Mathematik für Techniker - files.hanser.defiles.hanser.de/Files/Article/ARTK_LPR_9783446439689_0002.pdf · Leseprobe Siegfried Völkel, Horst Bach, Heinz Nickel, Jürgen Schäfer

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Siegfried Völkel, Horst Bach, Heinz Nickel, Jürgen Schäfer

Mathematik für Techniker

ISBN (Buch): 978-3-446-43968-9

ISBN (E-Book): 978-3-446-43935-1

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Inhalt

1 Rechenoperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1 Grundbegriffe der Mengenlehre und Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.1.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.1 Begriff der Menge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.1.2 Relationen zwischen Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.1.3 Operationen mit Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.2 Zahlenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.1 Bereich der reellen Zahlen und seine Teilbereiche . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.2 Zahlensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.3 Intervalle, Absoluter Betrag, Runden von Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.3 Rechenoperationen erster und zweiter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.2 Rechenoperationen mit Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.3 Algebraische Summen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.4 Bruchrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391.3.5 Proportionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.3.6 Summenzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

1.4 Rechenoperationen dritter Stufe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.1 Rechnen mit Potenzen und Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.2 Rechnen mit Logarithmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.4.3 Potenz eines Binoms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2 Gleichungen und Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.1 Gleichungen mit einer Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.1.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.1.2 Lösen von algebraischen Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 902.1.3 Lösen von transzendenten Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.1.4 Lösen von Gleichungen durch Näherungsverfahren . . . . . . . . . . . . . 104

2.2 Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.2.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.2.2 Einfache Typen linearer Ungleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

2.3 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.3.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

8 Inhalt

2.3.1 Herkömmliche Lösungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3.2 Lösbarkeitsbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1172.3.3 Gaußscher Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.3.4 Determinantenverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125


3 Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.1 Planimetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

3.1.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.1.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433.1.2 Winkel an sich schneidenden Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.1.3 Bewegungen in der Ebene, Kongruenz, Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . 1473.1.4 Grundkonstruktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.1.5 Ähnlichkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1543.1.6 Allgemeines Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.1.7 Rechtwinkliges, gleichschenkliges und gleichseitiges Dreieck . . . . 1633.1.8 Viereck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1663.1.9 Regelmäßiges n-Eck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1683.1.10 Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1703.1.11 Flächeninhalte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

3.2 Stereometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.2.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1803.2.1 Quader . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1813.2.2 Prisma und Pyramide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1833.2.3 Prismatoid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.2.4 Zylinder und Kegel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1903.2.5 Cavalierisches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1953.2.6 Kugel und Kugelteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195


4 Trigonometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.1 Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.1.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.1.1 Winkelmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2154.1.2 Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.1.3 Winkelfunktionen für beliebige Winkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2224.1.4 Quadrantenrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2254.1.5 Zusammenhang zwischen den Funktionswerten eines Winkels . . 2314.1.6 Additionstheoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

4.2 Dreiecksberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2374.2.2 Sinus- und Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.2.3 Grundaufgaben der Dreiecksberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2444.2.4 Weitere Anwendungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246


Inhalt 9

5 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2635.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1 Der Funktionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.1 Die Definition einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

5.1.2 Darstellungsformen von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.1.3 Eigenschaften von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

5.1.4 Die Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5.2 Lineare Funktionen (Geraden) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

5.2.1 Die analytischen Darstellungsarten linearer Funktionen . . . . . . . . . 274

5.2.2 Die lineare Funktion und ihre Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

5.2.3 Lagebeziehungen zwischen Geraden. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

5.3 Quadratische Funktionen (Parabeln) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.3.1 Die Darstellungsarten quadratischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . 283

5.3.2 Die Umwandlung zwischen den Darstellungsarten quadratischerFunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

5.3.3 Die Umkehrfunktion der quadratischen Funktion . . . . . . . . . . . . . . . 291

5.4 Potenz- und Wurzelfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5.4.1 Potenzfunktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

5.4.2 Wurzelfunktionen und ihre Eigenschaften. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

5.5 Ganzrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

5.6 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300

5.7 Exponential- und Logarithmusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.7.1 Exponentialfunktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303

5.7.2 Logarithmusfunktionen und ihre Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5.8 Trigonometrische Funktionen und ihre Umkehrfunktionen . . . . . . . . . . . . . 307

5.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen . . . . . . . . . . . 313

5.10 Bestimmung von Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

5.11 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326

5.12 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

6 Zahlenfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3416.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

6.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

6.2 Arithmetische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344

6.3 Geometrische Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

6.4 Anwendungsbeispiele der geometrischen Folge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350

6.5 Grenzwert einer Zahlenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

6.6 Grenzwert einer Funktion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

6.6.1 Grenzwert einer Funktion an der Stelle x = a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358

6.6.2 Grenzwert einer Funktion für x → ±∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362

6.7 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363

6.8 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

10 Inhalt

7 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.2 Ableitung der Potenzfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3737.3 Ableitung einer konstanten Funktion und einer Funktion mit konstantem

Faktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.4 Ableitung einer Summe von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3757.5 Differenzial einer Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3767.6 Weitere Grundregeln der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 380

7.6.1 Ableitung eines Produktes von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3807.6.2 Ableitung eines Quotienten zweier Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381

7.7 Regeln für die Ableitung weiterer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3837.8 Höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3857.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung . . . . . . . . . . 3867.10 Kurvendiskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3917.11 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3977.12 Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels der Ableitungen . . . . . . . . . . . 4007.13 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4037.14 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

8 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.1 Unbestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4128.2 Bestimmtes Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4158.3 Eigenschaften bestimmter Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4208.4 Bestimmtes Integral als Grenzwert einer Summenfolge . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4218.5 Flächeninhalte ebener Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse . . . 4258.6 Flächen zwischen zwei Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4278.7 Integration durch Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4308.8 Der Rauminhalt von Rotationskörpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4328.9 Numerische Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4358.10 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4398.11 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

9 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung . . . . . . . . . . . 4429.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4429.1 Zufällige Erscheinungen und Ereignisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4429.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4459.3 Anzahl von Ergebnissen und Wahrscheinlichkeiten mehrstufiger Zufalls-

versuche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4529.4 Simulation von Zufallsversuchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4659.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4709.6 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472

Inhalt 11

10 Einführung in die Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47410.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47410.1 Statistische Erhebung, Auswertung und Darstellung von Daten . . . . . . . . . . 47410.2 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49410.3 Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49810.4 Binomialverteilte Zufallsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50110.5 Anwendungen zur Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50310.6 Aufstellen und Testen von Hypothesen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50910.7 Anwendungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51310.8 Die Poisson-Verteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51510.9 Die Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51810.10 Anwendungen der Normalverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52310.11 Exponentialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52510.12 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52610.13 Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531

11 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53611.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53611.1 Die arithmetische Form der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536

11.1.1 Imaginäre und komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53611.1.2 Rechnen mit komplexen Zahlen in der arithmetischen Form . . . . . 54011.1.3 Die Darstellung komplexer Zahlen in der Gaußschen Zahlen-

ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54311.2 Die trigonometrische Form der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54511.3 Die Exponentialform der komplexen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

11.3.1 Die Multiplikation und die Division komplexer Zahlen in der Ex-ponentialform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549

11.3.2 Das Potenzieren, das Radizieren und das Logarithmieren kom-plexer Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551


12 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55912.0 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55912.1 Punkte und Vektoren im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 559

12.1.1 Punkte im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55912.1.2 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 560

12.2 Rechnen mit Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56412.2.1 Addition und Subtraktion von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56412.2.2 Die Multiplikation von Vektoren mit reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . 56712.2.3 Das Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56912.2.4 Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575

12.3 Die vektorielle Beschreibung von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57812.3.1 Die Vektorgleichung einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57812.3.2 Die Lagebeziehungen zwischen Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580

12.4 Die vektorielle Beschreibung von Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58312.4.1 Die Vektorgleichung einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583

12 Inhalt

12.4.2 Die Lagebeziehungen zwischen einer Ebene und einer Geraden . . 58712.4.3 Die Lagebeziehung zwischen Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58912.4.4 Der Normalenvektor einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593


Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 608

Vorwort

Die vorliegende 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage stellt eine umfangreiche Über-arbeitung des in der Mathematikausbildung angehender Techniker bewährten Lehrbuchesdar.

Der Inhalt orientiert sich an den Lehrplänen für die Technikerausbildung. Aus didaktischenGründen folgt das Kapitel „Gleichungen und Ungleichungen“ nun direkt dem Kapitel „Re-chenoperationen“. Der Abschnitt, der das Lösen von linearen Gleichungssystemen mit De-terminanten behandelt, wurde im Umfang erhöht, dafür entfallen Rechenoperationen mitMatrizen. Die Kapitel Geometrie und Trigonometrie sind entsprechend den Lehrplananfor-derungen umfassend bearbeitet worden. Das Kapitel „Funktionen“ wurde neu strukturiert.Es schließen sich Zahlenfolgen und Grenzwerte an. Der Differenzial- und der Integralrech-nung ist nun je ein eigenes Kapitel gewidmet, um die verschiedenen Grundanliegen dieserTeilgebiete der Infinitesimalrechnung hervorzuheben. Im Kapitel „Differenzialrechnung“wird auch die geometrische Bedeutung der 2. Ableitung einer Funktion mit allen Konse-quenzen zur Bestimmung von Maxima und Minima von Funktionen betrachtet. Der Ab-schnitt „Kurvendiskussion“ wurde vollständig überarbeitet. Neu aufgenommen wurde einAbschnitt über das Aufstellen von Funktionsgleichungen mittels Ableitungen. Im Kapitel„Integralrechnung“ wurden Abschnitte über die Integration durch Substitution sowie dieBerechnung des Rauminhalts von Rotationskörpern ergänzt. Anschließend folgen die Kapi-tel „Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung“ und „Einführung in die Statistik“. Neuist hier ein Bezug im Bereich der Anwendungsaufgaben auf Taschenrechner mit Compu-teralgebrasystem und auf Tabellenkalkulationssoftware. Die Inhalte zu komplexen Zahlenwaren bisher auf verschiedene Abschnitte verteilt. In die Neuauflage wurde ein separatesKapitel „Komplexe Zahlen“ aufgenommen. Auf vielfachen Wunsch der Leser dieses Bucheswurde die „Vektorrechnung“ als neues Kapitel hinzugefügt. Die Bilder und Grafiken zur Il-lustration der dargestellten mathematischen Sachverhalte wurden teilweise neu erstellt, ander großen Anzahl von Beispielen wurde festgehalten.

Die Autoren, die sämtlich über ein hohes Maß an Erfahrung in der Technikerausbildungverfügen, haben sich um größtmögliche Verständlichkeit und Anschaulichkeit bemüht.

Durch die Art der Stoffdarbietung eignet sich das Buch sowohl für den Gebrauch im Un-terricht als auch zum Selbststudium. Zu diesem Zweck wurden die Kontrollfragen, die sichjedem Abschnitt anschließen, beibehalten und die Anzahl der Aufgaben, die weitgehend an-wendungsorientiert und praxisnah sind, erhöht. Am Kapitelende sind zur Selbstkontrolledie Lösungen der Aufgaben eingefügt.

Für Kritik, Korrekturen, Anregungen und Hinweise inhaltlicher und didaktischer Art ist dasAutorenteam dankbar, soll dieses Buch doch aus der Unterrichtspraxis zur Praxis, d. h. zumGelingen des Mathematikunterrichts und zum Lernerfolg der Studierenden, beitragen.

Ein besonderer Dank gilt der Lektorin Frau Christine Fritzsch vom Fachbuchverlag Leipzig,der es gelungen ist, das fünfköpfige Autorenteam mit großer Geduld zu koordinieren und da-für zu sorgen, dass dieses Unterrichtswerk in einer neuen Auflage vorliegt. Auch Frau Katrin

6 Vorwort

Wulst gebührt Dank für die technische Unterstützung und die Herstellung dieses Buches.Die Zusammenarbeit mit beiden Fachfrauen war stets sehr angenehm.

Möge dieses Buch dazu beitragen, dass die Vermittlung mathematischer Sachverhalte undZusammenhänge im Rahmen der Technikerausbildung gelingt!

Leipzig, im Mai 2014 Die Verfasser

5.9 Der Einfluss von Funktionsparametern auf Funktionsgraphen 313

Aus der letzten Gleichung ergibt sich arccot x =p

2−arctan x. Diese Beziehung kann ebenso

wie Gl. (5.11a) zur Berechnung von Funktionswerten der Arkuskotangensfunktion benutztwerden. Weitere nützliche Beziehungen sind:

p = 4 · arctan 1

arcsin x = arctan

(x√

1− x2

) (5.11c)

(5.11d)

Gl. (5.11c) folgt aus arctan 1 =p

4.

Gl. (5.11d) ergibt sich aus einer Formel der Tabelle 4.4 in Abschnitt 4.1.5 :

tan a =sin a√

1− sin2 aergibt a = arctan

(sin a√

1− sin2 a

)mit a = arcsin x folgt Gl. (5.11d).

Kontrollfragen

5.56 Was ist die charakteristischste Eigenschaft der trigonometrischen Funktionen?

5.57 Welcher Unterschied zwischen der Sinus- und der Kosinusfunktion ist am besten geeignet,die Graphen der beiden Funktionen voneinander zu unterscheiden?

5.58 Wo hat die Tangensfunktion ihre Polstellen?

5.59 Warum spielt die Kotangensfunktion in den Anwendungsfächern keine große Rolle?

5.60 Wie heißen die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

5.61 In welchen Bereichen liegen bei den Arkusfunktionen für negative Argumente x die Funkti-onswerte?

Aufgaben: 5.42 und 5.43

5.9 Der Einfluss von Funktionsparameternauf Funktionsgraphen

Um Zusammenhänge oder Gesetzmäßigkeiten auch quantitativ richtig darstellen zu kön-nen, reichen die Funktionen in ihrer Grundform meist nicht aus. Sie müssen häufig durchpassende Summanden oder Faktoren oder durch Verkettung, d. h. Verschachtelung modifi-ziert werden. Welchen Einfluss diese Modifikation auf die Lage und die Form der Funktions-graphen hat, soll im Folgenden anhand eines Beispiels aus dem Bereich der Elektrotechnikdargestellt werden.

Die zeitliche Abhängigkeit der Spannung zwischen den Elektroden eines Kondensators mitder Kapazität C , der über einen Widerstand R mithilfe einer Gleichspannung U0 aufgeladenwird, ist gegeben durch

U (t ) = U0 · (1− e−t

R·C ) (siehe Beispiel 5.52 )

314 5 Funktionen

Bild 5.41 zeigt den grafischen Verlauf einer Kondensatoraufladung für C = 4,7 mF, R = 4,7 U

und U0 = 10 V im Bereich von 0 5 t 5 120 ms.

U in V

t in sµ100

2

4

6

8

10

−10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

U t U

C U

t

R C( ) e

,

= ⋅ −FHG

IKJ

= =

−⋅

0

0

1

4 7 10mit F, R = 4,7 , Vµ Ω

Bild 5.41

Die Funktion, die grundsätzlich einer Kondensatoraufladung zugrunde liegt, ist offensicht-lich die e-Funktion (Bild 5.42 ).

4321

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0−1−2−3

U

t

U t t( ) e=

Bild 5.42

Diese e-Funktion soll nun Schritt für Schritt modifiziert werden, bis sie die Gestalt der Kurveder Kondensatoraufladung angenommen hat.

1. Schritt: Veränderung des Vorzeichens der Funktion, d. h. U (t ) = et wird modifiziert zuU (t ) = − et .

Da bei der Multiplikation einer Funktion mit−1 jeder Funktionswert sein Vorzei-chen ändert, gilt:

Die Veränderung des Vorzeichens einer Funktion führt im kartesischen Koor-dinatensystem zu einer Spiegelung des Funktionsgraphen an der Abszisse.


U

t43210−1−2−3−4

−10

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

U t t( ) e=−

Bild 5.43

2. Schritt: Addition einer Zahl zu einer Funktion. In unserem Beispiel heißt das, U (t ) = − et

wird modifiziert zu U (t ) = − et + 1 = 1− et .

U t t( ) e= −1

U

t3210−1−2−3

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

Bild 5.44

Der Graph dieser Funktion geht offenbar durch eine Verschiebung um eine Ein-heit nach oben hervor. Allgemein gilt:

Die Addition einer Konstanten b zu einer Funktion führt im kartesischen Ko-ordinatensystem zu einer Verschiebung des Funktionsgraphen um b Einheitennach oben (b > 0) bzw. nach unten (b < 0).

3. Schritt: Multiplikation einer Funktion mit einem positiven Wert. In unserem Beispielheißt das, U (t ) = 1 − et wird modifiziert zu U (t ) = U0

(1− et ) mit U0 = 10 V.

Die Ordinate ist nun einheitenbehaftet (Bild 5.45 ).

316 5 Funktionen

U in V

t3210−1−2−3−4−5

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U t U

U

t( ) e= ⋅ −

=0

0

1

10

c hmit V

Bild 5.45

Offensichtlich wird die von uns betrachtete Funktion durch die Multiplikation mitU0 = 10 V in senkrechter Richtung stark gestreckt. Da jeder Funktionswert mitdem entsprechenden Faktor multipliziert wird, gilt allgemein:

Durch die Multiplikation einer Funktion mit einem positiven Wert m wird derFunktionsgraph im kartesischen Koordinatensystem in senkrechter Richtunggestreckt (m > 1) bzw. gestaucht (0 < m < 1).

Anmerkung:

Die Multiplikation einer Funktion mit einer negativen Zahl kann als Hintereinan-derausführung einer Vorzeichenveränderung und einer Multiplikation mit einerpositiven Zahl angesehen werden: Zur Streckung bzw. Stauchung kommt in die-sem Fall noch eine Spiegelung an der Abszisse.

4. Schritt: Veränderung des Vorzeichens des Arguments, d. h. U (t ) = U0(

1− et ) wird mo-difiziert zu U (t ) = U0

(1− e−t ).

Dem Bild 5.46 kann entnommen werden:

Die Veränderung des Vorzeichens des Arguments einer Funktion führt im kar-tesischen Koordinatensystem zu einer Spiegelung des Funktionsgraphen ander Ordinate.


t

U in V

3 4 5 6210−1−2

−6

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

U t U

U

t( )= ⋅ −

=

−0

0

1

10

e

mit V

c h

Bild 5.46

5. Schritt: Multiplikation des Arguments einer Funktion mit einem positiven Wert. In unse-rem Beispiel heißt das, U (t ) = U0

(1− e−t ) wird modifiziert, indem das Argu-

ment t mit dem positiven Wert1

R ·Cmultipliziert wird: U (t ) = U0

(1− e−

tR·C

)mit U0 = 10 V, R = 4,7 U und C = 4,7 mF. Nun ist die Abszisse ebenfalls einhei-tenbehaftet, das Argument t steht für die Zeit, hier gemessen in ms (Bild 5.47 ).

Offenbar liegt in diesem Fall eine Verzerrung in waagerechter Richtung vor. Allge-mein gilt:

Durch die Multiplikation des Arguments einer Funktion mit einem positivenWert k wird der Funktionsgraph im kartesischen Koordinatensystem in waa-gerechter Richtung gestreckt (0 < k < 1) bzw. gestaucht (k > 1).

Anmerkung:

Die Multiplikation des Arguments einer Funktion mit einer negativen Zahl kannals Hintereinanderausführung einer Vorzeichenveränderung und einer Multipli-kation mit einer positiven Zahl angesehen werden: Zur Streckung bzw. Stauchungkommt in diesem Fall noch eine Spiegelung an der Ordinate.

Offenbar stimmen für t = 0 die Graphen der Funktionen aus Bild 5.41 und Bild5.47 überein. Hiermit wurde exemplarisch gezeigt, wie sich der Graph einer mo-difizierten Funktion aus dem Graphen der Grundfunktion entwickeln lässt.

386 7 Differenzialrechnung

7.9 Geometrische Interpretationder ersten und zweiten Ableitung

Der Verlauf der Kurve einer Funktion musste bisher mittels einer Wertetabelle ermittelt wer-den. Die Differenzialrechnung gibt die Möglichkeit, die Untersuchung von Funktionen zuvereinfachen. Die geometrische Bedeutung der ersten und zweiten Ableitung soll anhandder Funktion

y = f (x) =13

x3 − 3x2 + 8x + 1

erklärt werden. Die erste, zweite und dritte Ableitung der Funktion ist

y ′ = x2 − 6x + 8,

y ′′ = 2x − 6,

y ′′′ = 2.

Betrachtet man den Verlauf der Kurve y = f (x) (vgl. Bild 7.8a), erkennt man, dass diese mitwachsenden x-Werten bis zum Punkt H wächst. Der Anstiegswinkel a der Tangente liegt imIntervall−∞ < x < xH zwischen 0 und 90, und es gilt y ′ = f ′(x) > 0 (vgl. auch Bild 7.8b).Vom Punkt H bis zum Punkt T fällt die Kurve. Der Anstiegswinkel a der Tangente liegt imIntervall xH < x < xT zwischen−90 und 0, und es gilt y ′ = f ′(x) < 0 (vgl. auch Bild 7.8b).Im Intervall xT < x <∞wächst die Kurve wieder, und es gilt y ′ = f ′(x) > 0.

Das Vorzeichen der ersten Ableitung einer Funktion gibt somit Auskunft, ob die Kurvewächst oder fällt.

Definition 7.4

Die Kurve einer im Intervall I differenzierbaren Funktion f wächst bzw. fällt monoton,wenn für alle x aus diesem Intervall I gilt y ′ = f ′(x) = 0 bzw. y ′ = f ′(x) 5 0. Derzugehörige Kurvenbogen heißt wachsender bzw. fallender Monotoniebogen.

Für das Zeichnen einer Kurve ist es notwendig, neben dem Anstieg der Kurve die Art ihrerKrümmung zu bestimmen. Im Bild 7.9 sind Kurvenstücke gezeichnet, die deutlich machen,dass es zwei Arten wachsender bzw. fallender Kurven gibt.

Bei wachsenden Funktionen kann die Tangente oberhalb (vgl. Bild 7.9a) bzw. unterhalb (vgl.Bild 7.9b) der Kurven liegen. Entsprechendes stellt man auch für die fallenden Kurvenstückefest (vgl. Bild 7.9c und d. Liegt die Tangente unterhalb bzw. oberhalb der Kurve, so sagt man,die Kurve ist von unten konvex (erhaben) bzw. von unten konkav (hohl). Die Kurvenbögennennt man Konvex- bzw. Konkavbogen.

Wendet man diese Betrachtungen auf die im Bild 7.8 dargestellte Funktion an, folgt:

Im Intervall 0 5 x < xW ist die Kurve y = f (x) konkav. Die zweite Ableitung y ′′ = f ′′(x) ist indiesem Intervall negativ. Im Intervall xW < x 5 5 ist die Kurve y = f (x) konvex. Die zweiteAbleitung ist in diesem Intervall positiv. Dieses Ergebnis gilt allgemein.

Definition 7.5

Eine im Intervall I zweimal differenzierbare Funktion f ist konvex bzw. konkav, wenn fürdie zweite Ableitung y ′′ = f ′′(x) > 0 bzw. y ′′ = f ′′(x) < 0 gilt.

7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung 387

x

y

H TW

x

x

6

6

6

5

5

5

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

0

2

a)

b)

c)

2

1

2

3

0

0

′y

′ <f a( ) 0 ′ >f b( ) 0

′= − +y x x2 6 8

y x x x= − + +1

33 8 13 2

′′y

4

6

8

−2

−2

−1

−3

−4

= xH = xW = xT

= xH = xW = xT

= xH = xW = xT

αα

a b

Bild 7.8


xa) b) c) d)

y

Bild 7.9

Das Vorzeichen der zweiten Ableitung gibt somit Auskunft über die Krümmungsart der Kur-ve.

Werden naturwissenschaftliche, technische bzw. ökonomische Zusammenhänge durchFunktionen beschrieben, ist die Ermittlung von charakteristischen Punkten der zugehö-rigen Kurve oft von besonderem Interesse. Betrachtet man im Bild 7.10 den Punkt H , soerkennt man, dass seine Ordinate, d. h. der Funktionswert f (xH), größer ist als die Funk-tionswerte in der näheren Umgebung U von xH. (Eine Umgebung von xH ist ein offenesIntervall U = (x1; x2), das xH enthält: xH ∈U , wobei die Breite des Intervalls x2−x1 beliebigklein sein kann, vgl. 7.1 ). Die Funktion nimmt an der Stelle xH im Vergleich zu anderenFunktionswerten in der näheren Umgebung von y = f (x) einen Höchstwert an. Dieser Wertf (xH) wird (relatives) Maximum von y = f (x) genannt. Entsprechend gilt für den Punkt T ,dass seine Ordinate, d. h. der Funktionswert f (xT), kleiner ist als die Funktionswerte in dernäheren Umgebung U von xT. Der Wert f (xT) heißt (relatives) Minimum von y = f (x) (vgl.Bild 7.10 ).

x

y

H

T

0

U

y f x= ( )

xH x2x1 x xT

f xT( )

f x( )f xH( )

Bild 7.10

Definition 7.6

Die Funktion f hat in

xHxT

eine (relative)

MaximumstelleMinimumstelle

, wenn eine Umgebung

U = (x1; x2) von

xHxT

existiert,

sodass für alle x ∈U

f (x) 5 f (xH)f (x) = f (xT)

ist.

Der Funktionswert

yH = f (xH)yT = f (xT)

heißt (relatives)

MaximumMinimum

von f .

7.9 Geometrische Interpretation der ersten und zweiten Ableitung 389

Minimum und Maximum werden auch unter dem Begriff Extremum zusammengefasst. DiePunkte H und T sind (relative) Extrempunkte, speziell (relativer) Maximum- oder Hoch-punkt H bzw. (relativer) Minimum- oder Tiefpunkt T . Zu beachten ist, dass die Extremwertenur in einem bestimmten Intervall Höchst- und Tiefstwerte sind.

Aus dem Bild 7.11 wird ersichtlich, dass der Funktionswert an der Stelle x = c kleiner ist alsder Funktionswert an der Stelle x = g , obwohl sich an der Stelle x = c ein relatives Maxi-mum befindet. An den Stellen x = b und x = d liegt ein relatives Minimum vor. Daraus folgt,dass Extremwerte nicht die absolut größten bzw. kleinsten Funktionswerte sind. Sie sind nurdie größten bzw. kleinsten Werte einer Funktion bezüglich ihrer unmittelbaren Umgebung.Deshalb bezeichnet man sie auch als relative Extremwerte. Gilt für den gesamten Definiti-onsbereich f (xH) = f (x) bzw. f (xT) 5 f (x) so spricht man von einem absoluten Maximumoder absoluten Minimum. Da absolute Extremwerte hier nicht behandelt werden, wird derZusatz „relativ“ nachfolgend weggelassen.

x

Max. (rel.) Max. (rel.)Max. (rel.) Max. (abs.)

a b c d e f g

y

0

y f x= ( )

Min. (abs.)Min. (rel.)

Min. (rel.)

Bild 7.11

Betrachtet man im Bild 7.11 alle die Punkte der Kurve, die den Extrema der Funktion f ent-sprechen und keine Randpunkte des Definitionsbereichs sind, so haben sie eine charakte-ristische Eigenschaft: Wenn die Tangente an den Graphen existiert, so verläuft sie parallelzur x-Achse, d. h., dass die Ableitung von f an den Extremstellen gleich 0 ist. Allgemein giltfolgender Satz:

Satz 7.2

Wenn eine Funktion f in x = xE eine Extremstelle hat und f in einer Umgebung U vonxE differenzierbar ist so gilt f ′(xE) = 0.

Die Bedingung f ′ (xE) = 0 ist eine notwendige Bedingung für das Vorhandensein eines Ex-tremwertes von f an der Stelle x = xE. Nur die Lösungen der Gleichung f ′(xE) = 0 könnenExtremstellen der Funktion f sein. Darunter können aber auch Lösungen sein, die keineExtremstellen von f sind.

Beispiel

7.26 y = (x − 1)3 + 1.

Es ist y ′ = 3 (x − 1)2. Die Gleichung 3 (x − 1)2 = 0 liefert die Lösung x0 = 1. Die Funktion fhat dennoch an der Stelle x0 = 1 kein Extremum. In jeder Umgebung U von x = 1 gibt essowohl Funktionswerte, die kleiner als f (1), als auch größer als f (1) sind (vgl. Bild 7.12 ).


x1

1

2

3

2 3

y

0

y x= − +( )1 13

Bild 7.12

Zur Bestimmung der Extrema einer Funktion muss deshalb ein ergänzendes Kriterium ge-funden werden, das es gestattet, die tatsächlichen Extrema einer Funktion auszusondern.Aus den Bildern 7.8 und 7.10 erkennt man, dass in den Extrema jeweils die Funktion f ihrMonotonieverhalten ändert. Diese Eigenschaft besitzt die im Bild 7.12 dargestellte Funktionf nicht. Sie hat deshalb in f (1) kein Extremum. Allgemein lässt sich für den Wechsel des Mo-notonieverhaltens einer Funktion f an den Stellen ihrer Extrema folgender Satz formulieren(hinreichende Bedingung für Extrema).

Satz 7.3

Ist eine Funktion f im Intervall I zweimal differenzierbar und ist

f′(x) = 0

f ′′(xE ) < 0f ′′(xE ) > 0

, dann ist xE eine

MaximumstelleMinimumstelle

.

Der Fall f ′(x) = f ′′(x) = 0 wird zunächst ausgeschlossen.

Betrachtet man den Punkt W im Bild 7.8a, erkennt man, dass die Kurve dort ihren Krüm-mungssinn ändert. Deshalb wird dieser Punkt Wendepunkt genannt. Der Wendepunkttrennt ein konvexes Kurvenstück von einem konkaven Kurvenstück. Die Funktion y ′ = f (x)besitzt an der Stelle xW ein Minimum (vgl. Bild 7.8b). Der Anstiegswinkel der Tangentebeträgt an der Stelle xW gleich 00. Daraus folgt, dass f ′′(xW) = 0 sein muss (vgl. Bild 7.8bund c). Im Allgemeinen muss nach der hinreichenden Bedingung über Extremwerte dieübernächste Ableitung, also f ′′′(x) 6= 0 sein. Die dritte Ableitung von y = f (x) an dieserStelle ist y ′′′ = 2.

Als notwendige Bedingung für das Auftreten eines Wendepunktes von einer Funktiony = f (x) in xW lässt sich folgender Satz formulieren.

Satz 7.4

Ist eine Funktion f in einer Umgebung U von xW zweimal differenzierbar und ist W einWendepunkt der zu f gehörigen Kurve, dann ist f ′′(xW) = 0.

Die hinreichende Bedingung für die Existenz eines Wendpunktes lautet:

Satz 7.5

Ist eine Funktion f in einer Umgebung U von xW zweimal differenzierbar und istf ′′(xW) = 0 und f ′′′(xW) 6= 0, dann ist W ein Wendepunkt der zugehörigen Kurve.

Ein Wendepunkt mit waagerechter Wendetangente heißt Stufen- oder Terrassenpunkt (vgl.Bild 7.12 ). Für ihn lautet die notwendige Bedingung y ′(xW) = 0 und y ′′(xW) = 0.

7.10 Kurvendiskussion 391

Beispiel

7.27 Die Funktion y = f (x) = 2x3 + 1 soll auf Extrem- und Wendepunkte untersucht werden.

Lösung: y ′ = 6x2, y ′′ = 12x, y ′′′ = 12

Aus y ′ = 0 folgt 6x2 = 0, x1/2 = 0.

Setzt man den errechneten x-Wert in die zweite Ableitung ein, ergibt sich y ′′(0) = 0. EineEntscheidung über das Vorliegen eines Extremwertes kann noch nicht getroffen werden. Dadie dritte Ableitung y ′′′ 6= 0 ist, liegt an der Stelle x1/2 ein Wendepunkt vor. Die Koordinatenlauten: W (0; 1) (horizontaler Wendepunkt). Da aber auch y ′(0) = 0 ist handelt es sich umeinen Stufen- oder Terrassenpunkt (vgl. Bild 7.13 ).

x

W

1−1−2

1

−1

2

3

2

y

0

Bild 7.13

Kontrollfragen

7.11 Wann wächst bzw. fällt eine im Intervall I differenzierbare Funktion f ?

7.12 Wie verhält sich die Kurve einer Funktion f in der Umgebung einer Extremstelle?

7.13 Welcher Unterschied besteht zwischen einem relativen und einem absoluten Maximum?

7.14 Geben Sie die notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz des Extremwerteseiner Funktion f an!

7.15 Geben Sie notwendige und hinreichende Bedingung für die Existenz des Wendepunktes ei-ner Funktion f an?

7.16 Wann ist eine im Intervall I zweimal differenzierbare Funktion f konvex bzw. konkav?

7.10 KurvendiskussionIn den Naturwissenschaften, in der Technik und in der Ökonomie werden viele Zusammen-hänge mit Funktionen beschrieben. Eine in der Praxis häufige Aufgabenstellung ist, sich füreine gegebene Funktion schnell einen Überblick über den Verlauf der Kurve der Funktion zuverschaffen. Eine Wertetabelle ist dazu nicht immer geeignet, da solche charakteristischenPunkte der Kurve, wie z. B. die Extrempunkte, im Allgemeinen nicht erfasst werden. Mithilfeder Differenzialrechnung kann man meist recht schnell die charakteristischen Punkte undEigenschaften der Kurve der Funktion erfassen und sie im Koordinatensystem darstellen.Die Untersuchungen zur Gewinnung des Bildes einer Funktion nennt man Kurvendiskus-sion.

12.2 Rechnen mit Vektoren 569

12.2.3 Das Skalarprodukt

Aus den Koordinaten zweier Vektoren lässt sich der Winkel bestimmen, den diese Vektorenmiteinander einschließen.

Beispiel

12.10 Der Winkel zwischen den Vektoren ~a =

(36

)und ~b =

(62

)soll berechnet werden.

Lösung: Mit den Bezeichnungen aus Bild 12.14 und Gl. (4.10) gilt:

cos d = cos(a− b) = cos a · cos b + sin a · sin b

=a1

|~a|· b1

|~b|+

a2

|~a|· b2

|~b|=

a1 · b1 + a2 · b2

|~a| · |~b|=

3 · 6 + 6 · 2√32 + 62 ·

√62 + 22

=30√

45 ·√

40=

30√1 800

=30√2 · 30

=1√2⇒ d = arccos

(1√2

)= 45

1−1

1

−12 3 4 5 6 7 x

y

2

3

4

5

6

7

βα

δ α β= −

ra

rb

Bild 12.14

Allgemein gilt:

Der Kosinus des von den Vektoren ~a =

(a1a2

)und ~b =

(a1a2

)bzw. ~a =

a1a2a3

und

~b =

b1b2b3

eingeschlossenen Winkels 4(0 5 4 5 180) lässt sich folgendermaßen be-

stimmen:

cos 4 =a1b1 + a2b2

|~a| · |~b|=

a1b1 + a2b2√a2

1 + a22 ·√

b21 + b2

2

bzw. (12.7a)

cos 4 =a1b1 + a2b2 + a3b3

|~a| · |~b|=

a1b1 + a2b2 + a3b3√a2

1 + a22 + a2

3 ·√

b21 + b2

2 + b23

, (~a 6= ~0, ~b 6= ~0)

(12.7b)

570 12 Vektorrechnung

Beispiele

12.11 a) Der Winkel 4 zwischen den Vektoren ~v =

−23−1

und 3~v =

−69−3

soll berechnet werden.

Lösung: Nach Gl. (12.7b) ist

cos 4 =−2 · (−6) + 3 · 9 + (−1) · (−3)√

(−2)2 + 32 + (−1)2 ·√

(−6)2 + 92 + (−3)2=

12 + 27 + 3√14 ·√

126=

42√1764

=4242

= 1

also 4 = arccos(1) = 0.

Der Winkel von 0 war zu erwarten, da ein Vektor und sein mit einem positiven Faktorgebildetes Vielfaches die gleiche Richtung und die gleiche Orientierung haben.

b) Der Winkel 4 zwischen den Vektoren ~v =

(0,5−1,5

)und −6~v =

(−3

9

)soll berechnet

werden.

Lösung: Nach Gl. (12.7a) ist

cos 4 =0,5 · (−3) + (−1,5) · 9√

(0,5)2 + (−1,5)2 ·√

(−3)2 + 92=−1,5− 13,5√

2,5 ·√

90=−15√

225=−1515

= −1

also 4 = arccos(−1) = 180.

Dieses Ergebnis war ebenfalls zu erwarten, da ein Vektor und sein mit einem negativenFaktor gebildetes Vielfaches die gleiche Richtung, aber die entgegengesetzte Orientie-rung haben und somit einen gestreckten Winkel bilden.

c) Der Winkel a zwischen den Vektoren ~v =

2−4

1

und ~w =

336

soll berechnet werden.

Lösung: Nach Gl. (12.7b) ist

cos a =2 · 3 + (−4) · 3 + 1 · 6√

22 + (−4)2 + 12 ·√

32 + 32 + 62=

6− 12 + 6√21 ·√

54= 0

also a = arccos(0) = 90.

Die Vektoren ~v und ~w bilden also einen rechten Winkel, d. h. sie stehen senkrecht auf-einander.

12.12 Es ist der Winkel a im Dreieck zu berechnen, das durch die Punkte A(−4; −1), B(3; −3) undC (2; 4) gebildet wird (siehe Bild 12.15 ).

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

x

A

B

C

y

α

Bild 12.15


Lösung: Gesucht ist der Winkel zwischen dem Vektor−→AC =

(24

)−(−4−1

)=

(65

)und dem

Vektor−→AB =

(3−3

)−(−4−1

)=

(7−2

). Dann ist nach Gl. (12.7a)

a = arccos(

6 · 7 + 5 · (−2)√62 + 52 ·

√72 + (−2)2

)= arccos

(32√

61 ·√

53

)= arccos

(32

56,86

)= arccos(0,562 9) = 55,7

12.13 Für eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundseite (a = 2 m) und einer Höhe vonh = 2,5 m ist der Winkel s zu berechnen, den die Seitenlinien an der Pyramidenspitze mit-einander bilden (siehe Bild 12.16 ).

y−1 1 2 3

x

−1

1

2

3

z

−1

1

2

3

y−1 1 2 3

x

−1

1

2

3

z

−1

1

2

3

S(1; 1; 2,5)

B(0; 2; 0)

A(2; 2; 0)

σ

Bild 12.16

Lösung: Gesucht ist der Winkel zwischen dem Vektor−→AS =

112,5

−2

20

=

−1−12,5

und

dem Vektor−→BS =

112,5

−0

20

=

1−12,5

. Dann ist nach Gl. (12.7b)

s = arccos

(−1 · 1 + (−1) · (−1) + 2,5 · 2,5√

(−1)2 + (−1)2 + 2,52 ·√

12 + (−1)2 + 2,52

)= arccos

(6,25√

8,25 ·√

8,25

)= arccos

(6,258,25

)= arccos(0,757 6) = 40,7

Betrachtet man zwei Einheitsvektoren (d. h. Vektoren mit dem Betrag 1), so ist der Kosinusdes Winkels offenbar nur durch den Zähler von Gl. (12.7a) bzw. (12.7b) gegeben. Diese Sum-me erzeugt aus den Koordinaten zweier Vektoren einen Skalar (eine reelle Zahl). Daher kannman diese Verknüpfung als eine Abbildung auffassen, die zwei Vektoren eine reelle Zahl zu-ordnet. Diese Abbildung nennt man Skalarprodukt (manchmal auch „inneres Produkt“,seltener Punktprodukt) und sie wird folgendermaßen geschrieben:


Definition 12.2

~a ·~b =

(a1a2

)·(

b1b2

)= a1b1 + a2b2 =

2

∑i=1

ai bi bzw.

~a ·~b =

a1a2a3

·b1

b2b3

= a1b1 + a2b2 + a3b3 =3

∑i=1

ai bi

Anmerkungen:

Das Skalarprodukt zwischen den Vektoren ~a und ~b wird manchmal auch durch spitzeKlammern gekennzeichnet: < ~a,~b >

Da diese Definition des Skalarprodukts sich auf die Koordinaten der Vektoren bezieht,nennt man sie die Koordinatenform des Skalarprodukts.

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt das Quadrat seines Betrages:~a · ~a = |~a|2

Aus diesem Grund ist das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist genau dann 0,wenn der Vektor selbst der Nullvektor ist: ~a · ~a = 0⇔ ~a = ~0.

Der Ausdruck ~a · ~b · ~c ist sinnlos, sowohl in der Klammerung (~a · ~b) · ~c als auch in derKlammerung ~a · (~b · ~c), da das Skalarprodukt nicht aus einem Vektor und einer reellenZahl gebildet werden kann.

Da das Skalarprodukt auf die Multiplikation und die Addition reeller Zahlen zurückgeführtwird, ist es kommutativ: ~a ·~b = ~b · ~a.

Aus dem gleichen Grund gilt für das Skalarprodukt das Assoziativgesetz in folgendem Sinne:r · (~a ·~b) = (r · ~a) ·~b = ~a · (r · ~b), r ∈ R.

Ebenso gilt für das Skalarprodukt das Distributivgesetz: (~a +~b) · ~c = ~a · ~c +~b · ~c.

Beispiel

12.14 a) Für ~a =

(2−3

)und ~b =

(−1

4

)ist

~a ·~b =

(2−3

)·(−1

4

)= 2 · (−1) + (−3) · 4 = −2− 12 = −14

b) Für ~x =

−142

und ~y =

6−2

7

ist

~x · ~y =

−142

· 6−2

7

= −1 · 6 + 4 · (−2) + 2 · 7 = −6− 8 + 14 = 0

Das letzte Beispiel zeigt, dass das Skalarprodukt den Wert 0 annehmen kann, ohne dass einerder beiden beteiligten Vektoren der Nullvektor ist.

Vergleicht man die Gln. (12.7a) bzw. (12.7b) mit der Definition 12.2, so erkennt man, dassdas Skalarprodukt zweier Vektoren dividiert durch den Betrag beider Vektoren dem Kosinusdes durch die Vektoren eingeschlossenen Winkels gleich ist:


cos 4 =~a ·~b|~a| · |~b|

oder ~a ·~b = |~a| · |~b| · cos 4, (~a 6= ~0, ~b 6= ~0) (12.8)

wenn 4 (0 5 4 5 180) der von den Vektoren ~a und ~b eingeschlossene Winkel ist.

Anmerkungen:

Da diese Schreibweise des Skalarprodukts sich nicht auf die Koordinaten der Vektorenbezieht, nennt man sie die koordinatenfreie Form des Skalarprodukts.

Die Gl. (12.8) zeigt, dass das Skalarprodukt durch den Betrag zweier Vektoren und dendurch sie eingeschlossenen Winkel 4 eindeutig bestimmt ist.

Für ~a = ~b ergibt sich auch aus dieser Form des Skalarprodukts: ~a·~a = |~a|·|~a| cos 0 = |~a|2,

also |~a| =√~a · ~a =

√~a2.

Offenbar ist das Skalarprodukt genau dann 0, wenn einer der Vektoren der Nullvektor istoder der Kosinus des von den Vektoren eingeschlossenen Winkels 0 ist (cos 4 = 0). Letzteresist genau dann der Fall, wenn 4 ein ungeradzahliges Vielfaches von 90 ist, also wenn dieVektoren senkrecht aufeinander stehen. Diesen Sachverhalt bezeichnet man als Orthogo-nalitätsbedingung:

Zwei Vektoren, von denen keiner der Nullvektor ist, stehen genau dann senkrecht aufein-ander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist:

~a⊥~b ⇔ ~a ·~b = 0, (~a 6= ~0,~b 6= ~0) (12.9)

Beispiele

12.15 Die Vektoren ~x und ~y aus Beispiel 12.14 b stehen offenbar senkrecht aufeinander.

12.16 Gesucht ist ein Vektor ~c, der zu den Vektoren ~a =

104

und ~b =

2−2

3

orthogonal ist.

Lösung: Nach der Orthogonalitätsbedingung (Gl. (12.9)) muss für die Koordinaten des Vek-

tors ~c =

c1

c2

c3

gelten:

~a · ~c =

104

· c1

c2

c3

= c1 + 4c3 = 0, sowie (1)

~b · ~c =

2−2

3

· c1

c2

c3

= 2c1 − 2c2 + 3c3 = 0 (2)

Aus (1) folgt: c1 = −4c3, eingesetzt in (2) ergibt sich:−8c3 − 2c2 + 3c3 = −2c2 − 5c3 = 0.

Diese Gleichung ist offenbar für c2 = 5 und c3 = −2 erfüllt, für c1 ergibt sich dann: c1 = 8.

Der Vektor ~c =

85−2

und alle seine Vielfachen stehen also senkrecht sowohl auf dem

gegebenen Vektor ~a als auch auf dem gegebenen Vektor ~b.


12.17 Gesucht ist die Länge der Raumdiagonalen eines Quaders mit den Seitenlängen a = 2 cm,b = 3 cm und c = 2,5 cm sowie der Winkel, unter dem sich jeweils zwei Raumdiagonalenschneiden.

y−1 1 2 3

x

−1

1

2

3

z

−1

1

2

3

y−1 1 2 3

x

−1

1

2

3

z

−1

1

2

3

σrd1

rd2

Bild 12.17

Lösung: Nach Bild 12.17 lassen sich die Raumdiagonalen folgendermaßen als Vektoren dar-stellen:

~d1 =

200

+

030

+

00

2,5

=

23

2,5

und ~d2 =

200

+

0−3

0

+

00

2,5

=

2−32,5

Demzufolge ist

∣∣∣ ~d1

∣∣∣ = ∣∣∣ ~d2

∣∣∣ = √4 + 9 + 6,25 =

√19,25 = 4,39, d. h. die Raumdiagonalen

haben eine Länge von 4,39 cm.

Für den Schnittwinkel s gilt nach Gl. (12.8):

cos s =~d1 · ~d2∣∣∣ ~d1

∣∣∣ · ∣∣∣ ~d2

∣∣∣ = 2 · 2− 3 · 3 + 6,25√19,25 ·

√19,25

=1,25

19,25= 0,065 ⇒ s = arccos(0,065) = 86,3

12.18 Zu zeigen ist, dass jeder Umfangswinkel über dem Durchmesser eines Kreises ein rechter ist(Satz des Thales).

rr

ra

rb

rc

−rr Bild 12.18

Lösung: Mit den Bezeichnungen von Bild 12.18 gilt: ~a · ~b =(~c −~r

)·(~c +~r

)= ~c2 − ~r2 =

|~c|2 − |~r|2 = 0, da |~c| = |~r| (~c ist ein Radius im Kreis!). Wegen der Orthogonalitätsbedingung(Gl. (12.9)) bilden ~a und ~b also einen rechten Winkel.

Sachwortverzeichnis

2p-periodisch 3082-Punkte-Form der Geradengleichung 277

A

Abbildung 263abhängige Variable einer Funktion 263Abklingkonstante 324Ableitung 370– der mittelbaren Funktion 382– der Potenzfunktion 373– einer konstanten Funktion 375– eines konstanten Faktors 375– eines Produktes 380– eines Quotienten 381–, geometrische Interpretation 386–, höhere 385–, Summe 375– weiterer Funktionen 383–, zweite 385Abschreibung 347–, geometrisch-degressive 353–, lineare 347Abschreibungsbetrag 347Abschreibungssatz 347absoluter Betrag 29Abszisse 266Achsenabschnitt einer Geraden 275achsensymmetrische Funktion 294Addition 40Addition von Vektoren 564 f.Additionsregel 448Additionssystem 25Additionstheoreme 233Additionsverfahren 114Ähnlichkeit 154Ähnlichkeitssätze 160algebraische Form komplexer Zahlen 539algebraische Gleichung 88, 90algebraische Summe 35allgemeine Form der quadratischen Funkti-

on 283allgemeine Form eines linearen Gleichungs-

systems 113allgemeines Dreieck 156Allmenge 16

Alternative 21Alternativhypothese 509Alternativtest 509analytische Darstellung einer Funktion 265Anfangsbedingung 415Anfangsglied 342Anfangswert 324äquivalente Umformung 89Äquivalenz 18Arbeitshypothese 509Argument einer komplexen Zahl 546arithmetische Form komplexer Zahlen 539arithmetisches Mittel 481Arkusfunktionen 310Assoziativgesetz 564, 567, 572, 575Assoziativität 20, 33Asymptote 304, 362, 392 f.Aufzinsen 352Aussage 14Aussageform 15–, Erfüllung 15axialsymmetrisch 300

B

Basis 51, 61Baumdiagramm 453bedingte Wahrscheinlichkeit 461Bedingung, hinreichende 18notwendige 18Bernoulli-Experiment 501Bernoulli-Formel 458Bernoulli-Kette 501Betrag, absoluter 29Betrag einer komplexen Zahl 544, 546Betrag eines Vektors 561Bijektivität 270binärer Logarithmus 64Binärsystem 26Binomialkoeffizient 69, 458Binomialverteilung 501–, kumulative 505binomische Formel 36binomischer Lehrsatz 70Bogenmaß 103, 216

Sachwortverzeichnis 609

Bruch, echter 39–, unechter 39Bruchgleichung 91Bruchrechnung 39

C

Cavalierisches Prinzip 195Cramersche Regel 126

D

deckungsgleiche Geraden 279Definitionsbereich einer Funktion 263Definitionsbereich einer Ungleichung 111dekadischer Logarithmus 63, 66Determinante 126–, dreireihige 129–, mehrreihige 129–, zweireihige 126Determinantenverfahren 125Dezimalbruch 24Dezimalsystem 26Differenz 19Differenzenquotient 368–, Grenzwert 369Differenzial 368, 376Differenzialquotient 378Differenzierbarkeit 372Dimension eines Koordinatensystems 560direkte Proportionalität 45disjunkte Menge 17Diskontierung 352diskrete Zufallsgröße 515Distributivgesetz 567, 572, 575Distributivität 20, 33Divergenz 107Division 40Doppelbruch 43Drehung 148Dreieck, allgemeines 156–, Flächeninhalt 246–, gleichschenkliges 164–, gleichseitiges 165–, rechtwinkliges 163Dreiecksberechnung 237Dreieckstransversale 161dreireihige Determinante, Lösung 129Durchschnitt 19Durchstoßpunkt 587

E

Ebene, Normalenvektor 593–, vektorielle Beschreibung 583echt gebrochenrationale Funktion 302

echte Teilmenge 17echter Bruch 39e-Funktion 305Einheitsvektor 561, 571Einsetzungsverfahren 114Element 13– einer Menge 13empirische Verteilungsfunktion 477Endglied 344entgegengesetzte Zahl 29, 333-Umgebung 355Ereignis 442Erfüllung der Aussageform 15Ergebnis 442Ergebnisraum 442–, Mächtigkeit 442Erwartungswert 498, 502, 516, 518, 521, 525Erweitern 40Eulersche Formel 549Eulersche Gerade 161explizite Form einer Funktionsgleichung 268Exponent 51Exponentialform komplexer Zahlen 549Exponentialfunktionen 303Exponentialgleichung 100Exponentialverteilung 525Extrempunkt 389Extremwertaufgabe 398

F

Faktorenzerlegung 36Fakultät 69Fehler 1. Art 509– 2. Art 509Festkommadarstellung 30Flächenelement 423Flächeninhalt 174, 425, 427Flächeninhalt eines Dreiecks 246freie Variable 86Funktion 263, 382–, abhängige Variable 263–, Ableitung 370–, achsensymmetrische 294–, allgemeine Form der quadratischen 283–, analytische Darstellung 265–, äußere 382–, Definitionsbereich 263–, ganzrationale, n-ten Grades 296–, gebrochenrationale 300–, gerade 293–, grafische Darstellung 265–, innere 382–, konkave 386–, konstante 269

610 Sachwortverzeichnis

–, konvexe 386–, lineare 274–, Lücke 392–, Maschinenmodell 264–, mittelbare 320–, monoton fallende 269–, monoton wachsende 269–, nach oben beschränkte 270–, nach unten beschränkte 270–, Nullstelle 270, 277 ff., 286 ff., 290 f., 298,

308 f.–, Polstelle 300–, Produktform einer quadratischen 287–, Prozessmodell 264–, punktsymmetrische 294–, quadratische 283–, Scheitelform einer quadratischen 286–, stetige 361–, Stützstellen 298–, trigonometrische 217–, Umkehrfunktion einer linearen 277–, unabhängige Variable 263–, verkettete 320–, Wertebereich 263Funktionsgleichung 265–, aufstellen mittels der Ableitungen 400

G

Galton-Brett 503ganze Zahl 24ganzrationale Funktionen 296– n-ten Grades 296Gaußsche Zahlenebene 543Gaußscher Algorithmus 120gebrochenrationale Funktion 300gebundene Variable 86Gegenereignis 442Gegenhypothese 509Gegenvektor 563Genauwert 351geometrisches Mittel 483geordnetes n-Tupel 114geordnetes Paar 114geordnetes Quadrupel 114geordnetes Tripel 114Gerade 143–, Achsenabschnitt 275–, deckungsgleiche 279–, Lagebeziehung 279, 580–, Parallelität 279–, Schnittpunkt 280–, senkrechter Schnitt zweier 282–, Steigungsfaktor 275

–, Steigungswinkel 276–, Vektorgleichung 578gerade Funktionen 293gestaffelte Form 120gleichschenkliges Dreieck 164gleichseitiges Dreieck 165Gleichsetzungsverfahren 114Gleichung 86–, algebraische 88, 90–, Bruch- 91– dritten und höheren Grades 97–, Exponential- 100–, goniometrische 100, 102–, grafische Lösung 105–, identische 88–, kubische 97–, linear abhängige 118–, logarithmische 100 f.– n-ten Grades 97–, quadratische 93–, transzendente 88, 99 f.–, Wurzel- 91Gleichungssystem, lineares 113Gleitkommadarstellung 30goniometrische Form komplexer Zahlen 548goniometrische Gleichung 100, 102Gradmaß 215grafische Darstellung einer Funktion 265grafische Lösung 105Grenze, obere 49–, untere 49Grenzkurve 302, 304Grenzwert 360, 368 f.– einer Folge 355– einer Funktion 358–, linksseitiger 359–, rechtsseitiger 359–, uneigentlicher 356Grundbereich 15Grundintegrale 414Grundkonstruktion 151Grundziffer 25

H

Häufigkeit, relative 465Häufigkeitspolygon 479Hauptwert 351, 553Hauptwerte der Arkussinusfunktion 311Hexadezimalsystem 26Histogramm 479Hochpunkt 389Höhensatz 164Hornersches Rechenschema 98Hyperbel 300


I

Idempotenz 21identische Gleichungen 88Identität 88imaginäre Achse 543imaginäre Zahl 537imaginäre Zahleneinheit 536Imaginärteil 539Implikation 18implizite Form einer Funktionsgleichung 268indirekte Proportionalität 46Injektivität 270Inklusion 16inneres Produkt 571Integral 412– als Grenzwert 421–, bestimmtes 415, 418, 422–, partikuläres 416–, unbestimmtes 413Integralfunktion 413Integralrechnung, Grundaufgabe 412Integrand 413Integration 412– durch Substitution 430–, Flächenberechnung 416–, numerische 435Integrationsgrenzen 418Integrationsintervall 420Integrationskonstante 413Integrationsvariable 413Intervall 28irrationale Zahl 25Iteration 105

K

Kardinalzahl 23kartesische Koordinaten 546kartesisches Koordinatensystem 265, 559Kathetensatz 163Kegel 190Kegelstumpf 191Kennziffer 66Keplersche Fassregel 436Kettenregel 382Klasse 476Kombination 451, 457– mit Wiederholung 457– ohne Wiederholung 457Kombinatorik 451Kommutativgesetz 567Kommutativität 20, 33Komplement einer Menge 21

komplexe Zahl 539–, algebraische Form 539–, Argument einer 546–, arithmetische Form 539–, Betrag einer 544, 546–, Exponentialform 549–, goniometrische Form 548–, konjugiert 539–, Norm einer 541trigonometrische Form 548–, vektorielle Darstellung 543Kongruenz 149Kongruenzsätze 158konjugiert komplexe Zahl 539Konjunktion 21konstante Funktion 269Konvergenz 107Konvertieren 27Konvertierung 26Koordinaten eins Punktes 560Koordinatenform des Skalarprodukts 572koordinatenfreie Form des Skalarpro-

dukts 573Koordinatensystem, Dimension 560–, kartesisches 559Koordinatenursprung 266, 560Korrelation 488Korrelationskoeffizient 489Kosinus 217Kosinusfunktion 308–, Maximum und Minimum 309Kosinussatz 242Kotangens 217Kreis 170Kreisdiagramm 266Kreuzprodukt 575kubische Gleichung 97Kugel 195kumulative Binomialverteilung 505Kurvendiskussion 391–, Asymptoten 393–, Definitionsbereich 392–, Extrempunkte und Art der Extremwerte 393–, Nullstellen 392–, Schnittpunkt mit der y-Achse 392–, Skizze der Funktion 393–, Symmetrie 392–, Unstetigkeitsstellen 392–, Verhalten im Unendlichen 393–, Wendepunkte 393–, Wertebereich 393Kürzen 40


L

Lagebeziehung zwischen Ebenen 589– zwischen einer Ebene und einer Gera-

den 587– zwischen Geraden 279, 580Laplace-Experiment 446leere Menge 14linear abhängige Gleichung 118lineare Funktion 274lineares Gleichungssystem 113–, allgemeine Form 113Linearfaktoren 298Logarithmensystem 63logarithmische Gleichung 100 f.Logarithmus 51, 61–, Basis 61–, binärer 64–, dekadischer 63, 66–, natürlicher 63–, Numerus 61Logarithmusfunktionen 306Lösung der Aussageform 15Lücke 392

M

Mächtigkeit des Ergebnisraumes 442Mantisse 66Maschinenmodell von Funktionen 264Maximum 388–, absolutes 389–, relatives 388Median 482mehrreihige Determinante 129mehrstufiger Zufallsversuch 452Menge 13–, Differenz 19–, disjunkte 17–, Durchschnitt 19–, Komplement 21–, leere 14–, Vereinigung 19Mengenoperation 19Merkmal, qualitatives 474–, quantitatives 474Minimum 388–, absolutes 389–, relatives 388Mittel, arithmetisches 481–, geometrisches 483mittelbare Funktion 320Mittelwert 480mittlere Proportionale 44Modalwert 483monoton fallende Funktion 269

monoton wachsende Funktion 269Monotonie von Funktionen 269Monotoniebogen 386Multiplikation 40Multiplikation eines Vektors 567Multiplikationsregel 449Multiplikationssatz 462

N

nach oben beschränkte Funktion 270nach unten beschränkte Funktion 270Näherungsverfahren 104natürliche Zahl 23natürlicher Logarithmus 63Nebenbedingungen 398Nebenwinkel 146n-Eck 168Negation 22Nenner, Rationalmachen 58Neugrad 216Norm einer komplexen Zahl 541Normaleneinheitsvektor 595Normalenform der Ebenengleichung 593Normalenvektor einer Ebene 593Normalform der Geradengleichung 275Normalform einer quadratischen Funkti-

on 283Normalparabel 285Normalverteilung 518–, standardisierte 521Nullfolge 356Nullhypothese 509Nullpunkt 266Nullstelle 392– einer Funktion 270, 277 ff., 286 ff., 290 f., 298,

308 f.– einer Parabel 287Nullvektor 563Numerus 51, 61

O

obere Grenze 49obere Schranke 270Obermenge 17Obersumme 422Ordinalzahl 23Ordinate 266Orientierung eines Vektors 560Orthogonalitätsbedingung 573Ortsvektor eines Punktes 561


P

Paar, geordnetes 114Parabel 283– n-ter Ordnung 293–, Nullstelle 287Parallelität zweier Geraden 279Parameter 117Pascalsches Dreieck 68p-periodisch 309periodische Funktionen 307Permutation 451, 456– mit Wiederholung 456– ohne Wiederholung 456Pfadregel 454Pivotelement 121Planimetrie 143Poisson-Verteilung 515Polarkoordinaten 228, 546Polstelle einer Funktion 300Polynom 89Polynomfunktion n-ten Grades 296Positionssystem 26Potenzfunktionen 293Potenzgesetz 51primäre Verteilungstafel 476, 481Prinzip der Mengenbildung 16Prisma 183Prismatoid 188Probe 90Produktform einer quadratischen Funkti-

on 287Produktgleichung 44Produktregel 380, 454Promille 47Proportion 44Proportionalität, direkte 45–, indirekte 46Prozentrechnung 47Prozessmodell von Funktionen 264Punkt 143punktsymmetrische Funktion 294Pyramide 185Pyramidenstumpf 189

Q

Quader 181Quadranten 266Quadrantenrelationen 225quadratische Ergänzung 289quadratische Funktionen 283quadratische Gleichung 93Quadrupel, geordnetes 114qualitatives Merkmal 474

quantitatives Merkmal 474Quotientenregel 381

R

Radikand 51, 54rationale Zahl 24Rationalmachen des Nenners 58Rauminhalt von Rotationskörpern 432Realteil 539Rechenoperation 32– dritter Stufe 51– erster Stufe 32– zweiter Stufe 32Rechenschema von Horner 98Rechteckkoordinaten 546Rechte-Hand-Regel 560rechtwinkliges Dreieck 163rechtwinkliges Koordinatensystem 265reelle Achse 543reelle Zahl 23, 25Regel zum Konvertieren 27Regel von Sarrus 130Regressionsgerade 491Regressionskoeffizient 491regula falsi 108Reihe 344Relation 263relative Häufigkeit 465Repräsentant eines Vektors 563reziproke Zahl 33Richtung eines Vektors 560Richtungssinn 560Richtungsvektor 578Runden von Zahlen 31

S

Satz des Pythagoras 164Satz von Bayes 464Säulendiagramm 266Scheitelform einer quadratischen Funkti-

on 286Scheitelwinkel 146Schnittpunkt zweier Geraden 280Schreibweise von Zahlen 30Sekantenverfahren 108sekundäre Verteilungstafel 476, 481senkrechter Schnitt zweier Geraden 282signifikante Ziffer 30Signifikanztest 511Signum 29Simpsonsche Regel 437Simulation 465Sinus 216


Sinusfunktion 308–, Maximum und Minimum 308Sinussatz 239Skalar 561Skalarprodukt 571–, Koordinatenform 572–, koordinatenfreie Form 573Spannvektoren 584Spannweite 475Spatprodukt 576Spiegelachse 272Spiegelung 148Sprungstelle 361Stammfunktion 413Standardabweichung 485, 498, 502standardisierte Normalverteilung 521Steigungsdreieck 276Steigungsfaktor einer Geraden 275Steigungswinkel einer Geraden 276Stereometrie 180Stichprobe 475Strahl 144Strecke 144Streckung, zentrische 154Streuung 484, 498, 516, 518, 525Streuungsmaß 480Stufenpunkt 390Stufensprung 351Stufenwinkel 146Stützstellen einer Funktion 298Stützvektor 578Stützwerte einer Funktion 298Substitutionsregel 430Subtraktion von Vektoren 564 ff.Summationsgrenze 49Summationsindex 49Summe, algebraische 35Summenregel 454Summenzeichen 49Surjektivität 270Symmetrie 150

TTangens 217Tangensfunktion 309Teilmenge 16–, echte 17Term 35Terrassenpunkt 390Tiefpunkt 389totale Wahrscheinlichkeit 462transzendente Gleichung 88, 99 f.Trend 492trigonometrische Form komplexer Zahlen 548

trigonometrische Funktion 217, 307trigonometrischer Pythagoras 231Tripel, geordnetes 114Tupel, n-, geordnetes 114

U

Umkehrfunktion 272– einer linearen Funktion 277unabhängige Variable einer Funktion 263unecht gebrochenrationale Funktion 302unechter Bruch 39Unendlichkeitsstelle 392ungerade Funktionen 293Ungleichung 110–, Definitionsbereich 111Unstetigkeit, hebbare 362Unstetigkeitsstelle 392untere Grenze 49untere Schranke 270Untermenge 17Untersumme 422Urliste 475Urnenmodell 453Ursprungsgerade 275

V

Variable 15, 86–, freie 86–, gebundene 86Varianz 498, 502Variation 451, 457– mit Wiederholung 457– ohne Wiederholung 457Variationskoeffizient 485Vektor 560–, Addition 564 f.–, Betrag 561–, Multiplikation 567–, Orientierung 560–, Repräsentant 563–, Richtung 560–, Subtraktion 564 ff.–, Vielfaches 567–, Winkel 569Vektoraddition 545Vektorgleichung einer Geraden 578vektorielle Beschreibung von Ebenen 583vektorielle Darstellung komplexer Zahlen 543Vektorparallelogramm 564Vektorprodukt 575Vereinigung 19verkettete Funktion 320Verschiebung 148Versor 549


Verteilungsfunktion 495, 525–, empirische 477Verteilungstafel 475–, primäre 476, 481–, sekundäre 476, 481Vielfaches eines Vektors 567Viereck 166Vierfeldertafel 460Vorzeichenregel 34Vorzugszahlen 351

W

Wachstumskonstante 324Wachstumstempo 350Wahrheitswert 14Wahrscheinlichkeit, bedingte 461–, totale 462Wahrscheinlichkeitsdichte 499, 518, 525Wahrscheinlichkeitsverteilung 495Wechselwinkel 146Wendepunkt 390Wertebereich einer Funktion W 263Wertetabelle 265Winkel 144Winkel zwischen Vektoren 569Wurzel 54Wurzelexponent 51, 54Wurzelfunktionen 295Wurzelgleichung 91Wurzelsatz von Vieta 96

Z

Zahl, entgegengesetzte 29, 33–, ganze 24–, irrationale 25–, natürliche 23–, rationale 24–, reelle 23, 25

–, reziproke 33–, Runden 31–, Schreibweise 30Zahlenfolge 341–, alternierende 343–, arithmetische 344–, divergente 356–, endliche 342 f.–, fallende 343, 348–, geometrische 348–, Glied einer 342–, grafische Darstellung 342–, Grenzwert einer 355–, konstante 343–, konvergente 356–, rekursive Darstellung 343 f., 348–, streng monoton fallend 343 f., 348–, streng monoton wachsend 343 f., 348–, tabellarische Darstellung 342–, unabhängige Darstellung 342, 344, 348–, unendliche 342 f.–, wachsende 343–, Wortdarstellung 342Zahlensystem 25zentralsymmetrisch 300zentrische Streckung 154Zielfunktion 398Ziffer 25–, signifikante 30Zinseszinsrechnung 351Zinsrechnung 47Zufallsexperiment 442Zufallsgröße 494, 502–, diskrete 515Zufallsversuch 442, 452zweireihige Determinante 126Zweiwertigkeit 14zyklometrische Funktionen 310Zylinder 190

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Mathematik für Techniker - files.hanser.defiles.hanser.de/Files/Article/ARTK_LPR_9783446439689_0002.pdf · Leseprobe Siegfried Völkel, Horst Bach, Heinz Nickel, Jürgen Schäfer