Problema

Un disco desbalanceado, debido a que tiene un agujero en forma de medio disco, tiene masa m,radio r, y un radio de giro respecto de un eje que pasa por el centro de masa del disco, C y esperpendicular la plano que contiene al disco. El disco rueda sin deslizar sobre un plano horizontal,como muestra la figura. Un resorte horizontal de masa despreciable, longitud indeformada b yconstante de rigidez k est conectado al centro del disco en O. El disco y el resorte estn en unplano vertical nico y la distancia es dato.

Radio de giro =

Ic

m, donde Ic es el momento de inercia del disco desbalanceado.

a) Determine la cinemtica del sistema

b) Determine la ecuaciones diferenciales del movimiento del sistema usando ecuaciones de movi-miento lineal y/o angular

c) Determine la energa cintica del sistema

d) Determine la energa potencial del sistema

e) Determinar las ecuaciones diferenciales del movimiento usando Ecuaciones de Lagrange Energa Potencial

1

1) Geometra

2) Cinemtica

Sea x lo que se ha desplazado el resorte desde su longitud indeformada b.

Punto O:

~ro = x~i+ r~j

~ro = x~i

~ro = x~i

Punto C, centro de masa del disco desbalanceado:

~rc = (x+ cos )~i+ (r + sen )~j

~rc = (x sen )~i+ cos ~j

~rc = (x cos 2 sen )~i+ ( sen 2 + cos )~j

Si consideramos que:

x = r

x = r

x = r

2

~rc = (r + cos )~i+ (r + sen )~j

~rc = (r sen )~i+ cos ~j

~rc = (r cos 2 sen )~i+ ( sen 2 + cos )~j

3) Fuerzas

~F = (f FR)~i+ (N mg)~j

donde:

FR = k(x b) = k (r b)

luego:

Fx = f k (r b)

Fy = (N mg)

4) Movimiento lineal del centro de masa

~F = m~rc

f k (r b) = m (r cos 2 sen )

N mg = m ( sen 2 + cos )

5) Moviento angular entorno al centro de masa

~c = ~Hc

Hc = Ic = m2

FR sen N cos + f (r + sen ) = m2

k (r b) sen N cos + f (r + sen ) = m2

6) Ecuacin de movimiento

3

f = k (r b) +m (r cos 2 sen )

= m (r sen ) m cos 2 k r k b)

N = mg +m ( sen 2 + cos )

= m cos m sen 2 +mg

m2 = k (r + b) sen m[ cos sen 2 + g

] cos

+[m (r + sen ) m cos 2 k r k b)

](r + sen )

m2 = k r sen + k b sen m2 cos2 +m2 cos sen 2 mg cos

mr2 2mr sen m2 sen2 mr cos 2 m2 cos sen 2

k r2 k r sen k r b k b sen

m (r2 + 2r sen + 2 + 2) +mr cos 2 + k (r + b) r +mg cos = 0

7) Energa Cintica

v2c = x2

c + y2

c

= (r sen )2 2 + ( cos )2 2

= (r2 + 2r sen + 2 sen2 + 2 cos2 ) 2

= (r2 + 2r sen + 2) 2

T =1

2mv2c +

1

2Ic

2

=1

2m (r2 + 2r sen + 2) 2 +

1

2m2 2

=1

2m (r2 + 2r sen + 2 + 2) 2

8) Energa Potencial del sistema

V =1

2k (x b)2 +mg(r + sen )

=1

2k (r b)2 +mg(r + sen )

4

9) Ecuaciones de Lagrange - Energa Potencial

Lagrangiano: L = T V

L =1

2m (r2 + 2r sen + 2 + 2) 2

1

2k (r b)2 mg (r + sen )

d

dt

(L

)

L

= 0

L

= m (r2 + 2r sen + 2 + 2)

d

dt

(L

)= m (r2 + 2r sen + 2 + 2) + 2mr cos 2

L

= mr cos 2 k (r + b) r mg cos

m (r2 + 2r sen + 2 + 2) + 2mr cos 2 mr cos 2 + k (r + b) r +mg cos = 0

m (r2 + 2r sen + 2 + 2) +mr cos 2 + k (r + b) r +mg cos = 0

5