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Mecânica dos Sólidos I
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia CivilP
rof.
Rom
el D
ias
Van
derle
i
Bibliografia:
� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.; DEWolf, J. T. Resist ência dos Materiais. Trad. Mario Moro Fecchio. 4ª ed. São Paulo : McGraw-Hill, 2006. 758p.
� Beer, F. P.; Johnston, Jr. E. R.. Resistência dos Materiais. Trad. Celso Pinto Morais Pereira. 3ª ed. São Paulo: MAKRON Books, 1995. 1255p.
� Gere, J. M.; GOODNO, B. J.. Mecânica dos Materiais. Trad. Luiz Fernando de Castro Paiva, Rev. Tec. Marco Lucio Bittencourt e Demetrio C. Zachariadis. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 858p.
� Hibbeler, R. C. Resistência dos Materiais. Trad. Arlete Simille Marques. Rev. Tec. Sebastião Simões da Cunha Jr. 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010. 637p.
� Timonshenko, S. P.; Gere, J. E. Mecânica dos Sólidos. Trad. JoséRodrigues de Carvalho. Vol. 1 e 2. Rio de Janeiro: LTC – Livros Técnicos e Científicos, 1984.
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CAPÍTULO 1:CONCEITO DE TENSÃO
Prof. Romel Dias Vanderlei
Universidade Estadual de MaringáCentro de TecnologiaDepartamento de Engenharia Civil
Curso de Engenharia CivilP
rof.
Rom
el D
ias
Van
derle
i
1.1 Introdução
� Mecânica dos Materiais Sólidos é um ramo da mecânica que estuda as relações entre “Cargas Externas” aplicadas a um corpo sólido deformável e a intensidade das “Forças Internas” que atuam dentro do corpo.
� Abrange também o cálculo da “Deformação”do corpo e do estado da sua “Estabilidade”.
3
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.1 Introdução
� Método das Seções:
�A força FR e o momento MR representam a resultante das forças elementares que se encontram distribuídas em toda a área da seção transversal analisada.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.1 Introdução
� A resistência do corpo às forças internas (FR) depende da capacidade do material resistir àintensidade das forças elementares distribuídas.
� Ou seja, a ruptura depende:� Intensidade de FR;� Área da seção transversal;� Características do material.
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Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 Tensão
� TENSÃO: é força por unidade de área.
Vetorial Grandeza
=
=
=
A
FA
FA
F
Rzxz
Ryxy
Rxx
τ
τ
σ
� A tensão que atua perpendicular ao plano da seção é chamada TENSÃO NORMAL (σσσσ) [sigma].
� A tensão que atua paralela ao plano da seção transversal échamada TENSÃO DE CISALHAMENTO (ττττ) [tau].
FRzZ
Y
X
FRy
FRx
ττττxz
σσσσx
ττττxy
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.2 Tensão
Pa Pascal m
N ou
2→⇒
=A
Fτσ
� Múltiplus do Pascal:kPa = 103Pa = 103 N/m2 [quilo]MPa = 106Pa = 106 N/m2 [mega]GPa = 109Pa = 109 N/m2 [giga]
� Unidade no sistema SI:
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Pro
f. R
omel
Dia
s V
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rlei
1.3 Tensão Normal
� Conceito de barra prismática:� Seção transversal constante;� Alongamento uniforme;� Forças internas distribuídas uniformemente na seção.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
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rlei
1.3 Tensão Normal
� Hipóteses:� As seções permanecem planas durante a deformação;� Material homogêneo;� Material isotrópico.
al transversseção da
ponto um em Tensão lim
Média Normal Tensão
0⇒
∆∆=
⇒=
→∆ A
FA
F
A
Rméd
σ
σ
� Considera-se tensão normal uniforme quando a força aplicada passa pelo centróide da seção.
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Pro
f. R
omel
Dia
s V
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1.3 Tensão Normal
� Tensão Normal de Tração (+)� Tensão Normal de Compressão (-)
Pro
f. R
omel
Dia
s V
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rlei
Exemplo
� Luminária de 80kg suportada por duas hastes AB e BC. Determine a tensão normal em cada haste, sabendo que dAB = 10mm e dBC = 8mm.
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Pro
f. R
omel
Dia
s V
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1.4 Tensão de Cisalhamento
2
FV =
(Pa) Média toCisalhamen de Tensão ⇒=A
Vmédτ
� Supõe-se que é a mesma em cada ponto na seção.� Na realidade ocorrem tensões de cisalhamento na
seção muito maiores do que as previstas pela τméd.
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
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1.4.1 Cisalhamento Simples
� Há apenas uma superfície de cisalhamento
A
F==A
Pmédτ
∑ =⇒= PFFx 0
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Pro
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1.4.2 Cisalhamento Duplo
� Há duas superfície de cisalhamento
A2
F
⋅==
A
Pmédτ
220
FPPFFx =⇒⋅=⇒=∑
Pro
f. R
omel
Dia
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1.5 Tensão de Esmagamento
A = área da superfície do semicilindroAN = valor nominal médio = t x d
t = espessura da chapad = diâmetro do conector
dt
P
⋅==
NE A
Pσ
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Pro
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1.6 Tensões em Plano Oblíquo
� As tensões são distribuídas de maneira uniforme na seção “mn”, e a orientação da seção é especificada pelo ângulo θ entre o eixo horizontal e a normal (n).
� A resultante da força “P” pode ser decomposta em duas componentes, uma força Normal (F) e uma de Cisalhamento (V) , que é tangente ao plano “mn”.
m
n
Pro
f. R
omel
Dia
s V
ande
rlei
1.6 Tensões em Plano Oblíquo
θθ
τσA
V e n ==
A
Fn
� As tensões normal e de cisalhamento na seção “mn”são obtidas por:
Aθ é a área da seção inclinada:
θ
A
θθ θ
θ coscos
AA
A
A =⇒=
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Pro
f. R
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Dia
s V
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1.6 Tensões em Plano Oblíquo
� Convenção de sinais:� Tensões normais: (+) para tração e (–) para compressão� Tensões de cisalhamento: (+) tendem a produzir uma
rotação no sentido antihorário .
θθθ
θτ
θθ
θσ
θ
θ
cos
cosAP
cos
cosA
cosP 2
⋅−=⋅−=−=
=⋅==
senA
Psen
A
V
A
P
A
F
n
n
� Logo, as tensões podem ser calculadas da seguinte forma:
Pro
f. R
omel
Dia
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1.6 Tensões em Plano Oblíquo
� Fazendo:
( )
θθθ
θθ
σ
sen22
1cos
cos212
1cos2
=⋅
+=
=
sen
A
Px
� Tensões em uma seção inclinada:
( )
θσθθστ
θσθσσ
22
cos
2cos12
cos2
sensen xxn
xxn
−=⋅−=
+==
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Pro
f. R
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Dia
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1.6.1 Tensões Máximas
� Tensão normal máxima:
xmáx σσθ =→°= 0
� Tensões de cisalhamento máxima:
°±= 45θ2
xmáx
στ =
Pro
f. R
omel
Dia
s V
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rlei
Exemplo
Uma barra de área A = 1200mm2 é comprimida por uma força axial P = 90kN.Determine: a) as tensões agindo na seção inclinada θ=25º;b) o estado de tensão total para θ=25º e mostre as tensões
em um elemento de tensão.
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Pro
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omel
Dia
s V
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rlei
1.7 Tensão Admissível
� Os materiais que constituem a estrutura são caracterizados através de ensaios de laboratório pela carga necessária para causar ruptura.
� Teste de Tração:
Esboço no quadro
� Resistência última ou de ruptura do material:
i
uu A
P=σ Pu = carga últimaAi = área inicial
Pro
f. R
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Dia
s V
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1.7 Tensão Admissível
� Para o dimensionamento,estabelece-se um nível de tensão abaixo da nível de ruptura, designado por tensão admissível:
) ou ( e ) ou ( ττσσ admadm
� Coeficiente de Segurança (C.S.):
=
=→=
..
.. ..
SC
SCSCu
adm
uadm
adm
u
ττ
σσ
σσ
� A segurança é garantida pelas inequações:
admmáx
admmáx
ττσσ
≤≤
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Pro
f. R
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Dia
s V
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rlei
Exemplo
Dimensionar a seção transversal de uma barra supondo seção quadrada e os seguintes dados:
2C.S. 420MPa; ;500 === ukNP σ
Esboço no quadro
Pro
f. R
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Dia
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Exemplo
Sabendo-se que o rebite é feito de aço com τadm = 32MPa, determine o diâmetro dos rebites para F = 200kN.