Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ I Escola

Mecânica Quântica:uma abordagem (quase) conceitual

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

I Escola Brasileira de Ensino de FísicaUFABC, outubro de 2014

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014 2

Sumário

1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

2. Fenômenos quânticos

3. Princípios da mecânica quântica

4. Sistemas quânticos simples: aplicações

5. Emaranhamento

6. Realismo, contextualidade e não-localidade

7. Operadores, autovalores, autovetores


Ensino e aprendizagem de mecânica quântica

4


• Dificuldades conceituais

• Dificuldades matemáticas

• Literatura

• Material didático: simulações, vídeos

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014



• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade– ...

• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais– ...

xx

- Dificuldades não se esgotam na lista apresentada: interpretações da MQ, análise funcional, ...

6


• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações.

• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.

• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo).



Sobre o ensino e aprendizagem de mecânica quântica

• D. F. Styer, Common misconceptions regarding quantum mechanics, American Journal of Physics 64 , 31, 1996.

• I. D. Johnston, K. Crawford, P. R. Fletcher, Student difficulties in learning quantum mechanics, International Journal of Science Education 20 , 427, 1998.

• S. Vokos, P. S. Shaffer, B. S. Ambrose, L. C. McDermott, Student understanding of the wave nature of matter: Diffraction and interference of particles, American Journal of Physics 68, S42, 2000.

• G. Ireson, The quantum understanding of pre-university physics students, Physics Education 35, 15, 2000.

• G. Pospiech, Uncertainty and complementarity: the heart of quantum physics, Physics Education 35, 393, 2000.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, Uma revisão da literatura sobre estudos relativos ao ensino da mecânica quântica introdutória, Investigações em Ensino de Ciências 6, 29, 2001.

• I. M. Greca, M. A. Moreira, V.E. Herscovitz, Uma proposta para o ensino de mecânica quântica, Revista Brasileira de Ensino de Física 33, 444, 2001.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics, American Journal of Physics 69, 885, 2001.• E. Cataloglu, R. W. Robinett, Testing the development of student conceptual and visualization

understanding in quantum mechanics through the undergraduate career, American Journal of Physics 70, 238, 2002.

• K. Mannila, I. T. Koponen, J. A. Niskanen, Building a picture of students’ conceptions of wave- and particle-like properties of quantum entities, European Journal of Physics 23, 45, 2002.



• R. Müller, H. Wiesner, Teaching quantum mechanics on an introductory level, American Journal of Physics 70, 200, 2002.

• M. Alonso, Emphasize applications in introductory quantum mechanics courses, American Journal of Physics 70, 887, 2002; ver também a resposta de Müller e Wiesner na mesma página.

• I. M. Greca, O. Freire Jr, Does an emphasis on the concept of quantum states enhance students’ understanding of quantum mechanics?, Science & Education 12 , 541, 2003.

• F. Ostermann, T. F. Ricci, Construindo uma unidade didática conceitual sobre mecânica quântica: um estudo na formação de professores de física, Ciência & Educação 10, 235, 2004.

• D. T. Brookes, E. Etkina, Using conceptual metaphor and functional grammar to explore how language used in physics affects student learning, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 3, 010105, 2007.

• M. Fanaro, M. Arlego, M. R. Otero, “El método de caminos múltiples de Feynman como referencia para introducir los conceptos fundamentales de la mecánica cuántica en la escuela secundaria,” Caderno Brasileiro de Ensino de Física 24, 233, 2007.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Why we should teach the Bohr model and how to teach it effectively, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 4, 10103, 2008.

• C. Singh, Student understanding of quantum mechanics at the beginning of graduate instruction , American Journal of Physics 76, 277, 2008.

• C. Singh, Interactive learning tutorials on quantum mechanics, American Journal of Physics 76, 400, 2008.



• L. D. Carr, S. B. McKagan, Graduate quantum mechanics reform, American Journal of Physics 77, 308, 2009.

• M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Development of quantum perspectives in modern physics, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 5, 10106, 2009.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching and understanding of quantum interpretations in modern physics courses, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 10101, 2010.

• S. B. McKagan, K. K. Perkins, C. E. Wieman, Design and validation of the Quantum Mechanics Conceptual Survey, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 6, 020121, 2010.

• L. Deslauriers, C. E. Wieman, Learning and retention of quantum concepts with different teaching methods, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 010101, 2011.

• M. Ayene, J. Kriek, B. Damtie, Wave-particle duality and uncertainty principle: Phenomenographic categories of description of tertiary physics students’ depictions, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 7, 020113, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum mechanics via the Stern–Gerlach experiment, American Journal of Physics 79, 499, 2011.

• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. I. Investigation of difficulties, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101117, 2012.



• G. Zhu, C. Singh, Improving students’ understanding of quantum measurement. II. Development of research-based learning tools, Physical Review Special Topics - Physics Education Research 8, 101118, 2012.

• O. Levrini, P. Fantini, Encountering productive forms of complexity in learning modern physics, Science & Education 22,1895, 2013.

• C. C. Sahelices, J. A. M. Villagrá, Principios de mecánica cuántica en la resolución de problemas de estructuras atómicas en estudiantes de química, Experiências em Ensino Ciências 9, 1, 2013.

• W. Dür, S. Heusler, What we can learn about quantum physics from a single qubit, arXiv:1312.1463, 2013.

• A. Kohnle et al., A new introductory quantum mechanics curriculum, European Journal of Physics 35, 015001, 2014.

• J. Castrillon, O. Freire Jr, B. Rodriguez, Mecánica cuántica fundamental, una propuesta didáctica, Revista Brasileira de Ensino de Física 36, 1505, 2014.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Teaching quantum interpretations: Revisiting the goals and practices of introductory quantum physics courses, arXiv:1409.8503, 2014.

• C. Baily, N. D. Finkelstein, Ontological Flexibility and the Learning of Quantum Mechanics, arXiv:1409.8499, 2014.

• A. Kohnle, C. Baily, S. Ruby, Investigating the influence of visualization on student understanding of quantum superposition, arXiv:1410.0867, 2014.

11C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / 2014

Livros

• R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands, Lições de Física de Feynman, vol. III, Bookman, 2008. • R. P. Feynman, QED - A estranha teoria da luz e da matéria, Gradiva, 1988.• H. M. Nussenzveig, Curso de Física Básica: Ótica, Relatividade, Física Quântica, Blucher, 2002.• I. M. Greca, V. E. Herscovitz, Introdução à Mecânica Quântica, UFRGS, 2002

(http://www.if.ufrgs.br/public/tapf/n13_2002_greca_herscovitz.pdf)• O. Pessoa Jr, Conceitos de Física Quântica, Livraria da Física, 2003.• D. F. Styer, The Strange World of Quantum Mechanics, Cambridge UP, 2000.• J. Polkinghorne, Quantum Theory: A Very Short Introduction, Oxford UP, 2002. • V. Scarani, Quantum physics: a first encounter, Oxford UP, 2006.• B. Rosenblum , F. Kuttner , Quantum Enigma: Physics Encounters Consciousness, Oxford UP, 2006.• A. Rae, Quantum Physics: Illusion or Reality?, Cambridge UP, 2012. • M. Le Bellac, The Quantum World, World Scientific, 2013.• L. Susskind, A. Friedman, Quantum Mechanics: The Theoretical Minimum, Basic Books, 2014• G. Greenstein, A. G. Zajonc, The Quantum Challenge: Modern Research on the Foundations of

Quantum Mechanics, Jones & Bartlett, 2005.• M. Le Bellac, Quantum Physics, Cambridge UP, 2006.• D. McIntyre, C. A. Manogue, J. Tate, Quantum Mechanics: A Paradigms Approach, Addison-Wesley,

2012.• M. Beck, Quantum Mechanics: Theory and Experiment, Oxford UP, 2012.


Simulações

• Interferômetro de Mach-Zehnder (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

• Experiência de Stern-Gerlach (Universidade Federal do Rio Grande do Sul)http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

• QuantumLab (Universität Erlangen-Nürnberg)http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

• PhET (University of Colorado)http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

• SPINS (Oregon State University)http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

• Quantum physics (École Polytechnique)http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html

http://www.if.ufrgs.br/~fernanda/

http://www.if.ufrgs.br/~betz/quantum/SGtexto.htm

http://www.didaktik.physik.uni-erlangen.de/quantumlab/english/index.html

http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

http://phet.colorado.edu/pt_BR/simulations/category/physics/quantum-phenomena

http://www.physics.orst.edu/~mcintyre/ph425/spins/index_SPINS_OSP.html

http://www.quantum-physics.polytechnique.fr/index.html


Internet

• Quantum Physics (IoP)http://quantumphysics.iop.org/

• Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

• Quantum Entanglement (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

• Advanced Quantum Mechanics (Leonard Susskind)http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall

http://quantumphysics.iop.org/

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-mechanics/2012/winter

http://theoreticalminimum.com/courses/quantum-entanglement/2006/fall

http://theoreticalminimum.com/courses/advanced-quantum-mechanics/2013/fall


Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Carlos

Charles Addams foi o autor da Família Addams.


Um experimento com a luz

feixe luminoso pouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

espelho

detectores de luz D1

D2

Carlos Eduardo

Os dois espelhos são desnecessários. Estão aí por causa da próxima montagem, o interferômetro.


Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.

D1

D2

D1

D2

ou

50% 50%probabilidade


Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

D1

D2


Se a luz é composta por partículas

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.

ou

D1

D2

D1

D2


Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.

caminho 2

caminho 1

D2

D1


O experimento de Grangier, Roger & Aspect

• Experimento realizado pela primeira vez em 1986 por Philippe Grangier, Gérard Roger e Alain Aspect.

• A fonte luminosa de “pouco intensa” usada no experimento não é fácil de construir.

ν1

ν2

átomo de cálcio τ = 4,7 ns



w = 9 ns

P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)


Resultado do experimento de Grangier et al.

Carlos Eduardo

Px = Nx/N1, x=c,r,t alfa = Pc / (Pr*Pt)Se não há correlação entre os disparos dos detetores, Pc = Pr*Pc e alfa = 1Ver a ótima discussão em Greenstein e Zajonc, cap.2.


Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)


Outro experimento com a luz

interferômetro de Mach-Zehnder

D2

D1

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Carlos Eduardo

Não é mais possível determinar o caminho do fóton.


Preliminares: um feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%

Carlos Eduardo

Os detetores nunca disparam em coincidência.


O outro feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%


Resultado fácil de entender com partículas

= caminho do fóton

1

2

50%

25%

25%


De volta ao interferômetro

D1

D2


Resultado do experimento:

0%

100%

D1

D2

Carlos Eduardo

É sempre possível balancear o inteferômetro para que isso ocorra. O caso geral será tratado mais à frente.Enfatizar o 0% -- a abertura de um novo caminho diminui o número de partículas em D2.


Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos

caminho 1 caminho 2

1

25%

25%2

25%

25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

Carlos Eduardo

O primeiro experimento "mostrou" que 50% dos fótons seguem o caminho 1 e 50% o caminho2.


)2(D

)1(DD nnn

PPP

probabilidade dodetector Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Proposição*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5

32

Teste da Proposição


Experimentalmente:

)2(D

)1(DD nnn

PPP

%100P1D

%25P )1(D1

%25P )2(D1

%25P )1(D2

%0P2D

%25P )2(D2

a proposição é falsa!


Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.

“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Carlos Eduardo

… a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics.


Por onde vai o fóton?

1 e 2

ou 1 ou 2

nem 1 nem 2

1 2


Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

Carlos

Passa pelas 2 fendas:- Bohm: a função de onda faz isso.- Everett: uma fenda em cada universo.


Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Carlos Eduardo

Ver a ótima discussão em:C. N. Villars, Observables, states and measurements in quantum physics, Eur. J. Phys. 5 (1984) 177A citação de Heisenberg é- W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62

Carlos Eduardo

Experimentos de escolha retardada e o apagador quântico mostram que esse é uma opção melhor que a dos "2 caminhos".Momento certo para discutir esses experimentos.

Carlos Eduardo

Pelo menos para Bohr e Heisenberg.


Fácil de entender num modelo ondulatório

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

Carlos Eduardo

A onda segue os dois caminhos.


Comprimentos variáveis

L1

L2

PD2

PD1

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Carlos Eduardo

É possível alternar interferência construtiva e destrutiva no mesmo detetor, mudando o comprimento dos braços do interferômetro.De maneira mais geral, pode-se mudar o caminho ótico.


Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

L1 – L2

0

1PD1

L1 – L2

1

0

PD2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

(2))

Carlos Eduardo

As probabilidades dependem apenas de L1-L2, não de L1+L2.Mais evidência de que o fóton não segue ou por 1 ou por 2.



P. Grangier, G. Roger, A. Aspect, Experimental evidence for a photon anticorrelation effect on a beam splitter: A new light on single-photon interferences, Europhysics Letters 1, 173 (1986)



L1 – L2 (λ/50) L1 – L2 (λ/50)


Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Carlos Eduardo

Como o nêutron que segue o caminho II sabe a densidade do gás no caminho I ?


Interferência de átomos

interferômetro de átomos

A. D. Cronin, J. Schmiedmayer, D. E. Pritchard, Optics and interferometry with atoms and molecules, Reviews of Modern Physics 81, 1051 (2009)


Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

Carlos

The number of electron accumulated on the screen. (a) 8 electrons; (b) 270 electrons; (c) 2000 electrons; (d) 160,000. The total exponsure time from the beginning to the stage (d) is 20 min.


E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferênciadesaparece !



E se os caminhos forem distinguíveis?

N Massa

• Massa = 0• caminho

identificado• não há padrão de

interferência

• Massa ∞• caminho não

identificado• padrão de

interferência



E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência


Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Carlos Eduardo

Algo pode acontecer de 2 maneiras e o experimento não permite determinar qual delas ocorreu.Segundo Heisenberg e Bohr, nesse caso não faz sentido se dizer que uma delas ocorreu.O que interfere? Veremos ao discutir amplitudes de probabilidade.


Princípios da Mecânica Quântica

Carlos Eduardo

A mecânica quântica não é estranha e pouco intuitiva por opção de seus criadores.A natureza é que estranha e pouco intuitiva, como mostraram os experimentos anteriores.


Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Colapso do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados


Vetores de Estado e o

Princípio da Superposição


Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1

Carlos Eduardo

O sistema mais simples possível, sem ser trivial.Vários prêmios Nobel dados ao estudo de sistemas desse tipo.Informação sobre o estado ocupa 1 bit.



cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido

Carlos Eduardo

Clássico (moeda): ou 1 ou 2Quântico (fóton): pode ser 1 e 2



A = ? a2a1

2

1

a

aAgrandeza física observável:

a2a1

a2a1medidor de “A”

ou


Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”

Aa1 a2

sistema tem

A = a1

sistema tem

A = a2


Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

1a

2a

sistema tem

A = a2

sistema tem A = a1


A notação de Dirac

vetor ↔

identificação

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

Carlos Eduardo

O colchete |> tem papel semelhante à seta na notação vetorial usual.Dirac chamou esses vetores de ket.Existem também os vetores bra.


O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

1a

2a

Aa1 a2

O que muda é o seguinte:

?


O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1 ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.

2211 acac

1a

2a

Carlos Eduardo

Qualquer vetor do plano varrido por |a1> e |a2> representa um estado físico do sistema.Estado físico quer dizer um estado que pode ser preparado por um dado aparato experimental.


Significado de | ñ

• A = a1 e A = a2 ?

• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a

2a


O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1 e |a2 formam uma “base” do espaço de estados.

1a

2a

Carlos Eduardo

Definir base do espaço de estados.Mencionar que o espaço de estados é um espaço de Hilbert.


Princípio da Superposição: formulação geral

Se | ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do

sistema.


Um ‘detalhe técnico’

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:

1a

2a

c2

c1


Outro ‘detalhe técnico’

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?

1a

2a

?


A Regra de Born


A Regra de Born

2211 acac

1a

2a

c2

c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

2

2

2

1

2

nn

cc

c)a(P

(n = 1, 2)


A Regra de Born

2211 acac

? a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

2

2

2

1

2

11

cc

c)a(P

2

2

2

1

2

22

cc

c)a(P

Carlos Eduardo

Impossível prever o resultado de uma única medida.Podemos prever apenas a probabilidade de dado valor de A ser encontrado.


Probabilidade total

Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

1cc

c

cc

c)a(P)a(P 2

2

2

1

2

22

2

2

1

2

121

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)


Normalização do vetor de estado

1aa 21

2

2

2

1 cc

Norma de |ñ:

1a

2a

c2

c1

(tamanho do vetor |ñ)

Com essa definição:



2211 acac 2211 acac

| ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

c

cc

c)a(P n2

2

2

1

2

n2

2

2

1

2

nn



Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo

estado físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1

1cc,acac2

22

12211 ou seja,


2

nn c)a(P

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac

? a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

2

11 c)a(P

2

22 c)a(P

(normalizado)


Amplitude de probabilidade

cn amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

nn c)x( “função de onda”

2nn )x()x(P

2211 xcxc


Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N )

a2a1

a2a1

a2a1

N1 a1

N2 a2

podemos prevera frequência dos

resultados:

2

111 c)a(P

NN

2

222 c)a(P

NN

2211 acac

Carlos Eduardo

É impossível prever o resultado da próxima medida. Apenas a frequência com que certo resultado aparece em um número grande de medidas pode ser prevista.


Valor médio dos resultados

valor médio de A:

NaNaN

A 2211

a2a1

a2a1

a2a1

2211 acac

2

2

21

2

1 acacA


Incerteza

2211 acac

possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

2a

c2

c1

c1, c2 0

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ouSe

1c,0ca 212


Incerteza

2211 acac

A = incerteza de A no estado |

2222 AAAA)A(

1aou

2aA = 0

Carlos Eduardo

Desvio padrão das medidas.

Carlos Eduardo

Demonstração:Delta_A = |c1| |c2| |a1-a2|


Complementaridade e o

Princípio da Incerteza


Complementaridade

a2a1

B

A

b2b1

1a

2a

2b

1b

duas grandezasfísicas: A e B


Grandezas compatíveis e incompatíveis

1a

2a

1b

2b

2b

1b

2a

1a

A e B compatíveis

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

Carlos Eduardo

Estados degenerados complicam essa caracterização de (in)compatibilidade.


O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incertos ( A 0, B 0)

A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)

B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)


O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incompatíveis nenhum estado | com A = 0 e B = 0


Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1, |x2 (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1, |p2 (“repouso”, “movimento”)

2p1p

2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Carlos Eduardo

X e P são complementares.Demonstração: P é o gerador das translações em X.


Resumo da “cinemática” quântica

estado físicovetor no espaço

de estados

grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados


Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

2a

1a

projeção do vetor de estado no eixo |an

probabilidade damedida resultar

em A = an


• “Colapso” durante uma medida• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Colapso do Vetor de Estado


Colapso do vetor de estado

a2a1

a2a1 2a

antes damedida

depois damedida



1a

2a

resultado

A = a2

resultado

A = a1

medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |an

Carlos Eduardo

Postulado



• O colapso garante que a medida é repetível: se obtemos A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• | |an: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• O colapso aplica-se a medidas “ideais” (medidas de von Neuman, ou projetivas). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em colapso. Por exemplo:– Um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais

fóton após a primeira medida.– Medidas de grandezas contínuas como posição e momentum não têm

resultados absolutamente precisos; os detectores necessariamente possuem uma resolução finita.

xx

Sobre o colapso, ver:-- Peres, sec. 2-2 e cap. 12-- Muynck, sec. 1.6-- Ballentine, sec. 9.3-- Nielsen e Chuang, secs. 2.2.4 e 2.2.5 (POVM)Sobre o ensino do colapso:M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009- "This is a pragmatic response to a deep mystery that no one understands."- "This is the price we pay for pretending that a single particle can exist in an unentangled state."


Medidas simultâneas de duas grandezas

a2a1

b2b1

(A, B)

( A 0, B 0) ( A = 0, B = 0)

Se A e B são incompatíveis (complementares), não existe estado | com A = 0 e B = 0.

É impossível realizar um experimento no qual A e B são medidos simultaneamente (de forma reprodutível).

Carlos Eduardo

Ver D. Gillespie, A Quantum Mechanics Primer, p.62 (The compatibility theorem) para uma definição operacional de compatibilidade (ou melhor, de mensurabilidade simultânea).É claro que é sempre possível medir A e B simultaneamente, mas a medida não será reprodutível, ou não será exata.

Evolução Unitária


A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:

|(0) |(t)

• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).


A (solução da) equação de Schroedinger

2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2211 EcEc)0t(

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21


• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:

• A evolução |(0) |(t) ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

/tEinn

nec)t(c

A (solução da) equação de Schroedinger

Carlos Eduardo

Primeira aparição da constante de Planck.Dinâmica: tempo, energia (grandezas dimensionais)[h] = Joule x segundoA constante de Planck separa sistemas quânticos de clássicos.


Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

)0()0()0( ba

)t()t()t( ba

t = 0 t 0



• Conserva a norma do vetor de estado:

)0()t( )t(

)0(

• Conserva o ortogonalidade entre vetores:

tamanho não muda

)0(

)t(

)0()t(

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares


Demonstração da linearidade

2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

222111

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

)t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2/tEi

21/tEi

12/tEi

21/tEi

1

2/tEi

221/tEi

11

2121

21


Demonstração da conservação da norma

2/tEi

21/tEi

1

2211

EecEec)t(

EcEc)0(

21

2

22

21

2/tEi2

2/tEi1

2

)0(

cc

ecec)t( 21


Demonstração da conservação da ortogonalidade

)0(

)0()0(

)t()t( )t(

2)0()0()0(

|(0) e |(0) ortogonais

2)t()t()t(

|(t) e |(t) ortogonais


• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade


“evolução unitária”

Carlos Eduardo

Implementada matemáticamente por matrizes unitárias.


Estados estacionários

• |(t) e |(0) representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

nE)0( n/tEi Ee)t( n

mesma “direção” que |En

• Estado de energia bem definida En:


Conservação da energia

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21

2

n

2/tEinn cec)t,E(P n

)0()t(EE

)0t,E(P)t,E(P nn


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida

• Colapso do vetor de estado:– descontínuo– probabilístico– ocorre durante a medida

Carlos Eduardo

Eq. de Schroedinger: só vale quando não se está olhando.


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?

• Equação de Schroedinger: – interação do sistema quântico com outros

sistemas quânticos.– A = a1 e A = a2

• Colapso do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2

Carlos Eduardo

Aparelhos de medida não têm superposições quânticas.


O “problema da medida”

Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| | |

22 aa

11 aa 22112211 acacacac

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !

aparelho de medida:

Carlos Eduardo

Se o aparato é um bom aparelho de medida, o lado esquerdo deve ocorrer.Se ele é regido pela eq. de Schroedinger, o lado direito também ocorre.

Carlos Eduardo

O ponteiro nunca é encontrado nessas superposições.Sistema "clássico".


O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.


Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics

• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal, não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935

• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement


Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics


Os gatos de Schroedinger


Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar

Carlos Eduardo

Onipresença quântica


Sistemas de 3 estados

2a

1a

3a

a3a1a2

332211 acacac

Três valores possíveis para a grandeza A:

3,2,1n,|c|)a(P 2nn


Sistemas de N estados

2a

1a

3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares)

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...

N

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn


Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

a)a(cda

a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

Carlos Eduardo

A convergência das somas e integrais passa a ser um ponto a ser considerado.


Exemplo: a = x = posição de uma partícula


x)x(dx

2

1

x

x

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: (x)



• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

a)a(cdaacn

nn

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

E)E(cdEEcn

nn

Carlos Eduardo

Estados ligados e estados de espalhamento.

118

Aplicações a sistemas simples


Instituto de Física

Quântica

Vocêestá

aqui e aqui

Carlos Eduardo

Aplicações a sistemas de 2 estados.


Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade


O interferômetro de Mach-Zehnder

0%

100%

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”

Carlos Eduardo

Impossível de entender com partículas.


O interferômetro de Mach-Zehnder

D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

1

2

50%

25%

25%

Carlos Eduardo

Os detetores nunca disparam em coincidência.Impossível de entender com ondas.


Descrição quântica do interferômetro

1

2

(caminho 1)

(caminho 2)


Espaço de estados

2c1c 21

2

22

2

11

cP

cPprobabilidades:

2

1


Semiespelho

22

11

21

1

22

11

21

2

1 1

2

1

2

2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

evoluçãounitária

Carlos Eduardo

Eq. de Schroedinger = evolução unitária."Semiespelho de Hadamard":U = matriz de Hadamard = HEvolução "temporal" (t=0 ->1):U(t) = [raiz(1-f^2) I - i f H] exp(i pi/2 g)f(0), g(0) = 0f(1), g(1) = 1


Semiespelho

22

11

21

22

11

21

2

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade


Interferômetro

D1

D2

1

2

1

Carlos Eduardo

Apenas D1 registra luz.


Interferômetro

Primeiro semiespelho: 22

11

21

1

Estado inicial: 1


Interferômetro

Segundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

2

21

12

12

12

21

12

12

12

21

12

1

1221

21

121

21

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%

P2 = 0%

Carlos Eduardo

Duas maneiras de chegar nos estados 1 e 2.


O que interfere?

221

21

121

21

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

1

1

1

2

1 1

22

soma das amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis


Caminho bloqueado

1

2

D2

D1


Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 22

11

21

1

Estado inicial: 1

Bloqueio: 2

11

21

22

11

21

fóton bloqueado


Caminho bloqueado



21

22

11

21

21

21

12

1

2

12

21

121 P1 = 25%

P2 = 25%

P = 50%

não há caminhos alternativos, logo não há interferência


Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência

1

1

1

2

12

21

121

(1-2-)

1 1

2

1

2

Carlos Eduardo

comportamento corpuscular = trajetórias únicas


Caminhos alternativos distinguíveis

D1

D2

mola



Primeiro semiespelho: M22

1R1

21

R1

Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1

xx

Carlos Eduardo22/04/2014Estado emaranhado





M2

21

M12

12

1R2

21

R12

12

1M2

21

R12

1

M221

R221

M121

R121

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

xx

Carlos Eduardo22/04/2014Estado emaranhado.O emaranhamento eliminou a interferência.


Apagando a informação sobre o caminho

D1 100%

D2 0%

mola


Apagando a informação sobre o caminho



M2

21

R12

12

1M2

21

R12

12

1M2

21

R12

1

R1

a informação sobre o caminho foi apagada e a interferência restabelecida

Carlos Eduardo

O que destrói a coerência não é a "perturbação incontrolável" da medida, mas a informação adquirida.


O palito de fósforo quântico



fóton

fóton

• fósforo “bom”

• fósforo “ruim”



palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?


Teste clássico

palito ruim

palito bomqueimado


Teste quântico

D1

D2


Palito ruim

D1 100%

D2 0%

transparente

palito ruim D2 nunca dispara


Palito bom

D2 25%

D1 25%50%

palito bom D2 dispara em 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto


Teste quântico

• D2 fósforo bom intacto

• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Carlos Eduardo

f = x+x^2+x^3+...= x/(1-x)x = 1/4 -> f = 1/3


Mais aplicações a sistemas simples

• O problema de Deutsch• Molécula de H2

+

• Benzeno• Oscilação de neutrinos• Polarização do fóton• Spin ½• Informação quântica


Emaranhamento

Carlos Eduardo

Figura: John Richardson, Physics World, 1998Referências:J. Preskill, “Lecture Notes: Quantum Information and Computation - Chapter 4.” 2001.


Emaranhamento

|

sistema I

|

sistema II

|

subsistema I

|

subsistema II

sistema composto

Carlos Eduardo

1 e 2 são sistemoas do mesmo tipo (mesmos observáveis)


Emaranhamento

• Estados do sistema composto:

III,

III,

sistema I no estado |, sistema II no estado |

sistema I no estado |, sistema II no estado |

• Superposição estado emaranhado:

,2

1,

21


Emaranhamento

• Não é possível associar vetores de estado aos subsistemas individuais.

• O emaranhamento pode ocorrer mesmo quando os subsistemas estão separados por distâncias macroscópicas.

• Um dos mais estranhos e surpreendentes aspectos da mecânica quântica.

“O melhor conhecimento possível de um todo não inclui o melhor conhecimento possível de suas partes, nem mesmo quando essas estão completamente separadas umas das outras e no momento não influenciam umas às outras.”

- E. Schrödinger, The Present Situation in Quantum Mechanics(o artigo de 1935 onde apareceu o gato de Schroedinger)

Carlos Eduardo

Carlos Eduardo25/10/2013O artigo de Schroedinger pode ser encontrado no livro de Wheeler e Zurek.


Realismo, Contextualidade e Localidade

“Eu só gostaria de saber que diabos está acontecendo, é só! Eu gostaria de saber que diabos está acontecendo! Você sabe que diabos está acontecendo?”

Carlos Eduardo

Apud Gottfried & Yan, p. 539Cidadão: físico realistaCachorro: interpretação de Copenhagen


Variáveis ocultas

)(A

variável “oculta” quedetermina o valor de A

Medidas:• revelam um valor preexistente?• criam o resultado encontrado?

grandeza medidano experimento


Experimentos com um sistema composto

I II

AI = 1 AII = 1

BII = 1BI = 1

incompatíveis

compatíveis


Quatro experimentos com um sistema composto

Quatro experimentos possíveis:

1) Medida de AI e AII

AI = +1 e AII = +1 encontrado algumas vezes

2) Medida de AI e BII

AI = +1 e BII = +1 nunca encontrado

3) Medida de BI e AII

BI = +1 e AII = +1 nunca encontrado

4) Medida de BI e BII

BI = -1 e BII = -1 nunca encontrado


Quatro experimentos com um sistema composto

A. G. White, D. F. V. James, P. H. Eberhard, P. G. Kwiat, Nonmaximally Entangled States: Production, Characterization, and Utilization, Physical Review Letters 83, 3013 (1999)

1) P(AI, AII) (em %)

grau de emaranhamento

2) P(AI, BII) = 0

3) P(BI, AII) = 0

4) P(BI, BII) = 0


Experimentos com um sistema composto

AI = +1 AII = +1

BI = -1 BII = -1

sempre

Se os valores de AI, AII, BI e BII já existiam antes das medidas:

!!

Mas BI = BII = -1 nunca é encontrado (exp. 4)!


Estados de Hardy

IIIIIIIII B,BB,BB,B31

estado emaranhado

P(BI, BII) = 0 experimento 4

L. Hardy, Quantum Mechanics, Local Realistic Theories, and Lorentz-Invariant Realistic Theories, Physical Review Letters 68, 2981 (1992).L. Hardy, Nonlocality for two particles without inequalities for almost all entangled states, Physical Review Letters 71, 1665 (1993)

Carlos Eduardo

O estado acima está na primeira refererência, num exemplo envolvendo 2 interferêmetros de MZ.No segundo artigo Hardy mostrou que é possível obter esses resultados com "qualquer estado emaranhado exceto, curiosamente, os estados com emaranhamento máximo".

Carlos Eduardo

Estados de Hardy: não tão emaranhados quanto os estados de Bell.


Estados de Hardy

AA2

1B

AA2

1B B

B

A

A

Experimentos 1, 2 e 3:


Estados de Hardy

IIIIIIIII B,AB,AB,A26

1

IIIIIIIII A,BA,BA,B26

1

IIIIIIIIIIII A,A3A,AA,AA,A121

Experimentos 1, 2 e 3:

3)

2)

1)


Contextualidade

)C,(A III

o que está sendo

medido em II (AII ou BII)

)C,(A III

o que está sendo

medido em I (AI ou BI)

)C,(B III

)C,(B III


Não-localidade

I II

AI AII

BIIBI


O teorema de Bell

Qualquer teoria de variáveis ocultas compatível com a mecânica quântica

é necessariamente não-local.


Operadores, autovalores, autovetores


Conexão com os operadores• Produto escalar: |• Projetores: ||• Operador associado à grandeza A:

• Autovalores e autovetores de A:

222111 aaaaaaA

A

22

11

a,a

ou

a,a

É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os “eixos” |an e valores an.

Carlos Eduardo

No sistema de dois níveis os valores de a1 e a2 são irrelevantes. Um é fixado pela referência (o zero) e o outro pelas unidades.Para 3 ou mais níveis isso não é mais verdade.


Em seguida:

• Simetrias e grandezas conservadas• Posição e momentum• Partícula em 1 dimensão: aplicações

– Partícula livre– Potenciais constantes por partes: estados ligados,

tunelamento, etc.– Oscilador harmônico


E se houver tempo:

• Partículas idênticas• Partícula em 3 dimensões; momento angular• Soma sobre caminhos• Descoerência• Muitos-mundos, de Broglie-Bohm


Concluindo

• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio.

• Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples.

• Aspectos pouco (ou nada) intuitivos da mecânica quântica podem ser discutidos sem interferência de dificuldades adicionais associadas à matemática.


Funciona?


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Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ I Escola