O de cmo el objeto de la ciencia no es una combinacin de cosas dadas naturalmenteJos Villella

1.1. Introduccin

En el libro Cinco ecuaciones que cambiaron el mundo. El poder y la belleza de las matemticas, de Michael Guillen, publicado por editorial Temas de Debate en su versin en castellano en Madrid en 1999 (despus de su versin original, en ingls Five equations that changed the world, publicada en 1995), entre las pginas 11 y 15, su autor escribe, entre otras, las siguientes ideas que transcribimos:

Las matemticas son un lenguaje [] que ha hecho posible logros que en tiempos parecieron imposibles; la electricidad, los aviones, las bombas nucleares, el descenso del hombre en la Luna, y la comprensin de la naturaleza de la vida y de la muerte. [] En el lenguaje de las matemticas, las ecuaciones son como la poesa; establecen verdades con una precisin nica, comportan grandes volmenes de informacin en trminos ms bien breves y, por lo general, son difciles de comprender por el no iniciado. Y as como la poesa nos ayuda a ver profundamente en nuestro interior, la potica matemtica nos ayuda a ver mucho ms all de nosotros mismos; si no tanto como para llevarnos hasta el cielo, s por lo menos hasta el mismo lmite del universo visible. [] Es imposible comprender

menos que se lea en el lenguaje deliciosamente caprichoso en el

cual se escribi. [] En este libro describo [] ecuaciones cuyos efectos secundarios han alterado de manera permanente nuestras vidas cotidianas.

Podra decirse estoy ofreciendo al pblico una dosis ms fuerte de alfabetizacin numrica, una oportunidad de familiarizarse cmodamente con las cinco frmulas ms notables bajo su forma original y sin disfraces. [] Espero que el ojeador que no sabe de nmeros no se sienta asustado y repelido por el celo de mi esfuerzo. Que le quede claro que aunque estas cinco ecuaciones parezcan abstractas, con absoluta seguridad no lo son sus consecuencias, como tampoco lo son las personas relacionadas con ellas. [] Cada historia est estructurada en cinco partes. El prlogo relata algn incidente llamativo de la vida del personaje y que contribuye a dar el tono de lo que vendr despus. Luego vienen tres actos a los que denomino Veni, Vidi, Vici. Son las palabras latinas que se cree que dijo Csar despus de derrotar al rey asitico Farnazes, y quieren decir llegu, vi,venc. En Veni es donde explico cmo el

Vidi explica histricamente cmo al asunto lleg a aparentar ser tan enigmtico; Vicicomo resultado una ecuacin histrica. Finalmente, el eplogo describe como esa ecuacin nos ha cambiado la vida para siempre. []Seleccion cinco ecuaciones [] para dar al lector una crnica prcticamente ininterrumpida de la ciencia y de la sociedad del siglo XVII hasta el presente.

por la Edad de la Razn, la Ilustracin, la ideologa y el anlisis,

antiguos cinco elementos; tierra, agua, fuego, aire y ter.

Lo que es ms; en ese perodo crtico vemos a Dios desterrado para siempre de la ciencia, a la ciencia reemplazando

a la astrologa como principal manera de predecir el futuro, a la ciencia convirtindose en una profesin remunerada y a la ciencia intentando resolver los asuntos ultra misteriosos de la vida y la muerte, del espacio y del tiempo.

En estas cinco historias, desde la poca en que un introspectivo y joven Isaac Newton se sienta serenamente bajo un frutal hasta que el inquisitivo Albert Einstein casi se mata escalando los Alpes suizos, vemos a la ciencia encaminndose desde la famosa manzana hasta la infame bomba A. O lo que es lo mismo vemos a la ciencia pasar de ser una fuente de luz y de esperanza a ser una fuente de oscuridad y de temor. La excepcin es la ecuacin de la energa de Einstein E= m x c 2 de la que mucha gente ya sabe que, en cierto modo, es responsable de las bombas nucleares. Pero aun siendo tan famosa, esta inicua ecuacin sigue siendo poco ms que un cono misterioso en la mente de la mayor parte de la gente. []Qu representan exactamente las letras E, m, y c? Por qu

E se iguale a m x c 2que Einstein pero que no son menos importantes para la historia de nuestra civilizacin. Entre una roca y una dura vida, se ocupa del fsico Daniel Bernoulli y de su ecuacin hidrodinmica P + x v2= CONSTANTE que en ltimo extremo, origin los modernos aviones.

y a su ecuacin electromagntica: que dio origen a la

de la naturaleza Isaac Newton y de su ecuacin gravitatoria F = G 2

acontecimiento pico; la llegada del hombre a la Luna.

al fsico alemn Rudolf Julius Emmanuel Clausius y su ecuacin termodinmica, o ms exactamente, a su desigualdad termodinmica

S universo 0. No dio origen a ningn invento histrico ni a ningn acontecimiento, sino a una conclusin sorprendente; contrariamente

a lo que suele creerse comnmente estar vivo es antinatural; lo

Universo y no en conformidad con ella.

Tambin en este libro vern los lectores una corroboracin espectacular de la teora de que las matemticas son un perro excepcionalmente ultrasensible y de aguda vista. Si no, cmo podemos siquiera explicar las infalibles proezas y la tenacidad con la que estos cinco matemticos fueron capaces de encontrar el rastro, por as decir, y apuntar hacia sus respectivas ecuaciones?

Sin embargo, as como las ecuaciones representan el discernimiento de verdades eternas y universales, su expresin escrita es estrictamente humana y provinciana. Por eso es por lo que se parecen a poemas, intentos maravillosamente ingeniosos de

Nuestra intencin es acercar al lector algunas ideas sobre la matemtica como ciencia y cmo este concepto ha ido variando en funcin de la cultura de la poca en la que se lo fue usando.

1.2. Cuando una ecuacin puede cambiar al mundo: la potencia matemtica?

El ttulo del libro de Guillen permite entender una posicin acerca del rol protagnico que el autor le da a la ciencia en este caso a la matemtica en lo referido a los cambios producidos en la vida de las personas a partir de los descubrimientos que ella hace. Esta relacin entre ciencia y cambios en el mundo remite a la idea de la ciencia como un producto de la cultura, como una construccin humana, una institucin progresivamente elaborada, histricamente condicionada e inseparable de las dems instituciones o actividades humanas, aun cuando en nuestra

cultura, la idea misma de tratar a la ciencia como una realidad cultural,

resistencias (Thuillier, 1990).

matemtica como una poesa: La poesa es, sencillamente, la forma ms , con el cual el autor

parece querer completar el ttulo del libro dando su posicin respecto de

primera oracin de esa introduccin cuando dice: Las matemticas son un lenguaje....

Es indudable el importante papel que desempea la ciencia en la sociedad contempornea, no solo en lo que respecta a sus aplicaciones tecnolgicas, sino tambin por el cambio conceptual que ha inducido en nuestra comprensin del universo y de las comunidades humanas. La tarea

nuestra poca, nuestro destino, y en cierto modo comprendernos nosotros mismos. Pero en este intento de explicacin parece poco atinado dejarse seducir por los progresos de la ciencia presentados de manera demasiado simplista, demasiado dogmtica, dado que el funcionamiento social e ideolgico de esa misma ciencia actividad nutrida eminentemente por la imaginacin requerira ser escrutado, evaluado y vigilado mucho ms

polticos, econmicos, estticos, entre otros.

de la Introduccin y en los captulos que lo conforman, permite encarar

debate, que bien puede iniciarse desde el ttulo de este captulo.

P1. Para ponernos de acuerdo.

Esbocemos, entre todos, qu entendemos por los conceptos: cultura,

1.3. Estar vivo: es antinatural? Un paseo por la matemtica

Estar vivo es antinatural es la conclusin a la que Guillen

S universo 0. Su eleccin como ttulo de este captulo se debe a la bsqueda de contrastes entre el absoluto poder que Guillen le endilga a la matemtica en tanto ciencia desde el ttulo de su obra y la que nosotros le concebimos en coincidencia con Thuillier:

Aunque haya excepciones, nuestra cultura, en la hora actual, nos ensea esencialmente a venerar la ciencia, a admirar a sus representantes. Quizs es tiempo de aprender tambin a mirar con menos complacencia una institucin que cada vez est ms

bien puede llamarse tendencias imperialistas.[...]En resumen, como en lo relativo a todas las potencias de este mundo, ms vale cierta

(Thuillier, 1990: 15)

subttulo: El objeto de la ciencia no es una combinacin de cosas dadas naturalmente, que se cita textualmente del libro

, de Hans Sandkhler.

En las lneas que siguen, se intenta sentar las bases para la conformacin de ese debate.

largo de todo este captulo), nuevamente nos pondremos de acuerdo sobre los siguientes puntos:

P2. Por qu la matemtica es tan importante para la actividad humana?

P3.aportes de la matemtica? Por qu?

P4. Si records lo que estudiamos en la escuela primaria y en el nivel secundario, podremos hacer listas de contenidos como la que sigue:

- Nmeros naturales, enteros, racionales, reales.

- Figuras en el plano y en el espacio.

-

- Volumen y capacidad.

- Estadstica y probabilidad.

- Funciones.

- Polinomios.

a) Escrib al lado de cada uno de esos tems una breve explicacin de su contenido.

b) En qu accin de la vida cotidiana ha sido/fue importante el conocimiento de estos tems? Redactamos la respuesta en pocas oraciones.

c) Podras agregar tems a la lista? Por qu te resultaron imprescindibles de ser incorporados?

d) Cul de los tems resulta ser el ms aplicable a la vida cotidiana? Cul el menos aplicable? Por qu? Hay coincidencia en el grupo sobre este tema?

Dijimos, en oraciones anteriores, que el autor del libro cuya

una ciencia por dems poderosa, dado que el subttulo de su trabajo la hace autora de las

P5.

1.4.

matemtica tuvo a lo largo del tiempo en relacin con su posicin en la teora del conocimiento.

estudiando. Las podemos agrupar en tres grandes grupos o puntos de vista: el logicista, el intuicionista y el formalista.

Desde el punto de vista logicista, la matemtica se basa con exclusividad en la lgica y por ende est exenta de toda apelacin a la intuicin. Se la concibe como un receptculo de proposiciones conectadas entre s por los vnculos provistos por la lgica proposicional, lo que obliga

de modo que puedan constituir teoras deductivas.

Desde el punto de vista intuicionista, Brouwer (representante de esta postura) recalca que la misma lgica es arbitraria, dependiente del tiempo, no universal y por ende la matemtica no resulta de basarse en ella sino en la intuicin que soporta todo tipo de actividad del hombre. Es as como junto con el lenguaje y las otras ciencias se fundan las funciones del pensamiento humano que permiten al hombre poner orden en su

la actividad matemtica de la mente, la capacidad de abstraccin y la expresin de lo pensado mediante los signos.

Desde el punto de vista formal, Hilbert (su ms conocido defensor) parece intentar terciar entre las dos posturas descriptas introduciendo a la controversia el concepto de forma. Para l la matemtica es una teora intelectual deductiva que puede originarse en abstracciones surgidas de lo emprico como crearse mediante postulaciones arbitrarias que solo se autolimita por la exigencia de la compatibilidad o consistencia de aquello que enuncia.

P6.

cuando de ella se habla en reuniones sociales?, a qu se puede atribuir ese recuerdo?

1.5. Los conocimientos matemticos que aprendemos

En consonancia con las tres visiones de la matemtica que hemos

que la adquisicin progresiva de esta ciencia se basa en tres tipos de conocimientos diferentes entre s: los que provienen de la experiencia, los que surgen de la intuicin y aquellos que pueden deducirse a partir de otros (Campos, 1978).

Son conocimientos experimentales los de la prctica, de los sentidos, los del laboratorio. Una relacin matemtica es verdadera experimentalmente cuando sabemos de ella que es un caso particular de una teora que no conocemos como tal, sino solo como informacin bsica.

realidad o de la experiencia que proporcionan una abstraccin satisfactoria de cmo funcionan las cosas. El modelo ofrece al usuario que est frente a una situacin problemtica para resolver, un sustituto del original que por,

decir que los matemticos no estudian objetos, sino las relaciones entre los

con tal que no cambien las relaciones.

Respecto del rol de la intuicin, Bourbaki dice:

El matemtico no trabaja maquinalmente como el obrero de la fbrica; nunca se insistir demasiado sobre el papel fundamen-tal que juega, en sus investigaciones, una intuicin particular (in-tuicin que por cierto se equivoca frecuentemente como toda intui-cin), que no es la intuicin vulgar y sensible, sino ms bien una especie de adivinacin directa (anterior a todo razonamiento) del comportamiento normal que parece tener el derecho de esperar, de parte de los seres matemticos, que una prolongada frecuenta-

(Blanchard, 1962: 42).

Cabe recordar que los objetos matemticos no son copias de los objetos reales, sino representaciones mentales de un objeto o de una relacin a partir de lo sensible, aislando ciertas propiedades. De esta forma una relacin matemtica intuitivamente verdadera es una verdad experimental

de los ya constatados o tambin una relacin matemtica para la cual es posible una demostracin en el sentido de que se tiene una idea de cmo insertarla en un contexto demostrativo.

que lleva de unos enunciados dados hasta otro que presumimos en un teorema y que lo ser cuando la cadena quede construida. Una relacin matemtica axiomticamente verdadera dentro de una teora es una relacin matemtica para la cual hay una demostracin, es decir, una serie de implicaciones desde los primeros principios hasta ella.

P7. Tomando en cuenta estos tipos de conocimiento descriptos:

a)problema 4?

b) Hay algn tem de ese problema que pueda pertenecer a ms de una de las categoras?, por qu?

1.6. Acerca del uso de la matemtica

La matemtica parece ser algo ms que una traductora de fenmenos naturales, no solo involucra prcticas convencionales como la contrastacin, la medicin y la experimentacin, tambin conlleva entidades o constructos

A ellos apela Guillen cuando coloca en las ecuaciones matemticas (expresin simblica de conceptos, leyes y teoras) el fundamento de la creacin de elementos que mejoraron el mundo. Los conceptos as representados se muestran como las unidades ms bsicas de esta forma

en ecuaciones, se constituyen en entidades a las que las personas tenemos acceso y podemos usar.

P8. a)de las ecuaciones que cambiaron el mundo? Por qu?

b) Existe alguna ecuacin que te haya cambiado o impactado en tu vida? Por qu?

c) Qu sera para vos una ecuacin que cambie el estado de las cosas, la rutina, lo establecido? Por qu?

P9.

situacin que poda ser descripta con nmeros en forma particular.

Argument a favor o en contra de lo escrito. Coincide lo escrito en

Por qu? Da ejemplos.

espacio-temporalmente como los objetos fsicos, que a partir de ellos se pueden construir, sino como entidades abstractas: Espero que el ojeador que no sabe de nmeros no se sienta asustado y repelido por el celo de mi esfuerzo. Que le quede claro que aunque estas cinco ecuaciones parezcan abstractas, con absoluta seguridad no lo son sus consecuencias, como tampoco lo son las personas relacionadas con ellas; un solitario enfermizo y ansioso de amor, un prodigio maltratado emocionalmente y procedente de una familia deshecha, un analfabeto religioso y asediado por la pobreza, un viudo de voz dulce que vivi en una poca peligrosa, y un estudiante pagado de s mismo que abandon el instituto antes de tiempo.

El saber relativo a una actividad no se agota en practicarla: es

de formular las reglas o principios que se siguen para su formulacin.

reglas seguidas, si bien debemos suponer el conocimiento implcito de las reglas involucradas, como dice Guillen: [...] es imposible comprender el

P10. Siguiendo con los fundamentos que venimos desarrollando:

a) Qu es hacer matemtica?

b) El hacer matemtica en la escuela, en la vida cotidiana o en el

c) Enunci por lo menos tres cualidades para cada una de las formas de hacer matemtica nombradas en el tem anterior.

d)mencionadas en el tem b.

e) Considers que alguna de las formas de hacer matemtica enunciadas es jerrquicamente mejor que otra? Ser jerrquicamente ms difcil una que otra? Por qu?

1.7. Algunos efectos del uso de la matemtica

La introduccin de Guillen que nos sirve de eje para este captulo, se

l expresa diciendo: En este libro describo los orgenes de ciertos hitos, ecuaciones cuyos efectos secundarios han alterado de manera permanente nuestras vidas cotidianas. Podra decirse que estoy ofreciendo al pblico una dosis ms fuerte de alfabetizacin numrica, una oportunidad de familiarizarse cmodamente con las cinco frmulas ms notables bajo su forma original y sin disfraces. Los lectores sern capaces de comprender

con una traduccin no matemtica de esas ecuaciones, inevitablemente imperfectas.[...] descubrirn tambin cmo se lleg a cada una de esas

construye sobre un basamento formado por un trpode del que participan: la red conceptual propia de este campo del conocimiento matemtico; el mtodo propio de la ciencia matemtica y una tabla axiolgica que

de valores. De esta forma los conceptos son elaborados mediante una referencia a la experiencia a travs de la analoga tanto de conceptos que entre s tienen algo que ver, como de conjuntos de trminos o metforas, as

est en constante evolucin, o lo que es lo mismo, en un permanente proceso de revisin. No todos los componentes de una lengua dada son aptos para

y las ecuaciones usadas por Guillen lo demuestre cuando dice: ...as como las ecuaciones representan el discernimiento de verdades eternas y universales, su expresin escrita es estrictamente humana y provinciana. Por eso es por lo que se parecen a poemas, intentos maravillosamente ingeniosos de

, intentando

de comunicar verdades a partir de la consideracin de que saber ciencia y saber qu es la ciencia, corresponden a niveles o mbitos diferentes de conocimiento. Lo que s resulta importante, a partir de la lectura de la introduccin del libro, es que la ciencia sea estudiada como una realidad cultural, lo que permite descubrir las pasiones que la hacen vivir y los intereses varios que en ella se expresan.

Desde los principios de la que podemos considerar la cultura occidental, se produjo una marcada preocupacin por hacer una distincin

la adquisicin de la verdad. Para algunos, en nuestros das, se sigue llamando al conocimiento cuya caracterstica ms importante es

o

o aquellos cuyos resultados son declarados dogmticamente verdaderos. El llamado mundo sensible, el mundo fsico en el que nos movemos, deslumbr, en las distintas pocas, a la humanidad, que intent describirlo,

un mapa que representa algunos de los rasgos de esa realidad que le impacta. Ese mapa, producto de la abstraccin, encuentra en el lenguaje

que, a medida que se perfecciona, se va separando de esa realidad a la que

intenta explicar.

P11.la matemtica.

P12. Escrib un ensayo breve que desarrolle el siguiente ttulo: Yo s matemtica.

P13. Busc en diarios, revistas, Internet u otras fuentes, imgenes que te permitan acompaar el ensayo del problema anterior.

1.8. Trabajando con ecuaciones

Es tiempo de volver a pensar si el estar vivo es antinatural

matemticamente; cuando no podemos asociar a E= m x c 2 nuestra

en P + x v2= CONSTANTE la fundamentacin a lo inadecuado de

de las grandes ecuaciones que cambiaron el mundo, cabe preguntarnos cules de ellas explicarn el continuo devenir de los acontecimientos, cules nos darn respuesta a la aventura diaria de vivir, y cules, a la manera del mundo oriental, permitirn entendernos como una totalidad no fragmentada en mente y cuerpo, como una integridad llamada persona.

P14. a)las siguientes ecuaciones: E= m x c 2

P + x v2= CONSTANTE

b) Cmo puede explicarse cada una de ellas usando lenguaje coloquial?

c) Por qu P + x v2= CONSTANTE nos permite explicarle a una persona que es inapropiado tener miedo a volar?

P15. Diremos que en el conjunto de los nmeros naturales la igualdad 11=2x + 1, es la ecuacin mediante la cual representamos la respuesta a la pregunta: cul es el nmero natural cuyo doble aumentado en una unidad es 11?

a) Cmo cambia la pregunta si la ecuacin es y=2x +1?

b) Y si el conjunto numrico al que nos referimos es el de los racionales?

c) Y si es el de los reales?, por qu?

P16. a) Trabajaremos en el conjunto de los nmeros naturales para averiguar el valor de x que satisfaga, en la ecuacin y= 2x+1, si el valor de y es: 21, 3, 1, 2, 0; respectivamente.

b) Cambian las respuestas anteriores si el conjunto de referencia es el de los reales?, por qu?

P17. Sobre la base de las respuestas dadas a los problemas anteriores, asign verdadero o falso a cada una de las siguientes expresiones. Escrib

un contraejemplo para ilustrar la respuesta:

a) Hay ecuaciones que solo tienen una solucin.

b) Hay ecuaciones que admiten muchas soluciones.

c) Hay ecuaciones que no admiten soluciones.

P18. Respond:

a) En qu expresin del problema anterior usaste ejemplos para

ilustrar la respuesta?

b) En cules contraejemplos?

c) Por qu puede hacerse la distincin entre los tems anteriores?

P19.a cada una de las siguientes ecuaciones:

a) 3x + 5 = 7 b) 2 c) t + 3 = t d) sen(x) = 0

P20. Respond: qu diferencia existe entre el conjunto solucin de las ecuaciones del problema anterior y las siguientes? Por qu?

a) x 2y = 2 b) c) x2 + y2 2 = 9

P21.

a) Indic qu lugar ocupa el cuadrado de la siguiente serie que tiene 128 cuadraditos pintados:

b) Escrib la ecuacin que resuelve el problema.

P22. cuadrado mgico a aquel cuya suma de los

a) Escrib la igualdad que permite hacer que el siguiente sea un cuadrado mgico.

3(x +1) 3x - 1

x + 1 2x + 1 3x + 1

2x - 1 x - 1

b) Escrib una igualdad que no permita su resolucin. Fundament la eleccin.

P23.(ejes de coordenadas con centro u origen en el punto de interseccin de

, A, T, E, S en cualquier punto y en el eje vertical los nmeros 1, 2, 3. El tablero que queda formado debera tener una vista aproximada al que mostramos a continuacin:

3-

2-

1-

M A T E S

Llamaremos cruce al punto de encuentro de una letra con un nmero. As la letra , al encontrarse con el nmero 3, dar un cruce (M, 3). Para

abscisa, y la vertical, que llamaremos ordenada, que pase por cada una de las letras o los nmeros.

a) Cuntos cruces se pueden encontrar en el tablero mostrado?

b)que, de acuerdo con el ejemplo, siempre escribiremos primero el dato de la abscisa y luego el de la ordenada).

P24. Supongamos que desde la entrada de la UNAJ se puede caminar 50 m hacia el este y luego 20m hacia el norte, lo que nos permite llegar al mostrador de Informaciones. Sin embargo, para ir al mostrador desde el estacionamiento deberamos ir 60 m hacia el este y luego 20 m hacia el norte.

a) Dibuj en un sistema de rectas perpendiculares como el usado (al que llamaremos sistema de coordenadas cartesianas) la situacin descripta.

b) Indic las coordenadas de la entrada, del estacionamiento y del escritorio de informacin.

P25. Expres las coordenadas cartesianas correspondientes a los vrtices de un hexaedro regular (cubo) de 5 cm de arista. Tom como eje de coordenadas uno de los vrtices y como unidad, 1cm.