MECANICA - SEMINARIO VIBRACIONES

UTN-FRBA

MECNICA

VIBRACIONES MECNICAS

Vientos de gran turbulencia hicieron que el puente de Tacoma Narrows entrara en resonancia hasta que sus vibraciones alcanzaron

una gran amplitud, lo que termin llevando a su destruccin.

Vibraciones Libres sin Amortiguamiento.

Se conoce como vibracin al movimiento que se repite en un determinado intervalo de tiempo en los sistemas que poseen masa y elasticidad, ya que estos elementos intercambian energa permanentemente.

Para determinar el movimiento se idealizan los elementos del sistema como masa y resorte, donde cada uno de estos representar la inercia traslacional y la elasticidad de dicho sistema.

Vamos a considerar sistemas con movimientos unidireccionales, lo que restringe el estudio a los llamados sistemas con 1 grado de libertad.

Para determinar el movimiento, se parte de la segunda ley de Newton:

extdq dvF m madt dt

Cuando un sistema masa resorte est en equilibrio, se cumple que: P = mg = k est. Donde est es la deformacin esttica que tiene el resorte en esta situacin, pero cuando se lo altera con una determinada condicin inicial, ya sea apartarlo del equilibrio, con un impacto que le genere una velocidad inicial ( ambas), se tiene lo siguiente:

o: Frecuencia natural no amortiguada del sistema, la cual depende slo de los elementos capaces de almacenar energa.

Esta ecuacin diferencial admite como solucin una suma de senos y cosenos:

( ) cos( ) sin ( )( ) [ sin ( ) cos( )]( ) [ cos( ) sin ( )]

x t A ot B otv t o A ot B ota t o A ot B ot

para t=0, se tienen "xo" y "vo" , por lo que a partir de las ecuaciones de posicin y velocidad, salen los valores de las constantes A y B, de R y o en la segunda forma posible de expresin.

( ) cos( )( ) sin ( )( ) cos( )

x t R ot ov t o R ot oa t o R ot o

2 2 tan

xo A vo o BBR A B oA

Relaciones entre constantes y condiciones iniciales.

2Too

Perodo de la oscilacin libre no amortiguada

Se puede demostrar que la oscilacin libre no amortiguada corresponde a la proyeccin sobre la horizontal vertical de un movimiento circular uniforme de radio R, velocidad angular o y ngulo de fase inicial o...

Ejemplos:

A continuacin, soluciones y grficos para valores determinados de masa y resorte, pero modificando las condiciones iniciales.

3 48 Nm kg km

14o seg

0

d x o xdt

12; 1 ( ) 2cos (4 ) sin (4 )4

xo vo x t t t

10; 1 ( ) sin (4 )4

xo vo x t t

1; 4 ( ) cos(4 ) sin(4 )xo vo x t t t

2; 1xo vo

1; 4xo vo

0; 1xo vo

Vibraciones Libres con Amortiguamiento

En realidad, la mayor parte de los sistemas, encuentran durante su movimiento vibratorio friccin resistencia en forma de amortiguamiento.

Siempre retardan el movimiento y causan a largo o corto plazo que se extinga la respuesta libre. Depender de qu tan fuerte dbil sea este amortiguamiento, el cual se lo modela como elemento que le suma al sistema una fuerza opositora de carcter viscoso, que depende de la primera potencia de la velocidad.

0

d x dxm k xdt dt

( )

dx d xP k x mdt dt

Se demuestra que la solucin de esta ecuacin diferencial viene dada por una combinacin lineal de exponenciales, cuyos exponentes dependern del valor del discriminante del polinomio caracterstico asociado.

El valor del amortiguamiento viscoso se mide en kg/seg N seg/m.

2

1,2

( ) 0

42

t tx e e m k

m km

Se define como amortiguamiento crtico al valor de amortiguamiento que anula al discriminante.

Llamaremos factor de amortiguamiento relativo al cociente entre el amortiguamiento real y el crtico

2o

m

c

2 2c m k m o

La ecuacin caracterstica termina convirtindose en:

Ecuacin Caracterstica Universal (sistemas de 2do orden)

2o

m

0

2 0

d x dx k xdt m dt md x dxo o xdt dt

Respuesta Sobreamortiguada

>c >1 , (exponentes reales, distintos y negativos)

1 2

1 21 2

1 2

1 2

1 2 1 2

( )( )

t t

t t

x t Ae Bev t Ae Bexo A Bvo A B

xo vo vo xoA B

Ejemplos: Mostraremos la ecuacin diferencial que rige el

comportamiento y le modificamos las condiciones iniciales para obtener los distintos grficos

2 48 N segcm

0

2 0


3 48 24N N segm kg k cm m

(-8 - 4 3) t (-8 + 4 3) t

2; 11x(t) = [(24 17 3) (24 17 3) ]24

xo vo

e e

(-8 - 4 3) t (-8 + 4 3) t

0; 1

( )8 3

xo vo

e ex t

(-8 - 4 3) t (-8 + 4 3) t

1; 251x(t) = [(12 17 3) (12 17 3) ]24

xo vo

e e

Respuesta Crticamente amortiguada

= c = 1 (exponentes reales, iguales y negativos)

( )2

( )

t t

t t t

cx t Ae B t em

v t Ae B t e B exo Avo A B

Mostraremos la ecuacin diferencial que rige el comportamiento y le modificamos las condiciones iniciales para obtener los distintos grficos

Ejemplos:

0

2 0



24 N segcm

4 42; 1 ( ) 2 9t txo vo x t e t e

40; 1 ( ) txo vo x t t e

4 41; 25 ( ) 21t txo vo x t e t e

Respuesta Subamortiguada

2dT d

d es la frecuencia amortiguada pseudofrecuencia, depende de la frecuencia natural no amortiguada y del factor de

amortiguamiento relativo.Td es el perodo de la respuesta atenuada pseudoperodo.

cos

cos sin2

xo R

vo R d Rm

224 1

2m k

d om

2o

m

Ejemplos:

Mostraremos la ecuacin diferencial que rige el comportamiento y le modificamos las condiciones iniciales para obtener los distintos grficos

0

2 0



38c N seg

m

22 3 7 3 72; 1 ( ) 21cos 2 7 sin21 2 2

t

xo vo x t e t t

22 3 70; 1 ( ) sin23 7

t

xo vo x t e t

21 3 7 3 71; 25 ( ) 3cos 7 7 sin3 2 2

t

xo vo x t e t t

Decremento Logartmico

Se observa en un movimiento oscilatorio amortiguado (respuesta natural), que la amplitud de la oscilacin est dada por la funcin exponencial decreciente, la cual se define como envolvente de la vibracin. Por lo tanto, esta envolvente debe satisfacer en valores a la funcin respuesta en los picos de la oscilacin.

Se define como decremento logartmico al cociente entre dos picos consecutivos del mismo signo.

2( ) cos ( )t

mx t R e d t

2( )t

mx t R e

Registro de la respuesta libre de una oscilacin

Aplicacin de los decrementos logartmicos: Obtencin del factor de amortiguamiento por medio de la grfica.

21

an

n a

X eX

2

1

21ln n

n a

aX

X

2221 2 2

( )2

t a om aT a on m m d

t aTn a m

X R e e e eX R e

Se demuestra que el factor de amortiguamiento relativo slo depende de los valores de los picos y la cantidad de veces que pasa un pseudoperodo de tiempo en los instantes intermedios. Por lo que a partir de una simple grfica s qu tan amortiguado es el sistema.

Si tambin pudiese medir el tiempo T entre pico y pico, determino la frecuencia natural no amortiguada.

2

21

dTo

2da Parte

Vibraciones Forzadas

Sea un sistema fsico lineal que no varia con el tiempo, con una excitacin externa de carcter senoidal pulsante. La respuesta en rgimen permanente ser senoidal y tendr la misma frecuencia que la entrada. En caso de ser modificada esta frecuencia de montaje, luego de extinguirse el perodo transitorio correspondiente, se tendr nuevamente que la frecuencia de salida coincide con la de entrada. Pero se observa que la amplitud y el ngulo de fase habrn cambiado respecto al rgimen permanente anterior. Se dice que estas oscilaciones son forzadas porque el sistema se ve excitado por una fuerza externa de caractersticas oscilantes, la que llevar a oscilar al sistema por ms que se haya extinguido su oscilacin natural. Esto no dejar de ocurrir a no ser que desaparezca la perturbacin el montaje.

De la 2da Ley de Newton:

( ) cos( )

cos( )

ext

m

m

dq dvF m madt dt

dx d xP k x F t mdt dt

d x dxm k x F tdt dt

La solucin a esta ecuacin viene dada por la suma de la respuesta natural y la respuesta forzada, que es la que ms nos importar analizar

( ) ( ) ( )

( ) cos ( )

( ) sin ( )( ) cos ( )

H p

p M

M

M

x t x t x tx t X tv t X ta t X t

( ) cos( 1 ) cos ( )o t Mx t R e o t X t

( ) cos( 1 )o tnx t R e o t

cos( ) m


[ cos ( )] [ sin ( ) ]M Mm X t X t

cos ( ) cos( )M mk X t F t

cos ( ) cos ( ) cos ( ) sin( )sin( )sin ( ) sin( ) cos ( ) cos ( )sin( )

t t tt t t

cos ( ) sin( ) cos ( ) sin( ) cos ( ) sin( ) 0

M M M m

M M M

m X X k X FX m X k X

Amplitud mxima en rgimen permanente

2; tan

( ) m

MFX

k mk m

2 ; ; ;kc m o o zm c o

2/

1 4 m

MF kX

z z

2tan1

zz

Factor de Magnificacin

1 ; ;/ (1 ) 4 M

m

XM zF k c oz z

1 2 o

Caso donde la Amplificacin es Mxima (Resonancia)

La relacin entre la deformacin dinmica y la esttica se la define como factor de magnificacin. La deformacin esttica es aquella que experimenta el resorte cuando se le aplica la fuerza mxima pero de una manera continua no pulsante. Definimos z como factor de pulsacin, relacin entre frecuencia de montaje y natural.

2

12 1

MAXM

z00.20.30.40.50.6

M

Diagrama de fase

z

Analoga Elctrica

0

1 cos( )t

mdiL Ri i dt E tdt C

E

Ecuacin diferencial del RLC serie a condiciones iniciales nulas

F

L

m

Rk

C,x v

,q i

cos( )

1 cos( )

m

m


d q dqL R q E tdt dt C

Los circuitos elctricos estn caracterizados por ecuaciones diferenciales del mismo tipo que las obtenidas en un sistema mecnico. Por lo tanto, el anlisis es similar y cualquier resultado obtenido para un circuito elctrico tambin ser vlido, bajo ciertas condiciones, para un sistema mecnico equivalente. Es mucho ms fcil tomar los resultados experimentales de los circuitos elctricos y predecir lo que suceder en el sistema mecnico donde es ms difcil variar el valor de los componentes.En resumen, se dice que dos sistemas fsicos son anlogos cuando las ecuaciones diferenciales que describen la dinmica son las mismas.

2; tan 11

mM

E RqLL R CC

2; tan

( ) m

MFX

k mk m

tan tan(90 )A BsiB A

mF x

dxdt

d xdt

t

( ) cos ( )

( ) sin ( )( ) cos ( )

p M

M

M

x t X tv t X ta t X t

xdxdt

d xdt

M MV X

21

; arctan ( )

mM M

m C LM

L C

EI q

L RC

E X XIRR X X

Ntese que colocamos Xc-XL cuando siempre fue al revs, esto es porque en la grfica este ngulo es el valor en el que la corriente adelanta respecto de la tensin, luego si XC>XL esto ser correcto, caso contrario significa que el ngulo marcara un atraso de la corriente respecto a la tensin, que es precisamente cuando predomina el efecto inductivo en un RLC serie.

Modelar Sistemas Mecnicos con Analogas

Las analogas que vamos a ver son las siguientes: Analoga Fuerza Tensin y Analoga Fuerza Corriente. La Analoga Fuerza Tensin puede ser til en la mayora de los casos, incluso ms til para hacer el experimento en el laboratorio, pero muchas otras veces puede ser complicada de aplicar. En cambio la Analoga Fuerza Corriente es ms fcil de aplicar ya que presenta una mejor interpretacin de la realidad fsica, es decir, fsicamente es ms sencilla de comprender.

Sistema Sistema Mecnico

1 Principio Fsico 2da Ley de Newton

2 N de Ecuaciones Diferenciales N de Grados de Libertad

3 Elemento activo de Excitacin F = Fuerza (Newton)

4 1er Acumulador de Energa m = Masa (kg)

5 2do Acumulador de Energa k = cte Elstica (Newton/metro)

6 Disipador de Energa =Amortiguamiento Viscoso (N s /m)

7 Respuesta del Sistema x = Desplazamiento (m)

8 Derivada de la Respuesta v = Velocidad (m/s)

9 Vnculo e/ variables dependientes Elemento de Acoplamiento

Analoga Fuerza Tensin Analoga Fuerza Corriente

1 2da Ley de Kirchhoff 1ra Ley de Kirchhoff

2 N de Mallas N de Nodos

3 E = Fuerza Electromotriz (Voltios) I = fuente de corriente (Amper)

4 L = Inductancia (Henrios) C= Capacitancia (Faradios)

5 1/C = 1/Capacitancia (1/Fy) 1/L = 1/Inductancia (1/Hy)

6 R = Resistencia () 1/R = Conductancia (S)

7 q = Carga Elctrica (Coulomb) = integral del potencial

8 i = Corriente de Malla (Amp) u = Potencial en el Nodo (Volt)

9 Elemento comn a dos Mallas Elemento comn a dos Nodos

Modelado en varios grados de libertad

1 1 1 2

2 2 2 1

m L k Cm L k C

/e

ee

LCo o k m

Una de las aplicaciones de la analoga elctrica es el modelado en varios grados de Libertad, donde un diseador con tendencia a la electrotecnia puede ser capaz de modelar la dinmica de los sistemas mecnicos con el concepto de analoga. Con el objetivo de lograr una equivalencia total entre ambos sistemas fsicos, se emplean las siguientes relaciones de elementos activos y pasivos que los componen:

mm E CF R Ck x q k m L

No necesariamente los tiempos mecnicos y elctricos tienen que ser iguales.Por el contrario, resulta conveniente que sean diferentes, ya que en general los sistemas mecnicos suelen ser ms lentos.

Ejemplos de sistemas ms complicados

1 1 1 21 1 1 1 2 2 1 2 1

2 2 2 12 3 3 2 2 2 2 1 2

1 1 1 21 1 1 2 1 2 1

1 2

2 2 22 3 2 2

3

( )

( )

1 1 ( )

1

d x dx dx dxm k x k x x Fdt dt dt dt

d x dx dx dxm k x k x x Fdt dt dt dt

d q dq dq dqL R q R q q Edt dt C dt dt C

d q dq dq dL R q Rdt dt C dt

12 1 2

2

11 1 1 1 2 1 2 1

1 1 2 20 0

22 2 2 2 1 2 1 2

3 3 2 20 0

1 ( )

1 1 1 1 ( )

1 1 1 1 ( )

t t

t t

q q q Edt C

duC u u d u u u u d Idt R L R L

duC u u d u u u u d Idt R L R L

1m

2m

3mJ r

1

2

1k

2k

1x

2x

3x

1F

1 1 21 1 1 1 2 1

32 2 1 22 1 2 1 2 1

3 3 23 2 2 3

( )

( ) 0

0

d x dx dxm k x x Fdt dt dt

dxd x dx dx dxJm k x xr dt dt dt dt dt

d x dx dxm k xdt dt dt

11 1 1 2 1 2 3 1 3 1

32 22 1 2 2 1

3 21 3 3 1

( ) ( )

( ) 0

( ) 0

d xm k x k x x k x x Fdt

dxd x dxm k x xdt dt dtdx dx k x xdt dt

1 1 2 11 1 2 1 1 1

2 2 12 1 2 2 2

d x dx dx dxm k x Fdt dt dt dt

d x dx dxm k x Fdt dt dt

k1

m1

m2

k2

F1

F2

x1

x2

Introduccin a la Mecnica Analtica: Ecuaciones de Lagrange

Louis Lagrange publica su obra Mecnica Analtica en 1788, en la cual propone un mtodo para obtener las ecuaciones diferenciales del movimiento para sistemas mecnicos. Muchas veces el desarrollo termina expresando la 2da Ley de Newton, esto indica que Lagrange observ la mecnica desde un punto de vista ms general. Es ms sencillo plantear las ecuaciones diferenciales que gobiernan la dinmica del sistema estudiado.

El uso de las ecuaciones de Lagrange generar una cantidad de ecuaciones diferenciales igual al nmero de grados de libertad del sistema mecnico.

Este mtodo es ms poderoso an que la analoga elctrica.

Los parmetros que intervienen en la formulacin de las ecuaciones de Lagrange son los siguientes: Energa cintica total del sistema: suma de las energas cinticas de las partculas. Energa potencial total del sistema: suma de las energas potenciales de las partculas. Coordenada generalizada: cada grado de libertad del sistema se expresa mediante una coordenada generalizada. Velocidad generalizada: derivada temporal de las coordenadas generalizadas. Fuerzas generalizadas. Representa la excitacin externa

Mientras que con la mecnica newtoniana se maneja un agente exterior al cuerpo (fuerzas) en la mecnica analtica se manejan magnitudes asociadas al cuerpo (energas).

1 2 3, , ,......, nq q q q q

Vector de coordenadas generalizadas

31 2, , ,......, ndq dqdq dqdqdt dt dt dt dt

Vector de velocidades generalizadas

1 2 3, , ,......, nQ Q Q Q Q

Vector de fuerzas generalizadas

cE

PE

DE

Energa cintica total

Energa potencial total

Pseudopotencia de disipacin

c PL E E Lagrangiano funcin de Lagrange

Di

i ii

Ed L L Qdq dqdt qdt dt

0i i

d L Ldqdt qdt

* . 0ext extF U F dl

Para el caso conservativo, se tiene que:

Ejemplos:

Sistema masa resorte elemental: 2

2

1 1 2 2

1 1 2 2

C PdxE m E k xdt

dxL m k xdt

L dx d L d xm mdx dxdt dt dtdt dt

L k xx

0d L Ldxdt xdt

0

d xm k xdt

22

1 1 ( ) ( )2 2

1 1 ( ) ( )2 2

( )

( ) 0 0

C PdxE m E k x m g xdt

dxL m k x m g xdt

L dx d L d xm mdx dxdt dt dtdt dt

L k x mgx

d x d xm k x mg m k xdt dt

Sistema Absorbedor de Vibraciones

Cuando un sistema de un grado de libertad se acopla a otro sistema, tambin de un grado de libertad, est cumpliendo la funcin de absorbedor de vibraciones dinmicas. Es decir, se basa en que un sistema elemental funcione como auxiliar del otro. Como consecuencia de esto, el nuevo sistema ser de 2 grados de libertad, por lo que tendr dos frecuencias propias de vibracin (frecuencias naturales). Si la frecuencia externa de montaje (frecuencia de excitacin) est en el medio de los 2 valores de frecuencias naturales, la masa principal del sistema tendr una amplitud de vibracin mucho menor que antes de que se acoplara el absorbedor. Quiere decir que usamos el absorbedor de vibraciones para disminuir la amplitud del sistema en rgimen permanente para una frecuencia dada.

m1 m1

m2

k1 k1

k2 x1

x2

x1

Fo Cos tFo Cos t 2 21 21 2

1 1 2 2 1

2 21 2

1 2 1 1 2 2 1

1 11 1

1 1

1 1 2 21

1 12 21 1 ( )2 2

1 1 1 1 ( )2 2 2 2

(

C

P

dx dxE m mdt dt

E k x k x x

dx dxL m m k x k x xdt dt

dx d xL d Lm mdx dxdt dt dtdt dt

L k x k xx

1)( 1)x

11 1 1 2 1 2

22 2 2 1

( ) cos( )

( ) 0

d xm k x k x x Fo tdtd xm k x xdt

2 2

1 1 1 2 1 2 2 2

( ) ( )( ) M M

Fo k mFoX Xk m k k m k m k

Sin absorbedor Con absorbedor

Amplitudes mximas en rgimen permanente

Valor de constante elstica para que el pndulo invertido oscile

22 2

22

1 1 1sin sin cos2 2 2

1 sin cos2

C PdE m l E k l k l m g ldt

dL m l k l m g ldt

2 sin cos sin

L d d L d Lml ml kl m g ld ddt dt dtdt dt

2 sin cos sin 0 (2 ) 0

dml kl m g ldtdml kl m g ldt

0 ( ) cos( ) sin( )

0 ( ) ch( ) sh( )

d o t A t B tdtd o t A t B tdt

2 02mgkl m g l k

l

k1m2m

la

1( )F t

2 ( )F t

1 2

2 21 2

1 2

1 2 1 1 2 2

1 12 21 (sin sin ) (1 cos ) (1 cos )2

C

P

d dE m l m ldt dt

E k a m g l m g l

Sistema de dos pndulos simples vinculados por resorte:

1 11 1

1 1

d dL d Lm l m ld ddt dt dtdt dt

1 2 1 1 11

(sin sin )cos sinL k a m g l

11 1 2 1 1 1

22 2 1 2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

dm l k a m g l a F tdtdm l k a m g l l F tdt

3ra Parte

( ) cos( 1 ) cos ( )o t Mx t R e o t X t

( ) cos( 1 )o tnx t R e o t

Amplitud mxima en rgimen permanente

2; tan

( ) m

MFX

k mk m

2 ; ; ;kc m o o zm c o

2/

1 4 m

MF kX

z z

2tan1

zz

1 ; ;/ (1 ) 4 M

m

XM zF k c oz z

1 2 o

Caso donde la Amplificacin es Mxima (Resonancia)

2

12 1

MAXM

1(1 ) 4

Mz z

1 ; 9 / ; 5 ; 0; 0

sin

5x(t) = - [6 t cos(3 t) - sin(3 t) + cos(6 t) sin(3 t) - cos(3 t) sin(6 t)]36

m kg k N m Fm N xo vo

d x km kx Fm tdt m

z

MXx

tM

z 1X

MX

z

x

t

2 sin 1 2 d x dx Fmo o x o tdt dt m

1 ; 9 / ; 5 ; 0; 0; 0.2m kg k N m Fm N xo vo

EJEMPLO DE RESONANCIA: PUENTE DE TACOMA

La importancia de un diseo dinmico adecuado que evite la aparicin de resonancias queda reflejada de forma explcita en un ejemplo tan conocido como el del Puente de Tacoma, pequea ciudad del estado de Washington de cerca de 200.000 habitantes. De cara a salvar las dificultades orogrficas de la zona, ya en 1928 la Cmara de Comercio de Tacoma inici las consultas con vistas a la posible construccin de un puente colgante.Finalmente, en 1938 se inici la construccin del puente adoptando una solucin basada en un puente colgante con dos pilares.El proyecto del puente, en su momento el tercero del mundo en cuanto a sus dimensiones, no consider la hiptesis de viento como potencial causante de inestabilidades estructurales pese a que ya para aqul entonces existan casos documentados en tal sentido. La apertura al trfico se produjo el 1 de Julio de 1940 y ya desde un principio se detect la tendencia de la estructura a oscilar transversalmente debido a la accin de vientos de una determinada gama de intensidades.

El 7 de noviembre, de 1940, en plena madrugada, los vientos alcanzaron una velocidad de 70 km/h (la mxima desde su apertura) haciendo oscilar el puente de manera importante y obligando a la polica a cortar el trfico. A las 9:30 AM el puente oscilaba con una amplitud de 0.9m y una frecuencia de 0.6 Hz. En unos instantes, la oscilacin angular alcanzaba los 35 y los pilares sufran deflexiones de cerca de 3.6 m en su extremo superior, 12 veces los parmetros utilizados en su diseo.A partir de aqu, la situacin se mantuvo inalterable durante cerca de una hora hasta que a las 11:00 AM se desprendi en primer pedazo de pavimento. Finalmente, el puente termin rompindose por completo a las 11:10 AM cayendo al ro.

Transmisibilidad

El grfico de la amplitud en rgimen permanente no informa acerca de la fuerza que se transmite a la base, por lo que hay que definir una nueva magnitud para tener idea de qu le ocurre a los soportes mientras los sistemas operanSe conoce como aislamiento de vibraciones a todo aqul procedimiento que permite reducir los efectos indeseables asociados a toda vibracin. Bsicamente, ello suele suponer la introduccin de un elemento elstico (aislante) entre la masa vibrante y la fuente de vibracin, de forma que se consigue reducir la magnitud de la respuesta dinmica del sistema, bajo unas determinadas condiciones de la excitacin en vibracin.Un elemento elstico (que incorpora una rigidez) y un elemento disipador de energa (que aporta un amortiguamiento) son los componentes de acople en los sistemas mecnicos, como reaccionan ante el movimiento se los denomina controladores pasivos. Ejemplos de aislantes pasivos son: un resorte metlico, un corcho, un fieltro, un resorte neumtico, un elastmero.

La efectividad de un aislante de vibraciones se establece en trminos de su transmisibilidad. sta puede definirse como el cociente entre la amplitud de la fuerza transmitida y la de la fuerza de excitacin.Los problemas principales que el aislamiento de vibraciones plantea pueden encuadrarse dentro de una de estas dos situaciones:

1) Aislar un sistema que vibra de la base que lo soporta para que sta no sufra y/o no transmita la vibracin a su entorno.En este caso, las fuerzas que excitan al sistema dando lugar a la vibracin pueden tener su origen en desequilibrios, cuando se trata de sistemas mecnicos con elementos alternativos o rotativos; o pueden tratarse de fuerzas de carcter impulsivo, es el caso de sistemas de prensa, estampacin, explosiones,

Mecanismo Pistn Biela Manivela

2) Aislar el sistema mecnico a estudio de la base que lo soporta y que est vibrando (excitaciones ssmicas).Este puede ser el caso de la proteccin de un instrumento o equipo delicado del movimiento de su contenedor o su base soporte. En la prctica, el problema por ejemplo puede ser disear correctamente un embalaje para evitar la transmisin de fuerzas de magnitud importante al instrumento delicado o equipo que se quiere transportar.

REDUCCIN DE LA FUERZA TRANSMITIDA A LA BASE

Si el sistema se modeliza como un sistema de un grado de libertad, la fuerza de excitacin se transmite a la fundacin o base a travs del resorte y el amortiguador y su valor viene dado por la suma de ambas componentes.Si la fuerza transmitida a la base vara de forma armnica (como es el caso de sistemas con elementos rotativos), las tensiones y deformaciones que tendrn lugar sobre los elementos de unin a la fundacin tambin variarn armnicamente, lo que podra llegar a provocar un fallo por fatiga. Incluso en el caso de que la fuerza transmitida no sea armnica, su magnitud deber limitarse por debajo de unos valores de seguridad.

Cuando una mquina rotativa se sujeta directamente sobre una fundacin rgida, sta se ver sometida a la accin de una fuerza armnica debida al desequilibrio de la mquina rotativa que se superpondr a la carga esttica asociada a su peso. Por ello, se colocar un elemento elstico entre la mquina y la fundacin que trate de reducir las fuerzas transmitidas a esta ltima.

cos( ) m


cos ( )Mk X t sin ( )MX t

( ) ( ) T MAX M M MF X k X X k

1 4 ; ;

(1 ) 4 T MAX

Rm

F zz

F c oz z

R

z2

1

2

2R

R

z

z

CONSIDERACIONES PRCTICAS SOBRE LA TRANSMISIBILIDAD

Para poder decir que se ha conseguido el aislamiento es preciso que la Transmisibilidad sea < 1. Puede observarse que ello obliga a que la frecuencia de excitacin sea como mnimo 1.41 veces la frecuencia natural del sistemaPara valores de factor de pulsacin prximos a la unidad, el sistema no acta como aislante, sino como amplificador, por lo que transmite esfuerzos superiores a los originales.Por lo que al amortiguamiento se refiere, la transmisibilidad tambin puede reducirse disminuyendo la relacin de amortiguamiento en el caso de factor de pulsacin mayor a 1.41. Sin embargo, este planteamiento resulta perjudicial si el sistema se ve obligado a pasar por la resonancia, por ejemplo durante situaciones de arranque y parada. Por ello, en cualquier caso, siempre ser necesario un cierto amortiguamiento que evite amplitudes de vibracin infinitamente grandes en el paso por la resonancia.

Caso en que la base se mueve y transmite movimiento

( ) ( ) 0

ss

d x xd xm k x xdt dt

1 4 ; ;

(1 ) 4 R S

zX zX c oz z

X

SX

4ta Parte

1) Un motor elctrico que pesa 25 kg est soportado por cuatro resortes que tienen una cte. k = 200 kg/cm cada uno. El desequilibrio que presenta el rotor es producido por un tornillo prisionero que pesa 30 g y est ubicado a 15 cm del eje del motor. Conociendo que el motor solo puede moverse verticalmente, se pide encontrar la amplitud mxima del mismo en el estado permanente cuando gira a 1.500 rpm, considerando:a) que no existe amortiguamiento; b) que el factor de amortiguamiento es 0,125.

2) Como ya es conocido, cuando la relacin / 0 es muy pequea, la principal caracterstica del movimiento es que las elongaciones producidas por la accin dinmica de la fuerza perturbadora no difieren mayormente de aquellas que resultaran de una accin puramente esttica. Esta circunstancia resulta de utilidad en el diseo de manmetros que deben medir presiones variables. As por ejemplo, si el manmetro indicado tiene una cte. de resorte k = 17,86 kg/cm. Se pide determinar el peso mximo del pistn si la frecuencia de la presin es de 600 ciclos por minuto y se pide un lmite de error del 2 %.

3) Determinar la amplitud de la vibracin vertical del remolque indicado, el cual se encuentra montado sobre resortes cuando avanza a una velocidad de 25 km/h sobre un camino de troncos que puede asimilarse a una sinusoide (o cosinusoide). El remolque pesa 500 kg y la masa de las ruedas es despreciable para el clculo. Durante la carga del remolque, por cada incremento de 75 kg los resortes se comprimen 3 mm. Suponiendo que las ruedas estn siempre en contacto con el camino y despreciando el amortiguamiento, determinar adems la velocidad crtica vc donde la vibracin ser mxima.

4) Plantear el sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento del circuito mecnico mostrado. Justificar por el mtodo de las coordenadas generalizadas de Lagrange.

Muchas Gracias

Documents

MECANICA - SEMINARIO VIBRACIONES