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Mecânica Newtoniana: Momento Linear e Impulso

Prof. Dr. Walter F. de Azevedo Jr. E-mail: walter@azevedolab.net ©2

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8 D

r. W

alter

F.

de

Aze

ve

do

Jr.

Considere a equação vista para a segunda lei de Newton:

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Segunda Lei de Newton e Momento Linear

Sabemos que a aceleração (a) é a taxa de variação no tempo da velocidade.

Assim temos:

O produto da massa (m) pela velocidade (v) é o momento linear (p) (ou quantidade de

movimento) de uma partícula.

Considerando-se a definição do momento linear (p), temos a expressão da segunda lei

de Newton como segue:

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Segunda Lei de Newton e Momento Linear

Originalmente, a segunda lei de Newton foi proposta usando-se a definição acima, ou

seja, a força é igual à taxa de variação no tempo do momento com relação à

velocidade.

Podemos expressar a variação do momento com relação ao tempo, com a expressão

abaixo.

Muitas vezes a expressão acima é útil na análise de sistemas com massa variável,

como veremos na equação do foguete.

O momento total de um sistema de N partículas (Psis) é a soma vetorial do momento de

cada partícula (pi), como indicado abaixo:

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Conservação do Momento Linear

Podemos expressar a somatória do produto mivi como o produto da massa total (M)

pela velocidade do centro de massa (vcm), como segue:

Tomando-se a derivada com relação ao tempo, temos:

Considerando-se a expressão da segunda lei de Newton em função da taxa de

variação no tempo do momento, temos:

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Conservação do Momento Linear

Quando a força resultante externa é nula, temos que a taxa de variação no tempo do

momento do sistema é constante, como segue:

O resultado acima é chamado lei de conservação do momento linear.

Se a soma das forças externas sobre um sistema permanece zero, então o

momento total do sistema é conservado.

Exemplo 1. Durante um reparo do telescópio espacial Hubble, uma astronauta

substitui um painel solar avariado. Empurrando para o espaço o painel retirado, ela é

empurrada no sentido oposto. A massa da astronauta é 60 kg e a massa do painel é 80

kg. A astronauta e o painel estão inicialmente em repouso, em relação ao telescópio,

quando a astronauta empurra o painel. Depois disso, o painel se move a 0,3 m/s em

relação ao telescópio. Qual é a subsequente velocidade da astronauta em relação ao

telescópio?

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Aplicações

Solução: Inicialmente temos a astronauta e o painel solar com velocidade zero.

7

Aplicações

va i

vp i

Solução: Ao final o painel solar tem velocidade de 0,3 m/s e astronauta velocidade va f

.

8

Aplicações

va f

vp f = (-0,3 m/s)i

Solução: Vamos considerar que a astronauta está se movendo na direção crescente

do eixo x e o painel solar na direção oposta.

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Aplicações

va f

vp f = (-0,3 m/s)i

Solução: Considerando-se que a somatória das forças é nula, temos que o momento

se conserva. Assim, a partir da conservação do momento linear, temos:

10

Aplicações

va f

vp f = (-0,3 m/s)i

Solução: A astronauta e o painel solar estão em repouso.

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Aplicações

va f 0 0

vp f = (-0,3 m/s)i

Solução: Rearranjando-se os termos, chegamos à seguinte expressão:

12

Aplicações

vp f = (-0,3 m/s)i

va f 0 0

Solução: Isolando-se a velocidade final da astronauta (va f ) temos:

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Aplicações

va f 0 0

vp f = (-0,3 m/s)i

Solução: Substituindo-se os valores dados, temos:

14

Aplicações

va f 0 0

vp f = (-0,3 m/s)i

ma f = 60 kg

mp f = 80 kg

Considere uma força que varia em função do tempo, como ilustrada no gráfico abaixo.

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Impulso

Definimos o vetor impulso I pela integral da força no intervalo de tempo entre ti e tf,

como indicado abaixo.

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Impulso

Considerando-se a definição da segunda lei de Newton com o momento, temos:

17

Impulso

A expressão acima é o teorema do impulso-

momento para uma partícula.

No caso de um sistema de partículas, temos:

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Impulso

A expressão acima é o teorema do impulso-

momento para um sistema.

Por definição, a média de uma força F no intervalo t é dada por:

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Impulso

Considere o movimento de um foguete que apresenta massa variável. O foguete

queima combustível continuamente. Nesse processo o foguete expele gases que o

impulsionam para frente. Considere que o foguete tem massa inicial M0. Os gases da

exaustão abandonam o motor do foguete com velocidade u. O diagrama esquemático

abaixo ilustra o sistema.

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Equação do Foguete

Mm Mm

À esquerda temos o foguete no instante inicial (t0) e à direita temos o foguete no

instante final (tf). O foguete ganha velocidade devido à ejeção de um elemento de

massa m, sendo a massa total do sistema foguete igual M + m, no instante inicial.

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Equação do Foguete

Mm Mm

Considerando-se o momento linear do sistema no início e no final, temos:

22

Equação do Foguete

MmMm

Determinando-se a variação do momento linear P, temos:

23

Equação do Foguete

Mm Mm

Rearranjando-se os termos, chegamos:

24

Equação do Foguete

Mm Mm

Tomando-se a derivada de P com relação ao tempo, temos:

25

Equação do Foguete

Mm Mm

Considerando-se o limite quando t0, v0 e m0, temos:

26

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Chegamos à expressão:

27

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Considerando-se que a taxa de variação dm/dt é a diminuição da massa M, temos:

28

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Sabemos pela segunda lei de Newton, que:

29

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Substituindo-se dP/dt na expressão abaixo, temos:

30

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Dividindo-se ambos os lados por M, temos:

31

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Isolando-se dv/dt, temos:

32

Equação do Foguete

Mm Mm

0

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Iremos resolver a equação em destaque.

33

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Isolando-se dv e dt, temos.

Iremos resolver a equação em destaque.

34

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Integrando-se de ambos os lados, temos.

Iremos resolver a equação em destaque.

35

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Iniciando-se as resoluções das integrais, temos.

vf

v0

Iremos resolver a equação em destaque.

36

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Continuando, temos.

vf

v0

tf

t0

Tabela de Integrais

Iremos resolver a equação em destaque.

37

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

A partir da tabela de integrais, temos.

vf

v0

tf

t0

Tabela de Integrais

Mf

M0

Iremos resolver a equação em destaque.

38

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Assim temos:Tabela de Integrais

Iremos resolver a equação em destaque.

39

Equação do Foguete

Mm Mm

Onde F é a resultante das forças externas e P é o momento do sistema.

Considerando-se t0 = 0, v0 = 0, g = gj e u = -uj temos :Tabela de Integrais

Exemplo 2. O foguete Saturno V tinha uma massa inicial de 2,85.106 kg, 73 % desta

massa formada por combustível, queimado com uma velocidade de exaustão com

relação ao foguete de 2,46 km/s. Determine a velocidade do foguete após 150 s.

40

Aplicações

Solução. A massa final Mf é 0,27 da massa inicial, ou seja, Mf =0,7695.106 kg.

Substituindo-se na expressão, temos:

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Aplicações

TIPLER, P. A. & MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros. Vol. 1. 6ª Ed.

Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda. 2012., 759 pp.

Última atualização em: 15 de maio de 2018.

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Referências Bibliográficas