MATLAB 測位プログラミングの基礎と GT (3)

東京海洋大学産学官連携研究員 　高須　知二

行列演算プログラミング• 行列生成• 行列操作• 行列演算• \ ( バックスラッシュ )

• 組込関数

行列生成 (1)

• 空 : a=[];• スカラー (0 次元配列 ) :

a=1; b=3+3i; c=pi; d=NaN; c=Inf;• ベクトル (1 次元配列 ) : a=[1 2]; b=[3;4;

5]• 行列 (2 次元配列 ) : a=[1 2 3 4; 5 6 7 8];• (3 階以上 ) テンソル (3 次元以上配列 )

a=cat(3,[1 2 3;4 5 6],[7 8 9;10 11 12]);

行列生成 (2)

• 零行列 : a=zeros(10); a=zeros(4,5);• 単位行列 : a=eye(10);• 等間隔 ( 行 ) ベクトル : a=1:10; b=0:-0.5:-

10; • 単一値行列 :

a=ones(10); a=4*ones(10);a=repmat(NaN,10,10); a(1:10,1:10)=Inf;

• 乱数 : a=rand(10); a=randn(10,1);

行列生成 (3)

• 要素への直接代入a(1,1)=1; a(1,2)=2; a(1,3:7)=3;

• 行列サイズ自動拡張 ( ゼロ fill)clear; a(10,8:10)=1;

• 行列の連結a=[1 2 3]; b=[4 5]; c=[a b];d=[1:4 10:12 8:-1:6];e=[[1;2;3];[[4;5;6],[7;8;9]]];

行列操作 (1)

• 要素参照・代入a=[1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12];b=a(1,3); c=a(:,1); d=a(2,:); e=a(1:3,1:2);f=a([1 2],[1 3]); g=a(end,2); h=(1,end-2);k=a([1 1 1 1 1],[1 2 1 2]);a(1,1)=-1; a(1,2:3)=0; a(end,:)=3:6;

• 行列サイズ、次元[n,m]=size(a); n=length(b); n=ndims(c);

行列操作 (2)

• 転置a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9]; b=a'; c=(1:10)'; (or .')

• サイズ変更b=reshape(a,9,1);c=a(:); d=zeros(1,9); d(:)=a;

• 交換b=a(:,[2 1 3]); c=a([3 2 1],[3 1 2]);d=flipud(a); e=fliplr(a);

行列操作 (3)

• 要素追加a=[1 2 3;4 5 6;7 8 9];b=[a;[10 11 12]]; b=[10;11;12;a];a(end+1,:)=[10 11 12];

• 要素削除a(:,1)=[]; a(end,:)=[];

行列操作 (4)

• FIND() : 非ゼロ要素のインデックスa=[0 0 0 1 0 1]; i=find(a); i->4;6a=[2 0;0 1;0 0]; [i,j]=find(a); i->1;2, j=1;2

• ベクトル演算関数、演算子との組み合わせ→ for ループ代替 : matlab 表現 , 実行効率

• 行列要素参照中では find() を省略可能a(find(a<0)) <-> a(a<0)a(find(a(:,1)==3),end) <-> a(a(:,1)==3,end)

行列操作 (5)

• 例 1 : 0.5 未満の要素の個数を数える(1) n=0; for i=1:length(a), if a(i)<0.5, n=n+1; end, end, n(2) n=length(find(a<0.5))(3) n=sum(a<0.5)

• 例 2 : NaN 以外の値の平均を求める(1) s=0;n=0; for i=1:length(a) if ~isnan(a(i)), s=s+a(i); n=n+1; end end, m=s/n(2) m=mean(a(~isnan(a)))

行列操作 (6)

• 例 3 : for 文と find の組み合わせa=rand(100,4);for i=find(a(:,1)<0.5)' disp(sprintf('%f',a(i,:)))end

行列演算 (1)

• 加減算：行列 + スカラー : A+2, 3+A

• 加減算：行列 + 行列 : A+B

• 乗算：行列 × スカラー : A*4, 5*A

• 乗算：行列 × 行列 : A*B

• 要素乗算：行列 × 行列 : A.*B

• べき乗 : A^3 =A*A*A (A: 正方行列 )

• 要素べき乗： A.^3

行列演算 (2)

• 比較 (==, ~=, <, >, <= >=)行列 : 行列行列 : スカラー結果は (0,1) 要素行列で得られる→ FIND()

• 零行列判定 : isempty(a) (×a==[])• 行列内容一括比較

c=isequal(a,b) ( サイズ + 内容 )d=all(all(a>b)); e=any(any(a<b));

\ ( バックスラッシュ ) (1)

• 線形方程式 ( 系 )

11 nnmm xAy

nmnmmmm

nn

nn

nn

xaxaxaxay

xaxaxaxay

xaxaxaxay

xaxaxaxay

...

...

...

...

...

332211

33332321313

23232221212

13132121111

\ ( バックスラッシュ ) (2)

• matlab での解法 : x=A\y(1) n=m : 線形方程式→ ガウス消去法 等(2) n<m : 最小二乗解→ QR 分解(3) n>m : 一般解の一つ (basic 解 ?)

• A が三角、対称、スパースか否か等を判定し最適 ( 精度、効率 ) な解法を内部選択

• x=y/A ( スラッシュ )→y=x*A の解A/B = (B'\A')'

\ ( バックスラッシュ ) (3)

• 例 1 : 観測値の 2 次多項式フィッティング(1) A=[x.^2 x ones(size(x))]; a=A\y;(2) a=polyfit(x,y,2);

• 例 2 : 単独測位アルゴリズム

最小二乗各種解法 (1)

Matlab 任せx=A\y; 10.8s

正規方程式x=(A*A')\(A'*y); 5.3s

正規方程式x=inv(A*A')*(A'*y); 6.0s

コレスキ分解R=chol(A‘*A); x=R\(R'\(A'*y)); 5.2s

QR 分解[Q,R]=qr(A,0); x=R\(Q'*y); 11.8s

特異値分解[U,D,V]=svd(A,0); x=V*(D\(U'*y)); 46.4s

疑似逆行列x=pinv(A)*y; 51.9s(n=1000, m=5000, Pentium 4 3.2GHz, Matlab 6.5.1)

最小二乗の各種解法 (2)

• A がランク落ちしていた場合の動作の違い(1) x=A\y;　　→ ランク落ち警告 + basic 解(2) x=inv(A'*A)*(A'*y)　　→ エラーまたは不正解(3) x=pinv(A)*y;　→警告無し、ノルム最小解

• 基本的に (2) は使うべきでない。

大規模最小二乗問題 (1)

• パラメータ数 > 数 1000

• 観測データ数 > 数 100000

• 計画行列が実メモリ上に載り切らない• 実用的なパラメータ推定問題ですぐ現

れる→計算は結構やっかい

大規模最小二乗問題 (2)

• 戦略 1 ：逐次最小二乗に置き換え

• 戦略 2 : カルマンフィルタに置き換え• 戦略 3 : スパース計画行列 + matlab + \

• 戦略 4 : 最小二乗演算ライブラリを使う

)()()(11

iTii

Ti

TT yAAAxyAAAx

行列用組込関数 (1)

• 行列用演算 :diag(), norm(), rank(), det(), trace(), inv(),dot(), cross(), meshgrid()... (see help)

• 行列入力→行列出力関数 :sin(), cos(), tan(), sqrt(), exp(), log(), floor(), mod(), ...( ほとんどの初等関数、特殊関数 )

• スカラ計算式→行列計算式

行列用組込関数 (2)

• 例 1 :

• 例 2 : 2 次元メッシュ /3D グラフ生成[x,y]=meshgrid(0:0.1:20,0:0.1:20);surf(x,y,sin(x)+cos(y))

行列演算高速化 (1)

• 行列サイズの事前割当→サイズ自動拡張をなるべく使わない

• 行列のまま計算、 find() の利用→ for ループをなるべく使わない

• find() の高速化 :インデックス操作の工夫sort(), sortrows(); unique(), intersect()

行列演算高速化 (2)

• 例 1 : 100 万回ループx=0:0.1:100000; y=zeros(1000000,1);y=sin(x);→0.4 秒for i=1:length(x), y(i)=sin(x(i)); end;→3 秒

• 例 2 : 100 万回ループx=zeros(1000000,1);for i=1:length(x), x(i)=i; end→1.4 秒x=[]; for i=1:1000000, x=[x;i]; end>1000 秒