Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ Workshop

Mecânica Quântica:uma abordagem (quase) conceitual

Carlos Eduardo Aguiar

Programa de Pós-Graduação em Ensino de FísicaInstituto de Física - UFRJ

Workshop MNPEF UNB, maio de 2015

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015 2

Sumário

1. Ensino e aprendizagem de mecânica quântica2. Fenômenos quânticos3. Princípios da mecânica quântica4. Sistemas quânticos simples: aplicações5. Como seguir em frente6. Comentários finais


Ensino e aprendizagem de mecânica quântica



• Dificuldades conceituais– Superposição quântica – Probabilidade subjetiva x objetiva– Complementaridade – O problema da medida– Realismo vs. localidade– ...

• Dificuldades matemáticas– Vetores– Números complexos– Espaços vetoriais complexos– Operadores, autovalores, autovetores– Dimensão infinita, operadores diferenciais, funções especiais– ...

xx

- Dificuldades não se esgotam na lista apresentada: interpretações da MQ, análise funcional, ...



• Entre os alunos as dificuldades matemáticas ganham proeminência pela necessidade de adquirir um domínio operacional da teoria, essencial a aplicações.

• Como veremos, é possível expor a teoria quântica – sem descaracterizá-la – reduzindo as ferramentas matemáticas a vetores e um pouco de números complexos. Com isso, torna-se viável dar mais atenção aos aspectos conceituais.

• Tal abordagem pode ser de interesse a alunos para os quais o aspecto operacional não é o mais importante (licenciandos em física, por exemplo).


Charles Addams, New Yorker, 1940

Fenômenos Quânticos

Carlos

Charles Addams foi o autor da Família Addams.


Um experimento com a luz

feixe luminoso pouco intenso

semiespelho (50-50%)

espelho

espelho

detectores de luz D1

D2

Carlos Eduardo

Os dois espelhos são desnecessários. Estão aí por causa da próxima montagem, o interferômetro.


Resultado do experimento

• Os detectores nunca disparam ao mesmo tempo: apenas um, ou D1 ou D2, é ativado a cada vez.

D1

D2

D1

D2

ou

50% 50%probabilidade


Se a luz fosse uma onda

... os detectores deveriam disparar ao mesmo tempo.

D1

D2


Se a luz é composta por partículas

... ou D1 dispara, ou D2 dispara.

ou

D1

D2

D1

D2


Conclusão

• A luz é composta por partículas: os fótons.

• O detector que dispara aponta “qual caminho” o fóton tomou.

caminho 2

caminho 1

D2

D1


Sobre o ensino do conceito de fóton

• Os experimentos de anticoincidência fornecem evidência simples e direta da natureza corpuscular da luz.

• Mais fácil de discutir (principalmente no ensino médio) que o efeito fotoelétrico.

• Ao contrário do que se lê em muitos livros-texto, o fóton não é necessário para explicar os efeitos fotoelétrico e Compton.– G. Beck, Zeitschrift für Physik 41, 443 (1927)– E. Schroedinger, Annalen der Physik 82, 257 (1927)


Outro experimento com a luz

interferômetro de Mach-Zehnder

D2

D1

segundosemiespelho

feixe luminoso“fóton a fóton”

Carlos Eduardo

Não é mais possível determinar o caminho do fóton.


Preliminares: um feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%

Carlos Eduardo

Os detetores nunca disparam em coincidência.


O outro feixe bloqueado

1

2

50%

25%

25%


Resultado fácil de entender com partículas

= caminho do fóton

1

2

50%

25%

25%


De volta ao interferômetro

D1

D2


Resultado do experimento:

0%

100%

D1

D2

Carlos Eduardo

É sempre possível balancear o inteferômetro para que isso ocorra. O caso geral será tratado mais à frente.Enfatizar o 0% -- a abertura de um novo caminho diminui o número de partículas em D2.


Difícil de entender se os fótons seguem caminhos definidos

caminho 1 caminho 2

1

25%

25%2

25%

25%

Se o fóton segue o caminho 1 (2) não deve fazer diferença se o caminho 2 (1) está aberto ou fechado, e portanto vale o resultado do experimento preliminar.

Carlos Eduardo

O primeiro experimento "mostrou" que 50% dos fótons seguem o caminho 1 e 50% o caminho2.


)2(D

)1(DD nnn

PPP

probabilidade dodetector Dn disparar apenas o caminho

1 aberto

apenas o caminho 2 aberto

Proposição*

Cada fóton segue ou o caminho 1 ou o caminho 2

consequência:

* The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-5


Teste da Proposição

Experimentalmente:

)2(D

)1(DD nnn

PPP

%100P1D

%25P )1(D1

%25P )2(D1

%25P )1(D2

%0P2D

%25P )2(D2

a proposição é falsa!


Repetindo:

A afirmativa

“o fóton segue ou pelo caminho 1 ou pelo caminho 2”

é falsa.

“… um fenômeno que é impossível, absolutamente impossível, de explicar em qualquer forma clássica, e que traz em si o coração da mecânica quântica.”

R. P. Feynman, The Feynman Lectures on Physics, v.3, p.1-1

Carlos Eduardo

… a phenomenon which is impossible, absolutely impossible, to explain in any classical way, and which has in it the heart of quantum mechanics.


Por onde vai o fóton?

• Experimentalmente, a opção “ou 1 ou 2” é falsa.

• Se os dois caminhos forem fechados, nenhum fóton chega aos detectores. Logo, “nem 1 nem 2” também não é aceitável.

• Parece restar apenas a opção “1 e 2”: o fóton segue os dois caminhos ao mesmo tempo.

Carlos

Passa pelas 2 fendas:- Bohm: a função de onda faz isso.- Everett: uma fenda em cada universo.


Uma resposta melhor

• Não faz sentido falar sobre o caminho do fóton no interferômetro, pois a montagem experimental não permite distinguir os caminhos 1 e 2.

• A pergunta “qual o caminho do fóton?” só faz sentido frente a um aparato capaz de produzir uma resposta.

Quando alguém deseja ser claro sobre o que quer dizer com as palavras “posição de um objeto”, por exemplo do elétron (em um sistema de referência), ele deve especificar experimentos determinados com os quais pretende medir tal posição; do contrário essas palavras não terão significado.

- W. Heisenberg, The physical content of quantum kinematics and mechanics

(o artigo de1927 sobre o princípio da incerteza)

Carlos Eduardo

Ver a ótima discussão em:C. N. Villars, Observables, states and measurements in quantum physics, Eur. J. Phys. 5 (1984) 177A citação de Heisenberg é- W. Heisenberg (1927), The Physical Content of Quantum Kinematics and Mechanics, reimpresso em J.A. Wheeler e W.H. Zurek, Quantum Theory and Measurement, p.62

Carlos Eduardo

Experimentos de escolha retardada e o apagador quântico mostram que esse é uma opção melhor que a dos "2 caminhos".Momento certo para discutir esses experimentos.

Carlos Eduardo

Pelo menos para Bohr e Heisenberg.


Fácil de entender num modelo ondulatório

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

Carlos Eduardo

A onda segue os dois caminhos.


Comprimentos variáveis

L1

L2

PD2

PD1

L1, L2 = comprimentos ajustáveis dos “braços” do interferômetro

Carlos Eduardo

É possível alternar interferência construtiva e destrutiva no mesmo detetor, mudando o comprimento dos braços do interferômetro.De maneira mais geral, pode-se mudar o caminho ótico.


Resultado experimental:

• Padrão de interferência: é possível definir um comprimento de onda.

• Só há um fóton de cada vez no interferômetro: o fóton “interfere com ele mesmo”.

• Se cada fóton seguisse um único caminho (ou 1 ou 2), o comprimento do outro caminho não deveria influenciar o resultado.

L1 – L2

0

1PD1

L1 – L2

1

0

PD2

(linha tracejada: “ou 1 ou 2” ↔ PD(1) + PD

(2))

Carlos Eduardo

As probabilidades dependem apenas de L1-L2, não de L1+L2.Mais evidência de que o fóton não segue ou por 1 ou por 2.


Interferência de nêutrons

interferômetro de nêutrons

S. A. Werner, Neutron interferometry, Physics Today 33, 24 (dezembro1980)

Carlos Eduardo

Como o nêutron que segue o caminho II sabe a densidade do gás no caminho I ?


Interferência de elétrons

A. Tonomura et al., Demonstration of single-electron build-up of an interference pattern, Am. J. Phys. 57, 117 (1989)

Carlos

The number of electron accumulated on the screen. (a) 8 electrons; (b) 270 electrons; (c) 2000 electrons; (d) 160,000. The total exponsure time from the beginning to the stage (d) is 20 min.


E se os caminhos forem distinguíveis?

P. Bertet et al., A complementarity experiment with an interferometer at the quantum-classical boundary, Nature 411, 166 (2001)

diferença de “caminhos” (ajustável)

interferênciadesaparece !



E se os caminhos forem distinguíveis?

N “Massa”

• “Massa” 0• caminho

identificado• não há padrão de

interferência

• “Massa” ∞• caminho não

identificado• padrão de

interferência



E se a informação sobre o caminho for apagada?

impossível determinar o caminho

interferência


Quando há interferência?

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, indistinguíveis experimentalmente

interferência(“1 e 2”)

Resultado pode ser obtido de duas maneiras alternativas, distinguíveis experimentalmente

(“ou 1 ou 2”)

não há interferência

Carlos Eduardo

Algo pode acontecer de 2 maneiras e o experimento não permite determinar qual delas ocorreu.Segundo Heisenberg e Bohr, nesse caso não faz sentido se dizer que uma delas ocorreu.O que interfere? Veremos ao discutir amplitudes de probabilidade.


Princípios da Mecânica Quântica

Carlos Eduardo

A mecânica quântica não é estranha e pouco intuitiva por opção de seus criadores.A natureza é que estranha e pouco intuitiva, como mostraram os experimentos anteriores.


Princípios da Mecânica Quântica

• Vetores de estado e o princípio da superposição

• A regra de Born

• Complementaridade e o princípio da incerteza

• Redução do vetor de estado

• Evolução unitária

• Sistemas de N estados


Vetores de Estado e o

Princípio da Superposição


Sistemas de dois estados

• esquerda / direita

• horizontal / vertical

• para cima / para baixo

• sim / não

• 0 / 1

Carlos Eduardo

O sistema mais simples possível, sem ser trivial.Vários prêmios Nobel dados ao estudo de sistemas desse tipo.Informação sobre o estado ocupa 1 bit.



cara coroa

fóton refletido

fóton transmitido

Carlos Eduardo

Clássico (moeda): ou 1 ou 2Quântico (fóton): pode ser 1 e 2



A = ? a2a1

2

1

aa

Agrandeza física observável:

a2a1

a2a1medidor de “A”

ou


Sistemas clássicos

• Sistema clássico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: pontos no “eixo A”

Aa1 a2

sistema temA = a1

sistema temA = a2


Sistemas quânticos: vetores de estado

• Sistema quântico de dois estados, A = a1 e A = a2.

• Representação dos estados: vetores ortogonais (e de comprimento unitário) em um espaço de duas dimensões

1a

2a

sistema temA = a2

sistema tem A = a1


A notação de Dirac

vetor ↔

identificação

21 aa

direitaesquerda

10

exemplos:

Carlos Eduardo

O colchete |> tem papel semelhante à seta na notação vetorial usual.Dirac chamou esses vetores de ket.Existem também os vetores bra.


O que muda?

Passar de dois pontos em uma reta para dois vetores perpendiculares não parece ser mais do mudar o sistema de “etiquetagem” dos estados.

1a

2a

Aa1 a2

O que muda é o seguinte:

?


O Princípio da Superposição

Qualquer combinação linear dos vetores |a1ñ e |a2ñ representa um estado físico do sistema.

2211 acac

1a

2a

Carlos Eduardo

Qualquer vetor do plano varrido por |a1> e |a2> representa um estado físico do sistema.Estado físico quer dizer um estado que pode ser preparado por um dado aparato experimental.


Significado de |ñ

• A = a1 e A = a2 ?• esquerda e direita?• horizontal e vertical?• sim e não?• 0 e 1?1a

2a


O espaço de estados é grande

• Um sistema quântico de dois estados tem muito mais que dois estados, tem infinitos estados.

• Os estados |a1ñ e |a2ñ formam uma “base” do espaço de estados.

1a

2a

Carlos Eduardo

Definir base do espaço de estados.Mencionar que o espaço de estados é um espaço de Hilbert.


Princípio da Superposição: formulação geral

Se |ñ e |ñ são vetores de estado, qualquer combinação linear deles representa um estado físico do

sistema.


Um ‘detalhe técnico’

• As constantes c1 e c2 podem ser números complexos (o espaço de estados é um espaço vetorial complexo).

• Deve-se ter cuidado com figuras como esta:

1a

2a

c2

c1


Outro ‘detalhe técnico’

• Qual o significado de “ortogonalidade” num espaço vetorial complexo?

• Como se define “comprimento” de um vetor nesse espaço?

1a

2a

?


A Regra de Born


A Regra de Born

2211 acac

1a

2a

c2

c1

A probabilidade de uma medida da grandeza física A resultar em A = an é

22

21

2n

ncc

c)a(P

(n = 1, 2)


A Regra de Born

2211 acac

|ñ a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

22

21

21

1cc

c)a(P

22

21

22

2cc

c)a(P

Carlos Eduardo

Impossível prever o resultado de uma única medida.Podemos prever apenas a probabilidade de dado valor de A ser encontrado.


Probabilidade total

Só há dois resultados possíveis, ou a1 ou a2.

1cc

ccc

c)a(P)a(P 2

22

1

22

22

21

21

21

A probabilidade da medida resultar ou em a1 ou em a2 é 1 (100%)


Normalização do vetor de estado

1aa 21

22

21 cc

Norma de |ñ:

1a

2a

c2

c1

(tamanho do vetor |ñ)

Com essa definição:



2211 acac 2211 acac

|ñ e |ñ têm normas diferentes mas representam o mesmo estado físico!

)a(Pcc

ccc

c)a(P n2

22

1

2n

22

21

2n

n



Todos os vetores ao longo de uma dada direção representam o mesmo

estado físico.

Podemos trabalhar apenas com vetores “normalizados”:

1

1cc,acac 22

212211 ou seja,


2nn c)a(P

Vetores normalizados: a Regra de Born

2211 acac

|ñ a2a1

a2a1

a2a1

medidor de “A”

211 c)a(P

222 c)a(P

(normalizado)


Amplitude de probabilidade

cn amplitude de probabilidade

probabilidade = |amplitude de probabilidade|2

nn c)x( “função de onda”

2nn )x()x(P

2211 xcxc


Frequência dos resultados de medidas

N medidas de A(N )

a2a1

a2a1

a2a1

N1 a1

N2 a2

podemos prevera frequência dos

resultados:

211

1 c)a(PNN

222

2 c)a(PNN

2211 acac

Carlos Eduardo

É impossível prever o resultado da próxima medida. Apenas a frequência com que certo resultado aparece em um número grande de medidas pode ser prevista.


Valor médio dos resultados

valor médio de A:

NaNaNA 2211

a2a1

a2a1

a2a1

2211 acac

22

212

1 acacA


Incerteza

2211 acac

possível prever o resultado(probabilidade = 100%):

valor de A “bem definido”

1a

2a

c2

c1

c1, c2 0

impossível prever o resultado de uma medida

0c,1ca 211 ouSe

1c,0ca 212


Incerteza

2211 acac

A = incerteza de A no estado |ñ

2222 AAAA)A(

1aou

2aA = 0

Carlos Eduardo

Desvio padrão das medidas.

Carlos Eduardo

Demonstração:Delta_A = |c1| |c2| |a1-a2|


Complementaridade e o

Princípio da Incerteza


Complementaridade

a2a1

B

A

b2b1

1a

2a

2b

1b

duas grandezasfísicas: A e B


Grandezas compatíveis e incompatíveis

1a

2a

1b

2b

2b

1b

2a

1a

A e B compatíveis

A e B incompatíveis

A e B complementares: incompatibilidade “máxima”

Carlos Eduardo

Estados degenerados complicam essa caracterização de (in)compatibilidade.


O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incertos ( A 0, B 0)

A bem definido, B incerto( A = 0, B 0)

B bem definido, A incerto( B = 0, A 0)


O Princípio da Incerteza

2b

1b

2a

1a

A e B incompatíveis nenhum estado |ñ com A = 0 e B = 0


Exemplo: posição e momentum

Xx1 x2

duas posições: |x1ñ, |x2ñ (“aqui”, “ali”)

dois estados de movimento: |p1ñ, |p2ñ (“repouso”, “movimento”)

2p 1p2x

1x

impossível ter um estado com posição e momentum bem definidos

Carlos Eduardo

X e P são complementares.Demonstração: P é o gerador das translações em X.


Resumo da “cinemática” quântica

estado físico vetor no espaço de estados

grandeza físicasistema de eixos (uma “base”) no

espaço de estados


Resumo da “cinemática” quântica

probabilidade de uma medida da grandeza A resultar em A = a1

ou A = a2

grandezas físicasincompatíveis

(complementares)

diferentes sistemas de eixos no espaço

de estados

2a

1a

projeção do vetor de estado no eixo |anñ

probabilidade damedida resultar

em A = an


• “Redução” durante uma medida• Evolução unitária (equação de

Schroedinger)

Como o vetor de estado muda com o tempo?

Redução do Vetor de Estado


Redução do vetor de estado

a2a1

a2a1 2a

antes damedida

depois damedida


Redução do vetor de estado

1a

2a

resultadoA = a2

resultadoA = a1

medida de A resulta em an logo após a medida o vetor de estado do sistema é |anñ

Carlos Eduardo

Postulado


Redução do vetor de estado• A redução garante que a medida é repetível: se obtemos

A = an e imediatamente refazemos a medida, encontramos A = an novamente com 100% de probabilidade.

• O estado | an ñ é o único em que a nova medida resultará em A = an com 100% de probabilidade.

• |ñ |anñ: a medida causa uma alteração imprevisível e incontrolável do estado quântico; versão moderna do “salto quântico”.

• A redução aplica-se a medidas “ideais” (medidas projetivas ou de von Neuman, ). Na prática, muitas vezes não faz sentido falar em redução a | an ñ. Por exemplo, um fóton geralmente é absorvido durante sua detecção; não há mais fóton após a primeira medida.

xx

Sobre o colapso, ver:-- Peres, sec. 2-2 e cap. 12-- Muynck, sec. 1.6-- Ballentine, sec. 9.3-- Nielsen e Chuang, secs. 2.2.4 e 2.2.5 (POVM)Sobre o ensino do colapso:M. Dubson, S. Goldhaber, S. Pollock, K. Perkins, Faculty Disagreement about the Teaching of Quantum Mechanics, 2009 Physics Education Research Conference, AIP Conference Proceedings 1179, 137, 2009- "This is a pragmatic response to a deep mystery that no one understands."- "This is the price we pay for pretending that a single particle can exist in an unentangled state."

Evolução Unitária


A equação de Schroedinger

• Evolução temporal do vetor de estado:|(0)ñ |(t)ñ

• Dinâmica quântica: determinada pela energia do sistema (o conceito de força é pouco relevante).


A (solução da) equação de Schroedinger

2E

1E

Sistema de dois estados

Dois níveis de energia: E1, E2

2211 EcEc)0t(

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21


• ћ = constante de Planck ( 2) 110-34 Js

• Números complexos são inevitáveis. Mesmo que as componentes do vetor de estado sejam reais em t = 0, para t 0 elas serão complexas:

• A evolução |(0)ñ |(t)ñ ditada pela equação de Schroedinger é contínua (sem ‘saltos quânticos’) e determinista (sem elementos probabilísticos).

/tEinn

nec)t(c

A (solução da) equação de Schroedinger

Carlos Eduardo

Primeira aparição da constante de Planck.Dinâmica: tempo, energia (grandezas dimensionais)[h] = Joule x segundoA constante de Planck separa sistemas quânticos de clássicos.


Propriedades da equação de Schroedinger

• Linearidade:

)t()0(

)t()0(

bb

aa

)0()0()0( ba

)t()t()t( ba

t = 0 t 0



• Conserva a norma do vetor de estado:

)0()t( )t(

)0(

• Conserva o ortogonalidade entre vetores:

tamanho não muda

)0(

)t(

)0()t(

dois vetores perpendicularescontinuam perpendiculares


Demonstração da linearidade

2211b

2211a

EdEd)0(

EcEc)0(

222111

ba

E)dc(E)dc(

)0()0()0(

)t()t(

EecEecEecEec

Ee)dc(Ee)dc()t(

ba

2/tEi

21/tEi

12/tEi

21/tEi

1

2/tEi

221/tEi

11

2121

21


Demonstração da conservação da norma

2/tEi

21/tEi

1

2211

EecEec)t(

EcEc)0(21

2

22

21

2/tEi2

2/tEi1

2

)0(

cc

ecec)t( 21


Demonstração da conservação da ortogonalidade

)0(

)0()0(

)t(

)t( )t(

2)0()0()0(

|(0)ñ e |(0)ñ ortogonais

2)t()t()t(

|(t)ñ e |(t)ñ ortogonais


• Determinismo• Continuidade• Linearidade• Conservação da norma• Conservação da ortogonalidade


“evolução unitária”

Carlos Eduardo

Implementada matemáticamente por matrizes unitárias.


Estados estacionários

• |(t)ñ e |(0)ñ representam o mesmo estado físico.

• Estados de energia bem definida são “estacionários”.

nE)0( n/tEi Ee)t( n

mesma “direção” que |Enñ

• Estado de energia bem definida En:


Conservação da energia

2/tEi

21/tEi

1 EecEec)t( 21

2n

2/tEinn cec)t,E(P n

)0()t(EE

)0t,E(P)t,E(P nn


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

• Equação de Schroedinger:– contínua– determinista– válida enquanto não se faz uma medida

• Redução do vetor de estado:– descontínua– probabilística– ocorre durante a medida

Carlos Eduardo

Eq. de Schroedinger: só vale quando não se está olhando.


Eq. de Schroedinger x Processos de medida

Dois tipos de evolução temporal?• Equação de Schroedinger:

– interação do sistema quântico com outros sistemas quânticos.

– A = a1 e A = a2

• Redução do vetor de estado: – interação do sistema quântico com um aparato

clássico, o aparelho de medida (o “observador”).– A = a1 ou A = a2

Carlos Eduardo

Aparelhos de medida não têm superposições quânticas.


O “problema da medida”Por que o aparelho de medida não é regido pela eq. de Schroedinger?

a2a1 a2a1 a2a1

Descrição quântica do aparelho de medida:

| ñ| ñ | ñ

22 aa

11 aa 22112211 acacacac

equação de Schroedinger:

o ponteiro aponta em duas direções ao mesmo tempo !

aparelho de medida:

Carlos Eduardo

Se o aparato é um bom aparelho de medida, o lado esquerdo deve ocorrer.Se ele é regido pela eq. de Schroedinger, o lado direito também ocorre.

Carlos Eduardo

O ponteiro nunca é encontrado nessas superposições.Sistema "clássico".


O “problema da medida”

• Porque as superposições quânticas não são encontradas no mundo macroscópico?– Jamais se observou um ponteiro macroscópico apontando em

duas direções ao mesmo tempo.– Um gato não pode estar simultaneamente vivo e morto.

• Como conciliar o espaço quântico de infinitos estados com a observação de apenas alguns poucos estados macroscópicos?

Uma descrição do processo de medida baseada na equação de Schroedinger deve dar respostas a essas questões.


Física quântica x física clássica

• Por medida, na mecânica quântica, nós entendemos qualquer processo de interação entre objetos clássicos e quânticos…

L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics• … os instrumentos de medida, para funcionarem como tal,

não podem ser propriamente incluídos no domínio de aplicação da mecânica quântica.

N. Bohr, carta a Schroedinger, 26 de outubro de 1935• …o ‘aparato’ não deveria ser separado do resto do mundo em

uma caixa preta, como se não fosse feito de átomos e não fosse governado pela mecânica quântica.

J. Bell, Against measurement


Física quântica x física clássica

físicaquântica

físicaclássica

…a mecânica quântica ocupa um lugar muito incomum entre as teorias físicas: ela contém a mecânica clássica como um caso limite, mas ao mesmo tempo requer esse caso limite para sua própria formulação...

- L. Landau & E. Lifshitz, Quantum Mechanics


Os gatos de Schroedinger


Sistemas de N Estados

Você está emtodo lugar

Carlos Eduardo

Onipresença quântica


Sistemas de 3 estados

2a

1a

3a

a3a1a2

332211 acacac

Três valores possíveis para a grandeza A:

3,2,1n,|c|)a(P 2nn


Sistemas de N estados

2a

1a

3aNa...

(impossível desenharN eixos perpendiculares)

N valores possíveis para a grandeza A:

aNa1a2 ...

N

1nnn ac

N,2,1n,|c|)a(P 2nn


Sistemas de infinitos estados

• N pode ser infinito:

1n

nn ac

• N pode ser infinito, e a ter valores contínuos:

a)a(cda

a

a

2|)a(c|da)a,a(P

2|)a(c|)a(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

Carlos Eduardo

A convergência das somas e integrais passa a ser um ponto a ser considerado.


Exemplo: a = x = posição de uma partícula


x)x(dx

2

1

x

x

221 |)x(|dx)x,x(P

2|)x(|)x(p densidade de probabilidade:

probabilidade:

função de onda: (x)



• A grandeza a pode ter valores discretos e contínuos:

a)a(cdaacn

nn

Exemplo: a = E = energia de uma partícula

E)E(cdEEcn

nn

Carlos Eduardo

Estados ligados e estados de espalhamento.

101

Aplicações a sistemas simples

C.E. Aguiar / Mecânica Quântica / MNPEF-UNB 2015

Instituto de Física Quântica

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aqui e aqui

Carlos Eduardo

Aplicações a sistemas de 2 estados.


Interferômetro de Mach-Zehnder

• Interferência de uma partícula• Descrição quântica do interferômetro• Interferência e indistinguibilidade


O interferômetro de Mach-Zehnder

0%

100%

D1

D2

interferênciaconstrutiva

interferênciadestrutiva

“ondas”

Carlos Eduardo

Impossível de entender com partículas.


O interferômetro de Mach-Zehnder

D1 e D2 nunca disparam em coincidência “partículas”

50%

D2 25%

D1 25%

Carlos Eduardo

Os detetores nunca disparam em coincidência.Impossível de entender com ondas.


Descrição quântica do interferômetro

1

2

(caminho 1)

(caminho 2)


Espaço de estados

2c1c 21

222

211

cPcP

probabilidades:

2

1


Semiespelho

22

112

11

22

112

12

1 1

2

1

2

2

probabilidade de reflexão = probabilidade de transmissão = 1/2

evoluçãounitária

Carlos Eduardo

Eq. de Schroedinger = evolução unitária."Semiespelho de Hadamard":U = matriz de Hadamard = HEvolução "temporal" (t=0 ->1):U(t) = [raiz(1-f^2) I - i f H] exp(i pi/2 g)f(0), g(0) = 0f(1), g(1) = 1


Semiespelho

22

112

1

22

112

1

2

1 sinal negativo: evolução unitária conserva a

ortogonalidade


Interferômetro

D1

D2

1

2

1

Carlos Eduardo

Apenas D1 registra luz.


Interferômetro

Primeiro semiespelho: 22

112

11

Estado inicial: 1


InterferômetroSegundo semiespelho:

ou seja, o estado final é

2

211

21

212

211

21

212

211

21

1221

211

21

21

interferência destrutiva

interferência construtiva

P1 = 100%P2 = 0%

Carlos Eduardo

Duas maneiras de chegar nos estados 1 e 2.


O que interfere?

221

211

21

21

(1-1-1) (1-2-1) (1-1-2) (1-2-2)

1

1

1

2

1 1

22

amplitudes de probabilidade associadas a caminhos alternativos indistinguíveis


Caminho bloqueado

1

2

D2

D1


Caminho bloqueado

Primeiro semiespelho: 22

112

11

Estado inicial: 1

Bloqueio: 2

112

122

112

1

fóton bloqueado


Caminho bloqueado

Segundo semiespelho:


212

211

21

21

211

21

2

12211

21 P1 = 25%

P2 = 25%P = 50%

não há caminhos alternativos, logo não há interferência


Por que não há interferência?

(1-1-1) (1-1-2)

não há caminhos alternativos para cada um dos estados finais não há interferência

1

1

1

2

12211

21

(1-2-)

1 1

2

1

2

Carlos Eduardo

comportamento corpuscular = trajetórias únicas


Caminhos alternativos distinguíveis

D1 50%

D2 50%mola



Primeiro semiespelho: M22

1R12

1R1

Estado inicial: R1

• 1, 2: caminho do fóton• R: espelho em repouso• M: espelho em movimento

M2,M1,R2,R1

xx

Carlos Eduardo22/04/2014Estado emaranhado





M2

21M1

21

21R2

21R1

21

21M2

21R1

21

M221R2

21M1

21R1

21

P1 = P(1, R) + P(1, M) = 50%

P2 = P(2, R) + P(2, M) = 50%

soma de probabilidades,não de amplitudes

xx

Carlos Eduardo22/04/2014Estado emaranhado.O emaranhamento eliminou a interferência.


Apagando a informação sobre o caminho

D1 100%

D2 0%mola


Apagando a informação sobre o caminho



M2

21R1

21

21M2

21R1

21

21M2

21R1

21

R1M221

21R1

21

21

dois caminhos para o mesmo estado final interferência

Carlos Eduardo

O que destrói a coerência não é a "perturbação incontrolável" da medida, mas a informação adquirida.


O palito de fósforo quântico



fóton

fóton

• fósforo “bom”

• fósforo “ruim”



palitos bons e ruins misturados

Problema: como encher uma caixa de fósforos apenas com palitos bons?


Teste clássico

palito ruim

palito bomqueimado


Teste quântico

D1

D2


Palito ruim

D1 100%

D2 0%

transparente

palito ruim D1 dispara sempre


Palito bom

D2 25%

D1 25%50%

palito bom D2 dispara 25% das vezes, e o fósforo permanece intacto


Teste quântico

• D2 fósforo bom intacto

• D1 fósforo bom intacto ou fósforo ruim

• Fósforo acende fósforo bom queimado

Dos fósforos bons:• 25% estão identificados e intactos• 50% foram queimados• 25% em dúvida

Retestando os casos duvidosos é possível identificar 1/3 dos fósforos bons.

Carlos Eduardo

f = x+x^2+x^3+...= x/(1-x)x = 1/4 -> f = 1/3


Mais aplicações a sistemas simples

• O problema de Deutsch• Molécula de H2

+

• Molécula de benzeno• Oscilação de neutrinos• Polarização do fóton• Spin ½• Informação quântica• Paradoxo de Hardy; teorema de Bell


Como chegar aos operadores, autovalores e autovetores


Conexão com os operadores

• Produto escalar: |ñ

• Projetores: |ñ |

• Operador associado à grandeza A:

222111 aaaaaaA

xx

Produtos interno e externo.


Conexão com os operadores

• Autovalores e autovetores de A:

A

22

11

a,aou

a,a

É mais fácil encontrar (postular) o operador A do que os vetores |anñ e valores an.

xx

No sistema de dois níveis os valores de a1 e a2 são irrelevantes. Um é fixado pela referência (o zero) e o outro pelas unidades.Para 3 ou mais níveis isso não é mais verdade.Simetrias definem a maioria dos operadores de interesse físico.


Comentários finais

• É possível apresentar alguns dos princípios básicos da mecânica quântica utilizando apenas matemática acessível a professores (e alunos?) do ensino médio.

• Essa abordagem permite descrever apropriadamente a mecânica quântica de sistemas simples.

• Aspectos conceituais da mecânica quântica podem ser discutidos sem as dificuldades criadas por um formalismo matemático pouco familiar.

• “Experimento didático” em desenvolvimento. Críticas e sugestões são bem-vindas.


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Mecânica Quântica: uma abordagem (quase) conceitual Carlos Eduardo Aguiar Programa de Pós-Graduação em Ensino de Física Instituto de Física - UFRJ Workshop