Matematiqka gimnazija

MATURSKI RAD- iz matematke -

Kombinatorna logika i njenaneodluqivost

Uqenik:Mladen Puzi� IVd

Mentor:dr Zoran Petri�

Beograd, jun 2020.

proba

Sadr�aj

1 Uvod 1

2 Uvodni pojmovi 3

2.1 Jezik kombinatorne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Redukcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Jednakosni raqun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Osobine kombinatorne logike 7

3.1 Qerq-Roserovo svojstvo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.2 Kompletnost kombinatorne logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83.3 Teorema o fiksnoj taqki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.4 Iskazna logika i aritmetika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Neodluqivost kombinatorne logike 13

4.1 Predikatski kombinatori i rekurzivni skupovi . . . . . . . . . . 134.2 Dokaz neodluqivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5 Zakuqak 17

Literatura 17

proba

1

Uvod

Teorija izraqunivosti je grana logike koja je u pore�e�u sa drugim granamaveoma mlada. �ene osnove postavene su sa sada ve� poznatim radovima KurtaGedela (1906-1978), Alonza Qerqa (1903-1995) i Alana Tjuringa (1912-1954).Ovaj period, dvadesete i tridesete godine proxlog veka, najboe pokazuje dase matematika ne smixa, ve� otkriva. Za �ihove sisteme, kao i mnoge kasnije,se ispostavilo da predstavaju isti skup izraqunivih funkcija i opxtepri-hva�ena Qerq-Tjuringova teza nam nagovextava da je taj skup isti kao i skupneformalno izraqunivih funckija (izraqunate papirom i olovkom).

Me�utim jox pre poznatih jezika poput Tjuringovih maxina i lambda

raquna, ruski logiqar Mojsej Xejnfinkel (1889-1942) je jox 1920. godinepredstavio koncept kombinatorne logike, koji se kasnije pokazao kao jednakprethodnonavedenim sistemima. �egov rad je 1927. godine otkrio ameriqkilogiqar Haskel Kari (1900-1982) i koncept kombinatorne logike je razvio ipopularizovao.

Kombinatorna logika je specifiqna po tome xto �eni termi ne sadr�evezane promenive, a nama je korisna jer su �ena pravila jednostavna i lakose shvataju. U ovom radu uvodimo sistem i otkrivamo i dokazujemo razne �e-gove osobine. Rad se zavrxava dokazom da je kombinatorna logika neodluqiva,odnosno da ne mo�emo za bilo koja dva �ena terma odrediti da li su jednaka.Tehnike koje �emo pritom koristiti su korisne i u drugim sistemima, ali ihje korisno izuqiti na kombinatornoj logici zbog �ene jednostavnosti.

1

2

Uvodni pojmovi

2.1 Jezik kombinatorne logike

Definicija 2.1.1. Jezik kombinatorne logike je izgra�en slede�im elemen-tima:

� prebrojivo mnogo promenivih: v0, v00, v000, . . .;

� K i S;

� zagrade ( i ).

Notacija 2.1.1. Atomima nazivamo sve promenive, kao i K i S.

Definicija 2.1.2. Za terme kombinatorne logike, CL-terme, va�i:

� svi atomi su CL-termi;

� ako su X i Y CL-termi, onda je i (XY ) tako�e CL-term;

� nixta vixe nije CL-term.

Notacija 2.1.2. Ubudu�e �emo CL-terme zvati i samo termima. Velikimslovima engleskog alfabeta dajemo nazive termima, dok mala slova koristimoza imena promenivih. Koristi�emo pravilo leve asocijativnosti zagrada, tj.(((XY )U)V ) �e biti skra�eno kao XY UV (tako�e ne pixemo spone zagrade,koje su uglavnom nepotrebne). Terme bez promenivih zva�emo kombinatorima.

Definicija 2.1.3. Definixemo relaciju X se pojavuje u Y , odnosno X jepodterm Y :

� X se pojavuje u X;

3

4 2. Uvodni pojmovi

� ako se X pojavuje u U ili u V , onda se pojavuje u (UV ).

Notacija 2.1.3. X se pojavuje u Y oznaqavamo sa Y [X].

Notacija 2.1.4. Skup svih promenivih koje se pojavuju u X oznaqavamo saFV (X).

Definicija 2.1.4. Sa P [Y/x] oznaqavamo rezultat zamene svakog pojavi-va�a x unutar P sa Y , odnosno:

� x[Y/x] ≡ Y ;

� a[Y/x] ≡ a, gde a 6≡ x;

� (UV )[Y/x] ≡ (U [Y/x]V [Y/x]).

Definicija 2.1.5. Sa P [U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn], gde va�i xi 6= xj za i 6= j,oznaqavamo simultanu zamenu svih pojaviva�a x1 sa U1, x2 sa U2,. . ., odnosno:

� xi[U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn] ≡ Ui;

� a[U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn] ≡ a, gde a /∈ {x1, . . . , xn};

� (UV )[U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn] ≡ (U [U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn]V [U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn]).

2.2 Redukcije

Notacija 2.2.1. Svaki term oblika KXY ili SXY Z nazivamo redeksom.

Definicija 2.2.1. Kontrakcijom redeksa u termu U nazivamo zamenu jednogpojaviva�a

KXY sa X ili SXY Z sa XZ(Y Z).

Notacija 2.2.2. Ka�emo da se U kontrahuje na U ′ (u oznaci U .1 U ′) kada jeU ′ rezultat kontrakcije redeksa u termu U .

Notacija 2.2.3. Ka�emo da se U redukuje na V (u oznaci U.V ) kada V mo�emodobiti od U nakon konaqnog (mogu�e praznog) niza kontrakcija.

Primer 1. Na�i term I takav da se term Ix redukuje na x.

Definicija 2.2.2. I ≡ SKK.

SKKx .1 KX(Kx) .1 x.

2.2. Redukcije 5

Primer 2. Na�i term B takav da se term Bxyz redukuje na x(yz).

Definicija 2.2.3. B ≡ S(KS)K.

S(KS)Kxyz .1 (KS)x(Kx)yz .1 S(Kx)yz .1 (Kx)z(yz) .1 x(yz).

Definicija 2.2.4. Normalna forma je term koji ne sadr�i nijedan redeks.

Notacija 2.2.4. Ka�emo da je normalna forma Y normalna forma od X kadase X redukuje na Y .

Lema 2.1. Supstituciona lema za .:

(a) X . Y =⇒ FV (X) ⊇ FV (Y );

(b) X . Y =⇒ Z[X/v] . Z[Y/v];

(v) X . Y =⇒ X[U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn] . Y [U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn].

Dokaz. (a) za sve terme X, Y, Z va�i FV (KXY ) ⊇ FV (X) i FV (SXY Z) ⊇FV (XZ(Y Z));

(b) sve kontrakcije koje su odra�ene da bi se od X dobio Y mogu se uraditii u Z[X/v], u svim novim pojaviva�ima X;

(v) ako je R redeks i kontrahuje se u T , onda je i R[U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn]redeks i kontrahuje se u T [U1/x1][U2/x2] . . . [Un/xn].

Primer 3. Posmatrajmo kombinator U ≡ S(K(SI))(SII), koji �emo zvatiTjuringov kombinator. Za �ega va�i:

Uxy ≡ S(K(SI))(SII)xy.1 (K(SI))x((SII)x)y.1 (SI)((SII)x)y.1 Iy(((SII)x)y).1 y(((SII)x)y).1 y((Ix(Ix))y).1 y((Ixx)y).1 y((xx)y)≡ y(xxy)

odnosno

Uxy . y(xxy).

6 2. Uvodni pojmovi

2.3 Jednakosni raqun

Pored sistema redukcija, koristi�emo i jednakosni raqun kombinatorne logike,koji je zadat slede�im aksiomama i pravilima izvo�e�a:

X = XKXY = X

SXY Z = XZ(Y Z)

X = YY = X

X = Y Y = ZX = Z

X = YXZ = Y Z

X = YZX = ZY

Iz ove definicije se mo�e videti da ako X .Y , onda i X = Y . Obrnuto nemora da va�i.

3

Osobine kombinatorne logike

3.1 Qerq-Roserovo svojstvo

Definicija 3.1.1. Ka�emo da se U paralelno kontrahuje na V (u oznaciU .1p V ) kada je V rezultat kontrakcija skupa me�usobno disjunktnih redeksau termu U .

Lema 3.1. (Konfluencija .1p) Ako za CL-terme U,X i Y va�i U.1pX i U.1pY ,onda postoji CL-term T takav da:

X .1p T i Y .1p T.

Dokaz. Koristimo indukciju po kompleksnosti terma U .Baza: U je atom. Va�i U ≡ X ≡ Y ≡ T .Korak: U ≡ U1U2.

(a) Svi redeksi koji se koriste u paralelnoj kontrakciji se nalaze ili u U1

ili u U2. Onda va�i X ≡ X1X2 i Y ≡ Y1Y2, gde U1 .1p X1, U2 .

1p X2,U1 .

1p Y1 i U2 .1p Y2. Onda po induktivnoj hipotezi mo�emo da uzmemo

T ≡ T1T2, gde su T1 i T2 takvi da va�i X1 .1p T1, Y1 .

1p T1, X2 .1p T2 i

Y2 .1p T2.

(b) Ne va�i (a) i va�i U ≡ (KA)B. Bez uma�e�a opxtosti neka bude X ≡ Ai Y ≡ (KA′)B′, gde va�i A .1p A′ i B .1p B′. Mo�emo da uzmemo T ≡ A′.

(v) Ne va�i (a) i va�i U ≡ ((SA)B)C. Bez uma�e�a opxtosti neka budeX ≡ AC(BC) i Y ≡ ((SA′)B′)C ′, gde va�i A .1p A′, B .1p B′ i C .1p C ′.Mo�emo da uzmemo T ≡ A′C ′(B′C ′).

7

8 3. Osobine kombinatorne logike

Teorema 3.1. (Qerq-Roserova teorema za .) Ako za CL-terme U,X i Y va�iU . X i U . Y , onda postoji CL-term T takav da:

X . T i Y . T.

Dokaz. Dokaz teoreme sledi direktno iz prethodne leme i definicije paralel-nih kontrakcija. Svaku .1p kontrakciju zamenimo sa vixe .1 kontrakcija.

Posledica 1. CL-term mo�e da ima najvixe jednu normalnu formu.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da postoji term koji ima dve razliqite norma-lne forme, onda po Qerq-Roserovoj teoremi postoji term T na koji se obe nor-malne forme redukuju, po pretpostavci to znaqi da se makar jedna normalnaforma me�a, to jest ima redeks, xto je u kontradikciji sa time da je normalnaforma.

Posledica 2. Kombinatorna logika je konzistentna, odnosno, postoje termikoji se ne redukuju jedan na drugi, tj. nisu jednaki.

Dokaz. Ako postoje dve razliqite normalne forme, tvr�e�e oqigledno va�i.Uzmimo terme K i S.

3.2 Kompletnost kombinatorne logike

Definicija 3.2.1. Za svaku promenivu x definixemo operaciju [x]. kojasvakom termu M dodeuje term na slede�i naqin:

1. [x].M ≡ I, kada M ≡ x;

2. [x].M ≡ KM , kada x /∈ FV (M);

3. [x].M ≡ U , kada M ≡ Ux, x /∈ FV (U);

4. [x].M ≡ S([x].U)([x].V ), kada M ≡ UV i ne va�i ni 2. ni 3.

Izraz [x].M nije deo sintakse kombinatorne logike, ve� je samo ime terma kojidefinixemo. Ovu operaciju nazivamo apstrakcijom nad M .

Teorema 3.2. FV ([x].M) = FV (M)− {x}.

Dokaz. Koristimo indukciju po kompleksnosti terma M .Baza:

(a) M ≡ x, FV ([x].M) = FV (I) = {} = {x} − {x};

3.2. Kompletnost kombinatorne logike 9

(b) M je atom i M 6≡ x, FV ([x].M) = FV (KM) = FV (M) = FV (M)− {x}.

Korak: M ≡ UV , po induktivnoj hipotezi va�i FV ([x].U) = FV (U)− {x} iFV ([x].V ) = FV (V )− {x},

(a) x /∈ FV (M), kao sluqaj (b) baze;

(b) V ≡ x, x /∈ FV (U), FV ([x].M) = FV (U) = FV (Ux)− {x};

(v) u suprotnom,

FV ([x].M) = FV (S([x].U)([x].V ))= FV (S) ∪ FV ([x].U) ∪ FV ([x].V )= FV (U) ∪ FV (V )− {x}= FV (UV )− {x}.

Teorema 3.3. ([x].M)N .M [N/x].

Dokaz. Po lemi 2.1.v i teoremi 3.2 sledi da je dovono dokazati ([x].M)x .M ,jer tada va�i ([x].M)N ≡ (([x].M)x)[N/x] . M [N/x]. Dokaza�emo ([x].M)x . Mindukcijom po kompleksnosti terma M .Baza:

(a) M ≡ x, tada ([x].x)x ≡ Ix . x ≡M ;

(b) M je atom i M 6≡ x. Tada ([x].M)x ≡ KMx .1 M .

Korak: M ≡ UV , po induktivnoj hipotezi ([x].U)x . U i ([x].V )x . V ,

(a) x /∈ FV (M), kao sluqaj (b) baze;

(b) x /∈ FV (U), V ≡ x: ([x].Ux)x ≡ Ux ≡M ;

(v) Nijedan prethodni sluqaj ne va�i,

([x].M)x ≡ S([x].U)([x].V )x.1 ([x].U)x(([x].V )x). UV≡ M .

Definicija 3.2.2. Za promenive x1, x2, . . . , xn definixemo:

[x1, . . . , xn].M ≡ [x1].([x2].(. . . ([xn].M) . . .)).

10 3. Osobine kombinatorne logike

Teorema 3.4. Za me�usobno razliqite x1, . . . , xn va�i:

([x1, . . . , xn].M)U1 . . . Un . M [U1/x1] . . . [Un/xn].

Dokaz. Induktivna primena teoreme 3.3.

Teorema 3.5. (Kombinatorna kompletnost) Za svaki term V za koji va�iFV (V ) = {x1, . . . , xn} postoji kombinator M takav da:

MU1 . . . Un . V [U1/x1] . . . [Un/xn].

Dokaz. UzmimoM ≡ [x1, . . . , xn].V . Iz teoreme 3.4 sledi ([x1, . . . , xn].V )U1 . . . Un.V [U1/x1] . . . [Un/xn]. Potrebno je samo jox dokazati da je [x1, . . . , xn].V kombi-nator xto sledi iz teoreme 3.2 i qi�enice da FV (V ) = {x1, . . . , xn}.

Primer 4. Definisati kombinator A takav da Ax = x(xxx)x. Po prethodnomdokazu uzmimo:

A ≡ [x].x(xxx)x= S([x].x(xxx))I= S(SI(S([x].xx)I))I= S(SI(S(SII)I))I.

3.3 Teorema o fiksnoj taqki

Teorema 3.6. (Teorema o fiksnoj taqki): Za svaki term X postoji term Ytako da XY = Y i Y . XY .

Dokaz. Za dati term X konstruisa�emo Y . Koristimo kombinator U , uvedenogu primeru 2. Uzmimo Y ≡ UUX. Kombinator UU se drugaqije oznaqava i sa Θ,a zove se kombinator fiksne taqke. Va�i UUX . X(UUX), odnosno Y . XY ,pa va�i i XY = Y .

Posledica 3. Jednaqinu oblika

xx1x2 . . . xn = Z

za me�usobno razliqite x1, . . . , xn, uvek mo�emo rexiti po promenivoj x,odnosno mo�emo na�i term A takav da va�i

Ax1x2 . . . xn = Z[A/x].

Dokaz. Oznaqimo saA′ apstrakciju desne strane ove jednaqine redom po promenivimxn, . . . , x1, x, odnosno A

′ ≡ [xx1x2 . . . xn].Z. Rexe�e jednaqine je A ≡ UUA′:

3.4. Iskazna logika i aritmetika 11

Ax1 . . . xn ≡ UUA′x1 . . . xn= A′(UUA′)x1 . . . xn, po teoremi o fiksnoj taqki= ([xx1 . . . xn].Z)Ax1 . . . xn= Z[A/x], po teoremi 3.4.

Primer 5. Rexiti jednaqinu yx = x(yx) po y. Po prethodnom dokazu:

y ≡ UU([yx].x(yx))= UU([y].([x].x(yx)))= UU([y].(SI([x].yx))= UU([y].(SIy))= UU(SI).

3.4 Iskazna logika i aritmetika

Kombinatorna logika je dovono bogata da se u �u mo�e utopiti iskaznalogika i aritmetika.

Definicija 3.4.1. Definixemo kombinatore t (true) i f (false):

t ≡ K;

f ≡ KI.

Iz ovih definicija se jasno vidi txy . x i fxy . y.

Definicija 3.4.2. Kombinator negacije, odnosno kombinator n takav da

nt = f i nf = t,

definixemo kao rexe�e jednaqine nx = xft.

Definicija 3.4.3. Kombinator disjunkcije, odnosno kombinator∨

takav da∨tt =

∨tf =

∨ft = t i

∨ff = f ,

definixemo kao rexe�e jednaqine∨xy = xty.

Definicija 3.4.4. Kombinator konjukcije, odnosno kombinator∧

takav da∧tt = t i

∧ff =

∧ft =

∧tf = f ,

12 3. Osobine kombinatorne logike

definixemo kao rexe�e jednaqine∧xy = xyf .

Kombinatore za implikaciju, ekvivalenciju i ekskluzivnu disjunkciju mogu�eje definisati na sliqan naqin.

Sad �elimo da definixemo prirodne brojeve unutar CL, poqevxi od 0.Term koji predstava broj n oznaqi�emo sa n.

Definicija 3.4.5. 0 ≡ I.Da bismo definisali ostale prirodne brojeve, potreban nam je kombinator

sledbenika koji �emo oznaqiti sa σ.

Definicija 3.4.6. σ ≡ V f , gde je V kombinator takav da V xyz . zxy.Sad mo�emo da induktivno definixemo ostale prirodne brojeve:

Definicija 3.4.7. n+ 1 ≡ σn za n ∈ N.Bi�e nam potrebno jox pomo�nih kombinatora za aritmeniku:

Definicija 3.4.8. Kombinator prethodnika, odnosno kombinator P takavda

Pn+ 1 = n, n ∈ N,

definixemo kao rexe�e jednaqine Px = xf .

Definicija 3.4.9. Kombinator provere nule, odnosno kombinator Z takav da

Z0 = t i Zn+ 1 = f,

definixemo kao rexe�e jednaqine Zx = xt.

Definicija 3.4.10. Kombinator sabira�a, odnosno kombinator ⊕ takav da

⊕ n m = n+m,

definixemo kao rexe�e jednaqine ⊕xy = Zyx(σ(⊕x(Py))).

Definicija 3.4.11. Kombinator mno�e�a, odnosno kombinator ⊗ takav da

⊗ n m = n ·m,

definixemo kao rexe�e jednaqine ⊗xy = Zy0(⊕(⊗x(Py))x).

Definicija 3.4.12. Kombinator stepenova�a, odnosno kombinator E takavda

E n m = nm,

definixemo kao rexe�e jednaqine Exy = Zy1(⊗(�x(Py))x).

4

Neodluqivost kombinatorne

logike

4.1 Predikatski kombinatori i rekurzivni skupovi

Neodluqivost kombinatorne logike predstava qi�enicu da je nemogu�e na�ipostupak koji �e odrediti da li su neka dva proizvona terma X i Y jednakaunutar jednakosnog raquna CL. Prvo moramo uvesti nekoliko pojmova:

Definicija 4.1.1. Predikatski kombinator je svaki kombinator A takav daza svaki prirodni broj n va�i ili An = t ili An = f .

Definicija 4.1.2. Rekurzivan skup je svaki skup S ⊆ N za koji postojipredikatski kombinator A takav da:

An =

{t, n ∈ Sf, n /∈ S

Notacija 4.1.1. Kombinator A nazivamo karakteristiqnim kombinatoromskupa S.Potrebno nam je nekoliko dodatnih kombinatora za kasnije dokaze:

Definicija 4.1.3. Kombinator ve�e, odnosno kombinator G takav da

G n m = 1, n > m i G n m = 0, n ≤ m

definixemo kao rexe�e jednaqine Gxy = Zx0(Zy1(G(Px)(Py))).

13

14 4. Neodluqivost kombinatorne logike

Definicija 4.1.4. Kombinator du�ine broja, odnosno kombinator L takavda

Ln = m,

gde je m broj cifara n u dekadnom zapisu, definixemo kao L ≡ T0, gde je Trexe�e jednaqine Txy = Z(G(E10x)y)x(T (σx)y).

Definicija 4.1.5. Kombinator nadoveziva�a, odnosno kombinator ©∗ takavda

©∗ n m = n ∗m,

gde je ∗ operacija nadoveziva�a prirodnih brojeva, definixemo kao rexe�ejednaqine ©∗xy = ⊕(⊗x(E10(Ly)))y.

Notacija 4.1.2. Za neki skup S ⊆ N, skup N − S nazivamo �egovim komple-mentom i oznaqavamo sa S ′.

Lema 4.1. Ako je skup S rekurzivan, onda je i �egov komplement rekurzivanskup.

Dokaz. Koristi�emo kombinatore B i n koje smo ranije definisali (Bxyz .x(yz), n negacija od t i f). Oznaqimo sa A karakteristiqni kombinator skupaS. Onda je kombinator BnA karakteristiqan za skup S ′.

BnAn .1 n(An)

On daje suprotan odgovor od kombinatora A, xto je potrebno da bi bio odgo-varaju�i kombinator.

4.2 Dokaz neodluqivosti

Za ovaj dokaz �emo posmatrati jednostavniju verziju kombinatorne logike,koju �emo zvati CL−. To je kombinatorna logika iz koje �emo izostaviti svepromenive, odnosno jedini karakteri su S,K,=, ( i ). Jasno je da ako je CL−

neodluqiv onda je i CL.Koristi�emo induktivno definisano preslikava�e izme�u CL−-terama i

prirodnih brojeva koje se naziva Gedelovo kodira�e, po poznatnom logiqaruKurtu Gedelu. Kao oznaku za ovo preslikava�e koristi�emo Γ i kako bismo ra-zlikovali od obiqnih zagrada, argument preslikava�a �emo stavati u uglastezagrade. Naime, to preslikava�e funkcionixe tako xto atom zamenimo odgo-varaju�om cifrom:

4.2. Dokaz neodluqivosti 15

x S K ( ) =Γ[x] 1 2 3 4 5

Za kompleksnije CL−-terme definixemo i da Γ prolazi kroz nadoveziva�e:

Γ[A ∗B] = Γ[A] ∗ Γ[B].

Primer 6. Γ[I] = Γ[((SK)K)] = 3312424.

Lema 4.2. Ako je skup S rekurzivan onda je rekurzivan i skup

S∗ = {n ∈ N | n ∗ 52 ∈ S}.

Dokaz. Poxto je S rekurzivan skup, ima karakteristiqan kombinator, koji�emo nazvati A. Kombinator A∗ ≡ [x].A(©∗ x 52) je karakteristiqan za skupS∗, jer va�i A∗n = A(©∗ n 52).

Ono xto mo�emo primetiti jeste da je Γ[= t] = 52 (jer t ≡ K), xto nampoma�e da boe razumemo intuiciju iza prethodne leme. Pita�e odluqivostiCL �emo formalno definisati kao odre�iva�e rekurzivnosti slede�eg skupa:

Definicija 4.2.1. T = {Γ[X = Y ] | `CL X = Y }.Kada bi skup T bio rekurzivan, onda bismo imali metodu da proverimo da

li su neka dva CL-terma X i Y jednaka, xto bi znaqilo da je kombinatornalogika odluqiva.

Definicija 4.2.2. pXq ≡ Γ[X], za svaki CL-term X.

Definicija 4.2.3. n# ≡ Γ[n], za svako n ∈ N.

Definicija 4.2.4. Kombinator Σ takav da va�i

Σn = 3 ∗ s ∗ n ∗ 4,

gde je s = Γ[(V f)], definixemo kao rexe�e jednaqine Σx = B(C ©∗ 4)(©∗3 ∗ s)x,gde su kombinatori B i C takvi da va�i Bxyz = x(yz) i Cxyz = xzy.

Ono xto je bitno kod ovog kombinatora, a mo�e se lako proveriti, jeste dava�i Σn# = (n+ 1)#, odnosno funkcionixe sliqno kombinatoru sledbenika.

Definicija 4.2.5. Kombinator δ takav da va�i

δn = n#

definixemo kao rexe�e jednaqine δx = Zx0#(Σ(δ(Px))).

16 4. Neodluqivost kombinatorne logike

Definicija 4.2.6. Kombinator ∆ takav da va�i

∆n = n ∗ n#

definixemo kao rexe�e jednaqine ∆x = ©∗x(δx).Ono xto je bitno napomenuti za kombinator ∆, xto se lako pokazuje, jeste

da va�i:∆pXq = pXpXqq.

Teorema 4.2.1. (Druga teorema o fiksnoj taqki) Za svaki CL-term Apostoji CL-term X takav da va�i ApXq = X.

Dokaz. Uzmimo X = BA∆pBA∆q = A(∆pBA∆q) = ApBA∆pBA∆qq = ApXq.

Notacija 4.2.1. Ka�emo da rekurzivan skup S testira CL-jednakost X = Ykada va�i:

`CL X = Y akko Γ[X = Y ] ∈ S.

Teorema 4.2.2. Svaki rekurzivan skup testira makar jednu CL-jednakost.

Dokaz. Uzmimo S∗ = {n ∈ N | n ∗ 52 ∈ S} i A∗, �egov karakteristiqan kombi-nator (po lemi 4.2). Uzmimo X takvo da A∗pXq = X, koje postoji po drugojteoremi o fiksnoj taqki. Doka�imo da skup S testira jednakost `CL X = t:

`CL X = t ⇔ `CL A∗pXq, po izabranom X

⇔ `CL A∗Γ[X], po definiciji pXq

⇔ Γ[X] ∈ S∗, po tome xto je A∗ karakteristiqan za S∗

⇔ Γ[X] ∗ 52 ∈ S, po definiciji S∗

⇔ Γ[X] ∗ Γ[= t] ∈ S, po Gedelovom kodira�u⇔ Γ[X = t] ∈ S.

Teorema 4.2.3. Skup T nije rekurzivan.

Dokaz. Pretpostavimo da je skup T rekurzivan. Onda je i �egov komplementrekurzivan, po lemi 4.1. Skup T je definisan kao skup koji testira sve jedna-kosti kombinatorne logike, xto bi znaqilo da �egov komplement ne testiranijednu. Time bismo naxli rekurzivan skup koji ne testira nijednu jednakost,xto je u kontradikciji sa teoremom 4.2.2. Time smo dokazali da je kombina-torna logika neodluqiva.

5

Zakuqak

S obzirom da ova tema ne liqi ni na xta xto se uqi po planu sred�e xkole,pokuxao sam da je predstavim od samog poqetka. Sre�om, kombinatorna logikaje vrlo samostalna i ne zahteva previxe zna�a iz drugih grana matematike.I pored toga, tehnike koje su korix�ene u nekim dokazima u ovom radu vrlosu korisne i u drugim oblastima i sistemima i zato mi je drago xto sam ihpokazao u jednom relativno jednostavnom jednakosnom raqunu poput kombina-torne logike. Konkretno, metode Gedelovog kodira�a i rekurzivnih skupovase koriste qesto u teoriji izraqunivosti ukuquju�i u nekim va�nim Gede-lovim dokazima.

Dae istra�iva�e kombinatorne logike bi posmatralo �egov odnos sadrugim sistemima poput lambda raquna, ali i mnogo drugih korisnih svojstavakoje ovaj sistem poseduje.

Hteo bih ovu priliku da iskoristim da se zahvalim udima bez kojih ovograda ne bi bilo. Za prvobitno upoznava�e sa ovom granom matematike preko�ihovih predava�a o Kari-Hauardovoj korespondenciji i lambda raqunu, hteobih da se zahvalim Andreju Ivaxkovi�u, studentu doktorskih studija na Uni-verzitetu u Kembriu i dr Tomasu Piehi, profesoru matematike na Uni-verzitetu u Tibingenu.

Posebnu zahvalnost imam prema svom mentoru, profesoru dr Zoranu Petri�u,koji me ve� godinama podr�ava u istra�iva�u ove i �oj sliqnih tema. �e-gov kurs iz lambda raquna i kombinatorne logike bio je neophodan da uopxtebudem u prilici da poqnem ovaj rad. Kada sam poqeo, uvek je bio tu da pru�ibilo kakvo dodatno objax�e�e ili predlog.

17

Literatura

[1] J.R. Hindley, J.P. Seldin, Lambda-calculus and combinators, Cambridge Univer-

sity Press, Kembri, 2008.

[2] http://www.mi.sanu.ac.rs/~zpetric/lambda-uvod.pdf

[3] https://plato.stanford.edu/entries/logic-combinatory/

19