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Alberto Coronado Matutti
Facultad de Ingeniera MecnicaUniversidad Nacional de
Ingeniera
Vibraciones Mecnicas MC-571Captulo 3Respuesta Forzada
Generalizada
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23.0 Respuesta forzada generalizada
En este captulo, ser considerada la respuestade un sistema
sometido a una variedad de fuerzas.
As mismo, ser presentada una formulacin general para calcular la
respuesta forzada ante cualquier tipo de fuerza aplicada.
Todas estas tcnicas son aplicables solamentea sistemas lineales
ya que hacen uso del principio de superposicin.
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33.0 Respuesta forzada generalizada
Dicho principio implica que si es la solucin particular de y que
si es la solucin particular de de .
Entonces es la solucin de:
Por tanto, este mtodo puede ser usado para construir la solucin
de problemas complicadosresolviendo una serie de problemas
simples.
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva
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53.1 Funcin de respuesta impulsiva
Una fuente comn de vibraciones es la aplicacin repentina de una
fuerza de corta duracin (impulso).
La respuesta de un sistema ante un impulsoes idntica a la
respuesta libre, bajo ciertas condiciones iniciales.
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63.1 Funcin de respuesta impulsiva
El impulso de la fuerza F(t) es definido por la integral:
La funcin impulso es la funcin F(t) con las siguientes
propiedades:
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73.1 Funcin de respuesta impulsiva
Si la magnitud de es la unidad, corresponde a la definicin de
impulso unitario , llamado tambin Delta de Dirac.
Para calcular la solucin debemos recordar que un impulso produce
un cambio en el momentode un cuerpo.
Considerando . Si la masa est inicialmente en reposo:
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83.1 Funcin de respuesta impulsiva
El cambio en el momento luego del impacto ser igual a:
Luego:
Por tanto, aplicar un impulso ser equivalente a aplicar
condiciones iniciales de desplazamiento cero y velocidad:
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9Sumario: Respuesta libre para un sistema subamortiguado de 1
GDL
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva
Para un sistema subamortiguado , la respuesta ante las
condiciones iniciales:
Ser igual a:
Reescribiendo la solucin como:
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva
Donde:
Es la respuesta a un impulso unitario aplicado en t=0.
Si el impulso es aplicado en :
Siendo cero para .
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva
En ambos casos h se denomina funcin de respuesta impulsiva.
En la prctica, una fuerza es considerada impulsiva si su duracin
es muy corta en comparacin al periodo de oscilacin de la estructura
subamortiguada.
En ensayos tpicos est en el orden de .
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.1
Suponga que un pjaro de 1 kg choca contra una cmara de
seguridad. Si el pjaro vuela a 72 kph, calcule la mxima deflexin
causada por el impacto.
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.1
La rigidez del montaje de la cmara es:
Si la masa de la cmara es 3 kg, la frecuencia natural ser 261.3
rad/s.
Considerando amortiguamiento despreciable:
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.1
Donde mbv es el momento lineal del pjaro, el
cual produce la fuerza de impacto F.
Ello resulta en una amplitud mxima de:
En esa situacin, la restriccin de diseo de mantener las
vibraciones bajo 0.01 m no es cumplida.
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.2
En ensayos para medir vibraciones, un martillo instrumentado es
usado frecuentemente para golpear la estructura a ser
analizada.
Muchas veces generar un impacto simple es difcil, por lo cual se
termina generando un doble impacto, que podra ser descrito por:
Si la estructura tiene 1 GDL, halle la respuestapara
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.2
Configuracin para la medicin experimental de vibraciones:
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.2
La respuesta para un impacto simple en t=0es:
Sabiendo que:
Obtendremos:
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.2
De manera similar, la respuesta para ser:
Siendo que:
Usando el principio de superposicin para sistemas lineales:
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3.1 Funcin de respuesta impulsiva: ej. 3.1.2
La lnea continua corresponde a x1(t) y la lnea a trazos
corresponde a x(t)=x1(t)+x2(t):
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria
La respuesta de un sistema ante una excitacin arbitraria puede
ser calculada usando la respuestaante una excitacin impulsiva.
El procedimiento consiste en dividir la fuerza de excitacin en
impulsos infinitesimales, calcular la respuesta ante cada uno de
ellos y finalmente sumarlas respuestas individuales.
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria
Al ser F(t) dividida en n intervalos, cada incremento de tiempo
ser igual a:
Para cada intervalo ti, la solucin puede ser calculada
considerando un impulso de duracin y magnitud
La respuesta total luego de j intervalos ser:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria
En el lmite, cuando :
Dicha integral se denomina integral de convolucin.
Esta corresponde a la integral del producto de 2 funciones, una
de las cuales est desfasadapor la variable de integracin.
Adicionalmente:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria
Para el caso subamortiguado:
Considerando condiciones iniciales iguales a cero, la respuesta
ser:
La integral de convolucin usada para calcular la respuesta de un
sistema se llama integral de Duhamel.
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.1
Halle la respuesta considerando una fuerza de excitacin en forma
de escaln:
La funcin escaln unitario tambin se conoce como funcin de
Heaviside.
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.1
Aplicando la integral de Duhamel:
Usando un programa de procesamiento simblico (Maple,
Mathematica, WolframAlpha, Matlab, MuPAD, MathCAD, Maxima, Sage,
etc.)
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.1
Considerando t0=0:
Si el amortiguamiento es despreciable:
Examinando la respuesta amortiguada, se observa que para grandes
tiempos, el segundo trmino tiende a cero:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.1
Considerando los siguientes valores:
tp: tiempo en el que ocurre el sobreimpulso (OS)
ts: tiempo de establecimiento (3% de xss)
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.2
Calcule la respuesta ante una fuerza de excitacin del tipo
pulso.
Una fuerza del tipo pulso puede ser expresadacomo una combinacin
de 2 escalones:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.2
La respuesta total corresponder al forzamiento:
La respuesta ante cada una de ellas por separado fue calculada
anteriormente.
Luego de sumar ambas respuestas:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.2
Considerando los siguientes valores:
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.3
Una pala mecnica descarga una masa mdsobre un volquete, el cual
es modelado por un sistema de 1 GDL.
Hallar la respuesta y comparar la mxima deflexin a la deflexin
esttica.
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3.2 Respuesta ante una fuerza arbitraria:ej. 3.2.3
En este caso, la fuerza de excitacin ser del tipo escaln:
Usando la solucin obtenida anteriormente, considerando que :
Para c despreciable:
La deflexin mxima se dar para:
Resultando, el doble del caso esttico.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
Una funcin peridica es aquella que se repiteen el tiempo:
Donde T es un tiempo fijo llamado periodo.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
De acuerdo a la teora desarrollada por Fourier, cualquier funcin
peridica F(t) puede ser representada por la serie:
Donde y los coeficientes de Fourier vienen dados por:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
La serie de Fourier es relativamente simple de calcular gracias
a la propiedad de ortogonalidadde funciones trigonomtricas:
Donde m y n son nmero enteros.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
Los coeficientes de Fourier an son determinados multiplicando la
serie de Fourier por e integrando sobre el periodo.
Para hallar bn debemos hacer lo propio usando
La sumatoria ser igual a cero para todos los trminos, excepto
para uno, debido a la ortogonalidad.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.1
Considere una onda triangular de periodo T. Halle los
coeficientes de Fourier respectivos.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.1
Haciendo uso de las frmulas correspondientes:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.1
Series de Fourier correspondientes a 1 (), 2 (--) y 4 (__)
trminos.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
Por tanto, fuerzas peridicas generalizadas pueden ser
representadas por sumas de senosy cosenos.
Considerando sistemas lineales, la respuestapodr ser calculada
para cada trmino individualmente y luego adicionada.
Este procedimiento es similar al usado para resolver el problema
de excitacin de base.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
La solucin particular de:
Donde F(t) es peridica, ser dada por:
Los diversos trminos sern calculados de:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
Las soluciones particulares de cada una de las ecuaciones fueron
calculadas anteriormente:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria
La solucin particular total est dada por la suma de las
soluciones anteriores.
La solucin total ser la suma de la solucin homognea ms la
solucin particular:
Donde A y son determinadas de las condiciones iniciales.
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.2
Considere el problema de excitacin de base analizado
anteriormente.
Calcule la respuesta total para los siguientes datos:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.2
La excitacin de base requiere resolver la siguiente ecuacin:
Los coeficientes de Fourier de la fuerza de excitacin sern:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.2
La solucin total ser dada por:
Donde A y son determinadas de las condiciones iniciales.
Usando los datos podemos calcular:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.2
La magnitud de la solucin particular ser:
La solucin total ser:
Usando las condiciones iniciales:
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3.3 Respuesta ante una fuerza peridica arbitraria: ej. 3.3.2
Luego de hallar las constantes de integracin:
