Meccanica ComputazionaleMeccanica Computazionaleunina.stidue.net/Politecnico di Milano/Ingegneria...CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI • Approccio lagrangiano it t tistante t istante

Corso di

Meccanica ComputazionaleMeccanica Computazionale

Docente: Massimiliano Bocciarelli

Corso di Meccanica Computazionale – Docente Massimiliano Bocciarelli

STATICA DEI MEZZI CONTINUI

• Definizione del tensore di sforzo

ΔRP

ΔΣ nαΔM

⎧• Il vettore σα(P,nα) è detto sforzo nel punto P; il suo valore dipende dalla posizione di P e dalla

0lim

Si postula che: lim 0

αΔΣ→

Δ⎧ =⎪⎪ ΔΣ⎨ Δ⎪ =

R σ

M

suo valore dipende dalla posizione di P e dalla normale nα• L’insieme di tutti i vettori σα al variare di nαindividua lo stato di sforzo in P


0lim 0

ΔΣ→⎪ =⎪ ΔΣ⎩

individua lo stato di sforzo in P• σ-α = - σα

• Relazione di CauchyPer equilibrio alla traslazione:

x3

( )1 1 2 2 3 3

1 1 2 2 3 3n n nα

α α α

ΔΣ = ΔΣ + ΔΣ + ΔΣ

= + + ΔΣ

σ σ σ σσ σ σ

-σ1 ΔΣ1-σ2 ΔΣ2

n

P x2

nα1 1 2 2 3 3n n nα α α α= + +σ σ σ σ

x1 ΔΣ

σα ΔΣα

ΔΣ ΔΣ

11 21 31

12 1 22 2 32 3n n nα α α α

σ σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= σ + σ + σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ1 -σ3 ΔΣ3i i

cos(n i)

nα

α αΔΣ = ΔΣ 13 23 33⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ σ σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

11 21 31 1

12 22 32 2

nn

α

α α

σ σ σ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥= σ σ σ⎢ ⎥ ⎢ ⎥σi ij jnα α=σ σ


13 23 33 3nα⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ σ σ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

i ij jα α

• Stato di sforzo

componenti normali

asse nella direzione della componente

τ 1 3asse ortogonale

)321( ,,iσii =p

della componenteasse ortogonale al piano della

sezione

)( jiij ≠τcomponenti tangenziali


ij

• Simmetria del tensore di sforzo


• Sforzi e direzioni principali

0n)I(nn =−→== αααα σσσσσ

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡ ττσ−σ α 01312111 n

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ σ−στττσ−στ

α

α

00

3

2

332313

322212

nn

3 20 0I In ,

det( I ) J J J nσ

σ σ σ σ σ σ⎧⎪− = ⇒ − + − = ⇒ ⎨

⎭⎩⎭⎩⎦⎣ α3332313

1 2 30 0 II IIIII III

det( I ) J J J n ,n ,

σ σ σ σ σ σσ

= ⇒ + = ⇒ ⎨⎪⎩

Sf i di i i

simmetrica ⇒ teorema algebra lineare assicura l’esistenza di tre radici

Sforzi e direzioni principali1 11 22 33

2 11 22 22 33 11 33 12 21 23 32 13 31

JJ

σ σ σσ σ σ σ σ σ τ τ τ τ τ τ

⎧ = + +⎪

= + + − − −⎨⎪

dove:


3J det( )σ⎪ =⎩ Invarianti di sforzo

• Stato di sforzo: componente idrostatica e deviatorica

ijijij Sp +δ=σ ⎨⎧=

=δji se 1

ijijij Sp +δσ⎩⎨ ≠

=δjiij se 0

componente idrostatica di sforzo

componente deviatorica di sforzo

⎥⎤

⎢⎡ ττ−σ

⎥⎤

⎢⎡ pp 31211100

idrostatica di sforzo

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −στττ−στ+

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=σp

pp

p

332313

322212

0000

)(11Jp σ+σ+σ

Pressione Idrostatica

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ ττ

σ−σ−σ3

23121

332211

Deviatore di Sforzo

)(31

)(33 332211

1

IIIIII

p

σ+σ+σ=

σ+σ+σ==

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣σ+σ−σ−

ττ

τσ−σ+σ−

τ=

32

32

3322112313

32332211

12S


3 ⎦⎣

• Rotazione di un tensore col sistema di riferimento

x3 z

1 2 3 11 21 31 1 1 1

1 2 3 12 22 32 2 2 2

xx yx zx x x x x y z

xy yy zy y y y x y z

n n n n n nn n n n n n

σ τ τ σ τ ττ σ τ τ σ τ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥= ⋅ ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1 2 3 13 23 33 3 3 3

1 1 1

xz yz zz z z z x y z

x y z

n n n n n nτ τ σ τ τ σ

σ σ σ

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤⎢ ⎥

2 2 2

3 3 3

x y z

x y z

σ σ σσ σ σ

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


1 2 3( x,y,z ) T ( , , )N Nσ σ=

⎬⎫

⎨⎧

⎬⎫

⎨⎧⎪

⎬⎫⎪

⎨⎧ ∧ ααxx coscos)(cos 1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

⎭⎬

⎩⎨=

⎭⎬

⎩⎨ −

=⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨=

∧

∧

∧

αα

ααyxn

ααxxn

y

x

cossin

cos)90(cos

)(

)(cos

sin)90(cos)(cos

)(

1

2

1

⎭⎩⎭⎩⎪⎭⎪⎩ααyx coscos)(cos 2

⎥⎤

⎢⎡ α−α

⎥⎤

⎢⎡ τσ

⎥⎤

⎢⎡ αα

=⎥⎤

⎢⎡ τσ sincossincos 1211xyxx 1 2( x,y ) T ( , )N Nσ σ=

xn yn

T

⎥⎦

⎢⎣ αα

⎥⎦

⎢⎣ στ

⎥⎦

⎢⎣ αα−

=⎥⎦

⎢⎣ στ cossincossin 2212yyyx

N Nσ σ=

αατ+ασ+ασ=σ=σ cossin2sincos 122

222

11xTxxx nn

αατ−ασ+ασ=σ=σ cossin2cossin 122

222

11yTyyy nn


)sin(coscossin)( 22122211 α−ατ+αασ−σ−=σ=τ xTyxy nn

• Equilibrio in forma forte e al contorno

P ilib i ll t l ix3

-σ1

σ3+dσ3 1 2 3 1 1 2 32 1 3 2 2 1 3

dx dx ( d )dx dxdx dx ( d )dx dx

− + + +

− + + +

σ σ σσ σ σ

Per equilibrio alla traslazione:

σ1

σ2+dσ2-σ2

2 1 3 2 2 1 3

3 2 1 3 3 2 1

1 2 3

( )dx dx ( d )dx dx

dx dx dx− + + +

+ =

σ σ σF 0

P x2σ1+dσ1

F1 2 3∂ ∂ ∂+ + + =

∂ ∂ ∂σ σ σ F 0

x1-σ3

F1 2 3x x x∂ ∂ ∂

⎧∂σ ∂σ ∂σF = forze di volume [N/m3]

11 21 311

1 2 3

12 22 32

F 0x x x

F 0

⎧∂σ ∂σ ∂σ+ + + =⎪ ∂ ∂ ∂⎪

⎪∂σ ∂σ ∂σ+ + + =⎨F 0σ + = 2

1 2 3

13 23 333

F 0x x x

F 0x x x

+ + + =⎨ ∂ ∂ ∂⎪⎪∂σ ∂σ ∂σ

+ + + =⎪∂ ∂ ∂⎩

ij,j iF 0σ + =


1 2 3x x x∂ ∂ ∂⎩L’equilibrio alla rotazione impone la simmetria del tensore: σij = σji

• Esempio: equilibrio in direzione x2

21332

2132 )( dxdxdxxdxdx

∂∂

+ττ

∂σ

3x∂3212 dxdxτ

3122

223122 )( dxdxdxx

dxdx∂

∂+

σσ3122 dxdxσ

2132 dxdxτ3212 dxdxdxF

3211

123212 )( dxdxdxx

dxdx∂∂

+ττ

322212 ∂∂∂ τστ 023

32

2

22

1

12 =+∂∂

+∂

∂+

∂∂ F

xxxτστ


L’equilibrio al contorno impone che lo sforzo che affiora in superficie sia uguale alla forza di superficie imposta f; matematicamente ciò equivale ad isolare un tetraedro p p qattorno ad un punto P in superficie e ad applicare la relazione di Cauchy:

1 1 2 2 3 3n n n+ + =σ σ σ f1 1 2 2 3 3n n n+ +σ σ σ f

11 1 21 2 31 3 1

12 1 22 2 32 3 2

n n n fn n n fn n n f

σ + σ + σ =⎧⎪σ + σ + σ =⎨⎪⎩

ij i jn fσ =

Essendo n la normale alla superficie in P.

13 1 23 2 33 3 3n n n f⎪σ + σ + σ =⎩

NB.Ho in tutto 3 equazioni e 6 incognite, cioè il continuo generico è staticamente i d t i t l l i i di ilib i tt di l l lindeterminato, ovvero le sole equazioni di equilibrio non permettono di calcolare la sua risposta in termini di sforzo a certe e note azioni esterne.


CINEMATICA DEI MEZZI CONTINUI

• Approccio lagrangiano

i t t t istante tistante t0 istante t

P Pu

X3 X x

X2X = coordinate lagrangiane o materiali.

φ(X t) t lX1g g

x = coordinate euleriane o spaziali.

Due approcci possono essere utilizzati per descrivere lo stato deformativo di un corpo

x = φ(X,t) = moto el corpo.

continuo:1. Descrizione lagrangiana: le coordinate indipendenti sono quelle lagrangiane e il

tempo t. Usato principalmente in meccanica dei solidi.2 D i i l i l di t i di d ti ll l i il


2. Descrizione euleriana: le coordinate indipendenti sono quelle euleriane e il tempo t. Usato principalmente in meccanica dei fluidi.

( ) ( )t t=s X, x - X = X, - XφSegue che:

( ) ( )

( ) ( ) ( )t t

t tt

t t⎫∂ ∂

= = ≡ ⎪∂ ∂ ⎪⎬

s X, x X X, X

X, s X,v X, s

φ

φ

Material time derivative( ) ( ) ( )

2

2

t tt

t t

⎬∂ ∂ ⎪= = ≡ ≡ ⎪∂ ∂ ⎭

v X, s X,a X, v s

Material time derivative

Un cambiamento di configurazione si dice congruente se:• φ(X,t) è continua (no lacerazioni);• φ(X t) è a un sol valore di X (no compenetrazioni);

• Ipotesi piccoli spostamenti

• φ(X,t) è a un sol valore di X (no compenetrazioni);• φ(X,t) rispettosa delle condizioni al contorno.

p p p•Spostamenti e deformazioni sono così piccoli da non influenzare il modo con cui l’equilibrio si instaura nella struttura. Ciò consente di imporre le condizioni di equilibrio nella configurazione iniziale (istante t0)equilibrio nella configurazione iniziale (istante t0).

∂ ∂ ∂σ σ σ


1 2 3

1 2 3X X X∂ ∂ ∂

+ + + =∂ ∂ ∂σ σ σ F 0

Configurazione deformata

• Misura della deformazione locale

deformata

Configurazione indeformata

Incremento infinitesimo dello spostamento del punto P rispetto allo spostamento del

gradiente di spostamento

ψpunto P0 ds d XΨ=

1 1 11 1 2 3

1 2 3

s s sds dX dX dX

X X X⎧ ⎫∂ ∂ ∂

= + +⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪

1 1 1

1 2 31 1

s s sX X X

ds dX

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎫⎧ )( 1sgrad2 2 2

2 1 2 31 2 3

3 3 3

s s sds ds dX dX dX

X X Xs s s

d dX dX dX

⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪= = + +⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪

1 12 2 2

2 21 2 3

3 33 3 3

s s sds dX

X X Xds dX

s s s

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎢ ⎥∂ ∂ ∂

⎢ ⎥

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

)()()(

3

2

1

sgradsgradsgrad

sd


3 3 33 1 2 3

1 2 3

ds dX dX dXX X X

= + +⎪ ⎪∂ ∂ ∂⎪ ⎪⎩ ⎭

3 3 3

1 2 3X X X⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

• Tensore delle piccole deformazioni

ϑ+ε=Ψ

parte simmetrica parte emisimmetrica

1 1

1 1 1

1 2 3

s s sX X X

⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎢ ⎥∂ ∂ ∂ )(

21 TΨ+Ψ=ε )(

21 TΨ−Ψ=ϑ2 2 2

1 2 3

3 3 3

s s sX X Xs s s

ψ⎢ ⎥∂ ∂ ∂

= ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥

1 2 3X X X⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

++++++

= 2,33,22,22,22,11,21,33,11,22,11,11,1

21ε ssssss

ssssss

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

−−−−

= 00

21

2,33,22,11,2

1,33,11,22,1

ssssssss

ϑ


⎥⎦⎢⎣ +++ 3,33,33,22,33,11,32

ssssss ⎥⎦⎢⎣ −− 02

3,22,33,11,3 ssss

d d XΨds d XΨ=

spostamento del punto P nell’intorno di P0

ds εd X d Xϑ= +

0s s d X d Xϑ ε= + +0

+ +


• Spostamenti e deformazioni sono così piccoli da poter assimilare la cinematica finitaa quella di un atto di moto a partire dalla configurazione iniziale (istante t0);q p g ( 0)

Lo spostamento di un punto P distante dX da P0 il cui spostamento sia s0 vale:Lo spostamento di un punto P distante dX da P0, il cui spostamento sia s0, vale:

0 0i0 i 0i j 0i ij j

jij j

d dsd s s dX s dX dXd dX

= + → = + = + ϑ + εss s XX j

ij ij ij

d dXψ ≡ϑ +ε

X

Traslazione rigidaTraslazione rigida

Rota ione rigida jiss1 ⎛ ⎞∂∂ϑ ⎜ ⎟Rotazione rigida

Deformazione pura jiss1 ⎛ ⎞∂∂ε = +⎜ ⎟⎜ ⎟

jiij

j i

12 X X

ϑ = −⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Deformazione pura

εii=variazione di lunghezza di una fibra originariamente orientata lungo l’asse Xi

ijj i

2 X Xε = +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


2εij=variazione d’angolo tra due fibre originariamente orientate lungo gli assi Xi e Xj

Nel piano X X con s non nullo

• Significato fisico delle componenti del tensore ε

Nel piano X1 – X2 con s0 non nullo

2 2 2 2⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

2 2 2 2

1 2 1 21 1 1 1 1 2 1 2 1

1 1 1 1

2 2

1s s s s

d dX s dX s s dX s dxX X X X

ξ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂

= + + − + + − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞2 2

1 1 2 1 11 1 1,1 11

1 1 1 1 1

1 2 1s s s s d dx

dx dx sX X X X dx

ξε

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ −= + + + + ⇒ = =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠


Misura la variazione di lunghezza di una fibra unitaria originariamente disposta come X1. Analoghe considerazioni valgono per le fibre dirette come gli assi X2 e X3.

( ) ( )( )( )

( )( )2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1

1 1 2 11 1 1 1 1 11 11

s s X dX s s s X dX s s X dXtan s X

dX s X dX dX dXα α

ε+ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∂ ∂

≈ = = ≈ = ∂ ∂+ ∂ ∂ +

( ) ( )( )( )

( )( )1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2

2 2 1 22 2 2 2 2 22 21

s s X dX s s s X dX s s x dXtan s X

dX s X dX dX dXα α

ε+ ∂ ∂ − + ∂ ∂ − ∂ ∂

≈ = = ≈ = ∂ ∂+ ∂ ∂ +

1 2s sγ α α∂ ∂

≡ + = +ε12=γ12/2, metà dello scorrimento angolare tra fibre originariamenteortogonali e disposte secondo gli assi delle coordinate. Non


12 1 22 1X X

γ α α≡ + = +∂ ∂ necessariamente α1=α2 ma nel tensore ε si riporta in ε12 e ε21 lasemisomma dei due angoli al fine di simmetrizzarla.

• Deformazioni principali

1 2 3( I ,II ,III ) T ( , , )N Nε ε=

⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧

⎥⎤

⎢⎡ γγ−ε α 013121212111 ne

0)( =−ε αnIe⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨=

⎪⎭

⎪⎬

⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ −εγγγ−εγ

α

α

00

3

2

332321

1321

3221

221221

nn

ee

0322

13 =−+− IeIeIe⇒=−ε 0)det( Ie 0321 + IeIeIe

simmetrica ⇒ teorema algebra lineare assicura l’esistenza di tre radici

ε

⇒ε 0)det( Ie

autovalori: t tt i


autovalori:eI, eII, eIII Deformazioni principali

autovettori:nI, nII, nIII Direzioni principali

Deformazioni e direzioni principali non dipendono dal sistema di riferimento originale assuntooriginale assunto

0322

13 =−+− IeIeIe

Coefficienti dell’equazione sono anche indipendenti dal sistema di riferimento assunto

)( 3113322321124133113322221123322111

γγγγγγεεεεεεεεε

++−++=

++=

II

)det(3 ε=I


• Rosetta estensimetrica

η2 2

11 22 12cos sin sin cosηηε ε α ε α γ α α= + +η


)0()90i ()90(i)90(

)0cos()0sin()0(sin)0(cos22

11122

222

11 ε=γ+ε+ε=ε→≡ηoooo

ooooaa

222)45cos()45sin()45(sin)45(cos

)0cos()90sin()90(sin)90(cos

12221112

222

211

22122

222

11

γ+

ε+

ε=γ+ε+ε=ε→≡η

ε=γ+ε+ε=ε→≡η

oooob

ooooc

b

c

222

c

a

ε=εε=ε

22

11

cab ε−ε−ε=γ 212


• Variazione di volume

i I II IIIdV dX dX dX=i I II III

{ }{ }{ }1 1 1d I I II II III IIIdV dX ( e ) dX ( e ) dX ( e )= + + +

1 2 3 11 1 1 1 1d

I II IIIdV

( e )( e )( e ) I I I IdV

= + + + = + + + +

Per piccole deformazioni

idV Variazione di volume indipendente dal sistema di riferimento

dVdV321 III >>>> IIIIII

i

id eeeIdV

dVdV++==

−1

L’i i t li I t l i i di l ll’i t d l t


L’invariante lineare I1 rappresenta la variazione di volume nell’intorno del punto

LEGAME COSTITUTIVO

• Crea un legame matematico tra mondo statico (sforzi σij) e mondo cinematico (deformazioni εij);• Si tratta di un modello fenomenologico, che coglie il comportamento del materialeg g palla macroscala; non si tratta di una semplice interpolazione di dati sperimentali, ma del loro inquadramento in un modello basato su certi postulati fisico/meccanici (v. teoria assiomatica) e dipendenti da un certo numero di parametri, il cui valore è desunto da opportune prove sperimentali;

Vi sono tre comportamenti fondamentali:l ti il l f( ) è ibil l f i di di d l d l l• elastico, il legame σij=f(εij) è reversibile, lo sforzo quindi dipende solo dal valore

corrente della deformazione; la maggior parte dei materiali presenta inizialmente un comportamento di questo tipo.

• plastico la deformazione non è più totalmente reversibile ma una parte di essa• plastico, la deformazione non è più totalmente reversibile, ma una parte di essa è irreversibile per effetto di una avvenuta modifica della microstruttura (reticolo cristallino nei metalli); lo sforzo dipende dal valore corrente della deformazione e dalla storia seguita per raggiungerladalla storia seguita per raggiungerla.

• viscoso, nei primi due la deformazione consegue istantaneamente all’applicazione del carico; nei materiali viscosi sforzi e deformazioni variano nel tempo a condizioni esterne immutate; il creep è l’aumento della deformazione a sforzo costante


esterne immutate; il creep è l aumento della deformazione a sforzo costante (calcestruzzo); il rilassamento è la diminuzione di sforzo a deformazione costante.

Comportamento elastico

Comportamento elasto-plastico

Comportamento viscoso

elastico elasto plastico


Il legame elastico

Aspetti energeticip g

Ipotesi: esistenza di un potenziale della deformazione (energia di deformazione ω).Il lavoro compiuto per deformare un solido è immagazzinato sotto forma di energia.Q d l è i l d f i i t l’ i diQuando la causa è rimossa le deformazioni vengono recuperate e l’energia dideformazione viene rilasciata.

(Energia per unità di volume)


Si ipotizza un legame lineare tra sforzo e deformazione (81 costanti):Si ipotizza un legame lineare tra sforzo e deformazione (81 costanti):

Simmetria del tensore di sforzo e deformazione (36 costanti)( )

ω dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico:ω dipende solo dal valore finale di deformazione e NON dalla storia di carico: σijdεij è un differenziale esatto (21 costanti)


In forma matriciale:

Dove:


Il legame elastico lineare isotropo


In forma matriciale:

Costanti ingegneristiche:


• Legame elastico lineareD è una matrice 6x6 simmetrica; quindi nelcaso di materiale completamente anisotropo

ij ijkl klDσ = εcaso di materiale completamente anisotropo ho 21 costanti indipendenti.• Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a tre assi mutuamente ortogonali si parla

11 11

22 22

σ ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥

rispetto a tre assi mutuamente ortogonali, si parla di ortotropia (9 costanti). • Se il materiale presenta anche simmetria di rotazione attorno ad uno di questi assi, si dice 22 22

33 336x6

12 12

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε

=⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

D

q ,trasversamente isotropo (5 costanti). • Se il comportamento del materiale è simmetrico rispetto a qualunque asse, si parla allora di

13 13

23 23

⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥σ ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦σ ε

p q q pisotropia (2 costanti).

⎡ ⎤1 0 0 01 0 0 0

1 0 0 0(1 2 )

− ν ν ν⎡ ⎤⎢ ⎥ν − ν ν⎢ ⎥⎢ ⎥ν ν − ν⎢ ⎥ν⎢ ⎥(1 2 )E 0 0 0 0 0

2(1 )(1 2 )(1 2 )0 0 0 0 0

2

− ν⎢ ⎥= ⎢ ⎥+ ν − ν ⎢ ⎥− ν⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

D


(1 2 )0 0 0 0 02

⎢ ⎥− ν⎢ ⎥⎣ ⎦

•Alcuni valori:


• Deformazioni termiche


Il legame elasto-plastico

Aspetti fenomenologici nel caso mono-assiale: immaginiamo una storia di caricop g ggovernata dal valore imposto di sforzo.

σ

CF

B

EFσΕ

εA D C’E’F’

• Si parte dal punto A ovvero sforzo e deformazione entrambi nulli. Facciamocrescere lo sforzo fino al valore σΒ, il corrispondente valore di deformazione èε σ /Ε Nel tratto AB il comportamento è elastico lineare e reversibile


εΒ=σΒ/Ε. Nel tratto AB il comportamento è elastico lineare e reversibile.

• Raggiunto il punto B, corrispondente al fenomeno dello snervamento, facciamocrescere ulteriormente lo sforzo, la deformazione cresce seguendo il cosiddetto

i d t l’ tt iù il t è h t di t d f i èramo incrudente e l’aspetto più rilevante è che parte di questa deformazione èirreversibile. Infatti raggiunto il punto C se lo sforzo diminuisce, il percorsorappresentativo del punto materiale segue la direzione CD, avente la stessapenden a del tratto elastico ini iale fino a raggi ngere il completo scarico (sfor opendenza del tratto elastico iniziale, fino a raggiungere il completo scarico (sforzonullo) nel punto D. Questo vuol dire che nel punto C la deformazione totale, pari alsegmento AC’, è data dalla somma di una componente elastica reversibile pari aDC’ uguale a /Ε e che è stata recuperata durante lo scarico e ad una plasticaDC’, uguale a σc/Ε e che è stata recuperata durante lo scarico, e ad una plasticairreversibile pari a AD.

• Raggiunto il punto D facciamo crescere ancora lo sforzo e si osserva uncomportamento elastico reversibile fino al raggiungimento del punto C. Ad esempioraggiunto il valore di sforzo σ nel punto E la deformazione totale AE’ è data dallaraggiunto il valore di sforzo σE nel punto E, la deformazione totale AE è data dallasomma della componente elastica DE’ pari a σE/Ε e di quella plastica uguale allalunghezza AD. La deformazione plastica è ancora la stessa che si era sviluppataraggiungendo il punto C Un altro aspetto rilevante è quindi il fatto che l’ampiezzaraggiungendo il punto C. Un altro aspetto rilevante è quindi il fatto che l ampiezzadel dominio elastico è variabile, crescente per effetto dello sviluppo di deformazioniplastiche (hardening).


• Raggiunto il punto C, se facciamo crescere ulteriormente lo sforzo, avvienenuovamente il fenomeno dello snervamento Da notare quindi è il fatto che ogninuovamente il fenomeno dello snervamento. Da notare quindi è il fatto che ognivolta che mi trovo sul ramo plastico (ad esempio il punto C) si ha una doppiapossibilità di comportamento: se scarico entro in campo elastico, vale la legge σ=Εεe la deformazione elastica viene recuperata mentre se carico si sviluppano ulteriorie la deformazione elastica viene recuperata, mentre se carico si sviluppano ulteriorideformazioni elastiche e plastiche.

• Altro aspetto fondamentale che deve essere osservato è il fatto che, per effetto dieventuali scarichi, non esista un legame biunivoco tra sforzo e deformazione. Adesempio si osservi come lo stesso valore di sforzo σΕ corrisponda a due diversilivelli di deformazione, AE’ e AF’. Questo implica la necessità di dovere imporre illegame costitutivo in termini incrementali, ovvero ad ogni incremento dellesollecitazioni esterne la risposta in termini di sforzo e deformazione deve esserevalutata sulla base del punto della curva sforzo-deformazione a cui si era arrivati al

dpasso precedente.


Estensione al caso di stato di sforzo triassiale

L’estensione richiede la definizione di una superficie nello spazio delle componentiL’estensione richiede la definizione di una superficie, nello spazio delle componentidi sforzo, che delimiti il dominio elastico. Tale superficie deve poi avere ampiezzavariabile per tener conto del fenomeno dell’incrudimento (hardening) introdottoprima in relazione al comportamento mono assialeprima in relazione al comportamento mono-assiale.

Parlando di un materiale avente comportamento duttile e simmetrico come i metalli,la scelta più consueta consiste nel prendere la superficie di snervamento diHencky-Huber-von Mises e definire un limite di snervamento varabile, ovverocrescente, ad esempio linearmente, con la deformazione plastica.

( )( ) ( ) ( )( )0, 0eq plij pl ij eqf t tσ ε = φ σ −σ ε ≤Dove:

( )( )( ) ( )

12 2 2 2 2 2 23 3 3ij x y z x y x z y z xy xz zy

l l

⎡ ⎤φ σ = σ + σ + σ −σ σ −σ σ −σ σ + τ + τ + τ⎣ ⎦

Dove:

( )( ) ( )

( )

0 0

122

pl y pleq iso eq

tpl pl pl

t H t

t d

σ ε = σ + ε

⎡ ⎤ε = ε ε τ⎢ ⎥∫


( )3eq ij ijo

t dε = ε ε τ⎢ ⎥⎣ ⎦∫

Adottando infine una legge di scorrimento associata, ovvero ipotizzando che ledeformazioni plastiche si sviluppino ortogonalmente alla superficie di snervamentopossiamo ora formulare il legame elasto plastico incrudentepossiamo ora formulare il legame elasto-plastico incrudente.

el plij ij ij

⎧ε = ε + ε⎪ ij ij ijel

ij ijkl kl

pl

D⎪⎪σ = ε⎪⎪ ∂φ⎪ε λ⎨

( )( ) ( ) ( )( )0, 0

pij

ij

eq eqij pl ij plf t t

ε = λ⎨∂σ⎪

⎪σ ε = φ σ − σ ε ≤⎪

⎪( ) ( ) ( )

0 0f ⎪

λ = λ ≥⎪⎩

L’ultima condizione scritta impone che se ad un certo istante sto caricando alloraL’ultima condizione scritta impone che se ad un certo istante sto caricando alloraposso avere deformazioni plastiche e la superficie di snervamento deve evolvere(ovvero il limite di snervamento corrente σ0 deve crescere in funzione delladeformazione plastica) in maniera tale che il punto rappresentativo dello stato di

0>λ

deformazione plastica) in maniera tale che il punto rappresentativo dello stato disforzo si mantenga sulla superficie f=0. Viceversa se scarico allora il puntorappresentativo dello stato di sforzo si sposta all’interno della superficie fλ

In forma vettoriale il legame costitutivo si scrive:

el pl

el

⎧ = +⎪⎪ =

ε ε εσ Dε

pl

⎪ =⎪

∂φ⎪ = λ⎨∂⎪

σ Dε

εσ( )( ) ( ) ( )( )0, 0

0 0

eq eqpl plf t t

f

⎪⎪ ε = φ − σ ε ≤⎪⎪ λ = λ ≥⎩

σ σ

⎩


FORMULAZIONE DEL PROBLEMA ELASTICO LINEARE 3D

Noto:Noto:• geometria;• proprietà del materiale ;• condizioni al contorno (in termini di spostamenti• condizioni al contorno (in termini di spostamentiimpressi e carichi applicati);• eventuali deformazioni termiche θij(x);Si vuole determinare:

VSi vuole determinare:• campo di spostamenti si(x) (3 campi incogniti);• campo di deformazioni εij (x) (6 campi incogniti);• campo di sforzi σij (x) (6 campi incogniti);

SV SF

campo di sforzi σij (x) (6 campi incogniti);

Le equazioni governanti il problema sono:

ij,j i ij i j FF 0 in V n f su S

ss

⎧ ⎡ ⎤σ + = σ =⎣ ⎦⎪⎪ ⎛ ⎞∂∂⎪

3 equazioni di equilibrio + c.c.

[ ]

( )

jiij i i V

j i

ij ijkl kl kl

ss1 in V s s su S2 X X

D in V

⎪ ⎛ ⎞∂∂⎪ε = + =⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎪σ = ε − θ⎪⎩

6 equazioni di congruenza + c.c.

6 equazioni del leg. costitutivo


( )ij ijkl kl kl⎪⎩ q gNB: Si dimostra che la soluzione esiste ed è unica!

Con alcuni semplici passaggi il problema può essere formulato in termini di soli spostamenti (equazioni di Navier):

ij,j i ij i j FF 0 in V n f su S⎧ ⎡ ⎤σ + = σ =⎣ ⎦⎪

[ ]

( )

jiij i i V

j i

ss1 in V s s su S2 X X

⎪⎪ ⎛ ⎞∂∂⎪ε = + =⎜ ⎟⎨ ⎜ ⎟∂ ∂⎪ ⎝ ⎠⎪ ( )ij ijkl kl klD in V

⎪σ = ε − θ⎪⎩⇓

⎡ ⎤⎛ ⎞k lij ijkl kl

l k

s s1D 2 X X⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂

σ = + − θ⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠⎣ ⎦⇓ ⇓

k lijkl kl i

l k j

s s1D F 0 i=1,2,32 X X⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞∂ ∂

+ − θ + =⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟∂ ∂⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦l k ,j⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦

Sistema di tre equazioni differenziali alle derivate parziali nelle incognite s1, s2, e s3 (problema ellittico)


NB: La linearità delle equazioni assicura la sovrapponibilità degli effetti

g 1, 2, 3 (p )

• Il problema piano

y

x


E’ quindi necessario esprimere il legame costitutivo con solo variabili nel piano:

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡σσ

⋅=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡εε

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡εε

⋅=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡σσ

22

11

22

11

22

11

22

11

ad ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣τ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣γ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣γ⎥

⎥⎦⎢

⎢⎣τ 12

22

12

22

12

22

12

22

Anche se per ipotesi le azioni esterne sono tutte contenute nel piano, le componenti sia del tensore di sforzo che di deformazione fuori dal piano possono essere diverse dadel tensore di sforzo che di deformazione fuori dal piano possono essere diverse da zero e quindi l’espressione delle matrici d e a (di dimensione 3x3) cambia in funzione di certe ipotesi che vediamo nel seguito.


Il problema piano nelle deformazioni

Ipotesi (valida per solidi infinitamente lunghi):Ipotesi (valida per solidi infinitamente lunghi):

⎤⎡ 131211 εεε ⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 2322

131211

εεεε

sim⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

1211

. εεε

εsim

⎥⎦⎢⎣ 33. εsim

[ ]⎧ )1(E⎥⎤

⎢⎡ νν− 0)1(

[ ]

[ ]⎪⎪⎪⎪⎧

εν−+νε=σ

νε+εν−ν−ν+

=σ 221111

)1(

)1()21)(1(

E

Eor

zo n

on

o⎥⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢⎢

⎣ν−

ννν−ν

ν−ν+=

2)21(00

00)1(

)21)(1(

ED

[ ]

[ ] [ ]⎪⎪⎪

⎪⎨

σ+σν=νε+νενν+

=σ

εν+νεν−ν+

=σ

2211221133

221122

)21)(1(

)1()21)(1(

E

tato

di s

fopi

ano⎦⎣ 2

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ν−ν−ν−ν−

=C 0101

1


⎪⎪

⎩ γ=τν−ν+

1212

)21)(1(G

St

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ G

EE 000

Da cui, il problema diretto risulta già definito:

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ν−ννν−

= 00)1(0)1(

ED

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣ν−

ννν−ν+=

2)21(00

0)21)(1(D

Da cui:Da cui:


Mentre per il problema inverso serve un po’ di algebra:

⎤⎡[ ] ( ) ( )

[ ]2222332211332211221133

1

11)21)(1()21)(1( ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ νσ−σ+νσ−ν+νσ−νσ−σν

ν−ν+=νε+νε

ν−ν+=σ

EEEE

[ ]

[ ] [ ]3322211222211

332

22112

332

222

11

2)21)(1(

1)21)(1(

1)21)(1(

1

σν−+νσ+σν−σν−νσ=

σν−νσ+σν−σν−σν−νσν−ν+

=

[ ] [ ]3322112211 )21)(1()21)(1( ν−ν+ν−ν+

Da cui:

( ) ( )[ ]22112

33 11)21)(1(1

)21)(1(21 ν−νσ+ν−νσ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ν+σ

Da cui:

( ) ( )[ ]

( )( )[ ]221122

33

221133

1)21)(1(

1)21)(1(2221

)21)(1()21)(1(

νσ+νσν−ν−ν+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν−ν+

ν+ν−ν+ν−σ

ν−ν+⎟⎠⎜⎝ ν−ν+

( )( )[ ]221133 1)21)(1(1

)21)(1(1

)21)(1()21)(1(

νσ+νσν−ν−ν+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν−ν+

ν−σ

νν+⎠⎝ νν+


( )221133 νσ+νσ=σ

Da cui, nell’ottica di formulare il problema con solo variabili nel piano:

( ) [ ]( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( )222

211

222112211

2221133221111

11111

111

νσνσν+

=ν+νσνσ=

σν−σν−νσ−σ=σ+σν−νσ−σ=νσ−νσ−σ=εEEE

( ) ( )( ) ( )( )22112211 111 νσ−ν−σ=ν+νσ−ν−σ= EE

( )( )ν−σ+νσ−ν+==ε 11........... 221122 ( )( )221122 E

Da cui:Da cui:


Il problema piano negli sforzi

Ipotesi (approssimativamente valida per piccoli spessori):Ipotesi (approssimativamente valida per piccoli spessori):

⎤⎡ 131211 ττσ ⎤⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡= 2322

131211

στσσ

sim⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

1211

. στσ

σsim

⎥⎦⎢⎣ 33. σsim

[ ]⎪⎧ νσ−σ=ε 221111

1

non

⎥⎤

⎢⎡

ννν− 0)1( [ ]

[ ]⎪⎪⎪⎪

⎨σ+νσ−=ε

νσσε

221122

221111

1E

E

maz

ione

nno

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣ν−

νν−νν−ν+

=

2)21(000

0)1()(

)21)(1(

ED

[ ] [ ]⎪⎪⎪

⎪⎨

ε+εν−ν−

=νσ−νσ−=ε 2211221133

11

1E

Eo

di d

efor

mpi

an

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ννν−

ν−

=C 00101

1


⎪⎪

⎩τ=ε 1212 2

1GS

tato

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

ν−ν−

GEE 000

Da cui, il problema inverso risulta già definito:

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

ν−ν−

=C 00101

1

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

ν−ν−=

GEE

C

000

Da cui:Da cui:


Mentre per il problema diretto serve un po’ di algebra:

[ ]νσ−νσ−=ε 1 221133 E [ ]

[ ] [ ]⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡νε+εν−+νε

ν−ν+ν−νε+νε+εν−

ν−ν+ν−= )1(

)21)(1()1(

)21)(1(1

332211332211

221133

EEE

E

⎤⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

εν−νε−εν−νε−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

εν−εν+νε−εν−εν−εν−εν+νε−=

)21)(1()21)(1(33

22233

21133

222

22211

233

222

211

211

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

εν−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

νε−νε−=

)21)(1(2

)21)(1(33

22211

Da cui: 221133

2

33 )21)(1()21)(1(2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

νε−νε−=

ν−ν+εν

+ε

( )

( )

221122

33

)21)(1()21)(1(2221

⎤⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

νε−νε−=

ν−ν+ν+ν−ν−ν+ε

( )

( )

221133

)21)(1()21)(1(1

ν

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ν−ν+

νε−νε−=

ν−ν+ν−ε


( )221133 1 ε+εν−ν

−=ε

Da cui, nell’ottica di formulare il problema con solo variabili nel piano: 2 ⎞⎛ νEE ( ) [ ]

222

112

2211221133221111 1)1(

)21)(1()1(

)21)(1(

⎟⎞

⎜⎛ εν+εν

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ε+ε

ν−ν

−νε+εν−ν−ν+

=νε+νε+εν−ν−ν+

=σ

E

EE

222

112

222

22112

111111

2211221111 1)21)(1(

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛ εν−εν−εν−νε+εν+νε−νε−ε

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ν−

εν+εν−νε+νε−ε

ν−ν+=

E

E

( ) ( )2211222221111 2121221)21)(1(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ν−νε+ν−ε=⎟⎟

⎞⎜⎜⎛ νε+εν−νε−ε

=

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝ ν−ν−ν+

=

EE

2211

1)1)(1(

1)21)(1(1)21)(1(

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ νε+ε

νν+=

⎟⎠

⎜⎝ ν−ν−ν+⎟

⎟⎠

⎜⎜⎝ ν−ν−ν+

E

( )22112)1(

1)1)(1(

νε+εν−

=

⎠⎝ν−ν+E

( ) ( )2211233221122 )1(.......)1()21)(1( ε+νεν−==νε+εν−+νεν−ν+=σEE


)())((

Da cui:


PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI - Parte 1

Data una statica equilibrata: sforzi σij, forze di volume Fi e forze di superficie fj tali che:

⎡ ⎤ 1 3ij,j i ij i j Fσ F 0 in V σ n f su S ⎡ ⎤+ = = ∀ =⎣ ⎦ i ...

Data una cinematica congruente: deformazioni εij e spostamenti si, tali che:

[ ]jiij i i Vj i

ss1 in V s s su S2 X X⎛ ⎞∂∂

ε = + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

Si può dimostrare che vale la seguente identità

σ ε = +∫ ∫ ∫ij ij j j j jV V S

dv Fs dv f s ds


FV V S

PRINCIPIO DEI LAVORI VIRTUALI - Parte 2

Data una certa statica: sforzi σij, forze di volume Fj e forze di superficie fj; si dimostra che imporre la seguente equazione:

σ ε = +∫ ∫ ∫F

ij ij j j j jV V S

dv Fs dv f s ds

∀ cinematica congruente, cioè deformazioni εij e spostamenti si, tali che:

⎛ ⎞[ ]

⎛ ⎞∂∂ε = + =⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

jiij i V

j i

ss1 in V s 0 su S2 X X

equivale ad imporre le equazioni di equilibrio:


Segue la dimostrazione:

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

σ ε = σ + =

⎡

∫ ∫

∫

ij ij ij i, j j,iV V

1dv s s dV2

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

⎡= σ + + σ + + σ + + σ + + σ + +⎣

⎤σ + + σ + + σ + + σ + ⎦

∫ 11 1,1 1,1 22 2,2 2,2 33 3,3 3,3 12 1,2 2,1 21 2,1 1,2V

13 1,3 3,1 31 3,1 1,3 32 3,2 2,3 23 2,3 3,2

1 s s s s s s s s s s2

s s s s s s s s dV

( ) ( ) ( )⎦

⎡= σ + σ + σ⎣∫ 11 1,1 22 2,2 33 3,3V

1 2s 2s 2s2

( ) ( ) ( )

+

⎤σ + + σ + + σ + =⎦2s 2s 2s 2s 2s 2s dV( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

⎤σ + + σ + + σ + =⎦⎡= σ + σ + σ +⎣∫

12 1,2 2,1 13 1,3 3,1 32 3,2 2,3

11 1,1 22 2,2 33 3,3V

2s 2s 2s 2s 2s 2s dV

s s s

( ) ( ) ( )⎤σ + + σ + + σ + ⎦⎡= σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ⎣∫

12 1,2 2,1 13 1,3 3,1 32 3,2 2,3

11 1,1 22 2,2 33 3,3 21 1,2 12 2,1 31 1,3 13 3,V

s s s s s s dV

s s s s s s s ⎤+ σ + σ ⎦1 23 3,2 32 2,3s s dVV

= σ∫ ij j,iV

s dV

σ ε = σ∫ ∫ij ij ij j,idV s dV

Da cui:


∫ ∫ij ij ij j,iV V

( )ij js dvσ =∫ ( )

( )

ij j iV

i1 1 i2 2 i3 3 i1,i 1 i1 1,i i2,i 2 i2 2,i i3,i 3 i3 3,iis s s dv s s s s s s dv

⎛ ⎞⎜ ⎟= σ + σ + σ = σ + σ + σ + σ + σ + σ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∫

∫ ∫iV V

11,1 1 21,2 1 31,3 1 i1 1,i i2,i 2 i2 2,i i3,i 3 i3 3,is s s s s s s s dv

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟= σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ + σ =⎜ ⎟

∫ ∫

∫

( )V

ij,i j ij j,is s d

⎜ ⎟⎝ ⎠

= σ + σ

∫

V

v∫

F

i ij j i,i i iV S

Posto g s , applico il teorema di Green ( g dv gnds) e segue che:= σ =∫ ∫

( )F

F

ij j ij j i ij j iiV S S

s dv s nds s nds σ = σ = σ∫ ∫ ∫

ij j,i ij,i j ij j i

da cui:

s dV s dv s ndsσ = − σ + σ∫ ∫ ∫


F

j j, j, j j jV V S∫ ∫ ∫

da cui :dV s dv s ndsσ ε = − σ + σ∫ ∫ ∫

F

ij ij ij,i j ij j iV V S

dV s dv s nds

Sostituisco nell ' equazione iniziale e trovo :

σ ε = − σ + σ∫ ∫ ∫

F F

ij,i j ij j i j j j j jV S V S

Sostituisco nell equazione iniziale e trovo :s dv s nds Fs dv f s ds s− σ + σ = + ∀∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( )da cui raccogliendo trovo:

F s dV f n s dS 0+ σ + − σ =∫ ∫ s∀( ) ( )F

j ij,i j j ij i jV S

F s dV f n s dS 0 + σ + σ =∫ ∫ j s

da c iu :

∀

ij,i j

jij i

Fda c

n

i0

f

u :σ + =⎧⎪

⎨σ =⎪⎩ jij i⎪⎩


TEOREMI ENERGETICI DEL PROBLEMA ELASTICO


Teorema: La soluzione del problema elastico è caratterizzata dalla stazionarietà di questi funzionali nei rispettivi domini di definizione.

• L’energia potenziale totale (EPT) definita sull’insieme dei campi di• L energia potenziale totale (EPT), definita sull insieme dei campi dispostamento congruenti, risulta stazionaria in corrispondenza di quelladeformata che oltre a soddisfare le equazioni di congruenza soddisfaanche le equazioni di equilibrioanche le equazioni di equilibrio.

• L’energia complementare totale (ECT), definita sull’insieme dei campi diL energia complementare totale (ECT), definita sull insieme dei campi disforzo in equilibrio con date forze esterne, risulta stazionaria incorrispondenza di quel campo di sforzi che oltre a soddisfare leequazioni di equilibrio soddisfa anche le equazioni di congruenza.q q q g


Principi ed applicazioni delp ppmetodo degli elementi finiti

Formulazione base con approccio agli spostamentip


METODO DEGLI ELEMENTI FINITI PER UN PROBLEMA 2D

Si consideri un problema piano, il cui dominio sia quello rappresentato sotto esi voglia determinare lo stato tenso-deformativo del solido indotto dai carichi edai vincoli presenti.


1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di

PROCEDURA1. Suddivisione: suddivido il mio dominio (bidimensionale) in un certo numero di

parti, ad esempio triangolari, dette elementi finiti (mesh) e numero i nodi dellagriglia;

2

1

2 4

53

5

8

9

67

810

1112

1314

13

Lo scopo è quello di trasformare un problema differenziale avente come incognitedei campi (funzioni), in un problema algebrico avente come incognite degli scalari.Più i t i d ll’ i it i i l f i i ( )


Più precisamente si passa dall’avere come incognite primarie le funzioni sx(x,y) esy(x,y) ad avere come incognite gli spostamenti Ux e Uy dei nodi della griglia.

2. Approssimazione: approssimo linearmente il campo di spostamenti supp pp p pciascuno di questi elementi: (si noti l’introduzione delle numerazione localedei nodi a livello di elemento)

( )( )

x 1 1 1

y 2 2 2

s x,y a b x c y

s x,y a b x c y

⎧ = + +⎪⎨

= + +⎪⎩

U3y

( )y⎪⎩

3

U

U3x

U1yU2yCambio di parametri

d’interpolazione

1

2U1x

U2xd interpolazione

( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 1 1x 2 2x 3 3x i ixs x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎧ = + + =⎪⎨


( ) ( ) ( ) ( ) ( )y 1 1y 2 2y 3 3y i iys x,y N x,y U N x,y U N x,y U N x,y U⎨

= + + =⎪⎩

( ) ( ) ( )i i

j j

j m m j j m j mi

1 x y

2 det 1 x y x y x y y y x x x y

dove : N x,y 2

Δ =

⎛ ⎞− + − + − ⎜ ⎟= ⎜ ⎟Δ ⎜ ⎟

( )( )( )

m m

x j j jx

i j j ij

1 x y

s x ,y Uvale che: N x ,y

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ =⎪= δ ⇒ ⎨( ) ( )i j j ij y j j jy, y

s x ,y U⎨

=⎪⎩

i ii


Le tra funzioni di forma dell’elemento triangolare


Dalla combinazione delle tre funzioni di forma si ha l’approsimazione (lineare) del campodi spostamenti sul singolo elemento finito

ssx U1x

sxU3x

U2x

13

2


In forma vettoriale ho:

1x

1y

UUU

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤

e

x 2x1 2 3

y 2y1 2 3

3x

s UN 0 N 0 N 0s U0 N 0 N 0 N

U

⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

s Ne e

e

3x

3yU⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

N

U

Vettore delle

Matrice delle funzioni di

forma

Approssimazione del campo di spostamenti sul singolo elemento

componenti di spostamento nodali

dell’elemento

finito funzione dei soli spostamenti nodali


Applicando l’operatore differenziale di congruenza ho:

1x

1yx 1,x 2,x 3,x

UU

N 0 N 0 N 0U

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2x

y 1,y 2,y 3,y2y

xy 1,y 1,x 2,y 2,x 3,y 3,x3x

U0 N 0 N 0 N

UN N N N N N

U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥γ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε B

e

3ye U⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦eε B

U

i

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

∂∂

⎫⎧ x0

ε

caso piano

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢⎢

∂∂∂∂

∂

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=y

x

xy

y

x

ss

y

x0

γεε

ε

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ ∂∂ xy


3. Assemblaggio: sostituisco ora nell’equazione dei lavori virtuali scrittain forma vettoriale:

T T Tdv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f F = forza di volumeFV V S

dv dv ds= +∫ ∫ ∫ε σ s F s f

= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫T T Te e e e e edv dv dsε σ s F s f

f = forza di superficie

e e Fee e eV V S

e e Fe

T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U B σ U N F U N fe

Ma i gradi di libertà locali Ue di ciascun elemento li posso esprimere in funzionedi quelli globali U, attraverso le cosiddette matrice booleane di connettività:

e e=U L U1x

1x1

UUU

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥1y

1y

2x

UU

U

U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

. Le è una matrice di zeri e uno2y

3xNx

3y

U

U UU U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

.


Ny

e

U⎣ ⎦ ⎣ ⎦UU

Esempio:

21 2

33

12

2

3

2 3• 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento

2 10 à

4

5 1

2 3 1

1 • 5x2 = 10 gradi di libertà globali

U

4

1x1x

1y

UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

U

1y

2x2

2y

U 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

.U

3x5x

3y 6x15y 10x1

U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0U

U 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

.

L


10x12 6x10

⎣ ⎦L

Segue che:

e e Fe

T T T T T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds = + ∀∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫U L B σ U L N F U L N f U

[ ]e

T T1X 1X NX NX e e e1x2N

e V

U U ... U U dv =

⎡ ⎤

∑ ∫L B σ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

≡⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

intR

iiii

[ ] [ ]e Fe

2Nx1

T T T T1X 1X NX NX e e e 1X 1X NX NX e e e1x2N 1x2N

e eV S

U U ... U U dv U U ... U U ds

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤

∑ ∑∫ ∫L N F L N fi

[ ]1X 1X NX NX 1x2N U U ... U U ∀

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

FestR

i ii ii ii i

≡ festR

2Nx1

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦⎣ ⎦

i ii i 2Nx1⎥


Dovendo valere ∀UT congruente allora deve valere anche per la seguente scelta di UT

[ ]T T [ ]T T1 1x2N1 0 ... 0 0= =U U

Da cui:Da cui:[ ]

e

T Te e e1x2N

e V

1 0 ... 0 0 dv =

⎡ ⎤⎢ ⎥

∑ ∫L B σ

i⎢ ⎥⎢ ⎥

≡⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

intRiiii

[ ] [ ]e Fe

2Nx1

T T T Te e e e e e1x2N 1x2N

e eV S

1 0 ... 0 0 dv 1 0 ... 0 0 ds

⎢ ⎥⎣ ⎦

+

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥

∑ ∑∫ ∫L N F L N fi

i i⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

≡ ≡⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦

fFestestR R

i ii ii i

2Nx12Nx1⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦i i

Da cui, la prima equazione (scalare):


( ) ( ) ( )1 1 1= +F fint est estR R R

Adottando le altre scelte per UT segue che:

[ ]T T 0 1 0= =U U [ ]i 1x2N0 ... 1 ... 0= =U U

( ) ( ) ( )i i i+F fR R R( ) ( ) ( )i i i= +int est estR R R

Alla fine tutte le equazioni che posso scrivere possono essere espresse in termini q p p pvettoriali:

= +F fint est estR R R

O equivalentemente:

e e Fe

T T T T T Te e e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B σ L N F L N f

Equilibrio in forma debole e discretizzato per elementi finiti


4. Introduco il legame costitutivo.

Cominciamo con l’imporre il legame costitutivo elastico-lineare

Applichiamo ora le equazioni del legame costitutivo e di congruenza in forma vettoriale:

= = =e e e e e e eσ Dε DB U D B L U

Sostituisco nelle equazioni di equilibrio debole in forma discretizzata:

T T T T T Te e e e e e e e

e e eV V S

dv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫e e eL B D B L U L N F L N fe e Fe

e e eV V S


T T T T T Tdv dv ds= +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫L B D B L U L N F L N fe trovo:

e e Fe

e e e e e e e e e ee e eV V S

F fe ext ext

dv dv ds+∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫eL B D B L U L N F L N f

K R R

e e Fe

T T Te e e e e e e

e eV V S

ext

dv dv ds⋅ = +∫ ∫ ∫∪ ∪B D B U N F N f

K Rext

ext⋅ =K U RKe = Matrice di

rigidezza dell’elemento finito di dimensione 6x6 per un elemento piano a K = matrice di rigidezza

SISTEMA RISOLVENTE

per un elemento piano a tre nodi

gglobale del solido di

dimensione dipendente dal numero totale di nodi

della discreti a ione

Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finali

della discretizzazione

Si osservi che adottando un legame costitutivo elastico lineare le equazioni finalirisolventi sono un sistema di equazioni lineari.


Imponiamo ora il legame costitutivo elasto-plastico

Il legame tra sforzi e spostamenti nodali non è più lineare:

( )( )→ →U ε B L U σ ε U( )( )→ = →e e e e eU ε B L U σ ε U

Ne consegue che anche le equazioni di equilibrio non sono più lineari:

( ) = +∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫T T T T T Tdv dv dsL B σ U L N F L N f

Ne consegue che anche le equazioni di equilibrio non sono più lineari:

( )

( )

+∑ ∑ ∑∫ ∫ ∫e e Fe

e e e e e e e e ee e eV V S

extint

dv dv dsL B σ U L N F L N f

RR U

La necessità di dover imporre il legame costitutivo in termini incrementali, implica cheanche le equazioni di equilibrio debbano essere imposte ad ogni istante n diun’opportuna discretizzazione temporale della storia di carico:un opportuna discretizzazione temporale della storia di carico:

( ) = ∀n n nint ext nR U R


( )int ext

Per risolvere le equazioni non lineari adottiamo il metodo iterativo di Newton-Rahpson:

( )1 1n n n ni int i ext− −⎧ = −⎪⎪Ψ R U R

( )1,

1 1 1 ,1

1

n n t n ni i i i t n

ini

−

− − −−

−

⎪⎪⎡ ⎤= − ∂⎨⎣ ⎦ =⎪ ∂ =⎪⎩

U U K Ψ Ψ UK

U U U

Dove:

( ) ( )( )e

n n n n T T n ni 1 int i 1 ext e e e e i 1 ext

e V

dv− − −= − = −∑ ∫Ψ R U R L B σ ε U R

( ),1

et n T T T T e ei e e e e

e e eV V

dv dv−∂ ∂ ∂

= =∂ ∂ ∂∑ ∑∫ ∫σ U σ εK L B L B

U ε U

1

e e

e e

e e eV V

T T T Te e e ee e e e e e

ne ee e eV V e e i

dv dv = −

∂ ∂ ∂ ∂= =

∂ ∂ ∂ ∂∑ ∑∫ ∫σ ε U σL B L B B Lε U U ε ε ε


, 1e e i

Il seguente diagramma sintetizza il metodo iterativo:

, 1−ne iε1−

niU , 1, −

∂∂

nee i

σ σε

congruenza legame costitutivo1−

niΨ,

, 1= −∂ ne

e e iε ε ε 1i

no → i=i+11− ≤ ε

niΨ

1,1 1 1

−

− − −⎡ ⎤= − ⎣ ⎦n n t n ni i i iU U K Ψ

si

n=n+1


Vediamo ora l’imposizione del legame costitutivo, ovvero l’aggiornamento dello statodi sforzo e il calcolo della matrice tangente consistente.

Conosciamo la risposta della struttura al passo n-1 e la stima degli spostamenti alpasso n e all’iterazione i-1. Cioè in ogni punto di ogni elemento finito conosciamo:

n 1 pl,n 1 n 1 n 1 ne, e e e e,i 1, , , ,

− − − −−λε ε σ ε

Vogliamo calcolare le seguenti quantità:

pl,n n ne,i 1 e,i 1 e,i 1, , − − −λε σ


Procedura (per comodità non scriviamo più l’indice e):

1. Ipotizzo che il passo sia elastico:

( )−− −= −⎧

n,trial n pl,n 1i 1 i 1

n n trial

σ D ε ε

( )

− −

−−

−−

⎧ =⎪

=⎪⎪λ = λε < → ⎨

n n,triali 1 i 1

pl,n pl,n 1i 1n n 1n,trial pl,n 1se f 0

σ σε ε

σ( ) −−

=

λ = λε < → ⎨⎪∂⎪ =⎪ ∂⎩

i 1i 1 eq

ni 1

se f , 0 σσ Dε ε ε −⎩ i 1ε ε


2. allora il passo è elasto-plastico e bisogna risolvere il seguentesistema di equazioni:

( )l⎧

( )n,trial pl,n 1i 1 eqse f , 0−− ε ≥σ

( )( ) ( ) ( )

n n pl,ni 1 i 1 i 1

n pl,n n pl,ni 1 eq i 1 0 eq,i 1f , 0

− − −

− − −

⎧ = −⎪⎪ ε = φ − σ ε =⎪⎪

σ D ε ε

σ σ

ni 1

pl,n ni 1 i 1

1−

− −

⎪ ∂φ= λ⎨

∂⎪⎪⎪

σ

εσ

Tn 2pl,n pl,n 1 pl,n pl,n

eq,i 1 eq i 1 i 1n 1

2 d3

−− − −

−

⎪ ⎡ ⎤ε = ε + τ⎪ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎩∫ ε ε

D i i d diff fi i l d i i i

( )n n pl,ni 1 i 1 i 1− − −⎧ = −⎪σ D ε εDa cui approssimando per differenze finite le derivate si ottiene:

( ) ( ) ( )( )

n pl,n n pl,ni 1 eq i 1 0 eq,i 1

n n 1pl,n pl,n 1i 1i 1

f , 0 − − −−−

−−

⎪⎪ ε = φ − σ ε =⎪⎪ λ − λ− ∂φ⎪ =⎨

σ σ

ε εni 1

1T* 2pl,n pl,n 1 pl,n pl,n 1

pl n pl n 1 i 1 i 1

t t

2

−

− −

=⎨ Δ Δ ∂⎪⎪

⎡ ⎤⎪ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− −⎢ ⎥⎪

σσ

ε ε ε ε


pl,n pl,n 1 i 1 i 1eq,i 1 eq

2 t3 t t

− − −−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ε = ε + Δ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ Δ⎢ ⎥⎪ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎩

ε ε ε ε

( )n n pl,n⎧ =σ D ε εDa cui:

( )( ) ( ) ( )

pi 1 i 1 i 1

n pl,n n pl,ni 1 eq i 1 0 eq,i 1f , 0

− − −

− − −

⎧ = −⎪⎪ ε = φ − σ ε =⎪⎪ ∂φ

σ D ε ε

σ σ

( )ni 1

pl,n pl,n 1 n n 1i 1 i 1

12T*2

−

− −− −

⎪ ∂φ= + λ − λ⎨

∂⎪⎪⎪ ⎡ ⎤

σ

ε εσ

2T*pl,n pl,n 1 pl,n pl,n 1 pl,n pl,n 1eq,i 1 eq i 1 i 1

23

− − −− − −

⎪ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε = ε + − −⎪ ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎥⎣ ⎦⎩ε ε ε ε

Sistema in cui ho tante equazioni quante incognite.

La matrice tangente si ottiene andando a derivare in maniera consistente le∂σLa matrice tangente si ottiene andando a derivare in maniera consistente le

equazioni di cui sopra.ni 1= −

∂ε ε ε

Si omette per brevità lo sviluppo dei calcoli.


5. Imposizione delle condizioni al contorno

Vi sono due tipi di condizioni al contorno: carichi applicati (dette naturali), i quali compaiono nel vettore dei termini noti P; spostamenti imposti (essenziali), i quali vengono imposti direttamente sui nodi interessati e il sistema lineare viene ridotto

ll l i h l i t t d t li di i i l talle sole righe colonne non interessate da tali condizioni al contorno.

NB: Se uno spostamento è assegnato la relativa forza esterna non può essere prescritta e rimane incognitaprescritta e rimane incognita.

Esempio:Esempio:

1 2

31

2 3

2 351

2 3 1

21

2 3

δ

y

42 1

x


In questo esempio: Ux1=0; Uy3= -δ; Uy4=0; Ux5=0

L’imposizione dei vincoli si effettua nel sistema assemblato, per prima cosaeliminando le equazioni relati------ve ai gradi di libertà vincolati.

11 12 13 14 15 16 17 18 19 110

22 23 24 25 26 27 28 29 210

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

1

1y 2

0 RU F

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥22 23 24 25 26 27 28 29 210

33 34 35 36 37 38 39 310

44 45 46 47 48 49 410

K K K K K K K KK K K K K K K

K K K K K K

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢⎢⎢

1y 2

2x 3

2y 4

U FU FU F

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

55 56 57 58 59 510

66 67 68 69 610

77 78 79 710

K K K K K KK K K K K

K K K K

⎢⎢⎢⎢⎢

3x 5

6

4x 7

U FR

U F

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−δ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥77 78 79 710

88 89 810

99 910

Sym K K KK K

K

⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎦

7

8

9

0 R0 R

U F

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦1010K⎢⎣ ⎦ 5y 10U F⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦


0⎡ ⎤

12 22 23 24 25 26 27 28 29 210K K K K K K K K K K⎡1y

2x 2

0U

U F

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥12 22 23 24 25 26 27 28 29 210

31 32 33 34 35 36 37 38 39 310

41 42 43 44 45 46 47 48 49 410

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K

⎡⎢⎢

2x 2

2y 3

43x

U FFU

⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥51 52 53 54 55 56 57 58 59 510

71 72 73 74 75 76 77 78 79 710

101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010

K K K K K K K K K KK K K K K K K K K KK K K K K K K K K K⎣

5

74x

10

FFUF0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥−δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦101 102 103 104 105 106 107 108 109 1010K K K K K K K K K K⎣ 10

5y

00

U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎦⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Quindi bisogna portare al secondo membro i termini noti legati al valore imposto dello spostamento.


1y 222 23 24 25 27 210 26

2x 333 34 35 37 310 36

U F 0K K K K K K KU F 0K K K K K KU F 0

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

0 00 00 0

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥2y 444 45 47 410 46

555 57 510 563x

777 710 4

U F 0K K K K KF 0K K K KUF 0K K KU

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = + + δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 76

0 00 00 0

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ +⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

777 710 4x

101010 5y

UF 0K U

⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

76

106 0 0K⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

SISTEMA RISOLVENTE con le CONDIZIONI AL CONTORNO impostecon le CONDIZIONI AL CONTORNO imposte


Una volta risolto il sistema posso determinare le reazioni vincolari nel seguente modo (ovvero usando le equazioni cancellate prima):

0⎡ ⎤⎢ ⎥

( q p )

1y

2x

U

UUR K K K K K K K K K K

⎢ ⎥⎢⎢⎢

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢

⎥⎥⎥⎥2y1 11 12 13 14 15 16 17 18 19 110

6 61 62 63 64 65 66 67 68 69 610 3x

8 81 82 83 84 85 86 87 88 89 810

UR K K K K K K K K K KR K K K K K K K K K K UR K K K K K K K K K K

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ −δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

9 91 92 93 94 95 96 97 98 99 1010 4xR K K K K K K K K K K U00

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎢

⎢⎢⎢

⎥⎥⎥⎥⎥

5y

0U

⎢⎢⎣ ⎦

⎥⎥


6. Risoluzione del sistema lineare

Metodi diretti:Metodi diretti:• metodo di eliminazione di Gauss;• …Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):Metodi iterativi (calcolano la soluzione come limite di una successione di vettori):• metodi di Richardson stazionari e non;• …

7. Ricostruzione della soluzione: una volta calcolata la soluzione in termini dispostamenti nodali per un materiale elastico-lineare posso calcolare il campospostamenti nodali, per un materiale elastico lineare, posso calcolare il campodeformativo e di sforzi locali con le seguenti relazioni già viste prima:

( ) ( ) ( )x,x, y xy , y= =e e ee eB Uε B L U( ) ( ) ( ),, y y , ye e ee e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x,y x, y xx,y x,, y x , yy y x,= = =e e e ee e eD ε D B D BUσ L U

Se invece il comportamento del materiale è elasto-plastico, abbiamo già vistoprima che deformazioni e sforzi si calcolano durante la fase di imposizione dellegame costitutivo


legame costitutivo.

Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dal

Osservazione 1:

Il prodotto con le matrici booleane non viene mai eseguito (sarebbe troppo oneroso dalpunto di vista computazionale); semplicemente le matrici di rigidezza e i vettori deicarichi di ciascun elemento vengono assemblati nella matrice di rigidezza e nel vettoredei carichi globali. Ad esempio:

1 2

31

2 3 • 3x2 = 6 gradi di libertà ∀ elemento

g p

35 1

3

21

2 33x2 6 gradi di libertà ∀ elemento

• 5x2 = 10 gradi di libertà globali

1x1x

UU 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

U⎡ ⎤

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥

U4

2 3 1

1x1y

1y

2x2

UU 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0U 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= = ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

.

.U 22y

3x5x

3y 6 1

U 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0U 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

UU 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

U

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥

.


3y 6x15y 10x1

2 6x10

U⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦L

2 2 2 2 2 211 12 13 14 15 16

2 2 2 2 2

K K K K K KK K K K K

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥

( ) ( )x XLoc. Glob.

1 1 2 3= =22 23 24 25 26

2 2 2 233 34 35 36

2 2 2244 45 46

K K K K KK K K K

K K K

⎢ ⎥⎢ ⎥

= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

K( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y Y

x X

1 2 2 4

2 3 1 1 2 4 1 2

= =

= == =2 2

55 56266

Sym K KK

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

y Y

x X

y Y

2 4 1 2

3 5 4 73 6 4 8

= =

= == =

2 2 2 2 2 233 34 31 32 35 36

2 2 2 2 244 41 42 45 46

K K K K 0 0 K K 0 0K K K 0 0 K K 0 0

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

Tabella delle 2 2 2 211 12 15 16

2 2 222 25 26

K K 0 0 K K 0 0K 0 0 K K 0 0

0 0 0 0 0 0

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

incidenze per l’elemento 2

T T1 1 1 3 3

2 255 56

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0

K K 0 0

⎢ ⎥= + +⎢ ⎥

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

K L K L L K L 3

266Sym K 0 0

0 00

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


T2 2 2

0⎢ ⎥⎣ ⎦L K L

Osservazione 2:

Gli integrali, che definiscono la matrice di rigidezza e il vettore dei carichi nodalidell’elemento, non sono mai calcolati analiticamente, ma numericamente esolitamente con la tecnica di Gauss:

GT T

e e e e ej ej ej jdv H= ≅ ∑∫K B D B B D B1e

e e e e ej ej ej jjV =∑∫

GV T Te e e ej ej jdv H= ≅ ∑∫F N F N F

1e

j j jjV =

∫

1

Gs T Te e e ej ej j

jds H= ≅ ∑∫F N f N f

1Fe jS =

L’indice j è un indice che va da 1 al numero di punti di Gauss utilizzati per calcolarenumericamente l’integrale. In genere per un elemento triangolare si usano G=1 oG=3 punti di Gauss I valori di H sono i corrispondenti pesi


G=3 punti di Gauss. I valori di Hj sono i corrispondenti pesi.

Tra le tante tecniche di integrazione numerica, una delle più efficienti è quella diGauss, in quanto la posizione dei punti di Gauss ξj e dei relativi pesi Hj sonoj jdeterminati in modo tale che con n punti di Gauss, un polinomio di ordine 2n-1possa essere integrato esattamente.

( ) ( )1

1 11 = =−

⎛ ⎞ξ ξ ≅ ξ =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ ∑∫G G

j j j jj j

f d f H f H


Osservazione 3:

Esistono altre tipologie di elementi finiti, ad esempio quello a 4 nodi o più nodi:


Osservazione 4: di seguito la tipica struttura di un codice che implementa il metododegli elementi finiti


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