Vježba 7

MAXWELL - BOLTZMANNOVA

RASPODJELA BRZINA

Andrej Ficnar

9.5.2006.

Sažetak

Maxwell - Boltzmannova raspodjela opisuje raspodjelu brzina u idealnom plinu, tj.govori nam koliki dio molekula idealnog plina ima određeni iznos brzine. U ovoj vježbiistraživao se njen oblik i svojstva koristeći male kuglice u komori sa vibrirajućim dnom kaozamjenu za idealni plin. Izmjerena je ovisnost broja kuglica o brzinama, te je tim podacimametodom najmanjih kvadrata prilagođena Maxwell - Boltzmannova funkcija. Također, izeksperimentalnih podataka izračunate su najvjerojatnija brzina, prosječna brzina i kori-jen prosjeka kvadrata brzina, te su uspoređene sa teoretskim predviđanjima. Na krajuje izračunata i srednja kinetička energija jedne kuglice a iz toga i temperatura kuglicapotrebna da postignu tu energiju.

Uvod

Maxwell - Boltzmannova raspodjela brzina opisuje raspodjelu brzina molekula idealnogplina: vjerojatnost da će neka molekula idealnog plina imati iznos brzine unutar intervala(v, v + dv) te smjer unutar prostornog kuta Ω,Ω + dΩ dan je gustoćom vjerojatnosti:

f(v,Ω)dvdΩ =dN

N=

(

m

2πkT

)3/2

exp

(

−mv2

2kT

)

v2dvdΩ (1)

gdje je m masa jedne molekule plina, k Boltzmannova konstanta, te T apsolutna tem-peratura plina. U našem eksperimentu idealni plin zamijenjen je kuglicama u komori savibrirajućom podlogom, s malim otvorom na jednoj stranici komore, kroz koji kuglice izli-jeću, a čiju brzinu saznajemo iz njihova dometa. S obzirom da kuglice izlijeću u neki maliprostorni kut određen njihovim geometrijskim položajem, možemo, uz pretpostavku da jetaj položaj nasumičan, uzeti da domet ovisi samo o brzini kuglica, integrirati funkciju (1)

1

po prostornom kutu i dobiti samo drugačiju konstantu ispred cijelog izraza. Prema tome,ovisnost Maxwell Boltzmannove raspodjele o prostornom kutu u ovom eksperimentu netrebamo gledati.

Kuglice koje izlijeću iz otvora na komori upadaju u sustav ekvidistantnih pretinaca,odvojenih međusobno pregradama. Brojeći kuglice u pretincima i poznavajući udaljenostbliže i dalje pregrade pojedinog pretinca od komore, možemo izračunati unutar kojeg jediskretnog intervala brzina bila brzina kuglice u tom pretincu. Zbog toga, moramo sa kon-tinuirane raspodjele (1) preći na njenu diskretnu aproksimaciju zamijenjujući diferencijalepojedinih veličina konačnim diferencijama:

∆Nn

N= f(vn)∆vn (2)

gdje je ∆Nn broj kuglica u n-tom pretincu, a ∆vn interval brzina unutar kojeg se nalazebrzine kuglica u tom pretincu. Neka je sada vmin

n minimalna brzina koju kuglica moraimati da bi upala u n-ti pretinac, a vmax

n maksimalna brzina. Tada, pod pretpostavkomrelativno malih intervala brzina ∆vn = vmax

n − vminn možemo Maxwell Boltzmannovu

raspodjelu pisati kao

f(vn) = Ae−Bv2

nv2

n (3)

gdje je vn = (vmaxn +vmin

n )/2, prosječna brzina kuglica u n-tom pretincu, a A i B konstante.Sada možemo saznati karakteristične vrijednosti Maxwell - Boltzmannove raspodjele,

imajući na umu diskretnu prirodu eksperimenta. Najvjerojatnija brzina vm je ona za kojuMaxwell - Boltzmannova funkcija poprima maksimalnu vrijednost. Pretpostavimo da jenajviše kuglica bilo u k-tom pretincu - tada možemo pisati

vm = vk

Ako znamo gustoću vjerojatnosti, tada bilo koju prosječnu veličinu tražimo integralomumnoška te veličine i gustoće vjerojatnosti, no u našem slučaju će integrali preći u sume.Prema tome, koristeći se diskretnim oblikom Maxwell - Boltzmannove raspodjele (2), zaprosječnu brzinu imamo:

〈v〉 =N

∑

n=1

vnf(vn)∆vn =1

N

N∑

n=1

vn∆Nn ≈1

N

N∑

n=1

vn∆Nn (4)

gdje je N ukupni broj kuglica u eksperimentu. Slično možemo dobiti i za prosjek kvadratabrzine:

⟨

v2⟩

=N

∑

n=1

v2

nf(vn)∆vn =1

N

N∑

n=1

v2

n∆Nn ≈1

N

N∑

n=1

v2

n∆Nn (5)

Teoretski, ove brzine bi trebale ispasti

vm =

√

2kT

m, 〈v〉 =

√

8kT

πm, vrms ≡

√

〈v2〉 =

√

3kT

m(6)

2

Eksperimentalni postupak

Dakle, eksperimentalni uređaj sastoji se od male komore sa mnogo malih kuglica kojepredstavljaju idealni plin i vibrajućom podlogom, koja simulira termičko gibanje kuglica.Brzinu vibriranja podloge reguliramo pomoću otpornika, a mjerimo stroboskopom. Komorasa kuglicama ima mali otvor na jednoj strani kroz koji izlijeću kuglice, te padaju u većopisani sustav pretinaca, koji se nalazi na stalku čiju je visinu potrebno podesiti kakobi sustav bio što više u horizontalnom položaju. Svaki pretinac je kružnog oblika, pa jejednako udaljen od otvora iz kojeg izlijeću kuglice. Interval brzina kuglica unutar kojegse nalazi brzina kuglice koja je upala u neki pretinac, možemo, pod pretpostavkom hori-zontalnog hica, izračunati poznavajući visinu na kojoj se nalazi otvor u odnosu na sustavpretinaca i udaljenost bliže odnosno dalje pregrade pretinca od otvora.

U komoru se postavio određen broj kuglica, dok je određen broj ostao izvan nje ipodijeljen je u epruvete, po 20 kuglica u svaku. Svakih otprilike 30 sekundi dodavane sukuglice iz jedne epruvete u komoru, kako bi broj kuglica, a time i statistika, ostala stalna.Kako je broj kuglica bio relativno mali, morali smo, nakon što smo ubacili sve kuglice izepruveta u komoru, zaustaviti eksperiment, izbrojiti kuglice u pojedinim pretincima, te ihonda ponovo raspodijeliti po epruvetama i nastaviti eksperiment.

Rezultati mjerenja

Potpisani rezultati mjerenja dani su u dodatku na kraju referata, dok ovdje donosimnjihove transformacije potrebne za izvršenje pojedinih zadataka, a na temelju relacija kojeće biti dane u pojedinom zadatku.

3

n ∆Nn vmaxn [m/s] Mvmax

n[m/s] vn [m/s] Mvn

[m/s]1 3 0.039 0.008 0.019 0.0082 30 0.117 0.009 0.078 0.0093 49 0.195 0.009 0.156 0.0094 51 0.272 0.009 0.234 0.0095 59 0.35 0.01 0.31 0.016 50 0.43 0.01 0.39 0.017 77 0.51 0.01 0.47 0.018 42 0.58 0.01 0.55 0.019 61 0.66 0.01 0.62 0.0110 30 0.74 0.01 0.70 0.0111 56 0.82 0.01 0.78 0.0112 30 0.89 0.01 0.86 0.0113 44 0.97 0.01 0.94 0.0114 43 1.05 0.01 1.01 0.0115 27 1.13 0.01 1.09 0.0116 22 1.21 0.02 1.17 0.0217 25 1.28 0.02 1.25 0.0218 25 1.36 0.02 1.32 0.0219 14 1.44 0.02 1.40 0.0220 20 1.52 0.02 1.48 0.0221 16 1.60 0.02 1.56 0.0222 15 1.67 0.02 1.63 0.0223 12 1.75 0.02 1.71 0.0224 16 1.83 0.02 1.79 0.02

Tablica 1. Mjerenja broja kuglica ∆Nn u n-tom pretincu, te izračun maksimalne vmax

ni

prosječne brzine vn za pojedini pretinac, sa pogreškama.

Zadaci

Zadatak 1.

Sastaviti uređaj prema uputama i provesti mjerenja za najmanje 1000 kuglica.

Mjerenja broja kuglica u pojedinom pretincu su provedena i rezultati su dani u dodatkuna kraju referata, kao i u Tablici 1 u prethodnom odjeljku.

Zadatak 2.

Izračunati intervale brzina za 24 pregrade.

Slijedeći pretpostavku horizontalnog hica, vrijeme potrebno da kuglica koja izleti krozotvor na komori padne u jedan od pretinaca dano je sa

t =2h

g

gdje je h = (8.1 ± 0.1) cm, visina otvora na komori u odnosu na pretince (greška je

4

procijenjena), te g ubrzanje sile teže. Usredotočimo li se na neki pretinac n, udaljenost dn

koju prijeđe kuglica prijeđe dok ne udari u dalju pregradu tog pretinca jest

dn = vmaxn tn

S obzirom da je prvi pretinac bio širok (0.5 ± 0.1) cm a ostali (1 ± 0.1) cm, lako možemozaključiti da je dn = (0.5 + (n − 1)) cm. Kombinirajući zadnja dva izraza dobivamo

vmaxn = dn

√

2g

h

a čija je pogreška, uzimajući u obzir procijenjene pogreške visine Mh i dometa Mdn, dana

sa

Mvmaxn

= vmaxn

(

Mdn

dn

+Mh

2h

)

Uvrštavajući u to izmjerene vrijednosti dobivamo maksimalne brzine vmaxn za pojedine

pretince i njihove pogreške, što je dano u Tablici 1.

Zadatak 3.

Nacrtati graf ovisnosti broja kuglica u pretincima o brzini kuglica i komentirati rezultat.

Traženi graf dan je na Slici 1.Iz grafa na Slici 1 vidi se kako naši rezultati imaju ugrubo karakterističan zvonolik oblik

Maxwell - Boltzmannove raspodjele, sa početnim strmim usponom, zatim maksimumom,pa sporijim padom. No, ipak je primjetno kako postoji znatno odstupanje, osobito zbogpojedinih skokova unutar intervala brzina od 0.5 do 1 m/s, te zbog relativno velikog brojakuglica u ’repu raspodjele’, tj. sa velikim brzinama.

Zadatak 4.

Iz eksperimentalnih podataka naći vm, 〈v〉 i⟨

v2⟩

, provjeriti njihove međusobne omjere

te komentirati rezultat.

Najvjerojatnija brzina vm određena je time da za nju raspodjela poprima maksimum,a to je, kako možemo vidjeti iz Slike 1, odnosno iščitati iz Tablice 1, upravo brzina kojaodgovara 7. pretincu, tj.

vm = (0.47 ± 0.01) m/s; R = 2.13%

Prosječnu brzinu 〈v〉 računamo iz formule (4), a za to moramo izračunati srednje brzineza svaki pretinac:

vn =vmax

n + vminn

2=

vmaxn + vmax

n−1

2te čija je pogreška onda dana sa

Mvn=

Mvmaxn

+ Mvmaxn−1

2

Izračun ovih brzina dan je također u Tablici 1. Sada možemo iz relacije (4) izraziti ipogrešku od 〈v〉:

M〈v〉 =1

N

N∑

n=1

Mvn∆Nn

5

Slika 1. Ovisnost broja kuglica u pretincima ∆N o njihovim brzinama v.

Uvrštavanjem izračunatih vrijednosti iz Tablice 1 u ovu formulu te u formulu (4) dobivamoprosječnu brzinu:

〈v〉 = (0.73 ± 0.01) m/s; R = 1.37%

Prosječni kvadrat brzine⟨

v2⟩

računamo iz formule (5), otkuda možemo dobiti i formuluza njegovu pogrešku:

M〈v2〉 =1

N

N∑

n=1

Mvnvn∆Nn

Uvrštavajući u ovaj izraz te u izraz (5) odgovarajuće podatke iz Tablice 1, dobivamo⟨

v2⟩

= (0.74 ± 0.02) m/s; R = 2.70%

Iz ovoga možemo izračunati korijen prosjeka kvadrata brzine kuglica:

vrms =√

〈v2〉

čija je pogreška onda dana sa

Mvrms=

M〈v2〉

2√

〈v2〉

čime dobivamovrms = (0.86 ± 0.01) m/s; R = 1.16%

6

Izračunajmo sada omjere ovih brzina i usporedimo ih sa teoretskim predviđanjima:

vrms/ 〈v〉 vrms/vm 〈v〉 /vm

teoretski 1.081 1.227 1.135eksperimentalno (1.18 ± 0.02) (1.83 ± 0.02) (1.55 ± 0.02)

U ovoj tablici greška pojedinog omjera brzina vi/vj računata je po formuli

Mvi/vj=

vi

vj

(

Mvi

vi+

Mvj

vj

)

Iz tablice je vidljivo kako ipak postoje odstupanja omjera od njihovih teoretskih vri-jednosti, no u sačuvan je poredak veličina, tj. vrijedi i dalje vrms > 〈v〉 > vm, iako surazlike među njima veće nego što to predviđa teorija.

Zadatak 5.

Mijenjajući parametre Maxwellove funkcije raspodjele brzina pomoću metode najman-

jih kvadrata naći krivulju koja najbolje opisuje eksperimentalne rezultate.

Maxwell - Boltzmannova funkcija kojoj ćemo varirati parametre dana je relacijom (3).Očito se radi o nelinearnoj funkciji, pa je za metodu najmanjih kvadrata upotrebljenprogramski paket Mathematica koji je za parametre A i B dao sljedeće vrijednosti

A = (5 ± 1) · 103 (m/s)−3; R = 20.00%

B = (2.8 ± 0.4) (m/s)−2; R = 14.29%

Graf Maxwell - Boltzmannove funkcije sa tim vrijednostima koeficijenata A i B prikazanje, zajedno sa eksperimentalnim rezultatima, na Slici 2.

Zadatak 6.

Izračunati srednju kinetički energiju jedne kuglice. Kada bi vibrirajuća podloga mirovala,

kolika bi trebala biti temperatura da uslijed termičkog gibanja kuglice postignu tu energiju?

Srednja kinetička energija jedne kuglice dana je sa

〈Ek〉 =m

⟨

v2⟩

2

gdje je m masa jedne kuglice, koju možemo izračunati iz mjerenja mase M 50 kuglica:M = 0.90±0.01 g (sa procijenjenom pogreškom). Tada je masa jedne kuglice jednostavno

m = (0.0180 ± 0.0002) g; R = 1.11%

Iz izraza za 〈Ek〉 možemo, uvažavajući pogrešku mase Mm i pogrešku prosjeka kvadratabrzina M〈v2〉, dobiti i pogrešku od 〈Ek〉:

M〈Ek〉 = 〈Ek〉

(

Mm

m+

M〈v2〉

〈v2〉

)

7

Slika 2. Graf krivulje dobivene metodom najmanjih kvadrata (deblja linija) koji najbolje

odgovara eksperimentalnim rezultatima, zajedno sa eksperimentalnim rezultatima (tanja linija).

Sada možemo izračunati srednju kinetičku energiju jedne kuglice, uvrštavajući prethodnodobivene rezultate u gornje izraze:

〈Ek〉 = (6.7 ± 0.3) · 10−6 J; R = 4.48%

Pretpostavljajući da kuglice imaju tri stupnja slobodne, ekviparticioni teorem dajevezu srednje kinetičke energije kuglice od termičkog pobuđenja i temperature kuglice T

〈Ek〉 =3

2kT

Odavde možemo izraziti temperaturu T i izračunati njenu pogrešku:

MT =2

3kM〈Ek〉

Odavde dobivamo za temperaturu

T = (3.2 ± 0.1) · 1017 K; R = 3.13%

8

Zaključak

U ovoj vježbi ispitivani su oblik i svojstva Maxwell - Boltzmannove raspodjele brz-ina, te je, kako se i vidi iz Slike 1, dobiveno da eksperimentalno dobivena ovisnost gruboprati karakterističnin zvonolik oblik Maxwell - Boltzmannove raspodjele. No, također, za-mjetno je i da ima određenih odstupanja u tom obliku: poglavito zbog pojedinih ’skokova’u sredini grafa, te zbog relativne ’debljine repa’, što se može dobro vidjeti na Slici 2, gdjesu eksperimentalni podaci prikazani zajedno sa najboljom krivuljom prilagodbe. Također,primijećeno je i odstupanje omjera karakterističnih brzina od njihovih teoretskih vrijed-nosti, iako je međusobni odnos pojedinih brzina po veličini isti kao i teoretski.

Do navedenih značajnih odstupanja došlo je iz mnogo razloga. Najprije treba spomenutiutjecaj samog otvora na smjer izlazne brzine kuglice. Naime, kuglice su nerijetko pri izli-jetanju iz komore udarile u rub otvora, što je poremetilo njihov vektor brzine, više posmjeru nego po iznosu, pa su se često mogle opaziti kuglice koje padaju kosim hicem sanezanemarivim kutem, pa se na te kuglice ne bi mogla primijeniti formula horizontalnoghica za izračun brzine. Nadalje, ’debeli rep’ eksperimentalno dobivene krivulje na Slici 1je poglavito nastao zbog toga što su se poneke brže kuglice koje bi preletjele cijeli sustavpregrada, odbile od zida na kraju sustava i upale u neki od vanjskih pretinaca. Kao zadnjustvar treba napomenuti da u eksperimentalnom postavu nije bilo puno kuglica, pa je sameksperiment bilo potrebno provoditi sa relativno rijetkim ’plinom kuglica’, što je takođermoglo utjecati na rezultate, te ga je bilo potrebno provoditi više puta, kako bi imali štoviše podataka.

Literatura

[1] Priprema za vježbu

[2] R. A. Serway, R. J. Beichner, Physics for Scientists and Engineers with Modern

Physics, Saunders College Publishing, Orlando, 2000.

9