Mathematics, Beyond Arithmatics 小学数学这样学cmap.systemsci.org/rid=1SYTL155D-RN4LYL-2SK/Math4Kids.pdf · Mathematics, Beyond Arithmatics 小学数学这样学吴金闪为了理解数学而写的数学书

Mathematics, Beyond Arithmatics小学数学这样学

吴金闪

为了理解数学而写的数学书

数学不等于算术

从现实到结构，从结构到现实

思维的语言，严密的论证

纯粹理性的愉悦

教的更少，学得更多

2

List of changes

Added (Wu): 编辑和其他老师注意。 . . . . . . . . . . . . . . 39

目录

第一部分一、二年级篇 25

第一章认识数和数数 271.1 简单数数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2 带着单位数数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

第二章认识关系和运算之加法 372.1 加法运算的含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 用“算筹”来数数和做加法，5 以内 . . . . . . . . . . . . . . 392.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

第三章运用数和运算 473.1 数当做记号和表示顺序的作用 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 数数和加法用于体现减法和乘法的朴素思想 . . . . . . . . . . 493.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

第四章认识关系和运算之减法 554.1 从数数到减法的含义和计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 减法和加法的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3

4 目录

4.3 用减法来体现除法的朴素思想 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

第五章加减法运算的应用，认识零 655.1 从减法到零 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 零的加减法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

第六章加减法运算的应用，从 5 到大数 716.1 通过数数来知道大数的含义，十进制初步 . . . . . . . . . . . 716.2 通过加减法来知道大数的含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.3 大数的加减法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

第七章关系和运算 817.1 加减法对应的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2 数学四步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 827.3 数学解题 WHWM 四问 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 887.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

第八章关系和运算之乘法 938.1 乘法：同一个数字的多次相加 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.2 平方和开方 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 978.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

目录 5

第九章关系和运算之除法 1019.1 多次重复相减问题和平均分问题 . . . . . . . . . . . . . . . . . 1019.2 用乘法来计算除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1059.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

第十章进制、数位、四则运算的竖式运算和计算器 10710.1 代数初步：用字母表示数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.2 进制和数位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.3 多位数的字母表示 ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.4 数位用于竖式计算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.5 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.6 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.7 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

第十一章整除、因数和倍数 11711.1 自然数和整数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11711.2 整除、偶数和奇数、因数和倍数、质数和合数 . . . . . . . . . 11711.3 公约数、公倍数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

第十二章数学论证 12512.1 数学和日常语言 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.2 数学中的演绎证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12812.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13012.5 本章和本卷小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

第二部分三、四年级篇 135

第十三章除法和分数 137

6 目录

13.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13713.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

第十四章关系和运算之 1 的含义 13914.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13914.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

第十五章减法、负数和加法 14115.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14215.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14215.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

第十六章除法、分数和乘法 14316.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

第十七章四则运算顺序和运算律，括号 145

第十八章关系和运算的应用 14918.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15218.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15218.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

第十九章小数和小数运算 15319.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15319.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15319.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

第二十章分数和小数四则运算 15520.1 小数和分数的关系，以及运用小数的分数加减乘数 . . . . . . 15520.2 从“分数线就是除号”得到分数的加减乘除 . . . . . . . . . . 15720.3 从分数的意义到分数的加减乘数 . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

20.3.1 分数的加减法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

目录 7

20.3.2 分数的乘法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16020.3.3 分数的除法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

20.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16220.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16220.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

第二十一章代数初步：用字母表示代表关系的算式 16321.1 从具体计算到关系的表示 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16321.2 代数式的简单运算 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16321.3 函数初步：给关系一个名字 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16621.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

第二十二章几种多边形和它们的面积 16722.1 多边形和多边形内角和 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16722.2 可计算的单位 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16722.3 三角形、四边形和面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16722.4 序列求和和面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16722.5 勾股定理及其证明 ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

22.5.1 从勾股定理到正弦函数 ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . 17222.6 圆的周长和面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17422.7 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17822.8 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17822.9 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

第二十三章几种多面体和它们的表面积、体积 18323.1 简单形状的体积公式 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18323.2 长方体、圆柱体的面积和体积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18323.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18323.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18323.5 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

8 目录

第二十四章综合算式练习和思考深度 18524.1 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18524.2 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18524.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

第二十五章关系和运算进阶 18725.1 数学 WHWM 四问 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18725.2 数学四步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18725.3 数学建模初步：四问和四步的运用 . . . . . . . . . . . . . . . 187

第二十六章编个程序来算 18926.1 用程序来完成计算任务 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18926.2 用程序来完成模型构建 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18926.3 用程序来完成证明 ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19026.4 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19026.5 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19026.6 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

第二十七章再次看数学的论证 19127.1 演绎初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

27.1.1 一般和例子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19227.1.2 反证法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19227.1.3 数学归纳法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

27.2 集合和命题初步 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19427.3 推荐学习材料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19627.4 作业 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19627.5 本章和本卷小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

第三部分五、六年级篇 199

第二十八章数轴 201

第二十九章未知数方程 203

第三十章四则运算和运算律的字母表示 205

目录 9

第三十一章 10 进制、二进制和 60 进制进阶 207

第三十二章二维平面的方位，矢量初步 209

第三十三章几何初步 211

第三十四章再再次看数学的论证 21334.1 演绎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

34.1.1 逆否命题等价于原命题的证明 ˚ . . . . . . . . . . . . . 21334.2 归纳和概率性演绎 ˚ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21534.3 本章小结 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

第三十五章测量、单位和有效数字 219

第三十六章分类数数：统计初步 221

第三十七章分类数数：古典概型 223

第三十八章数学、世界、关系、算术 225

参考文献 228

插图目录 230

举例目录 234

10 目录

献给

吴立心、吴逸兮，以及所有的小学生们。愿你们从小就可以体验到思考的快乐。

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12 目录

致谢

感谢“Teach Less, Learn More”微信工作群的老师们源源不断的问题。正是这些问题才有了本书的想法。感谢微信公众号“为了理解而教和学”的读者的问题和鼓励。感谢我的孩子们心儿、逸儿，还有我的团队的研究生们，以及我的所有的学生们，谢谢你们给我企图把你们教懂的机会，以及给我提供把你们教懂的挑战。感谢出版社和编辑的眼光、勇气、宽容和付出的努力。出这样一本书需

要勇气，还需要不错的数学功底和数学理念，尤其面对我这样一个固执的作者。感谢夫人冯倩的理解和支持。感谢岳母姚书君对这个家庭的付出。有了

她们我才能够有了把本书写完的时间。

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14 目录

前言

尽管我自己也是从教大量的运算的数学课里面出来的，但是，由于一些特殊原因，对什么是数学的思考和不断深入的理解，一直就被保护了下来。例如，我的小学数学老师一个完全不会套路，只能教我们“你搞懂题目的意思，就会做题了”、“你搞懂课本里面的内容和例题的意思，就学会数学了”；另一个让我从小就给同学们上数学习题课甚至正课。于是，自然就没有了题型的总结，没有了计算的技巧，只能追求把问题讲明白，把关系讲明白。当然，我后来的学习经历和研究经历对于理解数学是什么肯定是有关系的，或者相互影响的，但是，我觉得小学阶段的经历——不断追寻数学的意思、不断帮助其他人来理解这个意思、不讲套路、追求最简单的理解，对我理解数学，把数学看作是思维的语言、描述世界的结构、甚至从描述世界中提炼出来新的结构，是有很大的影响的。

在教“数学模型”、“量子力学”、“系统科学”、“学会学习和思考”等课程的过程中，由于推广以系联性思考批判性思维为指导思想的以学会学科大图景为目标的以概念地图为技术基础的追求“教（学）的更少、学得更多”的理解型学习，我认识了一群中小学老师。在不断地去逼迫这群中小学老师们思考“教什么、为什么、怎么教”的问题的过程中，就有老师建议，在这些教和学的方法和思想的基础之上，能否真的做出来一个反映这些方法和思想的中小学阶段的一门课程呢？

一方面，其实，我认为我提出的“理解型学习”已经足够具体。可以参考我的《教的更少，学得更多》或者公众号“为了理解而教和学”。所以，我以为大中小学老师们完全已经可以按照这个原则来自己设计这样的课程。只要不断地去追问，例如在数学课程上，数学学科的大图景到底是什么——典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系，用什么样的例子来体现好这个大图景的每一个方面，接着选择最少量的最核心的概念和例子来编写教材，展开教学，就可以了。另一

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16 目录

方面，确实，有一个比较完整的中小学阶段的例子确实可以帮助更多的老师来理解和使用这个学习方法。真正的教学改革，就应该改在“教什么”上，然后才是怎么教。教学的方法和技术都是辅助手段，为什么而教，教什么，才是最根本的问题。为了这个目的，尽管非常的不情愿，我还是决定做一本这样的书来当做例子。我安慰自己说，一切为了让这个世界更美好。然而，由于这本书用大量的概念和概念之间的关系代替了计算，主要来

反映数学是什么而不是怎么做计算，我相信，能够完整地用好这本书的老师是不多的。我的目的是提供一个思考了为什么而教、教什么之后做出来的课程的例子。本书的所有的概念和相应的例子，都仅仅是例子而已。一个一线的老师，完全可以，并且是有必要，按照自己对数学的理解和学生的情况来改编这本书。因此，这本书的最希望去影响、启发和改变的读者，其实是中小学数学老师，尽管我们写作中主要的假想读者是学生和家长。真的，我们已经到了来改变主要关注怎么算的数学课的时候了。让教什么的革命开始吧。本书编写的原则：内容的选取体现学科大图景，回答教什么、怎么教、

为什么，而且尽量越少越好，兼顾科学和数学的关系，兼顾理解型学习。用大量的粗糙的问题，没有用数学的语言来描述的接近实际的意义，来锻炼学生使用数学语言来思考和描述世界的能力。每一章节都有核心问题和核心理念，都回答数学是什么，为什么教这个，为什么这样教。本书的数学观：数学是对现实的抽象，数学是思维的语言，数学用于解

决实际问题，并且在所有的这些描述现实、从现实中抽象概念、表达思想、帮助思考、解决问题的过程中，关注关系以及思考为什么要这些关注关系。标星的内容可能在思维的深度上稍微有点要求。可以先跳过，或者降低

一点要求，放到后面再一次来学习。最后，尽管本书在编写过程中尽可能做到小学生能够阅读和赏析，但

是，在思考深度上，还是比目前大多数教材和教辅材料要深。同时，本书也更加强调思维方式、学习方法和什么是数学，而在一定程度上忽略了算术计算。因此，本书和现在流行的课内教学、课外辅导可能都不是很适配。可以预见，在短期内，采用本书当做主要教学资料的课内课外课堂都不会很多。但是，本书就是一个尝试，一个引领，一个既能够保证成绩，还能够节省学生时间，还可以提高学生的思维深度和对数学的认识，甚至提高一般的思维方式和学习方法的尝试和引领。希望在这一点上，本书能够发挥点作用。

理解型学习和本书的设计

在这一章里面，我们希望把本书的设计思想、设计过程交代一下，供其他有心的作者参考，帮助老师和学生更好地理解和运用本书。

本书设计——回答教什么、怎么教、为什么——的原则就是“以系联性思考批判性思维为指导思想的以学会学科大图景为目标的以概念地图为技术基础的追求‘教（学）的更少、学得更多’的理解型学习”。在具体设计流程上，做到：

1. 首先，把数学学科的大图景——典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法、和世界以及其他学科的关系——明确地写下来。

2. 接着，在明确的学科大图景的指导下，构建学科大概念地图 [1]——其主要回答有哪一些概念体现了学科大图景、这些概念之间的关系是什么。实际操作的过程中，学科大图景和学科大概念地图是交互进行的，相互促进的。学科最高层次的思维方式可能在建立学科大概念地图之前就比较明确了，在稍微具体一些的问题上的典型思维方式，例如反正法、数学归纳法，可能只有随着学科大概念地图的不断深入和不断展开来明确表达出来。同时，在做这两步的工作的时候，需要不同的设计者的相互补充，尽管可能其中的少数几位是主要设计者。

3. 然后，需要把学科大概念地图分解和细化。例如，按照某些局部的结构把某一群概念当成一个整体，制作这一群概念的概念地图，补充相关的概念和概念之间的关系，以及一些体现这些概念和关系的例子。在完成这一步的时候，一直要注意，我们追求在理解学科大图景的情况下，具体知识的学习越少越好。所以，分解和细化的时候，要注意度。

4. 完成了这个整体设计的阶段之后，就要来完成把设计转化成书稿的任

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18 目录

务了。在完成书稿的阶段，首先是处理每一个通过上面的设计过程选择出来核心内容及其合适的例子的呈现思路、阐述角度和先后顺序。接着，在角度和思路、顺序确定以后，需要修改文字、补充习题，使得书的呈现形式更加适合小学生和新小学老师读者。同样也要注意，在能够体现出来学科大图景的条件下，内容越少越好。

下面我们来用具体例子展示，上面这些设计和写作过程是如何完成的。

学科大图景的例子

学科大图景指的是一个学科的典型研究对象、典型研究问题、典型思维方式、典型分析方法，以及这个学科和世界还有其他学科的关系。

为了设计好数学的学习材料，首先，我们要把数学的学科大图景是什么明确提炼出来。可以不完整，仅仅考虑那些能够通过小学数学知识来体现的学习大图景。当然，如果有一些非常普适的重要的大图景，则，就算现在的小学数学知识体系里面反映不了，也要通过增加和替换合适的知识，做好这个大图景的体现。

为了这个目的，我们去整理大几种目前的主流教材。图 1 就是按照这些教材整理出来的反映其中的知识和知识之间联系的概念地图。

我们发现，整体上，知识被分成了四种类别：数、形、概率和统计、生活。在每一个年级，这些教材设置了难度合适的材料，来学习这几个方面的具体知识。年级之间，同类型的知识，确实存在逻辑上的先后关系，照顾到了学习顺序的合理性。

但是，这些教材不同类型的知识之间基本上没有联系。例如，讲图形的面积的时候，没有和数数和乘法联系起来。讲生活和应用题的时候，基本上就是从计算到应用（而且这个应用也是已经脱掉世界的衣服的赤裸裸的应用，而不是面对接近现实的问题的真的应用，也就是没有数学建模的过程），而没有注意从生活到数学概念和数学计算。当然，最后一点和这些教材的最大的问题——没有关注数学的学科大图景，没有关注数学是什么——是联系在一起的。只有注意到数学是思维的语言，是描述世界的语言，尤其是在人类用思维来构建描述世界的模型和解决这个世界的问题的时候的语言，才主要关注从生活到数学的抽象过程和从数学概念到生活的应用过程，而不是主要关注具体的一个个一种种的看起来似乎就是独立的计算，而不是把数学表现为一个整体。

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图 1: 某版小学数学教材主要内容概念地图。这张图考虑横版印刷。

我们还发现这些教材对同类型的知识内部的联系的关注也不强，不关注概念，主要关注计算。例如，乘法从概念上实际上同一个数的多次加法的简便运算。加法主要来自于合起来数一数。本来就可以依靠这一条从数的认识和数的加法到乘法运算的逻辑关系把乘法讲好，用好，甚至体现好从生活来抽象一般概念的环节，但是，这些教材没有做好。

小结一下，知识之间的联系的缺乏、对数学是什么的关注的缺乏、对数学和科学数学和世界和生活的关系的关注的缺乏、对一般概念的提炼的缺乏、对真正的比较接近生活的粗糙的问题的关注的缺乏，是目前主流教材的主要问题。当然，在算术计算上，这些教材是足够重视的。

经过这个整理和总结、批判，我们就知道了怎么办了。我们就按照自己对数学学科大图景的认识，只做了用来指导这本教材的整体设计的数学学科大概念地图，见图 2。

那么，什么是数学的学科大图景呢？我承认，数学确实是研究数和形的科学。不过，这个数和形实际上可以是看起来真的像数和形的东西，也可以

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图 2: 本书主要内容概念地图和设计理念。其中大框子框起来的三块分别是“数的结构”、“几何的结构”、“概率与统计”。这张图考虑横版印刷。

是初初看起来完全就不像数和形的东西。例如，光的偏振这样的基本上不能直接表现为某个可测量的数的东西的研究也用的是数和形的语言。例如，语言的研究已经越来越依赖于数。也就是说，一个东西是不是数和形是要看这个对象的性质，这个对象和其他对象之间的关系，以及这个对象内部的元素和这些元素的关系来决定的。所以，数学实际上是对象（或者称为元素）和对象（元素）之间的关系形成的结构的科学。这样的数学和世界有什么样的关系呢？数学为我们做深入的思考提供语言提供结构，同时也提供描述世界的语言和结构。因此，数学作为语言的作用是数学的学习者一定要好好体会的。

好了，我们现在就有了数学学科大图景中的好几个方面了。数学研究对象和对象之间的关系形成的结构，这些结构为我们的思考提供了语言，为构建世界的模型提供了语言。那数学是如何来研究这些结构的呢？这就是典型思维方式和典型分析方法方面的问题。从最大的角度来说，数学是受现实世

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界的启发但是不受现实世界的制约仅仅受研究者的想象力和逻辑推理能力驱动的学科。因此，学习者要很好地体会从现实中抽象出来一般概念的过程和方法，也要很好地锻炼想象力和逻辑推理能力。这个想象力不是一般认为的空间想象能力，而是对事物之间的关系的想象力，抽象、畅想、检验、整理的能力。数学上的大贡献应该是那些提出新的数学结构、新的数学问题、新的定理，而不是计算，甚至不是证明。尽管证明（新的定理）是数学往前发展的主要表现形式。我把这个根本性的思维方式叫做批判性思维和系联性思考。主要强调对联系的关注和对严密的论证推理的关注。

除了这个根本性的思维方式，还有没有其他一些更小一点的针对某一类具体问题的思维方式或者分析方法呢？例如，数学证明和计算的时候，经常使用夹逼——也就是从更大和更小两个方面来估计和逼近一个目标。例如，极限的思想是现代数学的基础。尽管严格地计算极限对小学生是很那实现的，但是，让小学生通过某些具体例子体会一下极限的思想，还是可以完成的任务。例如，割补、变形和不变量，被用于解决大量的数学问题。

于是，除了找好例子设计好内容来体现数学作为思考和描述世界的语言、反映根本性的批判性思维和系联性思考，我们还应该整理出来这些最值得小学生了解的数学思维方式，并且通过具体问题和对具体问题的分析来帮助学生体会这些思维方式。前者有，例如，在图 2 中，数学四步、数学WHWM 四问这些。后者有用夹逼和极限的方法来估计 π 的值这样的例子，还有用割补方法或者量纲方法证明勾股定理这样的例子。下面我们分别稍微介绍一下这些例子。在本书正文里面有更加详细的阐述。

几个体现学科思维方式和分析方法的例子

首先，我们来讨论几个体现系联性思考的例子。不仅仅在个体概念的层面，我们要注意这个概念和其他概念之间的联系，还要看整体上，这些概念合起来是不是能够表达某个信息，反映好数学是什么。在个体的层面，我们把多边形和圆形、多面体，以及它们的面积和体积放到数的四则运算后面才讲，是因为，四则运算是多边形多面体的很多性质的基础。例如，我们在讲多边形（例如三角形）的时候，最好讲一下多边形（例如三角形）的内角和，而这个依赖于四则运算。当然，我们也在数数那一节，用了数一数多边形的边和角的数量来当例子。也就是说，能够做一点点铺垫在讲清楚的例子，我们可以先讲。如果很大程度上依赖于后面的内容的，那么，不妨放靠后的位

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置来讲。本书就把多边形圆形等整个放在了一起，在第二十二章。再例如，圆的周长公式和 π 的估计值的问题，实际上依赖于勾股定理，勾股定理可以通过割补法或者量纲分析来证明，但是，也得依赖平方的计算，以及单位的计算。这就要求圆的周长逻辑上放到平方和单位的计算的后面，还要补充勾股定理，而不是放到前面让学生无论如何先记住而不是去搞不清楚。顺便，明白单位是可以计算的，而且是需要计算的，可以放到前面，而且值得强调。通过这些例子，我们想说明的是，概念之间的联系，知识和学科大图景之间的联系，是本书设计和写作的时候的最重要的考量。

顺便，本书的作者草稿电子版（非出版社排版版本）在网上免费提供。你只要搜索“吴金闪的书们”1就可以找到。在那里，你可以先看本书未出版的章节。另外，我们还有一个关于理解型学习的公众号“为了理解而教和学”。你可以扫描下面的二维码来访问它。

图 3: 公众号“为了理解而教和学”的二维码。

我们还想再一次提一下本书对知识和学科大图景之间的联系的重视。在图 2 中，你可以看到，基本上所有的具体知识都是围绕数学是什么、数学四步、数学 WHWM 四问来展开的。

1http://www.systemsci.org/jinshanw/books。2018 年 10 月 8 日访问。

http://www.systemsci.org/jinshanw/books

http://www.systemsci.org/jinshanw/books

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其次，我们再来展示几个更小的概念的设计过程的例子。有了学科大概念地图之后，我们还要对大概念地图的每一个主要概念做分解概念地图，把在大概念地图里面展示不出来的更细节的联系展示出来。例如在图 4 中，我们进一步展开了学科大概念地图中的加减乘除四则运算的部分，并且按照我们强调概念的含义，强调从生活到概念的抽象，从概念到生活的应用和建模，来制作了更加详细的概念地图，用来指导具体的这些部分的内容的写作。

本章小结

我们在正文前面插入这一章的最主要的目的是希望我们设计和撰写本书的过程和思考能够供其他人借鉴。希望有心的读者能够把这本书的设计和写作过程拿去参考，为我们的学生和老师创造出来更好的书。其次，也希望能够帮助读者更好地理解和用好本书。希望读者在阅读本书，老师和学生在使用本书的时候，思考这一部分内容和前一部分内容之间的联系，思考每一个章节的具体内容反映学科大图景中的哪些方面。

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(a)

(b)

(c)

(d)

图 4: 从学科大概念地图分解出来，我们制作了加减乘除四个基本运算的概念地图。

第一部分

一、二年级篇

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第一章认识数和数数

“我很早就知道学会一个东西的名字和学会一个东西是不一样的。”

– 费曼（Richard Feynman）

这一章我们来学习数数。知道数的记号和知道数的概念是不一样的。在生活中，我们会遇到很多情景需要我们来描述某个东西的多少。数字的记号1, 2, 3, 4, 5 等等就是为了描述这个多少被发明出来的，但是，这样的数的概念可是很自然的，小朋友，你本来就会的，不用专门学习的。咱们来试试。

1.1 简单数数

例 1.1 (家里有几个人). 过年的时候，大人们经常问我我家里有几口人，我在家里排第几。我不太明白他们的问题。不过，我画了一张全家福给他们。见图 1.1。

我的家里有妹妹、妈妈和爸爸，三个人，不对，还得加上我自己，四个人。用数字的阿拉伯记号记下来，就是我家里有 4 个人。有的时候，外婆也过来跟我们一起住几天。算上外婆，我们家总共 5 个人。如果按照年龄从小到大，分别是妹妹、我、爸爸、妈妈和外婆。

请你也来画一画或者拍一张照片，接着编个号、数一数你家里有几口人吧。你说是不是应该把爷爷奶奶外公外婆都算成一家人呢？你们班上同一个小组的成员有几名，按照年龄编个号。

例 1.2 (笔袋里面有几支铅笔). 我上学了，我妈妈给我准备了好几支铅笔，都给削好了，放在了我的笔袋里。我想问问老师这些笔够不够今天用了。我给你看看，见图 1.2。你跟我一起来数一数，然后我来问问老师吧。

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28 第一章认识数和数数

图 1.1: 过年的时候，我画了一个我们家的全家福。我把每一个人按照年龄编了号。图换一下，编一下号。

有一支红色的，它最短。有一支蓝色的，它最长。还有一支黄色的，它不是最长也不是最短。总共有 3 支铅笔。

图 1.2: 这个笔袋字里面有 3 支铅笔，红色的、蓝色的和黄色的。按照长短我给它们编了号。图换一下，编一下号。

例 1.3 (早上吃了几个桔子). 我们一家都喜欢吃桔子。今天早上我们一起吃了图图 1.3 中的一盘子桔子。你能帮我数数有几个吗？

我们一起来给桔子编个号。桔子大小差不多，颜色也差不多，很难按照某个合适的顺序来编号，那么，我们就随便编号吧，只要保证每一个桔子上面只能够写下来一次数字，并且每一个桔子都被写过一次。经过编号，我们发现，桔子总共是 5 个。

1.1 简单数数 29

图 1.3: 请你来给我们今天早上吃掉的桔子编个号数一数。图换一下。

例 1.4 (一群鸡有多少只). 有一群在来回跑的长得差不多的鸡在院子里。你来试着数数几只。如果找不到可以数一群鸡的地方，就让爸爸妈妈给你一盒子的鸡蛋（它们长的几乎一样的），你来数数。注意，不要数放在冰箱储蛋器（槽盒）里面的鸡蛋。那个太容易了。得是一个可以让鸡蛋随意滚动的盒子。我可试过，数清楚这个记或者鸡蛋，可不容易了。如果是不动的，或者

换成每一只都不一样的鸡或者鸡蛋，例如一个鸡蛋、一个鹅蛋、一个鸭蛋、一个鸟蛋，或者一只鸡、一只鸭、一只鹅、一只鸟，就好数多了。其实，我们在数数的时候，经常依靠形状、位置、种类等信息来区分我们数的东西。这是一个非常有意思和深刻的问题，和一个叫做“集合中元素的互异性”，将来我们还会回到这个问题，

图 1.4: 请你来给我们今天早上吃掉的鸡蛋编个号数一数。图换一下。

例 1.5 (需要准备几个鸡蛋). 今天早上爸爸让我帮他把鸡蛋拿过去送到厨房。我们家吃鸡蛋的人一般有妹妹、我和爸爸。早上一般也就吃一个煎鸡蛋。你们说我需要拿几个鸡蛋，我拿的这些够不够啊？如图 1.4 妹妹吃一个，编号 1，我吃一个，编号 2，爸爸吃一个，编号

3，我需要给爸爸送过去 3 个鸡蛋。给我手上拿着的鸡蛋也编个号 1, 2。1 号


的给妹妹，2 号的给我，爸爸吃的鸡蛋还没有拿过来。

我需要再跑一趟，拿一个爸爸吃的鸡蛋来。如果要做比较，那么，可以一个一个对应着分，如果每个人都分到了，还有多，那就是拿多了。如果还有人没有分到，就是拿少了。如果刚好每人都有一个，就是刚刚好。

图 1.5: 请你来给我们今天早上吃掉的包子编个号数一数。图换一下。在包子下面放上硬币。

例 1.6 (包子几元钱). 早上妈妈去买包子当早餐。妈妈、我和妹妹一般吃一个就饱了。我爸爸需要吃两个。包子一元钱一个。你帮我看看，我要买几个包子，花几元钱。

如图 1.5 妹妹吃一个包子，包子编号 1，放上一元钱，钱的编号 1。妈妈吃一个包子，包子编号 2，放上一元钱，钱的编号 2。我吃一个包子，包子编号 3，放上一元钱，钱的编号 3。爸爸吃得多，相当于可以吃我和妹妹两个人的数量，也就是要放上两个包子，两元钱，包子的编号 4, 5，钱的编号 4, 5。所以，要买 5 个包子，花 5 元钱。

有的时候，有的人需要两个包子，这样我们就放上两个包子，给这些包子都编上号，然后数数这些编号就行了。我们已经学会了数 1, 2, 3, 4, 5，将来我们会学会用加法——每次加上

1——来数更大的数。这样的从观察物体的个数我们就能够学会的数数，1, 2, 3, 4, 5, ¨ ¨ ¨，被称为自然数。大概意思，就是这些数我们自然就能够领会这些数的含义的，不需要额外学习的。其实，将来我们会知道数学家们会尝试从更加基本的概念来讲清楚到底什么是自然数1。上面，我们都数了数：家里有几口人——4 口人；笔袋里有几支铅笔

——3 支铅笔；爸爸早上煎了几个鸡蛋——3 个鸡蛋；妈妈买包子花了几元钱——5 元钱。它们都是不一样的东西，但是都能够通过 1, 2, 3, 4, 5 这些数

1Wikipedia “Natural Number”词条，https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number，中文版本“自然数”词条也可以参考，2018 年 10 月 8 日访问。

https://en.wikipedia.org/wiki/Natural_number

1.2 带着单位数数 31

字来表达，怎么体现这些东西的区别呢？

1.2 带着单位数数

前面的例子里面，我们已经看到，数字 1, 2, 3, 4, 5 不仅可以用来表示几个桔子，几口人，还可以用来表示几支铅笔，几张纸，几元钱。这个数字后面的就是单位，也就是这里的，“个”、“口”、“支”、“张”、“元”。这些单位是约定俗成的或者规定的用来度量事物的量的标准。加上这些单位以后，这些数字就表示了在不同的情景下的含义，但是，数数本身不随着这些情景的变化而变化。

同样的东西可以用不同的单位来表示。下面的情景就稍微的复杂一点。

图 1.6: 袜子可以一只一只地数，也可以一双一双地数。图换一下。颜色花样两双内部要配套。

例 1.7 (几双袜子和几只袜子). 我妹妹的袜子都是一样的，每次她只要拿起来两只袜子就可以穿上。尽管有的时候，我也拿起来就穿，不管它们是不是配对的，但是，妈妈说，尽量要配对。那你帮我看看这里有几只袜子，能够配成几对花色一样的袜子？

在图 1.6 这张图里面，我们看到，总共有 1, 2, 3, 4 只袜子。其中 1, 2 编号的袜子是一样的，3, 4 编号的袜子是一样的。它们能够配成两（2）双袜子。

从一只一只数，到一双一双数，可能需要重新编个号哦。

例 1.8 (几双筷子和几只筷子). 我刚开始学习使用筷子。筷子是要一对一对


图 1.7: 筷子可以一只一只地数，也可以一双一双地数。图换一下。两种编号，“一二”和“1234”。

配合起来使用的。妈妈让我去帮忙给我自己和爸爸拿双筷子。妈妈已经有了。妹妹用勺子不用筷子。请你帮我数一数，我需要拿几双筷子，几只筷子。

如图 1.7 所示，我需要一双，筷子编号第 1 双；爸爸需要一双，筷子编号第 2 双。数一数，我发现，需要两双筷子。可是，一双筷子有两只，我只能再一次数一数，需要拿几只筷子。我的一双筷子需要重新编号，分成筷子1 号、2 号。爸爸的一双筷子需要重新编号，分成筷子 3 号、4 号。数一数，我发现，我需要拿 4 只筷子，也就是两（2）双筷子。

从一双一双数，到一只一只数，可能需要重新编个号哦。

1.3 推荐学习材料

Gamow的《从一到无穷大》[2] 是非常值得推荐的一本书。你现在基本上就可以看的懂这本书的第一章了。去试试吧，看看聪明的大臣怎么赢走国王的所有的小麦，看看你数数的能力和古代人相比怎样，看看如何用数数来解决有趣的问题。

1.4 作业

习题 1.1 (奶奶给我的点心). 昨天我的奶奶给我带来了一盒子奶奶自己做的很好吃的点心——青团子。这是这些点心的照片和我画的青团子的画。我特别想知道这里有几块点心。你能帮我吗？顺便，青团子是中国人清明节的传统点心，请你的爸爸妈妈爷爷奶奶给你讲讲青团子吧。

习题 1.2 (给我的小朋友分点心). 昨天我的奶奶给我带来了一盒子很好吃的点心。这是这些点心的照片。我想分享给我的小朋友们几块，还想留几块自

1.4 作业 33

图 1.8: (a) 奶奶做的青团子的照片。图片重新制作。(b) 我画的青团子。图片重新制作，照片和画得相配。

己吃。这是我让妈妈帮我写下来的我想分享的小朋友的名单的照片。我特别想知道这里有几块点心，我打算分享的小朋友有几个。你能够帮我吗？我还特别关心到底分完之后，我还剩下几块。你能帮我吗？

习题 1.3 (给你的小朋友分礼物). 如果你也收到过礼物，也想过和朋友、家人分享的话，你能够拍个礼物的照片或者图画甚至草图或者你自己发明的记号、分享名单的照片或者图画甚至草图或者你自己发明的记号，并且写下来到底有几份这样的礼物，有几个这样的朋友吗？分了之后，你自己还有几块呢？知道这个答案之后，你还想分享给更多的人呢还是更少的人分呢？

习题 1.4 (数数举例). 请你来举一些生活中用到的数数的例子，至少 3 个情景。你可以用画图或者照片来帮助你讲清楚每一个情景，就像书里面的例题一样。

习题 1.5 (苹果、猕猴桃论个还是论斤). 妹妹和我每次吃苹果的时候，都是看谁吃了几个，或者需要削几个苹果来榨汁。可是每次跟爸爸一起去买苹果的时候，经常听大人们说，苹果多少多少元钱一斤。小朋友你知道怎么回事吗？斤是什么意思，为什么要问多少斤和多少钱一斤呢？你能够搞清楚，然后告诉我吗？那猕猴桃为什么更多的时候一个一个卖，而不是一斤一斤卖呢？

习题 1.6 (大作业：点心的制作). 如果你能够和长辈一起来做一下青团子或者别的点心的话，请你记下来总共做了几个，你吃了几个。其实，如果你还可以用绘画或者照片的方式记录下来所需要的原材料哦，没准还可以记下来每样原材料用多少呢。

习题 1.7 (大作业：一家几口人). 去你的邻居家里采访一下小朋友，问问她


们家都有几口人，分别是是谁（爷爷、奶奶、外公、外婆、爸爸、妈妈、哥哥、弟弟、姐姐、妹妹等），记下来。多去采访几家。看看大家一般把爷爷奶奶外公外婆算进去吗？留着这个数据，将来我们有用。

习题 1.8 (大作业：一家几口人——爸爸妈妈版). 去你的邻居家里采访一下小朋友的爸爸妈妈，问问她们家都有几口人，分别是是谁（爷爷、奶奶、外公、外婆、爸爸、妈妈、哥哥、弟弟、姐姐、妹妹、儿子、女儿等），记下来。多去采访几家。留着这个数据，将来我们有用。

习题 1.9 (大作业：一家几口人——爷爷奶奶外公外婆版). 去你的邻居家里采访一下小朋友的爷爷奶奶外公外婆，问问她们家都有几口人，分别是是谁（爷爷、奶奶、外公、外婆、爸爸、妈妈、哥哥、弟弟、姐姐、妹妹、儿子、女儿、孙子、孙女、外孙、外孙女等），记下来。多去采访几家。留着这个数据，将来我们有用。

习题 1.10 (大作业：几个兄弟姐妹). 去你的邻居家里采访一下小朋友，问问她们有几个兄弟姐妹（哥哥、弟弟、姐姐、妹妹），记下来。多去采访几家。如果可以的话，问问她们的爸爸和妈妈各自有几个兄弟姐妹，也就是她们有几个叔叔伯伯阿姨姑姑，记下来。如果可以的话，再去问问她们的爷爷奶奶外公外婆各自有几个兄弟姐妹。留着这个数据，将来我们有用。顺便，问问大人们，爷爷奶奶外公外婆的兄弟姐妹，她们家的小朋友该怎么称呼。回来做一个所有这些称呼的表格，包含这些称呼名称还有被这样称呼的人和小朋友的关系。

1.5 本章小结

这一章我们主要就是从最直接的自然的可以看作一个一个的东西，学会数 1, 2, 3, 4, 5。这样，我们把数学的概念——1, 2, 3, 4, 5 以及它们的记号1, 2, 3, 4, 5（或者“一、二、三、四、五”或者“I，II，III，IV，V”）和实际生活联系起来，这些概念是为了解决我们生活和思考中遇到的一些问题。我们还注意到然后，其实可以给这些数字加上单位，例如一口人、一个人、一块点心、一块饼干、一元钱、一张纸。但是，不管单位是什么，我们都可以在数字后面加上单位来描述这些东西，例如最后，我们稍微提到了一下，有的时候我们会把两个或者多个看做一个整体，继续来数一数，例如 1 双筷子、1 副乒乓球拍、1 双袜子。

1.5 本章小结 35

这一章，除了知识上学习数字和数字的记号，更重要的就是学习数字是从实际中抽象出来，并且用于描述实际的，以及不管所描述的是什么东西具有什么单位，单位之前的数字是具有相同的意义的。除了体会一下数学是什么，本章还企图让学生体会一下理解型学习这个学习方法：学会理解，学会区分数字的概念和数字的记号，是理解型学习的重要的一步。有时候，这也称作理解概念的内涵和知道概念的名字的区别。另外，会数数数到 5 是一件了不起的事情。很多的事情就可以用这几

个数字来记录和研究了。听说文明不发达的时候，古人只能这样数数，“一个，两个，三个，很多个”[2]，后来才会用绳子上的结来帮助数数，或者画一幅画来帮助数数。因此，千万不要小看你现在已经学会的这一点东西的威力，试着拿它去做一下那几个大作业。完成这写作业之后，甚至可以继续思考一下，你通过做这几个大作业获取的数据，能不能启发你思考一点别的。科学家其实就是这样一群人，他们用数学的眼光来观察世界收集数据，

然后追问这些数据能够告诉我们什么，有没有揭示了什么问题，或者我们应该用什么样的数学来描述这个问题，接着想办法来解决这个问题，并且把通过在实际情境中运用这个解决方法或者答案来检验这些方法和答案。将来你们还会在这本书里面遇到很多这样的问题，这样的有意思的挑战。直到再将来，你们遇到来自于现实生活中的可以和需要运用数学来解决的新问题。这个时候，你们就是那个爱探索的科学家了。


第二章认识关系和运算之加法

“教育的中心任务是让学习者们有能力来掌握自己的意义构建的过程。”

– 诺瓦克 (Joseph Novak)

了解了 1, 2, 3, 4, 5 的含义之后，我们就可以来学习“合起来数一数”的概念了。相比前面的“数一数”，“合起来数一数”增加了“合起来”的概念，也就是说，如果我们已经有一些东西放在这里，然后，再拿来一些东西，放在一起，我们来看，这个时候有多少东西，这个数量和这两次的东西的数量有什么关系。

2.1 加法运算的含义

让我们从具体例子开始。

例 2.1 (我和妹妹的早餐). 今天早上，我吃了一个鸡蛋，我妹妹也吃了一个鸡蛋。妈妈说鸡蛋可能不够明天吃的了，要去买新的鸡蛋了。我想知道我和妹妹合起来每天早上需要几个鸡蛋。

我们在纸上画一个鸡蛋，写一个“我”，代表我吃掉的鸡蛋，接着再画一个鸡蛋，写上“妹妹”，代表妹妹吃掉的鸡蛋。见图 2.1。我们来看一看，合起来，吃掉了多少个鸡蛋。

我们发现，把图 2.1 上的鸡蛋合起来数一数就是两个，用阿拉伯数字表示就是 2 个鸡蛋。这两个鸡蛋，分别是我的一个（1 个）鸡蛋和妹妹的一个（1 个）鸡蛋。我们把这个“一个鸡蛋和另一个鸡蛋合起来是两个”，记做

1（个）+ 1（个） = 2（个）. (2.1)

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38 第二章认识关系和运算之加法

图 2.1: 我一个，妹妹一个，合起来两个。图片重新制作，照片和画得相配。

这里，我们引入“加法”记号“+”，表示一个鸡蛋“加上”另一个鸡蛋“合起来数一数”的意思。加法有的时候也叫作取和。

合起来数一数可以用在很多地方。为了熟悉它的含义和运算符号，我们来多看几个例子。你还可以通过完成课后习题和课程项目来熟悉这个概念和运算。

例 2.2 (妹妹的巧克力限额). 我的妹妹特别喜欢吃巧克力。妈妈让我帮她数着，不让吃太多，每天最多两块。今天早上和晚上都看到妹妹吃了一块巧克力。我想看看妹妹总共吃了几块。

1（块）+ 1（块） = 2（块）. (2.2)

我们发现，不管是鸡蛋还是巧克力，如果我们不管后面的单位，都出现了

1 + 1 = 2, (2.3)

这个两个数字的“合起来数一数”。我们把这个“合起来数一数”称作加法运算，简称加法，记为“+”。数字和数字通过运算符号，例如等号和加号，连起来的东西，称为表达式。有的时候，表达式也可以只有一个数字。中间有等号，等号两边有运算符号和数字的表达式称为等式，或者算式。

下面我们来看一看更多的“合起来数一数”的例子，对每一个例子我们都要写下来数学表达式——也就是用数字和运算表达的意思。同时，我们来编写一个 5 以内加法的表格。

2.2 用“算筹”来数数和做加法，5 以内 39

图 2.2: 加法就是“合起来数一数”，但是要注意，是把东西的数量合起来数一数，而不是东西本身。还要注意，数量意味着背后有某种单位。

2.2 用“算筹”来数数和做加法，5 以内

我们再来看几个稍微复杂一点的情景。到目前为止，我们学会了给具体的东西编号码的方式来数数，学会了编了号码以后，我们来做加法——也就是合起来数一数。我们再来看一看，能不能用某样东西来代表具体我们想数一数或者加一加的东西来数数和算加法。

小知识 2.1. 编辑和其他老师注意。Wu(其他章节可以当做小知识小文化的地方，看到了标注一下)这样的用来帮助数数和计算的东西，可以叫算筹。中国历史的算筹，就

是用来完成数数和计算的东西，并且这样的东西固定下来——小木棍。更进一步，为了节省小木棍，人们还发明了”5” 以上的数字的算筹符号表示，如图 2.3。为了将来能够用于表示比 10 还大的数，人们采用了直着写和横着写交叉的方式。直式和横式的数字的算筹表示如图 2.3。顺便，鼓励你将来学了数位回到思考一下，为什么不把两个直式连着写来表示 10 以上的数字呢？如果连着写两个横式呢，行吗？

当然，算筹不仅仅可以用于代表具体的东西来做计算，还能够帮助记录下来结果，省下你的大脑的记忆负担。算筹还有相应的计算规则。做计算和记忆是人类完成计算的时候需要的主要功能。后来，算筹就进一步发展成了算盘，见图 2.4。

当然，以后我们会看到，怎么算，都不是人类的大脑最需要关注的地方，


除非在还没有人会做这个计算的时候。我们关注的永远是思考什么，用什么数学来表达和描述，而不是描述完了之后怎么算。在决定用什么数学来表达的时候，最重要的线索就是关系，什么样的关系决定了用什么样的数学结构来描述。例如，在这里就是“合起来数一数”的关系，于是，就是加法。

图 2.3: 中国历史上的算筹，图片来自于 Wikipedia“算筹”（“CountingRods”）词条。

图 2.4: 中国历史上的算盘，图片来自于Wikipedia“算盘”（“Suanpan”）词条。

例 2.3 (用手指头数苹果). 妈妈买了一袋子苹果。妹妹打算来数一数，并且告诉我有几个。可是，妹妹还不会数数。我建议妹妹用手指头来帮忙试试。

妹妹拿出来手指头，对着袋子里面的苹果，看到一个苹果就伸出来一个手指头。查看了袋子里的所有苹果之后，妹妹的手指头的照片是这样的。见下图图 2.5。我数了数，发现是 3 个苹果。

2.2 用“算筹”来数数和做加法，5 以内 41

图 2.5: 妹妹用了 3 个手指来数 3 个苹果。图换一下，苹果和手指最好相互配合，上下一一对应。

爸爸不能吃苹果，怕甜。妈妈就给爸爸买了西红柿。

例 2.4 (用手指头数西红柿). 妈妈还买了一袋子西红柿。妹妹打算来数一数，并且告诉我有几个。可是，妹妹还不会数数。我建议妹妹用手指头来帮忙试试。

图 2.6: 妹妹用了 2 个手指来数 2 个西红柿。图换一下，西红柿和手指最好相互配合，上下一一对应。

妹妹拿出来另一只手的手指头，对着袋子里面的西红柿，看到一个西红柿，就伸出来一个手指头。查看了袋子里的所有西红柿之后，妹妹的手指头的照片是这样的。见图 2.6。我数了数，发现是 2 个西红柿。这时候，爸爸问我，那么，妈妈买了几样东西，各自几个，合起来多少个东西啊？

例 2.5 (用手指头算加法). 妈妈买了一袋子苹果和一袋子西红柿。妹妹已经分别用两只手的手指头数过了。我现在来回答一下爸爸的问题：妈妈买了几样东西，各自几个，合起来多少个东西。

妹妹的一只手数了苹果的数量，另一只手数了西红柿的数量。所以，妈妈买了两样东西，分别是苹果和西红柿。如果要问合起来有几个苹果，那，


图 2.7: 妹妹用了 3 个手指来数 3 个苹果，用了 2 个手指来数西红柿。合起来就是 5 个手指头，5 个东西。图换一下。

还是 3 个，因为另一只手代表的是西红柿的数量。同样，如果要问有几个西红柿，那，还是 2 个。可是，爸爸问的是有几个东西，我觉得，苹果和西红柿都算东西，所以，需要把妹妹两只手上的数字合起来数一数，见图 2.7，也就是

3（个东西）+ 2（个东西） = 5（个东西）. (2.4)

爸爸还问了，那，妈妈买个几个水果啊？关于这个问题，我和妈妈有不同的意见。妈妈说，还是 5 个，因为这些东西都是水果。我觉得西红柿应该算蔬菜，不算水果。也就是只能算妹妹的左手上的数量，所以是 3 个水果。小朋友你觉得呢？

爸爸还说，如果用算式来表达我的意思，应该这样写，

3（个水果）+ 0（个水果） = 3（个水果）. (2.5)

但是，我还不懂“0 个水果”是什么意思。等以后学了更多的知识再说吧。不过，我好像知道上面的算式的意思，就是左手的数量算成水果的数量，右手的数量呢不能算成水果的数量，因为我认为西红柿不是水果。不能算进去就记做“0”吗？“0”怎么和其他数字加起来呢？这些问题先留着。


推荐老师们，或者一部分感兴趣的家长们，看看Gowers的《牛津通识读本——数学》[3]，对于学生们推荐可以看看斐波那契（Fibonacci）数和杨辉三角形。由于在这两个主题上，对于学到现在的知识水平的学生，能看懂的书不多。有心的老师和家长，可以通过阅读斐波那契（Fibonacci）数和杨辉

2.4 作业 43

三角形的相关的 Wikipedia 页面1，而且英文版的最好（中文版的很多地方没有翻译过来），来给孩子们介绍。不求多，只需要见识一下即可。如果还能够结合生活实际，来看看斐波那契（Fibonacci）数，例如松塔、菠萝（更详细信息见 Wikipedia 页面），就更好了。

2.4 作业

习题 2.1. 练习用看得到的能够比较简单明确知道一个单位的东西，例如手指头、小木棍、小石子，来数数，熟悉 1, 2, 3, 4, 5 这几个数字。

习题 2.2. 练习阿拉伯数字记号 1, 2, 3, 4, 5。通过少量的抄写以及大量的对应关系练习，例如给一堆苹果写下来几个，来熟记这几个记号。

习题 2.3 (编制加法表). 按照加法就是合起来数一数的意思，可以依靠算筹——手指头、小石子、小木棍都行，来编制一个用到的数字是 5 以内的加法表。这个表格可以是这样的形式：

1 + 1 = ¨ ¨ ¨ ,

1 + 2 = ¨ ¨ ¨ ,

1 + 3 = ¨ ¨ ¨ ,

1 + 4 = ¨ ¨ ¨ ,

2 + 1 = ¨ ¨ ¨ ,

2 + 2 = ¨ ¨ ¨ ,

2 + 3 = ¨ ¨ ¨ ,

3 + 1 = ¨ ¨ ¨ ,

3 + 2 = ¨ ¨ ¨ ,

4 + 1 = ¨ ¨ ¨ .

也可以是一个表格的形式：

1https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number，2018 年 10 月 8 日访问。

https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number


+ 1 2 3 4 51 42345

每一小格里面的数字代表行所在的数字加上列所在的数字得到的数，例如，第 1 行和第 3 列的数字应该填 4，因为 1 + 3 = 4。需要用到超过 5 的数字可以先不填。

不过，制作完成这个表格之后，不许记住哦，每次算加法的时候，都要重新“合起来数一数”。将来算多了自然记住的，是可以的，但是背诵加法表是不允许的。

习题 2.4 (用小木棍、小石子来当算筹数数). 除了用手指头来数数，我们还可以用其他的东西来数数，例如小木棍、小石子。去找一堆小木棍或者小石子，数一数生活中见到的你想数一数的东西的数量。拍下照片，或者画图，然后写下来有几个。如果可能，自己问几个需要做加法来计算的问题。记住，加法就是合起来数一数的意思。

习题 2.5 (思考题：混合算筹来数数). 除了用手指头来数数，我们还可以用其他的东西来数数，例如小木棍、小石子，甚至小圆点——在需要数的东西上面画个小圆点，或者在一张白纸上看到一个东西就画一个小圆点。那么，为什么可以用这些不同的东西来数数呢？能不能用大小不太一样的小石子，或者长短粗细不太一样的小木棍来数数呢？能不能把小石子和小木棍结合起来用来数数呢？

习题 2.6 (数一数小方块的数量，列算式). 数一数下图中的 2 行 2 列的大方块里面有几个小方块，并用加法列出来一个算式。把算式的答案算出来以后，和你数一数得到的结果对比一下。

习题 2.7 (思考题：烂掉了 1 个苹果怎么办？). 妈妈买的 3 个苹果，其实有1 个是烂的不能吃。现在，剩下的能吃的苹果还够我、妹妹和妈妈每人一个吗？在思考这个问题的时候，你只允许用你已经学会的数数和加法。你看看这个问题怎么解决？

习题 2.8 (大作业：调查班里每个人的生日). 挑选一群人，可以是你们班的

2.5 本章小结 45

同学，可以是你家里的所有人，可以是你最好的朋友们，问一下他们的生日，记下来。生日就是出生的年月日。你可以试试查出来这些生日都在星期几吗？然后，我想知道你的调查对象中，生日是星期一的有几个，生日是星期天的有几个，生日是周末的有几个。如果你还知道几月份是什么意思的话，请你告诉我，生日是一月份的有几个，生日是十二月份的有几个，生日是上半年（从一月初到六月底）的有几个，生日是下半年（从七月初到十二月底）的有几个。最后，试着回答一下，生日是同月同日（不要求同一年）的有几个？如果这个题目里面有你不懂意思的词，就去网上查查或者问问懂这些意思的人。这些调查数据留着，将来我们还会有用。

2.5 本章小结

在上一章学会数数以后，这一章主要就是创造一些情景来体验加法的含义——也就是“合起来数一数”，接着从操作实践中，学会得数是 5 以内的这几个数的加法，并且自己总结成表格。依靠意义来学习是最最重要的学习方法。为了帮助学生学会依靠意义来学习，在这一章，我们首先通过在不同例题的场景中多次的重复来体会加法的含义，然后，也用了非常简单的概念地图来展示加法这个概念的意义，以及一些细致的地方，包含：共同的单位的度量下，加起来的不是东西而是东西的数量。这些细致的理解在学习的过程中，也是重要的。

数学是思维的语言，是准确表达意思的方式。当我们遇到需要“合起来数一数”的场景的时候，我们就自然会发明出来自然数的加法。从上面的两章中，就可以体会到实践和思考对数这个概念的需要，对加法运算的需要。将来还会体会到这个数的概念和运算的概念的一般性，不依赖于具体算的是什么东西。其实，在各种不同的算筹的讨论中，我们也可以看到，这样的不依赖于具体东西的数的概念是存在的。

我们也谈到了规则和记忆是计算的基础，但是，以后我们会看到，怎么算，都不是人类的大脑最需要关注的地方，除非在还没有人会做这个计算的时候。我们关注的永远是思考什么，用什么数学来表达和描述，而不是描述完了之后怎么算。在决定用什么数学来表达的时候，最重要的线索就是关系，什么样的关系决定了用什么样的数学结构来描述。例如，在这里就是“合起来数一数”的关系，于是，就是加法。

本书的编写要求是：每一章节都要有核心问题和核心理念，都要冲着回


答数学是什么，为什么教这个，为什么这样教来编写。在这一章中，我们发现，加法的计算规则，如果懂得加法就是“合起来数一数”的意思并且已经学会了数数，那么完全是能够自己构建出来的。可见对加法的含义的理解，是非常重要的。当然，具有进一步学习的基础，在这里就是会数数，也是重要的。学习的目标、学习的方法、学习的顺序和基础，这些也是学习者需要思考的问题。

第三章运用数和运算

“学而时习1之，不亦说乎？”

– 孔子

会了数数和合起来数一数，也就是加法，已经可以完成很多的事情了，已经是有了了不起的知识了。现在，我们用一些例子来让你体会一下，会了数数和加法，都能够做哪些事情了。通过这些例子，你也要思考，除了这些，我还能用数数和加法做些什么。

3.1 数当做记号和表示顺序的作用

例 3.1 (练习写数字、数数、编号码). 练习阿拉伯数字记号 1, 2, 3, 4, 5以及体验数字当做记号的作用。这里有一堆苹果，见下图图 3.1(a)，请给每一个苹果编号，并且写下来总共几个苹果。编号完成以后，请尝试吃掉或者送给别人第 3 号苹果。

我们给每一个苹果编号码，数数。我们发现，总共是 5 个苹果，见下图图 3.1(a)。现在，我们把第三号苹果吃掉，剩下的苹果的照片就是图图3.1(b)。你还可以尝试更多的类似练习，把苹果换成其他的东西。例如字母饼干、数字饼干、米粒、鸡蛋等等。从你的生活中自己去发现吧。通过这个练习，我们来熟记这几个数字的记号，以及熟悉数字当做具体东西的记号的作用。

例 3.2 (练习写数字、数数、编号码、顺序 ˚). 给这一节的所有例题编一个号码。看看我们总共要完成多少个例题。这些例题的难度和目的，你觉得都一样吗？

1“习”是在实际情境中使用的意思。习的含义是鸟通过在天空中尝试飞行，有的时候在前人的指导下，来学会飞行。

47

48 第三章运用数和运算

由于这些例题有的有好多小问，有的只有一个问题，有的比较难，有的很简单，所以，你知道有多少道例题的时候，其实所知道的信息不是特别多。如果说，每道题的难度和所代表的计算量思考量都差不多的话，那么，知道我们需要完成多少道题是有额外的意义的，而不仅仅就是多少道题。因此，如果这些题之间相差特别大的话，那么，你给这些题编上的号码只起到一个“记号”的作用，不能够用来“做加法”。也就是说，“合起来有 3 道题”这样的话其实不提供特别多的信息，除非每道题的难度差不多，并且我们刚好关心合起来需要花多少时间来完成这些题的问题。

在我们的这些例题里面，可能存在一定的难度和内容上的顺序，也就是说，把后面的例题放到前面可能不是特别好的选择。这个时候，如果编号是连续的，我们说，你给例题所编出来号码，还具有标志顺序的作用，而不是仅仅给一个记号。比如说，我们可以说第 2 道例题——这是数字编号当做顺序标记的作用，也可以说编号为 2 的例题——这是数字编号当做记号的作用，而且这个时候恰好第 2 道例题就是编号为 2 的例题。更一般的情况下，我们还会有第二道题的编号实际上是 5 甚至是 1。还比如说，我们可能会觉得第 2 道例题可能比第 1 道例题确实在内容上难一点点。这也是数字编号表示顺序的作用。也就是顺序是有一定的含义的，有信息量的，而不是简单地编号。

例 3.3 (四边形、五边形). 下面的画在本书纸面上的没有弯曲的（你不要自己把书弯起来哦）线，就是直线或者说直线段的例子。线段的两边的点就叫做端点。在一个端点上把两条直线段连起来，构成一个角。将来我们会更准确地来学习点、线、面、角、直线、曲线等概念。现在，我们这个介绍就暂时够用了。有了这个介绍，我们来看几个封闭图形：四边形和五边形，见图3.2(a,b)。我们来数一数，它们分别有几条边，几个角。

我们给每一条边，每一个角编上号码。发现，四边形有 4 条边、4 个角，五边形有 5 条边、5 个角。就是因为四边形有四条边，才被称为四边形。同样，就是因为五边形有五条边，才被称为五边形。其实，还有一个东西叫做三角形，或者三边形（不过，这个名字很少有人用）。你来试试能不能把三角形画出来呢？

3.2 数数和加法用于体现减法和乘法的朴素思想 49

3.2 数数和加法用于体现减法和乘法的朴素思想

下面的这些问题，都只能用数数和加法的方式来解决。如果你已经从其他地方学了减法和乘除法会背乘法表，也请你尽量不要用减法和乘除法，而是用数数和加法来解决。

例 3.4 (减法的朴素思想). 在给苹果编号码和数数的问题中，请你在吃掉第3 号苹果之后重新给剩下的苹果编上号码，然后回答一下，现在总共多少个？能不能把现在的第 3 号苹果再次吃掉，或者送给其他人吃。

我们给剩下的苹果重新编号码，数数。我们发现，第一次吃掉 3 号苹果之后的苹果数量是 4。也就是说，5 个苹果去掉1 个之后，剩下 4 个。总共4 个苹果，重新编号之后，还会出现一个第 3 号，继续去掉，如图图 3.1(c)。

例 3.5 (零和减法的朴素思想). 接着上一个问题，给剩下的苹果重新编上号码，然后回答一下，现在总共多少个？如果继续这个过程的话，你觉得从一开始的 5个苹果开始总共吃或者送了几次。都送完了的时候，你会说还有几个苹果呢？如果不知道如何表达都送完了的时候苹果的数量，找人问问。

我们给剩下的苹果重新编号，数数。我们发现，这个时候，苹果还剩下3 个。我们接着如果再送出去一个苹果的话，例如还是送走第 3 号，就会得到图 3.1(d)。我们给剩下的苹果重新编号，数数。我们发现，这个时候，苹果还剩下 2 个。这个时候，没有第 3 号苹果了，咱们可以继续送走第 2 号苹果，得到图 3.1(e)。我们给剩下的苹果重新编号，数数。我们发现，这个时候，苹果还剩下 1 个。接着，还可以再送一次苹果，得到图 3.1(f)。如果我们还想给剩下的苹果重新编号，数数。我们发现，这个时候，苹果没有了。苹果没有了，我们记做 0 个苹果。以后我们会进一步来解释 0 这个数的含义。现在就当做东西的数量没有了的记号。我们来看看，总共送了几次？每一次，我们都会画一张新的图。于是，我们来数数总共有几张图。

图 3.1(a) 有 5 个苹果，图 3.1(b) 有 4 个苹果，图 3.1(c) 有 3 个苹果，图 3.1(d) 有 2 个苹果，图 3.1(e) 有 1 个苹果，图 3.1(f) 有 0 个苹果。从第一张图到最后一张图，每一次送走或者吃掉苹果就会产生一张新的图。我们来数一数产生了几次新的图。我们发现总共产生了 5 次新的图（加上原来的图，是 6 张）。所以，5 个苹果，每次送走或者吃掉 1 个，总共可以送走或者吃掉 5 次。

例 3.6 (乘法的朴素思想，重复两次加法). 我和妈妈出门买苹果。我打算给我们俩一人买一个。我想算算需要买几个。妈妈说，要给我们俩一人买两个。


你来帮我算算需要买几个吧。

我们先画下有哪些人：我、妈妈。接着，给每一个人下面画 1 个苹果。然后，在苹果的下面编上号。我们合起来数一数发现需要总共 2 个苹果。见图 3.3(a)。所以，每个人买 1 个需要买 2 个苹果。

现在，我们来给每个人两个苹果。还是我们先画下有哪些人：我、妈妈。接着，给每一个人下面画 2 个苹果。然后，在苹果的下面编上号。见图3.3(b)。我们发现，每个人买 2 个苹果需要买 4 个苹果。

例 3.7 (乘法的朴素思想，重复三次加法). 妹妹、我和妈妈出门买苹果。我打算给我们三人一人买一个。我想算算需要买几个。妈妈说，要给我们仨一人买两个。你来帮我算算需要买几个吧。

我们先画下有哪些人：妹妹、我、妈妈。接着，给每一个人下面画 1 个苹果。然后，在苹果的下面编上号。我们合起来数一数发现需要总共 3 个苹果。见图 3.3(c)。所以，每个人买 1 个需要买 3 个苹果。

现在，我们来给每个人两个苹果。还是我们先画下有哪些人：妹妹、我、妈妈。接着，给每一个人下面画 2 个苹果。然后，在苹果的下面编上号。见图 3.3(d)。我们发现，每个人买 2 个苹果需要买 6 个苹果。

这个重复多次的加法将来我们会有一个抓们的名字，教乘法。将来，我们还会在学习了减法和减法所代表的关系之后，来体会一下除法的朴素思想。


这部分的推荐材料和前两章一样。Gamow的《从一到无穷大》[2]和Gowers的《牛津通识读本——数学》[3]。这两本书，老师和学生都可以多看几遍。

3.4 作业

习题 3.1 (给树编号). 找一片小树林，可以是路边的绿化树（也可以是路边的路灯），也可以是山地里的一小片树林。给树编上号试试。你看看这个时候，这个编号是不是能够当做记号的作用，表示顺序的作用，以及是不是能够算加法看看总共多少树？

3.5 本章小结 51

习题 3.2 (多边形). 试试能不能给下面的形状一个合适的名称。画出来三角形、四边形、五边形，各种变形，混合上正多边形和一般的多边形。

习题 3.3 (自己开的杂货铺). 你来开设一家杂货铺，邀请小朋友们来购买或者交换商品试试。杂货铺的商品可以是你的玩具或者你制作的手工作品。你先统计一下你的杂货铺里面总共有多少商品。再看看如果你的小朋友们来购买，或者用他们的小商品来兑换的话，是不是够大家换的。

习题 3.4 (杂货铺轮流坐庄). 现在你和小朋友们可以换着当杂货铺的老板。让杂货铺的老板来，或者你帮他来统计一下新的杂货铺里面总共有多少商品。找一找合适的方法来交换或者购买，使得每个小朋友都能够比较满意地拿到自己喜欢的商品。

习题 3.5 (杂货铺的聪明老板). 现在，你们已经玩过一系列的杂货铺游戏了，你看看，是不是有的小朋友愿意拿两个或者多个玩具来交换你的玩具。没准，你还可以做杂货铺的聪明老板呢。

习题 3.6 (大作业：加法用词调查). 制作一个看到了这样的词就意味着用加法来计算的列表。例如“合起来”、“合起来数一数”、“加起来”一般意味着加法。在每一个你收集的这样的关键词下面，写下来一个例子。对于这些大多数情况下，都意味着加法的词，如果你还能够举出来一个用了这个词，但是，不能用加法的例子，就更好了。

3.5 本章小结

本章主要通过更多的例子来体现学习了数字、数数和加法——也就是合起来数一数——之后，能够来完成什么样的思考，回答什么样的问题。数学就是思维的语言，数学就是为了更好地表达自己的思考，表达对这个世界的认识。顺便，你可能已经能够通过各种算筹来做加法计算，例如你的手指头、小木棍、小石子。现在，你试试不依赖这些算筹，不要去用他们，直接在你的大脑里面算——你仍然可以用数数的方法，就是那个数的对象可能得是实际东西或者你的大脑里面想象出来的东西。

在这一章里面，我们还渗透了一个相对来说需要比较高的思维的深度的思想——集合和运算的思想。对于一堆对象，首先，我们可以用数字来给这对对象编号。这个时候，这堆东西之间不需要有任何额外的关系。我们也不能完成很多事情，只能给一个编号。如果这堆东西内部有先后顺序，例如


题目的难度、个子的高矮、年龄的大小等等，那么，这个时候，数字还可以用来代表顺序。如果这堆东西还具有某种量的多少的一致性，那么，我们还可以用这些数字来做加法计算。也就是说，从记号，到顺序，再到加法，实际上，不是说有数字就可以用来算的。我们必须考虑算出来的东西是什么含义，而要让这个含义有真实的对应，则必须对我们所计算的对象事物本身提出更高的要求。希望从这里，我们能够更好地体会到，数学就是给对象找到一个最合适这个对象的表达，而合适不合适最关键的就是对象之间的关系。判断这个是否合适的标准，就是，运算是否能够体现对象之间的关系。另外，在这一章里面，我们还初步了解了从加法如何来构造一个将来分

别称为减法和乘法的关系和运算。所有的概念和运算如果能够相互联系，都相互联系上，是本书编写的另一个原则，也是重要的教和学的方法——系联性思考。

3.5 本章小结 53

(a) (b)

(c) (d)

(e) (f)

图 3.1: 给一排苹果的每一个做一个编号，数一数有几个。吃掉一个呢，还有几个？（画上 5 个苹果，在每一个苹果下面留下一个空格，用来写数字）。去掉苹果的图要和五个的保持一致。下面画个盘子。


(a) (b)

图 3.2: 编号并且数一数四边形和五边形的边和角的数量。重新制作四边形和五边形，参考四边形的样子，标出来角。

(a) (b)

(c) (d)

图 3.3: 两个人去买苹果。每一个人买一个苹果，每一人买两个苹果的情形，以及三个人（还要给妹妹带苹果的情形）的情形。画成稍微分开的两堆（两个人）和三堆。可以考虑画上人物。

第四章认识关系和运算之减法

“认识关系和运算之减法。”

– Henri Poincaré

前面我们已经学会了数数，还有加法。加法也就是合起来数一数的意思。只要掌握这个意思，那么，加法自然就会做了，也会用了。其实，从实际问题出发，发现很多时候需要来做合起来数一数的操作。从实际情境中，发现共性，抽象数学概念，这些才是数学的核心。

现在，我们来试试从实际问题中，甚至从逻辑上，发现和提出一个新的运算：一个将来我们称之为减法的运算。

4.1 从数数到减法的含义和计算

例 4.1 (从数数到减法，苹果). 我有 3 个苹果，吃掉 1 个苹果。我们来数一数现在还有几个苹果。

一开始有 3 个苹果，如图图 4.1(a)。现在，吃掉了 1 个，如图图 4.1(b)。我们把剩下的苹果数了数，发现还剩下 2 个苹果。

例 4.2 (从数数到减法，苹果). 我有 3 个苹果，如果吃掉 2 个苹果。我们来数一数现在还有几个苹果。

一开始有 3 个苹果，如图图 4.1(a)。现在，吃掉了 2 个，如图图 4.1(c)。我们把剩下的苹果数了数，发现还剩下 1 个苹果。

例 4.3 (比一比和减法，苹果). 我有 4 个苹果。我的妹妹有 3 个苹果。我们俩谁的苹果多，多几个苹果？

我和妹妹每次每人拿出来一个苹果，然后来看看谁还有剩下的，剩下多少。我们得到图 4.2(b)。这样我们就发现，在妹妹没有苹果之后，我还有 1

55

56 第四章认识关系和运算之减法

(a) (b)

(c)

图 4.1: 一开始有 3 个苹果。后来，被了吃掉 1 或者被吃掉了 2 个。

个苹果，见图 4.2(d)。之前妹妹每给出来一个苹果，我也同时给出来了一个苹果。也就是之前的数量是一样多的。所以，我剩下的苹果的数量就是多出来的苹果的数量。这也可以看成，从我那一堆苹果里面，取出来去掉和妹妹的苹果数量一样多的苹果。

我们在前面介绍了比一比，可以看做是把多的那一堆看做整体，从里面拿掉少的那一堆，来看看剩下多少。所以，减法还能够用来帮助比一比：先你一个我一个给出来同样的数量的东西，然后，当其中一堆已经都拿出来的时候，那个还有东西剩下的一堆，就是多的一堆。我们发现，减法的两个含义——从整体里面去掉一部分和比一比——是一致的。

例 4.4 (从数数到减法，钱). 我有 5 元钱，买早饭用了 3 元钱，还剩下多少钱。

这个时候，把 5 元钱想象成 5 个一元钱的硬币，拿出来其中的 3 个硬币，也就是 3 元钱，用掉，就是从那个 5 元的一堆中去掉 3 元的意思，我

4.1 从数数到减法的含义和计算 57

(a) (b)

(c) (d)

图 4.2: 我和妹妹比一比苹果的数量。每次每人拿出来一个，看看最后谁还有。按照下面题目的意思，需要把四个和三个分成两队，画到一张图上；然后，下一张图两堆里面分别拿出来一个，放到第三堆里面去。重复这个过程，直到有一堆没有苹果。

们把前后的图画出来，如图 4.3，数一数，自然就得到了 2 元。

例 4.5 (从数数到减法，钱). 用一张 5 元钱，去买 3 元钱的早饭，卖早饭的阿姨需要给我几元钱。

这个时候，5 元钱是整体一张的，我们就不太容易用上面画图的方式来思考。不过，第一，我们可以借用算筹，例如用 5 个手指头来代表 5 元钱。这样就回到了上一个例题的情景。第二，我们还可以来构造一个稍微复杂一点的思考过程。一整张 5元钱和 5个一元的硬币在钱的数量上是一样的，也就是相当于先用一张 5 元钱和某个人换成 5 个一元的硬币；然后，拿着这5 个硬币去和上一题一样去买早饭。这个时候，我们发现，需要拿出去 3 个硬币，还会留下 2 个硬币，也就是 2 元。最后，如果我们实际上用的是一整


图 4.3: 五个 1 元的硬币花掉 3 元之后剩下多少元？分成两堆。其中一堆 3

元

张 5 元的钱，这个剩下的 2 元肯定只有从卖早饭的阿姨那里找回来。所以，找回来的钱是 2 元。在这个问题中，我们用到了一张 5 元的钱在钱的数量上和 5 个一元的硬币一样的事实，还用了阿姨找回来的钱就是我剩下的钱的事实，接着加上和上一题一样的数一数的过程，就回答了问题。

这些问题有共性：都是从一个整体，通常来说好多个某个东西，里面去掉一部分，也就是几个某个东西。我们当然可以每一个这种问题都用这个数一数的方法来解决。甚至之前的加法——也就是合起来数一数——的问题，也用数一数的办法来解决。在那里，我们把各种东西的合起来数一数称作加法。现在，我们就把各种东西的从整体（好多个）里面去掉一部分（几个）的操作，称作减法。当然，具体计算的时候，可以借助算筹，依靠数一数来完成，并且在将来熟悉减法的计算和含义之后，直接在大脑里面计算而不依赖于有形的算筹。

记住，减法的含义，就是整体里面去掉一部分。这个时候的那个整体被称为被减数，去掉的一部分被称为减数，得到的数字称为差。减法用记号

4.2 减法和加法的关系 59

“´”来表示。于是，对于前面所有的例题，我们分别有

3(个) ´ 1(个) = 2(个),

3(个) ´ 2(个) = 1(个),

4(个) ´ 3(个) = 1(个),

5(元) ´ 3(元) = 2(元),

5(元) ´ 3(元) = 2(元).

(4.1)

(4.2)

(4.3)

(4.4)

(4.5)

4.2 减法和加法的关系

除了从实际问题中提炼减法，我们还可以通过加法来理解减法的含义。如果我们前面所有问题中，去掉的那部分也画出来，例如第一题中的 1 个苹果，第二题中的 2 个苹果，第三题中的 3 元钱，第四题中的 3 元钱，然后和剩下的分别合在一起，就会得到原来整体有多少个相应的东西。也就是说，剩下的和去掉的合起来数一数，就是原来整体的。

例 4.6 (从加法到减法的形式计算). 问 1 加上几等于 3，2 加上几等于 3，3

加上几等于 4，2 加上几等于 5，也就是

1 + = 3,

2 + = 3,

3 + = 4,

2 + = 5.

(4.6)

(4.7)

(4.8)

(4.9)

相应地，减法的算式就是，

3 ´ 1 = ,

3 ´ 2 = ,

4 ´ 3 = ,

5 ´ 2 = .

(4.10)

(4.11)

(4.12)

(4.13)

很多时候，“去掉”，“剩下”等词语意味着减法。但是，这是不一定的，一定要具体问题具体分析，画画图，理解好，多思考。关注实际问题中计算的含义——也就是所用来算的东西之间是什么关系、用来计算的东西和要计算出来的东西之间是什么关系，通过含义来决定到底用什么运算，为什么


图 4.4: “切掉、去掉”并不一定真的就是“减法”。要自己思考前后的关系，不能记某些特定词汇。

图 4.5: 减法就是“一个整体里面去掉一部分”。在各种情景中的其他的表现形式都可以转化成这个基本的含义。

用这个运算，还能用别的关系和运算吗——不能靠背诵关键词的方式来写数学算式。下面就是这样一个例子。

例 4.7 (切四边形). 我们把四边形的一个角切掉，剩下的形状是几边形？

通过画图 4.4，我们发现，有的时候可以得到一个五边形——它有 5 个角，有的时候可以得到一个三角形——它有 3个角。也就是说，一个有 4个角的东西，“切掉”一个角，不一定就会变成一个 3个角的东西。在这里“切掉”反而可以增加角的数量。无论加法或者减法，都不能通过看到某些关键词就直接套用，而是要搞明白意思也就是关系以后才能决定用哪一种计算。

4.3 用减法来体现除法的朴素思想

例 4.8 (连续相减能减几次). 我们把一朵 4 个花瓣，例如图 4.6 中的二月兰，每次揪掉一片花瓣，需要揪几次才会把花瓣揪光？如果我一次揪掉两篇花瓣呢，需要揪几次？

每次揪掉一个花瓣，一开始是 4 个，揪掉一次以后就是 4 ´ 1 = 3 个，

4.3 用减法来体现除法的朴素思想 61

图 4.6: 如果我们一次揪掉二月兰一个花瓣，几次揪完？如果一次揪掉两个花瓣呢？换图，去背景，留下单一的一朵二月兰。

揪掉两次也就是再揪一次以后是 3 ´ 1 = 2 个，接着还可以继续揪一次，得到 2 ´ 1 = 1 个，最后的这一次只能再揪一次了。所以，总共揪了 4 次。反过来，每次揪下来一个花瓣，揪了 4 次，正好就是有 4 个花瓣。如果我们每次揪两个花瓣，则第一次揪完了剩下 4 ´ 2 = 2 个，剩下的两个只能够再揪一次的。所以，总共揪两次。反过来，每次揪下来两个花瓣，揪了两次，所以，2 + 2 = 4，合起来正好是 4 个花瓣。

例 4.9 (平均分成两堆). 我们把一朵 4 个花瓣，例如上图中的二月兰，全部揪下来，然后分成两堆，每一堆有几个花瓣？

现在要分成两堆，但是，每一堆不知道多少个。如果知道每一堆是几个，就回到了上面的问题，一次从整体里面拿出来这么多个就行了。这个时候，我们不知道每次揪几个花瓣下来，就很难操作了。不知道如何操作，就很难来展开计算。我们尝试来换一个说法，把这个问题变成一个可以直接操作的问题。我们不知道每堆多少个，但是我们知道最后要分成两堆，所以，我们这样来揪花瓣：我们约定第一堆放在左边，第二堆放在右边；每次我们揪下来花瓣的个数保证正好每一堆里面放一个，这样每次需要揪下来两个花瓣。现在，问题回到了之前的情况，既然每次需要揪下来两个花瓣，我们只需要揪一下操作一下看看就知道能够揪几次了。

这个把未知的问题通过思考转化成已知的问题，是非常重要的思考方式。

在这里，我们已经看到了减法如何用来解决连续相减或者平均分的问


题——后者，实际上也可以转化成连续相减的问题。这些问题是将来我们会进一步学习的除法要解决的问题。这里只做初步了解。


孩子们可以继续阅读之前推荐的书籍。推荐老师们阅读Verhulst的《数学就是一门给不同的东西相同的名字的艺术——Poincaré访谈》[4]。

4.5 作业

习题 4.1 (从数数到减法). 我有 4 个苹果，如果吃掉 2 个苹果。我们来数一数现在还有几个苹果。

习题 4.2 (减法和加法). 把前面四个例题中的剩下的苹果或者钱的数量，和各自问题中去掉的苹果或者钱的数量，合起来数一数，也就是计算加法，看看得到的相应的苹果或者钱的数量，是不是就是原来的总数？

习题 4.3 (我和妹妹比跳绳，比一比). 我跳绳基本上能够每次都能够连着跳5 个或者 5 个以上。妹妹刚学，每次基本上能够跳 1 到 2 个。我们俩一般来说每次谁跳的更多啊？

习题 4.4 (我和妹妹比跳绳，多几个). 今天下午，我一次连着跳了 5 个。妹妹跳了 2 个。我们俩这次谁跳的更多，多几个啊？

习题 4.5 (剩下的巧克力豆). 我和妹妹今天晚上把一盒子本来就剩下不多的巧克力豆快吃完了。在吃之前，我们倒出来看了看，见图画个 5 个巧克力豆的图。吃完了之后，我们又倒出来看了看，见图画个 1 个巧克力豆的图。你能够帮我们数数，我们合起来吃了几颗巧克力豆吗？

习题 4.6 (还要存多少钱). 我想存钱买一盒巧克力豆。价格是 4元。目前，我已经存了 2 元钱。我还需要存多少钱？我每天能够有 1 元的零花钱。我需要存几天呢？

那么，

例 4.10 (比一比). 我们把一个五边形的一个角切掉，剩下的形状是几边形？

习题 4.7 (大作业：数鱼或者鸭子). 找一个有鱼或者鸭子的池塘。鱼或者鸭子的数量不要太多，方便你数数。叫上另一个小朋友，在大人的陪伴下，去

4.6 本章小结 63

喂鱼或者喂鸭子吧。注意，如果那里喂食的食物是限定种类的，你一定要遵守哦。喂的时候，完成下面的任务：数一数你这边有几条鱼或者几只鸭子，你的小朋友那边有几条鱼或者几只鸭子。每次都记录下来。坚持喂上一段时间。每次你们带过去或者购买的食物都要定量。可以是你一大包，你的朋友一小包。也可以反过来。当然，同样的数量也可以。尽量每次投食的大小都一样。比如，可以考虑用一个勺子来喂。让大人帮你或者你自己来控制喂食的时间间隔，例如，每半分钟投食一勺。喂上一段时间（一定要坚持哦，例如两周，最好每天差不多的时间），做好记录。然后，看看，每次谁那边的鱼或者鸭子多，多多少？

4.6 本章小结

在这一章里面，我们从数数出发，建立了减法的含义和计算。减法的含义是从整体（多个）中去掉一部分（几个）。减法的计算可以通过数数来做，也可以通过考虑加法的逆运算，也就是把被减数当做加法计算的结果，然后来问减数加上多少会得到被减数。同时，我们还注意到，通过记住关键词，例如去掉、切掉、比一比等等，来对应成减法算式是不可靠的。只有通过搞清楚意思，找到减法中的那个整体和一部分，搞清楚两者之间的关系确实是从整体中去掉一部分，才能够真的用减法来计算。问要算出来的是什么，问用来算的东西是什么，问用来计算的东西和要

计算出来的东西之间是什么关系，通过含义来决定到底用什么运算，为什么这样算，还可以用别的关系和运算吗，这就是数学的创造和运用的秘诀。一切都是关系。强调概念和概念之间的关系的学习，强调思考事物之间的关系，强调从

事物之间的关系的角度来提炼和理解数学概念，强调数学就是思维的语言就是对世界的描述，强调学习最少量的核心概念，这是本书的特点，也是希望学习者学会的学习方法。


第五章加减法运算的应用，认识零

“肯定不是知识，而是去学习；肯定不是拥有，而是去获得；肯定不是在那里，而是往那走；给我们最大的快乐。”

– Carl Gauss（高斯）

零——记做 0——的概念的提出是数学中的一大步。甚至到今天，习惯上，我们还会把 1, 2, 3, 4, 5 这些看做是自然的数，而把 0 看做不那么自然的数，于是不算自然数。为什么呢？因为如果我们只需要表达这里有多少某个东西的概念，我们自然应该从有东西开始，而不会关注没有东西的情况。只有当减法的概念形成之后，才会注意到，当我们不断地从一个整体中去掉一个一个的个体的时候，就会发现，会出现“什么都没有”从而不能再去掉的情况。为了对这样的情况做一个描述，我们才会想起来发明一个零的概念和记号。

其实，将来我们会发现零还有很多其他的用处，例如在一个数的后面加上几个零以后就可以简单表示几百几千的大数，例如还可以把零拿来再次减去某个数。这就好像你已经把这周的零用钱花完了，但是还想吃冰棍，那么，没准你可以先跟你的爸爸妈妈借出来点钱，然后用下周的零用钱来还。

现在，我们来认识一下这个这么重要的东西——零。

5.1 从减法到零

我们先来继续之前在例 3.5 中不断去掉一个苹果的过程。我们试试现在通过减法计算来回答这个问题，而不再是之前的直接数数的方法。

65

66 第五章加减法运算的应用，认识零

例 5.1 (从减法到零). 从一开始有 5 个苹果，每次送给别人 1 个，问可以送几次？每次送完的时候，还有几个苹果？

按照从一个整体里面去掉一部分的意思，这里送苹果确实就是减法，于是，第一次送给别人 1 个，我们还剩下

5(个) ´ 1(个) = 4(个). (5.1)

接着，我们继续送，剩下分别是

4(个) ´ 1(个) = 3(个),

3(个) ´ 1(个) = 2(个),

2(个) ´ 1(个) = 1(个).

(5.2)

(5.3)

(5.4)

下一次继续送就会发生，送完了苹果没有了的事情。那么，如何表示这个没有了呢，也就是

1(个) ´ 1(个) =?(个). (5.5)

我们需要给这个数量一个记号。不仅仅是送苹果问题中的苹果的数量，任何一个不断从整体中去掉一部分，也就是不断地重复减法的过程，都会遇到这个问题。为了解决这个问题，我们给这个所有的都去掉的状态一个专门的称呼和记号，就是零，记为 0，也就是

1(个) ´ 1(个) = 0(个). (5.6)

计算的过程得到的结果经常是有意义的。如果这个有意义的东西在目前的系统里面没有，则我们就要考虑拓展目前的系统。

计算的过程得到的结果经常是有意义的。如果这个有意义的东西在目前的系统里面没有，则我们就要考虑拓展目前的系统。

0(个) ´ 1(个) =?(个). (5.7)

是的，这个问题将来再说。

甚至更加进一步的问题，将来我们会学到其他的计算，以及计算的意义，以及算的方法。那么，是不是对每一种计算，我们都可以问，是不是这样的计算会导致系统里面没有的数字的概念和记号的出现呢？数学又如何保证有一个很好的数字概念和记号的体系，使得任何计算的结果都能够在

5.2 零的加减法 67

这个体系里面来表达呢？这些问题，现在，我们只要想一想，了解有这样的问题就可以了。当然，如果你展开思考和阅读，甚至自学的话，这些推荐学习材料可以帮你打开一扇门。

5.2 零的加减法

有了这个零的概念和记号，我们来做一点和零有关的计算：加法和减法。我们想看看，下面的计算怎么算，

2 + 0 =?,

2 ´ 0 =?.

(5.8)

(5.9)

我们相信一旦解决了这个问题，那么其他的数和 0 的加减法你也就会算了。这就是数学中的从具体例子到一般化的思想，通常这个一般化需要依靠概念和概念之间的关系——从实际问题中抽象出来的概念和概念之间的关系。另一方面，为了解决这个具体的计算问题，我们来找更加具体的例子，一个让这样的计算有意义的情景。然后通过思考这个情景来解决怎么算的问题。在这个问题中正好同时体现了数学中的一般化和具体化。

例 5.2 (零进入加法). 我一开始我的盘子里面有 2 个包子。然后，妈妈又给了我 1 个包子，接着，妈妈又说放错了，把那个新给我的包子给了爸爸。你说我现在有几个包子呢？

我们可以把整个过程一步一步来计算。我们原来有 2 个包子，妈妈给了我 1 个包子，我总共有

2(个) + 1(个) = 3(个) (5.10)

包子。现在，又被拿走了一个，所以，剩下

3(个) ´ 1(个) = 2(个) (5.11)

包子。和原来的包子的数量一样。现在我们这样来看，妈妈给了 1 个包子，马上又拿走了，所以妈妈没有真的给我新的包子。也就是说，新给的包子的数量是零，

1(个) ´ 1(个) = 0(个). (5.12)


所以，现在的数量和原来的数量的关系，可以表达成这样，

2(个) + 0(个) = 2(个). (5.13)

除了依靠加减法运算，你也可以用算筹来按照这个问题里面交代的情景，直接用数数的方式来回答这个问题。

例 5.3 (零进入减法). 我一开始我的盘子里面有 2 个包子。妈妈怕我吃不下，拿走了 1 个包子。后来，我没吃饱，妈妈又给了我那个刚才拿走的包子。我都吃完了。你说我总共吃了几个包子？

我们可以把整个过程一步一步来计算。我们原来有 3 个包子，妈妈拿走了 1 个包子，我总共有

2(个) ´ 1(个) = 1(个) (5.14)

包子。现在，又给了 1 个，所以，合起来是

1(个) + 1(个) = 2(个) (5.15)

包子。和原来的包子的数量一样。现在我们这样来看，妈妈拿走了 1 个包子，马上又还给我了，所以妈妈没有真的拿走包子。也就是说，拿走的包子的数量是零，

1(个) ´ 1(个) = 0(个). (5.16)

所以，现在的数量和原来的数量的关系，可以表达成这样，

2(个) ´ 0(个) = 2(个). (5.17)

除了依靠加减法运算，你也可以用算筹来按照这个问题里面交代的情景，直接用数数的方式来回答这个问题。通过这两个问题，我们发现，任何一个数加上零都是这个数，任何一个

数减去零也还是这个数。不过，这个结论不是最重要的，而是这个构造具体问题来思考和理解，然后一般化的过程才是重要的。


推荐孩子们看看Du Sautoy的《神奇的数学》[5]。推荐老师们，如果可能的话还有家长，除了《神奇的数学》还可以看看Hardy的《一个数学家的告白》[6]。

5.4 作业 69

5.4 作业

习题 5.1 (算筹和口算练习). 如果你已经到懂了加减法的含义，也知道怎么算了，现在你可以来做一些形式化的练习了。找一本口算习题集，完成几道5 以内（0, 1, 2, 3, 4, 5）的加减法计算。训练的目标是，对于这些计算，如果你还是依赖于实际的算筹（例如手指头、小木棍）来算的，那么，做到依靠大脑里面的算筹来算，例如可以在大脑里面通过数数来计算。可能需要练习多次，才能达到这个从具体的算筹变成大脑里面的算筹的效果。

习题 5.2 (大作业：相互出题、答题、批改). 给你的同学们出几道题。需要他们用 5 以内 0, 1, 2, 3, 4, 5）的加减法来回答这些问题。最好还需要他们思考一下：要算出来的东西是什么，用来算的东西是什么，算出来的和用来算的东西之间什么关系，这个关系要用什么运算。这个相互出题、答题、批改作业的任务可以完成很多次的，在学习不同的内容的时候，都可以来做一下这个练习。

习题 5.3 (大作业：习题课). 从上面相互出题、答题、批改的问题中，选择你觉得出的或者答的最好的问题，分享给全班的同学们，给你一个当小老师的机会。

5.5 本章小结

这一章依靠减法的概念，介绍了零的概念，并且学习了算式中有零的加减法。零在意义上，表示的是所关心的东西在所给定的单位下没有。用一个专门的符号来表示没有东西，从概念上不是特别容易接受的。除了从零的含义来讨论，我们还从减法计算封闭性的角度来讨论了有零这个概念和记号的必要性。同时，数学上很多概念的提出，都有抽象化、一般化、具体化这几个思

维方式的参与。把具体问题抽象化，一般化，把一般的问题用于具体的情形，这是非常重要的思维方式。通过学习这一章的例子，希望学习者也能够在这些方面有一点点体会。


第六章加减法运算的应用，从 5

到大数

“计算是为了获得洞见，而不是获得那些数字。”

– Richard Hamming（汉明）

我们已经学会了数数，加减法的含义以及 5 以内的加减法的计算。现在，我们用加减法来学会更大的数的概念，以及这些数的记号。

6.1 通过数数来知道大数的含义，十进制初步

在学习这一章之前，先要保证我们确实会数到 5，并且明白每一个数的含义，也就是对于任何一个数量在 5（包含）以内的东西，能够给这个东西正确地写下来数字的记号，并且明白每往后数一个，数量增加 1。注意，数字的记号不是关键，对数字的理解才是关键。从理解的角度来说，我们可以把 5 以内的数字都这样来看：先明白 1（也可以是表示什么都没有的含义的0）的含义，就是这群东西在某个单位的度量下，只有一个；然后，我们通过每次增加 1 来认知 2, 3, 4, 5 的含义。现在，我们就用这个办法来认识更大的数字。例如，2 就是 1 再往上数 1，3 就是 2 在往上数 1，等等。自然，我们会问，

例 6.1 (从 5 到 6). 一开始这堆苹果有 5 个，如果我再往里面放一个，是不是还是可以问这里有几个苹果？

注意，这里的问题不是有几个苹果，而是，是不是还可以问“这一堆苹果有几个”这个问题？由于这里显然还是一堆苹果，我们大概知道粗糙的度量单位“个”是怎么回事（例如，不能切开以后算两个，要求是天生长成一个的苹果，可以大小有差别，最好不要出现双胞胎连体苹果之类的），所以，

71

72 第六章加减法运算的应用，从 5 到大数

显然，我们是可以通过数一数来问“这里有多少个苹果”的问题。那么，既然可以问多少个，到底是多少个呢？没准你已经知道五后面的数字是六，甚至都会写 6 这个记号了。但是，这一堆苹果合起来的数量的含义，不依赖于我们管这个数字叫做“六”、“6”还是“陆”、“six”。这些只是这一对苹果的数量的不同名称和记号。它们表示的含义是明确的，相同的。因此，数字本身的概念不依赖于数字的阿拉伯记号，你也不需要专门学习数学来明白这些数字的含义，只要会思考，就能明白。同样的道理，这现在的这堆苹果的基础上，如果我们继续加入一个苹果，这时候苹果的数量是多少还应该是一个可以问的问题，而回答这个问题就需要用到比 5多 1再多 1，也就是多 2的那个数字的含义。当然，我们知道了这个数字被称作“七”、“7”、“seven”、“柒”，数字记号是 7。类似的，我们就可以在前一个数字的概念的基础上，通过增加 1 来建立更大的数字的概念。再后面的数字是 8, 9。合起来，我们就有了0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。

这样的通过 1 的概念，每次来增加 1 得到的所有的数，被称为自然数。将来，大约上大学的时候，你们会学习到自然数的更严格的定义，摆脱这个需要事先给定的但是没有定义其含义的 1。在这里，我们暂时接受这个基于数字 1 的定义。

当然，我们可以继续来构建 9后面的自然数的含义。我现在告诉你记号是 10，含义就是比 9 还要大 1 的数字。为什么不给这个数字新发明一个记号，例如 X 呢？其实，记号 X 还真的有，它是罗马数字中代表 10 的那个数字。罗马数字的前面几个分别是：I，II，III，IV，V，VI，VII，VIII，IX。

有一个财主的儿子学写字的故事，告诉我们，不断地给每一个数字发明一个记号，是多么不划算的事情，就算式罗马数字这样的中间考虑了偷懒记号 V 和 X 这种。

例 6.2 (财主的儿子学写字). 有一个不识字财主请了一个教书先生来教他儿子学写字。先生第一天教会了财主儿子写“一”。财主的儿子给财主看了，财主很开心——儿子会写字第一个字了。先生第二天教会了财主儿子写“二”。财主的儿子给财主看了，财主很开心——儿子会写字第二个字了。先生第三天教会了财主儿子写“三”。财主的儿子给财主看了，说“我已经学会写所有的字了，你看不就是是多少就写多少次吗？”，财主更加开心了——儿子会写所有的字了。于是，就解聘了教书先生。第四天，为了庆祝儿子能写字了，财主打算请“万”先生来家里聚会。儿子就开始给万先生写邀请函。写到晚上都没写完。你知道为什么吗？

6.1 通过数数来知道大数的含义，十进制初步 73

那么，我们现在常用的计数系统如何来解决这个问题呢？先固定 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这十个记号，然后，如果超过 9，就记做 10，也就是写下来一个两位数。最右边的一位是 0，从右边开始数的第二位写一个1。这样来表示“10”，也就是比 9 多 1 的那个数字。然后，可以继续增加下去。例如，我们来继续介绍 11 的含义，就是比 10 还要大 1 的数字。很容易，我们就能够猜到 12, 13 这样的数字的含义了。增加一位是一个计数的好办法。每次遇到 9 还要增加的时候，就往左边的数位上增加 1 的这样的计数法，就叫做十进制。将来，我们还会遇到二进制和八进制、十六进制、六十进制等。对很小的数字，我们由于经常使用，并且用手指头就可以数过来，我们

是有直观的感受的。但是，对于很大的数字，我们就不能依赖于直观表示了，例如我们并不是能够很好地把握 1000 和 10000 的区别。那么，对于很大的数字，我们是如何建立起来这个概念的呢？当然，一方面还是靠数数。例如从我们有概念的 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 开始，只要用好下面要介绍的数数的规则，自然可以数到任何一个大数。另一方面就要依靠运算。我们先来讲清楚数数的规则。我们来介绍一下数位的概念。我们已经了

解了 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9�10, 11 这些数字的含义。10, 11 这些数字有两个数字记号。它们比 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 那些数字多一个数字。我们来给这些数字的个数一个名称：用一个数字来表示的自然数称为个位数，用两个数字来表示的自然数称为两位数；个位数的这个位被称为个位，两位数之中的右边的位被称为个位，左边的位被称为十位。采用数位的概念之后，我们可以把一个两位数看作是十位上的数后面加上零之后，再往前数个位上的数所代表的数字。例如，11 就是从 10 开始，继续往前数 1，也就是“10,11”。

从 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 这十个开始，我们十进制——就是用这样十个数字当作记号的基础，超过了这十个就往更高位的数字上多加上一个数（称作进位）的意思——数字的数数规则如下：

1. 每往后数一个数，含义是所代表的数增加 1。例如 2 是 1 增加 1 的意思，9 是 8 增加 1 的意思。

2. 记号上，当个位数超过 9 的时候，需要在十位数上增加一个数字，然后在个位上重新回到 0 开始新的一轮数数循环。例如 8, 9, 10 里面从 9

到 10，就遇到了个位数已经是 9 的条件下还需要增加 1 的情况。这个时候，按照这个规则，我们需要在十位数上增加 1——在这里之前十位数上没有数字也就是 0 因此增加 1 以后就是 0+1 = 1，然后个位数


重新回到 0，因此 9 的下一个数字是 10。

将来等两位数都不够用的时候，需要类似地在更高位上使用上面的约定规则。目前，我们只要了解 99 以内的数字的含义和记号就可以了。实际计算中，需要我们对其含义有比较好的理解数字，目前为止，只需要做到 25 以内就可以。

例 6.3 (从 9 数到 19). 让我们来用前面的规则，从 9 数到 19。

从 9 开始，增加 1，需要使用进位规则，于是，得到记号 10（个位数回到 0，十位数从 0 增加 1 得到 1），接着每次在个位数上增加 1 也就是11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19。我们做一点点额外的练习来熟悉这个数数的规则。

例 6.4 (从 19 数到 29). 让我们来用前面的规则，从 19 数到 29。

每次增加 1，遇到 9要进位，我们有：19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29。

6.2 通过加减法来知道大数的含义

在通过数数来认识大数的规则中，我们已经介绍了这些数的含义，也就是每往后数一个数，含义是所代表的数增加 1。现在，我们再回到认识数字的另外一个方式，运算。其实，就算学会了数数，如果需要通过数数来明白25 的含义，也不是一件轻松的事情。你得至少从你熟悉的 10 数上很多次才能到达 25。不过，其实，你还可以通过运算来明白 25 的含义的，

例 6.5 (比 20 多 5 的数是多少). 我们知道比 0 多 5 多少是这样计算的0 + 5 = 5，具体计算过程可以依靠数数，也就是从 0 开始，每数一次增加1，需要数 5 次，于是 1, 2, 3, 4, 5 数 5 次，得到了 5。现在我们来看比 20 多5 的数是多少。

从 20 开始，每数一次增加 1，数 5 次，于是 21, 22, 23, 24, 25 数 5 次，得到了 25，也就是

20 + 5 = 25. (6.1)

例 6.6 (比 9 多 6 的数是多少). 我们来看比 9 多 6 的数是多少。

从 9 开始，每数一次增加 1，需要数 6 次，于是 10, 11, 12, 13, 14, 15 数了 6 次，得到 15，也就是

9 + 6 = 15. (6.2)

6.3 大数的加减法 75

例 6.7 (25 比 20 多多少). 我们知道 5 比 0 多多少是这样计算的 5 ´ 0 = 5，具体计算过程可以依靠数数，也就是从 0 开始，每数一次增加 1，于是1, 2, 3, 4, 5 需要数 5 次，增加了 5。现在我们来看 25 比 20 多多少。

从 20 开始，每数一次增加 1，于是 21, 22, 23, 24, 25 需要数 5 次，增加了 5，也就是

25 ´ 20 = 5. (6.3)

例 6.8 (15 比 9 多多少). 我们来看 15 比 9 多多少。

从 9 开始，每数一次增加 1，于是 10, 11, 12, 13, 14, 15 需要数 6 次，增加了 6，也就是

15 ´ 9 = 6. (6.4)

6.3 大数的加减法

现在我们学习了大数和数位的概念，我们再来学习一下大数的加减法计算。

首先，我们强调，无论多大的数字，我们只需要用“数数”就可以完成这些数的加减法计算。手指头不够了的话，我们可以依靠小木棍、小石子等算筹来帮助数数计算。如果你对数数足够熟悉的话，也可以用你大脑里面的“算筹”来数数计算。不过，如果真的遇到很大的数字，则这样的通过数数来计算的方式需要比较长的时间。现在，我们来看看，能不能在我们已经熟悉的个位数（0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9）的加减法基础上，比较快地来完成大数的加减计算。

这就是加减法的列竖式计算。第一步，我们把两个数分上下写下来，保持个位数对齐。如果两个数都有十位数，那它们的十位数自然也是对齐的。如果有一个数有，另一个数没有十位数，那么，那个没有十位数的数的十位数就看做 0。也就是说，1 可以看做 01，9 可以看做 09，等等。将来学习了乘法我们会更清楚这样来看待个位数的原因。不过，现在，对于我们用到的个位数和两位数，十位数上的零就表示，这个数只有个位数的意思。例如，3 + 2，33 + 2，33 + 22，我们分别写做

3

+ 2(6.5)


33

+ 2(6.6)

33

+ 22(6.7)

然后，我们来完成了第二步：按照从个位数到更高位数的顺序，也就是从右到左，把对好的各个数位上的数，当成个位数，加起来。

3

+ 2

5

(6.8)

33

+ 2

35

(6.9)

33

+ 22

55

(6.10)

在完成第二步的过程中，有可能我们会遇到上下两个已经被当成个位数的数加起来之后，会超过 10，这个时候，需要考虑进位——也就是把这个超过 10 的得数的个位数写到竖式的下面，把十位数也就是 1，放到更高位上去和那个数位上已经有的数相加，例如1

3 3+ 21 8

6 1(6.11)

在这里，十位数 2 下方的 1 就表示那个从个位数加起来超过 10 以后要将来加到十位数上的那个 1。

1这是手动排版的，也可以用 LATEX 宏包 xlop 排版的，例如

+

3

2

5 ，

´

1

1

3 3

2 8

0 5 。不过，这个宏包的记号规范用的是法国小学数学的，不是中国规范的，尽管法国规范看起来更加合理：个位的 3 借到了一位所以应该看做 13，十位的 3 被借走了一位，所以地下的 2 被看做多了 1 也就是 3。具体用哪一种，由出版社决定。

6.3 大数的加减法 77

这样，我们就可以通过个位数的加法来做更具有高位数字的数的加法了。现在我们来看减法。第一步，还是一样，我们把两个数分上下写下来，

保持个位数对齐，需要的时候补充 0。第二步，从右到左，每一个数位上的数看做个位数相减。例如，3 ´ 2，33 ´ 2，33 ´ 22，我们分别写做

3

- 2

1

(6.12)

33

- 2

31

(6.13)

33

- 22

11

(6.14)

在完成第二步的过程中，有可能我们会遇到上下两个已经被当成个位数的数减起来之后，不够减的问题，这个时候，需要考虑借位——也就是从更高位上借来一个 1——相当于目前数位上的 10——和目前的被减数合在一起，最后把合在一起的被减数减去减数的得数写到竖式的下面，同时由于更高位数上的被减数已经被借走了一个 1，将来更高位的那个数要减去 1以后再和那个位置上的减数做计算，例如

33

- 28

05

(6.15)

在这里，十位数 3 顶上的 ˙就表示那个被个位数减法的时候借走的以后要将来加到十位数上的那个 1。现在，我们已经会计算两位数的可能包含进位和借位的加减法了。计算

是次要的。重要的是，我们看到，第一、这个高位数的加减法计算从概念上不过就是数数，并且加减法的概念本身也是数数；第二、从计算方式上，高位数的加减法可以依靠个位数的加减法来计算。计算过程中要注意进位和借位。这一节——注意仅仅是这一节，不是这一章——可能是我们这本数学

教材和通常的数学教材，唯一比较接近的地方了。



推荐大家再一次来读一读Gamow的《从一到无穷大》[2]。

6.5 作业

习题 6.1 (两位数数数记号). 用多位数记号和数数的规则，写下来从 9 数到25 的每一个数字的记号。

习题 6.2 (两位数数数记号). 用多位数记号和数数的规则，写下来从 25 数到49 的每一个数字的记号。

习题 6.3 (数豆子). 从一盒子豆子（或者玻璃珠、玉米粒）里面，分别数出来9、19、21 颗豆子。

习题 6.4 (抓豆子比一比). 从一盒子豆子（或者玻璃珠、玉米粒）里面，自己抓出来两把，或者找个小朋友各自抓一把出来，比比谁多。可以数数比，也可以考虑其他比较的方式。注意别抓太大把了，你可能会遇到数不出来的情况。

习题 6.5 (特别大的数). 从 88 开始，试试往后数 10 个数，记下来这些数的记号。

习题 6.6 (两天吃的苹果的数量). 今天，我和妈妈出门买苹果。我们家有妹妹、我、妈妈和爸爸。我打算让我们家一人每天吃一个。我想买够两天吃的苹果。我算算需要买几个。

习题 6.7 (明天还能有几个苹果). 昨天我和妈妈买了 10 个苹果，今天妹妹、我和爸爸妈妈各自吃了 1个。我想知道明天还有几个苹果？够不够妹妹、我、妈妈和爸爸每人吃一个？

习题 6.8 (一家几口人的后续作业). 用你在习题 1.7 中得到的数据，来算算你总共访问了多少人，你访问的人汇报给你的他/她的家庭多少人，你总共统计了多少人。


6.6 本章小结 79


习题 6.11 (几个兄弟姐妹的后续作业). 用你在习题 1.10 中得到的数据，来算算你总共访问了多少人，每一个你访问的人给你汇报的兄弟姐妹有多少人，你总共统计了多少人。

6.6 本章小结

在这一章里面，我们用数数和计算来帮助大家认识更大的数，不能直接用手指头数出来的数，形成对这些数的一定的理解。将来，我们会经常通过计算来认识更大的数，以及新的数，例如小数、分数、负数等等。理解含义和通过计算，是数学思考的两个很重要的相互补充的方式。也就是说，会做计算不是没有意义的，在能够帮助你把概念或者逻辑过程理解得更好的时候，就要去做计算。但是，计算本身不是数学学习的目标，仅仅在某些情况下是手段。除了对大数的认知，我们还强调了一个东西的名字、记号和含义的区

别。在学习数学的过程中，很多时候，我们要把这些东西区别和联系起来。在这里，我们更加强调含义。将来我们还会看到，给一个东西找到好的符号和名字，对于含义的理解也是有促进作用的。例如，见第二十一章和那一章的开篇引言。


第七章关系和运算

“大约五万年前，我们当中的一小部分人获得了一种能够无限地把两个概念组合起来形成第三个概念的能力，而且完全不破坏原来的两个概念本身的含义。”

– Noam Chomsky（乔姆斯基）

我们人类为了解决问题需要思考，有的时候是非常深入和准确的思考。我们的日常语言很多时候带有一定的模糊性，存在多种理解的可能。例如经常一个词具有多个意思，同时一个意思也可以用多个不同的词来表达。为了满足我们的思考的需要，人们就发明了数学。通过数学的概念和关系，来帮助我们做深入的和准确的思考。另一方面，人们也发现，很多时候，基于人类的思维提出来的数学概念，通过计算推演出来的新的数学结构，往往可以用来描述世界。因此，数学，实际上，不过就是人类的思维而已，并且时不时地受到现实世界的启发和推动。于是，当我们学习数学的时候，也要特别注意：数学不是计算的规则，而是倒过来，计算的规则是对关系的抽象和表达；数学不是为了解题，而是为了思考和认识这个世界。

本章内容首先需要渗透到每一章每一个课堂的教和学中，也可以专门抽时间来讲讲，通过例子以及例子和这些思想的联系。

7.1 加减法对应的关系

在我们学习过的计算里面，加法就是“合起来数一数”的意思，要注意所合起来的东西得是用同一种东西，并且在一个共同的单位的度量下；减法就是“从整体中去掉一部分”的意思，也要注意所去掉的东西和整体也是一种东西，也必须在一个共同的单位的度量下。也就是说，用来做加减法的东西其实是有内部联系的，“同一种东西在同样的单位的度量下的量”。更进一

81

82 第七章关系和运算

步，这些用来算加法的东西和所计算出来的东西之间也是有联系的：算出来的东西的量是把用来算的东西的量合起来；这些用来算减法的东西和所计算出来的东西之间也是有联系的：算出来的东西的量是把用来算的东西的量当中的整体和部分比较一下，去掉那个部分以后剩下的量。将来我们还会学习到别的计算，或者说，从现实世界的问题中提炼出来别的计算。这个时候，我们也要注意这样的运算的含义，注意参与运算的东西之间的联系，参与运算的东西和计算出来的东西之间的关系。

把这个关系放到具体情景中，替换成不同的数，具体化成为不同的东西的量，就成了具体的数学问题。忘掉具体的东西，仅仅保留关系和计算，则就看到了数的运算。实际上，这正好体现运算是对现实的抽象，还体现代数的思想：重要的是关系和运算，而不是用来运算的数。数学关注的是对象之间的关系。

我们前面还提到了，什么样的东西的量能够用来参与什么运算，实际上是由这些东西之间的关系决定的。如果我们想给东西做一个排序，则这些东西最好有一个内在的可以比较的量，例如个子的高矮、题目的难度、人的年龄。如果我们想给某个东西的量做一个加法运算，则最好这堆东西的量差不多，例如大小差不多的苹果、难度差不多的问题。前者表示东西的量之间最好有一个顺序，后者表示东西的量最好差不多或者说有某一种等间隔的东西——也就是两个苹果的重量和一个苹果的重量的差，差不多就是，三个苹果的重量和两个苹果的重量的差。如果我们关心的对象既没有顺序关系，也没有等距离关系，那么，我们最多只能够对这样的东西编号，数数。也就是，数学对于这样的对象就起到一个记号的作用。

在苹果的例子上，我们还需要想明白，我们没有在计算苹果的加法——也就是把一个苹果和另一个苹果“加起来”能够得到一个苹果，而是在做苹果数量的加法——一堆只有一个苹果的苹果堆的数量，也就是 1，加上另一堆只有一个苹果的苹果堆的数量，还是 1，加起来相当于有了一堆有两个苹果的苹果堆的苹果的数量。也就是对应着把两堆苹果合起来成一堆的这样的操作，而不是把两个苹果合起来变成一个新苹果这样的操作。

7.2 数学四步

既然数学是思维的语言，是描述现实的结构，那么数学的学习和运用就不是求解算术题而已。一般来说，数学问题的提出和解决包含以下四个方

7.2 数学四步 83

面：发现和提出问题，问题的数学化形式化，数学化以后的问题的求解，解的检验应用以及以上分析的总结、推广和约化。

我们会不断地通过每一章每一节的学习来体会这几个方面。发现和提出问题需要你对世界具有强烈的好奇心，还要具有一定的所关注的问题的经验和基础。有的时候这样的经验和基础可能是通过直接经验和经历，有的时候是通过其他的学科的学习来获得。把问题数学化需要极大的想象力和创造力，以及对数学已经有的结构的深刻的理解。对数学化以后的问题的解决，如果是其他人已经解决过的问题，则可能只需要简单地使用已有的解或者解法就可以，有的时候需要对问题的表述做合适的转化。如果是其他人都没有解决的问题，则首先要讨论是不是这个问题的解是存在的，是可以去寻找的。然后，就是具体求解这个问题。随着计算技术的发展，很多时候，问题求解都可以借助计算机来完成或者至少通过计算机来先尝试一下，然后再考虑彻底解决这个计算问题。在有了问题和解之后，并不是原来的问题就解决了。还要把这个答案用回到具体问题中是试试，是不是确实能够解决问题。如果不能，进一步调整问题的数学化和解。如果能够解决，问为什么能够解决，有没有什么可以一般化的，成为某种比较通用的处理某个类型的关系的方法。或者，这个求解方法实际上可以看做是某个其他方法在这个具体情境下的运用。这也就是约化，把一个东西放到另一个更一般的东西里面去，使得问题看起来更加简单。

非常遗憾，实际数学的教学过程中，大多数时候，在学习第三步，而且基本上是已经知道解法的第三步。这个时候，把其他几步包含进来，甚至把重点放到第二步、第一步、第四步，都是非常有意义的。

在我们的一部分练习题中，我们设置了比较粗糙的，没有经过数学化的问题。在解决这些问题的时候，可以体会一下数学四步。例如，当我们问一家几口人的问题的时候，你会发现，同一个家庭的不同的成员，可能会给出来不同的答案。这个时候，你如果更加具体地问一问，以及去访问更多的家庭，每一个人认为的家庭成员是哪几个，可能就会形成为什么会有不同的答案的猜测。有了这个猜测之后，你可以再去访问更多的家庭，甚至同一个家庭的不同辈分的成员，就可以来检验这个猜测。如果你的某个猜测通过了检验，你还可以想，那为什么是这样的呢？或者，如果我这个猜想确实是对的，那它可以用来帮我们做什么呢？例如，至少，将来你再来做这个调查的时候，问的问题就会更准确，采访对象就会设计的更好。当然，没准还会有其他的用处呢。没准，甚至这个调查——发现问题——把问题变成一个数


学问题——猜测——检验——总结的过程也会是一个有一般意义的方法呢。这些都是你可以总结和提升的地方。当然，在这中间，我们也确实会用到数数，比大小，等算数计算。但是，

你有没有发现，这些计算和发新问题、提出猜想、把问题数学化来对比，真的是微不足道的事情。

7.3 数学解题 WHWM 四问

数学的解题过程也是将来创造性地运用数学和创造数学的过程。因此，解题绝对不是题型和套路，而是理解。理解就是问下面四个问题：是什么（What）、怎么样（How）、为什么（Why）、我觉得怎么样（Meaningful）。具体在数学解题上，就是问：

1. What：算出来什么东西、用来计算的东西是什么？

2. How：要计算的和用来计算的东西有什么关系？

3. Why：这个关系应该表现为什么样的数学结构（运算），为什么是这个结构？

4. 怎么算的？

5. Meaningful：你觉得是不是还有其他的关系或者运算可以用来解决这个问题？

你看，中间怎么算的这个问题，在这里完全就没有放到 WHWM 四条之中。目前来说，我们学习过的关系和运算只有下面两种：

1. 合起来数一数，对应着，加法；

2. 从整体中去掉一部分或者比一比，对应着，减法。

以下是用这些关系然后问 WHWM 四问来求解问题的例子。

例 7.1 (加法的 WHWM 例子). 一年级（3）班图书角原来有图书 20 本，学校又购买了图书 5 本。现在图书角共有多少图书本。要算的东西：总共多少本图书。用来算的东西：原来的图书（20 本），

后来买的图书（5 本）。两者的关系：总的图书就是原来的和增加的“合起来数一数”。合起来数一数用加法，得到

20(本) + 5(本) = 25(本). (7.1)

7.3 数学解题 WHWM 四问 85

答：图书角共有 25 本书。

对于这个简单的问题，没有太多可以反思其他关系和其他角度的。就是合起来数一数的关系，也就是加法。

例 7.2 (减法的 WHWM 例子). 商店里卖上衣 50 元，裤子 30 元, 鞋 19 元。裤子比鞋贵多少钱？问：裤子比鞋子贵多少钱。知道：裤子 30元，鞋 19元。关系：贵多少就是比一比大小，比大小就是从大的里面去掉小的那么多，看看还有多少剩下的，也就是相减的关系，用减法，得到

30(元) ´ 19(元) = 11(元). (7.2)

也可以画出来 30 个圈来代表 30 元钱，再画出来 19 个圈来代表 19 元钱，接着来比较一下这个堆圈的数量的差别。答：裤子比鞋贵 11 元。

对于这个简单的问题，没有太多可以反思其他关系和其他角度的。不过，就算如此，我们还是通过先把比大小转化成整体中去掉一部分，然后才说要用减法，这个思考过程来得到计算方法的。通过这个额外的步骤，我们能够更加清楚地知道事物之间的关系，以及这个关系为什么这样算。

例 7.3 (加法的 WHWM 例子：吃苹果). 妈妈给买了五个苹果，今天早上我们一家一起吃了一个苹果。今天晚上我们一家一起又吃了两个苹果。请问我们今天吃了几个苹果？要算的东西：今天吃的苹果的数量。用来算的东西：今天早上吃的苹果

的数量（1 个），今天晚上吃的苹果的数量（2 个）。两者的关系：今天吃的苹果的数量就是早上和晚上吃的苹果的数量“合起来数一数”。合起来数一数用加法，得到

1(个) + 2(个) = 3(个). (7.3)

答：我们今天吃了 3 个苹果。

对于这个简单的问题，没有太多可以反思其他关系和其他角度的。就是合起来数一数的关系，也就是加法。唯一需要注意的地方就是：早上和晚上都是今天。如果我们问上午，或者说上半天吃了几个，就不是这样的。因此，数学的背后是语言所表达的概念和逻辑。不过，我们做这个题是为了下面的问题做准备。

例 7.4 (加减法混合的 WHWM 例子：吃苹果). 妈妈给买了五个苹果，今天早上我们一家一起吃了一个苹果。今天晚上我们一家一起又吃了两个苹果。请问现在苹果还剩下几个？


要算的东西：今天晚上还剩下的苹果的数量。用来算的东西：总共的苹果的数量（5 个），今天早上吃的苹果的数量（1 个），今天晚上吃的苹果的数量（2 个）。两者的关系：今天晚上还剩下的苹果的数量，等于总的苹果的数量这个整体里面去掉总的被吃掉的苹果的数量（这个数量上一题已经得到）。“整体里面去掉一部分”用减法，得到

5(个) ´ 3(个) = 2(个). (7.4)

答：现在还剩下 2 个苹果。

注意在这里我们用到了上一题的答案——总共吃掉的苹果的数量。我们还可以换一个思路，不用这个已经算出来的量。

例 7.5 (加减法混合的 WHWM 例子：吃苹果). 妈妈给买了五个苹果，今天早上我们一家一起吃了一个苹果。今天晚上我们一家一起又吃了两个苹果。请问现在苹果还剩下几个？

要算的东西：今天晚上还剩下的苹果的数量。用来算的东西：总共的苹果的数量（5 个），今天早上吃的苹果的数量（1 个），今天晚上吃的苹果的数量（2 个）。两者的关系：今天晚上还剩下的苹果的数量，等于总的苹果的数量这个整体里面先减去上午被吃掉的苹果的数量，得到上午吃完之后剩下的苹果的数量；然后，再从这个上午吃完剩下的苹果的数量里面再一次去掉晚上吃的苹果的数量。两次用到“整体里面去掉一部分”，都用减法，得到

5(个) ´ 1(个) = 4(个),

4(个) ´ 2(个) = 2(个).

(7.5a)

(7.5b)

答：现在还剩下 2 个苹果。

注意，这里的思考过程和上一题中的计算方式的思考过程是不一样的：这里是去掉一部分，接着再去掉一部分；那里是先算出来去掉的总量，然后从整体中减去这个去掉的总量。

计算中的每一个步骤都需要明白算出来的是什么，明白为什么这样算。数学不是算术。因此，只会算 5(个)´ 1(个) = 4(个) 但是不明白这个算出来的东西是第一次吃完以后剩下的苹果的数量，是不够的。掌握了这个每一步计算都清楚算的是什么，为什么这样算之后，遇到任何复杂的四则运算应用题，都能够解决：不过就是这样的步骤的组合。

7.3 数学解题 WHWM 四问 87

例 7.6 (小汽车装人). 小汽车每辆能坐 4 人，有 3 辆小汽车，一共能坐多少人? 问：总共能坐多少人。知道：有小车 3 辆，每辆坐 4 人。关系：总共能坐多少人，就是把所有的小车能坐的人数都加起来。于是，

4(人) + 4(人) + 4(人) = 12(人). (7.6)

答：合起来能坐 12 人。

这是一个重复了多次的加法。将来我们会有其他的计算来表示这个重复加法。从基本关系的角度来说，这个问题还是一样的，就是合起来数一数。

例 7.7 (我和妹妹比跳绳，多几个，WHWM). 用 WHWM 分析方法来重新完成这道题：今天下午，我一次连着跳了 5 个。妹妹跳了 2 个。我们俩这次谁跳的更多，多几个啊？

解答：已知（用来算的）我跳了5 个，妹妹跳了2 个，问（要算出来的）比一比谁跳的多，多几个。

关系：比一比就是从一个里面试着去掉另一个，去掉以后有剩余的就是多的那个，多的数量正好就是剩余的数量。从一个里面去掉另一个就是减法。

计算：5Ñ

2 = 3。

答：我跳的更多，多3 个。

在你解决问题的时候，其实就是在结合问题的情景来填上下面的空。

解答：已知（用来算的）我跳了个，妹妹跳了个，问（要算出来的）比一比谁跳的多，多几个。

关系：比一比就是从一个里面试着去掉另一个，去掉以后有剩余的就是多的那个，多的数量正好就是剩余的数量。从一个里面去掉另一个就是法。

计算： = 。

答：我跳的更多，多个。

或者，我们采用更加简单地提示，来启发你更多的思考。就像下面这样。

解答：已知（用来算的），问（要算出来的）。

关系：用来算的和要算出来的关系是。这个关系这样算。


计算：。

答：。

学会了这样来思考，就可以在做最简单最核心的学习和训练的基础上，很容易够得上比较困难的问题的解决，容易看到看起来不同的问题之间的相通的共性，做到事半功倍、高效学习，并且由于理解深刻将来能够看到更大的相似性而具有创造性。


推荐老师们看一看Wolfram的 Ted Talk“Teaching kids real math withcomputers（通过计算机来教孩子们真的数学）”和Meyer的 Ted Talk“Mathclass needs a makeover（数学课需要重新来）”。前者讨论了数学四步。后者讨论了在学习数学的过程中粗糙的问题的重要性。

更一般的教育理念和思考可以看看Robinson的“How to escape educa-tion’s death valley”，“Bring on the learning revolution!”和“Do schoolskill creativity?”，以及Whitehead的《教育的目的》[7]。

7.5 作业

习题 7.1 (路边的绿化树的计算问题). 对于路边的绿化树，你看看你能够来比较顺序吗，能够来做加减法的计算吗？为什么？提示：数的数量和路的长度有关系吗，或者说树的位置和树离某一个起点有关系吗？马路上的路灯呢？

习题 7.2 (书上的页码的计算问题). 对于这本书的页码，你看看你能够来比较顺序吗，能够来做加减法的计算吗？为什么？提示：考虑一下书的页码和内容或者内容难度的关系，书的页码和大概字数的关系。

习题 7.3 (剩下的巧克力豆，WHWM). 用 WHWM 分析方法来重新完成这道题：我和妹妹今天用了两个晚上把一盒子本来就剩下不多的巧克力豆吃完了。如果不是为了让妹妹吃少点巧克力，我自己吃的话，一晚上甚至一小会儿就吃完了。不过那样的话，妹妹就会吃的跟我一样多了。在第一天晚上吃之前，我们倒出来看了看，见图图 7.1(a)。在第二天晚上吃之前，我们又倒出来看了看，见图图 7.1(b)。你能够帮我们数数，昨天晚上，我们合起来

7.5 作业 89

(a) (b)

图 7.1: 来自于同一包的 (a) 第一天晚上和 (b) 第二天晚上看到的巧克力豆。重新画或者拍照片，(a)7 个巧克力豆，(b)3 个巧克力豆的图。

吃了几颗巧克力豆吗？你能帮我想想剩下的巧克力豆怎么分合适吗？

习题 7.4 (还要存多少钱，WHWM). 用 WHWM 分析方法来重新完成这道题：我想存钱买一盒巧克力豆。价格是 4 元。目前，我已经存了 2 元钱。我还需要存多少钱？我每天能够有 1 元的零花钱。我需要存几天呢？

分成两个小问，第一小问解答：已知（用来算的）我已经存了元，我需要存元，问（要算出来的）还需要存多少钱。

关系：还需要多少钱就是计算已经存的钱和需要存的钱的差，也就是法。

计算： = 。

第二小问解答：知道（用来算的）每天存钱元，需要存的钱是元，问（要算出来的）这笔钱需要存多少天。

关系：由于每天存下来元，通过数数，我们也就知道了，需要元就是需要继续存钱天。

计算：数数。将来我们会考虑用加法、减法、乘法和除法来解决这个问题。现在，我们先用数数。

答：我还需要存元钱，需要继续存天。

分成两个小问，第一小问解答：已知（用来算的），问（要算出来的））。


关系：。

计算：。

第二小问解答：已知（用来算的），问（要算出来的））。

关系：。

计算：。

答：。

习题 7.5 (两天吃的苹果的数量，WHWM). 用 WHWM 分析方法来重新完成这道题：今天，我和妈妈出门买苹果。我们家有妹妹、我、妈妈和爸爸。我打算让我们家一人每天吃一个。我想买够两天吃的苹果。我算算需要买几个。请你按照上面的文字和留空的样子自己来编制一个这个问题的练习本，然后完成。

习题 7.6 (明天还能有几个苹果，WHWM). 用 WHWM 分析方法来重新完成这道题：昨天我和妈妈买了 10 个苹果，今天妹妹、我和爸爸妈妈各自吃了 1 个。我想知道明天还有几个苹果？够不够妹妹、我、妈妈和爸爸每人吃一个？请你按照上面的文字和留空的样子自己来编制一个这个问题的练习本，然后完成。

7.6 本章小结

很多时候，我们的学习都是从细节开始学学到细节为止，学了大量的细节，但是看不到大象，找不到大门。我们这本书的特点就是帮你打开一扇什么是数学的大门，又结合具体的数学概念的教学。这本数企图做到把学科大图景和具体知识相结合。这是一项挑战。当然，整本书就是对这样的一个挑战的回答。尤其这一章，是直接面对的这个挑战。这一章的具体内容不多，但是，对于思辨、思考的深度的要求很高。我们主要讨论了关系在数学计算和数学结构中的地位，如何用WHWM分析方法（用来算的是什么，要算出来的是什么，用来算的和要算出来的什么关系，这个关系表现为什么样的运算和结构，为什么，要怎么算，还有没有其他的关系和运算可以用来解决这个问题）解题，如何用数学四步（发现和提出问题、问题的数学化、数学化之后的问题的求解、解的检验和应用）来真的学好理解好用好发现好数学。

我们希望这样的探索能够给老师和学生们，以及后来的教材编写者们

7.6 本章小结 91

一点点启发。顺便，这个数学 WHWM 四问还可以用来学习语文，称为语文分析性

阅读（同样适用于分析性写作）：

1. What，一篇文章主要说了什么？

2. How，这个主要意思是怎么说的？

3. Why，为什么这样说，为什么说这个？

4. Meaningful，读者“我”觉得怎样？

不管学习什么，其实都需要关注关系，多问是什么，怎么回事，为什么，多形成和表达自己的看法。


第八章关系和运算之乘法

“我算起乘法和背起乘法表来可不算快，因为我知道，那根本就不是真的数学是什么。”

– Marcus du Sautoy（杜·索托伊）

在这一章里面，我们讲来学习什么是乘法计算，乘法计算怎么算。按照我们一直使用的系联性思考的思路，我们还是要从你已经学会的加法的含义开始。顺便，加法本身不过就是合起来数一数，也就是联系着数数。而数数本身联系着数的含义，以及从 1 开始不断往上增加 1 来得到所有自然数的数数规则。

乘法口诀不是我们的学习目标。但是，在你已经学会乘法的含义，以乘法的含义为基础的乘法的计算之后，如果你确实想算的快一点，则你也可以去背一下乘法表。我们也会让你来编一个乘法口诀表。

8.1 乘法：同一个数字的多次相加

我们已经学过了加法，知道了把两个数加起来怎么算——通过数数来算，也知道什么时候我们需要把两个数加起来——在需要把两个数背后的东西合起来数一数的时候。我们还知道加法的条件，必须是某种意义上同质的东西的量，必须是在某个共同的单位的度量下的两个量。现在，我们来做一个重复多次的同样数量加法，看看怎么算，看看在什么情境下，会出现这样的计算。

前面我们已经遇到了每辆小车能够装 4 人的话 3 辆小车能够装多少人的问题。这个时候，我们就需要把每辆小车能够装的人加起来，也就是

4（人）+ 4（人）+ 4（人） = 12（人）. (8.1)

93

94 第八章关系和运算之乘法

将来我们还会遇到类似的问题。例如，搭积木或者砌围墙每一层需要一定数量的砖头，例如 20 块，我们要搭起来或者砌起来 5 层，问需要多少砖头。例如，每一个馅饼需要花 5 元钱来购买，问买够一家子 4 口人每人吃 1

个需要多少钱。例如，高铁火车每小时差不多能够行驶 300 公里，4 小时能不能从我住的地方开到我老家。比如说，这段距离大概有 1800 公里。所有的这些问题都可以用连续多次的加法来解决，就像算式 (8.1)一样。

但是，如果这个同一个数的重复多次加法的关系这么普遍到处都能够遇到的话，我们是不是考虑专门给这样的关系和计算一个名字呢？今天，我们就给它一个名字，叫做乘法。我们举例来说明。

例 8.1. 每辆小车能够装 4 人，3 辆小车能够装多少人。

3（辆）ˆ 4（人/辆） fi 4（人）+ 4（人）+ 4（人） = 12（人）. (8.2)

答：能够装 12 人。

更一般地，忽略单位，仅仅看数量关系，我们有

3 ˆ 4 fi 4 + 4 + 4 = 12. (8.3)

在这里我们把 4 + 4 + 4 记做 3 ˆ 4，引入记号 ˆ，读作“乘以”，合起来读作“3 乘以 4”，我们暂时约定这表示的是 3 个 4 加起来的意思1。我们暂时约定，放在前面的 3 叫做被乘数，放在后面的 4 叫做乘数。

小结：乘法就是同一个数重复多次加起来，其中这个数自己写在后面，被称为乘数，而次数约定写在前面，叫做被乘数2。这两个数的中间加入一个乘法符号 ˆ（读做乘以）来表示同一个数重复多次加起来的含义。现在我们用这个新的关系和计算来解决前面提到的那几个问题。

例 8.2 (搭 5 层积木需要砖头). 搭积木每一层需要 20 块积木砖头，我们要搭起来 5 层，问需要多少砖头。这就是同一个数的多次重复加法的关系，所以用乘法。也就是，

5（层）ˆ 20（块/层）

= 20（块）+ 20（块）+ 20（块）+ 20（块）+ 20（块） = 100（块） (8.4)

答：需要 100 块木头。1当然，我们也可以约定“3 乘以 4，3 ˆ 4”表示的是 4 个 3 加起来的意思。我们暂时就按照正文里

面的约定。2这个乘数、被乘数、前后的约定好像看起来不如倒过来来得好。

8.1 乘法：同一个数字的多次相加 95

注意，实际计算，还是通过多次重复加法来完成的。

例 8.3 (一家人吃多少钱的馅饼). 每一个馅饼需要花 5 元钱来购买，问买够一家子 4 口人没人吃一个需要多少钱。

首先一个四口人，每人吃一个，需要多少个馅饼的问题就是同一个数多次加起来，所以用乘法，也就是

4（人）ˆ 1（个/人） = 1（个）+ 1（个）+ 1（个）+ 1（个） = 4（个）. (8.5)

接着每个馅饼需要花 5 元钱来买，总共要买 4 个，要花多少钱的问题还是一个同一个数多次加起来的问题，继续用乘法，也就是

4（个）ˆ 5（元/个） = 5（元）+ 5（元）+ 5（元）+ 5（元） = 20（元）.

(8.6)答：需要 20 元钱。

例 8.4 (高铁用时). 高铁火车每小时差不多能够行驶 300 公里，4 小时能不能从我住的地方开到我老家。这段距离大概有 1800 公里。

我们先看看，每小时开大约 300 公里，开 4 个小时能有多远。我们发现，这个还是同一个数多次加起来，所以用乘法，也就是

4（小时）ˆ 300（公里/小时） =

300（公里）+ 300（公里）+ 300（公里）+ 300（公里） = 1200（公里）

(8.7)接着，我们看看这个距离是不是就差不多到家了，也就是比较两个举例，所以用减法，或者直接比大小，也就是

1200（公里） ă 1800（公里）. (8.8)

也就是四小时用完的时候，车离老家还有点距离。答：看起来 4 小时到不了。

有了基本的含义和计算方法，我们来整理一个计算结果的列表。

例 8.5 (3 以内的乘法口诀表). 用乘法的含义——重复多次的加法——来计算一下所有 3 以内的数两两相乘得到的结果，并且编制一个方形表格。

按照我们前面暂时的约定，我们把第一个数字当做加起来的次数，第二


个数字当做用来加的数字，我们有

1 ˆ 1 = 1 + 0 = 1,

1 ˆ 2 = 2 + 0 = 2,

1 ˆ 3 = 3 + 0 = 3,

2 ˆ 1 = 1 + 1 = 2,

2 ˆ 2 = 2 + 2 = 4,

2 ˆ 3 = 3 + 3 = 6,

3 ˆ 1 = 1 + 1 + 1 = 3,

3 ˆ 2 = 2 + 2 + 2 = 6,

3 ˆ 3 = 3 + 3 + 3 = 9.

(8.9a)

(8.9b)

(8.9c)

(8.9d)

(8.9e)

(8.9f)

(8.9g)

(8.9h)

(8.9i)

所以，我们得到表格8.1。

1 ˆ 1 = 1 1 ˆ 2 = 2 1 ˆ 3 = 3

2 ˆ 1 = 2 2 ˆ 2 = 4 2 ˆ 3 = 6

3 ˆ 1 = 3 3 ˆ 2 = 6 3 ˆ 3 = 9

表 8.1: 把 3 以内的数两两相乘得到的结果排成一个方形，成为一张可以查的表格。

我们注意到这张表格是对称的，也就是如果我们沿着对角线折起来的话，相对应的数字是相同的。于是，我们实际上可以把这个表格简化，得到表格8.2。

1 ˆ 1 = 1

2 ˆ 1 = 2 2 ˆ 2 = 4

3 ˆ 1 = 3 3 ˆ 2 = 6 3 ˆ 3 = 9

表 8.2: 注意到对称性，乘法表格可以简化。

正是由于这个对称性，以后，我们不再区分 2 ˆ 3 的含义到底是 2 个 3

连续加起来，还是是 3 个 2 连续加起来。不过，在应用乘法来解决具体问题的过程中，我们还是要明确到底是谁在被连续加起来多少次。

8.2 平方和开方 97

再一次强调，乘法表仅仅是一个为了大家熟悉一下乘法的计算。现在请集中关注乘法的意义和在每一个具体问题中，为什么能够用乘法。以后有需要乘法口诀可以背。但是，不是现在的学习目标。

8.2 平方和开方

当两个相乘的数相同的时候，我们给这个算式一个专门的名字，“平方”，记做，例如

1 = 1 ˆ 1 fi 12,

4 = 2 ˆ 2 fi 22,

9 = 3 ˆ 3 fi 32,

16 = 4 ˆ 4 fi 42,

25 = 5 ˆ 5 fi 52.

(8.10a)

(8.10b)

(8.10c)

(8.10d)

(8.10e)符号 fi 就读作“记做”。反过来，我们可以问，什么数字和它自己乘起来，也就是什么数字的平

方等于 4。这个问题的答案，这里是 2，我们也给一个专门的名字，叫做 4

的开方，记做2?4 = 2.

或者省略 2?4 肩头的 2，直接记做

?4 = 2.

这时候，我们称 2 为 4 的平方根。实际上，我们还可以定义立方和开立方，例如

8 = 2 ˆ 2 ˆ 2 fi 23,

3?8 = 2.

这时候，我们称 2 为 8 的立方根。在这里平方、开方、平方根、立方、开立方、立方根是纯粹当做乘法的

额外知识介绍的。其实，这是为了将来证明勾股定理的时候铺垫的。


推荐老师和学生们看看Du Sautoy的视频 The Story of Maths。不可错过的关于数学是什么的有趣的深入的阐述。


8.4 作业

习题 8.1 (做小蛋糕的糖). 我们家里还有大约 500 克的糖。做一个小蛋糕需要 60 克糖。我们打算给我家每人做一个小蛋糕。糖够吗？我家里有妹妹、我、爸爸、妈妈。

习题 8.2 (买啤酒的钱够吗). 我爸爸带了 20 元钱去买啤酒。打算买 3 瓶啤酒。每一瓶啤酒 4 元钱。他带的钱够吗？

习题 8.3 (鸡蛋的蛋白质). 自己去查出来一个鸡蛋的大概的蛋白质含量以及重量。看看 4 个鸡蛋大约多重，蛋白质含量大约是多少。

习题 8.4 (牛奶的蛋白质). 自己去查出来 100 克牛奶的大概的蛋白质含量。看看 1000 克牛奶的蛋白质含量大约是多少。再去查一查你家里买的鸡蛋的价钱（通常是每千克多少元钱），和牛奶的价钱，看看，如果单纯从蛋白质的多少的角度来看，哪个更划算。这个比较哪个更划算的问题，可以想办法用乘法来解决。如果不能，等下一章，学习了除法可以再一次来解决。

习题 8.5 (5 以内的乘法口诀表). 用乘法的含义——重复多次的加法——来计算一下所有 5 以内的数两两相乘得到的结果，并且编制一个方形表格。

8.5 本章小结

在这一章里，我们学习了乘法的含义——同一个数的多次重复加法，还学习了乘法的计算——通过加法来计算，而加法则通过数一数来计算。注意，我们总是从引出这个计算的实际问题的情景，或者逻辑上的联系，来学习新的概念和计算。当然，一旦学习了乘法，以后就可以直接把乘法关系——也就是同一个数的多次重复加法——直接当做一种关系来表达和使用了，而没有必要每次都回到加法。这就是新的数学结构的威力：可能对具体问题的情景提出了更高的要求，但是，在适合使用的问题上，可以更快速地解决问题，可以更简便地描述关系。从数到比大小，再到加减法，我们增加了要求（数量对应的事物是同质的，数量在同样的单位的度量出来的，这个度量出来的结果还有某种等间隔的性质），得到的好处是本来只能把数字当做记号，现在可以排序可以比较，可以算总和也就是加法。从加法到乘法，我们增加的要求是，必须是同一个数量的多次相加，得到的好处是，以后遇到这样的问题，可以直接为这个问题写下来乘法的表达式，而不用回答连加

8.5 本章小结 99

算式了。数学就是为了我们的思考和我们描述世界提供结构（概念）、思维方式、

分析方法，提供一个武器库。


第九章关系和运算之除法

“数学的能量经常就在于把一个东西变成另一个东西，例如把几何变成语言。”

– Marcus du Sautoy（杜·索托伊）

这一章我们来学习除法和含义和除法的计算。在学习除法的时候，我们要注意除法和乘法的关系，除法和减法的关系。

9.1 多次重复相减问题和平均分问题

我们前面已经从减法引出过除法的含义：一个群体中多次重复去掉一部分，可以去多少次，整个群体才会都没有或者不够再一次去掉那个部分。这样的生活中具体问题有很多。比如说，总共买了 6 个馅饼，家里有 4 口人，每一个人需要吃 2 个馅饼，看一看是不是够吃。比如说，总共带了 20

元钱，想去买几个 4 元钱一个冰棍，可以买几个。具体操作上，我们可以这样做：把整体，也就是 6 个馅饼放在这里，然

后，每一个人上去拿 2 个，看一看够多少个人拿，接着把这个人数和家里的总人数比一比。这个计算过程就是，

6 ´ 2 = 4, 4 ´ 2 = 2, 2 ´ 2 = 0. (9.1)

没了。也就是仅仅够三个人吃，不够四个人吃。我们现在把这个重复减去同一个数得到能够减几次一个新的记号，˜

6 ˜ 2 = 3. (9.2)

用这个记号，我们就可以来表示买冰棍的问题了

20 ˜ 4 (9.3)

101

102 第九章关系和运算之除法

那如何来算出这个问题的答案呢，还是通过重复相减，也就是

20 ´ 4 = 16, 16 ´ 4 = 12, 12 ´ 4 = 8, 8 ´ 4 = 4, 4 ´ 4 = 0. (9.4)

需要减五次才能变成零，于是

20 ˜ 4 = 5. (9.5)

如果遇到还有剩余但是，又不够再一次相减了，我们把剩余的部分称作余数。顺便，放在除号前面用来表示整体的那个数称为被除数，除号后面每次要去掉的那个部分的数称为除数。例如，

21 ˜ 4 = 5...1 (9.6)

的含义是把一个数量是 21 的整体，多次减去数量为 4 的部分，可以去掉 5

次，剩下 1，读作“21 除以 4 的商是 5 余数是 1”。其实，除了表示从整体中不断地去掉一部分可以去几次的含义，除法还

可以表示另一种含义，平均分。我们举个例子。总共 6 个馅饼，总共 3 个人分，每个人可以分几个。这就是平均分问题。我们现在来把平均分问题转化成从整体中不断地去掉一部分可以去几次的问题。我们让每一个人先上去拿走 1 个馅饼。这样如果我们要保证每个人都

有一个的话，总共需要 1 + 1 + 1 = 3 ˆ 1 = 3 个。这表示，如果我们一口气从所有的馅饼中取出来 3 个，则我们可以保证每个人都拿到一个。现在，我们来看，所有的 6 个馅饼，能够分成几次 3 个。这也就是，

6 ˜ 3 = 2. (9.7)

这说明，每个人能够拿到 2 个馅饼。我们再来看 4个人平均分 6个馅饼的情形。同样，我们也把平均分的问

题先转化成重复相减的问题：让每个人上去先拿一个，则需要 1+1+1+1 =

4 ˆ 1 = 4 个。于是，要保证每一个人都有一个的话，我们要拿出来 4 个馅饼，我们来看看这样的方式能够操作多少次，也就是，

6 ˜ 4 = 1...2. (9.8)

拿一次就不够第二次拿了。这说明，每个人能够拿到 1 个馅饼。于是，我们发现，平均分的问题可以转化成重复多次相减的问题。以后，

我们就把从整体里面重复去掉一部分这样的关系，叫做除法的关系。而且，我们也知道了，实际上平均分的问题，背后也是除法的关系。

9.1 多次重复相减问题和平均分问题 103

(a) (b)

(c) (d)

图 9.1: (a) 一堆糖和一个空碗，(b)10 课糖和有一颗糖的碗，(b)5 课糖和有两颗糖的碗，(d)0 课糖和有三颗糖的碗。重新画或者拍。

例 9.1 (平均分糖). 有 15 课水果糖，需要放在 5 个碗里，等到 5 个小朋友来了每人都拿走一个碗。当然，我们可以不平均有多有少。但是，为了公平一点，每个小朋友都可以接受，我们最好还是平均分。请你来展示怎么分。

既然是平均分问题，我们可以直接用除法，于是，

15 ˜ 5 = 3, (9.9)

也就是每个碗里放上 3 颗糖就对了。

或者，我们这样来分，先给每一个碗里面放一颗糖，得到图 9.1(a) 的情况。接着，我们还有糖，就继续放，得到图 9.1(a) 的情况。我们不断地这样做下去，就会得到图 9.1(c) 的情况。这时候，我们来数一数每个碗里面有多少糖，发现是 3 颗。这个计算用算式来表达就是，

15 ´ 5 = 10, 10 ´ 5 = 5, 5 ´ 5 = 0. (9.10)


9.2 用乘法来计算除法

除法除了从重复多次的减法来看，还可以在逻辑上表达为乘法运算的逆问题。例如，我们知道 2ˆ3 = 6，我们可以问 2乘上几等于 6啊。我们知道这个问题的答案是 3，通过乘法试探出来的。我们从 0 开始凑，2ˆ 0 = 0

不对，2 ˆ 1 = 2 不对，2 ˆ 2 = 4 不对，2 ˆ 3 = 6 对上了。如果我们足够聪明也可以直接尝试从 2ˆ 2 或者 2ˆ 4 这些结果上离 6 比较近的情况开始猜。这就是用乘法来计算除法的过程，猜一个数试试，如果乘起来的数太大了超过了被除数，则往小了猜，如果乘起来的数太小了，则往大了猜。

有了乘除法的这个关系，我们可以来“算”——其实是猜——几个除法看看。例如我们想算

8 ˜ 2, (9.11)

可以用乘法来猜一猜，2 乘以多少才会跟 8 差不多，最多小一点点。我们这样来猜，

2 ˆ 0 = 0, (9.12)

0 比 8 小很多（8 ´ 0 = 8 ą 2）；接着猜

2 ˆ 1 = 2, (9.13)

2 比 8 小很多（8 ´ 2 = 6 ą 2）；接着猜

2 ˆ 2 = 4, (9.14)

4 比 8 还是小很多（8 ´ 4 = 4 ą 2）；接着猜

2 ˆ 3 = 6, (9.15)

6 比 8 小不太多了（8 ´ 6 = 2）；接着猜

2 ˆ 4 = 8. (9.16)

正好（8 ´ 8 = 0）。

我们来做一个例子试试。

例 9.2 (用乘法来猜出来除法的答案). 我们用乘法来猜出来出发 15 ˜ 3 的答案试试。

9.3 推荐学习材料 105

我们把上面整个猜的过程，合起来写在下面，

3 ˆ 0 = 0(15 ´ 0 = 15 ą 3),

3 ˆ 1 = 3(15 ´ 3 = 12 ą 3),

3 ˆ 2 = 6(15 ´ 6 = 9 ą 3),

3 ˆ 3 = 9(15 ´ 9 = 6 ą 3),

3 ˆ 4 = 12(15 ´ 12 = 3),

3 ˆ 5 = 15(15 ´ 15 = 0).

(9.17a)

(9.17b)

(9.17c)

(9.17d)

(9.17e)

(9.17f)

所以，15 ˜ 3 = 5。

例 9.3 (用乘法来猜出来除法的答案). 我们用乘法来猜出来出发 18 ˜ 4 的答案试试。

我们把上面整个猜的过程，合起来写在下面，

4 ˆ 0 = 0(18 ´ 0 = 18 ą 4),

4 ˆ 1 = 4(18 ´ 4 = 14 ą 4),

4 ˆ 2 = 8(18 ´ 8 = 10 ą 4),

4 ˆ 3 = 12(18 ´ 12 = 6 ą 4),

4 ˆ 4 = 16(18 ´ 16 = 2 ă 4).

(9.18a)

(9.18b)

(9.18c)

(9.18d)

(9.18e)

所以，18 ˜ 4 = 4...2。


推荐阅读蔡天新的《数学简史》[8]，值得一读的书。

9.4 作业

习题 9.1 (用减法和乘法计算除法). 把 10 以内的任何两个数相除的结果，分别用重复相减和乘法计算一下。

习题 9.2 (用乘法计算除法). 把 25 以内的任何两个数相除并且没有余数的结果，用乘法计算一下。想一想，这里为什么不再要求你用重复减法来计算了。


习题 9.3 (平均分). 20 元钱平均分给两个人，每个人多少钱？平均分给 5 个人呢？分别用重复减法和除法来求解一下这两个问题。

习题 9.4 (排队问题). 班里有 40 个学生。如果要排成 4 个队伍，每个队伍多少人？如果要排成每个对 8 个人，能拍几个队伍？算完之后，思考一下这两个问题分别对应着除法的哪一个含义。

习题 9.5 (用乘法来猜出来除法的答案). 我们用乘法来猜出来出发 20 ˜ 4 的答案试试。

习题 9.6 (用乘法来猜出来除法的答案). 我们用乘法来猜出来出发 22 ˜ 4 的答案试试。

习题 9.7 (比较鸡蛋和牛奶). 自己去查出来一个鸡蛋的大概的蛋白质含量以及重量。看看 1000 克的鸡蛋大约多少蛋白质。自己去查出来 100 克牛奶的大概的蛋白质含量。看看 1000 克牛奶的蛋白质含量大约是多少。再去查一查你家里买的鸡蛋的价钱（通常是每千克多少元钱），和牛奶的价钱，看看，如果单纯从蛋白质的多少的角度来看，哪个更划算。

9.5 本章小结

这一章的知识内容就是除法的含义和计算。但是，我们在讨论这两个问题的过程中，特别注意了除法和减法的联系，除法和乘法的联系。这个联系不仅仅在计算上，还在含义上。所有数学知识的学习，都需要首先解决好概念和含义的问题，解决好和其他知识的联系的问题，然后才是怎么算。

第十章进制、数位、四则运算的竖式运算和计算器

“做数学的全部艺术，就在于找到一个能够一般化的特例。”

– David Hilbert（希尔伯特）

在这一章里面，我们来正式地学习一下数位的概念，并把数位的概念用来帮助大家做竖式计算。同时，我们也会教大家如何使用最简单的计算器来做加减乘除的计算。注意，在使用计算器之前，我们要保证搞懂了计算的过程，知道不用计算器用手是怎么算的。将来，我们还会学习按照这个计算的过程来编写计算机程序，也就是针对自己面对的具体的计算自己来写一个计算器。

同时，为了让数位的概念有一个更明确的数学表达式，以及更好地体会数学从具体到一般从一般到具体的这个联系，我们稍微介绍了一下用字母表示数。将来我们会更加详细和正式地介绍用字母表示数和算式，也就是代数。

10.1 代数初步：用字母表示数

我们知道如何计算具体的算式，例如 2+3，4+7，甚至 12+13，24+37。我们也懂得，无论是计算几加上几，其计算的道理是一样的，也就是“合起来数一数”。也就是说，我们学会的加法的含义和计算不依赖于参与实际加法的那些数字。任何一个用那些数字表达的加法算式，仅仅是加法的一个例子。为了更好滴表示这个一般的概念、一般的含义、一般的方法和具体的例子之间的联系，我们用字母来代替数字。

比如说，加法就是把两个数字 a 和 b 加起来，写做 a + b。这一小节，

107

108 第十章进制、数位、四则运算的竖式运算和计算器

我们唯一的任务就是介绍给大家，以后，可以用字母来代表一个一般的，可以实际上用任何一个具体的数来代入的，数字。

所以，减法呢，可以记做 a ´ b，具体计算上，就是从数量为 a 这么多的群体里面去掉 b 这么多的量，然后看看剩下来的量。也可以用减法是加法的逆运算的道理，来考虑这个问题：b 加上多少能够得到 a。

所以，乘法呢，可以计算 a ˆ b。具体计算上就是 a 个 b 连着加起来，或者 b 个 a 连着加起来。

所以，除法呢，可以计算 a ˜ b。具体计算上就是 a 中连续去掉 b，看看能够去掉多少次。或者运用除法是乘法的逆运算，来考虑什么数乘以 b会得到 a（有余数的时候，就是什么数乘以 b 最接近有小于 a）。

例 10.1 (一个数乘以 10 的代数表达式). 我们知道 1 ˆ 10，2 ˆ 10，3 ˆ 10，7 ˆ 10，12 ˆ 10 等怎么算。这几个算式有什么共性呢？这个共性如何表达？

它们的共性就是一个数乘以 10，表达为 a ˆ 10。

例 10.2 (数列的代数表达式 ˚). 我们来猜一猜下面这一群数后面的数是什么：2, 4, 6, 8, 10, 12,。能不能用字母来表示一下这个猜出来的关系。

我们猜这群数就是每次在后面的数字上加上 2，也就是 an+1 = an + 2，表示，后面的第 (n + 1) 个数的值 an+1 是前面的第 n 个数的值 an 的基础上加上 2。

例 10.3 (数列的代数表达式 ˚). 我们来猜一猜下面这一群数后面的数是什么：2, 4, 8, 16, 32,。能不能用字母来表示一下这个猜出来的关系。

我们猜这群数就是每次在后面的数字上加上 2，也就是 an+1 = an ˆ 2，表示，后面的第 (n + 1) 个数的值 an+1 是前面的第 n 个数的值 an 的基础上乘上 2。

10.2 进制和数位

前面我们已经知道了财主家的孩子学写字的故事，发现，给每一个数字编出来一个记号是效率很低的办法，而采用一定数量的固定的记号，然后，对于超过这些个记号中的最大值采用在前面加一位的方法是效率更高的办法。

前面已经介绍过的十进制就是这样的一个例子。十进制把数字符号0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 当做最基本的记号，对于大于 9 的数字，就在左边

10.3 多位数的字母表示 ˚ 109

增加一位来表示，同时原来的最低位上就从头开始，也就是 10，然后是11, 12, 13, ¨ ¨ ¨。现在，我们说，如果有更大的数字怎么办？例如比最大的两位数 99 还要大 1。同样的道理，在更左边再继续加上一位，然后所有右边的数字从头开始，也就是 100, 101, 102, ¨ ¨ ¨。我们给这些新增加的在左边的数位一系列的名称，从右到左分别是：个位、十位、百位。将来更大的数字还会用到千位、万位甚至更大。合起来，记做“个十百千万”。

例 10.4 (数位的认识). 368 的个位十位百位上的数字分别是多少？从右边开始，个位数是 8，十位数是 6，百位数是 3。

例 10.5 (最大的三位数). 最大的三位数是多少？最大的三位数的意思就是个位数、十位数、百位数都需要最大，于是大

家都是 9，也就是 999。

除了十进制常用的进制还有 2 进制、8 进制、16 进制、60 进制等。2 进制就是只有 0, 1 两个记号，然后比 1 还要大的数就要记做一个两位数——10，仍然是在左边增加一位，然后右边重新开始。接着，3 就得记做 11。如图 10.1 所示，用你的每一根手指的张开和握紧分别代表 1 和 0，你可以来做 2 进制的数数，并且能够用两只手数到比较大的数字。

其他进制的数字记号等到用到的时候再介绍。

10.3 多位数的字母表示 ˚

有了数位的概念和数字的字母表示之后，我们可以把两者结合起来，建立每一个数位上的数字和整体多位数之间的关系。例如

例 10.6 (数位和数字的关系). 368 的含义是 3 百 6 十 8，也就是 3 个 100、6 个 10 和 8 个 1 加起来，也就是

368 = 3 ˆ 100 + 6 ˆ 10 + 8 ˆ 1� (10.1)

实际上，任何一个数字 abc 的含义都是，

abc = a ˆ 100 + b ˆ 10 + c ˆ 1� (10.2)

在第十一章我们将介绍一个用这个多位数的字母表示来简化整除问题的计算。


(a) (b)

(c) (d)

图 10.1: 用你的每一根手指的张开和握紧分别代表 1 和 0，你可以来做 2 进制的数数。一只手可以数到 31。重新画或者拍照。

10.4 数位用于竖式计算

个位数的加减法竖式计算我们已经学过。现在我们来看多位数的加减法的竖式计算。

首先，把我们把两个多位数的每一位对齐。这样，我们猜，大概，就可以把每一位数字都按照个位数的加减法来计算每一个对好的数位上的数字了。实际计算，要比这个稍微复杂一点点。在加法里面，如果出现上下两个对齐的数位上的数的和大于 9，则要把这个和的个位数留在本位，这个和的十位数进位到更高一位来当做那个数位上的数字。在减法里面，如果出现上下两个对齐的数位上的上面的数字比下面的数字小，则不够减，需要从更高位上借来一个 10，和当前的上面的数字合起来成为十几，再减去下面的数

10.4 数位用于竖式计算 111

字。同时，更高位上的被减数（上面的那个）的数字要减少 1 以后，再来和同一个数位上的下面的数字相减。当然，如果再次出现不够减的情况，还需要再一次向更更高位的数字上来借位。

例 10.7 (多位数加减竖式计算的例子). 下面是几个多位数加减竖式计算的例子，竖式需要重新排版

234

+ 121

355

(10.3)

234

- 121

113

(10.4)

254

+ 1217

387

(10.5)

254

- 127

127

(10.6)

384

+ 11217

511

(10.7)

324

- 127

197

(10.8)

这样我们就把多位数的加减计算简化成了个位数的加减计算。

下面我们用这个多位数的加减法来做多位数的乘除法的竖式计算。

例 10.8 (多位数乘除竖式计算的例子). 下面是几个多位数乘除竖式计算的例子，竖式需要重新排版

底下的数是一个个位数的时候比较简单。首先是对齐上下两个数的个位数。然后，用各位数乘上上面的数的每一位数字，先从个位数开始相乘一位一位算过去。于是，所有的运算就成了个位数相乘。在计算完了一个低位


上的数字的乘法之后，开始算高位的时候，要注意进位：低位乘法的结果如果超过了那一位上的 9 则需要把这个算出来的数字的十位加在高一位的数成出来的结果上。例如，

24

ˆ 3

72

(10.9)

这里就有一个来自于个位数上的乘法 4 ˆ 3 = 12 的十位数进入了十位数上的乘法 2 ˆ 3 = 6 的结果上，所以才得到 7。

底下是多位数的时候，我们就把上面的底下是个位数的计算过程，拿来用。首先还是对齐个位数。然后先用底下的数的个位数来乘上上面的数，注意乘法本身的进位。接着用底下的数的十位数再来乘上上面的数，注意乘法本身的进位，还要在最后的结果上添上一个 0 表示是用十位而不是各位计算出来的。

32

ˆ 13

96

+ 320

416

(10.10)

有的时候为了简化符号，加号和十位数乘上上面的数字得到的结果后面的10 可以去掉不写。于是，就成了

3 2

1 3

9 6

3 2

4 1 6

ˆ

(10.11)


2

77)1541414140

(10.12)

12

12)15412342410

(10.13)

一方面，我们要知道这个加减乘除竖式计算的过程，但是另一方面，更加重要的是，明白实际上多位数的四则运算实际上都是通过个位数的四则运算来算的，以及明白为什么能这样算。当然，最简单的计算方式是，在懂得上面的计算过程和道理之后，用计

算器来做多位数的四则运算。用最简单的计算器来算加减乘除特别简单，你只要按照算式一步一步输入到计算器：先输入第一个数字，然后输入运算符，接着输入第二个数字，然后按”=” 号就会得到结果。计算器上通常还有其他更加复杂的功能，如图 10.2，我们暂时先不管它。


推荐儿童读物 Clyde Watson的《Binary Numbers（二进制数）》[9]，容易读，透彻。

10.6 作业

习题 10.1 (一个数乘以 2 的代数表达式). 试着用带字母的算式来表达以下算式的共性：1 ˆ 2，3 ˆ 2，5 ˆ 2，7 ˆ 2，12 ˆ 2。

习题 10.2 (数列的代数表达式 ˚). 我们来猜一猜下面这一群数后面的数是什么：1, 3, 5, 7, 9, 11,。能不能用字母来表示一下这个猜出来的关系。


图 10.2: 最简单的计算器上只有数字键、运算符号键，和等于号。重新拍。

习题 10.3 (数列的代数表达式 ˚). 我们来猜一猜下面这一群数后面的数是什么：1, 3, 9, 27, 81,。能不能用字母来表示一下这个猜出来的关系。

习题 10.4 (最小的三位数). 最小的三位数是多少？

习题 10.5 (最小的三位数和最大的两位数). 最小的三位数和最大的两位数相差多少？

习题 10.6 (2 进制多位数的字母表示 ˚). 参考 10 进制的多位数的字母表示，你来试试构造一下 2 进制多位数的字母表示。

10.7 本章小结

在本章中，我们依靠数位的概念，把多位数的四则运算变成了个位数的四则运算。也就是说，只要我们前面的个位数的四则运算学会了，那么，多位数的四则运算也就学会了。

同时，我们还介绍了用字母表示数字，以及用这个字母来表示一个多位数。通过一些例子，我们还发现，用字母来表示数和算式，很多时候，能够

10.7 本章小结 115

更好地体现一类算式的共同特征，也就是帮我们注意到和表达好从特殊到一般的联系。


第十一章整除、因数和倍数

“数学是科学的女王，数论是数学的女王。”

– Carl Gauss（高斯）

在这一章中，我们集中来介绍一下自然数、整数、整除、因数、倍数、质数、合数、偶数、奇数的概念。其中整除的概念尤其重要，是其他几个概念的基础。这一章主要以知识的学习为主。我们也会举几个有趣的例子来体验一下这些知识大概还可以如何巧妙地用来解决问题。不过这部分内容的真正用处和真正美妙的地方，只有等到后续的学习才能享体会到。

11.1 自然数和整数

以表示一个东西的数量的数 1 为基础1，通过不断地增加 1，我们有了自然数的概念，也就是 t1, 2, 3, 4, ¨ ¨ ¨ u。我们还说过，在很远的将来，咱们可以把这个当做事先就存在的 1 也建立在更加可靠的基础上。

有了自然数，我们就可以定义整数2了。

定义 11.1 (整数). 自然数加上零，合起来，称为整数。

所以，零是一个整数，任何一个自然数也是一个整数。

11.2 整除、偶数和奇数、因数和倍数、质数和合数

定义 11.2 (整除). 被除数、除数和商都是整数，并且余数为零的时候，我们称被除数可以被除数整除。

1其实也可以建立在 0 的基础上，所以，有的数学书把 0 也当成自然数。2在引入负数之前，我们把整数缩小成非负整数的概念。

117

118 第十一章整除、因数和倍数

例如，2 ˜ 2 = 1，所以，2 能够被 2 整除。3 ˜ 2 = 1...1，所以，3 不能够被 2 整除。例如，4 ˜ 2 = 2，所以，4 能够被 2 整除。5 ˜ 3 = 1...2，所以，5 不能够被 3 整除。

定义 11.3 (因数和倍数). 如果一个数能够被另一个数整除，则除数被称为被除数的因素，被除数则被称为除数的倍数。

例如，上面的例子中，2 是 2 倍数，1 和 2 都是 2 的因数。3 不是 2 的倍数，2 也不是 3 的因数。4 是 2 倍数，2 是 4 的因数。5 不是 3 倍数，3

也不是 5 的因数。

现在结合整除的概念和上一章用字母来表示多位数的方法，来证明一个有意思的结论。

定理 11.1: 能被 3 整除的数

证明如果一个三位数能够被 3整除，则，这个数的每一位上的数字加起来的和，也能够被 3 整除。

我们可以先来尝试一下。例如 27 能够被 3 整除，同时 2 + 7 = 9 也能够被 3 整除。例如 81 能够被 3 整除，同时 8 + 1 = 9 也能够被 3 整除。证明如下：

证明 11.1. 记这个三位数为 abc，我们有 abc = a ˆ 100+ b ˆ 10+ c ˆ 1。现在我们把这个数拿来，用 3 除一除试试。

(a ˆ 100 + b ˆ 10 + c ˆ 1) ˜ 3 = a ˆ 100 ˜ 3 + b ˆ 10 ˜ 3 + c ˆ 1 ˜ 3,

= a ˆ (33...1) + b ˆ (3...1) + c ˆ (0...1)

(11.1)于是，计算被 3 除的余数的时候——也就是需要扣除所有的已经知道是 3

倍数的数——所有的剩下的数的和就是 a + b + c。那么，如果要求 abc 能够被 3 整除就是没有余数，于是，就是要求剩下的数的和就是 a + b + c 也能够被 3 整除。

在这里，我们用到了一个数和另一个数先加起来再整体除以第三个数，等于先把每一个数和第三个数除出来，再计算商的和。将来我们会知道这叫做除法的分配率。这个结论将来我们会严格的证明。现在，也可以在逻辑上讲明白：除法就是不断地做同一个数（除数）的减法。两个数先合起来，再拿来不断地减去那个除数，肯定和先把这两个数的每一个拿来不断地减去

11.2 整除、偶数和奇数、因数和倍数、质数和合数 119

除数，将来再合起来是一样的。或者更加直观地，把两大堆东西拿来分成大小为除数的小堆。显然，可以先把两大堆合起来再分成小堆，也可以先把每一个大堆各自分成大小为除数的小堆，然后把剩下的再合起来，再看看能不能分成小堆。

那为什么要学习这个的定理呢？第一是练习一下整除的概念和运用一下多位数的字母表示。第二是有了这个定理，可以把一个多位数能够被 3整除的问题，转化成一个每一位数的和——这个和旺旺是一个小很多的数——能否被 3 整除的问题。后者要比前者计算上简单很多。

定义 11.4 (偶数和奇数). 一个能被 2 整除的数称为偶数，不能被 2 整除的数称为奇数。

例如，0, 2, 4, 6, 8是偶数，1, 3, 5, 7是奇数。对于 0，我们有 0˜ 2 = 0能够整除。将来我们还会用到一个偶数和奇数的下面的表达式，2ˆk，2ˆk+1。其中 k 是一个整数3。你可以验证一下，无论你放进去什么样的整数 k，2ˆ k

永远是偶数，2 ˆ k + 1 永远是奇数。

实际上，我们还可以定义能否被 3 或者其他任意数整除的数，从而对数做一个分类。例如，按照被 3 除了以后余数分别是 0, 1, 2 的数来分类。很多时候，一个分类就能解决很多问题。

奇偶性，按照 3 的余数分类的应用。需要补充。

例 11.1 (奇偶性用于检验计算结果). 快速地看一看这个计算是否正确 12 ˆ

15 + 18 = 199。

当然，我们可以把后面的计算算出来，然后再来看答案是不是能够对上。不过这个就比较慢了。我们来看算式和答案的奇偶性。199 是一个奇数。12是一个偶数，所以 12ˆ15也是一个偶数。18也是一个偶数。两个偶数加起来肯定是一个偶数。所以，算式是一个偶数。给出来的答案是一个奇数。肯定不对。

我们还可以顺便来证明一下上面用到的结果，偶数和任何整数的乘积得到的还是偶数，以及偶数之和还是偶数。

定理 11.2: 偶数和其他数乘积还是偶数

一个偶数 a 和另一个整数 b 的乘积得到的还是偶数。

证明 11.2. 按照偶数 a 能够被 2 整除，也就是 a ˜ 2 是一个整数，记这个整

3再一次注意，这里的整数都是指非负整数。


数为 n，则我们发现，a = 2 ˆ n。于是 a ˆ b = 2 ˆ n ˆ b。其中有一个因素是 2，a ˆ b 所以是偶数。

在这里，我们用了字母来代表数字。在这个阶段，我们只需要把字母看作是代表某个数字的就可以了。也就是说，这些字母，不过就是某个整数。你还可以尝试代入几个整数试试。将来，我们还会发现用字母带代表数字的更大的好处，更深刻的含义。

在这个证明的过程中，其实我们还利用了一个结论：因数有 2的数就是偶数。当然，这一条就很容易证明了，只要一个数里面有一个因数是 2，那么，这个数就能够被 2 整除，所以也就是偶数。

不过，这个补充的思考是有必要的，数学的论证要把每一步推理的根据都找出来，明确写出来。

定义 11.5 (质数和合数). 如果一个数只有它自己和 1 两个因数，则称这个数为质数。如果还有其他因数，则称这个数为合数。

例如，上面的例子中，1 和 2 是 2 的因数，并且 2 只有这两个因素。因此，2 是质数。3 只有 1 和 3 两个因数，所以 3 也是质数。4 有 1，2 和 4

三个因数，所以 4 是合数。

例 11.2 (10 以内的所有质数). 找出来 10 以内的所有质数。

0 比较特殊，不是质数也不是合数。为什么？0 ˜ a = 0 对于任何不是零的数 a 都成立。因此，0 能够被任何不是零的数 a 整除，任何数 a 都是0 的因数。可是，0 它自己不是 0 的因数，因为 0 ˜ 0 是没有明确的定义的。将来我们真实会知道 0˜ 0 可以得到任何的数，甚至都不一定是整数。于是，0 尽管有很多因数，但是由于不包含它自己，不满足质数和合数的任何一个定义。

1 也比较特殊，只有 1 一个因数，没有第二个因数。质数和合数的判断标准，至少需要两个或者两个以上的因数。所以，1 不是质数也不是合数。将来我们还会知道 0 和 1 要当做特殊例外的处理的更深刻的原因。

2 = 1ˆ 2 只有 1 和它自己，符合质数的定义。3 = 1ˆ 3 只有 1 和它自己，符合质数的定义。4 = 1ˆ4 = 2ˆ2，有 1、2和它自己，不符合质数的定义，是合数。5 = 1ˆ5只有 1和它自己，符合质数的定义。6 = 1ˆ6 = 2ˆ3，有 1、2、3 和它自己，不符合质数的定义，是合数。7 = 1 ˆ 7 只有 1 和它自己，符合质数的定义。8 = 1 ˆ 8 = 2 ˆ 4，有 1、2、4 和它自己，不符合质数的定义，是合数。9 = 1ˆ 9 = 3ˆ 3，有 1、3 和它自己，不符合质数的

11.3 公约数、公倍数 121

定义，是合数。

定义 11.6 (质因数). 一个数的所有的因数里面，那些属于质数的部分，称为这个数的质因数。

由质数的定义，我们知道，质因数是没有除了自身和 1 之外的其他因数的。因此，把一个数分解成质因数的意思就是这个数已经被分解到底了，不能再分解成其他整数的乘积了。

定义 11.7 (质因分解). 一个合数的因子分解就是把这个合数的所有的质因数都找出来，并且把这个合数写成这些质因数的乘积。

例 11.3 (10 以内的所有合数的因子分解). 对 10 以内的所有合数，做因子分解。

4 = 2 ˆ 2，6 = 2 ˆ 3，8 = 2 ˆ 2 ˆ 2，9 = 3 ˆ 3。

例 11.4 (18 的质因数分解). 把 18 分解成其质因数的乘积。

我们知道 18 = 2 ˆ 9 = 2 ˆ ˆ3 ˆ 3，2, 3 已经是质数了。

顺便，这个时候，我们就知道为什么把 1 剔除出质数的行列了，要不然这个质因数就会出现在任何一个整数的质因分解之中。

分而治之的思想，和分治用来解决问题的例子。需要补充。

11.3 公约数、公倍数

定义 11.8 (公约数). 如果两个数存在相同的因数，则这个因数被称为这两个数的公因数。

在给定的两个数的所有的公因数里面的最大的那个，被称为最大公约数。当然，最小公约数就不用算了，肯定是 1。

定义 11.9 (公倍数). 如果两个数存在相同的倍数，则这个倍数被称为这两个数的公倍数。

在给定的两个数的所有的公倍数里面的最小的那个，被称为最小公倍数。注意两个数乘起来肯定是公倍数，但是不一定是最小公倍数。

例 11.5 (8 和 18 的公约数). 列出来 8 和 18 的公约数。

我们知道 8 = 2ˆ 2ˆ 2，而 18 = 2ˆ 3ˆ 3。两者的因数分别是 8, 1, 4, 2

和 18, 1, 2, 9, 3, 6 已经是质数了。因此，公约数有 1, 2。最大公约数是公约数里面最大的那个，也就是 2。


下面我们介绍一个计算最小公倍数和最大公约数的一般方法。你可以照着这个方法试试，看看对不对，然后想想背后的道理。首先，我们把两个数的因数都写下来。写下来之后，接着，我们找到两个数的质因数里面重复的，一个个写下来。最后，都写下来之后乘起来，就得到最大公约数。其中，第二步的时候要注意，如果有的质因数在两个数的因子里面都出现了一次以上，则同时在两个数的因子里面出现了多少次就要算多少次。也就是说，取这个质因数在两个数的因子里面出现的次数小的那个，记下来用到第三步。

有了最大公约数之后，最小公倍数这样算：接着在写下来的最大公约数的后面，把来自于第一个数和第二个数的其他质因数，都写下来记录和乘在最小公倍数的后面，得到的数就是最小公倍数。

例 11.6 (8 和 18 的最小公倍数). 找出来 8 和 18 的最小公倍数。

第一步，先对两个数做质因分解，8 = 2 ˆ 2 ˆ 2，而 18 = 2 ˆ 3 ˆ 3。两者共同的因数先记录下来 2。没有其他的数了。因此，最大公约数就是 2。接着，把来自第一个数的其他质因数乘在后面，2 ˆ 2 ˆ 2。把来自于第二数的其他质因数也乘在后面，2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 3 ˆ 3 = 72。于是，最小公倍数就是72。

例 11.7 (25 和 35 的最大公约数和最小公倍数). 找出来 25 和 35 的最大公约数和最小公倍数。

第一步，先对两个数做质因分解，25 = 5 ˆ 5，而 35 = 5 ˆ 7。两者共同的因数先记录下来 5。没有其他的数了。因此，最大公约数就是 5。接着，把来自第一个数的其他质因数乘在后面，5 ˆ 5。把来自于第二数的其他质因数也乘在后面，5 ˆ 5 ˆ 7 = 175。于是，最大公约数就是 5，而最小公倍数就是 175。

例 11.8 (8 和 24 的最大公约数和最小公倍数). 找出来 8 和 24 的最小公倍数。

第一步，先对两个数做质因分解，8 = 2ˆ 2ˆ 2，而 24 = 2ˆ 2ˆ 2ˆ 3。两者共同的因数先记录下来和乘起来 2 ˆ 2 ˆ 2。因此，最大公约数就是 8。接着，把来自第一个数的其他质因数乘在后面，还是 8。把来自于第二数的其他质因数也乘在后面，8 ˆ 3 = 24。于是，最小公倍数就是 24。

公约数公倍数用来解决问题的例子。需要补充。



推荐阅读吴军的《数学之美》[10]。稍微有点难度，但是，非常值得一读。

11.5 作业

习题 11.1 (能够被 5 整除的数的特点 ˚). 试着看看能够被 5 整除的数有什么特点。

习题 11.2 (25 的质因数分解). 把 25 分解成其质因数的乘积。

习题 11.3 (40 的质因数分解). 把 40 分解成其质因数的乘积。

习题 11.4 (25 和 40 的最大公约数). 找出来 25 和 40 的最大公约数。

习题 11.5 (32 和 40 的最大公约数). 找出来 32 和 40 的最大公约数。

习题 11.6 (25 和 40 的最小公倍数). 找出来 25 和 40 的最最小公倍数。

习题 11.7 (32 和 40 的最小公倍数). 找出来 32 和 40 的最最小公倍数。

习题 11.8 (最大公约数和最小公倍数的计算过程的道理 ˚). 想想最大公约数和最小公倍数的计算过程的道理，写下来试试。

11.6 本章小结

本章学习了因数和倍数的概念，并且把它们建立在了整除的概念之上。同时，我们学习因数不仅仅是为了学习这个概念，而是为了了解一下分而治之的思想。这个分而治之的思想，将来会发挥更大的作用，尤其是将来在解高次方程、解决复杂的计算问题，以及计算机编程的时候。最后，我们留了一个供学生选择的思考题，为什么最大公约数和最小公

倍数可以这样算。希望看到你们自己想出来的答案哦。


第十二章数学论证

“纯数学是逻辑谱写的诗歌。”

– Albert Einstein（爱因斯坦）

数学是思维的语言，而且是可以促进精确表达的语言。下面，我们主要通过举例子的方式，来体会数学的论证在每一步都需要有足够的理由，有的时候运用计算来论证和思考，用数学当作思维的语言可以使得我们的表达更精确更明确。

12.1 数学和日常语言

例 12.1 (“是”和“=”的异同). 很多时候，我们问，“比 6 大 2 的数是多少？”，我们的回答是 6 + 2 = 8。在这里，我们把“=”理解成对前面“是多少”的回答，也就是“=”就是“是”的意思。但是，当我们说“米饭是食物”、“汽车是交通工具”、“妈妈是我喜欢的人”的时候，这里的“是”可能和“比 6 大 2 的数是 8”、“这个苹果是 8 元钱买的”里面的“是”是不一样的。那么，数学上怎么来表达这两者的区别呢，“米饭是食物”的准确意思是什么呢？我们能不能说“8 是 6+ 2”呢，能不能说“8 就是比 6 多 2

那个数”呢？

数学上的“=”的意思就是在所考察的属性上，按照背后对应的度量方式，例如规定好单位规定好度量的步骤和仪器等等，左边的“等于”右边的。语言里面“是”的含义可以是“等于”，也可以是表示“属于”，也就是“...属于... 的一种的意思”。例如在“比 6 大 2 的数是多少？”里面的“是”的意思是“等于”，在“米饭是食物”里面的“是”的含义是“属于”，也就是“米饭是食物的一种”。正是为了明确地表示这两种含义的区别，我们用“=”来表示“等于”的意思，用另外一个符号 P 来表示“属于”的意思，也就是

125

126 第十二章数学论证

“米饭 P食物”。

选读：其实，有的时候，语言中的“是”还表示“包含于”的意思，用记号 Ă。“包含于”和“属于”的意思有联系但是不一样。属于是一个个体和一个整体做比较的意思，包含是一群个体和整体做比较的意思，也就是说，如果一个群体中的每一个个体都属于一个整体，则前一个群体包含于后一个整体。例如“门口的三辆自行车都是我家的”表示属于关系，指的是具体的这三辆自行车都是我家所有，属于我家的财产的一部分，也就是“自行车 1, 自行车 2, 自行车 3 P 我家的财产”。例如“自行车属于交通工具”，指的是所有的自行车，而不是某一辆自行车，都可以看成是交通工具也就是“自行车 Ă交通工具”。

从这个例子中，我们看到了“是”、“属于（是... 的一种）”、“包含于（是... 的一类）”在数学符号上的区别：“=”、“P”、“Ă”，但是在语言中，尤其是中文表达的时候，我们经常用同一个词——“是”——来表示这三种关系。这就是数学语言和日常语言的异同。由于数学语言要用于思维，用来思考非常复杂的问题，因此，准确和明确是非常有必要的。

图 12.1: 马有白色的，黑色的，褐色的，杂色的还有其他颜色的。图换一下。

实际上，日常语言也应该尽量做到准确和明确，例如当我们把“白马非马”改成“白马不是马，但是白马是马的一种”的时候，就没有任何可以争辩的余地了，完全就是正确的，或者如果“白马非马”的意思是“白马不是马的一种”，那么完全就是错误的，也没有争辩的余地。人类的聪明才智应该用在研究一个意义明确的论断是不是正确上面，而不是用来狡辩一个意义上就可能做多种解释的论断。

12.1 数学和日常语言 127

用数学符号来表示“白马不是马，但是白马是马的一种”，就是

t白马u ‰ t马u ,

t白马u Ă t马u ,

白马 P t马u .

(12.1a)

(12.1b)

(12.1c)

表示所有的白马的集合不是所有的马的集合，但是所有白马的集合是所有的马的集合的一部分，白马是马的集合中的一匹，见图 12.1。

用数学符号来表示“白马不是马的一种”，就是

t白马u Ć t马u ,

白马 R t马u .

(12.2a)

(12.2b)

表示所有的白马的集合不是所有的马的集合的一部分，白马也不是是马的集合中的一匹。注意，上面这两个用数学符号表示的比日常语言精确的意思，你完全不用看懂。只要相信，确实可以做到，而且将来你也会做到，能够用数学语言表达出来这个比日常语言更精确的意思就可以。

顺便，有了这个，只要明确“白马非马”的意思到底是算式 (12.1) 还是算式 (12.2)，就可以知道这句话到底对不对了。一个合理的争论不能在争论这计划到底什么意思，而应该在明确意思以后，争论是不是正确。这是中文世界里面言之无物，说话喜欢模糊而不喜欢明确的一个例子。

表示一个论断的语句叫做命题。一个命题里面通常包含两个概念，两个已经各自定义好的含义明确的概念，然后论断就是这两个东西之间有某种关系。将来我们会学习到更一般的关系，现在，我们知道的关系有等于、大于、小于、属于、是一种、约等于。因此，“那只蚊子的身长是 5 毫米”是一个论断，可以记做 lm1

= 5mm，h 是身长（length）的意思，m1 是编号为 1 的蚊子（mosquito）的意思，mm 是毫米（millimeter）的意思。合起来，hm1

= 5mm 完整和准确地表达了“那只编号为 1 的蚊子的身长是 5

毫米”。其中，我们由于要用数学的语言指代的更加准确，我们还修改了原话，使得这句话更加明确——通过给蚊子添加编号的方式。我们还可以写下来，hm1

ą 5mm 表达了“那只编号为 1 的蚊子的身长大于 5 毫米”；或者，hm1

ă 5mm 表达了“那只编号为 1 的蚊子的身长小于 5 毫米”；或者。hm1

« 5mm 表达了“那只编号为 1 的蚊子的身长大约是 5 毫米”。将来我们还会学会表达“蚊子的身长大多数都是 5 毫米左右”、“蚊子的身长平均差


不多 5 毫米”这样的意思。如果你找不到合适的英文单次来当做符号，你也可以这样写：“身高蚊子1

= 5毫米”。

习题 12.1 (我的身高). 用一个数学表达式写下来“我的身高是......厘米”。中间的数字都自己去按照实际情况填上。可以请你的爸爸妈妈帮忙写下来整数就可以。

习题 12.2 (苹果的价格). 用一个数学表达式写下来“苹果的价格是...... 元每斤”。中间的数字都自己去按照实际情况填上。可以请你的爸爸妈妈帮忙写下来整数就可以。

习题 12.3 (吃一顿饭用的钱). 用一个数学表达式写下来“我吃一顿午饭化了...... 钱”。中间的数字都自己去按照实际情况填上。可以请你的爸爸妈妈帮忙写下来整数就可以。

12.2 数学中的演绎证明

命题还可以表达更丰富的内容，例如我和妹妹比身高。

例 12.2 (我和妹妹比身高). hme = 150cm ą hsis = 120cm，或者身高我 =

150厘米 ą身高妹妹 = 120厘米，表示“我的身高是 150 厘米，我的妹妹身高是 120 厘米，我的身高比妹妹的高”。

如果你还不太懂得厘米（cm）的含义，没关系，让你的爸爸妈妈给你们一个测量的方法就行。以后，我们会学习到它的准确含义。还例如，

例 12.3 (妹妹和餐桌比高). hsis = 120cm ą hkt = 100cm，或者身高妹妹 =

120厘米 ą高餐桌 = 100厘米，表示“我的妹妹的身高是 120 厘米，我家的餐桌高 120 厘米，妹妹比餐桌高”。

甚至更进一步，

例 12.4 (我和餐桌比高). 由于我比妹妹高，妹妹比餐桌高，我比餐桌高，也就是

7 hme ą hsis, hsis ą hkt,

6 hme ą hkt.

(12.3)

(12.4)

也就是，因为“我比妹妹高”，“妹妹比餐桌高”，所以，“我比餐桌高”。

符号“7”是“因为”的意思，“6”是“所以”的意思。这样通过两个数学表达式合起来，得到另一个表达式的过程，就是演绎证明的一种。演绎证明

12.2 数学中的演绎证明 129

在数学论证里面非常重要的。如果我们把这个论断的前一步的信息记做 A，论断的结论记做 B，则这个论断就记做 A ñ B。实际上，在论断的过程中，我们还必须给出来推断的理由，也就是，为什么从信息 A就可以推断出来信息 B。例如，对于前面的高度的推断，我们记做，A ñ B (高度差可以累积)。

实际上，我们还必须证明“高度差可以累积”。具体的证明，我会补充在下面。证明本身不做现在阶段的学习要求。但是，推断的每一步要有理由，这些理由需要来证明，这是数学论证中非常重要的步骤。

证明 12.1 (“高度差可以累积”的证明). 如果 h1 ´ h2 ą 0，h2 ´ h3 ą 0，则h1 ´ h3 ą 0。证明：定义 h1 ´ h2 = h12，h2 ´ h3 = h23，则

h1 ´ h3 = h1 ´ h2 + h2 ´ h3 = (h1 ´ h2) + (h2 ´ h3) = h12 + h23. (12.5)

最后，

7 h12 = h1 ´ h2 ą 0, h23 = h2 ´ h3 ą 0,

6 h12 + h23 ą 0.

(12.6)

(12.7)

其中，我们用到了在一个数上先减去再加上另一个数，不改变这个数；我们还用到了在加法中先把后面的东西先算出来不改变算式的值。这样的两个结论实际上，也是需要证明的。将来我们会学到，这些是等式的性质，是加法的运算规律。但是，其实，我们也可以先用一些例子来理解这些结论。最后一步我们用到了，两个大于零的数加起来还大于零。这个用加法的含义就可以明白，不再需要额外证明。

现在，我们来补充中间用到的结论的证明。

证明 12.2 (“一个数上先减去再加上另一个数，不改变这个数”的证明). 我们用加法和减法的含义来证明 h1 ´ h2 + h2 = h1。h1 ´ h2 的含义就是在 h1

个东西的这个整体中去掉 h2 个东西，所剩下的东西的数量。h1 ´ h2 + h2 就是在 h1 ´ h2 的基础上再加上 h2 个东西。这正好就是之前去掉的东西的数量。因此，再一次放回来，正好就回到原来的 h1 的数量，于是

h1 ´ h2 + h2 = h1. (12.8)

“在加法中先把后面的东西先算出来不改变算式的值”的证明稍微复杂一些。我们放到将来再来证明。现在，我们只需要这样来大概理解：加法就是合起来数一数，如果有多个群体的数量需要加起来，则先把那两个合起来数一数，不会改变整体的数量。通过这样的证明，我们发现了，实际上，以


上所有的命题的根源都是加减法的含义。一旦我们明白加法就是“合起来数一数”、减法就是“从一个整体中去掉一部分”，自然，就可以证明所有的这些命题。通过证明来从最基本的东西构建整个理论的体系，或者找到一个理论体系的最基础的东西，这是数学中非常重要的思考问题的方式。演绎证明的过程中，一般需要组合多个以前有的论断和定义，同时还要保证每一步的论证有道理。这个道理可以是之前证明过的论断，或者大家都承认的结论。


推荐观看一下视频 BBC 的“The Story of Maths（数学的故事）”1。节目主持人是数学家Du Sautoy。

12.4 作业

习题 12.4 (“是”的数学符号). 你能够从日常语言中举出来一些例子，来体现“是”的不同的含义吗？如果可以的话，写下来数学表达式和日常语言，对一系列对比。

习题 12.5 (镜子里面的另一个你自己). 我一直觉得镜子里面有另一个我自己。每次我照镜子的时候，那个我自己就出来跟我见一面，然后就又跑开了。你觉得呢？你能不能找个办法来检验一下，是不是里面真的有一个我自己呢，还是什么其他原因导致的看起来像另一个我自己？

习题 12.6 (地球是球形的还是扁平的). 我一直觉得地球是扁平的。你觉得呢？你能不能找个办法来检验一下地球到底是平的呢，还是大概是球形的。或者说，到底地球是一个只有一个表面的东西（球），还是一个两个表面的东西（平面）。

习题 12.7 (读书报告). 一二年级的数学课，你已经学得差不多了，请你来把课本和推荐阅读材料，再一次选择阅读一下，并且写下来你对这些阅读材料的理解和看法。再一次回头看，站在更高的角度看，经常会有更大的收获。

1https://en.wikipedia.org/wiki/The_Story_of_Maths ，2018 年 10 月 8 日访问。

https://en.wikipedia.org/wiki/The_Story_of_Maths

12.5 本章和本卷小结 131

12.5 本章和本卷小结

这一章，我们举例介绍了数学论证。主要体现了以下几点：数学符号和数学算式表达的意思要比日常语言表达的意思准确和明确；演绎证明——就是把一般的已经知道是正确的命题用到合适的具体问题具体定义，以及把几个已经知道是正确的命题组合起来，来得到新的命题——是数学论证中非常重要的方法，并且演绎推断的每一步都需要有已经证明的命题当做理由。我们还通过逐步补充每一步论证的证据，来建立起来从最基本的概念到更复杂的命题的联系。

数学不过就是思维的语言，是人人都能够会，人人都必须会的东西，只要你还想思考点什么。数学的计算是用来思考的工具，用来表达思想的过程，而不是学习数学的目的本身。同时，通过数学语言，把意思说的更加明确，并且通过演绎逻辑来做论证和思考，是把握理性思维的途径。

整个这一章的内容都是为了帮助你更好地理解数学是什么的，不是为了让你学会来做数学论证，或者学会用 7、6、ñ 等符号。

对于演绎证明的两种特殊形式，反证法和数学归纳法，我们只要求读者能够从相应的例子来体会一下它们是什么。

整个一二年级的数学，我们强调的事情是从数学概念的提出、运用和学习中，体会数学是什么。尽管具体数学概念和运算上我们学习到的东西非常有限——自然数和零、用它们来数数以及它们的加减乘除运算，但是，实际上，我们体会到的什么是数学是深刻的：数学是思维的语言，是描述世界的结构，描述过程中最重要的是概念之间的关系和相应的操作和现实具有一致性；数学的概念非常具有系统性——很多的概念是从非常少非常简单的几个概念开始的，例如加减法不过就是数一数；数学的学习要从粗糙的问题没有变成数学题的问题开始，要通过把数学用到实际问题的思考和解决来学习数学。图 12.2 就是这一卷内容的总结。

请你尽量把这个图里面的内容和章节的内容对应起来，并且思考这些内容和“数学是什么”的关系。

尽管你现在仅仅学会了一二年级的数学，实际上，以你现在学会的东西为基础，留心现实主动接受现实的启发，加上不断地从数学运算本身来不断深入思考，你已经足以建立整个数学里面一大部分理论，例如负数、整数、分数、小数、无理数、虚数、乘除法、长方形的面积和体积、其他形状的面积和体积，甚至反证法、数学归纳法、方程和未知数、代数运算、代数算式和几何等等等等。一切，只不过，基于数数，而已。将来我们在下一卷就会


图 12.2: 第一卷主要内容。请你尽量把这个图里面的内容和章节的内容对应起来，甚至在这个图上做一个那一部分出现在哪个章节的标记。


尝试用这些一二年级的数学来计算出来 π 的近似值，这个在历史上由刘徽和祖冲之解决过的问题。当然，我一再强调，数学不是算术，数学是思考是表达，但是，个位数

的加减乘除的计算还是要尽可能熟悉一下的。


第二部分

三、四年级篇

135

第十三章除法和分数

从除法——把一个整体分成多少份取其中的一份来看多少分之一，当作纯粹语言和记号。从多少分之一，运用乘法，到更一般的真分数。


13.2 作业

13.3 本章小结

137

138 第十三章除法和分数

第十四章关系和运算之 1 的含义

分数含义中的一个整体的含义，倒数。分数的倒数、整数的倒数。


14.2 作业

14.3 本章小结

139

140 第十四章关系和运算之 1 的含义

第十五章减法、负数和加法

负数出现的情景，负数的记号，负数的运算，负数的数轴表示，负数的应用依靠负数把减法变成加法。加法结合律初探。为什么会有等式的性质：等式的两边加上减去乘以除以（除法要注意不

能除以 0）同一个数，等号不变。下面我们来运用等式的性质和加法结合律来处理括号前面的负号，证

明

定理 15.1: 加减计算括号前的负号

如果要去掉加减计算的括号前的负号，则括号内的加减计算改变符号——加减互换，例如

´ (2 ´ 1) = ´2 + 1,´ (2 + 1) = ´2 ´ 1, (15.1)

证明 15.1. 我们仅仅来证明其中的前一半，后一半留作练习。

´ (2 ´ 1) + (2 ´ 1) = 0（一个数加上相反数等于 0）

ñ ´ (2 ´ 1) + (2 + (´1)) = 0（运用负数变减号为加号）

ñ ´ (2 ´ 1) + 2 + (´1) = 0（加法结合律）

ñ ´ (2 ´ 1) + 2 ´ 1 = 0（运用负数变加号为减号）

ñ ´ (2 ´ 1) + 2 ´ 1 + 1 ´ 2 = 0 + 1 ´ 2（等式性质）

ñ ´ (2 ´ 1) = +1 ´ 2（加法算出来）

ñ ´ (2 ´ 1) = +1 + (´2)（运用负数变减号为加号）

ñ ´ (2 ´ 1) = ´2 + 1（加法交换律）.

(15.2)

(15.3)

(15.4)

(15.5)

(15.6)

(15.7)

(15.8)

(15.9)

141

142 第十五章减法、负数和加法


15.2 作业

15.3 本章小结

第十六章除法、分数和乘法

一个数除以另一个分数，就是前一个数乘上后一个分数的倒数。运用倒数把除法看作乘法。


16.2 作业

16.3 本章小结

在下一章之前，要补充大量的练习题，加强对四则运算和关系的理解。

143

144 第十六章除法、分数和乘法

第十七章四则运算顺序和运算律，括号

“不开心的时候，我就去做做数学，那使我变得开心；开心的时候，我还去做做数学，那使我保持开心。”

– Alfréd Rényi（瑞尼）

为什么需要运算律，为什么需要括号，为什么需要去括号，怎么去括号

每一条运算律的理解和应用场景。

最基本的运算律有：

1. 加法交换律：2 + 3 = 3 + 2。加法代表合起来数一数，和的顺序没关系，结果都一样。因此，加法的交换律完全是因为加法的意义。

2. 加法结合律：(2 + 3) + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + (3 + 4)。其中第一步是计算顺序的约定——没有括号的时候“先乘除后加钱，从左到右”，第二步是先把后面两个加起来，道理同样是加法代表合起来数一数，和的顺序没关系，结果都一样

3. 乘法交换律：2 ˆ 3 = 3 ˆ 2。乘法是重复加法的简便运算。因此 2 ˆ 3

就可以看作是 3 个 2 合起来数一数，自然也就等于 2 个 3 合起来数一数，或者这样来构造：把每一个 2 分成两份每份都是 1 ，分别放到左边和右边；接着把所有的左边的合起来数一数，是 3；把所有的右边的也合起来数一数，是 3，于是就是两个 3。因此，乘法的交换律完全是因为乘法的意义。

4. 乘法结合律：(2 ˆ 3) ˆ 4 = 2 ˆ 3 ˆ 4 = 2 ˆ (3 ˆ 4)。乘法是重复加法的简便运算。把 (2 ˆ 3) ˆ 4 的想象成一堆豆子，每一个小堆里面有 2

145

146 第十七章四则运算顺序和运算律，括号

颗，每 3 个小堆构成一个大堆，总共有 4 个这样的大堆。我们需要数一数有多少豆子。用乘法交换律的方式，我们来构造一个证明两个等式相等的过程：先不动大堆，从大堆中的每一个小堆中取 1 颗豆子出来，组成新的堆，这个堆的大小是 3，因为每个大堆中有 3 个小堆，在一个大堆中这样的新的小堆有 2 个；接着，我们来动大堆，从每个大堆中取一个小堆，组成新的大堆，这时候小堆是个整体不能动，这样的大堆每堆有 4 个小堆，有 2 个大堆。这个时候，我们有 2 个大堆，每个大堆有 4 个小堆，每个小堆有 3 颗豆子，于是，就是 2ˆ (3 ˆ 4)。在这个过程中，我们仅仅移动了豆子，没有增加或者减少。

5. 乘法对加法的分配律：2ˆ (3 + 4) = 2ˆ 3+ 2ˆ 4。乘法是重复加法的简便运算。同样用上面的数豆子当例子，我们有 2 大堆豆子要数一数，其中每一个大堆包含两个小堆，这两个小堆分别有 3 颗和 4 颗豆子。一种方法就是先数好每个大堆多少个，然后把 2 个大堆再一次合起来数一数，也就是等式左边的算式。另一种方法就是把大堆拆开，把相同大小的小堆合在一起构成新的大堆，得到两个大堆分别是 2 个豆子数量为 3 的小堆和 2 个豆子数量为 4 的小堆，合起来数一数就是等式右边的算式。这个过程中，豆子的数量没有增加也没有减少，所以相等。

有了这几个运算律，以及基于加法和乘法的含义对这些运算律的理解，我们来看通常的书里面总结的其他的运算律。例如

2 ˆ (3 ˜ 4) = 2 ˆ

(3 ˜

4

1

)（等量替换）

= 2 ˆ

(3 ˆ

1

4

)（除以一个数等于乘以这个数的倒数）

= 2 ˆ 3 ˆ1

4（乘法结合律）

= 2 ˆ 3 ˜ 4（除以一个数等于乘以这个数的倒数）.

(17.1)

(17.2)

(17.3)

(17.4)

147

2 ˜ (3 ˜ 4) = 2 ˜3

4（除号就是分数线）

= 2 ˆ4

3（除以一个数等于乘以这个数的倒数）

= 2 ˆ 4 ˆ1

3（等量替换）

= 2 ˆ1

3ˆ 4（乘法交换律）

=2

3ˆ 4（乘法算出来）

= 2 ˜ 3 ˆ 4（分数线就是除号）.

(17.5)

(17.6)

(17.7)

(17.8)

(17.9)

(17.10)

2 ´ (3 ´ 4) = 2 + (´ (3 ´ 4))（运用负数把减法变成加法）

= 2 + (´3 + 4)（去掉括号前的负号，内部变号）

= 2 ´ 3 + 4（去掉括号前的加号，内部不变号）

= 2 + (´3) + 4（运用负数把减法变加法）

= (2 + (´3)) + 4（加法结合律）

= (2 ´ 3) + 4（运用负数把加法变减法）

= 2 ´ 3 + 4（从左到右计算顺序）.

(17.11)

(17.12)

(17.13)

(17.14)

(17.15)

(17.16)

(17.17)

在这里，出现了两次 2 ´ 3 + 4，为什么这个我们想证明的结果第一次出现的时候，我们不满足，非得要证明后面的再一次出现的表达式呢？实际上，2 ´ 3 + 4 在第一次出现的时候是后面两个数先算的，尽管形式上看起来一样。只有通过后面的几步证明之后，我们才把加算的顺序换过来，其中最重要的就是运用“加法结合律”。

通过依赖于负数把减法和加法认同，依赖于分数把除法和乘法认同，我们发现，整个运算律，只有下面的几条，

1. 加法交换律：2 + 3 = 3 + 2；

2. 加法结合律：(2 + 3) + 4 = 2 + 3 + 4 = 2 + (3 + 4)；

3. 乘法交换律：2 ˆ 3 = 3 ˆ 2；

4. 乘法结合律：(2 ˆ 3) ˆ 4 = 2 ˆ 3 ˆ 4 = 2 ˆ (3 ˆ 4)；

148 第十七章四则运算顺序和运算律，括号

5. 乘法对加法的分配律：2 ˆ (3 + 4) = 2 ˆ 3 + 2 ˆ 4。

顺便补充运算顺序在这里，

1. 有括号先算括号，括号从最内层算；

2. 同层内没有括号，则先“乘除”后“加减”；

3. 同一个级别从左到右算。

乘除是一个级别不分先后，不是先算乘再算除的意思。加减是一个级别不分先后，不是先算加再算减的意思。现在我们用这些运算律和运算顺序来证明其他的几个常用的运算律，以

及做一些计算题的练习，尤其是简便运算。其他的运算律运算律的练习，简便计算，每一步的理由。

22 ˆ 99 + 66 ˆ 67

= 22 ˆ 3 ˆ 33 + 66 ˆ 67（为什么能—结合律，为什么要—联系）

= 66 ˆ 33 + 66 ˆ 67（为什么能—结合律，为什么要—联系）

= 66 ˆ (33 + 67)（为什么能这样变—分配律）

= 66 ˆ 100（加法算出来）

= 660（乘法算出来）

(17.18)

(17.19)

(17.20)

(17.21)

(17.22)

(17.23)

125 ˆ 25 ˆ 32

= 125 ˆ 25 ˆ 8 ˆ 4（乘法算出来，也可以写结合律）

= 125 ˆ 8 ˆ 25 ˆ 4（乘法交换律）

= 1000 ˆ 100（乘法算出来）

= 100000（乘法算出来）

(17.24)

(17.25)

(17.26)

(17.27)

(17.28)

第十八章关系和运算的应用

加减乘除分数的应用，从关系到算式到计算步骤，每一步都回答为什么。

例 18.1 (画册和故事书的加法). 一年级（2）班图书角原来有画册 25 本，同学们又捐献了故事书 8 本。现在图书角共有多少图书本，共有多少本画册？问：总共多少本图书。知道：原来的画册 25 本，后来又得到了故事书

上了 8 本。关系：所有的图书的意思是原来的书和后来的书不管是什么书都合起来数一数，所以用加法，得到

25（本）+ 8（本） = 33（本）. (18.1)

问：共有画册多少本。知道：原来的画册 25 本，后来又得到了故事书上了 8 本。关系：只有画册才算，那么，后来的故事书就不能计算在内，因此，得到

25（本）+ 0（本） = 25（本）. (18.2)

答：图书角共有 33 本书，其中画册 25 本。

注意，这里我们给出来是什么关系，为什么这样算，同时，单位要一直带着，并且要留意到底是什么东西在做相加——某种相同的东西在某个单位下衡量才能加起来。

例 18.2 (路程和加法). 我今天去了两个地方。第一个地方是学校离我家 2 公里，第二个地方是我爸爸的办公室，离学校 1 公里。我家、爸爸办公室和学校基本上在同一条直线上，按照这个顺序排列。问，我总共走了多少公里的路，我现在离家里有多远？问：总共走了多远，现在离家多远。知道：家、办公室和学校在同一条

直线上，按照这个顺序排列。家到办公室不知道几公里，家到学校 2 公里，学校到办公室 1 公里。关系：做图，把家、办公室和学校按顺序排列在同一

149

150 第十八章关系和运算的应用

条直线上。然后，先从家里走到学校 2 公里，再从学校走到办公室 1 公里。于是，总路程就是把前后两段合起来数一数，就是

2（公里）+ 1（公里） = 3（公里）. (18.3)

按照图，办公室在中间，现在离家多远就是把最远的距离减去已经折返的距离，也就是

2（公里）´ 1（公里） = 1（公里）. (18.4)

答：我总共走了 3 公里的路，我现在离家里有 1 公里。

做图，总是能够帮助我们更好地理解关系的。

例 18.3 (路程和加法、乘法). 我爸爸每天走路锻炼。一般来说，他一小时走路 10公里。他一般每天走两个小时。问，我爸爸一般每天走多少公里的路？

问：总共走了多少公路。知道：每个小时走 10 公里，走两（2）个小时。关系：做图，把第一个小时走的路和第二个小时走的路合起来数一数，于是

10（公里）+ 10（公里） = 20（公里）. (18.5)

或者，对于更一般的时间长度，我们就是把这么多个每小时 10 公里合起来数一数，重复多次的加法，就是乘法，于是

10（公里/小时）ˆ 2（小时） = 20（公里）. (18.6)

答：你的爸爸一般每天走 20 公里的路。

乘法就是加法的简便运算。所谓的路程问题——路程等于速度乘以时间，不过就是搞清楚加法和乘法的基本含义。

例 18.4 (比一比和减法). 商店里卖上衣 50 元一件，裤子 30 元一条，鞋 19

元一双。一条裤子比一双鞋贵多少钱？

问：一条裤子比一双鞋子贵多少钱。知道：一条裤子 30 元，一双鞋 19

元。关系：贵多少就是比一比大小，比大小就是相减的关系，用减法，得到

30（元）´ 19（元） = 11（元）. (18.7)

答：一条裤子比一双鞋贵 11 元。

这里的核心关系就是比一比，于是用减法。

151

例 18.5 (多辆小汽车能坐的人数). 小汽车每辆能坐 5 人，有 3 辆小汽车，问一共能坐多少人?问：总共能坐多少人。知道：有小车 3 辆，每辆坐 5 人。关系：总共

能坐多少人，就是把每辆车能坐的人数都加起来。小车有 3 辆，每辆能坐 5

人，所以“合起来数一数”或者“乘起来”得到能坐

5（人/辆）ˆ 3（辆） = 15（人）. (18.8)

答：总共能坐 15 人。

这里我们用了多次合起来数一数的简便运算，也就是乘法。注意，这里单位也是能够计算的，具体如何计算以后会再一次学到。

例 18.6 (分巧克力). 爸爸买了一种新的巧克力，总共 15 块。爸爸说，这个巧克力每 5 块合起来相当于 1 元钱。问这一盒子巧克力多少钱？

问：15 块巧克力，需要多少钱。已知：每 5 块可以看成 1 元钱。关系：于是，我们只需要知道把这些巧克力分成 5 块一堆的话，能够分成几堆。平均分成几堆，相当于重复相减，重复相减的简便运算是除法

15（块）˜ 5（块/元） = 3（元）. (18.9)

答：15 块巧克力总共需要 3 元钱。

实际上，这里也可以先计算出来每一块巧克力的价格，然后用乘法。不过，那样的话，需要把钱的单位从元化成角。有兴趣的同学可以试试。

例 18.7 (分巧克力). 爸爸买了一种新的巧克力。我和妹妹还有表弟都很喜欢。我们打算表弟一块、妹妹一块、我一块地平均分。打开盒子以后，我们数了数，总共有 15 块。问我们每个人能够分到几块？妹妹决定直接拿走 5

块，不按照每人分一块的方式来分，你帮我看看是不是合理。问：3 人平均分 15 块巧克力，能够分到多少块。关系：把一个整体平

均分成 3 份就是除法

15（块）˜ 3（人） = 5（块/人）. (18.10)

答：我们三个人每人能够分到 5 块，妹妹拿走 5 块是合理的，不多也不少。

例 18.8 (畜牧场的牛). 一个畜牧场卖出肉牛头数的一半，还剩 5 头。这个畜牧场原有肉牛多少头？

152 第十八章关系和运算的应用

问：原来有多少头牛。知道：剩下的有 5 头，卖掉了一半。关系：卖掉了一半，可以知道剩下的还有一半，并且知道一半是 5 头。所以，卖掉的一半也是 5 头。所以，总数就是两个一半，也就是两个 5 头，加起来，得到

5（头）+ 5（头） = 10（头）. (18.11)

或者，也可以这样来考虑，一个东西的一半也就是 12是 5，问这个东西

是多少？也就是把原来的数量分成两份，取其中的一份，得到的数量是 5，那么原来的两份就是

5（头）ˆ 2 = 10（头）. (18.12)

或者，也可以这样来考虑，一个东西的一半也就是 12是 5，问这个东西

是多少？也就是这个东西乘上 12等于 5，那么，想想这个东西是多少呢？凑

凑数，或者运用除法就是乘法的逆运算，我们得到

5（头）˜1

2= 5（头）ˆ 2 = 10（头）. (18.13)

答：这个畜牧场原有肉牛 10 头。

在这里，我们用了三种不同的关系以及它们所对应的三种计算——加法、乘法和除法——来解决同一个问题。这里，再计算上我们还用到了除以一个分数就等于乘以这个分数的倒数。


18.2 作业

18.3 本章小结

第十九章小数和小数运算

为什么要有小数，小数和分数，小数和除法，小数点的移动，小数的四则运算分数的操作性含义和具体数字的含义。


19.2 作业

19.3 本章小结

153

154 第十九章小数和小数运算

第二十章分数和小数四则运算

“在数学中，提出一个问题要被放在比解决一个问题更有价值的位置。”

– Georg Cantor（康托尔）

整数、分数、小数的混合四则运算，通分、约分，联系运算律

百分比、混合四则运算的应用

前面我们已经学过了小数的四则运算：我们知道了，小数的四则运算和整数一样，只需要把小数点处理好就行了。最简单的方法就是通过乘以某个很大的整数——这个数往往就是一个小数在小数点后面的数字的个数——以后，把小数变成整数然后来做计算，最后记得把这个很大的整数再除回去。这也就是小数点的移动的问题。这一点在小数的乘除法上非常管用。其实，在小数的加减法上，这样的方法仍然可以使用，只要注意我们需要乘以一个足够大的整数来把参与加减的所有的小数都化成整数，然后将来再除回来就行。但是，有一种情况这样的整数会不太容易找，那就是循环小数：循环小数在小数点后面的位数是无穷多的一直延续下去的。将来我们还会遇到另一种无限延续的情况，叫做无理数。这个将来再说。那么，一旦遇到循环小数，加减乘除怎么做呢？这就需要用到小数和分数的关系。

20.1 小数和分数的关系，以及运用小数的分数加减乘数

有限小数是分数，无限循环小数还是分数。在这里我们先不管整数部分，仅考虑小于 1 的小数。有限小数是分数简单，小数点后面有几位，我们只需要把这个小数乘以这个位数，就成了一个整数。于是，例如 0.0012 乘以 10000 就成了 12，因此 0.0012 = 12

10000。现在我们来看无线循环小数。为

155

156 第二十章分数和小数四则运算

了简单，我们仅仅考虑循环的部分，反正前面的有限部分已经可以写成一个分数了。例如我们考虑 0.12 = 0.121212¨，一个两位小数的重复循环。我们只要把这个数乘上 100，就可以得到 12.12 = 0.12 ˆ 100，也就是

12 + 0.12 = 0.12 ˆ 100,

ñ 12 = 99 ˆ 0.12,

ñ 0.12 =12

99, (20.1)

0.12 是小数 1299。

更一般的循环小数 0.r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd 也可以类似地变成一个分数 r1 r2 r3¨¨¨rd10d´1

，

0.r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd ˆ 10d = r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd + 0.r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd,

ñ(10d ´ 1

)0.r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd = r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd,

ñ 0.12 =r1r2r3 ¨ ¨ ¨ rd

10d ´ 1. (20.2)

反过来，我们也要证明分数就是小数。首先能够除尽的分数肯定就是小数。接着，我们来证明不能除尽的分数，肯定可以转变成循环小数。在一般证明之前，我们先来做一个具体的不能除尽的计算： 2

7。小数点后面第一个

数是 2，然后得到余数是 6；接着第二个数字是 8，余数是 4；接着第三个数字是 5，余数是 5；接着第四个数字是 7，余数是 1；接着第五个数字是1，余数是 3；接着第六个数字是 4，余数是 2。再一次看到余数 2 则我们回到了之前的小数点之后第一个数字的情况，后面就是重复了。从这个例子，我们看到，不管分母是多大，多么除不尽，只要我们一个一个地除下去，每次出现的余数都是小于除数的数字，这样的数字是有限多个，多以总有一点肯定会出现某个之前再一次出现过的数字。只要再一次出现，则就出现了循环。于是，对于一个分数，其循环长度最多最多也就是分母减 1——这是因为最多不同的非零的余数只有分母减 1 个——这么大。

既然我们已经证明了分数就是小数，小数就是分数，那么，我们计算分数的加减乘除只需要通过小数来计算了。也就是把所有的分数先转化成小数，做好小数的计算——也就是整数的计算加上对小数点的额外处理，然后，在有必要的时候再回到分数。这也同时解决了小数和分数混合起来计算的问题——可以都先转化称小数来计算。

20.2 从“分数线就是除号”得到分数的加减乘除 157

20.2 从“分数线就是除号”得到分数的加减乘除

下面，我们来从另一个角度构建分数的四则运算规则：从把分数线看成除号开始。当我们需要计算分数加减法的时候，由于分数线就是除号，我们可以把分数的四则运算变成整数的四则运算，例如

3

4+

4

5= 3 ˜ 4 + 4 ˜ 5 (20.3)

当我们需要计算分数乘除法的时候，由于分数线就是除号，我们也可以把分数的四则运算变成整数的四则运算，例如

3

4ˆ

4

5= 3 ˜ 4 ˆ (4 ˜ 5) = 3 ˜ 4 ˆ 4 ˜ 5,

3

4˜

3

8= 3 ˜ 4 ˜ (3 ˜ 8) = 3 ˜ 4 ˜ 3 ˆ 8.

(20.4)

(20.5)

其中我们用到了乘除法在括号外面的时候如何去括号的规则。变成整数的四则运算之后，你就可以运用之前学习过的整数的四则运算法则了。

我们对其中的一个做更加详细的明确的论证，其他的假设我们的读者你能够自己补充上。

3

4˜

3

8= 3 ˜ 4 ˜ (3 ˜ 8)（分数线就是除号）

= 3 ˜ 4 ˜ 3 ˆ 8（除法去括号）

= 3 ˜ 4 ˆ 8 ˜ 3（乘除法交换律）

=3

4ˆ

8

3（除号就是分数线）

(20.6)

(20.7)

(20.8)

(20.9)

其中，后面两步是为了本章的下一节方面增加进去的，对于得到计算结果来说，没有必要。在论证的每一步写下来论证的理由（括号里面），是数学论证非常重要的规范。最后一步我们注意到分数除法后面的部分和原始的分数的关系——倒数，于是我们写下来一个分数除法的计算规则：被除数的分数不变，乘以，除数的那个分数的倒数。

但是，无论是这一节的从“分数线就是除号”得到分数的加减乘除，还是上一节的依靠小数的四则运算来完成分数的四则运算，都不是从分数自身的含义来得到分数计算的规则的。这是下一节的内容。


20.3 从分数的意义到分数的加减乘数

上一节，我们实际上已经完全解决了分数的计算的问题，无论是先转化称小数然后做小数的四则运算然后转化回来，还是转化成整数的四则运算。下面，我们来试试从分数的意义来得到分数的四则运算法则，并且在有必要的时候，我们还可以回到建立起来从意义得到的运算规则和前面两套计算规则之间的联系，以及内部论证过程之间的联系。注意，无论哪一套计算规则，它们得到的答案是一样的。还要注意，一个问题从多个不同的角度来看，往往是非常有意义有启发的。

还要还要注意，学习数学的重要内容之一，就是学会做数学的论证，学会把数学当成思考的语言。数学的计算过程当然要会，但是不是学习的重点。用数学来看到问题描述问题，把实际问题转化成为数学问题，也就是把数学当做描述世界的语言也是重要的。当然，很多时候，我们在用数学描述和解决这个问题之后，我们还会把得到的答案用到实际问题的解决中去来试试这个答案是不是正确。这是因为无论在描述问题还是求解问题的过程中，我们都有可能会忽略掉一些我们觉得次要的因素，而这些因素是不是真的是次要的因素就需要这样的对答案的检验。不过，最后这一步实践检验通常是科学家来完成的，数学家本身只要问题提出来以后的解决和论证过程是数学上严密的，就是好的数学。这样的一般由科学家来完成的提出问题、描述问题和实践检验的过程，尽管有的时候求解和论证也会由科学家来完成，就被称为数学建模。数学建模是科学家认识世界的非常重要的方式，除了实验探索，可能是他们认识世界的最重要的方式了。

20.3.1 分数的加减法

我们先从分数的意义来看分数加法的计算。当我们遇到两个加起来的分数的分母是一样的时候，我们只需要直接把分子加起来，保留分母不变。这是为什么？分数的含义就是把一个整体分成若干个部分，然后取出来其中的若干个部分。因此，当两个分数的分母相同的时候，就可以看作是，一次性地把某个整体分成那个相同的分母的那么多份，然后第一次和第二次分别从这么多份中取出来相应的两个分子的份数，于是，总共得到的份数自然就是两个分子相加的份数。当然，当遇到两个分子加起来大于分母的情况，理解上还要稍微复杂一些。留给读者自己来构建这个情况下的理解。相同分母的分数的加法还可以这样看：改变一下最小度量单位，把原来的一个整体

20.3 从分数的意义到分数的加减乘数 159

所代表的一个单位，看作是分成分母这么多份之后的单位度量下的数量，于是，整体就成了分母这么多份。这个时候，第一、二个分数的含义相当于从这么多份里面取出来相应的分子这么多份，于是，总的份数自然就是两个分子加起来。最后，我们需要回到原始的单位——也就是整体看做一个单位的时候，也就是要把得到的份数再除以总份数，也就是除以分母。实际上，这个转换单位的过程可以通过四则运算来体现，

2

7+

3

7= 2 ˜ 7 + 3 ˜ 7 = (2 + 3) ˜ 7 = 5 ˜ 7. (20.10)

因此，我们看到了，实际上，从分数含义出发得到的计算规则，和从“分数线就是除号”加上整数的计算规则得到分数的计算规则，实际上是等价的。对于更一般的分母不同的分数的加法，我们沿用上面的变换单位的思

想来构造计算规则。由于两个分母不一样，一个相当于把整体分成第一个分母的份数，另一个相当于把整体分成第二个分母的份数，因此，每一小份的大小是不一样的，于是不能加起来。但是，这个时候，我们可以考虑把两个份数的每一小份继续划分下去，做到两个分数对应着同样的每一小份啊。例如，我们把两个分数的单位一都划分成两个分母相乘这么多份。这个时候，每一小份就一样了。然后，我们来看，第一第二个分数在这样的划分下面，分别相当于从中取了多少份。也就是

3

4+

1

6=

3 ˆ 6

4 ˆ 6+

4 ˆ 1

4 ˆ 6=

18

24+

4

24. (20.11)

这就回到了分母相同的情况。那么，为什么当一个分数的分母被扩大多少倍的时候，为了保持分数的值不变，分子也需要扩大同样的倍数呢？第一，可以从“分数线就是除号”加上整数的计算规则来理解。第二，可以从刚才的变化单位的过程来理解：我们说了要把第一个分数的每一份再一次分成第二个分数的分母那么多份，于是，自然，分子的每一份也会被再一次分成第二个分母这么多份。这里，我们再一次看到，基于整数运算律和基于分数的意义得到的计算过程和计算结果是一样的。实际上，我们注意到，不一定需要把第一个分数的每一份再一次分成第

二个分数的分母这么多份，我们只需要保证两者将来的分母——也就是总份数那个整数——一样大就可以了。于是，我们发现，这时候，我们需要两个分母的最小公倍数。因此，实际计算中，我们经常用分母的最小公倍数来统一分母。这个统一分母的过程就叫做通分。有了通分，我们顺便介绍一下通分所对应的相反的概念，约分。约分就

是把一个分数的分子和分母中可能有的公约数去掉，也就是找出来分子和


分母的最大公约数，然后，分子和分母同时除以这个最大公约数。这个约分的过程不影响分数的值。但是，在将来遇到的某些计算过程中，在中间步骤就约分掉，可能会帮助你发现更加简便的计算方式。分数的减法实际上就是加法，我们就不再重复了。

20.3.2 分数的乘法

前面，通过转化成小数或者把“分数线看做除号”并且运用整数的计算规则，我们已经学会了分数的乘法。现在，我们从分数的意义来看分数的乘法。我们还是用上面的例子，

3

4ˆ

4

5= 3 ˜ 4 ˆ (4 ˜ 5) = 3 ˜ 4 ˆ 4 ˜ 5 = 3 ˆ 4 ˜ (4 ˆ 5) =

3 ˆ 4

(4 ˆ 5).

(20.12)

按照上面的计算，我们甚至可以总结出来分数乘法的“口诀”：分子分母分别相乘。但是，我们先来来理解一下这个规则试试。我们这样来看这个分数乘法。我们先把一个整体（长方形）分成了 4 块

取其中的 3 块，就是 34的意思。然后，把这个取出来的 3 块当中的每一块，

分成 5 块取其中的 4 块。问总共取出来多少小块，占原来的整体的几分之几。这个时候，我们得到取出来的小块的数量是第一次取出来的块数乘以

第二次取出来的块数——因为从每一个第一次取出来的块之中都会取出来第二次的块数所以用乘法，也就是 3 ˆ 4 块。接着，我们要看占整体的几分之几的时候，我们要把整体也分成这样的小块，才能知道总共多少块。那么，整体分成多少个小块呢？第一次分成第一个分母这么多的块，第二次对于每一块分成第二个分母这么多的块，因此，就是分母相乘这么多块，也就是 4 ˆ 5 块。其中，要注意，对于第一次分完之后没有取出来的那些块我们也要做第二次的划分。为什么？否则，那些没有被取出来的，留下来的块，不做划分的话，就比第二次划分完了的小块更大，因此，不能直接比较占几分之几。于是，我们知道了，两个分数相乘的计算就应该是分子相乘得到的结果占分母相乘得到的结果的几分之几。同样在这里，我希望你能够体会：从实际中抽象出来数学问题和数学概

念、把问题转化成一个数学问题、甚至将来把算出来的结果用来解决问题，都比具体如何计算要重要很多。更一般地，理解型学习的方法和习惯，也比具体计算的学习重要很多很多。

20.3 从分数的意义到分数的加减乘数 161

20.3.3 分数的除法

前面已经学过，分数的除法可以通过转化成小数来计算，还可以通过把“分数线看做除号”并且运用整数的计算规则来计算，甚至总结出来计算口诀：“两个分数的除法就是第一个分数乘上第二个分数的倒数”。继续用上一节的例子来展示计算过程，

3

4˜

3

8=

3

4ˆ

8

3. (20.13)

我们在来看，从分数含义怎么来得到分数除法的计算规则。我们来构造一个分数除法的意义场景。例如，我们考虑先从一个切成 4

块拿出来其中 3 块给有 3 个人平均分会得到多少蛋糕，也就是

3

4˜ 3 =

1

4. (20.14)

接着，我们可以再铺垫一个例子，34的蛋糕可以喂饱几个小孩，如果我们假

设 8 个孩子吃一个蛋糕就可以吃饱的话？于是，我们先知道，每个小孩需要18蛋糕才能吃饱。目前的蛋糕呢，有 3

4块。那怎么分呢？

很简单，动手切一下，就知道了，可以分成 6 个 18的大小，也就是给 6

个孩子吃饱。从除法的意义我们知道，这个 6 相当于是下面的除法的答案，

3

4˜

1

8= 6 =

3

4ˆ 8. (20.15)

这里我们注意到实际上，在计算一个分数除以另一个分数，并且另一个分数是什么什么分之一的时候，我们需要把后面的分数的分母拿过来，乘上前面的分数。为什么相当于把除数的分母拿过来乘上被除数呢？因此，现在的孩子们说每个人只能吃 1

8份，因此，需要把原来的蛋糕划分成 8个小份，再来

看看原来的一个蛋糕的 34相当于现在划分成 8 个小份之后的取多少份，也

就是从取 8 份的 34，所以是 3

4ˆ 8。

接着，再把场景进一步变得复杂一点，假设现在孩子们都成了“高中的大肚王”，每个人需要吃 3 片那样的 1

8小片的蛋糕才能饱，问这个时候可以

喂饱几个人？于是，也就是把现在的三个孩子当做一个。那么，就有了如下的计算，

6 ˜ 3 = 2. (20.16)

我们注意到，实际上，大肚王的饭量是 38。也就是说，上面的过程和答案，

实际上，是 34

˜ 38这个表达式的过程和答案。我们把它合起来，就是

3

4˜

3

8=

3

4˜

(3 ˆ

1

8

)=

3

4˜ 3 ˜

1

8=

3

4˜

1

8˜ 3 = 6 ˜ 3 = 2. (20.17)


在这个过程中，我们发现，原来除数中的分子将来总是要变成最终的算式中的最后的除数的。总结，我们看到了关键的几步：第一，当分数除以整数的时候，就把整

数放在最后的分母上也就是变成除数就可以；第二，当分数除以分数，但是那个分数是分母什么什么分之一的时候，相当于把那个分母乘在分子上；第三，当分数除以一般的分数的时候，相当于在计算完了前一步什么什么分之一之后，再来计算一个除法，原来的分子当做除数。这时候，我们发现，这样的基于分数意义得到的计算规则和之前的基于整数的运算律得到的规则是一样的。但是，再一次提醒，从意义来理解，然后建立计算过程，和单纯从计算过程来学习数学，是不一样的。这一节的所有的论证都是语言和具体例子具体数字的结合，将来，我们

学过代数的语言之后，我们可以用字母符号来代表任何一个数字，用运算符来表示数字之间的关系和计算，就可以做更加一般的论证了。将来，数学从对数字的计算的关注上，变成对数字之间的关系的关注，是数学的一大进步。在其中，代数的思想和形式，发挥了巨大的作用。


20.5 作业

20.6 本章小结

第二十一章代数初步：用字母表示代表关系的算式

当你给一个东西一个名字的时候，你就有了运用它的力量。

– 温斯顿（Winston）

在这一章里面，我们将从数字表达式走向字母表达式。这是一个巨大的飞跃。不过，让我们仅仅从具体的例子开始。将来，我们还会再一次，甚至很多次，例如在初中、在高中、在大学、在你将来的学习和工作中，回到这个飞跃。

另外，在这一章里，我们还将体会到当我们给一个比较复杂的东西一个名字，以至于它能够当做我们的思考和语言的一部分，有多么大的威力。

21.1 从具体计算到关系的表示

到现在为止我们主要关系回答具体的问题，比较关心答案。其实，我们更应该关心解决问题的过程和方法，关心事物之间的关系。那么，数学上，如何来代表方法、关系和过程呢？用一种叫做代数表达式的东西。

我们先来举一些例子

21.2 代数式的简单运算

我们已经学会了用字母来代表数字，从而构成算式，例如长方形的面积是两条边（a, b）的长度相乘，可以表示成

S = a ˆ b. (21.1)

163

164 第二十一章代数初步：用字母表示代表关系的算式

图 21.1: 这里有两只完全一样的猫，还有一张桌子。我也不知道为什么，有人测量出来了两只猫之间的高度差。请你来算算桌子的高度。

例如，购买苹果的总花费等于苹果的单价，例如多少元每斤（元/斤，记为p），乘上苹果的量，例如斤（记为 m），也就是

C = m ˆ p. (21.2)

这些算算式实际上代表的是这些字母所代表的背后的事物之间的关系。例如，价格乘上重量就是总花费，长方形的面积可以通过多次重复数格子来计算于是就是边长的成绩。现在，我们更进一步来把算式，也就是关系，来看做一个可计算的对象。

把关系，也就是代数式，当成运算的对象，是一个威力非常巨大的想法。我们来用一个例子来体现。

例 21.1 (桌子上的猫). 如图图 21.1，有两只完全一样的猫，还有一张桌子。左边是一只在地上趴着，一只在桌子上站着。右边是一只在地上站着，一只在桌子上趴着。我也不知道为什么，有人测量出来了两只猫之间的高度差。请你来算算桌子的高度。我们用字母 T,Cs,Cl 分别表示桌子的高度、站着的猫的高度、趴着的猫

的高度。注意，这里我们就用了字母来表示数，表示事物的量。我们再来看这些高度和测量出来的高度差之间的关系。我们发现，左边和右边分别是，

T + Cs ´ Cl = 150（厘米）,

T + Cl ´ Cs = 110（厘米）.

(21.3a)

(21.3b)

现在，我们把上下两行算式 (21.3a) 和算式 (21.3b) 相加（请思考为什么可

21.2 代数式的简单运算 165

以把两个等式加起来），得到

(T + Cs ´ Cl) + (T + Cl ´ Cs) = 260（厘米）,

ñ T = 130（厘米）. (21.4)

我们发现，一旦我们去观察两个等式，注意到这两个等式之间的关系——T +Cs ´ Cl 和 T +Cl ´ Cs 的联系，就很容易发现，只要我们把两个等式相加，就可以去掉那些不知道是多少的 Cl,Cs。这样的一个观察，如果我们没有代数的思想——用字母来代表数和算式，是完全不可能得到的。

当然，其实我们也可以不用这个代数计算的方式来求解这个问题，而是仅仅依靠“坐下来想想”。我们来想左边和右边的高度差是如何形成的，我们发现，其实就是因为站的猫和趴着的猫的高度有区别造成的。先比较桌子下面的猫，右边比左边高出来这样一个高度差。再比较桌子上面的猫，左边比右边高出来这样的一个高度差。合起来，也就是，150（厘米）´ 110（厘米）这个差，实际上，就是两个站着的猫和趴着的猫的高度差。也就是说，站着的猫和趴着的猫的高度差等于 (150 ´ 110) ˜ 2 = 20 厘米。

现在，既然知道这个高度差了，我们就知道了桌子的高度，因为桌子的高度加上这个高度差，就是 150（厘米）。于是，桌子的高度等于 150´20 = 130

厘米。

其实这个思考过程表达成代数计算就是这样的：

1. 把算式 (21.3a) 和算式 (21.3b) 相减，得到

(T + Cs ´ Cl) ´ (T + Cl ´ Cs) = 40（厘米）,

ñ (Cs ´ Cl) = 20（厘米）. (21.5)

2. 把算式 (21.3a) 和算式 (21.5) 相减，得到

(T + Cs ´ Cl) ´ (Cs ´ Cl) = 130（厘米）,

ñ T = 130（厘米）. (21.6)

我们还可以这样来做构造性地想一想：把右边的桌子磊到左边的的上方。这个时候我们发现，第一张桌子上会站着两只猫，地下趴着一只猫，第二张桌子上趴着一只猫。两端图中画出来的高度差完全首尾相接起来了，并且，其整体高度差正好就是两张桌子的高度之和：地上趴着的猫和第二张桌

166 第二十一章代数初步：用字母表示代表关系的算式

子上面趴着的猫高度正好相互抵消。于是，我们有

2 ˆ T = 260（厘米）ñ T = 130（厘米）. (21.7)

这个结果正好就是把算式 (21.3a) 和算式 (21.3b) 相加得到的结果。所以，这两个巧妙思考的过程，仍然就是代数计算的过程：第一个“想

一想”解法代表算式 (21.3a) 和算式 (21.3b) 相减，第二个“想一想”解法代表算式 (21.3a) 和算式 (21.3b) 相加。将来我们会发现，不仅仅上面的思考，大量的其他的推理论证，包含几何问题和几何问题的思考、一部分科学问题的思考，可以数学化代数化。这道题是完全编出来的（找个更好的背景，换掉这道题）。你就当做思

维练习就好。

21.3 函数初步：给关系一个名字


21.5 作业

21.6 本章小结

第二十二章几种多边形和它们的面积

22.1 多边形和多边形内角和

三角形的内角和，直角、平角、周角。多边形内角和

22.2 可计算的单位

平方，单位的计算。

22.3 三角形、四边形和面积

从加减乘除运算，加上分格子，到长方形的面积，再加上割补，到多边形的面积。平行线公理以及留待将来解决的问题。长方形和正方形的逻辑关系，梯形和平行四边形的逻辑关系。精确的定义，做图。割补的思想

22.4 序列求和和面积

假设相似三角形的性质是边的比例不变。四边形和完全相同的数的序列、三角形和等差序列，微积分的思想长方形的面积比较简单。我们来把长方形的每一条边都分成单位长度

的小格。比如说，长方形的长是 100 厘米，我们就把这个边分成 1 厘米的小格。这样的小格可以画出来 100 格。类似的，我们把长方形的宽也分成同样的单位长度的小格。我们会发现，我们正好把长方形分成了长方形的宽

167

168 第二十二章几种多边形和它们的面积

这么多层，每一层的小格的数量正好就是长方形的长的数量。注意，这个时候，每个小格的面积都是一个基本单位的面积。例如，对于我们的例子，画出来的小格的面积就是平方厘米。于是，我们有多少个小格，就代表长方形的面积有多少个平方厘米。因此，

S = a ˆ b. (22.1)

其实我们还可以从序列的角度来看：我们写下来每一层的格子数（这个数都相同，数值是长方形的长的长度），总共需要写下来长方形的宽这么多个数字。问这些个数的和是多少？这个和就代表了长方形的面积。把很多歌相同的数加起来，自然就是乘法。于是我们同样得到前面的长方形面积公式。平行四边形面积：做高，割补。三角形求和有两个方法：等差序列求和、割补。割补比较简单。我们先

在一条底边上做一个高。沿着高把高左边和右边的三角形各自复制一份，翻上去，补充到这两个三角形上面。我们会得到一个长方形，其边长分别是三角形的底边的长度和高的长度。于是，我们得到三角形的面积就是这个长方形面积的一半，也就是

S =1

2ˆ a ˆ h. (22.2)

注意，a 和 h 是配套的，高必须是对应的底边上的高。等差序列求和的方法是：我们把三角形的一条底边平行地在三角形内

来划线，把三角形分成很多很多条带有一定厚度的底边。例如我们要求厚度刚好就是一个标准单位。例如，如果高是 100 厘米，我们就把每一条和底边平行的三角形内的线段的厚度设成 1 厘米。这样，我们发现，刚好需要在三角形内分出来 100˜ 1 这么多条厚度为 1 的线段。这些个线段的长度构成一个等差序列：最大值是原来三角形底边的长度，最小值就是 0，这样的线段有高的长度这么多条。于是，按照等差序列的求和的方法，把最大值（底边长度）和最小值（0）加起来除以 2，然后乘以这些数的个数，我们同样得到三角形的面积公式。至于为什么这些线段的长度构成的就是一个等差序列这个问题，我们

留待以后证明。不过，我们知道这些由画出来的线段和原来的顶点构成的三角形的形状都是一样的，因此，高越长，肯定对应的底边肯定越长，而且，这格长度的增加是等比例的。不过，就算我们不通过这个等差序列的求和来推到三角形的面积公式，

通过割补还有运用长方形，我们也得到了三角形的面积公式。

22.5 勾股定理及其证明 ˚ 169

这个等差序列的计算方法包含了一个叫做积分的重要思想。将来我们会再次用到。

三角形面积其实还有一个办法：直接把整个三角形翻上去，构成平行四边形。既然平行四边形的面积前面已经得到，则三角形的面积就是平行四边形的一半。或者说，平行四边形的面积，如果在已经得到三角形的面积计算公式的基础上，就是三角形面积的两倍。这样的逻辑链条的建立是学习和研究数学非常重要的一环。

22.5 勾股定理及其证明 ˚

勾股定理也称Pythagoras 定理，说的是

定理 22.1: 勾股定理

平面上直角三角形的两条直接边的长度记为 a、b，斜边的长度记为c，则

c2 = a2 + b2 (22.3)

这一节是选读章节。你可以跳过这一节，暂时记住上面这个直角三角形的性质就可以。

证明 22.1. 基于单位的证明。对于直角三角形来说，其形状由两个因素决定，要么就是两个直角边的长度，要么就是一个斜边的长度和一个直角边的的长度，要么就是一个斜边的长度和一个斜边到直角边的夹角。每一个上面的条件决定了一个直角三角形这一点，我们可以通过做图来验证。为了下面的证明方便，我们取斜边长度和斜边的长度 c 和直角边的夹角 θ 当作直角三角形的形状的决定因素。于是，我们知道，直角三角形的面积，尽管我们还不会计算，肯定是 S = s (c, θ)。其中，我们知道，c 的单位是长度的单位，例如米；S 的单位是面积的单位，例如平方米。按照可计算的单位的原则1，我们可以知道，S 和 c 之间的关系，肯定是，

S = λ (θ) c2 (22.4)

注意，这里角度 θ 就是一个数，没有单位。

1更一般地，这个原则称为“量刚定理”，也是可以严格证明的。


A

B

C

D

θθ

图 22.1: 基于单位可计算而且算出来的单位要和所要求出来的量的单位一样这个理念（量刚定理），可以证明勾股定理。其中，直角三角形决定因素的确定和选择是关键。

于是，我们在这个直角三角形里面，做一条的斜边上的高 CD，可以把这个三角形分成两个小的直角三角形 △ACD 和 △BCD，如图图 22.1，其面积分别为

S = λ (θ) b2, S = λ (θ) a2. (22.5)

这两个直角三角形合起来正好就是原来的三角形，于是面积也相同，所以，

λ (θ) c2 = λ (θ)(a2 + b2

). (22.6)

只要 λ (θ) ‰ 0（对于需要计算面积的三角形，这个条件自然满足），方程两边同时除以 λ (θ)，就得到

c2 = a2 + b2. (22.7)

这个证明，按照 Wikipedia，是Einstein提出来的2，也可以在赵凯华的《定性和半定量物理学》[11] 上找到。

证明 22.2. 基于割补图形的证明这个来自于Pythagoras的证明是这样的，首先，把一个边长为 a + b 的正方形做两种不同的分割。第一种分割是四个相同的直角三角形把边长为 c 的正方形围在中间。第二种分割是把四个三角形两两组合起来，剩下的是一个边长为 a 的正方形和一个边长为 b 的正方形。按照总面积不变，四个三角形的面积之和也不变，我们得到，

c2 = S Total ´ 4 ˆ S △ = a2 + b2. (22.8)


图 22.2: 把一个边长为 a + b 的正方形做两种不同的分割，可以得到中间区域不同的图形，但是总面积不变，染色部分的面积也不变。图片来自于Wikipedia 的 Pythagorean Theorem 词条，感谢William B. Faulk。2018年 10 月 8 日访问。

在这个图形切分的过程中，我们实际上用到了直角三角形的两个锐角之和等于一个直角的度数的性质，也就是三角形内角和等于平角的度数的性质。

巴比伦人、印度人、中国人和希腊人都提出过类似的定理，但是，现在基本上认为是Pythagoras或者是Pythagoras学派首先证明的这个定理。对于一个定理来说，提出猜想固然是最重要的最具有突破性和想象力

的一步，但是，严格地证明定理，也就是把这个定理建立在一个定义和公理的基础之上，或者直接当作公理的一部分，是非常重要的：只有经过这样的严格化，才能真的成为数学的形式语言体系的一部分。

同时，往往经过这样的证明，就可以使得这个定理更加具有一般性，能够用于任何满足条件的问题，而不是基于具体的例子，例如“勾三股四弦五”。形式化和证明，是数学从具体情景走向一般理论的重要武器。

小知识 22.1 (勾股定理的历史). 历史上，现有勾股数的发现，然后是斜边的计算方法，也就是有了发现勾股数的计算方法，最后才是勾股定理的证明。

下面的勾股定理的简单历史来自于Wikipedia“Pythagorean Theorem”页面（英文版页面3，不是中文版页面）。这个页面上整理了前人关于这个定理和这个定理的历史的研究和记录。

2见Wikipedia 的 Pythagorean Theorem 词条，2018 年 10 月 8 日访问。3https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem，2018 年 10 月 8 日访问。

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_theorem





大概公元前 17 世纪以前，巴比伦人就发现了勾股数的存在。大约公元前 5 世纪，印度人也有了勾股数的记载，甚至对勾股定理的证明做了尝试，并且在等腰直角三角形这个特殊的直角三角形上完成了证明。在成书于大约公元前 2 世纪到公元 2 世纪之间的中国的《九章算术》上有勾股数和勾股数的计算方法的记载。《周髀算经》上有一段的发生在公元前 10 世纪左右的对话，提到了勾股数和勾股数的计算方法。不过在中国，直到勾股定理的证明则直到公元 2 世纪才有，例如刘徽的“青朱出入图”。Pythagoras的证明并没有直接的记录。不过，有离Pythagoras不太远的数学家（大约公元前 5 世纪），有把勾股定理的证明归功于Pythagoras的书面记录。成书于公元前 3 世纪的Euclid的《几何原本》[12] 不仅描述了定理还给了基于公理化数学体系的这个定理的证明。

一组偶然发现的具有某个性质的数，推广成好多组具有这个性质的数，找到这些数的关系成立的场景，形成特定的计算方法，也就是得到定理，已经是非常不容易的事情，更不用说还要去寻找和找到这个定理的证明。这在历史上可能需要很长时间的积累才能完成的事情。但是，这个和找到一个公理化的逻辑体系，也就是从尽量少的几条假设出发，加上定义，通过逻辑的演绎来建立整个数学的体系，是不一样的。

从这一点上，《几何原本》[12] 的价值是不可估量的。建议我们的老师和家长读者们都去看看，至少前面几条假设是什么，并且尝试证明一个定理。相信我你们绝对超过两千多年前的人的知识水平。建立我们的小学生读者们，也去尝试看看。如果看不懂，记得上初中（8 ´ 9 年级）的时候，再来看看这本极大地推动了人类文明的发展的书。

22.5.1 从勾股定理到正弦函数 ˚

我们已经知道了直角三角形的决定变量可以取 c, θ，也就是说，实际上，直角边的长度也应该是 c, θ 的函数，也就是，

a = f (θ) c, b = g (θ) c. (22.9)

其中，我们再一次用了单位可计算（量刚定理）的原则。由于给定角度以后，这个 f (θ) 和 g (θ) 的值完全确定，我们给这两个常数（在给定 θ 的条件下）一个名字，

sin (θ) =ac, cos (θ) = b

c. (22.10)


A

B CD

E FG

θϕ

图 22.3: 三角形内平行底边的线段的长度可以通过高和正弦余弦函数来计算。

也就是 sin 的值是对边的长度比上斜边，是 cos 的值是临边的长度比上斜边。注意，之所以能够定义这两个常数，是因为我们已经知道这两个常数的存在，也就是说，在直角三角形里面对边比上斜边得到的比例肯定和角度是对应的，也就是说，只要角度一样，就算斜边长度不一样，则这个比例仍然是一样的。这个事实非常重要。有了这个事实，我们才能够定义这个角度的sin 和 cos 的值。一旦我们有了这个正弦和余弦函数，就可以用来计算前面提到过的三

角形的等比例边长等问题了。我们现在就来用这两个函数来演示一下为什么之前三角形内部划出来的边构成一个等差序列。

例 22.1 (三角形内部平行底边的长度构成等差序列). 如图 22.3 我们通过高和角 θ 的正弦和余弦函数来计算三角形内平行于底边的线段的长度。通过这个计算，我们来证明，只要每一条线段把高均匀切分，则这个线段的长度也是均匀增加的，也就是构成一个等差序列。

我们来算一下线段 EF 的长度。为了计算 EF 我们先来算算 EG 和 θ角以及 AG 的关系可以表示为：

EG = AE sin (θ), AG = AE cos (θ) ñ EG = AGsin (θ)

cos (θ) . (22.11)

同理，右侧，

GF = AF sin (θ), AG = AF cos (θ) ñ GF = AGsin (ϕ)

cos (ϕ) . (22.12)


合起来，

EF = AG(sin (θ)

cos (θ) +sin (ϕ)

cos (ϕ)

). (22.13)

也就是说，EF 的长度和 AG 的长度一一对应，后面的不过就是一个常数。于是，只要我们切分高的时候均匀切分，EF 的长度也是从底边长度 BC 均匀地缩小成 0。也就是说，各个平行于底边的线段的长度构成一个等差序列。

再次强调，这个计算过程不一定要学会，甚至不一定看懂，只需要明白，基于目前的知识，我们实际上是可以证明“三角形内部平行底边的长度，只要按照把高切成等份的方式来切分，则构成等差序列”就可以了。而一旦证明了这个结果，我们就可以用数数和等差序列求和的方法来计算三角形的面积。我们于是得到三角形面积的算式，底边乘以高除以 2。

22.6 圆的周长和面积

圆就是一个平面上各个点到中间那个点的举例都一样的图形。所以，圆的两个要素：中心点和半径（(r)）。中心点移动不改变面积、周长，因此，圆的形状直积上只由一个变量矩诶的嗯，也就是 C = f (r) 和 C = g (r)。按照量刚分析，

C = Π ¨ R (22.14)

实际上还可以考虑一个圆内接多边形的周长的极限过程。这个极限的计算需要用到比较复杂的数学计算。这里给出来这个计算的过程和结果，仅仅是为了更好地体会到解决这个问题的过程中的极限的思想。不过，就算不做这个计算，只要我们知道，是某一个常数，就差不多了。我们可以管这个常数就叫做 Π，然后用构建个圆内接多边形并且计算其周长的极限过程，来估计这个数。将来我们会发现，我们这里的常数，实际上是

Π = 2π « 6.28 (22.15)

现在，我们运用勾股定理来给出来这个常数的一个估计。我们先来看看一个圆的内积正四边形。我们发现，这个正四边形的边长是 d =

?2r。

这是因为三角形 △AOB 是一个直角三角形，并且两条直角边的长度是 R，d =

?R2 + R2 =

?2R。于是，这个正四边形的周长就是

Că4 = 4 ˆ

?2R « 4.848R. (22.16)

22.6 圆的周长和面积 175

我们还可以看看圆外切四边形，其边长为 2R，因此其周长为

Cą4 = 4 ˆ 2R = 8R. (22.17)

于是，我们得到圆的周长应该介于两者之间，也就是

4?2 ă Π ă 8. (22.18)

我们可以试试圆内接和外切正六边形。六边形在圆内是一个特殊的存在：一个周角刚好是 3600，因此，一个正六边形正好就是把整个圆分成六个等边三角形（见习题 22.3），也就是说，圆内接正六边形的边长正好就是半径长度。于是，其周长就是

Că6 = 6R. (22.19)

再考虑圆外切正六边形，我们发现，其每一个部分是一个直角边为 R 的直角三角形，并且其中一个锐角是 300，于是边长为

?3

3R（见习题 22.2），其

周长为

Cą6 = 3

?2R « 6.928R. (22.20)

也就是说，

6 ă Π ă 6.928. (22.21)

我们可以把这个过程一直做下去。为了计算简单，我们下面仅考虑内接正多边形，并且仅考虑六的倍数的多边形，例如正 12 边形、正 24 边形、正36 边形，...我们这样做的理念是，我们认为，随着 n的增加，圆内正 n边形的周长

会越来越接近圆的周长。当然，我们还发现，正 6n 边形特别容易构造，只要在正六边形的基础上不断地切一半就行。我们先来算正 12 边形的周长，利用图中的小直角三角形（这部分计算不需要掌握，就算是选学这部分内容的学生，也不需要掌握，只要能够看懂思路即可。当然，能学会计算就更好了）。

dă12 =

d

R2

4+

(R ´

?3

2R)2,

Că12 = 12

d

1

4+

(1 ´

?3

2

)2R « 6.212R.


所以，

6.212 ă Π. (22.22)

类似地我们可以估计出来上限。如果我们继续算下去，考虑正 24 边形，我们可以得到更准确的 Π的估计值。实际上，刘徽的割圆术就用的这个方法4。祖冲之的计算方法没有明确记载只有结果的记录，不过，大家相信也是这样计算的。

我们发现，从正四边形，到正六边形，到正十二边形，我们对 Π 的估计已经从 4.848 到了 6 到了 6.212。离我们现在知道的 6.28 越来越近了。

这就是极限的思想和夹逼的思想。前者说，只要我们不断地做下去，就会越来越逼近想要的真实情况。后者说，对于一个需要估计或者计算的东西，我们可以从更小值和更大值两个角度来逼近。

以后为了统一符号，我们记常数 Π 为 2π，并且在计算中用

π « 3.14 (22.23)

当做近似值。于是，圆的周长和半径的关系就是，

C = 2πR. (22.24)

小知识 22.2 (π 的估计的历史). 下面关于 π 的估计值甚至准确表达式的历史，来自于Wikipedia“圆周率”词条5。这次把Wikipedia 页面翻译成中文的 Wikipedia 贡献者做了非常忠实的翻译。目前认为，公元前 250年，希腊数学家物理学家Archimedes发明了我们

前面使用的 π 的正多边形上下逼近估计。公元 5 世纪，南宋数学家祖冲之用，据认为是，同样的方法将圆周率计算到小数点后 7 位数字。大约同时，印度的数学家也将圆周率计算到小数点后 5 位。历史上首个 π 的精确无穷级数公式大约在 15 世纪由印度数学家发现。

有了圆的周长的计算方法之后，我们就可以来计算圆的面积了。根据单位的计算，我们已经猜测圆的面积肯定是某个常数乘上半径的平方，也就是S „ R2。现在我们来找出来这个常数。这个方法和之前我们推导出来三角形的面积公式一样。给定一个半径为 R 的圆，它的周长就是 2πR。这个周长随着半径变短不断地减小。也就是说，如果我们在圆内不断地画圈，缩短半径

4见 Wikipedia割圆术 (刘徽) 条目。2018 年 10 月 8 日访问。5https://zh.wikipedia.org/wiki/圆周率。2018 年 10 月 8 日访问。

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87

https://en.wikipedia.org/wiki/Liu_Hui%27s_%CF%80_algorithm

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%93%E5%91%A8%E7%8E%87

22.6 圆的周长和面积 177

为 r，一直到圆心，我们就可以铺满整个圆。这时候，r 从 R 变成了 0。每一步这样的圆的周长就是 2πr。我们可以把这样的周长排成一个三角形，也就是一个等差序列：从 2πR 慢慢地变成 0。对于这个三角形，我们只需要知道这个三角形的高就可以算出来这个三角形的面积。我们说，这个三角形的高度就是 R。于是，面积就是

S =1

22πR ˆ R = πR2. (22.25)

现在，我们来说明为什么这个三角形的高刚好就是 R。对于一个半径 R

就是比如说 100 厘米的圆，试想你用一层层厚度固定但是厚度比较小例如1 厘米的圆周线来填满这个圆。你觉得需要多少个这样的圆周线来填满？肯定就是 100 ˜ 1 = 100 个这样的圆周线。也就是，对于半径为 R 的圆，我们以一个个厚度为一个标准单位来填满这个圆，我们刚好需要 R 个这样的圆周线。每一个圆周线上的面积，刚好就是圆周线的周长乘以这个厚度单位。于是，每一圈的面积刚好就是 2πr，而且我们需要 R 个这样的圆周线。每一个圆周线的半径就是 r。r 从最外圈的 R 到最内圈的 0。于是，圆周线的长度为 2πr。这样就给出来了一个底边长度为 2πR，高为 R，每一层的厚度就是一个

单位长度的三角形。这个三角形的面积就是底乘以高除以 2，也就是 πR2。通过把一个几何图形切分成一条一条，然后把这个一条一条看做三角

形长方形等已经知道如何计算面积的多边形来来计算几何图形的面积，是一个非常重要的思想，是积分思想的雏形。圆的面积的计算还有一种拆分的方法：把圆周切成很多个等份，每一

个切分的点都和圆心连起来，沿着这些半径连线剪开，不要间断圆周，再把圆周展开拉平可以得到一个锯齿状的图形。可以发现，这个图形就是一个个的三角形。每一个三角形的面积都是底乘以高除以 2，所以合起来就是元的周长乘以高除以 2。只要这个高就是 R，我们还是得到同样的算式，S = 1

2ˆ 2πR ˆ R = πR2。至于为什么这个高就刚好是 R，大概可以这样来想

象一下，注意是想象不是严格的证明：每一个三角形都是一个等腰三角形，腰的长度就是 R，由于每一个底边非常非常小，因此，这个三角形的高也非常非常接近腰的长度。

小知识 22.3 (祖�原理（Cavalieri 原理）). 这个定理（将来是可以通过高等数学的微积分来证明的，在初等数学阶段可以暂时当做一个原理）：如果两个几何面高度相同，并且高上的每一点对应位置的每一条线在两个几何面


之间一一对应且长度也相同，则两个几何面的面积完全相同，被称为祖�原理或者Cavalieri 原理。在中国，这是祖冲之的儿子祖�之（也被称为祖�）在公元五世纪提出

来，并用来解决几何体的体积的问题的。公元 17 世纪Cavalieri 提出并运用了同样的原理。从思想上，这个原理可以认为是微积分思想的源头。更早的包含这个思想的工作，可以认为是Archimedes在处理圆锥体圆柱体和球的体积工作。更多信息见 Wikiepdia“Cavalieri’s principle词条”或者是中文版“祖�原理词条”。

下一章，我们还会遇到体积版本的祖�原理：如果两个几何体高度相同，并且高上的每一点对应位置的每一个面在两个几何面之间一一对应且面积也相同，则两个几何体的体积完全相同。


22.8 作业

习题 22.1 (圆内等边三角形). 证明有一个角等于 600 的三角形肯定是等边三角形。

习题 22.2 (300 锐角的直角三角形边的长度关系). 查表、测量或者计算，得到 300 锐角的直角三角形边的长度关系，也就是对边和斜边的比、临边和斜边的比，临边和对边的比。



习题 22.5 (对其他同学复述本章知识之间的联系). 用自己的话，来复述本章主要结果之间的逻辑关系。可以参考图 22.4，甚至自己来做一个这样的图。注意这张图没有把圆的周长、π 还有圆的面积放进去。这个任务留给你。

习题 22.6 (引导复述本章知识之间的联系). 如果上一道“用自己的话，来复

https://en.wikipedia.org/wiki/Cavalieri%27s_principle

22.8 作业 179

述本章主要结果之间的逻辑关系”有难度，试试按照下面的样子来填空。

例如，我们可以这样来整理。对一个长为 8 厘米宽为 6 厘米的长方形得到长为米厘米宽为厘米的小正方形格子。其中，每个小格子的面积就是规定好的。于是，面积是多少的问题就成了。对划分好的长方形就是运算。

对于任何长和宽的长方形我们都可以重复场面的过程，也就是划分成边长为的正方形，然后，于是得到长方形的面积计算方法就是。

有了长方形的面积，我们来解决平行四边形的面积的计算的问题。做平行四边形一条底边上到对面两个顶点的，然后我们把这个三角形，就得到一个我们已经知道如何计算面积的。所以，平行四边形的面积计算方法是。

有了平行四边形的面积，我们通过就得到三角形的面积计算方法：。

如果不依赖于平行四边形和长方形，三角形面积的计算还可以通过来计算。

有了三角形，我们通过就得到梯形的面积计算方法：。

接着，我们证明了勾股定理。其中，我们主要学习了通过我们通过和来证明勾股定理。

我们学习勾股定理是为了用它来解决圆周率 π 的估计的问题。在估计π 的数值之前，我们需要猜出来圆的面积和周长的计算公式。这其中最关键的是注意到圆的形状决定于个变量，也就是，并且用好面积单位可计算这一点。有了对面积和周长公式中的常数的需求（要注意到这两个常数实际上，有了周长可以算出来面积，因为），我们就可以通过和的思想（大概描述一下这两个思想和这个过程）来得到圆周率 π 了。

从这个复习，我们不仅仅知道了几个多边形（、、、）的面积计算公式，还知道了这些多边形的面积计算公式还是相联系的，并且都是从我们一二年级就学习过的开始的。从这个复习中，我们还更加深刻地体会到了“系联性思考”和“批判性思维”：从一个之前的知识，一个更加简单的基础开始来通过和严密的来解


决更加复杂的问题。

最后再更简单地总结（也可以画图）一下：

1. 基于长度和面积单位的定义以及乘法和加法的关系，通过对长方形做和我们得到了长方形的面积公式；

2. 通过对平行四边形做我们得到了其面积计算公式；

3. 通过把三角形变形成为或者，或者运用求和的方法，我们得到了其面积计算公式；

4. 通过把梯形变形成为，我们得到了其面积计算公式；

5. 通过或者我们证明了勾股定理；

6. 运用圆的形状的决定因素只有，加上单位，我们得到了圆的周长和面积的计算公式和，其中缺一个叫做的常数；

7. 通过运用和，我们计算了圆的周长和半径的关系，得到了，其中计算过程中我们用到了定理；

8. 有了圆周率常数 π 和圆的周长公式，通过或者，我们得到了圆的面积的计算公式。

9. 以上所有的计算和推理的过程，我们的基础是

知识：长度和面积单位的定义、长方形、平行四边形、三角形、梯形的定义、单位可计算、自然数的加法和乘法（以及乘法和加法的关系）、等差数列求和的计算；

分析方法：割补的方法、逼近和极限的方法、积分的朴素思想（分割成细条以后再加起来）；

思维方式：系联性思考和批判性思维（推理的每一步都要有严格的证明，证明的每一步都要有坚实的基础）和把几何问题转变为算数计算和带字母的公式计算这个重要的数学思想。

22.9 本章小结 181

顺便，这也是做为本书练习册编撰的一个例子。练习题编写的原则如下：

目的：一方面多增加一点练习题，帮助学生提高熟练程度和内化知识；另一方面，要起到帮助学生铺垫好台阶的作用，更好地理解教材内容的作用。

形式：可以是对教材中部分习题的提示性解法，可以是有关键思维步骤提示的填空题，也可以有很少一部分计算题，还可以有完全没格式没提示的问题，还可以有偏实际的需要建模甚至实践的问题。

怎么做：练习题编写者在看透教材（明白最关键的信息——也就是学科大图景、清楚具体知识和学科大图景的联系、看到例题和习题在哪些地方促进学生理解学科大图景）的基础上，对每一道题做分解——哪些关键步骤、这些关键步骤中的什么地方可以给一些提示、学生自己完成的部分能不能有不同的台阶适合不同程度的学生。

关键就是一定要细致，要做分解，要围绕教材主要信息和思路，要设身处地地站在学生的角度来思考，不能就是题。

22.9 本章小结

这一章，从数数和单位可计算开始，我们得到了长方形的面积的算式，接着依靠长方形的面积的算式得到了平行四边形的面积的算式，接着依靠平行四边形的面积的算式，我们得到了三角形的面积的算式，接着依靠三角形的面积的算式，我们得到了梯形的面积的算式。然后，我们依靠割补的思想，证明了勾股定理。中间，依靠单位可计算，我们知道了圆的周长和面积的大概的算式。留下两个常熟。接着依靠勾股定理和夹逼、极限的思想，估计出来了这个常熟的近似值。再次运用割补的思想积分的思想，我们从圆的周长的算式得到了圆的面积的算式，我们发现周长和面积里面的两个常数其实是很好地联系在一起的。沿着同样的思路，用同样的思想，我们还得到了一系列多面体的体积的算式。


图 22.4: 在本章中，我们以数数和单位可计算为出发点，运用割补、极限、积分的思想，依靠概念之间的联系，得到了多边形圆形的面积算式。考虑横版印刷此图。

所有的这些算式固然是可以直接就让学生先记住的，而且，我们这样的论证的过程中有一部分计算还比较难，但是，我们通过这个论证想传达的信息就是：所有的算式，都（有可能）有一个能够想通的基于更基本的概念和思想的基础，并且，在数学中，认识到这个基础，以及能够通过这样的演绎逻辑来思考，是非常重要的。这个演绎逻辑体系的重要性，对于这个演绎逻辑体系的追求的重要性，远远超过算的快的重要性和对算得快的追求的重要性。整章的主要概念和主要思想，以及概念之间的关系、概念和思想之间的

关系，都总结在了图 22.4 中。注意，除了数学的演绎的体系，依靠概念之间的联系来学习和整理也是要学会的学习方法。

第二十三章几种多面体和它们的表面积、体积

立方，单位的计算。

23.1 简单形状的体积公式

从数数到面积公式——V = sh。

23.2 长方体、圆柱体的面积和体积


23.4 作业

23.5 本章小结

183

184 第二十三章几种多面体和它们的表面积、体积

第二十四章综合算式练习和思考深度

化分步计算为综合算式，提高思考的深度，构造性解题，例如鸡兔同笼、多种硬币，多种关系的结合，大量问题背后相同的关系，多用例题


24.2 作业

24.3 本章小结

185

186 第二十四章综合算式练习和思考深度

第二十五章关系和运算进阶

25.1 数学 WHWM 四问

1. What：要算出来的是什么，用来算的是什么？

2. How：要算出来的和用来算的是如何联系起来的，是什么关系？

3. Why：这个关系用什么数学算式来计算，为什么这样算？

4. Meaningful：你觉得这个问题怎么样，这样的求解方式怎么样，这个答案对吗？

25.2 数学四步

1. 提出问题，从现象或者逻辑开始

2. 问题数学化，也就是把问题表达成一个数学问题

3. 数学化之后的问题的求解

4. 解的检验、解法以及问题的可能的推广

25.3 数学建模初步：四问和四步的运用

187

188 第二十五章关系和运算进阶

第二十六章编个程序来算

数学不等于计算，数学远远不止于计算。...... 在学习数学的时候，我认为我们应该一直让计算机来做计算。仅仅当让学生用手算真的是能够提高对数学的理解的时候，才让学生用手算。

– Conrad Wolfram(康拉德·沃尔夫拉姆)

数学不是计算，计算仅仅是数学四步中最不重要的第三步。而且，和其他三步比起来，实际教学中的数学计算更加的不重要：这些计算的过程和方法都是已经被发明了的。因此，数学的计算仅仅在让学生尝试发明一下怎么算的时候，或者是，算一下可以更加相信这个逻辑过程论证过程的时候，才是有意义的。完全重复性的，不学习、思考和体会新东西的计算是完全没有必要的。这样的计算应该完全交给计算机来帮你完成，节省你的时间，用来更好地体会其他的三步，用来完成那些促进思考、体会和学习的计算，用来尝试自己发现发明计算的方法。为了这个目的，你必须学会如何编程序：编程序的思想和程序语言知识。在这里，我们主要关注前者，尽管也用了一门具体的语言来实际实现这些计算的例子。

26.1 用程序来完成计算任务

和计算器比较一下，每一步干什么要明确，面向过程的思考方式用Python 语言？

26.2 用程序来完成模型构建

面向对象的思考方式

189

190 第二十六章编个程序来算

26.3 用程序来完成证明 ˚

证明过程的计算机实现。


推荐老师们再看一遍Wolfram的 Ted Talk “Teaching kids real mathwith computers（通过计算机来教孩子们真的数学）”。

26.5 作业

习题 26.1 (π 的夹逼计算). 按照 22.6 节的思路，编写一个程序，算出来 π的近似值。最少要保证两位数字准确，当然，希望你能够保证更多的数字准确。

习题 26.2 (π 的计算). 去查一查还有没有其他的计算 π 的方法，用计算机编程实现一下。

26.6 本章小结

在这一章里面，我们学习了简单的编程，以及几种深刻的编程的思想。第一种，搞清楚计算过程的每一步，用程序实现。第二种，搞清楚一个问题里面有哪些因素，因素之间的关系是什么，这些个因素合在一起之后可能会发生什么事情，用程序实现。在数学学习中，很多学习者把主要的时间都花在熟练如何做计算上，而

不是思考为什么可以这样算，还可以怎么使用这些学过的计算等更加有意思的问题。用计算机来帮助你计算，并且是用自己编写的程序来帮助计算，可以更清楚地把握计算的每一步，同时节省下来时间用于思考。

第二十七章再次看数学的论证

古希腊人发现了数学和演绎的艺术。这一点尤其体现在几何这个古希腊人开创的学科上。没有它就不可能有现代科学。

– Russell（罗素）

在前面的章节里面，我们从数数和计算建立了长方形的面积公式，从面积分割推导出来了勾股定理，用勾股定理来实现了割圆术的计算，通过极限和夹逼得到了圆周率的近似值，从圆周率和圆周长公式得到圆面积公式。所有的这些，每一步都在为后面的内容做逻辑上的铺垫。这样，我们最后以及过程中的每一步得到的结果才是可靠的结果。这就是数学的论证。

当然，我们甚至可以继续追问，数数的基础呢，面积分割之后总体不变的基础呢？其实，我们也稍微回答了一下，尽管不够严格而且将来可以做到严格。研究就必须找到更加基本的人人都能够接受的一个共同基础，然后，从这个共同基础通过演绎证明——也就是把这个基础里面的不同的条目，通过组合和增加定义具体情形，来得到所有的结果。这其实就是Euclid在《几何原本》[12] 里面完成的事情。这个人人都能接受的共同基础叫做公理。这样的公理有 5 条。从这个公里开始，通过演绎推理，也就是组合这些公理、组合这些定义和补充一下新的条件来定义新的概念，并且通过组合这些公理并用于讨论这些新的概念之间的联系以及新的概念和已有的概念之间的联系，就得到了新的结论——这些结论被称为命题（证明之前）或者定理（证明之后）。这就是数学的论证。

在本章中，除了把前面的各个部分的逻辑重新整理一下，帮助读者更好地体会数学的论证之外，我们还将稍微具体地介绍一下什么是演绎证明，以及几种具体的演绎证明。

推荐阅读材料，建议去浏览一下《几何原本》[12]，至少去看看 5 条公理都是些什么，看看能够得到哪些定理。将来到初中你会学到其中的演绎论

191

192 第二十七章再次看数学的论证

证部分，也就是从这几条公理推导出来那些定理的细节。

27.1 演绎初步

演绎证明，也就是从给定的大家都承认的论断（公理）和之前已经证明的定理出发，来证明新的论断的这样一个过程，是数学证明中最重要的方式。演绎证明经常通过组合这些已有论断以及和新的定义结合，采用从一般到特殊的方式，也就是把面对的问题转化成已经接受或者证明的论断的情形，来证明新的论断。

下面，我们来通过几个例子来看看什么是演绎证明。

27.1.1 一般和例子

27.1.2 反证法

反证法成立的基础是没有一个论断可以同时是正确的又是错误的。因此，只要我们证明了“这个命题是错误的”不成立，则就相当于证明了“这个命题是正确的”成立。或者，反过来证明了“这个命题是正确的”不成立，则相当于证明了“这个命题是错误的”成立。两者都可以叫做反证法。有的时候，为了细分，把前者称为反证法——也就是证明“这个命题是错误的”不成立，而把后者称为归谬法——也就是证明“这个命题是正确的”不成立。其中，证明不成立的方式一般来说，就是通过演绎推理出来一个结论，而这个结论和已知条件、已经承认的公理，或者已经证明的定理，相矛盾。

例 27.1 (n2 的奇偶). 如果 n2 是一个奇数，证明 n 也是一个奇数。

如果我们想正面证明这个命题，则我们这样做：由于 n2 是一个奇数，我们总是可以假设 n2 = 2k+1，其中 k 是一个非负整数。于是，n =

?2k + 1。

但是，证明 n =?2k + 1 是一个奇数还是有一定难度的。而且，看起来，证

明 n =?2k + 1 不可能是一个偶数看起来更加简单。

例如我们可以假设它是偶数，则 n =?2k + 1 = 2m, 其中 m 是一个非

负整数，于是，我们得到，k = 2m2 ´ 12，这不可能是一个整数，矛盾。

这启发我们用反证法可能会有一个更加简单的证明。

证明 27.1 (反证法). 假设 n 是一个偶数，我们总是可以假设 n = 2k，其中 k

是一个非负整数。于是，n2 = 4k2，也是一个偶数，矛盾。所以原假设 n 是一个偶数错误，也就是说，n 是一个奇数。

27.1 演绎初步 193

在上面的证明过程中，正面证明比较复杂，反证法比较简单。

例 27.2 (n2 的奇偶). 如果 n 是一个奇数，证明 n2 也是一个奇数。

证明 27.2 (正面证明). 由于 n是一个奇数，我们总是可以假设 n = 2k+1，其中 k是一个非负整数。于是，n2 = (2k + 1)

2= 4k2+4k+1 = 2 (2k2 + 2k)+1，

所以是一个偶数加上 1，得到一个奇数。

证明 27.3 (反证法). 假设 n2 是一个偶数，我们总是可以假设 n2 = 2k，其中 k

是一个非负整数。于是，n =?2k还是一个整数。如果我们希望

?2k是一个

整数，则 k必须是一个偶数。如果 k = 2m+1是一个奇数，则 n = 2b

m + 12

不可能是一个整数。其中 m 是一个非负整数。如果 n = 2b

m + 12是一

个整数，则b

m + 12= d + 1

2或者

b

m + 12= d，其中 d 是一个非负整

数。（因为 2 只有乘上一个整数或者半整数才等于一个整数）。但是，这说明m = d2 + 2d ´ 0.25 或者 m = d2 ´ 0.5，而这不可能成立。一个整数减去一个真小数不可能得到一个整数。矛盾。所以原假设 n2 是一个偶数错误，也就是说，n2 是一个奇数。

在上面的证明过程中，实际上，我们多次用到了反证法——假设原命题不对，来推出矛盾。

证明 27.4 (另一个反证法). 现在我们来用反证法证明原命题的逆否命题：如果 n2 是一个偶数，则 n 是一个偶数。假设 n 不是一个偶数是奇数，则n = 2k+1，其中 k是一个非负整数。于是，n2 = 4k2+4k+1 = 2 (2k2 + 2k)+1

也是一个奇数，矛盾。

其实我们还可以尝试另一个正面证明：正面证明原命题的逆否命题，也就是如果 n2 是一个偶数，则 n 是一个偶数。在此省略。在这三个证明里面第一个正面证明和第二个反证法最简单。在运用第二个反证法的时候，我们还利用了原命题和逆否命题等价这个事实。

在实际问题中，当正面证明受阻的时候，经常可以试试反证法，或者等价的逆否命题正面证明或者反证法。

下面给出来一个非常著名的反证法的例子。

例 27.3 (?2 是一个分数吗). 证明

?2 不可能是一个分数。

证明 27.5 (反证法). r =?2 的含义是 r2 = 2。我们用反证法，所以先假设

r =?2 = q

p 是一个分数。任何一个分数我们总可以通过约分的方式把分子分母的公约数去掉。这里我们假设已经去掉了。于是 p, q 就是两个没有公


约数的非零整数。现在，我们有

q2 = 2p2 (27.1)

我们发现，2p2 肯定是一个偶数啊，也就是平方数 q2 肯定是一个偶数。按照我们上一个证明的结果，q 也偶数。也就是说，可以找到一个非零整数 m

使得 q = 2m，于是，

4m2 = 2p2 ñ p2 = 2m2. (27.2)

于是，同样的道理 p 也是一个偶数。q, p 都是偶数。这个和我们之前约定好的 p, q 是没有公约数矛盾。或者换过来说，就算假设一开始 q, p 有一个公约数，我们也会发现，这

个公约数必须是 2 的无穷多次方，因为每次把 q 除以 2 得到 m 之后，就可以证明这个 m 里面还是含有因数 2。一直延续下去。这个对于任何的有限大小的 p 都是不可能的。于是，我们证明了原命题，

?2 不可能是一个由有限大小的数字表示的

分数 qp，而一般而言，我们的分数就是这个含义。

这是一个非常出色的反证法的例子。?2 这个数字很容易得到，例如考

虑一个边长为 1 的三角形的斜边的长度，

c =?

a2 + b2 =?12 + 12 =

?2. (27.3)

于是，这个数是很容易造出来的，存在的。可是，这样一个数，竟然不是整数和分数。Pythagoras认为这个世界上最最复杂的数莫过于整数和分数了。这个来自于勾股定理的神奇的数，对于证明了这个定理的Pythagoras来说，非常难以接受。因此，后来也就有了这一类的不能表达成整数和分数的数的神奇的名字——无理数。当然，相应地，那些能够表达成整数和分数的数就叫做有理数。至于这个无理数到底是Pythagoras还是Pythagoras学派的其他人，例如Hippasus发现的，历史没有明确的记载1。

27.1.3 数学归纳法

27.2 集合和命题初步

这一节，我们来介绍数学里面最最核心的概念，集合。和之前把“集合”两个字当做日常语言使用不一样，今天过后，这两个字就要当做严格的数学

1见 Wikipedia无理数（irrational number）词条，2018 年 10 月 8 日访问。

https://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number

27.2 集合和命题初步 195

概念来使用了。

一个集合就是一堆放在一起的东西。这个东西被称为元素。这个元素可以是一个个的数，可以是一个个的苹果，可以是一支支的香蕉，可以是一个个的概念，可以是一个个的计算，可以是一个个的文字，等等等等。只要满足，这些集合中的元素是明确的就行。也就是说，给定任何一个东西，我们都可以明确地说出来，这个东西属于或者不属于这个集合。这一点非常重要。

例如，所有的偶数的集合就满足明确性的这个条件：给任何一个非负整数，如果能够被 2 整除，就是偶数，否则就不是偶数。所有的秃头的人集合就不满足这个条件：什么样的头叫做秃头是不明确的，有 1 根头发大概算秃头，有 100 根呢，101 根呢？

同时，为了以后用起来方便，还规定集合的元素必须是互不相同的，被称为互异性。将来遇到具有相同的元素的一个群体的时候，我们可以在集合的基础上，给每一个元素一个出现次数。这样就仍然能够描述具有相同的元素的群体了。将来在统计问题中，我们会遇到这样的情形。还需要特意指出来，集合的元素之间是没有顺序的，就是一对元素放在一起而已。每一个元素可能有一个名字或者编号，每一个名字或者编号对应着一个明确的实体。仅此而已。

定义 27.1. 具有一群明确的、互异的、无序的元素的整体就叫做集合。

其中最重要的就是明确性，互异性只是为了以后使用方便，而无序性只是补充说明集合的定义对元素没有顺序上的要求，放在一起就可以。

例 27.4 (一个数字的集合). A = t1u 是一个集合。这个集合只有一个元素，数字 1。我们可以写下来，1 P t1u，或者 1 P A。

例 27.5 (10 以下（不包含）的奇数的集合). A = t1, 3, 5, 7, 9u 是一个集合。这个集合元素是数字 1, 3, 5, 7, 9。我们可以写下来，1 P A, 3 P A。

为了表示数字 2 不属于“10 以下（不包含）的奇数的集合”，我们引入几个记号，“不属于”，记做，

2 R A, (27.4)

或者直接

2 R t1, 3, 5, 7, 9u . (27.5)

很多时候，我们可以用数字来给集合的元素一个编号。有的时候，甚至


这些元素本身就可以表达成数字，也就是数字之间的运算在这些元素上面是成立的，于是这些编号不仅仅是编号，还可以表示顺序、做四则运算等。我们可以用 A来代表一个集合，如果这个集合中的元素是一个一个数的

出来的，跟自然数类似的，则我们还可以给元素一个编号，A = ta1, a2, a3, . . . , aNu。这时候，我们记做，

ai P A, (27.6)

对于所有的 i = 1, 2, 3, ¨ ¨ ¨ ,N 都成立。其中的符号“P”读作“属于”，合起来就是元素 ai 属于集合 A。

当我们有两个或者两个以上的集合的时候，我们就可以来讨论集合之间的关系。两个集合之间可以有相同的元素，如图图 27.1(a)，也可以没有相同的元素，如图图 27.1(b)。在具有相同的元素的时候，也会出现某一个集合的所有的元素都属于另一个元素的情况，如图图 27.1(c)，这个时候我们称后面的集合包含前面的集合，或者倒过来，称前面的集合包含于后面的集合。我们给这样的包含关系一个专门的符号。

定义 27.2. 当集合 A 的任意一个元素（任意 a P A），都属于集合 B 的时候（都有 a P B），我们称集合 A 包含集合 B，记为 A Ă B，或者 B Ą A。

定义 27.3. 如果我们把某一个集合当做全集，则在这个全集里面，又不在集合 A 里面的元素构成的结合称为集合 A 的补集。


27.4 作业

27.5 本章和本卷小结


(a) (b)

(c)

图 27.1: 两个集合之间可能有 (a) 或者没有 (b) 这相同的元素。在有相同的元素的情况下，还可能出现全包含的情况 (c)。重新画，图 (b) 是分开的两个圆，去掉其中的字。去掉 (a) 中间那个 A X B。


第三部分

五、六年级篇

199

第二十八章数轴

整数和小数在数轴上的表示，能够填满吗，为什么要讨论能不能填满的问题？几何和代数的关系。平方和开方，无理数举例。

201

202 第二十八章数轴

第二十九章未知数方程

用假设一个未知数来简化思考，正面作答代替构造性解法，多举例，从关系到算式方程的来源、求解，求解的理由

203

204 第二十九章未知数方程

第三十章四则运算和运算律的字母表示

字母来表示数字，运算符号表示关系，运算律的简化和证明（仅仅依靠加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法对加法分配律来证明所有的运算律）、运算律在解方程上的应用

205

206 第三十章四则运算和运算律的字母表示

第三十一章 10 进制、二进制和 60

进制进阶

十进制、二进制、六十进制、电脑、角度、直角、平角单手数数到 31 的办法

207

208 第三十一章 10 进制、二进制和 60 进制进阶

第三十二章二维平面的方位，矢量初步

平面坐标、方位、直线上路程的计算和平面上路程的计算，为什么需要平面坐标，矢量初步

209

210 第三十二章二维平面的方位，矢量初步

第三十三章几何初步

点线面，平行公理，勾股定理，三角形的确定条件、尺规作图、几个简单定理的证明

211

212 第三十三章几何初步

第三十四章再再次看数学的论证

直觉和演绎，是而且仅是，我们在获取知识的时候必须依赖的两种方式。

– Descartes（笛卡尔）

严密的逻辑、坚实的基础、深刻而直觉的猜测、证明什么和怎么证明、公理化体系

用代数形式来得到分数的计算规则

34.1 演绎

从一群定义和公理出发，相互组合，必要的时候补充定义，得到新的定理。主要运用一般和具体的关系，有的时候还用数学归纳法、反证法。

命题、逆命题、否命题、逆否命题、充分条件、必要条件、充分必要条件

34.1.1 逆否命题等价于原命题的证明 ˚

命题大于 1 的数（A）肯定大于 0（B）的逆否命题就是小于等于 0 的数肯定小于等于 1。

命题直角三角形有一个角是直角的逆否命题就是一个直角都没有的三角形不是直角三角形。

记前一个命题的前面半句为条件 A，后面半句为结论 B。上面的命题记为 A Ñ B。则，逆否命题也可以分成前后两个部分，先把第二句反过来说（B）后把第一句反过来说（A），记做 B Ñ A。

现在我们来证明原命题和它的逆否命题等价。

213

214 第三十四章再再次看数学的论证

定理 34.1: 命题和逆否命题的等价性

证明命题 A Ñ B和逆否命题 B Ñ A等价，也就是 A Ñ B ðñ B Ñ A

I

B

A

图 34.1: 我们把 A Ñ B 用集合来展示。同时就可以看出来 B Ă A 了。重新画一个，用不同的质地把 A 和 B 标记出来。

证明 34.1. 考虑一个集合 A 就是满足条件 A 的所有的事件的集合，一个集合 B 就是满足条件 B 的所有的事件的集合。于是，在集合关系上，A Ñ B

的意思就是集合 A 包含于集合 B 里面，A Ă B，也就是只要一个元素是属于 A，则这个元素属于 B。现在我们来看集合 A 和 B 的补集的关系。我们假设有一个明确的全集 I。按照集合的定义，我们有元素的确定性，任何一个元素必须要么在一个集合里面，要么不在这个集合里面。于是，如图34.1，我们发现，A 的补集 A 包含了 B 的补集 B，也就是说，只要是属于集合 B 的元素肯定属于集合 B，也就是 B Ă A。于是 B Ñ A。

这是非常重要的命题之间的关系。正是这个关系才使得反证法可以用来做数学论证。当我们要证明某个命题是对的，我们可以通过证明如果假设它错了就会有矛盾就会和某些已经确定是对的东西冲突，于是，如果我们希望没矛盾不冲突，则肯定这个假设错了，原来的命题是对的。

我们发现，这个命题正确的基础就是集合元素的明确性：任何一个元素要么是属于一个集合的，要么是不属于这个集合的。

34.2 归纳和概率性演绎 ˚ 215

34.2 归纳和概率性演绎 ˚

当我们看到一只乌鸦并且这只乌鸦是黑的的时候，我们不会形成“天下乌鸦都是黑的”的认识。但是，当我们看到十只乌鸦并且这十只乌鸦都是黑的的时候，就会产生一个猜想是不是“天下乌鸦都是黑的”。如果我们看到一万只乌鸦并且这一万只乌鸦都是黑的的时候，我们可能就会断定“天下乌鸦都是黑的”。但是，其实，这个从有限——尽管可以很大——的观测样本“推断”出来一个命题的“归纳”的过程，并不是完善的。原则上，只要有一只乌鸦是白的，就可以否定这个命题。而我们不能保证看完了所有的乌鸦。因此，归纳并不是严格的逻辑推理方法。当然，归纳还是很重要的，是发现知识的重要手段。那么，归纳是不是

其实还是演绎呢？Russell在《数学原理》[13]中就把归纳看做了概率性演绎，

I may as well say at once that I do not distinguish between in-ference and deduction. What is called induction appears to meto be either disguised deduction or a mere method of makingplausible guesses.

我索性就在这里说了吧：我不区分推断和演绎。那个叫做归纳的东西，对我来说，要么就是打扮起来的演绎，要么就纯粹就是作出来可能的猜想的办法。

下面，我用一个例子来展示：归纳其实就是带概率的演绎。这个例子所用到的知识，会大大超过你现在的数学水平，不过，你可以争取在看不懂具体计算的过程中，仍然能够搞懂这个例子的主要意思和意图。顺便，这个从具体例子看到一般信息，也就是看到这个联系，甚至可以在具体例子的部分细节不太懂的情况下还能够做到，是非常重要的阅读能力。其根源还是批判性思维和系联性思考。

例 34.1 (归纳法，Bayesian公式用于推断盒子里的乒乓球白的). 我的乒乓球教练经常需要把黄色和白色乒乓球分开装。但是，有的时候也会装错。今天，她就拿出来一个装了三个乒乓球的袋子，让我们看看是不是纯色的。假设我们在观察任何一只乒乓球之前，我们完全不知道任何乒乓球的信息。于是，我们猜测，白球是零个 nW = 0，一个 nW = 1，两个 nW = 2，三个 nW = 3

的几率都是一样的，也就是 PWn = 1

4。

现在，我们来计算看到 1 只乒乓球并且它是白的之后，我们估计出来的真实的白球的数量几率 PW

n 。


我们假设 Bayesian 公式 P (A | B) =P(B| A)P(A)

P(B| A)P(A)+P(B| A)P(A) 是对的。这个公式的证明需要用到更加复杂的数学，但是，将来是可以证明的。把这个公式的 A 看做白球的数量，B 看做事件“看到 1 只乒乓球并且它是白的”我们有，

P (nW = 0 | C1 = W) =P (C1 = W | nW = 0) P (nW = 0)

ř j=3j=0 P (C1 = W | nW = j) P (nW = j)

=03

ˆ 14

03

ˆ 14+ 1

3ˆ 1

4+ 2

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

= 0. (34.1)

同理，

P (nW = 1 | C1 = W) ==13

ˆ 14

03

ˆ 14+ 1

3ˆ 1

4+ 2

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

=1

6,

P (nW = 2 | C1 = W) ==23

ˆ 14

03

ˆ 14+ 1

3ˆ 1

4+ 2

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

=1

3,

P (nW = 3 | C1 = W) ==33

ˆ 14

03

ˆ 14+ 1

3ˆ 1

4+ 2

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

=1

2.

(34.2)

(34.3)

(34.4)

再一次强调，我们完全不用你看懂这个计算，只要明白整体的逻辑结构：从一个确定正确的公式出发，应用到具体情境，我们把一开始的认识“白球的个数完全不知道多少个”，加上观测事件的信息，推测出来，“白球的个数的每一个数值的概率”。

从这个计算出来的概率，我们发现，两个白球和三个都是白球的概率变高了（

(14

Ñ 13

)，

(14

Ñ 12

)），一个白球和零个白球的概率变成低了（

(14

Ñ 16

)，(

14

Ñ 0)）。

我们接着计算，又看到 1 只乒乓球并且它还是白的之后（也就是看到 2

只一起拿出来的乒乓球并且它们都还是白的之后），我们估计出来的真实的

34.2 归纳和概率性演绎 ˚ 217

白球的数量几率 PWn 。计算方法和上面的一样。

P (nW = 0 | C1C2 = WW) ==03

ˆ 14

03

ˆ 14+ 0

3ˆ 1

4+ 1

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

= 0,

P (nW = 1 | C1C2 = WW) ==03

ˆ 14

03

ˆ 14+ 0

3ˆ 1

4+ 1

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

= 0,

P (nW = 2 | C1C2 = WW) ==13

ˆ 14

03

ˆ 14+ 0

3ˆ 1

4+ 1

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

=1

4,

P (nW = 3 | C1C2 = WW) ==33

ˆ 14

03

ˆ 14+ 0

3ˆ 1

4+ 1

3ˆ 1

4+ 3

3ˆ 1

4

=3

4.

(34.5)

(34.6)

(34.7)

(34.8)

从这个计算出来的概率，我们发现，三个都是白球的概率变得更高了（(13

Ñ 34

)），

两个白球的几率又退回来了（(13

Ñ 14

)），而一个白球和零个白球的概率都成

了零。

从直觉上说，一个白球和零个白球的情形都不能出现观测到两个一起出现的白球的事情。于是，我们反过来推断，这样的事情不可能发生。本质上，这就是反证法，而且是带概率的反证法。

可以想见，随着观测到的白球数量的增加，我们计算出来的概率一直会展现这个趋势，白球数量更少的事件的概率在降低（因为这样的情况下出现看到好多个白球的几率很小），白球数量大的事件的概率在增加。

于是，当我们观测到 10000 只乌鸦都是黑色的时候，我们确实就会“归纳”出来，非常非常可能“所有的乌鸦都是黑的”。这就是归纳法的本质：带有概率的演绎推理。

回头看上面的计算过程，完全就是演绎推理：从一个已经被证明了的公式出发，用到具体情境，先算看到一个白球的条件下的各个情况的概率，再计算看到多个白球的条件下的各个情况的概率，并且发现（原则上得通过数学归纳法来证明）随着观测到的白球数量的增加，白球数量大的事件的概率在增加，白球数量小的事件的概率在降低，而且极限情况下，前者的概率趋近于 1，后者的概率趋近于 0。

顺便，数学归纳法——先证明一开始的时候（N = 1 或者某个数）某个命题成立，然后再证明“如果假设这个命题对于 N 成立，则可以证明对于N + 1 这个命题也成立”，则，这个命题对于从 N = 1 或者那个数开始的任何整数，都成立——不是归纳，而是演绎推理。

于是，这个世界上的推理过程，只有一种，就是演绎推理。


这就是这个例子要展现给大家的主要信息。具体计算过程可能你上了大学才能搞懂。但是，希望这个例子所呈现的信息，你仍然可以理解。当然，当我们说归纳法不能当做一个数学论证的方法，最多了当做演绎

法的一种带有概率的变形的时候，不是说归纳法就是没用的东西。大量的定理的提出，大量的科学研究中现象的提出，都需要依靠归纳法。直觉很多时候也是归纳法的表现。归纳法是非常重要的思维方式，只不过，不是数学论证的方式。以上说明归纳是演绎的过程，也说明，计算和证明是数学家、科学家讲

道理的重要方式。将来我们会了解到科学家讲道理认识世界的其他的方式还有构建模型和实践实验检验。

34.3 本章小结

在本章中，我们再一次讨论了演绎推理，并且讨论了演绎推理和归纳推理的关系，发现，实际上归纳推理也是演绎推理，只不过带了概率。回到本章开头引用的Descartes的话，直觉很大程度上就是直接或者间接地看多了形成的概率性认知。因此，就如本章中间Russell所说的，归纳不过就是做猜想的方法或者打扮起来的演绎。此外，尽管我们在正文中和这个小结里面，都引用了名人名言来，但是，

它们不是论证，不是证明，仅仅是告诉你，除了作者我这么认为之外，其实还有其他人这样认为，而且也说明这个认知的优先权不是我的。

第三十五章测量、单位和有效数字

有效数字的概念，误差的概念长度的测量、时间的测量

219

220 第三十五章测量、单位和有效数字

第三十六章分类数数：统计初步

统计在小学阶段，完全可以看作是运用数和运算来解决问题的一种方式——大样本、分类数数、画图，做结论，也就是分析方法和看问题的角度。结合之前做过的大作业，来分析。例如

例 36.1 (几个兄弟姐妹). 用之前的大作业习题 1.10 中得到的数据，来分析，不同年龄段的人拥有的兄弟姐妹的数量。

考虑好分类怎么分，结果怎么表示，众数和平均值，结论如何做。

例 36.2 (不同代际的人家庭观念的异同). 用之前的大作业习题 1.7, 习题 1.8,习题 1.9 中得到的数据，来比较一下，不同代（爷爷奶奶外公外婆、爸爸妈妈、小朋友）的人觉得哪些人应该算成家庭成员，这一点上的异同。

考虑好样本怎么选，分类怎么分，结果怎么表示，结论如何做。

221

222 第三十六章分类数数：统计初步

第三十七章分类数数：古典概型

概率论在小学阶段，仅仅局限在古典概型，也就是具有一些基本的等概率的事件的概率问题。例如

例 37.1 (硬币正面出现的概率). 硬币的头像或者国徽面称为正面，写了面额的面称为反面。试着扔一个硬币 100 次，记录下来正面和反面各自出现了多少次。基于这个记录，如果你来猜测下一次出现的是哪一面，猜对了有奖励，你会猜什么？

例 37.2 (骰子每一面出现的概率). 一个六面的骰子，你来扔上 300 次，记录下来每一面出现的次数。基于这个记录，如果你来猜测下一次出现的是哪一面，猜对了有奖励，你会猜什么？

观察到的平均出现次数和出现的比例：，注意，这些比例加起来等于一，因为分母就是所有分子的和。硬币和骰子的理论模型：假设各个面出现的机会是一样的，我们知道每

次总有一个面会出现，运用上面的比例加起来等于一，我们来看看每个面出现的概率。

223

224 第三十七章分类数数：古典概型

第三十八章数学、世界、关系、算术

数学是什么，从前面的例子到数学是什么，关系和运算，关系和数学结构，思维的语言，受现实启发又不局限于现实，纯粹理性的快乐。对更加基础和更加高等的数学的追求，对逻辑的本质的追求。例如，一般的运算，群，集合，映射。例如，矢量对现实的描述。两大推动力：智力上的挑战和愉悦，对现实的描述和问题解决能力。典型思维方式的总结：关系的核心地位、系统性——统一到更少的原理

上去、系联性思考、批判性思维、几何和代数的关系、分而治之、构造性求解、学习方法的总结：学科是什么，理解型学习——串起来、想得通，画图

225

226 第三十八章数学、世界、关系、算术

参考文献

[1] 吴金闪. 教的更少, 学得更多 [M]. 人民邮电出版社, 2017.

[2] Gamow（伽莫夫）G. One Two Three . . . Infinity: Facts and Specula-tions of Science（中译本《从一到无穷大：科学中的事实和臆测》） [M].Viking Press, 1947.

[3] Gowers T. Mathematics: A Very Short Introduction（《牛津通识读本——数学》） [M]. Oxford: Oxford University Press, 2002.

[4] Verhulst F. Mathematics is the art of giving the same name to differ-ent things : an interview with Henri Poincaré [J]. Nieuw archief voorwiskunde. Serie 5, 2012.

[5] Du Sautoy M. The number mysteries : a mathematical odyssey throughevery day life（《神奇的数学》） [M]. London: Fourth Estate, 2010.

[6] Hardy G H. A Mathematician’s Apology [M]. Cambridge UniversityPress, 1992.

[7] Whitehead A N. The Aims of Education and Other Essays（中译本《教育的目的》） [M]. Free Press; Reissue edition, 1967.

[8] 蔡天新. 数学简史 [M]. 中信出版集团, 2017.

[9] Watson C. Binary Numbers (Young Math Books) [M]. HarperCollins,1977.

[10] 吴军. 数学之美 [M]. 人民邮电出版社, 2012.

[11] 赵凯华. 定性与半定量物理学 [M]. 高等教育出版社, 2008.

227

228 参考文献

[12] Euclid（著）and Fitzpatrick R. Euclid’s Elements of Geometry（中译本《几何原本》） [M]. Lulu, 2012.

[13] Russell B. The Principles of Mathematics [M]. 2nd ed. Berlin: W. W.Norton & Company, 1903.

插图

1 某版小学数学教材主要内容概念地图 . . . . . . . . . . . . . . 192 本书主要内容概念地图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 公众号“为了理解而教和学”的二维码 . . . . . . . . . . . . . 224 加减乘除的含义的概念地图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.1 我画的全家福 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.2 笔袋字里面的铅笔 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3 一盘桔子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.4 早餐鸡蛋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 一盘包子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 两双袜子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.7 两双筷子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.8 青团子的照片和画 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.1 我和妹妹早上吃的鸡蛋 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.2 加法的含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.3 中国历史上的算筹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 中国历史上的算盘 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.5 用手指头数苹果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6 用手指头数西红柿 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.7 用手指头算加法 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1 给苹果编号并数一数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.2 四边形和五边形 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.3 两个人去买苹果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

229

230 插图

4.1 苹果被吃掉以后 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2 我和妹妹比谁的苹果多 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.3 五个 1 元的硬币花掉 3 元 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4 四边形切掉一个角 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.5 减法的含义 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.6 重复摘掉二月兰的花瓣 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

7.1 两天晚上看到的巧克力豆 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

9.1 5 个小朋友分 15 颗糖 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

10.1 用手指做 2 进制数数 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.2 简单计算器 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

12.1 白马和黑马还有其他马在一起 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12612.2 第一卷主要内容 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

21.1 桌子上的猫 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

22.1 勾股定理的量刚证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17022.2 Pythagoras 割补图形的证明 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17122.3 三角形内平行底边的线段的长度 . . . . . . . . . . . . . . . . . 17322.4 从数数到多边形圆形面积 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

27.1 两个集合的关系 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197

34.1 A Ñ B 的集合关系图 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

举例目录

1.1 例 (家里有几个人) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.2 例 (笔袋里面有几支铅笔) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3 例 (早上吃了几个桔子) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.4 例 (一群鸡有多少只) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.5 例 (需要准备几个鸡蛋) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291.6 例 (包子几元钱) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.7 例 (几双袜子和几只袜子) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.8 例 (几双筷子和几只筷子) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1 例 (我和妹妹的早餐) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.2 例 (妹妹的巧克力限额) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.3 例 (用手指头数苹果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4 例 (用手指头数西红柿) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.5 例 (用手指头算加法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 例 (练习写数字、数数、编号码) . . . . . . . . . . . . . . . . 473.2 例 (练习写数字、数数、编号码、顺序 ˚) . . . . . . . . . . . . 473.3 例 (四边形、五边形) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 例 (减法的朴素思想) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 例 (零和减法的朴素思想) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.6 例 (乘法的朴素思想，重复两次加法) . . . . . . . . . . . . . . 493.7 例 (乘法的朴素思想，重复三次加法) . . . . . . . . . . . . . . 50

4.1 例 (从数数到减法，苹果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.2 例 (从数数到减法，苹果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

231

232 举例目录

4.3 例 (比一比和减法，苹果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.4 例 (从数数到减法，钱) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.5 例 (从数数到减法，钱) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.6 例 (从加法到减法的形式计算) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.7 例 (切四边形) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.8 例 (连续相减能减几次) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604.9 例 (平均分成两堆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.10 例 (比一比) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.1 例 (从减法到零) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2 例 (零进入加法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.3 例 (零进入减法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.1 例 (从 5 到 6) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.2 例 (财主的儿子学写字) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.3 例 (从 9 数到 19) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.4 例 (从 19 数到 29) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5 例 (比 20 多 5 的数是多少) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.6 例 (比 9 多 6 的数是多少) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.7 例 (25 比 20 多多少) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.8 例 (15 比 9 多多少) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.1 例 (加法的 WHWM 例子) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 847.2 例 (减法的 WHWM 例子) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.3 例 (加法的 WHWM 例子：吃苹果) . . . . . . . . . . . . . . . 857.4 例 (加减法混合的 WHWM 例子：吃苹果) . . . . . . . . . . . 857.5 例 (加减法混合的 WHWM 例子：吃苹果) . . . . . . . . . . . 867.6 例 (小汽车装人) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 867.7 例 (我和妹妹比跳绳，多几个，WHWM) . . . . . . . . . . . . 87

8.1 例 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.2 例 (搭 5 层积木需要砖头) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 948.3 例 (一家人吃多少钱的馅饼) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.4 例 (高铁用时) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 958.5 例 (3 以内的乘法口诀表) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

举例目录 233

9.1 例 (平均分糖) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1039.2 例 (用乘法来猜出来除法的答案) . . . . . . . . . . . . . . . . 1049.3 例 (用乘法来猜出来除法的答案) . . . . . . . . . . . . . . . . 105

10.1 例 (一个数乘以 10 的代数表达式) . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2 例 (数列的代数表达式 ˚) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.3 例 (数列的代数表达式 ˚) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.4 例 (数位的认识) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.5 例 (最大的三位数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.6 例 (数位和数字的关系) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10910.7 例 (多位数加减竖式计算的例子) . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.8 例 (多位数乘除竖式计算的例子) . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.1 例 (奇偶性用于检验计算结果) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11911.2 例 (10 以内的所有质数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12011.3 例 (10 以内的所有合数的因子分解) . . . . . . . . . . . . . . . 12111.4 例 (18 的质因数分解) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.5 例 (8 和 18 的公约数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.6 例 (8 和 18 的最小公倍数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12211.7 例 (25 和 35 的最大公约数和最小公倍数) . . . . . . . . . . . 12211.8 例 (8 和 24 的最大公约数和最小公倍数) . . . . . . . . . . . . 122

12.1 例 (“是”和“=”的异同) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12512.2 例 (我和妹妹比身高) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12812.3 例 (妹妹和餐桌比高) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12812.4 例 (我和餐桌比高) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

18.1 例 (画册和故事书的加法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14918.2 例 (路程和加法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14918.3 例 (路程和加法、乘法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15018.4 例 (比一比和减法) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15018.5 例 (多辆小汽车能坐的人数) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.6 例 (分巧克力) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.7 例 (分巧克力) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15118.8 例 (畜牧场的牛) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

234 举例目录

21.1 例 (桌子上的猫) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

22.1 例 (三角形内部平行底边的长度构成等差序列) . . . . . . . . . 173

27.1 例 (n2 的奇偶) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19227.2 例 (n2 的奇偶) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19327.3 例 (

?2 是一个分数吗) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

27.4 例 (一个数字的集合) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19527.5 例 (10 以下（不包含）的奇数的集合) . . . . . . . . . . . . . 195

34.1 例 (归纳法，Bayesian 公式用于推断盒子里的乒乓球白的) . . 215

36.1 例 (几个兄弟姐妹) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22136.2 例 (不同代际的人家庭观念的异同) . . . . . . . . . . . . . . . 221

37.1 例 (硬币正面出现的概率) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22337.2 例 (骰子每一面出现的概率) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

Documents

Mathematics, Beyond Arithmatics 小学数学这样学cmap.systemsci.org/rid=1SYTL155D-RN4LYL-2SK/Math4Kids.pdf · Mathematics, Beyond Arithmatics 小学数学这样学 吴金闪 为了理解数学而写的数学书

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