Embed Size (px)
Citation preview
Meccanica 1211 aprile 2011
Urti
Conservazione della quantita` di moto e teorema dell’impulso
Energia cinetica
Urti elastici e anelastici
Urto con corpi vincolati
Urto
• È un’interazione tra due (o più) corpi che avviene in un intervallo di tempo “piccolo”
• Abbastanza piccolo affinché l’azione di eventuali forze esterne al sistema dei due corpi sia trascurabile rispetto all’azione delle forze interne
• Durante l’urto si sviluppano forze interne di durata t molto breve ma che possono assumere intensità molto elevate
• Queste sono dette forze impulsive2
Tipologia
• Urti in una, due, tre dimensioni
• Urti fra punti materiali
• Urti fra punti materiali e corpi estesi
• Urti fra corpi estesi
3
Definizioni
• Distinguiamo due stati: quello iniziale prima dell’urto e quello finale dopo l’urto
• Ci interessa correlare i valori che le grandezze assumono negli stati iniziale e finale
• Non ci occuperemo invece di quel che accade durante l’urto
4
Definizioni• Diciamo m1 e m2 le masse dei due corpi
• Diciamo v1i , v2i le velocità dei due corpi nello stato iniziale e v1f , v2f nello stato finale
m1m2
v1i
v2iStato iniziale
v1f
v2f
Stato finale
Urto
tempo
5
Conservazione della QM
• In assenza di forze esterne, la QM del sistema dei due corpi si deve conservare
• Riarrangiando, troviamo la variazione di QM di ciascun corpo
m1
v 1i m2
v 2i m1
v 1 f m2
v 2 f
p i
p f
m1
v 1 f
v 1i m2
v 2 f
v 2i
p 1
p 2 6
Teorema dell’impulso
• Cioè la variazione di QM del primo corpo è uguale e contraria a quella del secondo
• Ciò si può anche esprimere col th. dell’impulso tenuto conto che le forze di interazione sono uguali e contrarie
)2(1
0
)2(11111 JdtFpvvmt
if
)1(2
0
)1(22222 JdtFpvvmt
if
7
Sistema del CM• Fintanto che si possono trascurare le
forze esterne agenti sul sistema dei due corpi, la velocità del CM è costante
• Mediante una trasformazione di Galileo possiamo metterci in un sistema inerziale in cui la velocità del CM è nulla
• Tale sistema è, ovviamente, il sistema del CM
• La relazione tra le velocità espresse nel sistema iniziale e nel sistema del CM è
• In questo sistema la QM di moto è sempre nulla
V CMi
V CMf
v *
v
V CM
8
Conservazione della QM
• Si può assumere che la QM si conservi anche in presenza di forze esterne, a patto che queste non siano impulsive e quindi siano abbastanza deboli per non cambiare sostanzialmente la QM del sistema nell’intervallo di tempo in cui avviene l’urto
• Nel limite ideale di durata infinitesima dell’urto qualunque forza non impulsiva dà contributo nullo alla QM
9
Conservazione della QM
• Questo si può vedere usando il teorema del valor medio applicato alle forze esterne
• Se Fex (e quindi <Fex>) rimane limitata, per t infinitesimo l’impulso diventa infinitesimo
tFdtFJ ex
t
exex
0
10
Riassunto
• Nell’urto avviene uno scambio di QM tra i due corpi che costituiscono il sistema, dovuto alle forze interne che agiscono fra loro
• La QM del sistema si conserva, cioè la QM dello stato iniziale è uguale alla QM dello stato finale
11
Energia meccanica, cinetica
• Generalmente l’energia meccanica non si conserva in un urto
• Tutto dipende dal fatto se le forze interne sono conservative oppure no
• Lo stesso vale per l’energia cinetica, che in generale non si conserva in un urto
• Useremo il th. di König dell’energia cinetica
K KCM K* 1
2m1 m2 VCM
2 1
2m1v1
*2 1
2m2v2
*2
12
Urti anelastici
• Un urto è più o meno anelastico a misura di quanta energia cinetica K viene persa
• Un urto è elastico se K si conserva• È totalmente anelastico se la perdita di K è
massima• Per sapere quando questo accade ci si pone
nel sistema del CM e si richiede che l’energia cinetica dopo l’urto sia nulla (i due corpi rimangono attaccati formando un unico corpo)
K f* 0 urto totalmente
anelastico 13
Urti anelastici
• Nei casi intermedi possiamo definire il coefficiente di restituzione
• Il caso elastico corrisponde a e=1• Il caso totalmente anelastico a e=0
e K f*
K i*
14
Urto totalmente anelastico fra due corpi
• Stato iniziale• Dalla definizione di CM possiamo anche
scrivere• Stato finale: i due corpi si attaccano insieme
• Quindi • Poiché agiscono solo forze interne, la QM si
conserva, ne segue
m1
v 1i m2
v 2i
p i
m1 m2 v f p f m1 m2
V CMf
m1 m2 V CMi
p i
v f
V CMf
v f
V CMf
V CMi
m1
v 1i m2
v 2i
m1 m215
Urto totalmente anelastico fra due corpi
• Confrontiamo l’energia cinetica nello stato iniziale:
• e nello stato finale
• La perdita di energia cinetica è pari a
K i KCMi K i* 1
2m1 m2 VCM
2 K i*
K f KCMf K f* 1
2m1 m2 VCM
2 0
K i*
16
Urto elastico in 1-D• Consideriamo il semplice caso di urto in 1-D,
cioè tale per cui le velocità, iniziali e finali, sono tutte lungo una sola direzione (urto centrale)
• Applichiamo la conservazione della QM
• e la conservazione dell’energia cinetica
m1v1i m2v2i m1v1 f m2v2 f
1
2m1v1i
2 1
2m2v2i
2 1
2m1v1 f
2 1
2m2v2 f
2
17
Urto elastico in 1-D
• Le due eqq. costituiscono un sistema in due incognite, che è possibile risolvere con i metodi noti; otteniamo
v1 f m1 m2
m1 m2
v1i 2m2
m1 m2
v2i
v2 f 2m1
m1 m2
v1i m1 m2
m1 m2
v2i
18
Urto elastico in 2-D
• Se l’urto non e` centrale i principi di conservazione non bastano a risolvere il problema
• Abbiamo tre eqq. ma quattro incognite:
19
ffii vmvmvmvm 22112211
1
2m1v1i
2 1
2m2v2i
2 1
2m1v1 f
2 1
2m2v2 f
2
i
f
p1i p2i
p1f
p2f
pi
pf
,,, 21 ff pp
Urto con corpi vincolati
• Se c’è un vincolo che tiene fermo un punto del corpo, durante l’urto si genera una forza vincolare impulsiva (esterna) e quindi la QM non si conserva
• Il vincolo agirà con una risultante di forze F e di momenti , i cui effetti, nell’intervallo di tempo dell’urto, sono l’impulso e l’impulso angolare
t
dtFJ0
t
dtH0
20
Urto con corpi vincolati
• L’impulso è uguale alla variazione di quantità di moto
• L’impulso angolare è uguale alla variazione di momento angolare
pdtFJt
0
LdtHt
0
21
Momento angolare
• Se agiscono solo forze interne al sistema dei due corpi, il MA si conserva
• Il MA si conserva anche rispetto ad un polo fisso in un sistema inerziale o rispetto al CM se il momento delle forze esterne rispetto a quel polo è nullo
22
