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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f
um nach . Es gilt also: g(x) = f(x)
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h mit h(x) = f(x)− 2 ein.
Vertikale Verschiebung
x 7→ f(x) + d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach .
x 7→ f(x)− d mit d > 0 verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach .
Oben oder unten?
Die Graphen der quadratischenFunktionen f und g mit
f(x) = x2 bzw. g(x) = (x+2)2
sind dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.Was fällt dir auf?
Es gilt: g(x) = f( ).
x f(x)
−3
−2
−1
0
1
2
3
x g(x)
−5
−4
−3
−2
−1
0
1
Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f um E. nach .
Horizontale Verschiebung
x 7→ f(x + c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach .
x 7→ f(x− c) mit c > 0 verschiebt den Graphen von f um Einheiten nach .
Links oder rechts?
a) Der Graph von g entsteht durch Verschiebung des Graphen von f :
1) Horizontale Verschiebung um Einheiten nach
2) Vertikale Verschiebung um Einheiten nach
Es gilt also: g(x) = f(x )
b) Zeichne rechts den Graphen der Funktion h(x) = f(x+ 2)− 1 ein.
Verschiebungen
Datum: 11. Dezember 2019
Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
a) An jeder Stelle ist der Funktionswert von gdoppelt so groß wie der Funktionswert von f .
Es gilt also: g(x) =
b) An jeder Stelle ist der Funktionswert von hhalb so groß wie der Funktionswert von f .Zeichne rechts den Graphen von h ein.
Es gilt also: h(x) =
Vertikale Skalierung
x 7→ a · f(x) mit a > 1 den Graphen von f in vertikaler Richtung um den Faktor a.
x 7→ a · f(x) mit 0 < a < 1 den Graphen von f in vertikaler Richtung um den Faktor a.
Streckung oder Stauchung?
Eine Gleichung der dargestellten quadratischen Funktion f ist
f(x) = · x2.
Der Graph der quadratischen Funktion g entsteht durch Verschiebungdes Graphen von f :
1) Horizontale Verschiebung um Einheiten nach
2) Vertikale Verschiebung um Einheiten nach
Eine Gleichung von g ist also
g(x) = f(x ) = 2 · (x− 3)2 − 4.
Scheitelpunkt verschieben
Die quadratische Funktion f mit f(x) = a · x2 hat ihren Scheitel im Punkt .
Wir verschieben den Graphen von fum xS Einheiten in horizontaler Richtung undum yS Einheiten in vertikaler Richtung:
f(x ) = a · (x− xS)2 + yS
Die quadratische Funktion g mit
g(x) = a · (x− xS)2 + yS
hat ihren Scheitel also im Punkt S = .; AB – Quadratische Funktionen
Scheitelpunktform
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Die Graphen der Exponentialfunk-tionen f und g mit
f(x) = 2x bzw. g(x) = 4x
sind rechts dargestellt.
Vervollständige die Wertetabellen.
x f(x)
0
1
2
3
4
x g(x)
012
132
2
Aus ab·c =(ab
)cfolgt g(x) = f( ).
Der Graph von g entsteht durch Stauchung des Graphen von f in Richtung.
Horizontale Skalierung
Der Graph der Funktion h mit
h(x) = f
(12 · x
)verläuft durch die Punkte
(−2 | ), (0 | ), (2 | ), (4 | ) und (6 | ). Zeichne den Graphen von h oben ein.
Der Graph von h entsteht durch Streckung des Graphen von f in Richtung.
Ziehharmonika
x 7→ f(b · x) mit b > 1 den Graphen von f in horizontaler Richtung um den Faktor 1b .
x 7→ f(b · x) mit 0 < b < 1 den Graphen von f in horizontaler Richtung um den Faktor 1b .
Streckung oder Stauchung?
a) Der Graph von g entsteht durch Skalierung des Graphen von fin horizontaler Richtung und in vertikaler Richtung:
g(x) = a · f(b · x)
Lies a und b aus der Abbildung ab: a = b =
b) Zeichne den Graphen von h mit h(x) = 2 · f(4 · x) ein.
Skalierungen
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Der Graph von g entsteht durch Spiegelung des Graphen von f . . .. . . an der x-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) =
. . . an der y-Achse.Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) =
. . . am Ursprung (0 | 0).Zeichne den Graphen von g ein:
An jeder Stelle x gilt:
g(x) =
Spiegelungen
Gilt h(x) = h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine gerade Funktion.Der Graph jeder geraden Funktion ist also symmetrisch zur -Achse.
Beispiele für gerade Funktionen sind x 7→ x2, x 7→ x4, x 7→ x6 und x 7→ cos(x).
Gilt h(x) = −h(−x) an jeder Stelle x, dann nennen wir h eine ungerade Funktion.Der Graph jeder ungeraden Funktion ist also symmetrisch zum Punkt .
Beispiele für ungerade Funktionen sind x 7→ x1, x 7→ x3, x 7→ x5 und x 7→ sin(x).
Gerade Funktionen und ungerade Funktionen
Wollen wir in die selbe Richtung verschieben und skalieren, dann kommt es auf die Reihenfolge an:
a) Wir strecken die Gerade y = x zuerst um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y =
Danach verschieben wir die Gerade um 2 nach oben: y =
b) Wir verschieben die Gerade y = x zuerst um 2 Einheiten nach oben: y =
Danach strecken wir um den Faktor 3 in vertikaler Richtung: y =
Auf die Reihenfolge kommt es an.
Gib nach jedem Schritt eine neue Funktionsgleichung an. Wir starten mit f1(x) = x2 · ex.
1) Der Graph von f1 wird an der y-Achse gespiegelt:
f2(x) =
2) Der Graph von f2 wird um 3 Einheiten nach links verschoben:
f3(x) =
3) Der Graph von f3 wird in horizontaler Richtung um den Faktor 2 gestreckt:
f4(x) =
x an jeder Stelle ersetzen
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Die Funktion x 7→ 2 · sin(4 · x− 3) + 5 entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).Entscheide in jedem Schritt, ob eine Verschiebung oder eine Skalierung durchgeführt wird.
sin(x)
2 · sin(x)
2 · sin(x) + 5
2 · sin(x− 3) + 5
2 · sin(4 · x− 3) + 5
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
2 22 22 2
2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2
2
Verschiebungen & Skalierungen
Die Funktion x 7→ A · sin(ω · x+ ϕ) + c entsteht schrittweise aus der Funktion x 7→ sin(x).A > 0 . . . Amplitude ω > 0 . . . Kreisfrequenz ϕ > 0 . . . Nullphasenwinkel
sin(x)
A · sin(x)
A · sin(ω · x)
A · sin(ω · (x+ ϕω))
A · sin(ω · x+ ϕ) + c
Verschiebung
2
Skalierung
→ um ... Einheiten↑ ↓← ↔ l um den Faktor ...
2 22 22 2
2 2 2 22 2 2 22 2 2 22 2 2 2
2
Die horizontale Entfernung benachbarter Tiefpunkte ist die Periodendauer. In welchem Schritt ändert sich die Periodendauer?
f1(x) = sin(x)
f2(x) =
f3(x) =
t0 = −π8 =⇒ ϕ = −ω · t0 =
f4(x) =
f5(x) =
Allgemeine Sinusfunktion
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Mathematik macht Freu(n)de AB – Funktionsgraphen
Links ist der Graph der Funktion f1 mit
f1(x) = e−12 ·x
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dargestellt. Er schließt mit der x-Achse eine Flächemit dem Inhalt A1 =
√2 · π ein. ; Fehlerintegral
Der Graph von f2 entsteht durch Skalierungdes Graphen von f1 in vertikaler Richtung:
f2(x) =
Es gilt: A2 =
Der Graph von f3 entsteht durch Skalierungdes Graphen von f2 in horizontaler Richtung:
f3(x) =
Es gilt: A3 =
Der Graph von f4 entsteht durch Verschiebungdes Graphen von f3 in horizontaler Richtung:
f4(x) =
Es gilt: A4 =
Die Funktion f mit
f(x) = 1σ ·√
2 · π· e−
12 ·(x−µ
σ )2(σ > 0) ; Gaußsche Glockenfunktion
ist eine wichtige Funktion in der Wahrscheinlichkeitsrechnung.Beschreibe, wie du ihren Graphen aus dem Graphen von f1(x) = e−
12 ·x
2 erhalten kannst.Welchen Flächeninhalt schließt der Graph von f also mit der x-Achse ein?
Glockenkurven
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