Mecanica de solidos - cap2

RELACIONES ESFUERZO-DEFORMACIÓN PARA MATERIALES DE COMPORTAMIENTO ELÁSTICO

LINEAL

Introducción

• Se han estudiado los conceptos de esfuerzo y deformación, que resultan por la acción de cargas externas al actuar sobre un cuerpo deformable.

• Las relaciones entre el esfuerzo y la deformación en un punto de un cuerpo, dependen del material considerado, y para un mismo material, de la magnitud de las cargas aplicadas.

• En el caso de la mayoría de los materiales, dentro de ciertos límites de carga, puede existir un comportamiento elástico lineal, elástico no lineal o plástico.

Elasticidad

• Todo cuerpo bajo la acción de fuerzas aplicadas, se deforma y al suprimir estas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial.

• Esta propiedad se denomina elasticidad.

Elasticidad• Comportamiento elástico es aquel en que el elemento deformado

bajo la acción de cargas externas, recupera totalmente su forma y dimensiones originales al retirar las cargas, en cambio, comportamiento parcialmente elástico, se refiere al caso en que aunque se retiren las cargas externas queda una deformación permanente.

Relación Esfuerzo-Deformación

• La mayoría de los materiales estructurales exhiben un comportamiento elástico lineal en las primeras etapas de carga.

Relación entre esfuerzo y deformación. Ley generalizada de Hooke

• Robert Hooke. Es considerado uno de los científicos experimentales más importantes de la historia de la ciencia.

• En 1660, formuló lo que hoy se denomina ley de elasticidad de Hooke, que describe cómo un cuerpo elástico se estira de forma proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él.

https://es.wikipedia.org/wiki/Historia_de_la_ciencia

https://es.wikipedia.org/wiki/1660

https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_elasticidad_de_Hooke

Ley generalizada de Hooke

• “Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de esfuerzos y las componentes del estado de deformaciones”

• Donde [C] es la matriz de rigidez y esta formada por parámetros propios de cada material.

• Puede poseer de 9 a 81 componentes, lo cual va a depender si el material es isotrópico, ortotrópico, anisotrópico, etc.

]][[][ C

Ley generalizada de Hooke

• Para efectos del curso estudiaremos los materiales isotrópicos, los cuales sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección.

• Para este tipo de material solo son necesarios conocer 3 parámetros de material.

Ley de Hooke. Constantes elásticas isotrópicas

• “Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de esfuerzos y las componentes del estado de deformaciones”

• Las propiedades que regulan esta proporcionalidad dependen de las constantes físicas del material y no de las particularidades geométricas del cuerpo.


• Consideremos el siguiente paralelepípedo elemental que presenta deformaciones debido a la acción de los esfuerzos. (utilizaremos el principio de superposición)


• Deformaciones debido a σx.– Solo existen deformaciones longitudinales

– Según Hooke


• Donde E se conoce como módulo de elasticidad o modulo de Young.Según se aprecia en la figura. El alargamiento en la dirección x va acompañado por acortamientos en las direcciones y, z. Según Hooke:

Donde ν se conoce como coeficiente de poisson


• De igual forma se realiza el análisis para las direcciones y, z.

• Deformaciones debido a σy.

• Deformaciones debido a σz.


• Realizando el principio de superposición, las deformaciones debido a los esfuerzos normales serán:

• Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales con los esfuerzos normales.


• Deformaciones debido a τxy.

Donde G se conoce como Módulo de corte o de elasticidad angular.


• Análogamente para τzx y τyz.

• Resumiendo, La ley de Hooke para materiales isotrópicos es:

Obtención de constantes elásticas isotrópicas

• Módulo elástico, E

Se define el módulo elástico o módulo de Young de un material elástico lineal a la pendiente de la parte recta de la curva σ− de un estado de 𝜀esfuerzos uniaxial, donde:


• Módulo de corte, G

Se define el módulo de corte de un material elástico lineal a la pendiente de la parte recta de la curva τ−γ de un estado de esfuerzos de corte puro, donde:


• Coeficiente de poisson, νCuando un material por efecto de una tracción sufre un alargamiento, las dimensiones transversales disminuyen, de manera que existen además de la deformación axial deformaciones transversales a la carga.

La barra de longitud y diámetro iniciales 𝑙0, 𝐷0, tiene una deformación longitudinal 𝜀𝐿=Δ /𝑙 𝑙0 y además una deformación transversal 𝜀𝑇=Δ /𝐷 𝐷0. La relación de Poisson (ν) es la razón entre la deformación transversal y la deformación longitudinal precedida por signo negativo.


• Coeficiente de poisson, ν

• Relación entre las constantes elásticas.

En un material isotrópico, la relación de Poisson es independiente de la dirección transversal.

Ley de Hooke

• Con esta ultima relación, la ley de Hooke se puede escribir:

Ley de Hooke

• Para un estado de esfuerzo plano

Ley de Hooke

• Para un estado de deformación plana

Curvas Esfuerzo-Deformación

• En mecánica de sólidos es importante conocer algunas características o propiedades de los materiales tales como resistencia, rigidez, ductilidad, etc. (además de las ya conocidas). Las cuales se obtienen de las curvas o diagramas esfuerzo-deformación.

• Estos diagramas se obtienen a partir de una probeta normalizada sometida a esfuerzos crecientes hasta romperlas.

Curvas Esfuerzo-Deformación Ensayo de tracción

• El ensayo de tracción consiste en estirar de forma controlada una pequeña probeta del material con forma de barra esbelta (área y longitud inicial son conocidas), generalmente hasta su rotura.

• Al aumentar la fuerza el material comienza a alargarse.


• El resultado del ensayo es una gráfica en la que se representa en abscisas el incremento de longitud de la probeta en cada instante, y en ordenadas la fuerza aplicada en cada instante.


• Debido a que las fuerzas y alargamientos son dependientes de la geometría de la probeta, las curvas son transformadas a esfuerzos y deformaciones.

Tiene la misma forma que en el gráfico carga-alargamiento, ya que 𝐴0 y 𝑙0 son dos constantes que dividen carga y alargamiento respectivamente, para obtener esfuerzo y deformación.

El esfuerzo y la deformación definidos como σ= /A𝑃 0 y

=Δ /𝜀 𝑙 𝑙0 , se denominan esfuerzo y deformación convencionales o ingenieriles respectivamente.

Curvas Esfuerzo-Deformación • Hay que distinguir cuatro puntos. • El punto A, corresponde al límite de proporcionalidad, que es el punto hasta el cual el esfuerzo y la deformación

están en relación lineal. • El punto B o límite elástico, corresponden al punto hasta el cual la deformación se recupera totalmente al volver la

carga al valor cero. Entre los puntos A y B hay un comportamiento elástico no lineal, sin embargo, por existir en la práctica muy pequeña diferencia entre ellos, se considera como uno solo y que es el límite 0, o punto de 𝜍fluencia.

• Pasado el límite elástico, la relación entre esfuerzo y deformación deja de ser lineal. EL proceso de descarga, se produce aproximadamente a lo largo de una recta paralela a la parte lineal, quedando una deformación plástica permanente . De la deformación total , se recupera sólo una parte . 𝜀𝑃 𝜀𝑇 𝜀𝐸

• El punto C, corresponde al punto de máxima resistencia a la ruptura. Hasta ese punto la deformación ha sido uniforme a lo largo de la zona cilíndrica de la probeta. Aquí comienza una deformación localizada, iniciándose la formación de una cintura o cuello, en la cual la sección transversal disminuye rápidamente, por lo que la carga necesaria para continuar con el alargamiento disminuye, hasta el punto en que se produce la fractura o ruptura propiamente tal, punto D. La tensión máxima , es una característica propia de cada material y comúnmente se 𝜍𝑇conoce como resistencia a la ruptura.

• El punto C, también se conoce como un punto de inestabilidad en tracción o punto de estricción. A partir de ese punto el estado de esfuerzos, deja de ser uniaxial.

• En el gráfico esfuerzo-deformación, la máxima deformación alcanzada antes de la ruptura, es un índice de la propiedad de los materiales llamada ductilidad. Así, un material tiene comportamiento dúctil, si permite una gran deformación antes de que se produzca la ruptura, para las condiciones de temperatura y velocidad de deformación del ensayo.


• Consideremos la siguiente curva esfuerzo-deformación en el cual se pueden apreciar puntos o zonas importantes dentro de la grafica.


• Tramo O-LP– Tramo proporcional que cumple la ley de Hooke


• La pendiente nos permite distinguir la rigidez del material.


• Tramo LP-LE– El material se comporta elásticamente


• Tramo LE-LF– Fluencia del material, transferencia entre el

comportamiento elástico al plástico (deformación permanente)


• Tramo LF-LR-F– Grandes deformaciones con poco esfuerzo hasta

llegar a un máximo antes de romperse.

El punto máximo LR se denomina resistencia a la ruptura o esfuerzo ultimo.

Curvas Esfuerzo-Deformación • Del diagrama se observan las grandes deformaciones permanentes

antes de romperse.– “Ductilidad de un material es la capacidad que tiene para sufrir

deformaciones permanentes”

Muy Dúctil Dúctil Poco Dúctil

Frágil


• Elasticidad-Plasticidad


Curvas Esfuerzo-Deformación Ensayo de compresión

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