Maturski rad | Tema:Elipsa

Mentor: Dubravka ErakoviKandidat: Milo PetrainoviSadraj:1. Uvod2

2. Elipsa4

2.1. Definicaj elipse4

2.2. Bitne take elipse4

2.3. Jednaina elipse5

2.4. Svojstva elipse9

2.4.1. Uslov dodira prave i elipse11

2.5. Translacija elipse13

3. Elipsa u svakodnevnom ivotu15

4. Literatura17

1. UvodJo u III i II veku stare ere u antikoj Grkoj matematici, krug nije bio jedina prouavana kriva. etiri izgubljena dela Euklidovih Elemenata bavila su se elipsama, hiperbolama i parabolama, ili jednim imenom, konusnim presecima. Konusni preseci zauzimaju kako u geometriji, tako i u celoj matematici veoma vidno mesto.

Kompletna studija konusnih preseka data je u delu Konike (trakt od sedam knjiga) koje je napisao Apolonije iz Perge (III i II vek stare ere). Od tada, pa sve do danas, konusni preseci su imali veliku primenu u fizici. Kepler je (1610. godine) otkrio da se planete kreu po eliptinim putanjama oko Sunca, pri emu se Sunce nalazi u jednoj od njenih ia. Njutn je u svojoj knjizi Principia Mathematica (oko 1686. godine) dokazao da takvo kretanje sledi iz zakona gravitacije i zakona mehanike. Ovo je izvedeno, izmenu ostalog, i pomou jednaina konusnih preseka u polarnim koordinatama.

Opte ime konusni presek potie od toga to se ti skupovi taaka, tj. krive mogu dobiti kao preseci neke ravni i krune konusne povri.

1. Ako ravan see sve izvodnice konusa i nije normalna na njenu osu odgovarajui presek je elipsa; specijalno, ako je ravan normalna na osu konusa, presek je krunica.2. Ako je ravan paralelna sa jednom izvodnicom konusa, presek je parabola; specijalno, ako ravan sadri tano jednu izvodnicu konusa, presek je prava. 3. Ako je ravan paralelna sa dve izvodnice konusa, presek je hiperbola; specijalno, ako ravan sadri dve izvodnice konusa, presek su dve prave.

Slika 1.

Neka je d prava, F taka koja joj ne pripada i ravan odredjena pravom d i takom F. Neka je e neki fiksiran pozitivan broj. Za proizvoljnu taku M , oznaimo sa M' podnoje normale iz take M na pravu d . Skup svih taaka sa osobinom FM e MM' naziva se konusni presek.

Ako je e 1, konusni presek se naziva parabola, ako je e 1, konusni presek se naziva elipsa, ako je e 1, konusni presek se naziva hiperbola. Taka F je ia (fokus) konusnog preseka, prava d je direktrisa koja odgovara ii F , a pozitivan broj e se naziva ekscentricitet konusnog preseka.

Sada emo izvesti jednainu bilo kog konusnog preseka.

Neka je F ,i neka direktrisa d ima jednainu ax by c 0 . Ako taka M x,ypripada konusnom preseku, jednakost FM e MM' zapisaemo u obliku

Posle kvadriranja i sredjivanja dobijamo jednainu oblika

(1) Ax2 + Bxy +Cy2 + Dx + Ey + F = 0,

gde je

(2) A = a2 + b2 - e2a2 , B = -2abe2 , C = a2 + b2 - e2b2 .

Jednaina (1) je drugog reda, pa se konusni preseci nazivaju krivama drugog reda.

Pokazaemo da se moe utvrditi da li je jednainom (1) predstavljena parabola, elipsa ili hiperbola. Dakle, koristei jednakosti (2), dobijamo

B2 - 4AC = 4a2b2e4 - 4(a2 + b2 - e2a2 )(a2 + b2 - e2b2 ) ,

tj.

(3) B2 - 4AC = 4(a2+b2)2(1-e2).

Zakljuujemo, da je

1. B2 4AC 0 e 1, pa jednaina (1) predstavlja parabolu;2. B2 4AC 0e 1, pa jednaina (1) predstavlja elipsu;3. B2 4AC 0e 1, pa jadnaina (1) predstavlja hiperbolu.

Jednaina konusnog preseka moe biti znatno jednostavnija, ako se koordinatnisistem podesno izabere.

Za optu jednainu parabole se moe uzeti

y2 = 4ax (aR)

za optu jednainu elipse

(a,bR)

za optu jednainu hiperbole

(a,bR) .

2. Elipsa2.1. Definicija elipseElipsa je skup taaka u ravni sa osobinom da zbir rastojanja ma koje take togskupa od dve stalne take F1 i F2 ima konstantnu vrednost.

2.2. Bitne take elipseTake F1 i F2 nazivaju se ie (fokusi) elipse.

Neka je E elipsa odredjena takama F1 i F2 ,takvim da je F1 F2 2c , i ovorastojanje se naziva fokusno rastojanje (Slika 2).B1B2A2A1

Slika 2.Prava F1 F2 naziva se velika (glavna osa) elipse, a simetrala dui F1 F2 naziva se mala (sporedna) osa elipse.

Koordinatni sistem uvodimo tako da se x osa poklapa sa velikom osom, a y osa sa malom osom elipse. Dakle, koordinatni poetak je sredite dui F1 F2 . Kako je 2c , imamo F1 (-c,0) i F2 (c,0), gde je 0 c a.

Bilo koja taka M x, yelipse ima osobinu:

2a .

Take A1 (-a,0) i A2 (a,0) pripadaju elipsi. Zaista, jednostavno se proverava da je

= 2a.

Take B1 (b,0) i B2 (-b,0), gde je , pripadaju elipsi.

Zaista, imamo

= 2a,

a slino se pokazuje i da je

2a .

Rastojanje izmenu taaka A1 i A2 , tj. 2a , naziva se duina velike ose, dok sea naziva velika poluosa elipse. Rastojanje izmenu taaka B1 i B2 , tj. naziva se duina male ose, dok se b naziva mala poluosa elipse.

2.3. Jednaina elipseStav 1. Taka Mx, ypripada elipsi E ako i samo ako njene koordinatezadovoljavaju jednakost

(4) , ()

tj. (4) je jednaina elipse.Dokaz. Ako taka M x, ypripada elipsi E , tada je

2a, tj. = 2a.

Ako ovu jednakost napiemo u obliku

= 2a-,

i kvadriramo je, dobijamo

,

tj.

Posle ponovnog kvadriranja dobijamo

(5)

Kako je a c 0 , imamo a2 0 , a2 c2 0 , pa jednakost (5) moemo podeliti saa2 a2 c2 . Dobija se da je

ili

, (

Stav 2. Neka su x i y brojevi koji zadovoljavaju jednainu (4). Dokaimo da taka Mx,y pripada elipsi E.

Dokaz. Dovoljno je dokazati da je 2a .Iz (4) sledi da je

a takodje a , b . Zaista, iz (4) sledi 0 pa je stoga 0 x2 a2 , tj. a , i slino se pokazuje da je y b.

Imamo da je

i posle kraeg rauna dobijamo da je Medjutim, kako je a , 0 zakljuujemo da je , tj. a< xb,Odakle izlazi: a2 =15, b2 =6, pa jednaina elipse glasi:

2.4. Svojstva elipse1) Ako taka M1x1, y1 pripada elipsi E, tada i take M2x1, y1M3x1,- y1M4x1, -y1 pripadaju elipsi E. Zaista, ako M1 tj. Ako ako vai

tada vae i jednakosti

to znai da M2, M3. M4 .

Odavde sledi da su koordinatne ose ose simetrije elipse, a koordinatni poetak jecentar simetrije.

Takodje, zakljuujemo da je dovoljno konstruisati elipsu u jednom (recimo prvom)kvadrantu, a zatim simetrino preslikati taj deo u ostale kvadrante.2) Elipsa (4) nalazi se unutar pravougaonika ije su stranice odredjene jednainama:x a, x a, y b, y b .3) Ekscentricitet elipse opisuje, na neki nain, njen oblik. Naime, kolinik uvek je ogranien: 0 . to je ekscentricitet vei, kolinik je blii nuli, i elipsa je razvuenija, dok se u graninom sluaju = 0, tj. b 0 , ne svede na du. Obrnuto, to je ekscentricitet manji, to je kolinik sve blii jedinici i elipsa je po obliku sve blia krunoj liniji, a u graninom slucaju , tj. e 0 , postaje kruna linija. Dakle, moe se rei da je kruna linija elipsa sa ekscentricitetom 0.

4) Direktrise elipse su prave normalne na veliku osu, simetrine su u odnosu na koordinatni poetak (centar elipse) i nalaze se na rastojanju sa jedne i druge strane y ose. Kako je e 1, imamo a, pa direktrise nemaju zajednikih taaka sa elipsom (Slika 3).

Slika 3.

5) Stav 3. Kolinik rastojanja od proizvoljne take M x, yelipse (4) do ie i rastojanja te take do odgovarajue direktrise je konstantan i jednak ekscentricitetu e.

Dokaz. Oznaimo sa r rastojanje od take M do ie F2 c,0,a sa d rastojanje od M do direktrise . Tada je,

a oigledno je

Stoga je

2.4.1. Uslov dodira prave i elipseDa bi se odredile zajednike take prave y=kx+n i elipse

Treba reiti sistem jednaina:y=kx+n b2x2 +a2y2=a2b2 Eleminacijom promenljive dolazimo do kvadratne jednaine b2x2 +a2(kx+n)2=a2b2, tj.(6) (a2k2+b2)x2+2kna2x+a2n2-a2b2=0,ija je diskriminanta 4k2n2a4 4(a2k2+b2)(a2n2-a2b2) tj. 4a2b2(a2k2+b2-n2). S obzirom da je 4a2b2>0, zakljuujemo:Ako je a2k2 + b2 n2 >0, prava y=kx+n see elipsu (4) u dvema razliitim takama;Ako je a2k2 + b2 n2