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MECÂNICA ESTRUTURAL Prof. António Ressano Garcia Lamas
1. Estática das partículas e dos corpos rígidos
1.0 Noções gerais
O conceito de deformação de um corpo está associado à variação das
posições relativas dos seus pontos geralmente provocada por acções
exteriores. No mundo da construção e respectivas estruturas, todos os
corpos são mais ou menos deformáveis e têm dimensões finitas.
Considerar pois, neste âmbito, corpos rígidos1 é uma “abstracção”,
simplesmente útil para o aproveitamento dos princípios da Estática2. Maior
“abstracção” ainda é o considerar corpos sem dimensões – partículas –
assemelháveis a pontos, para os quais não tem sentido o conceito de
deformação. Porém, o estudo destes corpos é útil para as primeiras
abordagens dos corpos reais.
As acções exteriores sobre um corpo que nos interessa considerar são de
dois tipos:
1 Corpos constituídos por conjuntos de partículas que mantêm fixas as posições e distâncias relativas, isto é, não deformáveis. 2 Parte da Mecânica dos corpos rígidos que estuda os corpos em repouso sob acção de forças. A Dinâmica estuda-os em movimento e a Resistência de Materiais estuda os corpos deformáveis, isto é, aqueles em que, sob a acção de forças, as posições e distâncias relativas entre partículas se alteram. O âmbito é o da Mecânica Newtoniana em que, num referencial sem aceleração são válidas as seguintes leis (Isaac Newton, Inglaterra 1642-1727):
1ª Lei – Se a força ou a resultante das forças que actuam sobre um corpo é nula, ele permanecerá em repouso (se estava em repouso) ou manter-se-á com velocidade constante movendo-se em linha recta (se estava originalmente em movimento). 2ª Lei – Se a força não é nula produz aceleração do corpo
F→
= ma→
(m - massa; a→
– aceleração). 3ª Lei – Princípio da acção e reacção entre corpos em contacto. Esta lei tem a maior importância na Estática. Estabelece que se um corpo age sobre outro com uma determinada força, é reciprocamente actuado por ele com uma força simétrica.
• Produzidas no contacto com outro corpo e distribuídas na superfície de contacto (exemplo: a pressão hidrostática na superfície de um corpo mergulhado num fluído ou a pressão que se gera na superfície sobre a qual um corpo se apoia);
acções exteriores distribuídas em parte da superfície exterior do corpo
• Distribuídas no volume do corpo e designadas também por forças de massa (exemplo: a acção da gravidade e as forças de inércia).
No primeiro caso, a cada elemento ∆S da superfície que envolve um ponto
genérico P está associada uma força elementar ∆F→. Define-se tensão no
ponto P da superfície (por vezes também designada por densidade da
distribuição superficial da força) ao limite3:
σ→(P) = lim ∆F
→/∆S
∆S → 0
Do mesmo modo, pensando na força elementar ∆G→ associada a um volume
elementar ∆V centrado no ponto P, define-se
densidade da distribuição volumétrica das
forças de massa ao limite4:
3 ∆S tem dimensão de área (L
2)
σ→
(P) tem dimensão (FL-2
), isto é, de força por unidade de superfície, e é uma grandeza vectorial.
4 ∆V tem a dimensão de volume (L
3)
X→
(P) tem a dimensão de força por unidade de volume (FL-3
) e é uma grandeza vectorial.
X→
(P) = lim ∆G→
/∆V ∆V → 0
Se se tratar da força gravítica, a "soma" das forças de massa5 associadas a
todos os elementos de volume ∆V, isto é, o integral de X→
(P) estendido ao
volume do corpo, é o peso do corpo:
P→
= ∫v
X→
(P) dV
Quando, numa parte muito pequena da superfície do corpo, se exerce uma
força distribuída associada a uma tensão muito elevada, a sua resultante
pode ser assimilada, para quase todos os efeitos, a uma força
"concentrada" num ponto central da superfície carregada, tratada como um
vector força caracterizado por ponto de aplicação, direcção, sentido e
intensidade. As forças "concentradas”, não existem, portanto, na
natureza. Os vectores força podem também representar resultantes de
forças distribuídas em superfície ou volume, com interesse para o estudo
das questões de equilíbrio dos corpos como adiante se verá.
No âmbito das estruturas, é muitas vezes útil considerar também forças
distribuídas em linha (dimensão FL-1). Estas forças podem ser pensadas,
por exemplo, como originadas por forças distribuídas numa superfície
alongada de que a linha seja o eixo médio. Se, para cada pequeno troço de
linha (∆l) associado a um ponto P, calcularmos a resultante ∆F→ das forças
distribuídas no elemento de superfície definido pelo troço (ver figura), a
densidade da distribuição linear das forças é, do mesmo modo, dada
por:
5 A força de massa associada ao volume ∆V é: X
→(P)∆V
p→ (P) = lim ∆F
→/∆l
∆l →0
1.2 Forças no plano. Equilíbrio da partícula no plano
As forças aplicáveis a uma partícula só podem ser do "tipo vector". Recorde-
se que dois vectores se podem somar pela “regra do paralelogramo” (a)
ou pela “regra do triângulo” (b), a qual se pode estender à soma de
várias forças pela “regra do polígono de Varignon” (c):
(a) ( b )
(c)
Recorde-se ainda que a operação de cálculo da componente de uma força,
uma vez conhecida a força e a outra componente, é a operação inversa da
soma (ou seja a subtracção vectorial).
A decomposição de uma força em componentes segundo duas direcções
dadas é uma aplicação com interesse:
(a) Operação de subtracção de forças Q→
= F→ - P
→ (b) Operação de
decomposição de F→ em duas direcções (as de P
→ e Q
→)
(a) (b)
Quando as direcções em causa são perpendiculares entre si, como no caso
das direcções dos eixos coordenados (OX e OY) as componentes vectoriais
da força F→ segundo os eixos designam-se por FX
→ e FX
→ :
Tomando os versores dessas direcções6,
e1→
e e2→
e designando FX e FY as componentes escalares de F→ , pode escrever-se:
F→ = FX
→ + FY
→ = FX e1
→
+ FY e2→
E sendo θ o ângulo que a direcção de F→ faz com o eixo OX as componentes
escalares são expressas por:
6 Designa-se por versor de uma direcção, um vector com essa direcção e intensidade unitária (módulo = 1)
FX= F cos θ e FY= F sen θ (válidas para 0° ≤ θ ≤ 360°)
em que F é a intensidade (ou módulo) de F→ .
Destas expressões decorre que a soma de várias forças se pode efectuar
somando as componentes segundo OX e OY de cada uma delas:
Sendo R→
= P→ + Q
→ + S
→ então
RX = PX+QX+SX e RY = PY+QY+SY
O equilíbrio de uma partícula traduz-se na resultante de todas as forças que
nela actuam ser nula (pela 1ª Lei de Newton corresponde à partícula se
manter em repouso se estava em repouso). Graficamente, esta condição
exprime-se pelo fecho do polígono de Varignon e, analiticamente,
decompondo as várias forças segundo eixos coordenados por:
Σ FX= 0 e Σ FY= 0
1.3 Diagrama de corpo livre
Uma utilidade desta conclusão no estudo de estruturas, consiste em
analisar o equilíbrio de algumas partículas da estrutura devidamente
escolhidas, esquematizando, em diagrama as forças que as actuam
(diagrama de corpo livre de cada partícula).
Se a estrutura está em equilíbrio cada uma das suas partículas também
está e isso implica que a soma das forças (concorrentes) que a actuam seja
nula. Se a intensidade de alguma dessas forças é desconhecida, o seu valor
pode obter-se impondo essa condição.
Exemplo: Para o cálculo dos esforços FAC e FBC
nas barras AC e BC da estrutura representada na
figura, basta considerar o nó C, actuado pelas
forças que as barras lhe “transmitem” e pela força
directamente aplicada P→
.
Esta é a base do "Método dos Nós" para
determinar as forças que tracçionam ou
comprimem as barras de estruturas articuladas.
1.4 Forças no espaço. Equilíbrio da partícula no
espaço
Sendo e1→
, e2→
e e3→
os versores das direcções dos eixos, OX, OY e OZ,
tem-se agora:
F→
= FX e1→
+ FY e2→
+ FZ e3→
Conhecida a intensidade da força (F) as componentes escalares exprimem-
se nas componentes do versor da direcção da força, que são os seus
cosenos directores7 pelas seguintes expressões:
FX = F cos θX FY = F cos θY FZ = F cos θZ;
E, entre elas e a intensidade da força, existe a relação decorrente do
teorema de Pitágoras:
F = FX2 + FY2 + FZ
2
e, do mesmo modo, os cosenos directores, relacionam-se através de:
7 São os cosenos dos ângulos que a direcção faz com os eixos coordenados. No plano falou-se simplesmente no coseno e no seno do ângulo da direcção da força com uma das direcções coordenadas
1 = cos2 θX + cos2 θY + cos2 θZ
e com as componentes da força:
cosθX/FX = cosθY/FY = cosθZ/FZ = 1/F
No espaço, a adição de forças concorrentes goza das mesmas propriedades
que no plano, sendo válidas todas as expressões anteriores,
nomeadamente:
R→
= Σ Fi→
ou RX= Σ FiX ; RY= Σ FiY ; RZ= Σ FiZ
As conclusões relativas ao equilíbrio da partícula conduzem agora também
à resultante das forças concorrentes que a actuam ser nula ou a três
equações escalares:
RX = RY = RZ = 0
Exemplo: Os cosenos directores da direcção que faz ângulos iguais com os
três eixos têm o valor 33
.
Exemplo: Uma força de intensidade F e direcção definida pelos pontos
P1(x1,y1,z1) e P2(x2,y2,z2), tem componentes FX , FY e FZ calculáveis
pensando que:
P1P2
→ = ∆X e1
→ + ∆Y e2
→ + ∆Z e3
→ em que
∆X = x2 - x1 ∆Y = y2 - y1 ∆Z = z2 - z1
A distância entre os dois pontos é dada por:
d = ∆X2 + ∆Y 2 + ∆Z 2
e, portanto,
Fx/∆X = Fy/∆Y = Fz/∆Z = F/d
1.5 Corpos rígidos. Noção de forças exteriores e
interiores.
Como se viu, as forças exteriores com que se lida no âmbito das estruturas
podem ser distribuídas na superfície dos corpos ou no seu volume,
admitindo-se, muitas vezes, no entanto, por conveniência, que são do tipo
forças “concentradas” e representadas por vectores.
Pelo princípio da transmissibilidade, as condições de equilíbrio ou
movimento de um corpo rígido não se alteram se uma força actuante
sobre ele for substituída por outra de igual intensidade e com a mesma
linha de acção (forças equivalentes) e pode estudar-se as forças como
vectores deslizantes8.
Entre as partes do corpo também se podem gerar acções que as mantém
unidas: são as forças interiores.
Para “visualizar” estas forças imagine-se o corpo cortado por uma superfície
em duas partes. As forças distribuídas que temos que considerar actuando
numa das partes, na superfície de corte, para reproduzir as condições em
que ela estava anteriormente inserida no corpo, são forças interiores.
Pelo "Princípio da Acção e Reacção" (ver nota de rodapé 2) na superfície de
corte da outra parte actuarão forças distribuídas simétricas destas.
Forças interiores representando a acçãoda parte direita sobrea esquerda
8 Isto não é válido para os corpos deformáveis.
1.6 Momento de uma força (vector) em relação a um
ponto O
Por definição, esta grandeza vectorial é dada pelo produto externo9 de r→
por F→
: MO→
= r→ X F
→
9 Revisão de propriedades do produto externo de dois vectores P
→ e Q
→ : V
→ = P
→ X Q
→
| V→
| = | P→
| | Q→
| senθ
•O produto externo de dois vectores paralelos é nulo. •O produto externo não é comutativo porque
P→
X Q→
= - Q→
X P→
•Goza da propriedade distributiva em relação à adição:
P→
X (Q1→
+ Q2→
) = P→
X Q1→
+ P→
X Q2→
•A propriedade associativa não se aplica, sendo, em geral,
(P→
X Q→
) X S→
≠ P→
X (Q→
X S→
)
•As componentes do vector V→
exprimem-se nas componentes de P→
e Q→
do seguinte modo: V× = PyQz - Pz Qy Vy = PzQx - PxQz Vz = PxQy - Py Qx
expressões que podem ser “memorizáveis” como desenvolvimento do determinante
V→
= e1
→ e2
→ e3
→
PX PY PZ QX QY QZ
•O módulo do produto externo mede a área do paralelogramo definido pelos dois vectores à escala das suas intensidades.
em que o vector r→ é o vector OA
→ (na figura), sendo A o ponto de aplicação
da força ou, como se verá adiante, qualquer ponto da sua linha de acção.
Representam-se os vectores momento por setas com duas pontas.
MO→
é, assim, um vector perpendicular ao plano definido por r→ e F
→ cujo
sentido é tal que r→ , F
→ e MO
→ , formam um “triedro directo”.
A direcção de MO→
representa o eixo em torno do qual o corpo "tenderia" a
girar sob acção da força F→
se O fosse fixo.
No plano de r→ e F
→ os sentidos positivo e negativo de MO
→ (rotação) são:
Recorde-se também a chamada “regra do saca-rolhas”10.
Pela definição de produto externo:
MO→
= r→ .F
→ senθ (dimensão FL)
e, como r→ senθ = d, então11:
MO→
= F→
. d
donde, o momento poderia ter sido calculado tomando, em vez de
r→ = OA
→
10 Segundo a qual, o sentido do vector momento é o da progressão do "saca-rolhas" rodando segundo a "tendência" produzida pela força.
qualquer vector que una O a um ponto da linha de acção de F→
, como acima
referido.
Isto serve para redefinir forças equivalentes (que se disse serem, para
corpos rígidos, forças iguais e com a mesma linha de acção): são forças
iguais e com o mesmo momento em relação a um ponto.
1.6.1 Teorema de Varignon12
O momento em relação a um ponto O da resultante de um sistema de
forças (vectores) concorrentes é igual à soma dos momentos das várias
forças em relação ao mesmo ponto:
r→ X (F1
→ + F2
→ + F3
→ + ...) = r
→ X F1
→ + r
→ X F2
→ + r
→ X F3
→ + ...
1.6.2. Componentes do momento
Pelo Teorema de Varignon:
MO→
= r→ X F
→ = (r
→ X FX
→ ) + ( r
→ X FY
→ ) + (r
→ X FZ
→ )
Mas, sendo r→ o vector de posição do ponto A, de coordenadas (x, y, z),
isto é:
r→ = x e1
→ + y e2
→ + z e2
→
então:
MO→
= (y FZ – z FY) e1→
+ (z FX – x FZ) e2→
+ (x FY – y FX) e3→
MO→
= e1→
e2→
e3→
x y z
FX FY FZ
11 Que é a distância da linha de acção de F→
ao ponto O 12 Matemático francês (1654-1722)
sinal positivo se a projecção tem o sentido de OL
1.6.3. Determinação da linha de acção de uma força a
partir do seu momento em relação a um ponto O
(divisão vectorial)
Conhecido MO→
e a força F→
e sabendo que MO→
= r→ X F
→ o problema resume-
se a determinar r→ = OA
→ em que A é um ponto da linha de acção de F
→.
Como MO→
é perpendicular ao plano definido por O e F→
, o vector OA'→
,
perpendicular a MO→
e F→
, tem a direcção do produto externo
F→
X MO→
e módulo igual à distância de O á linha de acção de F→
, ou seja:
OA'→
= (F→
X MO→
)Error! Bookmark not defined./(F→
.MO→
) d
Mas como d = MO→
/F→
então,
OA'→
= (F→
× MO→
)/F→
2
A posição de A (solução) é, assim, definida por:
OA→
= OA'→
+ A'A→
= OA'→
+ γF→
, sendo γ um escalar.
1.7. Momento de uma força (vector) em relação a um
eixo
Sendo MO→
o momento de F→
em relação a um ponto O e OL um eixo que
passa por O e pelo ponto L, o momento de F→
em relação ao eixo OL é a
projecção de MO→
sobre o eixo, e representa-se por MOL.
É um escalar com o e com
valor absoluto dado pelo
comprimento do segmento OC:
MOL= λ→
. MO→
= λ→. (r
→ X F
→)
MOL é, portanto, dado por um produto misto em que λ→
é um vector
unitário do eixo OL orientado no seu sentido positivo13.
MOL pode ser, portanto, calculado sob a forma do determinante:
λX λY λZ
x y z
FX FY FZ
MOL =
Se F→
for decomposta numa força F1→
paralela ao eixo OL e em outra, F2→
situada num plano perpendicular a OL, e se se decompuser do mesmo
modo o vector r→ em r1
→ e r2
→ , o momento de F
→ em relação ao eixo OL é
dado por:
MOL = λ→
. [(r1→
+ r2→
) X (F1→
+ F2→
)] = λ→
. (r1→
X F1→
) + λ→
. (r1→
X F2→
) +
+ λ→
. (r2→
X F1→
) + λ→
. (r2→
X F2→
)
Como nesta expressão todos os produtos mistos14, excepto o último,
envolvem vectores complanares, são nulos, então:
13 O mesmo que versor da direcção do eixo. 14 Revisão de propriedades do produto interno ou escalar de dois vectores P
→ e Q
→
P→
. Q→
= |P→
| |Q→
| cosθ O produto interno goza das propriedades :
•Propriedade comutativa: P→
. Q→
= Q→
. P→
•Propriedade distributiva em relação à adição: P→
. (Q1→
+ Q2→
) = P→
. Q1→
+ P→
. Q2→
Utilizações:
P→
. P→
= |P→
|2= PX
2 + PY
2 + PZ
2
cos θ = (P→
. Q→
)/ |P→
| |Q→
| •A projecção de um vector sobre um eixo (ou direcção) OL é dada por:
POL= |P→
| cos θ ou POL = P→
. λ→
MOL = λ→
. (r2→
× F2→
)
Esta expressão não envolve r1→
, o que mostra que é independente do ponto
O utilizado na definição original de MOL e também não envolve F1→
o que
significa que só a componente F2→
, que “tende” a fazer o corpo a rodar em
em que λ
→ é um vector unitário do eixo.
A projecção é positiva se OC tiver o mesmo sentido de λ→
• Significado do produto misto de três vectores: S→
. (P→
× Q→
)
Como o módulo de P→
× Q→
mede a área do paralelogramo definido por P→
e Q→
, o produto
interno S→
. (P→
× Q→
) é igual à projecção de S→
na direcção perpendicular ao plano de P→
e Q→
multiplicada pela área desse paralelogramo, isto é, o produto misto mede o volume (com
sinal positivo se S→
, P→
e Q→
formam um triedo directo) do paralelepípedo definido pelos três vectores, e pode ser calculado desenvolvendo o determinante
SX SY SZ
PX PY PZ
QX QY QZ
torno do eixo, contribui para o momento. O momento mede essa
“tendência”.
Assim, o momento de uma força em relação a um eixo coordenado (por
exemplo OX) é, por definição, dado por:
MOX = e1→
. (r→ X F
→ ) = e1
→ . [(rY
→ + rZ
→ ) X (FY
→ + FZ
→ )] =
e1→
. (rY→
X FZ→
+ rZ→
X FY→
) = y FZ – z FY
Podendo-se concluir que o momento da força em relação a OX é igual à
componente segundo OX do momento (MO→
) da força em relação à origem
O, de onde a ideia de que, se as componentes de F→
medem a “tendência”
para deslocar (ou transladar) o corpo nas direcções dos eixos, as
componentes de MO→
medem a “tendência” para rodar o corpo em torno
desses mesmos eixos.
1.8. Conjugado (ou binário)
Um conjugado é um sistema de forças constituído por duas forças iguais e
de sentidos contrários, isto é, por um par de forças F→
e –F→
com linhas de
acção paralelas. A resultante15 do sistema é nula mas a soma dos
momento das forças em relação a um ponto qualquer não é nula. Pode
assim dizer-se que o sistema tende somente a imprimir rotação ao corpo.
1.8.1 Momento de um conjugado
Somando os momentos de F→
e –F→
em relação a um ponto O obtém-se:
rA→
X F→
+ rB→
X (-F→
) = (rA→
– rB→
) X F→
= r→ X F
→
Logo, o momento das forças é igual a MO→
= r→ X F
→ com MO
→ = Fd
isto é, trata-se de um vector independente do ponto O.
15 No contexto de vectores, a resultante designa-se também por vector principal.
O momento do conjugado (também designado por vector conjugado) é,
assim, um vector independente do ponto em relação ao qual se calcula.
É um exemplo de vector livre.
MO→
é um vector perpendicular ao plano definido por F→
e – F→
dirigido de
“baixo para cima” no exemplo representado na figura.
Dois conjugados que tenham o mesmo momento são equivalentes (pode-
se provar que se podem obter um do outro através de operações simples
sobre as forças que os constituem baseadas na regra do paralelogramo
e/ou no princípio da transmissibilidade).
Conjugados equivalentes estão no mesmo plano ou em planos paralelos.
O momento caracteriza-os sem ser necessário definir as forças que os
formam para conhecer o seu efeito sobre um corpo.
Os vectores momento ou vectores conjugado podem adicionar-se e
decompor-se segundo os eixos coordenados como qualquer vector.
1.9. Substituição de uma força dada por uma força
aplicada noutro ponto e por um momento
Seja F→
uma força aplicada a um corpo
rígido em A e r→ o vector OA
→. Se se
adicionarem, em O duas forças iguais e
simétricas ( F→
e –F→
) a “situação” do corpo
não se altera.
Observando que F→
aplicada em A e –F→
aplicada em O, formam um
conjugado que se pode substituir pelo seu momento (MO→
= r→ × F
→), pode
dizer-se que o sistema força/momento (F→
aplicada em O e MO→
) por
conveniência, também aplicado em O16) substitui a acção de F→
em A.
Se se pretendesse “deslocar” F→
de A para O' (em vez de O), ter-se-ia:
MO'→
= O'A→
X F→
= (r→ + O'O
→ ) × F
→ = r
→ X F
→ + O'O
→ X F
→
isto é:
MO'→
= MO→
+ O'O→
X F→
expressão que permite calcular o momento de uma força em relação a um
ponto O' conhecido o seu momento em relação a outro ponto O e que
traduz a chamada Lei de propagação de momentos.
Nota: Os sistemas ou pares força/momento obtidos para os pontos O e O′
são constituídos por vectores perpendiculares (MO→
⊥ F→
e MO'→
⊥ F→
) por
“provirem”, ou substituírem, uma mesma força aplicada em A. Conhecido
qualquer destes pares, é possível determinar a linha de acção (posição) da
força original através da operação de divisão vectorial, que é a inversa da
substituição de F→
por esse par força/momento. Isto significa que um
sistema força/momento perpendicular entre si é substituível por, ou
equivalente, a essa força com outra linha de acção (passando por A).
1.9.1 Elementos de redução de um sistema de forças
Seja dado um sistema de forças F1→
, F2→
, F3→
, etc. que actuam um corpo rígido
respectivamente nos pontos A1, A2, A3, etc. Escolhido um ponto O, cada
uma das forças pode ser substituída por uma força igual aplicada nesse
ponto e por um momento. As forças que agora substituem o sistema no
ponto O são concorrentes e substituíveis pela sua resultante (R→
= Σ Fi→
), e
os vectores momento também se podem adicionar e substituir por um único
vector momento designado por momento resultante (M→
OR = Σ MOi
→).
Assim, qualquer sistema de forças pode ser substituído num dado ponto (ou
reduzido a esse ponto) por um sistema força/momento.
Nota: R→
e M→
OR não são, em princípio, vectores perpendiculares entre si
como o par resultante da substituição de uma única força.
Exemplo: O sistema de três forças dispostas segundo as arestas de um
cubo como representado na figura, pode reduzir-se, no ponto A a uma força
igual a R→
= Σ Fi→
= F2→
e a um momento,
16 Como vector livre que é.
M→
AR = Σ M
→
AiR = a F1
→e1
→ - aF3
→e2
→
1.10 Campo de momentos
Conhecidos os elementos de redução do sistema em relação a um ponto O é
possível obter os elementos de redução em relação a outro ponto O'
“propagando” a O' o sistema (R→
, MO→
) obtendo:
Desta aplicação
que um sistem
espaço) um cam
17 Agora Lei de pr
18 Propriedades do
a) Se dois sistema
M→
OR ), então têm
propriedade permi b) O lugar geomé
paralela à resultan
e, pela lei de prop
c) A projecção dodemonstra-se mu
propagação de m
O' {R
→ e MO'
→ = MO
→ + O'O
→ × R
→
da Lei de propagação de momentos17 pode concluir-se
a de forças permite definir nos vários pontos do corpo (ou do
po vectorial – o campo de momentos resultantes18.
opagação dos momentos resultantes.
campo de momentos resultantes:
s de forças tiverem os mesmos elementos de redução num ponto O (R→
e
os mesmos elementos de redução em todos os pontos do espaço. Esta
te definir sistemas de forças equivalentes como se verá à frente.
trico dos pontos em que o momento resultante é constante é uma recta
te (se R→
≠ 0→
). Isto porque se O'O→
é // a R→
então
O'O→
X R→
= 0→
agação de momentos,
M→
O'R = M
→ OR
momento resultante sobre a direcção da resultante é constante. Isto ltiplicando internamente ambos os membros da expressão da lei de
omentos resultantes por R→
:
M→
O'R . R
→ = M
→ OR . R
→ + O'O
→ X R
→ . R
→
Os campos de momentos resultantes são campos projectivos, isto é,
gozam da propriedade projectiva e suas consequências19.
A segunda parcela é nula por ser um produto misto em que dois vectores são iguais, logo
M→
O'R . R
→ = M
→ OR . R
→
Se se dividirem ambos os membros desta igualdade pelo módulo de R→
obtem-se:
M→
O'R . λR
→ = M
→ OR . λR
→
em que o vector λR→
é o versor da direcção de R→
.
d) Da propriedade anterior conclui-se que um sistema de forças tem dois invariantes (características que não dependem do ponto considerado para a redução):
1º invariante (vectorial): a resultante R→
2º invariante (escalar, também designado por auto-momento):
M→
OR . R
→
e) Propriedade Projectiva: Dado dois pontos O’ e O quaisquer, as projecções dos momentos resultantes nesses pontos sobre a recta que os une são iguais. Isto demonstra-se
multiplicando internamente a lei de propagação de momentos resultantes que relaciona M→
O'R
com M→
OR por O'O
→ :
M→
O'R . O'O
→ = M
→ OR . O'O
→ + O'O
→ × R
→ . O'O
→ ) = M
→ OR . O'O
→
e, dividindo-se depois ambos os membros pelo módulo de O'O→
tem-se:
M→
O'R . λO'O
→ = MO
→ . λO'O
→ em que λO'O
→ é o versor de O'O
→
19 Os campos projectivos são campos vectoriais que gozam da propriedade projectiva definida na nota 17 e). Por sua vez, da propriedade projectiva decorrem outras: a) A soma ou diferença de dois campos projectivos (campo que, em cada ponto, é igual à soma ou diferença dos dois campos) é também um campo projectivo. b) Se o campo projectivo se anula num ponto então, em qualquer outro ponto ou é nulo ou perpendicular à recta que une os dois pontos (isto para que a projecção sobre a recta seja nula). c) Se o campo projectivo se anula em dois pontos, então, em qualquer outro ponto ou é também nulo, ou é perpendicular ao plano definido pelos três pontos. d) Se o campo projectivo toma valores iguais em três pontos não colineares, então o campo é uniforme, isto é, toma valores iguais em todos os pontos. Isto demonstra-se tomando um ponto fora do plano definido pelos três pontos (nesse plano ainda seria mais fácil de demonstrar). Nesse ponto e nas três direcções que o unem aos três pontos do plano, e que
1.11 Sistemas de forças equivalentes
Da definição dos elementos de redução de um sistema de forças num ponto
e das propriedades do campo de momentos resultantes, pode-se dizer que
dois sistemas de forças são equivalentes (ou seja, produzem o mesmo
efeito sobre um corpo rígido) se podem ser reduzidos num dado ponto ao
mesmo sistema força-momento, isto é, se, em relação a um mesmo ponto,
têm os mesmos elementos de redução.
1.12 Eixo central
A projecção de M→
OR
sobre a direcção de R→
(R→
≠ 0→
é, como se viu, um
invariante do campo de momentos. Tem interesse procurar os pontos em
que esta projecção se faz em “verdadeira grandeza” (igual ao módulo do
momento resultante), isto é, os pontos em que o momento resultante é
paralelo à direcção de R→
.
Se isto ocorrer num ponto ocorre em todos os pontos da recta paralela a R→
passando por esse ponto. Esta recta designa-se por eixo central do
sistema.
Esse eixo é o lugar geométrico dos pontos em que o campo de
momentos resultantes é mínimo. De facto, se Q for um ponto desse eixo
e P um ponto qualquer fora do eixo, pela lei de propagação de momentos
tem-se:
M→
PR = M
→QR + PQ
→ × R
→
são, por definição não complanares, o campo tem de ter projecções iguais às que nos três pontos tem nessas direcções. Isso só é possível se o campo for igual nos quatro pontos. e) Conhecido o valor do campo em três pontos não colineares pode conhecer-se o valor do campo em qualquer ponto. Para a demonstração desta afirmação bastaria aplicar três vezes a propriedade projectiva sobre as direcções que unem o ponto onde se quer determinar o
O momento resultante em P é, assim, soma de dois vectores (o momento
num ponto do eixo central que, por definição, é paralelo a R→
e um vector
perpendicular a R→
), pelo que o campo em P tem módulo de valor superior
ao módulo do campo de momentos no eixo.
Conhecidos os elementos de redução do sistema (R→
e M→
O'R ) num ponto O′
(de coordenadas conhecidas) é possível provar a existência do eixo central
e determinar a sua posição (por exemplo, um ponto Q do eixo).
Pela lei de propagação de momentos
M→
QR = M
→
O'R + QO'
→ X R
→
mas, como o momento no eixo central é paralelo a R→
, ou seja
representável por αR→
(α ∈ |R) tem-se:
αR→
= M→
O'R + QO'
→ X R
→ ou (αR
→ – M
→
O'R ) = QO'
→ X R
→
A determinação de QO'→
que define Q em relação a O' pode obter-se
dividindo vectorialmente20 o vector (αR→
–M→
O'R ) por R
→ .
Por analogia com a expressão deduzida para a divisão vectorial tratada em
1.6.3 pode ver-se que a divisão vectorial em causa tem por quociente:
QO'→
= [R→
X (αR→
- M→
O'R )] / R
→ |2 + γR
→ = - (R
→ X M
→
O'R )/R
→ |2 + γR
→
campo aos três outros. Destas aplicações resultam três equações escalares cujas incógnitas são as componentes do campo procurado nessas direcções. 20 A divisão vectorial já referida em 1.6.3 só é possível se os vectores dividendo e divisor forem perpendiculares, condição que fornece simultaneamente o valor de α, isto é, como
(αR→
– M→
O'R ) . R
→ = 0 conclui-se que α|R
→ |2 = M
→ O'R .R
→
ou seja, α = (M→
O'R . R
→ )/ |R
→ |2 e, portanto,
M→
QR = [( M
→ O'R .R
→ )/ |R
→ |2] R
→
ou ainda, M→
QR = [( M
→ O'R .R
→ )/ |R
→ |].(R
→ /|R
→ |) e, como (R
→ /|R
→ |) é o versor (λR
→ ) de R
→ ,
esta expressão indica que a intensidade (módulo) do campo no eixo central tem o valor:
(M→
O'R .R
→ )/ |R
→ |
ou, O'Q→
= (R→
X M→
O'R )/|R
→ |2 + γ R→ (γ ∈ |R)
O valor do momento no eixo central pode, portanto, calcular-se a partir da
expressão
M→
QR = [(MO'
→ . R
→ ) / |R
→ |2] R
→
que indica que a intensidade do campo no eixo central tem, como seria de
esperar, o valor
(MO'→
.R→
)/|R→
|
Se as coordenadas de O' em relação a um sistema
de eixos centrados em O forem (X0', Y0', Z0'), as
coordenadas de Q (XQ , YQ, , ZQ) – ponto genérico
do eixo central – podem calcular-se a partir das
coordenadas do seu vector de posição
OQ→
= OO'→
+O'Q→
isto, é, pelas seguintes expressões:
XQ= XO' + 1R
2 (RYMO' ZR - RZMO' Y
R )+γRX
YQ= YO' + 1R
2 (RZMO' XR - RXMO' Z
R )+γRY
ZQ= ZO' + 1R
2 (RXMO' YR - RYMO' X
R )+γRZ (γ ∈ |R)
visto que R→
X M→
O'R = e1
→ e2
→ e3
→
RX RY RZ
MO' XR MO' Y
R MO' ZR
Se por exemplo, se pretender determinar a intersecção do eixo central com
o plano XOY, basta determinar o valor de γ que anule ZQ e substituí-lo nas
expressões de XQ e YQ .
1.12.1 Significado geométrico do eixo central
No eixo central, o campo de momentos resultantes tem a intensidade
mínima e a mesma direcção de R→
. Noutro ponto qualquer P, pode obter-se
o valor do campo pensando no plano perpendicular ao eixo e que passa por
P.
Seja Q o ponto de intersecção do eixo com esse plano (|PQ| mede a
distância de P ao eixo).
Pela lei de propagação de momentos:
M→
PR = M
→
QR + PQ
→X R
→
PQ→
X R→
é um vector de plano perpendicular a R→
(e, portanto, perpendicular a
PQ→
), pelo que, em P, o momento é soma do momento no eixo central e de
um vector perpendicular cujo módulo (|PQ→
||R→
|) cresce com a distância do
ponto ao eixo central. O ângulo que o vector momento resultante faz com o
eixo central (θ) vai assim crescendo com essa distância.
1.13 Casos de redução de um sistema de forças –
condição de equilíbrio
Determinados os elementos de redução num ponto O (R→
e M→
OR), o estudo
dos casos de redução baseia-se no estudo dos invariantes, calculados a
partir desses elementos (R→
e M→
OR . R
→ ).
Quando o segundo invariante não é nulo (M→
OR . R
→ ≠ 0) – caso geral - é
porque o primeiro invariante também não é nulo. Pense-se, então, no plano
perpendicular a M→
OR e substitua-se este momento por um conjugado (um
par de forças F→
e –F→
nesse plano) situadas à distância d tal que
|M→
OR| = d |F
→ | e em que uma das forças passe por O.
Somando R→
a F→
obtém-se uma força F'→
fora
do plano a qual, juntamente com –F→
forma
um sistema equivalente ao original. É por isso
que se costuma dizer que, no caso geral, um
sistema de forças é equivalente a duas
forças não complanares.
Quando o segundo invariante é nulo (M→
OR . R
→ = 0
→ ) ou o primeiro invariante
é não nulo, isto é, R→
≠ 0→
, ou é também nulo. No primeiro caso (R→
≠ 0→
), o
momento é nulo no eixo central e perpendicular a R→
fora do eixo (é só
igual à componente PQ→
× R→
acima referida). Diz-se que o sistema é
equivalente a vector único (R→
) cuja linha de acção é o eixo central.
Se R→
for também nulo (R→
= 0→
) o campo é uniforme pois pela lei de
propagação de momentos:
M→
PR = M
→
OR + PO
→ × R
→ = M
→
OR
E o sistema é, portanto, equivalente a um momento ou um conjugado
(par de forças iguais mas de sentido contrário), ou seja, é equivalente a um
vector livre.
Se M→
OR também for nulo (R
→ = 0
→ e M
→
OR = 0
→) ambos os elementos de
redução são nulos em qualquer ponto e o sistema diz-se nulo ou em
equilíbrio.
Para um corpo estar em equilíbrio sob um sistema de forças é condição necessária21 que o sistema de forças actuantes seja um sistema em equilíbrio.
Em resumo, os casos de redução podem sistematizar-se do seguinte
modo:
M→
OR . R
→ ≠ 0 →
sistema equivalente a força e momento (ou conjugado) ou aduas forças não complanares.
{
R→
≠ 0→ sistema equivalente a vector único
R→
= 0→ e M
→
OR ≠ 0
→ sistema equivalente a momento ou
conjugado
R→
= 0→ e M
→
OR = 0
→ sistema nulo ou em equilíbrio
M→
OR . R
→ = 0
21 A condição não é suficiente para o equilíbrio em repouso pois este exige que o corpo esteja previamente em repouso.
