TU Dresden Sommersemester 2019Fakultät Mathematik, Institut für AnalysisPD Dr. N. Koksch

Mathematik IIBlatt 21 (06.05.2019 – 10.05.2019)

Aufgabe 373. Gegeben sei die Funktion f :R2 →R mit f (x, y)= ex+y · (x− y).

1. Ermitteln Sie das Taylor-Polynom 2. Ordnung von f an der Stelle (x0, y0)= (0,0).

2. Schätzen Sie den Fehler | f (0.1,0.2)−T f(0,0),2(0.1,0.2)| ab.

Aufgabe 374. Bestimmen Sie die Nullstellen sowie die lokalen und die globalen Extremal-

stellen der Funktion f : M → R mit f (x) = |x|(x+2)2 für x ∈ M = [−5,−2[∪ ]−2,5]. Entscheiden

Sie, ob die Extremalstellen Maximal- bzw. Minimalstellen sind.

Aufgabe 375. Die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) = x2 · (2− y)− y3 +3y2 +9y für (x, y) ∈ R2

besitzt nur die kritischen Punkte (0,−1), (0,3), (−3,2) und (3,2). (Überprüfen!) UntersuchenSie, ob in diesen Punkte lokale Minima, lokale Maxima oder Sattelpunkte vorliegen.

Aufgabe 376. Gegeben seien Punkte (xk, yk) ∈ R2 für k ∈ {1,2, . . . ,n}. Bestimmen Sie den sog.geometrischen Schwerpunkt (xs, ys) ∈R2, der die Summe der quadratischen Abstände zu denPunkten (xk, yk) minimiert. Wie lautet der zugehörige Minimalwert?

Aufgabe 377.

1. Entwickeln Sie f : R>−1 →R mit f (x)= ln(1+x) in eine Potenzreihe um x0 = 0 auf einemmöglichst großen Intervall ]−ε,ε[.

2. Entwickeln Sie g : R<1 → R mit g(x) = ln(1− x) in eine Potenzreihe um x0 = 0 auf einemmöglichst großen Intervall ]−δ,δ[.

3. Entwickeln Sie h : ]−1,1[ → R mit h(x) = 2artanh(x) = ln 1+x1−x in eine Potenzreihe um

x0 = 0 auf einem möglichst großen Intervall ]−δ,δ[.

Zusatzaufgaben

Aufgabe 378. Gegeben sei die Funktion f :R2 →R mit f (x1, x2)= e2x1 · (x1 + x22).

1. Ermitteln Sie für k ∈ {0,1,2,3} und x = (x1, x2), h = (h1,h2) ∈R2 die Ausdrücke

f (k)(x)(h)= (h1∂1 +h2∂2)k f (x1, x2).

2. Bestimmen Sie das Taylor-Polynom 2. Ordnung von f an der Stelle x0 = (0,0).

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Dr. Frank Morherr

Aufgabe 379. Gegeben ist die Funktion f (x1, x2)= ex1·(x2−1) mit x1, x2 ∈R2.

1. Berechnen Sie das Taylor-Polynom 2. Ordnung im Nullpunkt.

2. Geben Sie da zugehörige Restglied an.

Aufgabe 380. Untersuchen Sie die Funktion f : M →Rmit f (x)= |x+1|(x−2)2 für x ∈ M = [−6,2[∪

]2,6] auf lokale und globale Extremalstellen.

Aufgabe 381. Die Funktion f : R2 →R mit (x3−3x) ·(y+3)+ y ·(y+6) für (x, y) ∈R2 besitzt nurdie kritischen Punkte (1,−2), (−1,−4), (0,−3), (

p3,−3), (−

p3,−3). (Überprüfen!) Untersuchen

Sie, ob in diesen Punkte lokale Minima, lokale Maxima oder Sattelpunkte vorliegen.

Aufgabe 382. Untersuchen Sie die Funktion f :R2 →R mit f (x, y)= x4 −4xy+2y2 auf lokaleExtremwerte und Sattelpunkte.

Aufgabe 383. Untersuchen Sie die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) = e−(x2+y2) · (x2 +2y2) für(x, y) ∈R2 auf lokale Extremwerte und Sattelpunkte.

Aufgabe 384. Untersuchen Sie die Funktion f : R2 → R mit f (x, y) = x3 + y3 −9xy+25 auflokale Extremwerte und Sattelpunkte.

Aufgabe 385. Untersuchen Sie die Funktion f : [−π,π]→R mit

f (x)={

sin(x)x für 0< |x| ≤π,

1 für x = 0

auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Symmetrie, Nullstellen, Vorzeichenverteilung, lokale undglobale Extremalstellen, Krümmungsverhalten und Wendepunkte.

Aufgabe 386. Untersuchen Sie die Funktion f : R→R mit

f (x)=

(x+ x2) ·e1/x für x ∈ ]−∞,0[ ,2x2 ·e2 für x ∈ [0, 1

2 ] ,

x ·e1/x für x ∈ ]12 ,∞[

auf Stetigkeit, Differenzierbarkeit, Symmetrie, Nullstellen, Vorzeichenverteilung, lokale undglobale Extremalstellen, Krümmungsverhalten und Wendepunkte.

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