

23

( ) (

)

(

)

Αν θέλουμε, τώρα, να μεταβούμε σε σημείο του συνόρου θα πρέπει να

εφαρμόσουμε τις συνθήκες (2.15 και 2.16). Ορίζουμε λοιπόν το αρχικό σημείο έτσι

ώστε να υπακούει αυτές τις σχέσεις και επιβάλουμε στο μετασχηματισμένο να

κάνει το ίδιο. Θέλουμε, λοιπόν, για να βρούμε τη σωστή μορφή του

μετασχηματισμού, να διαλέξουμε από την κλάση ισοδυναμίας του σημείου 2.20

εκείνο για το οποίο . Αυτό επιτυγχάνεται εύκολα διαιρώντας με την τιμή του

τα και . Επειδή, όμως, η συντεταγμένη καθορίζεται πλήρως για τα σημεία

του συνόρου μέσω της αντίστοιχης σχέσης 2.15 για το μετασχηματισμένο σημείο, το

περιγράφει πλήρως το σημείο. Συνεπώς:

ή σε συναλλοίωτη μορφή (ορίζοντας τετρανύσματα και των οποίων οι

συνιστώσες είναι ίσες με τα στοιχεία των πινάκων-στηλών και αντίστοιχα,

οπότε τα αντίστοιχα ανταλλοίωτα θα έχουν συνιστώσες τα στοιχεία των πινάκων

στηλών και ):

[

]

πράγμα που δεν είναι τίποτε άλλο από τη γενική μορφή του απειροστού

σύμμορφου μετασχηματισμού.

Αποδείξαμε, επομένως, ότι η ομάδα ισομετρίας ενός χώρου δρα στα

σημεία του συνόρου του (αυτού του περίεργου συνόρου που ορίσαμε

προηγουμένως και που είναι ένας n-διάστατος χώρος Minkowski) ως η σύμμορφη

ομάδα. Αυτό το συμπέρασμα είναι ένα από τα βασικότερα συμπεράσματα της

παρούσας εργασίας και βρίσκεται στη βάση της ανάλυσης που θα γίνει στο επόμενο

και τελευταίο Κεφάλαιο.

24

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3

Σύμμορφη αναλλοιώτητα και κβαντική μηχανική

Σε αυτό το Κεφάλαιο επιδιώκουμε να εφαρμόσουμε τις γνώσεις που

αποκομίσαμε από την προηγούμενη ανάλυση της σχέσης της σύμμορφης ομάδας

με την ομάδα ισομετρίας του χώρου AdS σε ένα φυσικό πρόβλημα, ώστε να

αναδειχθεί η αξία αυτής της ισοδυναμίας. Το πρόβλημα που θα μελετηθεί είναι ένα

απλό, μονοδιάστατο πρόβλημα κβαντικής μηχανικής, με ένα σωμάτιο που κινείται

σε δυναμικό . Συγκεκριμένα, αφού αναλύσουμε τους σύμμορφους

μετασχηματισμούς σε μια διάσταση, θα αποδείξουμε ότι η δράση του συστήματος

αυτού είναι αναλλοίωτη κάτω από τη δράση τους και θα υπολογίσουμε τις

διατηρούμενες κατά Noether ποσότητες, οι οποίες στην κβαντική περιγραφή του

συστήματος, ως γνωστόν, θα αποτελούν αναπαράσταση των γεννητόρων της

ομάδας. Στη συνέχεια, θα κάνουμε χρήση του αποδεδειγμένου ισομορφισμού

μεταξύ της 1-D σύμμορφης ομάδας και της SO(2,1) και, αφού σχολιάσουμε

αναλυτικά την αναγκαιότητα χρήσης του, θα υπολογίσουμε το φάσμα του

συμπαγούς τελεστή στροφής της SO(2,1) και τις ιδιοκαταστάσεις του. Έπειτα θα

συσχετίσουμε τις καταστάσεις αυτές με τις γνωστές ενεργειακές ιδιοκαταστάσεις

του συστήματος και θα σχολιάσουμε σχετικά. Τέλος, θα παρουσιάσουμε συνοπτικά

ένα ενδιαφέρον φυσικό σύστημα στο οποίο η μελέτη του απλού προβλήματος

κβαντομηχανικής που αναλύσαμε έχει εφαρμογή.

25

3.1 Σύμμορφη αναλλοιώτητα σε 1-D

Σύμμορφοι μετασχηματισμοί σε 1D

Οι σύμμορφοι μετασχηματισμοί σε μία διάσταση ανάγονται σε 3 μόνο

διαφορετικά είδη και η μορφή τους βρίσκεται εύκολα από τους γενικούς

σύμμορφους μετασχηματισμούς στις n-διαστάσεις που αναλύσαμε στο Κεφάλαιο 1:

(i) Μεταθέσεις:

(ii) Dilatations: { }

(iii) Ειδικοί σύμμορφοι:

Η γενική μορφή που μπορεί να αποδώσει κανείς σε αυτούς τους

μετασχηματισμούς είναι:

όπου

Ωστόσο, για να οριστεί με συνέπεια η γενική μορφή 3.1 θα πρέπει οι

παράμετροι να υπακούν στους εξής περιορισμούς:

(i) ή

(ii)

Επίσης, όπως παρατηρεί κανείς η γνώση των 3 παραμέτρων είναι αρκετή για να

καθορίσει κανείς τον επιθυμητό μετασχηματισμό αφού, πάντα μπορούμε να

διαιρέσουμε τη σχέση 3.1 με μια από τις μη μηδενικές παραμέτρους και συνεπώς

να θέσουμε μονάδα τη μια από αυτές.

Οι παραπάνω περιορισμοί και η παρατήρηση ότι το πολύ 3 από τις

παραμέτρους χρειάζονται κάθε φορά μπορούν να εισαχθούν με έναν πολύ κομψό

φορμαλιστικό τρόπο: την εισαγωγή του περιορισμού . Κάνοντας

επιπλέον την παρατήρηση ότι 2 διαδοχικοί γενικοί σύμμορφοι μετασχηματισμοί

δίνουν αποτέλεσμα:

( )

συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ισομορφισμός από την σύμμορφη ομάδα στη 1

διάσταση στο χώρο των πραγματικών πινάκων με ορίζουσα 1:

26

(

)

αφού, αν και είναι οι πίνακες που αντιστοιχούν στον 1ο και στο 2ο κατά σειρά

γενικό σύμμορφο μετασχηματισμό, η πράξη δίνει αποτέλεσμα το οποίο

είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στο γινόμενο των 2 προηγούμενων στοιχείων της

σύμμορφης ομάδας. Δηλαδή η απεικόνιση που ορίσαμε (που προφανώς είναι 1-1)

μεταφέρει και την πράξη της ομάδας, οπότε οι 2 ομάδες είναι ισόμορφες.

Με χρήση του ισομορφισμού που αποδείξαμε μπορούμε πια να ορίσουμε

τους πίνακες που αντιστοιχούν σε κάθε είδος μετασχηματισμού.

(i) Μεταθέσεις: (

)

(ii) Dilatations: (

)

(iii) Ειδικοί σύμμορφοι: (

)

όπου: , με οι πίνακες του Pauli.

Μηχανικό σύστημα με σύμμορφη αναλλοιώτητα

Μετά από την ανάλυση των ιδιοτήτων της σύμμορφης ομάδας, ήρθε η ώρα

να εισάγουμε το μηχανικό σύστημα με σύμμορφη αναλλοιώτητα που θα

μελετήσουμε στο Κεφάλαιο αυτό. Η κλασική περιγραφή του συστήματος γίνεται με

την δράση:

∫

(

)

από την οποία, μπορούμε να παρατηρήσουμε από τη διαστατική ανάλυση του

προβλήματος (η δράση πρέπει να είναι αδιάστατη, αφού έχει μονάδες ℏ=1,

επομένως [ ] [

]), ότι η σταθερά ζεύξης g είναι αδιάστατη, πράγμα που υπονοεί

συμμετρία της δράσης σε αλλαγές της κλίμακας και συνεπώς σύμμορφη

αναλλοιώτητα.

Πράγματι, αν επιλέξουμε ως μετασχηματισμό του πεδίου («πεδίο θέσης»)

υπό τους σύμμορφους μετασχηματισμούς τον εξής:

27

τότε η δράση (και όχι η Lagrangian) του συστήματος μένει αναλλοίωτη modulo μια

σταθερά-ολοκλήρωμα ολικής χρονικής παραγώγου (απόδειξη στο Παράρτημα Γ).

3.2 Διατηρούμενες ποσότητες και αναπαραστάσεις

γεννητόρων

Διατηρούμενες ποσότητες κατά Noether

Όπως μας είναι γνωστό από την κλασική μηχανική ακόμα, κάθε συνεχής

συμμετρία μιας δράσης (δηλαδή κάθε μετασχηματισμός που αφήνει τη δράση

αναλλοίωτη σε πρώτη τάξη) συνεπάγεται μια διατηρούμενη χρονικά ποσότητα.

Συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε τους μετασχηματισμούς:

τότε, αν η δράση μεταβάλλεται το πολύ κατά ένα ολοκλήρωμα μιας ολικής χρονικής

παραγώγου μιας συνάρτησης υπάρχει μια διατηρούμενη ποσότητα, η οποία

έχει τη μορφή:

(

)

Για τις δικές μας περιπτώσεις, εφαρμογή αυτού του θεωρήματος δίνει:

(i) Μεταθέσεις:

Διατηρούμενη ποσότητα:

⇒

(

)

28

(ii) Dilatations:

Διατηρούμενη ποσότητα:

(

)

(

) (

)

⇒ (

)

(iii) Ειδικοί σύμμορφοι:

Διατηρούμενη ποσότητα:

(

)

⇒

όπου στις 3.8 και 3.9 συμμετροποιήσαμε τον τελεστή ή στο χώρο των φάσεων

, διότι θα μελετήσουμε την κβαντική θεωρία και κατά την μετάβαση των και

από πραγματικές συναρτήσεις σε ερμητιανούς τελεστές η σειρά τους θα αποκτήσει

σημασία. Γι’ αυτό και η σωστή κβάντωση γίνεται με συμμετροποιημένα τέτοιου

είδους γινόμενα (αφού η κλασική εικόνα δε μας δίνει πληροφορία για το ποιο

πρέπει να είναι πρώτο ή δεύτερο).

Αναπαράσταση των γεννητόρων της σύμμορφης ομάδας

Η κβάντωση της θεωρίας γίνεται με μετατροπή των φυσικών μεγεθών της

θέσης και της ορμής σε ερμητιανούς τελεστές που δρουν σε έναν χώρο Hilbert

καταστάσεων και επιβάλλοντας τη σχέση μετάθεσης:

29

[ ]

Τότε οι τελεστές και που ορίζονται από τις παραπάνω σχέσεις, όπως

γνωρίζουμε από την κβαντομηχανική, αποτελούν αναπαράσταση των γεννητόρων

των μετασχηματισμών που οδήγησαν στις αντίστοιχες διατηρούμενες ποσότητες

και συνεπαγόμενα είναι αναπαραστάσεις των γεννητόρων της μετάθεσης, του

dilatation και του ειδικού σύμμορφου αντίστοιχα.

Μέσω του φυσικού συστήματος που επιλέξαμε, λοιπόν, κατασκευάσαμε μια

αναπαράσταση της σύμμορφης ομάδας στον χώρο Hilbert των φυσικών

καταστάσεων. Συνοψίζοντας η αναπαράσταση αυτή είναι:

(

)

Εφ’ όσων οι τελεστές αυτοί αποτελούν αναπαραστάσεις των γεννητόρων της

σύμμορφης ομάδας στη 1 διάσταση θα πρέπει να ικανοποιούν και την άλγεβρα Lie

της ομάδας, η οποία, όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 1 είναι:

[ ]

[ ]

[ ]

(τα πρόσημα των σχέσεων 3.14-3.16 που διαφέρουν από τα αντίστοιχα πρόσημα

του πρώτου Κεφαλαίου οφείλονται στις διαφορετικές συμβάσεις που κάναμε στο

παρόν Κεφάλαιο σχετικά με τη φορά των μετασχηματισμών)

Αυτό το γεγονός μπορεί να επιβεβαιωθεί άμεσα με χρήση των σχέσεων 3.11-1.13

για τους τελεστές και τη σχέση μετάθεσης 3.10. Εμείς θα παρουσιάσουμε την

απόδειξη της 3.14 η οποία είναι και η λιγότερο τετριμμένη, μιας και μετά τον

υπολογισμό αυτής οι άλλες δύο υπολογίζονται σχεδόν αμέσως.

Λήμμα

[ ]

⇒

⇒

30

⇒ [

]

Απόδειξη 3.14

[ ]

([ ] [ ] [

] [

])

[ ]

[ ]

[

]

Άρα:

[ ]

(

)

QED.

Υπάρχει, ωστόσο, ένα σημείο που μέχρι στιγμής δεν έχει σχολιαστεί και αυτό

είναι το γεγονός ότι το σύστημά μας, με φασικό χώρο 2 διαστάσεων και 3

ολοκληρώματα της κίνησης, είναι υπερολοκληρώσιμο και, συνεπώς, αναμένουμε να

υπάρχει μια σχέση που να συνδέει τα 3 αυτά μεγέθη (ή, στην κβαντική εικόνα, τους

3 αυτούς τελεστές). Αυτή η σχέση υπάρχει και συνδέεται άμεσα με τον τελεστή

Casimir της ομάδας. Αυτός ο τελεστής θα κατασκευαστεί, με λογικά επιχειρήματα,

κάνοντας χρήση του ισομορφισμού που θα αναλυθεί στην επόμενη ενότητα και έτσι

θα αποδειχθεί και η σχέση που συνδέει τους τελεστές. Η εύρεση μιας τέτοιας

σχέσης, με τα μέχρι τώρα δεδομένα, δεν είναι καθόλου τετριμμένο εγχείρημα, μιας

και θα πρέπει να στηριχθεί κυρίως στη διαίσθηση και την λογική της δοκιμής και

απόρριψης.

31

3.3 Ισομορφισμός σύμμορφης ομάδας σε 1-D και

και τελεστής Casimir

Ισομορφισμός μεταξύ των ομάδων

Όπως δείξαμε στην τελευταία ενότητα του Κεφαλαίου 2, μπορεί κανείς να

βρει μια μαθηματική ισοδυναμία μεταξύ της ομάδας ισομετρίας ενός χώρου

και της σύμμορφης ομάδας ενός Minkowski χώρου n-διαστάσεων. Η

αντιστοιχία αυτή είναι, επίσης, 1-1 (άλλωστε ο αριθμός γεννητόρων των 2 ομάδων

είναι ίδιος) και συνεπώς αποτελεί ισομορφισμό.

Αυτός ο ισομορφισμός είναι πολύ πιο εύκολο να γίνει αντιληπτός στην

περίπτωση που εξετάζουμε στο παρόν Κεφάλαιο, όπου η σύμμορφη ομάδα δρα σε

χώρο μιας διάστασης. Δεδομένων των σχέσεων μετάθεσης 3.14-3.16 των

γεννητόρων της σύμμορφης ομάδας σε 1-D, είναι τετριμμένο να δείξει κανείς ότι οι

τελεστές:

ικανοποιούν τις σχέσεις μετάθεσης:

[ ]

[ ]

[ ]

οι οποίες δεν είναι παρά οι σχέσεις μετάθεσης της ομάδας . Και δεδομένου

του ότι η αντιστοιχία των γεννητόρων είναι 1-1 η ισοδυναμία αυτή έχει τα

χαρακτηριστικά του ισομορφισμού.

Τελεστής Casimir

Δεδομένου της ισοδυναμίας που δείξαμε μόλις, είναι εύκολο πια να

κατασκευάσουμε τον τελεστή Casimir της ομάδας. Εξ’ ορισμού της ομάδας ,

οι μετασχηματισμοί που αποτελούν στοιχεία της διατηρούν τα εσωτερικά γινόμενα

στον χώρο με μετρική . Συνεπώς, αναμένει κανείς

32

(όπως ακριβώς συμβαίνει και με τους τελεστές των στροφών στον ευκλείδειο χώρο)

ο τελεστής που θα αντιστοιχεί στο μέτρο του ανύσματος με συνιστώσες , να

μετατίθεται με τους τελεστές , αφού αν πχ θεωρήσουμε μια ιδιοκατάσταση του

τελεστή : | , τότε και οι μετασχηματισμένες ιδιοκαταστάσεις |

( )| , θα πρέπει επίσης να είναι ιδιοκαταστάσεις του με την ίδια

ιδιοτιμή. Άρα, ο τελεστής Casimir πρέπει να είναι ο:

Η απόδειξη ότι όντως μετατίθεται με τους τελεστές είναι τετριμμένη και απαιτεί

απλή χρήση των σχέσεων μετάθεσης 3.25-3.27.

Με αντικατάσταση των ορισμών των συναρτήσει των από τις

σχέσεις 3.22-3.24, μπορούμε εύκολα να εξάγουμε τη μορφή του τελεστή Casimir

συναρτήσει των γεννητόρων της σύμμορφης ομάδας. Προσέχοντας τη διάταξη των

γεννητόρων κατά την εκτέλεση των πράξεων προκύπτει εύκολα ότι:

Αν τώρα, αντικαταστήσουμε στην 3.29 τις σχέσεις που συνδέουν τους

γεννήτορες της ομάδας με τους τελεστές του χώρου Hilbert των καταστάσεων

του συστήματος 3.11-3.13 βρίσκουμε ότι:

[ ]

[ ]

[ ]

Παρατηρούμε, επομένως, ότι ο τελεστής Casimir της ομάδας, για την

περίπτωσή μας είναι ο μοναδιαίος τελεστής επί μια σταθερά που εξαρτάται από την

αδιάστατη σταθερά ζεύξης του δυναμικού. Αυτό οδηγεί σε 2 συμπεράσματα: Οι

αναπαραστάσεις των καταστάσεων θα καθορίζονται από την τιμή του g και, επίσης,

33

η σχέση 3.30 ουσιαστικά αποτελεί μια σχέση που συνδέει τους γεννήτορες της

σύμμορφης ομάδας μεταξύ τους για την περίπτωση του φυσικού συστήματος που

έχουμε επιλέξει. Συνεπώς, τα ανεξάρτητα ολοκληρώματα της κίνησης είναι μόνο 2

και αίρεται η ασυνέπεια της υπερολοκληρωσιμότητας που είχαμε επισημάνει στο

τέλος της προηγούμενης ενότητας. Όπως παρατηρεί κανείς, όμως, η σχέση που

συνδέει τα μεταξύ τους δεν είναι τετριμμένη και θα απαιτούσε πολύ χρόνο

και κόπο για να εξαχθεί χωρίς τη χρήση του ισομορφισμού της σύμμορφης ομάδας

με την .

Αναγκαιότητα χρήσης του ισομορφισμού

Πέρα από τη διευκόλυνση που μας προσφέρει ο ισομορφισμός των 2

ομάδων στην κατασκευή του τελεστή Casimir και στον προσδιορισμό της σχέσης

που συνδέει τους 3 τελεστές και , υπάρχει και μια πολύ πιο ουσιαστική

ανάγκη χρήσης του, την οποία θα προσπαθήσουμε να αναδείξουμε παρακάτω.

Αυτή σχετίζεται με το γεγονός ότι ο τελεστής της Hamiltonian δεν έχει κάτω

φραγμένος φάσμα ιδιοτιμών ούτε έχει κανονικοποιήσιμες ιδιοκαταστάσεις, όπως

και κανένας μη συμπαγής τελεστής. Αντίθετα, ο τελεστής της είναι

συμπαγής και μας λύνει το πρόβλημα. Γι’ αυτό και, όπως θα εξηγήσουμε στη

συνέχεια, οι ιδιοκαταστάσεις και ιδιοτιμές αυτού του τελεστή θα πρέπει να

θεωρούνται ως φυσικές καταστάσεις και μετρήσιμες ποσότητες αντίστοιχα και όχι

αυτές της Hamiltonian.

Για να το δείξουμε αυτό θα θεωρήσουμε τη δράση ενός γενικού τελεστή:

και θα δείξουμε τι πρέπει να ισχύει για τις σταθερές ώστε ο τελεστής να

διαθέτει τις επιθυμητές ιδιότητες, δηλαδή τι πρέπει να ισχύει ώστε ο τελεστής

αυτός να περιγράφει συνεπώς την εξέλιξη του συστήματος και να δίνει κάτω

φραγμένο φάσμα ιδιοτιμών και κανονικοποιήσιμες ιδιοκαταστάσεις. Για να γίνει

αυτό, ωστόσο, πρέπει πρώτα να βρούμε το πώς κάθε μετασχηματισμός δρα στα

kets του χώρου Hilbert και στον τελεστή . Ας μελετήσουμε, λοιπόν, τη δράση κάθε

τελεστή ξεχωριστά.

Γενικά, έστω ένας ερμητιανός τελεστής που είναι η αναπαράσταση ενός

μετασχηματισμού στο χώρο Hilbert. Τότε:

| |

34

Όμως, όπως αναφέρουμε και στην ενότητα 3.1, για τους σύμμορφους

μετασχηματισμούς, ισχύει:

και από συνδυασμό των 3.5 και 3.33 προκύπτει πως:

Κάνοντας χρήση των σχέσεων 3.32 και 3.34 μπορούμε να βρούμε την

αναπαράσταση των τελεστών στο χώρο Hilbert ως εξής:

(i) Μεταθέσεις:

| | | (

) |

⇒ |

|

⇒ [ ]

(ii) Dilatations:

| | | (

) |

⇒ |

|

⇒ [ ] (

)

35

(iii) Ειδικοί σύμμορφοι:

| | |

(

) |

⇒ |

|

⇒ [ ] (

)

Για να μην προκληθεί σύγχυση θα πρέπει να ξεκαθαρίσουμε το εξής: οι

σχέσεις 3.35,3.37 και 3.39 αποτελούν αναπαράσταση των τελεστών και στο

χώρο Hilbert των καταστάσεων ακριβώς όπως και οι σχέσεις 3.11,3.12 και 3.13 που

προσδιορίσαμε στην ενότητα 3.2, παρότι φαινομενικά είναι διαφορετικές (αφού αν

πχ αντικαταστήσουμε στις σχέσεις της ενότητας 3.2 τον τελεστή με τη γνωστή του

αναπαράσταση

, το αποτέλεσμα είναι άρδην διαφορετικό από αυτό που

εξάγαμε προηγουμένως). Στην πραγματικότητα, όμως, οι 2 αναπαραστάσεις δεν

είναι διαφορετικές, απλά η τελευταία είναι εκπεφρασμένη στη βάση των

ιδιοκαταστάσεων του χρόνου, σε αντίθεση με αυτή της ενότητας 3.2 που μας

παραπέμπει στη συνηθισμένη έκφραση στη βάση των ιδιοκαταστάσεων θέσης. Αν

στις σχέσεις 3.11-3.13 αντικαθιστούσαμε τους τελεστές με την αναπαράστασή

τους στη βάση ιδιοανυσμάτων του χρόνου (τα οποία, για λόγους πληρότητας,

αναφέρουμε ότι ορίζονται ως: | ∫ | ) τότε θα προέκυπτε η

αναπαράσταση 3.35,3.37,3.39. Ωστόσο, αυτή η πορεία είναι μάλλον πιο δύσκολη

από αυτή που ακολουθήσαμε εμείς στην ενότητα αυτή.

Εφ’ όσων υποστηρίζουμε ότι οι τελεστές:

36

αποτελούν αναπαράσταση των γεννητόρων της σύμμορφης ομάδας, θα πρέπει να

υπακούν στην άλγεβρά τους. Αυτό είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι πράγματι ισχύει.

Παρακάτω παρατίθεται εν συντομία η απόδειξη:

[ ]

[ ]

[ ]

Έχοντας ως δεδομένα τα παραπάνω, είναι, πλέον, εύκολο να βρούμε πώς

δρα ο τελεστής G σε ένα τυχαίο ket του χώρου Hilbert:

|

|

|

ενώ για τον μετασχηματισμό του τελεστή q έχουμε:

[ ]

Παρατηρώντας την 3.41 συμπεραίνουμε πως με αλλαγή της παραμέτρου του

χρόνου τέτοια ώστε:

προκύπτει για τη δράση του τελεστή G στην κατάσταση ψ η γνωστή σχέση της

χρονικής εξέλιξης:

|

|

ενώ για την εξέλιξη του τελεστή q (στην εικόνα του Heisenberg προφανώς)

χρειάζεται και η αλλαγή:

√

37

ώστε να προκύψει η γνωστή σχέση χρονικής εξέλιξης:

[ ]

Οι σχέσεις 3.44 και 3.46 μας δείχνουν ότι, με την αναπαραμέτρηση του

χρόνου και την κατάλληλη αλλαγή του τελεστή θέσης, καταφέραμε να

κατασκευάσουμε έναν φορμαλισμό για μια γενικευμένη «χρονική» εξέλιξη του

συστήματος, με χρήση της σύμμορφης αναλλοιώτητάς του. Για να βρούμε ποιος

τελεστής G έχει καλές ιδιότητες και μπορεί να μας δώσει πλήρη περιγραφή για

όλους τους χρόνους t αρκεί να ελέγξουμε το σε ποιες περιπτώσεις η

αναπαραμέτρηση του χρόνου 3.43 είναι εφικτό να γίνει για όλους τους χρόνους

. Έτσι διακρίνουμε 3 περιπτώσεις:

(i) .

Η συνάρτηση έχει 2 ρίζες σε πεπερασμένους χρόνους οπότε το ολοκλήρωμα

∫

, δεν μπορεί να οριστεί παντού.

(ii) .

Η συνάρτηση δεν έχει ρίζες οπότε το ολοκλήρωμα ∫

, έχει καλή

συμπεριφορά και οι τελεστές αυτού του είδους περιγράφουν καλά την εξέλιξη του

συστήματος.

(iii) .

Η συνάρτηση έχει μια διπλή ρίζα σε πεπερασμένο χρόνο οπότε το ολοκλήρωμα

∫

, δεν ορίζεται καλά για όλους τους χρόνους.

Συνεπώς, για να είναι συνεπής ο φορμαλισμός της «γενικευμένης χρονικής

εξέλιξης» που αναπτύξαμε προηγουμένως για έναν γενικό τελεστή G θα πρέπει να

ισχύει . Αυτό ισχύει για τον τελεστή της ομάδας και,

επομένως, αποδείξαμε ότι με χρήση του μπορούμε να έχουμε μια συνεπή

περιγραφή της εξέλιξης του συστήματος.

Ας εξετάσουμε τώρα υπό ποιες συνθήκες ο γενικός τελεστής G δίνει κάτω

φραγμένο φάσμα ιδιοτιμών και κανονικοποιήσιμες ιδιοκαταστάσεις. Ένας εύκολος

τρόπος να το δούμε αυτό είναι να γράψουμε την κλασική δράση του συστήματος

38

στις καινούριες συντεταγμένες (δηλαδή για την παράμετρο του χρόνου και τη

μεταβλητή της θέσης ).

∫ [(

(√ ))

] ∫

[

(

)

]

∫ [

(

)

(

)

]

∫ [(

)

(

)

]

∫ [(

)

(

)]

∫ [(

)

(

)

(

)

]

⇒ ∫

[(

)

] [(

) ]

Το παραπάνω αποτέλεσμα για τη δράση στις καινούριες συντεταγμένες

κάνει ξεκάθαρο το συμπέρασμα που θέλαμε να εξάγουμε από την αρχή αυτής της

ανάλυσης: ότι μόνο μια συγκεκριμένη κλάση τελεστών, αυτοί που χαρακτηρίζονται

από , εμφανίζουν τις «καλές» ιδιότητες που θέλουμε, αυτή του

κάτω φραγμένου φάσματος και των κανονικοποιήσιμων ιδιοκαταστάσεων.

Συγκεκριμένα, η αλλαγή της παραμέτρου χρόνου και της δυναμικής μεταβλητής της

θέσης οδήγησαν στη δημιουργία ενός ενεργού δυναμικού, που αποτελείται από το

αρχικό δυναμικό συν ένα δυναμικό αρμονικού ταλαντωτή του οποίου το πρόσημο

και η «σταθερά του ελατηρίου» εξαρτάται από τη διακρίνουσα . Έτσι, για την

περίπτωση που μας ενδιαφέρει (αφού για έχουμε την απλή δράση του

ελεύθερου σωματιδίου και για έχουμε ένα απείρως ελκτικό δυναμικό στην

αρχή, γεγονός που οδηγεί σε γνωστές ασυμβατότητες στο κβαντικό επίπεδο βλέπε:

“Anomalies in quantum mechanics: The potential”, Am. J. Phys. 70 (5) 2002)

έχουμε ότι:

(i) : Συνεχές φάσμα + μη κανονικοποιημένες ιδιοκαταστάσεις

(ii) : Το δυναμικό δεν είναι κάτω φραγμένο πράγμα που οδηγεί σε μη

κάτω φραγμένο φάσμα

39

(iii) : Το δυναμικό είναι κάτω φραγμένο και παρουσιάζει ολικό

ελάχιστο, πράγμα που σημαίνει ότι χαρακτηρίζεται από διακριτό και

κάτω φραγμένο φάσμα καθώς και κανονικοποιήσιμες ιδιοκαταστάσεις.

Συνοψίζοντας τα συμπεράσματα αυτής της ενότητας, αποδείξαμε τον

ισομορφισμό μεταξύ της σύμμορφης ομάδας σε μια διάσταση και της ομάδας

(που, βέβαια, αποτελεί ειδική περίπτωση της γενικής απόδειξης που

περιγράψαμε στο Κεφάλαιο 2, αλλά κάνει πιο ξεκάθαρο το περιεχόμενο αφού

αποφεύγεται η μαθηματική πολυπλοκότητα της γενικότητας) και κατασκευάσαμε,

με εύληπτα επιχειρήματα τον τελεστή Casimir της σύμμορφης ομάδας, ενώ

βρήκαμε και τη σχέση που συνδέει τα ολοκληρώματα της κίνησης, έτσι ώστε να

προκύψουν 2 ανεξάρτητα, όπως υπαγορεύει η διάσταση του χώρου των φάσεων.

Στη συνέχεια, αφού αναπτύξαμε έναν φορμαλισμό για τη «γενικευμένη χρονική

εξέλιξη» και υπολογίσαμε και την Lagrangian του συστήματος στις γενικευμένες

συντεταγμένες, δείξαμε ότι οι τελεστές οι οποίοι μπορούν να περιγράψουν

συνεπώς το σύστημα για όλους τους χρόνους και χαρακτηρίζονται από κάτω

φραγμένο φάσμα ιδιοτιμών και κανονικοποιήσιμες ιδιοκαταστάσεις είναι αυτή με

. Ένας τέτοιος τελεστής είναι και ο τελεστής στροφής της

, ενώ, εν αντιθέσει, κάτι τέτοιο δεν ισχύει για τον χαμιλτονιανό τελεστή.

Επομένως, καταλήγουμε ότι στο πρόβλημα αυτό, είναι τελεστής και όχι ο του

οποίου οι ιδιοτιμές θα είναι τα μετρήσιμα μεγέθη και οι ιδιοκαταστάσεις οι φυσικές

καταστάσεις του συστήματος, ενώ η κλασική έννοια της ενέργειας χάνει τη φυσική

της σημασία. Από τα παραπάνω γίνεται κατανοητή πια η αναγκαιότητα χρήσης του

ισομορφισμού των 2 ομάδων: στη συγκεκριμένη περίπτωση δεν είναι απλώς μια

εικόνα που διευκολύνει την περιγραφή, αλλά μάλλον η σωστή φυσική περιγραφή

του συστήματος.

40

3.4 Ιδιοτιμές και ιδιοκαταστάσεις του συστήματος

Ιδιοτιμές

Όπως αναλύσαμε στην προηγούμενη ενότητα, ο τελεστής του οποίου οι

ιδιοτιμές και οι ιδιοκαταστάσεις έχουν φυσική σημασία, στο πρόβλημα αυτό, δεν

είναι η Hamiltonian, αλλά ο τελεστής στροφής που ορίσαμε στην ενότητα 3.3. Για

την εύρεση των ιδιοτιμών του θα προσπαθήσουμε να κάνουμε χρήση της

καθιερωμένης αλγεβρικής τεχνικής που χρησιμοποιείται στην κβαντομηχανική για

την εύρεση του φάσματος κάποιας προβολής της στροφορμής. Έτσι θα

δοκιμάσουμε να ορίσουμε τελεστές ανάβασης και κατάβασης (ladder operators) ως

εξής:

Υπολογίζοντας τους μεταθέτες αυτών των τελεστών με το αλλά και τον

μεταξύ τους μεταθέτη, βρίσκουμε:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Επομένως, αν | ένα ιδιοάνυσμα του με ιδιοτιμή , τότε το | θα

είναι ένα ιδιοάνυσμα (όχι απαραίτητα κανονικοποιημένο) με ιδιοτιμή , αφού:

| | | |

Όπως δείξαμε στην ενότητα 3.3, ο τελεστής Casimir της ομάδας είναι ο

, για τον οποίο επίσης ισχύει:

Επομένως, λόγω της 3.30, αν το άνυσμα | που ορίσαμε πριν είναι ένα

κοινό ιδιοάνυσμα των τότε προφανώς θα ισχύει:

| | (

) |

⇒

( √

)

Το ποιο θα επιλεγεί θα το αναλύσουμε λίγο παρακάτω.

41

Επίσης, ισχύει ότι:

[ ]

⇒

και δεδομένου ότι:

| |

| |

κάνοντας χρήση της 3.53, προκύπτει πως:

⟨ | | | | ⇒

⟨ | | | | ⇒

Από τις σχέσεις 3.54 και 3.55 καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι οι ιδιοτιμές

του τελεστή έχουν την ιδιότητα:

Για φυσικούς λόγους (αναγκαιότητα ύπαρξης κάτω φράγματος στο φάσμα των

ιδιοτιμών ενός τελεστή με φυσική σημασία) επιλέγουμε το σύνολο τιμών .

Συνεπώς, δεδομένου και του ότι οι ιδιοτιμές απέχουν μεταξύ τους κατά 1 (αφού

υπάρχουν τελεστές ανάβασης και κατάβασης) το φάσμα ιδιοτιμών του θα είναι:

Το μόνο που μένει για να προσδιοριστεί πλήρως το φάσμα είναι να επιλεγεί

η μία από τις 2 τιμές του που δίνονται από τη σχέση 3.52. Αυτό μπορεί να γίνει

από τη μελέτη της συμπεριφοράς της θεμελιώδους ιδιοσυνάρτησης του στις

μικρές αποστάσεις.

Από το αποτέλεσμα 3.47 για τη Lagrangian του συστήματος στις

γενικευμένες συντεταγμένες, προκύπτει αμέσως ότι ο τελεστής της αντίστοιχης

«Hamiltonian» στην αναπαράσταση θέσης (όπου ο όρος Hamiltonian

χρησιμοποιείται καταχρηστικά στη δεδομένη περίπτωση για να περιγράψουμε τον

μετασχηματισμό Legendre της Lagrangian, ο οποίος εδώ είναι ο τελεστής ) είναι:

οπότε η αντίστοιχη εξίσωση Schrodinger για τη θεμελιώδη κατάσταση θα έχει τη

μορφή:

42

(

)

Στο όριο η διαφορική εξίσωση 3.58 γίνεται:

Δοκιμάζοντας λύση της μορφής: παίρνουμε:

⇒

√

( √

)

Άρα, η συμπεριφορά της θεμελιώδους κυματοσυνάρτησης στις αποστάσεις

πολύ κοντά στο 0 είναι της μορφής

. Απαιτώντας, όμως, λόγω του

απειρισμού του δυναμικού στο 0 η κυματοσυνάρτηση να μηδενίζεται καταλήγουμε

ότι πρέπει να ισχύει: , κάτι που είναι εφικτό μόνο αν το παίρνει τη

μεγαλύτερη τιμή της σχέσης 3.52, αφού (για θετικό g που μας ενδιαφέρει εμάς) για

τη μικρότερη τιμή έχουμε:

( √

)

(

)

Καταλήγοντας, επομένως, το φάσμα ιδιοτιμών για το πρόβλημά μας είναι:

( √

)

Ιδιοσυναρτήσεις

Η θεμελιώδης ιδιοκατάσταση στον αφηρημένο χώρο Hilbert των ανυσμάτων

ορίζεται ως:

|

ενώ όλες οι υπόλοιπες καταστάσεις κατασκευάζονται από αυτή με τη δράση του

τελεστή ανάβασης. Συγκεκριμένα, η κ-οστή διεγερμένη κατάσταση θα είναι (modulo

μια σταθερά κανονικοποίησης) η εξής:

| |

43

Συνεπώς, αν κατασκευάσουμε την αναπαράσταση των τελεστών στο

χώρο των θέσεων έχουμε, ουσιαστικά, λύσει το πρόβλημα του προσδιορισμού των

ιδιοσυναρτήσεων. Με χρήση των σχέσεων ορισμού των :

των σχέσεων ορισμού των :

καθώς και των σχέσεων 3.11-3.13 για την αναπαράσταση των γεννητόρων της

σύμμορφης ομάδας στον χώρο Hilbert (θέτοντας, όμως, αφού, όντας

κλασικώς διατηρούμενες ποσότητες έχουν ίδια τιμή για όλους τους χρόνους ),

προκύπτει:

(

)

και στον βάση των ιδιοανυσμάτων θέσης:

(

)

Συνεπώς, η θεμελιώδης κατάσταση θα είναι η λύση της διαφορικής

εξίσωσης:

(

)

⇒

(i) :

⇒

(ii) :

Αν θεωρήσουμε λύση: , τότε:

⇒

Από την ασυμπτωτική συμπεριφορά της λύσεις στις μεγάλες και τις μικρές

αποστάσεις προσδιορίσαμε ότι πρέπει να έχει τη μορφή:

44

Όμως, τελικά με αντικατάσταση, αποδεικνύεται ότι , επομένως,

η θεμελιώδης κυματοσυνάρτηση έχει τη μορφή:

Ο προσδιορισμός των διεγερμένων ιδιοσυναρτήσεων είναι πλέον απλό θέμα

αφού αρκεί να εφαρμόσουμε όσες φορές επιθυμούμε τον τελεστή στην και

να κανονικοποιήσουμε κατάλληλα.

3.5 Αναπαράσταση στις ενέργειες και ιδιοκαταστάσεις της

Hamiltonian

Όπως αναλύσαμε σχολαστικά στις 2 προηγούμενες ενότητες, ο τελεστής που

έχει φυσική σημασία σε αυτό το πρόβλημα είναι ο σε αντίθεση με τα κοινά

προβλήματα κβαντομηχανικής όπου την προεξέχουσα θέση την έχει η Hamiltonian

του συστήματος.

Σε αυτή την ενότητα θα καταπιαστούμε με το έργο του να συνδέσουμε τις 2

αυτές εικόνες, βρίσκοντας τη σχέση ανάμεσα στις φυσικές ιδιοσυναρτήσεις του

συστήματος (αυτές του τελεστή ) και τις ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή της

Hamiltonian.

Αυτό μπορεί να επιτευχθεί εύκολα φορμαλιστικά ως εξής:

| ∑ |

⟨ |

Ο προσδιορισμός της συνάρτησης , επομένως, αρκεί για να

προσδιορίσουμε πλήρως τη σχέση μεταξύ των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας και

των ιδιοκαταστάσεων του .

Η συνάρτηση θα δίνεται από τη σχέση:

| | ⇒ ∫ ⟨ | | ⟨ | ⟨ |

⇒ ∫ ⟨ | |

45

Πρέπει, συνεπώς, να προσδιορίσουμε την ποσότητα ⟨ | | , που αποτελεί

την αναπαράσταση του τελεστή στη βάση των ιδιοκαταστάσεων της ενέργειας.

Αναπαράσταση στις ενέργειες

Σκοπός αυτής της υποενότητας είναι η κατασκευή της αναπαράστασης στις

ενέργειες του τελεστή . Για να το επιτύχουμε αυτό, πρώτα, θα κατασκευάσουμε

την αναπαράσταση της σύμμορφης ομάδας στις ενέργειες και στη συνέχεια θα

εκφράσουμε τον τελεστή μέσω των γεννητόρων της.

Θα ξεκινήσουμε από αυτή την προφανή αντιστοιχία:

(

)

(

)

Χρησιμοποιώντας, τώρα, τις σχέσεις μετάθεσης των γεννητόρων της ομάδας

και τη σχέση 3.30 που συνδέει τους γεννήτορες μεταξύ τους, θα προσδιορίσουμε τη

μορφή των συναρτήσεων (

) και (

).

[ ] ⇒ (

) (

)

⇒ (

)

[ ] ⇒ (

) (

)

Επειδή θέλουμε στο δεύτερο μέλος να περισσέψει ένας όρος με παράγωγο ως προς

, δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο πρώτες παραγώγους στη συνάρτηση

. Επομένως, η μορφή του όρου

που θέλουμε να κατασκευάσουμε μας ωθεί

στο να θεωρήσουμε έναν όρο

, οπότε:

(

)

46

Επίσης, για να πετύχουμε τον όρο θα χρειαστούμε στη και έναν όρο με

πρώτες παραγώγους της μορφής:

.

Συνεπώς, η γενική μορφή του τελεστή θα είναι:

[ ] ⇒ (

)(

)

(

)(

)

(

)

⇒

⇒

⇒

Αν σε αυτό το σημείο θεωρήσουμε Τότε:

⇒

Οπότε για τη μορφή του τελεστή έχουμε:

47

Το μόνο που μένει είναι να αντικαταστήσουμε και στη σχέση 3.30 ώστε να

προσδιορίσουμε τη σχέση που πρέπει να συνδέει τις σταθερές και .

⇒

(

)

⇒

Αν διαλέξουμε

, τότε:

(

) (

√

)

(

( √

)

)

(

)

οπότε η επιθυμητή αναπαράσταση στις ενέργειες των γεννητόρων της σύμμορφης

ομάδας θα είναι:

(

)

( )

Ιδιοκαταστάσεις ενέργειας

Οπότε η αναπαράσταση του τελεστή στη βάση των ιδιοανυσμάτων της

ενέργειας θα είναι:

( )

και η διαφορική εξίσωση που ικανοποιεί η συνάρτηση ⟨ | θα είναι η:

(

( )

)

48

(i) :

⇒ (κρατάμε μόνο την

κανονικοποιήσιμη λύση)

(ii) :

(

)

⇒

(

)

⇒ (

)

⇒ (

)

Συνεπώς, η λύση της διαφορικής εξίσωσης 3.85, λαμβάνοντας υπ’ όψιν την

ασυμπτωτική της συμπεριφορά, θα έχει τη μορφή:

Αντικαθιστώντας αυτή τη λύση στη διαφορική εξίσωση 3.85 προκύπτει η εξίσωση

για τη συνάρτηση , η οποία μετά από πράξεις βρίσκεται ότι είναι:

από την οποία τελικά προκύπτει:

όπου σταθερά κανονικοποίησης.

Άρα οι ιδιοκαταστάσεις της ενέργειας του συστήματος θα δίνονται από τον

συνδυασμό των σχέσεων 3.70 και 3.88.

49

3.6 Σύμμορφη κβαντική μηχανική και βαθμωτή θεωρία

πεδίου κοντά στον ορίζοντα μαύρης τρύπας

Σε αυτή την ενότητα θα περιγράψουμε συνοπτικά ένα παράδειγμα

ενδιαφέροντος φυσικού συστήματος στο οποίο η προηγούμενη ανάλυση του

συμμόρφως αναλλοίωτου προβλήματος κβαντικής μηχανικής έχει εφαρμογή, έτσι

ώστε να γίνει κατανοητό ότι η αξία και χρησιμότητα όλης αυτής της μελέτης δεν

περιορίζεται μόνο στην ομορφιά του μαθηματικού της φορμαλισμού αλλά

συμπεριλαμβάνει και φυσικά συστήματα με ιδιαίτερο ενδιαφέρον.

Αυτό που θα παρουσιάσουμε είναι το γεγονός ότι ξεκινώντας από μια

βαθμωτή θεωρία πεδίου στο περιβάλλον μιας γενικού τύπου μαύρης τρύπας,

καταλήγουμε τελικά στο ότι η φυσική του προβλήματος εμπεριέχεται σε ένα

πρόβλημα μονοδιάστατης κβαντομηχανικής με σύμμορφη αναλλοιώτητα, όπως

αυτό που αναλύσαμε στις προηγούμενες ενότητες του Κεφαλαίου 3. Την ανάλυση

αυτή μπορεί κανείς να την επεκτείνει καταλλήλως και να αναπαράγει τους νόμους

της θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών, συσχετίζοντάς τους με την σύμμορφη

αναλλοιώτητα που εμφανίζεται κοντά στον ορίζοντά της. Το τελευταίο εγχείρημα,

ωστόσο, δεν έγκειται στους στόχους της παρούσας εργασίας οπότε δεν θα

αναλυθεί. Παρατίθεται εκτενής βιβλιογραφία στο τέλος της εργασίας, όμως, για

όποιον ενδιαφέρεται να εντρυφήσει περεταίρω στο θέμα.

Αρχικά, θα θεωρήσουμε τη δράση ενός έμμαζου βαθμωτού πεδίου σε

καμπυλωμένο χωρόχρονο με μετρική το οποίο εμφανίζει μη τετριμμένη ζεύξη

με το βαρυτικό πεδίο. Η δράση αυτή έχει τη μορφή:

∫ √| |(

)

Στην περίπτωσή μας, όπου θέλουμε να μελετήσουμε τη θεωρία στο

περιβάλλον μιας μαύρης τρύπας, η μετρική, σε κατάλληλες συντεταγμένες θα έχει

τη γενική μορφή:

Στην προσέγγιση της κβαντικής θεωρίας πεδίου μέσω της μεθόδου της

κανονικής κβάντωσης, το πεδίο ανάγεται σε τελεστή και το αναπτύσσουμε κατά

Fourier στο χρόνο ώστε να διαχωριστεί σε modes ενέργειας. Σε κάθε ενεργειακό

mode αντιστοιχεί ένας τελεστής δημιουργίας και ένας τελεστής καταστροφής, με

αποτέλεσμα η τελική έκφραση του κβαντικού τελεστή του πεδίου να είναι:

50

∑∫ (

)

όπου οι τελεστές καταστροφής και δημιουργίας αντίστοιχα και οι

κβαντικοί αριθμοί του μέτρου της στροφορμής και μιας προβολής της αντίστοιχα.

Η δυναμική εξίσωση του πεδίου (εξίσωση Euler-Lagrange) βρίσκεται ότι

είναι:

( )

όπου η συναλλοίωτη παράγωγος.

Σημείωση: όπως θα έχει γίνει ήδη αντιληπτό ο χωρόχρονος στην περίπτωση που

μελετάμε δεν είναι δυναμικός αλλά είναι fixed και δεν επηρεάζεται από τον

τανυστή ενέργειας-ορμής του πεδίου μας.

Αντικαθιστώντας την 3.92 στην 3.91 και κάνοντας χρήση της ορθογωνιότητας

των Fourier modes παίρνουμε ότι:

( )

ενώ γράφοντας τη συνάρτηση ως:

√ και, εν

συνεχεία, εκτελώντας τις πράξεις (οι οποίες δεν είναι τετριμμένες αλλά δεν

παρατίθενται στην εργασία, μιας και ο χαρακτήρας αυτής της ενότητας είναι

περισσότερο ενημερωτικός παρά αναλυτικός) προκύπτει η σχέση:

όπου:

(

)

( )

Αναπτύσσοντας τώρα τη συνάρτηση πολύ κοντά στον ορίζοντα γεγονότων

, στον οποίο εξ’ ορισμού ισχύει (ενώ υποθέτουμε ότι ) και

θεωρώντας τη μεταβλητή προκύπτει ότι:

( )

51

Αυτό που φαίνεται από την 3.94 είναι ότι τελικά όλη η χρήσιμη πληροφορία

για το πεδίο πολύ κοντά στον ορίζοντα μιας γενικού τύπου μαύρης τρύπας με

μετρική της μορφής 3.90 περικλείεται σε ένα απλό μονοδιάστατο πρόβλημα

κβαντομηχανικής με σύμμορφη αναλλοιώτητα και είναι ακριβώς το πρόβλημα στο

οποίο όλο το προηγούμενο κομμάτι του Κεφαλαίου 3 ήταν αφιερωμένο. Αυτό το

αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα ενδιαφέρον και συνεισφέρει σημαντικά στην ανάδειξη

της δύναμης και της χρησιμότητας της μελέτης της σύμμορφης αναλλοιώτητας,

ακόμη και σε απλά κβαντικά συστήματα, όπως επιχειρήσαμε εμείς σε αυτή την

εργασία.

Παράρτημα Β

Απόδειξη της αναλλοιώτητας του συστήματος υπό τη δράση των στοιχείων της

σύμμορφης ομάδας:

∫ ((

)

)

Μετασχηματισμός:

Καινούρια δράση:

∫ ((

)

) ∫

((

)

)

∫ [ ((

)

(

)

)

]

Δεδομένου του από τη σχέση (1) έχουμε τα εξής:

52

(

)

Από (6) και (7):

((

)

) (

(

) )

(

)

Με χρήση των παραπάνω συμπερασμάτων η σχέση (4) για την καινούρια δράση

γίνεται:

∫ ((

)

) [

]

Παρατηρούμε, λοιπόν, ότι, όπως αναφέρουμε και στο κυρίως κείμενο, η Lagrangian

του συστήματος δεν είναι αναλλοίωτη στους σύμμορφους μετασχηματισμούς (είναι

μόνο για τις περιπτώσεις της μετάθεσης και του dilatation αλλά όχι για τους

ειδικούς σύμμορφους) αλλά είναι η δράση μετασχηματίζεται μόνο κατά μια ολική

χρονική παράγωγο, οπότε τελικά οι εξισώσεις μένουν ίδιες. Αυτή η μεταβολή της

δράσης κατά μια ολική παράγωγο όταν δρα ο ειδικός σύμμορφος μετασχηματισμός

είναι και ο λόγος για τον πρόσθετο όρο στη διατηρούμενη ποσότητα που

συνεπάγεται από αυτή τη συμμετρία που αναφέρουμε και στην ενότητα 3.2.

53

Αντί επιλόγου

Στην εργασία αυτή, που συντάχθηκε στα πλαίσια του, κατ’ επιλογήν,

μαθήματος Θεωρία Ομάδων, διερευνήθηκαν οι ομάδες των σύμμορφων

μετασχηματισμών, ο χώρος Anti de Sitter και η ομάδα ισομετρίας του καθώς και η

μαθηματική σύνδεση των 2 αυτών ομάδων και χρησιμοποιήθηκαν τα

συμπεράσματα που εξήχθησαν από την παραπάνω ανάλυση στην αντιμετώπιση

ενός προβλήματος κβαντικής μηχανικής με σύμμορφη αναλλοιώτητα. Βασικός

σκοπός αυτής της μελέτης ήταν η ανάδειξη, αφ’ ενός του μαθηματικού υποβάθρου

της ισοδυναμίας αυτής, αφ’ ετέρου της ιδιαίτερης αξίας της και των συνεπειών της

σε φυσικά προβλήματα. Ενώ το πρώτο σκέλος του στόχου, ο μαθηματικός

φορμαλισμός της ισοδυναμίας, αναλύεται βασικά στα πρώτα δύο Κεφάλαια της

εργασίας, το Κεφάλαιο 3, με τη χρήση ενός παραδειγματικού συστήματος,

αφιερώνεται κυρίως στην αποσαφήνιση των φυσικών συνεπειών της,

προσεγγίζοντας τον δεύτερο και ίσως ουσιαστικότερο στόχο. Έτσι γίνεται φανερό,

πως σε ορισμένες περιπτώσεις, όπως αυτή του συστήματος που αναλύσαμε, ο

ισομορφισμός μεταξύ των ομάδων είναι κάτι παραπάνω από απλό εργαλείο για

διευκόλυνση στην επίλυση ενός προβλήματος: μας δίνει την πραγματική φυσική

εικόνα ή ορθότερα μας δείχνει τη φυσική του προβλήματος από τη σωστή οπτική

γωνία. Τέλος, αποπειραθήκαμε να κάνουμε και μια μικρή σύνδεση της ανάλυσής

μας με έναν ενδιαφέρον κλάδο της σύγχρονης έρευνας που είναι η σχέση της

θερμοδυναμικής των μαύρων τρυπών με τη σύμμορφη αναλλοιώτητα που

εμφανίζεται πολύ κοντά στον ορίζοντα γεγονότων της. Πέρα από τα παραπάνω, τα

οποία προσδίδουν αναμφισβήτητα στο per se ενδιαφέρον της μελέτης μας, η

εργασία αυτή μπορεί να αποτελέσει και πρώτο βήμα στην εξερεύνηση της

βαθύτερης σύνδεσης της σύμμορφης αναλλοιώτητας και του χώρου Anti de Sitter,

που αποτελεί αυτή την εποχή ανοιχτό μέτωπο της θεωρητικής έρευνας.

54

Βιβλιογραφία

Αναφορές σχετικά με την σύμμορφη ομάδα:

1) Philippe di Francesco, Pierre Mathieu, David Senechal, “Conformal Field

Theory”, Springer

2) www.wikipedia.org

Αναφορές σχετικά με τον χώρο AdS, τις ισομετρίες του και τη σχέση του με τη

σύμμορφη αναλλοιώτητα στο σύνορό του:

1) Ingemar Bengtsson, “Anti de Sitter Space”, Lecture Notes

2) Jens Lyng Petersen, “Introduction to the Maldacena Conjecture on AdS/CFT”, arXiv:hep-th/9902131v2, 19 Feb 1999

3) I.R. Klebanov, “TASI Lectures: Introduction to the AdS/CFT Correspondence”, arXiv:hep-th/0009139v2, 19 May 2006

4) www.wikipedia.org

Αναφορές σχετικά με τη σύμμορφη αναλλοιώτητα στην κβαντική μηχανική και τη

σχέση της με τη θερμοδυναμική των μαύρων τρυπών:

1) V. de Alfaro, S. Fubini, G. Furlan, “Conformal Invariance in Quantum

Mechanics”, Il Nuovo Cimento A 34 (4) (1976)

2) H. E. Camblong, C. R. Ordonez, “Black Hole Thermodynamics from Near

Horizon Conformal Quantum Mechanics”, arXiv:hep-th/0411008v2, 9 Jun

2005

3) S. Carlip, “Near-Horizon Conformal Symmetry and Black Hole Entropy”,

arXiv:gr-qc/0203001v1 1 Mar 2002