Matla Bop Tim

7/29/2019 Matla Bop Tim

1/13

MATLABOPT M ZASYON ARA KUTUSUNUN

KULLANIMI

DO. DR. RFAN KAYMAZ2006


2/13

1 OPTMZASYON PROBLEMLERN ZMNDE MATLABUYGULAMALARI

Optimizasyon problemlerinin zmnde MATLABdeki hazr ktphanelerin

yan

s

ra, mevcut matematiksel metotlar

n kullan

m

ile de zmlemeleryaplabilir. Bu nedenle bu blmde Optimizasyon dersi kapsamnda gsterilen

zm metotlarndan bir ksmnn MATLAB uygulamalar verilmitir.

1.1 GRAFKSEL OPTMZASYON

Grafiksel optimizasyon iki tasarm deikenine ait optimizasyon problemlerinin

zmnde kullanlan metottur ve grafiksel olarak ifade edilmi problemde

optimum deerler grafik zerinden okunur.

rnek 1:

Aada verilen optimizasyon probleminin zmn grafiksel olarak elde

ediniz.

22

2121 )2()3(),(min += xxxxf

22

82),(

s.t.

21211 =+= xxxxh

100100

025.0),(

7),(

4)4()1(),(

21

221212

21211

21212

=

+=

=+=

xx

xxxxg

xxxxg

xxxxh

zm 1:

Aadaki MATLAB program vastasyla grafiksel zm elde edilir. Aadaverilen MATLAB programlama kodlar MATLAB editrn kullanarak yazlr

ve graph_cozum.m olarak kaydedilir.

% Verilen optimizasyon probleminin MATLABde grafiksel zm

% Tasarm deikenlerine ait deerleri retilir

% x1 ve x2 0dan balaayarak 10 kadar 0.1 aralklarla retilen saylar ieren

vektrler

2


3/13

3

x1=0:0.1:10;

x2=0:0.1:10;

% Optimizasyon fonksiyonlarnn deerlendirilecei X1 ve X2 matrisleri retilir

[X1 X2] = meshgrid(x1,x2);

% X1 ve X2 deerlerine karlk hedef fonksiyonun deerleri obj_ex1 dosyas

arlararak elde edilir

f1 = obj_ex1(X1,X2);% the objective function is evaluated

% X1 ve X2 deerlerine karlk g1 kstlayc fonksiyonun deerleri inecon1

dosyas arlararak elde edilir

ineq1 = inecon1(X1,X2);

ineq2 = inecon2(X1,X2);

eq1 = eqcon1(X1,X2);

eq2 = eqcon2(X1,X2);

% ineq1 kstlaycsna ait iso-lineler bu kstlaycnn 7 deeri iin aada

verilen komut yardmyla izilir

[C1,han1] = contour(x1,x2,ineq1,[7,7],'r-');

% iso-line etiketleri aadaki komut yardmyla elde edilr

clabel(C1,han1);

% g1 ifadesi mouse tklamas ile uygun bir yere yerletirilir

gtext('g1');

% Geri kalan kstlayclar iin de benzer ilemler tekrar edilir

[C2,han2] = contour(x1,x2,ineq2,[0,0],'r--');

clabel(C2,han2);

gtext('g2');

[C3,han3] = contour(x1,x2,eq1,[8,8],'b-');

clabel(C3,han3);

gtext('h1');

[C4,han4] = contour(x1,x2,eq2,[4,4],'b--');clabel(C4,han4);

gtext('h2');

[C,hf] = contour(x1,x2,f1,'g');

clabel(C,hf);

% graifiin etiketleri aadaki komut yardmyla yazlr

xlabel('x1 values','FontName','times','FontSize',12, 'FontWeight','bold');

ylabel('x2 values','FontName','times','FontSize',12, 'FontWeight','bold');

gridhold off


4/13

4

Yukardaki m-dosyasnda arlan fonksiyonlar aada verilmitir.

obj_ex1.m

function retval = obj_ex1(X1,X2)

retval = (X1 - 3).*(X1 - 3) +(X2 - 2).*(X2 - 2);

eqcon1.m

function retval = eqcon1(X1,X2)

retval = 2.0*X1 + X2;

eqcon2.m

function retval = eqcon2(X1,X2)

retval = (X1 - 1).*(X1 - 1) + (X2 - 4).*(X2 - 4);

inecon1.m

function retval = inecon1(X1, X2)

retval = X1 + X2;

inecon1.m

function retval = inecon2(X1,X2)

retval = X1 - 0.25*X2.^2;

2 MATLABDE OPTMZASYON

MATLAB optimizasyon toolbox, optimizasyon probleminin byklne gre

iki farkl yaklam uygulamaktadr:

Standart algoritma (Medium-Scale)

Byk lekli algoritma (Large-Scale)

Eer deiken says ok fazla ise byk lekli algoritma kullanlr. Ancak bu

algortimann kullanmnda, baz parametrelerin (fonksiyonlarn gradyantlar

gibi) kullanc tarafndan verilmesi gerekir. Ancak Standart algoritma

Optimizasyon dersinde verilen rneklerin zm iin yeterli olduundan

Sadece standart algoritma ve ona bal komutlar verilecektir. Bu toolboxda

optimizasyon probleminin tipine bal olarak kullanlacak hazr fonksiyonlar

bulunmakta, ve bu fonksiyonlar yardmyla optimizasyon ilemi

gerekletirilmektedir. Belli bal optimizasyon fonksiyonlar ve ilevleri

aadaki tabloda verilmitir.


5/13

5

Tablo 1: Optimizasyon komutlar ve kullanm amalar.

Fonksiyon Amac

fgoalattain Birden fazla hedef fonksiyonlu optimizasyon

fminbnd Skalar nonlinear minimizasyon snrlarla birlikte

fmincon Kstlayc fonksiyonlu nonlinear optimizasyon

fminimax Minimax optimizasyonu

fminsearch,fminunc Kstlayc fonksiyonsuz nonlinear minimizasyon

fseminf Yari-sonlu programlama

linprog Lineer programlama

quadprog Quadratik programlama

Yukardaki tabloda verilen her bir komutun kullanm, komuta verilmesi

gereken deerle (girdi bilgileri), komutun alaca seenekler (OPTIONS) vekt parametrelerin neler olduu komut ile ilgi yardm dosyasndan elde

edilebilir. En genel optimizasyon problemlerinin zmnde kullanlan fmincon

komutu ile ilgili bilgi rnek amacyla aada verilmitir.

Tablo 2: fmincon komutunun kullanm

x = fmincon(fun,x0,A,b)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)

x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)

[x,fval] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad] = fmincon(...)

[x,fval,exitflag,output,lambda,grad,hessian] = fmincon(...)

Yukardaki tabloda, fmincon komutunun, en yaln kullanmdan en ileri kulanm

ile ilgili 11 biimi verilmitir. Burada temel kullanm benzer olmakla birlikte,

optimizasyon problemi ile alakal ne tr bir bilgi girii yaplaca ve optimum

zm elde edildiinde ne tr sonularn, komut tanmlanmada eitliin sa

tarafnda verilen deikenlere atanaca tanmlanr. Dolaysyla komutta ilgili

deikenlerin mutlaka tanml olmas gerekir. Bu nedenle Tablo 3de fmincon

komutun alaca parametrelerin detayl aklamas verilmitir.


6/13

6

Tablo 3: fmincon komutunun parametrelerinin anlamlar.

PARAMETRE ANLAMI

GRD PARAMETRELER

Fun hedef fonkisyonu ieren m-dosyasnn ismi

X0 tasarm deikenlerinin balag deerleri

A, b Lineer eitliksizlik kstlayc fonksiyonun katsaylar (A*x


7/13

7

Tablo 4: OPTIMSET komutu yardmyla tanmlanan baz argmanlar.

ARGUMAN ANLAMI ALACAI DEERLER

DerivativeCheck Kullancnn salad derivative ile

sonlu farklarla hesaplanan derivativi

karlatrr.

on, off

DiffMaxChange Sonlu farklar ile derivative hesaplamada

deikenlerin deerlerindeki maksimum

deiiklik

DiffMinChange Sonlu farklar ile derivative hesaplamada

deikenlerin deerlerindeki minimum

deiiklik

Display zm admlarndan hangisinin komut

satrnda gsterilecei belirtilir

off: herhangi bir kt gstermez

iter: her bir iterasyonda ktlar

gsterir

final: sadece son kty gsterir

notify: optimizasyon yaknsamad

zamanki kty gsterir

GradObj Hedef fonksiyonun gradyantn kullanc

tarafndan verilip verilmediini belirtir

on, off

GradConstr Nonlinear kstlayc fonksiyonun

gradyantn kullanc tarafndan verilip

verilmediini belirtir

on, off

Hessian Hedef fonksiyonun Hessian matrisinin

kullanc tarafndan verilip verilmediini

belirtir

on, off

MaxFunEvals Fonksiyon deerlendirilmesinin

maksimum says

Pozitif tam say

MaxIter Maksimum iterasyon says Pozitif tam say

Tolcon Kstlayc ihlalindeki tolerans Poztif bir say

TolFun Hedef fonksiyon iin tolerans Poztif bir say

TolX Tasarm deikenleri iin tolerans Poztif bir say

Bu fonksiyonlarn kullanm optimizasyon problem tiplerine gre aada geni

olarak verilmitir.


8/13

2.1 KISITLAYICISIZ OPTMZASYON PROBLEM

Kstlaycs optimizasyon problemlerinin MATLABde zm iin gerekli

admlar aada verilen rnek yardmyla verilecektir.

Bu optimizasyon probleminin zm iin takip edilecek admlar:

Adm 1: Bir M-file oluturun:

Hedef fonksiyon iin bir M-file oluturulur ve hedef fonksiyona verilen isimle

ayn olacak ekilde M-Filen ismi seilir.

ekil 1: objfun.m isimli M-file.

Adm 2: Kstlaycsz optimizasyon metotlarndan birini arn:

Seilecek kstlaycsz optimizasyon metoduna gre istenilen opsiyonlarda

verilmelidir. Bu rnekte optimizasyon metodu olarak fminunc seilmitir. Bu

komut, tasarm deikenleri iin bir balang deeri atanmas gerekmektedir.

Gerekli komutlar MATLAB komut satrna aada gsterildii gibi yazlr:

ekil 2: Optimizasyon komutunun MATLAB komut satrndan arlmas.

8


9/13

ekil 2de verilen komutlarn aklamas:

X0: balang deerleri (tahmini)

Options: optimset komutu ile seilen optimizasyon seeneklerinin atand

deiken. Optimset yardmyla standart veya byk lekli algoritma seimine

bal olarak optimizasyon metodunun seenekleri belirlenir. Bunlardan

bazlar, Jakobien veya Hessian matrisinin hesaplanp hesaplanmayaca,

ekrana ne kadar bir bilgi yazlaca gibi seeneklerdir.

exitflag:Seilen algoritmann sonuca yaknsayp yaknsamadn belirtir.

Eer sfrdan byk ise lokal minimum deerinin bulunduunu belirtir.

Output:Optimizasyon zm hakknda daha detayl bilgi verir. Yukardaki

rnek iin, komut satrna output yazlp Enterlanrsa aadaki bilgiler elde

edilir:

ekil 3: Output komutu yardmyla optimizasyon zm ile ilgili geni bilgi alma.

Burada:

Iterations: toplam iterasyon saysn

funcCount: Fonksiyonun deerlendirme says

stepsize: Son iterasyonda seilen adm uzunluu

firstorderopt: birinci derece optimumluk art

algortihm: Kullan

lan algoritmay

ve seilen metodu gsterir.

2.2 LNEER OLMAYAN ETSZLK KISITLAYICILI OPTMZASYONPROBLEM

Bu tip optimizasyon problemleri iin hedef fonksiyonun yan sra eitsizlik

kstlayclar iinde bir M-file oluturulur. Yukardaki rnee kstlayc

fonksiyonlar ekleyerek bu blmde kullanlacak rnek problem oluturulabilir:

9


10/13

kstlayclar:

Bu tip optimizasyon problemi iin, fmincon komutu kullanlarak zm

yaplabilir.

Adm 1: Kstlayclar iin bir M-dosyasn oluturulmas

Adm 2: Optimizasyon komutlar iin bir M-dosyasn oluturulmas

Buradaki fmincon fonksiyonun kullanmlarnn genel format

x = f mi ncon( @obj f un, x0, A, b, Aeq, beq, l b, ub, nonl con)

eklindedir.Kstlayc fonksiyonlarn zm noktasndaki deerlendirmesi iin aadaki

komut icra edilir:

Bu komutun icrasnda elde edilen sonu:

c =

1.110223024625157e-015

-1.776356839400251e-015ceq =[ ]

2.3 TASARIM DEKENLERN ALACAI DEERLERNSINIRLANDIRILMASI

Tasarm deikenlerin alaca deerlerde snrlama olduu durumda fmincon

komutu aadaki gibi verilir:

10


11/13

Burada

lb: tasarm deikenin aaca alt snr

ub: tasarm deikenin aaca st snr

Genellikle kullanlan tasarm deikenlerin sfrdan byk deer alma

snrlamas bir nceki problem iin aadaki gibi verilebilir:

Bu artlara gre zm yaplrsa aadaki sonu elde edilir:

2.4 GRADYANTLARIN TEMN EDLD OPTMZASYONPROBLEMLER

Normalde standart algoritma kullanld durumda gerekli olan gradyantlar

sonlu farklar yntemiyle yaklak olarak hesaplanmaktadr. Ancak

gradyantlarn verilebildii problemlerde gradyantlarnda ileme katlmas

optimizasyon probleminin daha doru olarak zlmesini salamaktadr.

nceki blmlerde verilen problemin gradyant salanarak zm iin

aadaki admlar takip edilmelidir:

11


12/13

Adm 1: hedef fonksiyon ve gradyant iin bir M-file oluturulur:

Adm 2: kstlayc fonksiyonlar ve gradyantlar iin bir M-file oluturulur:

Gradyantlarn verildiinin fmincon da belirtmek iin optimset komutu

yardmyla Gradobj ve GradConstr deikenleri on komutunu getirilmelidir:

Adm 3: Kstlaycl optimizasyon metotlarndan birini arn:

Buradan elde edilen sonu:

12


13/13

2.5 ETLK KISITLAYICILI OPTMZASYON PROBLEMLER

Bir nceki rnek iin kstlayclar eitlik kstlaycs ile

nonlineer eitsizlik kstlaycya olacak ekilde seilsin. Aadaki admlar icra

edilerek optimizasyon problemi zlr:

Adm 1: Hedef fonksiyon iin bir M-dosyasn oluturulmas

Adm 2: Kstlayclar iin bir M-dosyasn oluturulmas

Adm 3: Kstlaycl optimizasyon metotlarndan birini arn:

Buradan elde edilen sonu:

13

Documents

Matla Bop Tim