Meccanica 621 marzo 2011

Cambiamento di sistema di riferimento

Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz)

Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni

Trasformazioni con sistemi non inerziali

Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme

Sistemi di riferimento inerziali

• Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio di Newton

• Nella meccanica newtoniana i sistemi inerziali rivestono un ruolo speciale

• In essi infatti le leggi fisiche assumono la forma più semplice

• È spesso utile, nello studio dei sistemi fisici, cambiare sistema di riferimento

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Sistemi di riferimento inerziali

• Il cambiamento più frequente è quello che porta da un sistema inerziale ad un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso

• Vedremo tra breve che anche il nuovo sistema è inerziale

• Solitamente gli assi del secondo sistema si scelgono paralleli agli assi corrispondenti del primo

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Sistemi di riferimento inerziali

• Le equazioni che permettono di passare dal primo sistema (inerziale) S(O,x,y,z) al secondo S’(O’,x’,y’,z’) sono le seguenti

Rrr

'

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

R

rr’

Posizione del corpo in S’=Posizione del corpo in S – posizione dell’origine O’ (rispetto a S)

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Sistemi di riferimento inerziali

• Con la condizione che R sia• Ove R0 è la posizione dell’origine O’, rispetto

ad O al tempo t=0

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

RR0

V

R

R 0

V t

5

Sistemi di riferimento inerziali

O

z

x

y

O’

z’

x’

y’

R

V

• Per semplicità spesso si sceglie R0=0 e la velocità V parallela ad uno degli assi di S, p.e., l’asse x

tVrr

'

zz

yy

Vtxx

'

'

'

6

Trasformazioni di Galileo

• Ad esse possiamo aggiungere l’equazione di trasformazione del tempo t’=t che stabilisce che il tempo è sempre lo stesso (il tempo è assoluto) e che non cambia col sistema di riferimento

• Le equazioni di trasformazione trovate sono dette trasformazioni di Galileo

tt

zz

yy

Vtxx

'

'

'

'

7

Trasformazioni inverse

• Tali trasformazioni sono facilmente invertibili: basta scambiare le coordinate di S con quelle di S’ e cambiare il segno alla velocità

• Si vede quindi che c’è simmetria tra i due sistemi S e S’ e si intuisce che il sistema S’ debba essere anch’esso inerziale

'

'

'

'

tt

zz

yy

Vtxx

8

Trasformazioni di Lorentz• In relativita` le trasformazioni di Galileo sono

sostituite da quelle di Lorentz

xc

Vtt

zz

yy

Vtxx

2'

'

'

'

'2

'

'

'

'

xc

Vtt

zz

yy

Vtxx

2

1

1

cV

V

9

Inerzialità• Mostriamo ora che il nuovo sistema di

riferimento è davvero inerziale• A tal fine calcoliamo la velocità di un punto

materiale in entrambi i sistemi

zz

yy

xx

vdt

dz

dt

dzv

vdt

dy

dt

dyv

VvVdt

dx

dt

Vtxd

dt

dxv

'

''

'

''

'

''

'

'

'

Legge di trasformazionedelle velocità

10

Inerzialità• E l’accelerazione

zzz

z

yyy

y

xxxx

x

adt

dv

dt

dva

adt

dv

dt

dva

adt

dv

dt

Vvd

dt

dva

'

''

'

'

'

'

''

'

'

'

'

'

'

Legge di trasformazionedelle accelerazioni

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Inerzialità

• Quindi il punto materiale ha accelerazione nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’ se e solo se accade lo stesso nel sistema S

• Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale• Ciò significa anche che dato un sistema

inerziale possiamo trovare una triplice infinità di sistemi inerziali, tanti quante sono le possibili scelte della velocità di traslazione V

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Trasformazioni più generali• In linea di principio una qualunque

trasformazione di coordinate del tipo• non può cambiare la fisica di un

fenomeno, ma solo la descrizione che ne facciamo

• In pratica però esistono trasformazioni (cioè sistemi) per cui la descrizione del fenomeno è molto più semplice che per altre

• Sono questi, come già detto, i sistemi inerziali

tzyxhz

tzyxgy

tzyxfx

,,,

,,,

,,,

'

'

'

13

Sistema di riferimento solidale con la terra

• A volte è però conveniente considerare trasformazioni, un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un sistema inerziale

• L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio non rettilineo uniforme e a moto di rotazione

• È questo, in particolare, il caso importantissimo del sistema di riferimento solidale con la terra, la quale ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema inerziale

• Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni atmosferici su larga scala

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Sistemi accelerati

• Invece di considerare il caso più generale, ci limiteremo a considerare – il caso di un sistema in moto rettilineo

uniformemente accelerato parallelamente ad un asse coordinato (p.e. z)

– Il caso di un sistema in moto rotatorio uniforme attorno ad un asse coordinato (p.e. z)

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Le equazioni di trasformazione sono

O

y

x

z

O’

y’

x’

z’

R

r

r’

Rrr

'

200

'

'

'

2

1AttVZztZzz

yy

xx

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè che accelera verso il basso (rispetto a S) con accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e che inizialmente (per t=0) è fermo con l’origine O’ coincidente con O

2'

'

'

2

1Atzz

yy

xx• In altri termini S’ è il sistema solidale con un grave in caduta libera

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• Le equazioni di trasformazione per la velocità e l’accelerazione

Atvv

vv

vv

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

Aaa

aa

aa

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

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Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato

• In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti, quindi le componenti della velocità in S’ sono identicamente nulle e lo stesso vale per l’accelerazione

• Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo che A=g)

Atvv

vv

vv

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

0

0

0

Aaa

aa

aa

zz

yy

xx

'

'

'

'

'

'

0

0

0

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Dinamica in un sistema accelerato

• Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel sistema S’ il secondo principio di Newton non è valido

• Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre continui ad agire, abbiamo

• Si può però estendere il secondo principio ai sistemi accelerati introducendo opportune forze “d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg)

totigzzFFFmAmama '

'

gzFma 0'

'

20

Dinamica in un sistema accelerato

• In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la forza di gravità, per cui in S’ (sistema che trasla di moto uniformemente accelerato con A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo

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Sistema in moto rotatorio uniforme

• Consideriamo un sistema S’ con asse z’ coincidente con l’asse z del sistema S, in rotazione (rispetto a S) con velocità angolare attorno a z

• Le equazioni di trasformazione sono

O

x

y

z

O’

x’

y’

z’

r(t)r(t+dt)

rdrdrd

'

Spostamento del corpo in S’=Spostamento del corpo in S – Spost. dovuto alla rotazione di S’ (rispetto a S)

drdr’

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O’

x’

y’

z’

r’(t)

r’(t+dt)

dr’

O

x

y

z

r(t) r(t+dt)

dr

23

Sistema in moto rotatorio uniforme

• E per la velocità e l’accelerazione

rvrdt

d

dt

rd

dt

rdv

'

'

vadt

rd

dt

vd

dt

vda

''

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Sistema in moto rotatorio uniforme

• Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S (trattenuto p.e. da una fune) di moto circolare uniforme attorno a z

• In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’ e, di conseguenza, anche accelerazione nulla

• In tal caso le eqq. diventano

• Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme

rvv

'0vaa

'0

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Dinamica in un sistema accelerato

• Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono incompatibili col secondo principio di Newton

• Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad agire sul corpo in rotazione, abbiamo

• Si può però estendere il secondo principio al sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna forza “d’inerzia” Fi accanto alla forza “reale” Ff

• Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S

totif FFFvmamam

'

fFam

0'

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Dinamica in un sistema accelerato

• In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo

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