Matice

Matice

Matica typu m x n je “tabuľka” s m riadkami a n stĺpcami

11 12 1

21 22 2

1 2

....

....

..... .... .... ....

....

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

a ij prvok matice, i j udáva pozíciu prvku

i- čísluje riadkyJ- čísluje stĺpce

1 X 3

2 X 3

2 X 2

2 X 1

m X n

Počet riadkov Počet stĺpcov

3 X 3

2 1 0

1 2 3

1 2 3

0 2 2

2 1

4 2

2

5

Druhy matíc

3 X 32 X 2

aij=ij2 X 2 3 X 3 4 X 4

Druhy

Transponovaná matica 𝐴𝑇 vznikne s pôvodnej matice A tak, že vymeníme riadky za stĺpce, teda 𝑎𝑖𝑗

𝑇 = 𝑎𝑗𝑖. Napríklad

𝑋𝑇

A

X

𝐴𝑇

𝐴𝑇 = B =

3 X 5 5 X 3

1

T

ij ja a

3 X 1 1 X 3

Operácie s maticami

Rovnosť matíc: A=B rovnaký počet riadkov a stĺpcov, aij=bij

Súčet matíc: C=A+B matice rovnakého typu, cij=aij+bij

Súčin čísla s maticou : B=A matice rovnakého typu, bij= aij

Násobenie matíc: A[ k x p ] . B[ p x m] = D[ k x m]

1

p

ij il lj

l

d a b

PODMIENKA:

Počet stĺpcov 1. matice sa musí rovnať počtu riadkov druhej matice

NEPLATÍ KOMUTATÍVNOSŤ

1 2 2 42

3 4 6 8B A

1x3 3x1

3x1 1x3

1x1

3x3

3x3 3x3 3x3

Inverzná matica

Vynásobenie matice s jej inverznou maticou dá jednotkovú maticu

Pod ortogonálnou maticou rozumieme maticu, pre ktorú platí:TAA I

3x3 3x3 3x3

Determinanty matíc

Matica typu m x n je “tabuľka” s m riadkami a n stĺpcami

11 12 1

21 22 2

1 2

....

....

..... .... .... ....

....

n

n

m m mn

a a a

a a a

a a a

Determinant – číslo priradené štvorcovej matici (podľa pravidiel):

Výpočet determinantu

11 11

11 12

11 22 12 21

21 22

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

1

1n

j i

ij ij

j

a a

a aa a a a

a a

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

A a M

+_

+_

+_

+_

1 x 1

2 x 2

3 x 3

n x n

Subdeterminant/minor/ – vznikne vynechaním i-teho riadku a j-teho stĺpca matice A

Rozvoj determinantu podľa prvého riadku

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

1

1n

j i

ij ij

j

A a M

i=1

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

11a

1 1

1 1

1

1n

j i

ij ij

j

A a M

i=1

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

12a

Pozor na striedajúce znamienko !!!!!

1 2

1 1

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

13a

Pozor na striedajúce znamienko !!!!!

1 3

1 1

1 1

1 1

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

11 12 13

21 22 23 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

11 12 13

22 23 21 23 21 22

21 22 23 11 12 13

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

11 12 13

12 13 11 13 11 12

21 22 23 21 22 23

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

11a

2 1

1 1

11 12 13

12 13 11 13 11 12

21 22 23 21 22 23

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

22a

Pozor na striedajúce znamienko !!!!!

2 2

1 1

11 12 13

12 13 11 13 11 12

21 22 23 21 22 23

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

23a

Pozor na striedajúce znamienko !!!!!

2 2

1 1

2 1

1 1

2 3

1 1

11 12 13

12 13 11 13 11 12

21 22 23 21 22 23

32 33 31 33 31 32

31 32 33

a a aa a a a a a

a a a a a aa a a a a a

a a a

11 12 13

21 22 23 11 12 33 13 32 22 11 33 13 31 23 11 32 12 31

31 32 33

a a a

a a a a a a a a a a a a a a a a a a

a a a

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

y z z y x z z x x y y x

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

i a b a b j a b a b k a b a b

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

i

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

j

Striedať znamienka !!!!

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

k

Striedať znamienka !!!!

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

y z z y x z z x x y y xi a b a b j a b a b k a b a b

+ _ + _ + _

Vektorový súčin

y z x yx z

x y z

y z x yx z

x y z

i j ka a a aa a

a a a i j kb b b bb b

b b b

y z z y x z z x x y y xi a b a b j a b a b k a b a b

+ _ + _ + _

y z z y x z z x x y y xa b i a b a b j a b a b k a b a b

Systém dvoch rovníc s dvomi neznámymi

11 12 1 22

21 22 2 21

/

/

a x a y c a

a x a y c a

11 22 21 12 1 22 2 12

12 21 22 11 2 11 1 21

a a a a x c a c a

a a a a y c a c a

11 12 1 21

21 22 2 11

/

/

a x a y c a

a x a y c a

11 12 1

21 22 2

a x a y c

a x a y c

1 12 11 1

2 22 21 2

11 12 11 12

21 22 21 22

c a a c

c a a cx y

a a a a

a a a a

11 12 1

21 22 2

a x a y c

a x a y c

11 12 1 11 1 12 2

21 22 2 21 1 22 2

a a x a x a x

a a x a x a x

11 22 21 12 1 22 2 12

12 21 22 11 2 11 1 21

a a a a x c a c a

a a a a y c a c a

Cramerovo pravidlo

Matica systému

1 12 13 11 1 13 11 12 1

2 22 23 21 2 23 21 22 2

3 32 33 31 3 33 31 32 3

11 12 13 11 12 13 11 12 13

21 22 23 21 22 23 21 22 23

31 32 33 31 32 33 31 32 33

c a a a c a a a c

c a a a c a a a c

c a a a c a a a cx y z

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

a a a a a a a a a

11 12 13 1

21 22 23 2

31 32 33 3

a x a y a z c

a x a y a z c

a x a y a z c

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

a a a x c

a a a x c

a a a x c

Maticový zápis a maticový spôsob riešenia lineárnych rovníc

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

a x a x a x c

a x a x a x c

a x a x a x c

11 12 13 1 1

21 22 23 2 2

31 32 33 3 3

a a a x c

A X a a a x c

a a a x c

1

2

3

x

X x

x

1

2

3

c

C c

c

11 12 13

21 22 23

31 32 33

a a a

A a a a

a a a

1 2

1 2

1 2

5 4 0 = 2

0 4 4 = 2

= 0

I I I

I I I

I I I

2

5 4 2

0 4 2

1 1 0 13= = =

5 4 0 28

0 4 4

1 1 1

iAI A

A

Nájdite prúd prechádajúci zdrojom 12V.

5 4 0

0 4 4

1 1 1

Matica systému rovníc

Maticový spôsob riešenia lineárnych rovníc

1 1

A X C

A A X A C

E

1X A C

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑥1 𝑒1

𝑒2

𝑥2

1 1 2 2 1 1 2 2r x e x e x e x e

𝜶

𝜶

1 2 1 2, ,x x x x ?

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑥1 𝑒1

𝑒2

𝑥2

1 1 2 2 1 1 2 2r x e x e x e x e

𝜶

Priemety vektorov sa získavajú cez skalárny súčin

Ten istý vektor v rôznych bázach

Nájdime transformačné vzťahy

1 1

2 2

x r e

x r e

𝜶

1 2 1 2, ,x x x x

1 1

2 2

x r e

x r e

1 1 1 1 2 2 1

2 1 1 2 2 2 2

x x e e x e e

x x e e x e e

11 21

12 22

1 1 2 2 1 1 2 2r x e x e x e x e

ijSmerové kosínusy medzi starý bázovým vektorom 𝑒𝑖 a novým 𝑒

′j

i- stará nečiarkovaná sústava j- nová čiarkovaná sústava

Prvý index stará sústava-nečiarkovaná Druhý index nová sústava - čiarkovaná

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

cos cosij i j i j i j i je e e e e e e e

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

12

11 21

12 22

L

1

2

xX

x

1

2

xX

x

X L X

SYSTÉM LINEÁRNYCH ROVNÍC

1 1 11 2 21

2 1 12 2 22

x x x

x x x

1 1 1 1 2 2 1

2 1 1 2 2 2 2

x x e e x e e

x x e e x e e

11 21

12 22

Elegantný zápis

11 21

12 22

L

1

2

xX

x

1

2

xX

x

X L X

1 1 11 2 21

2 1 12 2 22

x x x

x x x

1 1 11 2 12

2 1 21 2 22

x x x

x x x

11 12

21 22

L

1

2

xX

x

1

2

xX

x

X L X

Transp

on

ovab

né

matice

TL L

𝑋=

𝐿𝑋

′=

𝐿𝐿∗𝑋

⇒𝐿𝐿∗=

𝐸

Inve

rzné

matice

Vlastnosti matice L

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

e e e

e e e

Matica reprezentuje

transformáciu bázových

vektorov:

2 2

1 1 11 1 12 2 11 1 12 2 11 12

1 2 11 1 12 2 21 1 22 2 11 21 12 22

2 2

2 2 21 1 22 2 21 1 22 2 21 22

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

2 2

11 12

11 21 12 22

2 2

21 22

1

0

1

1

0

1

Veľkosť

Skalárny súčin

Matica je ortogonálnaa k nej inverzná je transponovaná

Vlastnosti matice L

1 11 1 21 2

2 12 1 22 2

e e e

e e e

Matica reprezentuje

transformáciu bázových

vektorov:

2 2

1 1 11 1 21 2 11 1 21 2 11 21

1 2 11 1 21 2 12 1 22 2 11 12 21 22

2 2

2 2 12 1 22 2 12 1 22 2 12 22

e e e e e e

e e e e e e

e e e e e e

2 2

11 21

11 12 21 22

2 2

12 22

1

0

1

1

0

1

Vlastnosti matice L2 2

11 12

11 21 12 22

2 2

21 22

1

0

1

11 21 11 12

12 22 21 22

2 2

11 21 11 12 21 22

2 2

12 11 22 21 12 22

TL L

E

2 2

11 21

11 12 21 22

2 2

12 22

1

0

1

Tra

ns

po

no

va

ná

ma

tica

je in

ve

rzn

ou

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑥1 𝑒1

𝑒2

𝑥2

𝜶

11 1 1cos , cose e

𝜶

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑒1

𝜶

12 1 2cos , cos sin2

e e

𝑥1

𝑥2

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑒1

𝑒2

𝜶

21 2 1cos , cos sin2

e e

𝑥2

𝑥1

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

22 2 2cos , cose e

𝑒1

𝑒2

𝑥2

𝜶

𝜶

𝑥1

Transformácia súradníc z jednej bázy do druhej

𝑥1 𝑒1

𝑒2

𝑥2

𝜶

11 1 1

12 1 2

21 2 1

22 2 2

cos , cos

cos , cos sin2

cos , cos sin2

cos , cos

e e

e e

e e

e e

𝜶

cos sin

sin cosL

1

2

xX

x

1

2

xX

x

X L X

1 1 11 2 21

2 1 12 2 22

x x x

x x x

1 1 11 2 12

2 1 21 2 22

x x x

x x x

cos sin

sin cosL

1

2

xX

x

1

2

xX

x

X L X

Otočenie vektora v SS

𝑥1 𝑒1

𝑥2

𝑒2

Otočenie vektora v SS

𝑥1 𝑒1

𝑥2

𝜶 𝑒2 𝒂

𝒃

1 2 1 2, ,a a b b?

Hľadáme súradnice otočeného vektora v tej istej NEČIARKOVANEJ SS

𝑎1 𝑒1

𝑎2

𝜶 𝑒2

𝜶

𝜶𝒂𝒃𝒃

𝑏1

𝑏2

Problém pretransformujeme na iný problém, ktorého riešenie poznáme.

𝑎1 𝑒1

𝑎2

𝜶 𝑒2

𝜶

𝜶

Ak otočíme SS o ten istý uhol , ako pôvodný vektor a, potom sa jeho súradnice v otočenom SS nezmenia.POZNÁME TEDA SÚRADNICE VEKTORA v OTOČENEJ SS a chceme určiť jeho súradnice v pôvodnom SS

𝒂𝒃𝒃

𝑏1

𝑏2

X L X 1 1 1

2 2 2

cos sin

sin cos

b a aL

b a a

b L b

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1/x e x e x e x e x e x e e

1 1 1 1 2 1 2 3 1 3

2 1 2 1 2 2 2 3 2 3

3 1 3 1 2 3 2 3 3 3

x x e e x e e x e e

x x e e x e e x e e

x x e e x e e x e e

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 2/x e x e x e x e x e x e e

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 3/x e x e x e x e x e x e e

1 1 11 2 12 3 13

2 1 21 2 22 3 23

3 1 31 2 32 3 33

x x x x

x x x x

x x x x

Prehľadné, ale neefektívne

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

x x

x x

x x

X L X

Elegantné

Alternatívny spôsob – ako sa dostať k súradniciam vektora v jednotlivých otočených bázach

,i j i je e

/j j j j ij j

x e x e e ji j ie e

X LX

1 1 2 2 1 1 2 2r x e x e x e x e 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3r x e x e x e x e x e x e

Elegantný zápis

j j j j

j j

r x e x e

Trojrozmerný priestorDvojrozmerný priestor

i i j j i i j j ij j

j j j

x r e x e e e e x x Element, ktorý vznikne vynásobením matice L s maticou X

Abstraktnejšie, ale efektívne

Prehľadnejšie, ale menej efektívne

1

i i j j

j

x x

1 1 11 2 12 3 13

2 1 21 2 22 3 23

3 1 31 2 32 3 33

x x x x

x x x x

x x x x

i=1i=2

i=3

1 11 12 13 1

2 21 22 23 2

3 31 32 33 3

x x

x x

x x

j j

j

b a e

i i j j i j i j j ij

j j j

b b e a e e a e e a

ZovšeobecnenieSúradnice otočeného vektora v tej istej báze

Rotujúca SS

𝑥1 𝑒1

𝑒2

𝑥2

𝜶

𝜶1 1 2

2 1 2

cos sin

sin cos

e e e

e e e

11 2 1 2 2

21 2 1 2 1

sin cos sin cos

cos sin cos sin

de d de e e e e

dt dt dt

de d de e e e e

dt dt dt

Po zavedení vektora uhlovej rýchlosti :

11

22

ii

dee

dedte

de dte

dt

Rotujúca SS

𝑒1

𝑒2

𝜶

𝜶1 1 2

2 1 2

cos sin

sin cos

e e e

e e e

11 2 1 2 2

21 2 1 2 1

sin cos sin cos

cos sin cos sin

de d de e e e e

dt dt dt

de d de e e e e

dt dt dt

Po zavedení vektora uhlovej rýchlosti :

11

22

ii

dee

dedte

de dte

dt

𝝎

2

2

i i

i

i i ii i i i i i i i i

i i i

i i i i ii i i i i i

i

r x e

dx de dxdrv e x e x e v e x e v r

dt dt dt dt

dx d x dx de dxdv d da e x e e e x

dt dt dt dt dt dt dt

2

ii i

i

i i i i i i i i i i

i

i i i i i i i i i i

i i i i i

dee x

dt dt

a a e v e v e x e x e

a a e v e v e x e x e

a a v r r

2F ma ma m v m r m r

Teleso v rotujúcej sústave „cíti“ okrem sily F aj ďalśie sily, ktoré nemajú pôvod vo vzájomnej interakcii.

Coriolisova sila Eulerova sila Odstredivá sila

Ak úlohu riešime v neinerciálnej SS, treba zohľadniť ďalśie sily, ktoré ovplyvňujú pohyb v tejto sústave.

Reálna sila Zdanlivé , zotrvačné sily

Odstredivá sila Odstredivky, práčky šaty nemajú kam ísť, sú tlačené na steny bubna, voda sa stáva voľnejšia ak je vytvorená dostatočná sila je ňou vytláčaná z látky a cez diery v bubne práčky vyteká von

𝜔

𝑣′−𝑚𝜔 × 𝜔 × 𝑟′

𝑟′

Vody v riekach, koľajnice, vzdušné masy sa na severnej pologule stáčajú smerom doprava, v ľavej pologule je to opačne

Coriolisova sila

𝑣′

−2𝑚𝜔 × 𝑣′

𝜔

Pohybová rovnica v translačnezrýchľujúcej sústave

SS

SS

r R r

a a a

F F ma

𝑟′

𝑟

𝑅

S

𝑆′

Reálna sila Zdanlivá , zotrvačná sila

V neinerciálnych sústavách „pôsobia“ aj zdanlivé, zotrvačné

sily

HB

Električka prudko zabrzdí – cestujúci hodení smerom dopreduZozadu do auta narazí iné rýchlejšie auto – telá cestujúcich sú vrhnuté smerom dozadu, zatiaľ čo telá nemajú možnosť „odísť“ dozadu lebo sú na sedale, pocítia tlak sedadla, hlava bez opierky sa reálne pohne dozadu a môže zlomiť väzy

SSF F ma

Zotrvačná sila je opačne orientovaná ako zrýchlenie sústavy

V neinerciálnych sústavách „pôsobia“ aj zdanlivé, zotrvačné

sily

2SSF F ma m v m r m r